三角形三边关系归纳

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三角形三边定义及关系

三角形三边定义及关系三角形，作为几何学中最基础且最重要的图形之一，具有丰富的性质和内涵。

本文将深入探讨三角形三边的定义及关系，以期帮助读者更好地理解这一概念。

一、三角形的定义三角形是由三条边构成的闭合二维图形。

这三条边两两相交，且每条边的两个端点都在其他两条边的某一侧。

三角形是最简单的多边形之一，也是构建更复杂图形的基础。

二、三边定义1.边的长度三角形的每条边都有确定的长度。

在欧几里得平面几何中，边的长度是实数，且不同的边长对应不同的三角形。

2.边的方向三角形的三条边都有一定的方向性。

在几何图形中，方向由边的两个端点和其延伸方向共同决定。

三角形的三条边两两相交，形成了三个角，分别称为锐角、直角和钝角。

三、边与边之间的关系1.定量关系三角形的任意两边之和大于第三边。

这是三角形的一个重要性质，也是判断三条线段能否构成三角形的依据。

此外，任意两边之差小于第三边。

2.定性关系除了定量关系外，三角形各边之间还存在定性关系。

例如，三角形中的角平分线将对应边分为两段，这两段的比例与角的正弦值成正比。

四、应用场景三角形三边定义及关系在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。

例如，建筑学中经常用到三角形的稳定性，这是由于三角形的三条边可以互相支撑，形成一个稳定的结构。

此外，航海、测量和工程设计中也经常用到三角形的知识。

五、与其他几何图形的区别三角形是多边形中最简单的一种，其性质与其他多边形存在明显差异。

例如，四边形有四条边和四个角，其各边之间的关系与三角形不同。

此外，三角形各内角的和为180度，而四边形各内角的和为360度。

这些性质上的差异使得三角形在几何学中具有独特的地位。

六、学习方法与技巧1.实践与理论相结合：在学习三角形三边定义及关系时，应结合实际案例进行思考和实践，以便更好地理解和掌握知识。

2.注重基础概念：在学习过程中，要注重对基础概念的掌握和理解，如三角形的定义、边的长度和方向等。

只有掌握了这些基础概念，才能更好地理解后续的定理和性质。

三角形三边关系考点汇总

三角形三边关系考点汇总一，四根木棍组合形式（先穷尽后挑选）例：已知有4根木棍，长度分别为（单位：cm）3，5，6，8.请问可以组成几个不同的三角形。

此类问题首先找到4根木棍在不考虑三角形三边关系的情况下，有几种选择方式。

分别是3，5，6；3，5，8；3，6，8；5，6，8.然后再根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，进行排除。

最后发现有三种情况。

二，直接给出三个线段长度判断此类问题一般是选择题，四个选项给出四中不同的情况让去逐一判断。

例：以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（）A，1，2，4 B，8，6，10 C，12，5，6 D，2，5，7碰到此类问题，仍然是考察三角形三边关系。

任意两边之和大于第三边。

任意两边之差小于第三边。

但是如果没有合适的方法，部分选项我们可能最多需要判断六次，大大的增加的该题的复杂度。

最好的办法就是把每一个选项从小打到排序。

只要两个最小的线段的和大于最长的那个线段，便一定满足任意两边之和大于第三边。

也可以看最长线段长减去最短线段长的差是否小于第三条线段的长。

若是则可以组成。

三，化简或者判断三角形的形状此类问题的核心是根据三边关系进行化简判断例3：若△ABC的三条边长度分别为a,b,c，①化简：|a-b-c|+|a+b-c|-|a+c-b|②已知三边关系满足|a-b|+(b-c)2=0，判断三角形的形状分析：该题要谨记三角形的三边关系四，已知两边（一）已知两边求第三边的取值范围例：已知三角形两边长分别为1，7，求第三边的取值范围解：设第三边长为x则： 7-1 <X<7+1解的 6<x<8（二）已知两边长，第三边范围增加限制条件例：已知三角形两边长分别为1，7，第三边边长为奇数，求第三边的取值范围分析：该题是最爱出填空题。

作为直接使用三角形三边关系，求出第三边范围之后，添加限制性条件，锁定第三边的取值范围。

要注意区分奇数与偶数。

本体答案就是7 （三）一直两边长和周长的范围，求第三边长例：已知三角形两边长分别为1，7，该三角形周长不大于16.求第三边的取值范围（四）已知两边长，周长取值范围，第三边长的限制条件。

