华农高数下期末试卷
华南农业大学15年高代下填空选择解答
华南农业大学期末考试试卷(A 卷)2014-2015学年 第2学期 考试科目： 高等代数II 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1. 设1324[],[]W P x W P x ==，则12dim()W W +=解：123121212[]dim()dim +dim -dim()=3+4-3=4W W P x W W W W W W =∴+=，.2. 在线性空间3R 中，定义线性变换σ: 12311223(,,)(,,2)x x x x x x x x σ=+-, 那么σ在基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)εεε===解：1()(1,1,0)σε=，,2()(0,1,2)σε=，3()(0,0,1)σε=，()()123123100()()()110021σεσεσεεεε⎛⎫⎪∴= ⎪ ⎪-⎝⎭，，，，.3. 若σ是有限维线性空间V 的线性变换, 则σ是V 上的双射的充要条件是σ的解：见课本305页,给出了判断线性变换为单射，满射，双射的方法,主要记住下列等价条件.{}-1V =V =0σσσσσσσσ⇔⇔⇔⇔⇔线性变换是满射（）， 是单射（0），是满射是单射是一一映射是可逆变换4. 已知10=52A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若B 与A 相似，则2B B E +-=解：1212222122=1=2A B B =1=2B =1+-=1=2+-==15=5A B B E B B E λλλλλλ∴+-∴+-⨯的特征值，，又，相似，所以的特征值，，为的多项式，特征值11，215，5. 设123,,εεε是欧氏空间V 的标准正交基,则12+εε与23+εε解：()12+1,1,0εε的坐标为，()23+0,1,1εε的坐标为，()()()()1,1,00,1,1cos =1,1,01,1,0θ∴=用坐标的普通内积计算二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1. 下列集合为线性空间R n 的子空间的是( B ). A. {}11212(,,,)0,R,1,2,,n n i W x x x x x x x i n ==∈=B. {2(,,,,,,)R n W a b a b a b n =∈为偶数｝C. {31212(,,,),,,n n W x x x x x x =是整数｝D. {}41212(,,,)+++1,R,1,2,,n n i W x x x x x x x i n ==∈=解：A 错. {}()()112121(,)0,R,1,21,00,1i W x x x x x i W ==∈=∈例如：，向量，, 但是()()()11,0+0,1=1,1.W ∉，对加法不封闭C 错.在数域中任取一个有理数0.5，则330.5.W W ∉中向量取倍后 数乘运算不封闭D 错.对数乘运算不封闭.2. 数域P 上的n 维线性空间V 有( D )个基.A. 1B. nC. ！nD. 无穷多 3. 设(){},,|,R W a a b a b a b =+-∈，这里R 为实数集，则( ) . A. W 与2R 同构 B. W 与3R 同构C. W 与2R 的一个真子空间同构D. 2R 与W 的一个真子空间同构解：()()()()(),,=1,1,10,1,1,1,1,10,1,1W dim 2.W a a b a b a b w ∀+-+--∴=中向量而，线性无关，故为的基，注意: 线性空间同构的充要条件是维数相等.4. 设σ为线性空间V 上的线性变换，则以下子空间：σ的值域，23σσ-的值域，σ的核，零空间{}0中是σ的不变子空间的有( 4 )个. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4分析：课本306页，307页给出了常见的不变子空间：{}-11.;2.0,3.(),(0)V V σσσ空间零空间的值域核()-14.(),(0)5.V f στττσσ与可交换的线性变换的值域核的多项式的值域与核6.V λσλ的属于特征值的特征子空间7. σ的不变子空间的交与和所以σ的值域，σ的核，零空间{}0都是σ的不变子空间，线性变换σ与23σσ-可交换，故23σσ-的值域是σ的不变子空间.5. 关于实对称矩阵A ，下列结论中( C )正确.A. A 的特征值可能是复数B. 对A 的对应于特征值λ的特征向量α，β，有(),0αβ=C. 一定存在正交矩阵T ，使得1T AT -为对角矩阵D. A 有n 个不同的特征值三、判断题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）(请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“⨯”.）1. ( 错 )设123,,V V V 是n 维线性空间V 的子空间，并且12,V V ⊕23,V V ⊕13,V V ⊕则123V V V ⊕⊕.分析：见课本264页定理11, 结论3）.()()()123123213312+=+=+=V V V V V V V V V V V V φφφ⊕⊕⇔，，，该条件显然比12,V V ⊕23,V V ⊕13,V V ⊕强.反例.设123101=0=1=2000ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，则()()()()()()121323,,,L L L L L L αααααα⊕⊕⊕但是()()()()123123++=L 2.L L L αααααα，，的维数是，不是直和2. ( 错 )设n 阶方阵,A B 有相同的特征值，则,A B 可以看作同一线性变换在两组不同基下的矩阵.分析：,A B 有相同的特征值，不一定有,A B 相似，故,A B 可以看作同一线性变换在两组不同基下的矩阵.3. ( 对 )若欧氏空间V 的向量,αβ线性无关，则 (),αβαβ<. 分析：柯西不等式(),,.αβαβαβ≤，等号成立的充要条件是线性相关4. ( 对 )若A 是正交矩阵，则齐次线性方程组0AX =的只有零解. 分析：A 是正交矩阵，则A =1±，，即从而0AX =只有零解. 5. ( 错 )若线性空间V 的线性变换σ在一组基下可以对角化，则σ在任何基 下可以对角化.。
高数(下学期)试卷及参考答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2010--2011学年第2学期 考试科目： 高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业一、单项选择题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分）１．与三坐标轴夹角均相等的单位向量为 （ ）Ａ．(1,1,1) Ｂ．111(,,)333 Ｃ． Ｄ．111(,,)333--- ２．设lnxz y=，则11x y dz ===（ ）Ａ．dy dx - Ｂ．dx dy - Ｃ．dx dy + Ｄ．0３．下列级数中收敛的是 （ ）Ａ．1n ∞= Ｂ．1n ∞= Ｃ．113n n ∞=∑ Ｄ．113n n ∞=∑４．当||1x <时，级数11(1)n n n x ∞-=-∑是 （ ）Ａ．绝对收敛 Ｂ．条件收敛 Ｃ．发散 Ｄ．敛散性不确定 ５．设函数()p x ，()q x ，()f x 都连续，()f x 不恒为零，1y ，2y ，3y 都是()()()y p x y q x y f x '''++=的解，则它必定有解是 （ ）Ａ．123y y y ++ Ｂ．123y y y +- Ｃ．123y y y -- Ｄ．123y y y ---二、填空题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分） １．微分方程''6'90y y y -+=的通解为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．２．设有向量(4,3,1)a →=，(1,2,2)b →=-，则2a b →→-＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿． ３．过点(1,1,0)-且与平面32130x y z +--=垂直的直线方程是＿＿＿＿＿＿． ４．设2cos()z xy =，则zy∂∂＝＿＿＿＿＿＿＿． ５．设L 为曲线2y x =上从点(0,0)到点(1,1)的一线段，则32(2)Lx y dx +⎰＿＿＿．三、计算题（本大题共７小题，每小题6分，共４2分） １．求微分方程2(12)(1)0x y dx x dy +++=的通解．２．设22()xyz x y =+，求z x ∂∂及2z x y∂∂∂．３．判断级数23112123!10101010nn ⋅⋅⋅+++++的敛散性．４．设一矩形的周长为2，现让它绕其一边旋转，求所得圆柱体体积为最大时矩形的面积及圆柱体的体积．５．将函数2()x f x xe -=展开成x 的幂级数，并确定其收敛域．６．设(,)z z x y =是由方程2z x y z e +-=确定的隐函数，求全微分dz .７．计算二重积分cos Dydxdy y⎰⎰，其中D是由y =y x =围成的区域．四、解答题（本大题共4小题，每小题７分，共２8分） １．计算曲线积分22(2)()Lxy x dx x y dy -++⎰，其中L 是由曲线2y x =和2y x =所围成的区域的正向边界曲线．２．计算二重积分Dσ⎰⎰，其中区域D 由221x y +≤，0x ≥及0y ≥所确定．３．设()u f xyz =，(0)0f =，(1)1f '=，且3222()ux y z f xyz x y z ∂'''=∂∂∂，试求u 的表达式．４．计算曲面积分=++，I xdydz ydzdx zdxdy)∑其中∑为上半球面z=参考答案一、选择题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分） １．Ｃ ２．Ｂ ３．Ｃ ４．Ａ ５．Ｂ 二、填空题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分） １．312()x y C C x e =+ ２．(7,8,0) ３．11321x y z+-==- ４．22sin()xy xy - ５．710三、计算题（本大题共７小题，每小题６分，共４２分） １．求微分方程2(12)(1)0x y dx x dy +++=的通解． 解：21112x dx dy x y=-++⎰⎰．．．．．．．．．．（１分） 221111(1)(12)21212d x d y x y+=-+++⎰⎰．．．．．．．．．（５分）2ln(1)ln |12|ln x y C +=-++，即2(1)(12)x y C ++=．．．．．．（６分） ２．设22()xyz x y =+，求z x ∂∂及2z x y∂∂∂．解：设v z u =，22u x y =+，v xy =．．．．．．．．．．（１分）22222222()(ln())xyz z u z v x y x y y x y x u x v x x y∂∂∂∂∂=+=+++∂∂∂∂∂+．．．．．．．．．．（３分） 243342222222222(2)()[(21ln())ln()]()xy z x x y y x y xy xy x y x y x y x y ∂++=++++++∂∂+．（６分） ３．判断级数23112123!10101010nn ⋅⋅⋅+++++的敛散性．解：11(1)!10lim lim !10n n n n n nu n u n ρ++→∞→∞+==．．．．．．．．．．（３分） 1lim10n n →∞+==∞．．．．．．．．．．．（５分）所以级数发散．．．．．．．．（６分）４．