乘法公式(2)完全平方公式-2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优(原卷版)【人教版】
运用完全平方公式因式分解(课件)数学八年级上册同步备课系列(人教版)
=3a(x+y)2
=(a+b-6)2
分解因式：
(1) ax2+2a2x+a3
(2) -3x2+6xy-3y2
(3) (x+y)2-12x-12y+36
解：(1)原式= a(x2+2ax+a2)
(2)原式= -3(x2-2xy+y2)
=a(x+a)2
=-3(x-y)2
(3)原式=(x+y)2-12(x+y)+36
A. x2-y2= (x+y) (x-y)
B. x2+6x+9= (x+3)2
C. x2+xy=x (x+y)
D. x2+y2= (x+y)2
5.若x2- 2(k+1)x+4是完全平方式，则k的值为( A )
A.1或-3
B. -1或3
C.±1
D.±3
6.已知 = + 2，则代数式32 − 6 + 3 2 + 2022的值为（ D ）
±
10．若x2﹣8x+m2＝(x﹣4)2，那么m＝_____．
11．若 2 + (3 − ) + 9可以用完全平方式来分解因式，则m的值为
−或9
__________．
12．分解因式：
(1) − 22 + 3 ；
(2)3 − 102 + 25；
(3) 2 − 5
(4)(2 + 2 − 2 )2 −42 2 .
例3.分解因式：
(1) 3ax2+6axy+3ay2
初中数学同步 8年级上册 第28课 完全平方公式(学生版)
第28课完全平方公式目标导航课程标准1.能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解.2.会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式；3.发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.知识精讲知识点01 公式法——完全平方公式两个数的平方和加上(减去)这两个数的积的 2 倍，等于．即a2+ 2ab +b2=，a2- 2ab +b2= .形如a2 + 2ab +b2 ，a2 - 2ab +b2 的式子叫做.要点诠释：(1)逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；(2)完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加(或减)这两数之积的 2 倍. 右边是两数的和(或差)的平方.(3)完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.(4)套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.知识点02 因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先；（2）如果各项没有公因式那就尝试用；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解(以后会学到)．知识点03 因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．能力拓展考法01 公式法——完全平方公式【典例1】分解因式：(1) -3ax2 + 6axy - 3ay2 ；(2) a4 - 2a2b2 +b4 ；(3)16x2 y2 - (x2 + 4 y2 )2 ；(4) a4 - 8a2b2 +16b4 ．【即学即练1】分解因式：(1) 4(x +a)2 +12(x +a)(x +b) + 9(x +b)2 ．(2) 4(x +y)2 - 4(x2 -y2 ) + (x -y)2 ．【典例2】已知a+b=3，ab=2，求代数式 a3b+2a2b2+ab3．【即学即练2】若x ，y 是整数，求证：(x+y )(x+ 2 y)(x+3y )(x+ 4 y)+y4 是一个完全平方数.考法02 配方法分解因式【典例3】用配方法来解决一部分二次三项式因式分解的问题，如：那该添什么项就可以配成完全平方公式呢？我们先考虑二次项系数为 1 的情况：如x2 +bx 添上什么就可以成为完全平方式？因此添加的项应为一次项系数的一半的平方.那么二次项系数不是1 的呢？当然是转化为二次项系数为1 了.分解因式：3x2 + 5x - 2 .考法03 完全平方公式的应用先仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平方公式 x 2±2xy+y 2=(x±y )2 及(x±y )2 的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用，比如探求多项式 2x 2+12x ﹣4 的最大(小)值时，我们可以这样处理： 解：原式=2(x 2+6x ﹣2)=2(x 2+6x+9﹣9﹣2)=2[(x+3)2﹣11]=2(x+3)2﹣22因为无论 x 取什么数，都有(x+3)2 的值为非负数所以(x+3)2 的最小值为 0，此时 x=﹣3进而 2(x+3)2﹣22的最小值是 2×0﹣22=﹣22所以当 x=﹣3 时，原多项式的最小值是﹣22. 解决问题：请根据上面的解题思路，探求多项式 3x 2﹣6x+12 的最小值是多少，并写出对应的 x 的取值．【即学即练3】若△ABC 的三边长分别为 a 、b 、c ,且满足 a 2 -16b 2 - c 2+ 6ab +10bc = 0 ， 求证： a + c = 2b .【即学即练4】若(2015﹣x)(2013﹣x)=2014，则(2015﹣x)2+(2013﹣x)2= ．题组A 基础过关练 1．分解因式：22216x y x -=( )A ．()2216x y -B ．2(4)(4)x y y +-C ．22(4)y x -D ．2(4)(4)y x x +- 2．下列多项式相乘,不能用平方差公式计算的是A ．B ．C ．D ． 3．下列因式分解正确的是( ) A ．()22()a b a b a b --=-+-- B ．229(3)x x +=+C ．214(14)(14)x x x -=+-D ．3224(4)a a a a -=- 4．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为( )分层提分①21025x x -+；②2441a a +-；③221x x --；④214m m -+-；⑤42144x x -+． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个5．如果x 2+2ax+b 是一个完全平方公式，那么a 与b 满足的关系是( )A ．b ＝aB ．a ＝2bC ．b ＝2aD ．b ＝a 26．下列各式能利用完全平方公式分解因式的是( )A ．21641x x ++B ．21681x x -+C ．2444x x ++D ．224x x -+7．观察如图中的图形，根据图形面积的关系，不需要连接其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是( )A ．()()22a b a b a b -=+-B ．()2222a ab b a b ++=+C ．()2222a ab b a b -+=-D ．()2a ab a a b +=+ 8．若多项式x 2﹣3(m ﹣2)x+36能用完全平方公式分解因式，则m 的值为( )A ．6或﹣2B ．﹣2C ．6D ．﹣6或29．下列各式中能用完全平方公式分解的是( )．①x 2－4x ＋4；②6x 2＋3x ＋1；③4x 2－4x ＋1；④x 2＋4xy ＋2y 2；⑤9x 2－20xy ＋16y 2.A ．①②B ．①③C ．②③D ．①⑤题组B 能力提升练10．若()2242x ax x ++=-，则a =_____．11．利用1个a×a 的正方形，1个b×b 的正方形和2个a×b 的矩形可拼成一个正方形(如图所示)，从而可得到因式分解的公式________．12．因式分解：9a 2﹣12a+4＝______．13．若多项式216x mx -+能用完全平方公式进行因式分解，则m =_______.14．下列各式中能用完全平方公式分解因式的是(写题号)________．①222a b ab -+ ②2441a a ++ ③222--+a b ab ④224129a ab b -+-15．(1)22929-+-=-x xy y (______)=(______)2-(______)2=(______)(______)；(2)2223-+-=x y x z y z y (______)-(______)=(______)(______)=(______)(______)(______)；(3)在多项式①2222+-+x xy y z ；②2221--+x y x ；③224441-++x y x ；④2221-++-x xy y 中，能用分成三项一组和一项一组的方法分解因式的是(只写式子序号)________．题组C 培优拔尖练16．把()()2222221t t t t ++++分解因式，并求3t =-时的值． 17．下面是某同学对多项式(x 2－4x+2)(x 2－4x+6)+4进行因式分解的过程．解：设x 2－4x=y原式=(y+2)(y+6)+4 (第一步)= y 2+8y+16 (第二步)=(y+4)2 (第三步)=(x 2－4x+4)2(第四步)回答下列问题：(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______．A ．提取公因式B ．平方差公式C ．完全平方公式(2)该同学因式分解的结果是否彻底？________．(填“彻底”或“不彻底”)，若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________．(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x 2－2x)(x 2－2x+2)+1进行因式分解．18．阅读材料：若m 2﹣2mn+2n 2﹣8n+16=0，求m 、n 的值．解：∵m 2﹣2mn+2n 2﹣8n+16=0，∴(m 2﹣2mn+n 2)+(n 2﹣8n+16)=0∴(m ﹣n)2+(n ﹣4)2=0，∴(m ﹣n)2=0，(n ﹣4)2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，求xy的值；(2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，求△ABC的最大边c的值；(3)已知a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，求a+b+c的值．19．阅读下列材料：整体思想是数学解题中常见的一种思想方法：下面是某同学对多项式(x2+2x)(x2+2x+2)+1进行因式分解的过程．将“x2+2x”看成一个整体，令x2+2x＝y，则原式＝y2+2y+1＝(y+1)2再将“y”还原即可．解：设x2+2x＝y．原式＝y(y+2)+1(第一步)＝y2+2y+1(第二步)＝(y+1)2(第三步)＝(x2+2x+1)2(第四步)．问题：(1)①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果；②请你模仿以上方法尝试对多项式(x2﹣4x)(x2﹣4x+8)+16进行因式分解；(2)请你模仿以上方法尝试计算：(1﹣2﹣3﹣…﹣2021)×(2+3+…+2022)﹣(1﹣2﹣3﹣…﹣2022)×(2+3+…+2021)．。
14.2.2 完全平方公式(同步课件)-2023-2024学年八年级数学上册同步精品课堂(人教版)
(2) 原式＝[1－(2m－n)][1＋(2m－n)] ＝12－(2m－n)2 ＝1－4m2＋4mn－n2.
完全平 方公式
法则
注意
常用 结论
(a±b)2 = a2±2ab + b2
1. 项数、符号、字母及其指数
2. 不能直接应用公式进行计算的 式子，可能需要先添括号，变 形成符合公式的形式才行
3. 弄清完全平方公式和平方差公 式的不同（从公式结构特点及 结果两方面）
= (-x)2+2(-x)·1 + 12 = x2-2x+1
(2)(x-1)2 (x-1)2
= (x)2-2·x·1 + 12 = x2-2x+1
1 (a-b)2=(b-a)2.
(b-a)2 = [-(a-b)]2=(a-b)2.
运用完全平方公式计算：
(3) (-2x-3)2
(-2x-3)2 = (-2x)2+2·(-2x)·(-3)+9 = 4x2+12x+9.
2.将1052变形正确的是（ C ）
A. 1052=1002+52
B.1052=(100-5)(100+5)
C. 1052=1002+2×100×5+52 D.1052=1002+100×5+52
3.若(3x-a)2=9x2-bx+16，则a+b的值为（ D ）
A.28 B.-28
C.24或-24
(2) ∵ x2＋y2＝20，xy＝－8， ∴ (x＋y)2＝x2＋y2＋2xy ＝20－16＝4.
