22.1一元二次方程(1课时)教案
22.1一元二次方程优质课教案完美版
师生归纳总结，学生作 笔记.
பைடு நூலகம்
纳入知识系统
观察： 定义： 一般形式 三种特殊形式
板书设计 例
课堂小结归纳
一元二次方程的根
教
学
反思
它三种特殊形式. 3. 经 历 观 察 ， 归 纳 一 元 二 次 方 程 的 概 念 ， 一 元 二 次 方 程 的 根 的 概 念 ，
通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．
一元二次方程的概念，一般形式和一元二次方程的根的概念
通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元 二次方程的概念．
念达到共识，从 而为掌握概念作
1 2x 6 0
准备.
x
概念归纳：
1.一元二次方程定义：
分析：首先它是整式方程，然后未知数的个数是 1，最高次数
是 2.
师生分析概念和一般形
2.一元二次方程的一般形式：
式.
全面理解和掌握
分析：
○1 .为什么规定 a ≠0？
○2 .方程左边各项之间的运算关系是什么？关于 x 的一元二
次方程 ax2 bx c 0a 0 的各项分别是什么？各项系数是
识记、理解相关
什么？
学生根据相关概念作答， 概念
3.特殊形式： ax2 bx 0a 0 ； ax2 c 0a 0 ；
复习巩固.
ax2 0a 0
通过类比，迁移
课本例题
学生类比 一元一 次方程 提高
分析：类比一元一次方程的去括号，移项，合并同类项，进行 的解尝试叙述
作课类别 教学媒体
知识 教 技能 学
目 过程 方法
标 情感 态度
教学重点
第21章《一元二次方程》教案
分析：要想确定上述方程的根的情况，只需算出“△”， 确定它的符号情况即可． 例 2． 当 k 取什么值时， 关于 x 的方程 2x -(4k+1)x+2k -1=0 (1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等实数根；(3) 方程没有实数根． 例 3. 求证关于 x 的方程(k2+1)x2-2kx+(k2+4)=0 没有实数根.
页
课题 学习目标
22.2 解一元二次方程（求根公式法） 1．使学生掌握一般一元二次方程的求根公式的推导过程， 并由此培养学生的分析、综合和计算能力． 2．使学生掌握公式法解一元二次方程的方法． 要求学生正确运用求根公式解一元二次方程． 1.求根公式的推导过程． 2.含有字母参数的一元二次方程的公式解法． 学习流程 讨论完善
讨论完善
同时指导学生把学过的方程分为两大类：
2．一元二次方程的一般形式 注意引导学生考虑方程 x2-70x+825=0 和方程 x(x+5)=150，即 x2+5x=150， 可化为：x2+5x-150=0． 从而引导学生认识到：任何一个一元二次方程，经过 整理都可以化为 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式．并称之为一元二次方程的一 般形式． 其中 ax2，bx，c 分别称为二次项、一次项、常数项；a， b 分别称为二次项系数、一次项系数． 【注意】二次项系数 a 是不等于 0 的实数(a=0 时，方程化 为 bx+c=0，不再是二次方程了)；b，c 可为任意实数． 例 把方程 5x(x+3)=3(x-1)+8 化成一般形式．并写出 它的二次项系数、一次项系数及常数项． 课堂练习 P4 练习 1、2 题
第二十一章 一元二次方程 第 3
一元二次方程(第一课时)教学设计
一元二次方程(第一课时)教学设计一、教学目标:（一）知识技能：1、理解一元二次方程的概念。
2、掌握一元二次方程的一般形式，正确认识二次项系数、一次项系数及常数项。
（二）教学思考：1、通过一元二次方程的引入，培养学生建模思想，归纳、分析问题及解决问题的能力。
2、通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性。
3、由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数、列方程向学生渗透方程的思想，从而进一步提高学生分析问题、解决问题的能力。
（三）解决问题：在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。
（四）情感态度：1、培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识。
2、激发学生学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识。
二、重点：一元二次方程的概念及一般形式。
三、难点：1、由实际问题向数学问题的转化过程。
2、正确识别一般式中的“项”及“系数”。
四、教学过程：（利用电脑多媒体课件教学）（一）复习引入：复习以前我们学过一元一次方程、二元一次方程（组）、分式方程引入新课。
（二）传授新知：1、由课本引言，引导学生列出方程x2＋2x－4=0，这和我们以前学过的方程不同，这是什么方程呢？怎么解决这个问题呢？引发学生兴趣，让学生带着问题完成本节课学习。
（提示学生注意方程未知数的个数和未知数的最高次数。
）2、同样引导学生思考课本的两个问题，让学生建立数学模型，把实际生活中的问题转化为数学问题，增强学生解决实际问题的能力。
我们得到两个方程：x2－75x+350=0 ，x2-x-56=0。
（提示学生注意方程未知数的个数和未知数的最高次数。
）3、学生思考：三个方程x2＋2x－4=0，x2－75x+350=0，x2-x-56=0它们有什么共同的特点？引导学生归纳出一元二次方程的概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
《一元二次方程》教案1（5篇模版）
《一元二次方程》教案1（5篇模版）第一篇：《一元二次方程》教案122.1一元二次方程教学内容本节课主要学习一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．教学目标知识技能探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数；能够从实际问题中抽象出方程知识。
数学思考在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系。
解决问题培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养。
情感态度通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．重难点、关键重点：一元二次方程的定义、各项系数的辨别，根的作用．难点：根的作用的理解．关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念教学准备教师准备：制作课件，精选习题学生准备：复习有关知识，预习本节课内容教学过程一、情境引入【问题情境】问题1 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？/ 5问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？【活动方略】教师演示课件，给出题目．学生根据所学知识，通过分析设出合适的未知数，列出方程回答问题．【设计意图】由实际问题入手，设置情境问题，激发学生的兴趣，让学生初步感受一元二次方程，同时让学生体会方程这一刻画现实世界的数学模型．二、探索新知【活动方略】学生活动：请口答下面问题．（1）上面几个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）•都有等号，是方程．归纳：像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．【设计意图】主体活动，探索一元二次方程的定义及其相关概念．三、范例点击/ 5例1 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并指出各项系数．解：去括号得3x2-3x=5x+10，移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0．其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10．【活动方略】学生活动：学生自主解决问题，通过去括号、移项等步骤把方程化为一般形式，然后指出各项系数．教师活动：在学生指出各项系数的环节中，分析可能出现的问题（比如系数的符号问题）．【设计意图】进一步巩固一元二次方程的基本概念．例2 猜测方程x2-x-56=0的解是什么？【活动方略】学生活动：学生可以采取多种方法得到方程的解，比如可以用尝试的方法取x ＝1、2、3、4、5等，发现x＝8时等号成立，于是x＝8是方程的一个解，如此等等．教师活动：教师引导学生自主探索，多种途径寻找方程的解，在此基础上让学生进行总结：使一元二次方程等号两边相等的未知数的取值叫作一元二次方程的解（又叫作根）．【设计意图】探究一元二次方程根的概念以及作用．四、反馈练习课本P32 练习1，2 课本P33 练习1、2题补充习题：1．将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=•1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中/ 5 的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．2．你能根据所学过的知识解出下列方程的解吗？（1）x2-36=0；【活动方略】学生独立思考、独立解题．教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）【设计意图】检查学生对基础知识的掌握情况.五、应用拓展例3：求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17•≠0即可．证明：m2-8m+17=（m-4）2+1 ∵（m-4）≥0 ∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0 ∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．例4：有人解这样一个方程(x+5)(x-1)=7．解：x+5=1或x－1 = 7，所以x1=－4，x2 =8，你的看法如何？由(x+5)(x-1)=7得到x+5=1或x－1=7，应该是x+5=1且x－1=7，同时成立才行，此时得到x=－4且x=8，显然矛盾，因此上述解法是错误的．【活动方略】教师活动：操作投影，将例3、例4显示，组织学生讨论．学生活动：合作交流，讨论解答。
22.1一元二次方程(第1课时)
3 x 2 25 4x
一般式： 2 4x
8 x 25 0.
二次项系数为4，一次项系数8，常数项－25.
4 x 2x 1 8x 3 3
一般式： 3x 2
7 x 1 0.
二次项系数为3，一次项系数－7，常数项1.