设一矩形的周长为2，现让它绕其一边旋转，求所得圆柱体体积为最大时矩形的面积及圆柱体的体积．解：设矩形两边长分别为,x y ．则1x y +=，假设绕长度为y 的一边旋转，则圆柱体体积为2V x y π=．．．．．．．．．．．．（２分）作拉氏函数2(,,)(1)F x y x y x y λπλ=++-．．．．．．．．（３分） 解方程组22001xy x x y πλπλ+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩．．．．．．．．．．．．．．．．（４分） 得可能的极值点21(,)33．．．．．．．．．．．．．．（５分）由题意知道其一定是所求的最值点，所以最大体积为427π，对应面积为29．．．．．．．．．．（６分） ５．将函数2()x f x xe -=展开成x 的幂级数，并确定其收敛域．解：因为212!!n xx x e x n =+++++ ．．．．．．．（１分）所以2221(1)222!2!xnnn x x x en -=-+++-+⋅⋅ ．．．．．．．．．．（３分）23112211()(1)(1)222!2!2(1)!x n nnn n n n x x x x f x xex n n +∞---===-+++-+=-⋅⋅⋅-∑（５分）收敛域为(,)-∞+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．（６分）６．设(,)z z x y =是由方程2z x y z e +-=确定的隐函数，求全微分dz . 解：2(,,)z F x y z x y z e =+--．．．．．．．．（１分） 1,2,1z x y z F F y F e ===--．．．．．．．．．．．（３分） 所以12,11y x z zz z F F z z yx F e y F e∂∂=-==-=∂+∂+．．．．．．．．．（５分） 故1(2)1z z z dz dx dy dx ydy x y e∂∂=+=+∂∂+．．．．．．．．．．（６分） ７．计算二重积分cos Dydxdy y ⎰⎰，其中D 是由y =y x =围成的区域．解：积分区域为：2{(,)|01,}D x y y y x y =≤≤≤≤．．．．．．．．（１分）210cos cos y y Dyy dxdy dy dx y y =⎰⎰⎰⎰．．．．．．．．．．（３分） 1(1)cos y ydy =-⎰．．．．．．．．．．．．（５分） 1cos1=-．．．．．．．．．（６分）四、解答题（本大题共４小题，每小题７分，共２８分） １．计算曲线积分22(2)()Lxy x dx x y dy -++⎰，其中L 是由曲线2y x =和2y x =所围成的区域的正向边界曲线． 解：22(2)()(12)LDxy x dx x y dy x d σ-++=-⎰⎰⎰．．．．．．（２分）212)xdx x dy =-⎰．．．．．．．．（４分） 1312322(22)x x x x dx =--+⎰．．．．．．．．（６分）130=．．．．．．（７分） ２．计算二重积分Dσ⎰⎰，其中区域D 由221x y +≤，0x ≥及0y ≥所确定．解：'DD σθ=．．．．．．．．．．（２分）12d πθ=⎰⎰．．．．．．．．．．．．（４分） 224d ππθ-=⎰．．．．．．（６分）＝(2)8ππ-=．．．．．．．．．（７分）３．设()u f xyz =，(0)0f =，'(1)1f =，且3222()ux y z f xyz x y z ∂'''=∂∂∂，试求u 的表达式．解：22(),()()u u yzf xyz zf xyz xyz f xyz x x y∂∂''''==+∂∂∂1.5CM3222()3()()uf xyz xyzf xyz x y z f xyz x y z∂''''''=++∂∂∂．．．．．．．．（２分） 因为3222()u x y z f xyz x y z∂'''=∂∂∂，所以()3()0f xyz xyzf xyz '''+=令xyz t =，得3()()0tf t f t '''+=．．．．．．（４分）解之得113311(),(1)1,1,()由得所以f t C t f C f t t --'''====．．．．．（５分）解得22332233(),(0)0,0,()22由得所以f t t C f C f t t =+===．．．．．（６分）即233()()2u f xyz xyz ==．．．．．．．（７分）４．计算曲面积分)I xdydz ydzdx zdxdy ∑=++，其中∑为上半球面z = 解：因为在曲面∑上a ，所以()I a xdydz ydzdx zdxdy ∑=++⎰⎰．．．．．．．．．．（１分）补曲面2221{(,,)|0,}x y z z x y a ∑==+≤，1∑取下侧．．．．．．．．．．（２分） 由高斯公式得1()I a xdydz ydzdx zdxdy ∑+∑=++⎰⎰＝342(111)323a dv a a a ππΩ++=⨯=⎰⎰⎰．．（４分）而1)xdydz ydzdx zdxdy ∑++100Dzdxd y dxdy ∑===．．．．．．．（６分）故)I xdydz ydzdx zdxdy ∑=++＝114()()2a xdydz ydzdx zdxdy a π∑+∑∑-++=⎰⎰⎰⎰．．．．．．．（７分）。
大一数学下学期期末
华南农业大学珠江学院期末考试试卷(卷11)2009—2010学年 下 学期 考试科目：高等数学（经管类本科） 考试年级：2009级 考试类型：（闭卷） 考试时间：120分钟 学号 姓名 年级专业24分。
在每小1.0x y →→=（ B ）(A)1； (B)2； (C)不存在； (D)∞.2.2232d 1x x x-=+⎰（ C ） (A)2； (B)4； (C)0； (D)2-. 3.二元函数332233z x y x y =+--的极小值点为（ B ） (A)(0,0); (B)(2,2); (C)(0,2); (D)(2,0). 4.{}22(,)|4D x y x y =+≤，则二重积分22)(d d Dy x x y +=⎰⎰（ C ）(A)2π； (B)4π； (C)8π； (D)6π. 5.下列级数中，收敛的是（ D ）(A)212nn n∞=∑； (B)11n n n ∞=+∑；(C)132nn ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑； (D)∑∞=--111)1(n n n .6.级数21sin n nxn ∞=∑（ B ） (A)条件收敛； (B)绝对收敛；(C)发散； (D)敛散性不确定．7.微分方程222d d 2d d x y y y e x x ++=⎛⎫ ⎪⎝⎭的阶数是（ B ） (A) 1； (B) 2； (C) 3； (D) 4. 8.微分方程1y y '-=的通解是（ A ）(A) 1x y Ce =-； (B) 1x y Ce =+； (C) (1)x y C e =+； (D) x y Ce =.二、 填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
9.已知 0 ()xf x =⎰，则()f x '=10.22ln(1)z x y =++，则在点(1,1)处的全微分d z =22d d 33x y +11.设yxz e =，则22zy ∂=∂ 21y xe x12.设 1I d (,)d yy f x y x =⎰⎰，交换积分次序后 I =11d (,)d xx f x y y ⎰⎰13.设{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤,则d x y De σ+⎰⎰=_2(1)e -___________14.判断级数1!nn n n∞=∑的敛散性，得到该级数一定__发散__.(注：填收敛或发散) 15.211x -展开成x 的幂级数为 24621n x x x x++++++16.微分方程2y x ''=的通解为 412112x C x C ++三、计算题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）17、10ln(1)d e x x -+⎰解：110010ln(1)d ln(1)d 1e e e xx x x x x x ---+=++-⎰⎰（2分） 10111d 1e x e x x -+-=--+⎰ 11(1d 1)1e e x x -=---+⎰（4分）11(1d 1)1e e x x -=---+⎰101(1)l n 1e e e x -=---++ （5分）1= （6分）18.求二重积分3d d Dxye x y -⎰⎰，D 是以(00)(11)(10)，，，，，为顶点的三角形区域.解：33100d d d d x x x Dye x y x ye y --=⎰⎰⎰⎰ （2分）3211d 2xx y x e -=⋅⎰ （4分） 32101d 2x x x e-=⋅⎰31301d 6()x ex -=--⎰ （5分）31016x e-=-11(1)6e -=-- （6分）19.求幂级数20(1)(3)n nn x n∞=--∑的收敛半径与收敛域. 解: 令3t x =-，则级数化为21(1)n nn t n ∞=-∑ （1分）212lim lim 1(1)n n n n a n a n +→∞→∞==+ （2分） 故1R =，在(1,1)-级数收敛 （3分）当1t =时，级数化为21(1)nn n∞=-∑，收敛；当1t =-时，级数化为211n n∞=∑，收敛； （5分） 故级数21(1)n nn t n ∞=-∑的收敛域为[1,1]-，从而131x -≤-≤，即原级数的收敛域为24x ≤≤ （6分）20.求微分方程32xy y x '-=-的通解3(),()2xP x Q x x =-=- （1分）33d d 2(d )xx x x x y e x C e ---⎰⎰=-⋅+⎰ （3分）3ln 31(d )x xx x C e =-⋅+⎰ （4分）312()xx C =+ （5分） 将初始条件11x y ==代入通解得 12C =，因此特解为：3112(1)y x x =+ （6分）21.求5423y y y x '''++=+的通解.解：5423y y y x '''++=+对应的特征方程为2540r r ++=其特征根为 121,4r r =-=- （2分） 所以对应的齐次方程的通解为 412x x Y c e c e --=+ （3分） 由于()23,f x x =+设特解为*y ax b =+，将*y ax b =+代入所给方程，得 （4分）11,28a b ==，故*11.28y x =+ （5分） 所给方程的通解为4121128x x y c e c e x --=+++ （6分）四、综合应用题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）22.求由1,2,3xy y x ===所围成的图形的面积，并求由此图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积.解：面积3121(2-)d A x x=⎰ （2分）312(2ln )x x =- （3分）5ln 6=- （4分）体积2231231212d d x x x x V ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-⎰⎰（6分）5103ππ=-253π= （8分）23.某同学现有400元钱，他决定用来购买x 张计算机磁盘和y 盒录音磁带。
2007年高数下册期末考试卷答参考案2022
