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(完整版)等差等比数列求和与差的练习题

(完整版)等差等比数列求和与差的练习题
题目一：等差数列求和
已知等差数列的首项为$a_1$，公差为$d$，求该等差数列的前$n$项和$S_n$。

解答步骤：
1. 根据公式$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$计算出结果。

题目二：等差数列差的问题
已知等差数列的首项为$a_1$，公差为$d$，依次计算以下问题：
1. $a_3 - a_2$；
2. $a_5 - a_3$；
3. $a_{10} - a_5$。

解答步骤：
1. 利用公式$a_n = a_1 + (n-1)d$计算出各项的值；
2. 按照题目给定的差问题计算出结果。

题目三：等比数列求和
已知等比数列的首项为$a_1$，公比为$r$，求该等比数列的前$n$项和$S_n$。

解答步骤：
1. 如果公比$r=1$，则$S_n = n \cdot a_1$，直接计算结果；
2. 如果公比$r \neq 1$，则$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}$，按照公式计算结果。

题目四：等比数列差的问题
已知等比数列的首项为$a_1$，公比为$r$，依次计算以下问题：
1. $a_2 - a_1$；
2. $a_4 - a_2$；
3. $a_{10} - a_{5}$。

解答步骤：
1. 利用公式$a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$计算各项的值；
2. 按照题目给定的差问题计算出结果。

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等差数列求和基础题

等差数列求和基础题一．选择题1. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若142,20,a S ==则6S = A.16 B.24 C.36 D.422. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,376a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于A.8B.7C.6D.93. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且63S =，1118S =，则9a 等于 A.3 B.5 C.8 D.154. 已知等差数列{a n }前n 项的和为S n , 233=a , S 3=9，则a 1= A.23 B.29C.-3D.6 5. 已知等差数列{}n a 中,256,15a a ==,若2n n b a =,则数列{}n b 的前5项和为 A. 90 B. 45 C. 30 D. 1866. 等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若119717,170a a a S ++=则的值为 A.10 B.20 C.25 D.307. 设等差数列｛a n ｝前n 项和为S n . 若a 1= -11,a 4+a 6= -6 ,则当S n 取最小值时，n 等于 A.6 B. 7 C.8 D.98. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，246a a +=，则5S 等于 A.10 B.12 C.15 D.309. 已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S = A.138 B.135 C.95 D.2310. 记等差数列的前n 项和为n S ，若244,20S S ==，则该数列的公差d = A.2 B.3 C.6 D.711. 已知等差数列{}n a 中，26a =，515a =，若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于A.30B.45C.90D.18612. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 5 = S 9，则a 3:a 5 = A.5:9 B.9:5 C.3:5 D.5:3 13. 在等差数列}{n a 中，已知S 3=9，S 9=54，则}{n a 的通项n a 为 A.33-=n a n B.n a n 3= C.2+=n a n D.1+=n a n 14. 若等差数列}{n a 的前3项和93=S 且11=a ，则2a 等于 A.3 B.4 C.5 D.615. 等差数列{}n a 中，11a =，3514a a +=，其前n 项和100n S =，则n = A.9 B.10 C.11 D.1216. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若等于则442,10,2S S S == A.12B.18C.24D.4217. 已知{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，则其公差d = Ａ.23-Ｂ.13- Ｃ.13 Ｄ.2318. 在等差数列｛a n ｝中，若a 4+a 6 =12, S n 是数列｛a n ｝的前n 项和，则S 9的值为 A.48 B.54 C.60 D.6619. 一个只有有限项的等差数列,它的前5项的和为34,最后5项和为146,所有项的和为234,则它的第七项等于 A.22 B.21 C.19 D.1820. 已知数列{a n }的通项公式是a n =2n –49 (n ∈N )，那么数列{a n }的前n 项和S n 达到最小值时的n 的值是 A.23 B.24 C.25 D.2621. 已知等差数列{a n }中,a 2+a 8=8,则该数列前9项和S 9等于 A.18 B.27 C.36 D.45 22. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若S 7=35,则a 4= A.8B.7C.6D.523. 等差数列{}n a 中，n S 是前n 项和，且38S S =，7k S S =，则k 的值为 A.4B.11C.2D.1224. 等差数列{a n }中，若a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则前9项的和S 9等于 A.66 B.99 C.144 D.297 25. 等差数列{a n }中，a 1+a 2+…+a 50＝200，a 51+a 52+…+a 100＝2700，则a 1等于 A.－1221B.－21.5C.－20.5D.－2026. 等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若a 3+a 17=10，则S 19的值为 A.95 B.100 C.115 D.12527. 在等差数列}{n a 中，，，83125S S a =-=则前n 项和n s 的最小值为 A.80- B.76- C.75- D.74-28. 等差数列{a n }中，若a 3+ a 4+ a 5+ a 6+ a 7=450 则前9项和S 9=A.1620B.810C.900D.67529. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5418a a =-，则8S 等于 A.144 B.72 C.54 D.36 30. 在等差数列{a n }中，前n 项和S n =36n －n 2，则S n 中最大的是 A.S 1 B.S 9 C.S 17 D.S 1831. 将含有k 项的等差数列插入4和67之间，结果仍成一新的等差数列，并且新的等差数列所有项的和为781，则k 的值为A.20B.21C..22D.2432. 设数列{}n a 是等差数列，且n S a a ,6,682=-=是数列 {}n a 的前n 项和，则 A.S 4<S 3 B.S 4==S 2 C.S 6<S 3 D.S 6=S 333. 已知等差数列前n 项和为S n ，若S 15<0,S 14>0,则此数列中绝对值最小的项为 A.第6项 B.第7项 C.第8项 D.第9项 34. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知20092007120102010,2,20092007S S a S =--==则 A.2008- B.2008 C.2010- D.201035. 已知等差数列{}n a 中，10795=-+a a a ，记n n a a a S +++= 21，则13S 的值为 A.130 B.260 C.156 D.16836. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且424a a -=，39S =,则数列{}n a 的通项公式为A.n a n =B.2n a n =+C.21n a n =-D.21n a n =+37. 等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，36927a a a ++=，则数列{}n a 前9项和9S 等于 A.297 B.144 C.99D.6638. 等差数列{}n a 的前n 项和)3,2,1(⋅⋅⋅=n S n 当首项1a 和公差d 变化时，若1185a a a ++是一个定值，则下列各数中为定值的是A. 15SB. 16SC.17SD.18S39. 在公差为2的等差数列{}n a 中，如果前17项和为1734S =，那么12a 的值为 A. 2 B. 4 C. 6 D. 840. 已知等差数列30,240,18,}{49===-n n n n a S S S n a 若项和为的前，则n 的值为 A.18B.17C.16D.1541. 已知等差数列854,18,}{S a a S n a n n 则若项和为的前-== A.18 B.36 C.54 D.72 42. 设函数()f x =，类比课本推导等差数列的前n 项和公式的推导方法计算(4)(3)...(0)(1)...(4)(5)f f f f f f -+-++++++的值为A.2 B. 2 C.2 D. 243. 在等差数列｛a n ｝中，,3321=++a a a 165302928=++a a a ，则此数列前30项和等于 A.810 B.840 C.870 D.90044. 设数列}{n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项为 A.1 B.2 C.4 D.645. 已知等差数列{}n a 的公差0<d ，若10,248264=+=⋅a a a a ，则该数列的前n 项和n S 的最大值为 A.50 B.45 C.40 D.3546. 等差数列{}n a 中，11a =,3514a a +=，其前n 项和100n S =,则n = A.9 B.10 C.11 D.1247. 若}{n a 是等差数列，首项01>a ，020082007>+a a ，020082007<⋅a a ，则使数列}{n a 的前n 项和n S 为正数的最大自然数n 是A.4013B. 4014C. 4015D. 401648. 设数列{n a }是等差数列，且n S a a ,6,682=-=是数列{n a }的前n 项和，则A.S 4<S 5B.S 4=S 5C.S 6<S 5D.S 6=S 549. 已知等差数列{}n a 的通项公式()211,2,3n a n n =-=，，记11T a =，1121122,,n n n n n n T a n T T a a n -+-++⎧⎪=⎨++⎪⎩为奇数,为偶数（2,3,n =），那么2n T =A.21n+ B.1162n - C.25 436n n n n ⎧⎨-+≠⎩，=1，，1D.232n n + 50. 已知数列2),1(2,}{a a S S n a n n n n 则且项和为的前-=等于A.4B.2C.1D.—251. 等差数列1062,}{a a a S n a n n ++若项和为的前为一个确定的常数，则下列各个和中，也为确定的常数的是A.S 6B.S 11C.S 12D.S 1352. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3163=S S 则=126S SA.310 B.13 C.81 D.9153. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若9S =18，n S =240，4n a -=30，则n 的值为 A.18 B.17 C.16 D.15 54. 若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a = A.12 B.13 C.14 D.1555. 已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于 A.64B.100C.110D.12056. 等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，且3457-+=n n T S n n ，则使得nnb a 为整数的正整数n 的个数是 A.3 B.4 C.5 D.657. 数列{}n a 是公差为2-的等差数列，若509741=+++a a a ，则=++++99963a a a a A.－182 B.－82 C.－148 D.－7858. 设A ．B ．C 三点共线（该直线不过原点O ），数列{a n }是等差数列，S n 是该数列的前n 项和=a 1+a 200，则S 200=A.200B.100C.50D.30059. 一个等差数列共n 项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数n 为 A.14 B.16 C.18D.2060. 等差数列{a n }中，a 1>0，公差d <0, S n 为其前n 项和，对任意自然数n ，若点（n, S n ）在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是61. 已知等差数列{a n }前n 项和S n 有最大值且11011-<a a ，当S n 是最小正数时，n = A.17 B.18 C.19 D.20 62. 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =，420S =，则6S = A.16B.24C.36D.4863. 设|a n |是等差数列，若a 2=3,a 7=13,则数列{a n }前8项的和为 A.128 B.80 C.64 D.5664. 已知等差数列}{n a 的前n 项和为S n ，若OC a OA a OB 20043+=，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 2006 ＝A.1003B. 1004C. 2006D.2007 65. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1697=+a a ，77=S ，则12a 的值是 A.15 B.30 C.31 D.6466. 已知数列{a n }、{b n }都是公差为1的等差数列，其首项分别为a 1、b 1，且a 1+b 1=5，a 1、b 1∈N *，设C n =a b （n ∈N *），则数列{C n }前10项和等于A.55B.70C.85D.10067. 已知,)1()1()1(22102nn nx a x a x a a x x x ++++=++++++ 若 ++21a an a n -=+-291，那么自然数n 的值为A. 3B.4C.5D.668. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若m >1，m ∈N*，且21121,38m m m m a a a S -+-+==，则m 等于A.11B.10C.9D.869. 已知等差数列{a n }中, S n 是它的前n 项和，若S 16>0, S 17<0, 则当S n 取最大值时，n 的值为 A.16 B.9 C.8 D.10 70. 已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且7453n n A n B n +=+，则使得n na b 为整数的正整数n 的个数是A.2B.3C.4D.571. 设数列}{n a 是等差数列，且n S a a ,6,673=-=是数列}{n a 的前n 项和，则 A.54S S =B.56S S =C.64S S >D.56S S <72. 已知数列{－2n+25}，其前n 项和S n 达到最大值时，n 为A.10B.11C.12D.1373. 若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,其首项10a >,991000a a +>,991000a a ⋅<,则使0n S >成立的最大自然数n 是A.198B.199C.200D.20174. 设等差数列{}n a 满足81335a a =.且10a >.n S 为其前n 项之和.则n S 中最大的是 A.10S B.11S C.20S D.21S 75. 已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且a 2＋a 4＋a 7＋a 15＝40，则S 13的值为 A.20 B.65C.130D.26076. 等差数列{}n a 的通项公式是12+=n a n ，其前n 项和为n S ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 的前10项和为A.75B.70C .120 D.10077. 在等差数列}{n a 中，若30,240,1849===-n n a S S ，则n 的值为 A.14B.15C.16D.1778. 在等差数列{}n a 中，若C a a a =++1383，则其前n 项和n S 的值等于5C 的是 A.15S B.17S C.8S D.7S79. 设{}n a 是等差数列，1359a a a ++=，69a =，则这个数列的前6项和等于Ａ.12Ｂ.24Ｃ.36Ｄ.4880. {}n a 是等差数列，10110,0S S ><，则使n a <0的最小的n 值是 A.5 B.6 C.7 D.881. 等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若10173=+a a ，则19S 的值是 A.55 B.95 C.100 D.不能确定 82. 在等差数列{a n }中，a 1>0,且3a 8=5a 13,则S n 中最大的是 A.S 21B.S 20C.S 11D.S 1083. 设S n 是等差数列前n 项的和，若9535=a a ,则59S S等于 A.1 B.－1 C.2D.2184. 已知等差数列{a n }的公差为正数，且a 3·a 7=－12,a 4+a 6=－4,则S 20为 A.180B.－180C.90D.－9085. 若{a n }是等差数列，首项a 1>0,a 2003+a 2004>0,a 2003·a 2004<0,则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是 A.4005B.4006C.4007D.400886. 已知等差数列{}n a 中，247,15a a ==，则前10项的和10S ＝ A.100 B.210 C.380 D.400 87. 设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝A .310 B.13 C.18 D .1988. 设等差数列｛a ｝的前n 项的和为S n ，若a 1＞0，S 4=S 8，则当S n 取得最大值时，n 的值为 A.5 B.6 C.7 D.889. 已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若1O a B ＝200OA a OC ＋，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200＝A.100B. 101C.200D.201 90. 已知等差数列{a n }的前20项的和为100，那么a 7·a 14的最大值为 A.25 B.50 C.100 D.不存在91. 若某等差数列{a n }中，a 2+a 6+a 16为一个确定的常数，则其前n 项和S n 中也为确定的常数的是 A.S 17 B.S 15 C.S 8 D.S 792. 在等差数列{a n }中，a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|，则{a n }的前n 项和S n 中最大的负数为 A.S 17B.S 18C.S 19D.S 2093. 等差数列}{n a 的公差为d ，前n 项的和为S n ，当首项a 1和d 变化时，1182a a a ++是一个定值，则下列各数中也为定值的是 A.S 7B.S 8C.S 13D.S 1594. 在等差数列{ a n }中，S 4 =1, S 8 =4,则a 17 + a 18 + a 19+ a 20 的值是 A ．7 B ．8 C ．9 D ．1095. 设a 1, a 2, a 3,……和b 1, b 2, b 3,……都是等差数列，且a 1=25, b 1=75,a 100＋b 100=100,则数列a 1＋b 1, a 2＋b 2,……的前100项的和是A.0B.100C.10000D.不确定96. 等差数列{a n }中，若前15项的和S 15=90，则a 8等于97. 已知S k 表示数列{a k }前k 项和,且S k + S k+1 = a k +1 (k ∈N*),那么此数列是 A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．摆动数列 98. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若31a a =95,则59S S等于 A.-1 B.21C.1D.2 99. 等差数列{a n }中，a n -4=30,且前9项的和S 9=18，前n 项和为S n =240,则n 等于 A.15B.16C.17D.18100. 等差数列{a n }中，若a 10=10,a 19=100,前n 项和S n =0,则n 等于 A.7B.9C.17D.19参考答案（仅供参考） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 D C A B A D A C C B C B D A B 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 30C D B D B C D A B C A C BB D3132 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 AB C C A C C A D D D B B B B 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 B B B D A B A D B B B B B C C 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 C D C A A C B B C D A C A C C 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 8889 90 A B A B B B B A A B B A BA A 919293949596979899100B C C C C A C C A C。

