(2013.4)第五章年金的精算现值
保险精算学生存年金精算现值
显 然 ， m a x a m－ １ x
m
ax
a
－
x
a
x：m
（给出实际解释）
在概率的角度下，上述结论如何得到？是什么样？
一些公式
1.n ax vn n pxaxn n Exaxn
2.a x:n
a x:n
1 n Ex
3.a x:nm
a x:m
vm m pxaxm:n
4.ax
a x:n
n
ax
and
0
Y
a K 1
a n
amn
a n
0K n n K mn
K mn
mn1
nm ax E Y
a a
k 1
n
k qx
a mn
a n
nm px.
k n
期末付延期n年，定期m年生存年金给付精算现值的结论是什么
样的？
4、延期终身生存年金
用 n ax表 示 某 x岁 人 投 保 一 延 期 n年 进 入 年 金 给 付 ， 每 年 末 给 付
M x v N x N x1
Dx
Dx Dx
Ax vax ax 1 dax 即1 dax Ax
实 际 意 义 是 ?从 概 率 的 角 度 怎 么 证 ？
经 过 变 换 ： Ax 1 dax 实际意义是？
类似地,有
1 da A1
x:n
x:n
d
n ax
A1 x:n
Ax
A va a
x:n
x:n
x:n 1
期末生命年金的现值。
a x:n
n t 1
t Ex
1 Dx
n
Dxt
t 1
年金现值系数和复利现金系数
年金现值系数和复利现金系数年金现值系数和复利现金系数首先说什么是年金，年金是每隔相等时间间隔收到或支付相同金额的款项，如每年年末收到养老金10000元，即为年金。
年金现值系数公式：P/A＝[1－（1+i）^-n]/i 其中i表示报酬率，n表示期数,P表示现值,A表示年金。
比如你在银行里面每年年末存入1200元,年利率是10%的话,你这5年所存入资金的现值=1200/(1+10%)+1200/(1+10%)^2+1200/(1+10%)^3+1200/(1+ 10%)^4+1200/(1+10%)^5= 1200*[1- (1+10%)^ -5 ]/10%=1200*3.7908=4550 元。
1200元就是年金，4550就是年金现值，[1- (1+10%)^ -5 ]/10%=3.7908就是年金现值系数。
复利现值系数是复利终值的对称概念，指未来一定时间的特定资金按复利计算的现在价值，或者说是为取得将来一定复利现值系数本利和现在所需要的本金。
复利现值的计算公式为：P=F*1/(1+i)^n，其中的1/(1+i)^n就是复利现值系数。
记作（P/F，i,n），其中i是利率（折现率），n是年数。
根据这两个条件就可以查到具体对应的复利现值系数了。
说白了就是F=p*(1+i)^n的变形。
复利终值与现值、普通年金终值与现值计算器年金现值系数表的作用要了解年金现值系数表的作用，首先要知道什么是年金现值系数。
所谓的年金，用通俗的说法来解释，就是每个相等的时间间隔发生一笔金额相同的款项流动，或支付或收到，例如，每年的年末都收到1万元，这个就叫做年金。
而年金现值，就是把这每一期发生的金额按照一定的系数折到现在，所加总的金额总额。
年金现值系数的计算公式是这样的：P/A=1/i -1/i(1+i)^n，其中，i是报酬率，n是期数，P是现值，A是年金。
通过这个年金现值系数的公式，带入相关的报酬率、期数、年金，就可以求现值了，同理，代入三个变量，就可以求出第四个变量。
保险精算学人寿保险的精算现值
5.3.4 离散型生存年金的精算累积值
对于期初付n年定期生存年金，有
5.4 每年付数次的生存年金
1、终身生存年金
基本公式：
axm
k 0
1
v
k m
m
k m
px
类似于上一节的公式，有
UDD假定下的公式 近似公式（实际操作公式）
2、定期生存年金
UDD假设下的公式
近似公式（实际操作公式）
一年递增无穷次（连续递增）：
对于递增的n年定期寿险，只需将积分上限换成n即可。
2.死亡年度末给付的递增型终身寿险的趸缴纯保 费
相应地，对于n年定期保险，有
4.4.2 递减型寿险 1.立即给付型递减型寿险（n年定期寿险为例）
2. 死亡年末给付型递减型寿险（n年定期寿险为例）
4.4.3 两类精算现值的换算
假定：(x)岁的人，保额1元终身寿险 基本函数关系
vt vt , t 0 bt 1 , t 0
zt btvt vt , t 0
符号： Ax
厘定：
Ax E(zt ) 0 zt fT (t)dt
0
vt
t
pxxt dt
0
e t
t
pxxt dt
方差公式
Var(zt ) E(zt2 ) E(zt )2