2.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化 成一元二次方程的一般形式： （1）4个完全相同的正方形的面积之和是25， 求正方形的边长x； 解：设其边长为x，则面积为x2 4x2=25
2
(8)2x x 3 2x 1
2
化简为： 6 x次方程的有：____________
一元二次方程的一般形式
的形式,我们把 ax bx c 0
2
“=”的右 边必须整理 成0. 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为
并会找出 a、b、c 各是什么；
3．会用一元二次方程表示实际生活中 的数量关系．
(a≠0, b≠0, c≠0)
ax2+bx+c=0
(a≠0)
不完全的
ax2+bx=0 (a≠0,b≠0)
ax2+c=0 (a≠0,c≠0) 一元二次方程
ax2=0
(a≠0)
例：
将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程 的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次 项系数和常数项. 解：去括号，得 3x2-3x=5x+10
22.1一元二次方程(1）
问题1：要设计一座高2m的人体雕像,使它的上部(腰以
上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部（全身） 的高度比,求雕像的下部应设计为高多少米? A 分析: 雕像上部的高度AC,下部的高 2-x 度BC,应有如下关系: AC BC C 即 BC2 2 AC BC 2
一元二次方程教案第一课时
一元二次方程教案第一课时一、教学目标知识与技能：学生能够理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，并能正确地识别和转换一元二次方程。
过程与方法：通过观察、分析和归纳，学生能够掌握一元二次方程的解法，并能够运用一元二次方程解决实际问题。
情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣和爱好，激发学生的学习热情，培养学生的逻辑思维能力和创新精神。
二、教学重点和难点教学重点：一元二次方程的概念、一般形式及其解法。
教学难点：如何正确识别和转换一元二次方程，以及如何运用一元二次方程解决实际问题。
三、教学过程导入新课：通过实例引导学生了解一元二次方程的概念，并通过对比一元一次方程，突出一元二次方程的特点和差异。
知识讲解：详细讲解一元二次方程的一般形式、解法及其在实际问题中的应用，并配以相应的例题进行说明。
练习与巩固：提供相应的练习题目，让学生在课堂上进行练习，并引导学生通过自主思考和小组讨论解决问题。
总结与回顾：对本节课的知识点进行总结和回顾，加深学生对一元二次方程的理解和应用。
布置作业：根据学生的学习情况布置适量的作业，以巩固和拓展课堂所学知识。
四、教学方法和手段教学方法：采用讲解、演示、小组讨论等多种教学方法相结合的方式进行教学，以提高学生的参与度和学习效果。
教学手段：运用多媒体课件、板书等多种教学手段辅助教学，提高教学效果和学生的学习兴趣。
五、课堂练习、作业与评价方式课堂练习：提供相应的练习题目，让学生通过自主思考和小组讨论解决问题，巩固所学知识。
作业：根据学生的学习情况布置适量的作业，以巩固和拓展课堂所学知识。
作业可以分为基础题目和提高题目两个层次，以满足不同学生的需求。
评价方式：通过学生的课堂表现、练习和作业等多种方式进行评价，以全面了解学生的学习情况和进步程度。
同时，鼓励学生积极参与评价，提高评价的客观性和准确性。
六、辅助教学资源与工具教学课件：提供相应的多媒体课件，包括文字、图片、视频等多种形式的内容，以辅助教学。
22.1一元二次方程教案
一元二次方程（1）教案【学习目标】：1.使学生了解整式方程、一元二次方程的意义.2.使学生知道并能认识一元二次方程的一般形式，正确认识一元二次方程中二次项系数、一次项系数，常数项.3.会把一元二次方程化成一般形式.4.培养抽象、概括、分析和解决问题的能力.【重点】：使学生知道并能认识一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式.【难点】：使学生掌握什么是一元二次方程的二次项和系数、一次项和系数以及常数项.一、自主学习课本，并完成以下练习：问题：绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？1、分析：现设长方形绿地的宽为x米，则长为米，可列方程x（）=去括号得①2、试一试：你能概括吗？上面①这种整式方程中只含有个未知数，并且未知数的最高次数是，这样的方程叫做（仿照一元一次方程的定义给它下个定义）（这样与一元一次方程对比，以加深学生的印象，也可使学生深刻了解一元二次方程的意义。
）练习：每人仿照上述定义再写2个新方程3、总结该方程的一般形式：(x为未知数a、b、c是已知数，a≠0)其中a叫做二次项系数、b叫一次项系数，c叫常数项.（只有当a≠0时，才叫一元二次方程。
如果a=0，b≠0，就是一元一次方程了。
所以在一般形式中，必须包含a≠0这个条件。
）4、根据上述2和3得出的结论和定义，你有什么启示？与小组内同学交流一下.例1 把方程3x(x－1)=2(x+2)+8化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。
解：去括号，得3 x2;－3 x=2x+4+8移项，合并同类项，得x 2－5 x －12=0二次项系数是3；一次项系数是－5；常数项是－12。
二、合作探究 展示提升：1、判断下列方程是否是一元二次方程;（1）0233122=--x x （ ） （2）0522=+-y x ( )(3) 02=++c bx ax （ ） (4)07142=+-x x ( )2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）3x 2－x =2； （2）7x －3=2x 2;解： 解：（3）(2x －1)－3x (x －2)=0 （4）2x (x －1)=3(x ＋5)－4.解： 解：3、判断下列方程后面所给出的数，那些是方程的解；（1）)()(1412+=+x x x ±1 ±2；（2）0822=-+x x ±2， ±44、填空：（1）0232=++x x 的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是（2）0432=+-x x 的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是（3）0232=-+x x 的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是（4）02342=-+x x 的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是三、巩固性练习：1、写出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）02=++d cx abx （)0≠ab（2）()02=++-n m x n m （)n m ≠1、已知关于x 的方程1222-=--x kx x k )(。
211《一元二次方程教案》(第1课时).doc
22. 1 一元二次方程第一课时一、 教学内容一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念. 二、 教学目标了解一元二次方程的概念；一般式a/+bx+c 二0 （aHO ）及其派生的概念；应用一元二 次方程概念解决一些简单题H .1. 通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义.2. 一元二次方程的一般形式及其有关概念.3. 解决一些概念性的题目.4. 通过生活学习数学,并用数学解决生活中的问题來激发学生的学习热情. 三、 重难点关键1. 重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概 念解决问题.2. 难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概 念迁移到一元二次方程的概念.四、 教学过程 （一、）复习引入 学牛活动：列方程.问题（1）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺•八寸，两隅相去适一 丈，问户高、广各儿何？ ”人意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽 各是多少? 如果假设门的高为x 尺，那么，这个门的宽为 _________ 尺，根据题意，得 __________ 整理、化简，得： __________ ・问题（2）如图，一块四周镶冇宽度相等的花边的地毯, 毯中央的长方形图案的面积为18m2,求花边有多宽？设花边的宽为“ in ，那么地毯屮央长方形图案的 长为 m, 宽 为 _____________ m,根据题意， 得方程： ____________________________________ . 问题（3）观察下面等式：102+112+122=132+142你还能找到其他的五个连续整数，使前三个 数的平方和等于后两个数的平方和吗？ 设五个连续整数中第一个为x,那么后四个___________________________________ ，根据题意, 得方程： ___________________________________________________________________ 老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理. （二、）探索新知学生活动：请口答下面问题.（1）上面三个方程整理后含有儿个未知数？数为 __________ 它的长为8m,宽为5m,如果地(2)按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是儿次？(3)有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？老师点评：(1)都只含一个未知数x； (2)它们的最高次数都是2次的；(3)都有等号，是方程.因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2 (二次)的方程，叫做一元二次方程.-般地，任何一个关于x的一元•二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0 (aHO).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0 (aHO)后，其屮ax'是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.(阅读练习册P1例题)巩固练习1、下列方程中，一元二次方程冇( )个(1)/ = 3 (2)5酹=3(/・ 1) ⑶丄二/ (+)yz・ A2 =5 (5)5/ ・2x = 5(/ +2)(/ ・ 1)x 4A. 2B. 3 C・ 4 D. 5例1.将方程(8-2x) (5-2x)二18化成一元二次方程的一般形式，并写出其屮的二次项系数、一次项系数及常数项.分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=O(8工0).因此，方程(8~2x) ( 5~2x)=18必须运用整式运算进行整理，包括去•括号、移项等.解：去扭号，得:40-16x-l 0X+4X2= 18移项，得：4x-26x+22=0其中二次项系数为4, 一次项系数为-26,常数项为22.(三、)巩固练习教材匕练习1、(四、)应用拓展例2.求证:关于x的方程(m2-8m+17) x2+2mx+l=0,不论m取何值，该方程都是一元二次方程.分析：要证明不论m収何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17 H0即可. 证明:m2-8m+17= (m-4) 2+1•・• (m-4)空0・・・(m-4) 2+1>0, B|J (m-4) 2+1^0・・・不论m取何值，该方程都是一元二次方程.五、归纳小结(学生总结，老师点评)本节课要掌握：(1) 一元二次方程的概念；(2) 一元二次方程的一般形式ax'+bx+c二0 CaHO)和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用.六、布置作业1.练习册P H提升:(A组)2.选用作业设计.作业设计一、选择题1.在下列方程中，一元二次方程的个数是().①3x'+7二0 ②ax"+bx+c二0 ③(x-2) (x+5) =x2-l ④3x2-— =0XA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程,则().A. p=lB. p>0C. pHOD. p 为任意实数二、填空题1.____________________________________ 方程3x「3二2x+l的二次项系数为, 一次项系数为 ______________________________________________ ,常数项为2.一元二次方程的一般形式是__________ .3.关于x的方程(旷1) X2+3X=0是一元二次方程，则a的取值范围是 __________ .三、综合提高题1. a满足什么条件时，关于x的方程a (x2+x) =>/3x- (x+1)是一元二次方程?2.关于x的方程(2m2+m) x,,M+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？反思提高：。
华师大版数学九年级上册22.1《一元二次方程》教学设计
华师大版数学九年级上册22.1《一元二次方程》教学设计一. 教材分析华师大版数学九年级上册22.1《一元二次方程》是整个初中数学的重要内容，也是学生首次接触二次方程。
本节课的内容包括一元二次方程的定义、解法、判别式等，为学生后续学习函数、不等式等数学知识打下基础。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握一元二次方程的解法，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，能够熟练运用一次方程和不等式解决问题。
但一元二次方程较为抽象，学生可能难以理解其本质。
同时，学生对于解方程的技巧和方法还不够熟练，需要通过大量的练习来提高。
三. 教学目标1.知识与技能：理解一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的解法，能够运用一元二次方程解决实际问题。
2.过程与方法：通过合作交流，学会用代数方法解决实际问题，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，感受数学与生活的联系，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的定义，一元二次方程的解法。
2.难点：一元二次方程的解法，判别式的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入一元二次方程，让学生感受数学与生活的联系。
2.合作学习法：引导学生分组讨论，共同探索一元二次方程的解法，培养学生的团队合作意识。
3.练习法：通过大量的练习题，巩固学生对一元二次方程的理解和掌握。
六. 教学准备1.教学PPT：制作精美的PPT，展示一元二次方程的定义、解法、判别式等知识点。
2.练习题：准备一定数量的一元二次方程练习题，用于课堂练习和课后作业。
3.教学视频：准备一元二次方程的解法教学视频，用于引导学生直观地理解解法过程。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例引入一元二次方程，激发学生的学习兴趣。
例如，讲解一个实际问题：一个二次函数的图像与x轴相交于A、B两点，已知A点坐标为(1,0)，求B点的坐标。
22.1一元二次方程数学教案
22．1一元二次方程数学教案
教案名称：《一元二次方程》
一、教学目标：
1. 知识与技能：理解并掌握一元二次方程的概念，能够解基本的一元二次方程；学会使用因式分解法、公式法等方法解决相关问题。
2. 过程与方法：通过观察、思考、讨论、合作等方式，提高学生分析问题、解决问题的能力。
3. 情感态度价值观：培养学生的数学思维，激发学生对数学的兴趣，增强学生的学习自信心。
二、教学重难点：
