2020-2021学年北京市高三定位考试数学试题
2020-2021学年北京市海淀区高三(上)期末数学试卷
2020-2021学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）抛物线2y x =的准线方程是( )A ．12x =-B ．14x =-C ．12y =-D ．14y =-2．（4分）在复平面内，复数1ii+对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（4分）在5(2)x -的展开式中，4x 的系数为( ) A ．5B ．5-C ．10D ．10-4．（4分）已知直线:20l x ay ++=，点(1,1)A --和点(2,2)B ，若//l AB ，则实数a 的值为() A ．1B ．1-C ．2D ．2-5．（4分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为( )A ．2B ．4C ．6D ．126．（4分）已知向量a ，b 满足||1a =，(2,1)b =-，且||2a b -=，则(a b ⋅= ) A ．1-B ．0C ．1D ．27．（4分）已知α，β是两个不同的平面，“//αβ”的一个充分条件是( ) A ．α内有无数直线平行于βB ．存在平面γ，αγ⊥，βγ⊥C ．存在平面γ，m αγ=，n βγ=，且//m nD ．存在直线l ，l α⊥，l β⊥8．（4分）已知函数2()12sin ()4f x x π=-+，则( )A ．()f x 是偶函数B ．函数()f x 的最小正周期为2πC ．曲线()y f x =关于4x π=-对称 D ．f （1）f >（2）9．（4分）数列{}n a 的通项公式为23n a n n =-，*n N ∈，前n 项和为.n S 给出下列三个结论： ①存在正整数m ，()n m n ≠，使得m n S S =；②存在正整数m ，()n m n ≠，使得m n a a += ③记12(1n n T a a a n =⋯=，2，3，)⋯则数列{}n T 有最小项． 其中所有正确结论的序号是( ) A ．①B ．③C ．①③D ．①②③10．（4分）如图所示，在圆锥内放入两个球1O ，2O ，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为1C ，2.C 这两个球都与平面a 相切，切点分别为1F ，2F ，丹德林()G Dandelin ⋅利用这个模型证明了平面a 与圆锥侧面的交线为椭圆，1F ，2F 为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin 双球．若圆锥的母线与它的轴的夹角为30︒，1C ，2C 的半径分别为1，4，点M 为2C 上的一个定点，点P 为椭圆上的一个动点，则从点P 沿圆锥表面到达点M 的路线长与线段1PF 的长之和的最小值是( )A ．6B ．8C ．33D ．43二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2020～2021学年度北京市第一学期高三数学期中试卷
2020—2021学年度第一学期 高三第一学期期中数学试题2020.11班级 姓名 学号 成绩（本试卷满分150分 考试时间：120分钟）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个正确答案） 1.已知集合{1,1,2}A =-，{|10}B x x =+≥，则A B =( )A. {1,1,2}-B. {1,2}C. {1,2}-D.{2}2. 下列函数中既是偶函数又是),0(+∞上的增函数的是（ ） A.3x y = B.1+=x y C.1)(2+-=x x f D.x x f -=2)(3. 如果0b a <<,那么下列不等式成立的是A ．22log ||log ||b a <B ．11()()22b a < C ．33b a > D ．2ab b <4. 函数1(0,1)xy a a a a=->≠的图象可能是（ ）5.若a ∈R ，则“2a a >”是“1a >”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件6. 在平面直角坐标系xOy 中，将点(1,2)A 绕原点O 逆时针旋转90︒到点B ，设直线OB 与x 轴正半轴所成的最小正角为α，则cos α等于（A） （B） （C（D ）25-7． 已知函数2(0)()ln (0)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，且关于x 的方程()0f x x a +-=有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围A. [0,)+∞B. (1,)+∞C. (0,)+∞D. [,1)-∞8. 在声学中，声强级L （单位：dB ）由公式1210lg()10IL -=给出，其中I 为声强（单位：2/W m ）。
若160L dB =，275L dB =，那么12I I = A ．4510 B ．4510-C ．32- D ．3210-二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.）9.若)12(log 1)(21+=x x f ，则)(x f 定义域 ．10. 已知23log 5,23,log 2b a c ===，则,,a b c 的大小关系为____________.11. 已知2>a ，则a a y +-=24的最小值为12. 已知函数, 1,()1, 1.x a x f x bx x ⎧>-=⎨+-⎩≤若(2)0f -=，且()f x 在R 上单调递增，则a 的取值范围是13. 若)(x f 是定义在R 上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，则=)5.47(f14. 某公园划船收费标准如下：租船最低总费用为___________元，租船的总费用共有__________种可能．三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 15.（本题满分12分）已知ππ2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，tan 2α=-.（1）求πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求sin 2cos2αα+的值.16.（本题满分14分）为了解本学期学生参加公益劳动的情况，某校从初高中学生中抽取100名学生，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）的数据，绘制图表的一部分如下．（Ⅰ）从男生中随机抽取一人，抽到的男生参加公益劳动时间在[10,20）的概率；（Ⅱ）从参加公益劳动时间[25,30）的学生中抽取3人进行面谈，记X为抽到高中的人数，求X的分布列；x 时，高中生和初中生相比，那学段学生平均参加公益劳动时间较长．（直接（Ⅲ）当5写出结果）17．（本题满分13分）（1）已知c bx ax x x f +++=23)(，412)(-=x x g ，若0)1(=-f ，且)(x f 图象在点))1(,1(f 处的切线方程为)(x g y =，求c b a ,,的值。
北京市2020-2021学年高三上学期期末数学试题汇编：平面解析几何(答案详解)
21．（2020 秋•通州区期末）在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，点 A 的坐标为 (4, 0) ，若以线段 OA 为直径的圆与
直线 y 2x 在第一象限交于点 B ，则直线 AB 的方程是 ．
22．（2020 秋•顺义区期末）设抛物线 y2 mx 的焦点为 F (1, 0) ，则 m ；若点 A 在抛物线上，且 | AF | 3 ，则点
A．6
B．8
C． 3 3
D． 4 3
二．填空题（共 10 小题）
19．（2020 秋•东城区期末）已知双曲线 M
x2 : a2
y2 b2
1(a
0,b 0) ， ABC
为等边三角形．若点
A在
y 轴上，点 B ，
C 在双曲线 M 上，且双曲线 M 的实轴为 ABC 的中位线，则双曲线 M 的离心率为 ．
秋•丰台区期末）若关于
x
，
y
的方程组
4x 2x
2y ay
1 1
0 0
(a
R)
无解，则
a
(
)
A．2
B． 2
C．1
D． 2 2
4．（2020 秋•昌平区期末）已知抛物线 y2 4x 上一点 P 到焦点 F 的距离为 5，那么点 P 到 y 轴的距离是 ( )
A．2
B．3
C．4
D．5
5．（2020 秋•东城区期末）与圆 x2 ( y 1)2 5 相切于点 (2, 2) 的直线的斜率为 ( )
y2 b2
1(a
b 0)
经过点 M (0,1) 和 N (
3, 1) ． 2
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）若直线 l : y kx m 与椭圆 C 交于 A ， B 两点，且坐标原点 O 到直线 l 的距离为 2 5 ．求证：以 AB 为直 5
北京市2020-2021学年高三上学期期末数学试题汇编：平面向量 (答案详解)