图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线
（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按
数学人教版八年级上册乘法的完全平方公式
所学的知识计算下列多项式的积，你能发现 什么规律？
2 （ 1 ） ( P 1 ) = （ P + 1 ） （ P + 1 ） = 2 （ 2 ） ( M 1 ) 2 （ 3 ） ( 2 a b )
= =
我 们 都 知 道 P 1以 看 作 P （ 1 ）那 么[P （ 1 ）]2我 们 可 以 按 以 上 规 律 得 出 什 么 结 果 ？ 并 用 检 验 计 算 (P1 )2= （ P -1 ） （ P -1 ） = 追 问 1 ， 想 怎 么 计 算 就 怎 么 算 （ 1 ） (M1 )2= （ 2 ） (2 ab )2 = = 。
完 全 平 方 公 式
(ab)2 =a2 2abb2 (ab)2 =a2 2ab b2
两 个 数 和 （ 差 ） 的 平 方 等 于 这 两 个 的 平 方 和 ， 加 上 （ 减 去 ） 这 两 个 数 积 的2 倍
追问1想怎么计算就怎么算121?m2??22ba完全平方公式2ba?222baba??2ba?222baba??两个数和差的平方等于这两个的平方和加上减去这两个数积的2倍
乘法的完全平方公式
初中数学12号
比一比看谁算得快：
102×98
2 2 1 0 2 9 8
我们知道了多项式与多项式乘的法则，根据
必刷提高练【14.2乘法公式】(原卷版)-2021-2022学年八年级数学上册必刷题闯关练(人教版)
2021-2022学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（人教版）提高第14章《整式的乘法与因式分解》14.2 乘法公式知识点1：完全平方公式【典型例题1】（2020春•槐荫区期中）若a+b＝10，ab＝11，则代数式a2﹣ab+b2的值是（）A．89B．﹣89C．67D．﹣67解：把a+b＝10两边平方得：（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100，把ab＝11代入得：a2+b2＝78，∴原式＝78﹣11＝67，故选：C【变式训练1-1】（2020•浙江自主招生）若x2﹣3x+1＝0，则的值是（）A．8B．7C．D．【变式训练1-2】（2021春•肥东县期末）若x﹣y＝3，xy＝1，则x2+y2＝．【变式训练1-3】（2021春•西安期末）已知（a+b）2＝9，ab＝﹣，则a2+b2的值等于．【变式训练1-4】（2021春•荷塘区期末）已知（a+b）2＝7，（a﹣b）2＝3，则ab＝．【变式训练1-5】（2021秋•朝阳区校级期中）阅读理解：①32+42＞2×3×4②32+32＝2×3×3；③（﹣2）2+42＞2×（﹣2）×4；④（﹣5）2+（﹣5）2＝2×（﹣5）×5（1）观察以上各式，你发现它们有什么规律吗？请用含有a、b的式子表示上述规律；（2）运用你所学的知识证明你发现的规律；（3）已知a+b＝4，求ab的最大值．【变式训练1-6】（2020秋•盐池县期末）回答下列问题（1）填空：x2+＝（x+）2﹣＝（x﹣）2+（2）若a+＝5，则a2+＝；（3）若a2﹣3a+1＝0，求a2+的值．知识点2：完全平方公式的几何背景【典型例题2】（2020•丰台区三模）如图，一个正方形被分成两个正方形和两个一模一样的矩形，请根据图形，写出一个含有a，b的正确的等式．解：由面积相等，得（a+b）2＝a2+2ab+b2，故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2．【变式训练2-1】（2021春•浦江县期末）如图是将正方形ABCD和正方形CEFG拼在一起的图形，点B，C，E在同一条直线上，连结BD，BF．若阴影部分△BDF的面积为8，则正方形ABCD的边长为（）A．2B．3C．4D．6【变式训练2-2】（2021春•济南期末）如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为20，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分）则图3阴影部分面积（）A．22B．24C．42D．44【变式训练2-3】（2021•饶平县校级模拟）如图，矩形ABCD的周长是10cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2，那么矩形ABCD的面积是（）A．3cm2B．4cm2C．5cm2D．6cm2【变式训练2-4】（2019秋•海伦市期末）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的边长之和为．【变式训练2-5】（2018秋•路北区期末）如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），把剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则拼得的长方形的周长为cm．（用含a的代数式表示）【变式训练2-6】（2021春•姑苏区期中）学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1：A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形．（1）选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个为（a+b）的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式；（2）请用这3种卡片拼出一个面积为a2+5ab+6b2的长方形（数量不限），在图3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽；（3）选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形DEFG框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分．已知GF的长度固定不变，DG的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S1，S2．若S＝S2﹣S1，则当a与b满足时，S为定值，且定值为．（用含a或b的代数式表示）【变式训练2-7】（2021春•新邵县期末）如图，它是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪开均分成四个小长方形，然后按图（2）形状拼成一个正方形．（1）你认为图（2）中的阴影部分的正方形边长为（2）请用两种不同的方法表示图（2）阴影部分的面积；方法一：方法二：（3）观察图（2），写出三个代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系．（4）根据（3）题中的等量关系，解决下列问题：若a+b＝7，ab＝5，求（a﹣b）2的值．【变式训练2-8】（2021春•赫山区期末）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．（1）用含a、b的代数式分别表示S1、S2；（2）若a+b＝10，ab＝23，求S1+S2的值；（3）当S1+S2＝29时，求出图3中阴影部分的面积S3．知识点3：完全平方式【典型例题3】（2016秋•宛城区期中）所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式，例如：a4＝（a2）2、4a2﹣4a+1＝（2a﹣1）2．（1）下列各式中完全平方式的编号有；①a6；②a2﹣ab+b2；③4a2+2ab+b2；④x2+4xy+4y2；⑤a2+a+；⑥x2﹣6x﹣9．（2）若x2+4xy+my2和x2﹣nxy+y2都是完全平方式，求（m﹣）2的值；（3）多项式9x2+1加上一个单项式后，能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是哪些？（请直接写出所有可能的单项式）解：（1）①a6＝（a3）2；③4a2+2ab+b2＝（2a+b）2；④x2+4xy+4y2＝（x+2y）2；⑤a2+a+＝（a+）2，是完全平方式；②a2﹣ab+b2，⑥x2﹣6x﹣9，不是完全平方式各式中完全平方式的编号有①③④⑤；故答案为：①③④⑤；（2）∵x2+4xy+my2和x2﹣nxy+y2都是完全平方式，∴x2+4xy+my2＝（x+y）2，x2﹣nxy+y2＝（x±y）2，∴m＝4，n＝±1，当n＝1时，原式＝9；当n＝﹣1时，原式＝25；（3）单项式可以为﹣1，﹣9x2，6x，﹣6x或x4．【变式训练3-1】（2019春•石台县期末）如图所示，有三种卡片，其中边长为a的正方形1张，边长为a、b的矩形卡片4张，边长为b的正方形4张用这9张卡片刚好能拼成一个正方形，则这个正方形的面积为（）A．a2+4ab+4b2B．4a2+8ab+4b2C．4a2+4ab+b2D．a2+2ab+b2【变式训练3-2】（2013春•武侯区月考）若要使4x2+mx+成为一个两数差的完全平方式，则m的值应为（）A．B．C．D．【变式训练3-3】若二项式x2+4加上一个单项式后成为一个完全平方式，则这样的单项式共有（）A．1个B．2个C．3个D．5个【变式训练3-4】（2020春•武侯区校级期中）若多项式x2+x+k是关于x的完全平方式，则k＝．【变式训练3-5】+a+＝（）2．【变式训练3-6】（2021春•宽城县期末）若我们规定三角“”表示为：abc；方框“”表示为：（x m+y n）．例如：＝1×19×3÷（24+31）＝3．请根据这个规定解答下列问题：（1）计算：＝；（2）代数式为完全平方式，则k＝；（3）解方程：＝6x2+7．知识点4：平方差公式【典型例题4】（2021春•成都期末）下列运算正确的是（）A．（x+y）（y﹣x）＝x2﹣y2B．（﹣x+y）2＝﹣x2+2xy+y2C．（﹣x﹣y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2D．（x+y）（﹣y+x）＝x2﹣y2解：A、结果是y2﹣x2，故本选项不符合题意；B、结果是x2﹣2xy+y2，故本选项不符合题意；C、结果是x2+2xy+y2，故本选项不符合题意；D、结果是x2﹣y2，故本选项符合题意；故选：D．【变式训练4-1】（2020秋•饶平县校级期末）在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（）A．（m﹣n）（﹣m+n）B．（x3﹣y3）（x3+y3）C．（﹣a﹣b）（a﹣b）D．（c2﹣d2）（d2+c2）【变式训练4-2】（2020秋•九龙坡区校级期中）若a2﹣b2＝16，（a+b）2＝8，则ab的值为（）A．﹣B．C．﹣6D．6【变式训练4-3】（2021春•锦江区校级期中）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，16＝52﹣32，16就是一个智慧数．在正整数中，从1开始，第2021个智慧数是．【变式训练4-4】已知a﹣b＝3，a2﹣b2＝9，则a＝，b＝．【变式训练4-5】（2021春•鼓楼区期中）有些同学会想当然地认为（x﹣y）3＝x3﹣y3．（1）举出反例说明该式不一定成立；（2）计算（x﹣y）3；（3）直接写出当x、y满足什么条件时，该式成立．【变式训练4-6】（2019秋•平山县期末）用简便方法计算：（1）1002﹣200×99+992（2）2018×2020﹣20192【变式训练4-7】（2018秋•沙坪坝区期末）一个个位不为零的四位自然数n，如果千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，则称n为“隐等数”，将这个“隐等数“反序排列（即千位与个位对调，百位与十位对调）得到一个新数m，记D（n）＝．（1）请任意写出一个“隐等数”n，并计算D（n）的值；（2）若某个“隐等数“n的千位与十位上的数字之和为6，D（n）为正数，且D（n）能表示为两个连续偶数的平方差，求满足条件的所有“隐等数”n．知识点5：平方差公式的几何背景【典型例题5】（2017春•张掖月考）乘法公式的探究及应用．小题1：如图1，可以求出阴影部分的面积是（写成两数平方差的形式）；小题2：如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是，长是，面积是（写成多项式乘法的形式）小题3：比较图1，图2的阴影部分面积，可以得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（用式子表达）小题4：应用所得的公式计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）解：小题1：利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积＝a2﹣b2；故答案为：a2﹣b2；小题2：由图可知矩形的宽是a﹣b，长是a+b，所以面积是（a+b）（a﹣b）；故答案为：a﹣b，a+b，（a+b）（a﹣b）；小题3：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（等式两边交换位置也可）；故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；小题4：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）＝（1﹣）×（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）＝××××××…××××＝＝．【变式训练5-1】（2021秋•台江区期中）能够用如图中已有图形的面积说明的等式是（）A．a（a+4）＝a2+4a B．（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4D．（a+2）2＝a2+4a+4【变式训练5-2】（2018秋•大同期末）如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下部分沿图1中的虚线剪开后重新拼成一个梯形（如图2），利用这两幅图形面积，可以验证的乘法公式是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．a（a+b）＝a2+ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2【变式训练5-3】（2018春•青羊区期末）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．a（a+b）＝a2+abC．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2【变式训练5-4】如图，小刚家有一块“L”形的菜地，要把这块菜地按图示那样分成面积相等的梯形，种上不同的蔬菜，这两个梯形的上底都是xm，下底都是ym，高都是（y﹣x）m，请你帮小刚家算一算菜地的面积是平方米．当x＝20m，y＝30m时，面积是平方米．【变式训练5-5】（2021春•婺城区校级期末）乘法公式的探究与应用：（1）如图甲，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，请你写出阴影部分面积是（写成两数平方差的形式）（2）小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图乙，则长方形的长是，宽是，面积是（写成多项式乘法的形式）．（3）比较甲乙两图阴影部分的面积，可以得到公式（两个）公式1：公式2：（4）运用你所得到的公式计算：10.3×9.7．【变式训练5-6】（2021春•淮北期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是；（请选择正确的一个）A、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C、a2+ab＝a（a+b）（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．。
人教版数学八年级上册精品教学八年级数学上册同步讲义乘法公式(二)完全平方公式
(3)另一项是两数积的2倍,且与乘式中间的符号相同。 (4)公式中的字母a,b可以表示数,单项式和多项式。 想一想:下面各式的计算是否正确？如果不正确,应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2+y2 (2)(x-y)2=x2-y2 (3)(x-y)2=x2+2xy+y2 (4)(x+y)2=x2+xy+y2
m 3 0, n 5 0
例6.已知a=11x+2013,b=11x+2014,c=11x+2015,求a2+b2+c2-ab-ac-bc的值。
解 : a2 b2 c2 ab ac bc
a b 11x 2013 11x 2014 1
1 (2a2 2b2 2c2 2ab 2ac 2bc)
(2) x2 1 (x 1 )2 2
x2
x
x2 1 52 2 x2
25 2 23
(3) x4 1 (x2 1 )2 2
x4
x2
x4 1 232 2 x4
529 2 527
整式的乘除与因式分解 第22课 乘法公式（二）完全平方公式
2
1 (1 4 1) 1 6 3
2
2
整式的乘除与因式分解 第22课 乘法公式（二）完全平方公式
课堂同步练习 1.运用完全平方公式计算：
(1).( 1 x 2 y)2 23
(2).(x 2 y 2 )2 3
( 1 x)2 2( 1 x)( 2 y) ( 2 y)2
数学八年级上册《平方差公式》《完全平方公式》乘法公式完全平方公式
添括号时, 1.如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变号 2.如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号
练习
1.在等号右边的括号内填上适当的项:
(1) a + b + c = a + ( b + c ); (2) a – b – c = a – ( b + c ) ; (3) a - b + c = a – ( b - c ); (4) a + b + c = a - ( -b - c ).