三角形的三边关系(基础)知识讲解

三角形的三边关系（基础）知识讲解【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法．2. 理解并会应用三角形三边间的关系．3. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，学会它们的画法．4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．【要点梳理】要点一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．要点二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.推论：三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系．要点三、三角形的分类【高清课堂：与三角形有关的线段三角形的分类】1.按角分类：要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.2.按边分类：要点诠释：①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;③等边三角形：三边都相等的三角形.要点四、三角形的三条重要线段三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：要点五、三角形的稳定性??? 三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.要点诠释：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．?（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．??（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．【典型例题】类型一、三角形的定义及表示1．如图所示．(1)图中共有多少个三角形?并把它们写出来； (2)线段AE 是哪些三角形的边?(3)∠B 是哪些三角形的角?【思路点拨】对比三角形的相关概念分析和思考．【答案与解析】解：(1)图中共有6个三角形，它们是△ABD ，△ABE ，△ABC ，△ADE ，△ADC ，△AEC ． (2)线段AE 分别为△ABE ，△ADE ，△ACE 的边． (3)∠B 分别为△ABD ，△ABE ，△ABC 的角．【总结升华】在(1)问中数三角形的个数时，应按一定规律去找，这样才会不重复、不遗漏地找出所有的三角形；在(2)问中，突破口在于由三角形定义知，除了A 、E 再找一个第三点，使这点不在AE 上，便可得到以AE 为边的三角形；(3)问的突破口是∠B 一定在以B 为一个顶点组成的三角形中．举一反三：【变式】如图，以A 为顶点的三角形有几个？用符号表示这些三角形．【答案】3个,分别是△EAB, △BAC, △CAD. 类型二、三角形的三边关系2. (四川南充)三根木条的长度如图所示，能组成三角形的是( )【思路点拨】三角形三边关系的性质，即三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．注意这里有“两边”指的是任意的两边，对于“两边之差”它可能是正数，也可能是负数，一般取“差”的绝对值．【答案】D【解析】要构成一个三角形．必须满足任意两边之和大于第三边．在运用时习惯于检查较短的两边之和是否大于第三边．A 、B 、C 三个选项中，较短两边之和小于或等于第三边．故不能组成三角形．D 选项中，2cm+3cm ＞4cm ．故能够组成三角形．【总结升华】判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是：①判断出较长的一边；②看较短的两边之和是否大于较长的一边，大于则能够成三角形，不大于则不能够成三角形．【高清课堂：与三角形有关的线段例1】举一反三：【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.(1) 3，4，5； (2) 3，5，9 ； (3) 5，5，8. 【答案】（1）能；（2）不能；（3）能.3.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是_______. 【答案】59c <<【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c 的取值范围是│2-7│<c<2+7,即 5<c<9．【总结升华】三角形的两边a 、b ，那么第三边c 的取值范围是│a -b│<c<a+b.举一反三：【变式】(浙江金华)已知三角形的两边长为4，8，则第三边的长度可以是________(写出一个即可)【答案】5，注：答案不唯一，填写大于4，小于12的数都对．类型三、三角形中重要线段4. (江苏连云港)小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别为4，9，12，如何求这个三角形的面积?”小明提示：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是( ) ．【答案】C【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．解答本题首先应找到最长边，再找到最长边所对的顶点．然后过这个顶点作最长边的垂线即得到三角形的高．【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高，并且三条高所在的直线交于一点．这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部．举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC ，试画出△ABC 各边上的高．【答案】解：所画三角形的高如图所示．5.如图所示，CD 为△ABC 的AB 边上的中线，△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ，BC ＝8cm ，求边AC 的长．【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD ＝BD ，②△BCD 的周长比 △ACD 的周长大3．【答案与解析】解：依题意：△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ，故有：BC+CD+BD -(AC+CD+AD )＝3．又∵ CD 为△ABC 的AB 边上的中线，∴ AD ＝BD ，即BC -AC ＝3．又∵ BC ＝8，∴ AC ＝5．答：AC 的长为5cm ．【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD ＝BD 是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法．举一反三：【变式】如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AD 的中点，且4ABC S △，则S 阴影为________．【答案】1类型四、三角形的稳定性6.如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB、CD)，这样做的数学道理是什么?【答案与解析】解：三角形的稳定性．【总结升华】本题是三角形的稳定性在生活中的具体应用．实际生活中，将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性．。

部编人教版数学《三角形》知识点归纳

《三角形》知识点归纳1、三角形的分类按角分⎪⎩⎪⎨⎧钝角三角形直角三角形锐角三角形按边分⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧等边三角形三角形腰和底边不相等的等腰等腰三角形不等边三角形 2、三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边3、已知两边求第三边的范围：两边之差＜第三边＜两边之和4、三角形的高（1）锐角三角形的三条高都在三角形内，它们在三角形内交于一点. （2）直角三角形的一条高在三角形内，另外两条高就是两条直角边，三条高在直角顶点相交.（3）钝角三角形有一条高在三角形内，还有两条高在三角形外，三条高延长后在三角形外交于一点 5、三角形的中线（1）三角形的三条中线在三角形内交于一点。

（重心）（2）三角形的一条中线将这个三角形分成面积相等的两个三角形。

6、三角形的三条角平分线在三角形内交于一点（内心） 7、三角形的内角和等于180°，外角和等于360° 8、直角三角形的两个锐角互余。

9、有两个角互余的三角形是直角三角形；有两个角的和等于第三个角的三角形是直角三角形；有两个角的差等于第三个角的三角形是直角三角形 10、三角形的外角的性质：（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。

（2）三角形的外角大于与它不相邻的任意一个内角。

11、三角形角平分线的有关结论：（1）三角形两个内角的角平分线相交所成的钝角等于90°加上第三个角的一半。

（2）三角形两个外角的角平分线相交所成的锐角等于90°减去第三个角的一半。

（3）三角形一个内角和一个外角的角平分线相交所成的锐角等于第三个角的一半。

12、从n 边形的一个顶点出发,可以引（n-3）条对角线，它将n 边形分成（n-2）个三角形. n 边形的对角线公式是：2)3(-n n13、n 边形的内角和等于(n-2)×180°,多边形的外角和等于360°。

14、正多边形的每个内角等于nn 180)2(⨯- ，每个外角等于 n 360015、三角形的内角和是外角和的一半，四边形的内角和与外角和相等，六边形的内角和是外角和的2倍。

