高考数学压轴难题归纳总结提高培优专题3.12 综合求证多变换几何结合代数算

【题型综述】

综合求证问题有以下类型：（1）证明直线过定点，设出直线方程，利用题中的条件与设而不求思想找出曲线方程中参数间的关系，即可求出定点.

(2)定值问题就是证明一个量或表达式的值与其中的变化因素无关，这些变化的因素可能是直线的斜率、截距，也可能是动点的坐标等，这类问题的一般解法是使用变化的量表示求证目标，通过运算得知求证目标的取值与变化的量无关．当使用直线的斜率和截距表示直线方程时，在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系，把双参数问题化为单参数问题解决．

（3）恒等式的证明问题，将恒等式转化为常见的弦长、距离之比或向量关系等问题，进而转化为直线与圆锥曲线的交点坐标问题，利用设而不求思想及韦达定理即可证明.

(4)几何图形性质的证明，利用几何图形性质与向量运算的关系，转化为向量的运算或直线的斜率关系，再用直线与圆锥曲线的交点坐标问题，利用设而不求思想及韦达定理即可证明.

【典例指引】

类型一证明分点问题

例1【2017北京，理18】已知抛物线C：y2=2px过点P l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.

（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点..

直线ON

B

故A 为线段BM 的中点.类型二

几何证明问题

例2.【2015高考湖南，理20】已知抛物线2

1:4

C x y =的焦点F 也是椭圆一个焦点，1C 与2C 的公共弦的长为（1）求2C 的方程；

（2）过点F 的直线l 与1C 相交于A ，B 两点，与2C 相交于C ，D 两点，且AC

与BD

同向

（ⅰ）若||||AC BD =，求直线l 的斜率

（ⅱ）设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形

，令0=y ，得，而11(,1)FA x y =- ，于是，因此AFM ∠是锐角，从而180MFD AFM ∠=-∠ 是钝角.，故直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形.类型三

等式证明

例3【2015高考上海，理21】已知椭圆2

2

21x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别于椭圆交于A 、B 和C 、

D ，记得到的平行四边形CD AB 的面积为S .

（1）设()11,x y A ，()22C ,x y ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明（2）设1l 与2l 的斜率之积为，求面积S 的值.

类型四长度关系证明

例4.【2016高考四川】已知椭圆E

E上. (Ⅰ)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)设不过原点O且斜率为1

2

的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭

圆E 交于

【扩展链接】

1.圆锥曲线以P (x 0，y 0)(y 0≠0)为中点的弦所在直线的斜率分别是：k ＝－b 2x 0a 2y 0(椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1)，k ＝

b 2x 0a 2y 0(双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1)，k ＝p y 0(抛物线y 2

＝2px )，其中k ＝y 2－y 1x 2－x 1

(x 1≠x 2)，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为弦端点的坐标．

2.给出0=⋅MB MA ,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=⋅m MB MA ,等于已知

AMB ∠是钝角,给出0>=⋅m MB MA ,等于已知AMB ∠是锐角；

3.在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-⋅+AD AB AD AB ，等于已知ABCD 是菱形;

4.在平行四边形ABCD 中，给出||||AB AD AB AD +=-

，等于已知ABCD 是矩形;

【同步训练】

1．如图，圆C 与x 轴相切于点T（2，0），与y 轴正半轴相交于两点M，N（点M 在点N 的下方），且|MN|=3．（1）求圆C 的方程；

（2）过点M 任作一条直线与椭圆

相交于两点A、B，连接AN、BN，求证：∠ANM=∠BNM．

【思路点拨】（1）设圆C 的半径为r（r＞0），依题意，圆心坐标为（2，r），根据|MN|=3，利用弦长公式求得r 的值，可得圆C 的方程．

（2）把x=0代入圆C 的方程，求得M、N 的坐标，当AB⊥y 轴时，由椭圆的对称性可知∠ANM=∠BNM，当AB 与y 轴不垂直时，可设直线AB 的方程为y=kx+1，代入椭圆的方程，利用韦达定理求得K AB +K BN =0，可得∠ANM=∠BNM．

综上所述，∠ANM=∠BNM．

2.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过（1，1）与（，）两点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，椭圆C上一点M满足|MA|=|MB|．求证：++为定值．

【思路点拨】（1）把（1，1）与（，）两点代入椭圆方程解出即可．

（2）由|MA|=|MB|，知M 在线段AB 的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A、B 关于原点对称．

①若点A、B 是椭圆的短轴顶点，则点M 是椭圆的一个长轴顶点；同理，若点A、B 是椭圆的长轴顶点，则点M 在椭圆的一个短轴顶点；直接代入计算即可．

②若点A、B、M 不是椭圆的顶点，设直线l 的方程为y=kx（k≠0），则直线OM 的方程为

，设A（x 1，

y 1），B（x 2，y 2），与椭圆的方程联立解出坐标，即可得到=，同理

，代入要求的式子即可．