重点：理解和掌握一元二次方程的概念，学会使用因式分解法、公式法解一元二次方程。
难点：理解和运用一元二次方程的解法，解决实际问题。
三、教学过程：
1. 导入新课：通过生活实例或者历史故事引出一元二次方程的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 新知探究：首先介绍一元二次方程的概念，然后引导学生学习如何用因式分解法解一元二次方程，再进一步介绍公式法，并举例说明。
在这个过程中，鼓励学生主动参与，提出自己的见解和疑问。
3. 实践应用：设计一些练习题让学生独立完成，以此来检验他们对新知识的理解和掌握程度。
同时，还可以设置一些实际问题，让学生利用所学知识去解决，以提升他们的应用能力。
4. 总结归纳：带领学生回顾本节课的主要内容，强调重要知识点，解答学生在课堂上提出的疑问。
5. 布置作业：布置适量的习题，让学生在课后巩固和复习所学知识。
四、教学评价：
通过课堂观察、小组讨论、练习反馈等方式，评价学生对一元二次方程的理解和掌握程度，以及他们的问题解决能力。
五、教学反思：
在课程结束后，教师需要反思本次教学的效果，包括教学设计是否合理，教学方法是否有效，学生的学习效果如何等等，以便于下次改进教学。
华师大版九年级上册22.1一元二次方程教案
华师大版九年级上册221一元二次方程教案教学内容：22.1一元二次方程。
课本Ｐ１７页~Ｐ２０页。
教学目标：１、了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；应用一元二次方程概念解决一些简单题目．２、通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．３、了解一元二次方程的一般形式及其有关概念．4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．教学重点：一元二次方程的概念及其一般形式教学难点关键：难点一般形式中的条件，关键是再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．教学方法：练习引导法教学准备：课件教学过程一、练习１、学习问题１：绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多１０米，那么绿地的长和宽各为多少？分析：采用表格分析法设长方形的宽为x米，填表如下：长（米）宽（米）面积（平方米）X+１０x 900X(x+１０)=900整理，得2109000x x+-=方程的左边是一个关于x的二次三项式，右边是０.２、学习问题２：学校图书馆去年年底有图书５万册，预计到明年年底增加到7.2万册。
示这两年的年平均增长率。
分析：设这两年的年平均增长率为x。
去年年底的图书数是５万册，今年年底的图书数是万册，明年年底的图书数表示为万册。
列方程为：2x+=5(1)7.2整理，得2x x+-=510 2.20方程的左边是一个关于x的二次三项式，右边是０.二、引导１、观察问题１和问题２列出的方程，指出它们含有几个未知数？未知数的最高次数是几？是整式方程还是分式方程？２、学生回答，教师梳理形成知识体系数。
三、学习一元二次方程的概念和一般形式１、概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是２，这样的整式方程叫做一元二次方程。
２、三个特点：一元，二次，整式方程；３、一般形式20,(,,++=是已知数，0)ax bx c a b ca≠，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．4、应用例１、下列方程是一元二次方程的是（）Ａ、3x+5y＝3 Ｂ、x2=4 Ｃ、 x2-4=(x+2) 2Ｄ、 ax2+bx+c=0解：Ａ有二元，不是一元二次方程；Ｂ是一元二次方程；Ｃ化为一般形式后，未知数的次数是１，不是一元二次方程；Ｄ当a=０时，就不是一元二次方程。
一元二次方程第一课时教案
一元二次方程第一课时教案一元二次方程第一课时教案教学目标•理解一元二次方程的定义•掌握一元二次方程的一般形式•学会化简和变形一元二次方程教学重点•了解一元二次方程的概念和性质•掌握一元二次方程的化简和变形方法教学内容1. 一元二次方程的定义一元二次方程是形如ax2+bx+c=0的方程，其中a≠0。
2. 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0，其中a,b,c分别是方程的系数。
3. 一元二次方程的化简和变形•移项法：将方程中各项移动到方程的一边，使得方程等于0。
•因式分解法：将一元二次方程进行因式分解，得到方程的解。
教学步骤步骤一：引入•引入一元二次方程的定义，解释其在实际问题中的应用，激发学生的兴趣。
步骤二：讲解一元二次方程的一般形式•通过示例，让学生了解一元二次方程的一般形式，并且理解其中的系数。
步骤三：学习一元二次方程的化简和变形•分步骤解释移项法和因式分解法的步骤和原理，通过实例演示让学生掌握具体的操作方法。
步骤四：练习与巩固•布置一些练习题，让学生自主或合作完成，巩固所学知识。
教学效果评价评价方式•完成课堂练习的情况•学生对一元二次方程的概念和性质的理解程度•学生对化简和变形一元二次方程的掌握程度•能够正确定义和说明一元二次方程的概念和性质•能够正确运用移项法和因式分解法化简和变形一元二次方程•能够独立解决简单的一元二次方程问题参考资料•《高中数学课程标准》，教育部•《数学分册》第2册，人教版步骤五：扩展学习•引导学生思考一元二次方程在实际问题中的应用，并举例说明。
步骤六：讨论与总结•小组讨论一元二次方程的解、判别式等相关概念，并在班级中展示。
•整理并总结一元二次方程的基本概念和解题方法。
课后拓展•学生练习更多的一元二次方程例题，提高其解题能力。
•学生自主阅读相关数学书籍，进一步巩固一元二次方程的知识。
•教师可以通过实例和案例，引导学生理解一元二次方程的实际应用和意义。
一元二次方程优秀教案
924=-x22．1 一元二次方程第一课时一、 教学内容:一元二次方程概念及一元二次方程一般式．二、教学目标:1.理解一元二次方程概念是以未知数的个数和次数为标准的。
2.掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为一般形式。
3.在分析、揭示实际问题中的数量关系，并把实际问题转化为数学模型的过程中，感受方程是刻画现实世界中的数量关系的工具，增强对一元二次方程的感性认识．4.通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．三、教学重难点：1．重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．2．难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．四、教学媒体：希沃白板五、教学过程（一）、复习引入学生活动：1. 填空：(1)含有 的等式叫做方程.(2)我们已经学过的方程有 、 、 ,其中 、 都是整式方程 .(3)含有 ，且未知数的 的 叫做一元一次方程. 一元一次方程的一般形式为ax+b=02. 下列式子哪些是方程？正确的放进篮子里2+6=8 2x+3 5x+6=22 x+3y=8 x-5＜18（二）、探究新知 问题一：有一块矩形铁皮,长100cm ,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周凸出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600cm 2,那么铁皮各角应切去多大的正方形？解：设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为（100－2x)cm,宽为(50－2x)cm,根据方盒的底面积为3600cm 2, 得 整理、化简，得： 3600)250)(2100(=--x x 2753500x x ①-+=222221A.0B.350C.(1)(2)0D.0x x xy yxx x ax bx c+=-+=--=++=（三）、观察与思考学生活动：请口答下面问题．（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（3）这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）•因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．例1．下列选项中，关于x的一元二次方程的是（）答案解析:A不是整式方程，是分式方程，B含有两个未知数，C可以化简成x2-3x+2=0，D少了限制条件a≠0 。
华东师大版九年级数学上册第22章《一元二次方程》教案设计
华东师大版九年级数学上册第22章《一元二次方程》教案设计22.1 一元二次方程教学目标1．理解一元二次方程及其相关概念，能够熟练地把一元二次方程化为一般形式．2．会应用一元二次方程的解的定义解决有关问题．3．在分析、揭示实际问题中的数量关系，并把实际问题转化为数学模型的过程中，感受方程是刻画现实世界中的数量关系的工具，增强对一元二次方程的感性认识．教学重难点【教学重点】一元二次方程及其相关概念，把一元二次方程化为一般形式.【教学难点】应用一元二次方程的解的定义解决有关问题.课前准备无教学过程一、情境导入参加一次集会，如果有x个人，每两人之间都握一次手，共握了21次手，请你列出符合上述条件的方程，并判断方程是什么类型？二、合作探究探究点一：一元二次方程的概念【类型一】一元二次方程的识别例1：下列选项中，是关于x的一元二次方程的是( )A．x2＋1x2＝1 B．3x2－2xy－5y2＝0C．(x－1)(x－2)＝3 D．ax2＋bx＋c＝0解析：选项A中的方程分母含有未知数，所以它不是一元二次方程；选项B中的方程含有2个未知数，所以它不是一元二次方程；当a＝0时，选项D中的方程不含二次项，所以它不是一元二次方程，排除A、B、D，故选C.方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，必须将方程化简后再进行判断．一元二次方程的三个条件：一是方程两边都是整式；二是只含有一个未知数；三是未知数的最高次数是2.上述三个条件必须同时满足，缺一不可．【类型二】利用一元二次方程的概念确定字母系数例2：关于x 的方程(k ＋1)x|k －1|＋kx ＋1＝0是一元二次方程，则k 的值为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|k －1|＝2，k ＋1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3或k ＝－1，k ≠－1. ∴k ＝3.方法总结：由一元二次方程的概念满足的条件：未知数最高次数为2，构造方程，解出字母取值，并利用二次项系数不为0排除使二次项系数为0的字母取值，从而确定字母取值． 探究点二：一元二次方程的一般形式例3：将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项．(1)3x 2－2＝5x ；(2)9x 2＝16；(3)2x (3x ＋1)＝17；(4)(3x －5)(x ＋1)＝7x －2.解析：先分别将各方程化为一般形式，再指出它们的各部分的名称．解：(1)方程化为一般形式为3x 2－5x －2＝0，二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是－2.(2)方程化为一般形式为9x 2－16＝0，二次项系数是9，一次项系数是0，常数项是－16.(3)方程化为一般形式为6x 2＋2x －17＝0，二次项系数是6，一次项系数是2，常数项是－17.(4)方程化为一般形式为3x 2－9x －3＝0，二次项系数是3，一次项系数是－9，常数项是－3.方法总结：求一元二次方程的各项系数和常数项，必须先把方程化为一般形式，特别要注意确认各项系数和常数项一定要包括前面的符号． 探究点三：列一元二次方程例4：在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积为1.6m 2.已知床单的长是2m ，宽是1.4m ，求花边的宽度．请根据题意列出方程．解析：设花边的宽度为x m ，则由图可知剩下部分的长为(2－2x )m ，剩下部分的宽为(1.4－2x )m.∵剩下部分面积为1.6m 2，∴可列方程(2－2x )(1.4－2x )＝1.6.方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当的设出未知数，准确地找出已知量和未知量之间的等量关系，正确的列出方程． 探究点四：一元二次方程的解 【类型一】判断一元二次方程的解例5：方程x －2x ＝0的解为( ) A ．x 1＝1，x 2＝2 B ．x 1＝0，x 2＝1 C ．x 1＝0，x 2＝2 D ．x 1＝12，x 2＝2解析：把各选项中未知数的值分别代入方程的左右两边，只有选项C 中的x 1＝0，x 2＝2都能使方程x 2－2x ＝0的左右两边相等，所以选C. 方法总结：判断一个未知数的值是否是一元二次方程的解，可以把未知数的值代入方程左右两边，能使方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解．: 【类型二】利用一元二次方程的解的意义求字母或代数式的值例6：已知1是关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0的一个根，则m的值是( ) A．1 B．－1C．0 D．无法确定解析：根据方程的根的概念，直接代入方程，左右两边相等，但考虑到是一元二次方程，所以二次项系数不能等于0.由此得，(m－1)＋1＋1＝0，解得m＝－1，此时m－1＝－2≠0，∴m＝－1.故选B.方法总结：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，在涉及方程根的题目中，我们一般是把这个根代入方程左右两边转化为求待定系数的方程来解决问题．三、板书设计四、教学反思教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为数学问题，体会数学建模的思想方法.22.2 一元二次方程的解法第1课时教学目标1．学会根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．2．运用开平方法解形如(x＋m)2＝n的方程．3．体验类比、转化、降次的数学思想方法，增强学习数学的兴趣．教学重难点【教学重点】根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程.【教学难点】运用开平方法解形如(x＋m)2＝n的方程.课前准备无教学过程一、情境导入一个正方形花坛的面积为10，若设其边长为x ，根据正方形的面积可列出怎样的方程？用怎样的方法可以求出所列方程的解呢？ 二、合作探究探究点：直接开平方法【类型一】用直接开平方法解一元二次方程 例1：运用开平方法解下列方程：(1)4x 2＝9；(2)(x ＋3)2－2＝0.解析：(1)先把方程化为x 2＝a (a ≥0)的形式；(2)原方程可变形为(x ＋3)2＝2，则x ＋3是2的平方根，从而可以运用开平方法求解．解：(1)由4x 2＝9，得x 2＝94，两边直接开平方，得x ＝±32，∴原方程的解是x 1＝32，x 2＝－32. (2) 移项，得(x ＋3)2＝2.两边直接开平方，得x ＋3＝± 2.∴x ＋3＝2或x ＋3＝－ 2.∴原方程的解是x 1＝2－3，x 2＝ －2－3.方法总结：由上面的解法可以看出，一元二次方程是通过降次，把一元二次方程转化为一元一次方程求解的，这是解一元二次方程的基本思想；一般地，对于形如x 2＝a (a ≥0)的方程，根据平方根的定义，可解得x 1＝a ，x 2＝－a . 【类型二】直接开平方法的应用例2：若一元二次方程ax 2＝b (ab >0)的两个根分别是m ＋1与2m －4，则b a＝________. 解析：∵ax 2＝b ，∴x ＝±ba，∴方程的两个根互为相反数，∴m ＋1＋2m －4＝0，解得m ＝1，∴一元二次方程ax 2＝b (ab ＞0)的两个根分别是2与－2，∴b a ＝2，∴ba＝4，故答案为4.【类型三】直接开平方法与方程的解的综合应用例3：若一元二次方程(a ＋2)x －ax ＋a －4＝0的一个根为0，则a ＝________．解析：∵一元二次方程(a ＋2)x 2－ax ＋a 2－4＝0的一个根为0，∴a ＋2≠0且a 2－4＝0，∴a ＝2.故答案为2.【类型四】直接开平方法的实际应用例4：有一个边长为11cm 的正方形和一个长为13cm ，宽为8cm 的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，边长应为多少厘米？