第21章《二次根式》复习课用1.PPT课件
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21章二次根式复习(2)PowerPoint 演示文稿
a b
a (a 0, b 0) b
2.二次根式的应用
(1)二次根式的加减法：通常先把各个二次 根式化成最简二次根式，在合并同类二次 根式 (2)、二次根式的乘法类似与多项式的乘法， 运算中公式 a b ab a 0, b 0 ，对 于二次根式除法，通常是先化成分式的形式， 然后通过分母有理化进行运算，有时可以约 分，有时可以利用公式，运算的结果都要化 成最简二次根式。
新人教版九年级:21章二次根式复习(2)
狂风暴雨
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本章主要知识:
1.二次根式性质及运算律
1)
a
2
a a 0
2)
a | a |
2
a a 0 a a 0
ab
3)
a
b (a 0, b 0)
③
5 4 ________ 3
2
算一算（可要细心哟）
① ②
( 3) ( 3 2 )
2
2
24÷ 3 2
1 ③ 27 12 3 ） （ 3 ④ ( 2 3)(2 2 1)
练一练（可要细心哟）
1 2 3 4
9 3 7 12 5 48 1 1 12 4 3 4 0.5 8 3 2 2 3 3 2 2 3 b 1 a b
10，
A
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使 三角形的三边为 5， 5， 10， （2）如图所示，AD⊥DC于D， BC⊥CD于C， 若点P为线段CD上动点。
B
D P C
2 ①则AD=____
1 BC=____
二次根式复习课(29张PPT)
特殊二次根式
总结词
特殊二次根式是指具有特殊形式或意义的二次根式，如算术平方根、完全平方 根等。
详细描述
算术平方根是指非负数的平方根，即$sqrt{a}$（$a geq 0$）；完全平方根是 指一个数的平方等于给定值的平方根，即$sqrt{x^2}$。此外，还有一些特殊的 二次根式，如勾股定理中的勾股数、几何图形中的边长等。
二次根式的加减法
总结词
掌握二次根式的加减法规则
示例
$sqrt{2} + sqrt{3}$ 不能合并；$sqrt{2} + sqrt{2} = 2sqrt{2}$。
04
二次根式的应用
实际问题中的二次根式
计算物体的高度和长度
通过已知的长度和角度，利用二次根式计算物体的 高度或长度。
速度和加速度的计算
03
二次根式的化简与运算
二次根式的化简
总结词
掌握化简二次根式的方法
示例
$sqrt{25x^{2}}$ 可以化简为 $5x$；$sqrt{9a^{2} + 6ab + b^{2}}$ 可以化简为 $3a + b$。
二次根式的乘除法
总结词
掌握二次根式的乘除法规则
示例
$sqrt{2} times sqrt{3} = sqrt{6}$；$frac{sqrt{2}}{sqrt{3}} = frac{sqrt{2} times sqrt{3}}{sqrt{3} times sqrt{3}} = frac{sqrt{6}}{3}$。
与平面几何的结合
03
在解决平面几何问题时，有时需要用到二次根式的性质和运算
法则。
05
习题与解答
习题
第21章二次根式单元复习PPT课件
（1）． a 0 （ａ 0）
（2）． ( a)2 a (a≥0, )
（3）．
a2
a
{a,a0 a,a0
第11页/共46页
8（１） ( 3)2 ____3
（２）当 x 1 时， (1 x)2 __x__1 （３） (x 2)2 x 2 ，
则Ｘ的取值范围是＿x＿＿2
第12页/共46页
1
6 . 1 x
1
解：要使 1 x 在实数范围内有意义
则
1- x ≠0
x≥0
解得x≥0且x≠1
1
∴当x≥0且x≠1时， 1 x在实数范围内有意义
第9页/共46页
7、能使二次根式 ( x 2)2 有意义的实数
x的值有（ B ） A、0个 B、1个 C、2个 D、无数个
第10页/共46页
梳理二．二次根式的性质
×× √
××
2
x2 y,
ab,
3xy ,
5(a2 b2 )
25
√
×√
√
第18页/共46页
梳理六 .同类二次根式的定义。 几个二次根式化为最简二次根 式后，若被开方数相同，则这几个 二次根式就叫做同类二次根式。
第19页/共46页
19.下列各组二次根式是否为同类二次根式？
(1) 50与 0.5 √ (2) 12与 18 ×
的式子叫做二次根式，“ ”称为二次
根号。
二次根式
被开方数a≥0； 根指数为2.
