利用根轨迹分析系统性能
利用根轨迹分析系统性能
4-4系统性能分析
自动控制系统的稳定性，由它的闭环极点唯一确 定，从根轨迹图可以直接看出；稳态性能只同开环 传递函数有关，具体说就是同开环传递函数的K*、开 环零极点和ν有关，这些信息在根轨迹图上都有反 映；动态性能与系统的闭环极点和零点在S平面上的 分布有关。因此确定控制系统闭环极点和零点在S平 面上的分布，特别是从已知的开环零、极点的分布 确定闭环零、极点的分布，是对控制系统进行分析 必须首先要解决的问题。
1
s(s 2)(s 4)
G(s)H(s)
1
s(s 2)(s 1)
G(s)H
(s)
1 s2(s
2)
G(s)H(s) 1
G(s)H(s)
1
s(s 2) 由以上对比可以
s(s 2)(s 4)
看出，引入开环
极点后可使根轨
迹向右移动或弯
曲，开环极点越
G(s)H(s)
解决的方法之一，是第三章介绍的解析法，即 求出系统特征方程的根。解析法虽然比较精确，但 对四阶以上的高阶系统是很困难的。
根轨迹法是解决上述问题的另一途径，它 是在已知系统的开环传递函数零、极点分布 的基础上，研究某一个和某些参数的变化对 系统闭环极点分布的影响的一种图解方法。 由于根轨迹图直观、完整地反映系统特征方 程的根在S平面上分布的全局情况，通过一些 简单的作图和计算，就可以看到系统参数的 变化对系统闭环极点的影响趋势。这对分析 研究控制系统的性能和提出改善系统性能的 合理途径都具有重要意义。
G(s)H (s)
s(s2
s 2s
2)
G(s)H(s)
自动控制原理-用根轨迹法分析系统性能
统的性能满足要求.
第四节 用根轨迹法分析系统性能
例 已知系统的闭环传递函数:
G(s)H(s)=S(S+1K)r(S+2)
即要试求确S定1,ξ闭2==n0环-0-.m5.极3>3_点±2和j0对.58应的Kr.
jω
S解3=：∑j=β31系P=j c-统So的1s--S1根ξ2=轨60迹º图如图:
第四节 用根轨迹法分析系统性能
四、增加开环零极点对系统性能 的影响
由以上分析知，闭环特征根应该位 于S 左半平面，而且离虚轴要有一定的 距离，才能满足系统的稳定性和快速性 要求。增加开环零、极点必将改变根轨 迹的形状和走向，即改变系统的性能。
第四节 用根轨迹法分析系统性能
1. 增加开环零点
（1）设二阶系统的开环传递函数为
G(s)H(s)=S(KSr+1)
系以增统降零加的低又点零根超可使点轨调使根后迹量β轨:图。角迹如较向图小:， 闭 离 快 可 整 稳G左K极的系以环 时 定都速(rs值弯 点距增统不极 间 性减太性)H，曲离离加的管点，和小近.(s既，虚.合根)怎超离改快,影=可选轴适轨虚善速调么KS响使择有r的(迹轴系性量选S(系S闭适 一零+图和的 统 。择+统1环当 定点2为)距 的调K的)r,:
第四节 用根轨迹法分析系统性能
一对共轭复数极点在S平面上的分布:
s1,2=复-ξ数ω极n +点jω的n 参1-数ξ2与
系统=阶-ξ跃ω响n +应jω及d 性能指 标|s的1|=关|s系2|=为ξ(ωn)2+ωd 2 cσ(%t)===e1cω--oξβπns1/e=β--ξξc1=ω2-ξotn2ξsωs%ω-1inξnn (ω=ξtdst=+ξβω3) n
根轨迹的概念和系统分析
，
此时，系统的闭环极点与开环零点相同(重合)，
我们把开环零点称为根轨迹的终点，它对应于
开环根轨迹K增r益
。
下面分三种情况讨沦。
1．当m=n时，即开环零点数与极点数相同时， 根轨迹的起点与终点均有确定的值。
2．当m<n时，即开环零点数小于开环极点 数时，除有m条根轨迹终止于开环零点(称为 有限零点)外，还有n-m条根轨迹终止于无穷 远点(称为无限零点)。如例6-1。
允许范围
动态性能
0 当
Kr
1
时，所有闭环极点均位于实轴上，
系过K程统r 。为1 当过阻尼系统，其单位阶跃 时，特征方程的两个相等
响 负
应 实
为 根
单 ，
调 系
上 统
升 为
的
K
临
非周 r界阻1
期 尼
系 时
统 ，
，特单征位方阶程跃为响一应对为共响轭应复速根度，最系快统的为非欠周阻K期r尼过系程统。，当单
通常系统的开环零、极点是已知的，因此建
立开环零、极点与闭环零、极点之间的关系，有助
于闭环系统根轨迹的绘制，并由此引导出根轨迹方
程。设控制系统如(s)图6-2所G示(s，) 闭环传递函数为
1 G(s)H(s)
(6-1)
R(s)
C(s) G(s)
H(s)
-图6-2 控制系
前向通路传递函数G(s)和反馈通路传递函数 H(s)可分别表示
益 当 方
程根的复变量S在平面上的变化也是连续的，
因此，根轨迹是n条连续的曲线。
由于实际的物理系统的参数都是实数，如 果特征方程有复数根，一定是对称于实轴的 共轭复根，因此，根轨迹总是对称于实轴的。
根轨迹法讲解和性能指标