由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任意时 刻，所以死亡即刻赔付时刻是一个连续随机变量， 它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约 时的剩余寿命。
4.1.1 精算现值的概念
精算现值即趸缴纯保费，未来保险金给付 在签单时的现值，即一次性缴清的纯保费， 它是以预定利率和预定死亡率为基础计算 的。
主要险种的精算现值（趸缴纯保费）的厘定
生存年金的精算现值
通过对生存年金精算现值的计算和分析，投资者可以 优化资产配置，降低投资风险并提高投资收益。
风险与收益平衡
生存年金精算现值有助于投资者在追求收益的同时， 合理控制风险，实现风险与收益的平衡。
07
总结与展望
研究结论
生存年金精算现值模型的有效性
通过实证研究，验证了所提出的生存年金精算现值模型的有效性和准确性，该模型能够较好地预测和评估生存年金的 未来现金流和现值。
精算现值概念
精算现值是一种用于评估保险产品（如生存 年金）未来支付责任的现值的技术。
它考虑了多种因素，如被保险人的预期寿命 、死亡率、利率和费用等，以确定保险公司 为履行未来支付责任所需的当前资金。
精算现值可以帮助保险公司更准确地定价和 评估风险，从而确保公司的稳健运营和客户 的权益保障。
03
生存年金精算现值计算方法
精算符号的定义
定义一系列精算符号，表示生存年金的各种参数和变量。
精算等式的建立
根据生存年金的定义和性质，建立包含精算符号的精算等式。
精算等式的求解
通过代数运算或数值计算，求解精算等式，得出精算现值。
数值解法
数值模型的建立
根据生存年金的实际情况，建立合适的数值 模型。
参数的确定
利用计算机程序或专业软件，进行数值计算 ，得出精算现值。
进一步研究方向
未来研究可以进一步探讨生存年金精 算现值模型在不同人群和不同地区的 应用效果，以及在不同经济环境和政 策背景下的适用性和有效性。同时， 可以进一步研究如何将生存年金精算 现值模型与其他相关模型进行融合和 优化，以提供更全面、准确的评估和 预测结果。
感谢您的观看
THANKS
研究不足与展望
2012保险精算第五章
• (2)王明在40岁时购买了一份年金产品，承 诺在未来的20年内，则可以在每年年初领 取1000元的给付，一旦死亡，则给付立即 停止。20年满期，保单自动中止，无论20 年后是否存活，不再给付给付。假设利率 为6%,试计算这笔年金的精算现值。
• （3）某人在30岁时购买了一份年金，约定 的给付为：从51岁起，如果被保险人生存， 每年可以得到5000元的给付。直到被保险 人死亡为止，设年利率为6%，存活函数为 lx=l0（1-x/100），试计算这笔年金在购买 时的精算现值。
相关公式—终身年金
1 v K 1 1 1 Ax 1) ax E[aK 1 ] E E[ zk ] d d d
2 1 v K 1 1 Ax Ax2 2) Var[aK 1 ] Var 2 Var[ zk ] 2 d d d
1 Var[aT ] 2 [ Ax ( Ax ) ] (0.25 0.16) 25 2 0.06
2 2
1
例题：
• 年龄为35岁的人，购买按连续方式给付年 金额为2000元的生存年金，试利用生命表 及利率i=6%，求在UDD假设下下列生存年 金的精算现值。 • （1）终身生存年金 • （2）20年定期生存年金 • （3）延期10年的20年定期生存年金 • （4）延期10年的终身生存年金
Ax:n A 1 d 2 Var[ z K ] 2 d
2
2 x:n
期末付生存年金
• 终身生存年金：
ax nEx v kpx
k k 1
• 定期生存年金：
x : n 1 nEx ax : n v kpx a
k k 1
n
保险精算 第5章2(2)年金的精算现值
(7) A4 0： 0.09 1 0|
1
（8）张发财获得中奖时40岁。 求M。
答案
1 0| M 1 0| a 4 0 解：1000000 M a
40 10 E40 a 50 10 | a
1 A50 50 a d
A4 0 A410： 1 0E4 0 A5 0 1 0|
x ； da
Ax 。
n年定期生存年金
设Z为保额1元的n年期两全保险的给付现值随机变量。
1 Z 运用 Y 来计算， d
或
对于延期年金
同理可证：
例4.4
已知 i = 0.05
dx
lx
x
90 100 28
91 72 33
92 39 39
93 0 －
90 假定91岁存活给付5，92岁存活给付10，求： a
2
K 1
K
1 v K 1 d
K 1
1 Ax 1 E (v ) 1 v x E(Y ) E a d d d
