系统响应的复频域分析
信号与系统 第4章 信号的复频域分析
由此可以得到傅氏变换与拉氏变换的关系
当σ 0 0 时, 收敛边界落于 s 右半平面
当σ 0 0时, 收敛边界落于 s左半平面
当σ 0 0时, 收敛边界位于虚轴
at f ( t ) e u( t )(a 0)的LT 例2：求
1 F ( s) ( a ) s a
4 信号的复频域分析 举例说明收敛域的概念： 例3：求 at e u (t )(a 0) f (t ) t a 的LT e u ( t )( 0)
f ( t )e s t dt F ( s ), R
是振幅密度
4 信号的复频域分析
4.1.1 拉普拉斯变换
2．拉普拉斯正变换
信号在复S域中展开式中，有：
F( s )
f ( t )e st dt Re[ s ] R
s j 具有频率的量纲，称为复频率。
4.1.1 拉普拉斯变换
3．拉氏反变换
信号在复S域中展开式中，有： 1 + s t st f (t ) [ f ( t ) e dt ] ds e Re[ s ] R 2 j -j 清楚表明了信号的组成成份和组成方式，称此式为
Inverse Laplace
4.1.1 拉普拉斯变换
4. 收敛域
使
f ( t )e s t dt F ( s ) f ( t )e
t
0r
dt
成立的 Re[ s]取值区域（范围）称为收敛域。 记为：ROC(region of convergence) jω 实际上就是拉氏变换存在的条件；
精选LTI系统的时域频率复频域分析资料
k 0
k 0
由于 Y ( j) X ( j)H ( j)
故有：
N
bk ( j )k
H ( j )
k 0 N
7
例：考虑一个因果LTI 系统，其输入x[n]和输出y[n]的关系由
差分方程给出: y[n] 1 y[n 1] x[n]。若x[n] [n 1], 求y[n]。
4
解：
0, n 1
x[n] [n 1] 1, n[n] 0, n 1.
y ''(t)
y '(t)
x(t )
+
y(t)
3 -2
解 由图可知第一个和第二个积分器的输入分别为 y''(t), y'(t)，根 据加法器的输入输出关系有
y ''(t) x(t) 3y '(t) 2y(t)
所以系统的微分方程为: y"(t) 3y '(t) 2y(t) x(t)
线性时不变系统的时域、频域 与复频域分析
本章主要内容：
• LTI系统的差分/微分方程描述和框图描述 • LTI系统的频域分析 • LTI系统的复频域分析
1
LTI系统的描述
1.用 h(t)、h[n] 描述系统；
2.用线性常系数微分或差分方程（LCCDE）描述； 3.用方框图描述系统（等价于LCCDE描述）； 4.用系统频率响应 H ( jω) 或系统函数 H(s)
一般的线性常系数差分方程可表示为：
N
M
ak y[n k] bk x[n k]
k 0
k 0
一阶系统
a0 y[n] a1y[n 1] b0x[n] b1x[n 1], a1, a0,b1,b0为常数
信号与系统第四章 复频域分析
7
4.1 拉普拉斯变换
• 拉氏变换对：X (s) x(t)est d t 说明：
1. 拉普拉斯变换的定义
x(t) 1 j X (s)estds
2 j j
① X s Lx象t 函 数,自然界中不存在,复函数,无法直接测量；
xt L1X s原函数,实际存在,实函数, 可以感觉和测量.
2
• 三、本书用到的信号的变换域
自变量 基本信号单元 变换名称
连续信号 离散信号
复频域 s j est
频域
j
e jt
复频域 z re jΩ zn
频域
e jΩ
e jΩ
拉氏变换 傅氏变换 z变换 傅里叶变换
3
• 四、拉氏变换在系统分析中的优势
1、将系统在时域内微分方程转换为复频域的代数 方程，降低求解难度.
傅里叶反变换：x(t) 1 X ()e jt d 2
e x(t) 可以分解为 的j线t 性组合.
条件：信号 x必(t须)满足绝对可积条件
x(t) dt
映射：傅里叶变换与傅里叶反变换是一对一的变换对。
6
4.1 拉普拉斯变换
• 拉普拉斯变换的定义
1. 拉普拉斯变换的定义
[x(t)e t ]ej tdt x(t)e( j)tdt
② 复频域移位性质：e at x(t) X (s a)
例4.3.5： 求衰减正弦 e at sin(的0拉t普) 拉斯变换.