华南农业大学期末考试试卷（A ）卷2006学年第2学期高等数学（工科） 考试时间：120分钟一.填空题（每题3分，共15分）1.设),34,2(),1,2,3(k b a ==→→，若→→b a //，则=k_____解答：32123432//=⇔==⇔k k b a 2.设2),(y xy y x y x f -=-+，则=),(y x f _____解答：令v y x u y x =-=+,，则2,2v u y v u x -=+=，从而2)(),(v u v y y x v u f -=-=，即2),(2y xy y x f -=3.将三重积分⎰⎰⎰------++RR xR xR yx R dzz y x dy dx 22222220222化为球面坐标的累次积分为_____解答：积分区域为以原点为球心，半径为R 的上半球面与xOy 面所围区域，在球面坐标下，区域可表示为R r ≤≤≤≤≤≤0,20,20πθπϕ，所以化为累次积分⎰⎰⎰2203sin ππϕθϕRdr rd d4.微分方程054///=+-y y y 的通解为_____解答：特征方程为0542=+-r r 解得i r ±=22,1因此通解为)sin cos (212x C x C ey x+=5.幂级数∑∞=--112)1(n nn nx的收敛半径=R _____解答：121)1()1(21)1(lim1=-+--∞→nn n nn ，因此收敛半径1=R二.选择题（每题3分，共15分）1.过点)4,3,2(-且垂直于平面043=+-+z y x 的直线方程是（ ） A. 141332+=--=--z y x B. 241332-=--=-z y x C.141332--=-=-z y x D.141332-=-=--z y x解答：直线的方向向量为)1,1,3(-，因此点向式方程为141332-+=-=-z y x选A2.设D 是区域01,10≤≤-≤≤y x ，则=⎰⎰Dxydxdy xe （ ）A.0B. eC. e1D. e11+解答：从被积函数角度考虑，将D 看作X 型区域⎰⎰⎰=-=--1111)1(edx edy xedxxxy选C3.微分方程ydy x dx y dy x 222-=是（ ）A.可分离变量方程B.一阶线性方程C.齐次方程D.二阶线性方程解答：选A4.设L 是区域32,21:≤≤≤≤y x D 的正向边界，则=-⎰Lydx xdy2（ ）A.1B.2C.3D.4解答：由格林公式332==-⎰⎰⎰DLdxdyydx xdy选C5.下列级数中为条件收敛的级数是（ ）A. ∑∞=+-11)1(n nn n B. ∑∞=-1)1(n nnC. ∑∞=-11)1(n nnD. ∑∞=-121)1(n nn解答：选项A 一般项不趋于0，因此不收敛；选项B 一般项不趋于0，也不收敛；选项D 绝对收敛选C三.计算题（每题7分，共49分）1.判别级数∑∞=+1231n n的敛散性解答：11231lim232lim21231lim=+=+=+∞→∞→∞→nn nn n nnn ，因此该级数与等比∑∞=121n n同敛散性，而级数∑∞=121n n收敛，因此原级数收敛.2.设ze z y x =-+2，求yz x z ∂∂∂∂,解答：两边微分得dz e dz ydy dx z=-+2 整理得dy ey dx edz zz+++=1211因此zzey yz exz +=∂∂+=∂∂12,113.计算二次积分⎰⎰-+=1010222)sin(ydxy x dy I解答：积分区域为以原点为圆心半径为1的圆在第一象限的部分。
2011高等数学下试卷及答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2010--2011学年第2学期 考试科目： 高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业一、单项选择题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分）１．与三坐标轴夹角均相等的单位向量为 （ ）Ａ．(1,1,1) Ｂ．111(,,)333 Ｃ． Ｄ．111(,,)333--- ２．设lnxz y=，则11x y dz ===（ ）Ａ．dy dx - Ｂ．dx dy - Ｃ．dx dy + Ｄ．0３．下列级数中收敛的是 （ ）Ａ．1n ∞= Ｂ．1n ∞= Ｃ．113n n ∞=∑ Ｄ．113n n∞=∑４．当||1x <时，级数11(1)n n n x ∞-=-∑是 （ ）Ａ．绝对收敛 Ｂ．条件收敛 Ｃ．发散 Ｄ．敛散性不确定 ５．设函数()p x ，()q x ，()f x 都连续，()f x 不恒为零，1y ，2y ，3y 都是()()()y p x y q x y f x '''++=的解，则它必定有解是（ ）（今年不作要求）Ａ．123y y y ++ Ｂ．123y y y +- Ｃ．123y y y -- Ｄ．123y y y ---二、填空题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分）１．微分方程''6'90y y y -+=的通解为＿＿＿＿＿．（今年不作要求） ２．设有向量(4,3,1)a →=，(1,2,2)b →=-，则2a b →→-＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿． ３．过点(1,1,0)-且与平面32130x y z +--=垂直的直线方程是＿＿＿＿＿＿． ４．设2cos()z xy =，则zy∂∂＝＿＿＿＿＿＿＿． ５．设L 为曲线2y x =上从点(0,0)到点(1,1)的一线段，则32(2)Lx y dx +⎰＿＿＿．三、计算题（本大题共７小题，每小题6分，共４2分） １．求微分方程2(12)(1)0x y dx x dy +++=的通解．２．设22()xyz x y =+，求z x ∂∂及2z x y∂∂∂．３．判断级数23112123!10101010nn ⋅⋅⋅+++++的敛散性．４．设一矩形的周长为2，现让它绕其一边旋转，求所得圆柱体体积为最大时矩形的面积及圆柱体的体积．５．将函数2()x f x xe -=展开成x 的幂级数，并确定其收敛域． ６．设(,)z z x y =是由方程2z x y z e +-=确定的隐函数，求全微分dz. ７．计算二重积分cos Dydxdy y⎰⎰，其中D 是由y y x =围成的区域．四、解答题（本大题共4小题，每小题７分，共２8分） １．计算曲线积分22(2)()Lxy x dx x y dy -++⎰，其中L 是由曲线2y x =和2y x =所围成的区域的正向边界曲线． ２．计算二重积分Dσ⎰⎰，其中区域D 由221x y +≤，0x ≥及0y ≥所确定．３．设()u f xyz =，(0)0f =，(1)1f '=，且3222()ux y z f xyz x y z ∂'''=∂∂∂，试求u 的表达式．（今年不作要求）４．计算曲面积分)I xdydz ydzdx zdxdy ∑=++，其中∑为上半球面z =（今年不作要求）参考答案一、选择题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分） １．Ｃ ２．Ｂ ３．Ｃ ４．Ａ ５．Ｂ 二、填空题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分） １．312()x y C C x e =+ ２．(7,8,0) ３．11321x y z+-==- ４．22sin()xy xy - ５．710三、计算题（本大题共７小题，每小题６分，共４２分） １．求微分方程2(12)(1)0x y dx x dy +++=的通解． 解：21112x dx dy x y =-++⎰⎰．．．．．．．．．．（１分） 221111(1)(12)21212d x d y x y+=-+++⎰⎰．．．．．．．．．（５分） 2ln(1)ln |12|ln x y C +=-++，即2(1)(12)x y C ++=．．．．．．（６分） ２．设22()xyz x y =+，求z x ∂∂及2zx y∂∂∂．解：设v z u =，22u x y =+，v xy =．．．．．．．．．．（１分）22222222()(ln())xy z z u z v x y x y y x y x u x v x x y∂∂∂∂∂=+=+++∂∂∂∂∂+．．．．．．．．．．（３分）243342222222222(2)()[(21ln())ln()]()xy z x x y y x y xy xy x y x y x y x y ∂++=++++++∂∂+．（６分） ３．判断级数23112123!10101010n n ⋅⋅⋅+++++的敛散性．解：11(1)!10lim lim !10n n n n n nu n u n ρ++→∞→∞+==．．．．．．．．．．（３分） 1lim10n n →∞+==∞．．．．．．．．．．．（５分）所以级数发散．．．．．．．．（６分）４．设一矩形的周长为2，现让它绕其一边旋转，求所得圆柱体体积为最大时矩形的面积及圆柱体的体积．解：设矩形两边长分别为,x y ．则1x y +=，假设绕长度为y 的一边旋转，则圆柱体体积为2V x y π=．．．．．．．．．．．．（２分）作拉氏函数2(,,)(1)F x y x y x y λπλ=++-．．．．．．．．（３分） 解方程组22001xy x x y πλπλ+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩．．．．．．．．．．．．．．．．（４分） 得可能的极值点21(,)33．．．．．．．．．．．．．．（５分）由题意知道其一定是所求的最值点，所以最大体积为427π，对应面积为29．．．．．．．．．．（６分） ５．将函数2()x f x xe -=展开成x 的幂级数，并确定其收敛域．解：因为212!!n xx x e x n =+++++ ．．．．．．．（１分）所以2221(1)222!2!xnnn x x x en -=-+++-+⋅⋅ ．．．．．．．．．．（３分）23112211()(1)(1)222!2!2(1)!x n nnn n n n x x x x f x xex n n +∞---===-+++-+=-⋅⋅⋅-∑（５分）收敛域为(,)-∞+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．（６分）６．设(,)z z x y =是由方程2z x y z e +-=确定的隐函数，求全微分dz . 解：2(,,)z F x y z x y z e =+--．．．．．．．．（１分） 1,2,1z x y z F F y F e ===--．．．．．．．．．．．（３分） 所以12,11y x z z z z F F z z y x F e y F e ∂∂=-==-=∂+∂+．．．．．．．．．（５分） 故1(2)1zz z dz dx dy dx ydy x y e ∂∂=+=+∂∂+．．．．．．．．．．（６分） ７．计算二重积分cos Dydxdy y ⎰⎰，其中D 是由y =及y x =围成的区域． 解：积分区域为：2{(,)|01,}D x y y y x y =≤≤≤≤．．．．．．．．（１分）210cos cos y y Dyy dxdy dy dx y y =⎰⎰⎰⎰．．．．．．．．．．（３分） 1(1)cos y ydy =-⎰．．．．．．．．．．．．（５分） 1cos1=-．．．．．．．．．（６分）四、解答题（本大题共４小题，每小题７分，共２８分） １．计算曲线积分22(2)()Lxy x dx x y dy -++⎰，其中L 是由曲线2y x =和2y x =所围成的区域的正向边界曲线． 解：22(2)()(12)LDxy x dx x y dy x d σ-++=-⎰⎰⎰．．．．．．（２分） 212)xdx x dy =-⎰．．．．．．．．（４分） 1312322(22)x x x x dx =--+⎰．．．．．．．．（６分）130=．．．．．．（７分） ２．计算二重积分Dσ⎰⎰，其中区域D 由221x y +≤，0x ≥及0y ≥所确定． 解：'DD σθ=．．．．．．．．．．（２分）120d πθ=⎰⎰．．．．．．．．．．．．（４分） 224d ππθ-=⎰．．．．．．（６分）＝(2)8ππ-=．．．．．．．．．（７分）３．