一．选择题（共6小题）1．（2020秋•朝阳区期末）已知向量，，且，则 A ．B ．C ．D ．82．（2020秋•房山区期末）在平行四边形中，，，，为的中点，则 )A ．B ．C ．1D ．23．（2020秋•东城区期末）设，是两个不共线向量，则“与的夹角为锐角”是“”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2020秋•海淀区期末）已知向量，满足，，且，则 A ．B ．0C ．1D ．25．（2020秋•通州区期末）在中，，，且的最小值是 )A ．BCD ．6．（2020秋•丰台区期末）在平面直角坐标系中，，是直线上的两点，且．若对于任意点，，存在，使成立，则的最大值为 A ．B ．4C ．D ．8二．填空题（共3小题）7．（2020秋•石景山区期末）已知平面向量，，且，则实数 ．8．（2020秋•顺义区期末）已知单位向量，满足，则与夹角的大小为 ；的最小值为 ．9．（2020秋•昌平区期末）已知向量，，且，则实数 ．(1,2)a =- (,4)b x =a b ⊥ ||(b = )ABCD 1AD =12AB =60BAD ∠=︒E CD (AC BE ⋅= 2-1-a b a b ()a a b ⊥- ()a b ||1a = (2,1)b =- ||2a b -= (a b ⋅= )1-ABC ∆2AB =3AC =AB AC ⋅=- ||()AC AB R λλ-∈ (32A B x y m +=||10AB =(cos P θsin )(02)θθπ<…A B 90APB ∠=︒m ()(2,1)a = (4,)b y = //a b y =a b a b ⋅= a b ||()a xb x R -∈ (2,)a m = (1,2)b = a b ⊥ m =参考答案一．选择题（共6小题）1．【分析】根据题意，由向量数量积的坐标计算公式可得，解可得，即可得，计算可得答案．【解答】解：根据题意，向量，，若，则，则，故，则故选：．【点评】本题考查平面向量数量积的坐标计算，涉及向量垂直的判断，属于基础题．2．【分析】画出图形，可得出，代入进行数量积的运算即可．【解答】解：如图，，又，，．故选：．【点评】本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量加法和数乘的几何意义，数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．3．【分析】根据向量垂直时数量积为0建立等式，可得到与的夹角为锐角，反之不成立，再结合充分条件必要条件的定义可得结论．【解答】解：若，则，是两个不共线向量，，即，，80a b x ⋅=-+= 8x =(8,4)b = (1,2)a =- (,4)b x = a b ⊥ 80a b x ⋅=-+= 8x =(8,4)b = ||b == C 1,2AC AB AD BE AD AB =+=- AC BE ⋅ 11,,602AD AB BAD ==∠=︒AC AB AD =+ 12BE BC CE AD AB =+=- ∴2211111()()1122288AC BE AB AD AD AB AB AD AB AD ⋅=+⋅-=-++⋅=-++= C a b ()a a b ⊥- 2()||||cos ,a a b a a b a b ⋅-=-<>||(||||cos ,)0a ab a b =-<>= a b ∴0a ≠ ||0a ≠ ∴||||cos ,a b a b =<>，，与的夹角为锐角，而与的夹角为锐角，不妨设，此时，故与不垂直，“与的夹角为锐角”是“”的必要不充分条件．故选：．【点评】本题主要考查向量的有关性质，以及充分条件必要条件的判定，同时考查了学生转化的能力，属于基础题．4．【分析】通过向量的模的运算法则，转化求解向量的数量积即可．【解答】解：向量，满足，，且，，即，则．故选：．【点评】本题考查向量的数量积的求法，向量模的运算法则的应用，是基础题．5．【分析】先将平方后，再利用二次函数的性质求解最值即可．【解答】解：因为，，且，所以，当时，取得最小值为，则的最小值为．故选：．【点评】本题考查了平面向量模的最值的求解，涉及了模的求解方法的应用、二次函数性质的应用、平面向量数量积定义的运用，属于中档题．6．【分析】由题意可得点在单位圆上，圆上的点到直线的最大距离不能超过5，即，由点到直线的距离公式即可求得的最大值．【解答】解：由已知可得点，在单位圆上，因为，所以点在以为直径的圆上，∴cos ,0a b <>> ,0a b <>≠ ∴a b a b (1,0),(2,2)a b == ()10a a b ⋅-=-≠ a ()a b - ∴a b ()a a b ⊥- B a b ||1a = (2,1)b =- ||2a b -= 2224a a b b -⋅+= 1254a b -⋅+= 1a b ⋅= C ||AC AB λ- 2AB =3AC =AB AC ⋅=- 2222||2AC AB AC AC AB ABλλλ-=-⋅+ 294λ=++294(4λ=++λ=2||AC AB λ- 94||AC AB λ- 32A P 22:1O x y +=O x y m +=15d +…m (cos P θsin )(02)θθπ<…22:1O x y +=90APB ∠=︒P AB因为．所以半径为5，所以点到中点的距离为5，所以圆上任意点，总能找到一点，使，且点在直线上，当时，，所以为直线在轴上的截距，最大，即直线的截距最大，直线越往上，因为对于任意点，，存在，使成立，所以圆上的点到直线的最大距离不能超过5，而圆上的点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加圆的半径1，即，，所以，所以的最大值为故选：．【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．二．填空题（共3小题）7．【分析】根据平面向量的共线定理列方程求出的值．【解答】解：，，且，，解得：．故答案为：2．【点评】本题考查了平面向量的共线定理应用问题，是基础题．8．【分析】根据条件可求出的值，进而可得出夹角的大小；可求出方即可求出的最小值．【解答】解：，且，与夹角的大小为；，||10AB =P AB C O P C ||5CP =C x y m +=0x =ym =m x y m +=y m x y m +=(cos P θsin )(02)θθπ<…A B 90APB ∠=︒O x y m +=O x y m +=O x y m +=d O 15d +…4d …4m …m C y (2,1)a = (4,)b y = //a b 240y ∴-=2y =cos ,a b <> ,a b ||a xb -= ||a xb - cos ,||||a b a b a b ⋅<>== ,[0,]a b π<>∈ ∴a b 4π ||a xb -==时，．故答案为：．【点评】本题考查了向量夹角的余弦公式，向量长度的求法，向量数量积的运算，配方求二次函数最值的方法，考查了计算能力，属于基础题．9．【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，计算求得的值．【解答】解：向量，，且，，实数，故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题．∴x =||a xb - 4πm (2,)a m = (1,2)b = a b ⊥ ∴2120a b m ⋅=⨯+⨯= ∴1m =-1-。
北京市东城区2020-2021学年高三上学期期末数学试题
北京市东城区2020-2021学年高三上学期期末数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}|1A x x =≤，{|(2)(1)0}B x x x =-+<，那么AB =（ ）A ．{}|12x x -<<B ．{}|11x x -≤<C ．{}|12x x ≤<D ．{}|11x x -<≤ 2．复数(1)z i i =-在复平面内的对应点位于（ ）A ．第一象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第四象限 3．下列函数中，是偶函数，且在区间()0,∞+上单调递增的为（ ）A ．1y x =B ．ln ||y x =C ．2x y =D ．1||y x =- 4．设,a b 为实数，则“0a b >>”是“a b ππ>”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．设α，β是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ） A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αB ．若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n ⊥C ．若//n α，m n ⊥，则m α⊥D ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n 6．从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，这样的三位数的个数为（ ）A ．7B ．9C ．10D ．137．设α，β是三角形的两个内角，下列结论中正确的是（ ）A ．若2παβ+<，则sin sin αβ+<B ．若2παβ+<，则cos cos αβ+<C ．若2παβ+>，则sin sin 1αβ+> D ．若2παβ+>，则cos cos 1αβ+>8．用平面截圆柱面，当圆柱的轴与α所成角为锐角时，圆柱面的截面是一个椭圆，著名数学家Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于α的上方和下方，并且与圆柱面和α均相切.给出下列三个结论：①两个球与α的切点是所得椭圆的两个焦点；②若球心距124O O =2；③当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大.其中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①B ．②③C ．①②D ．①②③二、填空题 9．若双曲线221x y m -=与22132x y -=有相同的焦点，则实数m =_________. 10．能说明“直线0x y m -+=与圆22420x y x y ++-=有两个不同的交点”是真命题的一个m 的值为______.11．在平行四边形ABCD 中，已知AB AC AC AD ⋅=⋅，4AC =，2BD =，则四边形ABCD 的面积是_______.12．已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>，曲线()y f x =与直线3y =相交，若存在相邻两个交点间的距离为6π，则ω的所有可能值为__________．三、双空题13．已知{}n a 是各项均为正的等比数列，n S 为其前n 项和，若16a =，2326a a +=，则公比q =________，4S =_________.14．将初始温度为0C ︒的物体放在室温恒定为30C ︒的实验室里，现等时间间隔测量物体温度，将第n 次测量得到的物体温度记为n t ，已知10t C =︒.已知物体温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为k ）.给出以下几个模型，那么能够描述这些测量数据的一个合理模型为__________：（填写模型对应的序号）①130n n n k t t t +-=-；②()130n n n t t k t +-=-；③()130n n t k t +=-. 在上述模型下，设物体温度从5C ︒升到10C ︒所需时间为min a ，从10C ︒上升到15C ︒所需时间为min b ，从15C ︒上升到20C ︒所需时间为min C ，那么a b 与b c 的大小关系是________（用“>”，“=”或“<”号填空）四、解答题15．在ABC ∆中，已知sin cos 0c A C +=.（1）求C ∠的大小；（2）若2b =，c =，求ABC ∆的面积.16．2021年6月，国内的5G 运营牌照开始发放.