图4-2 根轨迹图
7
可见，根轨迹图全面地描述了参数K对闭环特征 根分布的影响。
定义：当系统中某一参数(一般以增益为变化参数) 发生变化时，系统闭环特征根在s平面上描绘的曲线 称为系统的根轨迹。
一般地，绘制系统根轨迹时选择的可变参量 可以是系统的任意参量。以系统根轨迹增益K为 可变参量绘制的根轨迹称为常规根轨迹（典型根 轨迹）。以其它参数为变量绘制的根轨迹称为参 量根轨迹。
5
系统闭环传递函数为：
C (s) G (s)
K
Φ (s)=R (s)=1+ G (s)=s(s+ 1)s (+ 2)+ K
该系统的闭环特征方程为：
s3+3s2+2s+K =0
如果将系统的开环增益K（根轨迹增益）从0向 变化时，系统闭环特征根在复平面上的变化情况绘制 为曲线，如图4-2所示。这样获得的曲线称为K从0向 变化时系统的根轨迹。从根轨迹图可以看到：当 0<K<0.385时三个闭环极点都是负实数，当K>0.385 时有两个闭环极点成为共轭复数，只要0<K<6闭环系 统一定稳定。可见，根轨迹清晰地描绘了闭环极点与 开环增益K的关系。
G(s)H (s)
i 1 n
(s pj)
j 1
此时幅值条件和相角条件分别为：
n
s pj
K1
j1 m
s zi
i1
m
n
(szi)(spj)(2q1)
i1
j1
q0,1,2,...
（4-9）
（4-10）
12
在实际绘制根轨迹时，只要依据相角条件就可 以绘制根轨迹，而幅值条件主要用于确定根轨迹上各 点对应的根轨迹增益K值。
根轨迹实验报告
根轨迹实验报告根轨迹实验报告引言：根轨迹是控制系统理论中的一个重要概念，它描述了系统在参数变化下的稳定性和响应特性。
本实验旨在通过实际操作和数据分析，深入理解根轨迹的原理和应用。
通过对比不同系统的根轨迹，可以更好地理解系统的稳定性和控制性能。
一、实验目的本实验的目的是通过实际操作和数据分析，加深对根轨迹的理解，掌握根轨迹的绘制方法和分析技巧。
同时，通过对比不同系统的根轨迹，分析系统参数对根轨迹的影响，进一步认识系统的稳定性和控制性能。
二、实验装置与方法实验所需的装置包括控制系统实验台、计算机和相应的控制软件。
实验过程中，首先将系统接入实验台，通过控制软件设置系统参数，然后进行数据采集和分析。
根据实验要求，可以改变系统参数、增加干扰等，观察根轨迹的变化。
三、实验结果与分析在实验过程中，我们分别绘制了不同系统的根轨迹，并进行了数据分析。
通过观察根轨迹的形状和位置，我们可以判断系统的稳定性和响应特性。
以一个简单的一阶系统为例，我们改变了系统的比例增益和时间常数，绘制了对应的根轨迹。
通过观察根轨迹的位置和形状，我们可以发现以下规律：当比例增益增大时，根轨迹向左移动，系统的稳定性增强；当时间常数增大时，根轨迹变得更加平缓，系统的响应速度变慢。
在另一个二阶系统的实验中，我们改变了系统的阻尼比和自然频率，绘制了对应的根轨迹。
通过观察根轨迹的形状和分布，我们可以得出以下结论：当阻尼比增大时，根轨迹变得更加收敛，系统的稳定性提高；当自然频率增大时，根轨迹变得更加散布，系统的响应速度增加。
通过对比不同系统的根轨迹，我们可以进一步分析系统的稳定性和控制性能。
例如，当两个系统的根轨迹重合或者相似，可以认为它们具有相似的稳定性和响应特性；而当根轨迹相交或者离散较大时，可能存在系统不稳定或者不良的控制性能。
四、实验总结通过本次实验，我们深入了解了根轨迹的原理和应用。
通过实际操作和数据分析，我们掌握了根轨迹的绘制方法和分析技巧。
自动控制原理根轨迹法
自动控制原理根轨迹法自动控制原理是现代工程技术中的重要分支，它涉及到机械、电子、计算机等多个领域。
而根轨迹法则是自动控制原理中的一种重要方法，它可以用来分析和设计控制系统，提高系统的稳定性和性能。
本文将从根轨迹法的基本原理、应用场景和优缺点三个方面进行介绍。
一、基本原理根轨迹法是一种基于极点和零点的控制系统分析方法。
在根轨迹图中，系统的极点和零点被表示为一条曲线，称为根轨迹。
根轨迹图可以用来分析系统的稳定性、响应速度和稳态误差等性能指标。
根轨迹法的基本原理是通过改变系统的参数，使得根轨迹图在复平面上移动，从而实现对系统性能的优化。
二、应用场景根轨迹法可以应用于各种控制系统的设计和分析中。
例如，在电机控制系统中，根轨迹法可以用来分析电机的转速响应和负载扰动对系统的影响。
在飞行控制系统中，根轨迹法可以用来设计飞机的自动驾驶系统，提高飞机的稳定性和飞行性能。
在机器人控制系统中，根轨迹法可以用来设计机器人的运动控制系统，实现机器人的精确控制和运动规划。
三、优缺点根轨迹法的优点是可以直观地表示系统的稳定性和性能指标，便于工程师进行控制系统的设计和分析。
此外，根轨迹法还可以用来分析系统的鲁棒性和鲁棒稳定性，提高系统的抗干扰能力和鲁棒性。