第2页/共46页
形如 a(a 0)的式子叫做二次根式.
（1）.表示a的算术平方根
（2）. a可以是数,也可以是式.
（3）. 二次根式有意义的条件 a≥0
（4）. a≥0, a≥0 ( 双重非负性)
二次根式复习课件
第 21 章 二 次 根 式 单元复习
知识结构
三个概念
二次根式 最简二次根式 同类二次根式 1、 ab = a ⋅ b (a ≥ 0, b ≥ 0 )
二 次
两个公式
a = 2、 b
(
a b
a )
2
( a ≥ 0, b ≥ 0 )
= a
a ≥ 0 （ ａ ≥ 0）
三个性质
a
四种运算
2
=
a
= {
a ,a ≥ 0 − a ,a < 0
．
（ 2） 9 ）
4 5 ÷3
1 3 × 5 2
2
2 3
（ 3） ）
1 3 +
+
2
1 2 +1
1 3 −1
2． 若 x=
3 −1 ， y= 3 +1
3 +1 ，求 3 −1
x 2 + y 2 + 2 的值．
能力提升
1． 阅 读 下 面 一 道 题 的 解 答 过 程 ， 判 断 是 否 正 确 ， 如 若 不 正 确 ， 请 写 出 正 ． 确的解答过程．
A = 60 +80 B
2
2
= 10000
=100
b设a、b为实数,且|√2 -a|+ √ b-2 =0 为实数,
拓展1 拓展1
∴ （1）求a -2 2a+2+b 的值. a = 2，b = 2
2 2
解： ) 2 − a ≥ 0, b − 2 ≥ 0 (1 而 2 −a + b−2 = 0
∴ 2 −a = 0 ， −2= 0 b ∴a = 2，b = 2
P
B
知识结构
三个概念
二次根式 最简二次根式 同类二次根式 1、 ab = a ⋅ b (a ≥ 0, b ≥ 0 )
二 次
两个公式
a = 2、 b
(
a b
a )
2
( a ≥ 0, b ≥ 0 )
= a
a ≥ 0 （ ａ ≥ 0）
三个性质
a
四种运算
2
=
a
= {
a ,a ≥ 0 − a ,a < 0
．
（ 2） 9 ）
4 5 ÷3
1 3 × 5 2
2
2 3
（ 3） ）
1 3 +
+
2
1 2 +1
1 3 −1
2． 若 x=
3 −1 ， y= 3 +1
3 +1 ，求 3 −1
x 2 + y 2 + 2 的值．
能力提升
1． 阅 读 下 面 一 道 题 的 解 答 过 程 ， 判 断 是 否 正 确 ， 如 若 不 正 确 ， 请 写 出 正 ． 确的解答过程．
A = 60 +80 B
2
2
= 10000
=100
b设a、b为实数,且|√2 -a|+ √ b-2 =0 为实数,
拓展1 拓展1
∴ （1）求a -2 2a+2+b 的值. a = 2，b = 2
2 2
解： ) 2 − a ≥ 0, b − 2 ≥ 0 (1 而 2 −a + b−2 = 0
∴ 2 −a = 0 ， −2= 0 b ∴a = 2，b = 2
P
B
华师版九年级数学上册第二十一章教学课件 二次根式
知1－讲
●含有二次根号“ ”；
●被开方数是正数或0.
