(新)高中数学黄金100题系列第64题空间垂直关系的证明理

第64题 空间垂直关系的证明I ．题源探究·黄金母题【例1】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，求证： （1）1B D ⊥平面11A C B ；（2）1B D 与平面11A C B 的交点H 是11A C B ∆的重心 （三角形三条中线的交点）．【解析】（1）连接11B D ，1111B D A C ⊥， 又1DD ⊥面1111A B C D ，∴111DD AC ⊥， ∵1111B D A C ⊥，1111DD B D D =∴11A C ⊥面1D DB ，因此111AC B D ⊥． 同理可证：11B D A B ⊥，∴1B D ⊥平面11A C B ． （2）连接11A H BH C H ，，，由11111A B BB C B ==，得11A H BH C H ==． ∴点H 为11A BC ∆的外心.又11A BC ∆是正三角形， ∴点H 为11A BC ∆的中心，也为11A BC ∆的重心．HC 1D 1B 1A 1CDABII ．考场精彩·真题回放【例2】【2017课标1理18】如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=.（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角A -PB -C 的余弦值. 【解析】分析：（1）根据题设条件可以得出AB ⊥AP ，CD ⊥PD .而AB ∥CD ，就可证明出AB ⊥平面PAD .进而证明平面PAB ⊥平面PAD .试题解析：（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD .由于AB ∥CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面PAD .又AB ⊂平面PAB ， 所以平面PAB ⊥平面PAD . （2）略【例3】【2017课标3理19】如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD =∠CBD ，AB =BD ．（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D –AE –C 的余弦值.【答案】(1)证明略；(2)77. 【解析】分析：(1)利用题意证得二面角的平面角为90°，则可得到面面垂直；解析：（1）由题设可得，ABD CBD ∆≅∆，从而AD DC = 又ACD ∆是直角三角形，所以0=90ACD ∠取AC 的中点O ，连接DO ,BO ,则DO ⊥AC ,DO =AO 又由于△ABC是正三角形，故BO AC ⊥.所以DOB ∠为二面角D AC B -- 的平面角. 在Rt△AOB中，222BO AO AB += .又AB BD = ， 所以2222BO DO BO AO AB BD 22+=+== ， 故90DOB ∠= .所以平面ACD⊥平面ABC.【例4】【2015高考新课标1理18】如图，，四边形ABCD 为菱形，∠ABC =120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE =2DF ，AE ⊥EC .（Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面AFC ； （Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）略 【解析】在直角梯形BDFE 中，由BD =2，BE =2，DF =22可得EF =322，∴222EG FG EF +=，∴EG ⊥FG ， ∵AC ∩FG=G ，∴EG ⊥平面AFC ，∵EG ⊂面AEC ，∴平面AFC ⊥平面AEC .【例5】【2016高考浙江理数】如图,在三棱台ABC DEF - 中,平面BCFE ⊥平面ABC ,=90ACB ∠ ,BE =EF =FC =1,BC =2,AC =3. (I)求证：EF ⊥平面ACFD ；(II)求二面角B -AD -F 的平面角的余弦值.【答案】（I ）证明见解析；（II ）略．【解析】（I ）延长D A ，BE ，CF 相交于一点K ，如图所示．因为平面CF B E ⊥平面C AB ，且C C A ⊥B ，所以，C A ⊥平面C B K ，因此，F CB ⊥A ．又因为F//CE B ，F FC 1BE =E ==，C 2B =，所以C ∆B K 为等边三角形，且F 为C K 的中点，则F C B ⊥K ．所以F B ⊥平面CFD A ．【例6】【2015高考陕西理18】如图1，在直角梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2π∠BA =，C 1AB =B =，D 2A =，E 是D A 的中点，O 是C A 与BE 的交点．将∆ABE 沿BE 折起到1∆A BE 的位置，如图2．（I ）证明：CD ⊥平面1C A O ； （II ）若平面1A BE ⊥平面CD B E ， 求平面1C A B 与平面1CD A 夹角的余弦值．【答案】（I ）证明见解析；（II ）63．【解析】分析：（I ）先证1BE ⊥OA ，C BE ⊥O ，再可证BE ⊥平面1C A O ，进而可证CD ⊥平面1C A O ；（II ）建空间直角坐标系，再算出平面1C A B 和平面1CD A 的法向量，进而可得平面1C A B 与平面1CD A 夹角的余弦值．解析：（I ）在图1中，因为C 1AB =B =，D 2A =，E 是D A 的中点，D 2π∠BA =，所以C BE ⊥A ，即在图2中，1BE ⊥OA ，C BE ⊥O ，从而BE ⊥平面1A OC 又CD//BE ，所以CD ⊥平面1A OC .(II)由已知，平面1A BE ⊥平面CD B E ，又由（I ）知，1OA BE ⊥，C BE ⊥O所以1A OC ∠为二面角1--C A BE 的平面角，所以1OC 2A π∠=.如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系，因为11B=E=BC=ED=1A A ，//BC ED12222(E(,0,0),A ),C(0,B 得22BC(,,0), 122A C(0,)，CD BE(2,0,0).设平面1BC A 的法向量1111(,,)n x y z ，平面1CD A 的法向量2222(,,)n x y z ，平面1BC A 与平面1CD A 夹角为θ，则11100n BC n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得111100x y y z -+=⎧⎨-=⎩，取1(1,1,1)n ，22100n CD n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2220x y z =⎧⎨-=⎩，取2(0,1,1)n =，从而126cos |cos ,|32n n θ=〈〉==⨯， 即平面1BC A 与平面1CD A 夹角的余弦值为6【名师点晴】本题主要考查的是线面垂直、二面角、空间直角坐标系和空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．解题时一定要注意二面角的平面角是锐角还是钝角，否则很容易出现错误．证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线．【例7】【2014江苏理16】如图在三棱锥-P ABC ,,D E F 分别为棱,,PC AC AB 的中点，已,6,8,5PA AC PA BC DF ⊥===，求证（1）直线//PA 平面DEF ； （2）平面BDE ⊥平面ABC .【答案】证明见解析．【解析】（1）由于,D E 分别是,PC AC //PA DE ，又PA DEF ⊄平面，DE DEF ⊂平面以//PA DEF 平面．（2）由（1）//PA DE ，又PA AC ⊥， 所以PE AC ⊥，又F 是AB 中点，所以132DE PA ==，142EF BC ==，又5DF =， 所以222DE EF DF +=，所以DE EF ⊥，,EF AC 面ABC 内两条相交直线，所以DE ABC ⊥平面， 又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC ． 条件．证明直线与平面垂直的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础． 精彩解读【试题来源】人教版A 版必修二第79页复习参考题B 组第2题．【母题评析】本题是以正方体为载体考查空间直线与平面的垂直关系，这种题型能充分考查学生的逻辑思维能力与空间想象能力，以及综合分析与解决问题的能力．这在高考中常常出现在解答题的第1小题位置．【思路方法】两平面垂直问题常转化为直线与直线垂直，而直线与平面或垂直又可转化为直线与直线垂直，所以在解题时应注意“转化思想”的运用。