解：
正弦函数的变换为
e at sin( 0t)
sin( 0t)
0
0
s2
2 0
(s
a)2
2 0
余弦函数的变换为
cos(0t)
s2
信号与系统第四章 连续信号与系统的复频域分析(1)(2)
st
st
s
例4.1-4 求 t 、 ' t 的象函数。 解： t ， ' t 均为时限信号，所以收敛域
为整个
L t t e dt t dt 1
st
s 平面。
0
de st se st s L ' t ' t e st dt dt t 0 0 t 0
Res
双边函数
的收敛域
如果 ，当然存在共同的收敛域 ，收敛域是带 Res 状区域 ; 如果 则没有共同的收敛域，Fb s 不存在。
因果函数 的收敛域
反因果函数 的收敛域
双边函数 的收敛域
当收敛域包含虚轴时，拉氏变换与傅氏 变换同时存在，将 s j 代入即可得其傅氏 变换。
对任意信号 f t 乘以一个衰减因子 t ,适当 选取 的值使 f t e t 当 t 时,
e
信号幅度趋于0，从而使其满足绝对可积的条件：
例如
f t e
t
dt
f t e t
2t
2t 2t
e t dt e dt
t
必然存在，这是讨论拉氏变换收敛域的出发点。 为了达到这个要求， f t 应满足：
lim f t e
t
t
0
0
0是满足 lim f t e t 0 的最小 值。 t
我们称 f t 为 0 指数阶的。 f t 可以是增长的，只要它比某些指数增长的慢， 其 拉氏变换就存在。
LTI系统的时域频率复频域分析
a2y''(t)a 1y'(t)a0y(t)b 2x''(t)b 1x'(t)b 0x(t), a2,a 1,a0,b 2,b 1,b 0为常数
5
（2）线性常系数差分方程
(Linear Constant-Coefficient Difference Equation ，LCCDE)
一般的线性常系数差分方程可表示为：
2
2
频域分析法：也是建立在线性系统具有叠加性、齐次性基础 上，与时域分析法不同处在于信号分解的基本函数不同。 17
由于h ( t ) 的傅氏变换 H ( j ) 就是频率为 的复指
数信号 e j t 通过LTI系统时，系统对输入信号在幅
度上产生的影响，所以称为系统的频率响应。
鉴于h ( t ) 与 H ( j ) 是一一对应的，因而LTI系统 可以由其频率响应完全表征。
6
（3）线性常系数差分方程的时域递归解法
对于差分方程，可以将其改写为：
y[n]a 1 0 kM 0bkx[nk]kN 1aky[nk]
可以看出：要求出y[0]，不仅要知道所有x[n] (-M≤n ≤0 )，还要知 道y[-1]、y[-2]、…、y[-N]，这称为一组初始条件。对于因果LTI系 统，若当n<0时，x[n]=0，则有y[-1]、y[-2]… y[-N]都为0，于是可 以求得y[0]=b0x[0]/a0。进一步，又可以通过y[0]和x[0]、x[1]求得 y[1],依次类推可求出所有y[n]。
右端加法器的输出:
y(t) 2f'(t)4f(t) (2)
由(2)可得y’(t)，y’’(t)为:
;(t)2f''(t)4f'(t) (3) y''(t)2f'''(t)4f''(t) (4)
实验八连续系统复频域分析
实验八 连续系统复频域分析1实验目的(1) 掌握拉普拉斯变换的物理意义及应用。
(2) 掌握用MA TLAB 绘制拉普拉斯变换的曲面图。
(3) 理解拉普拉斯变换与傅里叶变换之间关系。
(4) 掌握系统函数的概念，掌握系统函数的零、极点分布与系统的稳定性、时域特性等之间的相互关系。
(5) 拉普拉斯逆变换的MA TLAB 计算。
2 实验原理及方法2.1连续时间L TI 系统的复频域描述拉普拉斯变换主要用于连续时间LTI 系统分析。
描述系统的另一种数学模型是建立在拉普拉斯变换基础上的“系统函数”—H(s)：[][])()()()()(t x L s X t y L s Y s H 换系统激励信号的拉氏变换系统冲击响应的拉氏变→→= 8-1 系统函数H(s)的实质就是系统单位冲激响应h(t)的拉普拉斯变换。
因此，系统函数可以定义为：⎰∞∞--=dt e t h s H st )()( 8-2 系统函数H(s)的一些特点是和系统时域响应h(t)的特点相对应。
求H(s)的方法，除了按照定义之外，更常用的是根据描述系统的线性常系数微分方程，经拉氏变换后得到H(s)。