但是，根轨迹法也存在一些缺点，例如对于高阶系统，根轨迹法的计算复杂度较高，需要使用计算机进行计算。
此外，根轨迹法也无法处理非线性系统和时变系统，需要使用其他方法进行分析和设计。
总之，根轨迹法是自动控制原理中的一种重要方法，可以用来分析和设计各种控制系统。
在实际工程中，工程师需要根据具体的应用场景和系统要求，选择合适的控制方法和算法，实现对系统的优化和控制。
线性系统的根轨迹法实验报告
线性系统的根轨迹法实验报告实验二线性系统的根轨迹法一,实验目的1，掌握matlab绘制根轨迹的方法。
2，观察k值变化对系统稳定性的影响。
3，掌握系统临界稳定情况下k值得求取。
4，了解增设零点对系统稳定的影响以及改善系统稳定性的方法。
二，实验原理根轨迹的概念:所谓根轨迹就是当开环系统某一参数从零变到无穷大时，闭环系统特征方程式的根在s平面上变化的轨迹。
根轨迹与系统性能:有了根轨迹就可以分析系统的各种性能了，稳定性的判定，当开环增益从零变到无穷大时，根轨迹不会越过虚轴进入s平面的右半平面，此时K的范围为系统稳定的范围，根轨迹与虚轴的交点处的K值，为系统的临界开环增益，开根轨迹进入s平面的右半平面时所对应的K值为系统不稳定的情况。
三，实验内容A、设单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=K/(s*(s+1)(s+5)) (1) 绘制系统的根轨迹，并将手工绘制结果与实验绘制结果比较; (2) 从实验结果上观察系统稳定的K 值范围;(3) 用simulink 环境观察系统临界稳定时的单位阶跃响应分析:绘制根轨迹的matlab文本为clfnum=1;den=conv([1 1 0],[1 5]); rlocus(num,den) %绘制系统根轨迹1,得到如图的根轨迹图:2,用鼠标点击根轨迹与虚轴处的交点可得到临界稳定的开环增益K=30,所以系统稳定的K值范围为0―30。
3，在simulink环境下按下图连接电路:取增益为30的时候在示波器下观察单位节约响应，输出波形为:由图可以看出单位阶跃响应的输出为等幅的震荡输出，所以此时系统为临界稳定状态。
当改变开环增益为50和20时观察示波器，得到输出波形分别为:由图可知当增益K为50时输出为不稳定的震荡输出，此时系统不稳定，当增益K为20时输出的波形震荡越来越缓慢，最后趋于稳定，所以此时的系统是稳定的。
B，设单位反馈控制系统的开环传递函数为G(S)=K(s+3)/s(s+1)(s+2)(1) 仿照上题绘制系统的根轨迹，并判断系统的稳定性; 参照第一题得到matlab命令文本为:clfnum=1;den=conv([1 1 0],[1 2]); rlocus(num,den) %绘制系统根轨迹得到如图的根轨迹图:1，由图可知根轨迹没有进入s平面右半平面，所以系统在K=0到K=?都是稳定的。
《自动控制原理》实验报告(线性系统的根轨迹)
实验四 线性系统的根轨迹一、实验目的1. 熟悉MATLAB 用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。
2. 利用MATLAB 语句绘制系统的根轨迹。
3. 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。
4. 掌握系统参数变化对特征根位置的影响。
基础知识及MATLAB 函数根轨迹是指系统的某一参数从零变到无穷大时，特征方程的根在s 平面上的变化轨迹。
这个参数一般选为开环系统的增益K 。
课本中介绍的手工绘制根轨迹的方法，只能绘制根轨迹草图。
而用MATLAB 可以方便地绘制精确的根轨迹图，并可观测参数变化对特征根位置的影响。
假设系统的对象模型可以表示为nn n n m m m m a s b s a s b s b s b s b K s KG s G ++++++++==--+-11111210)()(ΛΛ 系统的闭环特征方程可以写成： 0)(10=+s KG对每一个K 的取值，我们可以得到一组系统的闭环极点。
如果我们改变K 的数值，则可以得到一系列这样的极点集合。
若将这些K 的取值下得出的极点位置按照各个分支连接起来，则可以得到一些描述系统闭环位置的曲线，这些曲线又称为系统的根轨迹。
1）绘制系统的根轨迹rlocus （）MATLAB 中绘制根轨迹的函数调用格式为：rlocus(num,den) 开环增益k 的范围自动设定。
rlocus(num,den,k) 开环增益k 的范围人工设定。
rlocus(p,z) 依据开环零极点绘制根轨迹。
r=rlocus(num,den) 不作图，返回闭环根矩阵。
[r,k]=rlocus(num,den) 不作图，返回闭环根矩阵r 和对应的开环增益向量k 。
其中，num,den 分别为系统开环传递函数的分子、分母多项式系数，按s 的降幂排列。
