(新)高中数学黄金100题系列第64题空间垂直关系的证明理

第64题 空间垂直关系的证明

I ．题源探究·黄金母题

【例1】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，求证： （1）1B D ⊥平面11A C B ；

（2）1B D 与平面11A C B 的交点H 是11A C B ∆的重心 （三角形三条中线的交点）．

【解析】（1）连接11B D ，1111B D A C ⊥， 又1DD ⊥面1111A B C D ，∴111DD AC ⊥， ∵1111B D A C ⊥，1

111DD B D D =

∴11A C ⊥面1D DB ，因此111AC B D ⊥． 同理可证：11B D A B ⊥，∴1B D ⊥平面11A C B ． （2）连接11A H BH C H ，，，

由11111A B BB C B ==，得11A H BH C H ==． ∴点H 为11A BC ∆的外心.又11A BC ∆是正三角形， ∴点H 为11A BC ∆的中心，也为11A BC ∆的重心．

H

C 1

D 1

B 1

A 1

C

D

A

B

II ．考场精彩·真题回放

【例2】【2017课标1理18】如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=.

（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；

（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角

A -P

B -

C 的余弦值. 【解析】分析：（1）根据题设条件可以得出

AB ⊥AP ，CD ⊥PD .而AB ∥CD ，就可证明出AB ⊥平

面PAD .进而证明平面PAB ⊥平面PAD .试题解析：（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB ⊥AP ，

CD ⊥PD .由于AB ∥CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平

面PAD .又AB ⊂平面PAB ， 所以平面PAB ⊥平面PAD . （2）略

【例3】【2017课标3理19】如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD =∠CBD ，AB =BD ．

（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；

（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四

面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角

D –A

E –C 的余弦值.

【答案】(1)证明略；(2)

7

7

. 【解析】分析：(1)利用题意证得二面角的平面角为90°，则可得到面面垂直；

解析：（1）由题设可得，ABD CBD ∆≅∆，从而

AD DC = 又ACD ∆是直角三角形，所以

0=90ACD ∠取AC 的中点O ，连接DO ,BO ,则

DO ⊥AC ,DO =AO 又由于△ABC是正三角形，故BO AC ⊥.

所以DOB ∠为二面角D AC B -- 的平面角. 在Rt△AOB中，222BO AO AB += .又AB BD = ， 所以2222BO DO BO AO AB BD 22+=+== ， 故90DOB ∠= .所以平面ACD⊥平面ABC.

【例4】【2015高考新课标1理18】如图，，四边形ABCD 为菱形，∠ABC =120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，

BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE =2DF ，AE ⊥EC .

（Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面AFC ； （Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）略 【解析】

在直角梯

形BDFE 中，由BD =2，BE =2，DF =2

2可得EF =322，

∴2

2

2

EG FG EF +=，∴EG ⊥FG ， ∵AC ∩FG=G ，∴EG ⊥平面AFC ，

∵EG ⊂面AEC ，∴平面AFC ⊥平面AEC .

【例5】【2016高考浙江理数】如图,在三棱台ABC DEF - 中,平面BCFE ⊥平面ABC ,=90ACB ∠ ,BE =EF =FC =1,BC =2,AC =3. (I)求证：EF ⊥平面ACFD ；

(II)求二面角B -AD -F 的平面角的余弦值.

【答案】（I ）证明见解析；（II ）略．

【解析】（I ）延长D A ，BE ，CF 相交于一点K ，如图所示．因为平面CF B E ⊥平面C AB ，且

C C A ⊥B ，所以，C A ⊥平面C B K ，因此，F C

B ⊥A ．

又

因

为

F//C

E B ，

F FC 1BE =E ==，C 2B =，所以C ∆B K 为等

边三角形，且F 为C K 的中点，则F C B ⊥K ．所以F B ⊥平面CFD A ．

【例6】【2015高考陕西理18】如图1，在直角

梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2

π

∠BA =

，

C 1AB =B =，

D 2A =，

E 是D A 的中点，O 是C A 与BE 的交点．将∆ABE 沿BE 折起到

1∆A BE 的位置，如图2．

（I ）证明：CD ⊥平面1C A O ； （II ）若平面1A BE ⊥平面CD B E ， 求平面1C A B 与平面1CD A 夹角的余弦值．

【答案】（I ）证明见解析；（II ）6

3

．

【解析】分析：（I ）先证1BE ⊥OA ，C BE ⊥O ，再可证BE ⊥平面1C A O ，进而可证CD ⊥平面1C A O ；（II ）

建空间直角坐标系，再算出平面1C A B 和平面1CD A 的法

向量，进而可得平面1C A B 与平面1CD A 夹角的余弦值．

解析：（I ）在图1中，因为C 1AB =B =，D 2A =，E 是D A 的中点，D 2

π

∠BA =

，所以C BE ⊥A ，即在图2

中，1BE ⊥OA ，C BE ⊥O ，从而BE ⊥平面1A OC 又CD//BE ，所以CD ⊥平面1A OC .

(II)由已知，平面1A BE ⊥平面CD B E ，又由（I ）知，

1OA BE ⊥，C BE ⊥O

所以1A OC ∠为二面角1--C A BE 的平面角，所以

1OC 2

A π

∠=

.如图，以O 为原点，建立空间直角

坐标系，因为11B=E=BC=ED=1A A ，//BC ED

12

222(

E(,0,0),A ),C(0,B 得22BC(

,,0), 122

A C(0,)，CD BE

(

2,0,0).设平面1BC A 的法向量

1111(,,)n x y z ，平面1CD A 的法向量2

222(,,)n x y z ，平面1BC A 与平面1CD A 夹角

为θ，

则1110

0n BC n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得111100x y y z -+=⎧⎨-=⎩，

取1

(1,1,1)n ，

22100

n CD n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2220

x y z =⎧⎨

-=⎩，取2(0,1,1)n =，

从而126

cos |cos ,|32

n n θ=〈〉=

=⨯， 即平面1BC A 与平面1CD A 夹角的余弦值为

6

【名师点晴】本题主要考查的是线面垂直、二面角、空间直角坐标系和空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．解题时一定要注意二面角的平面角是锐角还是钝角，否则很容易出现错误．证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三