利用根轨迹分析系统性能

线性系统根轨迹分析法的第一个工作是分析 根轨迹图上的规律，并寻找到可以作为工作点的 参考范围。第二个工作将是设法改造根轨迹图， 使根轨迹图变成一个像软面条一样的玩具可以任 意塑造，并使其按我们的希望目标变形。这就是 增加零极点的技术。
一、增加开环零极点对系统性能的影响
由于根轨迹是由开环零极点决定的，因此在系统 中增加或改变零极点在s平面的位置，可以改变根轨 迹的形状，影响系统的性能。
1、增加开环零点对根轨迹的影响
在开环传递函数中引入零点，可以使根轨迹向左半s 平面弯曲或移动，还可以改变渐近线的倾角，减少渐近 线的条数。
设开环传函 增加零点z＝-3 增加零点z＝-2 增加零点z＝0
G(s)H (s) ?
1 s(s2 ? 2s ?
2)
G(s)H (s) ?
s? 3 s(s2 ? 2s ?
分析和设K计c* 系统的稳定性提供了选择合适系统参数的依据和途径。
K*
K
* c
⑶根据对系统的要求和系统的根轨迹图分析系统的瞬态响应指标。 对于一阶、二阶系统，很容易在它的根轨迹上确定对应参数的闭环极点， 对于三阶以上的高阶系统，通常用简单的作图法 （如作等阻尼比线等） 求出系统的主导极点（如果存在的话），将高阶系统近似地简化成由主 导极点（通常是一对共轭复数极点）构成的二阶系统，最后求出其各项 性能指标。这种分析方法简单、方便、直观，在满足主导极点条件时， 分析结果的误差很小。如果求出离虚轴较近的一对共轭复数极点不满足 主导极点的条件，如它到虚轴的距离不小于其余极点到虚轴距离的五分 之一或在它的附近有闭环零点存在等，这时还必须进一步考虑和分析这 些闭环零、极点对系统瞬态响应性能指标的影响。
以看出，引入
开环零点后可
使根轨迹向左
移动或弯曲， 开环零点越接 近原点，系统
G (s)H (s) ?
s s ( s 2 ? 2 s ? 2)
性能变得越好。
2、增加开环极点对根轨迹的影响
在开环传递函数中引入极点，可以使根轨迹向右半s 平面弯曲或移动，还可以改变渐近线的倾角，增加渐近 线的条数。
设开环传函 增加极点p＝-4 增加极点p＝-1 增加极点p＝0
s( s ? 2)( s ? 4)
出，引入开环极点
后可使根轨迹向右
移动或弯曲，开环
极点越接近原点，
1 G (s)H (s) ?
s ( s ? 2)( s ? 1)
系统性能变得越差。 G (s )H (s) ? 如果引入一个0极点，
1 s 2 (s ? 2)
系统将一直处于不
稳定状态。
二、系统三大性能分析
用根轨迹分析自动控制系统的方法和步骤归纳如下：
⑴根据系统的开环传递函数和绘制根轨迹的基本规则绘制出系统的根
轨迹图。
⑵由根轨迹在s平面上的分布情况分析系统的稳定性。如果全部根轨迹都
位于s平面左半部，则说明无论开环根轨迹增益 为何值，系统都是稳定
的；如k *根轨迹有一条（或一条以上）的分支全部位于 s平面的右半部，则
zi
)
n??
? (?
j?1
pj)
K在阶跃输入下定义：
Kp
?
lim
s? 0
G (s)H
(s)
e ss
?
1 1? K p
K在速度输入下定义：
Kv
?
lim
s? 0
sG (s ) H
(s)
e ss
?
1 Kv
K在加速度输入下定义：
Ka
?
lim s?
s2 G(s)H (s)
0
e ss
?
1 Ka
3、动态性能
根据开环零极点和闭环零极点的关系：
解决的方法之一，是第三章介绍的解析法，即求出系统 特征方程的根。解析法虽然比较精确，但对四阶以上的高阶 系统是很困难的。
根轨迹法是解决上述问题的另一途径，它是在已 知系统的开环传递函数零、极点分布的基础上，研究 某一个和某些参数的变化对系统闭环极点分布的影响 的一种图解方法。由于根轨迹图 直观、完整 地反映系 统特征方程的根在 S平面上分布的全局情况，通过一些 简单的作图和计算，就可以 看到 系统参数的变化对系 统闭环极点的 影响趋势 。这对分析研究控制系统的性 能和提出改善系统性能的合理途径都 具有重要意义 。
G(s)H (s) ? 1 s( s ? 2)
G (s)H (s) ?
1
s ( s ? 2)( s ? 4)
G(s)H (s) ?
1
s ( s ? 2)( s ? 1)
G(s)H (s) ?
1 s2(s ?
2)
1 G (s)H (s) ?
s ( s ? 2)
G(s)H (s) ?
1
由以上对比可以看
2)
G(s)H (s) ?
s? 2 s(s2 ? 2s ?
2)
G(s)H (s) ?
s s(s2 ? 2s ?
2)
G(s)H (s) ?
1 s(s2 ? 2s ?
2)
G(s)H (s) ?
s? 2
s ( s 2 ? 2 s ? 2)
G(s)H (s) ?
s? 3 s(s2 ? 2s ?
2)
由以上对比可
根轨迹图的最大 特点是参数的可视化。 这正是时域法的不足。
4-4系统性能分析
自动控制系统的 稳定性 ，由它的闭环极点唯一确定，从根 轨迹图可以直接看出； 稳态性能 只同开环传递函数有关，具体 说就是同开环传递函数的 K*、开环零极点和 ν 有关，这些信息 在根轨迹图上都有反映； 动态性能 与系统的闭环极点和零点在 S平面上的分布有关。因此确定控制系统闭环极点和零点在 S平 面上的分布，特别是从已知的开环零、极点的分布确定闭环零、 极点的分布，是对控制系统进行分析必须 首先要解决的问题。
说明无论开环根轨迹增益 如何改变，系统都是不稳定的；如果有一条
（或一条k 以* 上）的根轨迹从 s平面的左半部穿过虚轴进入 s面的右半部（或
反之），而其余的根轨迹分支位于 s平面的左半部，则说明系统是有条件
的稳定系统，即当开环根轨迹增益 大于临界值 时系统便由稳定变为不
稳定（或反之）。此时，关键是求出开环根轨迹增益 的临界值K * 。这为
（1）闭环系统根轨迹增益等于开环系统前向通道根轨迹 增益KG*；
（2）闭环零点＝开环前向通路传函零点+反馈通路传函 极点；
（3）闭环极点可由根轨迹确定（在根轨迹上找出与K* 相对应的极点）。
由开环传递函数借助于根轨迹图可以写出闭环传递函 数，运用拉氏变换或借助于计算机，可以求出系统的时间 响应（时域分析）。
1、稳定性： 由根轨迹图可以很直观地看出：与K*相对应的闭
环特征方程的特征根在s平面上的分布位置，由此可 以判断系统的稳定性。
2、稳态性能：
m
m
K
?
lim s? G ( s ) H ( s) ?
s? 0
lim
Baidu Nhomakorabeas? 0
K*
? (s ?
i?1
n??
? (s ?
j?1
zi ) pj)
?
K*
? (?
i?1