小概率事件的应用

小概率时间的原理与应用

侯志飞

地信

201114430116

对小概率事件的认识

概率是刻画随机事件发生可能性大小的数量指标。一个随机事件发生的可能性大小是由它自身决定的，是它自身的一种属性，不受你是否认识到或者是否计算出来的影响，它是客观存在的。在概率论问题中，一般把概率很小很接近于零的事件称为小概率事件。那么，具体概率小到何种程度才算小概率事件呢？概率论中不作具体规定，而是指出不同场合有不同的标准，视事件的重要性而定，一般多采用0.01、0.05这两个值，即事件发生的概率在0.01或0.05以下的事件成为小概率事件，这两个值称为小概率标准。当事件的发生会产生严重后果（如雪崩、山洪、沉船等）时，那么小概率事件的阀值应选得比这两个值更小一些，否则可以选得大一些。

小概率事件原理是概率论中具有实际应用意义的基本理论，又称为似然推理，根据大量重复试验中事件出现的频率接近于它们的概率，即指：若事件A 为小概率事件，但在一次或少数次试验中小概率事件A居然发生了，就有理由认为情况不正常，事件A不应该发生。小概率事件原理又称为小概率事件不发生原理，但应该明确：若某试验中出现A的概率为ε，不管ε>0如何小，如果把试验不断独立地重复下去，那么A迟早必然会出现一次，从而也必然会出现任意多次，

ε-，因为第一次试验中A不出现的概率为1-ε，前n次A都不出现的概率为()

1n

ε-。当n→∞时概率趋于1，因此前n次试验中A至少出现一次的概率为1-()

1n

这表示A迟早会出现1次的概率为1。出现A以后，把下次试验当作第一次，重复上述推理，可见A必然再次出现。

由以上分析可看出，小概率事件并不是不可能事件，所以我们在实际生活和工作中不能忽视小概率事件。小概率事件是否可以忽略，要具体问题具体分析，例如，任何小概率的事件对航天飞机来说都有可能是致命的，而一批皮鞋中有0.01的次品却无妨大碍。在较复杂的问题中，利用小概率事件原理可以帮助我们透析小概率事件发生现象的更深背景

小概率原理的推断方法

定理一（伯努利大数定律）在n 次独立重复试验中，记事件A 发生的次数是A n ，p 是A 发生的概率，则对于任意ε>0， 有lim 1A n n p p n ε→∞⎛⎫-<= ⎪⎝⎭或lim 0A n n p p n ε→∞⎛⎫-≥= ⎪⎝⎭

， 根据伯努利大数定律，事件A 发生的频率依概率收敛于事件A 发生的概率，就是说，当n 很大时，事件A 发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小，假设某事件A 发生的概率很小，由实际推断原理，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件A 的频率来代替概率。倘若某事件A 出现的概率α甚小，则它在大量重复试验中出现的频率应该很小。

小概率事件在彩票中的应用

生活中，很多人爱买彩票，也有人因此而一夜暴富。彩票已成为我国不少城市居民投资的一个渠道。如果运气好，少量的投资将换来惊人的收益。正因如此，彩票才有市场，吸引众多的投资者购买。我们都知道买彩票中奖是小概率事件，我们来看一个实例：一种福利彩票称为幸福35选7，即从01，02，…，35中不重复地开出7个基本号码和一个特殊号码。其中各等奖的规则如下，试求各等奖的中奖概率。

解：因为不重复地选号码是一种不放回抽样，所以样本空间Ω含有357⎛⎫ ⎪⎝⎭

个样本

点。要中奖应把抽样看成是在三种类型中抽取：

第一类号码：7个基本号码；

第二类号码：1个特殊号码；

第三类号码：27个无用号码。

在三类号码中抽取，若记i P 为第i 等奖的概率（i=1，2，…，7），可得各等奖的中奖概率如下：

1P = 7127700357⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭= 16724520= 60.14910-⨯ 2P =7127610357⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭=76724520=61.0410-⨯ 3P =7127601357⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭=1896724520=628.10610-⨯ 4P =7127511357⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭=5676724520=684.31810-⨯

5P =7127502357⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭=73716724520=31.09610-⨯ 6P =7127412357⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭=122856724520=31.82710-⨯ 7P =71277127403313357⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭=2047506724520=330.44810-⨯ 若记A 为事件“中奖”，则A 为事件“不中奖”则

由P(A)+P(A )=P(Ω)=1可得

P （中奖）= P(A)= 1P +2P +3P +4P +5P +6P +7P =2251706724520

=0.033485 P （不中奖）= P(A )=1- P(A)=0.966515。

这就说明：一百个人中约有3人中奖；而中头奖的概率只有60.14910-⨯，即二千人万个人中约有3人中奖。

既然买彩票中最高奖的概率很小，为什么还会有人中奖呢？因为全国买彩票的人太多了，这就增大了中大奖的概率，产生最高奖就不足为奇了。那么，对

彩票，我们应该持何种态度呢？我认为，作为普通老百姓，一方面，一次只应该花几块钱、几十元或几百元，用有限的钱买几注或几十注彩票，因为彩票的中奖率，尤其是中大奖的概率，实在是太小，好比大海捞针，是可遇而不可求的；另一方面，要有一颗平常心，空闲时买几张彩票碰碰运气，算算号码，娱乐一下。中彩固然值得庆贺，未中彩也不要垂头丧气。须知，买彩票中大奖是小概率事件，而小概率事件是很少发生的。为了发展公益事业，我国发行了多种彩票，有些彩票的最高奖高达数百万元，但是在有限的几次试验中中高奖这种事件几乎是不可能发生的，买一张彩票就能中高奖的概率近似为零。尽管中高奖的概率微乎其微，但毕竟是公益事业，我们买彩票的时候一定要怀着造福社会奉献爱心的态度，中奖当然是好事，不中也应该泰然处之。

结束语

小概率事件原理的应用是十分广泛的，它是概率论中一个虽简单但颇有实用意义的原理，在日常生活中已有十分广泛的应用。它是概率论的精髓，是统计学存在发展的基础，它使得人们在面对大量数据而需要做出分析和判断时，能够依据具体情况的推理来做出决策，从而使统计推断具备了严格的数学理论依据。事实上，我们身边的概率问题还有很多，它常常在不经意间指导人们的实际生活。因此，如何对待小概率事件是人们处理工作和生活问题的必备科学素养。但只要我们善于把握，善于用概率的知识来解决问题，进一步认识和重视小概率事件的发生、发展、转化，小概率原理的应用将会更加广泛，我们的生活会越来越好。