余数问题(教师版)
《与余数有关的问题》(教学设计)
《与余数有关的问题》（教学设计）教学设计：一、教学目标1. 理解余数的概念。
2. 学会利用余数解决整除和求模问题。
3. 学会分析和解决余数有关的问题。
4. 通过练习，巩固和提高学生解决余数问题的能力。
二、教学重点1. 余数的概念和解题方法。
2. 整除和求模问题的解决方法。
3. 与余数有关的问题的解决方法。
三、教学难点1. 在解决问题时理解余数的应用。
2. 培养学生思维逻辑能力，分析问题的方法。
四、教学方法1. 经验教学法2. 演示教学法3. 互动探究法五、教学过程1. 导入环节（5分钟）老师可以在黑板上写上一个式子：“10÷4=2....2”。
然后问学生这个式子有什么意义和用途，引发学生余数的问题和疑惑。
2. 分组讨论（10分钟）教师将学生分成小组，要求学生在小组内讨论和比较什么情况下会产生余数，如何确定该余数，并说明产生此余数会如何影响整个式子。
3. 知识讲解（15分钟）教师在黑板上讲解余数及其应用，引导学生了解余数的概念和不同情况下的求余方法，并列举一些例子进行解释。
4. 练习（20分钟）教师在黑板上出示一些练习题，并给出解题步骤和解答。
然后，要求学生在课本上完成一些练习题，以检验学情和学生掌握余数的能力。
5. 总结（10分钟）老师简单总结余数的概念、应用和解题方法，并鼓励学生在生活和学习中多加尝试与余数有关的问题。
六、教学资源1. 黑板、彩笔2. 教师出示的练习题3. 学生课本七、教学评价1. 学生理解余数及其应用的能力是否提升。
2. 学生解决余数问题的能力是否提高。
3. 课堂练习、作业能否完成。
4. 学生在处理余数问题时的思维逻辑是否清晰、正确。
八、教学实验1. 解决整除问题的方法：（1）判断-如果除数被被除数整除，则结果为整数；否则有余数。
（2）整数除法-进行除法运算得到的结果为整数，而余数为0。
例如：判断100是否被4整除。
由于100÷4=25，且27×4=108，因此100不被4整除，余数为0。
有余数的除法(教师)
余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
有余数的除法内容分析知识结构1.272除以23的商为 ，余数为 。
【难度】★ 【答案】11,19【解析】解：272=23×11+192.已知某数被5除后的小数部分为0.4，则5除这个数的余数为 。
【难度】★ 【答案】2【解析】解：0.4×5=23. 7104×519的积被11除，得商为 ，余数为 。
【难度】★★ 【答案】335179 , 7 【解析】解：7104×519=（11×645+9）（11×47+2）=11×11×645×47+11×645×2+9×11×47+9×2 =11×11×645×47+11×645×2+9×11×47+11×1+7 =11×335179+7一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有r b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=÷q a ，也就是r bq a += 其中q 是商，r 是余数，0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里： (1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商知识精讲模块一：带余除法的定义与性质课前热身即 被除数=除数×商+余数， 或 被除数-余数=除数×商一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。
人教版二年级下册数学第六单元《有余数的除法)》作业设计教师版
人教版二年级下册数学第六单元《有余数的除法》作业设计
教师版
一、作业目的
本次作业旨在帮助学生进一步掌握有余数的除法概念，培养其整除和余数的计算能力。
二、作业内容
1.计算以下各题：
–23 ÷ 5
–35 ÷ 6
–48 ÷ 7
–57 ÷ 8
–68 ÷ 9
2.选择题：
1.25 ÷ 5 = （）余（） A. 4 5 B. 6 0 C. 5 0 D. 6 1
2.38 ÷ 6 = （）余（） A. 6 2 B. 5 8 C. 6 4 D. 5 6
三、完成时间
本次作业需在学习《有余数的除法》后一周内完成，收作业时需注意学生的计算过程和答案准确性。
四、作业要求
1.作业需以整洁的笔迹完成，不得有涂改。
2.答案需用算式或文字清晰表示，方便后续批改。
3.学生如有不懂之处，可在作业本上标明，以便老师及时解答。
五、评分标准
1.算术题：每题2分，计算准确得满分；
2.选择题：每题1分，正确选项得满分；
3.作业整洁度：5分；
4.提出问题：老师根据问题难易程度酌情给分。
六、注意事项
1.作业完成后请家长签字确认；
2.完成作业的学生可以获得相应的加分奖励。
以上是本次作业设计的内容，希望能帮助学生更好地掌握有余数的除法知识，提高他们的数学计算能力。
祝大家学习进步！。
余数问题教案2(教师版)
课题：余数问题班级姓名还是有两个机会有个年轻人，届逢兵役年龄，抽签的结果，正好抽中下下签，最艰苦的兵种－－海军陆战队。
年轻人为此镇日忧心重重，几乎已到了茶不思、饭不想的地步。
年轻人深具智慧的祖父，见到自己的孙子这付模样，便寻思要好好开导他。
老祖父：“孩子啊，没什么好担心的。
当了海军陆战队，到部队中，还有两个机会，一个是内勤职务，另一个是外勤职务。
如果你分发到内勤单位，也就什么好担心的了！”年轻人问道：“那，若是被分发到外勤单位呢？”老祖父：“那还有两个机会，一个是留在本岛，另一个是分发外岛。
如果你分发在本岛，也不用担心呀！”年轻人又问：“那，若是分发到外岛呢？”老祖父：“那还是有两个机会，一个是后方，另一个是分发到最前线。
如果你留在外岛的后方单位，也是很轻松的！”年轻人再问：“那，若是分发到最前线呢？”老祖父：“那还是有两个机会，一个是站站卫兵，平安退伍；另一个是会遇上意外事故。
如果你能平安退伍，又有什么好怕的！”年轻人问：“那么，若是遇上意外事故呢？”老祖父：“那还是有两个机会，一个是受轻伤，可能送回本岛；另一个是受了重伤，可能不治。
如果你受了轻伤，送回本岛，也不用担心呀！”年轻人最恐惧的部分来了，他颤声问：“那……若是遇上后者呢？”老祖父大笑：“若是遇上那种情况，你人都死了，还有什么好担心的？倒是我要担心，那种白发人送黑发人的痛苦场面，可不是好玩的喔！”人生拥有的，是不断的抉择，端看您是用什么态度，去看待这些有赖您决定的无数机会。
能够综观每件事情、每个问题的正反两面，您将发现，内心最深沉的恐惧，也在所有状况明朗了解之后，将会自行化为乌有。
感悟：【运河通道1】a是自然数，除数b是自然数（a＞b），商也是自然数时，出现的余数是小于除数的自然数的除法，叫做带余除法。
并且余数小于除数。
当余数不为零时，商叫做不完全商。
【运河通道2】余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：（1）余数小于除数。
（2）被除数=除数×商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数。
593 余数问题(讲师版)
于 4，即两个余数的和 3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以 c 的余数。 例如：23，19 除以 5 的余数分别是 3 和 4，所以 23+19=42 除以 5 的余数等
三.弃九法原理 在公元前 9 世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算
术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算 结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：
例如：检验算式1234 1898 18922 678967 178902 889923 1234 除以 9 的余数为 1 1898 除以 9 的余数为 8 18922 除以 9 的余数为 4 678967 除以 9 的余数为 7 178902 除以 9 的余数为 0 这些余数的和除以 9 的余数为 2 而等式右边和除以 9 的余数为 3，那么上面这个算式一定是错的。 上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这 个等式是正确的，那么左边几个加数除以 9 的余数的和再除以 9 的余数一定与 等式右边和除以 9 的余数相同。 而我们在求一个自然数除以 9 所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行 计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以 9 的余数就可以了，在算的 时候往往就是一个 9 一个 9 的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。 所以我们总结出弃九发原理：任何一个整数模 9 同余于它的各数位上数字 之和。 以后我们求一个整数被 9 除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之 和，再求这个和被 9 除的余数即可。 利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除 和乘方的结果对不对同样适用