三角形三边关系

第3题第4题讲义知识点1：三角形三边的关系：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边。

知识点2：三角形的内角和等于180°，三角形的外角和等于360° 知识点3：直角三角形的性质与判定知识点4：多边形内角和：()1802⋅-n ° 多边形的外角和等于360°知识点5：多边形所有对角线的条数：()23-n n ，多边形从一个顶点出发有3-n 条对角线自主练习：一、选择题1.以下列各组线段为边，能组成三角形的是 ( ) A ． 2 cm ，3 cm ，5 cm B ．3 cm ，3 cm ，6 cm C ． 5 cm ，8 cm ，2 cm D ． 4 cm ，5 cm ，6 cm2.已知等腰三角形的两边长分别为3和6，则它的周长等于 ( ) A ． 12 B ．12或15 C ． 15 D ．15或183. 如图，在△ABC 中，∠B =67°，∠C =33°，AD 是△ABC 的角平分线，则∠CAD 的度数为（） A ．40° B ．45° C ．50° D ．55°4.如图：将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是（）A ．75°B ．90° C．105° D ．120° 5.一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（）A 、4B 、5C 、6D 、7 6.下面各角能成为某多边形的内角和的是（）A ．430°B ．4343°C ．4320°D ．4360° 7. 在△ABC 中，AB =8，AC =6，则BC 边上的中线AD 的取值范围是（）。

A ．6＜AD ＜8 B ．2＜AD ＜14 C ．1＜AD ＜7 D ．无法确定二、填空题8．为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条这样做的道理是利用了___________________.9．一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形是_____边形。

三角形各边关系

三角形各边关系三角形是几何图形当中最常见的形状之一，也是许多数学公式和各种几何概念的基础。

三角形的三条边之间存在着连接的关系，比如最大边最小边之和大于或等于第三边；最大边最小边之积等于第三边的平方减去正弦正切正余弦等之和，等等。

有三种基本类型的三角形，分别是等边三角形、等腰三角形和普通三角形。

等边三角形是三角形中最容易理解和形象理解的类型，它有三条等长的边，所有的角度都是60度。

等腰三角形有两条等长的边，其余一条较长，所有的角度都是相等的。

最后一种是普通三角形，它的三条边的长度和角度大小都不相同，是最经常见到的三角形形状。

在三角形当中，三条边之间有着一定的关系，包括三角形一边最大边最小边之和大于或等于第三边；最大边最小边之积等于第三边的平方减去正弦正切正余弦等之和，以及三条边的各自有一定的函数和关系，等等。

