相似三角形的面积问题题型总结+答案

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相似三角形的面积关系总结

相似三角形的面积关系总结
相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。

在研究相
似三角形时，我们可以得出一些有用的面积关系。

1. 面积比例：相似三角形的面积与它们对应边长的平方成正比。

设两个相似三角形的边长比为a:b，则它们的面积比为a²:b²。

2. 高度比例：相似三角形的高度与它们对应边长的比例相等。

设两个相似三角形的边长比为a:b，则它们的高度比为a:b。

3. 面积差比例：如果在一个相似三角形的每条边上分别取等比
例的线段，则这些线段所分割出的新三角形的面积比等于相似三角
形的边长比的平方。

4. 面积和比例：如果一个相似三角形的每条边上分别取等比例
的线段，则这些线段所分割出的新三角形的面积比等于相似三角形
的边长比的平方。

这些面积关系对于解决与相似三角形有关的几何问题非常有用。

我们可以利用它们来计算未知三角形的面积，比较不同三角形的面
积大小，以及推导出其他有用的几何关系。

总结了相似三角形的面积关系，我们能更好地理解三角形的性质，并在解决实际问题时灵活运用。

完整版)相似三角形题型归纳

完整版)相似三角形题型归纳1、在平行四边形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，且AE∶EC=1∶3.将BE延长至与CD的延长线交于点G，与AD交于点F。

证明BF∶FG=1∶2.2、在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC的中点，E为AC上的一点。

点G在BE上，连接DG并延长至交AE于点F，且∠FGE=45°。

证明：（1）BD·BC=BG·BE；（2）AG⊥BE；（3）若E为AC的中点，则EF∶FD=1∶2.3、在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上的一点，连接BO交AD于点F，OE⊥OB交BC边于点E。

证明：（1）△ABF∽△COE；（2）当O为AC的中点时，求△ABC的面积；（3）当O为AC边中点时，求△ABC的面积。

4、在平行四边形ABCD和平行四边形ACED中，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q。

写出各对相似三角形（相似比为1除外），并求出BP∶PQ∶QR的值。

5、在△ABC中，AD平分∠BAC，EM为AD的中垂线，交BC延长线于点E。

证明DE=BE·CE。

6、过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E。

证明AE∶ED=2AF∶FB。

7、在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，点M在CD 上，DH⊥BM且与AC的延长线交于点E。

证明：（1）△AED∽△CBM；（2）DE=DM。

8、在△ABC中，BD、CE分别是两边上的高，过D作DG⊥BC于点G，分别交CE及BA的延长线于点F、H。

证明：（1）DG＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH。

9、在平行四边形ABCD中，点P为对角线AC上的一点。

过P的直线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长线分别相交于点E、F、G、H。

证明：AG∶GB=CP∶PD。

1、求证：如图，已知平行四边形ABCD中，点P在AC上，点Q在BC上，且AP=CQ。

相似三角形试题及答案

相似三角形试题及答案
一、选择题
1. 已知两个三角形相似，下列说法正确的是（）
A. 对应角相等
B. 对应边成比例
C. 对应角相等且对应边成比例
D. 面积相等
答案：C
2. 若两个三角形的相似比为2:3，则下列说法正确的是（）
A. 周长比为2:3
B. 周长比为3:2
C. 面积比为4:9
D. 面积比为9:16
答案：C
二、填空题
1. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE=2:3，则BC:EF=______。

答案：2:3
2. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且相似比为1:2，则三角形ABC
的面积是三角形DEF面积的______。

答案：1/4
三、解答题
1. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，AB=6cm，DE=9cm，求BC和EF 的长度。

答案：由于三角形ABC与三角形DEF相似，根据相似三角形的性质，对应边成比例。

因此，BC:EF=AB:DE=6:9=2:3。

设BC=2x，则EF=3x。

由于AB:DE=2:3，所以2x/3x=6/9，解得x=3cm。

因此，BC=6cm，
EF=9cm。

2. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且三角形ABC的面积为24平方厘米，三角形DEF的面积为36平方厘米，求相似比。

答案：设相似比为k，则三角形ABC与三角形DEF的面积比为k^2。

因此，k^2=24/36=2/3，解得k=√(2/3)。

所以相似比为√(2/3)。

相似三角形经典题型及解答

一、选择题 1．如图所示，给出下列条件： ①B ACD ∠=∠；②ADC ACB ∠=∠；③AC AB CD BC=；④2AC AD AB =．其中单独能够判定ABC ACD △∽△的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C2.如图，已知AB CD EF ∥∥，那么下列结论正确的是（）A ．AD BC DF CE =B ．BC DF CE AD = C ．CD BC EF BE = D ．CD AD EF AF=【答案】A3.已知△ABC∽△DEF，且AB ：DE=1：2，则△ABC 的面积与△DEF 的面积之比为(A)1：2 (B)1：4 (C)2：1 (D)4：1【答案】B4. 如图，已知等边三角形ABC 的边长为2，DE 是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1，（2）△CDE ∽△CAB ，（3）△CDE 的面积与△CAB 的面积之比为1：4.其中正确的有：A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】D5.若△ABC ∽△DEF, △ABC 与△DEF 的相似比为１∶2，则△ABC 与△DEF 的周长比为（）A ．1∶4B ．1∶2C ．2∶1D 2【答案】B6.（2009年杭州市）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x ，那么x 的值（）A ．只有1个B ．可以有2个C ．有2个以上但有限D ．有无数个【关键词】相似三角形有关的计算和证明【答案】B7.2009年宁波市）如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（）A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形B ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形C ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形【关键词】位似【答案】C8.（2009年江苏省）如图，在55⨯方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平移方法中，正确的是（）A ．先向下平移3格，再向右平移1格B ．先向下平移2格，再向右平移1格C ．先向下平移2格，再向右平移2格D ．先向下平移3格，再向右平移2格【关键词】平移【答案】D9.(2009年义乌)在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。

