第六章 电场中的导体和电解质

静电是很普遍的现象，20世纪的 今天，电子仪器也是很普遍的。
防止静电干扰的思路：
1）“躲藏起来”
2）大家自觉防止静 电场外泄
咯咯嚓嚓
实际中大量应用：
1）测试用的屏蔽室
2）无线电电路中的屏蔽罩、屏蔽线、高压 带电作业中的均压服。
3）变压器中的屏蔽层。
初级
次级
电磁波的屏蔽 金属表面对电磁波有很强的反射作用，反
内 0
q E内 0
q内表=-q
且 q内表 S 内 d s q
外 理由：
在导体中包围空腔做高斯
面S ，则：
S
1
S
E导内 d
s
0
(q
q内 表ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)
0
q内表 q
二. 表面场强与面电荷密度的关系
小扁柱体 表面为 S
E表
en
S
导体
E d s E表 S
S
S
(高） 0
E表
0
，E表
0
射系数几乎是1。所以封闭的金属导体壳可以 完全屏蔽电磁波。
电磁波进入导体的深度称为“穿透深度”，它 正比于 1 ，高频电磁波的穿透深度很小， 很快衰竭。
原因：导体中自由电子在入射场驱动下形 成传导电流，其焦耳热消耗了电磁场的能量.
§6-4-2静电场中的电介质
（Dielectric In Electrostatic Field）
（A）
（B）
（C）
例2: 相距很近的平行导体板 A、B，分别带电
Q1, Q2 求电荷分布。
a
b
解：设平板面积为 S
1 2 3 4
由电荷守恒：
S
1S 2S Q1 (1)
3S 4 S Q2 (2)
Q1
Q2
由静电平衡条件：
Ea内
1 2 0
2 2 0
3 2 0
4 2 0
0
(3)
Eb内
1 2 0
第14章 静电场中的导体和电介质
本节开始有机会处理 相互作用
场
物质
• 物质与场是物质存在的两种形式 • 物质性质：
–非常复杂（只能初步地讨论） –要特别注意课程中讨论这种问题所加的限制
有作用？
物质固有的电 磁结构
场
物质
自由电荷：宏观移动 束缚电荷：极化
磁介质磁化
物质的电结构 价电子 –单个原子的电结构 内层电子
2 2 0
3 2 0
4 2 0
0
(4)
由(1)、(2)、(3)、(4)解得：
a
b
1 2 3 4
1
4
Qa Qb 2S
2
3
Qa Qb 2S
Qa Qb
即：相背面 等大同号， 相对面 等大异号。
思考：如何求左右
两边或者两板中间 的电场强度、两板 之间的电势差
讨论：
1、静电平衡条件的灵活运用：可以结合高斯定理建立方程
s
0
式中 1 ，不产生矛盾。
三. 孤立导体表面电荷分布的特点
孤立导体表面曲率大处面电荷密度也大， 但不存在单一函数关系。
表面凸出越尖（曲率越大） E大
e
表面越平坦（曲率越小） E小
表面凹进出越尖（曲率更小） E更小
尖端放电（point discharge）：
在带电尖端附近，电离的分子与周围分子碰撞， 使周围的分子处于激发态发光而产生电晕现象。
内壁电荷分布不变
〈3〉由叠加法求球心处电势
U0
Uq
U内壁
q
4 0 d
q
4 0 R
q (1 1)
40 d R
练习：
1、如图所示，一内半径为a、外半径为b的金属球壳，带有电 荷Q,在球壳空腔内距离球心r处有一点电荷q。设无穷远处为电 势零点，试求：
（1）球壳内外表面上的电荷。 （2）球心O点处，由球壳内表面上的电荷产生的电势。 （3）球心O点处的总电势。
空气中的直流高压放电图片：
三、 有导体存在时静电场的分析与计算
➢ 孤立导体的电荷守恒 分析方法:
➢ 静电平衡条件及高斯定理 ➢ 场强与电势的关系
常见导体组: 1、板状导体组 2、球状导体组
例1: 已知：面电荷密度为0 的均匀带电大平板旁，
0 1 2
E２ • E１ E0
平行放置一大的不带电导体平板。 求：导体板两表面的面电荷密度。
中讨论这种问题所加的限制）
§6-4-1 静电场中的导体
（Conductor in Electrostatic Field）
“电风”吹蜡烛
一、 导体的静电平衡条件
（electrostatic equilibrium of conductor）
• 导体：有足够多的自由电子 ——受电场力会移动
