理论力学 第11章 质点运动微分方程

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11第11章质点动力学的基本方程PPT课件

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略摩擦及AB质量;λ=r/l 较小时,以O为坐标原点,滑块B的运动方
程近似为
x l( 1 24 ) r [ct o (s 4 )c,试2 o 求t]s
t0和 时2,AB所受的力。
解:以滑块B为研究对象
mxaFcos
yA
O
F
FN
x
由滑块B的运动方程得
a x x r 2 (c to c s2 o t)s
§11-2 动力学的基本定律
牛顿三定律
第一定律(惯性定律) 不受力作用的质点,将保持静止或作匀速直线运动。
包括受平衡力系作用的质点
不受力作用的质点处于静止状态,或保持其原有的 速度(包括大小和方向)不变的性质称为惯性。
第一定律阐述了物体作惯性运动的条件,故称为惯 性定律。
§11-2 动力学的基本定律
从这种意义上说,动力学是理论力学中最具普遍意义 的部分,静力学、运动学则是动力学的特殊情况。
动力学的研究对象:低速、宏观物体的机械运动的普 遍规律。
动力学的力学模型
质点:质点是具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以 忽略不计的物体。 地球绕太阳的公转——质点 刚体的平动——质点
质点系:系统内包含有限或无限个质点,这些质点都具有惯性, 并占据一定的空间;质点之间以不同的方式连接或者 附加以不同的约束。 地球的自转——质点系
刚体:质点系的一种特殊情形——不变形的质点系 其中任意两个质点间的距离保持不变。
工程实际中的动力学问题
v1
F
v2
棒球在被球棒击 打后,其速度的大 小和方向发生了变 化。如果已知这种 变化即可确定球与 棒的相互作用力。
工程实际中的动力学问题 载人飞船的交会与对接
v2 v1
B A

理论力学-动量矩定理

理论力学-动量矩定理

d rC d vC vC , aC , dt dt
n d LC ri Fi e dt i
vC vC 0 ,
m a C Fie
n dLC M C (Fie ) dt i
相对质心的动量矩定理
质点系相对质心的动量矩定理
n n d LC e e ri Fi M C ( Fi ) i dt i
m v
i
i
m vC
LO rC m vC LC
相对质心的动量矩定理
质点系相对质心的动量矩定理
根据上式和质点系对固定点的动量矩定理,
n d LO d ( rC m vC LC ) ri Fi e dt dt i
ri rC rr
n n d rC d vC d LC e rC Fi ri Fi e m vC rC m dt dt dt i i
即有
LC ri mi vir
相对质心的动量矩定理
质点系相对质心的动量矩
质点系相对固定点的动量矩与质点系相对质心的动量矩 之间存在确定的关系。 质点系相对固定点的动量矩为
LO ri mi vi
i
因为 所以有 因为 所以有
ri rC rr
LO rC mi v i ri mi v i
刚体定轴转动微分方程
例 题 1
图示钟摆简化模型中,已知均质细杆 和均质圆盘的质量分别为m1 、m2 ,杆 长为l,圆盘直径为d。
ϕ
试求:钟摆作小摆动时的周期。 解:摆绕O轴作定轴转动。设ϕ 为任意 时刻转过的角度,规定逆时针为正。根 据定轴转动的微分方程
J z M z

理论力学课后习题答案

理论力学课后习题答案

第11章 动量矩定理一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”)1. 质点系对某固定点(或固定轴)的动量矩,等于质点系的动量对该点(或轴)的矩。

(×)2. 质点系所受外力对某点(或轴)之矩恒为零,则质点系对该点(或轴)的动量矩不变。

(√)3. 质点系动量矩的变化与外力有关,与内力无关。

(√)4. 质点系对某点动量矩守恒,则对过该点的任意轴也守恒。

(√)5. 定轴转动刚体对转轴的动量矩,等于刚体对该轴的转动惯量与角加速度之积。

(×)6. 在对所有平行于质心轴的转动惯量中,以对质心轴的转动惯量为最大。

(×)7. 质点系对某点的动量矩定理e 1d ()d nOO i i t ==∑L M F 中的点“O ”是固定点或质点系的质心。

(√)8. 如图所示,固结在转盘上的均质杆AB ,对转轴的转动惯量为20A J J mr =+ 2213ml mr =+,式中m 为AB 杆的质量。

(×)9. 当选质点系速度瞬心P 为矩心时,动量矩定理一定有e 1d()d nP P i i t ==∑L M F 的形式,而不需附加任何条件。

(×)10. 平面运动刚体所受外力对质心的主矩等于零,则刚体只能做平动;若所受外力的主矢等于零,刚体只能作绕质心的转动。

(×)图二、填空题1. 绕定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积。

2. 质量为m ,绕z 轴转动的回旋半径为ρ,则刚体对z 轴的转动惯量为2ρm J z =。

3. 质点系的质量与质心速度的乘积称为质点系的动量。

4. 质点系的动量对某点的矩随时间的变化规律只与系统所受的外力对该点的矩有关,而与系统的内力无关。

5. 质点系对某点动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力对该点之矩的矢量和等于零,质点系的动量对x 轴的动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力对x 轴之矩的代数和等于零。