例3 计算:
(1) 102×98;
(2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) .
解: (1) 102×98 =（100＋2）(100－2) = 1002-22 =1000 – 4 =9996 (2)(y+2)(y-2)- (y-1)(y+5) = y2-22-(y2+4y-5) = y2-4-y2-4y+5 = - 4y + 1.
a2-b2
(a+b)2= a2 +b2 +2ab (a-b)2= a2 +b2 - 2ab
头平方，尾平方，积的2倍在中间。
例1、运用完全平方公式计算：
(1) ( 4a2 - b2 )2 2= a2 -2ab +b2 (a-b) 分析： a 4a2 b2 b
解：（ 4a2 － b2）2
=( 4a2 )2－2( 4a2 )·( b2 )+( b2 )2 =16a4－8a2b2+b4
平方差公式: (a+b)(a-b)=a2-b2
即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差. 做一做: 将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置,你 能根据两个图形的面积关系直观地说明平方差公 式吗? a
八年级数学上册 14.2 乘法公式 14.2.2 完全平方公式(第2课时)课件
No = x2-4y2+12y-9.。(x+3)2-x2。=x2＋6x+9-x2
(x 1)2 4的(x值．1) 4
原式= x2 2x 1 4x 4 4 x2 2x 1 （x -1）2
( 3)2
3.
2、已知x+y=8，xy=12，求x2+y2的值.
12/13/2021
第九页，共十一页。
计算(jìsuàn)：(1)(x+3)2 - x2
你能用几种方法进行(jìnxíng)计算?试一试
12/13/2021
第五页，共十一页。
1．在等号右边的括号(kuòhào)内填上适当的项：
（1）a+b-c=a+（ b）-c （2）a-b+c=a-（ b）-c （3）a-b-c=a-（ b）+c
（4）a+b+c=a-（ -b）-c
2．判断下列运算(yùn suàn)是否正确．
（1）2a-b-c=2a-（b-c）
.
4.完全平方(píngfāng)公式：
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
12/13/2021
第二页，共十一页。
从上面可以得出(dé chū)什么规律？如果次数不是
2，是其它的数还成立吗？为什么？
12/13/2021
第三页，共十一页。
第03讲 平方差和完全平方公式(知识解读+真题演练+课后巩固)-2023-2024学年八版)(原卷版
第03讲 平方差和完全平方公式1. 掌握平方差和完全平方公式结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2. 学会运用平方差和完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.4.能用平方差和完全平方公式的逆运算解决问题知识点1：平方差公式平方差公式：语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.知识点2：平方差公式的特征抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m ) =x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2) =x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )22()()a b a b a b +-=-b a ,=(x -y )2-z 2=(x -y )(x -y )-z 2=x 2-xy -xy +y 2-z 2 =x 2-2xy +y 2-z2知识点3：完全平方公式完全平方公式：两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：知识点4：拓展、补充公式2222222a b c ab ac bc =+++++（a+b+c ） 222112a a a±=+±（a ）；；；.【题型1 平方差公式运算】【典例1】（2023春•渭南期中）计算（3a +2）（3a ﹣2）＝ ． 【变式1-1】（2023春•蕉城区校级月考）若a +b ＝1，a ﹣b ＝2022，则a 2﹣b 2＝ ． 【变式1-2】（2023春•双峰县期末）（4a +b ）（﹣b +4a ）＝ ． 【变式1-3】（2023春•埇桥区期末）计算：（2x ﹣3y ）（3y +2x ）＝ ． 【典例2】（2023春•佛冈县期中）19992﹣1998×2002．【变式2-1】（2023•皇姑区校级开学）简便运算：20222﹣2020×2024．()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+()()224a b a b ab +=-+2()()()x p x q x p q x pq ++=+++2233()()a b a ab b a b ±+=±33223()33a b a a b ab b ±=±+±2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++【变式2-2】（2023春•安乡县期中）计算：20222﹣2021×2023．【变式2-3】（2023春•渭滨区期末）用整式乘法公式计算：899×901+1．【题型2 平方差公式的逆运算】【典例3】（2023春•海阳市期末）已知x+2y＝13，x2﹣4y2＝39，则多项式x﹣2y的值是．【变式3-1】（2023春•辽阳期末）若m2﹣n2＝6，且m+n＝3，则n﹣m等于．【变式3-2】（2023春•广饶县期中）已知实数a，b满足a2﹣b2＝40，a﹣b＝4，则a+b的值为．【变式3-3】（2023春•甘州区校级期末）若m2﹣n2＝6，m+n＝3，则＝．【题型3 平方差公式的几何背景】【典例4】（2023春•东昌府区校级期末）如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成垄一个矩形．（1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是：．A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）D．a2﹣b2＝（a﹣b）2（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知：a+b＝7，a2﹣b2＝28，求a﹣b的值；②计算：；【变式4-1】（2023春•高明区月考）乘法公式的探究及应用．（1）如图1到图2的操作能验证的等式是．（请选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2+ab＝a（a+b）C．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4abD．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）（2）当4m2＝12+n2，2m+n＝6时，则2m﹣n＝；（3）运用你所得到的公式，计算下列各题：①20232﹣2022×2024；②2×（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）+1．【变式4-2】（2023春•清远期末）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．（1）根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式：（选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2；B．a2+ab＝a（a+b）；C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），D．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab（2）请应用（1）中的等式，解答下列问题：（1）计算：2022×2024﹣20232；（2）计算：3（22+1）（24+1）（28+1）…（264+1）+1．【变式4-3】（2023春•屏南县期中）乘法公式的探究及应用：如图，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形．（1）通过计算左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：；（2）利用上述乘法公式计算：①1002﹣98×102；②（2m+n﹣p）（2m+n+p）．【题型4 完全平方公式】【典例5】（2023春•砀山县校级期末）计算：（x+4）2﹣x2＝．【变式5-1】（2023春•威宁县期末）已知x2+y2＝10，xy＝2，则（x﹣y）2＝．【变式5-2】（2023春•东港市期中）若（2x﹣m）2＝4x2+nx+9，则n的值为．【变式5-3】（2023春•未央区校级月考）计算：（x+2）2+（1﹣x）（2+x）．【题型5 完全平方公式下得几何背景】【典例6】（2023秋•绿园区校级月考）为创建文明校园环境，高校长制作了“节约用水”“讲文明，讲卫生”等宣传标语，标语由如图①所示的板材裁剪而成，其为一个长为2m，宽为2n的长方形板材，将长方形板材沿图中虚线剪成四个形状和大小完全相同的小长方形标语，在粘贴过程中，同学们发现标语可以拼成图②所示的一个大正方形．（1）用两种不同方法表示图②中小正方形（阴影部分）面积：＝；方法一：S小正方形方法二：S＝；小正方形（2）（m+n）2，（m﹣n）2，4mn这三个代数式之间的等量关系为；（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：a﹣b＝5，ab＝﹣6，求：（a+b）2的值；②已知：a﹣＝1，求：的值．【变式6-1】（2023春•甘州区校级期中）图1是一个长为2x、宽为2y的长方形，沿图中虚线用剪刀剪成四个完全相同的小长方形，然后按图2所示拼成一个正方形．（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于．（2）试用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．方法1：；方法2：．（3）根据图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：（x+y）2，（x﹣y）2，4xy．（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若x+y＝4，xy＝3，则（x﹣y）2＝．【变式6-2】（2023•永修县校级开学）如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．（1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积（直接用含m，n的代数式表示）．方法一：；方法二：．（2）根据（1）的结论，请你写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系．（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知实数a，b满足：a+b ＝6，ab＝5，求a﹣b的值．【变式6-3】（2023春•湖州期中）阅读理解：若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b．则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80．解决问题：（1）若x满足（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝2020．求（2021﹣x）（x﹣2018）的值；（2）如图，在矩形ABCD中，AB＝20，BC＝12，点E、F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x．分别以FC、CE为边在矩形ABCD外侧作正方形CFGH 和CEMN，若矩形CEPF的面积为160平方单位，求图中阴影部分的面积和．【题型6 完全平方公式的逆运算】【典例7】（2023春•永丰县期中）已知：a2+b2＝3，a+b＝2．求：（1）ab的值；（2）（a﹣b）2的值；（3）a4+b4的值．【变式7-1】（2023春•都昌县期末）已知实数m，n满足m+n＝6，mn＝﹣3．（1）求（m+2）（n+2）的值；（2）求m2+n2的值．【变式7-2】（2023春•周村区期末）若x+y＝2，且（x+3）（y+3）＝12．（1）求xy的值；（2）求x2+3xy+y2的值．【变式7-3】（2022秋•大安市期末）已知m﹣n＝6，mn＝4．（1）求m2+n2的值．（2）求（m+2）（n﹣2）的值．1．（2023•深圳）下列运算正确的是（）A．a3•a2＝a6B．4ab﹣ab＝4C．（a+1）2＝a2+1D．（﹣a3）2＝a62．（2022•赤峰）已知（x+2）（x﹣2）﹣2x＝1，则2x2﹣4x+3的值为（）A．13B．8C．﹣3D．5 3．（2022•百色）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．（ab）2＝a2b24．