线性代数期末复习提纲解析
线性代数复习提纲
线性代数复习提纲第一章 行列式1、行列式的定义：总项数、每一项构成、符号确定方法(附带:逆序、逆序数、奇排列)。
2、行列式性质：P9—P11六个性质两个推论，按某一行(列)的降阶展开(附带: 余子式、代数余子式)。
3、行列式计算: 一般方法 --化成三角形、降阶展开。
特殊计算：分块三角形--例10）、范德蒙—例12。
4、克拉默法则公式—P22第二章 矩阵及其运算1、概念：矩阵的型(阶)、相等、线性变换。
特殊矩阵：零矩阵、负矩阵、单位矩阵、纯量矩阵、对角矩阵、对称矩阵、逆矩阵、矩阵的行列式、伴随矩阵、奇异矩阵、分块对角矩阵。
2、运算：加法、数乘、转置、矩阵相乘、求伴随矩阵、解矩阵方程。
3、重要定理公式：⑴矩阵乘法：不满足交换律、两个非零矩阵乘积可能为零矩阵、两个对角矩阵的乘积等于以主对角线对应元素乘积为相应元素的对角矩阵。
⑵转置：T T T T T T T T T T A B AB A A B A B A A A ==+=+=)(,)(,)(,)(λλ，O A A O A T =⇔= ⑶方阵的行列式：B A AB A A BA AB A An T ====,,,λλ，A A A A n 111*==--， ⑷伴随矩阵：E A A A AA ==**，*11*)()(--=A A⑸逆矩阵基本公式：*11 0A AA A A =≠⇔-此时有，可逆方阵 ⑹逆矩阵运算公式：T T A A AB AB A A A A )()()(,1)(,)(111111111---------====λλ ⑺二阶方阵逆矩阵公式：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-a c b d bc ad d c ba 1)(1 ⑻分块对角矩阵的逆等于每一块分别取逆。
特别的，对角矩阵的逆等于主对角线每个元素取倒数。
⑼一元矩阵多项式)(A f 可以象字母多项式)(x f 那样分解为因式的乘积，并且各因式顺序可以交换。
第三章 矩阵的初等变换1、概念：三种初等行变换（列变换）的定义和相应记号、对应的三种初等矩阵。
线性代数复习提纲
线性代数复习提纲线性代数是数学中的一个基础课程，涵盖了向量空间、线性变换、矩阵理论等内容。
它在计算机科学、物理学、经济学和工程学等领域都有广泛的应用。
下面是线性代数的复习提纲，帮助你回顾相关的知识点。
一、向量空间1.向量的定义和性质2.向量空间的定义和性质3.子空间的定义和判断条件4.向量的线性相关性与线性无关性5.基和维数的概念二、线性变换1.线性变换的定义和性质2.线性变换的矩阵表示3.线性变换的核与像空间4.线性变换的维数公式5.线性变换的复合与逆变换三、矩阵理论1.矩阵的定义和性质2.矩阵的运算：加法、数乘、乘法3.矩阵的逆与转置运算4.矩阵的秩和行列式5.矩阵的特征值与特征向量四、特殊矩阵和特征值问题1.对称矩阵的性质和对角化2.可逆矩阵与相似矩阵3.正交矩阵与正交对角化4.特征值问题的求解方法五、解线性方程组1.线性方程组的矩阵表示2.高斯消元法与矩阵的初等变换3.初等矩阵的性质与应用4.齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解的结构六、向量空间的基变换1.基变换的定义和性质2.过渡矩阵的求解3.变换矩阵的求解与应用4.基变换下的坐标表示和坐标变换公式七、内积空间和正交性1.内积的定义和性质2.内积空间的定义和性质3.正交基和正交投影4.标准正交基和正交矩阵的定义和性质八、二次型与正定性1.二次型的定义和性质2.二次型的矩阵表示和标准化3.正定二次型和半正定二次型的定义和性质4.二次型的规范形和合同变换以上是线性代数的复习提纲，可以通过对每个知识点的回顾、理解和练习来复习线性代数。
在复习过程中，可以结合教材、习题和课堂笔记，通过解题和思考来巩固知识点的掌握。
另外，可以参考相关的教学视频或在线课程来帮助理解和学习线性代数的概念和方法。
最重要的是多做习题，加深对知识点的理解和应用。
线性代数本科期末考试重点资料
本学期线性代数课程的考试要点：第一章一、二阶行列式定义及其计算――对角线法则，利用行列式性质化为上（下）三角形行列式，利用展开定理进行计算（注意记号的正确写法）；二、数码排列的逆序数的计算；三、n 阶行列式的定义及其计算――利用行列式性质化为上（下）三角形行列式，利用展开定理进行计算（注意记号的正确写法）；四、行列式的展开定理的有关结论。
第二章一、矩阵的概念及其有关运算（加，减，数乘，矩阵相乘，逆矩阵，方阵的行列式，方阵的幂乘）（矩阵相乘一般不满足交换律，必须注意是左乘还是右乘）二、逆矩阵的定义及有关概念和有关结论；三、逆矩阵存在的充要条件；四、矩阵的初等变换（主要是初等行变换）；五、行阶梯形矩阵和行最简形矩阵的定义；六、如何利用矩阵的初等行变换将一个矩阵化为行阶梯形和行最简形；七、初等矩阵的概念；八、矩阵的秩的概念；九、如何利用矩阵的初等行变换：（1）求出可逆矩阵的逆矩阵；（2）求解矩阵方程；（3）确定所给矩阵的秩。
第三章一、方程组的系数矩阵和增广矩阵的概念；二、如何利用矩阵的初等行变换判定齐次线性方程组是否有非零解；三、如何利用矩阵的初等行变换判定非齐次线性方程组是否有解；有解时是唯一解还是无穷多解；四、向量的线性组合、线性表示、线性相关、线性无关的概念；五、如何利用矩阵的初等行变换判定向量组：（1）求出所给向量组的秩；（2）判定向量组是否线性相关；（3）求出向量组的极大无关组；（4）求出不在极大无关组中的向量由极大无关组向量线性表示的表达式。
六、解向量、解空间、基础解系的概念；七、如何利用矩阵的初等行变换求解线性方程组：（1）求出齐次线性方程组的基础解系和通解的表达式；（2）求出非齐次线性方程组的一个特解，求出相应的齐次线性方程组的基础解系，最后，利用基础解系写出非齐次线性方程组的通解的表达式。
第四章一、如何求出所给矩阵的特征值和特征向量。
线性代数期末复习提纲
n
n
(A)