理论力学第十一章 质点系动量定理讲解

理论力学第十一章 质点系动量定理讲解

结论与讨论
牛顿第二定律与 动量守恒
牛顿第二定律 动量定理 动量守恒定理
工程力学中的动量定理和动量守恒定理比 物理学中的相应的定理更加具有一般性,应 用的领域更加广泛,主要研究以地球为惯性 参考系的宏观动力学问题,特别是非自由质 点系的动力学问题。这些问题的一般运动中 的动量往往是不守恒的。
结论与讨论

O
第一种方法:先计算各个质点 的动量,再求其矢量和。
第二种方法:先确定系统 的质心,以及质心的速度, B 然后计算系统的动量。
质点系动量定理应用于简单的刚体系统
例题1
y vA
A

O
解: 第一种方法:先计算各个质点 的动量,再求其矢量和。
p mA v A mB vB
建立Oxy坐标系。在角度为任 意值的情形下
p mi vi
i
§11-1 质点系动量定理
动量系的矢量和,称为质点系的动量,又称 为动量系的主矢量,简称为动量主矢。
p mi vi
i
根据质点系质心的位矢公式
mi ri
rC
i
m
mi vi
vC i m
p mvC
§11-1 质点系动量定理
质点系动量定理
对于质点
d pi dt
质点系动量定理应用
动量定理的
于开放质点系-定常质量流 定常流形式
考察1-2小段质量流,其 受力:
F1、F2-入口和出口 处横截面所受相邻质量流 的压力;
W-质量流的重力; FN-管壁约束力合力。
考察1-2小段质量流, v1、v2-入口和出口处质量流的速度; 1-2 :t 瞬时质量流所在位置; 1´-2´ :t + t 瞬时质量流所在位置;

理论力学:第11章 动量矩定理

理论力学:第11章 动量矩定理
对定点 O: LO mO (MvC ) IC
对瞬心 C': LC IC
11.2 动量矩定理
一、 质点动量矩定理
由牛顿第二定律: ma F
易证:
dmO (mv )
dt

mO
(F)
微分形式动量矩定理
其中 O 为定点。


dmO (mv) mO (dS )
LH

P vr
b
1
Q r2
Q vC
r
b
sin



1
Q r2
g 2 2 g
g 2 2g

(P

2Q)r

P
b b
(1

sin

)
vC g
系统外力对 H 的力矩:
11-3
ΣmH
(F
(e)
)

m

P
r

b


Q
b

Q
sin
绳子剪断前为静力学问题,易求反力。
绳子剪断后为定轴转动动力学问题,用质心运动定理求: MaC
F (e)
但需要先求出 aC ,用刚体定轴转动微分方程可求: Iz mz (F (e) )
11-5
解:I. 绳子剪断前,受力如图(a)。 W
由对称性: N A0 2
II. 绳子剪断瞬时,受力、运动如图(b)。
11-2
欲用动量矩定理求 aC , aC 只跟三个运动物体有关,并且有一个“轴”O,如图。 但其中的 N 如何处理?
事实上,滚子沿斜面法向是静平衡的, N = Q cosα。 解:① 求加速度 aC 。

理论力学第十一章动量矩定理

理论力学第十一章动量矩定理

JO
d 2
dt 2
mga
即:
d 2
dt 2
mga
JO
0
解: 令 2 mga
JO
——固有频率

2 0
通解为 O sin(
mgat )
JO
周期为 T 2 2 JO
mga
例11-3 用于测量圆盘转动惯量的三线摆中,
三根长度相等(l)的弹性线,等间距悬挂被测量的圆盘。
已知圆盘半径为 R、重量为W。
dt
dt dt
v dr dt
r d(mv) d(r mv)
dt
dt
dLO dt
MO F
矢量式
质点对固定点的动量矩对时间的导数等于作 用于质点上的力对该点的矩。
★ 质点系的动量矩定理
0
d
dt
i
ri mivi
i
MO (Fii )
i
MO (Fie )
MO (Fie )
i
F2
z
F1
LO rC mvC LC
dLO d
dt dt
rC mvC LC
ri Fie (rC + ri) Fie
rC Fie ri Fie


drC dt
mvC
rC
d dt
mvC
dLC dt
rC
Fie
dLC dt
由于
① ① drC dt
② vC ,
drC dt
mvC
★ 相对质心的动量矩
LC MC mivi ri mivi
vi vC vir
LC = rimivC rimivir
其中
ri mivC ( miri)vC 0 (rC