特别地：形如b a(a ≥ 0)的式子也是二次根式， 它表示b与 a 的乘积，当b是带分数时，要写 成假分数的形式.
感悟新知
例 1 给出下列式子：
知1－练
① (－2)2；②3 7；③ 9；④ x＋y；⑤ a2＋1； ⑥ －2a2－1, 其中一定是二次根式的是 __________.(只填序号)
感悟新知
知1－练
解：(1)由二次根式 a 中的被开方数的非负性“a≥0”， x－3 0,
得3－x 0,∴x=3. ∵y= x－3＋ 3－x +2，∴y=2. ∴xy=32=9.
答案：9
感悟新知
(2)[中考·泰州]实数a，b满足 a＋1 +4a2+4ab+b2=0， 知1－练
则ba的值为( )A. 2
关键.
3. 计算 a2一般有两步：
(1)去掉根号及被开方数的指数，写成绝对值的形式；
(2)去掉绝对值符号，根据绝对值的意义进行化简.
感悟新知
例 5 在实数范围内分解因式：
(1)x2－5；
(2)x4－4x2+4.
解题秘方：逆用( a ) 2=a 分解因式.
警示误区： 逆用二次根式的性质时，必须先确定
第21章 二次根式
21.1 二次根式
学习目标
1 课时讲解 二次根式的定义
二次根式的性质
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 二次根式的定义
知1－讲
1. 二次根式的定义 一般地，我们把形如 a (a ≥ 0)的式子 叫做二次根式；“ ”叫做二次根号.
二次根式复习PPT课件
解：
60 15
B
25 AB 602 802
60
10000 15
100
25
15
60
B 25
25
15
60
A
A
第9页/共22页
拓展1
设a、b为实数,且|2 -a|+ √ b-2 =0
(1)求a2-2 2a+2+b2的值。 a 2， b 2
(2)若满足上式的a,b为等腰三角形的两边,求这
个等解腰: 三(角1)形∵的|面2积-a.|≥0, √ b-2≥0
1.（2005.吉林）当 x _≤__3__时， 3 x 有意义。
2.(2005.青岛) a 4+ 4 a 有意义的条件是 a_=_4 .
3.求下列二次根式中字母的取值范围
x 5 1 3x
解： x 5 0 ① 3- x 0 ②
说明：二次根式被开方数不小于0， 所以求二次根式中字母的取值范围 常转化为不等式（组）
本章知识 1、二次根式概念及意义.
像 a2 42、 b 3 这样表示 的 _算__术__平__方__根___，且
根号内含有字母的代数式叫做二次根式。 一个数的_算__术__平__方__根___也叫做二次根式。 注意：被开方数大于或等于零
第1页/共22页
题型1:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.
本章知识 1、二次根式概念及意义.
形如 a（a 0） 的代数式叫做二次根式.
（即一个 非负数 的算术平方根叫做二次根式）
注意： 被开方数ａ大于或等于零
第20页/共22页
拓展2
1已知x
3 1，y
3
1，求代数式
x2 x2 y
21.1 二次根式(1)二次根式的意义(备课件) 九年级数学上册同步备课系列(华东师大版)
（a≥0）
课后练习
知识点 1：二次根式的概念
1．在下列各式中，一定是二次根式的是(
3
A． 2
C． a2＋1
B． －10
D． a
C
)
2．下列式子：
1
3
2
，
－1000
，
27
，
8
，
（－201）
，其中
2
二次根式的个数有( C
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
3．若
m－3
)
15
3m 是二次根式，则这个二次根式是__________.
新课导入
•问题
•1.要做一个两直角边长分别为7cm和4cm的三角尺，
斜边的边长应该是_____cm；
•2. 面积为S的正方体边长为_____。
❖ 思考
❖
通过对上述问题的探究，可以得到形如
的式子，这些式子有什么特点？
65, S 之类
课前小测
1. 16的平方根是 ±4;
2. 9的算术平方根是 3 ;
一般地，我们把形如 a（a≥0）的式子叫做二次根式. 其中
“
”称为二次根号.
