深圳大学量子力学复习
深圳大学量子力学复习
量子力学总结
顾 樵 (Qiao Gu)
International Institute of Biophysics, Germany
联系：gu-qiao@gmx.de
量子力学：概率
经典的因果关系在物质的深处 终结了，代替它的是一幅概率 世界的画面。
基本内容
1.德布罗意物质波 2.薛定谔方程 3.玻恩：波函数的几率解释 4.海森堡测不准关系 5.狄拉克符号 6.泡利矩阵
牛顿力学：质点的轨道
r(t) mr(t)
F m d 2r dt 2
r(0) mr(0)
牛顿力学与量子力学的 逻辑对应
d2r(t) F m dt2
t
(r,t)
i
Hˆ
(r,t)
r (t )
(r,t)
波函数的物理意义
(r) 2 : 粒子在单位体积出现的几率
波函数的模方表示微观粒子在空间出现的几 率密度(即单位体积的几率)。这就是波函数 的 “统计解释”。
归一化条件
V
(r) 2 d r 1 V 系统占据的整个空间
一维无限深势阱
2
x 2
k 2
0
(0) (a) 0
通解： (x) Asin kx B coskx 边界条件要求：B 0, sin ka 0
E
k 22 2m
ka n
本征值：En
2 2n2
2ma 2
(n 1, 2, 3, )
写出波函数的归一化条件，它的物理意义 是什么？
• 设微观粒子的归一化波函数为(x) ，则 (x) 2表示什么？
概率密度
• 微观体系的薛定谔方程的一般形式为
i (t) Hˆ (t) t
量子力学复习习题.doc
一、选择题（每小题3分，共15分〉1.黑体辐射中的紫外灾难表明：CA.黑体在紫外线部分辐射无限大的能量；B.黑体在紫外线部分不辐射能量；C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式；D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。
2.关于波函数屮的含义，正确的是：BA.屮代表微观粒子的几率密度；B.屮归一化后，屮⑴代表微观粒子出现的几率密度；C.屮一定是实数；D.屮一定不连续。
3.对于一维的薛定谭方程，如果屮是该方程的一个解，贝山AA.0 —定也是该方程的一个解；B.『一定不是该方程的解；C.屮与『一定等价；D.无任何结论。
4.与空间平移对称性相对应的是：BA.能量守恒；B.动量守恒；C.角动量守恒；D.宇称守恒。
人人A5.如果算符A、B对易，且A0 =A0,贝归BAA.屮一定不是B的本征态；B.鸭一定是&的本征态；伞AC.屮一定是B的本征态；人D.|屮丨一定是B的本征态。
1、量子力学只适应于C A.宏观物体 C.宏观物体和微观物体 B.微观物体 D.高速物体2、算符F 的表象是指CA.算符F 是厄密算符B.算符F 的本征态构成正交归一的完备集C.算符F 是幺正算符D.算符F 的本征值是实数3、中心力场中体系守恒量有BA.只有能量B.能量和角动量C.只有角动量D.动量和角动量4、Pauli 算符的x 分量的平方的本征值为（B ）A 0B 1C iD 2i5、证明电子具有自旋的实验是AA.史特恩一盖拉赫实验B.电子的双缝实验C.黑体辐射实验D.光电效应实验1、量子力学只适应于CA.宏观物体B.微观物体C.宏观物体和微观物体D.高速物体2、在与时间有关的微扰理论问题中，体系的哈密顿算符由两部分组成，即和n应满足的条件是（B ）B 乩与时间无关,恥与时间 D 乩与时间有关，孙'与时间无B 3/4 D 1/2电子的双缝实验 光电效应实验商⑴=身0 +勁 打 \,其中A 朮与时间无关，怜'与时间无关有关C 乩与时间有关，力与时间有关 关3、自旋量子数S 的值为（D ）A 1/4 C /25、证明电子具有自旋的实验是A A ・史特恩一盖拉赫实验 B. C.黑体辐射实验D.二、简答(每小题5分，共15分〉1.什么叫光电效应？光的照射下，金属中的电子吸收光能而逸岀金属表面的现象。
大学物理量子物理复习资料
121量子物理基础基本内容一．量子假说和光的量子性1． 普朗克量子假说频率为ν的带电谐振子只能处于能量为一最小能量ε的整数倍的状态，ε=h ν，h 称为普朗克常数。
