3.1生存模型与生命表教案资料
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第一章 生命表
60p20，2|3q50
1.1.4
离散型未来寿命的分布
取整余命（ K）：K(x)=[T(x)]
Pr[ K ( x ) k ] Pr[ k T ( x ) k 1] Pr[ k T ( x ) k 1] k 1 q x k q x k p x k 1 p x k|q x
1.1.5
死力
几种常见的假设：
1）de Moivre假设（1729）：
xt
1 0 x 1 , e x E [T ( x )]
0
xt
x
,
s(x) 1
,
f T (t )
x
2
x
其中的ω 为极限年龄，即假定在此年龄下，所 有的人均已死亡。
1.1.5
0
1
2
3
… …
q0
q1
i
q2
q3
q
i0
1,
qi 0
1.1.2
含义
生存函数
s(x)=1- F(x)=Pr(X>x), x≥0
新生婴儿x岁以后死亡的概率 新生婴儿活过x岁的概率
性质 a. s ( 0 ) 1,
x
lim s ( x ) 0
b. 单调递减函数
死力
xt
2）Gompertz假设（1825）：
xt B C
,
B 、 C 为常数
3）Makeham假设（1860）：
xt A B C
xt
,
A 、 B 、 C 为常数
4）Weibull假设（1939）：
xt k ( x t ) ,
1.1.4
离散型未来寿命的分布
取整余命（ K）：K(x)=[T(x)]
Pr[ K ( x ) k ] Pr[ k T ( x ) k 1] Pr[ k T ( x ) k 1] k 1 q x k q x k p x k 1 p x k|q x
1.1.5
死力
几种常见的假设：
1）de Moivre假设（1729）：
xt
1 0 x 1 , e x E [T ( x )]
0
xt
x
,
s(x) 1
,
f T (t )
x
2
x
其中的ω 为极限年龄，即假定在此年龄下，所 有的人均已死亡。
1.1.5
0
1
2
3
… …
q0
q1
i
q2
q3
q
i0
1,
qi 0
1.1.2
含义
生存函数
s(x)=1- F(x)=Pr(X>x), x≥0
新生婴儿x岁以后死亡的概率 新生婴儿活过x岁的概率
性质 a. s ( 0 ) 1,
x
lim s ( x ) 0
b. 单调递减函数
死力
xt
2）Gompertz假设（1825）：
xt B C
,
B 、 C 为常数
3）Makeham假设（1860）：
xt A B C
xt
,
A 、 B 、 C 为常数
4）Weibull假设（1939）：
xt k ( x t ) ,
生命表
静态生命表
• 适用于世代重叠的生物，表中的数据是根据在某一特定 时刻对种群年龄分布频率的取样分析而获得的，实际反映 了种群在某一特定时刻的剖面 。它是生命表的最常见形 式。
• 假设条件：（1）假定种群所经历的环境年复一年地没有 变化；（2）种群大小稳定；（3）年龄结构稳定。
• 优点：（1）易于看出种群的生存对策和生殖对策；（2） 易于编制。
将动态与静态生命表相结合。它所记载的内
容同动态生命表一致，只是该生命表把不同年份 同一时期标记的个体作为一组处理，即这组动物 不是同一年出生的。
•
野生动物专家可连续几年，每年都在同一时
期标记一批新孵化的幼鸟或新出生的仔兽，并对
每一批都进行跟踪观察和记录。然后再将汇集所
有动物的观察资料，作为同年出生的一组动物来
• 缺点：（1）工作量很大；（2）不易跟踪，且易因人为因 素造成较大的误差。
• 注意：（1）在某一时期内，坚持观察同一个自然种群； （2）在每一观察时刻，对种群大小进行估计。
静态生命表
根据某一特定时间对生物种群作一个年 龄结构调查，并根据调查结果而编制的生 命表.如去某村调查所有人口（规定时间特 别严）。它是某一个特定时间的静态横切 面，所研究的种群成员的各年龄组都是在 不同的年中所经历过来的，但在此假定了 种群所经历的环境条件是年复一年地没有 变化的。
一、生命表的编制方法与步骤
• 1、根据研究对象和目的，设计生命表类型及实验 方案
• 2、合理划分年龄组或发育阶段（X）的时间间隔 • 3、确定实验条件 • 4、建立同龄群的种群 • 5、跟踪观察和记录，收集实验数据 • 6、实验与田间调查相结合 • 7、资料整理与参数统计，制作生命表 • 8、生命表分析与构建种群动态数学模型
寿险精算学-ch2
未来寿命的生存函数示意图
• t p0 =S0 (t)
• 1 px 简记为 px
特别符号
• t u qx t px tu px
• tu px t px u pxt
未来寿命生存函数的性质
• 定理1： 0 px 1
•
定理2：
d dt
t
px
0
,t 0
•
定理3：
lim
t x
t
px
0
• 由于死亡是必然发生的, 所以还可以得到如下两个引理:
• 在新生婴儿时期寿命的密度函数有一个递减趋势。 这是 因为新生婴儿是脆弱的,各种先天不足都会在刚出生时暴 露, 所以新生婴儿阶段死亡概率是偏高的。 经过医学治疗 和自然淘汰, 婴儿死亡率迅速下降。
• 青少年时期是人一生中死亡率最低的一段时期。 这段时 期是人类的健康黄金期。
• 从40 岁左右开始, 随着年龄的增长, 人的器官逐渐老化, 开 始罹患各种疾病,身体进入失效期, 死亡率开始递增。 60 岁前后进入加速失效期, 80 岁前后达到死亡率的顶峰。
– 中老年时期属于人类的加速失效时期。 在这段时间里, 身体各器 官逐渐老化,开始罹患各种疾病。 通常一种疾病治好了, 不久又会 产生另外一种疾病。 人类进入加速失效期之后, 健康维持成本将 变得越来越大。
例2.5
• 假设某人群每10万个新生婴儿, 能活到40 岁的人数为 97369, 能活到85 岁的人数为33851, 而在85~86 岁这一年 死亡的人数为3758。
• 所以本例中, 40 岁的人在85 岁时未来寿命的密度函数和 死亡力函数（以年为最小计量单位） 为：
f40 (45)
3758 97369
0.0386
生命表
基于各方面的考虑，在中国保监会的领导和组织下，2003年8月， 正式启动了新生命表编制项目。