分析：要求新正方形的边长，可先求出原正方形和矩形的面积之和，然后再用开平方计算．解：设新正方形的边长为x cm ，根据题意得x 2＝112＋13×8，即x 2＝225，解得x ＝±15.因为边长为正，所以x ＝－15不合题意，舍去，所以只取x ＝15.答：新正方形的边长应为15cm. 方法总结：在解决与平方根有关的实际问题时，除了根据题意解题外，有时还要结合实际，把平方根中不符合实际情况的负值舍去． 三、板书设计四、教学反思教学过程中，强调利用开平方法解一元二次方程的本质是求一个数的平方根的过程．同时体会到解一元二次方程过程就是一个“降次”的过程.22.2 一元二次方程的解法第2课时教学目标1．认识用因式分解法解方程的依据．2．会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程．教学重难点【教学重点】用因式分解法解方程.【教学难点】用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.课前准备无教学过程一、情境导入我们知道ab＝0，那么a＝0或b＝0，类似的解方程(x＋1)(x－1)＝0时，可转化为两个一元一次方程x＋1＝0或x－1＝0来解，你能求出(x＋3)(x－5)＝0的解吗？二、合作探究探究点一：用因式分解法解一元二次方程【类型一】利用提公因式法分解因式解一元二次方程用因式分解法解下列方程：(1)x2＋5x＝0；(2)(x－5)(x－6)＝x－5.解析：变形后方程右边是零，左边是能分解的二次三项式，可用因式分解法．解：(1)原方程转化为x(x＋5)＝0，∴x＝0或x＋5＝0，∴原方程的解为x1＝0，x2＝－5；(2)原方程转化为(x－5)(x－6)－(x－5)＝0，∴(x－5)[(x－6)－1]＝0，∴(x－5)(x－7)＝0，∴x －5＝0或x －7＝0，∴原方程的解为x 1＝5，x 2＝7. 【类型二】利用公式法分解因式解一元二次方程用因式分解法解下列方程： (1)x 2－6x ＝－9；(2)4(x －3)2－25(x －2)2＝0.解：(1)原方程可变形为：x 2－6x ＋9＝0，则(x －3)2＝0，∴x －3＝0，因此原方程的解为：x 1＝x 2＝3.(2)[2(x －3)]2－[5(x －2)]2＝0，[2(x －3)＋5(x －2)][2(x －3)－5(x －2)]＝0，(7x －16)(－3x ＋4)＝0，∴7x －16＝0或－3x ＋4＝0，∴原方程的解为x 1＝167，x 2＝43.方法总结：因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每一个因式分别为零，就得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解． 探究点二：用因式分解法解决问题若a 、b 、c 为△ABC 的三边，且a 、b 、c 满足a 2－ac －ab ＋bc ＝0，试判断△ABC 的形状．解析：先分解因式，确定a ，b ，c 的关系，再判断三角形的形状．解：∵a 2－ac －ab ＋bc ＝0，∴(a －b )(a －c )＝0，∴a －b ＝0或a －c ＝0，∴a ＝c 或a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形． 三、板书设计四、教学反思利用因式分解法解一元二次方程，能否分解是关键，因此，要熟练掌握因式分解的知识，提高用分解因式法解方程的能力．在使用因式分解法时，先考虑有无公因式，如果没有再考虑公式法.22.2 一元二次方程的解法第4课时教学目标1．理解一元二次方程求根公式的推导过程； 2．会用公式法解一元二次方程.教学重难点【教学重点】一元二次方程求根公式的推导过程.【教学难点】用公式法解一元二次方程.课前准备 无 教学过程一、情景导入如果这个一元二次方程是一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，你能否用配方法的步骤求出它们的两根？请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，且b 2－4ac ≥0，试推导它的两个根x 1＝－b ＋b 2－4ac2a，x 2＝－b －b 2－4ac 2a.二、合作探究探究点一：用公式法解一元二次方程方程3x 2－8＝7x 化为一般形式是__________，其中a ＝________，b ＝________，c ＝________，方程的根为____________．解析：将方程移项可化为3x 2－7x －8＝0.其中a ＝3，b ＝－7，c ＝－8，因为b 2－4ac ＝(－7)2－4×3×(－8)＝145＞0，代入求根公式可得x ＝7±1456.故答案分别为3x 2－7x －8＝0，3，－7，－8，7±1456.方法总结：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根是由方程的系数a ，b ，c 确定的，只要确定了系数a ，b ，c 的值，代入公式就可求得方程的根．用公式法解下列方程：(1)－3x 2－5x ＋2＝0; (2)2x 2＋3x ＋3＝0；(3)x 2－2x ＋1＝0.解析：先确定a ，b ，c 及b 2－4ac 的值，再代入公式求解即可．解：(1)－3x 2－5x ＋2＝0，3x 2＋5x －2＝0. ∵a ＝3，b ＝5，c ＝－2， ∴b 2－4ac ＝52－4×3×(－2)＝49＞0， ∴x ＝－5±492×3＝－5±76，∴x 1＝13，x 2＝－2；(2)∵a ＝2，b ＝3，c ＝3， ∴b 2－4ac ＝32－4×2×3＝9－24＝－15＜0， ∴原方程没有实数根；(3)∵a ＝1，b ＝－2，c ＝1， ∴b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×1＝0， ∴x ＝2±02×1＝2±02，∴x 1＝x 2＝1.方法总结：用公式法解一元二次方程时，首先应将其变形为一般形式，然后确定公式中a，b，c的值，再求出b2－4ac的值与“0”比较，最后利用求根公式求出方程的根(或说明其没有实数根)．【类型二】一元二次方程解法的综合运用三角形的两边分别为2和6，第三边是方程x2－10x＋21＝0的解，则第三边的长为( )A．7 B．3C．7或3 D．无法确定解析：解一元二次方程x2－10x＋21＝0，得x1＝3，x2＝7.根据三角形三边的关系，第三边还应满足4＜x＜8.所以第三边的长x＝7.故选A.方法总结：解题的关键是正确求解一元二次方程，并会运用三角形三边的关系进行取舍．三、板书设计四、教学反思经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程，探索求根公式，通过对公式的推导，认识一元二次方程的求根公式适用于所有的一元二次方程．体会数式通性，感受数学的严谨性和数学结论的确定性．提高学生的运算能力，并养成良好的运算习惯22.2 一元二次方程的解法第5课时教学目标1．理解并掌握一元二次方程根的判别式，能运用判别式，在不解方程的前提下判断一元二次方程根的情况；2．通过一元二次方程根的情况的探究过程，体会从特殊到一般、猜想及分类讨论的数学思想，提高观察、分析、归纳的能力．教学重难点【教学重点】一元二次方程根的判别式.【教学难点】运用判别式在不解方程的前提下判断一元二次方程根的情况.课前准备无教学过程一、情境导入老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小强突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道他是如何判断的吗？ 二、合作探究探究点一：一元二次方程的根的情况 【类型一】判断一元二次方程根的情况不解方程，判断下列方程的根的情况． (1)2x 2＋3x －4＝0； (2)x 2－x ＋14＝0；(3)x 2－x ＋1＝0.解析：根据根的判别式我们可以知道当b 2－4ac ≥0时，方程才有实数根，而b 2－4ac <0时，方程没有实数根．由此我们不解方程就能判断一元二次方程根的情况．解：(1)2x 2＋3x －4＝0，a ＝2，b ＝3，c ＝－4，∴b 2－4ac ＝32－4×2×(－4)＝41＞0.∴方程有两个不相等的实数根．(2)x 2－x ＋14＝0，a ＝1，b ＝－1，c ＝14.∴b 2－4ac ＝(－1)2－4×1×14＝0.∴方程有两个相等的实数根． (3)x 2－x ＋1＝0，a ＝1，b ＝－1，c ＝1.∴b 2－4ac ＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0.∴方程没有实数根．方法总结：给出一个一元二次方程，不解方程，可由b 2－4ac 的值的符号来判断方程根的情况．当b 2－4ac ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b 2－4ac ＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b 2－4ac ＜0时，一元二次方程无实数根． 【类型二】由一元二次方程根的情况确定字母系数的取值已知关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( ) A ．a >2 B ．a <2C ．a <2且a ≠1D ．a <－2解析：由于一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式大于0，得到一个不等式，再由二次项系数不为0知a －1不为0.即4－4(a －1)＞0且a －1≠0，解得a ＜2且a ≠1.选C.方法总结：若方程有实数根，则b 2－4ac ≥0.由于本题强调说明方程是一元二次方程，所以，二次项系数不为0.因此本题还是一道易错题．【类型三】 一元二次方程根的判别式与三角形的综合已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三边长，求证：关于x 的方程b 2x 2＋(b 2＋c 2－a 2)x ＋c 2＝0没有实数根．解析：欲证一元二次方程没有实数根，只需证明它的判别式Δ<0即可．由a ，b ，c 是三角形三条边的长可知a ，b ，c 都是正数．由三角形的三边关系可知a ＋b >c ，a ＋c >b ，b ＋c >a .证明：∵b 为三角形一边的长，∴b ≠0，∴b 2≠0，∴b 2x 2＋(b 2＋c 2－a 2)x ＋c 2＝0是关于x 的一元二次方程．∴Δ＝(b 2＋c 2－a 2)2－4b 2c 2＝(b 2＋c 2－a 2＋2bc )(b 2＋c 2－a 2－2bc )＝[(b ＋c )2－a 2][(b －c )2－a 2]＝(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )(b －c ＋a )(b －c －a )＝(a ＋b ＋c )[(b ＋c )－a ][(a ＋b )－c ][b －(a ＋c )]．∵a ，b ，c 是三角形三条边的长，∴a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c >0，a ＋b >c ，b ＋c >a ，a ＋c >b .∴(b ＋c )－a >0，(a ＋b )－c >0，b －(a ＋c )<0，∴(a ＋b ＋c )[(b ＋c )－a ][(a ＋b )－c ][b －(a ＋c )]<0，即Δ<0.∴原方程没有实数根．方法总结：利用根的判别式与三角形的三边关系：常根据判别式得到关于三角形三边的式子，再结合三边关系确定Δ符号．【类型四】 利用根的判别式解决存在性问题是否存在这样的非负整数m ，使关于x 的一元二次方程m 2x 2－(2m －1)x ＋1＝0有两个不相等的实数根？若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由． 解：不存在，理由如下：假设m 2x 2－(2m －1)x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则[－(2m －1)]2－4m 2>0，解得m <14.∵m为非负整数，∴m ＝0.而当m ＝0时，原方程m 2x 2－(2m －1)x ＋1＝0是一元一次方程，只有一个实数根，与假设矛盾．∴不存在这样的非负整数，使原方程有两个不相等的实数根．易错提醒：在求出m ＝0后，常常会草率地认为m ＝0就是满足条件的非负整数，而忽略了二次项系数不为0的这一隐含条件，因此解题过程中务必考虑全面． 三、板书设计四、教学反思本节课是在一元二次方程的解法的基础上，学习根的判别式的应用．学生容易在计算取值范围的时候忘记二次项系数不能为零，这是本节课需要注意的地方，应予以特别强调.22.2 一元二次方程的解法第6课时教学目标1．探索一元二次方程的根与系数的关系．2．会不解方程利用一元二次方程的根与系数解决问题．教学重难点【教学重点】一元二次方程的根与系数的关系. 【教学难点】利用一元二次方程的根与系数解决问题.课前准备 无 教学过程一、情境导入一般地，对于关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0(p ，q 为已知常数，p 2－4q ≥0)，试用求根公式求出它的两个解x 1、x 2，算一算x 1＋x 2、x 1·x 2的值，你能得出什么结果？二、合作探究探究点：一元二次方程根与系数的关系 【类型一】利用一元二次方程根与系数的关系求关于方程根的代数式的值 已知m 、n 是方程2x 2－x －2＝0的两实数根，则1m ＋1n的值为( ) A ．－1 B.12 C ．－12D ．1 解析：根据根与系数的关系，可以求出m ＋n 和mn 的值，再将原代数式变形后，整体代入计算即可．因为m 、n 是方程2x 2－x －2＝0的两实数根，所以m ＋n ＝12，mn ＝－1，1m ＋1n ＝n ＋m mn＝12－1＝－12.故选C. 方法总结：解题时先把代数式变形成与两根和、积有关的形式，注意前提：方程有两个实数根时，判别式大于或等于0.【类型二】根据方程的根确定一元二次方程已知一元二次方程的两根分别是4和－5，则这个一元二次方程是( )A ．x 2－6x ＋8＝0B ．x 2＋9x －1＝0C ．x 2－x －6＝0D ．x 2＋x －20＝0解析：∵方程的两根分别是4和－5，设两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－1，x 1·x 2＝－20.如果令方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，a ＝1，则－b ＝－1，c ＝－20.∴方程为x 2＋x －20＝0.故选D.方法总结：先把所构造的方程的二次项系数定为1，利用一元二次方程根与系数的关系确定一元二次方程一次项系数和常数项．【类型三】根据根与系数的关系确定方程的解已知x ＝4是一元二次方程x 2－3x ＋c ＝0的一个根，则另一个根为________．解析：设另一根为x 1，则由根与系数的关系得x 1＋4＝3，∴x 1＝－1.故答案为x ＝－1. 方法总结：解决这类问题时，利用一元二次方程的根与系数的关系列出方程即可解决．【类型四】利用一元二次方程根与系数的关系确定字母系数关于x 的方程x 2－ax ＋2a ＝0的两根的平方和是5，则a 的值是( )A ．－1或5B ．1C ．5D ．－1解析：将两根平方和转化为用两根和、积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决．设方程两根为x 1，x 2，由题意，得x 21＋x 22＝5.∴(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝5.∵x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝2a ，∴a 2－2×2a ＝5.解得a 1＝5，a 2＝－1.又∵Δ＝a 2－8a ，当a ＝5时，Δ<0，此时方程无实数根，所以舍去a ＝5.当a ＝－1时，Δ>0，此时方程有两实数根．所以取a ＝－1.故选D.方法总结：解答此类题的关键是将与方程两根有关的式子转化为用两根和、积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决问题．注意不要忽略题目中的隐含条件Δ≥0，导致解答不全面．【类型五】一元二次方程根与系数的关系和根的情况的综合应用已知x 1、x 2是一元二次方程(a －6)x 2＋2ax ＋a ＝0的两个实数根．(1)是否存在实数a ，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；(2)求使(x 1＋1)(x 2＋1)为负整数的实数a 的整数值．解：(1)根据题意，得Δ＝(2a )2－4×a (a －6)＝24a ≥0.解得a ≥0.又∵a －6≠0，∴a ≠6.由根与系数关系得：x 1＋x 2＝－2a a －6，x 1x 2＝a a －6.由－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2得x 1＋x 2＋4＝x 1x 2，∴－2a a －6＋4＝a a －6，解得a ＝24.经检验a ＝24是方程－2a a －6＋4＝a a －6的解．即存在a ＝24，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立．(2)原式＝x 1＋x 2＋x 1x 2＋1＝－2a a －6＋a a －6＋1＝66－a为负整数，则6－a 为－1或－2，－3，－6.解得a ＝7或8，9，12.三、板书设计四、教学反思教学过程中，强调一元二次方程的根与系数的关系是通过求根公式得到的，在利用此关系确定字母的取值时，一定要记住Δ≥0这个前提条件.。
