【附20套高考模拟试题】2020届华中师范大学第一附属中学高考数学模拟试卷含答案
【附20套高考模拟试题】2020届湖北省华师一附中高考数学模拟试卷含答案
2020届湖北省华师一附中高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知定义在R 上的函数()21()x mf x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),af 2b (log 5),c(2)f f m ,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<2．榫卯（sun mao ）是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式. 我国的北京紫禁城，山西悬空寺，福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构. 图中网格小正方形的边长为1，粗实线画出的是一种榫卯构件中榫的三视图，则其体积与表面积分别为()A ．24523452ππ++，B ．24523654，ππ++C ．24543654ππ++，D ．24543452ππ++，3．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足11F AO AOF ∠=∠（O 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．3y x =C ．2y x =D ．y x =±4．已知底面边长为12 ）A ．323πB ．4πC ．2πD ．43π5．若二项式3nx x ⎛⎝的展开式中第m 项为常数项，则,m n 应满足（ ）A ．()341n m =+B ．()431n m =+C ．()341n m =-D ．()431n m =-6．若数列{}n a 满足11a =，22a =，21(3)n n n a a a n --=>，记数列{}n a 的前n 项积为n T ，则下列说法错误的是（ ） A ．n T 无最大值 B ．na 有最大值 C ．20194T = D ．20192a =7．当5m =，2n =时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )A ．20B ．42C ．60D ．1808．有两个等差数列{}{},n n a b ，若1212213n n a a a n b b b n ++++=++++，则33a b =（ ）A ．76B ．118C ．139D ．899．在ABC ∆中，2CM MB =，0AN CN +=，则（ ） A ．2136MN AB AC =+B ．2736MN AB AC =+C ．1263MN AC AB-= D ．7263MN AC AB-=10．已知一个四棱锥的正视图、侧视图如图所示，其底面梯形的斜二测画法的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形的面积为2，则该四棱锥的体积是（ ）A ．4B ．83C ．163 D ．42311．设函数'()f x 是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,1)(0,1)-∞- B ．(1,0)(1,)C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)⋃+∞12．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC 的面积为2223()4a cb +-，周长为6，则b 的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．3D ．433二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
华师附中2020年高考数学(理)最后一次模拟试卷
华师附中2020年高考数学（理）最后一次模拟试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡的密封线内． 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式P (A +B ) = P (A ) + P (B ) S = 4πR 2如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 P (A ·B ) = P (A )·P (B )球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P .V = 43πR 3那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径P n (k ) = C n k P k(1－P )n －k第一部分 选择题（共40分）一、(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 若A 、B 是两个不等的非空集合，则下列式子中一定成立的是(A) ∅ ∈ A ∩B (B) ∅ ⊆ A ∩B (C) ∅ = A ∩B(D) ∅ ≠⊂ A ∩B2. 若 (a －2i ) i = b －i ，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则a 2 +b 2等于(A) 0 (B) 2(C) 523.点 P (cos 2020︒,sin 2020︒) 落在第( )象限(A) 一(B) 二主视图左视图俯视图(C) 三 (D) 四4. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于(A) 8 + 4π3(B) 4 + 4π3(C) 8 + 4π (D) 10π35. 函数y = 1－| x －x 2| 的图象大致是(A) (B)(C)(D)6. 如图，程序框图所进行的求和运算是(A) 12 + 14 + 16 + … + 120(B) 1 + 13 + 15 + … + 119(C) 1 + 12 + 14 + … + 118(D) 12 + 12 2 + 12 3 + … + 12 107. 若 x 、y 满足不等式组 ⎩⎨⎧ x + y ≥0x 2 + y 2≤1，则 2x + y 的取值范围是 (A) [22, 5 ] (B) [－22 ,22] (C) [－22, 5 ] (D) [－ 5 , 5 ]8. 三位同学在研究函数 f (x ) = x1 + | x |(x ∈R) 时，分别给出下面三个结论：① 函数 f (x ) 的值域为 (－1,1) ② 若x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)③ 若规定 f 1(x ) = f (x )，f n +1(x ) = f [ f n (x )]，则 f n (x ) = x1 + n | x | 对任意 n ∈N *恒成立.你认为上述三个结论中正确的个数有 (A) 0个(B) 1个(C) 2个(D) 3个第二部分 非选择题（110分）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，其中9－12为必做题，13－15为选做题，13－15题只需选做2小题．共30分．9. 实践中常采用“捉－放－捉”的方法估计一个鱼塘中鱼的数量。
湖北省华中师范大学第一附属中学2020届高三高考押题考试文科数学试题
机密★启用前华中师范大学第一附属中学2020年高考押题考试文科数学本试题卷共4页,23题。
全卷满分150 分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项:1.答题前,先将自己的姓名.准考证号填写在答题卡上.并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号餘黑。
写在试题卷.草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效。
3.填空题和解答题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效。
4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区城内。
写在试题卷.草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效。
5.考试结束后,请将答题卡上交。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若集合{}{}2,,2,A y y x x RB x x x R==∈=≤∈,则A I B=A.{x|-2≤x≤2}B. {x|0≤x≤2)C. {}0x x≥ D. φ2.已知复数z满足(13)(1)(3)i z i i-=++,则z的共轭复数为A.-1+iB.1+iC.-1- iD.1-i3.已知11331231,log,()23a b c===,则A. b>a>cB. c>a>b .C. c>b>aD. a>b>c4.函数23cos()2()cos()x xf xx xππ--=--在[,]ππ-的图象大致为5.本周日下午1点至6点学校游泳馆照常开放,甲、乙两人计划前去游泳,其中甲连续游泳2小时,乙连续游泳3小时.假设这两人各自随机到达游泳馆,则下午5点钟时甲、乙两人都在游泳馆游泳的概率是A.12 B. 13 C. 16 D. 186.若平面向量a r 与b r 的夹角为60°, 6,(2)(3)72a a b a b =+⋅-=-r r r r r,则向量b r 的模为A.2B.4C.6D.127.随着电商行业的蓬勃发展，快递行业近几年也保持着增长的态势,我国已经成为快递大国，快递业已成为人民群众生活的“必需品"。
【20套试卷合集】华中师范大学第一附属中学2019-2020学年数学高一上期中模拟试卷含答案
华中师大一附中2020届高考适应性测试文科试卷