由于不同年龄层次的人口死亡水平的高低 不同，反映在生存时间的长度上各有差异， 人口不同年龄层次分布计算
0岁组
1 3 L0 l0 l1 4 4
5岁以上各组的计算 1~4岁各年龄组的计算
1 Lx (l x l x 1 ) 2
1 1 Lx (l x l x 1 ) (d x 1 d x ) 2 24
指在生命表上年龄为x岁的死亡人数。其确切意义是指
已经活到x岁，但尚未活到x+1岁之前而死去的人数。
d0-从出生后到尚未满周岁前在此期间死亡的人数 d1-已满1岁到尚未满2周岁在此期间死亡的人数 d2-已满2岁到尚未满3周岁在此期间死亡的人数 …… d
1 d0，d1，d2， ……， d 1 ，此数列在生命表中为死亡序列
1995年我国发布的“中国人寿保险业经验生命表(1990-1993)”(简 称原生命表)是我国第一张经验生命表。近年来，人民生活水平、 医疗水平有了较大的提高，保险公司核保制度逐步建立，未来保险 消费者群体的寿命呈延长趋势，原生命表已经不能适应行业发展的 要求。
与此同时，寿险业的快速发展也具备了编制新生命表的条件。主要 体现在三个方面： (1)10年来，业务快速发展，积累了大量的保险业务数据资料； (2)保险公司信息化程度大幅提高，数据质量也有了较大的改善； (3)保险精算技术获得了极大发展，积累了一些死亡率分析经验。
-已满 1 岁到尚未满 1 1 岁在此期间死亡的人数
生存序列和死亡序列间有着下列 关系：
l0 d 0 l1 l1 d1 l2 l2 d 2 l3 ...... l 1 d 1 l 11 l 0
由于不同年龄层次的人口死亡水平的高低 不同，反映在生存时间的长度上各有差异， 人口不同年龄层次分布计算
0岁组
1 3 L0 l0 l1 4 4
5岁以上各组的计算 1~4岁各年龄组的计算
1 Lx (l x l x 1 ) 2
1 1 Lx (l x l x 1 ) (d x 1 d x ) 2 24
指在生命表上年龄为x岁的死亡人数。其确切意义是指
已经活到x岁，但尚未活到x+1岁之前而死去的人数。
d0-从出生后到尚未满周岁前在此期间死亡的人数 d1-已满1岁到尚未满2周岁在此期间死亡的人数 d2-已满2岁到尚未满3周岁在此期间死亡的人数 …… d
1 d0，d1，d2， ……， d 1 ，此数列在生命表中为死亡序列
1995年我国发布的“中国人寿保险业经验生命表(1990-1993)”(简 称原生命表)是我国第一张经验生命表。近年来，人民生活水平、 医疗水平有了较大的提高，保险公司核保制度逐步建立，未来保险 消费者群体的寿命呈延长趋势，原生命表已经不能适应行业发展的 要求。
与此同时，寿险业的快速发展也具备了编制新生命表的条件。主要 体现在三个方面： (1)10年来，业务快速发展，积累了大量的保险业务数据资料； (2)保险公司信息化程度大幅提高，数据质量也有了较大的改善； (3)保险精算技术获得了极大发展，积累了一些死亡率分析经验。
-已满 1 岁到尚未满 1 1 岁在此期间死亡的人数
生存序列和死亡序列间有着下列 关系：
l0 d 0 l1 l1 d1 l2 l2 d 2 l3 ...... l 1 d 1 l 11 l 0
保险精算学3-生命表
dx列：各年龄间的死亡人数。
o
e
x
列：x岁人的余命的平均值。
三、用途和分类
1、用途：
生命表是过去经验的总结，而在寿险中，保 险金的给付、责任准备金的提取、保单现金 价值的估计、保单红利的分配都与被保险人 的死亡率息息相关，因此反映了被保险人生 命规律的生命表对于寿险经验有着非常重要 的作用。
know : s(x)
100 x ,0 x 100,to
10
find : 15q36, 36, e36
q 15 36
s(36) s(51) s(36)
1 8
36
s( x) s(x)
1 2(100
x)
1 128
e36
0
t
p36dt
1 80
64 tdt 128 3
思考：人们寿命的延长对寿险业的经营 有哪些影响？
k 0
k 0
k 0
T(x)的期望值是完全平均余命：
lxtdt
ex E(T (x)) t g(t)dt t t px xtdt td ( t qx ) t pxdt
两种余0 命之间的0关系：
0
0
0
lx
T (x) K(x) S(x)
E(T (x)) E(K (x)) E(S(x))
F(x)表示新生儿在x岁前死亡的概率，即xq0
设s(x) 1 F(x) Pr( X
x)
lx l0
,x0，
这是新生儿活到x岁的概率，即xp0，s(x)就是生
存函数。
新生儿在x~z岁间死亡的概率为：
Pr(x X z) F(z) F(x) s(x) s(z)
E(x)表示x的期望值，即新生儿的平均寿命。
第三章-单生命生存模型与生命表-第二节-生命表PPT课件
二、生命表的构造
原理
在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人 群的生存概率。（用频数估计频率）
常用符号
新生生命组个体数：l 0
年龄：x
极限年龄：
l 0 个新生生命能生存到年龄 x的期望个数：l x
-
4
二、生命表的构造
l 0 个新生生命中在年龄 x与xn之间死亡的期望个
数：n d x
实务中，通常设定一个年限r，当选择经过了r年后， 我们q 认[x 为k] 这k个j r年qx就j称;j为0 选,1 择, 期。
由选择期内的死亡率构造的生命表就称为选择表。 在选择期结束后，死亡率只与到达年龄有关，与 选择年龄无关。以选择影响消失后的死亡率构造 的生命表称为终极表。习惯上，将终极表并列在 选择表的右边，就构成了选择-终极表。
-
11
思考题
（1）相比较新旧两个生命表，从数据上反映了 十年间有哪些变化？
（2）试分析这些变化的原因。
（3）这些变化对保险公司开发险种，设立保险 条款，确定保险费以及准备金等将产生什么 影响？
注：以上问题没有标准答案，就其所能尽量
发挥。
-
12
三、选择-终极生命表
选择-终极生命表构造的原因
需要构造选择生命表的原因：刚刚接受体检的新 成员的健康状况会优于很早以前接受体检的老成 员。因此那些在投保时健康状况良好的被保险人 的死亡率低于没有接受健康状况检查的人。
-
6
例2.10答案
利用旧生命表中的数据，有 （1）80p20ll1200098 31 91 14 100.003986.