等差数列、等比数列的证明及数列求和(DOC)

等差数列、等比数列的证明例1．已知数列{}n a 满足11a =，()13232n n a a n n -=+-≥，（Ⅰ）求证：数列{}n a n +是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式。

例2．已知数列{}n a 满足12a =，112nn na a a +=+，（Ⅰ）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式。

例3．已知数列{}n a ，n S 是它的前n 项和，且()*142n n S a n N +=+∈，11a =（Ⅰ）设()*12n n n b a a n N +=-∈，求证：数列{}n b 是等比数列；（Ⅱ）设2nn n a c =，求证：数列{}n c 是等差数列；（Ⅲ）求数列{}n a 的通项公式。

练习1．已知数列{}n a 满足15a =，()*123n n n a a n N +=+∈，（Ⅰ）求证：数列{}3nn a -是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式。

2．已知数列{}n a 满足11a =，()1222n n n a a n -=+≥，（Ⅰ）求证：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式。

3．数列{}n a 的前n 项和n S ，且()131-=n n a S ,（1）证明数列{}n a 等比数列；（2）求通项公式.4.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，数列{}n n S a +是公差为2的等差数列. （1）证明{}2-n a 是等比数列；（2）求通项公式.5. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，正整数n 对应的n n S a n ,,成等差数列. （1）证明{}2++n S n 成等比数列；（2）求n S求通项公式（一）给出递推公式求通项公式类型一、，可利用累加法已知关系式)(1n f a a n n +=+例1{}中在数列n a ，已知,11=a 当2≥n 时，有)2(121≥-+=-n n a a n n ，求数列的通项公式.变式：{}中在数列n a ，,11=a )2(311≥+=--n a a n n n ，求通项.类型二、)(1n n f a a n ∙=+已知关系式，可利用累乘法例2{}中在数列n a ，已知11=a ，有()()211≥+=-n a n na n n ，求数列的通项公式.变式{}中在数列n a ，已知211=a ，有n n n a a 21=+，求数列的通项公式.类型三、构造新数列① 递推关系形如()1,01≠≠+=+p p q pa a n n ，利用待定系数法求解令)(1c a p c a n n +=++，其中c 为待定系数，化为等比数列{}c a n +求通项. 例3已知数列{}n a 中，若)1(32,111≥+==+n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式.变式上例中递推关系变为)1(31≥+-=+n a a n n ，求数列的通项公式.② 递推关系形如111,)"0,("---≠=-n n n n n n a a q p a qa pa a 两边同除以递推关系形如“)0,,(11≠+=--r q p rqa pa a n n n ”，取倒数法例4{}中已知数列n a ，2),2(2111=≥=---a n a a a a n n n n ，求数列{}n a 的通项公式.变式{}中已知数列n a ，21=a ，)(421++∈+=N n a a a nnn ，求数列{}n a 的通项公式.练习1.已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

等差数列求和及练习题(整理).doc

等差数列求和引例：计算 1+2+3+4++97+98+99+100一、有关概念 :像1、2、3、4、5、6、7、8、9、这样连起来的一串数称为数列；数列中每一个数叫这个数列的一项，排在第一个位置的叫首项，第二个叫第二项，第三个叫第三项，，最后一项又叫末项；共有多少个数又叫项数；如果一个数列，从第二项开始，每一项与前一项之差都等于一个固定的数，我们就叫做等差数列。

这个固定的数就叫做“公差”。

二、有关公式：和 =（首项 +末项）×项数÷ 2末项 =首项 +公差×（项数 -1）公差 =（末项 -首项）÷（项数 -1）项数 =（末项 -首项）÷公差 +1三、典型例题：例 1、聪明脑筋转转转：判断下列数列是否是等差数列？是的请打“√”，并把等差数列的首项，末项、公差及项数写出来，如果不是请打“×”。