5-6-1_余数问题.题库教师版.doc(可编辑修改word版)
余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
知识点拨一、带余除法的定义及性质一般地，如果 a 是整数，b 是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是 a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1)当r = 0 时：我们称 a 可以被 b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商(2)当r ≠ 0 时：我们称 a 不可以被 b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有 a 本，这个 a 就可以理解为被除数，现在要求按照 b 本一捆打包，那么 b 就是除数的角色，经过打包后共打包了 c 捆，那么这个 c 就是商，最后还剩余 d 本，这个 d 就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中 4 个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：1.余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数之和，或这个和除以 c 的余数。
例如：23，16 除以5 的余数分别是 3 和1，所以 23+16=39 除以5 的余数等于 4，即两个余数的和 3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以 c 的余数。
例如：23，19 除以5 的余数分别是 3 和4，所以 23+19=42 除以5 的余数等于 3+4=7 除以 5 的余数，即2.2.余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数的积，或者这个积除以 c 所得的余数。
5-6 余数问题教学目标例如：23，16 除以5 的余数分别是 3 和1，所以23×16除以5 的余数等于3×1=3。
5-5-2 带余除法(二).教师版
【答案】10
【例 3】 一个两位数除以 13 的商是 6，除以 11 所得的余数是 6，求这个两位数． 【考点】带余除法的估算问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】因为一个两位数除以 13 的商是 6，所以这个两位数一定大于13 6 78 ，并且小于13 (6 1) 91；
是 31743 除以 823 可以看成余 469 也可以看成不足(823-469=)354，于是改动某位数字使得得到的新 数比原来大 354 或 354+823n 也是满足题意的改动．有 n=1 时，354+823：1177，n=2 时，354+823×2=2000， 所以当千位增加 2，即改为 3 时，有修改后的五位数 33743 为 823 的倍数． 【答案】33743
77777 41 □ 0 ，……，所以 77777 是 41 的倍数，而1996 5 3991 ，所以 777 77 可以分成
1996个7
399 段 77777 和 1 个 7 组成，那么它除以 41 的余数为 7．
【答案】7
【例 8】 已知 a 200820082008 ，问： a 除以 13 所得的余数是多少？
【例 2】 有 48 本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多 5 人．如果把书全部分给第一组，那么每人 4 本，有剩余；每人 5 本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人 3 本，有剩余；每人 4 本， 书不够．问：第二组有多少人?
【考点】带余除法的估算问题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】小学数学夏令营 【解析】由 48 4 12 ， 48 5 9.6 知，一组是 10 或 11 人．同理可知 48 3 16 ， 48 4 12 知，二组是 13、
第5讲.有趣的余数问题.教师版
.在二年级的时候，我们就学习过一些周期问题的基本知识．但是由于本讲知识应用的广泛性，所以本讲又进行了拓展与延伸．本讲主要学习利用余数解答周期问题的方法， 知识点： 1．利用余数解决图形中的周期问题；2．利用余数解决生活中的周期问题； 3．利用余数解决年月日中的周期问题．周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现． 周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期．解答周期问题的关键是找规律，找出周期．确定周期后，用总量除以周期，如果正好有整数个周期，结尾就为周期里的最后一个； 闰 年：年份能被4整除；如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除；一年有366天； 平 年：年份不能被4整除或能被4整除但不能被100整除；一年有365天． 一． 图形中的周期问题【分析】我们把开始的座次图当作第1幅图，第一次操作后的图当作第2幅图，……第十次操作的的图就是第11幅图，在这11幅图中，4幅图为一个周期，则11÷4=2……3，则知第11幅图（即第十次操作后的图）同第二次操作后的图．【基础班学案1】观察图中黑、白两色三角形的变化规律．请问：前200个图形中有多少个白色三角形？【分析】通过观察，发现（）为一个周期，则200÷3=66（个）……2（个），说明共有66个周期，还余下一个黑色三角形一个白色三角形，白色三角形共有：66×2+1=133（个）．例1经典精讲第五讲 有趣的余数问题【提高班学案1】如图所示，16幅图按规律排成一排．其中前三幅已经画出，请按规律画出第16幅图的样子．【分析】从前三幅图可知，每个对应位置上的小笑脸都是在按顺时针方向转动，且4组为一个周期，由16÷4=4（周），知第16幅对应的是第四幅图，即．【尖子班学案1】有同样大小的红、白、黑珠共90个，按先3个红的、2个白的、l个黑的排列着，如图：（1）黑珠共有几个？（2）第68个珠是什么颜色的？【分析】图形排列的顺序是，周期是3216÷=，一个周期内++=个，（1）那么90615有一个黑珠，所以黑珠一共有15个；（2）686112÷=，所以第68个是红色．例2【分析】由图知数数情况如下：大拇指、食指、中指、无名指、小指、无名指、中指、食指、大拇指、食指、……，可见每数8个数就重复对应一次手指的排序，则由200825÷=（次）知当数到200时正好数到食指．[巩固] 观察图中图形的规律，第200个图形应该是下面A、B、C、D四个图形中的哪一个？【分析】由颜色的规律知，周期数为3，由图的形状知：周期数为5，则由2003=662÷（个）知第200个图形的颜色是黑色．又由200540÷=组）知第200个图形的形状是☆．所以综合这两种情况知答案是A ．[巩固] 如图所示，表格中每行的文字都是循环出现的：第一行是“黎曼假设”4个汉字不断重复，第二行是“庞加莱猜想”5个汉字不断重复，第三行则是“哥德巴赫猜想”6个汉字不断重复．第200列从上向下依次是哪3个汉字？【分析】第200列从一到下的3个汉字，即是每行中第200个汉字的组成，由200÷4=50（个），知第一行第200个汉字是“设”．由200÷5=40（个），知第二行第200个汉字是“想”，由200÷6=33（个）……2（个），知第三行第200个汉字是“德”．则第200列从上到下依次是“设、想、德”．二．生活中的周期问题：【分析】观察知“红，黄，蓝，绿”四种颜色为一个周期，那么46÷4=11……2，则知第46名同学手里拿的彩旗同周期里的第2个相同，为黄色．【分析】经过对已知条件的分析，我们发现，三种树6棵一组，每组按同样的顺序重复出现．这样，我们只需计算出100棵树中包含了几个6棵，然后把余数对照果树的排列顺序便可确定第100棵树是什么树了． 因为：1006164÷=，说明经过16次重复后还余4棵树．这4棵树的排列顺序应是：苹果树，梨树，梨树，桃树．所以，第100棵种的是桃树．并且这100棵树中有： 苹果树：116117⨯+=（棵） 梨树：216234⨯+=（棵） 桃树：316149⨯+=（棵）[巩固] 如果时钟现在表示的时间是18点整，那么分针旋转1990圈之后是几点钟？例4例3【分析】分针转一圈表示1小时，转24圈是一天，那么周期是24，1990248222÷=圈，那么过了82天，还多余了22圈，在过22小时后是18222416+-=点．【基础班学案2】广场挂了一排彩灯，共1997盏．彩灯排列的规则是：从头起每八盏为一组顺序排列．