中考数学总复习第一部分教材梳理第六章图形与变换、坐标第2节图形的相似

合集下载

中考数学教材知识梳理第六章图形的变化(无答案)

第六章图形的变化第一节图形的对称与折叠年份题型题号考查点考查内容分值总分2012选择 2 图形的对称判断既是中心对称图形又是轴对称图形3 32011填空10 图形的对称利用轴对称的性质求角3 32010选择 2 图形的对称判断是中心对称图形但不是轴对称图形3 32009填空17 图形的对称判断既是中心对称图形又是轴对称图形3 3命题规律图形的对称与折叠，怀化七年中考中仅考查4次，且都是选择题、填空题，解答题不再出现，考查题目难度较低，基本上是送分题.命题预测预计2016年怀化中考会涉及图形对称的识别，也有可能涉及几何图形折叠问题.,怀化七年中考真题及模拟)图形对称的判断(3次)1．(2012怀化中考)在我们的生活中，常见到很多美丽的图案，下列图案中，既是中心对称，又是轴对称图形的是( ),A) ,B) ,C) ,D)2．(2010怀化中考)下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是( ),A) ,B) ,C) ,D)3．(2009怀化中考)亲爱的同学们，我们在教材中已经学习了：①等边三角形；②等腰梯形；③平行四边形；④等腰三角形；⑤圆．在以上五种几何图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是________．对称与折叠中的计算(1次)4．(2011怀化中考)如图，∠A＝30°，∠C′＝60°，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B＝________. 5．(2015中方模拟)下列图案由正多边形拼成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ),A) ,B) ,C) ,D)6．(2015通道模拟)如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连接AC，将矩形纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置．若B(1，2)，则点D的横坐标是________．7．(2015湛江模拟)如图，已知正方形ABCD的对角线长为22，点O为正方形的对称中心，将正方形ABCD沿过点O的直线EF折叠，则图中阴影部分四个三角形周长的和为________．,(第7题图)) ,(第8题图))8．(2015溆浦模拟)将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC，BD为折痕，折叠后BG和BH在同一条直线上，∠CBD＝________度.,中考考点清单) 轴对称图形与轴对称轴对称图形轴对称图形定义如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫轴对称图形，这条直线叫做对称轴如果两个图形对折后，这两个图形能够完全重合，那么我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴性质对应线段相等AB＝①____AB＝A′B′BC＝B′C′AC＝A′C′对应角相等∠B＝∠C∠A＝②________，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′对应点所连的线段被对称轴垂直平分区别(1)轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言；(2)对称轴不一定只有一条(1)轴对称是指③________图形的位置关系，必须涉及两个图形；(2)只有一条对称轴关系(1)沿对称轴对折，两部分重合；(2)如果把轴对称图形沿对称轴分成“两个图形”，那么这“两个图形”就关于这条直线成轴对称(1)沿对称轴翻折，两个图形重合；(2)如果把两个成轴对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．【方法技巧】凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．1．与三角形结合：①若涉及直角，则优先考虑直角三角形的性质(勾股定理及斜边上的中线等于斜边的一半)，若为含特殊角的直角三角形，则应利用其边角关系计算；②若涉及两边(角)相等，则利用等腰三角形的相关性质计算，若存在60°角，则利用等边三角形性质进行相关计算，一般会作出高线构造特殊角的直角三角形进行求解；③若含有中位线，则需利用中位线的位置及数量关系进行量的代换；2．与四边形结合：①与平行四边形、矩形、菱形、正方形结合，往往会利用其特殊性质求解；②若为一般的四边形，则可通过构造特殊的三角形或四边形求解．中心对称图形与中心对称中心对称图形中心对称图形定义如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称性质对应点点A与点C，点B与点D 点A与点A′，点B与点B′，点C 与点C′对应线段AB＝CD，AD＝BCAB＝A′B′，④________＝B′C′，AC＝A′C′对应角∠A＝∠C⑤________＝∠D ∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′区别中心对称图形是指具有某种特性的一个图形中心对称是指两个图形的关系联系把中心对称图形的两个部分看成“两个图形”，则这“两个图形”成中心对称把成中心对称的两个图形看成一个“整体”，则“整体”成为中心对称图形,中考重难点突破)轴对称与中心对称图形的识别【例1】(2014靖州模拟)下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是( ) ,A) ,B) ,C) ,D)【解析】选项正误逐项分析A ×既不是轴对称图形也不是中心对称图形B √是轴对称图形但不是中心对称图形C ×不是轴对称图形但是中心对称图形D ×既是轴对称图形又是中心对称图形【学生解答】1．(2015重庆中考)下列图形是轴对称图形的是( ),A) ,B) ,C) ,D)2．(2015枣庄中考)在方格纸中，选择标有序号①、②、③、④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是________．图形折叠的相关计算【例2】(2014安徽中考)如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，求线段BN的长．【解析】要求BN的长，可放在Rt△DBN中计算，BD已知，只要求出DN，然后利用勾股定理计算，由折叠可得△AMN≌△DMN，即DN＝AN，可设BN＝x，则AN＝DN＝9－x，再由D是BC的中点可知BD＝3，在Rt△DBN中，由BD2＋BN2＝DN2，得x2＋32＝(9－x)2，解得x＝4.∴BN＝4.【学生解答】3．(2015呼和浩特中考)如图，有一块矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则△CEF的面积为( )A.12B.98C．2 D．44．(2015怀化学业考试指导)如图，将矩形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且点D落在对角线D′处，若AB＝3，AD＝4，求ED的长．。