a ij Aij 0
(B)
aij Aij 0
i1
j1
n
(C)
aij Aij D
(D)
j1
n
ai1 Ai 2 D
i1
7、设 A, B 均为 n阶可逆矩阵，则下列各式成立的是
（ A） ( AB)T BT AT
(B)
(C) AB BA
(D)
(AB) 1 A 1B 1 AB A B
8、设 A 为 3 阶方阵，且行列式 A 1 ，则 2A
【主要内容】 1、向量的内积、长度、夹角等概念及其计算方法。 2、向量的正交关系及正交向量组的含义。 3、施密特正交化方法。 4、方阵的特征值与特征向量的概念及其计算方法。
（ 1）特征值求法：解特征方程 A E 0 ；
（ 2）特征向量的求法：求方程组 A E X 0 的基础解系。
5、相似矩阵的定义 （ P 1 AP B ）、性质 ( A, B 相似
第四部分 线性方程组 【主要内容】
1、齐次线性方程组 Ax 0 只有零解 系数矩阵 A 的秩 未知量个数 n； 2、齐次线性方程组 Ax 0 有非零解 系数矩阵 A 的秩 未知量个数 n. 3、非齐次线性方程组 Ax b 无解 增广矩阵 B ( A, b) 秩 系数矩阵 A 的秩；
4、非齐次线性方程组 Ax b 有解 增广矩阵 B ( A, b) 秩 系数矩阵 A 的秩
即得二次型的标准形 f
1 y1 2
2 y2 2
n yn2
8、正定二次型的定义及其判定方法 常用判定二次型正定的方法： （ 1）定义法 （ 2）特征值全大于零 （ 3）顺序主子式全大于零
【要求】 1 、掌握向量的内积、长度、夹角，正交向量组的性质，会利用施密特正交化方法化线 性无关向量组为正交向量组。 2、掌握方阵特征值、特征向量的概念、求法， 3、了解相似矩阵的概念、掌握化对称矩阵为对角矩阵的方法。 4、掌握二次型的概念、会用正交变换化二次型为标准形。 5、了解二次型的分类，知道正定二次型等概念及其判定方法。
线性代数总复习大纲及复习题
04-05(2) 线性代数总复习大纲及复习题： 一、 概念1、 行列式的 定义2、 向量组相关与无关的定义3、 对称阵与反对称阵4、 可逆矩阵5、 矩阵的伴随矩阵6、 基与向量的坐标7、 矩阵的特征值与特征向量 8、 正定矩阵 9、 矩阵的迹 10、 矩阵的秩 11、 矩阵的合同 12、 二次型与矩阵13、 齐次线性方程组的基础解系 二、 性质与结论1、 与向量组相关与无关相关的等价结论2、 行列式的性质3、 克莱姆规则（齐次线性方程组有非零解的充要条件）4、 矩阵可逆的充要条件及逆矩阵的性质5、 初等变换与初等矩阵的关系6、A A A A A E **==7、 n 维向量空间坐标变换公式 8、 相似矩阵的性质 9、 合同变换10、 矩阵正定的充要条件11、 线性方程组解的性质与结构定理 三、复习题及参考答案1．若三阶行列式1231122331232226a a a b a b a b a c c c ---=，则 123123123a a ab b bc c c = 12 2．若方程组123123123000tx x x x tx x x x tx ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则t=⎽⎽⎽⎽1⎽⎽⎽。
3．已知齐次线性方程组32023020x y x y x y z λ+=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩仅有零解，则λ≠ 04．已知三阶行列式D=123312231，则元素12a =2的代数，余子式12A = -1 ；3.若n 阶矩阵A 、B 、C 满足ABC=E （其中E 为n 阶可逆阵），则BCA=E 。
（ 对 ）4.行列式002002316.02342345= （ 对 ） 5.对向量1234,,,αααα，如果其中任意两个向量都线性无关，则1234,,,αααα线性无关。
（ 错 ）6. 如果A 是n 阶矩阵且0A =，则A 的列向量中至少有一个向量是其余各列向量的线性组合。
（ 对 ）7. 向量组s ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是其中任一部分向量组都线性无关。
线性代数期末复习要点
注：一般而言， 1o ( AB)k Ak Bk ， 正确： ( AB)k (AB)(A B)( AB) ；
k个
2o ( A B)(A B) A2 B2， 正确： ( A B)(A B) A2 AB BA B2 ；
3o ( A B)2 A2 2AB B2 ， 正确： ( A B)2 A2 AB BA B2 。
A22
An
2
A2n
Ann
称为
A
的伴随矩阵。
2、n 阶方阵可逆的充要条件：
A
0
A 可逆，且 A1
1 A
A 。
3、逆矩阵的性质： 1o ( A1 )1 A ； 3o ( AT )1 ( A1 )T ；
4、伴随矩阵的性质：
2o ( AB)1 B1 A1 ；
4o
(kA)1
1 k
A1
（k
1、 Ax 0的基础解系：解向量组的一个极大无关组。
2、 Ax 0解的定理：只有当 R( A) r n 时，才存在基础解 系，且 n r 个线性无关的解向量组成的向量组 v1、v2、、vnr 是 Ax 0的基础解系，其线性组合
v c1v1 c2v2 cnrvnr 是 Ax 0的全部解。 3、基础解系的求法：
组有且仅有唯一解，且
xj
Dj D
（ j 1,2,, n ）
注：齐次线性方程组有非零解 D 0。 （逆否命题：齐次线性方程组仅有零解 D 0。）
第二章 矩阵
一、矩阵的定义：矩形数表。
二、矩阵的运算
1、矩阵的加法、减法：只有同型矩阵才可以进行加减运算。
2、数与矩阵的乘法：数与矩阵的乘法是数与矩阵每一个元 素相乘；而数与行列式的乘积是数与行列式中某一行（列） 的每一个元素相乘。
《线性代数》复习提纲
