应用统计-卡方检验与方差分析
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
应用统计
第七章：卡方检验与方差分析
卡方检验
• 【非参数统计 】对总体的具体形式不必作任何的 限制性假设和不以总体参数具体数值估计为目的 的推断统计。
– 能用于定性变量（即定名测定和序列测定的变量） ； – 方法直观，易于理解，运算比较简单。 – 缺点是检验的功效不如参数检验方法。
• 主要方法： χ 2检验、曼—惠特尼U检验、等级相 关检验、成对比较检验、游程检验、多个样本的 检验。
Байду номын сангаас
2
( f0 fe)2 fe
2拟合优度检验
（例题1分析）
步骤三：取 0.05。由于 拟 2合优度检验是单边检验，
因为零的 表明2 分布是一致的。与零的任何偏差都
是正的，这是因为 是由 2 平方和确定的， 永远 2不会
是负值。在此题中，由于k＝4，所以k-1=3，即 自 由度为3，在 0.0的5 条件下，临界值为
拟合优度检验的步骤
检验步骤
（1）对总体分布建立假设 H0：总体服从某种理论分布 H1：总体不服从该理论分布
（2）抽样并对样 本资料编成频数 分布（f0）
（3）以“原假设H0 为真”导出一组 期望频数（fe）
（4）计算检验统计量 χ2=∑(f0-fe)2/fe
（5）χ2=∑(f0-fe)2/fe 给 定的α查χ2表，得到临 界值
– 例如，航空业官员也许在理论上认为机票购买者的年 龄服从某种特殊的分布。为了接受或拒绝该分布，随 机选取机票购买者年龄的真实样本，使用拟合优度检 验比较观察值与期望值。
– 在皮鞋制造业，生产商可以使用拟合优度检验确定一 年当中对其商品的需求是否服从均匀分布。
2拟合优度检验
• 2拟合优度检验中用来对假设进行检验的检验 统计量的形式如下：
2 ( f0 fe )2 df k 1 c fe
其中：f
观察值频数；
0
f：e 期望值频数；k
:类别总数；
c：样本数据中的参数数量。
– 因为期望频数的总数必须等于观察频数的总数，因此该检验丢失 了一个自由度，即来自样本的的观察总数被作为期望频数总数的 总数。
– 另外，在有些情况下，总体有参数。用样本数据估计，以确定期 望值的概率分布。每次进行估计，就丢失一个自由度。
（6）比较χ2值与临界值 作出检验判断
注意事项
（1）各组理论 频数fe不得小于5 ，如不足5，可 合并组；
（2）为使组数 不致太少，总频 数n＞50；
（3）根据具 体情况确定自 由度。
2拟合优度检验
（例题分析）
【例1】有四家生产同种类型的产品在过去的一年里， 市场份额稳定在A公司47％，B公司34％，Ｃ公司11%, D公司8%. 最近各家公司都开发了各自“新型和改进 型”的产品代替当前在市场的产品。因此A公司市场 营销部门想知道这种新产品是否改变了市场份额。于
2检验
• 2检验是运用 2分布作为理论工具，在非参数统
计中可用于对总体的分布或随机变量的独立性进 行的检验。
• 2检验是1900年由英国统计学家卡•皮尔生
(K.Person)提出的，称为皮尔生定理。 • 当我们研究 K (K>2) 个事件时，可以测定 K 个
观察值与相应的理论值之间的差异，为此而构造
是聘请了一家专门搞市场份额评估的公司。该评估公
司组织进行一个抽样调查：随机选择了该城市各大超 市购物的207个消费者，以了解他们会选择哪种产品。 结果选用A、B、C、D公司产品的消费者比例如下：
公司 比例
A 109/207
B 62/207
C 15/207
D 21/207
从抽样结果判断市场份额有没有发生变化？
的统计量称为2 统计量。
2检验
• 皮尔生定理说明，当样本容量充分大时，样本
分成 K 类，每类实际出现的次数用f0表示，其理
论次数为fe，则2 统计量为
2 K f0 fe 2 且服从分布 2 (K 1)
i 1
fe
（f0-fe）比较小时，χ2值也较小；（f0-fe）比较大时，
期望频数（ fe ） (0.47)(207)=97.29 (0.34)(207)=70.38 (0.11)(207)=22.77
