不等关系与不等式教学设计

《不等关系与不等式》教案

【教学目标】

1．掌握比较两个实数大小的方法——差值比较法，理解不等关系的传递性，能够运用比较实数大小的方法比较两实数的大小

2．通过对具体问题的分析，培养学生的分析归纳能力,培养学生代数变形的能力，提高学生解决实际问题的能力

3．通过问题情境，激发学生的学习动机和好奇心理，使其主动参与交流活动。通过对问题的提出、思考、解决培养学生自信、自立的优良心理品质。通过教师对例题的讲解培养学生良好的学习习惯及科学的学习态度

【重点难点】

重点：比较实数大小的方法．

难点：1.比较实数大小方法中的代数变形；

2.比较实数大小方法的实际应用

【教学方法】体验法、合作讨论法

【教学过程】

(一)创设情境

泰山旺季门票原价为180元，现推出两套优惠方案(两人以上集体购票时可选择以下任一种方案)

优惠方案A：买全票一张，则其余票可享受八折优惠；

优惠方案B：按团体购票，一概优惠30元.

为了使门票花费最少，请各位同学发动你们的智慧想一想该选择哪种方案？

教师：5-7人，由学生先对多种情况进行讨论。

合作交流：同桌讨论合作完成下列表格（作业纸）

（学生思考演算并请学生回答结果）

由此我们知道在实际的生活中经常会碰到比较大小的问题，这就是我们这节课所要学习的1.2节比较大小（板书课题同时幻灯片出示课题）

继续就上述情境提问：对于人数确定的情况，两个具体的实数我们很容易比较大小，如果人数不确定呢，又该如何比较大小？

若设人数为n ，记采用方案A 的费用为)(n f ，采用方案B 的费用为)(n g ，则36144)(+=n n f ，n n g 150)(=

接着我们要比较就是这两个代数式子的大小，我们该怎么办呢？（学生思考）

对于这两个式子来说，它们有以下的三种大小关系： 60)()()()(<⇒>-⇔>n n g n f n g n f 60)()()()(=⇒=-⇔=n n g n f n g n f 60)()()()(>⇒<-⇔

当 6=n 时，选择两种方案都一样； 当 6>n 时，选择方案A. 这样我们的问题就解决了。 归纳小结：

任意两个实数a ，b 都能比较大小：

如果a －b>0，则a>b;

如果a －b<0，则a

要求学生明确要确定两个实数的大小，只需确定他们的差a －b 与0的大小关系。

以上就是比较两个数（或式）的大小的方法——差值比较法.其实差值比较法我们很早就已经用过了，请同学们回忆一下哪里用过？（研究函数的单调性的时候，作差）

下面我们再看几个比较大小的例题 (二)范例启迪 （出示例1）

例1：试比较(1)(5)x x ++与2(3)x +的大小

分析：其差为常数，学生很容易得到答案，对学生进行肯定与表扬 解：(1)(1)(5)x x ++-2(3)x +

=)56(2++x x -（962++x x ） =-4<0

∴(1)(5)x x ++<2(3)x +

（出示例2）

例2：比较32+x 与3x 的大小

分析：学生提出作差，但是对结果不容易判定正负，故引导学生向配方的方向走。教师要捕捉学生的闪光点，若有同学说该式子恒大于0，则应追问原因，直到解决这个问题。若用函数观点去看这个问题，顶点在x 轴上方，且开口向上，故函数值恒大于0

解： 32+x -x 3=4

3)23

(2+-x >0

∴32+x >x 3 （出示例3）

例3.当1

分析：学生会发现例3与例2惊人的相似,学生想到的肯定先是做差和配方但是学生会得到以下结果：4

1)23(3222--=-+x x x ，发现不能判定正负，教师正好提醒，既然配方

法不能用，还有其他的方法吗？从函数观点来看，顶点在x 轴下方，图象开口向上，所以函数图象与x 轴有两个交点，故方程0232=+-x x 是有根的，可以将解析式改为两根式表示，即将其因式分解。 解： 22+x -x 3=(1-x )(2-x )

10, 2-x <0

∴(1-x )(2-x )<0

∴22+x

差值比较法的一般步骤：1.作差 2.变形 3.定号 4.下结论 （配方法和因式分解为代数变形的常用方法） （三）课堂小练

比较大小除了差值比较法之外，还有很多其他的方法。

练习1、比较)5)(3(-+a a 与)4)(2(-+a a 的大小 练习2、比较x x -2与2-x 的大小关系 练习3、当x>1时,x x 322+与6+-x 的大小

例：如何比较3.02和23.0的大小？

如果学生自己找出答案应给予表扬，若学生思考无果，则如下引导：

（1）3.02和1哪个大？ （2） 23.0与1哪个大？ 学生恍然大悟：2003.03.03.0122>==>

不等关系的传递性（间接比较大小的理论依据） 若a>b,b>c,则a>c.

例：建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积。但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好。试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由。

分析：例2以建筑设计为背景，研究比较大小在实际生活中的应用，这是一个难点.应该指导学生进行正确的审题。

解：设住宅窗户面积和地板面积分别为a 和b ，同时增加的面积为m ，根据问题的要求b a <，且%10≥b

a .

由于0)

()

(>+-=-++m b b a b m b a m b m a ， 于是

b a m b m a >++，又%10≥b a

， 因此 %10≥>++b

a

m b m a

所以，同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了！

结论：一般地，设a ，b 为正实数，且0,>

b

a

m b m a >++