中考第一轮复习第六讲图形与变换汇总

3．图形旋转的概念 (1)在平面内，把一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定的___角__度_____，这样的图形运动叫做旋转．这个____定__点____叫做旋转中心．转动的角叫做__旋__转__角__． (2)图形的旋转由_旋__转__中__心_、旋转方向和_旋__转__角__度_所决定．其中： ①旋转中心在旋转过程中保持不动； ②旋转方向分为顺时针和逆时针； ③旋转角一般小于 360°.
图 6－2－6
答案：(1)如图 D30，(2)如图 D31.
图 D30
图 D31
规律方法：解决旋转问题的关键在于找到旋转中心，然后
(2)解：a，b，c 三者之间的数量关系式为 a2＝b2＋c2. 理由：由折叠的性质，得：CE＝AE. ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠D＝90° ∵AE＝a，ED＝b，DC＝c， ∴CE＝AE＝a. 在 Rt△DCE 中，CE2＝CD2＋DE2， ∴a，b，c 三者之间的数量关系式为 a2＝b2＋c2.
1．图形平移的概念 (1)在平面内，一个图形沿着一定的___方__向___平行移动一定的___距__离___，这样的图形运动叫做图形的平移． (2)图形的平移由移动的__方__向____和___距__离___所决定．
2．图形平移的特征经过平移后的图形与原图形相比： (1)平移后的图形与原图形的对应线段___平__行___且相等，对应角___相__等___，图形的形状与___大__小___都没有发生变化． (2)在平移过程中，对应线段或对应点所连的线段也可能在一条__直__线____上．
转一周，得到的立体图形是( C )
图 6－2－2
A．π
D
B. 3
C.34π＋ 23 D.1112π＋ 43 6．(2012年广东佛山)如图6－2－3，把一个斜边长为2且

人教版数学九年级上册必备数学第一部分第六章第1节-课件

考点2 图形的旋转［5年2考：2013年(填空题)、 2014年(填空题)］
典型例题
1. (2017菏泽)如图1-6-1-2， AB⊥y轴，垂足为B，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线 y=- x上，再将△AB1O1绕点 B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y=- x上，依次进行下去… 若点B的坐标是(0，1)，则点 O12的纵坐标为________.
( D)
3. (2017白银)下面四个手机应用图标中，属于中心对称图
形的是
(B )
4. (2017上海)下列图形中，既是轴对称又是中心对称
图形的是 A. 菱形
(A) B. 等边三角形
C. 平行四边形
D. 等腰梯形
考点演练 5.在下列四个交通标志图中，是轴对称图形的是（ B ）
6.下列图形：平行四边形、矩形、菱形、圆、等腰三角
2. 最短路线问题(轴对称性质的应用)
(1)如图1-6-1-1，在直线l上的同侧有两个点A,B，在直线l上有到A,B
的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点(如
B)关于直线l的对称点(B′)，对称点(B′)与另一点(A)的连线与直线l的交点就是所要找的点.
(2)凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学的轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点.
(4)中心对称 ①中心对称的定义: 把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点. ②中心对称的性质 a. 关于中心对称的两个图形能够完全重合. b. 关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分. ③中心对称图形：一个图形绕着某一个点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.