（2022•兰州）计算：（x+2y）2＝（）A．x2+4xy+4y2B．x2+2xy+4y2C．x2+4xy+2y2D．x2+4y2 5．（2023•凉山州）已知y2﹣my+1是完全平方式，则m的值是．6．（2023•雅安）若a+b＝2，a﹣b＝1，则a2﹣b2的值为．7．（2023•江西）化简：（a+1）2﹣a2＝．8．（2022•遵义）已知a+b＝4，a﹣b＝2，则a2﹣b2的值为．9．（2022•乐山）已知m2+n2+10＝6m﹣2n，则m﹣n＝．10．（2022•大庆）已知代数式a2+（2t﹣1）ab+4b2是一个完全平方式，则实数t的值为．11．（2022•滨州）若m+n＝10，mn＝5，则m2+n2的值为．12．（2022•德阳）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，则xy＝．13．（2023•兰州）计算：（x+2y）（x﹣2y）﹣y（3﹣4y）．14．（2022•六盘水）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为a，b的正方形秧田A，B，其中不能使用的面积为M．（1）用含a，M的代数式表示A中能使用的面积；（2）若a+b＝10，a﹣b＝5，求A比B多出的使用面积．1．（2023春•市南区校级期中）下列算式能用平方差公式计算的是（）A．（2a+b）（2b﹣a）B．（x+1）（﹣x﹣1）C．（3x﹣y）（﹣3x+y）D．（﹣m﹣n）（﹣m+n）2.（2022秋•睢阳区期末）如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两个图形的面积，可以验证的等式是（）A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）3．（2022秋•嵩县期末）已知x+y＝8，xy＝12，则x2﹣xy+y2的值为（）A．42B．28C．54D．66 4．（2022秋•海口期末）等式（﹣a﹣1）（）＝a2﹣1中，括号内应填入．A．a+1B．﹣1﹣a C．1﹣a D．a﹣1 5．（2022秋•离石区期末）若二次三项式x2+kx+4是一个完全平方式，则k的值是（）A．4B．﹣4C．±2D．±4 6．（2023春•攸县期末）若x2﹣y2＝3，则（x+y）2（x﹣y）2的值是（）A．3B．6C．9D．18 7．（2022秋•邹城市校级期末）已知x2+2（m﹣1）x+9是一个完全平方式，则m的值为（）A．4B．4或﹣2C．±4D．﹣2 8．（2022秋•渝北区校级期末）化简：（x+2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）．9．（2023春•渭滨区期中）请你参考黑板中老师的讲解，用乘法公式进行简便计算：利用乘法公式有时可以进行简便计算．例1：1012＝（100+1）2＝1002+2×100×1+1＝10201；例2：17×23＝（20﹣3）（20+3）＝202﹣32＝391．（1）9992；（2）20222﹣2021×2023．10．（2022秋•龙湖区期末）请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）（2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；（3）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2＝53，ab＝14．求：①a+b的值；②a2﹣b2的值．11．（2022秋•高安市期末）已知a+b＝7，ab＝﹣2．求：（1）a2+b2的值；（2）（a﹣b）2的值．12．（2022•荆门）已知x+＝3，求下列各式的值：（1）（x﹣）2；（2）x4+．13．（2022秋•阳城县期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是；（请选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．b2+ab＝b（a+b）C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．a2+ab＝a（a+b）（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x的值．②计算：．14．（2023春•威海期中）利用简便方法计算：（1）501×499+1；（2）0.125×104×8×104．15．（2022秋•南昌期末）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）求图2中的阴影部分的正方形的周长；（2）观察图2，请写出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系；（3）运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn＝﹣3，m﹣n＝4，试求m+n的值．（4）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝26，求图中阴影部分面积．16．（2022秋•丹棱县期末）阅读下列文字，我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac ＝38，求a2+b2+c2的值；（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片．若干个长为a和宽为b的长方形纸片，利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得计算它的面积能得到数学公式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．。
2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题典 专题2
专题2.10第2章实数单元测试（基础卷）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分120分，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020•雁塔区校级一模）下列各实数中，最小的数是（）A．√2B．−12C．0D．﹣1【分析】先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再得出答案即可．【解析】∵﹣1＜−12＜0＜√2，∴最小的数是﹣1，故选：D．2．（2020•濠江区一模）若|a﹣2|+√b+1=0，则（a+b）2等于（）A．﹣1B．1C．0D．2【分析】由绝对值和偶次方的非负性可得a﹣2＝0，b+1＝0，从而可得a和b的值，再代入要求的式子即可得出答案．【解析】∵|a﹣2|+√b+1=0，|a﹣2|≥0，√b+1≥0，∴a﹣2＝0，b+1＝0，∴a＝2，b＝﹣1，∴（a+b）2＝（2﹣1）2＝1．故选：B．3．（2020•济南一模）9的平方根等于（）A．3B．﹣9C．±9D．±3【分析】根据平方根的定义即可求出答案．【解析】9的平方根是±3，故选：D．4．（2020•信阳一模）如图为某同学网上答题的结果，他做对的题数是（）①(−13)−2=9②﹣|﹣3|＝3③√83=2④(12)0=0⑤科学记数法表示0.00123米＝1.23×10﹣3米A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据负整数指数幂的计算法则、绝对值的性质、立方根的定义、零指数幂、科学记数法﹣表示较小的数的方法即可求解．【解析】①(−13)−2=9是正确的；②﹣|﹣3|＝﹣3，原来的计算错误；③√83=2是正确的；④(12)0=1，原来的计算错误；⑤科学记数法表示0.00123米＝1.23×10﹣3米是正确的．故选：B．5．（2020•石家庄模拟）已知实数m，n互为倒数，且|m|＝1，则m2﹣2mn+n2的值为（）A．1B．2C．0D．﹣2【分析】m，n互为倒数，则mn＝1；|m|＝1，则m＝±1，求出n代入所求的代数式即可求解．【解析】∵m，n互为倒数，∴mn＝1，∵|m|＝1，∴m＝±1，当m＝1时，n＝1；当m＝﹣1时，n＝﹣1；∴m2﹣2mn+n2＝（m﹣n）2＝0．故选：C．6．（2020•从化区一模）定义一个新运算，若i1＝i，i2＝﹣1，i3＝﹣i，i4＝1，i5＝i，i6＝﹣1，i7＝﹣i，i8＝1，…，则i2020＝（）A．﹣i B．i C．﹣1D．1【分析】直接利用已知数据变化规律进而得出答案．【解析】∵i1＝i，i2＝﹣1，i3＝﹣i，i4＝1，i5＝i，i6＝﹣1，i7＝﹣i，i8＝1，…，∴每4个数据一循环，∵2020÷4＝505，∴i2020＝i4＝1．故选：D．7．（2020•河北区二模）估计√26−2的值在（）A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间【分析】根据25＜26＜36可得5＜√26＜6，据此即可得出√26−2的值的范围．【解析】∵25＜26＜36，∴5＜√26＜6，∴3＜√26−2＜4，∴√26−2的值在3和4之间．故选：A．8．（2020•梅州模拟）式子√2x−3成立的条件是（）A．x＞32B．x≥32C．x＜32D．x≤32【分析】根据二次根式有意义得出2x﹣3≥0，求出不等式的解集即可．【解析】要使二次根式√2x−3成立，必须2x﹣3≥0，解得：x≥3 2，故选：B．9．（2018•沙坪坝区校级模拟）估计√12×√13+√10÷√2的运算结果应在（）A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间D．5到6之间【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再进行计算．【解析】原式＝2√3×√33+√10÷√2=2+√5=2+2.236＝4.236，故选C．10．（2020•静安区一模）已知a=√x+√y，b=√x−√y，那么ab的值为（）A．2√x B．2√y C．x﹣y D．x+y【分析】将a、b直接代入ab，利用平方差公式求值即可．【解析】∵a=√x+√y，b=√x−√y，∴ab＝（√x+√y）（√x−√y）＝x﹣y，故选：C ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．（2020•南岗区校级四模）化简：√12−√272= √32 ．【分析】化简每一个二次根式，再合并同类二次根式即可． 【解析】√12−√272=2√3−3√32=√32； 故答案为：√32． 12．（2020•和平区三模）计算（√3−2）（√3+2）的结果等于 ﹣1 ． 【分析】直接利用平方差公式计算进而得出答案． 【解析】（√3−2）（√3+2） ＝（√3）2﹣4 ＝3﹣4 ＝﹣1． 故答案为：﹣1．13．（2019•海淀区校级模拟）写出一个同时符合下列条件的数： −√2 ．（1）它是一个无理数；（2）在数轴上表示它的点在原点的左侧；（3）它的绝对值比2小． 【分析】根据无理数的定义求解即可． 【解析】写出一个同时符合下列条件的数−√2， 故答案为：−√2．14．（2018•秦安县模拟）在实数①13，②√5，③3.14，④√4，⑤π中，是无理数的有 ②⑤ ；（填写序号）【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项． 【解析】①13，③3.14，④√4是有理数，②√5，⑤π是无理数， 故答案为：②⑤．15．（2020•金平区模拟）若a ，b 为实数，且|a ﹣1|+√b +2=0，则（a +b ）2020的值为 1 ． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出a 、b 的值，代入所求代数式计算即可． 【解析】∵|a ﹣1|+√b +2=0，∴a﹣1＝0，b+2＝0，∴a＝1，b＝﹣2，∴（a+b）2020＝（1﹣2）2020＝1，故答案为：1．16．（2020•濠江区一模）一组数据为：1，√3，√6，√10，√15，…，则第9个数据是3√5．【分析】观察这一组数的被开方数可以发现，第二个数字是第一个数字加上2，即是1+2＝3；第三个数字是第二个数字加上3，即是1+2+3＝6；第四个数字是第三个数字加上4，即是1+2+3+4＝10；第五个数字是第四个数字加上5，即是1+2+3+4+5＝15；…；继而可知第9个数即是1+2+3+4+…+9，计算即可得出答案．【解析】观察这组数的被开方数可以发现：第二个数字是第一个数字加上2，即是1+2＝3；第三个数字是第二个数字加上3，即是1+2+3＝6；第四个数字是第三个数字加上4，即是1+2+3+4＝10；第五个数字是第四个数字加上5，即是1+2+3+4+5＝15；…；可得第9个数即是1+2+3+4+…+9＝45，所以这组数据中第9个数据是√45=3√5．故答案为：3√5．17．（2020•玄武区一模）9的平方根是±3，8的立方根是2．【分析】一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；一个正数的立方根是正数．【解析】∵（±3）2＝9，∴±√9=±3；∵23＝8，∴8的立方根是2．故答案为：±3；2．18．（2019•长春一模）如图，已知MA＝MB，那么数轴上点A所表示的数是1−√5．【分析】首先在直角三角形中，利用勾股定理可以求出线段MB 的长度，得出MA 的长度，求出点A 与原点的距离，即可得出数轴上点A 所表示的数．【解析】根据题意，由勾股定理得：MB =√22+12=√5， ∴MA ＝MB =√5，∴A 到原点的距离是 √5−1， ∵A 在原点左侧，∴点A 所表示的数是1−√5． 