相似三角形经典大题解析答案

1.【答案】解：（1）MN BC ∥AMN ABC ∴△∽△ 68h x ∴= 34xh ∴= （2）1AMN A MN △≌△1A MN ∴△的边MN 上的高为h ，①当点1A 落在四边形BCNM 内或BC 边上时，1A MN y S =△=211332248MN h x x x ==··（04x <≤） ②当1A 落在四边形BCNM 外时，如下图(48)x <<，设1A EF △的边EF 上的高为1h ，则132662h h x =-=- 11EF MNA EF A MN ∴ ∥△∽△11AMN ABC A EF ABC ∴ △∽△△∽△ 1216A EF S h S ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△ABC168242ABC S =⨯⨯= △22363224122462EFx S x x ⎛⎫- ⎪∴==⨯=-+ ⎪⎪⎝⎭1△A 1122233912241224828A MN A EF y S S x x x x x ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭△△所以 291224(48)8y x x x =-+-<<综上所述：当04x <≤时，238y x =，取4x =，6y =最大当48x <<时，2912248y x x =-+-，取163x =，8y =最大 86> ∴当163x =时，y 最大，8y =最大 2.【答案】解：（1）该抛物线过点(02)C -，，∴可设该抛物线的解析式为22y ax bx =+-．将(40)A ，，(10)B ，代入，得1642020a b a b .+-=⎧⎨+-=⎩，解得1252a b .⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴此抛物线的解析式为215222y x x =-+-．（2）存在．如图，设P 点的横坐标为m ，则P 点的纵坐标为215222m m -+-，当14m <<时，4AM m =-，215222PM m m =-+-．又90COA PMA ∠=∠= °，∴①当21AM AO PM OC ==时， APM ACO △∽△，即21542222m m m ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭．解得1224m m ==，（舍去），(21)P ∴，． ②当12AM OC PM OA ==时，APM CAO △∽△，即2152(4)222m m m -=-+-．解得14m =，25m =（均不合题意，舍去）∴当14m <<时，(21)P ，．类似地可求出当4m >时，(52)P -，．当1m <时，(314)P --，．综上所述，符合条件的点P 为(21)，或(52)-，或(314)--，． 3.【答案】（1）解：由28033x +=，得4x A =-∴．点坐标为()40-，．由2160x -+=，得8x B =∴．点坐标为()80，．∴()8412AB =--=．由2833216y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，．解得56x y =⎧⎨=⎩，．∴C 点的坐标为()56，． ∴111263622ABC C S AB y ==⨯⨯=△·．（2）解：∵点D 在1l 上且2888833D B D x x y ==∴=⨯+=，．∴D 点坐标为()88，．又∵点E 在2l 上且821684E D E E y y x x ==∴-+=∴=，．． ∴E 点坐标为()48，．∴8448OE EF =-==，．（3）解法一：①当03t <≤时，如图1，矩形DEFG 与ABC △重叠部分为五边形CHFGR （0t =时，为四边形CHFG ）．过C 作CM AB ⊥于M ，则R t R t R G B C M B△∽△．∴BG RG BM CM =，即36t RG=，∴2RG t =． Rt Rt AFH AMC △∽△，∴()()11236288223ABC BRG AFH S S S S t t t t =--=-⨯⨯--⨯-△△△．即241644333S t t =-++．当83<≤t 时，如图2，为梯形面积，∵G （8－t,0）∴GR=32838)8(32t t -=+-,∴38038]32838)4(32[421+-=-++-⨯=t t t s 当128<≤t 时，如图3,为三角形面积，4883)12)(328(212+-=--=t t t t s 4【答案】解：（1）34PM =，（2）2t =，使PNB PAD △∽△，相似比为3:2 （3）PM AB CB AB AMP ABC ∠=∠ ⊥，⊥，，AMP ABC △∽△，PM AM BN AB ∴=即()PM a t t a t PM t a a--== ，，A DB EORF xy1l 2lM（图3）G CA DB EO CF xy1l 2lG （图1）RM A D B EO C F xy1l 2lG （图2）RM(1)3t a QM a-∴=-当梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，即()()22QP AD DQ MP BN BM++=()33(1)()22t a t t a a t t ta a -⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==化简得66a t a =+，3t ≤，636aa∴+≤，则636a a ∴<≤，≤，（4）36a < ≤时梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等∴梯形PQCN 的面积与梯形PMBN 的面积相等即可，则CN PM =()3t a t t a∴-=-，把66a t a =+代入，解之得23a =±，所以23a =．所以，存在a ，当23a =时梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积、梯形PQCN 的面积相等． 5.【答案】解：(1)△BPQ 是等边三角形,当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP.又因为∠B=600,所以△BPQ 是等边三角形.(2)过Q 作QE ⊥AB,垂足为E,由QB=2y,得QE=2t ·sin600=3t,由AP=t,得PB=6-t,所以S △BPQ=21×BP ×QE=21(6-t)×3t=－23t 2+33t ； (3)因为Q R ∥BA,所以∠QRC=∠A=600，∠RQC=∠B=600，又因为∠C=600, 所以△QRC 是等边三角形,所以QR=RC=QC=6-2t.因为BE=BQ ·cos600=21×2t=t, 所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP ∥QR,EP=QR,所以四边形EPRQ 是平行四边形, 所以PR=EQ=3t,又因为∠PEQ=900,所以∠APR=∠PRQ=900.因为△APR ～△PRQ,所以∠QPR=∠A=600,所以tan600=PR QR ,即3326=-tt,所以t=56, 所以当t=56时, △APR ～△PRQ 6. （1）证明：在ADC △和EGC △中， Rt ADC EGC ∠=∠=∠ ，C C ∠=∠ ADC EGC ∴△∽△ EG CG AD CD∴= 3分（2）FD 与DG 垂直4分证明如下：在四边形AFEG 中，FAGCED B90FAG AFE AGE ∠=∠=∠=∴四边形AFEG 为矩形 AF EG ∴=由（1）知EG CG AD CD= AF CGAD CD ∴=6分ABC △为直角三角形，AD BC ⊥FAD C ∴∠=∠ AFD CGD ∴△∽△ ADF CDG ∴∠=∠8分又90CDG ADG ∠+∠=90ADF ADG ∴+∠=即90FDG ∠=FD DG ∴⊥10分（3）当AB AC =时，FDG △为等腰直角三角形，理由如下：AB AC = ，90BAC ∠= AD DC ∴=由（2）知：AFD CGD △∽△1FD ADGD DC∴== FD DG ∴= 又90FDG ∠=FDG ∴△为等腰直角三角形12分7. （1）34PM =，（2）2t =，使PNB PAD △∽△，相似比为3:2 （3）PM AB CB AB AMP ABC ∠=∠ ⊥，⊥，，AMP ABC △∽△，PM AM BN AB ∴=即()PM a t t a t PM t a a--== ，，(1)3t a QM a-∴=-当梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，即()()22QP AD DQ MP BN BM++=()33(1)()22t a t t a a t t ta a -⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==化简得66a t a =+，3t ≤，636aa∴+≤，则636a a ∴<≤，≤，（4）36a < ≤时梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等∴梯形PQCN 的面积与梯形PMBN 的面积相等即可，则CN PM =()3t a t t a∴-=-，把66a t a =+代入，解之得23a =±，所以23a =．所以，存在a ，当23a =时梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积、梯形PQCN 的面积相等．例1．解 ABCD 是平行四边形，∴CD AB CD AB =,//，∴AEF ∆∽CDF ∆，又2:1:=EB AE ，∴3:1:=CD AE ，∴AEF ∆与CDF ∆的周长的比是1：3．又)cm (6,)31(22==∆∆∆AEF CDF AEF S S S ，∴)cm (542=∆CD F S ．例3 由于ABD ∆∽ACE ∆，则CAE BAD ∠=∠，因此DAE BAC ∠=∠，如果再进一步证明AECAAD BA =，则问题得证．证明 ∵ABD ∆∽ACE ∆，∴CAE BAD ∠=∠．又DAC BAD BAC ∠+∠=∠ ，∴CAE DAC DAE ∠+∠=∠， ∴DAE BAC ∠=∠．∵ABD ∆∽ACE ∆，∴AEACAD AB =．在ABC ∆和ADE ∆中，∵AEACAD AB ADE BAC =∠=∠,，∴ABC ∆∽ADE ∆例5．解：例11．分析有一个角是65°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD 是底角的平分线，∴︒=∠36CBD ，则可推出ABC ∆∽BCD ∆，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．证明 AC AB A =︒=∠,36 ，∴︒=∠=∠72C ABC ．又BD 平分ABC ∠，∴︒=∠=∠36CBD ABD ．∴BC BD AD ==，且AB C ∆∽BCD ∆，∴BC CD AB BC ::=，∴CD AB BC ⋅=2，∴CD AC AD ⋅=2．说明（1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边．（2）要说明线段的乘积式cd ab =，或平方式bc a =2，一般都是证明比例式，b dc a =，或caa b =，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式．例16. 分析：要求BC 的长，需画图来解，因AB 、AC 都大于高AD ，那么有两种情况存在，即点D 在BC 上或点D 在BC 的延长线上，所以求BC 的长时要分两种情况讨论．求正方形的面积，关键是求正方形的边长．解：（1）如上图，由AD ⊥BC ，由勾股定理得BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD ＋DC ＝3＋1＝4．如下图，同理可求BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD －CD ＝3－1＝2．（2）如下图，由题目中的图知BC ＝4，且162)32(2222=+=+AC AB ，162=BC ，∴222BC AC AB =+．所以△ABC 是直角三角形．由AE G F 是正方形，设G F ＝x ，则FC ＝2－x ， ∵G F ∥AB ，∴AC FC AB GF =，即2232xx -=． ∴33-=x ，∴3612)33(2-=-=AEG F S 正方形．如下图，当BC ＝2，AC ＝2，△ABC 是等腰三角形，作CP ⊥AB 于P ，∴AP ＝321=AB ，在Rt △APC 中，由勾股定理得CP ＝1，∵GH ∥AB ，∴△C GH ∽△CBA ，∵x x x -=132，32132+=x ∴121348156)32132(2-=+=GFEH S 正方形因此，正方形的面积为3612-或121348156-．。