设()u f xyz =，(0)0f =，'(1)1f =，且3222()ux y z f xyz x y z ∂'''=∂∂∂，试求u 的表达式．解：22(),()()u u yzf xyz zf xyz xyz f xyz x x y∂∂''''==+∂∂∂3222()3()()uf xyz xyzf xyz x y z f xyz x y z∂''''''=++∂∂∂．．．．．．．．（２分） 因为3222()u x y z f xyz x y z∂'''=∂∂∂，所以()3()0f xyz xyzf xyz '''+=令xyz t =，得3()()0tf t f t '''+=．．．．．．（４分）解之得113311(),(1)1,1,()由得所以f t C t f C f t t --'''====．．．．．（５分）解得22332233(),(0)0,0,()22由得所以f t t C f C f t t =+===．．．．．（６分）即233()()2u f xyz xyz ==．．．．．．．（７分）４．计算曲面积分)I xdydz ydzdx zdxdy ∑=++，其中∑为上半球面z = 解：因为在曲面∑a ，所以()I a xdydz ydzdx zdxdy ∑=++⎰⎰．．．．．．．．．．（１分）补曲面2221{(,,)|0,}x y z z x y a ∑==+≤，1∑取下侧．．．．．．．．．．（２分） 由高斯公式得1()I a xdydz ydzdx zdxdy ∑+∑=++⎰⎰＝342(111)323a dv a a a ππΩ++=⨯=⎰⎰⎰．．（４分） 而111()00a xdydz ydzdx zdxdy azdxdy dxdy ∑∑∑++===⎰⎰⎰⎰⎰⎰．．．．．（６分）故)I xdydz ydzdx zdxdy ∑=++＝114()()2a xdydz ydzdx zdxdy a π∑+∑∑-++=⎰⎰⎰⎰．．．．．．．（７分）。
高等数学下试卷及答案 2复习课程
2009高等数学下试卷及答案2仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2008--2009学年第2学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业一．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。
将答案写在横线上）1．微分方程"2'40y y y ++=的通解为_______________。
（今年不作要求）2．设y z x =，则dz = 。
3．设L 是圆周221x y +=，L 取逆时针方向,则2Lydx xdy +=⎰__________。
4．设0,||3,||1,||2a b c a b c ++====, 则a b b c c a ⋅+⋅+⋅= 。
5. 级数11(1)n n ∞-=-∑是____________级数(填绝对收敛,条件收敛或发散)。
二．单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。
） 1．过点(2,3,1)-且垂直于平面2310x y z +++=的直线方程是（ ）A ．231231x y z -++==B ．231231x y z -+-==-- C ．231231x y z -+-== D ．231231x y z ---==-仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢32．设22()z y f x y =+-，其中()f u 是可微函数,则zy∂=∂ （ ）A ．22'12()yf x y +-B ．22'12()yf x y --C ．2222'1()()x y f x y +--D ．222'1()y f x y -- 3．下列级数中收敛的是（ ）A．1n ∞= B ．11n nn ∞=+∑C ．112(1)n n ∞=+∑ D．1n ∞=4. 设Ｄ：4122≤+≤y x ，f 在D 上连续，则⎰⎰+Dd y x f σ)(22在极坐标系中等于（ ）Ａ. dr r rf ⎰21)(2π Ｂ. dr r rf ⎰212)(2πＣ. ⎰⎰-102202])()([2dr r f r dr r f r π Ｄ. ⎰⎰-12202])()([2dr r rf dr r rf π5.一曲线过点，且在此曲线上任一点),(y x M 的法线斜率ln xk y x=-，则此曲线方程为（ ）A. 21ln 22x y e=B. 21ln 21)2x y e =C. 21ln 212x y x e =+ D. 21ln 2x y e =三．计算题（本大题共6小题，每小题5分， 共30分）1．已知2sin()z y xy x =+，求z x ∂∂，2zx y∂∂∂。
高等数学B-下册-历年考试题目及答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2004学年第2学期 考试科目 高等数学（经济类）考试类型：（闭卷） 考试时间： 120分钟学号 姓名 专业年级一、填空题（每空2分）1．设函数()f x 可微，若()()01,11,1lim2x f x f x x →+--=，则11x y fx==∂∂= 。
2．设(){}22,4D x y xy y =+≤，则(),Df x y dxdy ⎰⎰在极坐标系下的二次积分为。
3．()200sin limx y xy x→→= 。
4．级数1025n n +∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑= 。
5．设2x xy z y e =+，则()1,2z y∂∂= 。
6．320y y y '''-+=的通解为 。
7．设收益函数()260R x x x =-（元），当产量10x =时，其边际收益是 。
8. 差分方程12n n n y y n +-=⋅的通解为 。
9. 函数()sin 2x z e x y -=+在点04π⎛⎫⎪⎝⎭，处的全微分为 。
10. 若级数211p n n∞+=∑发散，则p ≤ 。
二、选择题（每题3分）1. 若lim 0n n u →∞=，则级数1n n u ∞=∑（ ）A 条件收敛B 发散C 不能确定D 收敛2. 设22D 14x y ≤+≤：，则二重积分Ddxdy ⎰⎰=（ ） A π B 4π C 3π D 15π3. 微分方程3xy y '+=满足条件()10y =的特解是（ ）()11313111A B x C D x x x ⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭4. 设点()00，是函数(),f x y 的驻点，则函数(),f x y 在()00，处（ ） A 必有极大值 B 可能有极值，也可能无极值 C 必有极小值 D 必无极值5. 若级数1n n u ∞=∑及1n n v ∞=∑都发散，则（ ）A()1nn n uv ∞=+∑必发散 B ()1n n n u v ∞=∑必发散C()1nn n uv ∞=+∑必发散 D ()221n n n u v ∞=+∑必发散三、计算题（每题8分） 1. ()arctan z xy =，求dz2. 设()22,z f x y xy =-，f 可微，求zx∂∂ 3. 求级数13nnn x n ∞=⋅∑的收敛域 4. 将函数()14f x x=-展开成()2x -的幂级数，并确定收敛区间 5. 求由抛物面225z x y =--与平面1z =所围成的立体的体积。
2010高等数学下试卷及答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2009~2010学年第2学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业一、 单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程'220y y x ---=是（ ）A ．齐次方程B ．可分离变量方程C ．一阶线性方程D ．二阶微分方程2．过点(1,2,--且与直线25421x y z +-==-垂直的平面方程是（ ）A ．4250x y z +-+=B ．4250x y z ++-=C ．42110x y z +-+=D ．42110x y z ++-= 3．设(,)ln()2yf x y x x=+，则(1,1)y f =（ ） A ．0 B ．13 C ．12D ．24．若lim 0n n u →∞=，则级数1n n u ∞=∑（ ）A ．可能收敛，也可能发散B ．一定条件收敛C ．一定收敛D ．一定发散5．下列级数中发散的是（ ）A ．112n n ∞=∑ B ．11(1)n n ∞-=-∑ C ．n ∞= D ．n ∞= 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．微分方程"4'50y y y -+=的通解为______。
（今年不作要求）2．设有向量(4,3,0),(1,2,2)a b ==-，则2a b +=____________________。
3．设有向量(1,1,0),a b ==-，它们的夹角为θ，则c o s θ=____________________。
4．设x z y =，则dz =____________________。
5．设L 是圆周229x y +=（按逆时针方向绕行），则曲线积分2(22)(4)Lxy y dx x x dy -+-⎰的值为____________________。
三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1．已知arctan x z y =，求2,z z x x y∂∂∂∂∂。
2009高等数学下试卷及答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2008--2009学年第2学期 考试科目：高等数学A Ⅱ考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业一．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。
将答案写在横线上） 1．微分方程"2'40y y y ++=的通解为_______________。
（今年不作要求） 2．设y z x =，则dz = 。
3．设L 是圆周221x y +=，L 取逆时针方向,则 2Lydx xdy +=⎰Ñ__________。
4．设0,||3,||1,||2a b c a b c ++====u r, 则a b b c c a ⋅+⋅+⋅= 。
5. 级数1(1)n n ∞-=-∑是____________级数(填绝对收敛,条件收敛或发散)。
二．单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。
）1．过点(2,3,1)-且垂直于平面2310x y z +++=的直线方程是（ ）A ．231231x y z -++==B ．231231x y z -+-==-- C．231231x y z -+-== D ．231231x y z ---==- 2．设22()z y f xy =+-，其中()f u 是可微函数,则zy ∂=∂ （ ）A ．22'12()yf x y +-B ．22'12()yf x y --C ．2222'1()()x y f x y +--D ．222'1()y f x y -- 3．下列级数中收敛的是（ ）A ．1n ∞=B ．11n nn ∞=+∑C ．112(1)n n ∞=+∑D ．n ∞=4. 设Ｄ：4122≤+≤y x ，f 在D 上连续，则⎰⎰+Dd y x f σ)(22在极坐标系中等于（ ）Ａ. dr r rf ⎰21)(2π Ｂ. dr r rf ⎰212)(2πＣ. ⎰⎰-1222])()([2dr r f r dr r f r π Ｄ. ⎰⎰-1222])()([2dr r rf dr r rf π5. 一曲线过点，且在此曲线上任一点),(y x M 的法线斜率ln xk y x=-，则此曲线方程为（ ）A. 21ln 22x y e=B. 21ln 21)2x y e =C. 21ln 2122x y x e =+ D. 21ln 2x y e =三．计算题（本大题共6小题，每小题5分， 共30分）1．已知2sin()z y xy x =+，求z x∂∂，2z x y ∂∂∂。