其中，最常用的三角形的一边最大边最小边之和大于或等于第三边，称为三角形不等式，有时也称为三角形的不等式定理，也就是三角形内角的和为180度。

该定理也被称为费马不等式，以19世纪以色列数学家费马的名字命名。

该不等式定理简单而又有用，它可以解决一些几何问题，例如验证一个三角形是否是等腰三角形，是否能够构成一个三角形，等等。

在三角形当中，除了上面提及的最大边最小边之和大于或等于第三边外，还有最大边最小边之积等于第三边的平方减去正弦正切正余弦等之和的一个定理。

这条定理对了解三角形特性也非常重要，它表明，最大边最小边之积可以用来表达三角形的更多特性，而不只是简单的三角形的一边大小之和有关。

三角形的三条边之间有着复杂的关系，上述的定律只是它们多么复杂的一部分，而没有介绍它们之间所有的关系。

如果想要研究三角形，就必须对三角形对象有更深入的了解，除了上面提到的两条规则之外，还要了解它们的其他规则，以及如何有效的使用这些规则。

三角形基础知识归纳总结

2、三角形的高、中线、角平分线（1）三角形的高、中线、角平分线都是线段 .（2）交点情况：① 三条高所在的直线交于一点：三角形是锐角三角形时交点位于三角形的内部；三角形是直角三角形时，交点位于直角三角形的直角顶点；三角形是钝角三角形时，交点位于三角形的外部 .三角形的高② 三角形的三条中线交于一点，交点位于三角形的内部，每条中线都把三角形分成面积相等的两个三角形 .三角形的中线③ 三角形的三条角平分线交于一点，交点位于三角形的内部 .3、三角形的内角和三角形内角和定理：任何三角形的内角和都等于 180° .三角形的三个内角用数学符号表示为：在△ABC 中，∠1 + ∠2 + ∠3 = 180° .4、三角形的外角与内角的关系（1）等量关系：（2）不等量关系：三角形的一个外角大于任何与它不相邻的内角 .5、多边形多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的图形叫做多边形 .对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段 .六边形多边形对角线条数探索：归纳总结：（1）n 边形的内角和是（n - 2）180°，外角和是 360° ；正 n 边形的每个内角是：（2）从 n 边形的一个顶点出发，可做 ( n - 3 ) 条对角线，把 n 边形分成 ( n - 2 ) 三角形，所以 n 边形的内角和是 ( n - 2 )180° ；一个 n 边形一共有 n ( n - 3 ) / 2 条对角线 ( n ≥ 3 ) .（3）如果一个角的两边分别平行于另一角的两边，则这两个角相等或互补；如果一个角的两边分别垂直于另一角的两边，则这两个角相等或互补 .二、习题练习【三边关系】1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ B ）A．4cm，5cm，9cmB．8cm，8cm，15cmC．5cm，5cm，10cmD．6cm，7cm，14cm2．下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（ C ）A．1，1，2B．1，2，4C．2，3，4D．2，3，53．已知三角形两边的长分别是 3 和 7，则此三角形第三边的长可能是（ C ） A．1 B．2 C．8 D．114．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ B ）A．3，4，81、如图，将直尺与含 30° 角的三角尺摆放在一起，若 ∠1 = 20°，则 ∠2的度数是（ A ）A．50° B．60° C．70° D．80°2、如图，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，则5、如图，在 △ABC 中，CD 平分 ∠ACB 交 AB 于点 D，过点 D 作 DE∥BC 交 AC 于点 E．若 ∠A=54°，∠B=48°，则 ∠CDE 的大小为（ C ）A．44° B．40° C．39° D．38°6．如图，将一张三角形纸片 ABC 的一角折叠，使点 A 落在 △ABC 外的 A'处，折痕为 DE．如果 ∠A = α，∠CEA′ = β，∠BDA' = γ，那么下列式子中正确的是（A ）A．γ=2α+β B．γ=α+2β C．γ=α+β D．γ=180°﹣α﹣β7．如图，∠ACD 是 △ABC 的外角，CE 平分 ∠ACD，若 ∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD 等于（ C ）A．40° B．45° C．50° D．55°9、如图，点 D 在 △ABC 边 AB 的延长线上，DE∥BC．若 ∠A = 35°，∠C = 24°，则 ∠D 的度数是（ B ）A．24° B．59° C．60° D．69°10．如图，∠B = ∠C = 90°，M 是 BC 的中点，DM 平分 ∠ADC，且 ∠ADC = 110°，则 ∠MAB =（ B ）A．30° B．35° C．45° D．60°11．如图，墙上钉着三根木条 a，b，c，量得 ∠1=70°，∠2=100°，那么木条 a，b 所在直线所夹的锐角是（ B ）A．5° B．10° C．30° D．70°12．已知直线 m∥n，将一块含 45° 角的直角三角板 ABC 按如图方式放置，其中斜边BC 与直线 n 交于点 D．若 ∠1 = 25°，则 ∠2 的度数为（ C ）A．60° B．65° C．70° D．75°13、已知：如图，△ABC 是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．14．如图，在 △ABC 中，AB=AC，D 是 BC 边上的中点，连结 AD，BE 平分 ∠ABC 交 AC 于点 E，过点 E 作 EF∥BC 交 AB 于点 F．（1）若 ∠C = 36°，求 ∠BAD 的度数．（答案：54° ）（2）若点 E 在边 AB 上，EF∥AC 交 AD 的延长线于点 F．求证：FB = FE．【三角形的重要线段】1．如图，在 △ABC 中有四条线段 DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是 △ABC 的中线，则该线段是（ B ）A．线段 DE B．线段 BE C．线段 EF D．线段 FG2．如图，△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AE、BF 分别是 ∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC = 50°，∠ABC = 60°，则 ∠EAD + ∠ACD =（ A ）【三角形的稳定性】1．下列图形具有稳定性的是（ A ）【多边形】1．如图，在五边形 ABCDE 中，∠A + ∠B + ∠E = 300°，DP、CP 分别平分∠EDC、∠BCD，则 ∠P=（ C ）2．图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则 ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360 度．3、通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有 2 条，那么该多边形的内角和是540 度．4．一个 n 边形的每一个内角等于108°，那么 n = 5 ．5、若一个多边形的内角和是其外角和的 3 倍，则这个多边形的边数是 8 ．6、五边形的内角和是 540。

三角形三边关系

三角形三边关系三角形是几何图形中最基本也是最重要的图形之一。

三角形的三边关系是三角形性质的基石，掌握好这一基本概念对于理解其他几何概念非常重要。

本文将详细介绍三角形三边关系及其应用。

一、三角形三边关系的定义三角形是由三条不在同一直线上的线段首尾顺次相接所组成的图形。

根据三角形的定义，我们可以知道三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

这种性质通常被称为“三角形三边关系”。

二、三角形三边关系的证明证明三角形三边关系有多种方法，其中最经典的是利用“反证法”。

假设三角形三边a、b、c满足a<b+c，我们来证明这与假设矛盾。

假设反面成立，即a≥b+c，那么b+c≥a+c，即b≥a+c-c=a，这与题目中a>b矛盾。

因此，我们的假设是错误的，所以三角形三边关系成立。

三、三角形三边关系的几何应用三角形三边关系在几何学中有着广泛的应用。

例如，它可以用来判断三条线段能否组成一个三角形，或者比较两条线段的长度大小。

它还可以用于解决一些与三角形有关的实际问题，如测量不可直接测量的距离或高度等。

四、总结三角形三边关系是几何学中的一个基本概念，它反映了三角形中任意两边之和与第三边的关系。

这一性质不仅在几何学中有着广泛的应用，而且在解决实际问题时也具有重要意义。

掌握好三角形三边关系对于理解其他几何概念也是非常有帮助的。

三角形三边的关系在几何学中，三角形是一种基本的图形，其三边之间的关系是构成三角形的核心要素。

本文将探讨三角形三边的关系，以及其在实际生活中的应用。

一、三角形三边的关系三角形三边的关系可以用以下三个基本定理来描述：1、三角形两边之和大于第三边。

这意味着，任意两边之和必须大于第三边，否则不能构成三角形。

2、三角形两边之差小于第三边。

这意味着，任意两边之差必须小于第三边，否则也不能构成三角形。

3、三角形的任意两边之和大于第三边，同时任意两边之差小于第三边。

这个定理实际上是前两个定理的组合。

解三角形知识点归纳(附三角函数公式)

高中数学必修五第一章解三角形知识点归纳1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；2、三角形三边关系：a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b cR C===A B ． 5、正弦定理的变形公式：①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B ． 6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）)7、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A 等，变形： 222cos 2b c a bc+-A =等，8、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。