中考数学总复习：图形的变换--知识讲解(基础)【含解析】

【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。

】中考总复习：图形的变换--知识讲解（基础）【考纲要求】1.通过具体实例认识轴对称、平移、旋转，探索它们的基本性质；2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称、平移、旋转后的图形，能作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；3.探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性质及其相关性质.4.探索图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合）；5.利用轴对称、平移、旋转及其组合进行图案设计；认识和欣赏轴对称、平移、旋转在现实生活中的应用.【知识网络】【考点梳理】考点一、平移变换1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．【要点诠释】（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换；（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据；（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．2．平移的基本性质：由平移的概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应角相等．【要点诠释】（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征；（2）“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．考点二、轴对称变换1．轴对称与轴对称图形轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也叫做这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的对应点，叫做对称点. 轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.2．轴对称变换的性质①关于直线对称的两个图形是全等图形.②如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线.③两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.④如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.3．轴对称作图步骤①找出已知图形的关键点，过关键点作对称轴的垂线，并延长至2倍，得到各点的对称点．②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.考点三、旋转变换1．旋转概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.２．旋转变换的性质图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，旋转过程中，图形的形状、大小都没有发生变化.３．旋转作图步骤①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角.②分析所作图形，找出构成图形的关键点.③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点.④按原图形连结方式顺次连结各对应点.４．中心对称与中心对称图形中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心对称的对称点．中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫中心对称图形.5．中心对称作图步骤①连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至2倍，得到各点的对称点.②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.【要点诠释】图形变换与图案设计的基本步骤①确定图案的设计主题及要求；②分析设计图案所给定的基本图案；③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合；④对图案进行修饰，完成图案.【典型例题】类型一、平移变换1.如图1，两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，得到图2，则阴影部分的周长为____________.【思路点拨】根据两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，得出线段之间的相等关系，进而得出OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=1+1=2，即可得出答案．【答案与解析】∵两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，∴A′M=A′N=MN，MO=DM=DO，OD′=D′E=OE，EG=EC=GC，B′G=RG=RB′，∴OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=1+1=2；【总结升华】此题主要考查了平移的性质以及等边三角形的性质，根据题意得出A′M=A′N=MN，MO=DM=DO，OD′=D′E=OE，EG=EC=GC，B′G=RG=RB′是解决问题的关键．举一反三：【变式】（2015•顺义区一模）如图，平行四边形ABCD中，点E是AD边上一点，且CE⊥BD于点F，将△DEC沿从D到A的方向平移，使点D与点A重合，点E平移后的点记为G．（1）画出△DEC平移后的三角形；（2）若BC=，BD=6，CE=3，求AG的长．【答案】解：（1）△AGB为△DEC平移后的三角形，如下图所示；（2）∵△AGB为△DEC平移后的三角形，∴BG=CE=3，BG∥CE，∵CE⊥BD，∴BG⊥BD．在Rt△BDG中，∵∠GBD=90°，BG=3，BD=6，∴DG==3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=2，∴AG=D G﹣AD=3﹣2=．2．如图（1），已知ABC ∆的面积为3，且,AC AB =现将ABC ∆沿CA 方向平移CA 长度得到EFA ∆. （1）求ABC ∆所扫过的图形面积；（2）试判断，AF 与BE 的位置关系，并说明理由；（3）若,15︒=∠BEC 求AC 的长.【思路点拨】（1）根据平移的性质及平行四边形的性质可得到S △EFA =S △BAF =S △ABC ，从而便可得到四边形CEFB 的面积；（2）由已知可证得平行四边形EFBA 为菱形，根据菱形的对角线互相垂直平分可得到AF 与BE 的位置关系为垂直；（3）作BD ⊥AC 于D ，结合三角形的面积求解．【答案与解析】（1）由平移的性质得 AF ∥BC ，且AF=BC ，△EFA ≌△ABC ∴四边形AFBC 为平行四边形 S △EFA =S △BAF =S △ABC =3∴四边形EFBC 的面积为9；（2）BE ⊥AF证明：由（1）知四边形AFBC 为平行四边形 ∴BF ∥AC ，且BF=AC 又∵AE=CA∴BF ∥AE 且BF=AE∴四边形EFBA 为平行四边形又已知AB=AC ∴AB=AE∴平行四边形EFBA 为菱形 ∴BE ⊥AF ；（3）如上图，作BD ⊥AC 于D ∵∠BEC=15°，AE=AB ∴∠EBA=∠BEC=15° ∴∠BAC=2∠BEC=30°BCA （'C ）E∴在Rt△BAD中，AB=2BD 设BD=x，则AC=AB=2x∵S△ABC=3，且S△ABC=12AC•BD=12•2x•x=x2∴x2=3∵x为正数∴x=3∴AC=23．【总结升华】此题主要考查了全等三角形的判定，平移的性质，菱形的性质等知识点的综合运用及推理计算能力．类型二、轴对称变换3（2016•贵阳模拟）（1）数学课上，老师出了一道题，如图①，Rt△ABC中，∠C=90°，，求证：∠B=30°，请你完成证明过程．（2）如图②，四边形ABCD是一张边长为2的正方形纸片，E、F分别为AB、CD的中点，沿过点D的抓痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处，折痕交AE于点G，请运用（1）中的结论求∠ADG的度数和AG的长．