故答案为：1−√5．三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（2020春•潮南区期中）求x 的值：（2x ﹣1）2﹣25＝0． 【分析】直接利用平方根的定义计算得出答案． 【解析】（2x ﹣1）2﹣25＝0， ∴（2x ﹣1）2＝25∴2x ﹣1＝5或2x ﹣1＝﹣5， 解得：x ＝3或x ＝﹣2． 20．（2020春•蕲春县期中）计算： （1）√−273+√(−3)2+√−13；（2）√16+√−27643×√(−43)2−|2−√5|．【分析】（1）首先根据二次根式和立方根的性质进行化简，再计算加减即可；（2）首先根据二次根式和立方根和绝对值的性质进行化简，再计算乘法，后算加减即可． 【解析】（1）原式＝﹣3+3﹣1＝﹣1；（2）原式＝4−34×43−（√5−2） ＝4﹣1−√5+2 ＝5−√5．21．（2020春•西城区校级期中）计算： （1）3√5+√20−√8+4√2； （2）√12×√323÷√33【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得； （2）先化简各二次根式、将除法转化为乘法，再计算乘法即可得． 【解析】（1）原式＝3√5+2√5−2√2+4√2 ＝5√5+2√2；（2）原式＝2√3×4√23×√3 ＝8√2．22．（2020春•大悟县期中）计算：（1）（15）﹣1﹣（1+√3）（1−√3）−√12；（2）（√6−√38）×√2+（2√3−2）2．【分析】（1）根据负整数指数的意义和平方差公式计算； （2）利用二次根式的乘法法则和完全平方公式计算． 【解析】（1）原式＝5﹣（1﹣3）﹣2√3 ＝5+2﹣2√3 ＝7﹣2√3；（2）原式=√6×2−√38×2+12﹣8√3+4 ＝2√3−√32+16﹣8√3＝16−13√32． 23．（2020春•红旗区校级期中）有一个长、宽之比为5：2的长方形过道，其面积为20m 2． （1）求这个长方形过道的长和宽；（2）用40块大小相同的正方形地板砖刚好把这个过道铺满，求这种地板砖的边长（结果保留根号）． 【分析】（1）根据长、宽的比设出长为5xm ，宽为2xm ，根据面积列出关于x 的方程，利用平方根的概念求解可得；（2）其边长为正方形地砖面积的算术平方根，据此求解可得． 【解析】（1）设长方形的长为5x （m ），则宽为2x （m ）， 根据题意，得：5x •2x ＝20， 即x 2＝2，∴x=√2或x=−√2（舍去）；答：长方形的长为5√2m，宽为2√2m；（2）这种地板砖的边长为√2040=√12=√22（m）．24．（2020春•沙坪坝区校级期中）阅读材料学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算√14的近似值．小明的方法：∵√9＜√14＜√16，设√14=3+k（0＜k＜1），∴(√14)2=(3+k)2，∴14＝9+6k+k2，∴14≈9+6k，解得，k≈56，∴√14≈3+56≈3.83．问题：（1）请你依照小明的方法，估算√30的近似值．（2）已知非负整数a、b、m，若a＜√m＜a+1，且m＝a2+b，结合上述材料估算√m的近似值（用含a、b的代数式表示）．【分析】（1）根据题目信息，找出30前后的两个平方数，从而确定出√30=5+k（0＜k＜1），再根据题目信息近似求解即可；（2）根据题目提供的求法，先求出k值，然后再加上a即可；【解析】（1）∵√25＜√30＜√36，设√30=5+k（0＜k＜1），∴（√30）2＝（5+k）2，∴30＝25+10k+k2，∴30≈25+10k．解得k≈1 2，∴√30≈5+12≈5+0.5＝5.5；（2）设√m=a+k（0＜k＜1），∴m＝a2+2ak+k2≈a2+2ak，∵m＝a2+b，∴a2+2ak＝a2+b，解得k=b2a，∴√m≈a+b2a．25．（2020春•石城县期中）阅读下面的材料并解决问题．√2+1=√2−1(√2+1)(√2−1)=√2−1；√3+√2=√3−√2(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2；2+√3=√3(2+√3)(2−√3)=2−√3；……（1）观察上式并填空：√6+√5=√6−√5；（2）观察上述规律并猜想：当n是正整数时，√n+1+√n=√n+1−√n；（用含n的式子表示，不用说明理由）．（3）请利用（2）的结论计算：(√2+1√3+√2⋯+√2019+√2018+√2020+√2019)×(√2020+1)．【分析】（1）分子、分母都乘以√6−√5，再进一步计算可得；（2）分子、分母都乘以√n+1−√n，再进一步计算可得；（3）括号内利用所得规律裂项相消，再乘以（√2020+1）求解可得．【解析】（1）√6+√5=√6−√5(√6+√5)(√6−√5)=√6−√56−5=√6−√5，故答案为：√6−√5；（2）√n+1+√n =√n+1−√n(√n+1+√n)(√n+1−√n)=√n+1−√nn+1−n=√n+1−√n，故答案为：√n+1−√n；（3）原式=(√2−1+√3−√2+⋯+√2019−√2018+√2020−√2019)×(√2020+1)，=(√2020−1)(√2020+1)=(√2020)2−1＝2020﹣1＝2019．26．（2019春•琼中县期中）一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和﹣a+2．（1）求a和x的值；（2）化简：2|a+√2|﹣|3a+x|．【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数可得关于a的方程，解出即可得到a的值，代入求得x的值．（2）根据（1）中求得的a的值去绝对值即可．【解析】（1）由题意，得（2a﹣1）+（﹣a+2）＝0，解得a＝﹣1．∴x＝（2a﹣1）2＝（﹣3）2＝9；（2）原式＝2|﹣1+√2|﹣|3×（﹣1）+9|＝2√2−2﹣6=2√2−8．。
2020年人教版八年级数学上册14.2.2《完全平方公式》同步练习(含答案)
2020年人教版八年级数学上册14.2.1《完全平方公式》同步练习一、选择题1.已知是一个完全平方式，则m的值是A. B. 1 C. 或1 D. 7或2.如果是完全平方式，那么k的值是A. B. 6 C. D.3.若，，则A. 25B. 29C. 69D. 754.运用乘法公式计算的结果是A. B. C. D.5.已知，那么代数式的值是A. 6B. 4C. 2D. 06.下列运算正确的是A. B.C. D.7.的值等于A. B. C. 5 D. 18.下列计算结果正确的是A. B. C. D.9.下列式子正确的是A. B.C. D.10.已知，则的值等于A. 1B. 0C.D.二、填空题11.已知，则的值是______．12.已知是完全平方式，则常数m的值是______．13.已知，，则xy的值为______ ．14.若关于x的二次三项式是完全平方式，则a的值是______ ．15.已知，则的值为______ ．16.已知，如果，，那么的值为______．17.若代数式是一个完全平方式，则______．18.已知，，则 ______ ．19.已知：，则 ______ ．20.如果多项式是完全平方式，那么______．三、解答题21.已知：，，求下列各式的值．22.已知，，求：的值．23.计算24.计算：25.已知，，求的值．求证：无论x、y为何值，代数式的值不小于0．26.回答下列问题填空： ______ ______若，则 ______ ；若，求的值．参考答案1. D2. C3. B4. C5. B6. B7. D8. B9. A10. C11. 2312.13. 414.15. 1416. 117. 或1018. 28或3619. 2720.21. 解：，当，，；，当，，．22. 解：，，原式；，，原式．23. 解：原式；原式．24. 解：原式；原式．25. 解：，；证明，无论x、y为何值，代数式的值不小于0．26.解：（1）、2．（2）23．两边同除a得：，移向得：，．。
2022-2023学年人教版八年级数学上册《14-2乘法公式》同步题型分类练习题(附答案)
2022-2023学年人教版八年级数学上册《14.2乘法公式》同步题型分类练习题（附答案）一．完全平方公式1．下列运算正确的是（）A．（a+4）2＝a2+16B．a3•a4＝a12C．（﹣a）4＝﹣a4D．7x3﹣2x3＝5x32．已知x2+4x+4＝0，则x3的值等于（）A．8B．2C．﹣3D．﹣83．已知M＝（x+1）2+（2x+1）（2x﹣1），N＝4x（x+1），当x＝时，请比较M与N的大小．4．若a+2b＝7，ab＝6，则（a﹣2b）2的值是（）A．3B．2C．1D．05．（2a+b）2＝（2a﹣b）2+（）A．4ab B．﹣4ab C．8ab D．﹣8ab6．若a+b＝3，ab＝2，则a2+b2的值是（）A．2.5B．5C．10D．157．如果a﹣b＝2，a﹣c＝，那么a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc等于（）A．B．C．D．不能确定8．已知a+＝3，则a2+的值是．9．已知a+b＝8，a2b2＝4，则﹣ab＝．10．若x2﹣4x﹣1＝（x+a）2﹣b，则|a﹣b|＝．11．若（a+b）2＝9，（a﹣b）2＝4，则a2+b2＝．12．（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；（2）请直接写出下列问题的答案：①若2a+b＝5，ab＝2，则2a﹣b＝；②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝．二．完全平方公式的几何背景13．如图，两个正方形的边长分别为a，b，如果a﹣b＝2，ab＝3，则图中阴影部分的面积是．14．图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）请根据拼图的原理，写出三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系；（2）根据（2）中等式，已知a+b＝9，ab＝8，求﹣b2+2ab﹣a2和b2﹣a2的值．三．完全平方式15．如果二次三项式x2﹣3x+a是一个完全平方式，那么常数a的值是．16．已知多项式x2+kx+1是一个关于x的完全平方式，则实数k＝．四．平方差公式17．下列计算正确的是（）A．6x5﹣2x2＝4x3B．（﹣2x3）2＝﹣4x6C．（﹣3x3）•（﹣x2）＝3x5D．（x﹣2）（﹣x+2）＝x2﹣418．已知a+b＝2，a﹣b＝1，则a2﹣b2＝．19．已知a+b＝10，a﹣b＝8，则a2﹣b2＝．20．计算：20202﹣2019×2021＝．21．计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（结果可用幂的形式表示）．22．怎样简便就怎样计算：（1）1232﹣124×122 （2）（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b）23．如果一个正方形的边长增加2cm，它的面积就增加24cm2，求原正方形的边长．五．平方差公式的几何背景24．实践与探索：如图1，边长为a的大正方形里有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．（1）上述操作能验证的等式是：（请选择正确的一个）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2C．a2+ab＝a（a+b）（2）请应用这个等式完成下列各题：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝．②计算：9（10+1）（102+1）（104+1）（108+1）（1016+1）．25．如图，将4个长、宽分别为a，b的长方形摆成一个大正方形（不重叠），利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4abC．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2参考答案一．完全平方公式1．解：A、原式＝a2+8a+16，故A符合题意．B、原式＝a7，故B不符合题意．C、原式＝a4，故C不符合题意．D、原式＝5x3，故D符合题意．故选：D．2．解：∵x2+2x+4＝0，∴（x+2）2＝0，解得：x＝﹣2，∴x3＝（﹣2）3＝﹣8．故选：D．3．解：∵M＝（x+1）2+（2x+1）（2x﹣1），N＝4x（x+1），∴M﹣N＝（x+1）2+（2x+1）（2x﹣1）﹣4x（x+1）＝x2+2x+1+4x2﹣1﹣4x2﹣4x＝x2﹣2x，∵x＝，∴x2﹣2x＝2﹣2＜0，∴M﹣N＜0，∴M＜N．4．解：（a﹣2b）2＝a2+4b2﹣4ab＝a2+4b2+4ab﹣8ab＝（a+2b）2﹣8ab，∵a+2b＝7，ab＝6，∴原式＝72﹣8×6＝49﹣48＝1．故选：C．5．解：∵（2a+b）2＝4a2+b2+4ab，（2a﹣b）2＝4a2+b2﹣4ab，∴（2a+b）2﹣（2a﹣b）2＝8ab．∴（2a+b）2＝（2a﹣b）2+8ab．故选：C．6．若a+b＝3，ab＝2，则a2+b2的值是（）A．2.5B．5C．10D．15解：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5．故选：B．7．如果a﹣b＝2，a﹣c＝，那么a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc等于（）A．