• 说明： –一般情况表面有一定厚度，很复杂如：E=109V， 则感应电荷聚集在表面的厚度为10-10m，本课程不 讨论表面层电荷如何分布。 –实际物质内部既有自由电子，又是电介质。如： 气体在一般情况下绝缘（电介质），但加高压气 体会被击穿（导体）——导体是一种理想模型。 –对导体只讨论达到静电平衡以后的情况，不讨论 加电以后电荷的平衡过程。
B 外表面：-q +q
UUA=A=00 A q -q -q+q
UA
q
4 0R1
q
4 0R2
qq
4 0R3
0
可解出
q(
q)
。
从本例题理解静电屏蔽 （屏内、屏外）的原理
例4: 在一接地导体球附近，有一电量为q的点 进电荷，q离导体球球心的距离为L，球半 径为R，求导体球上的感应电荷的电量。
R o
A
-
q--+'------dq'L
物质中的电荷 在电场的作用 下重新分布
互相影响场分布、互相制约 达到某种新的平衡
场分布
• 不同的物质会对电场作出不同的响应， 在静电场中具有各自的特性。
• 是场与物质的相互作用问题
–力学：只涉及物质的机械性质，对其本身 研究甚少。
–电磁学：较多地讨论场，而对物质本身的 电磁性质也涉及得很少。
–物质与场是物质存在的两种形式 –物质性质非常复杂（要特别注意我们课程
原子内部壳 层的电子
受外层电 子的屏蔽
一般都填满了 每一个壳层
在原子中 结合得比 较紧
填充在最外层的电子与核的结合较弱，容易摆脱 原子核的束缚——称为价电子——自由电子
导体、绝缘体和半导体
• 虽然所有固体都包含大量电子，但导电性能差异很 大 –导体： • 导体中存在着大量的自由电子 • 电子数密度很大，约为1022个/cm3 –绝缘体 • 基本上没有参与导电的自由电子 –半导体 • 半导体中自由电子数密度较小， • 约为 1012～1019个/cm3
2. 导体壳：外可不为零，但内 和 E内必为零。
内 = 0
外 理由：
在导体中包围空腔选取
E内 = 0
高斯面S ， 则：
S内
S
E导内 d s 0
内
ds
0，若内
S
0，则内必有正负
S内
E线从正电荷到负电荷 与导体静电平衡矛盾
只能内 =0，且腔内无E线 只能 E内 = 0。
3. 导体壳内有电荷：外可不为0，但必有内 0，
点电荷，用导线将球壳接地后再撤去地线，求球 心处电势.
解：〈1〉画出未接地前的电荷分布图.
q q
R
qqq
o
d
腔内壁非均匀分布的负电 荷对外效应等效于：
在与 同位置处置 。
R
q
q
o
d
〈2〉外壳接地后电荷分布如何变化？
U壳 U地 Uq U内壁 U外壁 0 q外壁 0
解：设导体上感应电荷
q 为 q，' (q' q)。
+
注意：O点的电势为零，
且是 q 和 q'共同产生
的电场叠加的结果。
U '
dq' 1
q' 40R 40R
dq' Rq'
q' q' 4Lq0 R
Uo
Uqo
U'
q
4 0 L
q'
4 0 R
0
例5:内半径为 R 的导体球壳原来不带电，在腔内
离球心距离为 d (d R) 处，固定一电量 q 的
例3: 带电导体球A与带电导体球壳B同心，求
（1）各表面电荷分布
（2）导体球A的电势UA （3）将B接地，各表面电荷分布。 （4）将B的地线拆掉后，再将A接地时各表面电荷
分布。
Q
R2 R3
B
A R1 q
解. （1）求表面电荷
A 表面:q B 内表面:-q B 外表面:Q +q
Q +q
R 3 R 2 -q
静电平衡条件
E内 0
导体刚放入 匀强电场中
只要 E不为零， 自由电子作定
向运动
改变电荷分 布，产生附
加场
E内 E0 E'
两者大小 相等，方 向相反— —完全抵 消——达 到静电平 衡
一般情况
导体静电平衡时的性质
• 电势分布
–导 体 是 一 个 等 势 体 ， 导体表面是等势面
–证明：
导体内部E=0
• 危害： 尖端放电及其应用
–雷击对地面上突出物体（尖端）的破坏性最大； –高压设备尖端放电漏电等。
• 应用实例：
–避雷针 –高压输电中，把电极做成光滑球状 –范德格拉夫起电机的起电原理就是利用尖端放电
使起电机起电； –场离子显微镜（FIM）、场致发射显微镜(FEM)乃