判断首项末项公差项数（1） 1、2、4、8、16、 32.（）（）（）（）（）（2）42、49、56、63、70、77. （）（）（）（）（）（3）5、1、4、1、3、1、2、1. （）（）（）（）（）（4）44、55、66、77、88、99、110（）（）（）（）（）练习1、填空：数列首项末项公差项数2、5、8、 11、140、4、8、 12、163、15、27、39、511、2、3、 4、5、、 48、49、 502、4、6、 8、、 96、 98、100例 2、已知等差数列 1,8,15, , 78.共 12 项，和是多少？（博易 P27例 2）（看 ppt,推出公式）例 3、计算 1+3+5+7++35+37+39练习 2：计算下列各题（1）6+10+14+18+22+26+30 （3）1+3+5+7++95+97+99（2）3+15+27+39+51+63（4）2+4+6+8++96+98+100（3）已知一列数 4,6,8,10 ，，64，共有 31 个数，这个数列的和是多少？例 5、有一堆圆木堆成一堆，从上到下，上面一层有 10 根，每向下一层增加一根，共堆了 10 层。

(完整版)三年级奥数等差数列求和习题及答案

计算（三）等差数列求和知识精讲一、定义：一个数列的前n 项的和为这个数列的和。

二、表达方式：常用n S 来表示。

三：求和公式：和=(首项+末项)⨯项数2÷，1()2n n s a a n =+⨯÷。

对于这个公式的得到可以从两个方面入手：(思路1)1239899100++++++L11002993985051=++++++++L 1444444442444444443共50个101（）（）（）（） 101505050=⨯= (思路2)这道题目，还可以这样理解：23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++L L L 和=1+和倍和即，和 (1001)100 2 10150 5050=+⨯÷=⨯=。

四、中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。

譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=L （），题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯； ② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=L （），题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯。

例题精讲：例1：求和：（1）1+2+3+4+5+6 = （2）1+4+7+11+13=（3）1+4+7+11+13＋ (85)分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。

例如（3）式项数=（85-1）÷3+1=29和=（1+85）×29÷2=1247答案：（1）21 （2）36 （3）1247例2：求下列各等差数列的和。

（1）1+2+3+4+…+199（2）2+4+6+…+78（3）3+7+11+15+…+207分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。

利用等差数列求和公式求解问题的练习

利用等差数列求和公式求解问题的练习等差数列是指一个数列，从第二项开始，每一项与它前面的项之差都相等。

而等差数列求和公式则是用来求等差数列前n项和的公式。

本文将通过一些具体问题案例来练习利用等差数列求和公式解决问题。

问题一：某班级共有30名学生，学生的身高从140cm开始，每个学生的身高相差5cm，问这个班级的学生身高总和是多少？解答一：这是一个等差数列，第一项a1=140cm，公差d=5cm，共有n=30个学生。

根据等差数列求和公式，等差数列的前n项和Sn可以表示为：Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)代入已知数据，得到Sn = 30/2 * (2*140 + (30-1)*5) = 30/2 * (280 + 145) = 30/2 * 425 = 15 * 425 = 6375所以，这个班级的学生身高总和是6375cm。

问题二：一个等差数列的首项是3，公差是2，求该数列的前100项和。

解答二：这仍然是一个等差数列，第一项a1=3，公差d=2，共有n=100项。

根据等差数列求和公式，等差数列的前n项和Sn可以表示为：Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)代入已知数据，得到Sn = 100/2 * (2*3 + (100-1)*2) = 100/2 * (6 + 199*2) = 100/2 * (6 + 398) = 100/2 * 404 = 50 * 404 = 20200所以，这个等差数列的前100项和是20200。

问题三：一个等差数列的前五项的和是30，公差是3，求该数列的前十项和。

解答三：我们已知等差数列的前五项和Sn1=30，公差d=3，要求等差数列的前十项和Sn2。

根据等差数列的性质，前十项和可以表示为前五项和与后五项和之和。

即，Sn2 = Sn1 + Sn3其中，Sn1 = 30，Sn3可以用等差数列求和公式表示：Sn3 = n/2 * (2a6 + (n-1)d) = 5/2 * (2a1 + (5-1)d) = 5/2 * (2a1 + 4d) =5/2 * (2a1 + 4*3) = 5/2 * (2a1 + 12)根据等差数列的性质，a1与a6的差值等于d，即a1 + 5d = a6 = a1 + 6d，代入可得：Sn3 = 5/2 * (a1 + 5d + 12) = 5/2 * (a1 + 6d) = 5/2 * (a6) = 5/2 * (a1 + 5d) = 5 * Sn1所以，Sn2 = Sn1 + Sn3 = 30 + 5 * 30 = 30 + 150 = 180所以，该等差数列的前十项和是180。

(完整版)等差数列前n项和练习题

差数列前n 项和1、.在等差数列｛ a n ｝中，已知a !=2,a 2+a 3=13，则a q +a s +a e 等于() 2、设s n 是等差数列｛ a n ｝的前n 项和，已知a i =3, a 5=11，则s 等于() A . 138 B . 135 C . 95 D . 235、设S n 是等差数列a n 的前n 项和，若S 7 35,则( )(A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5 &已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为( )A.5B.4C. 3D. 2 7、在等差数列｛a n ｝中，a 1 + a 9= 10，则a 5的值为()A . 5B . 6C . 8D . 108、设等差数列｛a n ｝的前n 项和S n ,若a=— 11, a 4 + a 6= — 6,则当S n 取最小值时, n 等于( )A . 6B . 7C . 8D . 99、已知a 1 — 1, a 8 — 6,则 S B 等于( ) A . 25 B .26 C . 27 D .10、在等差数列｛a n ｝中，a 2 + a 5= 19, S 5= 40,则 a 10 =( )A . 24B . 27C . 29D . 4811、若一个等差数列的前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为 390,则这个数列有( ) A . 13项 B . 12项C . 11 项D . 10 项 *12、设数列｛a n ｝的首项 a 1 — — 7,且满足 a n +1 = a n + 2(n € N )，则 a 1 + a 2+…+ a 1713、在等差数列｛a n ｝中,a s 7,a 5 a 2 6 ,则a 6 _____________________________________ 14、设等差数列S n a n 的前n 项和为，若S 9 72,则a ? a g = __________ 15、公差不为零的等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n .若a 42 8387 , £ 32 ,求A.40B.42C.43D.45B. 35C. 49D. 63 3、已知｛a n ｝为等差数列,a 1 a 3 a 5 105, a 2 a 4 a 6 99，则a 20等于 A. -1B. 1C. 3D.7 4、已知等差数列a n满足a 2 a 4 4，a 3 a 5 10则它的前10项的和S 10a n及S n。

数列求和专项练习(含答案)

数列求和专项练习1.在等差数列{}n a 中，已知34151296=+++a a a a ，求前20项之和。

2.已知等差数列{}n a 的公差是正数，且,4,126473-=+-=a a a a 求它的前20项之和。

3.等差数列{}n a 的前n 项和S n =m ,前m 项和S m =n (m>n )，求前m+n 项和S n+m4.设y x ≠，且两数列y a a a x ，，，，321和4321b y b b x b ，，，，，均为等差数列，求1243a a b b --5.在等差数列{}n a 中，前n 项和S n ,前m 项和为S m ，且S m =S n , n m ≠，求S n+m6.在等差数列{}n a 中，已知1791,25S S a ==，问数列前多少项为最大，并求出最大值。

7.求数列的通项公式：(1){}n a 中，23,211+==+n n a a a(2){}n a 中，023,5,21221=+-==++n n n a a a a a9.求证：对于等比数列前n 项和S n 有)(32222n n n n n S S S S S +=+10. 已知数列{}n a 中，前n 项和为S n ，并且有1),(241*1=∈+=+a N n a S n n (1)设),(2*1N n a a b n n n ∈-=+求证{}n b 是等比数列；(2)设),(2*N n a c nn ∈=求证{}n b 是等差数列；11.设数列满足，（Ⅰ)求数列的通项公式：（Ⅱ）令，求数列的前n 项和.【规范解答】（Ⅰ)由已知，当时，而，满足上述公式，所以的通项公式为. （Ⅱ）由可知，①从而 ②①②得{}n a 12a ={}n a n n b na ={}n b n S 1n ≥[]111211()()()n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+21232(1)13(222)22n n n --+-=++++=12a ={}n a 212n n a -=212n n n b na n -==•35211222322n n n s -=•+•+•++•23572121222322n n n s +=•+•+•++•-3521212(12)22222n n n n s -+-=++++-•即 12.已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n nn S n ，22. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()n nan a b n 12-+=，求数列{}n b 的前n 2项和.【答案】(1) n a n = (2) 21222n n T n +=+-13.已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +== （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；211(31)229n n S n +⎡⎤=-+⎣⎦（Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T .（Ⅰ）由题设可知83241=⋅=⋅a a a a ，又941=+a a ，可解的⎩⎨⎧==8141a a 或⎩⎨⎧==1841a a （舍去）由314q a a =得公比2=q ，故1112--==n n n qa a . （Ⅰ）1221211)1(1-=--=--=n n n n q q a S 又1111111n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-===-所以1113221211111...1111...++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++=n n nn n S S S S S S S S b b b T12111--=+n .14. 设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233nn S =+.（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T . 【解析】所以，13,1,3,1,n n n a n -=⎧=⎨>⎩1363623n n +=-⨯ ，又1T 适合此式.13631243nnn T +=-⨯ 15.知等差数列满足：，，的前n 项和为．（1）求及；（2）令(n N *)，求数列的前n 项和．【命题立意】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和,考查了考生的逻辑推理、等价变形和运算求解能力.【思路点拨】(1)设出首项和公差，根据已知条件构造方程组可求出首项和公差，进而求出求及；(2)由(1)求出的通项公式，再根据通项的特点选择求和的方法.【规范解答】（1）设等差数列的公差为d ，因为，，所以有，解得，所以；==. （2）由（1）知，所以b n ===，所以==，即数列的前n 项和=.{}n a 37a =5726a a +={}n a n S n a n S n b =211n a -∈{}n b n T n a nS n b {}n a 37a =5726a a +=112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩13,2a d ==321)=2n+1n a n =+-（n S n(n-1)3n+22⨯2n +2n 2n+1n a =211n a -21=2n+1)1-（114n(n+1)⋅111(-)4n n+1⋅n T 111111(1-+++-)4223n n+1⋅-11(1-)=4n+1⋅n4(n+1){}n b n T n4(n+1)。