D
8%
(0.08)(207)=16.56
2拟合优度检验
(n)
2检验的功效
• 拟合优度检验
– 利用样本信息对总体分布作出推断，检验总体 是否服从理论分布（正态分布或二项分布）。
• 独立性检验
– 用于判断2组或多组的资料是否彼此关联。
2拟合优度检验
• 拟合优度检验主要是比较总体变量的期望或理论 频数与分布的观察或实际的频数，确定期望值与 观察值之间是否存在差异。
• 分布的变量值始终为正
• 分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不 对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋
于对称，一般当k≥30时，χ2分布可用正态分
布近似计算
2分布
(图示)
不同容量样本的抽样分布
n=1 n=4 n=10 n=20
2
2分布的使用
P{ 2
2
1
(n)}
2 1
χ2也较大。当χ2值大到按χ2分布超过设定的临界值时，
即为小概率事件，就可以认为实际结果与理论假设
不一致。
2检验
(χ2) 0
k=4 α=0.05
χ2 0.05(4)
χ2
=9.488
2分布
(2 distribution)
• 由阿贝(Abbe) 于1863年首先给出，后来由海尔 墨特(Hermert)和卡·皮尔逊(K·Pearson) 分别于 1875年和1900年推导出来
2拟合优度检验
（例题1分析）
步骤一：建立如下假设：
H0 : 1 47%, 2 34%,3 11%, 4 8%
即各公司的市场份额没有发生变化
H1 :1 47%,2 34%,3 11%,4 8%至少有一个不成立
即各公司的市场份额发生了变化
步骤二：使用的检验统计量
2 0.05
(3)
7.815
决策规则：如果计算得到的样本检验统计量的值大于 7.815，则拒绝原假设。
2拟合优度检验
（例题1分析）
步骤四：由样本计算样本检验统计量的值，分以 下几步完成：
（1）计算期望值（理论频数，见表） 表：公司份额期望频数的计算
公司 A B C
期望比例 47％ 34％ 11％
第七章：卡方检验与方差分析
卡方检验
• 【非参数统计 】对总体的具体形式不必作任何的 限制性假设和不以总体参数具体数值估计为目的 的推断统计。
– 能用于定性变量（即定名测定和序列测定的变量） ； – 方法直观，易于理解，运算比较简单。 – 缺点是检验的功效不如参数检验方法。
• 主要方法： χ 2检验、曼—惠特尼U检验、等级相 关检验、成对比较检验、游程检验、多个样本的 检验。
Байду номын сангаас
2
( f0 fe)2 fe
2拟合优度检验
（例题1分析）
步骤三：取 0.05。由于 拟 2合优度检验是单边检验，
因为零的 表明2 分布是一致的。与零的任何偏差都
是正的，这是因为 是由 2 平方和确定的， 永远 2不会
是负值。在此题中，由于k＝4，所以k-1=3，即 自 由度为3，在 0.0的5 条件下，临界值为
拟合优度检验的步骤
检验步骤
（1）对总体分布建立假设 H0：总体服从某种理论分布 H1：总体不服从该理论分布
（2）抽样并对样 本资料编成频数 分布（f0）
（3）以“原假设H0 为真”导出一组 期望频数（fe）
（4）计算检验统计量 χ2=∑(f0-fe)2/fe
（5）χ2=∑(f0-fe)2/fe 给 定的α查χ2表，得到临 界值
– 例如，航空业官员也许在理论上认为机票购买者的年 龄服从某种特殊的分布。为了接受或拒绝该分布，随 机选取机票购买者年龄的真实样本，使用拟合优度检 验比较观察值与期望值。
– 在皮鞋制造业，生产商可以使用拟合优度检验确定一 年当中对其商品的需求是否服从均匀分布。
2拟合优度检验
• 2拟合优度检验中用来对假设进行检验的检验 统计量的形式如下：
2 ( f0 fe )2 df k 1 c fe
其中：f
观察值频数；
0
f：e 期望值频数；k
:类别总数；
c：样本数据中的参数数量。
– 因为期望频数的总数必须等于观察频数的总数，因此该检验丢失 了一个自由度，即来自样本的的观察总数被作为期望频数总数的 总数。