（2）5 0q 2 0 1 5 0p 2 0 1 ll7 2 0 09 6 8 8 1 7 1 0 4 7 0 40 .2 9 9 7 2 .
生命表基础课件
t
（7） t qx FT (x) (t) 0 s px (x s)ds ；
（8）
qx
lim
t
FT
(
x
)
(t
)
0 t px (x t)dt 1；
（9）
d dt
t
px
d dt
(1
t qx )
d dt
t qx
t
px ( x
t)；
（10） lim xn ( y)dy . n x
上式中，当 u=1 时，则可简记为 t| qx 。 注：由前面的讨论，我们有，
（1）t qx
SX (x) SX (x t) SX (x)
；
（2）t
px
SX (x t) SX (x)
（3）t|u qx t px tu
； px
SX
(x
t) SX (x SX (x)
t
u)
)
S
X '( SX
x (
t x)
)
注：关于T（x）的概率都是已知 X x 时相应的 X 的条件概率。
类似地，我们定义一个x 岁的人在 t 年后活着的概率 ST (x) (t)为： ST (x) (t)=Pr(T(x)>t)=1 FT (x) (t)
=1 SX (x) SX (x t) SX (x)
例1-4. 对于例1-1中的 X ，求 (x) 。
解：黑板演示
第二节 生命表函数
一、生命表的概念 二、 lx 函数 三、d x函数
一、生命表的概念
第3章_生存模型与生命表
符号 p x 与 q x 可扩展到不只限于 1 年的死亡与生存概率。 定义：
t
p x ＝ S x (t ) ＝ P [ Tx ＞ t ]
t
q x ＝ Fx (t ) ＝ P [ Tx ≤ t ]
即， t p x 表示 x 岁的人在 x t 岁时仍然生存的概率； t q x 表示 x 岁的人在未来 t 年 中死亡的概率。显然，
x s 岁，并在一个很短的时间间隔 ds 里死亡的概率。这个定积分因此是这个人
在 x 岁到 x ＋1 岁之间任意一给定时刻死亡的概率的加总。这些事件当然都是独 立的，所以我们把它们的概率加起来得到总的概率 q x 。
（二） t p x 的公式
s ＝
即
( s p 0 ) s p0
d log( s p 0 ) ds
h x ≈ h q x
二、关于死亡力的一个重要公式：
1 x ＝ Iim PT0 x h | T0 x h0 h
1 F ( x h) F0 ( x) ＝ Iim 0 h0 h 1 F0 ( x)
＝
d 1 × F0 ( x ) 1 F0 ( x) dx
f x (t ) ＝
S (x t) 1 P[T x t h] P[T x t ] Iim S ( x) h0 h S (x t)
h 0
＝ S x (t ) × Iim ＝ S x (t ) × xt
1 P[T x t h | T x t ] h
t
p x ＝1－ t q x
且
t u
p x ＝ t p x × u p x t ＝ u p x × t p x u
容易理解：
t u
t
p x ＝ S x (t ) ＝ P [ Tx ＞ t ]
t
q x ＝ Fx (t ) ＝ P [ Tx ≤ t ]
即， t p x 表示 x 岁的人在 x t 岁时仍然生存的概率； t q x 表示 x 岁的人在未来 t 年 中死亡的概率。显然，
x s 岁，并在一个很短的时间间隔 ds 里死亡的概率。这个定积分因此是这个人
在 x 岁到 x ＋1 岁之间任意一给定时刻死亡的概率的加总。这些事件当然都是独 立的，所以我们把它们的概率加起来得到总的概率 q x 。
（二） t p x 的公式
s ＝
即
( s p 0 ) s p0
d log( s p 0 ) ds
h x ≈ h q x
二、关于死亡力的一个重要公式：
1 x ＝ Iim PT0 x h | T0 x h0 h
1 F ( x h) F0 ( x) ＝ Iim 0 h0 h 1 F0 ( x)
＝
d 1 × F0 ( x ) 1 F0 ( x) dx
f x (t ) ＝
S (x t) 1 P[T x t h] P[T x t ] Iim S ( x) h0 h S (x t)
h 0
＝ S x (t ) × Iim ＝ S x (t ) × xt
1 P[T x t h | T x t ] h
t
p x ＝1－ t q x
且
t u
p x ＝ t p x × u p x t ＝ u p x × t p x u
容易理解：
t u
第二章生命表(生存模型-中国精算研究院,周渭兵)
qx
n qx n dx lx
n dx
lx l xn lx
px
px
l x 1 lx
• 例2.2 根据表2.2求： • （1）在2-4岁之间死亡的人数。 • （2）1岁生存到4岁的概率。
• 2.2由lx推导的其他函数
• 一、死力（the force of mortality）的概念
dx Lx
dx l x (1 f x ) d x
qx 1 (1 f x ) q x
一般地 由于 有
0
n
s l x s x s ds l x s ds n l x n n Lx n l x n
0
n
nf x
n L x n l x n
表2.2 x 0 1 2 3
传统生命表 lx 100000 99724 99538 99407 x 4 … 109 110 lx 99311 … 1 0
特点：1、不使用S(x),而是将S(x) ×100000. 2、l0=100000.令lx=l0S(x).