等差数列求和基础题

等差数列求和基础题一．选择题1. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若142,20,a S ==则6S =A.16B.24C.36D.422. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,376a a +=-,则当n S 取最小值时, n 等于A.8B.7C.6D.93. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且63S =，1118S =，则9a 等于A.3B.5C.8D.154. 已知等差数列{a n }前n 项的和为S n , 233=a , S 3=9，则a 1= A.23 B.29 C.-3 D.6 5. 已知等差数列{}n a 中,256,15a a ==,若2n n b a =,则数列{}n b 的前5项和为A. 90B. 45C. 30D. 1866. 等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若119717,170a a a S ++=则的值为A.10B.20C.25D.307. 设等差数列｛a n ｝前n 项和为S n . 若a 1= -11,a 4+a 6= -6 ,则当S n 取最小值时，n 等于A.6B. 7C.8D.98. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，246a a +=，则5S 等于A.10B.12C.15D.309. 已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =A.138B.135C.95D.2310. 记等差数列的前n 项和为n S ，若244,20S S ==，则该数列的公差d =A.2B.3C.6D.711. 已知等差数列{}n a 中，26a =，515a =，若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于A.30B.45C.90D.18612. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 5 = S 9，则a 3:a 5 =A.5:9B.9:5C.3:5D.5:313. 在等差数列}{n a 中，已知S 3=9，S 9=54，则}{n a 的通项n a 为A.33-=n a nB.n a n 3=C.2+=n a nD.1+=n a n14. 若等差数列}{n a 的前3项和93=S 且11=a ，则2a 等于A.3B.4C.5D.615. 等差数列{}n a 中，11a =，3514a a +=，其前n 项和100n S =，则n =A.9B.10C.11D.1216. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若等于则442,10,2S S S ==A.12B.18C.24D.4217. 已知{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，则其公差d =Ａ.23- Ｂ.13- Ｃ.13 Ｄ.2318. 在等差数列｛a n ｝中，若a 4+a 6 =12, S n 是数列｛a n ｝的前n 项和，则S 9的值为A.48B.54C.60D.6619. 一个只有有限项的等差数列,它的前5项的和为34,最后5项和为146,所有项的和为234,则它的第七项等于A.22B.21C.19D.1820. 已知数列{a n }的通项公式是a n =2n –49 (n ∈N )，那么数列{a n }的前n 项和S n 达到最小值时的n 的值是A.23B.24C.25D.2621. 已知等差数列{a n }中,a 2+a 8=8,则该数列前9项和S 9等于A.18B.27C.36D.4522. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若S 7=35,则a 4=A.8B.7C.6D.523. 等差数列{}n a 中，n S 是前n 项和，且38S S =，7k S S =，则k 的值为A.4B.11C.2D.1224. 等差数列{a n }中，若a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则前9项的和S 9等于A.66B.99C.144D.29725. 等差数列{a n }中，a 1+a 2+…+a 50＝200，a 51+a 52+…+a 100＝2700，则a 1等于A.－1221B.－21.5C.－20.5D.－2026. 等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若a 3+a 17=10，则S 19的值为A.95B.100C.115D.12527. 在等差数列}{n a 中，，，83125S S a =-=则前n 项和n s 的最小值为 txjyA.80-B.76-C.75-D.74-28. 等差数列{a n }中，若a 3+ a 4+ a 5+ a 6+ a 7=450 则前9项和S 9=A.1620B.810C.900D.67529. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5418a a =-，则8S 等于A.144B.72C.54D.3630. 在等差数列{a n }中，前n 项和S n =36n －n 2，则S n 中最大的是A.S 1B.S 9C.S 17D.S 1831. 将含有k 项的等差数列插入4和67之间，结果仍成一新的等差数列，并且新的等差数列所有项的和为781，则k 的值为A.20B.21C..22D.2432. 设数列{}n a 是等差数列，且n S a a ,6,682=-=是数列 {}n a 的前n 项和，则A.S 4<S 3B.S 4==S 2C.S 6<S 3D.S 6=S 333. 已知等差数列前n 项和为S n ，若S 15<0,S 14>0,则此数列中绝对值最小的项为A.第6项B.第7项C.第8项D.第9项34. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知20092007120102010,2,20092007S S a S =--==则 A.2008- B.2008 C.2010- D.201035. 已知等差数列{}n a 中，10795=-+a a a ，记n n a a a S +++= 21，则13S 的值为A.130B.260C.156D.16836. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且424a a -=，39S =,则数列{}n a 的通项公式为A.n a n =B.2n a n =+C.21n a n =-D.21n a n =+37. 等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，36927a a a ++=，则数列{}n a 前9项和9S 等于A.297B.144C.99D.6638. 等差数列{}n a 的前n 项和)3,2,1(⋅⋅⋅=n S n 当首项1a 和公差d 变化时，若1185a a a ++是一个定值，则下列各数中为定值的是A. 15SB. 16SC.17SD.18S39. 在公差为2的等差数列{}n a 中，如果前17项和为1734S =，那么12a 的值为A. 2B. 4C. 6D. 840. 已知等差数列30,240,18,}{49===-n n n n a S S S n a 若项和为的前，则n 的值为A.18B.17C.16D.1541. 已知等差数列854,18,}{S a a S n a n n 则若项和为的前-==A.18B.36C.54D.7242. 设函数()f x =，类比课本推导等差数列的前n 项和公式的推导方法计算(4)(3)...(0)(1)...(4)(5)f f f f f f -+-++++++的值为A.2B. 2C.2D. 243. 在等差数列｛a n ｝中，,3321=++a a a 165302928=++a a a ，则此数列前30项和等于A.810B.840C.870D.90044. 设数列}{n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项为A.1B.2C.4D.645. 已知等差数列{}n a 的公差0<d ，若10,248264=+=⋅a a a a ，则该数列的前n 项和n S 的最大值为A.50B.45C.40D.3546. 等差数列{}n a 中，11a =,3514a a +=，其前n 项和100n S =,则n =A.9B.10C.11D.1247. 若}{n a 是等差数列，首项01>a ，020082007>+a a ，020082007<⋅a a ，则使数列}{n a 的前n 项和n S 为正数的最大自然数n 是A.4013B. 4014C. 4015D. 401648. 设数列{n a }是等差数列，且n S a a ,6,682=-=是数列{n a }的前n 项和，则A.S 4<S 5B.S 4=S 5C.S 6<S 5D.S 6=S 549. 已知等差数列{}n a 的通项公式()211,2,3n a n n =-=，，记11T a =，1121122,,n n n n n n T a n T T a a n -+-++⎧⎪=⎨++⎪⎩为奇数,为偶数（2,3,n =），那么2n T = A.21n + B.1162n - C.25 436n n n n ⎧⎨-+≠⎩，=1，，1D.232n n + 50. 已知数列2),1(2,}{a a S S n a n n n n 则且项和为的前-=等于A.4B.2C.1D.—2 51. 等差数列1062,}{a a a S n a n n ++若项和为的前为一个确定的常数，则下列各个和中，也为确定的常数的是A.S 6B.S 11C.S 12D.S 1352. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3163=S S 则=126S S A.310 B.13 C.81 D.91 53. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若9S =18，n S =240，4n a -=30，则n 的值为A.18B.17C.16D.1554. 若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =A.12B.13C.14D.1555. 已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于A.64B.100C.110D.12056. 等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，且3457-+=n n T S n n ，则使得nn b a 为整数的正整数n 的个数是A.3B.4C.5D.657. 数列{}n a 是公差为2-的等差数列，若509741=+++a a a ，则=++++99963a a a a A.－182 B.－82 C.－148 D.－7858. 设A ．B ．C 三点共线（该直线不过原点O ），数列{a n }是等差数列，S n 是该数列的前n 项和 =a 1+a 200，则S 200=A.200B.100C.50D.30059. 一个等差数列共n 项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数n 为A.14B.16C.18D.2060. 等差数列{a n }中，a 1>0，公差d <0, S n 为其前n 项和，对任意自然数n ，若点（n, S n ）在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是61. 已知等差数列{a n }前n 项和S n 有最大值且11011-<a a ，当S n 是最小正数时，n = A.17 B.18 C.19 D.2062. 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =，420S =，则6S = A.16 B.24 C.36 D.4863. 设|a n |是等差数列，若a 2=3,a 7=13,则数列{a n }前8项的和为A.128B.80C.64D.5664. 已知等差数列}{n a 的前n 项和为S n ，若OC a OA a OB 20043+=，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 2006 ＝A.1003B. 1004C. 2006D.200765. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1697=+a a ，77=S ，则12a 的值是A.15B.30C.31D.6466. 已知数列{a n }、{b n }都是公差为1的等差数列，其首项分别为a 1、b 1，且a 1+b 1=5，a 1、b 1∈N *，设C n =a b （n ∈N *），则数列{C n }前10项和等于A.55B.70C.85D.10067. 已知,)1()1()1(22102nn n x a x a x a a x x x ++++=++++++ 若 ++21a a n a n -=+-291，那么自然数n 的值为A. 3B.4C.5D.668. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若m >1，m ∈N*，且21121,38m m m m a a a S -+-+==，则m 等于A.11B.10C.9D.869. 已知等差数列{a n }中, S n 是它的前n 项和，若S 16>0, S 17<0, 则当S n 取最大值时，n 的值为 A.16 B.9 C.8 D.1070. 已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且7453n n A n B n +=+，则使得n na b 为整数的正整数n 的个数是 A.2 B.3 C.4 D.571. 设数列}{n a 是等差数列，且n S a a ,6,673=-=是数列}{n a 的前n 项和，则A.54S S =B.56S S =C.64S S >D.56S S <72. 已知数列{－2n+25}，其前n 项和S n 达到最大值时，n 为A.10B.11C.12D.13 73. 若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,其首项10a >,991000a a +>,991000a a ⋅<,则使0n S >成立的最大自然数n 是A.198B.199C.200D.20174. 设等差数列{}n a 满足81335a a =.且10a >.n S 为其前n 项之和.则n S 中最大的是A.10SB.11SC.20SD.21S75. 已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且a 2＋a 4＋a 7＋a 15＝40，则S 13的值为A.20B.65C.130D.26076. 等差数列{}n a 的通项公式是12+=n a n ，其前n 项和为n S ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 的前10项和为A.75B.70C.120D.10077. 在等差数列}{n a 中，若30,240,1849===-n n a S S ，则n 的值为A.14B.15C.16D.1778. 在等差数列{}n a 中，若C a a a =++1383，则其前n 项和n S 的值等于5C 的是A.15SB.17SC.8SD.7S79. 设{}n a 是等差数列，1359a a a ++=，69a =，则这个数列的前6项和等于Ａ.12 Ｂ.24 Ｃ.36 Ｄ.4880. {}n a 是等差数列，10110,0S S ><，则使n a <0的最小的n 值是A.5B.6C.7D.881. 等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若10173=+a a ，则19S 的值是A.55B.95C.100D.不能确定82. 在等差数列{a n }中，a 1>0,且3a 8=5a 13,则S n 中最大的是A.S 21B.S 20C.S 11D.S 10 83. 设S n 是等差数列前n 项的和，若9535=a a ,则59S S 等于 A.1 B.－1 C.2 D.21 84. 已知等差数列{a n }的公差为正数，且a 3·a 7=－12,a 4+a 6=－4,则S 20为A.180B.－180C.90D.－9085. 若{a n }是等差数列，首项a 1>0,a 2003+a 2004>0,a 2003·a 2004<0,则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是A.4005B.4006C.4007D.400886. 已知等差数列{}n a 中，247,15a a ==，则前10项的和10S ＝A.100B.210C.380D.40087. 设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝ A .310 B.13 C.18 D .1988. 设等差数列｛a ｝的前n 项的和为S n ，若a 1＞0，S 4=S 8，则当S n 取得最大值时，n 的值为A.5B.6C.7D.889. 已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若1O a B ＝200OA a OC ＋，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200＝A.100B. 101C.200D.20190. 已知等差数列{a n }的前20项的和为100，那么a 7·a 14的最大值为A.25B.50C.100D.不存在91. 若某等差数列{a n }中，a 2+a 6+a 16为一个确定的常数，则其前n 项和S n 中也为确定的常数的是A.S 17B.S 15C.S 8D.S 792. 在等差数列{a n }中，a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|，则{a n }的前n 项和S n 中最大的负数为A.S 17B.S 18C.S 19D.S 2093. 等差数列}{n a 的公差为d ，前n 项的和为S n ，当首项a 1和d 变化时，1182a a a ++是一个定值，则下列各数中也为定值的是A.S 7B.S 8C.S 13D.S 1594. 在等差数列{ a n }中，S 4 =1, S 8 =4,则a 17 + a 18 + a 19+ a 20 的值是A ．7B ．8C ．9D ．1095. 设a 1, a 2, a 3,……和b 1, b 2, b 3,……都是等差数列，且a 1=25, b 1=75, a 100＋b 100=100,则数列a 1＋b 1, a 2＋b 2,……的前100项的和是A.0B.100C.10000D.不确定96. 等差数列{a n }中，若前15项的和S 15=90，则a 8等于245D. C.12 445B. 6.A 97. 已知S k 表示数列{a k }前k 项和,且S k + S k+1 = a k +1 (k ∈N*),那么此数列是A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列98. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若31a a =95,则59S S 等于txjy A.-1 B. 21 C.1 D.2 99. 等差数列{a n }中，a n -4=30,且前9项的和S 9=18，前n 项和为S n =240,则n 等于A.15B.16C.17D.18100. 等差数列{a n }中，若a 10=10,a 19=100,前n 项和S n =0,则n 等于A.7B.9C.17D.19参考答案（仅供参考）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15D C A B A D A C C B C B D A B16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30C D B D B C D A B C A C B B D31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45A B C C A C C A D D D B B B B46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60B B B D A B A D B B B B BC C61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75C D C A A C B B C D A C A C C76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90A B A B B B B A A B B A B A A91 92 93 94 95 96 97 98 99 100B C C C C A C C A C欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。