B．C．D．不能确定解：a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc，＝×（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc），＝×[（a2+b2﹣2ab）+（a2+c2﹣2ac）+（b2+c2﹣2bc）]，＝×[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]，∵a﹣b＝2，a﹣c＝，∴b﹣c＝﹣，∴原式＝×（4++）＝．故选：A．8．已知a+＝3，则a2+的值是7．解：∵a+＝3，∴a2+2+＝9，∴a2+＝9﹣2＝7．故答案为：7．9．已知a+b＝8，a2b2＝4，则﹣ab＝28或36．解：﹣ab＝﹣ab＝﹣ab﹣ab＝﹣2ab∵a2b2＝4，∴ab＝±2，①当a+b＝8，ab＝2时，﹣ab＝﹣2ab＝﹣2×2＝28，②当a+b＝8，ab＝﹣2时，﹣ab＝﹣2ab＝﹣2×（﹣2）＝36，故答案为28或36．10．解：∵（x+a）2﹣b＝x2+2ax+a2﹣b，∴2a＝﹣4，a2﹣b＝﹣1，解得a＝﹣2，b＝5，∴|a﹣b|＝|﹣2﹣5|＝7．故本题的答案是7．11．解：由完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2和（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，可得，∵（a+b）2＝9，（a﹣b）2＝4，∴＝＝6.5．故答案为：6.5．12．解：（1）∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，∴82＝40+2xy，∴xy＝12．（2）①∵（2a﹣b）2＝（2a+b）2﹣8ab，∴2a﹣b＝＝±3；②（4﹣x）2+（5﹣x）2＝[（4﹣x）﹣（5﹣x）]2+2（4﹣x）（5﹣x）＝1+2×8＝17．二．完全平方公式的几何背景13．解：S阴影＝S△BCD﹣S△BEF﹣S正方形CGEF＝＝＝＝＝；∵a﹣b＝2，ab＝3，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab（a+b）2＝4+12，（a+b）2＝16，∴a+b＝±4，∵a，b都是边长，∴a+b＝4．∴S阴影＝；＝﹣＝．故答案为：．14．解：（1）大正方形的边长为m+n，因此面积为（m+n）2，阴影小正方形的边长为m﹣n，因此面积为（m﹣n）2，而每个长方形的面积为mn，由S大正方形＝S小正方形+4S长方形可得，（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn，故答案为：（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；（2）由（1）得，（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，即81＝（a﹣b）2+32，∴a﹣b＝±7．∴﹣b2+2ab﹣a2＝﹣（b2﹣2ab+a2）＝﹣（a﹣b）2＝﹣49，∴b2﹣a2＝（a+b）（b﹣a）＝9×（±7）＝±63．三．完全平方式15．解：∵（x﹣）2＝x2﹣3x+，∴a＝，故答案为：．16．解：∵多项式x2+kx+1是一个关于x的完全平方式，∴x2+kx+1＝（x±1）2＝x2±2x+1，∴k＝±2，故答案为：±2．四．平方差公式17．解：A、6x5与﹣2x2不是同类项，故不能合并，故A不符合题意．B、原式＝4x6，故B不符合题意．C、原式＝3x5，故C符合题意．D、原式＝﹣（x﹣2）2＝﹣x2+4x﹣4，故D不符合题意．故选：C．18．解：因为a+b＝2，a﹣b＝1，则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2×1＝2．故答案为：2．19．已知a+b＝10，a﹣b＝8，则a2﹣b2＝80．解：∵（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，∴a2﹣b2＝10×8＝80，故答案为：8020．计算：20202﹣2019×2021＝1．解：20202﹣2019×2021＝20202﹣（2020﹣1）×（2020+1）＝20202﹣20202+12＝1 故答案为：1．21．计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝216﹣1（结果可用幂的形式表示）．解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1），＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1），＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1），＝（24﹣1）（24+1）（28+1），＝（28﹣1）（28+1），＝216﹣1．22．怎样简便就怎样计算：（1）1232﹣124×122（2）（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b）解：（1）1232﹣124×122＝1232﹣（123+1）（123﹣1）＝1232﹣（1232﹣1）＝1232﹣1232+1＝1；（2）（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b）＝（2a+b）（2a﹣b）（4a2+b2）＝（4a2﹣b2）（4a2+b2）＝（4a2）2﹣（b2）2＝16a4﹣b4．23．如果一个正方形的边长增加2cm，它的面积就增加24cm2，求原正方形的边长．解：设原正方形的边长为xcm，（x+2）2﹣x2＝24，解得：x＝5．答：原正方形的边长为5cm．五．平方差公式的几何背景24．解：（1）图1中阴影部分面积可以表示为a2﹣b2或（a+b）（a﹣b），故选：A；（2）①由（1）题结果可得，（2a+b）（2a﹣b）＝4a2﹣b2，∴2a﹣b＝（4a2﹣b2）÷（2a+b）＝24÷6＝4，故答案为：4，②∵9（10+1）（102+1）（104+1）（108+1）（1016+1）＝（10﹣1）（10+1）（102+1）（104+1）（108+1）（1016+1），∴由（1）题结果可得，原式＝（102﹣1）（102+1）（104+1）（108+1）（1016+1）＝（104﹣1）（104+1）（108+1）（1016+1）……＝1032﹣1．25．解：总体大正方形的边长为a+b，因此面积为（a+b）2，中间小正方形的边长为a﹣b，因此面积为（a﹣b）2，4个长方形的面积为4ab，根据各个部分面积之间的关系可得，（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，故选：B．。
八年级上册数学同步培优：第10讲 乘法公式一完全平方公式--尖子班
第10讲 乘法公式一完全平方公式----⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩完全平方公式利用公式进行数的运算乘法公式完全平方公式利用公式进行整式的运算完全平方公式几何背景 知识点1 完全平方公式222()2a b a ab b +=++；222()2a b a ab b -=-+，即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍.【典例】1.x 2﹣4x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ）A. 2 B . ﹣2 C. 2和﹣2 D. 4【方法总结】满足222a ab b ++的式子是完全平方式，这个三项式中，有两个是数（或式子）的平方，另外一个是这两个数（或式子）的2倍（或2倍的相反数）． 【随堂练习】1．（2018春•淮安区期中）已知（x+y ）2=7，（x ﹣y ）2=3，求下列各式的值．（1）xy（2）x 2+y 22．（2018春•宁远县期中）已知（x+y ）2=25，（x ﹣y ）2=81，求x 2+y 2和xy 的值． 知识点2 利用完全平方公式进行数的运算利用完全平方公式进行数的运算是完全平方公式的一种实际应用，主要考察对公式222()2a b a ab b +=++；222()2a b a ab b -=-+的掌握情况.【典例】1.利用完全平方公式计算1012+992得（）A. 2002B. 2×1002C. 2×1002十1D. 2×1002+2【方法总结】此题主要考察完全平方公式的实际应用.222a b a ab b-=-+，()2a b a ab b()2+=++；222即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍.本题主要是利用完全平方公式进行一些复杂数的运算，它需要把复杂的数变成整百（或整十）和某个数（尽可能小一些）的和或差的形式，再利用公式进行运算.备注：变形的目的是使计算量尽可能小，基本在口算范畴内的才算基本符合.【随堂练习】1．（2017春•凌海市校级月考）20012．2．（2017春•桂阳县校级月考）用乘法公式计算．（1）（2）20172﹣4034×2016+20162．3．（2017秋•朝阳区校级月考）用简便方法计算20172﹣2017×4032+20162．知识点3 利用完全平方公式进行整式的运算利用完全平方公式进行整式的运算是完全平方公式的一种实际应用，主要考察对公式222a b a ab b-=-+的掌握情况.()2+=++；222a b a ab b()2【典例】1.已知a﹣=2，则a2+的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【方法总结】此题主要考察完全平方公式的运用.当题干中出现“a+”（或者a - ），问题中出现“a2+”时，一般将a+完全平方，这样就可以得到（a﹣）2= a2+- 2、（a+）2= a2++ 2，从而得到a2+的值. 另外，如果题干中出现诸如“a2+a+1=0”的话，对式子“a2+a+1=0”左右两边同除a（由式子易得a≠0），可得到a+1+=0，即a+=-1，从而进行下面的计算.2.（3x+4y﹣6）2展开式的常数项是多少？【方法总结】完全平方公式一般是对两个数（或式子）的和（或差）进行平方，但是有时也可以对三项式（或者多项式）进行平方运算，例如(a+b+c) 2，可以根据实际情况对a，b，c进行简单的分组，例如a和b一组，c一组，则式子可变形为[（a+b）+c] 2,然后再利用完全平方公式，可得[（a+b）+c] 2=（a+b）2+c2+2（a+b）c，最后根据具体题意进行其他的计算.【随堂练习】1．（2016春•澧县期末）已知x﹣=3，求x2+和x4+的值．2．（2016春•邵阳县期中）因为a•=1，所以（a+）2=a2+2a•+（）2=a2++2，①（a﹣）2=a2﹣2a•+（）2=a2+﹣2 ②所以由①得：a2+=（a+）2﹣2或由②得：a2+=（a﹣）2+2那么a4+=（a2+）2﹣2试根据上面公式的变形解答下列问题：（1）已知a+=2，则下列等式成立的是___①a2+=2；②a4+=2；③a﹣=0；④（a﹣）2=2；A．①B．①②C．①②③D．①②③④（2）已知a+=﹣2，求下列代数式的值：①a2+；②（a﹣）2；③a4+．3．（2016春•邵阳县校级月考）已知x+=2，试求x2+的值．知识点4 完全平方公式的应用【典例】1.设一个正方形的边长为a cm，若边长增加3cm，则新正方形的面积增加了（）A. 9 cm2B. 6a cm2C. （6a+9）cm2D. 无法确定【方法总结】此题主要考察完全平方公式的实际用，利用完全平方公式来解决一些实际问题.增加的面积就是用变化后的正方形面积减去变化前正方形的面积，变化后面积是（a+3）2，变化前的面积是a2，两者相减，利用完全平方公式即可计算出结果. 对于面积类问题，我们首先得按照题意列出式子，然后再利用完全平方公式进行相应的计算即可.2.若2a2+4ab+2b2 =18，则（a+b）2﹣4的值为（）A. 15B. 5C. 12D. 10【方法总结】问题当中出现了完全平方，可以先利用完全平方公式展开，然后再根据题干中的条件，进行相应的变形.3.如图的图形面积由以下哪个公式表示（）A. a2﹣b2=a（a﹣b）+b（a﹣b）B. （a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C. （a+b）2=a2+2ab+b2D. a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）【方法总结】这类题需要注意一点：不管用什么方法思路计算图形的面积，图形面积始终不变．2.如图①，把一个长为2m，宽为2n（m＞n）的矩形两次对折后展开，再用剪刀沿图中折痕剪开，把它分成四块完全相同的小矩形，最后按如图②那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A. 2mB. （m+n）2C. （m﹣n）2D. m2﹣n2【方法总结】此类题属于利用完全平方公式求图形的面积，这类题，先按照题意列出相应的关系式，然后再利用完全平方公式进行相应的计算即可.【随堂练习】1．（2017•红桥区二模）如图，正方形ABCD与正方形ECGF（CE＜AB）的边长分别为a、b，B、C、G三点在同一条直线上，CE在边CD上，连接AF，M为AF的中点，连接DM、CM，若AB=20，则图中阴影部分的面积为____（用含a 的代数式表示）2．（2018春•文登区期末）有若干张如图1所示的A，B，C三种卡片，A表示边长为m的正方形，B表示边长为n的正方形，C表示长为m、宽为n的长方形（1）小明用1张A卡片，4张B卡片，4张C卡片拼成了一个大正方形，这个大正方形的面积为_____，边长为_____（2）小玲想用这三种卡片拼一个如图2所示的长为（2m+n），宽为（m+n）的长方形，需要A，B，C三种卡片各多少张？请说明理由，并在图2的长方形中画出一种拼法．（标上卡片名称）综合运用1.若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于______2.已知（2008﹣a）2+（2007﹣a）2=1，则（2008﹣a）•（2007﹣a）= ．3.如图，边长为（a+2）的正方形纸片剪出一个边长为a的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为2，则另一边长是________4.利用完全平方公式计算：（1）982（2）10032．5.运用完全平方公式计算（1）（a+b+c）2；（2）（a+2b﹣1）2；6.已知，，求x2+的值．。