• • • •
已知l0,则 lx=l0S(x)。 dx=lx-lx+1 ndx=lx-lx+n
xd (Tx )
0
Tx dx
定义： Y0 得： ( 4)
0 2
Tx dx
2 Y0 l0 2 2
E( X )
于是： Var（X） E ( X ) E ( X )
2 Y0 l0
T0 l 0
2
2.2.3 条件概率与密度
(1)
x n m q x 表示x岁的人在（ n）岁和
n qx n dx lx
n dx
lx l xn lx
px
px
l x 1 lx
• 例2.2 根据表2.2求： • （1）在2-4岁之间死亡的人数。 • （2）1岁生存到4岁的概率。
• 2.2由lx推导的其他函数
• 一、死力（the force of mortality）的概念
dx Lx
dx l x (1 f x ) d x
qx 1 (1 f x ) q x
一般地 由于 有
0
n
s l x s x s ds l x s ds n l x n n Lx n l x n
0
n
nf x
n L x n l x n
表2.2 x 0 1 2 3
传统生命表 lx 100000 99724 99538 99407 x 4 … 109 110 lx 99311 … 1 0
特点：1、不使用S(x),而是将S(x) ×100000. 2、l0=100000.令lx=l0S(x).
• • • •
已知l0,则 lx=l0S(x)。 dx=lx-lx+1 ndx=lx-lx+n
xd (Tx )
0
Tx dx
定义： Y0 得： ( 4)
0 2
Tx dx
2 Y0 l0 2 2
E( X )
于是： Var（X） E ( X ) E ( X )
2 Y0 l0
T0 l 0
2
2.2.3 条件概率与密度
(1)
x n m q x 表示x岁的人在（ n）岁和
《生存模型》习题参考答案（第一章）
《⽣存模型》习题参考答案（第⼀章）《⽣存模型》习题参考答案1．1 解：（1）0.5()()0.05(100),0100df t S t t t dt-=-=-?0.50.05(36)0.05(10036)80.00625f -=-==（2）0.510.5()0.05(100)()0.5(100),0100()0.1(100)f t t t t t S t t l ---===-?-1(50)0.5(10050)0.01l -=-=（3）10()()0.5(100)0.5ln(1100),0100t t t s ds s ds t tl -L ==-=--?蝌(75)0.5ln(175100),01000.693147t L =--唬<（4）1001001000.50200[]()()0.1(100)366.66E T tf t dt S t dt t dt ===-==蝌& （5）10010022[]()2()0.4800000.2(100)(100)315E T tf t dt tS t dtt t dt t dt ===-=-=蝌蝌{}2228000020040000var[][][]15345888.88T E T E T 骣÷?=-=-==÷?÷?桫& 1．2 解：（1）{}{}201()exp ()exp ()exp (),02tt S t x dx a bx dx at bt t l 禳镲=-=-+=-+?睚镲镲铪蝌（2）21()()()()exp (),02f t t S t a bt at bt t l 禳镲==+-+?睚镲镲铪（3）令22211()exp ()()exp ()022d f t b at bt a bt at bt dt 禳禳镲镲=-+-+-+=睚睚镲镲镲镲铪铪，得：t =。
此时，(),0f f t t 吵桫，即t =为分布的众数。
第4章 人口统计学和生命表
4.1.3 人口转变理论与人口金字塔
ACTUARY
当今世界城市化和工业化趋势在中国和印度尤为明显。这两国家成为世界上人口最为 稠密的国家，这两国的变化发展对全球经济的发展都起到了主导作用。
2．人口金字塔 人口金字塔是用以展示一个国家人口的性别和年龄分布状况的类似金字戴的图形，由 许多条形块结合组成。比如下图印度1989年人口金字塔所示，男性人口数量如图右边所 示，女性人口数量如图左边所示。金字塔中年龄组的组间距为5年，0—4岁为第一组，往 后类推。 人口金字塔可以直接根据各年龄组男女人数来确定坐标刻度进行绘制；也可以先计算 出各年龄组男女人数各自所占总人口百分比来确定坐标刻度进行绘制。人口年龄金字塔 具有反映人口年龄结构状况的作用。
进行分类。包含索赔记录和行业数据
4.1.1 人口统计概述
ACTUARY
5．总体特征 任何总体都有大量共有的特征，为达到研究目的，一个总体需满足一个最起码的条件， 即总体中的个体需要有同质性，比如
· 以同样的方式进入这个总体 · 以同样的方式离开这个总体
“同质”是指至少存在一种方式可以辨认出某个个体是属于这个总体的。比如，精算 学家是一直从事精算研究的一群人，这就是同质性的一个特征。考虑一个国家，我们可 以以下面的标准对其进行分组：
第四章 人口统计学与生命表简 介
ACTUARY
生存模型是描述单个个体由生存状态到死亡状态这一过程（或由开始运行到报废或失效状态这一
过程）的数学模型。通常研究机械设备从运行到失效，或动物由生存到死亡的生存模型，其所研究
的精确年龄意义不大，比如一台机械从运行5年至6年间报废的概率的测度并没有多大意义，但对于
· 同一地区 · 同一行业 · 同一工种 · 同一嗜好
2,生命表和生命函数
➢ 有了死力概念，即可得出存活概率与死 亡概率的连续型表达式：
x
lx l0e0 ydy
n
p e n x
0 xt dt
n
n qx
1
e
0
xt
dt
n
0 t px xtdt
生命表和生命函数
➢ 生命表函数（续） ➢ Lx： 的人在 x 岁和
岁间活的总年数；
Lx
1 0
l
xt
xt
பைடு நூலகம்
tdt
lx1
1
0 lxt dt
假如死亡人数在每个年龄区间上均匀分布，则