等差数列(巧妙求和)

等差数列（巧妙求和）若干个数排成一列，称为数列．．。

数列中的每一个数称为一项．，其中第一项称为首项．．，最后一项称为末项．．。

数列中数的个数称为项数．．。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

通项公式：第n项=首项＋（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1求和公式：总和=（首项＋末项）÷项数÷21.有一个数列，4、10、16、22……52，这个数列共有多少项？2.等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2。

这个等差数列共有多少项？3.有一个等差数列：2、5、8、11……101，这个等差数列共有多少项？4.已知等差数列11、21、26……1001，问这个数列共有多少项？5.有一等差数列：3、7、11、15……这个等差数列的第100项是多少？6.等差数列中，首项=3，公差=2，项数=10。

它的末项是多少？7.求等差数列1、4、7、10……这个等差数列的第30项？8.求等差数列2、6、10、14……这个等差数列的第100项？9.有这样的一列数，1、2、3、4……99、100。

请你求出这列数各项相加的和。

10.计算下面各题（1）、1+2+3+4+……+49+50（2）、4+5+6+7+8+9+……+73+74（3）、100+99+98+……+61+6011.求等差数列2、4、6……48、50的和。

12.计算下面各题（1）2+6+10+14+18+22（2）5+10+15+20+……+95+100（3）9+18+29+36+……+261+27013.※※计算（2+4+6+......+100）－（1+3+5+ (99)14.※※用简便方法计算下面各题。

（1）（2+4+6+......+200）－（1+3+5+ (199)（2）1+2－3+4+5－6+7+8－9+……+58+59－60内容：巧妙求和(中间数×项数)①、21+22+23+24+25+26+27+28+29=（）②、197+198+199+200+201+202+203=（）③、76+77+78+79+80+81+82+83+84=（）④、14+16+18+20+22+24+26=（）⑤、45+50+55+60+65+70+75=（）⑥、1+2+3+4+……+97+98+99=（）。

(完整版)等差数列练习题及答案.doc

等差数列1、已知等差数列a n满足 a1 a2 a101 0 ，则有（）A 、a1 a101 0 B 、a2a100 0 C、a3a990 D 、a51 512、等差数列a n 的前 n 项和记为 S n，若 a2 a4 a15得值是一个确定的常数,则数列S n 中也为常数的值为( )A 、S7 B、S8 C、S13 D 、S153、在等差数列a n 中 , a3 a9 ,公差d 0 ,则前n项和S n 取得最大值的 n 为( )A 、 4 或 5B 、 5 或 6 C、6 或 7 D、不存在4、等差数列a n 前 m 项和为30,前2m 项和为 100,则它的前 3 m项的和为( )A 、 130 B、 170 C、 210 D 、 2605、等差数列a n 的公差为 2 ，且 a1 a4 a7 a97 50，那么a3a6a9 a99_____.6、等差数列a n , a n=q， a m p ( m n) ，则 a k=________7、在－ 1 与 7 之间顺次插入三个数a, b, c ，使这五个数成等差数列，则这五个数为______8、已知数列a n 的前 n 项和为 S n= n2 2n 3 ,求数列 a n 的通项公式 ,并判断a n 是否为等差数列 ?9、若 x y, 两个数列 : x, a1 , a 2 , a 3 , y 和 x, b1 , b2 , b3 , b4 , y 都是等差数列 ,求a2 a1 的值b4 b310、已知公差大于0 的等差数列a n 的前n 项和为S n ,且满足a3 a4 117, a 2 a5 22.(1)求通项a n ; (2) 若数列 { b n } 是等差数列,且 b n =S n求非零常数 c n c答案1【答案】 C2【答案】 C【分析】设首项 a1 , 公差 da2 a4 a15 3(a1 6d )为定值,a713(a1 a13 )a1 6d 为定值,S13 13a7为定值23【答案】 B【分析】设首项 a1 , 公差 da3 a9a1 2d a1 8d ,即a1 5dS n na1 n(n 1)1 (n2 11n)d2d2当n5或6 时 , S n最大4. 【答案】 C【分析】S m , S2 m S m , S3m S2m成等差数列S3m S2m 110S3m 2105【答案】82【分析】 a3 a6 a9 a99a1 a4 a7a97 66d826、【解】从 a n与n的函数关系看,可以看作 a n是n的一次函数 ,因此 ,函数 a n的图象是共线离散的点.已知条件表明 , 点 (m, p), (n, q) 在 a n的图象上 , 问题是求与这两个点共线的点(k, x) 的纵坐标, 由共线条件知p q x q , x p(k n) q(m k) .m n k n m n7【解】设这几个数组成的等差数列为 a n ,知 a11, a5 7 .解得 d 2, 所求数列为1，1，3，5，78【解】解 :当 n 1时 , a1 2;当 n 2 时 , a n S n S n 1 2n 32(n1)a n2n 3(n2)显然 a n 1 a n2(n 2) 但 a2a1 1 21 2a n不是等差数列.9【解】设两个等差数列的公差分别为d1 , d2 即求 d1 ,由已知得d2y x 4d1 4d1 y x即y x 5d 2 5d2 y x解 d1 5 即 a2 a1 54 4d 2 b4 b310【解】 (1) a n 为等差数列 , a 3 a4 a2 a5 22, 又 a3 a4 117,a ,a4 是方程 x 2 22x 117 0 的两实根 .3又公差 d 0 a3 a4 a3 9, a 4 13 a1 2d 9 a1 1a n 4n 3a1 3d 13 d 4(2)、 (1)知S n n 1 n( n 1) 4 2n 2 n2b nS n 2n 2 nb11 6 15n c n c, b22, b33,1 c c cb n 为等差数列2b2 b1621 15b3 ,即1 c 3 c2 c2c2 c 0 , c1( c 0 舍去 ),故c 1 .2 2。