专题：相似三角形的面积问题

变式一：变式二：变式三：变式四：变式五：变式六：变式七：中考习题：作业题：在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ．（1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ；（2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？（3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？解：（1）∵MN ∥BC ，∴∠AMN =∠B ，∠ANM ＝∠C ．∴ △AMN ∽ △ABC ．∴ AM AN AB AC=，即43x AN=．A B C M N P图 1O A B C M N D图 2 OAB M N 图 3O A MNPOBD 图 2∴ AN ＝43x ． ……………2分 ∴ S =2133248MNP AMN S S x x x ∆∆==⋅⋅=．（0＜x ＜4） ………………3分（2）如图2，设直线BC 与⊙O 相切于点D ，连结AO ，OD ，则AO =OD =21MN ．在Rt △ABC 中，BC ．由（1）知 △AMN ∽ △ABC ．∴ AM MN AB BC=，即45x MN=．∴ 54MN x =，∴ 58OD x =． …………………5分过M 点作MQ ⊥BC 于Q ，则58MQ OD x ==．在Rt △BMQ 与Rt △BCA 中，∠B 是公共角， ∴ △BMQ ∽△BCA ． ∴ BM QM BC AC=．∴ 55258324xBM x ⨯==，25424AB BM MA x x =+=+=． ∴ x ＝4996． ∴ 当x ＝4996时，⊙O 与直线BC 相切．…………………………………………7分（3）随点M 的运动，当P 点落在直线BC 上时，连结AP ，则O 点为AP 的中点．∵ MN ∥BC ，∴ ∠AMN =∠B ，∠AOM ＝∠APC∴ △AMO ∽ △ABP ． ∴ 12AM AO AB AP ==． AM ＝MB ＝2．故以下分两种情况讨论：① 当0＜x ≤2时，2Δ83x S y PMN ==．∴ 当x ＝2时，2332.82y =⨯=最大 …………………………………………8分 ② 当2＜x ＜4时，设PM ，PN 分别交BC 于E ，F ．∵ 四边形AMPN 是矩形， ∴ PN ∥AM ，PN ＝AM ＝x ．又∵ MN ∥BC ， ∴ 四边形MBFN 是平行四边形． ∴ FN ＝BM ＝4－x ．∴ ()424PF x x x =--=-．又△PEF ∽ △ACB ．图 4P 图 3∴ 2PEF ABCS PF AB S ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭． ∴ ()2322PEF S x ∆=-． ……………………………………………………… 9分 MNP PEF y S S ∆∆=-＝()222339266828x x x x --=-+-．……………………10分当2＜x ＜4时，29668y x x =-+-298283x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴ 当83x =时，满足2＜x ＜4，2y =最大． ……………………………11分综上所述，当83x =时，y 值最大，最大值是2． ……………………………12分总结：1.直接法:根据三角形的面积公式解题2.等积法:等底等高的两三角形面积相等.3.等比法:将面积比转化为线段比.①等底(或同底)的三角形面积之比等于高之比. ②等高(或同高)的三角形面积之比等于对应底之比. ③相似三角形的面积比等于相似比的平方.。

相似三角形性质完整的题型+答案

相似三角形性质知识精要一、相似三角形的性质1、(定义):相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

2、性质定理1:相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

3、性质定理2:相似三角形的周长比等于相似比。

4、性质定理3:相似三角形的面积比等于相似比的平方。

二、相似三角形的应用例题讲解:例题:地图比例尺为1:2000，一块多边形地区在地图上周长为50cm，面积为100cm2，实际周长为1000 m，实际面积为40000m2。

变式:东海大桥全长32.5千米，如果东海大桥在某张地图上的长为6.5厘米，那么该地图上距离与实际距离的比为( )。

A.1:5000000B.1:500000C.1:50000D.1:5000答案：B例题:(1)两个相似三角形的面积之比为9:16，它们的对应高之比为3:4 。

(2)两个相似三角形的相似比为1:3，则它们的周长比为1:3 ，面积比为1:9 。

变式:(1)两个相似三角形面积之比是1:3，则他们对应边上的高之比为( )。

(A).1:3 (B) 3:1 (C) 1:3(D) 1:9(2)两个相似三角形的相似比是2:3，面积相差30厘米2，则它们的面积之和是( )。

(A)150厘米2(B) 65厘米2(C) 45厘米2(D) 78厘米2答案：(1) C (2)D。

例题:如图，已知DE//BC ，AD:DB=2:3，那么S △ADE :S △ECB = 4:15 。

变式:如图，在ABCD 中，AC 与DE 交于点F ，AE:EB=1:2，S △AEF =6cm 2，则S △CDF 的值为( )。

A.12cm 2B.15cm 2C.24cm 2D.54cm 2答案：D 。

例题:如图，已知梯形ABCD 中，AD//BC ，AD:BC=3:5，求: (1)S △AOD :S △BOC 的值；(2)S △AOB :S △AOD 的值. 答案:(1)9:25 (2)5:3。

九年级数学下册第二十七章相似知识点总结归纳(带答案)