至扫描隧道显微镜(STM)等可以观察个别原子的显 微设备的原理都与尖端放电效应有关； –静电复印机的也是利用加高电压的针尖产生电晕 使硒鼓和复印纸产生静电感应，从而使复印纸获 得与原稿一样的图象。
钛酸钡 r=103—104。
空气 r=1， 变压器油 r～2.24
二、 电介质的极化
介质在电场中出现附加电荷称极化（polarization）
一）电介质分子可分为有极和无极两类
1.有极分子（polar molecule）：
了
内和导体壳上
一
都无电场
个
静
电 不论导体壳本身
屏 是否带电，还是
蔽 的 条
外界是否存在电 场,都不影响腔 内的场强分布
件
• 在静电平衡状态下
起到了保 护所包围 区域的作 用，使其 不受导体 壳外表面 上电荷分 布以及外 界电场的 作 用 —— 静电屏蔽
外 无影响内 外 有影响 内
若外壳接地，内、 外均无影响
带静电的梳子吸引水柱
一、 电介质对电场的影响
极板电量不变时，在极间充满各向同性均匀
电介质前后的场强关系为： E E0 / r
+Q -Q +Q -Q r 介质的相对介电常数
真
电 介
（ relative dielectric constant）
空
质 r 1，它与介质种类和状态有关
E0
E
水（20℃， 1atm）r=80，
解：设导体电荷密度为 1、 2 ，
电荷守恒： 1 + 2 = 0
(1)
导体内场强为零： E0 +E1‐E2 = 0
0 1 2 0 2 0 2 0 2 0
0 2 1 (2)
（1）、（2）解得：
1
2
0
2
思考 若上例中导体板接地，下面结果哪个正确?
-0 0 2 0
0
0
0
2
0 -0 0
a q
b
2、两个薄金属同心球壳，半径各为R1和R2，分别 带有电荷q1和q2. 二者电势分别为U1和U2（设无 穷远处为电势零点），先用导线将二球壳联起来，
则它们的电势为
(A) U1 (C) U1+U2
(B) U2 (D) (U1+U2)/2
静电屏蔽
空
不论导体壳本
腔
身是否带电，
提
还是外界是否
供
存在电场, 腔
b
U ab
E dl 0
a
导体内部任意两点间电势差为零 ——各点等电势——等势体
——表面为等势面
二、 静电平衡时导体上的电荷分布规律
一. 导体静电平衡时电荷分布在表面
1. 实心导体： 可不为 0，但 内 必为 0。
内=0
VS
理由：
E内 0 ，
S
E内
ds
1
0
V
内
dV
0，
S 是任意的。
令S→ 0，则必有 内 = 0。
用方程替代
2 +3 =0
方程（4）。
（但是要注意方程的数量不能少也不要多，准确数据由导体数决定。）
a
b
a
b
1 2 3 4
3
2
2、求各区间的场强除了用叠加原理外，还可以有高斯定 理和静电平衡条件直接得出，如ab间的场强：
E 2 0
（方向向右）
E 3 0
（方向向左）
A
B
1 2 3 4
1、a的电荷守恒 1S 2S Q1 (1)
BQ
A R1 q
（2）求A的电势UA
三层均匀带电球面,电势叠加
U
A
q
4 0
R1
q
4 0R2
Qq
4 0R3
（3）B 接地, 求表面电荷。
B R3
Aq -q
B
接地结果：UB 0
UB
qB外
4 0R3
0
B 外表面：无电荷
B 内表面：-q A 表面： q
（4）B 的接地线拆掉,再将A接地, 求表面电荷。
设A表面电荷为q B 则B 内表面：-q
en
思考
E表 是小柱体内电荷的贡献还是导体表
面全部电荷的贡献？ 从推导中的哪一步可看出？
无限大带电平面： E 20 是否矛盾？
带电导体表面附近： E 0
2 1
E
E
S
几何面
E
dS
2ES
S
s
0
如果计及带电面的厚度
式中 1 2 21
导体内 1
2
E0
S
E
S
E dS ES
Q1
Q2
3、b接地：
（注意：接地并不直接意味
2、a、b的静电平衡
Ea内
1 2 0
2 2 0
3 2 0
4 2 0
0
(2)
Eb内
1 2 0
2 2 0
3 2 0
4 2 0
0
(3)
4 =0 (4)
4 =0 ， 而是通过与大地等电势推出的结果 。）
结论的合理性：
利用静电感应过程合理地推出，A板电量全部集中在内侧，B板内侧感应 出等量异号的电量，如果A外侧有电荷，则必被B的负电荷吸引向内侧运动， 同样的，B的负电荷被A吸引向左运动至内侧