假设描述一个连续LTI 系统的线性常系数微分方程为：∑∑===M k k k k Nk k k k dt t x d b dt t y d a 00)()( 8-3 对式8-3两边做拉普拉斯变换，则有∑∑===M k k k N k k k s X s b s Y s a 00)()( 即：∑∑====N k kk M k k k s as b s X s Y s H 00)()()( 8-4 式8-4告诉我们，对于一个能够用线性常系数微分方程描述的连续时间L TI 系统，它的系统函数是一个关于复变量s 的有理多项式的分式，其分子和分母多项式系数与系统微分方程左右两端的系数是对应的。
根据这一特点，可以很容易根据微分方程写出系统函数表达式，或者根据系统函数表达式写出系统微分方程。
连续系统复频域分析报告附MATLAB实现信号与系统实验报告
计算机与信息工程学院设计性实验报告专业：通信工程年级/班级：2011级第二学年第二学期一、实验目的1.掌握用matlab分析系统时间响应的方法2.掌握用matlab分析系统频率响应的方法3.掌握系统零、极点分布与系统稳定性关系二、实验原理1.系统函数H(s)系统函数:系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比.H(s)=R(s)/E(s)在matlab中可采用多种方法描述系统,本文采用传递函数(系统函数)描述法.在matlab中, 传递函数描述法是通过传递函数分子和分母关于s降幂排列的多项式系数来表示的.例如,某系统传递函数如下则可用如下二个向量num和den来表示:num=[1,1]；den=[1,1.3,0.8]2.用matlab分析系统时间响应1)脉冲响应y=impulse(num,den,T)T:为等间隔的时间向量,指明要计算响应的时间点.2)阶跃响应y=setp(num,den,T)T同上.3)对任意输入的响应y=lsim(num,den,U,T)U:任意输入信号. T同上.3.用matlab分析系统频率响应特性频响特性: 系统在正弦激励下稳态响应随信号频率变化的特性.|H(jω)|:幅频响应特性.ϕ(ω):相频响应特性(或相移特性).Matlab求系统频响特性函数freqs的调用格式:h=freqs(num,den,ω)ω:为等间隔的角频率向量,指明要计算响应的频率点.4.系统零、极点分布与系统稳定性关系系统函数H(s)集中表现了系统的性能,研究H(s)在S平面中极点分布的位置,可很方面地判断系统稳定性.1) 稳定系统: H(s)全部极点落于S左半平面(不包括虚轴),则可以满足系统是稳定的.2)不稳定系统: H(s)极点落于S右半平面,或在虚轴上具有二阶以上极点,则在足够长时间后,h(t)仍继续增长, 系统是不稳定的.3)临界稳定系统: H(s)极点落于S平面虚轴上,且只有一阶,则在足够长时间后,h(t)趋于一个非零数值或形成一个等幅振荡.系统函数H(s)的零、极点可用matlab的多项式求根函数roots()求得.极点:p=roots(den)零点:z=roots(num)根据p和z用plot()命令即可画出系统零、极点分布图,进而分析判断系统稳定性.三、实验内容设①p1=-2,p2=-30; ②p1=-2,p2=31.针对极点参数①②,画出系统零、极点分布图, 判断该系统稳定性.2.针对极点参数①②,绘出系统的脉冲响应曲线,并观察t→∞时, 脉冲响应变化趋势.3.针对极点参数①, 绘出系统的频响曲线.四、实验要求1．预习实验原理；2．对实验内容编写程序(M文件),上机运行；3．绘出实验内容的各相应曲线或图。
实验5--连续时间系统的复频域分析
实验5–连续时间系统的复频域分析实验背景在连续时间系统的频域分析中，复频域分析是非常重要的一个方法。
其可以帮助我们更直观地了解系统的频率响应，包括幅频响应和相频响应，对于系统的设计和优化都有非常实际的应用价值。
因此，在本次实验中，我们将通过对一个特定系统的复频域分析来学习这一方法的基本原理和操作流程。
实验目的1.了解连续时间系统的幅频响应和相频响应2.掌握利用MATLAB对系统进行复频域分析的方法3.学会根据复频域图像对系统进行分析和优化实验原理连续时间系统幅频响应和相频响应在连续时间系统的频域分析中，使用的是拉普拉斯变换。
通过对系统的输入信号和输出信号进行拉普拉斯变换，可以得到它们在复平面上的函数，进而求得系统的传递函数H(s):H(s)=Y(s)/X(s)其中，s为复变量。
系统的幅频响应和相频响应分别定义为:H(s)的模和相位:|H(jw)|=sqrt(H(s)H(s)*) (模) arg(H(jw))=tan^-1[Im{H(jw)}]/Re{H(jw)} (相位) 其中，w为实数，j为虚数单位。