等差数列与前n项和练习试题（可编辑修改word版）

等差数列与前n项和练习试题（可编辑修改word版）第1 讲等差数列及其前n 项和⼀、填空题1．在等差数列{a n}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝.2.设等差数列{a }的前n 项和为S ，若S4 －S3＝1，则公差为．n n12 93.在等差数列{a n}中，a1＞0，S4＝S9，则S n取最⼤值时，n＝.4．在等差数列{a n}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则S9＝. 5．设等差数列{a n}的公差为正数，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13＝.6.已知数列{a n}的前n 项和为S n＝2n2＋pn，a7＝11.若a k＋a k＋1＞12，则正整数k 的最⼩值为．7.已知数列{a n}满⾜递推关系式a n＝2a n＋2n－1(n∈N*)，且a n＋λ为等差数{ 2n }＋1列，则λ的值是．8.已知数列{a n}为等差数列，S n为其前n 项和，a7－a5＝4，a11＝21，S k＝9，则k＝.10.已知f(x)是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f(x·y)＝xf(y)＋yf(x)成⽴．数列{a n}满⾜a n＝f(2n)(n∈N*)，且a1＝2.则数列的通项公式a n＝.⼆、解答题1.已知等差数列{a n}的前三项为a－1,4,2a，记前n 项和为S n.(1)设S k＝2 550，求a 和k 的值；(2)设b n＝S n，求b ＋b ＋b ＋…＋b 的值．3 7 114n－1n12.已知数列{a n}的通项公式为a n＝2n，若a3，a5分别为等差数列{b n}的第3 项和第5 项，试求数列{b n}的通项公式及前n 项和S n.13.在等差数列{a n}中，公差d＞0，前n 项和为S n，a2·a3＝45，a1＋a5＝18.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n＝S n(n∈N*)，是否存在⼀个⾮零常数c，使数列{b n}也为等差数列？n＋c若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．第2 讲等⽐数列及其前n 项和⼀、填空题1.设数列{a n2}前n项和为S n，a1＝t，a2＝t2，S n＋2－(t＋1)S n＋1＋tS n＝0，则{a n}是数列，通项a n＝.解析由S n＋2－(t＋1)S n＋1＋tS n＝0，得S n＋2－S n＋1＝t(S n＋1－S n)，所以a n＋2＝ta，所以a n＋2＝t，⼜a2＝t，n＋1a n＋1 a1所以{a n}成等⽐数列，且a n＝t·t n－1＝t n.答案等⽐t n2.等⽐数列{a }的前n 项和为S 8a ＋a ＝0，则S6＝.n n, 2 5S34 2 2 2 8 8 解∵8a 2＋a 5＝8a 1q ＋a 1q 4＝a 1q (8＋q 3)＝0 ∴q ＝－2∴S 6＝1－q 6＝1＋q 3＝－7.S 3 1－q 3 答案－73. 数列{a n }为正项等⽐数列，若 a 2＝2，且 a n ＋a n ＋1＝6a n －1(n ∈N ，n ≥2)，则此数列的前 4 项和 S 4＝ .解析由 a 1q ＝2，a 1q n －1＋a 1q n ＝6a 1q n －2，得 q n －1＋q n ＝6q n －2，所以 q 2＋q ＝6.⼜ q ＞0，所以 q ＝2，a 1＝1.所以 S ＝a 11－q 4＝1－24＝15.1－q 1－2答案 154. 已知等⽐数列{a n }的前 n 项和 S n ＝t ·5n －2－1，则实数 t 的值为．5解析∵a 1＝S 1＝1t －1，a 2＝S 2－S 1＝4t ，a 3＝S 3－S 2＝4t ，∴由{a n }是等⽐数 5 5 5 列知 4t 2＝ 1t 1 ×4t ，显然 t≠0，所以 t ＝5.(5 ) (5－ )5答案 55. 已知各项都为正数的等⽐数列{a n }中，a 2·a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满⾜ a n ·a n ＋1·a n ＋2≥1的最⼤正整数 n 的值为．8解析由等⽐数列的性质，得 4＝a 2·a 4＝a 32(a 3＞0)，所以 a 3＝2，所以 a 1＋a 2＝14－a 3＝12，于是由Error!解得Error!所以 a n ＝8·(1)n －1＝(1)n －4. 于是由 a n ·a n ＋1·a n ＋2＝a n ＋3 1＝(1)3(n －3)＝(1)n －3≥1，得 n －3≤1，即 n ≤4.33答案 46．在等⽐数列{a n }中，a n >0，若 a 1·a 2·…·a 7·a 8＝16，则 a 4＋a 5 的最⼩值为．解析由已知 a 1a 2·…·a 7a 8＝(a 4a 5)4＝16，所以 a 4a 5＝2，⼜ a 4＋a 5≥2 a 4a 5＝2 2(当且仅当 a 4＝a 5＝答案 2 2时取等号)．所以 a 4＋a 5 的最⼩值为 2 2.7. 已知递增的等⽐数列{a }中，a ＋a ＝3，a ·a ＝2，则a 13＝.n 2 8 3 7a 10解析∵{a n }是递增的等⽐数列，∴a 3a 7＝a 2a 8＝2，⼜∵a 2＋a 8＝3，∴a 2，a 8 是⽅程 x 2－3x ＋2＝0 的两根，则 a 2＝1，a 8＝2，∴q 6＝ a 8＝2，∴q 3＝a 22，∴a 13＝q 3＝ 2.a 10答案8. 设 1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中 a 1，a 3，a 5，a 7 成公⽐为 q 的等⽐数列，a 2，a 4，a 6成公差为 1 的等差数列，则 q 的最⼩值为．解析由题意知 a 3＝q ，a 5＝q 2，a 7＝q 3 且 q ≥1，a 4＝a 2＋1，a 6＝a 2＋2 且a 2≥1，那么有 q 2≥2 且 q 3≥3.故 q ≥3 3，即 q 的最⼩值为3 3. 答案⼆、解答题11．在等差数列{a n }中，a 2＋a 7＝－23，a 3＋a 8＝－29.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设数列{a n ＋b n }是⾸项为 1，公⽐为 c 的等⽐数列，求{b n }的前 n 项和 S n .解 (1)设等差数列{a n }的公差是 d .依题意 a 3＋a 8－(a 2＋a 7)＝2d ＝－6，从⽽ d ＝－3.22nn由 a 2＋a 7＝2a 1＋7d ＝－23，解得 a 1＝－1. 所以数列{a n }的通项公式为 a n ＝－3n ＋2.(2)由数列{a n ＋b n }是⾸项为 1，公⽐为 c 的等⽐数列，得 a n ＋b n ＝c n －1，即－3n ＋2＋b n ＝c n －1，所以 b n ＝3n －2＋c n －1.所以 S n ＝[1＋4＋7＋…＋(3n －2)]＋(1＋c ＋c 2＋…＋c n －1) ＝n3n －1＋(1＋c ＋c 2＋…＋c n －1)． 2从⽽当 c ＝1 时，S ＝n 3n －1＋n ＝3n 2＋n . 2 2当 c ≠1 时，S n ＝n3n －1＋1－c n . 2 1－c12. 设各项均为正数的等⽐数列{a n }的前 n 项和为 S n ，S 4＝1，S 8＝17.(1)求数列{a n }的通项公式；( 2)是否存在最⼩的正整数 m ，使得 n ≥m 时，a n >2 011恒成⽴？若存在，求15出 m ；若不存在，请说明理由．解 (1)设{a }的公⽐为 q ，由 S ＝1，S ＝17 知 q ≠1，所以得a1q 4－1＝1， n48a 1q 8－1＝17. q－1q －1相除得q 8－1＝17，解得 q 4＝16.所以 q ＝2 或 q ＝－2(舍去)． q 4－1由 q ＝2 可得 a ＝ 1 ，所以 a ＝2n －1.1n15 15 (2)由 a ＝2n －1>2 011，得 2n －1>2 011，⽽ 210<2 011<211，所以 n －1≥11， 1515即 n ≥12.2 011恒成⽴．因此，存在最⼩的正整数m＝12，使得n≥m 时，a n>1513.已知公差⼤于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满⾜a2·a4＝65，a1＋a5＝18.(1)求数列{a n}的通项公式a n.(2)若1＜i＜21，a1，a i，a21是某等⽐数列的连续三项，求i 的值；(3)是否存在常数k，使得数列{S n＋kn}为等差数列？若存在，求出常数k；若不存在，请说明理由．解(1)因为a1＋a5＝a2＋a4＝18，⼜a2·a4＝65，所以a2，a4是⽅程x2－18x＋65＝0 的两个根．⼜公差d＞0，所以a2＜a4.所以a2＝5，a4＝13. 所以Error!解得a1＝1，d＝4.所以a n＝4n－3.(2)由1＜i＜21，a1，a i，a21是某等⽐数列的连续三项，所以a1·a21＝a2i，即1·81＝(4i－3)2，解得i＝3.(3)由(1)知，S n＝n·1＋n n－1·4＝2n2－n.2假设存在常数k，使数列{ S n＋kn}为等差数列，由等差数列通项公式，可设S n＋kn＝an＋b，得2n2＋(k－1)n＝an2＋2abn＋b 恒成⽴，可得a＝2，b＝0，k＝1.所以存在k＝1 使得{ S n＋kn}为等差数列．第3 讲等差数列、等⽐数列与数列求和⼀、填空题1.设{a n}是公差不为0 的等差数列，a1＝2 且a1，a3，a6成等⽐数列，则{a n}的前 n 项和 S n ＝ .解析由题意设等差数列公差为 d ，则 a 1＝2，a 3＝2＋2d ，a 6＝2＋5d .⼜∵a 1，a 3，a 6 成等⽐数列，∴a 32＝a 1a 6，即(2＋2d )2＝2(2＋5d )，整理得 2d 2－d ＝0.∵ d ≠0，∴d ＝1，∴S ＝na ＋n n －1d ＝n 2＋7n .n 12 2 4 4答案 n 24 42. 数列{a n }的通项公式a n＝1，若前 n 项的和为 10，则项数为．n ＋ n ＋1解析∵a n ＝答案 1201＝ n ＋ n ＋1n ＋1－ n ，∴S n ＝ n ＋1－1＝10，∴n ＝120.3. 已知等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列{ 1}的前 100a n a n ＋1项和为．解析∵a ＝5，S ＝15，∴5a 1＋a 5＝15，即 a ＝1.5512 ∴d ＝a 5－a 1＝1，∴a ＝n .∴ 1 ＝1 ＝1－ 1 .设数列 1 的前5－1n 项和为 T n .na n a n ＋1 n n ＋1 nn ＋1{a n a n ＋1}∴T 100＝(1－1)＋(1＋…＋(1 )＝1－ 1 ＝100.2 3 答案 100101100 101 101 1014．已知数列{a n }，{b n }都是等差数列，a 1＝5，b 1＝7，且 a 20＋b 20＝60.则{a n ＋b n } 的前 20 项的和为．解析由题意知{a n ＋b n }也为等差数列，所以{a n ＋b n }的前 20 项和为：S 20＝ 20a 1＋b 1＋a 20＋b 20＝20 × 5＋7＋60＝720.2 22 －－ 1c d n22 1 an a n＋1答案7205．已知等⽐数列{a n}的前n项和S n＝2n－1，则a12＋a2＋…＋a n2＝.解析当n＝1 时，a1＝S1＝1，当n≥2 时，a n＝S n－S n－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1，⼜∵a1＝1 适合上式．∴a n＝2n－1，∴a n2＝4n－1.∴数列{a n2}是以a21＝1 为⾸项，以4 为公⽐的等⽐数列．∴a12＋a2＋…＋a n2＝1·1－4n＝1(4n－1)．答案1(4n－1)31－4 36．定义运算：|a b|＝ad－bc，若数列{a}满⾜|a1 1|＝1 且| 3 3 |＝12(n∈N*)，则a3＝，数列{a n}的通项公式为a n＝.解析由题意得a1－1＝1,3a n＋1－3a n＝12 即a1＝2，a n＋1－a n＝4.∴{a n}是以2 为⾸项，4 为公差的等差数列，∴a n＝2＋4(n－1)＝4n－2，a3＝4×3－2＝10.答案10 4n－27．在等⽐数列{a n}中，a1＝1，a4＝－4，则公⽐q＝；|a1|＋|a2|＋…＋|a n|＝2.解析∵a 4＝q3＝－8，∴q＝－2.∴a ＝1·(－2)n－1，na1 21n1－2∴|a n|＝2n－2，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a n|＝2 ＝2n－1－1.1－2 2 答案－2 2n－1－128.已知S n是等差数列{a n}的前n 项和，且S11＝35＋S6，则S17的值为．解析因S11＝35＋S6，得11a1＋11 × 10d＝35＋6a1＋6 × 5d，即a1＋8d＝2 27，所以S17＝17a1＋17 × 16d＝17(a1＋8d)＝17×7＝119.2答案1199.等差数列{a n}的公差不为零，a4＝7，a1，a2，a5成等⽐数列，数列{T n}满⾜条件T n＝a2＋a4＋a8＋…＋a2n，则T n＝.解析设{a n}的公差为d≠0，由a1，a2，a5成等⽐数列，得a2＝a1a5，即(7－2d)2＝(7－3d)(7＋d)所以d＝2 或d＝0(舍去)．所以a n＝7＋(n－4)×2＝2n－1.⼜a2n＝2·2n－1＝2n＋1－1，故T n＝(22－1)＋(23－1)＋(24－1)＋…＋(2n＋1－1)＝(22＋23＋…＋2n＋1)－n＝2n＋2－n－4.答案2n＋2－n－410.数列{a n}的通项公式a n＝2n－1，如果b n＝2n，那么{b n}的前n 项和a n＋a n＋1为．解析b n＝2n n＝2n＋1－1－2n－1，a n＋a n＋1所以b1＋b2＋…＋b n＝22－1－2－1＋23－1－22－1＋…＋－2n－1＝2n＋1－1－1.答案⼆、解答题2n＋1－1－111.已知{a n}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0.2n＋1－1n (1) 求{a n }的通项公式；(2) 若等⽐数列{b n }满⾜ b 1＝－8，b 2＝a 1＋a 2＋a 3，求{b n }的前 n 项和公式．解 (1)设等差数列{a n }的公差为 d . 因为 a 3＝－6，a 6＝0，所以Error!解得 a 1＝－10，d ＝2. 所以 a n ＝－10＋(n －1)·2＝2n －12. (2)设等⽐数列{b n }的公⽐为 q .因为 b 2＝a 1＋a 2＋a 3＝－24，b 1＝－8，所以－8q ＝－24，即 q ＝3. 所以{b }的前 n 项和公式为 S ＝b 1 1－q n ＝4(1－3n )．n n 1－q13.记公差 d ≠0 的等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，已知 a 1＝2＋ 2，S 3＝12＋3(1) 求数列{a n }的通项公式 a n 及前 n 项和 S n .(2) 已知等⽐数列{b nk }，b n ＋ 2＝a n ，n 1＝1，n 2＝3，求 n k .(3) 问数列{a n }中是否存在互不相同的三项构成等⽐数列，说明理由．解 (1)因为 a 1＝2＋所以 d ＝2.2，S 3＝3a 1＋3d ＝12＋3 2，所以 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋ 2，S ＝n a 1＋a n ＝n 2＋( 22＋1)n . (2) 因为 b n ＝a n －所以 bn k ＝2n k .2＝2n ，2.⼜因为数列{bn }的⾸项bn ＝b ＝2，公⽐q＝b 3＝3，k 1 1b1 所以bn k＝2·3k－1.所以2n k＝2·3k－1，则n k＝3k－1.(3)假设存在三项a r，a s，a t成等⽐数列，则a2s＝a r·a t，即有(2s＋2)2＝(2r＋2)(2t＋2)，整理得(rt－s2) 2＝2s－r－t.若rt－s2≠0，则2＝2s－r－t，rt－s2因为r，s，t∈N*，所以2s－r－t是有理数，这与rt－s22为⽆理数⽭盾；若rt－s2＝0，则2s－r－t＝0，从⽽可得r＝s＝t，这与r综上可知，不存在满⾜题意的三项a r，a s，a t.。