每组的八盏灯依次为三盏红灯，二盏黄灯，三盏绿灯．那么，最后一盏灯的颜色是．【分析】彩灯的排列规则是八盏灯为一组，每组按同样的方式重复出现．由于1997÷8=249……5，说明经过249次重复后还余5盏灯．这5盏灯应是：红，红，红，黄，黄．因此，第1997盏灯，即最后一盏灯应是黄色的．【提高班学案2】某商店门口挂了一串彩色气球，它们按“3红2黄2蓝”的顺序排列，那么第36个气球是什么颜色．第55个气球是什么颜色？【分析】气球是按“3红2黄2蓝”的顺序排列，周期是3227÷=个，第++=个，那么36751 36个是红色气球，55776÷=个，第55个是蓝色气球．【尖子班学案2】“亮灯工程”后，全市一到晚上，五光十色，非常漂亮，商业大厦楼上的彩灯按“3红2绿2黄1紫”排列，那么第43盏灯是什么颜色？第100盏灯是什么颜色？【分析】彩灯按“3红2绿2黄1紫”一组排列，周期是32218÷=盏，所+++=盏，那么43853以第43盏是红色；1008124÷=盏，第100盏是绿色．【基本班学案3】公园里的花坛种菊花，园林工人按1棵白、5棵黄、2棵红排列．那么，第30棵种什么颜色的花？第72棵该种什么颜色的花？【分析】菊花按1棵白、5棵黄、2棵红的顺序排列，周期是1528÷=棵，++=棵，那么30836第30棵种黄色，7289÷=，第72棵种红色．【提高班学案3】节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯也就是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面紧接着有3盏彩灯．那么第73盏灯是_____灯．【分析】从第一盏白灯开始，每隔三盏彩灯就又出现一盏白灯、不难看出周期是白灯、红灯、黄灯、绿灯，周期是4盏，那么734181÷=，第73盏是白灯．【尖子班学案3】为庆祝国庆节，学校插了很多彩旗．彩旗是按4面黄旗、3面红旗、2面绿旗、1面蓝旗的顺序排列的．第109面旗应是什么颜色？已插了几面黄旗、几面红旗、几面绿旗、几面蓝旗？【分析】彩旗按4面黄旗、3面红旗、2面绿旗、1面蓝旗的顺序排列，周期是432110+++=面，那么10910109÷=面，第109面是绿旗．一个周期内有4面黄旗，所以黄旗一共有⨯+=面，一个周期内有⨯+=面，一个周期内有3面红旗，所以红旗一共有103333104444绿旗2面，所以绿旗一共有102222⨯+=面，一个周期内有1面蓝旗，所以蓝旗有10面．三．报数游戏【分析】根据题意可知报出的数如下：1，7，9，3，1，7，9，3，……可见这些数是有规律的，且4个数为一个周期，周期里的数是1，7，9，3． 那么，100÷4=25，则知第100个同学报的是周期里的最后一个数3．四．星期中的周期问题【分析】（1）包括今天共有60161+=（天），且周期为7天，即（星期六，星期日，星期一，星期二，星期三，星期四，星期五），则61785÷=（天），所以再过60天是星期三． （2）从6月1日到8月1日共有：3031162++=（天），周期为7天，即：星期日，星期一，星期二，星期三，星期四、星期五、星期六．则：62786÷=（天），所以2008年8月1日是星期五．（3）因为2008年是闰年，所以从2008年2月8日到2009年2月8日共有3661367+=（天）周期是：星期五，星期六，星期日，星期一，星期二，星期三，星期四．则3677523÷=（天），所以答案是星期日．[巩固]三名学生，每天早晨轮流为李奶奶取牛奶，甲第一次取奶是星期一，那么，他第100次取奶是星期_______． 【分析】21天内，每人取奶7次，甲第8次取奶又是星期一，即每取7次奶为一个周期1007142÷=，所以甲第100次取奶是星期二．[巩固]阿奇和其他5个小朋友围成一圈，圆圈中央摆放着55个乒乓球，从阿奇开始，小朋友们沿逆时针方向依次拿球，每人每次拿3个，直到把乒乓球全部拿完为止（最后剩下的球不足3个就全拿）．阿 奇总共拿到了几个球？ 【分析】想知道阿奇共拿到了几个球，就必须知道阿奇取了几次，由题意知：55÷3=18（次）……1（个），（18+1）÷6=3（周）……1（次），所以阿奇共取了4次，而其中有1次只取了1个，则阿奇共取了：33110⨯+=（个）．【基本班学案4】华罗庚金杯”少年数学邀请赛每隔一年举行一次1988年是第二届．2000年是第几届？【分析】“每隔一年举行一次”的意思是每2年举行一次．1988年到2000年还有2000-1988=12年，因此还要举行1226÷=届．1988年是第二届，所以22年是2＋6=8届例6例5【提高班学案4】某月的最后一个星期五是这个月的25号，这个月的第一天是星期几？【分析】这个月的25号是周五，7321-=号也是星期五，l号即第一天是星期2．⨯=天，所以25214【尖子班学案4】某年的10月里有5个星期六，4个星期日．问：这年的10月1日是星期几？【分析】10月有31天，因为有5个星期六，只有4个星期日．所以10月31日是星期六，因为31473=⨯+，所以，3日也是星期六，l日是星期四．[巩固]今天是2008年3月16日星期日，阿奇研究日历时，发现再过1天是2008年3月17日星期一，再过2天则是2008年3月18日星期二……请问：（1）再过多少天才是2008年儿童节呢？（2）2008年的儿童节是星期几？【分析】（1）从2008年3月16日到2008年6月1日（包括6月1日）共有天数是：153031177+++=（天）．（2）从2008年3月16日到2008年6月1日（包括这两天）共有天数是：163031178+++=（天），且这78天中的前7天对应的星期是：（星期日、星期一、星期二、星期三、星期四、星期五、星期六）．由787111÷=（天）知这年的儿童节是星期日．【超常挑战】紧接着1989后面写一串数字，写下的每一个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数．例如，8972⨯=，在9后面写2，9218⨯=，在2后面写8……得到一串数字：19892868…，问这串数字从1开始，往右数，第l999个数字是几？这1999个数字的和是多少？【分析】⑴根据题意，写出这列数的前面部分数字：19892868842868842……“286884”这6个数字重复出现，周期是6．⑵第1999个数字是：因为(19994)63323-÷=⋅⋅⋅，所以，第l999个数字是6．⑶这1999个数字的和是：+++++++++⨯+++271195216(1989)(286884)332(286)==++11995家庭作业1．找出下面图形的排列规律，根据规律算出第29个图形是什么？【分析】（1）周期是“∆∆”五个一周期，那么29554÷=，所以第29只是“”．（2）周期是“∆”四个一周期，那么29471÷=，所以第29个是““．2．图中的五角星处应填几？第四行的☆填______第五行的☆填_______，_______．【分析】第四行的☆填3927⨯=第五行的☆填32781⨯=⨯=，327813．有一组图形从左往右排列○○△☆☆○○△☆☆……那么第50个是什么图形？这50个中圆有多少个？【分析】图形排列的顺序是“○○△☆☆”，周期是5，那么50510÷=，第50个是“☆”，一个周期里有2个○，50个图形中有21020⨯=个．4. 有红、白和黑球共1993只，按红5只、白4只、黑3只、红5只……的顺序排列，如下图所示，最后一只球是什么颜色？【分析】周期是红球5只、白球4只、黑球3只，是54312÷=只，所以最++=只，1993121661后一只是红色．5.二（1）班有六位同学在进行报数游戏，他们围成一圈．小娟报“l”，小华报“2”，小丽报“3”，小捷报“4”，小强报“5”，小勇报“6”．每个人报的数总比前一个人多1．问“72”是谁报的？“190”是谁报的？【分析】报数是按照小娟，小华，小丽，小捷，小强，小勇的顺序，周期是6个人，那么72612÷=组，“72”是小勇报的，1906314÷=，所以190是小捷报的．6. 一月份有三十一天，如果某年的1月1日星期一，这年的2月22日是星期几？【分析】星期的周期是周一、周二、周三、周四、周五、周六、周天，l月l日到2月22日共312253+=天，53774÷=天，所以2月22日是星期四．。
余数问题
龙文教育学科老师个性化教案教师李传辉学生姓名上课日期学科数学年级五年级教材版本人教版类型知识讲解□：考题讲解□:本人课时统计第（）课时共（）课时学案主题新课课时数量（全程或具体时间）第（）课时授课时段教学目标教学内容余数问题个性化学习问题解决教学重点、难点灵活运用余数的性质考点分析教学过程内容余数问题在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。
当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。
余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：（1）余数小于除数。
（2）被除数=除数×商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数。
（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。