《线性代数》复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）四阶行列式的计算；N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性。
第二部分：基本知识一、行列式1．行列式的定义用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。
（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；2．行列式的计算一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则；N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。
特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为0的几种情况：Ⅰ行列式某行（列）元素全为0；Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同；Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例；Ⅳ奇数阶的反对称行列式。
二．矩阵1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）；②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|；④|kA|=k^n|A|3．矩阵的秩（1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。
线性代数复习提纲
1.1二阶、三阶行列式了解二阶、三阶行列式的概念;熟练掌握其计算方法..1.2排列了解排列、正逆序数、奇偶排列、对换的概念;熟练掌握逆序数的计算方法、3个定理1.3n阶行列式了解n阶行列式的定义和由二阶、三阶行列式展开式的特点导出的一般规律；;掌握用定义计算特殊n阶行列式的方法;熟记三角形行列式的计算结果..1.4行列式的性质熟练掌握行列式的运算性质;并应用它们进行行列式的运算..转置行列式的概念；行列式的5个性质和两个推论1.5行列式按行列展开掌握余子式和代数余子式的概念;熟练掌握行列式按行列展开的方法..三阶行列式按行列展开式；余子式和代数余子式的概念；行列式按行列展开定理;范德蒙行列式1.6克拉默法则掌握线性方程组解的克拉默运算法则;掌握用克拉默法则判断齐次线性方程组仅有零解和有非零解的方法..1.7数域掌握数域的定义..2.1消元法了解线性方程组的消元解法;熟练掌握矩阵的初等变换方法;熟练掌握用矩阵的初等变换法解线性方程组以及判断方程组无解、有解唯一解、无穷多解的方法..2.2n维向量空间了解向量的定义;掌握向量的运算;熟悉线性方程组的向量表达形式..向量的有关概念；向量的运算法则；n维向量空间的概念；线性方程组的向量表达形式2.3向量间的线性关系掌握向量的线性组合概念;熟练掌握一个向量可由其它向量线性表示的方法;熟练掌握向量组线性相关和线性无关的概念、理论和方法..向量的线性组合概念；判断一个向量可由其它向量线性表示的方法；向量组线性相关和线性无关的概念；判断向量组线性相关和线性无关的方法；判断向量组线性相关和线性无关的一些结论；5个定理2.4向量组的秩了解向量组极大无关组的概念;掌握等价向量组的概念和性质;掌握向量组秩的概念与相关结论..2.5矩阵的秩了解矩阵的秩的概念;熟练掌握求向量组极大无关组的方法;熟练掌握求向量组秩和矩阵秩的方法..矩阵的行秩与列秩的概念；矩阵子式的概念；矩阵秩的概念；求向量组极大无关组、向量组秩、矩阵秩的方法；2.6线性方程组解的判定掌握非齐次线性方程组有无解、有唯一解、无穷多解的判定方法;熟练掌握齐次线性方程组有非零解解、只有零解判定方法..非齐次线性方程组有无解判定方法定理1；非齐次线性方程组有唯一解、无穷多解的判定方法定理2；齐次线性方程组有非零解解、只有零解判定方法推论1、22.7线性方程组解的结构熟练掌握基础解系的概念;熟练掌握用基础解系表示方程组解的方法..齐次线性方程组解的两个性质；齐次线性方程组基础解系的概念;特别强调基础解系中含解向量个数与未知量个数和系数矩阵秩间的关系；齐次线性方程组解的基础解系表示法；非齐次线性方程组与齐次线性方程组解间的关系；非齐次线性方程组解的基础解系表示法；3.1-3.2矩阵的概念与运算了解矩阵的概念;熟练掌握矩阵的加法、数与矩阵的乘法、乘法、转置、行列式的运算法则和相应的性质..矩阵的定义以及几种特殊矩阵；矩阵的加法法则和对应的性质；数与矩阵的乘法法则和对应的性质；矩阵的乘法法则和对应的性质；矩阵的转置概念和对应的性质；矩阵行列式概念和对应的性质3.3可逆矩阵理解可逆矩阵的概念;了解伴随矩阵的概念;熟练掌握用伴随矩阵求可逆矩阵的逆矩阵的方法..3.4矩阵的分块了解分块矩阵的概念以及矩阵分块的原则;熟练掌握分块矩阵的运算法则..3.5初等矩阵理解三种初等矩阵的概念;掌握初等矩阵在矩阵乘法运算中的作用;熟练掌握利用初等变换求可逆矩阵的方法..三种初等矩阵的概念和它们在矩阵乘法运算中的作用；任意矩阵经过有限次初等变换化成的标准型；可逆矩阵与初等矩阵间的关系定理；利用初等变换求可逆矩阵的方法3.6常见的特殊矩阵了解对角矩阵、准对角矩阵、三角形矩阵、对称矩阵、反对称矩阵的概念和运算性质..4.1向量空间了解向量空间的概念和性质;了解向量空间基以及向量在基下坐标的概念..4.2向量的内积了解内积的概念;掌握内积的性质;熟练掌握n维向量空间两向量内积的坐标表示法;会求向量长度和向量单位化;了解正交向量组的概念;理解标准正交基的概念;熟练掌握向量组的施密特正交化过程..向量内积的概念和性质；n维向量空间两向量内积的坐标表示法；单位向量的概念和向量单位化；正交向量组的概念；正交基、标准正交基的概念；向量组的施密特正交化过程4.3正交矩阵了解正交矩阵的概念;熟练掌握其性质..5.1矩阵的特征值与特征向量了解矩阵特征值与特征向量的概念;熟练掌握求矩阵特征值与特征向量的方法;熟练掌握特征值与特征向量的性质；了解矩阵迹的概念与性质..矩阵特征值与特征向量的概念；求矩阵特征值与特征向量的方法；矩阵特征值与特征向量的性质；矩阵迹的概念与性质；5.2相似矩阵和矩阵对角化的条件了解相似矩阵的概念;掌握相似矩阵的性质;熟练掌握矩阵对角化的条件和对角化的方法.. 5.3实对称矩阵的对角化了解实对称矩阵特征值与特征向量的性质;熟练掌握实对称矩阵对角化的方法..。