数学人教版八年级上册§14.2.2乘法公式(2)——完全平方公式
《§14.2.2乘法公式（2）——完全平方公式》教学设计
湘桥区城基中学陈泽兰
【教材】人教版义务教育教科书《数学》八年级上册第十四章
【教学对象】初二级学生
【教学目标】
（1）理解完全平方公式，能运用公式进行计算。
（2）在探索完全平方公式的过程中，感悟从具体到抽象研究问题的方法，在验证完全平方公式的过程中，感知数形结合思想。
【教学重点】理解并掌握完全平方公式。
【教学难点】判别要计算的代数式是哪两个数的和(或差)的平方。
【教学过程设计】
思考（2）：图2中橙色部分的面积如何表示？
课本第110页例3. 运用完全平方公式计算：
（1）2
4)(n m +。
必刷提高题14.2 乘法公式(解析版)-2020-2021学年八年级数学上册同步必刷题闯关练
2020-2021学年八年级数学上册同步必刷题闯关练（人教版）第十四章《整式的乘法和因式分解》14.2 乘法公式知识点1：完全平方公式【例1】（2020•呼伦贝尔）下列计算正确的是( )A ．236a a a =B ．222()x y x y +=+C ．5226()a a a ÷=D ．22(3)9xy xy -= 【解答】解：A 、235a a a =，故选项错误；B 、222()2x y x y xy +=++，故选项错误；C 、5226()a a a ÷=，故选项正确；D 、222(3)9xy x y -=，故选项错误；故选：C ．【变式1-1】（2020春•槐荫区期中）若10a b +=，11ab =，则代数式22a ab b -+的值是() A ．89 B ．89- C ．67 D ．67-【解答】解：把10a b +=两边平方得：222()2100a b a b ab +=++=，把11ab =代入得：2278a b +=，∴原式781167=-=，故选：C ．【变式1-2】如果2ab =，3a b +=，那么22a b += ．【解答】解：2ab =，3a b +=，2222()2345a b a b ab ∴+=+-=-=．【变式1-3】（2018秋•雁江区期末）已知12x x +=，求221x x +，441x x +的值． 【解答】解：22211()22x x x x+=+-=；4224211()22x x x x +=+-=． 【变式1-4】（2017春•苏仙区校级期中）（1）已知490m n +=，2310m n -=，求22(2)(3)m n m n +--的值（2）已知2()7a b +=，2ab =，求22a b +值．【解答】解：（1）490m n +=，2310m n -=，∴原式(4)(23)900m n m n =-+-=-；（2）222()27a b a b ab +=++=，2ab =，223a b ∴+=．知识点2：完全平方公式的几何背景【例2】（2018秋•邓州市期中）用四个全等的长方形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是144，小正方形的面积是4，若用a ，b 分别表示矩形的长和宽()a b >，则下列关系中不正确的是( )A ．12a b +=B ．2a b -=C ．35ab =D ．2284a b +=【解答】解：A 、根据大正方形的面积求得该正方形的边长是12，则12a b +=，故A 选项正确； B 、根据小正方形的面积可以求得该正方形的边长是2，则2a b -=，故B 选项正确；C 、根据4个矩形的面积和等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即41444140ab =-=，35ab =，故C 选项正确；D 、222()2144a b a b ab +=++=，所以221442351447074a b +=-⨯=-=，故D 选项错误．故选：D ．【变式2-1】（2017春•金平区期末）如图是用4个相同的小长方形与1个小正方形密铺而成的正方形图案，已知大正方形的面积为64，小正方形的面积为9，若用x ，y （其中)x y >分别表示小长方形的长与宽，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是( )A ．8x y +=B ．3x y -=C ．2216x y -=D ．4964xy +=【解答】解：A 、因为正方形图案的边长8，同时还可用()x y +来表示，故此选项正确；B 、中间小正方形的边长为3，同时根据长方形长宽也可表示为x y -，故此选项正确；C 、根据A 、B 可知8x y +=，3x y -=，则22()()24x y x y x y -=+-=，故此选项错误；D 、因为正方形图案面积从整体看是64，从组合来看，可以是2()x y +，还可以是(44)xy +，即4464xy +=，故此选项正确；故选：C ．【变式2-2】（2020春•天桥区期末）如图1是一个长为4a 、宽为b 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2)．①图2中的阴影部分的面积为 ；②观察图2请你写出2()a b +、2()a b -、ab 之间的等量关系是 ；③根据（2）中的结论，若5x y +=，94x y =，则2()x y -= ； ④实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，你发现的等式是 ．【解答】解：①2()b a -；②22()()4a b a b ab +--=；③当5x y +=，94x y =时， 22()()4x y x y xy -=+-29544=-⨯ 16=；④22()(3)34a b a b a ab b ++=++．故答案为：①2()b a -；②22()()4a b a b ab +--=；③16；④22()(3)34a b a b a ab b ++=++．【变式2-3】（2019秋•临沭县期中）如图①所示是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的正方形的边长等于 ．（2）请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积．方法① ；方法② ．（3）观察图②，请写出2()m n +、2()m n -、mn 这三个代数式之间的等量关系： ．（4）若6a b +=，5ab =，则求a b -的值．【解答】解：（1）图②中的阴影部分的小正方形的边长m n =-；（2）方法①2()4m n mn +-；方法②2()m n -；（3）这三个代数式之间的等量关系是：22()()4m n m n mn -=+-；（4）22()()4a b a b ab -=+-， 6a b +=，5ab =，2()362016a b ∴-=-=，4a b ∴-=±．故答案为m n -；2()4m n mn +-2()m n -；22()4()m n mn m n +-=-． 知识点3：完全平方式【例3】（2016•青羊区校级自主招生）如果自然数a 是一个完全平方数，那么与a 之差最小且比a 大的一个完全平方数是( )A ．1a +B ．21a +C ．221a a ++D ．1a + 【解答】解：自然数a 是一个完全平方数，a ∴∴比a 的算术平方根大11，∴这个平方数为：21)1a =+．故选：D ．【变式3-1】（2013春•武侯区月考）若要使21464x mx ++成为一个两数差的完全平方式，则m 的值应为( )A ．12±B ．12-C ．14±D ．14- 【解答】解：22111(2)48264x x x -=-+，或22111[2()]48264x x x --=++， 12m ∴=-或12． 故选：A ．【变式3-2】（2018秋•西湖区校级月考）已知2216m km ++是完全平方式，则k = ．【解答】解：2216m km ++是完全平方式，28km m ∴=±，解得4k =±．【变式3-3】若多项式224x kx ++是关于x 的完全平方式，则k = ．【解答】解：224x kx ++是一个多项式的完全平方，222kx x ∴=±⨯，2k ∴=±．故答案为：2±．【变式3-4】（2015秋•重庆校级期中）阅读理解：所谓完全平方式，就是对于一个整式A ，如果存在另一个整式B ，使得2A B =，则称A 是完全平方式，例如422()a a =，22441(21)a a a -+=-．（1）下列各式中完全平方式的编号有 ；①6a ；②22a ab b ++；③2244x x y -+④269m m ++；⑤21025x x --；⑥221424a ab b ++． （2）若224x xy my ++和2264x nxy y -+都是完全平方式，求20152016m n 的值；（3）多项式2491x +加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是哪些？（请罗列出所有可能的情况，直接写出答案）【解答】解：（1）①632()a a =，是；②22a ab b ++，不是；③2244x x y -+，不是；④2269(3)m m m ++=+，是；⑤21025x x --，不是；⑥2221142(2)42a ab b a b ++=+，是， 故答案为：①④⑥；（2）224x xy my ++和2264x mxy y -+都是完全平方式，116m ∴=，16n =±， 则原式20151(16)161616=⨯⨯=； （3）多项式2491x +加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是14x ，14x -，1-，249x -，424014x ． 知识点4：平方差公式【例4】（2020•碑林区校级模拟）下列运算正确的( )A ．3232m m m -=B ．23522m m m =C ．22(2)(2)4a b a b a b --+=-D ．23245(2)4x y x y -= 【解答】解：33m 和22m 不能合并，故选项A 错误；23522m m m =，故选项B 正确；22(2)(2)44a b a b a ab b --+=---，故选项C 错误；23246(2)4x y x y -=，故选项D 错误；故选：B ．【变式4-1】（2020秋•武侯区校级月考）计算：2(234)(324)2()b c c b b c -+-+--= ．【解答】解：2(234)(324)2()b c c b b c -+-+--，2[(23)4][(23)4]2()b c b c b c =-+--+--，2216(23)2()b c b c =----，2222164129242b bc c b bc c =-+--+-，226111616b c bc =--++．【变式4-2】计算：248161(51)(51)(51)(51)(51)4++++++= ． 【解答】解：248161(51)(51)(51)(51)(51)4++++++，2481611(51)(51)(51)(51)(51)(51)44=-++++++，3211(51)44=-+，3254=．【变式4-3】（2019秋•开福区校级期中）利用乘法公式计算：（1）2(23)(3)(3)x y y x x y --+-（2）(23)(23)a b a b -++-．【解答】解：（1）原式22224129(9)x xy y x y =-+--222241299x xy y x y =-+-+2251210x xy y =--+；（2）原式[(23)][(23)]a b a b =--+-22(23)a b =--224129a b b =-+-．【变式4-4】（2017春•雁塔区校级月考）用公式简便运算（1）215185⨯（2）2699（3）2201920172021-⨯．【解答】解：（1）原式22(20015)(20015)200154000022539775=+-=-=-=；（2）222699(7001)70027001149000014001488601=-=-⨯⨯+=-+=；（3）222222019201720212019(20192)(20192)2019201924-⨯=---=-+=．【变式4-5】（2017春•义乌市校级期中）探索：2(21)(21)21-+=-23(21)(221)21-++=-324(21)(2221)21-+++=-4325(21)(22221)21-++++=-⋯（1）求8762222221+++⋯⋯+++的值是多少；（2）求2008200720062333331+++⋯⋯+++的值是多少？