这种转化实质上就是：将“高维问题”转化为“低维问题”，将“空间问题”转化为“平面问题”．【命题意图】本类题主要考查空间空间直线、平面间的垂直关系的证明和判断，以及考查逻辑思维能力、空间想象能力、转化能力．【考试方向】这类试题在选择题中，主要考查空间直线、平面间的垂直的概念、定理、公理、推论等的辨析及位置判断；在解答题中主要考查直线与平面间的垂直，主要出现在第1小题中．【难点中心】求空间直线、平面间位置关系的证明的主要难点：（1）对几何体结构认识不透，空间想象能力较差，难以下手；（2）不能正确利用条件中中点、垂直关系实施有效的转化．III．理论基础·解题原理考点直线、平面平垂直的判定及其性质定理定理内容符号表示分析解决问题的常用方法直线与平面垂直的判定一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直,,,m n m n Pa m a naαα∈=⊥⊥⇒⊥、且在已知平面内“找出”两条相交直线与已知直线垂直就可以判定直线与平面垂直。

即将“线面垂直”转化为“线线垂直”平面与平面垂直的判定一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面垂直,a aβαβα⊂⊥⇒⊥（满足条件与α垂直的平面β有无数个）判定的关键：在一个已知平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行。

即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题”直线与平面垂直的性质同垂直与一个平面的两条直线平行。

