函数与方程

函数与方程

专题一：确定零点个数

例1：(x)2sin x x 1f π=-+的零点个数为

例2：设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<--=2),2(2

12,11)(x x f x x x f ，则方程01)(=-x xf 根的个数为 。

例 3.函数21,0()log ,0

x x f x x x +≤⎧=⎨

>⎩,则函数[()]1y f f x =+的所有零点所构成的集合为________.

例4.若函数()|21|f x x =-，则函数()()()ln g x f f x x =+在（0，1）上不同的零点个数为 ．

例5. 关于x 的方程()(0)x a x a a a --=≠的实数解的个数为 。

专题二：已知零点个数求参数

例2、函数2|1|y x =-和函数y x k =+的图像恰有三个交点，则k 的值是_______.

变式1：若函数()22

241f x x a x a =++-的零点有且只有一个，则实数a =___________.

变式2：方程t xe x

=||有3个根，确定t 的范围

变式3：关于x 的方程|x|=ax+1只有正根没有负根，求a 的取值范围

练习：（1）直线1y x =+与曲线2||194

y x x -=的公共点的个数是_______.

（2）若关于x 的不等式||22

a x x --<至少有一个负数解，则实数a 的取值范围是

（3）若函数1log 2)(|3|+-=-x x f a x 无零点，则a 的取值范围为_______.

（4）已知f （x ）=|x 2－4|+x 2+kx ，若f (x )在(0,4)上有两个不同的零点，则k 的取值范围是 .

（5）：若关于x 的方程

2||1

x kx x =-有四个不同的实数根，则实数k 的取值范围是 ．

(6)已知函数⎩⎨⎧<≥=)

0()-(log )0(3)(3x x x x f x ，函数)()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)

(x g 的零点，下列判断正确．．

的是 （1）.若)(,4

1x g t =有一个零点 （2）.若)(,412-x g t <<有两个零点 （3）.若)(,2-x g t =有三个零点 （4）.若)(,2-x g t <有四个零点

(7)定义在R 上的奇函数)(x f y =满足0)3(=f ，且不等式)()(x f x x f '->在),0(+∞上恒成立，则函数)(x g =1lg )(++x x xf 的零点的个数为

(8)若函数x x x f 3)(3-=,()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，

，求函数()y h x =的零点个数

专题二：已知零点个数求参数范围

例1：已知函数x e x x x f )2()(2-=与函数2)(-=k x g 有两个交点，求k 的范围

例2：已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

2－x －1，x ≤0，f (x －1)，x ＞0.若方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．

例3：已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当2

01()0x f x x x ≤≤=>时，，当时， (1)()(1)f x f x f +=+，若直线y kx =与函数()y f x =的图象恰有3个不同的公共点，则实数k 的取值范围为 ．

例 4.设定义域为R 的函数1251,0()44,0

x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩，若关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有5个不同的实数解，则m =

例5.已知函数)()()(2R t t t x x f t ∈--=，设⎩⎨⎧≥<=<)

()(),()()(),()(,x f x f x f x f x f x f x f b a b a b b a a ，若方程

0)(=-++b a x x f 有四个不同的根，则a b -的取值范围是 。

练习1：若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是

练习2：已知函数()x x

f x e =∈ (x R),若关于x 方程2()()10f x mf x m -+-=恰有4个不

相等的实数根，则实数m 的取值范围

思考：1．函数f （x ）=23420122013123420122013x x x x x x ⎛⎫+-+-+-+ ⎪⎝⎭

cos2x 在区间[-3，3]上的零点的个数为

2．已知函数 2342013()12342013x x x x f x x =+-+-+⋅⋅⋅+，2342013

()12342013

x x x x g x x =-+-+-⋅⋅⋅-， 设函数()(3)(4)F x f x g x =+⋅-，且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