从2G 到5G ，我们国家的移动通信业务用了不到20年的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对5G 的消费意愿，2021年8月，从某地在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，样本中各类用户分布情况如下：我们将大学生升级5G 时间的早晚与大学生愿意为5G 套餐支付更多的费用作比较，可得出下图的关系（例如早期体验用户中愿意为5G 套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的40%）.（1）从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到5G 的概率；（2）从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以X 表示这2人中愿意为升级5G 多支付10元或10元以上的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）2021年底，从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G 套餐，能否认为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由.17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，12AA AB BC ===.（1）求证：1BC ⊥平面11A B C ；（2）求异面直线1B C 与1A B 所成角的大小；（3）点M 在线段1B C 上，且11((0,1))B M B Cλλ=∈，点N 在线段1A B 上，若MN ∥平面11A ACC ，求11A N A B的值（用含λ的代数式表示）. 18．已知函数321()3()3f x x x ax a =--∈R . （1）若()f x 在1x =-时，有极值，求a 的值；（2）在直线1x =上是否存在点P ，使得过点P 至少有两条直线与曲线()y f x =相切？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由.19．已知椭圆222:1(1)x C y a a +=>的离心率是2. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知1F ，2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，过2F 作斜率为k 的直线l ，交椭圆C 于,A B 两点，直线1F A ，1F B 分别交y 轴于不同的两点,M N .如果1MF N ∠为锐角，求k的取值范围.20．已知数列{}n a ，记集合{}*1(,)|(,),1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++<∈N . （1）对于数列{}:1,2,3,4n a ，写出集合T ；（2）若2n a n =，是否存在*,N i j ∈，使得(),1024S i j =？若存在，求出一组符合条件的,i j ；若不存在，说明理由.（3）若22n a n =-，把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为12:,,,n B b b b ，若2020n b ≤，求n 的最大值.参考答案1．D【解析】【分析】求得集合{|12}B x x =-<<，结合集合的交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合{|(2)(1)0}{|12}B x x x x x =-+<=-<<，所以A B ={}|11x x -<≤.故选：D .【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中正确求解集合B ，结合集合交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2．B【分析】先化简复数，再计算对应点坐标，判断象限.【详解】1i z =--，对应点为(1,1)-- ，在第三象限.故答案选B【点睛】本题考查了复数的坐标表示，属于简单题.3．B【分析】结合函数的单调性与奇偶性的定义与判定方法，以及初等函数的性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，对于A 中，函数()()1f x f x x-=-=-，所以函数为奇函数，不符合题意； 对于B 中，函数()ln ||f x x =满足()()ln ||ln ||f x x x f x -=-==，所以函数为偶函数， 当0x >时，函数ln y x =为()0,∞+上的单调递增函数，符合题意；对于C 中，函数2xy =为非奇非偶函数，不符合题意；对于D 中，1||y x =-为偶函数，当0x >时，函数1y x =-为单调递减函数，不符合题意， 故选：B .【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的单调性的判定与应用，其中解答中熟记函数的单调性与奇偶性的判定方法，以及初等函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.4．A【分析】根据函数()xf x π=为单调递增函数，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，函数()xf x π=为单调递增函数， 当0a b >>时，可得()()f a f b >，即a b ππ>成立，当a b ππ>，即()()f a f b >时，可得a b >，所以0a b >>不一定成立，所以“0a b >>”是“a b ππ>”的充分而不必要条件.故选：A .【点睛】本题主要考查了指数函数的性质，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记指数函数的性质，以及熟练应用充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档题.5．B【分析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解，得到答案.【详解】由题意，对于A 中，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α，所以不正确；对于C 中，若//n α，m n ⊥，则m 与α可能平行，相交或在平面α内，所以不正确； 对于D 中，若//αβ，m α⊂，n β⊂，则m 与n 平行、相交或异面，所以不正确； 对于B 中，若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，，根据线面垂直的性质，可证得m n ⊥成立，故选：B .【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.6．C【分析】由题意，把问题分为三类：当三个数分别为1,1,4，1,2,3，2,2,2三种情况，结合排列、组合和计数原理，即可求解.【详解】从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6， 可分为三类情况：（1）当三个数为1,1,4时，共有133C =种排法；（2）当三个数为1,2,3时，共有336A =种排法；（3）当三个数为2,2,2时，只有1中排法，由分类计数原理可得，共有36110++=种不同排法，即这样的数共有10个.故选：C .【点睛】本题主要考查了计数原理与排列、组合的应用，其中解答中认真审题，合理分类，结合计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7．A【分析】结合三角恒等变换的公式，以及合理利用赋值法，逐项判定，即可求解得到答案.【详解】对于A 中，因为2παβ+<，则0,24424αβππαβπ+-<<-<<又由sin sin 2sincos 2sin cos 22422αβαβπαβαβαβ+---+=<=≤所以sin sin αβ+<对于B 中，例如,66ππαβ==，此时cos cos 66ππ+=>所以cos cos αβ+<对于C 中，因为2παβ+>，例如5,612ππαβ==时，5611sin sin 212ππ+=<， 所以sin sin 1αβ+>不正确；对于D 中，因为2παβ+>，例如2,36ππαβ==时，1cos c 23os 162ππ+=-+<， 所以cos cos 1αβ+>不正确，故选：A .【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的应用，以及三角函数值的应用，其中解答熟记三角恒等变换的公式，以及合理利用赋值法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 8．C【分析】设圆柱的底面半径为R ，根据题意分别求得b R =，sin R a α=，tan R OC α=，结合椭圆的结合性质，即可求解.【详解】由题意，作出圆柱的轴截面，如图所示，设圆柱的底面半径为R ，根据题意可得椭圆的短轴长为22b R =，即b R =， 长轴长为22sin R a α=，即sin R a α=， 在直角1O OC ∆中，可得1tan O C OC α=，即1tan tan O C R OC αα==， 又由22222222211tan tan sin R R OC b R R ααα⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭， 即222OC b a +=，所以222OC a b =-，又因为椭圆中222c a b =-，所以OC c =，即切点为椭圆的两个交点，所以①是正确的；由124O O =，可得12O O =R =在直角1O OC ∆中，22222121OC OO R =-=-=，由①可知，即1c =，所以22c =，即椭圆的焦距为2，所以②是正确的；由①可得sin R a α=，tan Rc α=，所以椭圆的离心率为sin tan cos tan sin Rc e R a ααααα====， 所以当当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率变小，所以③不正确.故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质及其应用，其中解答中认真审题，合理利用圆柱的结构特征，以及椭圆的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 9．