K 为根轨迹增益，可设定增益范围。
例3-1：已知系统的开环传递函数924)1()(23++++=*ssssKsG，绘制系统的根轨迹的MATLAB的调用语句如下：num=[1 1]; %定义分子多项式den=[1 4 2 9]; %定义分母多项式rlocus (num,den)%绘制系统的根轨迹grid%画网格标度线xlabel(‘Real Axis’),ylabel(‘Imaginary Axis’) %给坐标轴加上说明title(‘Root Locus’) %给图形加上标题名则该系统的根轨迹如图3-1所示：若上例要绘制K在（1，10）的根轨迹图，则此时的MATLAB的调用格式如下，对应的根轨迹如图3-2所示。
(自动控制)第四章：根轨迹法
动态性能：从根轨迹图可以分析出系统的工作状态，
如过阻尼状态、欠阻尼状态……
根轨迹增益、闭环零极点与开环零极点的关系 l f
* G(s)= KG
∏( s-p ) i i=1
f i i 1 H q
q
∏( s-z ) i i=1
;
l
j=1 * H (s)= KH h
f l m
∏(s-zj )
C(s)
C ( s) 2k 2 R ( s ) S 2 S 2k
特征方程（闭环）：
S2+2s+2k=0
k s(0.5s+1)
特征根：s1,2= －1±√1－2k k=0时， s1=0, s2=－2
K:0 ~ ∞
0＜k＜0.5 时，两个负实根 ；若s1=－0.25, s2=? k=0.5 时，s1=s2=－1 0.5＜k＜∞时，s1,2=－1±j√2k－1 j
注意：一组根对应同一个K；
K一变，一组根变； K一停，一组根停；
-2
-1
0
由以上分析，s1、s2两条根轨迹反映了系统特征根随参 数k变化的规律，组成了系统的根轨迹。 1.二阶系统有两个特征根，它的根轨迹有两条分支； 一个n阶系统的根轨迹则应有n条分支。 2.k＝0时的闭环极点，s1=0、s2=-2正好是开环传递函 数的两个极点，因此说，系统开环极点就是它各条根轨 迹的起点。 3. k＝∞时的闭环极点，是根轨迹的终点。 4.特征方程的重根点是根轨迹的分支离开负实轴进入复 数平面的分支点。
a.系统响应单调上升（ξ>1）系统具有两个不相等的负实根┈ 过阻尼响应。 b.系统响应衰减振荡（0＜ξ＜1）系统具有一对负实部的共 轭复根┈欠阻尼响应。
最新自动控制原理西安电子科技大学第三版课后答案 陕西科技大学自动控制原理考研真题优秀
最新自动控制原理西安电子科技大学第三版课后答案陕西科技大学自动控制原理考研真题优秀自动控制原理西安电子科技大学第三版课后答案陕西科技大学自动控制原理考研真题篇一1)自动控制、自动控制系统的基本概念以及自动控制系统的三种基本控制方式;2)能分析某个自动控制系统的原理并绘制原理方框图;3)自动控制系统的分类以及对控制系统的基本要求。
2.控制系统的数学模型1)掌握控制系统的时域数学模型、控制系统的复域数学模型的建立方法及其相互转换;2)通过结构图的化简或梅逊增益公式求取系统的闭环传递函数、误差传递函数及干扰信号作用下的闭环传递函数等，了解绘制系统结构图的方法。
3.线性系统的时域分析法1)掌握系统性能指标的定义;2)掌握系统稳定性概念、劳斯稳定判据及其应用;3)掌握一阶、二阶系统的动态性能分析，及动态性能指标的计算，掌握二阶系统性能的改善，了解高阶系统动态性能的分析方法;4)掌握稳态误差的定义及计算。
4.线性系统的根轨迹法1)掌握根轨迹的基本概念，根轨迹与系统性能的关系;2)掌握根轨迹绘制的基本法则，灵活应用基本法则绘制系统的根轨迹;3)利用根轨迹分析系统的性能;4)了解参数根轨迹和零度根轨迹的概念及绘制方法。
5.线性系统的频域分析法1)理解频率特性的定义及其几何表示法;2)典型环节的频率特性，掌握系统开环对数频率特性图、幅相曲线图的绘制;3)掌握利用奈奎斯特稳定判据、对数频率稳定性判据判断闭环系统的稳定性;4)掌握相角稳定裕量和幅值稳定裕量的定义及其求取方法，及它们与系统性能的关系;5)开环频率特性与闭环系统性能之间的关系，了解闭环频率特性。
6.线性系统的校正方法1)正确理解控制系统校正的基本概念，校正方式，常用校正装置的特性;2)掌握串联超前校正、滞后校正、滞后-超前校正网络的校正原理及设计方法;3)将性能指标转换为希望开环对数幅频特性，根据希望特性确定最小相位系统的校正装置;4)了解局部反馈校正、复合校正的基本思路与方法。
控制系统的根轨迹分析实验报告
一、实验目的1. 熟悉控制系统根轨迹的基本概念和绘制方法。
2. 掌握利用MATLAB软件绘制和分析控制系统根轨迹的方法。
3. 通过根轨迹分析，了解系统参数变化对系统性能的影响。
4. 培养实验操作能力和数据处理能力。
二、实验原理根轨迹是指当系统的某一参数（如开环增益K）从0变化到无穷大时，闭环系统的特征根在s平面上的变化轨迹。