二次根号
根号a
被开方数
可以是非负的数或单项
式、多项式、分式等
实为“
”，
通常将根指
数2省略不写
（1）被开方数 a 既可以是一个数，也可以是一个含有
字母的式子，但前提是 a 必须大于或等于 0.
（2） a （a≥0）实际上就是非负数 a 的算术平方根，
a的平方根是 a .
问题2 什么是一个数的算术平方根？如何表示？
正数的正的平方根叫做它的算术平方根.
课后练习
知识点 1：二次根式的概念
1．在下列各式中，一定是二次根式的是(
3
A． 2
C． a2＋1
B． －10
D． a
C
)
2．下列式子：
1
3
2
，
－1000
，
27
，
8
，
（－201）
，其中
2
二次根式的个数有( C
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
3．若
m－3
)
15
3m 是二次根式，则这个二次根式是__________.
新课导入
•问题
•1.要做一个两直角边长分别为7cm和4cm的三角尺，
斜边的边长应该是_____cm；
•2. 面积为S的正方体边长为_____。
❖ 思考
❖
通过对上述问题的探究，可以得到形如
的式子，这些式子有什么特点？
65, S 之类
课前小测
1. 16的平方根是 ±4;
2. 9的算术平方根是 3 ;
一般地，我们把形如 a（a≥0）的式子叫做二次根式. 其中
“
”称为二次根号.
二次根号
根号a
被开方数
可以是非负的数或单项
式、多项式、分式等
实为“
”，
通常将根指
数2省略不写
（1）被开方数 a 既可以是一个数，也可以是一个含有
字母的式子，但前提是 a 必须大于或等于 0.
（2） a （a≥0）实际上就是非负数 a 的算术平方根，
a的平方根是 a .
问题2 什么是一个数的算术平方根？如何表示？
正数的正的平方根叫做它的算术平方根.
二次根式的乘除ppt课件
(3)几个二次根式相乘，可利用乘法交换律、结合律简
化运算 .
感悟新知
知1－讲
特别提醒
1. 法则中被开方数a，b既可以是数，也可以是式子，但都
必须是非负的 .
2. 二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的因数或因
式时一定要开方 .
3. 二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个整式 .
感悟新知
知1－练
10
8
10
＝－
9×8＝－20 2.
3
10
3
27÷ ＝－1× 3 ×
8
8
27×
3
感悟新知
知3－练
(5)
(a>0，b>0)；
a3b6
解：∵a>0，b>0，∴
＝
ab
(6)8 ÷3 ÷6 .
a3b6
＝ a2b5＝ab2 b.
ab
4
8 6÷3 3÷6 2＝(8÷3÷6)× 6÷3÷2＝ .
学习目标
第21章 二次根式
21.2 二次根式的乘除
感悟新知
知1－讲
知识点 1 二次根式的乘法
1. 二次根式的乘法法则
一般地，有 · ＝ (a ≥ 0，b ≥ 0). 这就
是说，两个算术平方根的积，等于它们被开方数的
积的算术平方根 .
感悟新知
知1－讲
2. 二次根式的乘法法则的推广
(1)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式乘单
方根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因
式移到根号外时，要注意应写在分母的位置上；
C. 0 ≤ x<1
D. x ≥ 0 且x ≠ 1
化运算 .
感悟新知
知1－讲
特别提醒
1. 法则中被开方数a，b既可以是数，也可以是式子，但都
必须是非负的 .
2. 二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的因数或因
式时一定要开方 .
3. 二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个整式 .
感悟新知
知1－练
10
8
10
＝－
9×8＝－20 2.