在辐射或吸收能量时振子从这些状态之一跃迁到其它状态。
2． 光电效应、光子假说(1)光电效应：光照射到金属表面，立刻有电子称为光子逸出金属的现象。
(2)爱因斯坦光子假说光是粒子流，这种粒子称为光子，光子运动速度为c ，对频率为ν的单色光的光子能量h εν=，光的能流密度S 决定于单位时间通过单位面积的光子数N ，即S Nh ν=。
(3)光电子的产生和爱因斯坦光电效应方程光照射到金属表面，一个光子被金属中的电子吸收，电子获得光子全部能量，一部分用以克服金属逸出功而离开金属表面形成光电子，因此爱因斯坦光电效应方程： 212h mv W ν=+ 式中212mv 是光电子的最大初动能，W 是金属逸出功，W eU =，U 是该金属的逸出电位。
单位时间产生的光电子数应随能流密度S 的增加而增加，光电子最大初动122 能与入射单色光的频率成线性关系，即212mv h W ν=-，当入射频率00e U hνν<=（红限频率）时不发生光电效应。
(4)光电效应实验——鉴定爱因斯坦理论的正确性测定饱和光电流强度I α随入射光强度的变化。
结论：入射光频率不变时I α与入射光强成正比。
测定遏止电势差U α与入射单色光强度、频率的关系。
结论：U α与入射光强度无关，与入射光频率呈线性关系。
爱因斯坦光电效应方程是正确的。
3． 康普顿效应(1)伦琴射线经物质散射,散射伦琴射线中既有与入射伦琴射线波长0λ相同的成分也有比入射伦琴射线波长0λ大的成分，这种现象称为康普顿效应。
其中散射波长λ比入射波长0λ大的散射称康普顿散射。
(2)康普顿散射的规律波长增长量（∆λ=λ-0λ）随散射角的增大而增大，与散射物质种类无关；康普顿散射的强度随散射物质原子量的增加而减少。
(3)康普顿散射产生的原因康普顿散射是X 射线光子与物质中的原子、“自由”电子碰撞而改变动量合能量的结果。
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8.波长增量A X=X z -X随散射角增大而增大.这一现象称为康普第一章知识点:1. 黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体.2. 处于某一温度T 下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等 时，辐射达到热平衡状态。
3. 实验发现： 热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度T 有关而与黑体的形状和材料无关。
4. 光电效应…光照射到金属上,有电子从金属上逸出的现5. 光电效应特点：1.临界频率vO 只有当光的频率大于某一定值vO 时，才有光电子发射 出来.若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有电子产生.光的 这一•频率V0称为临界频率。
2.光电子的能量只是与照射光的频率有关,与光强无关, 光强只决定电子数目的多少（爱因斯坦对光电效应的解释）3.当入射光的频率大于v 0时，不管光有多么的微弱，只要光一照上，立即观察到光电子（10-9s ）6. 光的波粒二象性：普朗克假定a.原子的性能和谐振子一样，以给定的频率v 振荡；b.黑体只能以E = hv 为能量单位不连续的发射和 吸收能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的 发射和吸收能量.7. 总结光子能量、动量关系式如下：［E=hv=ha ） 把光子的波动性和粒子性联系了起来\Eh v h _p=—h ———n=—n=—n = tikICC2XIngA2 = 220 sin 2 — 其中 20 = ------- = 2.4 x I 。
-" cm称为电子的 Compton 波长。
m 0C散射波的波长入'总是比入射波波长长（V >入）且随散射角0增大而增大。