利用MATLAB进行系统复频域分析MATLAB提供了众多用于连续时间系统复频域分析的工具。
其中，最基本的是bode命令。
它可以计算和绘制给定系统的幅频响应和相频响应曲线。
常用命令格式如下：[bode(H,w)]其中，H为系统的传递函数，w为频率范围除此之外，MATLAB还提供了很多其他的命令，如nyquist、margin、freqresp 等。
它们可以帮助我们更全面地分析系统的性能和特点。
实验步骤实验环境1.一台已安装MATLAB的计算机实验流程1.根据给定的系统传递函数H(s)，利用MATLAB计算和绘制其幅频响应和相频响应曲线。
%定义系统传递函数H=tf([5+j*10 0.6+0.2*j],[1 2+j 3 4-j 5+j]);%绘制幅频响应和相频响应曲线figure(1)subplot(2,1,1)bode(H);subplot(2,1,2)nyquist(H);2.根据绘制的幅频响应和相频响应曲线，对系统进行分析和优化。
连续信号与系统的复频域分析
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2023 WORK SUMMARY
THANKS
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REPORTING
PART 01
连续信号的复频域表示
傅里叶变换的定义与性质
傅里叶变换定义
将时间域的连续信号转换为频率 域的表示，通过积分将时间函数 与其复指数函数相乘，得到频谱 函数。
傅里叶变换的性质
线性性、时移性、频移性、对称 性、微分性、积分性等。
傅里叶变换的应用
01
02
03
信号分析
通过傅里叶变换将信号分 解为不同频率的分量，便 于分析信号的频率成分和 特征。
复频域分析的原理
复频域分析的应用
复频域分析是一种将连续时间信号和 系统从时域转换到复频域的方法。通 过在复频域内分析信号和系统的性质 ，可以更方便地处理信号的频谱、系 统的稳定性以及频率响应等问题。
复频域分析在通信、控制、图像处理 、音频处理等领域有着广泛的应用。 例如，在通信领域中，信号的调制和 解调过程通常需要在复频域内进行。 在控制领域，系统的稳定性分析和控 制策略的设计也需要用到复频域分析 。
将低频信号调制到高频载波上，实现信号的传输和放大。
解调
将已调信号从载波中分离出来，还原为原始信号。
信号的滤波与去噪
滤波
通过一定的滤波器对信号进行滤波处理，提取所需频率成分，抑制噪声和干扰。
去噪
采用各种去噪算法对信号进行降噪处理，提高信号的信噪比。
PART 04
连续信号与系统的复频域 分析在实际中的应用
通信系统中的信号处理
01
信号调制与解调
在通信系统中，信号通常需要经过调制和解调过程才能传输。复频域分
析可以用于分析信号在调制和解调过程中的频谱变化，从而优化传输性
数字信号处理 第4章 信号与系统的复频域分析
极点的分布反映了系统的各种特征。
系统函数往往用零点和极点在S平面上的分 布图来表示，以”○”表示零点，以”×” 表示极点，以“⊙”表示重零点，以”*” 表示重极点。
jω
×
1
○
*
-2
-1
○
01
○
2
σ
×
-1
H
(s)
s(s (s2 2s
求上式的拉氏反变换，就可以得到系统的
冲激响应为：
n
h(t) bm kie pit i 1
每一极点对应一分量 epit ,(有r重极点时对 应 t e r1 pit ），极点位置就决定了该分量 的时域性质。
在H(s)的系数都为实数时，如果有一极点
为复数，必有另一极点是该极点的共轭复 数，同时系数k也将为共轭复数，一对共轭 极点组成的响应分量仍然为实数。
系统稳定性：对于任何一个有界的激励， 稳定系统产生的响应在任何时候都是有界 的。也就是要求系统的冲激响应有界（随 着t→∞，|h(t)|将逐渐衰减到零）。系统的 冲激响应的时域性质可由系统函数的极点 位置确定，因此，系统的稳定性可由系统 函数的极点位置来判断。
1、系统函数的极点全部位于左半S平面时， 随着t→∞将逐渐衰减到零，系统稳定。因
1
F (s)estds F (s)estds
2 j C0 Ci
Ci
0
k
Re
s(sk
)
1
2
j
Ci
F
(s)e st ds
F (s)estds 0 t 0
C1
F (s)estds 0 t 0
C2
利用matlab进行信号和系统的复频域分析心得
利用matlab进行信号和系统的复频域分析心得
利用MATLAB进行信号和系统的复频域分析是非常常见的。
下面是一些心得和步骤供参考：