21.2教案
第二十二章 一元二次方程22.1一元二次方程一课时：综合课【教师寄语】如果你期待梦想，那么你先脚踏现实；如果你希望辉煌，那么你须脚不停步.同学们，让我们在方程的世界中继续探索吧！【教学目标】★1.理解一元二次方程的概念．★2.了解一元二次方程的一般形式，能将一元二次方程转化为一般形式，能正确识别二次项系数、一次项系数及常数项.3.能根据题意列一元二次方程， 会检验一个数是否为已知方程的根（解）．【学习过程】一、自读文本，基础自清（8分钟）认真学习课本P 25—P 28的内容，独立完成以下各题，然后组内互对互清. 1.一元二次方程的概念：等号两边都是 ，只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 的方程，叫做一元二次方程．如下列方程中：（1）x 2-3x+1=0,（2）y-y 2=2（3）x 3-1=0,（4）21y +y-1=0 一元二次方程．2.一元二次方程的一般形式是 ，特别注意条件a ≠0，其中ax 2是 ， 是二次项系数， 是一次项， 是一次项系数， 是常数项.如：方程4x(x+2)=25化为一般形式是 ，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .方程3x 2=4的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .特别提示：（1）a ≠0是一元二次方程定义的一部分，不可丢掉，b 、c 是否为零不限制.（2）一元二次方程的项及系数是针对一元二次方程的一般形式而言的，且项或项的系数都包括它前面的符号.3.一元二次方程的解：能使一元二次方程左、右两边 的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解又叫做一元二次方程的 ．例如：检验1=x 是不是一元二次方程02=-x x 的解，只要将1=x 代入方程，左边= ，右边=0，左边 ，所以1=x ．教师续备4.由实际问题列出方程并得出方程的解后，还要考虑这些解是否确实是实际问题的解.所列方程的根若不符合实际意义，应舍去.例如：正方形的面积是16，设边长为x ，则162=x ．根据平方根的意义，得=x ，但=x 不符合实际意义，故取=x ．二、深层探究，合作交流(10分钟)1.下列关于x 的方程：① ax 2+bx+1=0；②x 2+x1-5=0；③x 2+5x-6=0；④x 2-2+5x 3-6=0；⑤12x-10=0；⑥3x 2+2=3(x-2)2；⑦3x 2-y=0中，一元二次方程有 .2.若关于x 的方程mx 2+3x-4=3x 2是一元二次方程，则m 的取值范围是 .3.一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，若1=x 是它的一个根，则=++c b a ；若0=+-c b a ，则方程必有一个根是 ．4.根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式. （1）一个矩形的长是宽的3倍，且面积是48，求矩形的宽.（2）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加聚会？5..已知关于x 的一元二次方程043)2(22=-++-m x x m 有一个根是0，求m 的值.三、展示提升，拓展延伸（15分钟）以上各题你都解决了吗？组内交流一下，然后把你的观点大胆地展示出来吧！四、反馈检测，查漏补缺（5分钟）1.（2011甘肃兰州）下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）教师续备A ．2210x x+=B ．20ax bx c ++=C ．(1)(2)1x x -+=D ．223250x xy y --=2.（2011山东滨州）若x=2是关于x 的方程2250x x a --+=的一个根，则a 的值为______．3.填写下表.一元二次方程一般形式二次项系数一次项系数常数项（1）x x6852=-(2)0)3(2=+x x (3)1)7)(7(=+-x x(4)52)1)(2(2+=-+xx x【课后反思】22.2降次——解一元二次方程22.2.1配方法（一） 一课时：综合课【教师寄语】做为儿女，每天自问：今天我怎么做才不会让父母生气？怎样安排我的生活、学习才会让父母放心？怎样表现才会让父母为我感到骄傲？【教学目标】★1.会用直接开平方法解形如x 2=p 或(mx+n)2=p(p ≥0)的一元二次方程． ◆2.能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理，并对其进行取舍．【学习过程】一、自读文本，基础自清（8分钟）阅读课本P 30-P 31内容，回答下列问题：教师续备1.平方根知识回顾若2x =a ,则x 叫做a 的 ,即x =a ±，如2x =25，则x = ；()212-x =5，则2x -1=5±，即1x = ，2x = ．2.直接开平方法（1）若2x =P （P ≥0，P 是常数），则x = ；（2）若2)(n mx +=P （P ≥0），则p n mx ±=+，从而得p n mx ±-=.因为0≠m ，所以x = .二、深层探究，合作交流(10分钟)1.如果两个正方形的边长之比为4:1，面积之和为68，求两个正方形的边长．2.解方程（1）1203)3(2=--x （２）92x +6x +1=4三、展示提升，拓展延伸（15分钟）汇总你们组探究的结果，展示出你们的风采.四、反馈检测，查漏补缺（5分钟）1.用直接开平方法解方程（2）92x -5=3 （２）09)6(2=-+x（３）2x -4x +4=5 （４）4991242=++x x教师续备*（５）2x－２x＋３＝０*3．（2012甘肃兰州）已知x是一元二次方程x2－2x＋1＝0的根，求代数式x－3 3x2－6x ÷⎝⎛⎭⎫x＋2－5x－2的值．【课后反思】22.2.1配方法（二）一课时：综合课【教学目标】1.能将一个二次三项式配方成完全平方式.★2.会用配方法解数字系数的一元二次方程，体会其中蕴含的转化思想.【学习过程】一、自读文本，基础自清（10分钟）阅读课本P31-P34内容，回答下列问题：试一试：完成课本P３４练习11.认真阅读32页，同桌交流你的困惑与收获.2.通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做法.配方是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个来解.4.配方法解一元二次方程的关键是：配方时方程两边同时加上．二、深层探究，合作交流(10分钟)教师续备1.（2012河北）用配方法解方程，配方后的方程是（ ）A ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2．用配方法解方程（１）2x +6x －10=0 (2)0211232=--x x3.已知长方形棋盘的长比宽长20cm ,面积为35002cm ，求棋盘的宽.总结用配方法解一元二次方程的步骤：（１）把方程中含未知数的项移到方程 ,常数项移到方程的右边； （２）把二次项系数化为1；（３）方程两边都加上 ,把左边配成一个完全平方式，右边是常数；（４）如果方程的右边是 实数,那么就用直接开平方法求出它的解；如果方程的右边是一个负数,那么这个方程在实数范围内 .三、展示提升，拓展延伸（15分钟）在完成前一部分的基础上，展示你对本知识的理解，或对展示者加以纠错、补充.四、反馈检测，查漏补缺（5分钟）1（2012山东临沂）.用配方法解一元二次方程245x x -=时，此方程可变形为A.()221x += B. ()221x -= C.()229x += D.()229x -= 2.解下列方程（1）09102=++x x （2）112942-=-+x x x教师续备*3.（1）用配方法证明7422+-x x 恒大于零；（2）由第（1）题的启发，请你再写出三个恒大于零的二次三项式.【课后反思】22.2.2公式法 一课时：综合课【教学目标】1.知道根的判别式，掌握一元二次方程的求根公式. ★2.能熟练地运用公式法解一元二次方程.【学习过程】一、自读文本，基础自清（10分钟）认真阅读P 34-P 37页，完成下面填空：1.式子ac b 42-叫做方程02=++c bx ax （0≠a ）根的 ，通常用希腊字母“ ”表示它，即 = ；2.当___ 时，方程02=++c bx ax （0≠a ）的求根公式是 ，利用这个公式可以由一元二次方程中的系数a 、b 、c 的值，直接求得方程的根，这种解方程的方法叫做 法解一元二次方程 .3.一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）根的情况：△=ac b 42->0时,方程有 实数根；△=ac b 42-=0时,方程有 实数根；△=ac b 42-＜0时,方程 实数．由此可知一元二次方程的根不可能多于 个.二、深层探究，合作交流(15分钟）教师续备1.填空：（１）用求根公式解方程2x 2-4x-1=0时，a= ，b= ，c= ， △=ac b 42-= 0,方程的根的情况是 ，解是 ； （２）方程532-=-x x ，其中△=ac b 42-= 0,方程 实数根；方程1242=+x x ，其中△=ac b 42-= 0,方程 实数根；2.不解方程，判断下列方程根的情况．（１）0132=++x x （2）y y 2122-=+3.用公式法解下列方程． （１）01412=+-x x （２）t t 572=+4.（2012山东菏泽）解方程：(1)(1)2(3)8x x x +-++=三、展示提升，拓展延伸（15分钟）展示者要展示出你的风采，倾听者要聚精会神，随时准备纠错、补充，加入到展示的队伍中来.四、反馈检测，查漏补缺（3分钟）1.用公式法解下列方程 （1）04122=--x x （2）022=+x x教师续备（３）112842+=++x x x （4）010522=++x x*2.（2012山东日照）已知关于x 的一元二次方程(k -2)2x 2+(2k +1)x +1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A.k >34且k ≠2 B .k ≥34且k ≠2 C. k >43且k ≠2 D .k ≥43且k ≠2 *3（2012上海）如果关于x 的一元二次方程26+=0x x c -（c 是常数）没有实根，那么c 的取值范围是 ．【课后反思】22.2.3因式分解法（一）一课时：综合课【教学目标】★能用因式分解法熟练地解一元二次方程；【学习过程】一、自读文本，基础自清（10分钟）【知识链接】因式分解知识回顾：（1）提取公因式法：=++az ay ax ； （2）公式法：=-22b a ，=++222b ab a ，=+-222b ab a ；阅读课本P 38-P 39内容，回答下列问题：1.如果ab=0,那么 ；反过来，如果a=0或b=0，那么 ；如0)52)(3(=-+x x ，则3+x = ，或52-x = ，所以方程的解为1x ，2x .二、深层探究，合作交流(10分钟）1.（2012山东聊城）一元二次方程x 2﹣2x=0的解是 _________ ．教师续备2.用因式分解法解下列方程(1)3632-=-x x (2)02)2(32=-+-x x x（3）22)2(54+=-x x(4) ()22)25(4x x -=-3（2012四川巴中）. 解方程：)3(3)3(2-=-x x x总结因式分解法解一元二次方程的一般步骤： （1）整理方程，使方程右边 ； （2）将方程左边分解为两个 ；（3）令每一个因式分别为 ，得到两个 ； （4）分别解这两个 ，它们的解就是原方程的解.三、展示提升，拓展延伸（15分钟）展示是我们每个人的权力，每一次机会都要努力争取，没机会创造机会也要展示.四、反馈检测，查漏补缺（5分钟）1.（2009河南）方程2x x =的解是（ ） A ．1x =B ．0x =C ．1210x x ==，D ．1210x x =-=， 2.用因式分解法解下列方程(1)40144-2=x (2))1(2)1(3-=-x x x教师续备(3)24)12(3+=+x x x (4)()()22237x x -=-【课后反思】* 22.2.3因式分解法（二）一课时：综合课【教学目标】了解十字相乘法的原理，并会用十字相乘法解一元二次方程【学习过程】一、自读文本，基础自清（10分钟）十字相乘法因式分解数学原理: ))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++；方程0)(2=+++pq x q p x ，可变形为0))((=++q x p x ，所以有p x +=0或0=+q x ，那么此方程的解为p x -=1，q x -=2.如（1）)2)(1(232++=++x x x x（2）0452=++x x 可得0)4)(1(=++x x 解得11-=x ，42-=x 二、深层探究，合作交流(15分钟）1.快速写出计算结果(1) (x －2)(x+1)= (2) (x －2)(x －1)=(3) (x －2)(x+3)= (4) (x －2)(x －3)=2.用十字相乘法解下列方程：（1）0122=--x x （2）09102=++x x*（3）0122=--x x （4）()()015128122=++-+y y教师续备三、展示提升，拓展延伸（15分钟）你展示我纠错，你纠错我补充，你补充我总结；我的课堂就是要听到我的声音. 四、反馈检测，查漏补缺（3分钟）用十字相乘法解方程1.（1）0342=++x x （2）0322=--x x（3）0652=+-x x （4）01452=--x x*2.（1）0101162=-+x x （2）081432=+-x x【课后反思】* 22.2.4一元二次方程的根与系数的关系一课时：综合课【教学目标】1.探索并掌握一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的根1x 、2x 与系数a 、b 、c 之间的关系.★２.会用一元二次方程的根与系数的关系直接求出方程两根的和与两根的积，解决有关问题.【学习过程】一、自读文本，基础自清（10分钟）教师续备阅读课本P 40-P 41内容，回答下列问题：1.方程02=++c bx ax （0≠a ）并且ac b 42-=∆ 0，根据求根公式可得方程的两根1x = ，2x = ；计算21x x += ，21x x ⋅= .2.一元二次方程的根与系数的关系（语言叙述）为：两根的和等于 ，两根的积等于 .第一个发现这个定理的人是法国数学家韦达，故称为“韦达定理”.二、深层探究，合作交流(15分钟）1.（山东烟台）.下列一元二次方程两实数根和为-4的是A.x 2+2x -4=0B.x 2-4x +4=0C.x 2+4x +10=0D.x 2+4x -5=02.不解方程，求下列方程两根1x 、2x 的和与积.（1）0142=+-x x （2）x x 6)12(22-=-3.（2012山东日照）.已知x 1、x 2是方程2x 2+14x －16=0的两实数根，那么2112x x x x +的值为 .三、展示提升，拓展延伸（15分钟）在完成前面内容的基础上，展示你对本知识的理解或有什么独到的见解，或对展示者加以纠错、补充.四、反馈检测，查漏补缺（3分钟）已知m 与n 是方程03622=+-x x 的两根.（1）m+n= ,n m ⋅= .(2)(m+1)(n+1) (3)2)(n m -【课后反思】 教师续备。
一元二次方程教案1