3
10
3
27÷ ＝－1× 3 ×
8
8
27×
3
感悟新知
知3－练
(5)
(a>0，b>0)；
a3b6
解：∵a>0，b>0，∴
＝
ab
(6)8 ÷3 ÷6 .
a3b6
＝ a2b5＝ab2 b.
ab
4
8 6÷3 3÷6 2＝(8÷3÷6)× 6÷3÷2＝ .
学习目标
第21章 二次根式
21.2 二次根式的乘除
感悟新知
知1－讲
知识点 1 二次根式的乘法
1. 二次根式的乘法法则
一般地，有 · ＝ (a ≥ 0，b ≥ 0). 这就
是说，两个算术平方根的积，等于它们被开方数的
积的算术平方根 .
感悟新知
知1－讲
2. 二次根式的乘法法则的推广
(1)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式乘单
方根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因
式移到根号外时，要注意应写在分母的位置上；
C. 0 ≤ x<1
D. x ≥ 0 且x ≠ 1
二次根式单元复习课件(全面)ppt
2021/1/4
26
本章知识
(二）、二次根式的性质：
1 .a( )2a
( a 0 )
a （a 0）
2 . a2 a
0 （a 0）
a （a 0）
3a . bab ( a 0b 0)
4 .a b
a b
( a0
b0 )
2021/1/4
27
(二）二次根式的简单性质
( a)2 a(a 0)
练习：计算
解得 48
4-(-8)= 4+ 8 =12
2.已知x,y为实数,且,
则x-y的值为( )
A.3
B.-3
C.1D
x13(y2)20
D.-1
2021/1/4
6
题型3最简二次根式：
１、被开方数不含分数； ２、被开方数不含开的尽方的因数或因式； 注意：分母中不含二次根式。
练习1：把下列各式化为最简二次根式
解：1 2a 0, b20
而 2a b20
2 a 0 ， b20
a 2，b2
原 式(a2)2b2 ( 2 2)222
4
2021/1/4
18
拓展1
设a、b为实数,且| 2 -a|+ b-2 =0
√
（ 1） 求 a2-22a+2+b2的 值 . a 2，b2
(2)若满足上式的为等腰三角形的两边,求这个等腰三角形的面积.
、2 2 这样表示 的 ____________，且
根号内含有字母的代数式叫做二次根式。
一个数的____________也叫做二次根式。
算术平方根
算术平方根
注意： 被开方数大于或等于零 判断下列各式哪些是二次根式？
相关主题
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(3)3 1 3
(4) 4 1 9
(5) 0.2
变式训练：已知b＞0,化简 a3b 的结果是（ ）
A. a ab B. a ab C.a ab D.a ab
二次根式的化简，最终要化为最简二次根式。
回顾：什么叫最简二次根式？
知识点5：最简二根式： 符合下面2个条件的二次根式叫最简二次根式 1.被开方数不含分母 2.被开方数不含能开得尽方的因数或因式
二次根式复习课
凤台四中 牛井梅
a 0a 0 ( a)2 a(a 0)
形如 a (a 0) 叫做二次根式
定义
最简二 次根式
性质
a 2 | a |
运算
二次根式 的乘除
二次根式 的加减
二次根式
知识点1：二次根式的概念
a 一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做
二次根式，事实上 a 表示非负数的算术平方根。
(4)( 2 1)2
方法：类似于整式的混合运算
在二次根式的运算或化简中常见错误：
例1：化简
72 98 3 8
化简不彻底，结果不是最简二次根式
正确答案为 72 36 2 6 2
例2：化简：
2 32 32
正确答案为
2
32 32 2 3
例3； 对于题目“化简并求值2a a2 6a 9,其中a 3
1、下列式子中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？
1√ 42
x3 24
√
x2√ 25
56
32
√
二次根式必须具备以下2个条件：
（1）必须有二次根号；
（2）被开方数必须保证大于或等于0。
2、x取什么实数时，下列式子有意义？
1 2 x2 x2 23 x 1
x2
式子有意义的条件是：
（1）被开方数大于或等于0。
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
22
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
例6， 计算
3
2
2
2
3
2
2 325
括号前面是负号，去括号时每一项要改变符号。
例5、 计算 5 2 5 7 5 2 5 2 7 5 2 7
运用完全平方公式丢项出错
正解原式
2
3 2 3 2
2
2 32 6 252 6
中考新型题
1、(1)如图，在数轴上点 A 和点 B 之间
1.( a )2 a (a 0)
2.