1. 导入信号数据：首先，你需要将信号数据导入到MATLAB中。
这可以通过多种方式实现，例如读取文件或直接生成信号矩阵。
2. 选择合适的频域分析方法：根据你的需求和信号类型，选择合适的频域分析方法。
常见的方法包括傅里叶变换、快速傅里叶变换（FFT）、离散傅里叶变换（DFT）等。
3. 执行频域分析：使用MATLAB提供的相应函数，如fft()或fftshift()来执行频域分析。
这将为你提供信号的频谱信息。
4. 绘制频谱图：使用MATLAB的绘图函数，如plot()或stem()，将频谱数据可视化为频谱图。
你可以选择线性频谱图或对数频谱图，具体取决于信号特性和需求。
5. 分析频谱信息：根据频谱图，你可以分析信号的频率分量、幅度特性以及相位特性。
对于系统分析，你还可以计算系统的传递函数。
6. 系统设计和优化：根据频域分析结果，你可以对系统进行设计和优化。
例如，你可以确定降噪滤波器的截止频率，或者针对特定的频率范围进行信号增强。
需要注意的是，MATLAB提供了丰富的信号处理和系统分析工具箱，可以帮助你更轻松地完成复频域分析任务。
同时，请确保使用合法授权的软件和工具，遵守中国法律政策。
复频域分析实验报告
复频域分析实验报告复频域分析实验报告引言复频域分析是一种用于研究信号频谱特性的方法，它可以将信号分解为不同频率成分，并通过频谱图展示出来。
本实验旨在通过实际操作，探索复频域分析的原理和应用。
实验设备和方法本实验所使用的设备包括信号发生器、示波器和频谱分析仪。
首先，我们通过信号发生器产生一定频率和幅度的正弦信号，并将其连接到示波器上。
然后，通过示波器上的功能设置，将信号转换为频谱图，并使用频谱分析仪对其进行进一步的分析。
实验结果与分析在进行实验过程中，我们选择了不同频率和幅度的正弦信号进行测试。
通过观察频谱图，我们可以清晰地看到信号的频率成分和其对应的幅度。
例如，当输入一个频率为1kHz的正弦信号时，频谱图显示了一个明显的峰值，对应着信号的主要频率成分。
同时，我们还可以观察到其他频率成分的存在，这些成分可能是由于信号本身的非线性特性或干扰引起的。
在进一步的实验中，我们改变了信号的幅度，并观察了频谱图的变化。
结果表明，信号的幅度与频谱图中峰值的高度存在一定的关系。
当信号幅度增加时，对应的峰值也会随之增加，反之亦然。
这一结果说明了信号的幅度对频谱分析结果的影响。
除了正弦信号外，我们还测试了其他类型的信号，如方波和三角波。
通过对这些信号进行复频域分析，我们可以观察到它们的频谱特性与正弦信号有所不同。
例如，方波信号的频谱图显示了多个峰值，对应着方波的谐波成分。
而三角波信号的频谱图则呈现出连续的频率分布，没有明显的峰值。
这些结果说明了不同类型信号的频谱特性是不同的，复频域分析可以帮助我们深入了解信号的频谱结构。
实验应用与展望复频域分析在实际应用中有着广泛的用途。
例如，在音频处理领域，复频域分析可以用于音频信号的均衡器设计和音频效果的提取。
在通信领域，复频域分析可以用于调制解调器的设计和信号传输质量的评估。
此外，复频域分析还可以应用于图像处理、生物医学工程等领域。
然而，本实验只是对复频域分析的基本原理和应用进行了初步的探索。
复频域分析实验报告
一、实验目的1. 理解复频域分析的基本原理和概念。
2. 掌握利用拉普拉斯变换进行系统分析的方法。
3. 学习使用MATLAB进行复频域分析，包括拉普拉斯变换和逆变换的计算、系统函数的求解以及系统响应的绘制。
4. 理解系统稳定性、频率响应和时域响应之间的关系。
二、实验原理复频域分析是信号与系统分析中的一种重要方法，它通过拉普拉斯变换将时域信号和系统转换到复频域进行分析。
在复频域中，信号和系统的特性可以更直观地表示，便于分析和设计。
拉普拉斯变换是一种积分变换，它将时域信号f(t)转换为复频域信号F(s)。
其定义如下：\[ F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st} dt \]其中，s是复数，称为复频率。
拉普拉斯逆变换将复频域信号F(s)转换为时域信号f(t)。
其定义如下：\[ f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = \frac{1}{2\pi j}\int_{\gamma -j\infty}^{\gamma + j\infty} F(s)e^{st} ds \]其中，γ是拉普拉斯变换的收敛带。
通过拉普拉斯变换，可以将线性时不变系统（LTI）的时域微分方程转换为复频域的代数方程，从而简化系统分析和设计。
