线性代数期末复习提纲解析

★ 线性代数基本内容、方法及要求

第一部分 行列式

【主要内容】

1、行列式的定义、性质、展开定理、及其应用——克莱姆法则

2、排列与逆序

3、方阵的行列式

4、几个重要公式：（1）T A A =； （2）A

A 11=-； （3）A k kA n =； （4）1*-=n A A ； （5）

B A AB =； （6）B A B A B A ==0*

*0

；

（7）⎩⎨⎧≠==∑=j i j i A A a n

i ij ij ，，01 ； （8）⎩⎨⎧≠==∑=j i j i A A a n j ij ij ，，01

（其中B A ,为n 阶方阵，k 为常数）

5、行列式的常见计算方法：（1）利用性质化行列式为上（下）三角形；

（2）利用行列式的展开定理降阶；

（3）根据行列式的特点借助特殊行列式的值

【要求】

1、了解行列式的定义，熟记几个特殊行列式的值。

2、掌握排列与逆序的定义，会求一个排列的逆序数。

3、能熟练应用行列式的性质、展开法则准确计算3-5阶行列式的值。

4、会计算简单的n 阶行列式。

5、知道并会用克莱姆法则。

第二部分 矩阵

【主要内容】

1、矩阵的概念、运算性质、特殊矩阵及其性质。

2、方阵的行列式

3、可逆矩阵的定义、性质、求法（公式法、初等变换法、分块对角阵求逆）。

4、n 阶矩阵A 可逆⇔0≠A ⇔A 为非奇异(非退化)的矩阵。

⇔n A R =)(⇔A 为满秩矩阵。

⇔0=AX 只有零解

⇔b AX =有唯一解

⇔A 的行（列）向量组线性无关

⇔A 的特征值全不为零。

⇔A 可以经过初等变换化为单位矩阵。

⇔A 可以表示成一系列初等矩阵的乘积。

5、矩阵的初等变换与初等矩阵的定义、性质及其二者之间的关系。

6、矩阵秩的概念及其求法（（1）定义法；（2）初等变换法）。

7、矩阵的分块，分块矩阵的运算：加法，数乘，乘法以及分块矩阵求逆。

【要求】

1、 了解矩阵的定义，熟悉几类特殊矩阵（单位矩阵，对角矩阵，上、下三角形矩阵，对

称矩阵，可逆矩阵，伴随矩阵，正交矩阵）的特殊性质。

2、熟悉矩阵的加法，数乘，乘法，转置等运算法则，会求方阵的行列式。

3、熟悉矩阵初等变换与初等矩阵，并知道初等变换与初等矩阵的关系。

4、掌握矩阵可逆的充要条件，会求矩阵的逆矩阵。

5、掌握矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。

6、掌握分块矩阵的概念，运算以及分块矩阵求逆矩阵。

第三部分 向量组的线性相关性

【主要内容】

1、向量、向量组的线性表示：设有单个向量b ，向量组A ：n ααα,,,21 ，向量组B ：

m βββ,,,21 ，则

（1）向量b 可被向量组A 线性表示⇔),,,,(),,,(2121b R R n n αααααα =

（2）向量组B 可被向量组A 线性表示

⇔),,,,,,,(),,,(212121m n n R R βββαααααα =

（3） 向量组A 与向量组B 等价的充分必要条件是：

),,,,,,,(),,,(),,,(21212121m n m n R R R βββαααβββααα ==

（4）基本题型：判断向量b 或向量组B 是否可由向量组A 线性表示？如果能，写出表达式。

解法：以向量组A ：n ααα,,,21 以及向量b 或向量组B :m βββ,,,21 为列向量构成矩阵，并对其进行初等行变换化为简化阶梯型矩阵，最终断定。

2、向量组的线性相关性

判别向量组s ααα,,,21 的线性相关、线性无关的常用方法：

方法一：（1）向量方程02211=+++s s k k k ααα 只有零解⇔向量组s ααα,,,21

线性无关；

（2）向量方程02211=+++s s k k k ααα 有非零解⇔向量组s ααα,,,21 线

性相关。

方法二：求向量组的秩),,,(21s R ααα

（1）秩),,,(21s R ααα 小于个数s ⇔向量组s ααα,,,21 线性相关

（2）秩),,,(21s R ααα 等于个数s ⇔向量组s ααα,,,21 线性无关。

（3）特别的，如果向量组的向量个数与向量的维数相同，

则向量组线性无关⇔以向量组s ααα,,,21 为列向量的矩阵的行列式非零；

向量组线性相关⇔以向量组s ααα,,,21 为列向量的矩阵的行列式为零。

3、向量组的极大无关组的概念（与向量空间的基、齐次线性方程组的基础解系的关系）

及其求法。

基本题型：判断向量组的相关性以及求出向量组的极大无关组。

4、等价向量组的定义、性质、判定。

5、向量组的秩与矩阵的秩之关系。

【要求】

1、掌握向量组、线性组合和线性表示的概念，知道两个向量组等价的含义。

2、掌握向量组线性相关、线性无关的定义，并会判断一个具体向量组的线性相关性。

3、知道向量组的秩与矩阵的秩的关系，会求一个具体向量组的秩及其极大无关组。

4、了解向量空间及其基和维数的概念。

第四部分 线性方程组

【主要内容】

1、齐次线性方程组0=Ax 只有零解⇔系数矩阵A 的秩=未知量个数n ；

2、齐次线性方程组0=Ax 有非零解⇔系数矩阵A 的秩<未知量个数n .

3、非齐次线性方程组b Ax =无解⇔增广矩阵),(b A B =秩≠系数矩阵A 的秩；

4、非齐次线性方程组b Ax =有解⇔增广矩阵),(b A B =秩=系数矩阵A 的秩 特别地，1）增广矩阵),(b A B =的秩=系数矩阵A 的秩=未知量个数n ⇔

非齐次线性方程组b Ax =有唯一解；

2）增广矩阵),(b A B =的秩=系数矩阵A 的秩< 未知量个数n ⇔非齐次

线性方程组b Ax =有无穷多解。