线性代数期末复习知识点参考
行列式1. 行列式的性质性质1 行列式与它的转置行列式相等T D D =.性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号.推论1 如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式的值为零.性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式.如111213111213212223212223313233313233a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a = 推论2 如果行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值为零．性质4 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和.如111213111213111213212122222323212223212223313233313233313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''''''+++=+ 性质5 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变.如111213111213212223212223313233311132123313a a a a a a a a a a a a a a a a ka a ka a ka =+++例1 已知，那么（ ）A.-24B.-12C.-6D.12 答案 B解析2. 余子式与代数余子式在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij M ，i jij ij A (1)M +=-叫做元素ij a 的代数余子式．3. 行列式按行（列）展开法则定理1 行列式的值等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即1122i i i i in in D a A a A a A =+++或 1122j j j j nj nj D a A a A a A =+++()1,2,,;1,2i n j n ==定理2 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即12120,j j i i jn i n a A a A a A +++=或,11220.j j j j nj nj a A a A a A i j +++=≠()1,2,,;1,2i n j n ==例.设3阶矩阵()ij A a =的行列式12A =,ij A 为ij a 的代数余子式.那么313132323333a A a A a A ++=___12____; 213122322333a A a A a A ++=___0___.4. 行列式的计算（1）二阶行列式1112112212212122a a a a a a a a =- （3）对角行列式1212n nλλλλλλ=，n(m 1)21212n n(1)λλλλλλ-=-（4）三角行列式1111121n 2122222n 1122nn n1n2nnnna a a a a a a a a a a a a a a ==（5）消元法：利用行列式的性质，将行列式化成三角行列式，从而求出行列式的值.（6）降阶法：利用行列式的性质，化某行（列）(一般选择有0元素的行或列)只有一个非零元素，再按该行（列）展开，通过降低行列式的阶数求出行列式的值.（7）加边法：行列式每行（列）所有元素的和相等，将各行（列）元素加到第一列（行），再提出公因式，进而求出行列式的值.例：思路：将有0的第三行化为只有一个非0元素a 33=1，按该行展开,D=a 33A 33,不用忘记a 33。
《线性代数学习提纲及知识点》
《线性代数学习提纲及知识点》第一章 行列式 本章学习提纲：一、二阶、三阶行列式的计算及n 阶行列式的计算公式。
二、行列式的性质及应用 三、克莱姆法则。
本章重点：三阶行列式的计算。
本章难点：应用行列式的性质计算行列式 知识点：一、1、二阶行列式 用记号22211211a a a a 表示代数和21122211a a a a -，称为二阶行列式。
即22211211a a a a =21122211a a a a -例1计算二阶行列式()1331252315=⨯--⨯=- 例2计算二阶行列式 b a ab baba2222-=2、三阶行列式 计算公式如下333231232221131211a a a a a a a a a =312213332112322311322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++例3计算三阶行列式()()584810642105103043152601601504321-=--=⨯⨯-⨯⨯--⨯⨯-⨯⨯+-⨯⨯+⨯⨯=-例4、计算三阶行列式()()70000125140130105000143151140053101-=---+-=⨯⨯-⨯⨯--⨯⨯-⨯⨯+-⨯⨯+⨯⨯=-3、n 阶行列式的定义：用2n 个元素()n j i a ij ,,2,1, =组成的记号nnn n nna a a a a a a a a212222111211称为n 阶行列式，其中横排成为行，纵排称为列。