绝密★启用前华中师大一附中2020届高考适应性测试数学试题（文科）考试时间：120分钟；总分：150分；学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息 条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、单选题:本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}0,1,2,3A =，2{|230}B x x x =--<，则A B =UA ．(1,3)-B ．(1,3]-C ．(0,3)D ．(0,3]2．设i 为虚数单位，则51ii-+等于 A ．-2-3iB ．-2+3iC ．2-3iD ．2+3i3. 已知向量(,3),(3,3)a x b ==r r，若a b ⊥r r ，则x =A. 3-B.3C. 1-D. 14．双曲线x y C a b2222:1-=的一条渐近线方程为30x y -=，则双曲线的离心率为A.3B ．3 C.5D ．25．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问两鼠在第几天相遇？A ．第2天B ．第3天C ．第4天D ．第5天6．若sin α=−13，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则sin 2α= A ．429-B ．429C ．89D ．89-7．若实数x ，y 满足的约束条件101010x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则函数2z x y =+的最大值是A ．1B ．2C ．3D ．5-8．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝2，且a 2，a 4＋2，a 5成等差数列，记S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 6＝ A.62B.64C.126D.1289．如右图，在边长为2的正方形中，随机撒1000粒豆子，若按π≈3计算，估计落到阴影部分的豆子数为A ．125B ．150C ．175D ．20010. 已知1311531log ,log ,363a b c π-===，则,,a b c 的大小关系是A ．b a c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b c a <<11．函数1()ln 1f x x x =--的图象大致是A. B. C. D.12．对于函数()22,012,02x x e x f x x x x ⎧⋅≤⎪=⎨-+>⎪⎩，有下列命题： ①过该函数图象上一点()()2,2f --的切线的斜率为22e-；②函数()f x 的最小值为2e -； ③该函数图象与x 轴有4个交点；④函数()f x 在(],1-∞-上为减函数，在(]0,1上也为减函数. 其中正确命题的序号是 A ．①④B ．①②③C ．①②④D ．②③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖北省华中师范大学第一附属中学2020届高考数学押题试卷 文
湖北省华中师范大学第一附属中学2020届高考数学押题试卷 文本试题卷共4页,23题。
全卷满分150 分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项:1.答题前,先将自己的姓名.准考证号填写在答题卡上.并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号餘黑。
写在试题卷.草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效。
3.填空题和解答题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效。
4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区城内。
写在试题卷.草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效。
5.考试结束后,请将答题卡上交。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若集合{}{}2,,2,A y y x x R B x x x R ==∈=≤∈,则A I B=A.{x|-2≤x ≤2}B. {x|0≤x ≤2)C. {}0x x ≥ D. φ 2.已知复数z 满足(13)(1)(3)i z i i -=++ ,则z 的共轭复数为 A.-1+i B.1+i C.-1- i D.1-i3.已知11331231,log ,()23a b c ===,则A. b>a>cB. c>a>b .C. c>b>aD. a>b>c4.函数23cos()2()cos()x x f x x x ππ--=--在[,]ππ-的图象大致为5.本周日下午1点至6点学校游泳馆照常开放,甲、乙两人计划前去游泳,其中甲连续游泳2小时,乙连续游泳3小时.假设这两人各自随机到达游泳馆,则下午5点钟时甲、乙两人都在游泳馆游泳的概率是A.12 B. 13 C. 16 D. 186.若平面向量a r 与b r 的夹角为60°, 6,(2)(3)72a a b a b =+⋅-=-r r r r r,则向量b r 的模为A.2B.4C.6D.12 7.随着电商行业的蓬勃发展，快递行业近几年也保持着增长的态势,我国已经成为快递大国，快递业已成为人民群众生活的“必需品"。
2020届华中师大附中高三第一次模拟考试数学(文)试卷
2020届华中师大附中高三第一次模拟考试文科数学试题★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{{}|1,|20A y y B x x ===-≤，则A B =A. []1,2B. []0,2C. (],1-∞D. [)2,+∞2. 在平面直角坐标系中，点22(cos ,sin )55P ππ是角α终边上的一点，若[0,)απ∈，则α= A.5π B. 25π C. 35π D. 310π3. 函数|2|y x a =-在[1,)-+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 A. (,1]-∞-B. (,2]-∞-C.(,1]-∞D.(,2]-∞4. 设0.1323,log log a b c ===，则,,a b c 的大小关系为 A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. c b a <<5. 已知函数()f x 满足2(1)f x x x -=-，则()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是 A. 20x y +-=B. 30x y -=C. 310x y --=D. 20x y -=6. 函数()()ln xxf x e e x -=+的图象大致为7.给出下列三个命题①命题:P x R ∀∈，都有sin 1x ≤，则非0:P x R ∃∈，使得0sin 1x > ②在ABC ∆中，若sin 2sin 2A B =，则角A 与角B 相等③命题：“若tan x =3x π=”的逆否命题是假命题以上正确的命题序号是 A.①②③ B.①②C.①③D.②③8. 若奇函数()f x 满足当[0,)x ∈+∞时，2()log (2)f x x x b =+++，则不等式()3f x ≥成立的一个充分不必要条件是 A. 2x ≥ B. 3x ≥ C. 1x ≥ D. 3x <9. 《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积12=⨯（弦×矢+矢2），弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为23π，矢为2的弧田，按照上述方法计算出其面积是A. B. 12C.D.10. 在ABC ∆中，,BD DC E =是AD 的中点，则EB =A. 2133AB AC - B. 2133AB AC -+C. 3144AB AC -+D. 3144AB AC -11. 已知函数23()123x x f x x =+-+，若()(2020)hx f x =-的零点都在(,)a b 内，其中,a b 均为整数，当b a -取最小值时，则b a +的值为 A. 4039B. 4037C. 1D.1-12. 已知函数()sin()6f x x πω=+(0)ω>的最小正周期为π，若()f x 在[0,)x t ∈时所求函数值中没有最小值，则实数t 的范围是 A ．0,6π⎛⎤⎥⎝⎦B ．20,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．5,36ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,33ππ⎛⎤⎥⎝⎦二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知向量(1,1),(2,)a b y ==，若()a a b ⊥-，则实数y= ．14．已知函数2,(0,2]()1(1),(2)22x xf x x f x ⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩则(8)f = ．15. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为2sin18m =︒.若24m n +=，2＝ ．（用数字作答） 16．定义min{,}a b =,,a a bb a b≤⎧⎨>⎩，若{}()m in 1,3f x x x =+-，则使不等式(2)(2)f x f x ≤-成立的x 的取值范围是 ．三、解答题：共70分。
2020年湖北省武汉市华中师大一附中高考数学模拟试卷(理科)(2月份)-解析版
2020年湖北省武汉市华中师大一附中高考数学模拟试卷（理科）（2月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 在复平面内，复数z =cos3+isin3(i 是虚数单位)对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 设复数z 满足|z −1|=|z −i|(i 为虚数单位)，z 在复平面内对应的点为(x,y)，则( )A. y =−xB. y =xC. (x −1)2+(y −1)2=1D. (x +1)2+(y +1)2=13. 设m 为正整数，(x +y)2m 展开式的二项式系数最大值为a ，(x +y)2m+1展开式的二项式数的最大值为b ，若13a =7b ，则m =( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 函数y =2x −2−x|x|−cosx 的图象大致为( )A.B.C.D.5. 射线测厚技术原理公式为I =I 0e −ρμt ，其中I 0，I 分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241(241Am)低能γ射线测量钢板的厚度．若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为( )(注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln2≈0.6931，结果精确到0.001)A. 0.110B. 0.112C. 0.114D. 0.1166. 设α,β∈(0,π2)且tanα−tanβ=1cosβ，则( )A. 3α+β=π2B. 2α+β=π2C. 3α−β=π2D. 2α−β=π27. 已知双曲线E:x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的右顶点为A ，抛物线C:y 2=8ax 的焦点为F.若在E 的渐近线上存在点P ，使得AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则E 的离心率的取值范围是( ) A. (1,2)B. (1,3√24]C. [3√24,+∞)D. (2,+∞)8. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，过对角线BD 1作平面α交棱AA 1于点E ，交棱CC 1于点F ，则：①平面α分正方体所得两部分的体积相等； ②四边形BFD 1E 一定是平行四边形； ③平面α与平面DBB 1不可能垂直； ④四边形BFD 1E 的面积有最大值． 其中所有正确结论的序号为( )A. ①④B. ②③C. ①②④D. ①②③④9. 