等差数列求和练习题

等差数列求和练习题一、基础练习题1. 求和公式：已知等差数列的首项为a₁，公差为d，项数为n，求前n项和Sₙ。

解答：Sn = n/2 * (a₁ + an) = n/2 * (a₁ + a₁ + (n-1)d) = n/2 * (2a₁ + (n-1)d)2. 求和公式：已知等差数列的首项为a₁，公差为d，项数为n，求前n项和Sₙ。

解答：Sn = n/2 * (a₁ + an) = n/2 * (a₁ + a₁ + (n-1)d) = n/2 * (2a₁ + (n-1)d)二、练习题1. 求解下列等差数列的前n项和：（1）首项a₁ = 3，公差d = 2，项数n = 5解答：代入求和公式得：S₅ = 5/2 * (3 + 3 + (5-1)*2) = 5/2 * (6 + 8) = 5/2 * 14 = 35（2）首项a₁ = -2，公差d = 3，项数n = 8解答：代入求和公式得：S₈ = 8/2 * (-2 + (-2) + (8-1)*3) = 8/2 * (-4 + 21) = 8/2 * 17 = 68（3）首项a₁ = 1，公差d = 0，项数n = 10解答：代入求和公式得：S₁₀ = 10/2 * (1 + 1 + (10-1)*0) = 10/2 * (2 + 0) = 10/2 * 2 = 102. 求解下列等差数列的前n项和：（1）首项a₁ = 2，公差d = 4，项数n = 6解答：代入求和公式得：S₆ = 6/2 * (2 + 2 + (6-1)*4) = 6/2 * (4 + 20) = 6/2 * 24 = 72（2）首项a₁ = 0，公差d = -3，项数n = 7解答：代入求和公式得：S₇ = 7/2 * (0 + 0 + (7-1)*(-3)) = 7/2 * (0 - 18) = 7/2 * (-18) = -63（3）首项a₁ = 1，公差d = 1，项数n = 100解答：代入求和公式得：S₁₀₀ = 100/2 * (1 + 1 + (100-1)*1) = 100/2 * (2 + 99) = 100/2 * 101 = 5050三、进阶练习题1. 求解下列等差数列的前n项和：（1）首项a₁ = 3，公差d = 2，项数n为首项的二倍解答：由题可知n = a₁ * 2 = 3 * 2 = 6，代入求和公式得：S₆ = 6/2 * (3 + 3 + (6-1)*2) = 6/2 * (6 + 10) = 6/2 * 16 = 48（2）首项a₁ = -2，公差d = 3，项数n为首项的三倍解答：由题可知n = a₁ * 3 = -2 * 3 = -6，代入求和公式得：S₋₆ = -6/2 * (-2 + (-2) + (-6-1)*3) = -6/2 * (-4 + (-21)) = -6/2 * (-25) = 752. 求解下列等差数列的前n项和：（1）首项a₁ = 2，项数n为公差的四倍，公差d = 3解答：由题可知n = d * 4 = 3 * 4 = 12，代入求和公式得：S₁₂ = 12/2 * (2 + 2 + (12-1)*3) = 12/2 * (4 + 33) = 12/2 * 37 = 222（2）首项a₁ = 0，项数n为公差的五倍，公差d = -2解答：由题可知n = d * 5 = -2 * 5 = -10，代入求和公式得：S₋₁₀ = -10/2 * (0 + 0 + (-10-1)*(-2)) = -10/2 * (0 - 18) = -10/2 * (-18) = 90综上所述，通过练习题的求解，我们熟悉了等差数列的求和公式，并能够灵活运用求和公式解决不同条件下的等差数列求和问题。