4 【分析】结合双曲线的几何性质，得到132m +=+，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，双曲线221x y m -=与22132x y -=有相同的焦点，可得132m +=+，解得4m =. 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及几何性质的应用，其中解答中熟练应用双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题. 10．0 【分析】根据直线与圆相交，利用圆心到直线的距离小于圆的半径，<求得m的取值范围，即可求解. 【详解】由题意，圆22420x y x y ++-=的圆心坐标为(2,1)-，半径为r =若直线0x y m -+=与圆22420x y x y ++-=有两个不同的交点，则满足圆心到直线的距离小于圆的半径，<解得33m -<<所以命题为真命题的一个m 的值为0. 故答案为：0. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，列出不等式求得m 的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 11．4 【解析】 【分析】由AB AC AC AD ⋅=⋅，根据向量的线性运算，得到AC BD ⊥，进而得到四边形ABCD 是菱形，即可求得四边形的面积，得到答案. 【详解】由题意，在平行四边形ABCD 中， AB AC AC AD ⋅=⋅， 可得()0AB AC AC AD AB AC BD ⋅=⋅-=⋅=，所以AC BD ⊥ 所以四边形ABCD 是菱形，又由||4AC =，||2BD =，所以面积为14242S =⨯⨯=. 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量的数量积的应用，以及菱形的面积的计算，其中解答熟练应用向量的减法运算公式，以及向量的数量积的公式，求得四边形为菱形是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 12．2或10 【分析】令2sin()x ωϕ+=2,3x k k Z πωϕπ+=+∈或22,3x k k Z πωϕπ+=+∈，根据存在相邻两个交点间的距离为6π，得到2136x x w ππ-==或21536x x w ππ-==，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>，曲线()y f x =与直线y =令2sin()x ωϕ+=sin()x ωϕ+=， 解得2,3x k k Z πωϕπ+=+∈或22,3x k k Z πωϕπ+=+∈， 由题意存在相邻两个交点间的距离为6π，结合正弦函数的图象与性质， 可得2122(),33k w x x k Z πππ-+=-∈，令0k =，可得2136x x w ππ-==，解得2w =. 或21722(),33k w x x k Z πππ-+=-∈，令0k =，可得21536x x w ππ-==，解得10w =. 故答案为：2或10. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，以及三角方程的求解，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理能力与计算鞥能力，属于中档试题. 13．12 454【分析】根据等比数列的通项公式，得到2210q q +-=，求得12q =再由等比数列的前n 项和公式，求得4S ，得到答案. 【详解】由题意，在数列{}n a 是各项均为正的等比数列，因为16a =，2326a a +=，可得221126126a q a q q q +=+=，即2210q q +-=，解得12q =或1q =-（舍去），又由等比数列的前n 项和公式，可得4416[1()]4521412S ⋅-==-. 故答案为：12，454. 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及等比数列前n 项和公式的应用，其中解答中熟练等比数列的通项公式和前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 14．② > 【分析】由温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为k ），即可得到()130n n n t t k t +-=-，再根据函数模型，分别求得k 的值，结合作差比较，即可得到答案.【详解】由题意，将第n 次测量得到的物体温度记为n t ，则两次的体温变化为1n n t t +-，又由温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为k ），所以()130n n n t t k t +-=-， 当物体温度从5C ︒升到10C ︒所需时间为min a ，可得()105305k -=-，可得51255k ==， 当物体温度从10C ︒上升到15C ︒所需时间为min b ，可得()15103010k -=-，可得14k =， 当物体温度从15C ︒上升到20C ︒所需时间为min c ，可得()20153015k -=-，可得13k =， 可是111,,,0543a mb mc m m ===>， 又由222221111111()5341516151601111431212b c m m m m m a ac b b bc m m m ⨯-----====>⨯， 即a b 与b c 的大小关系是a b >b c . 故答案为：② ，>【点睛】本题主要考查了函数的模型的选择，以及实际应用问题的求解，其中解答中认真审题，正确理解题意，选择适当的函数模型是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 15．（1）23C π∠=（2【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得sin sin sin 0C A C A +=，求得sin 0C C +=，即可求解C ∠的大小；（2）由正弦定理，可得1sin 2B =，得到6B π∠=，进而得到6A B C ππ∠=-∠-∠=，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）因为sin cos 0c A C =，由正弦定理可得sin sin sin 0C A C A +=， 又因为(0,)A π∈，所以sin 0A >，所以sin 0C C =，即tan C =， 又因为0C π<<，所以23C π∠=. （2）由正弦定理，可得2sin 1sin 2b C B c ===， 又因为03B π<<，所以6B π∠=，所以6A B C ππ∠=-∠-∠=.所以ABC ∆的面积111sin 2222S bc A ==⨯⨯=【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.16．（1）0.8（2）详见解析（3）事件D 虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化，详见解析 【分析】（1）由从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G ，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；（2）由题意X 的所有可能值为0,1,2，利用相互独立事件的概率计算公式，分别求得相应的概率，得到随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解.（3）设事件D 为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G 套餐”，得到其概率为()P D ，即可得到结论. 【详解】（1）由题意可知，从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G 的概率估计为样本中早期体验用户和中期跟随用户的频率， 即2705300.81000+=.（2）由题意X 的所有可能值为0,1,2，记事件A 为“从早期体验用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G 多支付10元或10元以上”，事件B 为“从中期跟随用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G 多支付10元或10元以上”， 由题意可知，事件A ，B 相互独立，且()140%0.6P A =-=，()145%0.55P B =-=， 所以(0)()(10.6)(10.55)0.18P X P AB ===--=，(1)()()()P X P AB AB P AB P AB ==+=+()(1())(1()()P A P B P A P B =-+-0.6(10.55)(10.6)0.55=⨯-+-⨯0.49=， (2)()0.60.550.33P X P AB ===⨯=，所以X 的分布列为故X 的数学期望()00.1810.4920.33 1.15E X =⨯+⨯+⨯=.（3）设事件D 为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G 套餐”，那么327031000()0.02C P D C =≈.回答一：事件D 虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化.回答二：事件D 发生概率小，所以可以认为早期体验用户人数增加. 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列，数学期望的求解及应用，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题. 17．（1）证明见解析（2）3π（3）1λ- 【分析】（1）根据三棱柱111ABC A B C -的结构特征，利用线面垂直的判定定理，证得11A B ⊥平面11B BCC ，得到111A B BC ⊥，再利用线面垂直的判定定理，即可证得1BC ⊥平面11A B C ；（2）由（1）得到AB BC ⊥，建立空间直角坐标系B xyz -，求得向量11,B C A B ，利用向量的夹角公式，即可求解. （3）由11B M B C λ=，得(2,0,22)M λλ-，设11A NA Bμ=，得(0,22,22)N μμ--，求得向量MN 的坐标，结合//MN 平面11A ACC ，利用0MN n ⋅=，即可求解. 