5.3.2 期初付生存年金的精算现值与 死亡年末付寿险精算现值之间的关系
经济意义：x岁的人投资1元，从投资日起在生存期
间内每年年初得到利息d元，利息给付的精算现为 为 当此人死亡后，在死亡年末得到返还的1元本金，现值
M 53840 (元)
5 72 10 39 90 5vp 90 10v 2 p90 a 6.97 2 1.05 100 1.05 100
2
5.3.3 期末付生存年金及其精算现值
初付付生存年金与期末付生存年金的关系
a a ？ d i
1.终身生存年金
或 1 iax (1 i) Ax
第5章生存年金的精算现值
a v p dt e e dt edt 10
0 0
t x t x 0
0 . 06 t 0 . 04 t
0 . 1 t
13
例5.2答案
0.06 t 0.04 t （ 2 ） A e 0 . 04 e 0.4 x 0 2 0.12 t 0.04 t A e 0 . 04 e 0.25 x 0
3
生存年金的用途
被保险人保费交付常使用生存年金的方式 某些场合保险人保险理赔的保险金采用生存年金的 方式，特别在： 养老保险 伤残保险 抚恤保险 失业保险
4
5.2 生存保险
现龄x岁的人在投保n年后仍然存活，可以在 第n年末获得生存赔付的保险。也就是我们在第4 章讲到的n年期纯生存保险。n年期生存保险的趸 缴纯保费为 A x : n1 在生存年金研究中习惯用 n E x 表示该保险的精算现 值
n 1 k 0
, n 1
ax E[Y ] ak 1 k qx an n px
32
相关公式
K1 v , K 0,1, , n 1 zK n v , K n 1 Ax:n 1 zK 1 1) ax:n E[Y] E E [ z ] K d d d
1 z 1 t （ 2 ） Var ( Y ) Var ( ) 2Var (z t)
12 2 Var ( a ) [ A ( A ) ] 2 T x : n x : n
思考：为什么会对应两全保险？
（提示：分析Zt的表达式）
20
例5.4（例5.3续）
在De Moivre假定下，
t 30 30
保险精算第二版习题及答案(word文档良心出品)
保险精算(第二版)第一章：利息的基本概念练习题1. 已知a U^at 2 b ,如果在o 时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元,在时刻8的积累值。
a(0)二 b =1 a(5) =25a b =1.8252. (1)假设 A(t)=100+10t,试确定 i 1.i3.i 5n⑵假设A(n )=100車1.1)，试确定 HA3 .已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资 800元在5年后的积累值。
500a (3) =500(1 3iJ =620= h =0.08 .800a(5) =800(1 5iJ =1120500a(3) =500(1 i 2)3 =620= h =0.0743363 800a(5) =800(1 i s )5 =1144.974 •已知某笔投资在 3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 h =10%，第2年的利率为i 2 =8% , 第3年的利率为i 3 =6%，求该笔投资的原始金额。
A(3)=1000 = A(0)(1 “(1 i 2)(1 i 3)二 A(0) =794.15 .确定10000元在第3年年末的积累值：(1) 名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。
(2) 名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。
300*100* 180a(5) =300300*100 180 a(8) =300*100180(64a b) = 508 A(1)-A(0) A(0)= 0.1,i 3A(3) - A(2) A(2)= 0.0833,5A(5) - A(4) A ⑷= 0.0714i 1A(1)-A(0) A(0)= 0.1,i 3A(3) - A(2) A(2)=0.1,i5A(5) - A(4) A ⑷-0.1•⑷i 12 10000a(3) =10000(1) =11956.1846•设m > 1,按从大到小的次序排列d ::: d (m) ：：： —：i (m) :：: i 。
保险精算学生存年金精算现值共43页