例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。
（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。
例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。
注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。
例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。
（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。
例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。
注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。
例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。
性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。
例1 5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。
分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。
5122-66=5056，5056应是除数的整数倍。
六年级下册数学试题-余数问题人教版
余数问题【方法梳理】一、有规律问题的解法口诀：和同加和，差同减差，余同取余，最小公倍加（一）和同加和：如果不同被除数和余数的和相同，那么就把这个和，加到最小公倍数上。
（二）差同减差：如果不同被除数和余数的差相同，那么就把这个差，用最小公倍数减掉。
（三）余同取余：如果余数都相同，直接把余数加到最小公倍数上。
二、无规律问题的解法一筐苹果，如果按5个一堆放，最后多出2个；如果按6个一堆放，最后多3个；如果按7个一堆放，还多出1个。
这筐苹果至少有几个？（一）逐步约束法5余2的最小数字是7，看看7除以6是余1不是3，所以要看看7上面加多少个5才能除以6余3。
通常的做法是，7+5=12，余0，不对；12+5=17，余5，不对；17+5=22，余4，不对；22+5=27，余3，对了！所以是27。
27这个数字出来了，还没结束，下面考虑27除以7余6，不是余1。
要在27上面加多少个30（5和6的最小公倍数）才能余1？同样的思路，要余1，相当于余8（1＋7＝8），由于30除以7余2，问题就转换为，要从余6变成余8，需要多少个2，答案是1个，也就是27上面加1个30即可，最终数字是57。
（二）中国剩余定律先找出6和7的公倍数，从中选取一个最小的、能够除以5余1的数字，为42×3＝126，用这个数乘以5的余数。
题目中除以5余2，所以126×3＝252；再找出5和7的公倍数，从中选取一个最小的、能够除以6余1的数字，为35×5＝175，用这个数乘以6的余数。
题目中除以6余3，所以175×3＝525；再找出5和6的公倍数，从中选取一个最小的、能够除以7余1的数字，为30×4＝120，用这个数乘以7的余数。
题目中除以7余1，所以120×1＝120；252＋525＋120＝897 ，897除以5、6、7三个数的最小公倍数210的余数，即为最终答案：897－210×4＝57同余定理1 、如果a，b除以c的余数相同，那么我们说a，b对于c是同余的。
六年级秋季班第十讲余数问题
第十讲余数问题一、知识点概括1、余数的性质a、可加性：和的余数等于余数的和。
例：17÷3=5…2，8÷3=2…2；则17+8除以3的余数等于2+2除以3的余数为1。
b、可减性：差的余数等于余数的差。
例：17÷3=5…2，8÷3=2…2；则17-8除以3的余数等于2-2除以3的余数为0。
c、可乘性：积的余数等于余数的积。
例：17÷3=5…2，8÷3=2…2；则17×8除以3的余数等于2×2除以3的余数为1。
b、乘方性：周期性变化。
2、带余数除法算式: a÷b=c…ra、余数比除数小。
即：r＜b.b、a-r=b×c，即：被除数减去余数后原来的整除，质合等知识点都会存在。
3、同余式若两个自然数a、b都被同一个自然数m除时，有相同的余数，那么我们称a、b对于模m 同余，用“同余式”表示为a≡b（modm）.例如：17÷3=5…2，8÷3=2…2；则我们用“同余式”表示为17≡8≡2（mod3）4、物不知其数方法一：加同余。
即最小公倍数加上相同的余数。
例：除以3余1，除以4也余1的最小两位数为[3,4]+1=13.方法二：减同补。
即最小公倍数减去相同的补数。
例：除以3余1，除以4余2的最小两位数为[3,4]-2=11.方法三：逐级满足。
二、例题讲解例1：分析：此题是余数的可加性和乘方性的应用。
根据可加性我们可以先分别算出、各自的余数最后在相加即可。
但各自的余数又要通过乘方性方能解决。
解答过程如下：（1）求除以13的余数，根据余数的可乘性列出同余式：31÷13=2 (5)个相乘（）个相乘个相乘列表：除以13余数为5；除以13余数为12；除以13余数为8；除以13余数为14个一循环，则与的余数相同。
即（）（2）同理：除以13余数为4；除以13余数为9；除以13余数为3；除以13余数为10；除以13余数为12；除以13余数为1；最后：提高练习：（1）求除以7的余数？提示：余数的乘方性答案：5.（2）有一串数：1,1,2,3,5,8…，从第三个数起，每个数都是前两个数的和，在这串数的前2009个数中，有多少个是5的倍数？提示：找规律。
余数问题教师版
余数问题(教师版)一、带余除法的定义及性质一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r ,0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商(2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。
二、三大余数定理：1.余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a ，b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2。
2.余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ，b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。
知识精讲余数问题例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b (mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ，模m 。
由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除。
上海奥数精讲 第5讲 余数问题(教师版)
教具准备1、课件:PPT、“例1”、“例1拓展”、“例1”和“例1拓展”flash动画。
２、板书。
教学难点有余数除法的计算方法．教学重点有余数除法的计算方法．教学目标1、使学生初步理解有余数除法的意义，掌握带余除法的计算方法．2、通过余数分析解有关整数的问题.3、培养学生初步的观察、概括能力．第5余数问题教学过程教学目标：激发学生对带余除法的相关问题产生浓厚的学习兴趣。
环节一：上节课回顾内容1、 什么是带余除法?被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法。
2、被除数÷除数=商…余数（余数 < 除数）被除数=除数×商+余数3、同余：a 、b 两个自然数除以自然数n 所得的余数如果相同，我们称a 、b 对于除数n 同余引入【讲解过程】环节二：求被除数教学目标：学习带余除法中求被除数的方法并解决相关问题。
例1在90～110之间有一个数，能被例2【讲解过程】环节三：教学目标：学习带余除法中求除数的方法并解决相关问题。
例31、师生审题，教师提问：这个题是要求什么？答：要求除数。
例4【讲解过程】环节四：教学目标：学习带余除法中求余数的方法并解决相关问题。
30例5【讲解过程】例6教学目标：整理全课思路，巩固收获、全课你学到了什么？、带余除法的意义是什么？用式子怎么表示？巩固目标：熟练同余同差等性质解决相关的余数问题。
【练习1】一盒乒乓球，每次8个8个地数，总是剩下3个.这盒乒乓球至少有多少个? 方法总结体现之处趣味性体现之处板书设计环节五：一切的一切，你要用鼓励的方法来控制儿童的行为，来督促儿童的求学。
消极的制裁不会发生多大的效果的，有时候反而容易引起他的、多接近自然和社会。
走进自然和深入社会是养成儿童良好习惯的有效途。
小学数学 《余数问题》教案
小学数学《余数问题》教案教学内容：教学目标：1、掌握有关余数、商、除数、被除数之间的数量关系。
2、通过对熟悉的生活事例的探讨和研究，学会用余数的相关知识解决生活中的较为复杂的实际问题。