九年级数学下册第二十七章相似知识点总结归纳单选题1、如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB=1.2m，BC=12.8m，则建筑物CD的高是( )A．17.5m B．17m C．16.5m D．18m答案：A分析：先求得AC，再说明△ABE∽△ACD，最后根据相似三角形的性质列方程解答即可．解：∵AB=1.2m，BC=12.8m∴AC=1.2m+12.8m=14m∵标杆BE和建筑物CD均垂直于地面∴BE//CD∴△ABE∽△ACD∴ABBE =ACCD,即1.21.5=14CD,解得CD=17.5m．故答案为A．小提示：本题考查了相似三角形的应用，正确判定相似三角形并利用相似三角形的性质列方程计算是解答本题的关键．2、如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ADE与△ABC相似的是（）A．B＝∠D B．∠C＝∠AED C．ABAD ＝DEBCD．ABAD＝ACAE答案：C分析：△ADE≌△ABC根据题意可得∠EAD=∠CAB，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断，即可求解．解：∵∠BAD=∠CAE，∴∠EAD=∠CAB，A．若添加∠B=∠D，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明△ADE≌△ABC，故本选项不符合题意；B．若添加∠C=∠AED，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明△ADE≌△ABC，故本选项不符合题意；C．若添加ABAD =DEBC，不能证明△ADE≌△ABC，故本选项符合题意；D．若添加ABAD =ACAE，可用两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，证明△ADE≌△ABC，故本选项不符合题意；故选：C．小提示：本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．3、如图，将ΔABC沿BC边上的中线AD平移到ΔA′B′C′的位置．已知ΔABC的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若AA′=1，则A′D等于（）A．2B．3C．4D．32答案：B分析：由S△ABC＝16、S△A′EF＝9且AD为BC边的中线知SΔA′DE=12SΔA′EF=92，SΔABD=12SΔABC=8，根据△DA′E∽△DAB知(A′DAD )2=SΔA′DESΔABD，据此求解可得．∵SΔABC=16、SΔA′EF=9，且AD为BC边的中线，∴SΔA′DE=12SΔA′EF=92，SΔABD=12SΔABC=8，∵将ΔABC沿BC边上的中线AD平移得到ΔA′B′C′，∴A′E//AB，∴ΔDA′E∼ΔDAB，则(A′DAD )2=SΔA′DESΔABD，即(A′DA′D+1)2=298=916，解得A′D=3或A′D=−37（舍），故选B．小提示：本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．4、如图，在等腰△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝α，BC＝12，点D是边AB上一点，且BD＝4，点P是边BC上一动点，作∠DPE＝α，射线PE交边AC于点E，当CE＝9时，则满足条件的P点的个数是（）A．1B．2C．3D．以上都有可能答案：A分析：由已知得∠ABC＝∠ACB＝α，再证明∠EPC＝∠PDB，则可判断△PDB∽△EPC，利用相似比得到BD：PC ＝PB：CE，设PB＝x，则PC＝10﹣x，CE＝9时，所以x2﹣12x+36＝0，根据判别式的意义得到Δ＝0，即原方程只有一个实数根即可选出答案．解：∵△ABC为等腰三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝α，∵∠DPC＝∠B+∠PDB，即∠DPE+∠EPC＝∠B+∠PDB，而∠DPE＝α，∴∠EPC＝∠PDB，而∠ABC＝∠ACB，∴△PDB∽△EPC，∴BDPC =PBCE，设PB＝x，则PC＝12﹣x，当CE＝9时，∴412−x =x9，∴x2﹣12x+36＝0，∵Δ＝（﹣12）2﹣4×36＝0，原方程只有一个实数根，∴点P有且只有一个，故选A．小提示：本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．5、如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：①DEBC =12；②SΔDOESΔCOB=12；③ADAB=OEOB；④SΔODESΔADC =13，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C分析：由BE、CD是△ABC的中线，可得DE=12BC,即DEBC=12，从而可判断①；由DE是△ABC的中位线，可得△DOE∽△COB，从而可判断②；由△ADE∽△ABC与△DOE∽△COB，利用相似三角形的性质可判断③；由△ABC的中线BE与CD交于点O．可得点O是△ABC的重心，根据重心性质，BO＝2OE，△ABC中BC上的高＝△BOC中BC上的高的3倍，且△ABC与△BOC同底（BC），可得S△ABC=3S△BOC，由②和③知，S△ODE=1 4S△COB,S△ADE=34S△BOC，从而可判断④．解：①∵BE、CD是△ABC的中线，即D、E是AB和AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12BC,即DEBC=12，故①正确；②∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴△DOE∽△COB，∴S△DOES△COB =(DEBC)2=(12)2=14，故②错误；③∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB =DEBC，∵△DOE∽△COB，∴OEOB =DEBC，∴ADAB =OEOB，故③正确；④∵△ABC的中线BE与CD交于点O，∴点O是△ABC的重心，根据重心性质，BO＝2OE，△ABC中BC上的高＝3△BOC中BC上的高，且△ABC与△BOC同底（BC），∴S△ABC=3S△BOC，由②和③知，S△ODE=14S△COB，ADAB=DEBC=12，∴S△DAES△BAC =(ADAB)2=(12)2=14，∴S△ADE=34S△BOC，∴S△ODES△ADE =13，∵E是AC的中点，∴S△ADC=2S△ADE∴SΔODESΔADC =16．故④错误．综上，①③正确．故选B．小提示：本题考查的三角形的中线与三角形的中位线的性质，三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，掌握利用以上知识解决三角形的面积问题是解题的关键．6、神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（）A．平移B．旋转C．轴对称D．黄金分割答案：D分析：根据黄金分割的定义即可求解．解：动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的黄金分割．故选：D小提示：本题考查了黄金分割的定义，黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为√5−12，约等于0.618，这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．熟知黄金分割的定义是解题关键．7、若ab =cd=−2，则a−cb−d＝（）A．−2B．2C．−12D．12答案：A分析：根据ab =cd=−2，可知a＝﹣2b，c＝﹣2d，将a和c的值代入求值的代数式化简即可．解：∵ab =cd=−2，∴a＝﹣2b，c＝﹣2d，∴a−cb−d =−2b+2db−d=−2(b−d)(b−d)=−2．故选：A．小提示：本题考查了比例的性质，解题的关键是根据已知将a和c用b和d正确表示．8、在比例尺为1：50的图纸上，长度为10cm的线段实际长为（）A．50cmB．500cmC．150cm D．1500cm答案：B分析：根据成比例线段的性质求解即可．解：∵1：50=10:500，∴长度为10cm的线段实际长为500cm，故选B．小提示：本题考查了成比例线段，掌握比例的性质是解题的关键．9、如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）A．ABAE =AGADB．DFCF=DGADC．FGAC=EGBDD．AEBE=CFDF答案：D分析：根据EG∥BD，可得△AEG∽△ABD，根据FG∥AC，可得△DGF∽△DAC，再根据相似三角形的性质即可求解．解：∵GE∥BD，∴AEBE =AGDG，△AEG∽△ABD，∴ABAE =ADAG，故选项A错误；∵GF∥AC，∴DFCF =DGAG，△DGF∽△DAC，故选项B错误；∵DFCF =DGAG∴AGDG =CFDF∴AEBE =CFDF故选项D正确；∵△AEG∽△ABD，△DGF∽△DAC，∴FGAC =DGDA，EGBD=AGAD故选项C错误；故选：D．小提示：本题考查了平行线分线段成比例定理及相似三角形的性质及判定，利用平行线分线段成比例，找出比例式是解题的关键．10、如图，在△ABC中，P、Q分别为AB、AC边上的点，且满足APAC =AQAB．根据以上信息，嘉嘉和淇淇给出了下列结论：嘉嘉说：连接PQ，则PQ//BC．淇淇说：△AQP∽△ABC．对于嘉嘉和淇淇的结论，下列判断正确的是（）A．嘉嘉正确，淇淇错误B．嘉嘉错误，淇淇正确C．两人都正确D．两人都错误答案：B分析：根据APAC =AQAB，∠PAQ=∠CAB可以判定△AQP∽△ABC，APAB与AQAC不一定相等，不能判定PQ//BC．解：∵APAC =AQAB，∠PAQ=∠CAB，∴△AQP∽△ABC，即淇淇的结论正确；∴∠AQP=∠ABC，∠APQ=∠ACB，∵不能得出∠AQP=∠ACB或∠APQ=∠ABC，∴不能得出PQ//BC，即嘉嘉的结论不正确．