已知函数f(x)={−e −x ,x ≤0xe x −x −1−lnx,x >0，则函数F(x)=f(f(x))−ef(x)的零点个数为( )(e 是自然对数的底数) A. 6 B. 5C. 4D. 310. 设a +b =2，b >0，则当a =( )时，12|α|+|α|b取得最小值．A. a =−4，b =2B. a =−3，b =1C. a =−2，b =4D. a =2，b =511. 在平面直角坐标系xOy 中，设定点A(a,a)，P 是函数y =1x(x >0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为2√2，则满足条件的实数a 的所有值为( )A. √10B. a =±√10C. a =3或a =−1D. a =√10或a =−112. 已知e =2.71828…，设函数f(x)=12x 2−bx +alnx 存在极大值点x 0，且对于b 的任意可能取值，恒有极大值f(x 0)<0，则下列结论中正确的是( )A. 存在x 0=√a ，使得f(x 0)<−1e B. 存在x 0=√a ，使得f(x 0)>−e C. a 的最大值为e 2D. a 的最大值为e 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 为了解某地区的“微信健步走”活动情况，现用分层抽样的方法从中抽取老、中、青三个年龄段人员进行问卷调查．已知抽取的样本同时满足以下三个条件： (i)老年人的人数多于中年人的人数； (ii)中年人的人数多于青年人的人数；(ⅲ)青年人的人数的两倍多于老年人的人数．①若青年人的人数为4，则中年人的人数的最大值为______； ②抽取的总人数的最小值为______． 14. 已知数列{a n }的前n 项和S n =(−1)n+112n ，如果存在正整数n ，使得(p −a n )(p −a n+1)<0成立，则实数p 的取值范围是__________．15. 已知三棱锥A −BCD 的棱长均为6，其内有n 个小球，球O 1与三棱锥A −BCD 的四个面都相切，球O 2与三棱锥A −BCD 的三个面和球O 1都相切，如此类推，…，球O n 与三棱锥A −BCD 的三个面和球O n−1都相切(n ≥2，且n ∈N ∗)，则球O 1的体积等于______，球O n 的表面积等于______．16. 太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互相转化，相对统一的和谐美．定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”.则下列有关说法中：①对于圆O ：x 2+y 2=1的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数；②函数f(x)=sinx+1是圆O：x2+(y−1)2=1的一个太极函数；③存在圆O，使得f(x)=e x+1e x−1是圆O的一个太极函数；④直线(m+1)x−(2m+1)y−1=0所对应的函数一定是圆O：(x−2)2+(y−1)2=R2(R>0)的太极函数；⑤若函数f(x)=kx3−kx(k∈R)是圆O：x2+y2=1的太极函数，则k∈(−2,2)．所有正确的是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知f(x)=2sin(x−π3)cos(x−π3)+2√3cos2(x−π3)−√3．(1)求f(x)的最大值及取得最大值时相应的x的值；(2)若函数y=f(2x)−a在区间[0,π4]上恰有两上零点x1，x2，求tan(x1+x2)的值．18.已知菱形ABCD的边长为4，AC∩BD=O，∠ABC=60°，将菱形ABCD沿对角线BD折起，使AC=a，得到三棱锥A−BCD，如图所示．(1)当a=2√2时，求证：AO⊥平面BCD；(2)当二面角A−BD−C的大小为120°时，求直线AD与平面ABC所成角的正切值．19.半圆O：x2+y2=1(y≥0)的直径两端点为A(−1,0)，B(1,0)，点P在半圆O及直径AB上运动，若将点P的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到点Q，记点Q的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)若称封闭曲线上任意两点距离的最大值为该曲线的“直径”，求曲线C的“直径”．20. 某地政府为了帮助当地农民脱贫致富，开发了一种新型水果类食品，该食品生产成本为每件8元，当天生产当天销售时，销售价为每件12元，当天未卖出的则只能卖给水果罐头厂，每件只能卖5元．每天的销售量与当天的气温有关，根据市场调查，若气温不低于30℃，则销售5000件；若气温位于[25℃,30℃)，则销售3500件；若气温低于25℃，则销售2000件，为制定今年8月份的生产计划，统计了前8(1)求今年8月份这种食品一天销售量(单位：件)的分布列和数学期望值；(2)设8月份一天销售这种食品的利润为y(单位：元)，当8月份这种食品一天生产量n(单位：件)为多少时，y 的数学期望值最大，最大值为多少？21. 已知函数f(x)为反比例函数，曲线g(x)=f(x)cosx +b 在x =π2处的切线方程为y =−6πx +2．(1)求g(x)的解析式；(2)判断函数F(x)=g(x)+1−32π在区间(0,2π]内的零点的个数，并证明．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =3−√22ty =1+√22t(t 为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为ρ=4cosθ+6sinθ． (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设曲线C 与直线l 交于点M ，N ，点A 的坐标为(3,1)，求|AM|+|AN|．23.已知函数f(x)=|x−m|−|x+2|(m∈R)，不等式f(x−2)≥0的解集为(−∞,4]．(1)求m的值；(2)若a>0，b>0，c>3，且a+2b+c=2m，求(a+1)(b+1)(c−3)的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵π2<3<π∴sin3>0，cos3<0∴对应的点在第二象限．故选B ．注意到3rad 的范围，再作进一步判断． 本题是基本概念的考查．2.【答案】B【解析】 【分析】本题考查复数模的求法，是基础题．由已知求得z ，代入|z −1|=|z −i|，求模整理得答案． 【解答】解：由z 在复平面内对应的点为(x,y)，且|z −1|=|z −i|， 得|x −1+yi|=|x +(y −1)i|，∴√(x −1)2+y 2=√x 2+(y −1)2， 整理得：y =x ． 故选：B ．3.【答案】B【解析】解：∵m 为正整数，由(x +y)2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，以及二项式系数的性质可得a =C 2m m，同理，由(x +y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b ，可得b =C 2m+1m+1．再由13a =7b ，可得13C 2m m =7C 2m+1m，即13×(2m)!m!⋅m!=7×(2m+1)!m!⋅(m+1)!，即13=7×2m+1m+1，即13(m +1)=7(2m +1)，解得m =6，故选：B ．根据二项式系数的性质求得a 和b ，再利用组合数的计算公式，解方程13a =7b 求得m 的值．本题主要考查二项式系数的性质的应用，组合数的计算公式，属于中档题．4.【答案】A【解析】解：f(−x)=2−x −2x|−x|−cos(−x)=−2x −2−x|x|−cosx =−f(x)，即函数f(x)在定义域上为奇函数，故排除D ；又f(0)=0,f(1)=2−2−11−cos1>0，故排除B 、C ． 故选：A ．由函数为奇函数，排除D ；由f(0)=0，f(1)>0，排除BC ，进而得解．本题考查由函数解析式确定函数图象，旨在考查函数性质的运用，属于常规题目．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查根据实际问题选择函数模型，考查对数的运算性质，是基础的计算题．由题意可得12=1×e−7.6×0.8μ，两边取自然对数，则答案可求．【解答】解：由题意可得，12=1×e−7.6×0.8μ，∴−ln2=−7.6×0.8μ，即6.08μ≈0.6931，则μ≈0.114．∴这种射线的吸收系数为0.114．故选：C．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查三角函数恒等变换，熟练应用三角函数公式是解决问题的关键，属中档题．由题意和三角函数公式变形可得cosα=cos[π2−(α−β)]，由角的范围和余弦函数的单调性可得．【解答】解：∵tanα−tanβ=1cosβ，∴sinαcosα−sinβcosβ=1cosβ，∴sinαcosα=1cosβ+sinβcosβ=1+sinβcosβ，∴sinαcosβ=cosα(1+sinβ)=cosα+cosαsinβ，∴cosα=sinαcosβ−cosαsinβ=sin(α−β)由诱导公式可得cosα=sin(α−β)=cos[π2−(α−β)]，∵α,β∈(0,π2)，∴[π2−(α−β)]∈(0,π)，∴α=π2−(α−β)，变形可得2α−β=π2，故选：D．7.【答案】B【解析】解：双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A(a,0)，抛物线C：y2=8ax的焦点为F(2a,0)，双曲线的渐近线方程为y=±bax，可设P(m,ba m)，即有AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m −a,b a m)，FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m −2a,b a m)， 由AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即为(m −a)(m −2a)+b 2a 2m 2=0，化为(1+b 2a 2)m 2−3ma +2a 2=0，由题意可得△=9a 2−4(1+b 2a 2)⋅2a 2≥0，即有a 2≥8b 2=8(c 2−a 2)， 即8c 2≤9a 2， 则e =c a≤3√24． 由e >1，可得1<e ≤3√24． 故选：B ．求出双曲线的右顶点和渐近线方程，抛物线的焦点坐标，可设P(m,ba m)，以及向量的垂直的条件：数量积为0，再由二次方程有实根的条件：判别式大于等于0，化简整理，结合离心率公式即可得到所求范围．本题考查双曲线的离心率的范围，考查抛物线的焦点和向量的数量积的性质，注意运用二次方程有实根的条件：判别式大于等于0，考查运算能力，属于中档题．8.【答案】C【解析】 【分析】本题考查正方体中有关的线面的位置关系，解题的关键是理解想象出要画出的平面是怎样的平面，有哪些特殊的性质，考虑全面就可以正确解题． 