高等数学下试题及参考答案
华南农业大学期末考试试卷（A卷）2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。
2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。
3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。
4．设yz u x =，则du = 。
5．级数11(1)np n n∞=-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。
二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y+=的通解是（ ）A ．2x y Ce =B ．22x y Ce =C ．22y y e Cx =D ．2y e Cxy = 2．求极限(,)(0,0)limx y →= （ ）A ．14 B ．12- C ．14- D ．123．直线:327x y zL ==-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是（ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤，则Dσ= （） A ．33()2b a π- B ．332()3b a π- C ．334()3b a π- D ．333()2b a π-5．下列级数收敛的是 （ ）A ．11(1)(4)n n n ∞=++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1121n n ∞=-∑ D．1n ∞=三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。
1. 求2. 计算二重积分22Dx y dxdy x y++⎰⎰，其中22{(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。
华南农业大学期末考试试卷
华南农业大学期末考试试卷（卷）学年第二学期考试科目：应用概率统计评卷人：学生姓名：学号：专业年级：成绩：一、填空题（每小题分，本题共分）、设随机变量，则。
（已知标准正态分布函数值：）、设随机变量服从泊松分布且具有方差，那么的分布律为。
、设一维连续型随机变量的概率密度函数为，则随机变量的概率密度函数为。
、以下是利用对变量和的线性相关性作回归分析所得结果，由此判定回归方程是。
、设总体是它的一个样本，则服从分布。
、设正态总体的均方差，该总体的一个容量为的样本的样本均值，则总体均值的置信水平为的置信区间是。
、在双因素有交互作用的方差分析中，设因素有个水平，因素有个水平，每个处理作两次重复试验，则试验误差平方和的自由度。
、设关于的线性回归方程为，则。
（）二、单项选择题（每小题分，本题共分）、设则。
、设是相互独立的两个随机变量，则。
、二维随机变量的分布函数。
、多个相互独立的服从正态分布的随机变量的线性组合服从。
二项分布泊松分布均匀分布正态分布、以下哪一个命令用于作回归分析。
、以下哪一个命令用于求定积分。
、设总体，对检验水平，欲检验方差由容量为的一个样本计算出来的统计量的观察值应与作比较。
、参数的点估计量的无偏性指的是。
、设是总体的一个样本，则总体方差的矩法估计量是。
三、计算题（每小题分，本题共分）、在次品率为的一批产品中任取件，求其中至少有两件次品的概率。
、以下是某农作物对三种土壤，四种肥料，每一个处理作三次重复试验后所得产量的方差分析表的部分数据，完成方差分析表并写出分析结果。
方差来源平方和自由度均方和值临界值土壤因素肥料因素误差总和（参考临界值：）。
2008年高数下册期末考试卷答参考案2022
华南农业大学期末考试试卷（A ）卷2007学年第2学期高等数学（工科） 考试时间：120分钟一.填空题（每题3分，共15分）1.=+-→xyxyy x 11lim )0,0(),(_____ 解答：令t xy =，则)0,0(),(→y x 时，0→t ，从而21121lim 11lim 11lim00)0,0(),(-=+-=+-=+-→→→t t t xy xy t t y x 2.设y x y z xsin ++=，则=∂∂∂yx z 2_____ 解答：1ln +=∂∂y y x z x，())1ln (ln 1ln 1112+=+=+∂∂=∂∂∂---y x y y y xy y y yy x z x x x x 3.二重积分⎰⎰≤++122)ln(y x dxdy y x 的符号为_____ 解答：当1≤+y x 时，1222≤++xy y x ，从而122≤+y x ，故积分范围内有0)l n (22<+y x 成立，由于被积函数在积分范围内为负，故积分为负.4.微分方程0106///=+-y y y 的通解为_____解答：这是二阶常系数齐次线性微分方程，用特征方程法解. 特征方程为01062=+-r r ，解得i r ±=32,1 从而原微分方程的通解为)sin cos (213x C x C e y x+=5.设)(x f 为周期为π2的周期函数，它在),[ππ-的表达式为⎩⎨⎧<≤<≤--=ππx x x x f 001)(，若)(x f 的傅立叶级数的和函数为)(x s ，则=+)2()0(πs s _____解答：由于)(x f 在0=x 处间断，在2π=x 处连续，故根据Dirichlet 收敛定理，[][]210)1(21)0()0(21)0(-=+-=++-=f f s ，222πππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛f s ，从而212212)0(-=+-=⎪⎭⎫⎝⎛+πππs s 二.选择题（每题3分，共15分）1.二次积分⎰⎰-110),(xdy y x f dx等于（ ）A. ⎰⎰-1010),(xdx y x f dy B. ⎰⎰-x dx y x f dy 101),(C. ⎰⎰-ydx y x f dy 1010),( D. ⎰⎰-1010),(ydx y x f dy解答：从题目条件与候选项分析，本题考察的知识点是交换积分次序 该二重积分的积分区域用不等式表示为x y x D -≤≤≤≤10,10: 换为Y 型区域的不等式表示y x y D -≤≤≤≤10,10: 从而表示为二次积分为⎰⎰-1010),(ydx y x f dy选D2.设0,1:222≥≤++Ωz z y x ，则三重积分=⎰⎰⎰ΩzdV （ ）A.⎰⎰⎰2020103cos sin 2ππϕϕϕθdr r d d B.⎰⎰⎰20102sin ππϕϕθdr r d dC.⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2020103cos sin dr r d d D.⎰⎰⎰ππϕϕϕθ200103cos sin dr r d d解答：0=z 在球面坐标中表示为2πϕ=，从而20πϕ≤≤Ω在xOy 面上的投影为122≤+y x ，该投影区域对应θ的范围πθ20≤≤Ω的表面1222=++z y x 在球面坐标中的方程为1=r从而Ω用不等式表示为10,20,20≤≤≤≤≤≤r πθπϕ选C3.下列数项级数中为条件收敛的级数是（ ）A. ∑∞=+-11)1(n nn n B. ∑∞=-11sin )1(n nnC. ∑∞=-131)1(n n n D. ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-16sin )1(n nn π解答：由于一般项1)1(+-n n n不趋于0，故级数∑∞=+-11)1(n nn n 发散，A 错由于∑∑∞=∞==-131311)1(n n nn n 收敛，故级数∑∞=-131)1(n n n 绝对收敛，C 错 由于∑∑∞=∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛-11216sin )1(n n n nn π收敛，故级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-16sin )1(n nn π绝对收敛，D 错 考察级数∑∑∞=∞==-111sin 1sin )1(n n n n n ，由于111sinlim =∞→nn n ，而∑∞=11n n发散，故∑∞=-11sin )1(n n n 发散；∑∞=-11sin )1(n nn为交错级数，满足收敛条件，故该级数条件收敛 选B4.设有界闭区域D 由分段光滑曲线L 所围成，L 取正向，函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具有一阶连续偏导数，则=+⎰LQdy Pdx （ ）A.⎰⎰∂∂-∂∂D dxdy x Q y P )( B.⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy x Py Q )( C. ⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy y Q x P )(D.⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy y Px Q )( 解答：由格林公式，选D5.下列方程中，设21,y y 是它的解，可以推知21y y +也是它的解的方程是（ ）A.0)()(/=++x q y x p yB.0)()(///=++y x q y x p y C.)()()(///x f y x q y x p y =++ D.0)()(///=++x q y x p y解答：若21,y y 是0)()(///=++y x q y x p y 的解，则00])())(()[(])())(()[())(())(()(2/2//21/1//121/21//21=+=+++++=+++++y x q y x p y y x q y x p y y y x q y y x p y y故21y y +是0)()(///=++y x q y x p y 的解 选B三.求解下列问题（每题7分，共49分）1.已知向量k j i k j i -+=--=2,23βα，求)()(βααβα⨯-⋅解答：3)1()2(2)1(13=-⋅-+⋅-+⋅=⋅βα，k j i 639)(--=⋅αβαk j i k j i 75121213++=---=⨯βα从而k j i k j i k j i 1344)75()639()()(--=++---=⨯-⋅βααβα2.设函数),(y x z z =由方程20084222=-++z z y x 确定，求dz解答：方程两边微分得04222=-++dz zdz ydy xdx ，从而22x y dz dx dy z z=+-- 3.已知小山的高度为2225y x z --=，那么在)43,1,23(--处登山，最陡的方向是多少？解答：在)43,1,23(--处登山，最陡方向是2225y x z --=在)1,23(--的梯度方向． 由于3)2()1,23()1,23(=-=∂∂----x xz ，4)4()1,23()1,23(=-=∂∂----y yz故)4,3()1,23(=--gradz 4.计算二次积分⎰⎰-1012x y dy edx解答：改变积分次序为⎪⎭⎫ ⎝⎛-===⎰⎰⎰⎰⎰---e dy yedx edy dy edx y yy x y 1121110112225.