Lx
lx
lx1 2
生命表和生命函数
➢ 生命表函数（续）
➢ Tx：x岁的人群未来累计存活总年数；
Tx 0 lxt xttdt 0 lxt dt
x1
Tx Lx Lx1 L1
Lxt
t 0
生命表和生命函数
➢ 生命表函数（续）
➢ K(x)：x岁的人群未来存活的整年数；
K ( x) [Tx ]
生命表和生命函数
➢ 生命表函数（续）
➢平均余命：取整平均余命及完全平均余命
➢取整：
ex
K (x) lx
E[K ( x)]
KP[K ( x) k ]
P k 1 x
k 0
k 0
➢完全：
ex
Tx lx
E[Tx ]
lxt dt 0 lx
死亡率的改进
➢ 死亡率的改进 ➢ 例：
➢ A公司：经过体检的不吸烟者死亡率首年度为 55%×生命表首年度死亡率，以后逐年递增到60% 或70%；经过体检的吸烟者，首年度调整因子为 115%，以后逐年递减到110%
第2章 生命表基础
tu
t +u
px
条件生存函数
进一步地，有：
t |u
qx = Pr(t < T ( x ) ≤ t + u ) = Pr(T ( x ) > t ) ⋅ Pr(T ( x ) ≤ t + u | T ( x ) > t ) = t px ⋅ u qx +t
条件生存函数：
t +u
px =
t |u
px = t p x ⋅ u px +t =
u|t
p x = u p x ⋅ t p x +u
特别地，有：
x +t
p0 = x p0 ⋅ t px
整值剩余寿命
定义：( x)未来存活的完整年数，简记 K ( x)
K ( X ) = k, k ≤ T ( x) < k + 1, k = 0,1,L
概率函数
Pr( K ( X ) = k ) = Pr(k ≤ T ( x) < k + 1) = k +1 qx − k qx = k px − k +1 px = k px ⋅ qx + k = k qx
生命表的特点
构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布假定（非参 数方法）
生命表的分类
总体上可分为：国民生命表和经验生命表两大类。 国民生命表：完全生命表和简易生命表。 经验生命表：由寿险公司编制。分为： 综合生命表：仅考虑到达年龄（被保人已经达到的年 龄）而不考虑进入年龄（被保人投保时的年龄）。国民 生命表和终极和进入年龄的生命表。 终极生命表：按照承保选择的影响消失后的死亡率数 据编制而成的生命表称为终极表。 选择-终极生命表：选择表和终极表编制在同一张表 格中。
t +u
px
条件生存函数
进一步地，有：
t |u
qx = Pr(t < T ( x ) ≤ t + u ) = Pr(T ( x ) > t ) ⋅ Pr(T ( x ) ≤ t + u | T ( x ) > t ) = t px ⋅ u qx +t
条件生存函数：
t +u
px =
t |u
px = t p x ⋅ u px +t =
u|t
p x = u p x ⋅ t p x +u
特别地，有：
x +t
p0 = x p0 ⋅ t px
整值剩余寿命
定义：( x)未来存活的完整年数，简记 K ( x)
K ( X ) = k, k ≤ T ( x) < k + 1, k = 0,1,L
概率函数
Pr( K ( X ) = k ) = Pr(k ≤ T ( x) < k + 1) = k +1 qx − k qx = k px − k +1 px = k px ⋅ qx + k = k qx
生命表的特点
构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布假定（非参 数方法）
生命表的分类
总体上可分为：国民生命表和经验生命表两大类。 国民生命表：完全生命表和简易生命表。 经验生命表：由寿险公司编制。分为： 综合生命表：仅考虑到达年龄（被保人已经达到的年 龄）而不考虑进入年龄（被保人投保时的年龄）。国民 生命表和终极和进入年龄的生命表。 终极生命表：按照承保选择的影响消失后的死亡率数 据编制而成的生命表称为终极表。 选择-终极生命表：选择表和终极表编制在同一张表 格中。
3.1生存模型与生命表PPT
一个刚出生的个体生存至x岁，记此时的个体用符号 (x)表示，假设x为整数。个体(x)的未来生存时间为 一随机变量，记为 T x ，则 Tx T0 x 。
又记 T x 的整数部分为 K x ，小数部分为 S x 则
Tx Kx Sx
1
同时， T x 的分布函数、生存函数及密度函数分别用 Fx(t),Sx(t)和fx(t) 表示。
2 |2 q 2 2 2p 2 22 q 2 4 S S 0 0 ( (2 2 4 2 ) )(1 S S 0 0 ( (2 2 6 4 ) )) 0 .0 1 9 6
5p20
S0(25) S0(20)
0.9512
1
例8 设(x)的未来寿命的密度函数为
fx(t)
1
，0t
95
95
0,
其他
利息力=0.06， 保额为一个单位的终身寿险的现值
P(Tx u)P(Tx t u)
u px tu px
（3）对 0ht，
QP(Tx
t)|Tx
h)
P(Tx t,Tx h) P(Tx h)
P(Tx t) P(Tx h)
tpxP (T xt)P (T xh )P (T xt|T xh ) hpxt hp x h
1
□例2 已知生存函数 S0(x)(110 x0)1/2,0x100
Tx的分布函数：
Fx(t)P(Tx t)
生存函数（生存分布）：S x(t) P (T x t) 1 F x(t)
密度函数： fx(t)F x(t)Sx (t)
1
F0(t)与 Fx(t)的 关 系 ：
Fx(t) P(Tx t) P(x T0 x t T0 x) P(x T0 x t) P(T0 x) F0(x t) F0(x) 1 F0(x)
又记 T x 的整数部分为 K x ，小数部分为 S x 则
Tx Kx Sx
1