9. 波尔假定：1.原子具有能量不连续的定态的概念.2.量子跃迁的概念. 10. 德布罗意：假定：与一定能量E 和动量p 的实物粒子相联系的波（他称之为“物质波”）的频率和波长分别为：E = hvn v = E/hP = h/X=>X = h/p该关系称为de. Broglie 关系.德布罗意波：T = A exp —(p»r — Et)\ I de Broglie 关系：v = E/h n(0 = 2K v = 2丸E/h = E/力2 = h/p =>k = 1/ X = 2冗 / 4 =p 〃第二章知识点：.1.描写自由粒子的平面波波函数: T = Aexp -(p»r-Et) h2. 在电子衍射实验中，照相底片上r 点附近衍射花样的强度~正比于该点附近感光点的数 目，~正比于该点附近出现的电子数目，~正比于电子出现在r 点附近的几率.3. |W (r)|2的意义是代表电子出现在r 点附近单位体积内的几率。
量子力学复习题答案与题解
量子力学复习题导致量子论产生的物理现象主要有哪些？p2量子的概念是如何引进的？p5为什么说爱因斯坦是量子论的主要创始人之一？p6写出德布罗意公式并说明其中各量的含义和该公式的意义。
P12什么是波函数的几率解释？p18态的迭加原理。
P22动量算符的定义。
P27写出单粒子薛定谔方程。
P27写出多粒子薛定谔方程。
P28写出单粒子哈密顿算符及其本征值方程。
P33什么条件下可以得到定态薛定谔方程？p32什么是束缚态？p37什么情况下量子系统具有分立能级？p37什么是基态？p37写出线性谐振子的定态薛定谔方程。
P39写出线性谐振子的能级表达式。
P40写出波函数应满足的三个基本条件。
P51写出算符的本征值方程并说明其中各量的含义。
P54量子力学中的力学量算符如何由经典力学中相应的力学量得出？p55写出厄米算符的定义，并解释为什么量子力学中的力学量要用厄米算符来表示。
P56写出轨道角动量算符的各分量表达式。
P60什么是角量子数、磁量子数？写出相应的本征值表达式及其数值关系。
P63解：),()1(),(ˆ22ϕθϕθlm lm Y l l Y L += ),(),(ˆϕθϕθlmlm z Y m Y L = 其中l 表征角动量的大小，称为角量子数，m 称为磁量子数。
对应于一个l 的值，m 可以取（2l +1）个值，从-l 到+l 。
写出波尔半径的值和氢原子的电离能，可见光能否导致氢原子电离？00.52A a =( 3分) 113.6e V E =( 3分)可见光的能量不超过3.26eV , 这个值小于氢原子的电离能，所以不能引起氢原子电离。
( 4分)写出类氢原子体系的定态薛定谔方程。
P65 写出氢原子能级的表达式及其简并度。
P68 s, p, d, f 态粒子是什么含义？p63关于力学量与算符的关系的基本假定。
P83 写出力学量平均值的积分表达式。
P84 两个算符可对易的充要条件是什么？p89 写出X 方向坐标与动量的不确定关系。
《量子力学》期末复习用 典型例题与解答
λ= h p
He 原子受热，由能均分定理，其平均动能为
由此，
E
=
3 2
kBT
=
p2 2m
=
h2 2mλ 2
T
=
h2 3kBmλ 2
≈ 39K
所以，用 He 原子作衍射源的代价高。
（1.19） （1.20） （1.21）
第二章 典型例题分析 2003.12.8
2.1
粒子在一维势V
(
x)
=
⎧0 ⎨⎩V0
ψ '(a+ ) −ψ '(a− ) = C ψ (a) a
而ψ (x) 应是连续的。除了 x=0，a 两个奇点外，Schrodinger 方程为
（2.29） （2.30） （2.31）
ψ ''+ k 2ψ = 0
（2.32）
特解为ψ = e±ikx 。如取入射波为 eikx ，则总波函数可表为
⎧eikx + Re−ikx
解：
设， k = 2mE / = ， C = 2maV0 / =2 ，Shrodinger 方程可写成 ψ ''+ k 2ψ − C [δ (x) + δ (x − a)]ψ = 0 a
在 x=0 附近几分，可得ψ ' 跃变条件
x=a 处，
ψ '(0+ ) −ψ '(0− ) = C ψ (0) a
（2.2） （2.3）
在 x=0 处，
c1
cos
k0a
−
c2
sin
k0a
=
−
k k0
c−e−ka
c1
=
k k0
大学量子力学期末复习
薛定谔方程： 薛定谔方程：