设∑为球面2222a z y x =++)0(>a 被平面)0(a h h z <<=截得的顶部，计算⎰⎰∑zdS解答：∑在xOy 面上的投影区域xy D 为圆形闭区域{}2222),(ha y x y x -≤+而222222,yx a x x z y x a x x z ---=∂∂---=∂∂，故222221yx a ay z x z --=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+所以)(22222222h a a adxdy dxdy y x a a y x a zdS xyxyD D -==----=⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑π6.求级数∑∞=++--11212)2()1(n n nn x 的收敛域解答：令t x =-2，考虑级数∑∞=++-11212)1(n n nn t ，2123211232lim lim t n t n t u u n n n n n n =++=++∞→+∞→ 当12<t 即1<t 时，亦即31<<x 时级数绝对收敛； 当12>t 即1<t ，亦即3>x 或1<x 时，级数发散当1=x 时，级数成为∑∞=++-11121)1(n n n ，该交错级数收敛； 当3=x 时，级数成为∑∞=+-1121)1(n nn ，该交错级数收敛； 所以原级数的收敛域为[1，3].7.求解微分方程01)ln 1(2=--+dx dy y x x解答：变量分离为dx xxy dy ln 112+=-，两边积分得C x y ++=2)ln 1(21arcsin四、（7分）用钢板做体积为8立方米的有盖长方体水箱，最少用料是多少平方米？解答：设水箱的长为x 米，宽为y 米，则其高应为xy8米 此水箱所用材料的面积为 )88(2)88(2yx xy xy x xy y xy S ++=⋅+⋅+= 令0)8(22=-=x y S x ，0)8(22=-=yx S y ，得2==y x 即当水箱的长为2米、宽为2米、高为2米时，所用的材料最省，用料24平方米..五.（6分）计算⎰+L xdy ydx ，其中L 是从点)0,(a A -沿上半圆周)0(222>=+a a y x 到点)0,(a B 的一段弧解答：L 的参数方程为θθsin ,cos a y a x ==，θ从π到0 所以02cos 02==+⎰⎰πθθd a xdy ydx L六、（8分）计算曲面积分⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 333，其中∑为上半球面)0(222>--=a y x a z 的上侧解答：添加辅助曲面)(,0:2221a y x z ≤+=∑，取下侧，则由高斯公式⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑+∑++=++dxdydz z y x dxdy z dzdx y dydz x )(32223331520202256sin 3a dr r r d d aπϕϕθππ=⋅=⎰⎰⎰而01333=++⎰⎰∑dxdy z dzdx y dydz x 故5333533356561a dxdy z dzdx y dydz x a dxdy z dzdx y dydz x ππ=++-=++⎰⎰⎰⎰∑∑。
高等数学下试题及参考答案
华南农业大学期末考试试卷〔A 卷〕2021~2021 学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：〔闭卷〕考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业〔估计不考或考的可能性比拟小的题目已删除〕一、填空题〔本大题共5小题，每题3分，共15分〕 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。
2. 向量(,1,5)a λ=与向量(2,7,1)b =-垂直，则λ= 。
3．直线223314x y z -+-==-与平面3x y z ++=的夹角为 。
4．设2y z x =，则zy∂=∂ 。
5．当参数p 满足条件 时，级数111p n n∞+=∑收敛。
二、单项选择题〔本大题共5小题，每题3分，共15分〕1．微分方程2'cos y y x =的通解是 〔 〕A ．1sin y x C =-+ B ．1sin y x C =+C ．1sin y C x =-+D ．1sin y C x=+2．求极限(,)(0,2)sin()limx y xy x→= 〔 〕A ．1B ．2C ．不存在D ．y3．通过y 轴和点(3,2,1)--的平面方程为 〔 〕A ．30x y +=B ．30x z +=C ．30x z +=D ．30x y +=4．D 是由曲线221x y += 围成的闭区域，则3Ddxdy =⎰⎰ 〔 〕A ．πB ．3πC ．0D ．2π 5．级数2010(sin10)n n ∞=∑ 〔 〕A ．发散B ．条件收敛C ．绝对收敛D ．不能判定三、计算题〔本大题共7小题，每题7分，共49分〕'yy x y=+的通解。
1(1)nn n n x∞=+∑的和函数。
3．设由方程ln y zz x=确定隐函数(,)z z x y =，求全微分dz 。
4.求曲线积分3()Lx y ds +⎰，其中L 为连接点(1,0)及(0,1)的直线段。
5.计算22xy De dxdy --⎰⎰，其中222{(,)|}D x y x y a =+≤。
华南农业大学珠江学院期末高数考试A卷和答案
华南农业大学珠江学院期末考试试卷2020学年度下学期 考试科目：高等数学考试年级：信工系08本科_ 考试类型：（闭卷）A 卷 考试时刻：120 分钟 学号 姓名 年级专业一、填空题（本大题共8小题，每题2分，共16分）1.微分方程2323230d y d y dx x dx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的阶数为 .2.已知{}1,2,2a =，{}b ,,=λ-21，且b a ⊥，那么=λ .3.已知函数2x yz e=, 那么 1 2x y dz=== _ .4.已知ln 1(,)exdx f x y dy ⎰⎰, 那么改变积分顺序后，二次积分变成 _ .5.已知三重积分(,,),I f x y z dv Ω=Ω⎰⎰⎰: 由旋转抛物面22z xy =+ 与平面1z =围成，将其化成三次积分为 _ _ .6.曲面222236x y z ++=在点（1，1，1）处的法线方程为 ________________________7.若是级数1nn u∞=∑收敛，那么必然知足的条件是lim n n u →∞= _ .8.已知 L 为连接（1, 0）及( 0 ,1 )两点的直线段，那么积分 ()Lx y ds +⎰= _ .二、单项选择题（本大题共6小题，每题3分，共18分）在每题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多项选择或未选均无分。
9.二元函数(,)z f x y =在00,)x y 点（处可微是偏导数 00 00,),,)x y f x y f x y （（存在的（ ）. A. 必要条件 ; B. 充要条件 ; C. 充分条件 ; D. 既非充分又非必要条件.10.方程22212y x z -+=所表示的曲面是（ ）. A. 双曲抛物面 ; B.椭圆锥面 ; C. 双叶旋转双曲面 ; D. 单叶旋转双曲面 . 11.点（0，0）是函数z xy =的（ ）.A. 极值点;B. 驻点 ;C. 最大值点 ;D. 不持续点 . 12.设D 由圆22(1)1x y -+= 所围成,那么(,)Df x y dxdy ⎰⎰=（ ）A. 2cos 0(cos ,sin )d f d πθθρθρθρρ⎰⎰; B.2cos 2 02(cos ,sin )d f d πθθρθρθρρ⎰⎰;C.2cos 22(cos ,sin )d f d πθπθρθρθρρ-⎰⎰; D.22 0(cos ,sin )d f d πθρθρθρρ⎰⎰ .13.已知L 为从点（1，1）到点（4，2）的直线段，那么()()Lx y dx y x dy ++-⎰值为（ ）.A. 10 ;B. 11 ;C. 8 ;D. 9 . 14.以下级数中绝对收敛的是（ ）.A. 1(1)nn n ∞=-∑ ; B.1!3n n n ∞=∑ ; C. 121(1)n n n -∞=-∑ ;D. 1(1)nn ∞=-∑ . 三、计算题（本大题共7小题，每题7分，共49分）15.求微分方程440y y y '''-+=知足初始条件01,4x x y y =='==的特解.16.过点（2，0，-3）且与直线 247035210x y z x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩垂直的平面方程.17.设22(,)y z f x y x =-，f 具有一阶持续编导数,求z z x y∂∂∂∂及.18.函数(,)z z x y = 由方程zx y z e +-=所确信，求2z zx x y∂∂∂∂∂及.19.求22Dx d yσ⎰⎰，其中D 是由直线2,x y x ==与双曲线1xy =所围成的闭区域.20.计算222(2sin )cos L y xy x dx x dy -+⎰ ，其中L 为椭圆22221x y a b+=的右半部份，取逆时针方向.21.求1(1)321n n nn x n ∞=--∑ 的收敛半径及收敛域.四、应用题（本大题共1题，共12分）22.在曲面22()1x y z --=上求出点的坐标，使其到原点的距离最短，并求出此最短距离.五、证明题（本大题共1题，共5分）23.设(()),u x y ϕψ=+其中,ϕψ具有二阶导数，证明：222u u u u x x y y x ∂∂∂∂⋅=⋅∂∂∂∂∂ .A 卷答案及评分标准一、填空题（本大题共8小题，每题2分，共16分） 1. 3； 2. 0； 3. 2(4)e dx dy +； 4.1ee (,)ydy f x y dx ⎰⎰；5.2211-1(,,)x y dx f x y z dz +⎰⎰⎰； 6.111123x y z ---==； 7. 0； 8..二、单项选择题（本大题共6小题，每题3分，共18分）9. C; ; 11. B; 12. C; 13. B; 14. C.三、计算题（本大题共7小题，每题7分，共49分） 15.解：所给微分方程的特点方程为 2440r r -+=解得两相等实根122r r == …………2分故所给微分方程的通解为：212()xy C C x e =+将初始条件01,x y==代入通解，得11C =，将11C =再代回通解，得22(1)xy C x e =+ …………5分 对上式求导，得2222(1)2x x y C e C x e '=++再将初始条件04x y ='=代入上式，得22C =，将其代回通解中，得特解：2(12)xy x e =+ …………7分 16. 解：依照题意，所求平面的法向量n 可取直线的方向向量s ，即 n = s =124352i j k-- …………3分{}16,14,11=- …………5分由已知点（2，0，-3）（平面点法式方程），所求平面方程为：16(2)14(0)11(3)0x y z --+-++=即161411650x y z ---= …………7分17.解：令22,yu x y v x=-=…………1分2z z z z z 2z z z 1z 2u v x u x v xy x u x vz u v y u y v yy u x v∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂∂∂=-∂∂∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂∂∂=-+∂∂ …………4分…………7分 18.解：(可用公式法, 也能够直接方程两边同时对自变量求偏导方式) 方程两边同时对x 求偏导,z z 1z 11z ze x xx e ∂∂-=∂∂∂=∂+ …………2分…………3分方程两边同时对y 求偏导,z z 1z 11z ze y yy e ∂∂-=∂∂∂=∂+因此 …………5分23z z 1()()1(1)zzz z x y y x y eee ∂∂∂∂==∂∂∂∂∂+=-+…………7分19. 解：由题意可知： D=1(,)12,x y x y x x ⎧⎫≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭…………2分因此：222 x 122 1 221 1 23 122411()()19()244x Dx xx x d dx dyy y x dxyx x dxx x σ==-=-+=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ …………5分…………7分20. 解：设1L 是从点（0,)b -到点(0,b)的有向直线段，由1L 与L 所围成的闭区域为D ， 那么由L 与1L -组成的有向闭曲线是D 的正向边界曲线。