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而不 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
财管年金现值系数表
财管年金现值系数表什么是年金现值系数表？财管年金现值系数表是一种用于计算年金现值的工具。
年金是指在一定时间内以固定间隔支付的一系列资金流，常见的例子包括养老金、退休金和保险金等。
计算年金现值可以帮助人们了解未来收入的价值，从而做出更好的财务决策。
年金现值的概念在理财和投资领域，年金现值是指将未来一段时间内收到的一系列资金流折算到当前时点所得到的金额。
由于货币的时间价值，未来收入不如当前收入有价值。
因此，为了比较不同时点的收入，需要将未来收入进行贴现，计算出其在当前时点的价值。
年金现值系数表的作用年金现值系数表提供了一种简便快捷地计算年金现值的方法。
通过查找表中对应期限和利率下的系数，可以直接将未来收入转换为当前价值。
这样可以避免繁琐的手动计算，并减少错误发生的可能性。
如何使用年金现值系数表使用年金现值系数表进行计算需要以下几个步骤：1.确定期限：确定年金的支付期限，即未来资金流的时间跨度。
2.确定利率：确定贴现率，即将未来收入折算到当前时点所使用的利率。
3.查找系数：在年金现值系数表中找到对应期限和利率下的系数。
4.计算现值：将未来收入与对应的系数相乘，得到年金在当前时点的现值。
年金现值系数表示例下面是一个简化的年金现值系数表示例，仅用于说明计算方法：期限5% 6% 7%1 0.952 0.943 0.9352 1.859 1.833 1.8083 2.723 2.673 2.624…………假设我们有一个连续三年每年支付1000元的年金，并且贴现率为6%。
根据上表，在第一项中找到3年期和6%利率对应的系数为2.673。
因此，该连续三年每年支付1000元的年金在当前时点的现值为：1000 * 2.673 = $2673年金现值系数表的局限性年金现值系数表提供了一种便捷的计算方法，但也有其局限性。
首先，该表仅给出了一些常见期限和利率下的系数，无法覆盖所有可能的情况。
其次，该表假设年金支付间隔是等额的，不考虑不同期间内支付金额不同的情况。
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生存年金与确定性年金的关系
确定性年金
支付期数确定的年金（利息理论中所讲的年金）
生存年金与确定性年金的联系
都是间隔一段时间支付一次的系列付款
生存年金与确定性年金的区别
确定性年金的支付期数确定 生存年金的支付期数不确定（以被保险人生存为条
件）
生存年金的用途
被保险人保费交付常使用生存年金的方式 某些场合保险人保险理赔的保险金采用生存
四、年金精算现值与寿险趸缴纯保费的关系
Ax 1 ax
证明:
Ax
vt
0
fT
t dt
0
v
t
FT
t
dt
vt(
0
tq x
) dt
0
v
t
.(
t
p
x
)dt
－( v t .t px
) |0
( vt
0
).t pxdt
1
0
v
t
.ln
v
.t
pxdt
1
0
v
t
.t
pxdt
1 ax
同理可得：
Ax:n 1 ax:n
n| a x
Ax:n
Ax
a m| x:n
Ax:m Ax:mn
Y的方差
1、终身生存年金
VarY
2 Ax ( Ax 2
)2
2、n年定期生存年金
Var Y
2
(a x:n
a2 x:n
)
(a x:n
)2
3、延期n年的终身生存年金
Var Y
2
.v 2n
1 n Ex
称为累积因子
例1：某25岁的男性购买了定期生存险，按保单规定：若能满65岁，
可获得10000元。已知i＝6％，计算（1）趸缴纯保费。
（2）25岁时缴纳的10000元在65岁时的精算累积值
（利用附录中的生命表）
解： 1000040 E25 10000 v4040 p25
10000 e 40 l65 l25
0
e 0.06t .e 0.04t dt
0
e 0.1t dt
lim b
b 0
e 0.1t dt
lim(
b
1 0.1
e
0.1t
)
|b0
10
例2：设余命T 的概率密度函数为f(t) 0.015e－0.015t(t 0),利息
－
－
力＝0.05,计算：（1）ax（2）ax 足够用于实际支付年金的概率。
vk k px
km
..
..
a x:mn a x:m
..
m E x .axm:n
例：某人为其14岁的子女投保了一定期生命年金，这一保险可以 使该儿童在18岁到21岁间，每年初获得4000元作为大学学费（年 利率i=0.06),以附表计算该年金的现值。
解:这是延期4年又定期3年的生命年金
..