六、微扰 定态微扰： 定态微扰： (1)、在未加入微扰时，能级非简并，加入微扰 (1)、在未加入微扰时，能级非简并， 后能级发生移动，上升或下降； 后能级发生移动，上升或下降； (2)、在未加入微扰时，能级简并， (2)、在未加入微扰时，能级简并，加入微扰后 能级发生分裂（部分或全部分裂）。 能级发生分裂（部分或全部分裂）。 能级简并部分或全部消除
பைடு நூலகம்En
二维 三维
ˆ ˆ H x + H y ~ ψ nx ( x)ψ ny ( y )
E = E nx + E ny
E = E nx + E ny + E nz
ˆ ˆ ˆ H x + H y + H z ~ ψ nx ( x)ψ ny ( y )ψ nz ( z )
四、氢原子 <0时 1、氢原子体系中当E<0时
ˆ ˆ 在 S 2 , S z 表象中
h 0 1 ˆ sx = 2 1 0
h 0 −i ˆy = s 2i 0
h 1 0 ˆ sz = 2 0 −1
3h 2 1 0 ˆ s = 0 1 4
2
3、全同粒子的特点：（1）固有性质完全相同； 全同粒子的特点： 固有性质完全相同； 不可区分性。 （2）不可区分性。 4、全同性原理： 全同性原理： 全同粒子所组成的体系中， 全同粒子所组成的体系中，二全同粒 子互相代换不引起体系物理状态的改变。 子互相代换不引起体系物理状态的改变。 全同粒子体系的波函数只能是对称的或反对称。 5、全同粒子体系的波函数只能是对称的或反对称。 对称： 对称：玻色子 ， 遵循玻色统计规律 反对称： 反对称： 费米子， 费米子，遵循费米统计规律
《量子力学》复习资料提纲
)(Et r p i p Ae-⋅=ρϖηϖψ《量子力学》复习 提纲一、基本假设 1、（1）微观粒子状态的描述 （2）波函数具有什么样的特性 （3）波函数的统计解释2、态叠加原理（说明了经典和量子的区别）3、波函数随时间变化所满足的方程 薛定谔方程4、量子力学中力学量与算符之间的关系5、自旋的基本假设 二、三个实验1、康普顿散射（证明了光子具有粒子性） 第一章2、戴维逊-革末实验（证明了电子具有波动性） 第三章3、史特恩-盖拉赫实验（证明了电子自旋） 第七章 三、证明1、粒子处于定态时几率、几率流密度为什么不随时间变化；2、厄密算符的本征值为实数；3、力学量算符的本征函数在非简并情况下正交；4、力学量算符的本征函数组成完全系；5、量子力学测不准关系的证明；6、常见力学量算符之间对易的证明；7、泡利算符的形成。
四、表象算符在其自身的表象中的矩阵是对角矩阵。
五、计算1、力学量、平均值、几率；2、会解简单的薛定谔方程。
第一章 绪论1、德布洛意假设： 德布洛意关系：戴维孙-革末电子衍射实验的结果： 2、德布洛意平面波：3、光的波动性和粒子性的实验证据：4、光电效应：5、康普顿散射： 附：（1）康普顿散射证明了光具有粒子性（2）戴维逊-革末实验证明了电子具有波动性∑=nnn c ψψ1d 2=⎰τψ（全）()ψψψψμ∇-∇2=**ηϖi j ⎩⎨⎧≥≤∞<<=ax x a x x V 或0,0,0)(0=⋅∇+∂∂j tϖρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=),(222t r V H ϖημ)(,)(),(r er t r n tE i n n n ϖϖϖηψψψ-=n n n E H ψψ=（3）史特恩-盖拉赫实验证明了电子自旋第二章 波函数和薛定谔方程1．量子力学中用波函数描写微观体系的状态。
2．波函数统计解释：若粒子的状态用()t r ,ρψ描写，τψτψψd d 2*=表示在t 时刻，空间r ρ处体积元τd 内找到粒子的几率（设ψ是归一化的）。
量子力学期末复习
相关的结论须记住！ 解题要注意 步骤！
1、在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，如 果粒子的状态由函数 ψ ( x) = Ax(a − x) 描写，A为归一化常数， 求粒子能量取值的几率分布和能量的平均值。 解：粒子能量的本征函数和本征值为
2 nπ sin x, ψ n( ) a x a 0,
(0 ≤ x ≤ a )
ψ 1( 0 ) = 0
能量一级修正为
( x < 0, x > a )
E
(1) 1