同时， T x 的分布函数、生存函数及密度函数分别用 Fx(t),Sx(t)和fx(t) 表示。
2 |2 q 2 2 2p 2 22 q 2 4 S S 0 0 ( (2 2 4 2 ) )(1 S S 0 0 ( (2 2 6 4 ) )) 0 .0 1 9 6
5p20
S0(25) S0(20)
0.9512
1
例8 设(x)的未来寿命的密度函数为
fx(t)
1
，0t
95
95
0,
其他
利息力=0.06， 保额为一个单位的终身寿险的现值
P(Tx u)P(Tx t u)
u px tu px
（3）对 0ht，
QP(Tx
t)|Tx
h)
P(Tx t,Tx h) P(Tx h)
P(Tx t) P(Tx h)
tpxP (T xt)P (T xh )P (T xt|T xh ) hpxt hp x h
1
□例2 已知生存函数 S0(x)(110 x0)1/2,0x100
Tx的分布函数：
Fx(t)P(Tx t)
生存函数（生存分布）：S x(t) P (T x t) 1 F x(t)
密度函数： fx(t)F x(t)Sx (t)
1
F0(t)与 Fx(t)的 关 系 ：
Fx(t) P(Tx t) P(x T0 x t T0 x) P(x T0 x t) P(T0 x) F0(x t) F0(x) 1 F0(x)
保险精算-第3章2-生命表
3.2.2 生命表的内容
基数: 在生命表中,首先选择初始年龄且假定在 该年龄生存的一个合适的人数. 一般0为初始年龄,基数用 l 0 表示 需要规定极限年龄,用 表示
常用符号
x ：年龄
lx
：生存数，指从初始年龄至满 x 岁尚生存的人。 （1）l x 表示自出生至满 x 岁尚存活人数的期望值。
年龄 x 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 未来一年内死亡概率 q x 0.00133 算出各种 0.00134 0.00137 有用的概率 ： 0.00142 p 34 , q 34 , 2 p 34 , 2 q 34 0.00150 q 34 0.00159 2| 0.00170 0.00183 0.00197 0.00213
q x m p x m 1 p x m p x n q x m
例3.1
已知
l x 10000 (1 x 100 )
计算下面各值：
（1）d ,
30 20
p 30 ,
30
q 30 ,
10
q 30
（2）20岁的人在50~55岁死亡的概率。 （3）该人群平均寿命。
例3.1答案
• 国民生命表是以全体国民或特定地区的人口生 存状况统计资料编制成的 • 经验表是人寿保险公司依据过去其承保的被保 险人实际的生存状况统计资料编制的。
在同一时期内， 国民生命的死亡率一般要高于经验表的死亡率。
国民生命表
1.完全生命表（complete life table） 2.简易生命表（abridged life table） • 完全生命表是根据准确的人口普查资料，依 年龄分别计算死亡率、生存率、平均余命等 生命函数而编制的。 • 简易生命表则采取每年的人口生存状况动态 统计资料和人口抽样调查的资料，按年龄段 （如5岁或10岁为一段）计算的死亡率、生 存率、平均余命等生命函数。
生存模型
概率密度函数：
e
, t ≥ 0, λ > 0
d − λt f (t ) = − S (t ) = λ e dt
危险累积函数：
f (t ) λ (t ) = =λ S (t )
精算教材中常称指数分布为常力分布。
例2.1 对于指数分布，证明
E (T ) =
证：
λ
1
,Var (T ) =
+∞ 0
1
λ
2
3、综合模型（总量模型） 综合模型（总量模型）
S （1） ( x ) 符号定义 考虑一特殊情况：定义在 t = 0时的初始事件是 某人的实际出生日，他的生存概率由 S (t ) 给出 。 一般地用 x表示到达年龄，则当 t = 0 时 x = 0 ， 所以到达年龄与消逝的时间事实上是一致的。 于是既可以用 x 也可以用 t 作为主要变量，按 通常的惯例是用 x 。生存概率将由 S ( x ), x ≥ 0 给出，而 S (0) = 1 ，当 x → ∞时S ( x) → 0 。
§2.2参数生存模型举例 参数生存模型举例 一：均匀分布
均匀分布是只有两个参数的分布，其概率 密度函数为：
1 , t ∈ [ a, b] f (t ) = b − a 0 , 其他
如果将均匀分布视为一生存模型，常用希腊 字母表示这个参数，则密度函数：
1 , t ∈ [0, ω ] ω 0 , 其他
− t λ ( y )dy S (t ) = exp ∫ 0
4. 累积危险率函数Λ (t ) ：
Λ(t )则：来自∫ λ ( y)dy = − ln S (t )
0
t
S (t ) = e
−Λ ( t )
e
, t ≥ 0, λ > 0
d − λt f (t ) = − S (t ) = λ e dt
危险累积函数：
f (t ) λ (t ) = =λ S (t )
精算教材中常称指数分布为常力分布。
例2.1 对于指数分布，证明
E (T ) =
证：
λ
1
,Var (T ) =
+∞ 0
1
λ
2
3、综合模型（总量模型） 综合模型（总量模型）
S （1） ( x ) 符号定义 考虑一特殊情况：定义在 t = 0时的初始事件是 某人的实际出生日，他的生存概率由 S (t ) 给出 。 一般地用 x表示到达年龄，则当 t = 0 时 x = 0 ， 所以到达年龄与消逝的时间事实上是一致的。 于是既可以用 x 也可以用 t 作为主要变量，按 通常的惯例是用 x 。生存概率将由 S ( x ), x ≥ 0 给出，而 S (0) = 1 ，当 x → ∞时S ( x) → 0 。
§2.2参数生存模型举例 参数生存模型举例 一：均匀分布
均匀分布是只有两个参数的分布，其概率 密度函数为：
1 , t ∈ [ a, b] f (t ) = b − a 0 , 其他
如果将均匀分布视为一生存模型，常用希腊 字母表示这个参数，则密度函数：