通过分析根轨迹，可以了解系统在参数变化时的稳定性、瞬态响应和稳态误差等性能。
三、实验设备1. 计算机2. MATLAB软件3. 控制系统实验箱四、实验内容1. 绘制控制系统根轨迹（1）首先，根据实验要求，搭建控制系统的数学模型。
（2）利用MATLAB中的rlocus函数绘制系统的根轨迹。
（3）观察根轨迹的变化规律，分析系统在不同参数下的稳定性。
2. 分析系统性能（1）根据根轨迹，确定系统的稳定裕度，包括增益裕度和相位裕度。
（2）分析系统在不同参数下的瞬态响应，如上升时间、调整时间、超调量等。
（3）分析系统在不同参数下的稳态误差，如稳态误差和稳态误差系数。
3. 改变系统参数，观察根轨迹变化（1）改变系统的参数，如增益、时间常数等。
（2）重新绘制根轨迹，观察根轨迹的变化规律。
（3）分析系统参数变化对系统性能的影响。
五、实验结果与分析1. 绘制控制系统根轨迹（1）根据实验要求，搭建控制系统的数学模型，得到开环传递函数。
（2）利用MATLAB中的rlocus函数绘制系统的根轨迹。
（3）观察根轨迹的变化规律，分析系统在不同参数下的稳定性。
2. 分析系统性能（1）根据根轨迹，确定系统的稳定裕度，包括增益裕度和相位裕度。
（2）分析系统在不同参数下的瞬态响应，如上升时间、调整时间、超调量等。
（3）分析系统在不同参数下的稳态误差，如稳态误差和稳态误差系数。
3. 改变系统参数，观察根轨迹变化（1）改变系统的参数，如增益、时间常数等。
（2）重新绘制根轨迹，观察根轨迹的变化规律。
（3）分析系统参数变化对系统性能的影响。
(自动控制原理)4.4利用根轨迹分析系统性能
根轨迹的特点和规律
根轨迹具有以下特点和规律： • 根轨迹是一条连续的曲线，代表了特征方程根的轨迹 • 根轨迹始终位于系统开环增益与相位的交点上 • 根轨迹趋近于无限远点的方向，表示系统的稳定性 • 根轨迹与该点的对称位置具有相同的特性
利用根轨迹评价系统性能
根轨迹可以评估系统的稳定性和动态响应性能，通过观察根轨迹的形状和位置，可以得出以下结论：
根轨迹的概念
根轨迹是反映闭环控制系统特征方程根随参数变化而变化的图形。通过观察 根轨迹可以分析系统的稳定性、动态响应和频率响应特性。
如何绘制根轨迹
绘制根轨迹的步骤如下： 1. 得到系统的特征方程 2. 使用根轨迹的绘制规则和技巧，画出根轨迹的大致形状 3. 通过调整系统参数，绘制出完整的根轨迹图形
自动控制原理 4.4 利用根 轨迹分析系统性能
自动控制系统的性能对于系统的稳定性和响应速度至关重要。本章将介绍根 轨迹方法，用于绘制系统的根轨迹图，并利用根轨迹图评估系统的稳定性和 动态响应性能。
系统性能的定义
系统性能是指系统对于输入信号的响应质量和稳定性。主要包括以下几个方 面：时间响应特性、频率响应特性、稳定性和误差特性。
结论和要点
1 根轨迹是分析系统
性能的重要工具
根轨迹反映了系统的稳 定性和动态响应性能。
2 根轨迹的绘制方法
可以通过特征方程和绘 制规则来绘制根轨迹。
3 根轨迹的应用
根轨迹分析在实际控制 系统中具源自广泛的应用。稳定性如果根轨迹位于左半平面，则系统是稳定的。
动态响应
根轨迹的形状和位置可以反映系统的响应速 度和超调量。
频率响应
根轨迹的形状和位置可以反映系统的频率响 应特性。
稳定裕度
根轨迹与虚轴的交点距离表示系统的稳定裕 度。
基于根轨迹法的系统性能分析
最后还应指出，如有必要，可以应用幅值条件很容易地在根轨迹上标出增益，这
时只要在根轨迹上选择一点，并测量出三个复数量 s ，s 1和 s 2的幅值大小，然
后将它们相乘，由其乘积就可以求出该点上的增益 K* 的值，即
由图可知：增加开环极点会使根轨迹的复数部分向s右半平面弯曲。若 取 p1 1，p2 2 ，则渐近线的倾斜角将由原来的90 变为 60；分离点由原来 的 0.5 向右移至0.422 ；与分离点相对应的开环增益由原来的0.25
（即 K* 0.5 0.5 0.25 ）减少到0.19（即 K1* (0.422 0.578 1.578) / 2 0.19）。
2K*
1
s(s 1)(s 2)
绘制根轨迹图的具体步骤如下。
（1）确定根轨迹的起点。开环极点为0，1 ，2，它们是根轨迹各分支的起点。由
于没有有限的开环零点，故根轨迹各分支都将趋向于无穷远。
（2）确定根轨迹的分支数。根轨迹一共有三条分支，且关于实轴对称。
（3）确定根轨迹的渐近线。三条根轨迹分支的渐近线方向，可按下式来求
比 0.25 / 0.9 0.28 。由此可求出系统在单位阶跃作用下 动态响应曲线的超调量 40% ，调整时
间 ts 3 / (n ) 3 / 0.25 12 s 。
【例 3-7】 已知系统的结构图如图所示，试绘制系统的根轨迹图，并求出当闭
环共轭复数极点呈现阻尼比 0.707 时，系统的单位阶跃响应。