= ∫ψ
(0) 1
* H ′ψ
(0) 1
dx
2 a /2 x 2π 2 a x 2 π = ∫ 2λ sin xdx + ∫ 2λ (1 + ) sin xdx a 0 a a a a /2 a a
1 E = ℏω 2
α 2 x2
H n (αx)]dx = − p = 0
• • 由不确定关系得
(∆x)2 = x2 ; (∆p)2 = p2;
(∆p)2 1 2 E= + µω (∆x)2; 2µ 2
2
ℏ2 （∆p) = ; 2 4(∆x)
• • • 将此式对 (∆x)2 求最小值，得 求最小值，
ℏ2 1 E= + µω 2 (∆x) 2 ; 8 µ ( ∆x ) 2 2
1 R 21 ( r )Y11 (θ , ϕ ) ψ = 2 3 R 21 ( r )Y10 (θ , ϕ ) − 2
解： 将波函数改写为： 1 0 1 3 ψ = R21 (r )Y11 (θ , ϕ ) − R21 (r )Y10 (θ , ϕ ) 2 0 2 1
1 3 = R21 (r )Y11 (θ , ϕ ) χ 1 ( S z ) − R21 (r )Y10 (θ , ϕ ) χ 1 ( S z ) − 2 2 2 2
量子力学复习提纲
量子力学复习提纲1. 粒子的双缝实验的结论是什么？ 答：粒子具有波动性2. 在量子力学中，波函数的波动方程是什么？它是定态薛定谔方程吗？答：量子力学中波函数的波动方程是),()](2[),(22t r r V mt r t i →→→+∇-=∂∂ψψ ，它不是定态薛定谔方程，定态薛定谔方程是假设势能V 不显含时间t ，其形式是：)()](2[)(22→→→+∇-=r r V mr E ψψ3. 波函数除了归一化要求之外的三个标准条件是什么？答：单值、连续、有限。
4. 写出一维无限深方势阱的能量本征函数及能量本征值。
答：5. 写出一维线性谐振子的能量本征函数及能量本征值。
222220,0(),ˆ,()()2()sin(),1,2,3,,1,2,3ˆ(2,2ˆ)n n n n nx x a U x x others H x E x n xx n a an E n P U x a H ψψπψπμμ<<⎧=⎨∞∈⎩=⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭==+=6. 动量算符的本征函数和本征值是什么？其本征函数如何归一？ 答：动量算符的本征函数是：)ex p()2(1)(23r p ir p ⋅=πψ，其本征值为p 。
其只能归以为函数δ函数，即)()()('*'p p d r r pp -=⎰∞δτϕϕ。
7. 在三维直角坐标系中，角动量算符的表示式是什么？动量（矢量）算符的本征函数和本征值是什么？答：ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆxz y yx z zy x L yp zp i y z z y Lzp xp i z x xz L xp yp i x y yx ⎛⎫∂∂=-=-- ⎪∂∂⎝⎭∂∂⎛⎫=-=-- ⎪∂∂⎝⎭⎛⎫∂∂=-=-- ⎪∂∂⎝⎭ 动量算符的本征函数和本征值如上。
8. 在球坐标系中，角动量平方算符的表示式又是什么？它的本征函数和本征值是什么？其中什么是轨道角动量量子数（角量子数）？取值范围是哪些数值？答：()22222222222222222222ˆˆˆˆ,11sinsin sinˆ11ˆsinsin sinx y zL L L Lctg ctgDDθϕθθθϕϕθθθθθθϕθθθθθϕ=++⎛⎫∂∂∂∂=-+++⎪∂∂∂∂⎝⎭⎡⎤∂∂∂⎛⎫=-+⎪⎢⎥∂∂∂⎝⎭⎣⎦=⎡⎤∂∂∂⎛⎫=-+⎪⎢⎥∂∂∂⎝⎭⎣⎦22ˆ(,)(1)(,)ˆ(,)(,)lm lmz lm lmL Y l l YL Y m Yθϕθϕθϕθϕ=+=l表征轨道角动量的大小，称为轨道角动量角量子数，l＝０，１，２，……m则称为轨道角动量的磁量子数，对应于一个l的值，m可取(2l+1)个值，m=l,l-1,l-2,…,1,0,-1,-2,…,-l9.在球坐标系中，角动量在极轴上的投影算符如何表达？其本征函数和本征值是什么？其中什么是轨道角动量磁量子数（磁量子数）？取值范围是哪些数值？答：答案如上10.量子力学中关于波函数与力学量的两个假设，告诉你什么结论，试用你自己的语言归纳出5条结论。