（3）若矩形纸片ABCD按如图③所示的方式折叠，B、D两点恰好重合于一点O（如图④），当AB=6，求EF的长．【思路点拨】（1）Rt△ABC中，根据sinB═=，即可证明∠B=30°；（2）求出∠FA′D的度数，利用翻折变换的性质可求出∠ADG的度数，在Rt△A'FD中求出A'F，得出A'E，在Rt△A'EG中可求出A'G，利用翻折变换的性质可得出AG的长度．（3）先判断出AD=AC，得出∠ACD=30°，∠DAC=60°，从而求出AD的长度，根据翻折变换的性质可得出∠DAF=∠FAO=30°，在Rt△ADF中求出DF，继而得出FO，同理可求出EO，再由EF=EO+FO，即可得出答案．【答案与解析】（1）证明：Rt△ABC中，∠C=90°，，∵sinB==，∴∠B=30°；（2）解：∵正方形边长为2，E、F为AB、CD的中点，∴EA=FD=×边长=1，∵沿过点D的抓痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处，∴A′D=AD=2，∴=，∴∠FA′D=30°，可得∠FDA′=90°﹣30°=60°，∵A沿GD折叠落在A′处，∴∠ADG=∠A′DG，AG=A′G，∴∠ADG===15°，∵A′D=2，FD=1，∴A′F==，∴EA′=EF﹣A′F=2﹣，∵∠EA′G+∠DA′F=180°﹣∠GA′D=90°，∴∠EA′G=90°﹣∠DA′F=90°﹣30°=60°，∴∠EGA′=90°﹣∠EA′G=90°﹣60°=30°，则A′G=AG=2EA′=2（2﹣）；（3）解：∵折叠后B、D两点恰好重合于一点O，∴AO=AD=CB=CO，∴DA=，∵∠D=90°，∴∠DCA=30°，∵AB=CD=6，在Rt△ACD中，=tan30°，则AD=DC•tan30°=6×=2，∵∠DAF=∠FAO=∠DAO==30°，∴=tan30°=，∴DF=AD=2，∴DF=FO=2，同理EO=2，∴EF=EO+FO=4．【总结升华】本题考查了翻折变换的知识，涉及了含30°角的直角三角形的性质、平行四边形的性质，综合考察的知识点较多，注意将所学知识融会贯通．举一反三：【变式】（2016·松北区模拟）如图（1）是四边形纸片ABCD，其中∠B=120°，∠D=50°.若将其右下角向内这出△PCR，恰使CP∥AB，RC∥AD，如图（2）所示，则∠C＝度.【答案】∵∠CPR=12∠B=12×120°=60°，∠CRP=12∠D=12×50°=25°，∴∠C=180°－60°－25°=95°．4. 如图1，矩形纸片ABCD的边长分别为a，b（a<b）．将纸片任意翻折（如图2），折痕为PQ．（P 在BC上），使顶点C落在四边形APCD内一点C′，PC′的延长线交直线AD于M，再将纸片的另一部分翻折，使A落在直线PM上一点A′，且A′M所在直线与PM•所在直线重合（如图3），折痕为MN．（1）猜想两折痕PQ，MN之间的位置关系，并加以证明．（2）若∠QPC的角度在每次翻折的过程中保持不变，则每次翻折后，两折痕PQ，•MN间的距离有何变化？请说明理由．（3）若∠QPC的角度在每次翻折的过程中都为45°（如图4），每次翻折后，非重叠部分的四边形MC′QD，及四边形BPA′N的周长与a，b有何关系，为什么？（1）（2）（3）（4）【思路点拨】（1）猜想两直线平行，由矩形的对边平行，得到一组内错角相等，翻折前后对应角相等，那么可得到PQ与MN被MP所截得的内错角相等，得到平行．（2）作出两直线间的距离．∵PM长相等，∠NPM是不变的，所以利用相应的三角函数可得到两直线间的距离不变．（3）由特殊角得到所求四边形的形状，把与周长相关的边转移到同一线段求解．【答案与解析】（1）PQ∥MN．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，且M在AD直线上，则有AM∥BC．∴∠AMP=∠MPC．由翻折可得：∠MPQ=∠CPQ=12∠MPC，∠NMP=∠AMN=12∠AMP，∴∠MPQ=∠NMP，故PQ∥MN．（2）两折痕PQ，MN间的距离不变．过P作PH⊥MN，则PH=PM•sin∠PMH，∵∠QPC的角度不变，∴∠C′PC的角度也不变，则所有的PM都是平行的．又∵AD∥BC，∴所有的PM都是相等的．又∵∠PMH=∠QPC，故PH的长不变．（3）当∠QPC=45°时，四边形PCQC′是正方形，四边形C′QDM是矩形．∵C′Q=CQ，C′Q+QD=a，∴矩形C′QDM的周长为2a．同理可得矩形BPA′N的周长为2a，∴两个四边形的周长都为2a，与b无关．【总结升华】翻折前后对应角相等，对应边相等，应注意使用相应的三角函数，平行线的判断，特殊四边形的判定．类型三、旋转变换【高清课堂图形的变换例4】5．已知O是等边三角形ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝135°，试问：（1）以OA，OB，OC为边能否构成一个三角形?若能，求出该三角形各角的度数；若不能，请说明理由；（2）如果∠AOB的大小保持不变，那么当∠BOC等于多少度时，以OA，OB，OC为边的三角形是一个直角三角形?【思路点拨】因为△ABC是等边三角形，所以可以运用旋转将△BCO转至△ACD.【答案与解析】（1）以OC为边作等边△OCD，连AD.∵△ABC是等边三角形∴∠BCO=∠ACD (∠BCO+∠ACO=60°，∠ACD+∠ACO=60°)∵ BC=AC，OC=CD∴△BCO≌△ACD (SAS)∴ OB=AD，∠ADC=∠BOC又∵OC=OD∴△OAD是以线段OA，OB，OC为边构成的三角形∵∠AOB=110°, ∠BOC=135°∴∠AOC=115°∴∠AOD=115°-60°=55°∵∠ADC=135°∴∠ADO=135°-60°=75°∴∠OAD=180°-55°-75°=50°∴以线段OA，OB，OC为边构成的三角形的各角是50°、55°、75°.（2）∠AOB+∠AOC+∠BOC=∠AOB+∠AOC+∠ADC=∠AOB+(∠AOD+∠DOC)+(∠ADO+∠CDO)=∠110°+(∠AOD+60°)+(∠ADO+60°) =360°∴∠AOD+∠ADO=130°∴∠OAD=50°当∠AOD是直角时，∠AOD=90°，∠AOC=90°+60°=150°，∠BOC=100°;当∠ADO是直角时，∠ADC=90°+60°=150°，∠BOC=150°.【总结升华】此题主要运用旋转的性质、等边三角形的判定、勾股定理的逆定理等知识，渗透分类讨论思想．6 . 如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA、OD到点F、E，使OF＝2OA，OE＝2OD，连接EF．将△EOF绕点O逆时针旋转α角得到△E1OF1(如图2)．(1)探究AE1与BF1的数量关系，并给予证明；(2)当α＝30°时，求证：△AOE1为直角三角形．【思路点拨】(1)要证AE1＝BF1，就要首先考虑它们是全等三角形的对应边；(2)要证△AOE1为直角三角形，就要考虑证∠E1AO＝90°.【答案与解析】(1)AE1＝BF1，证明如下：∵O为正方形ABCD的中心，∴OA＝OB＝OD.∴OE＝OF .∵△E1OF1是△EOF绕点O逆时针旋转α角得到，∴OE1＝OF1.∵ ∠AOB＝∠EOF＝900，∴ ∠E1OA＝900－∠F1OA＝∠F1OB.在△E1OA和△F1OB中，1111OE OFE OA FOBO A OB⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△E1OA≌△F1OB（SAS）.∴AE1＝BF1.(2)取OE1中点G，连接AG.∵∠AOD＝900，α＝30°，∴ ∠E1OA＝900－α＝60°.∵OE1＝2OA，∴OA＝OG，∴ ∠E1OA＝∠AGO＝∠OAG＝60°.∴ AG＝GE1，∴∠GAE1＝∠GE1A＝30°.∴∠E1AO＝90°.∴△AOE1为直角三角形.【总结升华】正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定. 举一反三：【变式】如图，P为正方形ABCD内一点，若PA=a，PB=2a，PC=3a(a>0).(1)求∠APB的度数；(2)求正方形ABCD的面积.【答案】(1)将△ABP 绕点B顺时针方向旋转90°得△CBQ.则△ABP≌△CBQ且PB⊥QB.于是PB=QB=2a，.在△PQC中，∵，.∴.∴.∵△PBQ是等腰直角三角形，∴∠BPQ=∠BQP=45°.故∠APB=∠CQB=90°+45°=135°.(2)∵∠APQ=∠APB+∠BPQ=135°+45°=180°，∴三点A、P、Q在同一直线上.在Rt△AQC中，.∴正方形ABCD的面积.中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