【详解】（1）在三棱柱111ABC A B C -中，由1BB ⊥平面ABC ，所以1BB ⊥平面111A B C ， 又因为1BB ⊂平面11B BCC ，所以平面11B BCC ⊥平面111A B C ，交线为11B C . 又因为AB BC ⊥，所以1111A B B C ⊥，所以11A B ⊥平面11B BCC . 因为1BC ⊂平面11B BCC ，所以111A B BC ⊥ 又因为12BB BC ==，所以11B C BC ⊥，又1111A B B C B =，所以1BC ⊥平面11A B C .（2）由（1）知1BB ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，如图建立空间直角坐标系B xyz -， 由题意得()0,0,0B ，()2,0,0C ，()10,2,2A ，()10,0,2B . 所以()12,0,2B C =-，()10,2,2A B =--. 所以()1111111cos ,2||||A B B C A B B C BA B C ⋅==.故异面直线1B C 与1A B 所成角的大小为3π.（3）易知平面11A ACC 的一个法向量()1,1,0n =，由11B MB Cλ=，得(2,0,22)M λλ-. 设11A NA Bμ=，得(0,22,22)N μμ--，则(2,22,22)MN λμλμ=--- 因为//MN 平面11A ACC ，所以0MN n ⋅=，即(2,22,22)(1,1,0)0λμλμ---⋅=，解得1μλ=-，所以111A NA Bλ=-.【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 18．（1）1a =-（2）不存在，详见解析 【分析】（1）求得2()23f x x x a '=-+，根据函数()f x 在1x =-取得极值，即可求解；（2）不妨设点()1,P b ，设过点P 与()y f x =相切的直线为l ，切点为()00,x y ，求得切线方程，根据直线l 过()1,P b ，转化为()()322000000132313b x x ax x x a x -+-=-+-，设函数322()2233g x x x x a b =-+-+，转化为()g x 在区间(),-∞+∞上单调递增，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数321()33f x x x ax =-+，则2()23f x x x a '=-+， 由()f x 在1x =-时，有极值，可得(1)1230f a '-=++=，解得1a =-.经检验，1a =-时，()f x 有极值. 综上可得1a =-.（2）不妨设在直线1x =上存在一点()1,P b ，设过点P 与()y f x =相切的直线为l ，切点为()00,x y ， 则切线l 方程为()()32200000013233y x x x x x a x x α-+-=-+-，又直线l 过()1,P b ，有()()322000000132313b x x ax x x a x -+-=-+-， 即32000222303x x x a b -+-+=， 设322()2233g x x x x a b =-+-+，则22()2422(1)0g x x x x '=-+=-≥，所以()g x 在区间(),-∞+∞上单调递增，所以()0g x =至多有一个解， 过点P 与()y f x =相切的直线至多有一条，故在直线1x =上不存在点P ，使得过P 至少有两条直线与曲线()y f x =相切. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，其中解答中熟记函数的导数与函数间的关系是解答的关键，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力．19．（1）2212x y +=（2）,,00,,7447⎛⎛⎫⎛⎛⎫-∞-⋃-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】 【分析】（1）由题意，列出方程组，求得22a =，即可得到椭圆的方程；（2）设直线l 的方程为()1y k x =-，联立方程组，根据根和系数的关系，结合向量的数量 【详解】（1）由题意，椭圆222:1(1)x C y a a +=>的离心率是2，可得222221c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得22a =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）由已知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为()1y k x =-，直线l 与椭圆C 的交点为()11,A x y ，()22,B x y .由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222214220k x k x k +-+-=.由已知，判别式>0∆恒成立，且2122421k x x k ，21222221k x x k -=+.① 直线1F A 的方程为11(1)1y y x x =++，令0x =，则110,1y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭. 同理可得220,1y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭. 所以()()()()()()2121211121211111111k x x y y F M F N x x x x --⋅=+=+++++ ()()()()222212121212121212121111111k x x k x x k k x x x x x x x x x x x x ++-+++⎡⎤-++⎣⎦=+=++++++将①代入并化简，得21127181k F M F N k -⋅=-. 依题意，角1MF N ∠为锐角，所以110F M F N ⋅>，即211271081k F M F N k -⋅=>-. 解得217k >或218k <.综上，直线l的斜率的取值范围是,⎛⎛⎫⎛⎫-∞⋃⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.20．（1）{3,5,6,7,9,10}；（2）不存在，理由见解析；（3）1001.【分析】（1）根据题意直接书写即可；（2）假设存在*,N i j ∈，使得(,)1024S i j =，则有1102422(1)2(1)()i i j a a a i i j j i i j -=+++=++++=-++，则i j +与j i -奇偶性相同，所以i j +与1j i -+奇偶性不同，进行分析即可得解；（3）首先证明n a n =时，()()112t j i i j +-++=不成立，次证明除2()t t N ∈形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和，分类讨论即可得解.【详解】（1）由题意，集合{}1(,)|(,),1,i i j T S i j S i j a a a i j j N *+==+++≤<∈， 可得{3,5,7,9,10}T =.（2）假设存在*,N i j ∈，使得(,)1024S i j =，则有1102422(1)2(1)()i i j a a a i i j j i i j -=+++=++++=-++，由于i j +与j i -奇偶性相同，所以i j +与1j i -+奇偶性不同，又因为3,12i j j i +≥-+≥，所以1024必有大于等于3的奇数因子，这与1024无1以外的奇数因子矛盾.故不存在,i j N *∈，使得(,)1024S i j =成立.（3）首先证明n a n =时，对任意的m N *∈都有2,t m b t N *≠∈， 若,i j N *∃∈，使得：(1)()(1)22t j i i j i i j -++++++==， 由于1j i -+与i j +均大于2且奇偶性不同，所有()()112t j i i j +-++=不成立.其次证明除2()t t N ∈形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和.若正整数2(21)th k =+，其中t N *∈.当1221t k +>+时，由等差数列的性质有： (21)(21)+(2+1)=(2-)++(2-1)+2(21)(2)t t t t t h k k k k k =+++++++++此时结论成立. 当1221t k +<+时，由等差数列的性质有：(21)(21)(21)h k k k =+++++(21)(1)(1)(2)(2)t t k k k k k k -+++-++++++++，此时结论成立. 对于数列22n a n =-，此问题等价于数列0,1,2,3,,,n ,其相应集合T 中满足：1010n b ≤有多少项.由前面的证明可知正整数2，4，8，16，32，64，128，256，512不是集合T 中的项， 所以n 的最大值为1001.【点睛】本题考查了等差数列及数列的综合问题，考查了求数列下标最值，同时考查了分类讨论思的想，计算量比较大，属于难题.。
北京市2021届高三下学期定位考试数学答案