量子力学主要知识点复习资料
大学量子力学主要知识点复习资料，填空及问答局部 1能量量子化辐射黑体中分子和原子的振动可视为线性谐振子，这些线性谐振子可以发射和吸收辐射能。
这些谐振子只能处于某些分立的状态，在这些状态下，谐振子的能量不能取任意值，只能是某一最小能量e 的整数倍εεεεεn ,,4,3,2,⋅⋅⋅对频率为n 的谐振子, 最小能量e 为: νh =ε波粒二象性〔wave-particle duality 〕是指某物质同时具备波的特质及粒子的特质。
波粒二象性是量子力学中的一个重要概念。
在经典力学中，研究对象总是被明确区分为两类：波和粒子。
前者的典型例子是光，后者那么组成了我们常说的“物质〞。
1905年，爱因斯坦提出了光电效应的光量子解释，人们开场意识到光波同时具有波和粒子的双重性质。
1924年，德布罗意提出“物质波〞假说，认为和光一样，一切物质都具有波粒二象性。
根据这一假说，电子也会具有干预和衍射等波动现象，这被后来的电子衍射试验所证实。
德布罗意公式h νmc E ==2 λhm p ==v在量子力学中，引入一个物理量：波函数 ，来描述粒子所具有的波粒二象性。
波函数满足薛定格波动方程粒子的波动性可以用波函数来表示，其中，振幅表示波动在空间一点(x ,y,z )上的强弱。
所以，应该表示 粒子出现在点(x,y,z )附件的概率大小的一个量。
从这个意义出发，可将粒子的波函数称为概率波。
自由粒子的波函数)](exp[Et r p i A k -⋅=ψ=ψ波函数的性质：可积性，归一化，单值性，连续性4. 波函数的归一化及其物理意义常数因子不确定性设C 是一个常数，那么 和 对粒子在点(x,y,z )附件出现概率的描述是一样的。
相位不定性如果常数 ，那么 和对粒子在点(x,y,z )附件出现概率的描述是一样的。
表示粒子出现在点(x,y,z )附近的概率。
表示点(x,y,z )处的体积元中找到粒子的概率。
这就是波函数的统计诠释。
量子力学课后习题复习资料
量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThcλλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
量子力学期末复习
e 1 2 [ n n | n 1 n 1 n | n 1 ]
0
x 1 2 [aˆ aˆ ]
aˆ | n n | n 1
aˆ | n n 1 | n 1
6、表象变换
1
7、近似方法的应用（微扰、变分）
8、电子体系考虑自旋时的态函数、泡利算符
9、含时微扰（跃迁概率）
三、几个重要模型
1、一维无限深势阱（宽为 a、2a；对称、非对称）
2、线性谐振子
3、氢原子
相关的结论须记住！
4、双电子体系（不考虑自旋间的相互作用）
四、常见题型
1、薛定谔方程
2、算符理论
3、表象理论
(0)
(0)
En En 1
En En 1
e 2 2
2 2
由于势场不再具有空间反射对称性，所以波函数没
有确定的宇称。这一点可以从下式扰动后的波函数ψn
时再加上沿x方向的较弱的磁场 = ( , , )，从而
= + = ( , , )，求 > 时粒子的自旋态，以
及测得自旋“向上”（ =1）的几率。
解： （1）在 表象中，H的矩阵表示为：
ˆ
ˆ
ˆ
H m B
mˆ mB (ˆ x ex ˆ y ey ˆ z ez )
2
21
能量二级修正：
E n( 2 )
mn
2
1
2
|
e
[
n
n
1
]
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典型的例子3
氢原子的波函数：
是算符
共同的本征函数
主量子数 角量子数 磁量子数
氢原子的三个力学量
能被同时测定
两个算符不对易
现在考察两个算符不对易的情况。 由上述讨论得知，如 果算符A和B是不对易的，则它们在同一个态 中不能 同时测定。那么它们在这个态中有怎样的不确定行为？ 测不准关系就是要对这种不确定性进行“formulation”.