通过根轨迹分析系统品质时，常常可以从系统主导极 点的分布情况入手。以【例 3-6】中系统的根轨迹图为例，
已知 K* 1，这时一对复数极点为 0.25 j0.875，而另
自控实验报告实验三线性系统的根轨迹
4．写出实验的心得与体会。
三、实验内容
请绘制下面系统的根轨迹曲线同时得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳固的K值的范围。
一、
一、程序代码：
G=tf([1],[1,8,27,38,26]);
rlocus (G);
五、心得体会
本次实验咱们第一熟悉了MATLAB用于操纵系统中的一些大体编程语句和格式，随后又利用MATLAB语句绘制系统的根轨迹。讲义中介绍的手工绘制根轨迹的方式，只能绘制根轨迹草图，而用MATLAB能够方便地绘制精准的根轨迹图，并可通过自己添加零极点或改变根轨迹增益的范围来观测参数转变对特点根位置的阻碍。
+
k =
r =
+
-
+
-
3、结果分析：
根轨迹与虚轴有交点，因此在K从零到无穷转变时，系统的稳固性会发生转变。由根轨迹图和运行结果知，当0<K<时，系统老是稳固的。
二、
一、程序代码：
G=tf([1,12],[1,23,242,1220,1000]);
rlocus (G);
[k,r]=rlocfind(G)
G_c=feedback(G,1);
step(G_c)
二、实验结果：
selected_point =
+
k =
+03
r =
+
+
-
selected_point =
+
k =
+03
r =
+
-
+
-
3、结果分析：
夏德铃《自动控制理论》(第4版)笔记和考研真题详解(线性系统的根轨迹分析)【圣才出品】
（3）如果系统具有一对主导极点，则系统的暂态响应呈振荡性质，其超调量主要决
定于主导极点的衰减率
，并与其他零、极点接近坐标原点的程度有关，
而调整时间主要取决于主导极点的实部
（4）如果在系统中存在偶极子。如偶极子的位置接近坐标原点，其影响往往需要考
虑。
（5）如果除了一对主导复数极点之外，系统还具有若干实数零、极点，则零点的存
③规则七：根轨迹的出射角为：
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入射角为：
其他规则均不变。
四、滞后系统的根轨迹 滞后环节的存在使系统的根轨迹具有一定的特殊性，并往往对系统的稳定性带来不利 的影响。 1．绘制滞后系统根轨迹的相位条件和幅值条件 （1）幅值条件
4.2 名校考研真题详解
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一、选择题
1．开环系统传递函数为 上，有（ ）根轨迹趋于无穷远。[东南大学研]
有（ ）根轨迹完全落在实轴
A．3 条，1 条
B．1 条，3 条
C．2 条，3 条
D．2 条，2 条
【答案】C
3．闭环极点的确定 （1）闭环极点的定义 闭环极点是指当 K1（或 K）值满足幅值条件时，对应的根轨迹上的点。 （2）闭环极点的作用 利用幅值条件，可以确定根轨迹上任一点所对应的 K1 值。
三、广义根轨迹 根轨迹一般都是以系统的开环增益 K1 为可变参量，还有许多其他种类的根轨迹，它们 是：参数根轨迹，多回路系统的根轨迹，正反馈回路和零度根轨迹。 1．参数根轨迹 （1）定义 参数根轨迹是指以所选可变参量 α 代替 K1 的位置所画出的根轨迹。 （2）表达式
实验四基于MATLAB的根轨迹绘制与性能分析
实验四基于MATLAB的根轨迹绘制与性能分析一、实验目的1.了解根轨迹的概念和作用；2.学习使用MATLAB绘制根轨迹；3.通过根轨迹进行系统性能分析。
二、实验原理1.根轨迹的概念根轨迹是指随着系统参数变化，系统极点随参数变化所经过的连续点的轨迹。
根轨迹可以用来表示系统的动态性能，并可以用来分析系统的稳定性、抗干扰能力以及动态响应等。
2.根轨迹的绘制方法根轨迹的绘制方法主要有以下几步：(1)确定系统传递函数的开环极点和零点；(2)根据系统传递函数的特征方程确定根轨迹起始点和抵达无穷远点的分支数量；(3)确定分支的方向；(4)计算根轨迹抵达无穷远点的角度；(5)计算根轨迹与实轴的交点。
三、实验步骤1.准备工作(1)安装MATLAB软件，并确保已安装了Control System Toolbox；(2)准备所需绘制根轨迹的系统传递函数。
2.绘制根轨迹(1)在MATLAB命令窗口中输入以下命令，定义系统传递函数：G = tf([1],[1 2 3]);(2)输入以下命令，绘制系统的根轨迹：rlocus(G);3.性能分析(1)根据根轨迹的形状，可以判断系统的稳定性。
如果根轨迹与实轴相交的次数为奇数，则系统是不稳定的。
(2)根据根轨迹的形状以及相交点的位置，可以判断系统的过渡过程的振荡性和阻尼性。