故选B．小提示：本题考查相似三角形和平行线的判定，熟练掌握相似三角形和平行线的判定方法是解题的关键．填空题11、已知a2=b3=c5，则a+bc的值为_____．答案：1分析：由比例的性质，设a2=b3=c5=k，则a=2k，b=3k，c=5k，然后代入计算，即可得到答案．解：根据题意，设a2=b3=c5=k，∴a=2k，b=3k，c=5k，∴a+bc =2k+3k5k=1，所以答案是：1．小提示：本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质进行解题．12、如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且ADDB =32，AEEC=12，射线ED和CB的延长线交于点F，则FBFC的值为________．答案：13分析：过B作BG∥AC交EF于G，得到△DBG∽△ADE，由相似三角形的性质得到BGAE =BDAD=23，推出BG：CE=13，根据相似三角形的性质即可得到结论．解：过B作BG∥AC交EF于G，∴△DBG∽△DAE，∴BGAE =BDAD=23，∵AEEC =12，∴BGCE =13，∵BG∥AC，∴△BFG∽△CFE，∴BFFC =BGCE=13．故答案是：13．小提示：本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．13、如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则AG∶GF的值是_______．答案：6：5分析：作FN∥AD，交AB与N，设DE=a，则AE=3a，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．作FN∥AD，交AB与N，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴FN∥AD，∴四边形ANFD是平行四边形，∵∠D=90°，∴四边形ANFD是矩形．设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，∵AN=BN，MN∥AE，∴BM=ME，∴MN=32a，∴FM=52a，∵AE∥FM，∴AGGF =AEFM=3a52a=65．故答案为6∶5．小提示：本题考查了正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．14、如图，D是ΔABC边AB延长线上一点，请添加一个条件_______，使ΔACD∽ΔABC．答案：AC＝AB•AD（答案不唯一）分析：根据相似三角形的判定添加适当的条件即可．解：添加：AC＝AB•AD∵AC＝AB•AD∴ACAB =ADAC∵∠A＝∠A∴ΔACD∽ΔABC．所以答案是：AC＝AB•AD（答案不唯一）．小提示：本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．15、如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y =√33x +2√33与⊙O 相交于A ，B 两点，且点A 在x 轴上，则弦AB的长为_________．答案：2√3．分析：过O 作OE ⊥AB 于C ，根据垂径定理可得AC =BC =12AB ，可求OA =2，OD =2√33，在Rt △AOD 中，由勾股定理AD =4√33，可证△OAC ∽△DAO ，由相似三角形性质可求AC =√3即可．解：过O 作OE ⊥AB 于C ，∵AB 为弦，∴AC =BC =12AB ，∵直线y =√33x +2√33与⊙O 相交于A ，B 两点， ∴当y =0时，√33x +2√33=0，解得x =-2， ∴OA =2，∴当x =0时，y =2√33， ∴OD =2√33，在Rt △AOD 中，由勾股定理AD =√AO 2+OD 2=√22+(2√33)2=4√33， ∵∠ACO =∠AOD =90°，∠CAO =∠OAD ，∴△OAC ∽△DAO ，AC AO =AO AD 即AC =AO 2AD =4√33=√3， ∴AB =2AC =2√3，故答案为2√3．小提示：本题考查直线与圆的位置关系，垂径定理，直线与两轴交点，勾股定理，三角形相似判定与性质，掌握以上知识、正确添加辅助线是解题关键．解答题16、问题背景：如图1，在矩形ABCD 中，AB =2√3，∠ABD =30°，点E 是边AB 的中点，过点E 作EF ⊥AB 交BD 于点F ．实验探究：（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF 绕点B 按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：①AE DF =_____；②直线AE 与DF 所夹锐角的度数为______．（2）小王同学继续将△BEF 绕点B 按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．拓展延伸：在以上探究中，当△BEF 旋转至D 、E 、F 三点共线时，则△ADE 的面积为______．答案：（1）√32，30°；（2）成立，理由见解析；拓展延伸：13√3+√398或13√3−√398 分析：（1）通过证明ΔFBD ∽ΔEBA ，可得AE DF =BE BF =√32，∠BDF =∠BAE ，即可求解；（2）通过证明ΔABE ∽ΔDBF ，可得AE DF =BE BF =√32，∠BDF =∠BAE ，即可求解；拓展延伸：分两种情况讨论，先求出AE ，DG 的长，即可求解．解：（1）如图1，∵∠ABD=30°，∠DAB=90°，EF⊥BA，∴cos∠ABD=BEBF =ABDB=√32，如图2，设AB与DF交于点O，AE与DF交于点H，∵ΔBEF绕点B按逆时针方向旋转90°，∴∠DBF=∠ABE=90°，∴ΔFBD∽ΔEBA，∴AEDF =BEBF=√32，∠BDF=∠BAE，又∵∠DOB=∠AOF，∴∠DBA=∠AHD=30°，∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°，所以答案是：√32，30°；（2）结论仍然成立，理由如下：如图3，设AE与BD交于点O，AE与DF交于点H，∵将ΔBEF绕点B按逆时针方向旋转，∴∠ABE=∠DBF，又∵BEBF =ABDB=√32，∴ΔABE∽ΔDBF，∴AEDF =BEBF=√32，∠BDF=∠BAE，又∵∠DOH=∠AOB，∴∠ABD=∠AHD=30°，∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°．拓展延伸：如图4，当点E在AB的上方时，过点D作DG⊥AE于G，∵AB=2√3，∠ABD=30°，点E是边AB的中点，∠DAB=90°，∴BE=√3，AD=2，DB=4，∵∠EBF=30°，EF⊥BE，∴EF=1，∵D、E、F三点共线，∴∠DEB=∠BEF=90°，∴DE=√BD2−BE2=√16−3=√13，∵∠DEA=30°，∴DG=12DE=√132，由（2）可得：AEDF =BEBF=√32，√13+1=√32，∴AE=√39+√32，∴ΔADE的面积=12×AE×DG=12×√39+√32×√132=13√3+√398；如图5，当点E在AB的下方时，过点D作DG⊥AE，交EA的延长线于G，同理可求：ΔADE 的面积=12×AE ×DG =12×√39−√32×√132=13√3−√398；所以答案是：13√3+√398或13√3−√398．小提示：本题是几何变换综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．17、已知△OAB 在平面直角坐标系中的位置如图所示．(1)将△ABO 绕原点O 顺时针旋转90°得△OA 1B 1；(2)以原点O 为位似中心，将△OA 1B 1在原点异侧按位似比2：1进行放大得到△OA 2B 2．答案：(1)见解析(2)见解析分析：（1）先找到A 、B 的对应点A 1、B 1，然后顺次连接O 、A 1、B 1即可；（2）先找到A 1、B 1的对应点A 2、B 2，然后顺次连接O 、A 2、B 2即可；．（1）解：如图所示，△OA 1B 1即为所求；（2）解：如图所示，△OA2B2即为所求．小提示：本题主要考查了再坐标系中画旋转图形，画位似图形，熟知画旋转图形和画位似图形的方法是解题的关键．18、已知AB是圆O直径，点C为圆上一点，OD⊥BC于D，过C作切线，交OD延长线于E．（1）求证：BE为圆O切线；（2）连接AD并延长交BE于F，若C为弧AB中点，OB=10，求BF．答案：（1）见详解；（2）203分析：（1）连接OC，先证明△COE≌△BOE，可得∠OBE=∠OCE=90°，即可求证；（2）过点D作DH⊥AB于点H，根据AB是圆O直径，OB=10，可得∠ACB=90°，AB=2OB=20，又由C为弧AB中OB=5，再证明△ADH～点，可得到△ABC是等腰直角三角形，进而△DOB是等腰直角三角形，从而DH=OH=12△AFB，利用相似三角形的性质，即可求解．（1）证明：如图1，连接OC，∵CE是圆O切线，∴∠OCE=90°，∵OC=OB，OD⊥BC，∴∠COE=∠BOE，∵OE=OE，∴△COE≌△BOE，∴∠OBE=∠OCE=90°，∴BE为圆O切线；（2）如图，过点D作DH⊥AB于点H，∵AB是圆O直径，OB=10，∴∠ACB=90°，AB=2OB=20，∵C为弧AB中点，∴AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，∵OD⊥BC，∴△DOB是等腰直角三角形，∵DH⊥AB，∴DH=OH=12OB=5，∴AH=AO+OH=15，∵BE⊥AB，∴DH∥BF，∴△ADH～△AFB，∴AHAB =DHBF，即1520=5BF，解得：BF=203．小提示：本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质、圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，熟练掌握切线的判定与性质，证明△COE≌△BOE，△ADH～△AFB是解题的关键．。