各表示什么？
，入射粒子的原波长 ，受撞粒子的静止质 量 ，散射角
• 统计解释对波函数的要求（即波函数的标 准条件）是什么？
单值、有限、连续、
• 设微观粒子的波函数为
写出波函数的归一化条件，它的物理意义 是什么？
• 设微观粒子的归一化波函数为 表示什么？
概率密度
，则
• 微观体系的薛定谔方程的一般形式为
• 狄拉克符号 ﹍投影﹍
表示态矢量 向 的
• 在抽象态空间，分立态的正交完备集 的正交归一化表达式是什么？完备性关系 式是什
么？
• 在一维无限深势阱中，量子效应约化为
经典效应的条件是：量子数
，还
是？
量子数
• 在势阱模型中，粒子可以穿过高势能的 势垒而逸出的效应称为什么？或什么？
势垒贯穿 隧道效应
• 写出坐标算符的本征方程，指出相应的本 征值。
• 一个本征值对应一个以上本征函数的情况 称为﹍简并﹍
• 动量的本征函数为 它在全空间的“正交归一化”表达式是什么？
• 写出一维自由粒子的波函数
• 一维自由粒子的波函数是哪两个算符的共同 的本征函数？
• 算符 ？
称为什么算符？它是厄密的吗
• 投影算符 是
的厄米共轭
• 厄密算符的本征值是﹍实﹍数，这确保了 力学量的期待值是﹍实﹍数
• 两个力学量 A 和 B 能被同时测定的条 件是什么？
• A和B对易
• 如果两个算符 A 和 B 有共同的本征函数 ，则算符 A 和 B ﹍対易﹍。
球谐函数 本征函数？
是哪两个算符的共同的
• 能量与时间的测不准关系为﹍﹍
注意：
测不准关系：
坐标和动量的测不准关系为
取等号的态
是相干态
测不准关系
动量为 的自由粒子的波函数为
如何理解自由粒子的坐标与动量的测不准关系？
测不准关系：自由粒子
一维自由粒子的波函数：
其动量具有确定值 率密度为
，而粒子在任意 x 处的几
（常数）
这 其意坐味标粒x 是子完在全空不间确各定点的出：现的几率，相这等样（不依赖于常x数），
其中 分别为径量子数，角量子数和 主量子数。试由此确定各个量子数的取值 范围。
nr=0,1,2,3，…n-1 l =0,1,2,3…n-1 n=1,2,3…无穷
• 氢原子的电子云分布用角向几率密度 表示，其中 称为什么函数？
球谐函数
• 厄密算符满足 • 第二个
，还是
• 写出动量算符 • 它本身
深圳大学量子力学复习
2020年4月28日星期二
量子力学：概率
经典的因果关系在物质的深处 终结了，代替它的是一幅概率 世界的画面。
基本内容
1.德布罗意物质波 2.薛定谔方程 3.玻恩：波函数的几率解释 4.海森堡测不准关系 5.狄拉克符号 6.泡利矩阵
基本概念
• 普朗克推出黑体辐射公式所作的基本假设 是什么？
玻尔理论：电子处于 的轨道
量子理论：电子在整个空间（ ）的几率都不为 零，但在玻尔半径 处有最大几率。
狄拉克符号的优点
所有运算过程能以非常便捷的方式进行，比如 (期待值)
插入完备性关系式
(统计平均)
泡利矩阵
泡利矩阵的定义：
应用非常广泛： 角动量理论 电子自旋 二能级原子 量子计算机 ……
求解 的本征态
波函数的物理意义
粒子在单位体积出现的几率
波函数的模方表示微观粒子在空间出现的几 率密度(即单位体积的几率)。这就是波函数 的 “统计解释”。
归一化条件
V 系统占据的整个空间
一维无限深势阱
通解： 边界条件要求：
归一化 条件：
归一化常数：
归一化本征函数：
本征值：
几率密度：基态
动能为零 考察振子在
它们有共同的本征函数集 ，则在本