3、学会正确解答复杂的有余数问题，能正确地写出商和余数的单位名称以及根据具体问题确定进一和去尾。
教学重点：运用恰当的方法和策略解决有关余数的实际问题。
教学难点：初步判断问题中的进一和去尾。
教学准备：多媒体课件课时安排：3课时教学过程：一、情境导入（5分钟）律动操师：在我们今天上课之前，让我们一起来轻松轻松，活动活动筋骨吧！（师生一起随着《唐老鸭》的音乐，按照拍手、拍肩、拍手、拍腿的顺序做律动，音乐突然停止）师：你们刚才是怎样做动作的？（学生说出动作规律）好，我们以拍手为第1拍，接下来是拍肩、拍手、拍腿，再接下去呢？生：拍手、拍肩、拍手、拍腿，接下去还是拍手、拍肩、拍手、拍腿。
师：照这样做下去，你们知道歌曲第26拍是什么动作吗？（学生思考并回答问题。
）生1:是拍肩。
师：你是怎么知道的？生1：我是做出来的。
（做动作）师：你是一拍一拍的数出来的，对不对？有没有别的方法？生2:我用26÷4=6 (2)师：哦，还有算式呢！（教师板书算式）为什么要用26除以4？生：因为是4个动作为一组，不断重复的。
师：我明白了，你用26÷4得到的6是做了6组动作以后，多余的2就是—－生：下一组的第2 拍。
师：对，每一组的第2拍是拍肩，所以歌曲第26拍的动作就是――生：拍肩。
师：同学们说得非常好。
跟着我们的音乐，我们再来一遍。
二、知识点传授（15分钟）1.学习【知识要点】师：比比谁算得最快：5÷4＝ 14÷4＝ 14÷5＝ 7÷6＝ 11÷3＝18÷7＝ 10÷9＝ 20÷6＝ 16÷6＝ 3÷1＝师：我们来看，这些除法算式的结果都是有余数的，仔细观察这些余数和它相对应的除数，你发现了什么？生：余数＜除数。
数论第16讲_余数的性质(教师版)A4
余数的性质：和的余数等于余数的和，差的余数等于余数的差，积的余数等于余数的积． 这三条性质分别称为余数的可加性、可减性和可乘性．在计算一个算式的结果除以某个数的余数时，可以利用上述性质进行简算．例如计算33371580+⨯-的结果除以7的余数就可以像右侧这样计算．这一简算方法又称替换求余法．重难点：根据余数的性质进行替换求余．根据周期性求余数．题模一：替换求余例1.1.1（1）135137139⨯+除以5的余数是__________；（2）3579135713579⨯+除以9的余数是__________．【答案】（1）4（2）4【解析】（1）135除以5的余数是0，137除以5的余数是2，139除以5的余数是4；135137139⨯+除以5的余数是0244⨯+=．（2）3579除以9的余数是6，1357除以9的余数是7，13579除以9的余数是7；因此3579135713579⨯+除以9的余数和67749⨯+=除以9的余数相同，是4．例1.1.2某工厂有128名工人生产零件，他们每个月工作23天，在工作期间每人每天可以生产300个零件．月底将这些零件按17个一包的规格打包，发现最后一包不够17个．则最后一包有__________个零件．【答案】16【解析】1281779÷=；231716÷=；300171711÷=．所以12823300⨯⨯与9611=594⨯⨯除以17的余数相同．594173416÷=．所以最后一包有16个零件．例1.1.3（1）877844923581368+⨯除以4、9的余数分别是多少？（2）365366367368369370+⨯除以7、11、13的余数分别是多少？【答案】（1）0，2（2）2，2，2【解析】特性求余法和替换求余法结合使用．（1）877844923581368+⨯除以4的余数等于0300+⨯=除以4的余数，即为0．877844923581368+⨯除以9的余数等于75847+⨯=除以9的余数，即为2．（2）365366367368369370+⨯除以7的余数等于1112+⨯=除以7的余数，即为2．数论第16讲_余数的性质 33 ＋ 37 × 15 － 80 5 ＋ 2×1 — 3每个数都用它除以7的余数替换365366367368369370+⨯除以11的余数等于1112+⨯=除以11的余数，即为2．365366367368369370+⨯除以13的余数等于1112+⨯=除以13的余数，即为2．例1.1.4算式200920092010201020112011⨯+⨯+⨯除以31的余数是_________．【答案】15【解析】用替换求余法．这个算式除以31的余数即2525262627272030⨯+⨯+⨯=降以31的余数，2030316515÷=．所以这个算式除以31的余数是15．题模二：周期求余例1.2.1702除以7的余数是多少？【答案】2【解析】2，22，32……这个数列的每个数除以7的余数为2、4、1、2、4、1……，以2、4、1为周期，所以第70个为2．例1.2.2201452的个位数字是多少？除以7的余数是多少？除以13的余数是多少？【答案】4，4，0【解析】52n 的个位数字依次是2、4、8、6、……，每四个数一个周期．2014除以4余2，所以201452的个位数字与周期中的第二个数字相同，即为4．52n 除以7的余数依次是3、2、6、4、5、1、……，每6个数一个周期．2014除以6余4，所以所以201452除以7的余数与周期中的第4个数字相同，即为4．52n 除以13的余数是0．所以201452除以13的余数是0．例 1.2.32013201320132013201312345++++除以5，余数是___________．（注：2013a表示2013个a 相乘）【答案】0【解析】20130除以5余数是1； 20132除以5的余数依次是2、4、3、1为周期，所以最后余数是2；20133除以5的余数依次是3、4、2、1为周期，所以最后余数是3；20134除以5的余数依次是4、1为周期，所以最后余数是4；20135除以5的余数是0．故这个算式的结果除以5的余数是：()12340520++++÷=，即余数是0． 例1.2.4108888888+⨯++⨯⨯⨯个除以5的余数是多少？【答案】2 【解析】8除以5余3，本题相当于求333333103+⨯++⨯⨯⨯个除以5的余数；3，23，33，43，⋅⋅⋅除以5的余数依次为3，4，2，1，3，4，⋅⋅⋅它按照3，4，2，1的顺序反复出现，并且342110+++=是5的倍数，这10个数中有2个3，4，2，1，还剩一个3和4．所以所求余数为347+=除以5的余数，余2．例 1.2.5有一串数1，1，2，3，5，8，…，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有_________个是5的倍数．【答案】401【解析】从第三个数起，每个数都是前面两个数之和，所以除以5的余数也为前面两余数之和．可得余数依次为下：1、1、2、3、0、3、3、1、4、0、4、4、3、2、0、2、2、4、1、0、1、1、2、3、0……可以看出，每5个余数会有一个为0，20095401......4÷=，所以共401个．例1.2.6算式20087777777+⨯++⨯⨯⨯个计算结果的末两位数字是多少？【答案】00【解析】通过计算7，77⨯，777⨯⨯，7777⨯⨯⨯的末两位知道这2008个数的末两位以4为周期，按07，49，43，01循环出现．因为749431100+++=，所以原来每连续4个数相加的末两位是是00．20084502÷=，把这2008个数按4个一组分成502组，每组4个数之和的末两位都是0，最后这2008个数之和的末两位也是00．随练1.1164+321+166除以16的余数是多少？【答案】11【解析】和的余数等于余数的和．随练1.2一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个．年终将这些零件按6个一包的规格打包，最后一包不够6个．请问：最后一包有多少个零件？【答案】2【解析】本题是要求算式3651234⨯的结果除以6的余数．利用替换求余法易知结果是2．随练1.349015×81364－83778+10除以9的余数是__________．【答案】8【解析】余数可加性、可减性、可乘性之综合运用．原式的余数等于14611⨯-+=-，不够减补上一个9，也就是说明余数是8．随练1.436629的个位数字是_______，除以7的余数是_______．【答案】1；1【解析】3663661831832998111(mod 10)≡≡≡≡，3661832911(mod 7)≡≡．随练1.5有一列数1、2、4、7、11、16、22、29、……，这列数左起第2014个数除以5的余数是__________．【答案】2【解析】这个数列除以5的余数依次是1、2、4、2、1、1、2、4、2、1……，5个一周期，20145402......4÷=，所以这列数左起第2014个数除以5的余数是2．作业1123456789123456789++++++++除以3的余数是__________．【答案】1【解析】易知3693690(mod 3)≡≡≡；1471(mod 3)≡≡≡，进而1471471(mod 3)≡≡≡；2241(mod 3)≡≡，55252551122(mod 3)≡⨯⨯≡⨯⨯≡，8448641(mod 3)≡≡．综上，12345678912345678915211(mod 3)++++++++≡⨯+⨯≡．作业220032与22003的和除以7的余数是______．