(3)根据根轨迹抵达无穷远点时的角度，可以判断系统的相对稳定性。
角度接近0或180度时，系统相对稳定。
(4)根据根轨迹抵达实轴的位置，可以判断系统的动态性能。
抵达实轴的位置越远离原点，系统的动态响应越快。
四、实验结果分析通过上述步骤，我们可以得到系统的根轨迹图，并根据根轨迹图进行性能分析。
根据根轨迹的形状、交点位置、角度以及抵达实轴的位置，我们可以判断系统的稳定性、过渡过程的振荡性和阻尼性、相对稳定性以及动态响应速度。
根轨迹分析可以帮助我们设计和优化系统的控制器，从而改善系统的性能。
五、实验总结本实验通过MATLAB绘制根轨迹，并利用根轨迹进行系统性能分析。
§4.4 利用根轨迹分析系统性能
G(s)H (s) = K *(s + 4) s + 2 s(s + 2)(s + 3) s + 4
= K* s(s + 3)
⎧K = K * 3
⎨ ⎩
v =1
根据法则，系统有 2 条根轨迹分支，均趋于无
穷远处。
实轴上的根轨迹： [− 3,0]
分离点：
1+ 1 =0 d d +3
解得
−1− 2 = 3
(2k + 1)π
3
−1 =±
π 3
,π
⑶ 分离点：
1+ 1 + 1 =0 d d +1 d + 2
整理得
3d 2 + 6d + 2 = 0
解得
d1 = −1.577 d2 = −0.432
显然分离点为 d = −0.432 ，由幅值条件可求得分离点处的 K * 值：
K
* d
=
d
d
44利用根轨迹分析系统性能利用根轨迹可以定性分析当系统某一参数变化时系统动态性能的变化趋势在给定该参数值时可以确定相应的闭环极点再加上闭环零点可得到相应零极点形式的闭环传递函数
4.4 利用根轨迹分析系统性能
利用根轨迹，可以定性分析当系统某一参数变化时系统动态性能的变化趋势，在给定该 参数值时可以确定相应的闭环极点，再加上闭环零点，可得到相应零、极点形式的闭环传递 函数。本节讨论如何利用根轨迹分析、估算系统性能，同时分析附加开环零、极点对根轨迹 及系统性能的影响。
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λ1 = −0.33 + j0.58 ， λ2 = −0.33 − j0.58 ， λ3 = −2.33 在所求得的 3 个闭环极点中， λ3 至虚轴的距离与 λ1 （或 λ2 ）至虚轴的距离之比为
4.8根轨迹法8
利用根轨迹法进行分析
利用根轨迹法分析系统性能的基本步骤
⑴确定闭环零点；
⑵绘制系统根轨迹；
⑶依题意确定闭环极点位置；
⑷保留主导极点，利用时域方法估算系统性能
闭环零点=前向通道零点+反馈通道极点
单位反馈时闭环零点就是开环零点
闭环极点与开环零点、开环极点及K * 均有关
闭环零、极点与开环零、极点之间的关系
例已知系统方块图如图所示，绘制系统K从0→∞根轨迹，并确定：
⑴使系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益K 的取值范围；⑵复极点对应ζ=0.5 (β=60o ) 时的K 值及闭环极点位置；⑶当K*=4 时，求λ1, 2, 3并估算系统动态指标( σ%,ts)。
解：
)s )(s (s K )s (GH *42++=⎩⎨⎧==1
8N K K *绘制系统根轨迹
实轴上的根轨迹：[-∞,-4], [-2,0]
利用根轨迹法进行分析
8623=+++*K s s 82828.==ω48=*K
9127
+9127 .0。
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分析和设K计c* 系统的稳定性提供了选择合适系统参数的依据和途径。
K*
K
* c
⑶根据对系统的要求和系统的根轨迹图分析系统的瞬态响应指标。 对于一阶、二阶系统，很容易在它的根轨迹上确定对应参数的闭环极点， 对于三阶以上的高阶系统，通常用简单的作图法 （如作等阻尼比线等） 求出系统的主导极点（如果存在的话），将高阶系统近似地简化成由主 导极点（通常是一对共轭复数极点）构成的二阶系统，最后求出其各项 性能指标。这种分析方法简单、方便、直观，在满足主导极点条件时， 分析结果的误差很小。如果求出离虚轴较近的一对共轭复数极点不满足 主导极点的条件，如它到虚轴的距离不小于其余极点到虚轴距离的五分 之一或在它的附近有闭环零点存在等，这时还必须进一步考虑和分析这 些闭环零、极点对系统瞬态响应性能指标的影响。
2)
G(s)H (s) ?
s? 2 s(s2 ? 2s ?
2)
G(s)H (s) ?
s s(s2 ? 2s ?
2)G(s)H (Fra bibliotek) ?1 s(s2 ? 2s ?
2)
G(s)H (s) ?
s? 2
s ( s 2 ? 2 s ? 2)
G(s)H (s) ?
s? 3 s(s2 ? 2s ?