征态 中，力学量A和B同时有确定的
期待值：
和
，即力学量
A和B能被同时测定。
典型的例子1
自由粒子的波函数
是
能量算符：
动量算符：
的共同的本征函数。事实上：
自由粒子的能量与动量能被同时测定
典型的例子2
球谐函数:
是角动量平方算符：
角动量 z分量算符：
共同的本征函数：
量子系统的角动量平方与角动量 z分量能被同时测定
设厄密算符A和B的对易关系为 （C是常数或算符）
力学量A和B在该态的期待值
定义“偏差”算符：
一个特殊的积分
考察积分：
式中 是实参量，积分区域是变量变化的整个空 间。因为被积函数是绝对值的平方（在变量变化 的整个空间恒不小于零），故积分是非负值。
是实数：
（这是关于 的抛物线）
测不准关系
考察： 记
• 能量是以hv一份一份的，不是连续
• 黑体辐射的光谱分布只依赖于黑体的什么 ？
• 温度
• 玻尔的原子量子理论的表达式为，
说明每个量的含义。 （E2：高能态动态能量、E1：低能态、hv：高
能态到低能态跃迁发出的光子的能量）
• 德布罗意物质波理论的表达式是什么？
• 康普顿散射的理论结果为：
其中
牛顿力学的研究思路是非常明
确的：只要知道了质点的初始
位移 和初始动量
，
通过求解微分方程，就可以得
到任意时刻的位移 ，并进
而得到任意时刻的动量 。
牛顿力学的图像是质点的 轨道，反映在哲学上，则是因 果关系。在这里初始条件与微 分方程同属“因”，二者是同等 重要的。
牛顿力学：质点的轨道
牛顿力学与量子力学的 逻辑对应
• 设一个量子体系的任意态可以按照该系统 的哈密顿算符 的本征态展开：
设
，在
的概率有多大？
态中，能量 出现
|Cn|^2
• 写出坐标算符和动量算符的对易关系，即
ih
• 设厄密算符A和B的对易关系为
问 C/2
• 对于氢原子的主量子数n，能级的简并度是 多少？
• N平方
重要问题
牛顿力学的因果关系
最大位置
处的势振幅位置。按经典理论振子不可能
进入
区域。
但是按照量子理论，振子的波函数为
在 区域的几率为：
特别是，最大几率出现在 全相反。
，与经典情况完
径向几率密度：基态（n = 1，l = 0, m = 0）
电子几率密度（在空间任意处的单位体积内的几率）： 电子在(r r+dr) 球壳内的几率：
送给你：Every one
WWW
• 微观粒子的海森堡测不准关系可以表示为 ，其中 ， ， 各表示什么？
• 分别为：坐标变化范围 ，动量的变化范 围 ，表示普朗克常数
• 设厄密算符的本征方程是
在状态 中测量力学量F，所得测量值是 什么？
• 设一个量子体系的任意态可以按照该系统 的哈密顿算符 的本征态展开：
其中展开系数的物理意义是什么？ 表示粒子波函数的几率幅
矩阵 的本征方程：
归一化条件： 本征态：
不能确定
归一化条件： 本征态：
不能确定
自旋态的应用
电子自旋 二能级原子
算符对易的条件
定理：如果两个算符A和B有共同的本征函数 而且构成完备集 ，则算符A和B对易。
证明： 对于任意态：
由于 是任意的，故
（A和B对易）
算符对易的物理含义
物理含义：如果两个算符A和B对易, 则
其中的 代表什么？ 哈密顿算符
• 写出哈密顿算符 的本征方程，并说明所 有量的意义。
• 如果 是的
和 是微观体系的状态，则 是否为体系的状态？
• 一维无限深势阱模型如图所示，写出波函 数的边界条件。
0
a
x
• 写出线性谐振子的量子化能量表达式，基 态能量（即零点能）是什么？
• 氢原子能量量子化的条件为