相似三角形的面积问题题型总结+答案

相似三角形的有关面积问题复习引入：求三角形而积常用方法1、面积公式:2、等髙法：3、相似三角形:【精选例题】【例题】如图，平行四边形ABCD中，AE:EB=2:3,则SΔAPE≡SΔCPD=解答:4:25。

【例题】如图，AC是平行四边形ABCD的对角线, 且BE=EF=FD Z求SΔ AMH: S忖训边形ABCD的值。

解答：Y平行四边形ABCD…∙∙AB∕∕CD, AD//BC・•・△ BME〜A DAE, △ DHF〜心BMF・•・ BM： DA=BE: DE z DH: BM=DF: BF・・• BE=EF=FD z所以BE： DE=DF: BF=I: 23・•・ AD=2BM z BM=2DH^WAD=4DH z∕. AH=-AD43・・AMHZS ∙f⅛PK⅛J∣;ABCD=—G8变式：如图，在平行四边形ABCD中∙AE:EB=2:3.则厶AEF和厶CDF的周长比_____ 解答：∙.∙四边形ABCD是平行四边形,.∙. AB=CD,AB//CD, SAADE_a 2 SΔABC"b22SAABD aSΔACD'b又・•・ Z EAF=Z DCF, Z AEF=Z CDF, /. A AEF〜△ CDF,•••△AEF 的周长：Δ CDF 的周长=AE： CD=2: 5・变式：如图,E为平行四边形ABCD的边AB延长线上的一点,且BE:AB=2:3, Δ BEF的面积为4,则平行四边形ABCD的而积为_________ ・答案T四边形ABCD是平行四边形，・•・AD=CB Z CB∕∕AD z BC∕∕AB.∙. △ DEF- △AEB, •・• DE:AB=2:3,・•・DE:AE=2:5> .Β.SΔ DEF:SAAEB=4:25,T ∆ BEF的面积为4,・•・SAAEB二25,・•・ S HI边形ABFD=SAAEB-SA DEF=21,TAD=CB, DE:AD二2:3, /. DEBC=23∙∙.∙AB∕∕CD, /. ∆ BEF^ Δ CDF,二S A DEF:SACBF=49 A SΔ CBF=9,.,.S 平行Pa边影ABCD=S 円边形ABFD+S° CBF=21+9=30【例题】如图,EE√∕FF√∕MM√∕BC,若AE=EF=FIVI=MB,则SA AEExSNgEEIHF:S啊边形FFiWM:SN奶MMlCB 为_____ 答案:设SA AEEI=X∙.∙ EE√∕FF1.∙. Δ AEE I- ∆ AFF1（平行于三角形一边的宜线和其它两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相似）•・・WAEE = 竺（相似三角形而积比等于对应边的平方比）S S AF F； AF2•・• AE=EF/. ∆∆ = l ・•・S^AEE∖=I .・・SΔ AFFl= 4x .∙. Sl f Q边形 EE l F I F=3x AF 2 S s AFF y 4同理可得S w⅛mFFιMιM= 5x S UQ边形MMICB二IX/. SA AED:S JM边形EEIFIF:S Wi4® FFIMIM:S 曲边形MMiCB==1:3:5:7变式：如图，在Δ ABC中，FG//DE//AB,且AF=FG=CGo设Δ ABC被分成的三部分的面积分别为S“ S?和求Si: S2： S3C解答：∙∙∙F∖ G为AC边上的三等分点,D、E为AB边上的三等分点・•・ AF： AG： AC=I: 2： 3T FD//EG//BC 八SΔCFG:SΔ CDE： SΔ CAB=I: 4： 9, .β. SI： S2： S3=l: 3： 5变式：如图，DE//FG//BC,设ZkABC 被分成的三部分的而积分别为S1,S2,S3,且SI 二S2=S3,则AD:DF:FB 二答案：∖∙ S1=S2,・・ S A ADE:SAAFG=4:2,.β. DE 2:FG 2=1:2, .β. DE:FG=l:%/2 :同理，DE:BC=1：A /3, Λ DE ： FG ： BC=I: √2 : √3 o【例题】如图：在梯形ABCD 中,AD∕/BCBC=2AD,对角线AC 与BD 相交于点0,把4 ABO z Δ BCO,Δ COD z Δ DOA 的面积分别记作S1,S2,SXS4,则下列结论中,正确的是（）a・•・ ON:MN=2:3,・•・ 2S Δ AOB=S Δ OBC Z S2=2S1.同理 S2=2S3./. S2=2S1=2S3=4S4变式:如图表示一个梯形两条对角线相交于一点，则图中面枳相等的三角形共有（）o【例题】如图，点D 、E 、F 分别是△ ABC 三边上的中点•若△ ABC 的而积为12cm ∖则厶DEF 的而积为 cm 2.答：•••点D. E 、F 分别是AABC 三边上的中点， ••・DF 、DE 、EF 为Δ ABC 的中位线， ∙∙∙ Δ ABCS Δ DEF,相似比为1:2,所以而积比为1:2, S ΔABC: S Δ DEF=4:1=12:S A DEF> S Δ DEF=3cm 2・变式：如图，分别取等边三角形ABC 各边的中点D, E, F,得ADEE 若△ ABC 的边长为a.C. S1=S3・•・ ONzOM=AD:BC=I:2,D. S1÷S3=S2+S4ABOC, 答案：D即（1）∆ DEF与厶ABC相似吗?如果相似，相似比是多少?⑵分别求出这两个三角形的面积。

九年级数学相似三角形知识点总结及例题讲解

1. 平行线分线段成比例定理
例.
已知 l 1∥ l 2∥ l 3,
A Dl
B El
: 三条平行线截两条直线
1 2
, 所得的对应线段成比 .
C
Fl
可得 AB
DE AB 或
DE 等.
BC EF AC DF
2. 推论 : 平行于三角形一边的直线截其它两边
3
( 或两边的延长线 ) 所得的对应线段成比例 .
注意：(1) 此性质的证明运用了“设 k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．
(2) 应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．
(3)
可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．
知识点三：黄金分割
1）定义：在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC（AC＞BC ），如果 AC AB
ad bc
（两外项的积等于两内项积）
2. 反比性质：
ac bd
bd a c ( 把比的前项、后项交换 )
3. 更比性质 ( 交换比例的内项或外项 ) ：
ac bd
a b ，(交换内项 ) cd d c ，(交换外项 ) ba d b ．(同时交换内外项 ) ca
4. 合比性质
a
：
c
bd
ab b
cd （分子加（减）分母 , 分母不变）
例 4、矩形 ABCD 中， BC=3AB ， E、F，是 BC 边的三等分点，连结 AE 、 AF 、AC ，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。
二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式
例 5、△ ABC 中，在 AC 上截取 AD ，在 CB 延长线上截取 BE ，使 AD=BE ，求证： DF AC=BC FE

相似三角形试题及答案

相似三角形试题及答案一、选择题1. 在相似三角形中，对应角相等的条件是：A. 边长成比例B. 面积相等C. 周长相等D. 角相等答案：A2. 下列选项中，哪一项不是相似三角形的性质？A. 对应边成比例B. 对应角相等C. 面积比等于边长比的平方D. 周长比等于边长比答案：B二、填空题3. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE=2:3，则三角形ABC的面积与三角形DEF的面积之比是________。

答案：4:94. 若三角形ABC与三角形A'B'C'相似，且∠A=∠A'=60°，则∠B与∠B'的关系是________。

答案：相等三、简答题5. 解释为什么在相似三角形中，对应边长的比等于对应角的正弦值之比。

答案：在相似三角形中，由于对应角相等，根据正弦定理，对应边长的比等于对应角的正弦值之比。

这是因为正弦值与角的大小成正比，而相似三角形的对应角大小相同，因此它们的正弦值之比也相同。

四、计算题6. 在三角形ABC中，已知AB=5cm，AC=7cm，∠A=60°，求三角形ABC的面积。

答案：首先，利用余弦定理计算BC的长度。

根据余弦定理，BC²= AB² + AC² - 2AB*AC*cos∠A。

代入已知值，得到BC² = 5² +7² - 2*5*7*(1/2) = 25 + 49 - 35 = 39，所以BC = √39 cm。

然后，利用三角形的面积公式S = (1/2)AB*AC*sin∠A，代入已知值，得到S = (1/2)*5*7*(√3/2) = 17.5√3 cm²。

7. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE=3:5，求三角形ABC与三角形DEF的面积比。

答案：由于相似三角形的面积比等于边长比的平方，所以三角形ABC与三角形DEF的面积比为(3:5)² = 9:25。

相似三角形性质完整的题型+答案

相似三角形性质知识精要一、相似三角形的性质1、(定义):相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

2、性质定理1:相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

3、性质定理2:相似三角形的周长比等于相似比。

4、性质定理3:相似三角形的面积比等于相似比的平方。

二、相似三角形的应用例题讲解:例题:地图比例尺为1:2000，一块多边形地区在地图上周长为50cm，面积为100cm2，实际周长为1000 m，实际面积为40000__m2。

变式:东海大桥全长32.5千米，如果东海大桥在某张地图上的长为6.5厘米，那么该地图上距离与实际距离的比为( )。

A.1:5000000B.1:500000C.1:50000D.1:5000答案：B例题:(1)两个相似三角形的面积之比为9:16，它们的对应高之比为3:4 。

(2)两个相似三角形的相似比为1:3，则它们的周长比为1:3 ，面积比为1:9 。

变式:(1)两个相似三角形面积之比是1:3，则他们对应边上的高之比为( )。

(A).1:3 (B) 3:1 (C) 1:3(D) 1:9(2)两个相似三角形的相似比是2:3，面积相差30厘米2，则它们的面积之和是( )。

(A)150厘米2(B) 65厘米2(C) 45厘米2(D) 78厘米2答案：(1) C (2)D。

例题:如图，已知DE//BC，AD:DB=2:3，那么S△ADE:S△ECB= 4:15。

变式:如图，在ABCD 中，AC 与DE 交于点F ，AE:EB=1:2，S △AEF =6cm 2，则S △CDF 的值为( )。

A.12cm 2B.15cm 2C.24cm 2D.54cm 2 答案：D 。

例题:如图，已知梯形ABCD 中，AD//BC ，AD:BC=3:5，求:(1)S △AOD :S △BOC 的值； (2)S △AOB :S △AOD 的值。

答案:(1)9:25 (2)5:3。

人教版九年级下册数学《相似三角形的周长与面积》精讲精练(附答案)