②已知三边求角） 9、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4=2)(c b a r ++=))()((c p b p a p p ---10、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =；②若222a b c +>，则90C <；③若222a b c +<，则90C >．11、三角形的四心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点重心——三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1）外心——三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等）内心——三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等） 12同角的三角函数之间的关系（１）平方关系：ｓｉｎ²α＋ｃｏｓ²α＝１（２）倒数关系：ｔａｎα·ｃｏｔα＝１（３）商的关系：ααααααsin cos cot ,cos sin tan ==特殊角的三角函数值三角函数值0 11１不存在三角函数诱导公式：“ （2k πα+）”记忆口诀: “奇变偶不变，符号看象限”，是指（2kπα+），k ∈Z 的三角函数值，当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦（正切，余切;正割、余割也同样）;当k 为偶数时，函数名不变。

三角形三边关系总结

三角形三边关系总结
嘿，朋友们！今天咱就来好好唠唠三角形三边关系总结。

咱就说三角形吧，它的三边可不是随便长成啥样都行的哟！比如说，咱
有一个三角形 ABC，它的三边分别是 a、b、c，那这三边之间可是有大学
问呢！
你想想哦，如果两条边加起来还没有第三边长，那能围成一个三角形吗？肯定不行啊！就好像你要建一个房子，两根短木头加起来还没长木头长，怎么能拼成房子的架子呢？这不是瞎扯嘛！
再比如说哈，有三条线段，长度分别是 3、4、8，那它们能组成三角形吗？哎呀，3+4 才 7 呀，小于 8 呢！这就好比你去跑步，你跑的距离加起
来还没终点远，怎么可能到达终点呀，对吧！所以呀，任意两边之和一定要大于第三边，这是绝对的真理啊！
反过来，如果任意两边之差小于第三边，那才有可能组成一个好的三角
形哦！这就像你和朋友比赛，你和朋友的差距不能太大，不然差距大的那个肯定赢不了呀！哎呀呀，是不是很好理解呢？
咱再看，如果两边相等呢，那这就是个等腰三角形啦！就好像双胞胎一样，有两个长得一样呢！
那三边都相等呢，哇塞，这就是等边三角形呀，可特别啦，就像那独一无二的宝贝一样！
总之呢，三角形三边的关系可太重要啦，搞清楚了它们，才能更好地理解三角形这个神奇的图形呀！记住咯，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，这就是三角形三边关系的精髓所在！大家可千万别忘了呀！。

三角形三边关系归纳

三角形三边关系的考点问题三角形的三条边之间主要有这样的关系：三角形的两边的和大于第三边,三角形的两边的差小于第三边.利用这两个关系可以解决许多典型的几何题目.现举例说明。

一、确定三角形某一边的取值范围问题根据三角形三边之间关系定理和推论可得结论：已知三角形的两边为a、b,则第三边c 满足｜a－b|＜c＜a＋b.例1 用三条绳子打结成三角形（不考虑结头长),已知其中两条长分别是3m和7m，问第三条绳子的长有什么限制。

简析设第三条绳子的长为x m,则7－3＜x＜7＋3，即4＜x＜10.故第三条绳子的长应大于4m且小于10m.二、判定三条线段能否组成三角形问题根据三角形的三边关系，只需判断最小的两边之和是否大于第三边即可.例2（1）下列长度的三根木棒首尾相接,不能做成三角形框架的是（）A,5cm、7cm、10cm B，7cm、10cm、13cmC，5cm、7cm、13cm D，5cm、10cm、13cm（2)（2004年哈尔滨市中考试题）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（)A，1cm，2cm,4cm B，8cm,6cm,4cm C，12cm，5cm,6cm D，2cm，3cm,6cm 简析由三角形的三边关系可知：（1）5+7＜13,故应选C;(2）6+4＞8，故应选B。

例3 有下列长度的三条线段能否组成三角形？（1)a－3，a,3（其中a＞3)；（2）a，a＋4,a＋6(其中a＞0）；（3)a＋1，a＋1,2a（其中a＞0）.简析（1)因为（a－3）＋3=a,所以以线段a－3，a，3为边的三条线段不能组成三角形.(2）因为(a＋6)－a =6，而6与a＋4的大小关系不能确定，所以以线段a,a＋4，a＋6为边的三条线段不一定能组成三角形.（3）因为（a＋1)＋(a＋1)=2a＋2＞2，(a＋1）＋2a=3a＋1＞(a＋1)，所以以线段a＋1，a＋1，2a为边的三条线段一定能组成三角形.三、求三角形某一边的长度问题此类问题往往有陷阱，即在根据题设条件求得结论时，其中可能有一个答案是错误的,需要我们去鉴别,而鉴别的依据就是这里的定理及推论。