ij a 称为第i 行第j 列的元素，n 阶行列式表示所有可能取自不同的行，不同的列的n 个元素乘积的代数和。
一般项可以表示为()()n n nj j j j j j N a a a 2121211-二、行列式的性质将行列式D 的行与列互换后得到的行列式，称为D 的转置行列式。
记为TD 即nnn nn n Tnnn n n n a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D212221212111212222111211==则性质1、将行列式转置，行列式的值不变。
线代期末重点总结
线代期末重点总结一、向量空间1. 向量空间定义向量空间是指具有加法和标量乘法运算的集合，满足一定条件。
a) 任意向量 u、v 属于向量空间 V，有 u + v 属于 V。
b) 任意标量 k 和向量 u 属于 V，有 k * u 属于 V。
c) 向量加法满足交换律、结合律和存在零向量的性质。
d) 标量乘法满足结合律和分配律的性质。
2. 子空间集合 V 的一个子集 W 是 V 的子空间，如果 W 本身也是向量空间。
a) 非空集合 W 对于向量加法和标量乘法封闭。
b) 非空集合 W 包含零向量，即原空间中的零向量也属于子空间 W。
c) 非空集合 W 对于向量加法和标量乘法满足分配律和结合律的性质。
3. 线性相关与线性无关a) 如果存在非零向量 c1, c2, ..., cn，使得线性组合 a1c1 + a2c2 + ... + ancn = 0，其中 ai 是标量，那么称向量组 c1, c2, ..., cn 线性相关。
b) 如果向量组 c1, c2, ..., cn 不是线性相关，那么称它们线性无关。
4. 基与维数a) 如果向量组 v1, v2, ..., vn 线性无关，并且能够生成向量空间 V，那么称它们是 V 的一个基。
b) 向量空间 V 中的向量个数称为维数，记作 dim(V)。
c) 如果 V 的一个基含有 n 个向量，则维数 dim(V) = n。
5. 线性变换线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射。
a) 线性变换必须满足保持向量加法性质：T(u + v) = T(u) + T(v)。
b) 线性变换必须满足保持标量乘法性质：T(k * u) = k * T(u)。
二、矩阵表示和运算1. 矩阵表示a) 矩阵是一个二维数组，由若干个行和列组成。
b) 行向量和列向量可用矩阵表示。
c) 线性变换可用矩阵表示。
2. 矩阵乘法a) 两个矩阵 A(m × n) 和 B(n × p) 的乘积 C(m × p) 定义为 C_ij = sum(A_ik * B_kj)，其中 i = 1, ..., m；j = 1, ..., p。
《线性代数》学习提纲汇总
《线性代数》学习提纲说明：《线性代数》是一门普通的基础理论课，它被广泛地应用于科技的各个领域，尤其在计算机日益普及的今天，求解线性方程组等问题已成为研究科技问题经常遇到的课题。
《线性代数》重点研究应用科学中常用的矩阵法，线性方程组的基本知识，另外行列式也是一个有力的工具，在讨论上述问题时都要用到。
《线性代数》的特点，既有繁琐和技巧性很强的数字计算，又有抽象的概念和逻辑推理，在学习中，需要特别加强这两个方面的训练。
任何学习，预习都是非常关键的。
希望大家能按照下列提纲把课本过几遍，这样在听课学习的时候就会有事半功倍的效果了。
第一章行列式1.1 行列式的定义1.1.1 二阶、三阶和n阶行列式的定义1.1.2 余子式、代数余子式的定义1.2 行列式的展开1.2.1 行列式按某一行（列）的展开式1.2.2 上（下）三角行列式的定义1.3 行列式的性质与计算1.3.1 行列式的一些性质、定理和推论1.3.2 行列式的计算1.4 克拉默法则1.5 本章小结第二章矩阵2.1 线性方程组与矩阵的定义2.1.1 线性方程组、方程组的解、同解方程组、线性方程组的初等变换 2.1.2 矩阵的阶、矩阵的主对角线、对角元、特殊矩阵（零矩阵、单位矩阵等）2.2 矩阵运算2.2.1 矩阵的相等2.2.2 矩阵的加减运算2.2.3 数与矩阵的乘法运算2.2.4 矩阵的乘法运算2.2.5 矩阵的转置2.2.6 方阵的行列式2.2.7 方阵的多项式2.3 方阵的逆矩阵2.3.1 可逆（非奇异）矩阵、逆矩阵、不可逆（奇异）矩阵、伴随矩阵的定义2.3.2 可逆矩阵的基本性质2.4 分块矩阵2.4.1 矩阵的子块（子矩阵）、方块矩阵、块行（列）的定义2.4.2 分块矩阵的加法2.4.3 数乘分块矩阵2.4.4 分块矩阵的转置2.4.5 分块矩阵的乘法和分块方阵求逆2.5 矩阵的初等变换与初等方阵2.5.1 初等行（列）变换2.5.2 初等方阵2.5.3 矩阵的等价标准形2.5.4 用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵2.5.5 用矩阵的初等变换求解矩阵方程2.6 矩阵的秩2.7 矩阵与线性方程组2.8 本章小结第三章向量与向量空间3.1 n维向量的概念及其线性运算3.1.1 n维向量及其线性运算3.1.2 向量的线性组合、线性表示、线性表出等概念3.2 线性相关与线性无关3.2.1 线性相关性、线性无关性的概念3.2.2 求相关系数的方法、两个重要的结论3.2.3 线性相关性的若干基本定理3.3 向量组的秩3.3.1 向量组的极大线性无关组3.3.2 向量组的秩3.4 向量空间3.4.1 向量空间的概念3.4.2 子空间、生成子空间3.4.3 基与维数以及坐标3.5 本章小结第四章线性方程组4.1 齐次线性方程组4.1.1 齐次线性方程组的解、基础解系4.1.2 齐次线性方程组的通解的求法4.2 非齐次线性方程组4.2.1 非齐次线性方程组有解的条件4.2.2 非齐次线性方程组的解的结构4.2.3 非齐次线性方程组的求通解的方法4.3 本章小结第五章特征值与特征向量5.1 特征值与特征向量5.1.1 特征值与特征向量的定义5.1.2 关于特征值和特征向量的若干结论5.1.3 关于求特征值和特征向量的一般方法5.2 方阵的相似变换5.3 向量内积和正交矩阵5.3.1 向量内积5.3.2 正交矩阵5.4 实对称矩阵的相似标准形5.4.1 矩阵的正交相似、对称矩阵的基本定理、矩阵的正交相似标准形5.5 本章小结第六章实二次型6.1 实二次型及其标准形6.1.1 实二次型的定义6.1.2 二次型的标准形、可逆线性变换、合同的定义6.1.3 用配方法求二次型的标准型6.1.4 二次型的规范形6.2 正定二次型和正定矩阵6.2.1 实二次型的分类6.2.2 正定矩阵6.3 本章小结作业: 课后习题。