运用正方体的对称性即可判断①； 由平行平面的性质可得②是正确的；当E 、F 为棱中点时，通过线面垂直可得面面垂直，可得③正确；当F 与A 重合，当E 与C 1重合时，BFD 1E 的面积有最大值，当F 与A 重合，当E 与C 1重合时，BFD 1E 的面积有最大值，可得④正确 【解答】解：如图，则：对于①：由正方体的对称性可知，平面α分正方体所得两部分的体积相等，故①正确；对于②：因为平面ABB 1A 1//CC 1D 1D ，平面BFD 1E ∩平面ABB 1A 1=BF ，平面BFD 1E ∩平面CC 1D 1D =D 1E ，∴BF//D 1E ，同理可证：D 1F//BE ，故四边形BFD 1E 一定是平行四边形，故②正确； 对于③：当E 、F 为棱中点时，EF ⊥平面BB 1D ，又因为EF ⊂平面BFD 1E ，所以平面BFD′E ⊥平面BB′D ，故③不正确；对于④：当F 与A 重合，当E 与C 1重合时，BFD 1E的面积有最大值，故④正确．正确的是①②④，故选：C．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数与方程，考查分段函数零点个数的判定，考查利用导数研究函数的零点问题，考查转化思想，换元思想，数形结合思想，分类讨论思想以及数据分析能力，运算求解能力，逻辑推理能力等综合数学素养，属于较难题目．注意到当x≤0时，函数值恒小于0，当x>0时，函数值恒大于等于0，进而考虑换元后，通过分类讨论结合数形结合思想得解．【解答】解：不妨设f1(x)=−e−x(x≤0)，f2(x)=xe x−x−1−lnx(x>0)，易知，f1(x)<0在(−∞,0]上恒成立，且在(−∞,0]单调递增；f2′(x)=e x+xe x−1−1x =(x+1)(e x−1x)，设g(x)=e x−1x(x>0)，由当x趋近于正无穷大时，g(x)趋近于负无穷大，g(1)=e−1>0，且函数g(x)在(0,+∞)上单增，故函数g(x)存在唯一零点x0∈(0,1)，使得g(x0)=0，即e x0−1x=0，则x0e x0=1,lnx0+x0=0，故当x∈(0,x0)时，g(x)<0，f2′(x)<0，f2(x)单调递减；当x∈(x0,+∞)时，g(x)>0，f2′(x)>0，f2(x)单调递增，故f2(x)min=f2(x0)=x0e x0−x0−1−lnx0=0，故f2(x)≥0；令t=f(x)，F(t)=f(t)−et=0，当t≤0时，−e−t−et=0，解得t=−1，此时易知f(x)=t=−1有一个解；当t>0时，te t−t−1−lnt−et=0，即te t−t−1−lnt=et，作函数f2(t)与函数y= et的图象如图所示，由图可知，函数f2(t)与函数y=et有两个交点，设这两个交点为t1，t2，且t1>0，t2>0，而由图观察易知，f(x)=t1，f(x)=t2均有两个交点，故此时共有四个解；综上，函数F(x)=f(f(x))−ef(x)的零点个数为5．故选：B．10.【答案】C【解析】解：因为a+b=2，b>0，要取得最小值，则a<0，则12|α|+|α|b=a+b4|a|+|a|b=a4|a|+b4|a|+|a|b，≥a4|a|+2√b4|a|⋅|a|b=a4|a|+1=−14+1=34，当且仅当b4|a|=|a|b，a<0时取等号，此时b=−2a，因为a+b=2，所以a=−2，b=4，故选：C．要取得最小值，则a<0，12|α|+|α|b=a+b4|a|+|a|b=a4|a|+b4|a|+|a|b，利用基本不等式可求．本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．11.【答案】D【解析】解：设P(x,1x )，则d=|PA|=√(x−a)2+(1x−a)2=√(x+1x )2−2a(x+1x)+2a2−2．令t=x+1x≥2∴d=√t2−2at+2a2−2令f(t)=t2−2at+2a2−2，t≥2．该函数对称轴t=a①a≤2时，f(t)递增，f(t)min=f(2)=2a2−4a+2=8解得a=−1或3(舍)②①a>2时，f(t)min=f(a)=a2−2=8解得a=√10或−√10(舍)．综上，a的取值为−1或√10．故选：D．先利用两点间距离公式表示出|PA|，然后利用换元法将|PA|转化为一个二次函数类型的函数求最值问题，取最小值2√2时得到关于a的方程，求解即可．本题主要考查两点间距离公式和代数变换求最值，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：函数的定义域为(0,+∞)，则函数的导数f′(x)=x−b+ax，若函数f(x)存在极大值点x0，则f′(x)=0有解，即x2−bx+a=0有两个不等的正根，则{△=b 2−4a >0x 1+x 2=b >0x 1⋅x 2=a >0，得b >2√a ，(a >0)，由f′(x)=0得x 1=b−√b2−4a2，x 2=b+√b2−4a2，分析易得f(x)的极大值点为x 1=x 0， ∵b >2√a ，(a >0)， ∴x 1=x 0=b−√b 2−4a2=b+√b 2−4a ∈(0,√a)，则f(x)极大值=f(x 0)=12x 02−bx 0+alnx 0=12x 02−x 02−a +alnx 0=−12x 02+alnx 0−a ，设g(x)=alnx −12x 2−a ，x ∈(0,√a)， f(x)的极大值恒小于0等价为g(x)恒小于0， ∵g′(x)=ax −x =a−x 2x >0，∴g(x)在(0,√a)上单调递增， 故g(x)<g(√a)=aln √a −32a ≤0， 得ln √a ≤32，即a ≤e 3，故a 的最大值为是e 3，故选：D ．求函数的导数，根据函数存在极小值等价为f′(x)=0有解，转化为一元二次方程，根据一元二次方程根与判别式△之间的关系进行转化求解即可．本题主要考查函数极值的应用，求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系转化为一元二次方程根的与判别式△之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度极大．13.【答案】6 12【解析】解：①若青年人的人数为4，则老年人数小于2×4=8，故老年人数最多为7， ∵老年人的人数多于中年人的人数， 故中年人的人数对多为6．②由题意，∵青年人的人数最少为3，故中年人的人数最少为4，老年人的人数最少为5， 抽取的总人数的最小值为3+4+5=12， 故答案为：6；12．由题意，求出老年人的最大值、青年人数的最小值，可得结论． 本题主要考查分层抽样，属于基础题．14.【答案】(−34,12)【解析】解：∵数列{a n }的前n 项和S n =(−1)n+112， ∴a 1=S 1=(−1)2⋅12=12，a 2=S 2−S 1=(−1)3122−12=−34，又a 2k =S 2k −S 2k−1=−122k −122k−1=−322k <0， a 2k+1=S 2k+1−S 2k =122k+1+122k =322k+1>0，由题意知数列{a n }的奇数项为递减的等比数列且各项为正， 偶数项为递增的等比数列且各项为负，∴不等式(p −a n )(p −a n+1)<0成立即存在正整数k 使得a 2k <p <a 2k−1成立， 只需要a 2<a 4<⋯<a 2k <p <a 2k−1<⋯<a 3<a 1， 即−34=a 2<P <a 1=12即可，故−34<p <12.即实数p 的取值范围是(−34,12). 故答案为：(−34,12).求出a 2k =S 2k −S 2k−1=−122k −122k−1=−322k <0，a 2k+1=S 2k+1−S 2k =122k+1+122k =322k+1>0，从而数列{a n }的奇数项为递减的等比数列且各项为正，偶数项为递增的等比数列且各项为负，进而不等式(p −a n )(p −a n+1)<0成立即存在正整数k 使得a 2k <p <a 2k−1成立，只需要a 2<a 4<⋯<a 2k <p <a 2k−1<⋯<a 3<a 1，由此能求出实数p 的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查数列不等式的应用，涉及到数列的前n 项和与数列中的项的关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．15.【答案】√6π 6π4n−1【解析】解：如图，设球O 1半径为r 1，…，球O n 的半径为r n ，E 为CD 中点，球O 1与平面ACD 、BCD 切于F 、G ，球O 2与平面ACD 切于H ， 作截面ABE ，设正四面体A −BCD 的棱长为a ，由平面几何知识可得r 1√36a=√63a−r √32a ，解得r 1=√612a ，同时√63a−2r −r √63a−r 1=r 2r 1，解得r 2=√624a ，把a =6代入的r 1=√62，r 2=√64，由平面几何知识可得数列{r n }是以r 1=√62为首项，公比为12的等比数列， 所以r n =√62(12)n−1，故球O 1的体积=43πr 13=43π(√62)3=√6π；球O n 的表面积=4πr n 2=4π×[√62(12)n−1]2=6π4n−1，故答案为√6π；6π4n−1利用平面几何知识，数形结合推出这些球的半径满足数列{r n }是以r 1=√62为首项，公比为12的等比数列，代入计算即可本题考查了正四面体，球体积性质及其表面积，考查信息提取能力，逻辑推理能力，空间想象能力，计算能力，属于中档偏难题．16.【答案】②④⑤【解析】解：对①显然错误，如图对②，点(0,1)均为两曲线的对称中心，且f(x)=sinx +1能把圆一分为二，正对③，函数为奇函数f(x)=e x +1e x −1=1+2e x −1，当x →0(x >0)时，f(x)→+∞，当x →+∞时，f(x)→1，[f(x)>1]，函数递减； 当x →0(x <0)时，f(x)→−∞，当x →−∞时，f(x)→−1，[f(x)<−1]，函数f(x)关于(0,0)中心对称，有三条渐近线y =±1，x =0，可知，函数的对称中心为间断点，故不存在圆使得满足题干条件． 对于④直线(m +1)x −(2m +1)y −1=0恒过定点(2,1)，满足题意． 对于⑤函数f(x)=kx 3−kx 为奇函数，与圆的交点恒坐标为(−1,1)， ∴{y =kx 3−kx x 2+y 2=1， ∴k 2x 6−2k 2x 4+(1+k 2)x 2−1=0，令t =x 2，得k 2t 3−2k 2t 2+(1+k 2)t −1=0， 即(t −1)(k 2t 2−k 2t 2+1)=0 得t =1即x =±1；对k 2t 2−k 2t 2+1，当k =0时显然无解，△<0即0<k 2<4时也无解，即k ∈(−2,2)时两曲线仅有两个交点，函数能把圆一分为二，且周长和面积均等分． 若k =±2时，函数图象与圆有4个交点，若k 2>4时，函数图象与圆有6个交点，均不能把圆一分为二．，故所有正确的是②④⑤故答案为：②④⑤利用新定义逐个判断函数是否满足新定义即可．本题考查函数的奇偶性的应用，命题真假的判断，新定义的应用，考查转化思想以及计算能力．17.【答案】解∴f(x)的最大值为2，此时2x−π3=π2+2kπ,k∈Z，即x=5π12+kπ,k∈Z;(2)f(2x)=2sin(4x−π3)，令t=4x−π3，∵x∈[0,π4]，∴t∈[−π3,2π3]设t1，t2是函数y=2sint−a的两个相应零点，t1=4x1−π3,t2=4x2−π3，由y=2sint图象性质知t1+t2=π，即4x1−π3+4x2−π3=π，∴x1+x2=π4+π6,tan(x1+x2)=2+√3．【解析】本题综合考查了两角和与差的三角公式、二倍角公式、三角函数的最值(最值的求解一般是整体思想)，利用正弦函数的图象求解值的问题，体现了函数中的数形结合的数学思想在解题中的运用，利用三角公式化简函数f(x)=2sin(2x−π3).