三角形的三边长度关系

三角形的三边长度关系三角形是几何学中的基本形状之一，由三条线段组成，每条线段称为边，而三条边之间的关系对于三角形的性质和特点有着重要影响。

本文将以三角形的三边长度关系为主题，探讨三角形的性质和特点，带领读者深入了解三角形。

一、三角形的定义及性质三角形是由三条线段组成的多边形，其中的每条线段称为边，而三条边的交点称为顶点。

根据三角形的边长关系，可以将三角形分为三种类型：等边三角形、等腰三角形和普通三角形。

1. 等边三角形等边三角形的三条边长度相等，每个内角均为60度。

它是一种特殊的等腰三角形，具有对称美观的特点。

2. 等腰三角形等腰三角形的两条边长度相等，另一条边长度不同。

等腰三角形的两个底角相等，而顶角则与底角不相等。

3. 普通三角形普通三角形的三条边长度都不相等，每个内角均不相等。

普通三角形是最常见的三角形类型，根据边长的不同，可以进一步分类为锐角三角形、钝角三角形和直角三角形。

二、三边长度关系及其应用三角形的三边长度关系是研究三角形性质的基础，它可以帮助我们计算三角形的周长、面积和各个角的大小。

1. 三边之和根据三角形的定义，三角形的任意两边之和大于第三边。

即对于三角形的三条边a、b、c，有a+b>c、a+c>b、b+c>a。

这个关系被称为三边不等式，它是判断三条线段是否可以组成三角形的重要条件。

2. 等边三角形的边长关系等边三角形的三条边长度相等，即a=b=c。

等边三角形的周长可以通过边长乘以3来计算，即周长=3a。

3. 等腰三角形的边长关系等腰三角形的两条边长度相等，即a=b。

等腰三角形的周长可以通过边长乘以2再加上底边长来计算，即周长=2a+c。

4. 普通三角形的边长关系普通三角形的三条边长度都不相等，即a≠b≠c。

普通三角形的周长可以通过三条边长之和来计算，即周长=a+b+c。

5. 三角形的面积计算根据海伦公式，已知三角形的三边长a、b、c，可以通过以下公式计算三角形的面积S：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]其中，p为半周长，即p=(a+b+c)/2。

三角形的三边关系知识点

三角形的三边关系知识点
嘿，大家好呀！今天咱来聊聊三角形的三边关系知识点，这可真是个超级有趣又超级重要的玩意儿！
你看哈，三角形的三边就像是三个好兄弟，它们之间有着特殊的关系呢。

这就像是你和你的两个好朋友，站在一起得有个规矩不是？这三边的关系就是两边之和得大于第三边，两边之差得小于第三边。

想象一下，要是这三边不守规矩，那可就乱套啦！比如说两边之和小于第三边，那就像是三个小矮人想要手牵手围住一个大巨人，怎么可能围得住嘛，肯定会散架的呀。

同样的，要是两边之差大于第三边，那就像是两个大力士拼命把中间那个小家伙往两边拉，直接就把人家扯开啦，哪儿还能有三角形呀。

我记得我以前刚开始学这个的时候，还闹过笑话呢。

做题的时候，总是忘了这个三边关系，随手就乱写三边长度。

结果老师一看，就笑着说：“哎呀呀，你这三角形都要成妖怪啦，哪有这样的三边关系呀！”全班同学都笑了，弄得我那叫一个尴尬呀，从那以后，我可就牢牢记住这个三边关系啦。

其实这个知识点在生活中也很有用呢。

比如说你要搭一个架子，要是三边的长度没选好，说不定刚搭起来就倒掉啦。

或者是你在玩拼图的时候，
有些三角形的拼图块，要是边长对不上，那可就拼不起来咯。

而且，通过这个三边关系，我们还能发现一些有趣的现象。

比如说知道两条边的长度，就能大概估摸出第三条边的范围。

这就像是知道了你的体重和身高，别人就能大概猜出来你的体型咋样。

总之，三角形的三边关系既有意思又实用。

学会了它，你就能像个小专家一样，轻松搞定跟三角形有关的各种问题。

别小看这小小的知识点哦，它可是我们数学世界里的宝贝呢！哈哈，大家一起加油，把它掌握得牢牢的吧！。

三角形三边长度关系公式

掌握三角形三边长度关系，轻松解决几何题三角形是初中数学中非常重要的一个概念，几乎每个学生都学过。

在求解三角形相关题目时，经常需要用到三边长度关系公式。

这篇文
章将为您全面介绍三角形三边长度关系公式及其应用。

首先，我们来看三角形三边关系公式的表达式：假设三角形三边
长分别为a、b、c，则有以下公式：
a+b>c
a+c>b
b+c>a
以上三个式子分别对应三角形中任意两边之和大于第三边的规律，这是初中阶段最基本的三角形三边关系公式。

有了三边关系公式，我们就可以在解题时进行判断。

例如，如果
已知一个三角形的三边分别为5、6、7，那么我们可以先将三条边按照大小排列，得到a=5、b=6、c=7。

然后，我们代入以上三个公式进行计算，得到：
5+6>7，成立
5+7>6，成立
6+7>5，成立
因此，这个三角形是一个合法的三角形。

在使用三边关系公式解题时，有一个比较常见的错误被称作“非
正解法”，即当某个公式不成立时认为三角形不成立，这是不正确的。

正确方法应该是利用已知条件，通过其他方法来解答。

此外，我们还需要注意一个特殊情况，就是等边三角形。

在等边
三角形中，三条边相等，因此三边关系公式变为：
2a>a
2a>a
2a>a
这显然是恒成立的，因此等边三角形是合法的。

总的来说，三边关系公式是解三角形问题的基础，掌握这一公式
能够让我们更加自信、准确的解答相关题目。

三角形知识点总结归纳

三角形知识点总结一、知识框架：三角形的分类：1、按边分：普通三角形、等腰三角形在等腰三角形中,腰和底相等的三角形是等边三角形;2、按角分: 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形直角三角形的两个锐角互余;二、知识概念：1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边,任意两边的差小于第三边.3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.4.中线：在三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线;三角形的三条中线相交于一点,这一点叫做三角形的重心;5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的,三角形的这个性质叫三角形的稳定性.7.多边形：在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线.11.正多边形：在平面内,各个角都相等,各条边都相等的多边形叫正多边形.12.公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.1、多边形内角和公式：n边形的内角和等于n-2·180°2、多边形的外角和：多边形的外角和为360°.多边形对角线的条数：1、从n边形的一个顶点出发可以引n-3条对角线;2、把多边形分成n-2个三角形,n边形共有nn-3/2条对角线;。