2)
由以上对比可
线性系统根轨迹分析法的第一个工作是分析 根轨迹图上的规律，并寻找到可以作为工作点的 参考范围。第二个工作将是设法改造根轨迹图， 使根轨迹图变成一个像软面条一样的玩具可以任 意塑造，并使其按我们的希望目标变形。这就是 增加零极点的技术。
一、增加开环零极点对系统性能的影响
由于根轨迹是由开环零极点决定的，因此在系统 中增加或改变零极点在s平面的位置，可以改变根轨 迹的形状，影响系统的性能。
用根轨迹分析自动控制系统的方法和步骤归纳如下：
⑴根据系统的开环传递函数和绘制根轨迹的基本规则绘制出系统的根
轨迹图。
⑵由根轨迹在s平面上的分布情况分析系统的稳定性。如果全部根轨迹都
位于s平面左半部，则说明无论开环根轨迹增益 为何值，系统都是稳定
的；如k *根轨迹有一条（或一条以上）的分支全部位于 s平面的右半部，则
说明无论开环根轨迹增益 如何改变，系统都是不稳定的；如果有一条
（或一条k 以* 上）的根轨迹从 s平面的左半部穿过虚轴进入 s面的右半部（或
反之），而其余的根轨迹分支位于 s平面的左半部，则说明系统是有条件
的稳定系统，即当开环根轨迹增益 大于临界值 时系统便由稳定变为不
稳定（或反之）。此时，关键是求出开环根轨迹增益 的临界值K * 。这为
1、稳定性： 由根轨迹图可以很直观地看出：与K*相对应的闭
环特征方程的特征根在s平面上的分布位置，由此可 以判断系统的稳定性。
2、稳态性能：
m
m
K
?
lim s? G ( s ) H ( s) ?
s? 0
lim
s? 0
K*
? (s ?
i?1
n??
? (s ?
j?1
zi ) pj)
?
K*
? (?
i?1
s( s ? 2)( s ? 4)
出，引入开环极点
后可使根轨迹向右
移动或弯曲，开环
极点越接近原点，
1 G (s)H (s) ?
s ( s ? 2)( s ? 1)
系统性能变得越差。 G (s )H (s) ? 如果引入一个0极点，
1 s 2 (s ? 2)
系统将一直处于不
稳定状态。
二、系统三大性能分析
以看出，引入
开环零点后可
使根轨迹向左
移动或弯曲， 开环零点越接 近原点，系统
G (s)H (s) ?
s s ( s 2 ? 2 s ? 2)
性能变得越好。
2、增加开环极点对根轨迹的影响
在开环传递函数中引入极点，可以使根轨迹向右半s 平面弯曲或移动，还可以改变渐近线的倾角，增加渐近 线的条数。
设开环传函 增加极点p＝-4 增加极点p＝-1 增加极点p＝0
zi
)
n??
? (?
j?1
pj)
K在阶跃输入下定义：
Kp
?
lim
s? 0
G (s)H
(s)
e ss
?
1 1? K p
K在速度输入下定义：
Kv
?
lim
s? 0
sG (s ) H
(s)
e ss
?
1 Kv
K在加速度输入下定义：
Ka
?
lim s?
s2 G(s)H (s)
0
e ss
?
1 Ka
3、动态性能
根据开环零极点和闭环零极点的关系：
根轨迹图的最大 特点是参数的可视化。 这正是时域法的不足。
4-4系统性能分析
自动控制系统的 稳定性 ，由它的闭环极点唯一确定，从根 轨迹图可以直接看出； 稳态性能 只同开环传递函数有关，具体 说就是同开环传递函数的 K*、开环零极点和 ν 有关，这些信息 在根轨迹图上都有反映； 动态性能 与系统的闭环极点和零点在 S平面上的分布有关。因此确定控制系统闭环极点和零点在 S平 面上的分布，特别是从已知的开环零、极点的分布确定闭环零、 极点的分布，是对控制系统进行分析必须 首先要解决的问题。
（1）闭环系统根轨迹增益等于开环系统前向通道根轨迹 增益KG*；
（2）闭环零点＝开环前向通路传函零点+反馈通路传函 极点；
（3）闭环极点可由根轨迹确定（在根轨迹上找出与K* 相对应的极点）。
由开环传递函数借助于根轨迹图可以写出闭环传递函 数，运用拉氏变换或借助于计算机，可以求出系统的时间 响应（时域分析）。
解决的方法之一，是第三章介绍的解析法，即求出系统 特征方程的根。解析法虽然比较精确，但对四阶以上的高阶 系统是很困难的。
根轨迹法是解决上述问题的另一途径，它是在已 知系统的开环传递函数零、极点分布的基础上，研究 某一个和某些参数的变化对系统闭环极点分布的影响 的一种图解方法。由于根轨迹图 直观、完整 地反映系 统特征方程的根在 S平面上分布的全局情况，通过一些 简单的作图和计算，就可以 看到 系统参数的变化对系 统闭环极点的 影响趋势 。这对分析研究控制系统的性 能和提出改善系统性能的合理途径都 具有重要意义 。
G(s)H (s) ? 1 s( s ? 2)
G (s)H (s) ?
1
s ( s ? 2)( s ? 4)
G(s)H (s) ?
1
s ( s ? 2)( s ? 1)
G(s)H (s) ?
1 s2(s ?
2)
1 G (s)H (s) ?
s ( s ? 2)
G(s)H (s) ?
1
由以上对比可以看
1、增加开环零点对根轨迹的影响
在开环传递函数中引入零点，可以使根轨迹向左半s 平面弯曲或移动，还可以改变渐近线的倾角，减少渐近 线的条数。
设开环传函 增加零点z＝-3 增加零点z＝-2 增加零点z＝0
G(s)H (s) ?
1 s(s2 ? 2s ?
2)
G(s)H (s) ?
s? 3 s(s2 ? 2s ?