三、实验内容及步骤1. 拉普拉斯变换和逆变换的计算使用MATLAB进行以下信号的拉普拉斯变换和逆变换计算：- 单位阶跃信号 u(t)- 单位冲激信号δ(t)- 指数信号 e^{-at}2. 系统函数的求解根据给定的系统微分方程，求解其系统函数H(s)。
3. 系统响应的绘制- 利用MATLAB绘制系统函数H(s)的幅度响应和相位响应。
- 利用MATLAB绘制系统对单位阶跃信号的响应和单位冲激信号的响应。
4. 系统稳定性分析- 根据系统函数H(s)的极点分布，判断系统的稳定性。
- 利用MATLAB绘制系统函数H(s)的零极点图，直观地观察系统稳定性。
5. 频率响应分析- 利用MATLAB绘制系统函数H(s)的频率响应，分析系统的带宽和截止频率。
RLC系统的复频域分析(信号与系统)
解 (1) 求完全响应iL(t)：
＋
u s1(t)
＋ －
(a)
＋ －
u C(t) L
－
u s1 ( t ) iL ( 0 ) = = 1A R1 + R2
−
R2 uC (0 ) = us1 (t ) = 1V R1 + R2
−
t＝ 0 S 1
R1 2
R2 i L(t) C
＋
u s1(t)
＋
u s2(t)
＋ －
u C(t) L
－
－
(a)
R1 1 sC I1(s)
R2 IL(s) I2(s) L
＋
Us2(s)
＋ －
(b)
－
u C(0－) s
－ ＋
Li L(0－)
则S域的网孔方程为
1 1 uC (0− ) R1 + sC I1 ( s ) − sC I 2 ( s ) = U S 2 ( s ) − s 1 uC (0− ) 1 I1 ( s ) + − + R2 + sL I 2 ( s ) = + LiL (0− ) sC s sC
di (t ) u(t ) = L dt 1 t i (t ) = i (0 ) + ∫ − u (τ )dτ L 0
−
t ≥ 0
(4.6-5)
U ( s ) = sLI ( s ) − Li (0 ) U ( s ) = sLI ( s )
−
1 i (0 ) I (s) = U (s) + sL s
连续时间系统的复频域分析
信号与系统实验报告实验题目： 实验三：连续时间系统的复频域分析实验仪器： 计算机，MATLAB 软件101b s b a s a ++++++称为系统的特征多项式，征根，也称为系统的固有频率（或自然频率）。
为将个特征根，这些特征根称为()F s 极点。
根据求函数21()(1)F s s s =-的拉氏逆变换。
源代码：num = [1]; 结果为：r ＝-1 1 1 a=conv([1 -1],[1 -1]);den = conv([1 0], a); p ＝1 1 0 [r,p,k] = residue(num, den); k=03.示例3：求函数2224()(4)s F s s -=+的拉氏逆变换源代码：num = [1 0 -4];den = conv([1 0 4], [1 0 4]); [r,p,k] = residue(num, den);结果为：r ＝-0.0000-0.0000i 0.5000+0.0000i -0.0000+0.0000i 0.5000-0.0000ip ＝-0.0000+2.0000i -0.0000+2.0000i -0.0000-2.0000i -0.0000-2.0000i k=04.示例4：已知系统函数为：321()221H s s s s =+++，利用Matlab 画出该系统的零极点分布图，分析系统的稳定性，并求出该系统的单位冲激响应和幅频响应。
源代码： num=[1];den=[1 2 2 1]; sys=tf(num,den); poles=roots(den); figure(1);pzmap(sys);xlabel('Re(s)');ylabel(' Im(s)');title('zero-pole map'); t=0:0.02:10;h=impulse(num,den,t); figure(2);plot(t,h);xlabel('t(s)');ylabel('h(t)');title('Impulse Response'); [H,w]=freqs(num,den);figure(3);plot(w,abs(H));xlabel('\omega(rad/s)');ylabel('|H(j\omega)|');title('Magenitude Response'); 结果为：poles =-1.0000 -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i (2) 已知象函数，试调用residue 函数完成部分分式分解，并写出逆变换。