一、基础知识（1）相似三角形的周长的比等于相似比；相似多边形周长的比等于相似比；（2）相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比。

（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似多边形面积的比等于相似比的平方。

二、重难点分析重点：本节课的重点是相似三角形的周长的比、面积的比与相似比的关系。

难点：本节课的难点是相似三角形的周长比、面积比与相似比关系的应用。

例：如图所示，在△ABC 中，D,E 分别为BC 、AC 边上的中点，AD 、BE 相交于点G ，若1GDE S V ，求ABC S V .三、中考感悟1、（四川凉山州）如果两个相似多边形面积的比为1：5，则它们的相似比为（）A. 1∶25B. 1∶5C. 1∶2.5D. 1∶52、（随州）如图，在△ABC中，两条中线BE、CD相交于点O，则S△DOE：S△COB=（）A．1：4 B．2：3 C．1：3 D．1：2【解析】根据三角形的中位线得出DE∥BC，DE=BC，根据平行线的性质得出相似，根据相似三角形的四、专项训练（一）基础练习1、两个相似三角形的相似比为2∶3，则周长的比为，面积比为。

2、如图，六边形ABCDEF ∽六边形GHIJKL ，相似比为2∶1，则下列结论正确的是（）A. ∠E=2∠KB.BC=2HIC. 六边形ABCDEF 的周长=六边形GHIJKL 的周长D.2ABCDEF GHIJKL S S 六边形六边形3、两个相似三角形的对应角平分线的比是1∶4，那么它们的面积比是。

5、在一张由复印机复印出来的纸上,一个多边形的一条边的长由原来的1 cm 变成4 cm,那么它的周长由原来的3 cm 变成( )A.6 cmB.12 cmC.24 cmD.48 cm6、如图所示，△ABC 中，DE ∥BC ，AE ∶EB ＝2∶3，若△AED 的面积是4m 2，则四边形DEBC 的面积为______．（二）提升练习7、如图所示,D,E,F 分别在△ABC 的边上,DE ∥BC,EF ∥AB,如果AD ∶DB=1∶2,则:DEF ABCS S V等于( )A.1∶3B.1∶4C.1∶9D.2∶98、如图27-2-3-7,把△ABC沿AB平移到△A′B′C′的位置,它们的重叠部分的面积是△ABC 面积的一半.若AB=2,则此三角形移动的距离AA′是( )9、如图，在ABCD Y 中，BE ∶EC=1∶2，且BEF S V =2cm 2,求ABCD S Y .=2（ABF S V +ADF S V ）=2（6+18）=48cm ²【点评】本题主要考查了相似三角形面积的比等于相似比的平方这一知识点，掌握性质是解题的关键。

巧用相似三角形的性质解三角形面积规律问题

＝
数理化解题研究
２０１８年第２Ｏ期总第４０５期
使课堂能够达到最佳的学习氛围．
五、重视初中数学教学的创新问题
现在这个时代最需要的人才就是创新型人才，而且创新能力的培养也是新课改强调的重中之重．因此，为了培养学生的创新意识，教师首先就要有极大地教育包容性，允许学生有自己的个性见解，重视学生思维的独特性和新颖性的培养．其次数学的教学方法要进行创新，采用引导式的教学方法，促进学生自主的探讨和解决问题，培养学生独立解决问题的能力．创新是一个民族兴旺发达的不竭动力，作为新时期的社会主义建设者，初中生的创新能力的培养十分重要．
的中点，
ＡＢＣＭ。的面积为Ｓ。，△ ｃ２的面积为Ｊｓ：，…，△ ｃ
的面积为Ｓ，则Ｓ＝．（用含ｎ的式子表示）
边三角形的性质．此题难度较大，属于规律性题目，注意
辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
例题２（２０１６年潍坊市临朐、昌邑一模）如图３，／７，
个边长为１的相邻正方形的一边均在同一直线上，点，
，
， … ，
分别为边
，，Ｂ，…，
例题１（２０１３·浙江自主招生）如图１，／７，＋１个边长
的面积为Ｓ，ＡＢＤＣ的面积为Ｓ：，… ，△ ＤＣ的面积为Ｓ，则Ｓ＝（用含／７，的式子表示）．
分析由／７，＋１个边长为２的等边三角形有一条边在同一直线上，则Ｂ．，Ｂ，Ｂ ·－－－在一条直线上，可作出直线曰Ｂ．易求得ＡＡＢＣ的面积，然后由相似三角形的性质，易求得ｓ的值，同理求得ｓ的值，继而求得ｓ的值．

相似三角形与面积有关的问题-含详细参考答案

中考数学复习之相似三角形有关的面积问题（学案）知识与方法梳理处理面积问题的三种方法 1. 公式法2. 割补法（分割求和，补形作差）3. 转化法（相似类、同底类、共高或等高类）利用常见结构进行转化是在复杂背景下处理面积问题的通常思路，在转化过程中需要结合背景的特点．动态背景：要抓住变化过程中所求面积不变的特征；函数背景：优先考虑公式法，或者割补之后采用公式法，也可结合几何特征进行转化；探索规律背景：根据结构特征确定第一项的处理办法，后续进行类比．面积问题中的常见结构举例例1：如图，在Rt ABC △中，1D 是斜边AB 的中点.过1D 作11D E AC ⊥于E 1，连接1BE 交1CD 于2D ，过2D 作22D E AC ⊥于2E ，连接2BE 交1CD 于3D ，过3D 作33D E AC ⊥于3E ，连接3BE 交1CD 于4D …如此继续.11E BD 1S S ∆=22E BD 2S S ∆=33E BD 3S S ∆=nn E BD n S S ∆=则n S =____________ABC S △（用含n 的代数式表示）．32E 1D 4D 3D 2D 1CBA分析：题目中的相似三角形非常之多，三角形的面积关系也非常之多，这是面积问题同学们需要面对的第一大难题，处理好这些关系，才能最终解决问题；解：1.易知E 1为AC 的中点，S ∆ABE1=12S ∆ABC ，D1为AB 的中点，S ∆BD1E1=12S ∆ABE1，故S ∆BDE =14S ∆ABC ；2. D 1E 1||BC ，1112D E AC =，故E 2为E 1C 的三等分点，12113BE E BCE S S ∆∆=，D 2为BE 1的三等分点，故222123BD E BE E S S ∆∆=，112BE C ABC S S ∆∆=，故2219BD E ABC S S ∆∆=3. 易知221123D E D E =,111AC 2D E =，故221AC 3D E =，D 3为BE 2的四等分点，231211212BE E BE E ABC S S S ∆∆∆==，，而33116BD E ABC S S ∆∆=；综合上述，猜想S n =21(1)ABCS n ∆+练习题1. 如图，△ABC 的面积为63cm 2，D 是BC 上的一点，且BD :CD =2:1，DE △AC 交AB 于点E ，延长DE 到F ，使FE :ED =2:1，连接CF ，则△CDF 的面积为．FED CBA2. 如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，G 为EC 的中点，连接DG 并延长交BC 的延长线于点F ，BE 与DF 交于点O ．若△ADE 的面积为S ，则四边形BOGC 的面积为_______．G ODCAE BF3. 如图，在梯形ABCD 中，AB △CD ，AB =3CD ，对角线AC ，BD 交于点O ，中位线EF 与AC ，BD 分别交于点M ，N ，则图中阴影部分的面积是梯形ABCD 面积的（） A ．12 B ．13 C ．14 D ．474. 如图，点A 1，A 2，A 3，A 4在射线OA 上，点B 1，B 2，B 3在射线OB 上，且A 1B 1△A 2B 2△A 3B 3，A 2B 1△A 3B 2△A 4B 3．若△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为1，4，则图中阴影部分的面积为_______．12345.如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B重合）．以BD，BF为邻边作平行四边形BDEF，又AP△BE，且AP=BE（点P，E在直线AB的同侧），若14BD AB，则△PBC的面积与△ABC的面积的比值是___________．ABCD EFPG6.如图，已知直线l1：y=23x+83与直线l2：y=-2x+16相交于点C，直线l1，l2分别交x轴于A，B两点，矩形DEFG的顶点D，E分别在l1，l2上，顶点F，G都在x轴上，且点G与点B重合，那么S矩形DEFG:S△ABC=____________．7.已知：如图，DE是△ABC的中位线．点P是DE的中点，连接CP并延长交AB于点Q，那么S△DPQ:S△ABC=_________．QP EDC BA8.如图，在△ABC中，CE:EB=1:2，DE△AC．若△ABC的面积为S，则△ADE的面积为____________．9.如图，已知△ABC△△DCE△△HEF，三条对应边BC，CE，EF在同一条直线上，连接BH，分别交AC，DC，DE于点P，Q，K．若△DQK的面积为2，则图中阴影部分的面积为__________．10.如图，在△ABC中，AB=AC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E为BC上的点，连接DN，EM交于点F．若AB=13cm，BC=10cm，DE=5cm，则图中阴影部分的面积为___________．参考答案1．422．7 4 S3．C4．21 25．3 46．8:9 7．1:248．2 9 S9．26 10．30cm2。