中考数学复习知识点归纳总结6篇

中考数学复习知识点归纳总结6篇篇1一、数与代数1. 数的基本概念：整数、分数、小数、百分数、比例、方程等。

2. 数的运算：加减乘除四则运算，乘方、开方运算，分数运算，小数运算等。

3. 代数表达式：用字母表示数，表达数量关系和变化规律。

4. 方程与不等式：解一元一次方程，解一元一次不等式，理解函数的概念。

二、几何与图形1. 几何概念：点、线、面、体，角、度数，平行、垂直等基本几何概念。

2. 图形与变换：平移、旋转、对称等图形变换，相似图形，全等图形。

3. 面积与体积：计算平面图形的面积，计算立体图形的体积。

4. 解析几何：理解直线的方程，理解圆及其方程。

三、函数与图像1. 函数的概念：理解变量间的关系，用解析式表示函数关系。

2. 函数的运算：函数的加减法，函数的乘法，复合函数。

3. 函数的图像：理解函数的图像及其变换，根据图像理解函数的性质。

4. 反函数与对称函数：理解反函数的概念，理解对称函数的概念。

四、数据与概率1. 数据收集与整理：理解数据收集的方法，会用统计图表表示数据。

2. 数据的计算：平均数、中位数、众数等统计量的计算，方差和标准差的计算。

3. 概率的概念：理解概率的基本概念，会计算事件的概率。

4. 概率的应用：理解概率在生活中的应用，会解决与概率相关的问题。

五、综合与实践1. 图形的变换与对称：运用几何知识解决实际问题，理解图形的变换和对称。

2. 函数的实际应用：理解函数在实际问题中的应用，如利润、成本等问题。

3. 数据的分析与决策：运用统计知识解决实际问题，理解数据的分析与决策。

4. 课题学习与研究性学习：理解课题学习与研究性学习的意义和方法。

在中考数学复习过程中，我们需要对以上知识点进行全面的梳理和总结，形成系统的知识框架。

同时，我们需要关注考试动态和命题趋势，结合历年真题进行有针对性的练习和巩固。

此外，我们还要注重解题技巧和策略的学习和应用，提高解题效率和准确性。

希望同学们能够认真复习备考，取得优异的成绩！篇2一、数与代数（一）数的认识复习要点：整数、小数、分数、百分数的认识及其关系，数的运算规则和运算性质。

2019年中考数学第六章图形的变换6.2图形的变换(讲解部分)素材

（１）轴对称图形：如果一个图形沿某条直线对折，对折的两
能与另一个图形重合，那么称这两个图形成 ③㊀轴对称㊀．两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重合的点）叫④㊀对称点㊀．２．轴对称图形的性质轴⑥㊀垂直平分㊀．（１）对应线段 ⑤㊀相等㊀，对应角相等；对称点的连线被对称轴对称变换的特征是不改变图形的⑦㊀形状㊀和大小，只改变（２）成轴对称的两个图形，它们的对应线段或其延长线若相
又因为ＡＤʊＢＣ，所以所有的ＰＭ都是相等的．又因为øＰＭＨ＝ øＱＰＣ，所以ＰＨ的长不变，
ȵ ＡＢ＝ＡＥ，ʑ øＡＥＢ＝ øＡＢＥ＝１５ʎ ，ʑ øＢＡＤ＝３０ʎ． ʑ ＢＤ＝３． ʑ ＡＣ２＝１２． ʑ ＡＣ＝２３．
１１１１１ＡＢ＝ＡＣ． ʑ ＢＤ㊃ＡＣ＝３，即㊃ＡＣ㊃ＡＣ＝２２２２２
㊀㊀１．定义：在平面内，将某个图形沿某个 ⑩㊀方向㊀移动一定的 ��㊀距离㊀，这样的图形运动称为平移． �� 上），对应点所连的线段�� ㊀平行㊀（或在同一直线上）且�� ㊀相等㊀． �� ２．性质：（１）平移后，对应线段相等且平行（或在同一条直线（２）平移后，对应角�� ㊀相等㊀且对应角的两边分别平行（或 ��
解析㊀（１）如图，әＥＤＯ即为所求．
解析㊀（１）如图，四边形ＡᶄＢᶄＣᶄＤᶄ即为所求．
（２） әＡＯＢ所扫过的面积是
第六章㊀图形的变换
４５㊀
㊀㊀变式训练２㊀如图 ①，矩形纸片ＡＢＣＤ的边长分别为ａ，ｂ（ａ点Ｃ落在四边形ＡＰＣＤ内一点Ｃᶄ，ＰＣᶄ的延长线交直线ＡＤ于Ｍ，再将纸片的另一部分翻折，使Ａ落在直线ＰＭ上一点Ａᶄ，且ＡᶄＭ所在直线与ＰＭ所在直线重合（如图③），折痕为ＭＮ．（１）猜想两折痕ＰＱ㊁ＭＮ之间的位置关系，并加以证明；＜ｂ）．将纸片任意翻折（如图 ②），折痕为ＰＱ（Ｐ在ＢＣ上），使顶

中考数学复习专项知识总结—图形的变换(中考必备)

中考数学复习专项知识总结—图形的变换（中考必备）1、平移(1)定义：把一个图形沿着某一直线方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移。

(2)平移的性质：平移后的图形与原图形全等；对应角相等；对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等。

(3)坐标的平移：点（x，y）向右平移a个单位长度后的坐标变为（x+a，y）；点（x，y）向左平移a个单位长度后的坐标变为（x-a，y）；点（x，y）向上平移a个单位长度后的坐标变为（x，y+a）；点（x，y）向下平移a个单位长度后的坐标变为（x，y-a）。