信号与系统§6.1线性系统复频域分析法
电阻R的运算阻抗可以表示为R UR(s)
IR (s)
R iR (t)
R IR(s)
vR t
VR(s)
2. 电感元t
n
i0
ai
siR(s)
i1 k 0
si1k
r
(k
)
(0
)
m
bjs jE(s)
j0
（6-4）
即
n i0
ai si
R(s)
n i0
ai
i1 k0
si
1k
r
(k
)
(0
)
m
bjs
j0
设系统的初始状态为r(0 ),r(0 ) ，…，r(n1) (0 ) 。根据
拉氏变换的时域微分特性，响应信号r(t) 及其各阶导
数的拉式变换为
i 1
L r(i) (t) si R(s) si1k r(k) (0 ) k 0
(i 0,1,L , n)
(6-2)
如果激励信号 e(t) 为有始信号，且L e(t) E(s), 将 e(t)
设为 t 0 时的接入，则在 t 0 时 e(t) 及其各阶导
数都为0，即 e( j) (0 ) 0( j 0,1, 2,L , m) ，于是激励信号
e(t) 及其各阶倒数的拉式变换为
L e( j) (t) s j E(s) ( j 0,1,L , m) （6-3） 对式（6-1）的两边取拉式变换，并利用式（6-2）、 （6-3），得
信号与系统复频域分析
实验五 信号与系统复频域分析一、 实验目的1.学会用MATLAB 进行部分分式展开；2.学会用MATLAB 分析LTI 系统的特性；3.学会用MATLAB 进行Laplace 正、反变换。
二、实验内容与步骤1、求信号)()(3t u te t f t -=的拉普拉斯变换。
f=sym(' t*exp(-3*t)'); F=laplace(f) 实验结果： F =1/(s+3)^22、求函数23795)(223+++++=s s s s s s F 的部分分式展开式,以及反变换。
format rat; num=[1,5,9,7]; den=[1, 3,2];[r,p]=residue(num,den) 实验结果： r =-1 2 p =-2 -1 反变换：F=sym('(s^3+5*s^2+9*s+7)/(s^2+3*s+2)'); ft=ilaplace(F) ft =dirac(1,t)+2*dirac(t)-exp(-2*t)+2*exp(-t)4、已知一个因果系统的系统函数为)2)(1()(++=s s ss H ，该系统的零点和极点分别位于？从时域和零极点分布特征两个方面说明该系统是否是稳定的系统？从频率响应特性上看，该系统具有何种滤波特性？ num=[1,0]; den=[1,3,2]; sys=tf(num,den); figure(1);pzmap(sys); title('零极点分布图') t=-10:0.02:10;f=t./(t.^2 + 3* t + 2); figure(2);plot(t,f) xlabel('s') ylabel('H(s)')title('H(s)的时域波形图') [H,w]=freqs(num,den); figure(3);plot(w,abs(H)) xlabel('\omega') title('频率响应图')5、输入因果的系统函数12211)(232++++=s s s s a s H ① 此处a 取1，执行程序。
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[答案] yzi(t) 2e2t te2t, t 0
yzs (t) (2 8te2t 2e2t )u(t)
y(t) 2 4e2t 7te2t , t 0
系统响应的复频域分析
[练习3] d2 y(t) 4 dy(t) 8y(t) 3 dx(t) x(t)
dt2
dt
dt
已知 x(t) = etu(t)，y(0) =5，y' (0) =3，求y(t)。
综合题：描述某连续时间LTI因果系统的微分方程为
y"(t) 7y'(t) 10y(t) 2x'(t) 3x(t)
已知 x(t) etu(t) ，y(0 ) 1, y'(0 ) 1 ,由复频域求解： (1)零输入响应 yzi(t)，零状态响应 yzs(t) ，完全响应 y (t) 。
解：
[答案]
yzi
yzs
(t)
(t)
5e2t cos(2t) 13
0.4et
0.4e
2
2t
e2t sin(2t),
cos(2t) 1.