线性代数考试复习提纲、知识点、例题
线性代数考试复习提纲、知识点、例题一、行列式的计算（重点考四阶行列式）1、利用行列式的性质化成三角行列式行列式的性质可概括为五条性质、四条推论，即七种变形手段（转置、交换、倍乘、提取、拆分、合并、倍加）；三个为0【两行（列）相同、成比例、一行（列）全为0】2、行列式按行（列）展开定理降阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数xx 乘积之和，即1122...i i i i ni ni D a A a A a A =+++ 1,2,...,i n = 例1、计算行列式二、解矩阵方程矩阵方程的标准形式：若系数矩阵可逆，则切记不能写成或求逆矩阵的方法：1、待定系数法2、伴随矩阵法其中叫做的伴随矩阵，它是的每一行的元素的代数xx 排在相同序数的列上的矩阵。
112111222212.....................n n n n nn A A A A A A A A A A *⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭3、初等变换法例2、解矩阵方程例3、解矩阵方程 ，其中三、解齐次或非齐次线性方程组设，元齐次线性方程组有非零解元齐次线性方程组只有零解。
当时，元齐次线性方程组只有零解。
当时，元齐次线性方程组有非零解。
当时，齐次线性方程组一定有非零解。
定义：设齐次线性方程组的解满足：（1） 线性无关，（2）的每一个解都可以由线性表示。
则叫做的基础解系。
定理1、设，齐次线性方程组，若，则该方程组的基础解系一定存在，且每一个基础解系中所含解向量的个数都等于。
齐次线性方程组的通解设，元非齐次线性方程组有解。
唯一解。
无数解。
无解。
非齐次线性方程组的通解，例4、求齐次线性方程组的通解例5、求非齐次线性方程组的通解。
四、含参数的齐次或非齐次线性方程组的解的讨论例6、当为何值时，齐次线性方程组有非零解，并求解。
例7、已知线性方程组，问当为何值时，它有唯一解，无解，无穷多解，并在有无穷多解时求解。
五、向量组的线性相关性线性相关中至少存在一个向量能由其余向量线性表示。
线性代数期末复习提纲
★ 线性代数基本内容、方法及要求第一部分 行列式【主要内容】1、行列式的定义、性质、展开定理、及其应用——克莱姆法则2、排列与逆序3、方阵的行列式4、几个重要公式：（1）T A A =； （2）AA 11=-； （3）A k kA n =； （4）1*-=n A A ； （5）B A AB =； （6）B A BA B A ==0**0； （7）⎩⎨⎧≠==∑=j i j i A A a ni ij ij ，，01 ； （8）⎩⎨⎧≠==∑=j i j i A A a n j ij ij ，，01（其中B A ,为n 阶方阵，k 为常数）5、行列式的常见计算方法：（1）利用性质化行列式为上（下）三角形；（2）利用行列式的展开定理降阶；（3）根据行列式的特点借助特殊行列式的值【要求】1、了解行列式的定义，熟记几个特殊行列式的值。
2、掌握排列与逆序的定义，会求一个排列的逆序数。
3、能熟练应用行列式的性质、展开法则准确计算3-5阶行列式的值。
4、会计算简单的n 阶行列式。
5、知道并会用克莱姆法则。
第二部分 矩阵【主要内容】1、矩阵的概念、运算性质、特殊矩阵及其性质。
2、方阵的行列式3、可逆矩阵的定义、性质、求法（公式法、初等变换法、分块对角阵求逆）。
4、n 阶矩阵A 可逆⇔0≠A ⇔A 为非奇异(非退化)的矩阵。
⇔n A R =)(⇔A 为满秩矩阵。
⇔0=AX 只有零解⇔b AX =有唯一解⇔A 的行（列）向量组线性无关 ⇔A 的特征值全不为零。
⇔A 可以经过初等变换化为单位矩阵。
⇔A 可以表示成一系列初等矩阵的乘积。
5、矩阵的初等变换与初等矩阵的定义、性质及其二者之间的关系。
6、矩阵秩的概念及其求法（（1）定义法；（2）初等变换法）。
7、矩阵的分块，分块矩阵的运算：加法，数乘，乘法以及分块矩阵求逆。
【要求】1、 了解矩阵的定义，熟悉几类特殊矩阵（单位矩阵，对角矩阵，上、下三角形矩阵，对称矩阵，可逆矩阵，伴随矩阵，正交矩阵）的特殊性质。
线性代数复习提纲
《线性代数》复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）四阶行列式的计算；N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性。
第二部分：基本知识一、行列式1．行列式的定义用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。
（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；2．行列式的计算一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则；N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。