(1)结合正弦函数的性质，把2x−π3看成y=sinx中的“x“分别求解(2)代入可得y=2sin(4x−π3)，换元t=4x−π3，从而可得y=2sint，t∈[−π3,2π3]，结合正弦函数的图象可求．18.【答案】解：(1)证明：在△AOC中，OA=OC= 2，AC=a=2√2，∴OA2+OC2=AC2，∴∠AOC=90°，即AO⊥OC，∵AO⊥BD，且AO∩BD=O，∴AO ⊥平面BCD ；(2)由(1)知，OC ⊥OD ，以O 为坐标原点，OC ，OD 所在直线分别为x 轴，y 轴 建立如图的空间直角坐标系O −xyz ，则O(0,0,0),B(0,−2√3,0),C(2,0,0),D(0,2√3,0)， ∵AO ⊥BD ，CO ⊥BD ，∴∠AOC 为二面角A −BD −C 的平面角， ∴∠AOC =120°，∴A(−1,0,√3),AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2√3,−√3),BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2√3,√3)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2√3,0)，设平面ABC 的一个法向量为n ⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2√3y =0n ⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +2√3y +√3z =0，可取n⃗ =(1,−√33,√3)， 设直线AD 与平面ABC 所成角为θ，则sinθ=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=4√133=√313， ∴cosθ=√1−sin 2θ=√1013,tanθ=sinθcosθ=√3010．【解析】(1)由勾股定理可得AO ⊥OC ，又AO ⊥BD ，即可证得AO ⊥平面BCD ；(2)建立空间直角坐标系，求出直线AD 的方向向量以及平面ABC 的法向量，利用向量公式即可求得正切值．本题考查线面垂直的判定以及利用空间向量求解线面角问题，考查逻辑推理能力，属于常规题目．19.【答案】解：(1)设Q(x,y)，则P(x,y2)，由题意可得当P 在直径AB 上运动时，显然y =0(−1<x <1)；当P 在半圆O 上时，x 2+(y2)2=1(y ≥0)， 所以曲线C 的方程为y =0(−1<x <1)或x 2+y 24=1(y ≥0)；(2)设曲线上两动点G(x,y)，H(x 0,y 0)，显然G ，H 至少有一点在椭圆上时GH 才能取得最大，不妨设y ≥y 0≥0，则|GH|2=(x −x 0)2+(y −y 0)2≤(x −x 0)2+y 2=(x −x 0)2+4(1−x 2)，∵(x −x 0)2+4(1−x 2)=−3x 2−2x 0x +x 02+4=−3(x +x 03)2+4x 023+4≤43+4=163，∴|GH|2≤163，等号成立时，G(4√23,13)，H(−1,0)或G(−4√23,13)，H(1,0)， 由两点的距离公式可得|GH|max =4√33，故曲线C 的“直径”为4√33．【解析】(1)设Q(x,y)，则P(x,y2)，分别讨论P 在直径AB 上时，以及P 在半圆O 上时，代入方程，化简可得所求曲线的方程；(2)设曲线上两动点G(x,y)，H(x0,y0)，显然G，H至少有一点在椭圆上时GH才能取得最大，不妨设y≥y0≥0，运用两点的距离公式和椭圆方程，结合二次函数的最值求法，可得所求最大值，即曲线C的“直径”．本题考查曲线的方程的求法和运用，考查坐标转移法和转化思想、以及二次函数的最值求法，以及化简运算能力、推理能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)今年8月份，这种食品一天的销售量X的可能取值为2000、3500、5000件，P(X=2000)=4+1490=0.2，P(X=3500)=3690=0.4，P(X=5000)=21+1590=0.4，X的数学期望为E(X)=2000×0.2+3500×0.4+5000×0.4=3800．(2)由题意知，这种食品一天的需求量至多为5000件，至少为2000件，因此只需要考虑2000≤n≤5000，当3500≤n≤5000时，若气温不低于30度，则Y=4n，若气温在[25,30)之间，则Y=3500×4−(n−3500)×3=24500−3n，若气温低于25度，则Y=2000×4−(n−2000)×3=14000−3n，此时E(Y)=25×4n+25×(24500−3n)+15(14000−3n)=12600−15n≤11900，当2000≤n<3500时，若气温不低于25度，则Y=4n，若气温低于25度，则Y=2000×4−(n−2000)×3=14000−3n，此时E (Y)=45×4n+15(14000−3n)=2800+135n<11900，所以n=3500时，Y的数学期望达到最大值，最大值为11900．【解析】(1)销售量X的可能取值为2000、3500、5000件，求出每个X的取值对应的概率即可得分布列与数学期望；(2)这种食品一天的需求量至多为5000件，至少为2000件，因此只需要考虑2000≤n≤5000，然后分3500≤n≤5000和2000≤n<3500两个类别，分别计算数学期望，再比较两者的大小即可．本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，及期望的实际应用，考查学生的数据分析能力和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)设f(x)=ax (a≠0)，则g(x)=acosxx+b，∴g′(x)=−a(xsinx+cosx)x2又直线y=−6πx+2的斜率为−6π，过点(π2,−1)，∴g′(π2)=−2aπ=−6π，∴a=3，又g(π2)=b=−1，∴g(x)=3cosxx−1．(2)函数F(x)在(0,2π]上有3个零点，证明如下：证明：F(x)=g(x)+1−32π=3cosxx−32π，则F′(x)=−3(xsinx+cosx)x2，又F(π6)=9√3π−32π>0,F(π2)=−32π<0，∴F(x)在(0,π2]上至少有一个零点，∵F(x)在(0,π2]上单调递减，∴F(x)在(0,π2]上有一个零点． 当x ∈(π2,3π2)时，cosx <0，故F (x)<0，∴函数F(x)在(π2,3π2)上无零点；当x ∈[3π2,2π]时，令ℎ(x)=xsinx +cosx ，ℎ′(x)=xcosx >0， ∴ℎ(x)在[3π2,2π]上单调递增，又ℎ(2x)>0,ℎ(3π2)<0， ∴∃x 0∈(3π2,2π)，使得F(x)在[3π2,x 0]上单调递增，在(x 0,2π]上单调递减，∵F(2π)−0,F(3π2)<0，∴F(x)在[3π2,2π]上有2个零点，综上，函数F(x)在(0,2π]上有3个零点．【解析】(1)根据条件，利用待定系数法求出g(x)的解析式；(2)函数F(x)在(0,2π]上有3个零点，然后利用综合法证明函数F(x)存在3个零点即可． 本题考查了函数解析式的求法，利用导数研究函数的单调性和零点存在性定理，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．22.【答案】解：(1)曲线C 的方程ρ=4cosθ+6sinθ， ∴ρ2=4ρcosθ+6ρsinθ，∴x 2+y 2=4x +6y ，即曲线C 的直角坐标方程为：(x −2)2+(y −3)2=13．(2)把直线l ：{x =3−√22t y =1+√22t 代入曲线C 得(1−√22t)2+(−2+√22t)2=13，整理得，t 2−3√2t −8=0． ∵Δ=(−3√2)2+32>0，设t 1，t 2为方程的两个实数根，则t 1+t 2=3√2，t 1t 2=−8，∴t 1，t 2为异号， 又∵点A(3,1)在直线l 上，∴|AM|+|AN|=|t 1|+|t 2|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√50=5√2．【解析】(1)由曲线C 的方程的极坐标方程能求出曲线C 的直角坐标方程．(2)把直线l ：{x =3−√22ty =1+√22t代入曲线C 得t 2−3√2t −8=0.由此能求出|AM|+|AN|．本题考查曲线的直角坐标方程、两线段和的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.【答案】解：(1)∵f(x)=|x −m|−|x +2|， ∴f(x −2)=|x −m −2|−|x|≥0的解集为(−∞,4]，∴|x −m −2|≥|x|，即(x −m −2)2≥x 2的解集为(−∞,4]， 得2(m +2)x ≤(m +2)2的解集为(−∞,4]，故m+2>0且m+2=8，即m=6．(2)∵m=6，∴a+2b+c=12．又∵a>0，b>0，c>3，∴(a+1)(b+1)(c−3)=(a+1)(2b+2)(c−3)≤12[(a+1)+(2b+2)+(c−3)3]3=12(a+2b+c3)3=12×(123)3=32，当且仅当a+1=2b+2=c−3，结合a+2b+c=12解得a=3，b=1，c=7时，等号成立，∴(a+1)(b+1)(c−3)的最大值为32．【解析】(1)通过|x−m−2|−|x|≥0的解集为(−∞,4]，转化为2(m+2)x≤(m+2)2的解集为(−∞,4]，即可得．(2)通过(a+1)(b+1)(c−3)=(a+1)(2b+2)(c−3)2，利用均值不等式转化求解函数的最值即可．本题考查不等式的解法，均值不等式求最值，考查转化思想以及计算能力，是中档题．。
2020年2月华中师范大学第一附属中学2020届高三毕业班线上检测数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前华中师范大学第一附属中学2020届高三毕业班下学期2月线上质量检测数学(理)试题(解析版)2020年2月一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设集合{}11A x x =-<<，{}2,B y y x x A ==∈，则R A C B =（ ） A. {}01x x ≤< B. {}10x x -<< C. {}01x x << D. {}11x x -<<【答案】B【解析】【分析】 求解出集合B ，根据补集定义求得R C B ，利用交集定义求得结果.【详解】当()1,1x ∈-时，[)20,1x ∈，即[)0,1B =()[),01,R C B ∴=-∞+∞{}10R A C B x x ∴⋂=-<<本题正确选项：B【点睛】本题考查集合运算中的补集、交集运算的问题,属于基础题.2.已知i 为虚数单位,则复数131-+i i 的虚部为（ ） A. 2-B. 2i -C. 2D. 2i【答案】A【解析】【分析】先化简复数z ,然后由虚部定义可求． 【详解】()()()()131********i i i i i i i -----===++-﹣1﹣2i , ∴复数131i i-+的虚部是﹣2, 故选A ．【点睛】该题考查复数代数形式的运算、复数的基本概念,属基础题．3. “黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还”的后一句中,“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ）A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据返回家乡的前提条件是攻破楼兰,即可判断出结果.【详解】“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判定,熟记概念即可,属于基础题型.4.已知圆心为O ,半径为1的圆上有不同的三个点,,A B C ,其中0OA OB ⋅=,存在实数,λμ满足0OC OA uOB λ++=,则实数,λμ的关系为A. 221λμ+=B. 111λμ+=C. 1λμ=D. 1λμ+=【答案】A【解析】 由题意得1OA OB OC ===,且0OA OB ⋅=.。