t
7e 2t
0
sin(2t)
u
(t
)
y(t) 0.4et 5.4e2t cos(2t) 8.2e2t sin(2t), t 0
系统响应的复频域分析
IR(s) R
已知 x(t) etu(t)， y(0 ) 1, y '(0) 1 ，由复频域求解： (1)零输入响应 yzi(t)，零状态响应 yzs(t) ，完全响应 y (t) 。 (2)系统函数H(s)，单位冲激响应h(t)，并判断系统是否稳定
。
(3)画出系统的直接型模拟框图。
综合题：描述某连续时间LTI因果系统的微分方程为 y"(t) 7y'(t) 10y(t) 2x'(t) 3x(t)
s
8 3
y (t) L 1{Y (s)} 11e2t 8e3t, t 0
zi
zi
系统响应的复频域分析
Yzs
(s)
s2
2s 8 5s
6
s
1 1
2s 8 (s 2)(s
3)
s
1 1
3 4 1 s 1 s 2 s 3
yzs(t) L 1{Yzs(s)} (3et 4e2t e3t ) u(t)
t
2t
3t
y(t) yzi (t) yzs (t) 3e 7e 7e ,t 0
系统响应的复频域分析
[练习1] d2 y(t) 7 dy(t) 12 y(t) x(t)
dt2
dt
已知 x(t) = u(t)，y(0) =1，y' (0) =2，求y(t)。
[答案]
3t
4t
yzi (t) 6e 5e ,t 0
主讲人：陈后金
电子信息工程学院
系统响应的复频域分析
时域微分方程
单 边 拉 氏 变 换
s域代数方程
解微分方程 解代数方程
时域响应y(t)
拉 氏 反 变 换
s域响应Y(s)
系统响应的复频域分析
例：二阶系统响应的s 域求解
d2 y(t) 5 dy(t) 6 y(t) 2 dx(t) 8x(t)
Y(s) sy(0) y '(0 ) 7 y(0) 2s 3 X (s)
s2 7s 10
s2 7s 10
零输入响应的复频域表达式为
s8
2 1
Yzi(s)
s2 7s 10 s 2 s 5
进行单边拉普拉斯反变换可得
y (t) L zi
1{Y (s)} 2e2t e5t ,t 0 zs
(1 et 4
1 e2t 3
7 e5t )u(t) 12
Y (s)
sy(0 ) y '(0 ) 7 y(0 ) s2 7s 10
s2
2s 3 7s 10
X (s)
零状态响应的复频域表达式为
Yzs
(s)
(s2
2s 3 7s 10)(s
1)
1/ 4 s 1
1/ 3 s2
12 s
/7 5
进行拉普拉斯反变换可得
yzs (t) L
1{Yzs (s)}
sC
ss
R
求出回路电流 I (s) 2E s(R 1 ) sC
E s
I(s)
1/sC
E /s
VC(s)
电容电压为 VC (s)
1t
vC (t) E(1 2e RC
I(s) E sC s
), t 0
E( 1 s
s
2 1
RC
)
综合题：描述某连续时间LTI因果系统的微分方程为 y"(t) 7y'(t) 10y(t) 2x'(t) 3x(t)
dt2
dt
dt
已知 x(t) = etu(t) ，y(0) =3 ，y' (0) =2 ，求y(t)。
求解步骤：
☼ 由拉氏变换将时域微分方程变换为s域代数方程 ☼ 求解s域代数方程，求出Yzi(s), Yzs(s) ☼ 拉氏反变换，求出响应的时域表示式
系统响应的复频域分析
y"(t)
[s2Y (s) sy(0 ) y'(0 )] 2sX (s) 8X (s)
已知 x(t) etu(t) ， y(0 ) 1, y'(0 ) 1 ,由复频域求解： (1)零输入响应 yzi(t)，零状态响应 yzs(t) ，完全响应 y (t) 。
解： (1) 对微分方程两边进行单边拉普拉斯变换得
s2Y (s) sy(0 ) y' (0 ) 7sY(s) 7 y(0 ) 10Y(s) (2s 3)X (s)
5y'(t)
6y (t)
5[sY (s) y(0 )] 6Y(s)
2x '(t) 8x(t)
sy(0 ) y '(0 ) 5y(0 ) 2s 8
Y(s)
s2 5s 6
X (s)
s2 5s 6
Yzi(s)
Yzs(s)
系统响应的复频域分析
Yzi (s)
3s s2
17 5s 6
11 s2
yzs
(t)
(1 12
1 3
e3t
1 e4t 4
)u(t)
y(t) 1 17 e3t 19 e4t ,t 0
12 3
4
系统响应的复频域分析
[练习2] d2 y(t) 4 dy(t) 4 y(t) 3 dx(t) +2x(t)
dt2
dt
dt
已知 x(t) = 4u(t)，y(0) =2，y' (0) =3，求y(t)。
VR(s)
R、L、C复频域模型
IL(s)
sL
LiL (0)
VL(s)
1 IC(s) sC
1 s
vC(0
)
VC(s)
例：图示电路初始状态为vC(0)= E, 求电容两端电压vC(t)。
R
解：建立电路的复频域模型
Eu(t)
i(t)
由复频域模型写回路方程 (R 1 )I (s) E E
C
vC(t)