2013春季高考数学试题含答案(打印)

山东省20XX 年普通高校招生（春季）考试
数学试题 卷一（选择题，共60分）
一、选择题（本题25个小题，每小题3分，共75分）
1.若集合{
}{}3,2,1,4,3,2,1==N M ，则下列关系式中正确的是（ ） A. M N M =⋂ B. N N M =⋃ C. M N ⊆ D. M N ⊇
2．若p 是假命题，q 是真命题，则下列命题为真命题的是（ ） A. q ⌝ B. q p ∧⌝ C. )(q p ∨⌝ D. q p ∧
3. 过点p(1,2)且与直线013=-+y x 平行的直线方程是（ ）
A. 053=-+y x
B. 073=-+y x
C. 053=+-y x
D. 053=--y x
4.“b c a 2=+”是“a,b,c ”成等差数列的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 5. 函数542-+=x x y 的定义域是（ ）
A. []5,1-
B. []1,5--
C. ),5[]1,(+∞⋃--∞
D. ),1[]5,(+∞⋃--∞ 6. 已知点M(1，2),N(3，4),则
2
1
的坐标是（ ） A.(1,1) B.（1,2） C.（2,2） D. （2,3）
7. 若函数)3
sin(2π
ω+=x y 的最小正周期为π，则ω的值为（ ）
A. 1
B. 2
C. 2
1
D. 4
8. 已知点M(-1，6),N(3，2),则线段MN 的垂直平分线方程为（ ） A. 04=--y x B. 03=+-y x C. 05=-+y x D. 0174=-+y x 9. 五边形ABCDE 为正五边形，以A,B,C,D,E 为顶点的三角形的个数是（ ）
A. 5
B. 10
C. 15
D. 20
10. 二次函数)1)(3(--=x x y 的对称轴是（ ） A. 1-=x B. 1=x C. 2-=x D. 2=x
11. 已知点)2,9(+-m m P 在第一象限，则m 的取值范围是（ ） A. 92<<-m B. 29<<-m C. 2->m D. 9<m
12. 在同一坐标系中，二次函数a x a y +-=2)1(与指数函数x a y =的图象
可能的是
（ ）
13. 将卷号为1至4的四卷文集按任意顺序排放在书架的同一层上，则自左到右卷
号顺序恰为1,2,3,4的概率等于（ ）
A. 81
B. 121
C. 161
D. 24
1
14. 已知抛物线的准线方程为2=x ，则抛物线的标准方程为（ ） A. x y 82= B. x y 82-= C. x y 42= D. x y 42-=
15. 已知2)tan(=+απ，则α2cos 等于（ ）
A. 54
B. 53
C. 52
D. 51
16. 在下列函数图象中，表示奇函数且在),0(+∞上为增函数的是（ ）
A. B. C. D.
17. 5)12(-x 的二项展开式中3x 的系数是（ ） A. -80 B. 80 C. -10 D. 10
18. 下列四个命题：
（1）过平面外一点，有且只有一条直线与已知平面平行； （2）过平面外一点，有且只有一条直线与已知平面垂直； （3）平行于同一个平面的两个平面平行； （4）垂直于同一个平面的两个平面平行。

其中真命题的个数是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
19. 设10<<<b a ，那么5
log a 与5
log b 的大小关系（ ） A. 5
5
log log b a < B. 5
5
log log b a = C. 5
5
log log b a > D. 无法确定
20. 满足线性约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≤-+0002y x y x
y x z 22-=取得最大值时的最优解是（ A.(0,0) B.（1,1）
C.（2,0）
D. （0,2）
21. 若 ),0(≠>ab b a 则下列关系式中正确的是（ A. b a > B. 22bc ac > C. b a 1
1< D. b c a c -<-
22. 在ABC ∆中已知3=a ，4=b ，37=c ，则ABC ∆的面积是（ ） A.
2
3
B. 3
C. 23
D. 33 23. 若点)3,(log 3n m
p 关于原点的对称点为),9,1(/-p 则m 与n 的值分别为( )
A. 31 ,2
B. 3,2
C. 3
1
- ,-2 D. -3,-2
24. 某市20XX 年的专利申请量为10万件，为了落实“科教兴鲁”战略，该市计划20XX 年专利申请量达到20万件，其年平均增长率最少为（ ） A. 12.0025 B. 13.0032 C. 14.0078 D. 18.0092
25. 如图所示，点p 是等轴双曲线上除顶点外的任意一点，21,A A 是双曲线的顶点，
则直线1pA 与2pA 的斜率之积为（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D.-2
卷二（非选择题，共60
二、填空题（本题5个小题，每小题4分，共20分）
26. 已知函数2)(x x f =，则=-)1(t f ______________.
27. 某射击运动员射击5次，命中的环数为9,8,6,8,9则这5个数据的方差为
______________.
28. 一个球的体积与其表面积的数值恰好相等，该球的直径是______________. 29. 设直线023=--y x 与圆2522=+y x 的两个交点为A,B ，则线段AB 的长度为
_________.
30. 已知向量),sin ,(cos θθ=)3,0(=，若⋅取最大值，则的坐标为_________ . 三、解答题（本题5个小题，共55分，请在答题卡的相应的题号处写出解答过程） 31. （本题9分）在等比数列{}n a 中，42=a ，83=a 。