第1课时22．1 一元二次方程教学内容一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．教学目标了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；•应用一元二次方程概念解决一些简单题目．1．通过设置问题，建立数学模型，•模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．3．解决一些概念性的题目．4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．重难点关键1．•重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．2．难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．教学过程一、复习引入学生活动：列方程．问题（1）古算趣题：“执竿进屋”笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭。
有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足。
借问竿长多少数，谁人算出我佩服。
如果假设门的高为x•尺，•那么，•这个门的宽为_______•尺，长为_______•尺，•根据题意，•得________．整理、化简，得：__________．，那么点C叫做线段AB的黄金问题（2）如图，如果 EMBED Equation.DSMT4分割点．如果假设AB=1，AC=x，那么BC=________，根据题意，得：________．整理得：_________．问题（3）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______．整理，得：________．老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理．二、探索新知学生活动：请口答下面问题．（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（3）有等号吗？还是与多项式一样只有式子？老师点评：（1）都只含一个未知数x ；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）•都有等号，是方程．因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．例1．将方程3x （x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．分析：一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0（a ≠0）．因此，方程3x （x-1）=5(x+2)必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．解：略注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.例2．（学生活动：请二至三位同学上台演练） 将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=•1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax 2+bx+c=0（a≠0）的形式．解：略三、巩固练习教材P 32 练习1、2补充练习:判断下列方程是否为一元二次方程？ (1)3x+2=5y-3 (2) x 2=4 (3) 3x 2- EMBED Equation.DSMT4 =0 (4) x 2-4=(x+2) 2 (5) ax 2+bx+c=0四、应用拓展例3．求证：关于x 的方程（m 2-8m+17）x 2+2mx+1=0，不论m 取何值，该方程都是一元二次方程．分析：要证明不论m 取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m 2-8m+17•≠0即可． 证明：m 2-8m+17=（m-4）2+1∵（m-4）2≥0∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0∴不论m 取何值，该方程都是一元二次方程．• 练习:1.方程（2a —4）x 2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？ 2.当m 为何值时,方程(m+1)x ／4m ／-4+27mx+5=0是关于的一元二次方程五、归纳小结（学生总结，老师点评）本节课要掌握：（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）•和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用．六、布置作业1．教材P 34 习题22．1 1(2)(4)(6)、2．2．选用作业设计．补充:若x 2-2x m-1+3=0是关于x 的一元二次方程,求m 的值作业设计一、选择题1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2- EMBED Equation.DSMT4=0A．1个B．2个C．3个D．4个2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、•一次项系数和常数项分别为（）．A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，63．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（）．A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数二、填空题1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．2．一元二次方程的一般形式是__________．3．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．三、综合提高题1．a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）= EMBED Equation.DSMT4 x-（x+1）是一元二次方程？2．关于x的方程（2m2+m）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？3．一块矩形铁片，面积为1m2，长比宽多3m，求铁片的长，小明在做这道题时，•是这样做的：设铁片的长为x，列出的方程为x（x-3）=1，整理得：x2-3x-1=0．小明列出方程后，想知道铁片的长到底是多少，下面是他的探索过程：第一步：x 1 2 3 4 x2-3x-1 -3 -3 所以，________<x<__________1 2 3 4 x2-3x-1 -3 -3 所以，________<x<__________2 3 4 x2-3x-1 -3 -3 所以，________<x<__________3 4 x2-3x-1 -3 -3 所以，________<x<__________4 x2-3x-1 -3 -3 所以，________<x<__________x2-3x-1 -3 -3 所以，________<x<__________x2-3x-1 -3 -3 所以，________<x<__________-3 -3 所以，________<x<__________-3 所以，________<x<__________所以，________<x<__________所以，________<x<__________所以，________<x<__________所以，________<x<__________第二步：x 3.1 3.2 3.3 3.4 x2-3x-1 -0.96 -0.36 所以，________<x<__________3.1 3.2 3.3 3.4 x2-3x-1 -0.96 -0.36 所以，________<x<__________3.2 3.3 3.4 x2-3x-1 -0.96 -0.36 所以，________<x<__________3.3 3.4 x2-3x-1 -0.96 -0.36 所以，________<x<__________3.4 x2-3x-1 -0.96 -0.36 所以，________<x<__________x2-3x-1 -0.96 -0.36 所以，________<x<__________x2-3x-1 -0.96 -0.36 所以，________<x<__________-0.96 -0.36 所以，________<x<__________-0.36 所以，________<x<__________所以，________<x<__________所以，________<x<__________所以，________<x<__________所以，________<x<__________（1）请你帮小明填完空格，完成他未完成的部分；（2）通过以上探索，估计出矩形铁片的整数部分为_______，十分位为______．课后反思教学内容1．一元二次方程根的概念；2．•根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目．教学目标了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题．提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由根的概念判定一个数是否是根．同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题．重难点关键1．重点：判定一个数是否是方程的根；2．•难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根．教学过程一、复习引入学生活动：请同学独立完成下列问题．问题1．前面有关“执竿进屋”的问题中,我们列得方程x2-8x+20=0列表：x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … x2-8x+20 … 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x2+7x-44=0即x2+7x=441 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … x2-8x+20 … 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x2+7x-44=0即x2+7x=442 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … x2-8x+20 … 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x2+7x-44=0即x2+7x=443 4 5 6 7 8 9 10 11 … x2-8x+20 … 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x2+7x-44=0即x2+7x=444 5 6 7 8 9 10 11 … x2-8x+20 … 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x2+7x-44=0即x2+7x=445 6 7 8 9 10 11 … x2-8x+20 … 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x2+7x-44=0即x2+7x=446 7 8 9 10 11 … x2-8x+20 … 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x2+7x-44=0即x2+7x=447 8 9 10 11 … x2-8x+20 … 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x2+7x-44=0即x2+7x=448 9 10 11 … x2-8x+20 … 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x2+7x-44=0即x2+7x=449 10 11 … x2-8x+20 … 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x2+7x-44=0即x2+7x=4410 11 … x2-8x+20 … 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x2+7x-44=0即x2+7x=4411 … x2-8x+20 … 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x2+7x-44=0即x2+7x=44… x2-8x+20 … 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x2+7x-44=0即x2+7x=44x 2-8x+20 … 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x 2+7x-44=0即x 2+7x=44x 2-8x+20 … 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x 2+7x-44=0即x 2+7x=44… 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x 2+7x-44=0即x 2+7x=44… 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x 2+7x-44=0即x 2+7x=44… 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x 2+7x-44=0即x 2+7x=44… 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x 2+7x-44=0即x 2+7x=44… 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x 2+7x-44=0即x 2+7x=44… 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x 2+7x-44=0即x 2+7x=44… 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x 2+7x-44=0即x 2+7x=44 … 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x 2+7x-44=0即x 2+7x=44 … 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x 2+7x-44=0即x 2+7x=44 … 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x 2+7x-44=0即x 2+7x=44 … 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x 2+7x-44=0即x 2+7x=44 … 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x 2+7x-44=0即x 2+7x=44 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x 2+7x-44=0即x 2+7x=44问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x 2+7x-44=0即x 2+7x=44x 2+7x … 列表：x 1 2 3 4 5 6 … x 2+7x … 列表：1 2 3 4 5 6 … x 2+7x … 列表：2 3 4 5 6 … x 2+7x … 列表：3 4 5 6 … x 2+7x … 列表：4 5 6 … x 2+7x … 列表：5 6 … x 2+7x … 列表：6 … x 2+7x … 列表：… x 2+7x … 列表：x 2+7x … 列表： … 列表：… 列表：… 列表： … 列表： … 列表： … 列表： … 列表：列表：列表：老师点评（略）二、探索新知提问：（1）问题1中一元二次方程的解是多少？问题2•中一元二次方程的解是多少？（2）如果抛开实际问题，问题2中还有其它解吗？