向量数量积的坐标运算

节

复习提问提问1：如何用向量的长度、夹角反映

数量积？又如何用数量积、长度来反

映夹角？向量的运算律有哪些？

由学生口答，教师板书向量数量积的定

义及向量的运算律公式

为数

量积

的坐

标运

算及

度量

公式

的推

导证

明打

好理

论基

础练习2：已知|a|=1，|b|=2，(1)若

a∥b，求a·b；(2)若a、b的夹角为

６０°，求|a+b|；(3)若a-b与a垂

直，求a与b的夹角.

练习3：设i，j为正交单位向量，则

① _______②

____________

③ ________ ④

____________

学生板书，教师分析，引导学生复习

前课重点……两个向量的数量积的运

算性质

引入新课及公式推导向量的坐标表示，为我们解决向量的

加、减、数乘向量带来了极大的方便，

那么向量的坐标表示，对数量积的表

达方式会带来哪些变化呢？

问题1

如果已知，怎

样用、的坐标表示呢？

推广1：设)

,

(y

x

a=

，则

2

2

2|

|y

x

a+

=

或

2

2

|

|y

x

a+

=

(长度公式)

推广2：设、则

(距离

公式)

学生独立进行每个公式的证明，教师

个别指导

教师小结：

（1）两个向量的数量积等于它们对应

坐标的乘积的和即

b

a

⋅

2

1

2

1

y

y

x

x+

=

(2) 向量的长度、距离和夹角公式

在充

分复

习的

基础

上，

培养

学生

用旧

知解

决新

问题

的能

力，

独立

思考

探索

的意

识

推广3： co s θ =

|

|||b a b a ⋅⋅

2

2

222

1

2

12121y x y x y y x x +++=

（πθ≤≤0）(夹角公式)

问题2 内积为何值时说明两个向量是垂直的？

b a ⊥ ⇔02121=+y y x x

教师小结：向量垂直的充要条件

设),(11y x a =

，),(22y x b = ，

则b a

⊥ ⇔02121=+y y x x

应用举

例

例1 设a

= (3, -1)，b = (1, -2)，

求a ⋅b ，b a b a ,,,

教师演示第一问，强调先写公式，后计算，学生完成全题。 巩固向量

数量

积的坐标运算和度量公式的基本应用

例2 已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(-2, 5)， 求证：△ABC 是直角三角形 （1）教师引导，师生共同完成。

(2)教师提问：该题还有其他证明方法

吗？

（提示可计算 、 、

，然后用勾股定理验证）

运用向量垂直的坐标表示的

充要条件解决问题；培养学生灵活运用所学公式解决

问题的能力

例3 已知A（1，2），B（3，4），C（5，0），求∠BAC的值。教师引导，师生共同完成。应用

夹角

的坐

标公

式，

揭示

向量

与三

角的

联

系,

训练

学生

的运

算能

力

例4 已知，求与垂直

的单位向量

教师讲解，学生归纳方法

课堂练习练习A 1（1），（2）学生独立完成，教师指导巩固

新知

归纳小结1、向量垂直的坐标表示的充要条件，

及向量的长度、距离和夹角公式

（1）用坐标表示的数量积公式，常用

来计算两向量的夹角.

（2）两向量垂直时，在表达方式上有

一定技巧，如与

总是垂直的。

2、平面向量数量积的两种形式的内在

联系及有关知识的灵活运用。

师生共同完成使学

生养

成归

纳总

结的

习

惯，

主动

独立

思考

问题

的能

力