求： （1）该数列的通向公式； （2）该数列的前10项和。

32. （本题11分）已知点p （4,3）是角α终边上一点，如图所示。

求)26sin(απ
-的值。

33. （本题11分）如图所示，已知棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -
(1) 求三棱锥BCD C -1的体积；
(2) 求证：平面⊥BD C 1平面CD B A 11.
34. （本题12分）某市为鼓励居民节约用电，采取阶梯电价的收费方式，居民当月
用电量不超过100度的部分，按基础电价收费；超过100度不超过150度的部分，按每度0.8元收费；超过150度的部分按每度1.2元收费.该居民当月的
用电量x (度)与应付电费y (元)的函数图象如图所示。

（1）求该市居民用电的基础电价是多少？
（2）某居民8月份的用电量为210度，求应付电费多少元？ （3）当(]150,100∈x 时，求x 与y 的函数关系式（x 为自变量）
1
B
35. （本题12分）已知椭圆的一个焦点为)0,3(1-F ,其离心率为2
3。

（1）求该椭圆的标准方程；
（2）圆5
4
22=+y x 的任一条切线与椭圆均有两个交点A,B ，
求证：OB OA ⊥(O 为坐标原点)。

山东省20XX 年普通高校招生（春季）考试答案 一、选择题（本题25个小题，每小题3分，共75分）
1.C
2.B
3.A
4.C
5.D
6.A
7.B
8.B
9.B 10.D
11.A 12.C 13.D 14.B 15.D 16.A 17.B 18.B 19.C 20.C 21.D 22.D 23.A 24.C 25.A
二、填空题（本题5个小题，每小题4分，共20分）
26. 2)1(-t 或122+-t t 27. 56
或1.2 28.6 29.8 30.（0,1）
三、解答题（本题5个小题，共55分，请在答题卡的相应的题号处写出解答过程） 31.（本题9分）
（1）解法一：由等比数列的定义可知：公比24
8
23===a a q 2分
由
q a a =1
2
，得21=a 2分 因此，所求等比数列的通项公式为n n n n q a a 222111=⨯==-- 1分 解法二：设等比数列的通项公式为11-=n n q a a
由已知列方程组⎩⎨⎧==84
211q a q a 2分
解之得⎩⎨⎧==22
1q a 2分
因此，所求等比数列的通项公式为n n n n q a a 222111=⨯==-- 1分 （2）由等比数列的前n 和公式，得
q q a S --=1)
1(10110 2分
21)
21(210--==2046 1分
即：该数列的前10项和为2046. 32. （本题11分）
解：由p （4,3）是角α终边上一点，知3,4==y x
得543022=+==p r 1分
所以53sin =α，54
cos =α 2分
所以25
7
sin cos 2cos 22=
-=ααα 2分 25
24
cos sin 22sin =
=ααα 2分 所以απ
απαπ2sin 6cos 2cos 6sin )26sin(-=- 2分
50
3
247-=
2分 33. （本题11分）
解：（1）由正方体的棱为1，可得BCD ∆的面积为21
1121=⨯⨯ 2分
所以，61
121311=⨯⨯=-BCD C V 2分
（2）证明：由⊥CD 平面11BCC B ,又⊂1BC 平面11BCC B ,得1BC CD ⊥ 2分
又正方形11BCC B 中，11BC C B ⊥ 1分 且C CD C B =⋂1,⊂C B 1平面CD B A 11,⊂CD 平面CD B A 11
所以⊥1BC 平面CD B A 11 2分 ⊂1BC 平面BD C 1
所以，平面⊥BD C 1平面CD B A 11 2分 34. （本题12分）
解：（1）设该市居民用电的基础电价是每度1k 元，
则所用电量x (度)与应付电费y (元)的函数关系是)1000(1≤≤=x x k y 1分 由函数图象过点（100,50），得110050k =，即5.01=k 1分 所以，既基础电价为每度0.5元。

1分
（2）由阶梯电价曲线可知，在210度电中，
其中，100度的电费为501005.01=⨯=y （元）； 1分
50度的电费为40508.02=⨯=y （元）； 1分 60度的电费为72602.13=⨯=y （元）； 1分
所以，该居民8月份应付电费50+40+72=162元。

1分 （3）设函数的解析式为]150,100(,2∈+=x b x k y 1分 由题意可知8.02=k 1分 由因为函数图象过点（150,90），因此b +⨯=8.015090 1分 解得30-=b 1分 所以，所求函数的解析式为(]150,100,308.0∈-=x x y 。

1分 35. （本题12分）
解：（1）由椭圆的一个焦点坐标为)0,3(1-F 。

得3=c 1分 由椭圆的离心率为
23，得2
3
=a c 1分 因此得2=a 1分 从而134222=-=-=c a b 1分
由已知得焦点在x 轴上，所以椭圆的标准方程为1422
=+y x 1分
（2）证明：当圆的切线斜率存在时，
设其方程为t kx y += 1分
将其代人1422
=+y x ，整理得0448)41(222=-+++t ktx x k 1分
设),(),,(2211y x B y x A ，由韦达定理得，
2
212221418,4144k
kt
x x k t x x +-=++-= 所以2
2
22121414))((k
k t t kx t kx y y +-=++= 1分 由点到直线的距离公式知，原点到切线t kx y +=的距离为21552k t +=
即2
24154k t +=，得2
2445k t += 1分 因此⋅OA =+=2121y y x x ++-224144k t 22222
22410
41445414k k k t k k t +=+--=+-
所以⋅0= ，即 OB OA ⊥ 1分 当圆的切线斜率不存在时，切线方程为55
2±
=x 此时其中一条切线与椭圆的交点),552,552(A )5
5
2,552(-B 显然⋅OA 0OB =,即 OB OA ⊥
同理可得，另一条切线也具有此性质。

所以，切线斜率不存在时，OB OA ⊥也成立。

综上，OB OA ⊥。

1分。