老师点评：（1）问题1中x=2与x=10是x2-8x+20=0的解，问题2中，x=4是x2+7x-44=0的解.（2）如果抛开实际问题，问题2中还有x=-11的解．一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．回过头来看：x2-8x+20=0有两个根，一个是2，另一个是10，都满足题意；但是，问题2中的x=-11的根不满足题意．因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．例1．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可．解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根．例2.若x=1是关于x的一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2007(a+b+c)的值练习:关于x的一元二次方程(a-1) x2+x+a 2-1=0的一个根为0,则求a的值点拨:如果一个数是方程的根,那么把该数代入方程,一定能使左右两边相等,这种解决问题的思维方法经常用到,同学们要深刻理解.例3．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？（1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0分析：要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义．解：略三、巩固练习教材P33思考题练习1、2．四、应用拓展例3．要剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，•这块铁片应该怎样剪？设长为xcm，则宽为（x-5）cm列方程x（x-5）=150，即x2-5x-150=0请根据列方程回答以下问题：（1）x可能小于5吗？可能等于10吗？说说你的理由．（2）完成下表：x 10 11 12 13 14 15 16 17 … x2-5x-150 （3）你知道铁片的长x是多少吗？10 11 12 13 14 15 16 17 … x2-5x-150 （3）你知道铁片的长x 是多少吗？11 12 13 14 15 16 17 … x2-5x-150 （3）你知道铁片的长x是多少吗？12 13 14 15 16 17 … x2-5x-150 （3）你知道铁片的长x是多少吗？13 14 15 16 17 … x2-5x-150 （3）你知道铁片的长x是多少吗？14 15 16 17 … x2-5x-150 （3）你知道铁片的长x是多少吗？15 16 17 … x2-5x-150 （3）你知道铁片的长x是多少吗？16 17 … x2-5x-150 （3）你知道铁片的长x是多少吗？17 … x2-5x-150 （3）你知道铁片的长x是多少吗？… x2-5x-150 （3）你知道铁片的长x是多少吗？x2-5x-150 （3）你知道铁片的长x是多少吗？x2-5x-150 （3）你知道铁片的长x是多少吗？（3）你知道铁片的长x是多少吗？（3）你知道铁片的长x是多少吗？（3）你知道铁片的长x是多少吗？（3）你知道铁片的长x是多少吗？（3）你知道铁片的长x是多少吗？（3）你知道铁片的长x是多少吗？（3）你知道铁片的长x是多少吗？（3）你知道铁片的长x是多少吗？（3）你知道铁片的长x是多少吗？（3）你知道铁片的长x是多少吗？（3）你知道铁片的长x是多少吗？分析：x2-5x-150=0与上面两道例题明显不同，不能用平方根的意义和八年级上册的整式中的分解因式的方法去求根，•但是我们可以用一种新的方法──“夹逼”方法求出该方程的根．解：（1）x不可能小于5．理由：如果x<5，则宽（x-5）<0，不合题意．x不可能等于10．理由：如果x=10，则面积x2-5x-150=-100，也不可能．（2）x 10 11 12 13 14 15 16 17 …… x2-5x-150 -100 -84 -66 -46 -24 0 26 54 …… （3）铁片长x=15cm10 11 12 13 14 15 16 17 …… x2-5x-150 -100 -84 -66 -46 -24 0 26 54 …… （3）铁片长x=15cm11 12 13 14 15 16 17 …… x2-5x-150 -100 -84 -66 -46 -24 0 26 54 …… （3）铁片长x=15cm12 13 14 15 16 17 …… x2-5x-150 -100 -84 -66 -46 -24 0 26 54 …… （3）铁片长x=15cm13 14 15 16 17 ...... x2-5x-150 -100 -84 -66 -46 -24 0 26 54 (3)铁片长x=15cm14 15 16 17 …… x2-5x-150 -100 -84 -66 -46 -24 0 26 54 …… （3）铁片长x=15cm15 16 17 …… x2-5x-150 -100 -84 -66 -46 -24 0 26 54 …… （3）铁片长x=15cm16 17 …… x2-5x-150 -100 -84 -66 -46 -24 0 26 54 …… （3）铁片长x=15cm17 …… x2-5x-150 -100 -84 -66 -46 -24 0 26 54 …… （3）铁片长x=15cm …… x2-5x-150 -100 -84 -66 -46 -24 0 26 54 …… （3）铁片长x=15cmx2-5x-150 -100 -84 -66 -46 -24 0 26 54 …… （3）铁片长x=15cmx2-5x-150 -100 -84 -66 -46 -24 0 26 54 …… （3）铁片长x=15cm-100 -84 -66 -46 -24 0 26 54 …… （3）铁片长x=15cm-84 -66 -46 -24 0 26 54 …… （3）铁片长x=15cm-66 -46 -24 0 26 54 …… （3）铁片长x=15cm-46 -24 0 26 54 …… （3）铁片长x=15cm-24 0 26 54 …… （3）铁片长x=15cm0 26 54 …… （3）铁片长x=15cm26 54 …… （3）铁片长x=15cm54 …… （3）铁片长x=15cm…… （3）铁片长x=15cm（3）铁片长x=15cm（3）铁片长x=15cm五、归纳小结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：（1）一元二次方程根的概念；（2）要会判断一个数是否是一元二次方程的根；（3）要会用一些方法求一元二次方程的根．(“夹逼”方法; 平方根的意义)六、布置作业1．教材P 34 复习巩固3、4 综合运用5、6、7 拓广探索8、9．2．选用课时作业设计．作业设计一、选择题1．方程x （x-1）=2的两根为（ ）．A ．x 1=0，x 2=1B ．x 1=0，x 2=-1C ．x 1=1，x 2=2D ．x 1=-1，x 2=22．方程ax （x-b ）+（b-x ）=0的根是（ ）．A ．x 1=b ，x 2=aB ．x 1=b ，x 2= EMBED Equation.DSMT4C ．x 1=a ，x 2=EMBED Equation.DSMT4 D ．x 1=a 2，x 2=b 23．已知x=-1是方程ax 2+bx+c=0的根（b ≠0），则 EMBED Equation.DSMT4=（ ）．A ．1B ．-1C ．0D ．2二、填空题1．如果x 2-81=0，那么x 2-81=0的两个根分别是x 1=________，x 2=__________．2．已知方程5x 2+mx-6=0的一个根是x=3，则m 的值为________．3．方程（x+1）2+ EMBED Equation.DSMT4 x （x+1）=0，那么方程的根x 1=______；x 2=________．三、综合提高题1．如果x=1是方程ax 2+bx+3=0的一个根，求（a-b ）2+4ab 的值．2．如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根．3．在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即在（ EMBED Equation.DSMT4 ）2-2x EMBED Equation.DSMT4 +1=0，•令 EMBEDEquation.DSMT4 =y ，则有y 2-2y+1=0，根据上述变形数学思想（换元法），解决小明给出的问题：在（x 2-1）2+（x 2-1）=0中，求出（x 2-1）2+（x 2-1）=0的根．课后反思第3课时 22.2.1 直接开平方法教学内容运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．教学目标理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题． 提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax 2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a （ex+f ）2+c=0型的一元二次方程．重难点关键1．重点：运用开平方法解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x 2=n ，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程．教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题问题1．填空（1）x 2-8x+______=（x-______）2；（2）9x 2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x 2+px+_____=（x+______）2．问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（ EMBED Equation.DSMT4 ）2 EMBED Equation.DSMT4．问题2：目前我们都学过哪些方程?二元怎样转化成一元？一元二次方程于一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？二、探索新知上面我们已经讲了x 2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x=±3，如果x 换元为2t+1，即（2t+1）2=9，能否也用直接开平方的方法求解呢？（学生分组讨论）老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x ，那么2t+1=±3即2t+1=3，2t+1=-3方程的两根为t 1=1，t 2=--2例1：解方程：(1)(2x-1) 2=5 (2)x 2+6x+9=2 (3)x 2-2x+4=-1分析：很清楚，x 2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1． 解：(2)由已知，得：（x+3）2=2直接开平方，得：x+3=± EMBED Equation.DSMT4即x+3= EMBED Equation.DSMT4 ，x+3=- EMBED Equation.DSMT4 所以，方程的两根x 1=-3+ EMBED Equation.DSMT4 ，x 2=-3- EMBED Equation.DSMT4例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m 2提高到14.4m ，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x ．•一年后人均住房面积就应该是10+•10x=10（1+x ）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x ）+10（1+x ）x=10（1+x ）2 解：设每年人均住房面积增长率为x ，则：10（1+x ）2=14.4（1+x ）2=1.44直接开平方，得1+x=±1.2即1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的两根是x 1=0.2=20%，x 2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x 2=-2.2应舍去．所以，每年人均住房面积增长率应为20%．（学生小结）老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．•我们把这种思想称为“降次转化思想”．三、巩固练习教材P 36 练习．补充题：如图，在△ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始，沿AB 边向点B 以1cm/s •的速度移动，点Q 从点B 开始，沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果AB=6cm ，BC=12cm ，•P 、Q 都从B 点同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8cm 2？老师点评：问题2：设x 秒后△PBQ 的面积等于8cm 2则PB=x ，BQ=2x依题意，得： EMBED Equation.DSMT4 x ²2x=8x 2=8根据平方根的意义，得x=±2 EMBED Equation.DSMT4即x 1=2 EMBED Equation.DSMT4 ，x 2=-2 EMBED Equation.DSMT4可以验证，2 EMBED Equation.DSMT4 和-2 EMBED Equation.DSMT4 都是方程 EMBED Equation.DSMT4x ²2x=8的两根，但是移动时间不能是负值．所以2 EMBED Equation.DSMT4 秒后△PBQ 的面积等于8cm 2．四、应用拓展例3．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x ，•那么二月份的营业额就应该是（1+x ），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x ）2．解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x ．那么1+（1+x ）+（1+x ）2=3.31把（1+x ）当成一个数，配方得：（1+x+ EMBED Equation.DSMT4 ）2=2.56，即（x+ EMBED Equation.DSMT4）2=2．56x+ EMBED Equation.DSMT4=±1.6，即x+ EMBED Equation.DSMT4=1.6，x+ EMBED Equation.DSMT4=-1.6方程的根为x 1=10%，x 2=-3.1因为增长率为正数，所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．五、归纳小结本节课应掌握： 由应用直接开平方法解形如x 2=p （p ≥0），那么x=± EMBEDEquation.DSMT4转化为应用直接开平方法解形如（mx+n ）2=p （p ≥0），那么mx+n=± EMBED Equation.DSMT4，达到降次转化之目的．若p ＜0则方程无解 六、布置作业1．教材P 45 复习巩固1、2．2．选用作业设计:一、选择题1．若x 2-4x+p=（x+q ）2，那么p 、q 的值分别是（ ）．A ．p=4，q=2B ．p=4，q=-2C ．p=-4，q=2D ．p=-4，q=-22．方程3x 2+9=0的根为（ ）．A ．3B ．-3C ．±3D ．无实数根3．用配方法解方程x 2- EMBED Equation.DSMT4 x+1=0正确的解法是（ ）．A ．（x- EMBED Equation.DSMT4 ）2= EMBED Equation.DSMT4，x=EMBED Equation.DSMT4 ± EMBED Equation.DSMT4 B ．（x-EMBED Equation.DSMT4 ）2=- EMBED Equation.DSMT4 ，原方程无解C ．（x- EMBED Equation.DSMT4 ）2= EMBED Equation.DSMT4，x 1=EMBED Equation.DSMT4 + EMBED Equation.DSMT4，x 2= EMBEDEquation.DSMT4 D ．