湖北省华中师范大学第一附中2020年高三数学模拟(理3)
湖北省华中师范大学第一附中2020年高三模拟数学试题（理3）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么： )()()(B P A P B A P +=+如果事件A 、B 相互独立，那么：)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k次的概率 kn k k n n P P C k P --=)1()(球是表面积公式：24R S π= 球的体积公式： 334R V π=其中R 表示球的半径 一、选择题（共10小题，每小题5分，合计50分）1．已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋6≤0}，集合B ＝{x ||2x －1|≥3}，则“a ∈A”是“a ∈B”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 2．复数z ＋i 在映射f 下的象为z ·i ，则－1＋2i 的原象为（ ）A ．－1＋2iB ．－2＋iC ．2D ．－i ＋23．已知函数f (x )＝0210x e x a x x ⎧<⎨++≥⎩在R 上不．连续，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,0)(0,)-∞+∞U B ．(,1)(1,)-∞+∞UC ．RD ．(,1)(1,)-∞--+∞U4．设m 、n 是二条不同的直线；α、β、γ是三个不同的平面，给出下列几个命题：①若m ，n 是异面直线，m ⊂α，m ∥β，n ⊂β，n ∥α，则α∥β。
②若,αγβγ⊥⊥，则α∥β。
③若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊥m ，则n ⊥β。
④若m ⊥α，n ∥β且α∥β，则m ⊥n 。
其中正确的命题的个数为（ ）个 A ．1 B ．2C ．3D ．45．函数y ＝a sin x －b cos x 的一条对称轴方程为x ＝4π，则直线1l ：ax －by ＋c ＝0到直线2l ：x －2y ＋2＝0的角为（ ）A ．arctan 13B ．－arctan3C ．arctan(－3)D ．arctan36．给定函数y ＝f (x )2(2)2x --（x ∈R ）及函数y ＝ϕ(x )22x -（x ∈R ），则关于函数f (x )及ϕ(x )的下列论断中都正确的命题序号组合是（ ）①曲线y ＝f (x )与y ＝ϕ(x )的最高点的纵坐标相等 ②曲线y ＝f (x )和y ＝ϕ(x )与x 轴之间图形的面积相等③以曲线y ＝ϕ(x )为概率密度曲线的总体的方差与以曲线y ＝f (x )为概率密度曲线的总体的方差相等④以曲线y ＝ϕ(x )为概率密率曲线的总体的期望与以曲线y ＝f (x )为概率密度曲线的总体的期望相等 A ．①③④ B ．①②③ C ．②③④ D ．①②④7．点P 是球O 的直径AB 上的一个动点，令PA ＝x ，过P 点且与直径AB 垂直的截面面积记为y ，（如图所示），则y ＝f (x )的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．设x ∈R ，函数f (x )＝cos 2(ωx ＋ϕ)1(0,0)22πωϕ-><<，已知f (x )的最小正周期为π，且f (8π)＝14，则ω与ϕ的值分别为（ ）A ．ω＝2，ϕ＝12πB ．ω＝2，ϕ＝24πC ．ω＝1，ϕ=24π D ．ω＝1，ϕ＝12π9．已知f(x)=231x x +-，函数y=u(x)的图象与y=f -1(x-1)的图象关于直线y=x 轴对称，则u(8)=（ ）A ．116B ．267C ．127D ．21810．在棱长为2的正方体AC 1中，正方形BCC 1B 1所在平面内的动点P 到直线D 1C 1，DC 的距离之和为1PC PC ⋅u u u r u u u u r（ ）A ．有最大值1，最小值0B ．有最大值12，最小值0 C ．有最大值7，最小值72D ．有最大值72，最小值0二、填空题（共5小题，每小题5分，共计25分）11．等差数列{a n }中前3项和为21，前6项之和为24，则数列{|a n |}的前9项和等于 。
【精准解析】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2020届高三下学期押题考试数学(文)试题
华中师范大学第一附属中学2020年高考押题考试文科数学一、选择题1.若集合{}2,A y y x x R ==∈，{}2,B x x x R =≤∈，则AB =（ ）A. {}22x x -≤≤ B. {}02x x ≤≤C. {}0x x ≥D. φ【答案】B 【解析】 【分析】分别求出集合A 和集合B ,再求交集即可. 【详解】解: {}{}2,0A y y x x R y y ==∈=≥,{}{}2,22B x x x R x =≤∈=-≤≤,A B ={}02x x ≤≤故选:B【点睛】本题考查集合的交集运算,是基础题.2.已知复数z 满足()()()13i 1i 3i z -=++，则z 的共轭复数为（ ） A. 1i -- B. 1i +C. 1i -+D. 1i -【答案】A 【解析】 【分析】转化()()()13i 1i 3i z -=++为()()1i 3i 13iz ++=-，再利用复数的乘除法运算计算即可.【详解】解：由题知()()()()()()1i 3i 2413241010===113i 13131310i i i i z ii i i +++++-+==-+---+，所以z 的共轭复数为1i --. 故选：A.【点睛】本题考查复数的乘除法运算，共轭复数的概念，是考查数学运算能力，是基础题.3.已知32a =，121log 3b =，1313c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A. b a c >> B. c a b >>C. c b a >>D. a b c >>【答案】A 【解析】 【分析】先比较和0，1的大小，易比较出c 最小，,a b 再进行同底对数变形比较真数的大小即可.【详解】由已知可得：321231log 22a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，1211log 3b <=，131031c ⎛⎫<= ⎪⎭<⎝ 只需比较3212⎛⎫ ⎪⎝⎭和13的大小即可，同时平方321123⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a b <所以c a b << 故选：A【点睛】此题考查指对数比较大小，一般先和0，1比较缩小比较范围，再同底变化或者通过图像判断等，属于较易题目.4.函数()()23cos 2cos x x f x x x ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=--的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】化简函数表达式得()2sin cos x xf x x x+=+，然后利用特殊值法和排除法得到答案.【详解】解：()()223cos sin 2cos cos x x x x f x x x x x ππ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭==--+，x ∈R ，()22sin sin ()cos cos x x x xf x f x x x x x--+-===-=-++，∴ ()f x 为奇函数，排除A 选项，当2x π= 时，221242()124f πππππ++==> ，选项B ,C 排除， 故选：D .【点睛】此类题目多采用特殊值法，结合奇偶性、单调性得出答案，选特殊值时应该选具有区分度的特殊值和好计算的特殊值.5.本周日下午1点至6点学校游泳馆照常开放，甲、乙两人计划前去游泳，其中甲连续游泳2小时，乙连续游泳3小时．假设这两人各自随机到达游泳馆，则下午5点钟时甲、乙两人都在游泳馆游泳的概率是（ ） A.12B.13C.16D.18【答案】C 【解析】 【分析】设出甲乙到达的时刻，求出满足条件的不等式组，作出对应的平面区域，利用几何概型的概率公式即可得到结论．【详解】解; 据题意，甲、乙应分别在下午4点、3点之前到达图书馆,设甲、乙到达图书馆的时间分别为x ，y ，则应满足1413x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，如图，所对应的矩形ABCD 区域的面积为6，下午5钟点时，甲、乙两人都在自习，则应满足3423x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，所对应的正方形CEFG 区域的面积为1，故16P =.故选：C.【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，求出对应的区域面积是解决本题的关键． 6.若平面向量a 与b 的夹角为60°，6a =，()()2372a b a b +⋅-=-，则向量b 的模为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 12【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积公式，计算即可.【详解】解：()()2222236cos 60672a b a b a a b b a a b b +⋅-=-⋅-=-⋅-=-，又因为6a =，所以2366cos 60672b b -⋅-=-整理得：2236=0b b +-，解得：=4b 或92b =-（舍），故=4b . 故选：B.【点睛】本题考查向量数量积，是基础题.7.随着电商行业的蓬勃发展，快递行业近几年也保持着增长的态势，我国已经成为快递大国，快递业已成为人民群众生活的“必需品”.下图是2015年—2019年，我国对快递行业发展的统计图.下面描述错误的是（ ）A. 从2015到2019年，我国快递业务量保持逐年增长的趋势B. 2016年，快递业务量增长速度最快C. 从2016到2019年，快递业务量增长速度连续上升D. 从2016到2019年，快递业务量增长速度逐年放缓 【答案】C 【解析】 【分析】本题首先可以结合图像判断出A 正确，然后求出从2016到2019年每一年的快递业务量增长率，即可得出结果.