– 另外，在有些情况下，总体有参数。用样本数据估计，以确定期 望值的概率分布。每次进行估计，就丢失一个自由度。
（6）比较χ2值与临界值 作出检验判断
注意事项
（1）各组理论 频数fe不得小于5 ，如不足5，可 合并组；
（2）为使组数 不致太少，总频 数n＞50；
（3）根据具 体情况确定自 由度。
2拟合优度检验
（例题分析）
【例1】有四家生产同种类型的产品在过去的一年里， 市场份额稳定在A公司47％，B公司34％，Ｃ公司11%, D公司8%. 最近各家公司都开发了各自“新型和改进 型”的产品代替当前在市场的产品。因此A公司市场 营销部门想知道这种新产品是否改变了市场份额。于
2检验
• 2检验是运用 2分布作为理论工具，在非参数统
计中可用于对总体的分布或随机变量的独立性进 行的检验。
• 2检验是1900年由英国统计学家卡•皮尔生
(K.Person)提出的，称为皮尔生定理。 • 当我们研究 K (K>2) 个事件时，可以测定 K 个
观察值与相应的理论值之间的差异，为此而构造
是聘请了一家专门搞市场份额评估的公司。该评估公
司组织进行一个抽样调查：随机选择了该城市各大超 市购物的207个消费者，以了解他们会选择哪种产品。 结果选用A、B、C、D公司产品的消费者比例如下：
公司 比例
A 109/207
B 62/207
C 15/207
D 21/207
从抽样结果判断市场份额有没有发生变化？
的统计量称为2 统计量。
2检验
• 皮尔生定理说明，当样本容量充分大时，样本
分成 K 类，每类实际出现的次数用f0表示，其理
论次数为fe，则2 统计量为
2 K f0 fe 2 且服从分布 2 (K 1)
i 1
fe
（f0-fe）比较小时，χ2值也较小；（f0-fe）比较大时，
期望频数（ fe ） (0.47)(207)=97.29 (0.34)(207)=70.38 (0.11)(207)=22.77
D
8%
(0.08)(207)=16.56
2拟合优度检验
(n)
2检验的功效
• 拟合优度检验
– 利用样本信息对总体分布作出推断，检验总体 是否服从理论分布（正态分布或二项分布）。
• 独立性检验
– 用于判断2组或多组的资料是否彼此关联。
2拟合优度检验
• 拟合优度检验主要是比较总体变量的期望或理论 频数与分布的观察或实际的频数，确定期望值与 观察值之间是否存在差异。
• 分布的变量值始终为正
• 分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不 对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋
于对称，一般当k≥30时，χ2分布可用正态分
布近似计算
2分布
(图示)
不同容量样本的抽样分布
n=1 n=4 n=10 n=20
2
2分布的使用
P{ 2
2
1
(n)}
2 1
χ2也较大。当χ2值大到按χ2分布超过设定的临界值时，
即为小概率事件，就可以认为实际结果与理论假设
不一致。
2检验
(χ2) 0
k=4 α=0.05
χ2 0.05(4)
χ2
=9.488
2分布
(2 distribution)
• 由阿贝(Abbe) 于1863年首先给出，后来由海尔 墨特(Hermert)和卡·皮尔逊(K·Pearson) 分别于 1875年和1900年推导出来
2拟合优度检验
（例题1分析）
步骤一：建立如下假设：
H0 : 1 47%, 2 34%,3 11%, 4 8%
即各公司的市场份额没有发生变化
H1 :1 47%,2 34%,3 11%,4 8%至少有一个不成立
即各公司的市场份额发生了变化
步骤二：使用的检验统计量
2 0.05
(3)
7.815
决策规则：如果计算得到的样本检验统计量的值大于 7.815，则拒绝原假设。
2拟合优度检验
（例题1分析）
步骤四：由样本计算样本检验统计量的值，分以 下几步完成：
（1）计算期望值（理论频数，见表） 表：公司份额期望频数的计算
公司 A B C
期望比例 47％ 34％ 11％