三角形三边关系归纳

三角形三边关系归纳三角形是几何学中的一个基本图形，由三条边和三个内角组成。

在研究三角形时，探索三边之间的关系是非常重要的。

通过归纳总结，我们可以得出一些三角形三边关系的规律和性质。

1. 三边之和与三边之差的关系对于任意一个三角形，我们可以得出以下结论：三边之和大于两边之差。

即 a + b > c, a + c > b, b + c > a。

三边之差小于两边之和。

即 a - b < c, a - c < b, b - c < a。

这个结论也可以被称为三角形的三角不等式，它对于判断一个三角形的存在性非常重要。

2. 直角三角形的边关系在直角三角形中，三个边之间有着特殊的关系。

假设直角三角形的两个直角边分别为 a 和 b，斜边为 c。

根据勾股定理，有 a² + b² = c²。

这个定理是直角三角形中三边关系的基础，也是很多三角形问题中常用的关键性质。

3. 等腰三角形的边关系等腰三角形是指两边长度相等的三角形。

在等腰三角形中，两个底边相等，顶角对应的两边也相等，即 a = b, c = c。

此外，根据三角形内角和的性质，等腰三角形的两个底角也是相等的。

因此，在等腰三角形中，我们可以得出以下结论：a = b，两边相等；A = B，两底角相等；C = 180° - 2A，顶角度数与底角度数关系。

4. 等边三角形的边关系等边三角形是指三条边长度都相等的三角形。

在等边三角形中，三个内角也是相等的，即 A = B = C = 60°。

同时，根据三角形外角和的性质，等边三角形的每个外角都等于360°/3 = 120°。

等边三角形的特殊性质使得它在几何图形中有着重要的地位，常用于解决等分问题。

5. 不等边三角形的边关系对于不等边三角形，三边之间的关系则相对复杂一些。

一般来说，我们可以利用余弦定理和正弦定理来求解不等边三角形的各个边和角度关系。

初中数学知识归纳勾股定理与三角形的三边关系

初中数学知识归纳勾股定理与三角形的三边关系数学是一门基础学科，而数学中的勾股定理和三角形的三边关系是初中数学中重要的知识点。

它们不仅具有理论意义，而且在实际生活中也有很多应用。

本文将对勾股定理和三角形的三边关系进行归纳总结，并探讨其应用。

一、勾股定理勾股定理是关于直角三角形的重要定理，它描述了直角三角形中直角边平方和等于斜边平方的关系。

根据勾股定理，我们可以计算任意直角三角形的边长。

勾股定理可以表示为：在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。

即a² + b² = c²，其中a、b为直角边的长度，c为斜边的长度。

我们可以用勾股定理解决一些与直角三角形有关的问题。

例如，已知两条直角边的长度，可以求解斜边的长度；已知一条直角边和斜边的长度，可以求解另一条直角边的长度。

勾股定理的应用不仅局限于直角三角形，还可以拓展到其他几何图形中，比如矩形和正方形。

通过勾股定理，我们可以计算矩形的对角线长度或者正方形的边长。

二、三角形的三边关系除了勾股定理，我们还可以通过三边关系来研究三角形的性质。

三角形的三边关系是指三条边长度之间的关系，包括三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边等。

1. 三角形两边之和大于第三边对于任意一个三角形ABC，其三边为a、b、c，其中a、b为两边的长度，c为第三边的长度。

根据三角形的两边之和大于第三边的关系，我们可以得到以下结论：a+b>c，b+c>a，c+a>b。

这个结论的意义在于，如果三条边的长度不能满足这个关系，那么就无法构成一个三角形。

2. 三角形两边之差小于第三边三角形的两边之差小于第三边的关系与前述关系相似。

对于任意一个三角形ABC，其三边为a、b、c，其中a、b为两边的长度，c为第三边的长度。

根据三角形的两边之差小于第三边的关系，我们可以得到以下结论：|a-b|<c，|b-c|<a，|c-a|<b。

三角形的三边关系

三角形的三边关系【知识要点梳理】1．三角形的三边关系是指：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边．2．三角形的分类：①按角分为：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形； ②按边分为：等腰三角形和不等边三角形；等边三角形是等腰三角形中的特殊三角形．【典型例题探究】例1. 已知等腰三角形一边长为12cm ，腰长是底边长的34，求这个三角形的周长.例2．若a 、b 、c 为△ABC 的三边之长，化简：.a b c b c a c a b --+--+--例3．一个三角形有两边相等,周长为18cm,其中一边长为4cm,求其它两边的长.例4．（1）小明从家C 点去学校B 点，有两条路可走，C →O →B ；C →A →B ，可小明每回上学都走C →O →B ，因为他认为该路比另一条要近，小明的想法对吗？为什么？（2）若C →O →B 这条路被改成 C →E →D →B ，则与C →A →B 比较起来,走哪一条路更近？为什么？【基础达标演练】一、选择题1．以下列各组线段的长为边，能组成三角形的是（）A 、1cm ，2cm ，4cmB 、8cm ，6cm ，4cmC 、12cm ，5cm ，6cmD 、2cm ，3cm ，6cm 2．有长度分别为10cm ，7cm ，5cm 和3cm 的四根铁丝，选其中三根组成三角形则（） A 、共有4种选法B 、只有3种选法C 、只有2种选法D 、只有1种选法3．已知三角形三条边的长分别是5，6和a ，则a 的取值范围是（） A 、111<<a B 、62<<a C 、2>aD 、51<<a4．在一个三角形中，两条边长分别为2和7，另一条边的长是奇数，符合这样条件的三角形（）A 、不存在B 、只有一个C 、只有两个D 、有三个BAP QEDAOCB5．ABC ∆的三边c b a ,,，且()()0=--+c a c b a ，那么ABC ∆中（）A 、c b a >>B 、c b a =+C 、c a =D 、不能确定其边的关系 6．