40004| a14:3
解:
ax
0
t
px v t dt
t px
t fT (t )dt
0.015e 0.015t dt
t
e0.015t
ax
e0.015t .e0.05t dt
0
e 0.065t dt
0
e 0.065t 0.065
|0 15.38
P(a x
aT )
1 vT P(
15.38)
P(vT 0.231)
离散生存年金定义：
在保障时期内，以被保险人生存为条件，每隔一段时期支付一次 年金的保险。
离散生存年金与连续生存年金的关系
计算精算现值时理论基础完全相同 连续－积分离散－求和 连续场合不存在初付延付问题，离散场合初付、延付要分别考虑
离散生存年金的分类
期初年金/期末年金 终身年金/定期年金 延期年金/非延期年金
0.05
P(e0.05T 0.231) P(T 29.31) 29.31 0.015e0.015tdt 0
0.3557
二、n年定期生存年金
ax:n
n 0
t
px v t dt
例2：已知x
1 ,计算当 -x
100,
0.05, x
30时，
30年定期生存年金的精算现值
解: a30:30
一、期初付年金及其精算现值
终身生存年金－每个保单年度初给付1元，直到年金受领人死亡。
..
a x v k .k px
k0
..
Var( a x
)
2 Ax
( Ax d2
)2
例
已知 i 0.05
x 90 91 92 93
l x 100 72 39 0 d x 28 33 39 －
..
假定91岁存活给付5，92岁存活给付10，求：a 90
k0
10000( 1 v . p55 v 2 2 p55 v 3 3 p55 v 4 4 p55 )
10000( 1 v l56 v 2 l57 v 3 l58 v 4 l59 )
l55
l55
l55
l55
10000( 1 v l56 v 2 l57 v 3 l58 v 4 l59 )
第5章 年金精算现值
第一节 生存年金的概念和种类
一、生存年金的定义：
以被保险人存活为条件，间隔相等的时期（年、半年、季、月） 支付一次保险金的保险类型
二、生存年金的分类：
1、按交保险费的方法分类：趸缴年金和年缴年金 2、按被保险人数分类：个人年金和联合年金 3、按给付年金的额度分类：定额年金和变额年金 4、按给付开始的日期分类：即付年金和延付年金 5、按给付期间分类：终身年金、期间保证年金、定期年金
（ a
t
.t
px）
｜ 0
0 t px .(at )dt
0
t
px .(at )dt
0t
px .(
t v sds)dt
0
ax
0
t
px v t dt
例1：在死亡力为常数0.04，利息力为常数0.06的假定下，求 a x
解:
ax
0
t
px v t dt
0
t
e t .e0xsdsdt
30380.05
Ax:n 1 ax:n
2000 a 35:20
2000 1
A35:20
2000
1
(
A1 35: 20
i
A1 35:20
)
2000 1 ( D55 i M 35 M55 ) D35 D35
23258.59
n| a x
Ax:n Ax
200010| a 35
2000
.n
px( a xn
a2 xn
)
(
n| a x
)2
－
－
－
－
例1：设 ax
10, 2 a x
7.375,Var( a T
) 50,求：（1）（2）Ax
解:
VarY
2 Ax ( Ax 2
)2
Q Ax
0
vt
fT
t
dt
2 Ax
0
v2t
fT
t
dt
v2t (
0
tq x
) dt
A35:30
12465.84
五、年金的精算累积值
以连续方式每年给付金额为1元的n年定期生存年金的精算累积值
1
s x:n a x:n n E x
1
a x:n v n .n px
( 1 i )n
lx
a x:n
lxn
l xn s x:n ( 1 i )n l x a x:n
第三节 离散型年金
解: Ax 1 a x
2000 a 35
2000 1 A35
2000
1
(
1
i
A35
)
2000 1 ( 1 0.06 M35 ) ln( 1.06 ) ln( 1.06 ) D35
2000
1
(1
0.06
14116.1223 )
ln( 1.06 ) ln( 1.06 ) 126513.78
6
v k k p14
k4
4000( v 4 .4 p14 v 5 5 p14 v 6 6 p14 )
4000( v 4 l18 v 5 l19 v 6 l20 )
l14
l14
l14
二、期初付年金精算现值与趸缴纯保费间的关系
假设K为x岁的人的未来的取整余命的随机变量，Y为年金给付的
现值的随机变量。
l55
l55
l55
l55
44005
延期终身生存年金－每个保单年度初给付1元的延期n年的终身生
存年金。
..
n a x v k k px
kn
..
..
a x a x:n
..
nEx .axn
延期终身生存年金－每个保单年度初给付1元的延期m年的n年定 期生存年金。
..
n m 1
a m| x:n
..
解: a x v k .k px
k0
..
2
a 90
vk
k 1
.k
p90
5v . p90
10v 2 .2
p90
5 1 1 0.05
l91 l90
10
(1
1 0.05 )2
. l92 l90
6.97
定期生存年金－每个保单年度初给付1元的n年定期生存年金。