,//a b a bαα⊥⊥⇒运用较少平面与平面垂直的性质两个平面垂直，则一个平面内垂直与交线的直线与另一个平面垂直,,,l aa l aαβαββα⊥=⊂⊥⇒⊥解决问题时，常添加的辅助线是在一个平面内作两平面交线的垂线IV【考试方向】在选择题中，主要考查空间直线、平面间的垂直的概念、定理、公理、推论等的辨析及位置判断；在解答题中主要考查直线与平面间的垂直，主要出现在第1小题中．【技能方法】（1）证明线线垂直转化为证明线面垂直或面面垂直；（2）证明线面垂直转化为证明线线垂直或面面垂直；（3）证明面面垂直转化为证明线线垂直或线面垂直．【易错指导】（1）忽视定理的关键条件，如忽视直线与平面垂直的判定定理中，两条直线相交的条件；（2）胡乱推广平面几何的结论而用于证明空间问题；（3）受定势思维的影响，凭直觉思维主观臆断而误导结论．V ．举一反三·触类旁通 考向1 空间直线与直线垂直【例1】【2017四川省遂宁市联考】如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1B C 的中点为O ，且AO ⊥平面11BB C C ．（1）证明： 1B C AB ⊥； （2）若11,3AC AB CBB π⊥∠=， 1BC =，求三棱柱111ABC A B C -的高．【答案】（1）见解析（2）217试题解析：（1）连接1BC ，则O 为1B C 与1BC 的交点，因为侧面11BB C C 为菱形， 所以1B C BO ⊥．又AO ⊥平面11BB C C ，所以1B C AO ⊥，且AO BO O ⋂=故1B C ⊥平面ABO ．由于AB ⊂平面ABO ，故1B C AB ⊥． （2）作OD BC ⊥，垂足为D ，连接AD ．作OH AD ⊥，垂足为H ．由于BC AO ⊥， BC OD ⊥，故BC ⊥平面AOD ，所以OH BC ⊥．又OH AD ⊥，所以OH ⊥平面ABC ，因为13CBB π∠=，所以1CBB ∆为等边三角形，又1BC =，可得34OD =．由于1AC AB ⊥，所以11122OA B C ==． 由··OH AD ODOA =，且227AD OD OA =+=，得2114OH =． 又O 为1B C 的中点，所以点1B 到平面ABC 的高为217故三棱柱111ABC A B C -的高为21． 【点睛】证明线线垂直常见的有两种途径：（1）通过证明线面垂直达到目的，然而在实际证明过程中常常是转化为证明线面垂直后，又可转化为证明面面垂直或线线垂直；（2）利用三垂线定理证明． 【例2】．【2018临海市级联考】如图,在三棱柱111ABC A B C -中,1CC ⊥底面,3,4,5ABC AC BC AB ===, 点D 是AB 的中点.(Ⅰ) 求证1AC BC ⊥; (Ⅱ) 求证1//AC 平面1CDB . 【答案】（1）见解析；（2）见解析.试题解析：(Ⅰ)∵三棱柱111ABC A B C -底面三边长3,4,5AC BC AB ===∴AC BC ⊥ 又∵1CC ⊥底面ABC ∴1CC AC ⊥. ∵1CC BC C ⋂=∴AC ⊥平面11BCC B ∴1AC BC ⊥ (Ⅱ)设1CB 与1C B 的交点为E ， 连结DE ∵D 是AB 的中点，E 是1C B的中点,∴DE ∥1AC ∵DE ⊂平面1CDB ， 1AC ⊄平面1CDB ∴1AC ∥平面1CDB .【例3】【遵义市2018届高三联考】如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒.已知2PB PD ==， 6PA =.（Ⅰ）证明： PC BD ⊥；（Ⅱ）若E 为PA 上一点，记三棱锥P BCE -的体积和四棱锥P ABCD -的体积分别为1V和2V ，当12:1:8V V =时，求EPAE的值.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)13.（Ⅱ）由条件可知：ABD PBD∆≅∆，∴3AO PO==∵6PA=，∴222PA OA OP=+，∴PO AC⊥由（Ⅰ）知，BD⊥平面PAC，PO⊂平面PAC，∴PO BD⊥，∴PO⊥平面ABCD，∴平面APC⊥平面ABCD过E点作EF AC⊥，交AC于F，则EF⊥平面ABCD，∴EF PO，∴,EF PO分别是三棱锥E ABC-和四棱锥P ABCD-的高.又()113P ABC E ABC ABCV V V S PO EF--∆=-=-，213ABCDV S PO=⋅菱形由1218VV=，得()4PO EF PO-=，所以43POEF=又由AEF APO∆~∆，同时，PO AP AE EPEF AE AE+==，∴13EPAE=.【跟踪练习】1.【北京市朝阳区2018届高三期末】如图矩形ABCD中，3AD=.点E在AB边上，CE DE⊥且1AE=，ADE沿直线DE向上折起成1A DE．记二面角1A DE A--的平面角为θ，当θ()00180∈，时，①存在某个位置，使1CE DA⊥；②存在某个位置，使1DE A C⊥；③任意两个位置，直线DE和直线1A C所成的角都不相等.以上三个结论中正确的序号是A. ①B. ①②C. ①③D. ②③【答案】C【 方法点睛】主要综合考查线面垂直的判定与性质、面面垂直的性质、异面直线所成的角以及空间想象能力与抽象思维能力。