1 , t ∈ [0, ω ] ω 0 , 其他
− t λ ( y )dy S (t ) = exp ∫ 0
4. 累积危险率函数Λ (t ) ：
Λ(t )则：来自∫ λ ( y)dy = − ln S (t )
0
t
S (t ) = e
−Λ ( t )
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（1） 一个50岁的人下一年死亡的概率是多少？
（2）假如有1000名50岁的人中，下一年可能死去多 少人？
（3）如果某50岁的人，投保了一个10年定期的某种 人寿保险，那么应该向他收取多少保费？（即 定价问题！）
（4）一些特定因素（如一天吸60根烟卷）对50岁男 性公民未来的生存时间有怎样的影响？
二、新生婴儿的生存分布
tq x P ( T x t ) 1 P ( T x t ) 1 tp x ; 又由条件概率公式，有
u|tqxP(uTxtu) P(Txu)P(Txtu|Txu) P ( T x u ) P ( T x u t) u p x tq x u ;
u|t qx P(Tx t u,Tx u)
所以有，
S0(xt)S0(x)Sx(t) S x ( t u ) S x ( t ) S x t( u ) S x ( u ) S x u ( t )
■例1 设生存分布函数为
S0(t)et,t0
其中 0 为参数，求 Fx(t)和fx(t) 。
解：Fx
(t)
1
S0(x t) S0 ( x)
1
et
fx (t) Fx(t) 1 et 些国际通用精算表示法）
（一）未来一年的生存与死亡概率
1）pxSx(1)P (T x1)个体(x)在x+1岁仍然生存
的概率；被称为生存概率。
2）qxF x(1)P(Tx1)个体(x)在未来一年内死亡
的概率； 称为死亡概率。
与密度函数的关系： f0(t)S0(t) 新生儿将在m岁至n岁之间死亡的概率：
n
Pr(mXn)F 0(n)F 0(m ) f0(t)dt
m
注：生存函数 S 0 ( t ) 的性质
1o S0(0)1
2 o S 0 (x )单 调 下 降 ， 右 连 续
3 o S 0(x) 0 ,x 时 。
■ 例如：（1）一个0岁的人在50岁之后死亡的概
F0(t)与 Fx(t)的 关 系 ：
Fx(t) P(Tx t) P(x T0 x t T0 x) P(x T0 x t) P(T0 x) F0(x t) F0(x) 1 F0(x)
S0(t)与 Sx(t)的 关 系 ：
Sx(t)P(Tx t)P(T0 xtT0 x) P(T0 xt)S0(xt) P(T0 x) S0(x)
（3）生命个体可从“生存状态”转化到“死亡状态”， 但不能相反；
（4）任何个体的未来生存时间是未知的，所以只能从 生存与死亡的概率探讨并着手去研究生存状态；
（5）生存模型就是对这一过程所建立起来的数学模型， 用数学公式作清晰地描述，从而对死亡率的问题做出 部分解释。
□下面就是生存模型可给出回答的一些问题：
（3）被保险人在未来某个时期的生死是不确 定事件，对这个不确定事件的研究是寿险精算 的主要工作之一，他决定着保险金的给付与否， 他的研究把数学和生存与死亡概率联系在了一 起。
从数学的角度看，生存与死亡状态是一个简单的过 程，这个过程有以下特征：
（1）存在两个状态：生存和死亡；
（2）对单个个体可描述出它们所处的状态：即可划分 为生存者和死亡者；
率是 P(T050)S0(50)；（2）而在60岁
之前死亡的概率可表示成
P(X060)F 0(60)
（3）而在50岁到60岁之间死亡的概率可表示为
P ( 5 0 X 0 6 0 ) F 0 ( 6 0 ) F 0 ( 5 0 )
三、 x岁个体的生存分布
一个刚出生的个体生存至x岁，记此时的个体用符号 (x)表示，假设x为整数。个体(x)的未来生存时间为 一随机变量，记为 T x ，则 Tx T0 x 。
tqx1tpx, t uP xtpxupx tupxtpx u u|tqxupxtqx u, u|tqxupxu tpx
（3）对 0ht，有 tpxhpxthpxh
■定理证明: (1) tp x P r(T x t) P r(X x tX x ) s( s x (x )t)
(2)由 t q x 的定义可知
◆ 注明 从定义中可以看出： px 1qx
（二）未来任意期限内的生存与死亡概率
1） t p x : 个体(x)活过年龄x+t岁的概率，即(x)至少再
活t年的概率；
2）t q x : 个体(x)未来t年内死亡的概率；
3）u |t q x : 个体(x)在年龄段（x+u,x+u+t]死亡的概率， 即(x)活过x+u岁，但在接下来的t年内死亡的概率。
又记 T x 的整数部分为 K x ，小数部分为 S x 则
Tx Kx Sx
同时， T x 的分布函数、生存函数及密度函数分别用 Fx(t),Sx(t)和fx(t) 表示。
Tx的分布函数：
Fx(t)P(Tx t)
生存函数（生存分布）：S x(t) P (T x t) 1 F x(t)
密度函数： fx(t)F x(t)Sx (t)
T0：一个刚出生的个体的寿命 假定T0的分布函数和密度函数
F0(t), f0(t)(t0), F 0(t)P [T 0t], f0(t)F 0 (t). 下面引入生存分布概念。
□ 生存函数（或生存分布）
定义：寿命X的生存函数（或分布）为
S 0 ( t) P ( T 0 t) , t [0 , ) 与分布函数的关系： S0(t)1F0(t)
第三章 生存模型与生命表
一、关于生存模型
（1）通常，我们把寿险公司出售的合同称为寿 险保单，按照寿险保单的约定，保险人（即保险 公司）根据被保险人在约定时间内的生存或死亡 决定是否给付保险金；
（2） 这种只有在特定事件发生时才给付的保险 金称为条件支付，其重要特征是它发生的不确定 性，一个人的未来生存时间是不确定的（事先不 可预知）；
特别地， u| qx = u|1 qx .
