相似三角形的面积问题题型总结+答案
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相似三角形的有关面积问题
复习引入:
求三角形面积常用方法
1、面积公式:
2、等高法:
3、相似三角形:
【精选例题】
【例题】如图,平行四边形ABCD 中,AE:EB=2:3,则S △APE:S △CPD=______.
解答:4:25。
【例题】如图,AC 是平行四边形ABCD 的对角线,且BE=EF=FD, 求S △AMH: S 平行四边形ABCD 的值。
解答:∵平行四边形ABCD ,∴AB//CD ,AD//BC ∴△BME ∽△DAE ,△DHF ∽△BMF ∴BM :DA=BE :DE,DH :BM=DF :BF 又
∵BE=EF=FD,所以BE :DE=DF :BF=1:2 ∴AD=2BM,BM=2DH,所以AD=4DH,∴AH=4
3AD ∴S △AMH:S 平行四边形ABCD=
8
3。
变式:如图,在平行四边形ABCD 中,AE:EB=2:3.则△AEF 和△CDF 的周长比______.
解答:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB=CD,AB//CD , ∴∠EAF=∠DCF ,∠AEF=∠CDF ,∴△AEF ∽△CDF ,
S ΔABD S ΔACD =a b
h b a H D C
B
A
h a S=1
2
ah E S ΔADE S ΔABC =
a 2
b 2
b a D
C
B
A P E
D C
B
A
M 1F 1E 1M E
F
A B
C
∴△AEF 的周长:△CDF 的周长=AE :CD=2:5.
变式:如图,E 为平行四边形ABCD 的边AB 延长线上的一点,且BE:AB=2:3,△BEF 的面积为4,则平行四边形ABCD 的面积为_________.
答案∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD=CB,CB//AD,BC//AB ∴△DEF ∽△AEB , ∵DE:AB=2:3,∴DE:AE=2:5,∴S △DEF:S △AEB=4:25, ∵△BEF 的面积为4,∴S △AEB=25, ∴S 四边形ABFD=S △AEB−S △DEF=21, ∵AD=CB ,DE:AD=2:3,∴DEBC=23,
∵AB//CD ,∴△BEF ∽△CDF ,∴S △DEF:S △CBF=4:9,∴S △CBF=9, ∴S 平行四边形ABCD=S 四边形ABFD+S △CBF=21+9=30
【例题】如图,EE 1//FF 1//MM 1//BC,若AE=EF=FM=MB,则S △AEE 1:S 四边形EE 1F 1F:S 四边形FF 1M 1M:S 四边形MM 1CB 为_____.
答案:设S △AEE 1=x
∵ EE 1//FF 1∴ △AEE 1∽△AFF 1 (平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交,所构成的 三角形与原三角形相似)
∴ 2
21
1AF AE AFF S AEE S =∆∆ (相似三角形面积比等于对应边的平方比) ∵ AE=EF ∴ 21=AF AE ∴ 4111=∆∆AFF S AEE S ∴ S △AFF1=x 4 ∴ S 四边形EE 1F 1F=x 3
同理可得 S 四边形FF 1M 1M=x 5 S 四边形MM1CB=x 7
∴ S △AED:S 四边形EE1F1F:S 四边形FF 1M 1M:S 四边形MM 1CB=1:3:5:7
变式:如图,在△ABC 中,FG//DE//AB ,且AF=FG=CG 。设△ABC 被分成的三部分的面积分别为S 1,S 2和S 3,求S 1:S 2:S 3。
解答:∵F 、G 为AC 边上的三等分点,D 、E 为AB 边上的三等分点 ∴ AF :AG :AC=1:2:3
∵ FD//EG//BC ,∴ S △CFG :S △CDE :S △CAB=1:4:9,∴ S1:S2:S3=1:3:5
变式:如图,DE//FG//BC ,设△ABC 被分成的三部分的面积分别为 S1,S2,S3,且S1=S2=S3, 则AD:DF:FB= 。 G F
E
D A
答案:∵S1=S2,∴S△ADE:S△AFG=1:2,
∴DE2:FG2=1:2,∴DE:FG=1:2;
同理,DE:BC=1:3,∴DE:FG:BC=1:2:3。
【例题】如图:在梯形ABCD中,AD//BC,BC=2AD,对角线AC与BD相交于点O,把△ABO,△BCO,△COD,△DOA 的面积分别记作S1,S2,S3,S4,则下列结论中,正确的是( )。
A. S2=4S1
B. S2=3S1
C. S1=S3
D. S1+S3=S2+S4
解答:选C。∵AD//BC,∴△AOD∽△BOC,∴ON:OM=AD:BC=1:2,
∴ON:MN=2:3,∴2S△AOB=S△OBC,S2=2S1.同理S2=2S3.∴S2=2S1=2S3=4S4
变式:如图表示一个梯形两条对角线相交于一点,则图中面积相等的三角形共有( )。
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
答案:D
【例题】如图,点D、E、F分别是△ABC三边上的中点.若△ABC的面积为12cm2,则△DEF的面积为____ cm2.
解答:∵点D、E、F分别是△ABC三边上的中点,
∴DF、DE、EF为△ABC的中位线,
∴△ABC∽△DEF,相似比为1:2,所以面积比为1:2,即
S△ABC:S△DEF=4:1=12:S△DEF,S△DEF=3cm2.
变式:如图,分别取等边三角形ABC各边的中点D,E,F,得△DEF.若△ABC的边长为a.
(1)△DEF与△ABC相似吗?如果相似,相似比是多少?
(2)分别求出这两个三角形的面积。