06高数下(含答案)2022
2006（2）华南农业大学工科高数期末考试试卷（A ）卷 一.填空题（每题3分，共15分）1.设),34,2(),1,2,3(k b a ==→→，若→→b a //，则=k _____2.设2),(y xy y x y x f -=-+，则=),(y x f _____3.将三重积分⎰⎰⎰------++RR x R xR y x R dz z y x dy dx 22222220222化为球面坐标的累次积分为_____4.微分方程054///=+-y y y 的通解为_____5.幂级数∑∞=--112)1(n nn nx 的收敛半径=R _____ 二.选择题（每题3分，共15分）1.过点)4,3,2(-且垂直于平面043=+-+z y x 的直线方程是（ ） A. 141332+=--=--z y x B. 241332-=--=-z y x C. 141332--=-=-z y x D. 141332-=-=--z y x 2.设D 是区域01,10≤≤-≤≤y x ，则=⎰⎰Dxydxdy xe （ ） A. 0 B. e C. e 1 D. e11+3.微分方程ydy x dx y dy x 222-=是（ ）A.可分离变量方程B.一阶线性方程C.齐次方程D.二阶线性方程4.设L 是区域32,21:≤≤≤≤y x D 的正向边界，则=-⎰Lydx xdy 2（ ）A.1B.2C.3D.4 5.下列级数中为条件收敛的级数是（ ）A.∑∞=+-11)1(n n n n B.∑∞=-1)1(n n n C.∑∞=-11)1(n n n D.∑∞=-121)1(n n n 三.计算题（每题7分，共49分）1.判别级数∑∞=+1231n n 的敛散性 2.设z e z y x =-+2，求y z x z ∂∂∂∂, 3.计算二次积分⎰⎰-+=1010222)sin(y dx y x dy I4.求二重积分⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++D y x dxdy xey )(21221的值，其中D 是由直线1,1,=-==x y x y 围成的平面区域5.求微分方程01122=--+dy yx dx 的通解6.试将函数x 3展开成x 的幂级数，并求其收敛域7.计算曲面积分⎰⎰∑+dxdz x 2)1(，:∑半球面2222R z y x =++)0(≥y 的外侧 四.解答题（每题7分，共21分）1.设⎪⎭⎫⎝⎛=23x y f x z ，其中f 为可微函数，证明z y z yx z x 32=∂∂+∂∂ 2.在所有对角线为d 的长方体中，求最大体积的长方体的各边之长 3.设函数)(x ϕ连续可微，且21)0(=ϕ，试求)(x ϕ，使曲线积分[]⎰-+Lxdy x ydx x e)()(ϕϕ与路径无关华南农业大学期末考试试卷（A ）卷2006学年第2学期高等数学（工科） 考试时间：120分钟一.填空题（每题3分，共15分）1.设),34,2(),1,2,3(k b a ==→→，若→→b a //，则=k _____解答：32123432//=⇔==⇔k k b a2.设2),(y xy y x y x f -=-+，则=),(y x f _____解答：令v y x u y x =-=+,，则2,2vu y v u x -=+=，从而 2)(),(v u v y y x v u f -=-=，即2),(2y xy y x f -=3.将三重积分⎰⎰⎰------++RR x R xR y x R dz z y x dy dx 22222220222化为球面坐标的累次积分为_____解答：积分区域为以原点为球心，半径为R 的上半球面与xOy 面所围区域，在球面坐标下，区域可表示为R r ≤≤≤≤≤≤0,20,20πθπϕ，所以化为累次积分⎰⎰⎰2203sin ππϕθϕRdr r d d4.微分方程054///=+-y y y 的通解为_____解答：特征方程为0542=+-r r 解得i r ±=22,1 因此通解为)sin cos (212x C x C e y x+=5.幂级数∑∞=--112)1(n nn nx 的收敛半径=R _____解答：121)1()1(21)1(lim 1=-+--∞→nn n nn ，因此收敛半径1=R二.选择题（每题3分，共15分）1.过点)4,3,2(-且垂直于平面043=+-+z y x 的直线方程是（ ）A. 141332+=--=--z y x B. 241332-=--=-z y x C. 141332--=-=-z y x D. 141332-=-=--z y x 解答：直线的方向向量为)1,1,3(-，因此点向式方程为141332-+=-=-z y x 选A2.设D 是区域01,10≤≤-≤≤y x ，则=⎰⎰Dxydxdy xe （ ）A.0B. eC. e 1D. e11+解答：从被积函数角度考虑，将D 看作X 型区域⎰⎰⎰=-=--101011)1(e dx e dy xe dx xxy选C3.微分方程ydy x dx y dy x 222-=是（ ）A.可分离变量方程B.一阶线性方程C.齐次方程D.二阶线性方程解答：选A4.设L 是区域32,21:≤≤≤≤y x D 的正向边界，则=-⎰Lydx xdy 2（ ）A.1B.2C.3D.4解答：由格林公式332==-⎰⎰⎰DLdxdy ydx xdy选C5.下列级数中为条件收敛的级数是（ ）A. ∑∞=+-11)1(n nn n B. ∑∞=-1)1(n nn C. ∑∞=-11)1(n nn D. ∑∞=-121)1(n n n解答：选项A 一般项不趋于0，因此不收敛；选项B 一般项不趋于0，也不收敛；选项D 绝对收敛 选C三.计算题（每题7分，共49分） 1.判别级数∑∞=+1231n n 的敛散性 解答：11231lim 232lim 21231lim =+=+=+∞→∞→∞→nn n n n n n n ，因此该级数与等比∑∞=121n n 同敛散性，而级数∑∞=121n n收敛，因此原级数收敛.2.设ze z y x =-+2，求yzx z ∂∂∂∂,解答：两边微分得dz e dz ydy dx z=-+2 整理得dy eydx e dz zz +++=1211 因此zz e y y z e x z +=∂∂+=∂∂12,11 3.计算二次积分⎰⎰-+=110222)sin(y dx y x dy I解答：积分区域为以原点为圆心半径为1的圆在第一象限的部分。
华南农业大学期末考试试卷参考答案
华南农业大学期末考试试卷参考答案（ A 卷 ） 2008－2009学年第1学期 考试科目：概率论考试类型：（闭卷） 考试时间： 120 分钟一、填空题（每空3分，共24分）1. 1/2 ， 5/27(0.185) ;2. 1 ；3. 2 ， 22(0.2707)e -；4. 3/5 ；5. X 的边缘分布律为：Y 的分布律为：二、选择题（每题3分，本题共15分）1～5：C 、D 、A 、C 、B ；三、解答题（13分）解：（1）因为随机变量X ，Y 相互独立，……………………………………………………1分 所以它们的联合密度函数为：42,02,0(,)()()0,y X Y e x y f x y f x f y -⎧≤≤>==⎨⎩其他………………………………………2分 （2）{}(,)y x P Y X f x y dxdy <<=⎰⎰24002x y e dydx -=⎰⎰ ……………………………………………………1分 224400011()(1)22y x x e dx e dx --=-=-⎰⎰ …………………………………1分 42801171()2488x x e e --=+=+ …………………………………………1分 ()8178e -=+ …………………………………………………………1分 （3）20112EX xdx ==⎰； ()2223200114263E X x dx x ===⎰； 所以()()2241133DX E X EX =-=-=；………………………………………………2分4444000011444y y y y EY y e dy ye e dy e ∞∞--∞--∞=⋅=-+=-=⎰⎰ 22424400024216y y y EY y e dy y e ye dy ∞∞--∞-=⋅=-+=⎰⎰ ()()22221116416DY E YEY ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ ………………………………………………2分 所以 1119()31648D X Y +=+= …………………………………………………………………2分四、简答题（12分）解：用B 表示目标被击毁这一事件，123,,A A A 分别表示在距目标250米，200米，150米处击毁目标这些事件， ………………………………………………1分 则由题意知：()()()1230.1,0.7,0.2P A P A P A ===； …………………………………………1分 ()()()1230.05,0.1,0.2P B A P B A P B A === ……………………………………2分（1） 由全概率公式有：()31()()0.10.050.70.10.20.20.115i i i P B P A P B A ===⨯+⨯+⨯=∑…………3分即目标被击毁的概率为0.115；………………………………………………………1分（2） 由Bayes 公式有：()()()1110.10.0510.0435()0.11523P A P B A P A B P B ⨯===≈…………………………3分 即若已知目标被击毁的条件下，击毁目标的炮弹是由距离目标250米处击出的概率为0.0435。
华农-11-12年第二学期高等数学下试题及参考答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2011~2012学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．设有向量(1,2,2)a =-，(2,1,2)b =-，则数量积()()a b a b -⋅+ 。
2.曲面22z x xy y =++在点(1,1,3)M 处的切平面方程是 。
3．设u =，则(1,1,1)u =grad 。
4．幂级数0()3n n x∞=∑的收敛半径R = 。
