高三数学第一轮复习-双曲线

故所求双曲线方程为 3y2 1x2 1. 43
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（2）设双曲线方程为
a x2 2b y2 2 1 或 a y2 2b x2 2 1 (a0 ,b0 ). ∵c2=a2+b2，∴13=a2+b2,
由渐近线斜率得 b2或a2, a3b3
b 故 a
2 3
a 或 b
2 3
.
a 2 b2 13 a 2 b2 13
.
解 设动圆M的半径为r，
则由已知|MC1|=r+ 2 ， |MC2|=r- 2 ， ∴|MC1|-|MC2|=2 2 . 又C1（-4，0），C2（4，0），
∴|C1C2|=8，∴2 2 ＜|C1C2|. 根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(-4，0)、
C2（4，0）为焦点的双曲线的右支.
∵a= 2 ，c=4， ∴b2=c2-a2=14， ∴点M的轨迹方程是 x 2 y 2 =1 （x≥ 2 ）.
解得a b
2 2
9或a 4 b
2 2
4 . 9
∴所求双曲线方程为
x2y21或 y2x21.
94 49
.
（3）由（2）所设方程
可得
b a
2 3
或
a b
2 3
,
2 a 6 2 a 6
解得
a
b
3或 2
a
b
3 9. 2
故所求双曲线方程为 x2y21或 y24x21.
9 4 9 81
.
题型二 双曲线的标准方程 例2：根据下列条件，求双曲线方程：
(1) 与双曲线 x2 y2 1有共同渐近线，且过
点 (3,2 3) ；9 16
x2 y2 1
9 16 4
(2) 与双曲线 x2 y2 1有公共焦点，且过
16 4 点 (3 2,2) 。
x2 y2 1
12 8
【思维点拨】利用共渐近线的双曲线系方程解题
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探究提高 待定系数法是求曲线方程最常用的方 法之一.
（1）与双曲线
x2 a2
b有y22共 1同渐近线的双曲
线方程可表示为
x2 a2
by22
t(t
0).
（2）若双曲线的渐近线方程是y=±
bx,
a
则双曲线的方程可表示为
x2 a2
by22
t(t
双曲线 基础知识 自主学习
要点梳理
1.双曲线的概念
平面内动点M与两个定点F1、F2（|F1F2|=2c＞0） 的距离之差的绝对值为常数2a（2a＜2c），则点 M的轨迹叫双曲线 .这两个定点叫双曲线的焦点 ， 两焦点间的距离叫 焦距 .
集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a}，|F1F2|=2c， 其中a、c为常数且a＞0,c＞0： （1）当 a＜c 时，P点的轨迹是双曲线 ； （2）当 a=c 时，P点的轨迹是两条射线 ； （3）当 a＞c 时，P点不存. 在.
2 14
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探究提高 求曲线的轨迹方程时,应尽量地利用几 何条件探求轨迹的曲线类型,从而再用待定系数 法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量,提高 解题速度与质量.在运用双曲线的定义时,应特别 注意定义中的条件“差的绝对值”,弄清所求轨 迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一 支，是哪一支，以确保轨迹的纯粹性和完备性.
顶点坐标：
顶点坐标：
A1（-a,0）,A2(a,0)
A1（0,-a）,A2(0,a)
ybx
e
c
a
(e
1)
，
yax b
e大开口大
a
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长
|A1A2|=2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，
它的长|B1B2|=2b；a叫做双曲线的实半
轴长，b叫做双曲线的虚半轴长.
c 2 a 2. b 2 (c a 0 ,c b 0 )
可设双曲线方程为 x2y2 (0).
94
.
（1）∵双曲线过点P（ 6 ，2），
64,1,
94
3
故所求双曲线方程为 3y2 1x2 1. 43
（2）若＞0，则a2=9 ,b2=4 .
c2=a2+b2=13 .
由题设2c=2 13,∴ =1,
所求双曲线方程为 x2 y2 1. 94
若 ＜0，则a2=-4 ,b2=-9 ,c2=a2+b2=-13 .
简捷明了。要善于选择恰当的方程模型。
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【练习】已知双曲线的渐近线方程为2x±3y=0. （1）若双曲线经过P（ 6 ,2）,求双曲线方程； （2）若双曲线的焦距是2 13 ，求双曲线方程； （3）若双曲线顶点间的距离是6，求双曲线方程. 思维启迪 用定义法或待定系数法求方程. 解 方法一 由双曲线的渐近线方程y=± 2 x， 3
3、图解双曲线的几何性质
1.|P1|F |P2F |2a
3.焦点到渐近线的距离是b
y
2.c2=a2+b2
ybx a
Ｍ
b
F1 A1
B2
bc
oa
Ｐ
F2
A2
x
B1
b
y x
.
a
基础自测 1.双曲线方程： x2 y2 1, 那么K的范围是
k 2 5k （D ）
A.K＞5
B.2＜K ＜5
C.-2＜K＜2
D.-2＜K＜2或K＞5
解析 由题意知（|K|-2）（5-K）＜0，
解得-2＜K＜2或K＞5.
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题型分类 深度剖析
题型一 双曲线的定义 【例1】已知动圆M与圆C1：(x+4)2+y2=2外切，与
圆C2：（x-4）2+y2=2内切，求动圆圆心M的轨 迹方程. 思维启迪 利用两圆内、外切的充要条件找出M 点满足的几何条件，结合双曲线定义求解.
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由2c=2 13 ,∴ =-1,
所求双曲线方程为 y2 x2 1. 49
所求双曲线方程为 x2y21或 y2x21. 94 49
（3）若＞0，则a2=9 ,由题设2a=6,∴ =1.
所求双曲线方程为 x2 y2 1,
94
若 ＜0，则a2=-4 ,由题设2a=6,∴ =-
9， 4
所求双曲线方程为 y2 4x2 1.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准 方程
x2 a2
y2 b2
1
(a 0,b 0)
y2 x2 a2 b2 1 (a 0,b 0)
图形
.
范围 对称性
顶点 性质 渐近线
离心率
实虚轴
a、b、c的关系
xa或 xa,y R x R ,y a或 ya
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
9 81
故所求双曲线方程为 x2y21或 y24x21. 9 .4 9 81
方法二 （1）由双曲线渐近线的方程y=± 2 x, 3
可设双曲线方程为 x2 y2 1 （mn＞0）. mn
∵双曲线过点P（ 6 ，2），∴m＜0,n＜0.
又渐近线斜率k=± 2 , 3
m6 nn4 m
132,解得nm343,