1北京市高三定位考试数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）A （2）D （3）D （4）B （ 5 ）C （6）C （7）B （8）C （9）D （10）A 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） （11）(,0]-∞ （12）2（13）1（14）2π 1（答案不唯一）（15）①③④三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共14分）解：选条件①：4a =，6c =（Ⅰ）在ABC △中，因为2222cos c a b ab C =+-， …………3分且1cos 8C =-，4a =，6c =所以2136168()8b b =+--所以4b =，5b =-（舍）． …………5分 由正弦定理得sin sin b CB c=． …………8分因为1cos 8C =-，(0,π)C ∈所以sin C = …………9分所以sin B =． …………10分 （Ⅱ）因为1sin 2ABC S ab C =△ (13)分在ABC △中，4a =，4b =，sin C = 所以ABC S =△．…………14分选条件②：4a =，ABC △为等腰三角形．2（Ⅰ）在ABC △中，因为1cos 8C =-，所以C 为钝角．因为ABC △为等腰三角形， 所以C 为顶角．所以4a b ==．…………2分 因为2222cos c a b ab C =+-， …………5分所以6c =． 由正弦定理得sin sin b CB c=． …………8分因为1cos 8C =-，(0,π)C ∈所以sin C = …………9分所以sin B =． …………10分 （Ⅱ）因为1sin 2ABCS ab C =△ …………13分在ABC △中，4a =，4b =，sin C =所以ABC S =△． …………14分（17）（共14分）解：（Ⅰ）连接BD 交AC 于点O ，连接EO ．因为1111ABCD A B C D -为长方体， 所以ABCD 为矩形．所以点O 为BD 中点．又因为E 为1DD 中点， 所以在1BD D ∆中，1OEBD ．…………2分 又OE ⊂平面ACE ，1BD ⊄平面ACE ， …………4分所以1BD 平面ACE ．…………5分（Ⅱ）以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．…………6分则1(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,2)A C E B ，所以1()1,1,1EB −−→=，()1,0,1EA −−→=-，()C 0,1,1E −−→=-．所以1100EB EA EB EC −−→−−→−−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩，．所以11EB EA EB EC ⊥⎧⎨⊥⎩，．…………8分 又EA EC E =，…………9分 所以1EB ⊥平面ACE ．…………10分（Ⅲ）因为1111ABCD A B C D -为长方体，所以BC ⊥平面11DCC D所以取平面1ECC 的法向量为(1,0,0)BC −−→=-， …………11分 再由（Ⅱ），取平面ACE 的法向量为1()1,1,1EB −−→=．…………12分所以1113cos ||||EB BCEB BC EB BC −−→−−→−−→−−→−−→−−→⋅〈〉==-，．由题知二面角1A CE C --为钝角，所以其余弦值为 …………14分（18）（共14分）解：（Ⅰ）设事件A 为“这位顾客两种手机都选择分4期付款”．…………1分 故()0.10.40.04P A =⨯=．…………4分 （Ⅱ）X 的所有可能值为600,650,700,750,800,850,900．…………5分(600)0.40.40.16P X ==⨯=12(650)C 0.40.10.08P X ==⨯⨯=12(700)0.10.1C 0.40.10.09P X ==⨯+⨯⨯=1122(750)C 0.40.4C 0.10.10.34P X ==⨯⨯+⨯⨯=12(800)0.10.1C 0.10.40.09P X ==⨯+⨯⨯= 12(850)C 0.10.40.08P X ==⨯⨯= (900)0.40.40.16P X ==⨯=所以X 的分布列为11分 （Ⅲ）1()D x <2()D x ．…………14分（19）（共14分）解：（Ⅰ）因为()(1)ln f x x x ax a =+-+，所以1()ln x f x x a x+'=+-． …………2分(1)2f a '=-．由题设知π(1)tan14f '==， 即21a -=，解得1a =． …………5分（Ⅱ）设()()g x f x '=．所以22111()x g x x x x-'=-=． …………7分令()0g x '=,1x =．因为当(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增， 所以()g x 的最小值为(1)2g a =-， 即()f x '的最小值为(1)2f a '=-． …………9分因为()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以()0f x '≥对(0,)x ∈+∞成立． 所以20a -≥． 所以a 的最大值为2．…………11分 （Ⅲ）当2a ≤时，()f x 只有1个零点．…………12分 当2a >时，()f x 有3个零点． …………14分（20）（共14分）解：（Ⅰ）因为椭圆方程22:16x C y +=，所以226,1a b ==． …………1分 所以25c =． …………2分所以离心率c e a ===． …………4分（Ⅱ）（i ）设1111(,),(,)P x y Q x y --1x ≠由题设知，M ． …………5分因为PQ PM ⊥，所以点11(,)P x y 在以线段OM 为直径的圆上，所以有22211(x y +=． …………6分 又221116x y +=． …………7分解得11x x ==．所以2211624,2525x y ==． …………9分所以PQ =．又PM ==…………10分所以PQ PM =，即PQM △为等腰三角形．（ii ）法1：设 22(,)M x y ，且21x x ≠±,1x ≠,10x ≠. 记直线,,PQ PM QM 的斜率分别为,,PQ PM QM k k k . 所以1212112121,,PQ PM QM y y y y y k k k x x x x x -+===-+. …………11分因为PQ PM ⊥， 所以1PQ PM k k ⋅=-. …………12分又2221212122212121PM QMy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-.因为221122221,61,6x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩所以2221222116y y x x -=--. …………13分所以16PM QM k k ⋅=-.所以6PQ QMk k =，即直线PQ 和直线QM 的斜率之比为6. …………14分（ii ）法2：因为点P 不是椭圆C 的顶点， 所以直线,,PQ PM QM 的斜率都存在且不为0，设直线PM 的方程为()0y kx m km =+≠由2216y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2221612660k x kmx m +++-= 由0,∆>所以22610k m +->.设 1122(,),(,)P x y M x y ,PM 的中点00(,)T x y . 因为1221216kmx x k -+=+， …………12分所以12026216x x kmx k +-==+00216my kx m k =+=+，…………13分因为,OT QM ∥ 所以0016QM OT y k k x k===- 又因为,PQ QM ⊥ 所以1PQ k k=-.所以1616PQ QMk k k k -==-.…………14分（21）（共15分）解：（Ⅰ）①不可以；②可以.…………4分（Ⅱ）因为10||1k k k a k x x m -==-≤-，所以01k m ≤-.…………6分当0m 为奇数时，取1,[0,1]22,[0,1]2i m i i m i x m i i m i -+⎧∈-⎪⎪=⎨++⎪∈-⎪⎩且为偶数,且为奇数.当0m 为偶数时，取2,[0,1]21,[0,1]2i m i i m i x m i i m i ++⎧∈-⎪⎪=⎨-+⎪∈-⎪⎩且为偶数,且为奇数.此时k 可取01m -，所以max 01k m =-．…………10分（Ⅲ）设数列122021:,,,A a a a 满足[0,1](1,2,,2021)i a i ∈=， 构造数列012021,,,x x x 如下：0110,x x a ==，111,,,1,1i i i i ii i x a x x x a x ++++⎧=⎨->⎩≤ 其中1,2,,2020i =.根据1i x +的定义知道，当1i x ≤时，因为1[0,1]i a +∈，所以1[0,2]i x +∈. 当1i x >时，因为1[0,1]i a +∈，所以1[0,2]i x +∈. 而111,,||,1||||,1i i i i i i i i i i x a x x x x x a x x ++++-⎧-=⎨-->⎩≤所以111,,,1||,1i i i i i ia x x x a x +++⎧-=⎨>⎩≤所以任取数列122021:,,,A a a a 满足[0,1](1,2,,2021)i a i ∈=，均可以“嵌入” 区间[0,2]。
北京市2021届高三入学定位考试数学试题
2020—2021学年北京市新高三入学定位考试数学本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合*{|5},{|21,}A x x B x x n n N =<==-∈，则A ∩B ＝(A) {1,1,3} (B) {1,3}(C) {1,3,5} (D) {0,1,3}-2．设复数：z ＝1＋i ，则在复平面内复数z 4对应的点在 （A ）第一象限（B ）第三象限 （C ）实轴上 (D)虚轴上3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(A) 88 (B) 3 (C) 44 (D)34．在62()x x+的展开式中，常数项为（A ）60 （B ）30 （C ）20 （D ）155．设P 为圆222440x y x y +---=上一点，则点P 到直线3x —4y ＝0距离的取值范围是(A) [2,4] (B) [0,4](C) [1,2] (D) [0,9]6．设函数sin ()xf x x=，则f （x ）是 （A ）奇函数，且存在x 0使得f （x 0）＞1 （B ）奇函数，且对任意x ≠0都有|()|1f x < （C ）偶函数，且存在x 0使得f （x 0）＞। (D)偶函数，且对任意x ≠0都有|()|1f x <7．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则以线段AB 为直径的圆一定（A ）经过原点 (B)经过点(－1，0)(C)与直线x ＝－1相切 (D)与直线y ＝－1相切 8．设随机变量ξ的分布列如下其中126,,,a a a 构成等差数列，则16a a ⋅的（A ） 最大值为19（B ）最大值为136（C ）最小值为19（D ）最小值为1369．在△ABC 中，“cos A ＜cos B ”是sin sin A B >“”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件10．设函数3||,()log ,x x af x x x a ≤⎧=⎨>⎩，其中a ＞0．若函数y ＝f （x ）－2有且仅有两个零点，则a 的取值范围是(A) (0,2) (B) (0,9) (C) [9,) (D) (0,2)[9,)+∞⋃+∞第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2020-2021学年北京市某校高三(上)诊断性数学试卷(9月份)