a2
a
a a
(a 0) (a 0)
1、计算
(1)( 2 )2 3
(3)(2 3)2
(2)(1 6)2 2
(4)(3 x )2
2、计算 1 32 2 3.14 2
3、 24n是整数， 则正整数的最小值是 （ ）
A4
B5
C6
D7
变式训练
1、实数a在数轴上的位置如图所示，化简:
小明的解答是： 原式 2a a 32 2a a 3 3a 3 6
小明的解答对吗？
在化简 a2时， 忽视被开方数的正负值而导致错误
例4， 计算 ab a 1 ab从左到右进行。
正确答案是原式 ab 1 1 b ab aa a a
知识点4：二次根的乘除 1、二次根式的乘法法则
a b ab(a 0,b 0) 反过来： ab a b (a 0, b 0)
2、二次根式的除法法则
a a (a 0,b 0) bb
反过来： a a (a 0,b 0) bb
1、计算： 1 2 8
2 48 6
2、化简 (1) (16) (81) (2) 40
a 3 a2 4a 4
01 2a 3
2、式子 (a 1)2 a 1 成立的条件是（ D ）
A.a 1 B.a 1 C.a 1 D.a 1
3、已知x=2.5,化简：
(x 2)2 x 4
4、 已知a,b, c为△ABC的三边长,
化简 (a b c)2 (b a c)2
尝试计算
( 4)2 4
(
1 )2
1 3
3
( 0.01)2 0.01
( 0)2 0
2 a a (a≥0)
尝试计算
42 4
1 2
3
1 3
0.012 0.01
02 0
a2 a (a≥0)
尝试计算
(4)2 4
(0.01)2 0.01
1
2
3
1 3
a2 a (a ＜ 0)
知识点3：二次根式的性质
2
2
求x2 xy y2的值。
4、二次根式的化简有时可采用化去分母中的根号来 进行，如：
1、 3 3 2 6
2 2 2 2
2、 1 2 1
1 2 1 2 1 2 1
2 1 2 1 2 2 12 2 1 2 1
请仿照以上方法，化简以下各式：
(1) 3 5
(2) 1 3 2
表示整数的点有__4____个．
(2)式子a - 1化简的结果为
a
A. a B. a C. a D. a
2、 观察分析下列数据， 按规律填空：
1 3 1 , 1 5 2 , 1 7 3, 1 9 4 ,
42
93
16 4
25 5
将猜想的规律用含自然数n(n≥1)的式子表示出 来：
3、 已知x 7 3 , y 7 3 ,
（2）分母不能为0。 变式训练：
1、若代数式 m 2 是二次根式，则m的取
值范围是
。
2、如果式子 m 1 有意义，则坐标系中
mn
点P（m，n)的位置在第（ ）象限。
知识点2：二次根式的非负性：
因为a 0,所以总有 a 0。
若 a 1 (b 2)2 0,则a b
变式训练：
当x为何值时， 2x 1 3 的值最小？最小值是多少？
下列各式中，最简二次根式是（ ）
(1) 4x (2) 1.5 (3) x2 2 (4) a3 a2
知识点6：二次根式的加减
计算： (1)2 3 3 12 6 1 3
(2) 1 4x 6 x 3x 1
2
4
x
二次根式加减的步骤： 先化简，再合并
知识点7：二次根式的混合运算
1、计算 (1) 18 8 2 (2) 12 3 3 2 (3)(4 3 3 2)(4 3 3 2)