2、轴对称(1)轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。

这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

(2)轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形。

这条直线叫做它的对称轴。

(3)轴对称的性质：关于某条直线对称的图形是全等形。

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

(4)线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。

(5)坐标与轴对称：点（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）；点（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）；3、旋转(1)旋转定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转。

点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。

如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。

旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；①对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；①旋转前后的图形全等。

(2)中心对称定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。

(贵阳专版)2019届中考数学总复习第一部分教材知识梳理第6章图形的变化第2节图形的

第二节图形的平移与旋转(时间：45分钟)1．(2018·遵义模拟)在6×6方格中，将图1中的图形N平移后位置如图2所示，则图形N的平移方法中，正确的是( D)A．向下移动1格B．向上移动1格C．向上移动2格D．向下移动2格2．(2018·济宁中考)如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，点C的坐标为(－1，0)，AC＝2.将Rt △ABC先绕点C顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点A的对应点坐标是( A) A．(2，2) B．(1，2)C．(－1，2) D．(2，－1)3．(2018·白银中考)如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为25，DE＝2，则AE的长为( D)A．5 B.23 C．7 D.294．(2018·遵义模拟)如图，Rt△ABC的斜边AB＝16，Rt△ABC绕点O顺时针旋转后得到Rt△A′B′C′，则Rt△A′B′C′的斜边A′B′上的中线C′D′的长度为__8__．5．(2018·张家界中考)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则∠B的度数为__15°__．6．(2018·衡阳中考)如图，点A ，B ，C ，D ，O 都在方格纸的格点上，若△COD 是由△AOB 绕点O 按顺时针方向旋转而得到的，则旋转的角度为__90°__.7．(2018·邵阳中考)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，1)，以点O 为旋转中心，将点A 逆时针旋转到点B 的位置，则AB ︵的长为4．8．(2018·龙东中考)如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC 的三个顶点坐标分别为A(1，4)，B(1，1)，C(3，1)．(1)画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1；(2)画出△ABC 绕点O 逆时针旋转90°后的△A 2B 2C 2； (3)在(2)的条件下，求线段BC 扫过的面积(结果保留π)．解：(1)△A 1B 1C 1如图所示； (2)△A 2B 2C 2如图所示；(3)线段BC 扫过的面积为S 扇形OCC 2－S 扇形OBB 2＝90·π·（10）2360－90·π·（2）2360＝2π.9．(2018·遵义模拟)如图，在矩形ABCD 中，连接对角线AC ，BD ，将△ABC 沿BC 方向平移，使点B 移到点C ，得到△DCE.(1)求证：△ACD≌△EDC；(2)请探究△BDE 的形状，并说明理由．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝DC ，AC ＝BD ，AD ＝BC ，∠ADC ＝∠ABC＝90°. 由平移的性质，得DE ＝AC ，CE ＝BC ，∠DCE ＝∠ABC ＝90°，DC ＝AB ，∴AD ＝EC. 在△ACD 和△EDC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝EC ，∠ADC ＝∠ECD，CD ＝DC ，∴△ACD ≌△EDC(SAS )；(2)解：△BDE 是等腰三角形．理由如下： ∵AC ＝BD ，DE ＝AC ，∴BD ＝DE.∴△BDE 是等腰三角形．10．某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC 与AFE 按如图①所示位置放置，现将Rt △AEF 绕点A 按逆时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)，如图②，AE 与BC 交于点M ，AC 与EF 交于点N ，BC 与EF 交于点P.(1)求证：AM ＝AN ；(2)当旋转角α＝30°时，四边形ABPF 是什么样的特殊四边形？并说明理由． (1)证明：由已知及旋转可得AB ＝AF ，∠BAM ＝∠FAN，∠B ＝∠F＝60°. 在△ABM 和△AFN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAM＝∠FAN，AB ＝AF ，∠B ＝∠F，∴△ABM ≌△AFN(ASA )，∴AM ＝AN ； (2)解：四边形ABPF 是菱形．理由如下：连接AP.∵α＝30°，∴∠FAN ＝30°.∴∠FAB ＝120°.∵∠B ＝60°，∴AF ∥BP. ∴∠F ＝∠FPC＝60°.∴∠FPC ＝∠B＝60°. ∴AB ∥FP.∴四边形ABPF 是平行四边形． ∵AB ＝AF ，∴平行四边形ABPF 是菱形．11．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为θ(0°＜θ＜180°)，得到△A′B′C.(1)如图①，当AB∥CB′时，设A′B′与CB 相交于点D.求证：△A′CD 是等边三角形；(2)如图②，连接A′A，B ′B ，设△ACA′和△BCB′的面积分别为S △ACA ′和S △BCB ′.求证：S △ACA ′∶S △BCB ′＝1∶3；(3)如图③，设AC 的中点为点E ，A ′B ′中点为点P ，AC ＝a ，连接EP ，当θ＝____°时，EP 长度最大，最大值为____．(1)证明：∵AB∥CB′， ∴∠B ＝∠BCB′＝30°. ∴∠A ′CD ＝60°. 又∵∠A′＝60°，∴∠A ′CD ＝∠A′＝∠A′DC＝60°. ∴△A ′CD 是等边三角形；(2)证明：∵∠ACB＝90°，∠ABC ＝30°， ∴tan ∠ABC ＝tan 30°＝AC BC ＝33.∴BC ＝3AC.∵△ABC 绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为θ(0°＜θ＜180°)，得到△A′B′C， ∴∠ACA ′＝∠BCB′，AC ＝A′C，BC ＝B′C. ∴△ACA ′∽△BCB ′.∴S △ACA ′∶S △BCB ′＝AC 2∶BC 2＝AC 2∶(3AC)2＝1∶3； (3)120；32a.。