（x- EMBED Equation.DSMT4）2=1，x 1= EMBEDEquation.DSMT4 ，x 2=- EMBED Equation.DSMT4二、填空题1．若8x 2-16=0，则x 的值是_________．2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．3．如果a 、b 为实数，满足 EMBED Equation.DSMT4 +b 2-12b+36=0，那么ab 的值是_______．三、综合提高题1．解关于x 的方程（x+m ）2=n ．2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m ），•另三边用木栏围成，木栏长40m ．（1）鸡场的面积能达到180m 2吗？能达到200m 吗？（2）鸡场的面积能达到210m 2吗？3．在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，•并说明你制作的理由吗？课后反思第4课时 22.2.2 配方法(1)教学内容间接即通过变形运用开平方法降次解方程．教学目标理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，•引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．重难点关键1．重点：讲清“直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．2．•难点与关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们解下列方程（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9 (4) 4x2+16x=-7老师点评：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得或mx+n=± EMBED x=± EMBED Equation.DSMT4Equation.DSMT4（p≥0）．如：4x2+16x+16=（2x+4）2 ,你能把4x2+16x=-7化成（2x+4）2=9吗?二、探索新知列出下面问题的方程并回答：（1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？（2）能否直接用上面三个方程的解法呢？问题2：要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2,场地的长和宽各是多少？（1）列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x 的完全平方式而后二个不具有．（2）不能．既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：x2+6x-16=0移项→x2+6x=16两边加（6/2）2使左边配成x2+2bx+b2的形式→ x2+6x+32=16+9左边写成平方形式→（x+3）2=•25 •降次→x+3=±5 即x+3=5或x+3=-5解一次方程→x1=2，x2= -8可以验证：x1=2，x2= -8都是方程的根,但场地的宽不能使负值，所以场地的宽为2m，常为8m.像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．例1．用配方法解下列关于x的方程=0（1）x2-8x+1=0 （2）x2-2x- EMBED Equation.DSMT4分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上．解：略三、巩固练习教材P38讨论改为课堂练习，并说明理由．教材P39练习1 2．（1）、（2）．四、应用拓展例3．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B•两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，•几秒后△PCQ•的面积为Rt△ACB面积的一半．分析：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半，△PCQ 也是直角三角形．•根据已知列出等式．解：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半．根据题意，得： EMBED Equation.DSMT4（8-x ）（6-x ）= EMBED Equation.DSMT4³ EMBED Equation.DSMT4 ³8³6整理，得：x 2-14x+24=0（x-7）2=25即x 1=12，x 2=2x 1=12，x 2=2都是原方程的根，但x 1=12不合题意，舍去．所以2秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半．五、归纳小结本节课应掌握：左边不含有x 的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．六、布置作业1．教材P 45 复习巩固2．3(1)(2)2．选用作业设计．一、选择题1．将二次三项式x 2-4x+1配方后得（ ）．A ．（x-2）2+3B ．（x-2）2-3C ．（x+2）2+3D ．（x+2）2-32．已知x 2-8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（ ）．A ．x 2-8x+（-4）2=31B ．x 2-8x+（-4）2=1C ．x 2+8x+42=1D ．x 2-4x+4=-113．如果mx 2+2（3-2m ）x+3m-2=0（m ≠0）的左边是一个关于x 的完全平方式，则m 等于（ ）．A ．1B ．-1C ．1或9D ．-1或9二、填空题1．方程x 2+4x-5=0的解是________．2．代数式 EMBED Equation.DSMT4的值为0，则x 的值为________．3．已知（x+y ）（x+y+2）-8=0，求x+y 的值，若设x+y=z ，则原方程可变为_______，•所以求出z 的值即为x+y 的值，所以x+y 的值为______．三、综合提高题1．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x 2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．2．如果x 2-4x+y 2+6y+ EMBED Equation.DSMT4 +13=0，求（xy ）z 的值．3．新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500•元，•市场调研表明：•当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元，每台冰箱的定价应为多少元？课后反思第5课时 22.2.2 配方法(2)教学内容给出配方法的概念，然后运用配方法解一元二次方程．教学目标了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目． 重难点关键1．重点：讲清配方法的解题步骤．2．难点与关键：把常数项移到方程右边后，•两边加上的常数是一次项系数一半的平方． 教具、学具准备小黑板教学过程一、复习引入（学生活动）解下列方程：（1）x 2-4x+7=0 （2）2x 2-8x+1=0老师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有x 的完全平方形式，•不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题．解：略. (2)与(1)有何关联?二、探索新知讨论:配方法届一元二次方程的一般步骤：(1)现将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）变形为(x+p)2=q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实根． 例1．解下列方程（1）2x 2+1=3x （2）3x 2-6x+4=0 （3）（1+x ）2+2（1+x ）-4=0分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x 的完全平方．解：略三、巩固练习教材P 39 练习 2．（3）、（4）、（5）、（6）．四、应用拓展例2．用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6分析：因为如果展开（6x+7）2，那么方程就变得很复杂，如果把（6x+7）看为一个数y ，那么（6x+7）2=y 2，其它的3x+4= EMBED Equation.DSMT4（6x+7）+ EMBEDEquation.DSMT4 ，x+1= EMBED Equation.DSMT4（6x+7）- EMBEDEquation.DSMT4，因此，方程就转化为y •的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法．解：设6x+7=y则3x+4= EMBED Equation.DSMT4 y+ EMBED Equation.DSMT4，x+1= EMBED Equation.DSMT4 y- EMBED Equation.DSMT4依题意，得：y 2（ EMBED Equation.DSMT4y+ EMBED Equation.DSMT4）（ EMBED Equation.DSMT4 y- EMBED Equation.DSMT4 ）=6去分母，得：y 2（y+1）（y-1）=72y 2（y 2-1）=72， y 4-y 2=72（y 2- EMBED Equation.DSMT4 ）2= EMBED Equation.DSMT4y 2- EMBED Equation.DSMT4 =± EMBED Equation.DSMT4y 2=9或y 2=-8（舍）∴y=±3当y=3时，6x+7=3 6x=-4 x=- EMBED Equation.DSMT4当y=-3时，6x+7=-3 6x=-10 x=- EMBED Equation.DSMT4所以，原方程的根为x 1=- EMBED Equation.DSMT4，x 2=- EMBEDEquation.DSMT4例3求证:无论y 取何值时,代数式-3 y 2+8y-6恒小于0.五、归纳小结本节课应掌握：1．配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．2．配方法是解一元二次方程的通法，它重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性（如例3）在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到。
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22.1一元二次方程（1课时）教案
教学内容：
本节课主要学习一元二次方程概念及一元二次方程一般式及相关概念。
教学目标：
（一）、知识目标：
探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数；能够从实际问题中抽象出方程知识。
(二)、水平目标：
1、在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系。
2、培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提升自己的数学素养。
（三）、情感态度：
通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提升学生学习数学的兴趣，了解数学对促动社会进步和发展人类理性精神的作用。
重、难点：
重点：一元二次方程的概念和它的一般形式。
难点：对一元二次方程的一般形式的准确理解及其各项系数的确定。
教学准备
教师准备：制作课件，精选习题。
学生准备：复习相关知识，预习本节课内容。
教学过程
一、情境引入
【问题情境】
初二（6）班教室的面积为54平方米，长比宽多3米，求该教室的宽。
【活动方略】
教师演示课件，给出题目。
学生根据所学知识，通过度析设出合适的未知数，列出方程回答问题。
【设计意图】
由实际问题入手，设置情境问题，激发学生的兴趣，让学生初步感受一元二次方程，同时让学生体会方程这个刻画现实世界的数学模型。
复习回忆：学习过的方程有哪些？你能说出这些方程的定义吗？
【设计意图】
让学生结合一元一次方程、二元一次方程等总结出二元一次方程的特征。
二、探索新知
【活动方略】
学生活动：请口答下面问题．
（1）上面方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（3）是等式吗？或与以前多项式一样只有式子？
老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）•都有等号，是方程。
引导学生归纳一元二次方程的概念：像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
【设计意图】
主体活动，探索一元二次方程的定义及其相关概念．
三、反馈练习（一）
1、下列方程中哪些是一元二次方程
?
2222222(1)20
(2)310(3)0
(4)(1)201(5)0(6)2)1(7)5(8)2(3)21x x x y x bx c x x a x a
x x x x -=--=++=+-=+=-==-=+、、4、a 、、、（、
2、将下列方程分别实行整理，使方程的右边转化成0的形式，并将左边按x 的降幂排列。
【设计意图】
检查学生对一元二次方程的定义及其相关概念是否理解。
一元二次方程的一般形式：
一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a ≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式。
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a ≠0）后，其中a 2x 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。
四、反馈练习（二）请填写下表：
五、范例点击
例： 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项．2954x x =-
2
1
9450x x +-=解：（）、移项得一元二次方程的一般形式 -5.次项系数为9，一次项系数为4，常数项为
222(1)233(2)4(3)6x x x x x
+===-、、、
【活动方略】
学生活动：学生自主解决问题，通过去移项把方程化为一般形式，然后指出各项系数。
教师活动：在学生指出各项和各项系数的环节中，分析可能出现的问题（比如系数的符号问题）。
【设计意图】
进一步巩固一元二次方程的基本概念。
六、反馈练习（三）
1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数，一次项、一次项系数及常数项：
【活动方略】
学生独立思考、独立解题。
教师巡视、指导，并选择两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）。
【设计意图】
检查学生是否进一步掌握一元二次方程的基本概念。
七、小结作业
1．问题：本节课你学到了什么知识？从中得到了什么启发？
（1）一元二次方程的概念；
（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a ≠0）•和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的使用。
2．作业： 习题22．1 第2、5、6、7题
【活动方略】
教师引导学生归纳小结，学生反思学习和解决问题的过程．
学生独立完成作业，教师批改、总结．
八、应用拓展
方程（2a —4）x2 —2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？
【活动方略】
教师活动：操作投影，组织学生讨论。
学生活动：合作交流，讨论解答。
【设计意图】
使学生进一步理解一元二次方程的概念，并区分一元二次方程和一元一次方程。
九、给同学们讲一个故事：一元二次方程的由来
【设计意图】
让同学们从故事中体会数学的发展过程，和学习数学的目的。
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