【答案】5【解析】()()667220032222003271324115(mod 7)+≡⨯++-≡⨯+≡． 作业3（1）123456789++的结果除以111的余数是多少？（2）2244686678-的结果除以22的余数是多少？【答案】（1）36（2）12【解析】利用替换求余法计算．（1）本题就是要求算式12121236++=的结果除以111的余数，即为36．（2）本题就是要求算式212-的结果除以22的余数，当不够减时，增加22的倍数，即2122212-+=，所以最后的余数是12．作业4今天是星期日，再过1天是星期一，再过2天是星期二，则：（1）从今天算起，再过2014天是星期几？（2）从今天算起，再过20142014⨯天是星期几？（3）从今天算起，再过20142014天是星期几？【答案】（1）星期五（2）星期四（3）星期二【解析】（1）利用7的整除特性，可以很容易求出2014除以7的余数为5，因此再过2014天是星期五．（2）利用特性求余法和替换求余法，可知20142014⨯除以7的余数等于55⨯除以7的余数，余数为4，因此再过20142014⨯天是星期四．（3）仍然利用特性求余法和替换求余法，可知20142014201420142014⨯⨯⨯个除以7的余数等于20145555⨯⨯⨯个除以7的余数，然后我们利用周期求余法，15除以7余5，25除以7余4，35除以7余6，45除以7余2，55除以7余3，65除以7余1，因此是6个一周期，2014除以6余4，即周期中的第4个，余数为2，因此再过20142014天是星期二．作业5（1）202除以7的余数是__________；（2）1414除以11的余数是__________；（3）12128除以13的余数是__________．【答案】（1）4（2）4（3）2【解析】（1）2的不同次方除以7的余数按照2、4、1的规律反复出现，20除以3余2，所以202除以7的余数与22除以7的余数相同，为4．（2）14除以11的余数是3，所以1414除以11的余数与143除以11的余数相同．3除以11余3；23除以11余9；33除以11余5；43除以11余4；53除以11余1，63除以11余3；⋅⋅⋅．我们可以得到3的次方除以11的余数每5个一周期．14除以5余4，所以143与43除以11的余数相同，余4．（3）28除以13余2，这样只需要计算1212除以13的余数，我们来计算2，22，32，42，⋅⋅⋅除以13的余数，它们依次为：2，4，8，3，6，12，11，9，5，10，7，1，2，4，⋅⋅⋅．这里以12个为一周期，由于121除以12余1，所以1212与12除以13的余数相同．即1212除以13余2．作业6求余数的方法（1）求乘积316419813⨯⨯除以13所得的余数．（2）923除以21的余数是几？（3）7118除以11的余数是几？（4）求25316除以9的余数．（5）观察一列数2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……的规律，这列数的第2008个数被6除的余数是多少？【答案】（1）6（2）9（3）7（4）1（5）4【解析】（1）316419813437236(mod13)⨯⨯≡⨯⨯≡⨯≡．（2）()()45159124533332323133(mod 7)≡⨯≡⨯≡⨯≡⨯≡，故923除以21的余数是339⨯=． （3）()()()234471713223531877725225177(mod 11)≡≡⨯≡⨯≡⨯⨯≡-⨯≡． （4）()25252531631611(mod 9)≡++≡≡．（5）设第2008个数为n ．数列为“偶奇奇偶奇奇……”，周期为3，20081(mod 3)≡，故0(mod 2)n ≡；数列被3除的余数分别为2、0、2、2、1、0、1、1、2、0……周期为8，20080(mod 8)≡，故1(mod 3)n ≡．再结合0(mod 2)n ≡，易知4(mod 6)n ≡．作业720122012201220121232013++++的计算结果除以10的余数是多少？ 【答案】1 【解析】用替换求余和特殊求余法．20121除以10余1，20122除以10余6，20123除以10余1，20124除以10余6，20125除以10余5，20126除以10余6，20127除以10余1，20128除以10余6，20129除以10余1，201210除以10余0．所以算式的计算结果除以10的余数是()1616561610201161332011616641+++++++++⨯+++=⨯+++=除以10的余数，即余数是1．。
余数问题(教师版)
一、带余除法的定义及性质一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a＝b ×q ＋r ,0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商(2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。
二、三大余数定理：1.余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a ，b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2。
知识精讲余数问题2.余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ，b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ，模m 。
由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除。
第一讲余数问题
2014年龙文1对1五年级第一讲余数问题二卡1例题讲析i基本性质1：被除数=除数X商（当余数大于0时也可称为不完全商）+余数除数=（被除数-余数）*商；商=（被除数-余数）宁除数。
余数小于除数。
理解这条性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了。
在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了。
【例1】甲、乙两数的和是1088,甲数除以乙数商11余32,求甲、乙两数。
【例2】一个自然数除以8得到的商加上这个数除以9的余数，其和是13.求所有满足条件的自然数.【例3】有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。
求这个数。
【例4】十二张扑克牌，2点、6点、10点各四张.你能从中选出七张牌，使上面点数之和等于52吗？说明理由.基本性质2：如果a，b除以c的余数相同，就称a、b对于除数c来说是同余的，且有a与b 的差能被c整除。
（a,b,c均为自然数）例如：17与11除以3的余数都是2,所以17-11能被3整除。
【例5】有一个整数，除39，51，147所得的余数都是3,求这个数。
【例6】两位自然数ab与ba除以7都余1，并且a>b，求ab X ba基本性质3: a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c 的余数）。
例如，23，16除以5的余数分别是3和1,所以（23+16）除以5的余数等于3+仁4 注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。
例如，23, 19除以5的余数分别是3和4,所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5 的余数。
【例7】有一列数排成一行，其中第一个数是3,第二个数是10,从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么第1997个数被3除所得的余数是多少?222 - 2除以13所得余数是 f ' ----2000 个"2"【例9】 191919…19除以99,余数是 _________20基本性质4： a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ，b 分别除以c 的余数之积（或这个积除以 c 的余数）。
第12讲余数(教师版)