相似三角形经典练习题及答案

相似三角形经典练习题及答案一、选择题1、若两个相似三角形的面积之比为 1∶4，则它们的周长之比为（）A 1∶2B 1∶4C 1∶5D 1∶16答案：A解析：相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似三角形周长的比等于相似比。

因为两个相似三角形的面积之比为 1∶4，所以相似比为 1∶2，那么它们的周长之比为 1∶2。

2、如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DE∥BC，若 AD∶DB ＝ 1∶2，则下列结论中正确的是（）A AE∶EC ＝ 1∶2B AE∶EC ＝ 1∶3 C DE∶BC ＝ 1∶2 DDE∶BC ＝ 1∶3答案：B解析：因为 DE∥BC，所以△ADE∽△ABC。

因为 AD∶DB ＝1∶2，所以 AD∶AB ＝ 1∶3。

因为相似三角形对应边成比例，所以AE∶AC ＝ AD∶AB ＝ 1∶3，所以 AE∶EC ＝ 1∶2。

3、已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为 3∶4，△ABC 的周长为 6，则△A'B'C'的周长为（）A 8B 7C 9D 10答案：A解析：因为相似三角形周长的比等于相似比，所以△ABC 与△A'B'C'的周长之比为3∶4。

设△A'B'C'的周长为x，则6∶x ＝3∶4，解得 x ＝ 8。

4、如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上的点，且DE∥BC，如果 AD ＝ 2cm，DB ＝ 1cm，AE ＝ 15cm，则 EC ＝（）A 05cmB 1cmC 15cmD 3cm答案：B解析：因为 DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以 AD∶AB ＝AE∶AC。

因为 AD ＝ 2cm，DB ＝ 1cm，所以 AB ＝ 3cm。

所以 2∶3＝ 15∶（15 ＋ EC)，解得 EC ＝ 1cm。

5、下列各组图形一定相似的是（）A 两个直角三角形B 两个等边三角形C 两个菱形D 两个矩形答案：B解析：等边三角形的三个角都相等，都是 60°，所以两个等边三角形一定相似。

相似三角形汇总2 相似中的面积问题

相似三角形汇总第二部分相似三角形中的面积问题1.如图，△ABC是边长为1的等边三角形．取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2．照此规律作下去，则S2011= ．2.如图，n+1个上底、两腰长皆为1，下底长为2的等腰梯形的下底均在同一直线上，设四边形P1M1N1N2面积为S1，四边形P2M2N2N3的面积为S2，…，四边形PnMnNnNn+1的面积为Sn，通过逐一计算S1，S2，…，可得Sn= ．3.将边长分别为2、3、5的三个正方形按图所示的方式排列，则图中阴影部分的面积为．4.如图，点A1，A2，A3，A4在射线OA上，点B1，B2，B3在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3，A2B1∥A3B2∥A4B3．若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为．5. 如图，已知△ABC 的面积S △ABC =1．在图1中，若21111===CA CC BC BB AB AA ，则41111=∆C B A S ；在图2中，若31222===CA CC BC BB AB AA ，则31222=∆C B A S ；在图3中，若41333===CA CC BC BB AB AA ，则167333=∆C B A S ；按此规律，若91888===CA CC BC BB AB AA ，=∆888C B A S ．6. 如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE ，它的面积为1，取△ABC 和△DEF 各边中点，连接成正六角星形A 1F 1B 1D 1C 1E 1，如图（2）中阴影部分，取△A 1B 1C 1和△D 1E 1F 1各边中点，连接成正六角星形A 2F 2B 2D 2C 2E 2，如图（3）中阴影部分，如此下去…，则正六角星形A 4F 4B 4D 4C 4E 4的面积为．7. 如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B 2D 1C 1的面积为S 1，△B 3D 2C 2的面积为S 2，…，△B n+1D n C n 的面积为S n ，则S n = （用含n 的式子表示）．8.如图，已知Rt△ABC，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连接BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连接BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点E4、E5、…、En，分别记△BCE1、△BCE2、△BCE3…△BCEn的面积为S1、S2、S3、…S n ．则Sn= S△ABC（用含n的代数式表示）．9.如图，△ABC是一张直角三角形彩色纸，AC=30cm，BC=40cm．若将斜边上的高CD n等分，然后裁出（n﹣1）张宽度相等的长方形纸条．则这（n﹣1）张纸条的面积和是cm2．10.如图，在△ACM中，△ABC、△BDE和△DFG都是等边三角形，且点E、G在△ACM边CM上，设等边△ABC、△BDE和△DFG的面积分别为S1、S2、S3，若S1=9，S3=1，则S2= ．11.如图，在△ABC中，A1，A2，A3是BC边上的四等分点，B1，B2是AC边上的三等分点，AA1与BB1交于C1，B1A2与BB2交于C2，记△AB1C1，△B1B2C2，△B2CA3的面积为S1，S2，S3，则S1：S 2：S3= ．12.如图，△ABC、△DCE、△HEF、是三个全等的等边三角形，点B、C、E、F在同一条直线上，连接AF，与DC、DE、HE分别相交于点P、M、K，若△DPM的面积为2，则图中三个阴影部分的面积之和为．13.如图，Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AC=10，BC=20，正方形DEFG顶点G，F分别在AC，BC边上，D，E在边AB上，且JE∥GH∥BC，IF∥DK∥AC，则四边形HIJK的面积为．14.如图所示,在△ABC中,已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点,且△ABC的面积是4cm2,则阴影部分面积等于( )A. 2cm2B. 1cm2C. 0.25cm2D. 0.5cm216. 如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，且DE //AC ，AE 、CD 相交于点O ，若25:1:=∆∆COA DOE S S ，则BDE S ∆与CDE S ∆的比是（）A.1:3B. 1:4C. 1:5D. 1：2520.如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B 1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△BnCnMn的面积为Sn ，则Sn= ．（用含n的式子表示）21.如图，在平面直角坐标中，△AOB的三个顶点的坐标分别是A（4，4），O（0，0），B（6，0），点M是射线OB上的一动点，过点M作MN∥AB，MN与射线OA交于点N，P是AB边上的任意点，连接AM，PM，PN，BN，设△PMN的面积为S．（1）点M的坐标为（2，0）时，求点N的坐标．（2）当M在边OB上时，S有最大值吗？若有，求出S的最大值；若没有，请说明理由．（3）是否存在点M，使△PMN和△ANB中，其中一个面积是另一个2倍？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．22. 如图，已知锐角△ABC 中，边BC 长为6，高AD 长为8，两动点M ，N 分别在边AB 、AC 上滑动，且MN ∥BC ，以MN 为边向下作正方形MPQN ．设正方形的边长为x ．（1）若正方形MPQN 的顶点P 、Q 在边BC 上，求MN 的长；（2）设正方形MPQN 与△ABC 公共部分的面积为y （y ＞0），当x 是多少时，公共部分的面积y 最大？最大值是多少？23. 已知平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 上的点，EF 与对角线AC 交于P ，若21=EB AE ，32=FD AF ，则P C E PAD S S ∆∆的值为（） A ．73 B ．32 C ．1318 D ．71824. 已知：如图1，在面积为3的正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 和CD 边上的两点，AE ⊥BF于点G ，且BE=1。