某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为（） A ．9cmB. cm 12C. cm 15D. 12cm 或15cm7．三角形的两边长分别为2和5，则三角形的周长t 的取值范围是（） A 、73<<t B 、129<<tC 、1410<<tD 、无法确定二、解答题8．三角形的两条边长分别为3cm 和4cm ．①求第三边c 的取值范围．②当周长为偶数时，求第三边的长．9.已知△ABC 的周长为18cm ，且a +b =2c ,b =2a ，求a 、b 、c.【能力提升训练】1．下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（） A 、3,3,6B 、3,7,11C 、2.5,4.5,2D 、41,31,21 2．等腰三角形的一边长为2cm ，另一边长为6cm ，则其第三边长（） A 、2cmB 、5cmC 、7cmD 、6cm3. 已知三角形的两边长为2和7，第三边的数值是奇数，那么这个三角形的周长是（） A ．14 B ．15 C ．16 D ．17 4．已知三角形三条边的长分别是2，3和a ，则a 的取值范围是（） A 、32<<aB 、50<<aC 、2>aD 、51<<a5.一棵9m 高的大树从离地面4m 高的地方折断,则树顶与地面的接触点距离树根可能是( )A ．1mB ．3mC ．9mD ．13m 6．已知三角形的三边长分别是3，8，x ，若x 的值为偶数，则x 的值为（） A ．6个B. 5个C. 4个D. 3个二、解答题B第1题7.设a 、b 、c 是△ABC 的三边，化简a b c a b c +++--8．已知等腰三角形的周长为20．（1）当一边长为6时，另两边的长是多少？（2）当一边长为4时，另两边的长是多少？【走近中考前沿】1.（2009 黑龙江）如图，为估计池塘岸边A 、B 两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O ，测得15=OA 米，10=OB 米，A 、B 间的距离不可能是（）A ．5米B ．10米C ．15米D ．20米 2.(2009温州)下列长度的三条线段能组成三角形的是( ) A ．1cm ， 2cm ， 3．5cm B ．4cm ， 5cm ， 9cmC ．5cm ，8cm ， 15cmD ．6cm ，8cm ， 9cm3.（2009崇左）一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（）A ．7B ．9C ．12D ．9或124.（2009长沙）已知三角形的两边长分别为3cm 和8cm ，则此三角形的第三边的长可能是（） A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．13cm5.（2009台湾）若 ABC 中，∠B 为钝角，且AB =8，BC =6，则下列何者可能为AC 之长度？（）A. 5B. 8C. 11D. 146．(深圳中考)已知三角形的三边长分别为3，8，x,若x 的值为偶数，则x 的值有( )A. 6个B. 5个C. 4个D. 3个7.(2008威海) 若三角形的三边长分别为3，4，x-1, 则x 的取值范围( ) A.80<<x B. 62<<x C. 60<<x D. 82<<x8.(2009达州)长度为2㎝、3㎝、4㎝、5㎝的四条线段，从中任取三条线段能组成三角形的概率是______________.【数学竞赛花园】* 1. 如图所示，已知P 是△ABC 内任意一点，求证：1()2AB BC CA PA ++<+PB PC AB +<BC CA ++* 2．已知三角形的一边是另一边的两倍，求证：它的最小边在它的周长的61与41之间.CBAP。

直接三角形三边关系

直接三角形三边关系直角三角形是我们在初中数学中经常接触到的一个概念，它的三边关系也是我们需要掌握的基本知识之一。

本文将从定义、性质、定理、推论等多个方面详细介绍直角三角形的三边关系，帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

一、定义直角三角形是指一个内角为90度的三角形，其中直角为其中一个内角。

在直角三角形中，我们可以将与直角相对的两条边称为“腰”，而将与直角相邻的一条边称为“斜边”。

二、性质1. 直角三角形中，斜边最长。

2. 直角三角形中，两条腰的长度可以相等也可以不相等。

3. 直角三角形中，任意两条腰都不可能同时成为斜边。

4. 直角三角形中，两条腰和斜边构成一个勾股数列。

5. 直角三角形中，任意两个锐角之和等于90度。

6. 直接三个顶点分别对应于圆锥侧面上的圆弧上的切点、切点所在圆弧上与底面交点以及圆锥底面上所对应的点。

三、定理1. 勾股定理：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两条腰的平方和。

证明：设直角三角形的两条腰分别为a和b，斜边为c。

则根据勾股定理可得：c² = a² + b²2. 正弦定理：在任意一个三角形ABC中，有下列关系成立：a / sin A =b / sin B =c / sin C其中a、b、c分别为三角形ABC的三边，A、B、C分别为对应的内角。

证明：以c为底边作高CD，则有：sin A = BD / asin B = BD / b因此，BD = a * sin A = b * sin B又因为CD = √(c² - BD²)，所以有：CD² = c² - (a * sin A)²CD² = c² - (b * sin B)²将上述两式代入得到：a / sin A =b / sin B =c / CD即可得到正弦定理。

3. 余弦定理：在任意一个三角形ABC中，有下列关系成立：cos A = (b² + c² - a²) / 2bccos B= (a² + c² - b²) / 2accos C= (a² + b² - c²) / 2ab其中a、b、c分别为三角形ABC的三边，A、B、C分别为对应的内角。