等差数列与等比数列的求和题

等差数列与等比数列的求和题数列是数学中的重要概念，是由一系列数按照特定规律排列而成的。

在数列中，等差数列和等比数列是最常见的两种形式。

等差数列是指数列中相邻两项之差相等的数列，而等比数列是指数列中相邻两项之比相等的数列。

求和题则是要求计算数列的前n项和。

一、等差数列的求和公式对于等差数列a1, a2, a3, ... , an，其公差为d，则数列的前n项和Sn可以通过以下公式来计算：Sn = (n/2)(a1 + an)或者Sn = (n/2)[2a1 + (n-1)d]其中，a1代表数列的首项，an代表数列的第n项，n代表数列的项数。

二、等比数列的求和公式对于等比数列a1, a2, a3, ... , an，其公比为r(不等于1)，则数列的前n项和Sn可以通过以下公式来计算：当r=1时，Sn = na1当r不等于1时，Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)三、等差数列求和题示例下面通过一个简单的例子来演示等差数列的求和过程。

例题：计算等差数列1，3，5，7，9的前10项和Sn。

解析：首先，我们可以观察出这个等差数列的首项a1=1，公差d=2。

然后，根据等差数列的求和公式Sn = (n/2)(a1 + an)，带入相应的值进行计算。

Sn = (10/2)(1 + 19) = 5 * 20 = 100所以，等差数列1，3，5，7，9的前10项和为100。

四、等比数列求和题示例下面通过一个简单的例子来演示等比数列的求和过程。

例题：计算等比数列2，4，8，16，32的前5项和Sn。

解析：首先，我们可以观察出这个等比数列的首项a1=2，公比r=2。

然后，根据等比数列的求和公式Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，带入相应的值进行计算。

Sn = 2 * (1 - 2^5) / (1 - 2) = 2 * (1 - 32) / (-1) = (2/(-1)) * (-31) = -2 * 31 = -62所以，等比数列2，4，8，16，32的前5项和为-62。

10.数列、等差数列及求和(含答案)

10.数列、等差数列及求和一、选择题1.数列2、5、22…，则25是该数列的( )A ．第6项B ．第7项C ．第10项D ．第11项 2.n 个连续自然数按规律排成下表：0 3 → 4 7 → 8 11 … ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ 1 → 2 5 → 6 9 → 10根据规律，从2009到2011的箭头方向依次为( ) A ．↓→ B ．→↑ C ．↑→ D ．→↓3.在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝5，a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ↔N *)，则a 1000＝( )A ．5B ．－5C ．1D ．－14.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝na(n ＋1)b ，其中a 、b 均为正常数，那么a n 与a n ＋1的大小关系是( )A ．a n ＞a n ＋1B ．a n ＜a n ＋1C ．a n ＝a n ＋1D ．与n 的取值有关 5.数列-1，6，-11，16，…的一个通项公式为（）A.a n = 5n-4B.a n =-5n+4C.a n = (-1)n ×5n-4D.a n =(-1)n (5n-4) 6.一个等差数列的第五项a 5=10，且a 1+a 2+a 3=3，则有（） A.a 1=-2,d=3 B.a 1= 2,d=-3 C.a 1= -3,d=2 D.a 1=3, d=-2 7.已知等差数列{a n }中，a 1=-5,d=7,a n ≤695,则这个等差数列至多有( ) A.98项 B.99项 C.100项 D.101项 8.在等差数列40，37，34，……中第一个负数项是（） A.第13项 B.第14项 C.第15项 D.第16项9.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ． 63 10.在等差数列{a n }中，a m =n,a n =m(m,n ↔N +),则a m+n =( ) A.mn B.m-n C.m+n D.0 二、填空题1.数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ↔N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝________.2.已知函数f (n )＝22()()n n nn ⎧⎪⎨-⎪⎩当为奇数时，当为偶数时，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝ .3.等差数列{a n }中，a 15=33,a 45=153,则217是这个数列的第__________项。

等差数列的求和公式及应用练习题

等差数列的求和公式及应用练习题等差数列是数学中重要的概念，它在数学和其他科学领域的应用非常广泛。

本文将详细介绍等差数列的求和公式以及一些相关的应用练习题。

一、等差数列的定义和性质等差数列是指数列中任意两个相邻元素之间的差值都相等的数列。

设等差数列的首项为a，公差为d，则该数列可以写成如下形式：a，a+d，a+2d，a+3d，...等差数列的求和公式是指数列前n项和的表达式。

下面推导等差数列求和公式的过程：设等差数列的首项为a，公差为d，数列的前n项和为S。

首项a、末项a+(n-1)d之和为：a+a+(n-1)d = 2a+(n-1)d令项数乘以和数（第一次 + 第二次 = 第一次到第二次）：n * S = a + a + (a + 2d) + ... + [a + (n-3)d + a + (n-2)d] + [a + (n-2)d + a + (n-1)d]共有n项，则等式右边的式子可以重排为：n * S = n * a + [1 + 2 + 3 + ... + n-3 + n-2 + n-2 + n-1] * d即：n * S = n * a + n(n-1)/2 * d两边同时除以n，得到：S = a + (n-1)/2 * d这就是等差数列前n项和的求和公式。

二、等差数列求和公式的应用练习题1. 求等差数列1，3，5，7，9的前10项和。

根据等差数列求和公式，首项a = 1，公差d = 3-1 = 2，项数n = 10。

代入公式，可得：S = 1 + (10-1)/2 * 2 = 1 + 9 * 2 = 1 + 18 = 19。

所以，等差数列1，3，5，7，9的前10项和为19。

2. 某等差数列的首项为-5，公差为3，若数列的前n项和为123，请求n的值。

根据等差数列求和公式，首项a = -5，公差d = 3，项数n为待求。

代入公式，可得：123 = -5 + (n-1)/2 * 3化简得：123 = -5 + 1.5n -1.5移项得：129 = 1.5n解方程可得：n = 86所以，该等差数列的前n项和为123时，n的值为86。

(完整版)等差数列求和.doc

一、等差数列的前n 项和公式n a1 a nS n2na1 n n 1d 2d n2 a1 d n(类似于 S n An2 Bn )2 2二、（ 1）对于项数为 2k k N的等差数列，有S2 k k akak 1S奇 =ka kS偶ka k 1S偶 -S奇kdS奇a kS偶a k 1（ 2) 对于项数为 2k 1 k N 的等差数列，有S2 k 1 2k 1 a kS奇ka kS偶k 1 a kS奇 -S偶a k a中S奇kS偶k 1例：已知等差数列a n的前 n 项和为 377，项数 n 为奇数，且奇数项和与偶数项和之比为 7:6 ，求中项。

解：设 n 2k 1 k N ，则中项为 a k，S n S2k1 2k 1 a k 377S奇k 7S偶k 1 6 解得 k 7, a7 S13 377 ，132913即中项为 29三、等差数列的前n 项和的最值公差 d 0 a n 为递增等差数列， S n有最小值。

公差 d 0 a n 为递减等差数列， S n有最大值。

公差 d 0 a n 为常数列。

特别地，当 a1 0, d 0时， S n有最大值（所有非负项之和）当 a1 0, d 0 时，S n有最小值（所有非正项之和）。

例：在等差数列a n中，已知a120 ，前n项和为 S n，且 S10S15，求当n取何值时， S n取最大值，并求此最大值。

解法一：根据题意可得10 20 10 9 d 15 20 15 14 d2 2得 d 3 5可求 a n 5 n 653 3所以 a13 0 ，即当 n 12时，a n 0 ；当n 14时，a n0。

所以当 n12或13 时，S n有最大值，且最大值为 S12S13130解法二：根据题意，S n An2Bn A 0 ，如图所示由 S10 S15 ，得当 n 12或13时，S n取最大值，a1 A B 20, B 25 ，2 A 2 得 S n 5 n2125 n ，6 6可求得 S12 130解法三、由S10S15知 a11 a12 a13 a14 a15 0 ，即 5a13 0 ，得 a13 0 ， d 5，故当 n 12或13 时，S n取最大值，3最大值为 S12 S13 13 a1 a131302求等差数列前n 项和S n的最值常用方法：利用等差数列单调性或性质求出正负转折项；或根据二次函数图像的性质求最值。

高斯求和练习题

高斯求和练习题：
等差数列求和公式:
和= （首项+末项）×项数÷2;
末项= 首项+ (项数–1）×公差;
项数= (末项–首项）÷公差+ 1。

计算：
1、1＋2＋3＋4＋…＋48＋49＋50
2、3＋5＋7＋9＋…＋31
应用题练习:
1、有一个数列4,10，16，22,…,58，这个数列一共有多少项?
2、数列1、4、7、10、……，求它的前21项的和是多少?
3、等差数列7，11，15，………87,这个数列的和是多少？
4、一个剧场设置了16排座位，后每一排都比前一排多2个座位，最后一排有68个座位，这个剧场共有多少个座位?
5、一辆公共汽车空车出发，第一站上1位乘客，第二站上2位,第三站上3位,以此类推，到第11站后，公共汽车上的座位正好坐满。

问这辆汽车有多少个座位？。