第12讲 余数内容概述掌握余数的概念与根本性质，掌握除以某些特殊数的余数的计算方法．学会利用余数的可加性、可减性和可乘性计算余数；学会运用同期性处理各类余数计算问题；学会求解“物不知数’问题．典型问题兴趣篇1. 72除以一个数，余数是7．商可能是多少？【答案】1或5【解析】72-7=65，再分解质因数65＝5×13，还有1×65＝65，所以商可能是1或52. 100和84除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0．这个除数可能是多少？【答案】8或16【解析】100和84同余，做差后是这个数的倍数，100-84=16，所以这个除数可能是8或163. 20220808除以9的余数是多少？除以8和25的余数分别是多少？除以11的余数是多少？【答案】8；0，8；0【解析】一个数除以9的方法：各位数字之和除以9，2+8+8+8=26，26÷9=2…8；除以8的方法：末三位除以8， 808÷8=101…0；除以25的方法：末两位除以25， 8÷25=0…8；除以11的方法：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差除以11， 2+0+0+0=2， 0+8+8+8=24，24-2=22，22÷11=2 04.4个运发动进行乒乓球比赛，他们的号码分别为101、126、173、193.规定每两人之间比赛的盘数是他们号码的和除以3所得的余数．请问：比赛盘数最多的运发动打了多少盘？【答案】5【解析】1+0+1=2，2÷3=…2，1+2+6=9，9÷3=…0，1+7+3=11，11÷3=…2，1+9+3=13…1，最多打了5盘5．某工厂有128名工人生产零件，他们每个月工作23天，在工作期间每人每天可以生产300个零件．月底将这些零件按17个一包的规格打包，发现最后一包不够17个．请问：最后一包有多少个零件？【答案】16【解析】余数问题，求128×23×300÷17的余数128÷17=7...9 23÷17=1...6 300÷17=17 (11)9×6×11=594 594÷17=34 (16)6．(1) 220除以7的余数是多少？(2) 1414除以11的余数是多少？(3) 28121除以13的余数是多少？【答案】〔1〕4；〔2〕4；〔3〕2【解析】因为23除以7的余数是1，20=3×6+2，所以220除以7的余数就是22除以7的余数 即为4；同理，1414除以11的余数是4；28121除以13的余数是27．810888888个⨯⨯⨯++⨯+除以5的余数是多少？ 【答案】2【解析】根据余数的和等于和的余数的方法，除以5的余数是28．一个三位数除以21余17，除以20也余17.这个数最小是多少？【解析】最小公倍数问题，【21，20】＝420，再加上17，这个数最小是4379．有一个数，除以3的余数是2，除以4的余数是1．请问：这个数除以12余数是几？【答案】5【解析】除以3的余数是2的数是5，而5恰好除以4余1，5除以12余数是510．100多名小朋友站成一列，从第一人开始依次按1，2，3，…，11的顺序循环报数，最后一名同学报的数是9；如果按1，2，3，…，13的顺序循环报数，那么最后一名同学报的数是11.请问：一共有多少名小朋友？【答案】141【解析】根据题意，可转化为一个100多的数除以11余9，除以3余11，所以先求11和13的最小公倍数，再减去2就是所求，一共有141名小朋友拓展篇1．1111除以一个两位数，余数是66.求这个两位数．【答案】95【解析】先从1111里减去余数66，再分解质因数，所求的两位数要大于余数66，所以是952．(1) 42121421421421个除以4和125的余数分别是多少？(2) 80821808808808个除以9和11的余数分别是多少？【答案】〔1〕1，46；〔2〕3，5【解析】〔1〕21÷4=5…1；421÷125=3…46；〔2〕〔8+8〕×21÷9=37…3；808808÷11余0，最后还剩一个808，8+8=16，16÷11 余53．一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个，年终将这些零件按19个一包的规格打包，最后一包不够19个．请问：最后一包有多少个零件？【答案】15【解析】先求出一年的总数，再除以19余数为154．自然数12222267-⨯⨯⨯⨯个的个位数字是多少？ 【答案】7【解析】找出2的n 次方的个位数字的周期，2，4，8，6…，再看67除以4的余数是3，所以个位数字是8－1＝75．算式20072007200720072006321++++ 计算结果的个位数是多少？【答案】1【解析】每个数乘方的个位数字的周期是4，2007除以4余3，所以原式就与1到2006的3次方的个位数字是一样的，以10个数为一个周期列出为1，8，7，4，5，6，3，2，9，0…，2006除以10余数为6，所以前6个的和即是所求1＋8＋7＋4＋5＋6＝31，所以个位数字是16．一个自然数除以49余23，除以48也余23.这个自然数被14除的余数是多少？【答案】9【解析】【49，48】＋23＝2375，被14除余97．一个自然数除以19余9，除以23余7．这个自然数最小是多少？【解析】7+23k-9能被19整除，最小为2378．刘叔叔养了400多只兔子，如果每3只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有2只；如果每5只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有4只；如果每7只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有5只．请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？【答案】404【解析】根据题意是一个400多的数除以3余2，除以5余4，除以7余5，最后所求的数是4049． 123123123123123个除以99的余数是多少？【答案】90【解析】6个123能被99整除，123里有20个6余3，所以123123123除以99余数是9010．把63个苹果，90个橘子，130个梨平均分给一些同学，最后一共剩下25个水果没有分出去．请问：剩下个数最多的水果剩下多少个？【答案】20【解析】三个数分别的余数不知道，但是余数的和是25，可以把这三个数相加，根据余数的和等于余数的和来计算，63＋90＋130－25＝258，再分解质因数，最后剩下个数最多的水果剩下20个11．有一个大于l 的整数，用它除300、262、205得到相同的余数，求这个数．【答案】19【解析】根据同余的两个数的差能被这个数整除，300－262＝38，262－205＝57，再求〔38，57〕＝1912．用61和90分别除以某一个数，除完后发现两次除法都除不尽，而且前一次所得的余数是后一次的2倍，如果这个数大于1，那么这个数是多少？【答案】17【解析】先把余数变相同，再作差求解即可。
带余除法 教师版
带余除法例1 5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。
分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。
5122-66=5056，5056应是除数的整数倍。
将5056分解质因数，得到5056=26×79。
由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
例2被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。
解：因为被除数=除数×商+余数=除数×33+52，被除数=2143-除数-商-余数=2143-除数-33-52=2058-除数，所以除数×33+52=2058-除数，所以除数=（2058-52）÷34=59，被除数=2058-59=1999。
例3甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。
解：因为甲=乙×11+32，所以甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，所以乙=（1088-32）÷12=88，甲=1088-乙=1000。
例4有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。
求这个数。
分析与解：先由题目条件，求出这个数的大致范围。
因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个大于16，推知除数大于16。
由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在17～70之间。
由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。
将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之间的约数有29和58。
因为110÷58=1……52＞50，所以58不合题意。
所求整数是29。
例5求478×296×351除以17的余数。
分析与解：先求出乘积再求余数，计算量较大。
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一、带余除法的定义及性质一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a ＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1)当0r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2。
知识精讲余数问题2.余数的乘法定理 a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ，b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ，模m 。