2020-2021学年北京市某校高三（上）诊断性数学试卷（9月份）一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U ＝{−1, 0, 1, 2, 3, 4}，集合A ＝{x|x ≤1, x ∈N}，B ＝{1, 3}，则∁U (A ∪B)＝（ ） A.{4}B.{2, 4}C.{−1, 2, 4}D.{−1, 0, 2, 4}【答案】 C【考点】交、并、补集的混合运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答2. 设z ＝（i 为虚数单位），则|z|等于（ ）A. B. C.2 D.【答案】A【考点】 复数的模 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答3. 已知a =log 248,2b =23，则a +b ＝（ ） A.4B.5C.6D.7【答案】 B【考点】对数的运算性质 【解析】利用对数的运算性质即可得出． 【解答】a =log 248,2b =23，∴ b =log 223则a+b＝log2(48×23)＝（5）4. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，已知m⊂α，n⊂α，则“m // β，n // β”是“α // β”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5. 已知cos，则cos的值为（）A. B. C.- D.-【答案】B【考点】二倍角的三角函数两角和与差的三角函数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6. 设P为直线3x−4y+4＝0上的动点，PA，PB为圆C：(x−2)2+y2＝1的两条切线，A，B为切点，则四边形APBC面积的最小值为（）A.√3B.2√3C.√5D.2√5【答案】A【考点】圆的切线方程【解析】由题意可得四边形的面积等于两个相等的直角三角形的面积，可得S=r√PC2−r2，最小时是PC最小，即圆心到直线的距离最小，求出圆心到直线的距离即可．【解答】S APBC＝2S△PBC＝2⋅12BC⋅PB＝BC⋅√PC2−BC2=r√PC2−r2，由题意可得BC＝r＝1，PC最小是圆心(2, 0)到直线的距离d=22=2，所以S≥1⋅√4−1=√3，7. 如图，已知△ABC的顶点C∈平面α，点A，B在平面α的同一侧，且|AC|=2√3，|BC|=2．若AC，BC与平面α所成的角分别为5π12，π4，则△ABC面积的取值范图是________.【答案】[√3, 3]【考点】直线与平面所成的角正弦定理【解析】由题意可得A，B的轨迹，得到当AC、BC与轴l共面时，∠ACB取到最大值和最小值，求得sin∠ACB的范围，代入三角形面积公式得答案．【解答】解：∵AC，BC与平面α所成的角分别为5π12，π4，且|AC|=2√3，|BC|=2，∴A，B分别在如图所示的两个不同的圆周上运动，当直线AC，BC与轴l在同一平面内时，∠ACB取到最大值和最小值，∴π6≤∠ACB≤π3，∴sinπ6≤sin∠ACB≤sinπ3，即12≤sin∠ACB≤√32，而△ABC的面积S=12|AC|⋅|BC|⋅sin∠ACB=2√3sin∠ACB，∴√3≤S≤3．故答案为：[√3, 3].8. 函数f(x)＝x+sin(πx)的图象是（）A. B.C. D.【答案】D【考点】函数的图象与图象的变换【解析】由函数的奇偶性及特殊点，运用排除法即可得到答案．【解答】又f(1)＝1+sinπ＝1，故排除B．故选：D．二、多项选择题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
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数学参考答案 第 1 页（共 14 页）2020-2021学年北京市高三定位考试数学试题本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{1,2,3},{|(2)0}A B x x x ==-≥，则AB =（A ）{1,2} （B ）{1,3}（C ）{2,3}（D ）{1,23},（2）已知3log 2a =，0.12b =，123c =，则（A ）a b c >> （B ）b a c >> （C ）b c a >>（D ）c b a >>（3）在复平面内，复数sin icos z θθ=+对应的点位于第二象限，则角θ的终边在（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限（4）在4(x -的展开式中，2x 的系数为（A ）6 （B ）12 （C ）24（D ）48（5）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的最长棱为（A ）2 （B）（C（D ）4（6）已知函数()|1||1|f x x a x =-++，则“1a =-”是“()f x 为奇函数”的俯视图数学参考答案 第 2 页（共 14 页）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （7）已知直线:30l ax by +-=经过点(,2)a b -，则原点到点(,)P a b 的距离可以是（A ）4 （B ）2 （C（D ）12（8）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知15a =-，31a =-．记nn nS b a =(1,2,)n =，则数列{}n b 的（A ）最小项为3b（B ）最大项为3b （C ）最小项为4b（D ）最大项为4b（9）抛物线2:8W y x =的焦点为F . 对于W 上一点P ，若W 的准线上只存在一个点Q ，使得FPQ △为等腰三角形，则点P 的横坐标为（A ）2 （B ）4 （C ）5（D ）6（10）在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在正方形11ADD A 内，且不在棱上，则（A ）在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQAC（B ）在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ⊥ （C ）在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得平面1PQC 平面ABC（D ）在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得AC ⊥平面1PQCD 1C 1B 1DC BA 1A数学参考答案 第 3 页（共 14 页）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）函数()f x =________．（12）已知双曲线222:14x y W a -=（其中0a >）的渐近线方程为y x =±，则a =________，W的右焦点坐标为________．（13）已知平面向量(1,2)=a 与(3,)x =b 的夹角为π4，则x =________．（14）已知函数()sin 2f x x =．若非零实数,a b ，使得 ()()f x a bf x +=对x ∈R 都成立，则 满足条件的一组值可以是a =________，b =________．(只需写出一组) （15）已知曲线2221:W x y m +=，4222:W x y m +=，其中0m >．① 当1m =时，曲线1W 与2W 有4个公共点；② 当01m <<时，曲线1W 围成的区域面积大于曲线2W 围成的区域面积； ③ 1m ∃>，曲线1W 围成的区域面积等于2W 围成的区域面积；④ 0m ∀>，曲线1W 围成的区域内整点（即横、纵坐标均为整数的点）个数不少于曲线2W围成的区域内整点个数．其中，所有正确结论的序号是________．三、解答题共6小题，共85分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题14分）在ABC △中，1cos 8C =-，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）sin B 的值； （Ⅱ）ABC △的面积．条件①：4a =，6c =；条件②：4a =，ABC △为等腰三角形．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．数学参考答案 第 4 页（共 14 页） （17）（本小题共14分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中, 1AB AD ==， 12AA =，点E 为1DD 的中点．（Ⅰ）求证：1BD ∥平面ACE ； （Ⅱ）求证：1EB ⊥平面ACE ； （Ⅲ）求二面角1A CE C --的余弦值．（18）（本小题14分）某电商平台联合手机厂家共同推出“分期购”服务，付款方式分为四个档次：1期、2期、3期和4期．记随机变量1x 、2x 分别表示顾客购买H 型手机和V 型手机的分期付款期数，根据以往销售数据统计，1x 和2x 的分布列如下表所示：（Ⅰ）若某位顾客购买H 型和V 手机各一部，求这位顾客两种手机都选择分4期付款的概率； （Ⅱ）电商平台销售一部V 型手机，若顾客选择分1期付款，则电商平台获得的利润为300元；若顾客选择分2期付款，则电商平台获得的利润为350元；若顾客选择分3期付款，则电商平台获得的利润为400元；若顾客选择分4期付款，则电商平台获得的利润为450元．记电商平台销售两部V 型手机所获得的利润为X (单位:元)，求X 的分布列； （Ⅲ）比较1()D x 与2()D x 的大小．（只需写出结论）1x123 4P0.10.40.4 0.12x123 4P0.40.10.10.4数学参考答案 第 5 页（共 14 页）（19）（本小题14分）已知函数()(1)ln f x x x ax a =+-+．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线倾斜角为π4，求a 的值； （Ⅱ）若()f x 在(0,)+∞上单调递增，求a 的最大值； （Ⅲ）请直接写出()f x 的零点个数.（20）（本小题14分）已知椭圆22:16x C y +=．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）经过原点的直线与椭圆C 交于,P Q 两点，直线PM 与直线PQ 垂直，且与椭圆C 的另一个交点为M ．（i ） 当点M 为椭圆C 的右顶点时，求证：PQM △为等腰三角形； （ii ）当点P 不是椭圆C 的顶点时，求直线PQ 和直线QM 的斜率之比.