【详解】结合图像易知，我国快递业务量保持逐年增长的趋势，A 正确，2016年，快递业务量增长率为312.8206.710051206.7％％； 2017年，快递业务量增长率为400.6312.810028312.8％％； 2018年，快递业务量增长率为507.1400.610027400.6％％； 2019年，快递业务量增长率为635.2507.110025507.1％％；故2016年的快递业务量增长速度最快，B 正确，从2016到2019年，快递业务量增长速度逐年放缓，C 错误，D 正确， 故选：C.【点睛】本题主要考查学生对增长率的理解，能否从题意中找出需要的信息是解决本题的关键，考查计算能力，是简单题.8.在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos 33sin B C Ab c C+=，cos 32B B +=，则a c +的取值范围是（ ）A. 2⎛ ⎝B. 32⎛ ⎝C. ⎣D. 32⎡⎢⎣【答案】B 【解析】 【分析】根据已知结合正弦定理以及三角恒等变换，化简cos cos 3sin B C Ab c C+=求出b ，由cos 2B B +=结合22sin cos 1B B +=，求得sin ,cos B B ，从而求出B 的值，再由正弦定理将,a c 结合,A C 关系，转化为C （或A ）角的三角函数，注意求出角的范围，再用三角恒等变换求出范围.【详解】由cos cos 3sin B C Ab c C+=可得： cos cos sin cos sin cos sin c B b C C B B Cbc b C ++=()sin sin 3sin B C A b C C +==，∴2b =.1cos 2cos 2B B B B ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭2sin 26B π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，2663B πππ<+<∴62B ππ+=，3B π=，1sin bB=，∴23A C π+=，又2032C A ππ<=-<， 02A π<<，∴62A ππ<<，2sin sin sin sin 3a c A C A A π⎛⎫+=+=+- ⎪⎝⎭3sin 26A A A π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， ∵62A ππ<<，∴2363A πππ<+<，∴33sin 326A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭. 故选B .【点睛】本题考查正弦定理边角互化，考查利用三角恒等变换，以及正弦函数的图像与性质的应用，解题中要注意角的范围，属于中档题.9.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著书中《商功》有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高两丈．问积及为粟几何？”其意思为“有粟若干，堆积在平地上，它底圆周长为12丈，高为2丈，问它的体积和堆放的粟各为多少？”如图所示，主人欲卖掉该堆粟，已知圆周率约为3，一斛等于2700立方寸，一斛粟米卖540钱，一两银子1000钱，则主人欲卖得银子（单位换算：1立方丈=610立方寸）（ ）A. 800两B. 1600两C. 2400两D. 3200两【答案】B 【解析】 【分析】先计算它的体积，在根据题意计算即可.【详解】解：由底圆周长为12丈，圆周率约为3得底面半径为：2r丈，该堆粟的体积为：211833V Sh r h π==⨯⨯⨯=立方丈，故共有6810⨯立方寸，故主人欲卖得银子为：681027005401000=1600⨯÷⨯÷两. 故选：B.【点睛】本题考查空间几何体的体积的计算，考查数学文化的相关，是中档题.10.设A ，B 为双曲线()22220x y a bλλ-=≠同一条渐近线上的两个不同的点，若向量()0,2n =，3AB =且1AB nn⋅=-，则双曲线的离心率为（ ）A. 2B. 3 D. 3【答案】B 【解析】【详解】由题意得11cos ,3AB n AB n AB n n AB nAB⋅⋅==⋅=-⋅， ∴22sin ,3AB n =． ①当双曲线的焦点在x 轴上时，其渐近线方程为by x a=±，即0bx ay ±=， ∴点（0,2）到渐近线的距离为42sin ,d n AB n ===， 整理得2218b a =，∴ 4c e a ====． ②当双曲线的焦点在y 轴上时，其渐近线方程为0ax by ±=， ∴点（0,2）到渐近线的距离为42sin ,3d n AB n ===， 整理得228b a=，∴ 3c e a ====．综上双曲线的离心率为4或3．选B ． 点睛：（1）解答本题时要读懂题意，结合1AB nn⋅=-可得向量AB 与n 夹角的正弦值，进而得到点（0,2）到渐近线的距离，这是解题的突破口．然后再根据点到直线的距离公式得到3=，变形后根据定义可得双曲线的离心率．（2）求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量,,a b c的方程或不等式，利用222b c a=-和cea=转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．11.已知()f x的定义城为()0,∞+，()f x'为()f x的导函数，且满足()()f x xf x'<-，则不等式()()()2224f x x f x+>--的解集是（）A. ()0,3 B. ()2,3 C. ()3,+∞ D. ()2,+∞【答案】C【解析】【分析】先由()()0f x xf x'+<坐标结构特点想到构造函数()y xf x=并得到其单调性，再对()()()2224f x x f x+>--两边同乘2x+，得到()()()()222244x f x x f x++>--，结合()y xf x=单调性可得不等式224x x+<-，解出答案.【详解】解：构造函数()y xf x=则()()0y f x xf x+''=<所以()y xf x=在()0,∞+上单调递减又因为()()()2224f x x f x+>--所以()()()()222244x f x x f x++>--所以224x x+<-解得3x>或2x<-（舍）所以不等式()()()2111f x x f x+>--的解集是()3,+∞故选:C【点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数解不等式,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.12.将函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（ ）A. 228(0,][,]939B. 2(0,]9C. 28(0,][,1]99D. (0,1]【答案】A 【解析】 【分析】根据y =Acos （ωx +φ）的图象变换规律，求得g （x ）的解析式，根据定义域求出56x πω-的范围，再利用余弦函数的图象和性质，求得ω的取值范围． 【详解】函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度， 可得5cos 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，再将图象上每个点的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍(纵坐标不变)，得到函数5()cos 6g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象，∴周期2T πω=，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，∴ 553526626x ωπππωππω-<-<-， ∴ 35526262T ωππωπππω⎛⎫⎛⎫---≤=⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 21ω∴≤，解得01ω<≤，又522635226k k πωππππωπππ⎧-+≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩，解得3412323k ωω-≤≤-， 当k =0时，解2839ω≤≤， 当k =-1时，01ω<≤，可得209ω<≤， ω∴∈228(0,][,]939.故答案为：A .【点睛】本题考查函数y =Acos （ωx +φ）的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式，求解可得，属于较难题. 二、填空题13.已知实数x ，y 满足约束条件01010y x x y y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则31z x y =++的最大值为______．【答案】6 【解析】 【分析】作出不等式组对应的可行域，如下图阴影部分，当目标函数过点A 时，z 取得最大值，求解即可.【详解】作出不等式组对应的可行域，如下图阴影部分， 联立1010y x y +=⎧⎨+-=⎩，可得()2,1A -，目标函数可化为31y x z =--+，当目标函数过点A 时，z 取得最大值，max 32116z =⨯-+=. 故答案为：6.【点睛】本题考查线性规划，考查数形结合的数学方法的应用，属于基础题. 14.若数列{a n }满足a 1＝2，a n +111n na a +=-，a 2020＝_____. 【答案】13【解析】 【分析】分别求出2345,,,a a a a ，得到数列{}n a 是周期为4的数列，利用周期性即可得出结果. 【详解】数列{}n a 满足12a =，111n n na a a ++=-， ∴121131a a a +==--，同理可得：()3311132a -+==---， 411121312a -+==⎛⎫-- ⎪⎝⎭，51132113a +==-， …∴数列{}n a 是周期为4的数列，又2020＝505×4，∴2020413a a ==， 故答案为：13. 【点睛】本题主要考查的是通过观察法求数列的通项公式，属于基础题.已知数列的前几项，写出数列的一个通项公式，常用的方法有：（1）通过观察、分析、联想、比较，发现项与项之间的关系；（2）如果关系不明显，可以将该数列同时加上或减去一个数，或分解等，将规律呈现出来，便于找出通项公式；（3）正负号间隔的用()1n-或()11n +-来调整；（4）若项中出现分式，则要分子分母分别找通项，同时要注意分子分母的关系； （5）分别观察奇数项与偶数项的的变化规律，可用分段函数的形式写出通项公式. 15.若42x ππ<<，则函数32tan 2tan y x x =的最大值为______．【答案】16- 【解析】 【分析】先根据二倍角正切公式化简，取倒数转化为关于21tan x的一元二次函数，再根据二次函数性质求最值,即得结果. 【详解】解:,tan 142x x ππ<<∴>43222tan 4tan 2tan 1tan 1tan x x y x x x ∴=⨯⋅=--. 42111()4tan tan 1y x x∴=- 令21tan t x=，则(0,1)t ∈2211111()[()]4424t t t y ∴=-=--. 当12t =时，1y 最小值为116-，110,1616y y∴-≤<∴≤-. 即y 的最大值为16-故答案为：16-【点睛】本题考查二倍角正切公式、利用二次函数求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.16.