特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为0的几种情况：Ⅰ行列式某行（列）元素全为0；Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同；Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例；Ⅳ奇数阶的反对称行列式。
二．矩阵1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）；②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|；④|kA|=k^n|A|3．矩阵的秩（1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。
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★ 线性代数基本内容、方法及要求第一部分 行列式【主要内容】1、行列式的定义、性质、展开定理、及其应用——克莱姆法则2、排列与逆序3、方阵的行列式4、几个重要公式：（1）T A A =； （2）AA 11=-； （3）A k kA n =； （4）1*-=n A A ； （5）B A AB =； （6）B A B A B A ==0**0；（7）⎩⎨⎧≠==∑=j i j i A A a ni ij ij ，，01 ； （8）⎩⎨⎧≠==∑=j i j i A A a n j ij ij ，，01（其中B A ,为n 阶方阵，k 为常数）5、行列式的常见计算方法：（1）利用性质化行列式为上（下）三角形；（2）利用行列式的展开定理降阶；（3）根据行列式的特点借助特殊行列式的值【要求】1、了解行列式的定义，熟记几个特殊行列式的值。
2、掌握排列与逆序的定义，会求一个排列的逆序数。
3、能熟练应用行列式的性质、展开法则准确计算3-5阶行列式的值。
4、会计算简单的n 阶行列式。
5、知道并会用克莱姆法则。
第二部分 矩阵【主要内容】1、矩阵的概念、运算性质、特殊矩阵及其性质。
2、方阵的行列式3、可逆矩阵的定义、性质、求法（公式法、初等变换法、分块对角阵求逆）。
4、n 阶矩阵A 可逆⇔0≠A ⇔A 为非奇异(非退化)的矩阵。
⇔n A R =)(⇔A 为满秩矩阵。
⇔0=AX 只有零解⇔b AX =有唯一解⇔A 的行（列）向量组线性无关⇔A 的特征值全不为零。
⇔A 可以经过初等变换化为单位矩阵。
⇔A 可以表示成一系列初等矩阵的乘积。
5、矩阵的初等变换与初等矩阵的定义、性质及其二者之间的关系。
6、矩阵秩的概念及其求法（（1）定义法；（2）初等变换法）。
7、矩阵的分块，分块矩阵的运算：加法，数乘，乘法以及分块矩阵求逆。
【要求】1、 了解矩阵的定义，熟悉几类特殊矩阵（单位矩阵，对角矩阵，上、下三角形矩阵，对称矩阵，可逆矩阵，伴随矩阵，正交矩阵）的特殊性质。
2、熟悉矩阵的加法，数乘，乘法，转置等运算法则，会求方阵的行列式。
3、熟悉矩阵初等变换与初等矩阵，并知道初等变换与初等矩阵的关系。
4、掌握矩阵可逆的充要条件，会求矩阵的逆矩阵。
5、掌握矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。
6、掌握分块矩阵的概念，运算以及分块矩阵求逆矩阵。
第三部分 向量组的线性相关性【主要内容】1、向量、向量组的线性表示：设有单个向量b ，向量组A ：n ααα,,,21 ，向量组B ：m βββ,,,21 ，则（1）向量b 可被向量组A 线性表示⇔),,,,(),,,(2121b R R n n αααααα =（2）向量组B 可被向量组A 线性表示⇔),,,,,,,(),,,(212121m n n R R βββαααααα =（3） 向量组A 与向量组B 等价的充分必要条件是：),,,,,,,(),,,(),,,(21212121m n m n R R R βββαααβββααα ==（4）基本题型：判断向量b 或向量组B 是否可由向量组A 线性表示？如果能，写出表达式。
解法：以向量组A ：n ααα,,,21 以及向量b 或向量组B :m βββ,,,21 为列向量构成矩阵，并对其进行初等行变换化为简化阶梯型矩阵，最终断定。
2、向量组的线性相关性判别向量组s ααα,,,21 的线性相关、线性无关的常用方法：方法一：（1）向量方程02211=+++s s k k k ααα 只有零解⇔向量组s ααα,,,21线性无关；（2）向量方程02211=+++s s k k k ααα 有非零解⇔向量组s ααα,,,21 线性相关。
方法二：求向量组的秩),,,(21s R ααα（1）秩),,,(21s R ααα 小于个数s ⇔向量组s ααα,,,21 线性相关（2）秩),,,(21s R ααα 等于个数s ⇔向量组s ααα,,,21 线性无关。
（3）特别的，如果向量组的向量个数与向量的维数相同，则向量组线性无关⇔以向量组s ααα,,,21 为列向量的矩阵的行列式非零；向量组线性相关⇔以向量组s ααα,,,21 为列向量的矩阵的行列式为零。
3、向量组的极大无关组的概念（与向量空间的基、齐次线性方程组的基础解系的关系）及其求法。
基本题型：判断向量组的相关性以及求出向量组的极大无关组。
4、等价向量组的定义、性质、判定。
5、向量组的秩与矩阵的秩之关系。
【要求】1、掌握向量组、线性组合和线性表示的概念，知道两个向量组等价的含义。
2、掌握向量组线性相关、线性无关的定义，并会判断一个具体向量组的线性相关性。
3、知道向量组的秩与矩阵的秩的关系，会求一个具体向量组的秩及其极大无关组。
4、了解向量空间及其基和维数的概念。