（21）（本小题15分）对于给定的区间[,]m t 和非负数列12:,,k A a a a ,, 若存在01,,,,k x x x 使1||i i i x x a --=，1,2,,i k =成立，其中[,]i x m t ∈，0,1,,i k =，则称数列A 可“嵌入”区间[,]m t .（Ⅰ）分别指出下列数列是否可“嵌入”区间[0,2]；①1:2,3A ； ②2:1,0,1A . （Ⅱ）已知数列A 满足(1,2,,)n a n n k ==，若数列A 可“嵌入”区间0[1,]m 0()m *∈N ，求数列A 的项数k 的最大值； （Ⅲ）求证：任取数列122021:,,,A a a a 满足[0,1](1,2,,2021)i a i ∈=，均可以“嵌入” 区间]2,0[.数学参考答案 第 6 页（共 14 页）2020-2021学年北京市高三定位考试数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）A （2）D （3）D （4）B （ 5 ）C （6）C （7）B （8）C （9）D （10）A 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） （11）(,0]-∞ （12）2（13）1（14）2π 1（答案不唯一）（15）①③④三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共14分）解：选条件①：4a =，6c =（Ⅰ）在ABC △中，因为2222cos c a b ab C =+-， …………3分且1cos 8C =-，4a =，6c =所以2136168()8b b =+--所以4b =，5b =-（舍）．…………5分数学参考答案 第 7 页（共 14 页）由正弦定理得sin sin b CB c=． …………8分因为1cos 8C =-，(0,π)C ∈所以sin C = …………9分所以sin B =． …………10分 （Ⅱ）因为1sin 2ABCS ab C =△ …………13分在ABC △中，4a =，4b =，sin C =所以ABC S =△…………14分选条件②：4a =，ABC △为等腰三角形． （Ⅰ）在ABC △中，因为1cos 8C =-，所以C 为钝角．因为ABC △为等腰三角形， 所以C 为顶角．所以4a b ==．…………2分 因为2222cos c a b ab C =+-， …………5分所以6c =． 由正弦定理得sin sin b CB c=． …………8分因为1cos 8C =-，(0,π)C ∈所以sin C =． …………9分所以sin B =． …………10分 （Ⅱ）因为1sin 2ABCS ab C =△ …………13分在ABC △中，4a =，4b =，sin C =数学参考答案 第 8 页（共 14 页）所以ABC S △ …………14分数学试卷 第 9 页（共 14 页）（17）（共14分）解：（Ⅰ）连接BD 交AC 于点O ，连接EO ．因为1111ABCD A B C D -为长方体， 所以ABCD 为矩形．所以点O 为BD 中点．又因为E 为1DD 中点， 所以在1BD D ∆中，1OEBD ．…………2分 又OE ⊂平面ACE ，1BD ⊄平面ACE ， …………4分所以1BD 平面ACE ．…………5分（Ⅱ）以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．…………6分则1(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,2)A C E B ，所以1()1,1,1EB −−→=，()1,0,1EA −−→=-，()C 0,1,1E −−→=-．所以1100EB EA EB EC −−→−−→−−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩，．所以11EB EA EB EC ⊥⎧⎨⊥⎩，．…………8分 又EA EC E =，…………9分 所以1EB ⊥平面ACE ．…………10分（Ⅲ）因为1111ABCD A B C D -为长方体，所以BC ⊥平面11DCC D所以取平面1ECC 的法向量为(1,0,0)BC −−→=-， …………11分 再由（Ⅱ），取平面ACE 的法向量为1()1,1,1EB −−→=．…………12分数学试卷 第 10 页（共 14 页）所以111cos ||||EB BCEB BC EB BC −−→−−→−−→−−→−−→−−→⋅〈〉==，．由题知二面角1A CE C --为钝角，所以其余弦值为 …………14分（18）（共14分）解：（Ⅰ）设事件A 为“这位顾客两种手机都选择分4期付款”．…………1分 故()0.10.40.04P A =⨯=．…………4分 （Ⅱ）X 的所有可能值为600,650,700,750,800,850,900．…………5分(600)0.40.40.16P X ==⨯=12(650)C 0.40.10.08P X ==⨯⨯=12(700)0.10.1C 0.40.10.09P X ==⨯+⨯⨯=1122(750)C 0.40.4C 0.10.10.34P X ==⨯⨯+⨯⨯=12(800)0.10.1C 0.10.40.09P X ==⨯+⨯⨯=12(850)C 0.10.40.08P X ==⨯⨯= (900)0.40.40.16P X ==⨯=所以X 的分布列为11分 （Ⅲ）1()D x <2()D x ．…………14分（19）（共14分）解：（Ⅰ）因为()(1)ln f x x x ax a =+-+，所以1()ln x f x x a x+'=+-． …………2分(1)2f a '=-．由题设知π(1)tan14f '==， 即21a -=，解得1a =． …………5分（Ⅱ）设()()g x f x '=．数学试卷 第 11 页（共 14 页）所以22111()x g x x x x-'=-=． …………7分令()0g x '=,1x =．因为当(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增， 所以()g x 的最小值为(1)2g a =-， 即()f x '的最小值为(1)2f a '=-． …………9分因为()f x 在(0,)+∞上单调递增， 所以()0f x '≥对(0,)x ∈+∞成立． 所以20a -≥． 所以a 的最大值为2．…………11分 （Ⅲ）当2a ≤时，()f x 只有1个零点．…………12分 当2a >时，()f x 有3个零点． …………14分（20）（共14分）解：（Ⅰ）因为椭圆方程22:16x C y +=，所以226,1a b ==． …………1分 所以25c =． …………2分所以离心率c e a ===． …………4分（Ⅱ）（i ）设1111(,),(,)P x y Q x y --1x ≠．由题设知，M ． …………5分因为PQ PM ⊥，所以点11(,)P x y 在以线段OM 为直径的圆上，所以有22211(x y +=． …………6分 又221116x y +=． …………7分解得11x x ==．所以2211624,2525x y ==． …………9分所以PQ===．又PM=…………10分所以PQ PM=，即PQM△为等腰三角形．（ii）法1：设22(,)M x y，且21x x≠±,1x≠,1x≠.记直线,,PQ PM QM的斜率分别为,,PQ PM QMk k k.所以1212112121,,PQ PM QMy y y y yk k kx x x x x-+===-+. …………11分因为PQ PM⊥，所以1PQ PMk k⋅=-. …………12分又2221212122212121PM QMy y y y y yk kx x x x x x-+-⋅=⋅=-+-.因为221122221,61,6xyxy⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩所以2221222116y yx x-=--. …………13分所以16PM QMk k⋅=-.所以6PQQMkk=，即直线PQ和直线QM的斜率之比为6. …………14分（ii）法2：因为点P不是椭圆C的顶点，所以直线,,PQ PM QM的斜率都存在且不为0，设直线PM的方程为()0y kx m km=+≠由2216y kx mxy=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2221612660k x kmx m+++-=由0,∆>所以22610k m+->.设1122(,),(,)P x y M x y,PM的中点00(,)T x y.因为1221216kmx xk-+=+，…………12分数学试卷第12 页（共14 页）数学试卷 第 13 页（共 14 页）所以12026216x x kmx k +-==+00216my kx m k =+=+，…………13分因为,OT QM ∥ 所以0016QM OT y k k x k===- 又因为,PQ QM ⊥ 所以1PQ k k=-.所以1616PQ QMk k k k -==-.…………14分（21）（共15分）解：（Ⅰ）①不可以；②可以.…………4分（Ⅱ）因为10||1k k k a k x x m -==-≤-，所以01k m ≤-.…………6分当0m 为奇数时，取1,[0,1]22,[0,1]2i m i i m i x m i i m i -+⎧∈-⎪⎪=⎨++⎪∈-⎪⎩且为偶数,且为奇数.当0m 为偶数时，取2,[0,1]21,[0,1]2i m i i m i x m i i m i ++⎧∈-⎪⎪=⎨-+⎪∈-⎪⎩且为偶数,且为奇数.此时k 可取01m -，所以max 01k m =-．…………10分（Ⅲ）设数列122021:,,,A a a a 满足[0,1](1,2,,2021)i a i ∈=， 构造数列012021,,,x x x 如下：0110,x x a ==，111,,,1,1i i i i ii i x a x x x a x ++++⎧=⎨->⎩≤ 其中1,2,,2020i =.数学试卷 第 14 页（共 14 页）根据1i x +的定义知道，当1i x ≤时，因为1[0,1]i a +∈，所以1[0,2]i x +∈. 当1i x >时，因为1[0,1]i a +∈，所以1[0,2]i x +∈. 而111,,||,1||||,1i i i i i i i i i i x a x x x x x a x x ++++-⎧-=⎨-->⎩≤所以111,,,1||,1i i i i i ia x x x a x +++⎧-=⎨>⎩≤所以任取数列122021:,,,A a a a 满足[0,1](1,2,,2021)i a i ∈=，均可以“嵌入” 区间[0,2].。