菱形ABCD 边长为3，60BAD ∠=︒，将BCD 沿对角线BD 翻折使得二面角C BD A --的大小为120°，已知A 、B 、C 、D 四点在同一球面上，则球的表面积等于______． 【答案】21π 【解析】 【分析】利用三棱锥外接球球心与底面三角形外心的连线垂直于底面，作出ABD △，BCD 的外心1O ，2O ，三棱锥C ABD -的外接球球心O ，利用ABD △，BCD 均为等边三角形得到1213O E O E AE ==，123AO AE =，由120AEC ∠=得到60∠=AEO ，从而求出1OO ，进而求出外接球半径，得出答案. 【详解】如图，E 为BD 的中点，1O ，2O 分别为ABD △，BCD 的外心，O 为三棱锥C ABD -的外接球球心，菱形ABCD 边长为3，60BAD ∠=︒，∴ AEC ∠为二面角C BD A --的平面角，故120AEC ∠=，22332AE CE AB BE ==-=，121332O E O E AE ===，1233AO AE ==，12,△△OO E OO E 均为直角三角形，12==90∠∠OO E OO E12=O E O E ，OE OE =所以12△△≅OO E OO E ，所以=60∠∠=AEO CEO 由11tan OO AEO O E∠=，∴113tan tan 602=∠==OO O E AEO ， ∴222211214R AO AO OO ==+=， ∴球的表面积为2421S R ππ==，故答案为：21π.【点睛】此题关键是作出图形，找到外接球球心位置，要利用好“外接球球心与底面三角形外心的连线垂直于底面”这个性质. 三、解答题 （一）必考题17.在数列{}n a ，{}n b 中，1n n a b n =++，1n n b a =-+． （1）证明：数列{}3n n a b +是等差数列； （2）求数列32n n na b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ． 【答案】（1）证明见解析；（2）112n n n S +=-． 【解析】 【分析】（1）可将1n n b a =-+代入1n n a b n =++，计算可得数列{}n a 的通项公式，然后根据1n n b a =-+可得数列{}n b 的通项公式，即可计算出数列{}3n n a b +的通项公式，再根据定义法可证明数列{}3n n a b +是等差数列；（2）先根据（1）的结果计算出数列32n n na b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，然后利用错位相减法可求出前n项和n S .【详解】（1）证明：由题意，将1n n b a =-+代入1n n a b n =++， 可得11n n a a n =-+++，即22n a n =+， ∴22n n a +=，∴21122n n n n b a +=-+=-+=-， ∴233122n n n na b n ++=-=-． ∵()()()11331111n n n n a b a b n n +++-+=-+--=-， ∴数列{}3n n a b +是以1-为公差的等差数列． （2）由（1）知，3122n n nn a b n+-=， 则2011222n n nS --=++⋅⋅⋅+， 23110112222n n n S +--=++⋅⋅⋅+， 两式相减，得1231111111111142122222212n n n n n n nS -++⎛⎫- ⎪-----⎝⎭=++⋅⋅⋅+-=---111111122222n n n n n ++-+=-+-=-，所以112n n n S +=-． 【点睛】本题主要考查数列求通项公式，等差数列的证明，以及运用错位相减法求和的问题，考查了转化与化归思想、逻辑思维能力和数学运算能力，属于中档题.18.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，24AB AD ==，PD BD ==，且PD ⊥底面ABCD ．（1）证明：BC ⊥平面PBD ；（2）若Q 为PC 的中点，求三棱锥A PBQ -的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）2． 【解析】 【分析】（1）通过条件各边长之间的关系得AD BD ⊥,再利用底面ABCD 为平行四边形可得BC BD ⊥，再根据PD ⊥平面ABCD 求得PD BC ⊥，即可证明BC ⊥平面PBD .（2）利用三棱A PBQ -的积和三棱锥A QBC -的积相等，将体积转化即可。
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18．（12 分）在△ ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足 acosB+bcosA=2ccosC．求角 C 的大 小；若△ ABC 的周长为 3，求△ ABC 的内切圆面积 S 的最大值．
x 5 t cos
19．（12
分）在直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为
y
t
sin
20．（12 分）如图,
四点共圆, 为钝角且
,
,
,
求 ;设
,
,求
的值.
21．（12 分）已知命题 p :实数 x 满足 x2 4ax 3a2 0 ，命题 q :实数 x 满足| x 3 | 1 ．若 a 1，且 p q
为真，求实数 x 的取值范围；若 a 0 且 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
yx
x
y
4
13．已知 x, y 满足约束条件 y 2 0 ，则 z 2x y 的最大值为__________．
14．已知函数 f（x）既是二次函数又是幂函数，函数 g（x）是 R 上的奇函数，函数 = +1，则 h（2018）
是著名的“徽率”.小华同学利用刘徽的“割圆术”思想在半径为 1 的圆内作正 n 边形求其面积，如图是其设计
的一个程序框图，则框图中应填入、输出 n 的值分别为（ ）
A． S 1 n sin 1800 , 24
2
n
B． S 1 n sin 1800 ,18
2
n
1
3600
1
3600
S n sin ,54
+h（2017）+h（2016）+…+h（1）+h（0）+h（﹣1）+…h（﹣2016）+h（﹣2017）+h（﹣2018）=___________
15．已知中心是坐标原点的椭圆
C
过点
1,
2
5
5
，且
C
的一个焦点为
2,
0
，则
C
的标准方程为
__________．
16．一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图是斜边为 2 3 的等腰直角三角形，正视图是等边三角形，
，若
x1
x2 ，且
f
x1
f
x2 ，则当 x1x2
0 时，
x1 x2 的取值范围是
A．
0,
4
B．
4
,
C．
4
,
3 4
D．
4
,
x y 2, 11．在平面区域 2x y 0, ，内任取一点 P(x, y) ，则点 P 的坐标 (x, y) 满足不等式 (x 2)2 y2 2 的概
，（ t 为参数， 为直线倾斜角）.
以平面直角坐标系的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程是
4cos .当 45 时，直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程；已知点 C 的直角坐标为 C(2, 0) ，
直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点，当 ABC 面积最大时，求直线 l 的普通方程.
y 0,
率为（ ）
1 3
3
4
1
A． 16 B． 16 C． 3 4 D． 16
12．在 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ,若 a cos A bcos B ，且 c 2 ， sin C 3 ， 5
则 ABC 的面积为（ ）
2
1
2
A． 3 B． 3 C． 3 或 3 D． 6 或 3
2020 届华中师范大学第一附属中学高考数学模拟试卷
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。
1．已知 a.b.c 分别是△ABC 的内角 A、B、C 的对边，若 c bcos A ，则△ABC 的形状为（ ）
A．钝角三角形
C1
22．（10 分）已知椭圆
倍，纵坐标不变:第二步，可以把所得
图像沿 x 轴（ ）
A．向右移 个单位 3
B．向右平移 5 个单位 12
5
C．向左平移 3 个单位D．同左平移 12 个单位
9．已知 ， 都是偶函数，且在
上单调递增，设函数
，若 ，
则（ ）
A．
且
B．
且
C．
且
D．
且
10．已知函数
fxΒιβλιοθήκη 2sin2x
4
5 8
x
3 8
S n sin ,18
C． 2
n
D． 2
n
6．已知函数
x f (x) ex
，若关于 x 的方程
f (x)
mx e 无实数解，则 m 的取值范围为（
）
A． (2e, 0] B． 4e2, 0
C．
1 e
,
0
D．
4 e2
, 0
ln x, x 0
7．已知函数
f
(x)
{ ax
2,
x
0
（
a
R
则该四棱锥的最长棱长为___．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12 分）已知函数 f (x) x 2 ax 2 .当 a 2 时，求不等式 f (x) 2x 1的解集；若不等式
f (x) x 2对任意的 x (0, 2) 恒成立，求 a 的取值范围.
B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
2．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A．8
B．4
8 C． 3
4 D． 3
3．设 F1, F2 分别为离心率 e
5 的双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1 a
0,b
0 的左、右焦点， A1, A2 分别为双
曲线 C 的左、右顶点，以 F1, F2 为直径的圆交双曲线的渐近线 l 于 M , N 两点，若四边形 MA2 NA1 的面积 为 4 ，则 b （ ） A． 2 B． 2 2 C． 4 D． 4 2
4．已知 f x ln x 1 aex ，若关于 x 的不等式 f x 0 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．
,
1 e
B． ,0
C．
1 e
,
D．
1 e
,
5．公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近
圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就
），若函数
y
f (x) a
有三个零点，则实数 a 的取值范围是
A． a 2 B． 0 a 1 C．1 a 2 D． a 2
8．若由函数
y
sin
2x
2
的图像变换得到
y
sin
x 2
3
的图像，则可以通过以下两个步骤完成:
第一步，把
y
sin
2x
2
图像上所有点的横坐标变为原来的
4