【解答】解：（1）2(21)(21)21-+=-23(21)(221)21-++=-324(21)(2221)21-+++=-4325(21)(22221)21-++++=-⋯8762922222121511∴+++⋯⋯+++=-=；（2）2008200720062333331+++⋯⋯+++2009(31)(31)=-÷-2009312-=． 知识点5：平方差公式的几何背景【例5】（2018秋•大同期末）如图1，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形()a b >，把剩下部分沿图1中的虚线剪开后重新拼成一个梯形（如图2)，利用这两幅图形面积，可以验证的乘法公式是( )A ．222()2a b a ab b -=-+B ．222()2a b a ab b +=++C ．2()a a b a ab +=+D ．22()()a b a b a b +-=-【解答】解：图1阴影部分的面积等于22a b -，图2梯形的面积是1(22)()()()2a b a b a b a b +-=+- 根据两者阴影部分面积相等，可知22()()a b a b a b +-=-比较各选项，只有D 符合题意故选：D ．【变式5-1】（2018春•青羊区期末）如图，从边长为a 的大正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立( )A ．222()2a b a ab b -=-+B ．2()a a b a ab +=+C ．222()2a b a ab b +=++D ．22()()a b a b a b -+=-【解答】解：由题意这两个图形的面积相等， 22()()a b a b a b ∴-=+-，故选：D ．【变式5-2】如图，小刚家有一块“L ”形的菜地，要把这块菜地按图示那样分成面积相等的梯形，种上不同的蔬菜，这两个梯形的上底都是xm ，下底都是ym ，高都是()y x m -，请你帮小刚家算一算菜地的面积是 平方米．当20x m =，30y m =时，面积是 平方米．【解答】解：由题意得菜地的面积为2212()()2x y y x y x ⨯+-=-． 当20x =，30y =时，222223020900400500y x m -=-=-=．故答案为：22y x -；500．【变式5-3】（2017春•张掖月考）乘法公式的探究及应用．小题1：如图1，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）；小题2：如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是 ，长是 ，面积是 （写成多项式乘法的形式）小题3：比较图1，图2的阴影部分面积，可以得到乘法公式 （用式子表达）小题4：应用所得的公式计算：2222211111(1)(1)(1)(1)(1)23499100---⋯--【解答】解：小题1：利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积22a b =-；故答案为：22a b -；小题2：由图可知矩形的宽是a b -，长是a b +，所以面积是()()a b a b +-；故答案为：a b -，a b +，()()a b a b +-；小题223:()()a b a b a b +-=-（等式两边交换位置也可）；故答案为：22()()a b a b a b +-=-； 小题22222111114:(1)(1)(1)(1)(1)23499100---⋯-- 1111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)2233449999100100=-⨯+-+-+⋯-+-+ 13243598100991012233449999100100=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋯⨯⨯⨯⨯ 11012100=⨯ 101200=． 【变式5-4】（2019春•南海区期末）（1）如图1，阴影部分的面积是 ．（写成平方差的形式）（2）若将图1中的阴影部分剪下来，拼成如图2的长方形，面积是 ．（写成多项式相乘的积形式）（3）比较两图的阴影部分的面积，可以得到公式： ．（4）应用公式计算：222222111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)234520172018----⋯--．【解答】解：（1）如图（1）所示，阴影部分的面积是22a b -，故答案为：22a b -；（2）根据题意知该长方形的长为a b +、宽为a b -，则其面积为()()a b a b +-，故答案为：()()a b a b +-；（3）由阴影部分面积相等知22()()a b a b a b -+=-，故答案为：22()()a b a b a b -+=-；（4）222222111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)234520172018----⋯-- 111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)223320182018=-+-+⋯-+ 132420172019223320182018=⨯⨯⨯⨯⋯⨯⨯ 1201922018=⨯ 20194036=． 【变式5-5】（2018春•延庆区期末）我们经常利用图形描述问题和分析问题．借助直观的几何图形，把问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路．（1）小明为了解释某一公式，构造了几何图形，如图1所示，将边长为a 的大正方形剪去一个边长为b 的小正方形，并沿图中的虚线剪开，拼接后得到图2，显然图1中的图形与图2中的图形面积相等，从而验证了公式．则小明验证的公式是 ．（2）计算：()()x a x b ++= ；请画图说明这个等式．【解答】解：（1）由图1可得，图形面积22a b =-，由图2可得，图形面积()()a b a b =+-，22()()a b a b a b ∴+-=-故答案为：22()()a b a b a b +-=-；（2）2()()x a x b x ax bx ab ++=+++，证明：如图所示，图形面积()()x a x b =++，图形面积2x ax bx ab =+++，2()()x a x b x ax bx ab ∴++=+++，故答案为：2x ax bx ab+++．。
八年级数学上册 14.2 乘法公式 14.2.1 完全平方公式(第1课时)课件
2021/12/13
第一页，共十四页。
1、多项式的乘法法则(fǎzé)是什么？
用一个(yī ɡè)多项式的每一项乘以另一个(yī ɡè) 多项式的每一项，再把所得的积相加.
(a+b) (m+n) = am+an + bm+bn
2021/12/13
第二页，共十四页。
No +y2。(1) (6a+5b)2。(2) (4x-3y)2。(3) (2m-1)2。(4)(-2m-1)2。完全(wánquán)平方公式 的图形理解
Image
12/13/2021
第十四页，共十四页。
2
解：( 1 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
–
2y2)2
=
1
(
2
x)2–
2
11
•(
22
x) •(2y2)+(2y2)2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
= 1 x2 – 2xy2+4y4
4
2021/12/13
第七页，共十四页。
1.下面各式的计算结果是否(shìfǒu)正确？如果不正确，应当怎 样改正？
(1) (x+y)2=x2 +y2
2021/12/13
第五页，共十四页。
例1 运用完全平方公式(gōngshì)计算：
(1)(x+2y)2
解： (x+2y)2= x2 +2•x •2y +(2y)2
(a +b)2= a2 + 2 ab + b2 =x2 +4xy +4y2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】
专题4.9乘法公式（2）完全平方公式
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020春•岳阳期末）下列运算结果正确的是（ ）
A ．3x ﹣2x ＝1
B ．x 3•x 2＝x 6
C ．（x +y ）2＝x 2+y 2
D ．（ab ）2＝a 2b 2
2．（2019秋•道外区期末）下列计算中，正确的是（ ）
A ．x （2x 2﹣x +1）═2x 3﹣x 2+1
B ．（a +b ）2＝a 2+b 2
C ．（x ﹣2）2＝x 2﹣2x +4
D ．（﹣a ﹣b ）2＝a 2+2ab +b 2
3．（2020春•永州期末）若x ﹣y ＝5，xy ＝﹣2，则x 2+y 2的值是（ ）
A ．11
B ．21
C ．29
D ．49
4．（2020春•玉门市期末）如果（x +3）2＝x 2+ax +9，那么a 的值为（ ）
A ．3
B ．±3
C ．6
D ．±6
5．（2020春•百色期末）已知a +b ＝3，ab ＝2，则a 2+b 2的值等于（ ）
A ．11
B ．9
C ．5
D ．13
6．（2020春•渝北区期中）三种不同类型的长方形地砖长宽如图所示，现有A 类16块，B 类48块，小明用
这些地砖刚好拼成一个正方形（无缝且不重叠），那么小明所用C 类地砖（ ）块．
A ．36
B ．24
C ．12
D ．6 7．（2020春•青川县期末）关于x 的二次三项式4x 2+mx +164是一个完全平方式，则m 的值应为（ ）
A ．±14
B ．−14
C ．±12
D ．−1
2 8．（2020春•常州期末）4张长为a ，宽为b （a ＞b ）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a +b ）
的正方形，图中空白部分的面积为S 1，阴影部分的面积为S 2，若S 1＝S 2，则a ，b 满足的关系式是（ ）
A．a＝1.5b B．a＝2b C．a＝2.5b D．a＝3b
9．（2020春•南岸区期末）如图，在边长为a+b的正方形的四个角上，分别剪去直角边长分别为a，b的四个直角三角形，则剩余部分面积，即图中的阴影部分的面积是（）
A．a2﹣b2B．2ab C．a2+b2D．4ab
10．（2020春•张家港市期末）如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x，y表示四个长方
形的两边长（x＞y），观察图案及以下关系式：①x﹣y＝n；②xy=m2−n2
2；③x
2﹣y2＝mn；④x2+y2=
m2+n2
2．其中正确的关系式有（）
A．①②B．①③C．①③④D．①②③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020春•建平县期末）若a+b＝5，ab＝﹣3，则（a﹣b）2＝．
12．（2020春•青白江区期末）若x+y＝5，xy＝6，则x2+y2+2007的值是．13．（2020春•丹东期末）若2a﹣b＝4，则4a2﹣4ab+b2＝．
14．（2020春•永州期末）若m﹣n＝8，则m2﹣n2﹣16n的值是．
15．（2020春•新泰市期末）整式x2+kx+16为某完全平方式展开后的结果，则k的值为．
16．（2020春•盱眙县期末）若x2﹣2（a﹣3）x+16是关于x的完全平方式，则a的值是．
17．（2020春•碑林区校级期中）用面积为9
4
的四个长方形拼成一个“回形”正方形如图所示，小正方形阴影部分的面积为16．则长方形的周长为．
18．（2020秋•海淀区校级月考）用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为a、b，a＞b）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为144，中间空缺的小正方形的面积为8，则下列关系式中正确的是（填序号）
①a+b＝12；②（a﹣b）2＝8；③ab＝34；④a2+b2＝76
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：
（1）（2x+3）3；
（2）（2a﹣b﹣3c）2．
20．运用完全平方公式计算：
（1）（﹣2a+3）2；
（2）（﹣3x+1
2）
2，
（3）（﹣x2﹣4y）2；
（4）（1﹣2b）2．
21．计算：
（1）（y+3）2（3﹣y）2；
（2）（2a+b+1）（2a+b﹣1）；
（3）（a﹣2b﹣3）（a+2b+3）．
22．（2020春•常州期末）已知a﹣b＝5，ab＝1，求下列各式的值：
（1）（a+b）2；
（2）a3b+ab3．
23．（2020春•醴陵市期末）如果（x+m）（x+n）＝x2+4x﹣1．
①填空：m+n＝，mn＝；
②根据①的结果，求下列代数式的值：
（1）m2+5mn+n2；
（2）（m﹣n）2．
24．（2020春•盐湖区期末）图①是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀剪下全等的四块小长方形，然后按图②拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积；
方法一：；
方法二：；
（2）观察图②，请直接写出下列三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，4mn之间的等量关系；
（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：若p+q＝9，pq＝7，求（p﹣q）2的值．。