由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除。
用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ，k 是整数，即m |(a －b )【例1】用某自然数a 去除1992，得到商是46，余数是r ，求a 和r ．【解析】 因为1992是a 的46倍还多r ,得到19924643......14÷=，得1992464314=⨯+，所以43a =，14r =．【例2】 甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数．【解析】 (法1)因为 甲=乙1132⨯+，所以 甲+乙=乙1132⨯++乙=乙12321088⨯+=；【解析】 则乙(108832)1288 =-÷=，甲1088=-乙1000=．【解析】 (法2)将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088中减掉32以后，1056就应当是乙数的(111)+倍，所以得到乙数10561288=÷=，甲数1088881000=-=．经典例题【例3】一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。
【解析】 本题为余数问题的基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题---即“不整除问题”转化为整除问题。
方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数。
本题中310-37=273，说明273是所求余数的倍数，而273=3×7×13，所求的两 位数约数还要满足比37大，符合条件的有39，91.【例4】有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？【解析】 被除数+除数+商+余数=被除数+除数+17+13=2113，所以被除数+除数=2083，由于被除数是除数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=（2083-13）÷（17+1）=115，所以被除数=2083-115=1968。
【例5】有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人?【解析】 由48412÷=，4859.6÷=知，一组是10或11人．同理可知48316÷=，48412÷=知，二组是13、14或15人，因为二组比一组多5人，所以二组只能是15人，一组10人．【例6】一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数．【解析】 因为一个两位数除以13的商是6，所以这个两位数一定大于13678⨯=，并且小于13(61)91⨯+=；又因为这个两位数除以11余6，而78除以11余1，这个两位数为78583+=．【例7】有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数.【解析】 这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．1014556-=，594514-=，(56,14)14=，14的约数有1,2,7,14，所以这个数可能为2,7,14。
【例8】 20032与22003的和除以7的余数是________．【解析】 找规律．用7除2，22，32，42，52，62，…的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，…,2的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4．因为20033667222⨯+=，所以20032除以7余4．又两个数的积除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1，所以22003除以7余1．故20032与22003的和除以7的余数是415+=．【例9】求2461135604711⨯⨯÷的余数． 【解析】 因为246111223...8÷=，1351112...3÷=，604711549...8÷=，根据同余定理(三)， 2461135604711⨯⨯÷的余数等于83811⨯⨯÷的余数，而838192⨯⨯=， 1921117...5÷=，所以2461135604711⨯⨯÷的余数为5．【例10】 求19973的最后两位数．【解析】 即考虑19973除以100的余数．由于100425=⨯，由于3327=除以25余2，所以93除以25余8，103除以25余24，那么203除以25余1；又因为23除以4余1，则203除以4余1；即2031-能被4 和25整除，而4与25互质，所以2031-能被100整除，即203除以100余1，由于1997209917=⨯+，所以19973除以100的余数即等于173除以100的余数，而63729=除以100余29，53243=除以100余43，176253(3)3=⨯，所以173除以100的余数等于292943⨯⨯除以100的余数，而29294336163⨯⨯=除以100余63，所以19973除以100余63，即19973的最后两位数为63．【例11】2008222008+除以7的余数是多少？【解析】 328=除以7的余数为1，200836691=⨯+，所以200836691366922(2)2⨯==⨯＋，其除以7的余数为：669122⨯=；2008除以7的余数为6，则22008除以7的余数等于26除以7的余数，为1；所以2008222008+除以7的余数为：213+=．【作业1】5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。
【答案】79【作业2】明明在一次计算除法时，把被除数171错写成117，结果商少3而余数恰恰相同，这题中的除数是多少？【答案】18【作业3】两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_______．【解析】 因为被除数减去8后是除数的4倍，所以根据和倍问题可知，除数为4154884179---÷+=（）（），所以，被除数为7948324⨯+=。
【作业4】1013除以一个两位数，余数是12．求出符合条件的所有的两位数．【解析】 1013121001-=，100171113=⨯⨯，那么符合条件的所有的两位数有11,13,77,91，因为“余数小于除数”,所以舍去11，答案只有13,77,91。
【作业5】求478296351⨯⨯除以17的余数．【解析】 先求出乘积再求余数，计算量较大．可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数．478,296,351除以17的余数分别为2，7和11，(2711)179......1⨯⨯÷=．【作业6】一个大于1的数去除290，235，200时，得余数分别为a ，2a +，5a +，则这个自然数是多少？【解析】 根据题意可知，这个自然数去除290，233，195时，得到相同的余数（都为a ）． 既然余数相同，我们可以利用余数定理，可知其中任意两数的差除以这个数肯定余0．那么这个自然数是29023357-=的约数，又是23319538-=的约数，因此就是57和38的公约数,因为57和38的公约数只有19和1，而这个数大于1，所以这个自然数是19．【作业7】有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人?【解析】 由48412÷=，4859.6÷=知，一组是10或11人．同理可知48316÷=，48412÷=知，二组是13、14或15人，因为二组比一组多5人，所以二组只能是15人，一组10人．【作业8】某个大于1的自然数分别除442，297，210，得到相同的余数，则该自然数为 。
【分析】首先要清楚一个事实：两个数被同一个数除余数相同，则这两个数相减（大减小）能被这个数整除。
知道了这个事实后我们就很容易做这个题了。
因为该自然数能整除442297145-=，也能整除442210232-=，同样能整除29721087-=。
所以可知这个自然数必定是145，232，87的公约数。
而这三个数大于1的公约数只有29。
所以可知这个自然数为29。
【作业9】两位自然数ab 与ba 除以7都余1，并且a b >，求ab ba ⨯．【解析】 ab ba -能被7整除，即(10)10)9a b b a a b +-+=⨯-（（）能被7整除．所以只能有7a b -=，那么ab 可能为92和81，验算可得当92ab =时，29 ba =满足题目要求，92292668ab ba ⨯=⨯=【作业10】学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？【解析】 所求班级数是除以118,67,33余数相同的数．那么可知该数应该为1186751-=和673334-=的公约数，所求答案为17．。