35．（此题新大纲不做要求，已删除）二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．已知(1,1,1)A ，(2,2,1)B ，(2,1,2)C ，则AB 与AC 的夹角θ是（B ）A ．4π B ．3π C ．6π D ．2π2．函数2z xy =在点(1,2)处的全微分是 （ D ）A ．8B ．4dx dy +C ．22y dx xydy +D ．4()dx dy + 3．设L 为圆周222x y a +=，取逆时针方向，则2222()Lx ydx x xy dy ++=⎰（ B ）A ．2a πB ．42a π C ．2πD ．04．下列级数中收敛的是 （ C ）A．n ∞= B．1n ∞= C ．114n n ∞=∑ D ．114n n∞=∑5．微分方程12x y e-'=的通解是 （ C ）A ．12x y eC -=+ B ．12x y e C =+C ．122x y e C -=-+ D ．12x y Ce -=三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1.设2,,xs f x xyz y⎛⎫= ⎪⎝⎭，且f 具有一阶连续偏导数，求s x ∂∂，s y ∂∂，s z∂∂. 2. 设由方程22240x y z z +++=确定隐函数(,)z z x y =，求全微分dz 。
08学年第二学期大学数学2试题(A卷)
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2008学年第 2 学期 考试科目： 大学数学2 考试类型： 闭卷 考试 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业参考数据：(1)0.8413Φ= (4)0.99996Φ= (3)0.99856Φ= 96.1)(025.0=∞t 65.1)(05.0=∞t 14.11)4(2025.0=χ 8.12)5(2025.0=χ 48.0)4(2975.0=χ831.0)5(2975.0=χ一、选择题[把所选的代码A 、B 、C 、D 之一填入( )内](每小题3分，共15分) 1．设一个盒子中有5件产品，其中有3件是正品，2件次品，从盒子中任取两件，则取出的两件产品中至少有一件次品的概率为（ ）。
（A ）103 （B ）105 （C ）107（D ）512．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则)1(>X P 的值为（）。
（A ）λλ-e（B ）λ-e（C ）λλ-e k k!（D ）λλλ----e e 13．设n XX X ,,,21 是取自总体),(2σμN 的样本，且11~()ni i X X X n ==∑，则。
2().(,)A N n n μσ , 2().(,)B N μσ , 2().(,)C N n μσ , 2().(,)D N n σμ4．设12,,,n X X X 是来自正态总体),(2σμN X （）。
（A ）)1,0(N （B ）),(2σμN（C ）)(n t（D ）)1(-n t5. 设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)31,8(~B Y ，且Y X ,相互独立，则)43(--Y X D =（ ）。
（A ）13- （B ）15 （C ）19 （D ）23二、填空题（每小题3分，共15分）6．设事件B A ,的概率分别为31与81)(,21=AB P ，则)(A B P = 。
7. 随机变量2~(,)X N μσ，则(3)P X μσ-<=____________。
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装订线华南农业大学期末考试试卷（A卷）2009~2010学年第2学期考试科目：高等数学AⅡ考试类型：（闭卷）考试考试时间：120 分钟学号姓名年级专业题号一二三四总分得分评阅人一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．微分方程'220y y x---=是（）A．齐次方程B．可分离变量方程C．一阶线性方程D．二阶微分方程2．过点(1,2,--且与直线25421x y z+-==-垂直的平面方程是（）A．4250x y z+-+=B．4250x y z++-= C．42110x y z+-+=D．42110x y z++-=3．设(,)ln()2yf x y xx=+，则(1,1)yf=（）A．0 B．13C．12D．24．若lim0nnu→∞=，则级数1nnu∞=∑（）A．可能收敛，也可能发散B．一定条件收敛C．一定收敛D．一定发散5．下列级数中发散的是（）A ．112nn∞=∑B．111(1)nn n∞-=-∑C．111n n n∞=+∑D．311(1)n n n∞=+∑得分装订线二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．微分方程"4'50y y y-+=的通解为____________________。
2．设有向量(4,3,0),(1,2,2)a b==-，则2a b+=____________________。
3．设有向量(1,1,0),a b==-，它们的夹角为θ，则c o sθ=____________________。
4．设xz y=，则dz=____________________。
5．设L是圆周229x y+=（按逆时针方向绕行），则曲线积分2(22)(4)Lxy y dx x x dy-+-⎰ 的值为____________________。
三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1．已知arctanxzy=，求2,z zx x y∂∂∂∂∂。
2．求微分方程()()0x y x x y ye e dx e e dy++-++=的通解。
3．求微分方程'cosyy x xx-=满足初始条件2|2xyππ==-的特解。
得分得分装订线4．判定级数14!nnnnn∞=⋅∑的敛散性。
5．计算二重积分Dxdxdy⎰⎰，其中D是由直线y x=和圆周22(1)1x y+-=所围成且在直线y x=下方的闭区域。
6．设区域D由,2,2y x y x xπ===围成，sin()1DA x y dxdy+=⎰⎰，其中A为常数，试求A的值。
7．计算曲线积分Lxydx⎰ ，其中L为圆周222()(0)x a y a a-+=>及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）。
装订线四、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）1．要做一个具有体积为V的有盖圆柱形铁桶，问当高H与底半径R之比HR的值为多少时用料最省？2．设对任意的x和y,有224f fx y⎛⎫∂∂⎛⎫+=⎪⎪∂∂⎝⎭⎝⎭,用变量代换221()2x uvy u v=⎧⎪⎨=-⎪⎩将(,)f x y变换成(,)g u v,试求满足2222g ga b u vu v∂∂⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭中的常数a和b。
3. 计已知()F x是()f x的一个原函数,而()F x是微分方程'xxy y e+=满足初始条件lim()1xy x→=的解,试将()f x展开成x的幂级数,并求1(1)!nnn∞=+∑。
得分1.5CM装订线华南农业大学期末考试试卷（A卷）2009~2010学年第2学期考试科目：高等数学AⅡ参考答案一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．C 2、C 3、B 4、A 5、D二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．212(cos sin)xy e C x C x=+2．(6,1,4)-3．124．1lnx xy ydx xy dy-+5．18π-三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1．22211()z yyxx x yy∂==∂++……………………………3分2222222222222()()z x y y x yx y x y x y∂+--==∂∂++……………………7分2．分离变量11y xy xe edy dxe e=--+…………………………………….4分积分ln(1)ln(1)lny xe e C-=-++…………………………….6分通解(1)(1)y xe e C-+=………………………………………….7分3．原方程化为1'cosy y x xx-=……………………………………………….2分11(cos)(cos)dx dxx xy e x x e dx Cx dx C-⎰⎰=⋅⋅+=+⎰⎰(sin)x x C=+……………………………………………5分由条件: (sin)222Cπππ-=+得: 2C=-…………………………………………………6分装订线特解为: (sin2)y x x=-………………………………….7分4．111(1)4!lim lim4(1)!n nnn nn nnu n nu n n+++→∞→∞+=⋅+…………………….5分11lim(1)144nnen→∞=+=<所以原级数收敛……………………………………………7分5．2sin400cosI d dπθθθρρ=⋅⎰⎰…………………………….5分3444821sin cos sin336dππθθθθ===⎰……………………..7分6．22sin()sin()xxDA x y dxdy A dx x y dyπ+=+⎰⎰⎰⎰………5分22200sin2sin3(cos2cos3)()233x x AA x x dx Aπππ=-=-=⎰由13A=, 得3A=……………………………………….7分7．2cos200cosaLDxydx xdxdy d dπθθρθρρ=-=-⋅⎰⎰⎰⎰⎰…..5分34328cos32a d aππθθ=-=-⎰……………………………….7分四、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）1、222A RH Rππ=+令2222()F RH R R H Vππλπ=++-………………….3分22242020RHF H R RHF R RR H Vπππλππλπ=++=⎧⎪=+=⎨⎪=⎩即22020H R RHRR H Vλλπ++=⎧⎪+=⎨⎪=⎩………………………………………..5分得: 2R H=, 即2HR=…………………………………7分1.5CM装订线2、由题意221(,)(,())2g u v f uv u v=-……………………………..1分所以''12gf v f uu∂=⋅+⋅∂，''12()gf u f vv∂=⋅+⋅-∂……………………………..3分因此有2222'222'2''121122()()()()2()g ga bu vav bu f au bv f uv a b f fu v∂∂⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭=-+-++=+………………..5分利用'2'212()()4f f+=，即'2'221()4()f f=-得22'222'2''121122'2''2211122()()()()2()()()()2()44av bu f au bv f uv a b f fa b v u f a b uvf f au bvu v-+-++=+-+++-=+由此得14a=，14b=-……………………………………………..7分3、由'xxy y e+=得xe Cyx+=………………………………..2分根据lim()1xy x→=，有1C=-，故1()xeF xx-=……………….3分于是''1()(())()xef x F xx-==………………………………..4分而111!x nne xx n-∞=-=∑……………………………………………..5分故1''11()(())()(1)!x nne nxf x F xx n-∞=-===+∑……………………..6分于是'111[()]1(1)!xxnn en x∞==-==+∑…………………………..7分。