◆ 注明 从定义中可以看出： tp x S x ( t ) P ( T x t ) ; t q x F x ( t ) P ( T x t )
□定理1 （1）生存概率
t
px
S0 (x t) S0 (x)
（2）对t 0,u0, 生存概率与死亡概率有如下 的关系：
（2）假如有1000名50岁的人中，下一年可能死去多 少人？
（3）如果某50岁的人，投保了一个10年定期的某种 人寿保险，那么应该向他收取多少保费？（即 定价问题！）
（4）一些特定因素（如一天吸60根烟卷）对50岁男 性公民未来的生存时间有怎样的影响？
二、新生婴儿的生存分布
tq x P ( T x t ) 1 P ( T x t ) 1 tp x ; 又由条件概率公式，有
u|tqxP(uTxtu) P(Txu)P(Txtu|Txu) P ( T x u ) P ( T x u t) u p x tq x u ;
u|t qx P(Tx t u,Tx u)
所以有，
S0(xt)S0(x)Sx(t) S x ( t u ) S x ( t ) S x t( u ) S x ( u ) S x u ( t )
■例1 设生存分布函数为
S0(t)et,t0
其中 0 为参数，求 Fx(t)和fx(t) 。
解：Fx
(t)
1
S0(x t) S0 ( x)
1
et
fx (t) Fx(t) 1 et 些国际通用精算表示法）
（一）未来一年的生存与死亡概率
1）pxSx(1)P (T x1)个体(x)在x+1岁仍然生存
的概率；被称为生存概率。
2）qxF x(1)P(Tx1)个体(x)在未来一年内死亡
的概率； 称为死亡概率。
与密度函数的关系： f0(t)S0(t) 新生儿将在m岁至n岁之间死亡的概率：
n
Pr(mXn)F 0(n)F 0(m ) f0(t)dt
m
注：生存函数 S 0 ( t ) 的性质
1o S0(0)1
2 o S 0 (x )单 调 下 降 ， 右 连 续
3 o S 0(x) 0 ,x 时 。
■ 例如：（1）一个0岁的人在50岁之后死亡的概
F0(t)与 Fx(t)的 关 系 ：
Fx(t) P(Tx t) P(x T0 x t T0 x) P(x T0 x t) P(T0 x) F0(x t) F0(x) 1 F0(x)
S0(t)与 Sx(t)的 关 系 ：
Sx(t)P(Tx t)P(T0 xtT0 x) P(T0 xt)S0(xt) P(T0 x) S0(x)
（3）生命个体可从“生存状态”转化到“死亡状态”， 但不能相反；
（4）任何个体的未来生存时间是未知的，所以只能从 生存与死亡的概率探讨并着手去研究生存状态；
（5）生存模型就是对这一过程所建立起来的数学模型， 用数学公式作清晰地描述，从而对死亡率的问题做出 部分解释。
□下面就是生存模型可给出回答的一些问题：
（3）被保险人在未来某个时期的生死是不确 定事件，对这个不确定事件的研究是寿险精算 的主要工作之一，他决定着保险金的给付与否， 他的研究把数学和生存与死亡概率联系在了一 起。
从数学的角度看，生存与死亡状态是一个简单的过 程，这个过程有以下特征：
（1）存在两个状态：生存和死亡；
（2）对单个个体可描述出它们所处的状态：即可划分 为生存者和死亡者；
率是 P(T050)S0(50)；（2）而在60岁
之前死亡的概率可表示成
P(X060)F 0(60)
（3）而在50岁到60岁之间死亡的概率可表示为
P ( 5 0 X 0 6 0 ) F 0 ( 6 0 ) F 0 ( 5 0 )
三、 x岁个体的生存分布
一个刚出生的个体生存至x岁，记此时的个体用符号 (x)表示，假设x为整数。个体(x)的未来生存时间为 一随机变量，记为 T x ，则 Tx T0 x 。
tqx1tpx, t uP xtpxupx tupxtpx u u|tqxupxtqx u, u|tqxupxu tpx
（3）对 0ht，有 tpxhpxthpxh
■定理证明: (1) tp x P r(T x t) P r(X x tX x ) s( s x (x )t)
(2)由 t q x 的定义可知
◆ 注明 从定义中可以看出： px 1qx
（二）未来任意期限内的生存与死亡概率
1） t p x : 个体(x)活过年龄x+t岁的概率，即(x)至少再
活t年的概率；
2）t q x : 个体(x)未来t年内死亡的概率；
3）u |t q x : 个体(x)在年龄段（x+u,x+u+t]死亡的概率， 即(x)活过x+u岁，但在接下来的t年内死亡的概率。
又记 T x 的整数部分为 K x ，小数部分为 S x 则
Tx Kx Sx
同时， T x 的分布函数、生存函数及密度函数分别用 Fx(t),Sx(t)和fx(t) 表示。
Tx的分布函数：
Fx(t)P(Tx t)
生存函数（生存分布）：S x(t) P (T x t) 1 F x(t)
密度函数： fx(t)F x(t)Sx (t)
T0：一个刚出生的个体的寿命 假定T0的分布函数和密度函数
F0(t), f0(t)(t0), F 0(t)P [T 0t], f0(t)F 0 (t). 下面引入生存分布概念。
□ 生存函数（或生存分布）
定义：寿命X的生存函数（或分布）为
S 0 ( t) P ( T 0 t) , t [0 , ) 与分布函数的关系： S0(t)1F0(t)
第三章 生存模型与生命表
一、关于生存模型
（1）通常，我们把寿险公司出售的合同称为寿 险保单，按照寿险保单的约定，保险人（即保险 公司）根据被保险人在约定时间内的生存或死亡 决定是否给付保险金；
（2） 这种只有在特定事件发生时才给付的保险 金称为条件支付，其重要特征是它发生的不确定 性，一个人的未来生存时间是不确定的（事先不 可预知）；
特别地， u| qx = u|1 qx .
◆ 注明 从定义中可以看出： tp x S x ( t ) P ( T x t ) ; t q x F x ( t ) P ( T x t )
□定理1 （1）生存概率
t
px
S0 (x t) S0 (x)
（2）对t 0,u0, 生存概率与死亡概率有如下 的关系：