(安徽专用)2019年中考数学复习第六章图形与变换6.1图形的轴对称、平移与旋转(讲解部分)素材(pdf)

方法二㊀运用旋转的性质解题
㊀㊀通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等．旋转过程中，图形的形状与大小都没有发生变化．例２㊀（２０１５广西南宁，２１，８分）如图，在平面直角坐标系中，已知әＡＢＣ的三个顶点的坐标分别为Ａ（－１，１），Ｂ（－３，１），Ｃ（－１，４）．（１）画出әＡＢＣ关于ｙ轴对称的әＡ１Ｂ１Ｃ１；（２）将әＡＢＣ绕着点Ｂ顺时针旋转９０ʎ 后得到 әＡ２ＢＣ２，请
方法一㊀利用轴对称㊁平移的特征解决有关问题
中，每个小方格都是边长为１的正方形，әＡＢＣ的顶点均在格点上，点Ａ的坐标是（－３，－１）．出әＡ１Ｂ１Ｃ１，并写出点Ｂ１的坐标；的坐标．（２）画出әＡ１Ｂ１Ｃ１关于ｙ轴对称的 әＡ２Ｂ２Ｃ２，并写出点Ｃ２
解析㊀（１） әＡ１Ｂ１Ｃ１的位置如图所示．点Ｂ１的坐标是（－２，－１）．
（３分）（４分）
在图中画出әＡ２ＢＣ２，并求出线段ＢＣ旋转过程中所扫过的面积（结果保留 π）．
（２） әＡ２Ｂ２Ｃ２的位置如图所示．点Ｃ２的坐标是（１，１）．点，顺次连接即可．
的连线被对称轴⑤㊀垂直平分㊀．
改变图形的位置．新旧图形具有对称性．交，交点在⑦㊀对称轴㊀上．
（３）成轴对称的两个图形，它们的对应线段或其延长线相
㊀㊀３．轴对称图形与轴对称的区别和联系

中考数学专题复习基础知识部分第六章图形与变换

知识梳理
三组对应边的 ② 如果两个三角形的___________ 比相等 _______，那么这两个三角形相似．两组对应边的 ③ 如果两个三角形的___________ 比相等，并且相应的夹角相等 _______________________，那么这两个三角形相似． ④ 如果一个三角形与另一个三角形的两个角对应相等 _____________，那么这两个三角形相似． ⑤ 如果两个直角三角形的斜边和一 ________ 直角边的比相等 _____________，那么这两个直角三角形相似．
知识梳理
(5)相似三角形的性质：对应角相等，对应边 ① 相似三角形的________________ 成比例． _________ 周长的比等于相似比 ② 相似三角形________________ ．对应高的比等于相 ③ 相似三角形的_______ 似比，_________ _____ 对应中线的比等于相似比，对应角平分线的比等于相似比． __________ 相似比 ④ 相似三角形面积的比等于_______ 的平方． _______
知识梳理
3．图形的位似：对应顶点的连线相交于 (1) 位似图形： ___________________ 一点，对应边互相平行的两个图形叫位 ______ 似图形． (2) 两个位似的图形一定是相似图形 _________，位似图形．但两个相似图形不一定是_________ 位似比等于相似比． ________ (3) 位似图形的性质：两个位似图形上的每一对对应点都与位似中心在一条直线上 __________，对应点到位似并且新图形与原图形上_______________ 中心的距离之比 ___________ 等于位似比． (4) 位似变换可以把一个图形按一定的比放大或缩小，变换前后是相似图形．例___________

中考数学总复习第一部分教材梳理第六章图形与变换、坐标第4节图形的投影与视图

方法规律
1. 投影的判断方法（1）判断投影是否是平行投影的方法是看光线是否是平行的，如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投影. （2）判断投影是否是中心投影的方法是看光线是否相交于一点的，如果光线是相交于一点的，那么所得到的投影就是中心投影. 2. 画物体的三视图的口诀：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等. 注意：几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线画成虚线.
C. 逐渐变长
D. 先变长后变短
考点点拨：本考点的题型一般为选择题或填空题，难度较低. 解答本考点的有关题目，关键在于熟练掌握平行投影和中心投影的定义及其特点，并能根据两种投影的特点来判断或画出投影的形状.
考点2 几何体的三视图
考点精讲
【例2】（2016梅州）如图1-6-4-3，几何体
的俯视图是
中考考点精讲精练
考点1 图形的投影
考点精讲
【例1】春蕾数学兴趣小组用一块正方形木板在阳光下做投影
实验，这块正方形木板在地面上形成的投影可能是
（写
出符合题意的两个图形即可）.
思路点拨：在同一时刻，平行物体的投影仍然平行，所以得到
的应是平行四边形或特殊的平行四边形.
答案：正方形、菱形（答案不唯一）
考题再现
（）
思路点拨：根据从上往下看物体，得到的视图是俯视图可得答案. 答案：D
考题再现
1. （2016广州）如图1-6-4-4所示的几何体的左视图是（ A）
2. （2015佛山）如图1-6-4-5所示的几何体是由若干大小相同的小立方块搭成，则这个几何体的左视图是（ D ）
考点演练
3. 如图1-6-4-6是由两个相同的小正方体和一个圆锥体组成