第四部分 线性方程组【主要内容】1、齐次线性方程组0=Ax 只有零解⇔系数矩阵A 的秩=未知量个数n ；2、齐次线性方程组0=Ax 有非零解⇔系数矩阵A 的秩<未知量个数n .3、非齐次线性方程组b Ax =无解⇔增广矩阵),(b A B =秩≠系数矩阵A 的秩；4、非齐次线性方程组b Ax =有解⇔增广矩阵),(b A B =秩=系数矩阵A 的秩 特别地，1）增广矩阵),(b A B =的秩=系数矩阵A 的秩=未知量个数n ⇔非齐次线性方程组b Ax =有唯一解；2）增广矩阵),(b A B =的秩=系数矩阵A 的秩< 未知量个数n ⇔非齐次线性方程组b Ax =有无穷多解。
【要求】1、掌握齐次线性方程组解的性质、基础解系的求法，2、掌握非齐次线性方程组解的结构，熟悉非齐次线性方程组有解的等价条件。
3、知道齐次与非齐次线性方程组的解之间的关系。
4、会求解非齐次线性方程组。
第五部分 相似矩阵及二次型【主要内容】1、向量的内积、长度、夹角等概念及其计算方法。
2、向量的正交关系及正交向量组的含义。
3、施密特正交化方法。
4、方阵的特征值与特征向量的概念及其计算方法。
（1）特征值求法：解特征方程0=-E A λ；（2）特征向量的求法：求方程组()0=-X E A λ的基础解系。
5、相似矩阵的定义（B AP P =-1）、性质(B A ,相似)()(B R A R =→、B A =、BA ,有相同的特征值)。
6、判断矩阵是否可以对角化以及对角化的步骤，找到可逆矩阵P 使得AP P 1-为对角矩阵。
7、用正交变换法化二次型为标准形的步骤:（将实对称矩阵对角化）（1）写出二次型的矩阵A .（2）求出A 的所有特征值n λλλ,,,21（3）解方程组0)(=-X A E i λ（n i ,,2,1 =）求对应于特征值n λλλ,,,21 的特征向量n ξξξ,,,21（4）若特征向量组n ξξξ,,,21 不正交，则先将其正交化，再单位化，得标准正交的向量组n ηηη,,,21 ，记),,,(21n P ηηη =，对二次型做正交变换Py x =,即得二次型的标准形2222211n n y y y f λλλ+++=8、正定二次型的定义及其判定方法常用判定二次型正定的方法：（1）定义法（2）特征值全大于零（3）顺序主子式全大于零【要求】1、掌握向量的内积、长度、夹角，正交向量组的性质，会利用施密特正交化方法化线性无关向量组为正交向量组。
2、掌握方阵特征值、特征向量的概念、求法，3、了解相似矩阵的概念、掌握化对称矩阵为对角矩阵的方法。
4、掌握二次型的概念、会用正交变换化二次型为标准形。
5、知道正定二次型的概念及其判定方法。
★★线性代数练习题一、单项选择题1、行列式210834021--中，元素22a 的代数余子式是（A ） 2001 （B ） 2001-- （C ） 2001- （D ） 2001-2、二阶行列式22b b a a 的值为(A)33b a (B) )(a b ab - (C)33b a - (D)22b a -3、设行列式01110212=-k k ，则k 的取值为（ ）（A ）2 （B ）-2或3 （C ）0 （D ）-3或24、若行列式321321321c c c b b b a a a =1，则321321321a a a b b b c c c = （A ）1 （B ）2 （C ）0 （D ）1-5、设a ，b ，c ，d 为常数，则下列等式成立的是（A ）d b c a b a d c b a ++=2221 （ B ） 111111d b c a d c b a +=++ （C ） d c ba d cb a 22222= （D ） 111111d bc a cd ab =6、设n 阶行列式D =n ija ，j i A 是D 中元素j i a 的代数余子式，则下列各式中正确的是(A) 01=∑=n i ij ij A a(B) 01=∑=nj ij ij A a (C) D A an j ij ij =∑=1 (D) D A a ni i i =∑=121 7、设B A ,均为n 阶可逆矩阵，则下列各式成立的是（A ） T T T A B AB =)( (B)111)(---=B A AB(C)BA AB = (D) B A B A +=+8、设A 为3阶方阵，且行列式1=A ，则=-A 2(A)-8 (B)-2 (C) 2 (D)89、设B A ,为n 阶方阵且满足O AB =，则(A) O A =或O B = (B) O B A =+ (C) 0=A 或0=B (D) 0=+B A10、设B A ,为n 阶可逆方阵，则下列各式必成立的是（A ）T T T B A AB =)( （B ）B A AB =（C ）111)(---+=+B A B A （D ）*1A A A =-11、设矩阵()321=A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=201B ，则=BA(A) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛642000321 (B)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛601(C)（1,0,6） (D) 7 12、设行矩阵()321,,a a a A =, ()321,,b b b B =， 且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=224310121B A T 则=T AB（A ） 1 （B ） -1 （C ） 2 （D ） -2 13、下列命题正确的是 B .（A ）若矩阵B A ,满足O AB =，则有O A =或O B =（B ）若矩阵B A ,满足E AB =，则矩阵B A ,都可逆。
（C ）若*A 是n 阶矩阵A 的伴随矩阵，则nA A =*（D ）若O A ≠，则0≠A14、设B A ,为三阶矩阵, 2=A ,41=B , 则1)(2-BA = (A) 4 (B) 1 (C) 16 (D) 21 15、下列说法不正确的是(A ）相似矩阵有相同的特征值。