人教版九年级数学Unit 6知识要点总结

人教版九年级数学Unit 6知识要点总结
1. 几何图形与应用
- 了解多边形、正多边形、相似多边形的概念，熟悉其性质及判断方法。

- 掌握计算多边形的边数、内角和、外角和的方法。

- 了解圆的性质并能应用到实际问题中。

2. 平移与二次坐标系
- 掌握平面平移的概念及性质。

- 理解向量的概念，能进行向量的加减运算。

- 熟练使用平移变换解决几何问题。

- 掌握平面直角坐标系的概念及相关性质。

3. 图形的旋转
- 熟悉图形的旋转概念及性质。

- 掌握图形按规定点旋转的方法。

- 能通过旋转变换解决几何问题。

4. 等腰三角形与等边三角形
- 了解等腰三角形及等边三角形的概念及性质。

- 能判断三角形的边长和角度是否相等。

5. 相似三角形
- 了解相似三角形的概念及性质。

- 能判断两个三角形是否相似。

- 能利用相似三角形的性质计算未知边长或角度。

6. 初步认识三角函数
- 了解正弦、余弦、正切的概念及性质。

- 掌握计算三角函数值的方法。

以上是人教版九年级数学Unit 6的知识要点总结。

注意：
本文档内容仅为总结要点，具体的数学知识及计算方法需要参考教材或向老师咨询。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

（2）相似三角形的判定 ①基本定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. ②判定定理1：三边成比例的两个三角形相似. ③判定定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. ④判定定理3：两角分别相等的两个三角形相似. （3）相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等，对应边成比例. ②相似三角形的周长的比等于相似比.
中考考点精讲精练
考点1 比例的有关概念和性质
考点精讲
【例1】如图1-6-2-3，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A，B，C和D，E，
F. 已知
则的值为（）
考题再现 1. （2016兰州）如图1-6-2-4，在△ABC中，DE∥BC，
（ C）
2. （2016杭州）如图1-6-2-5，已知直线a∥b∥c，直线m交
DE=6，则EF=__9___.
考点点拨：本考点的题型一般为选择题或填空题，难度较低. 解答本考点的有关题目，关键在于熟练掌握比例、平行线分线段成比例、黄金分割等的概念及性质（相关要点详见“知识梳理”部分）.
考点2 相似多边形和相似比
考点精讲
【例2】两个相似多边形的面积比是9∶16，其中较小多边形
直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于的值为
（ D）
4. 已知点C是AB的黄金分割点（AC＞BC），若AB=4 cm，则AC
的长为
（A）
5. 如图1-6-2-6，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分
别交于点A，B，C和点D，E，F，
③相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应高）的比都等于相似比. ④相似三角形的面积的比等于相似比的平方. 5. 图形的位似（1）位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心. 注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行. （2）位似图形与坐标: 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，
（5）黄金分割：把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），使得AC2＝AB·BC，则点C叫做线段AB的黄金分割点，其中
2. 相似图形（1）定义：形状相同的图形叫做相似图形. （2）性质 ①相似图形的形状必须完全相同. ②相似图形的大小不一定相同. ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况.
（ B）
B. 1∶2
C. 2∶1
D. 4∶1
考点演练
2. 如图1-6-2-7，梯形ABCD中，AD∥BC，E，F两点分别在AB，
DC上. 若AE=4，EB=6，DF=2，FC=3，且梯形AEFD与梯形EBCF
相似，则AD与BC的长度比为
（ D）
A. 1∶2 C. 2∶5
B. 2∶3 D. 4∶9
考点点拨：本考点的题型一般为选择题或填空题，难度较低. 解答本考点的有关题目，关键在于掌握相似多边形的概念和性质. 注意以下要点：（1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例（即相似比）；（2）相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
第一部分教材梳理
第六章图形与变换、坐标第2节图形的相似
知识梳理
概念定理
1. 比例的有关概念和性质（1）线段的比：两条线段的长度之比叫做两条线段的比. （2）比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于
另外两条线段的比段叫做成比例线段，简称比例线段.
那么这四条线
（4）平行线分线段成比例 ①定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
主要公式
如图1-6-2-1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则满足△ABC∽△DBA∽△DAC，则有：①AB2=BD·BC； ②AD2=BD·DC；③AC2=CD·BC.
方法规律
判定三角形相似的几种思路方法（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 这是判定三角形相似的一种基本方法，当已知条件中有平行线时可考虑采用此方法.这里，相似的基本图形可分别记为“A” 型（如图1-6-2-2①）和“X”型（如图1-6-2-2②），在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形.
（2）三边法：三组对应边成比例的两个三角形相似. 若已知条件中给出三组边的数量关系时，可考虑证明三边成比例.
（3）两边及其夹角法：两组对应边成比例且夹角对应相等的两个三角形相似. 若已知条件中给出一对等角时，可考虑找夹边成比例；反之，若已知夹边成比例，可考虑找夹角相等. （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似. 若已知条件中给出一对等角时，可考虑再找另一对等角.
3. 相似多边形（1）定义：如果两个多边形的对应角相等，对应边成比例，则这两个多边形是相似多边形. （2）相似多边形对应边的比叫做相似比. （3）相似比为1的相似多边形是全等形. （4）性质：①对应角相等；②对应边成比例；③周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 4. 相似三角形（1）定义：如果两个三角形的对应边成比例，对应角相等，那么这两个三角形相似.
的周长为36 cm，则较大多边形的周长为
（）
A. 48 cm
B. 54 cm
C. 56 cm
D. 64 cm
思路点拨：根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似
比，而面积之比等于相似比的平方计算即可.
答案：A
考题再现
1. （2014佛山）若两个相似多边形的面积之比为1∶4，则它
们的周长之比为 A. 1∶4
考点3 相似三角形的性质
考点精讲【例3】（2015佛山）如图1-6-2-8所示，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是AD上的点，且AE=EF=FD. 连接 BE，BF，使它们分别与AO相交于点G，H. （1）求EG∶BG的值；（2）求证：AG=OG；（3）设AG=a，GH=b，HO=c，求a∶b∶c的值.