理论力学第11章动量定理

理论力学第11章动量定理
动量定理关注物体的运动状态,而能量守恒定律关注物体的能量转化与守恒。在一些特定情况下,两个 定律是相关的。
总结和应用
动量定理是解释和分析物体运动的重要工具,可以应用于各个领域,帮助我们理解世界的运动规律。
理论力学第11章动量定理
动量定理是研究物体运动的基本定律之一。它包括动量的基本概念、动量守 恒定律、数学表达式、弹性碰撞和非弹性碰撞的动量定理、应用举例、与能 量守恒定律的关系等内容。
动量的概念
动量是描述物体运动状态的物理量,是质量和速度的乘积。它能够帮助我们理解物体如何受力而改变运 动状态。
动量守恒定律
动量定理的应用举例
1
汽车碰撞
动量定理可以帮助我们分析汽车碰撞的力学过程,对交通事故进行研究和安全设计提 供指导。
2
火箭发射
火箭发射过程中动量定理的运用可以帮助我们计算火箭的推力和速度变化,实现太空 探索。
3
球类运动
动量定理可以解释为什么球在击打或投掷时会有反冲,以及如何提高球的射击速度和 力量。
动量定理与能量守恒定律的关系
动量守恒定律指出,在一个封闭体系内,当没有外力作用时,系统的总动量保持不变。这个定律在研究 碰撞和爆炸等过程中非常重要。
动量定理的数学表达式
动量定理的数学表达式为力的作用时间等ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ物体动量变化的量。它可以帮助 我们计算力对物体的作用效果以及物体的运动状态。
弹性碰撞和非弹性碰撞的动量定理
弹性碰撞中,动量守恒定律成立,而非弹性碰撞中,动量守恒定律不完全成立。这两种碰撞过程中动量 定理的应用有所不同。

理论力学10质点运动微分方程

理论力学10质点运动微分方程

= mgR 2,于是火箭在任意位置 x 处所受地球引力 F 的大
小为
m g R2 F = x2
(b)
(3)列运动方程求解,由于火箭作直线运动,
火箭的直线运动微分方程式为:m
分离变量积分式(c)
d2 dt
x
2
mg R2 x2
(c)
因 为
d d2 tx 2d dv td dv xd dx tvd dv x
其次,定律还指出,若质点的运动状态发生改 变,必定是受到其他物体的作用,这种机械作用就 是力。
第二定律(力与加速度关系定律)
质点的质量与加速度的乘积,等于作用于质点的 力的大小,加速度的方向与力的方向相同。
设质点M的质量为m,所受的力为F,由于力F的
作用所产生的加速度为a,如图10-1所示。则此定律
以上两例都是动力学的第一类基本问题,由此可
归纳出求解第一类问题的步骤如下:
(1) 取研究对象并视为质点; (2)分析质点在任一瞬时的受力,并画出受力图; (3) 分析质点的运动,求质点的加速度; (4) 列质点的运动微分方程并求解。
例10-3 以初速v0自地球表面竖直向上发射一质量 为 m 的火箭,如图10-6所示。若不计空气阻力,火箭所
解:取质量块为研究对象,并视其为质点。质
量块沿x方向作直线运动,弹性杆对质量块的作用相 当于一弹簧,图10-8(b)是该系统的计算模型。
设弹簧刚度系数
为 k ,任意位置时弹
a
在静力学中,我们研究了力系的简化和平衡问题, 但没有研究物体在不平衡力系作用下将如何运动。在 运动学中,我们仅从几何学的角度描述了物体的运动 规律及其特征,并未涉及物体的质量(Mass)及其所受 的力。因此,静力学和运动学都是从不同的侧面研究 了物体的机械运动。

理论力学第十一章动量矩定理

理论力学第十一章动量矩定理
当物体作直线运动时,可以用质量作为物体运动惯性的度量; 而当物体绕某轴转动时,转动惯性的大小不仅与质量有关,而 且与半径有关。物体的质量分布距转轴的距离越远,转动惯性 就越大,亦即,越不容易改变转动运动的状态。
2.规则几何形状物体的转动惯量
J Z = ∫ r 2 dm
均质圆环:
J z = ∑ ΔmR 2 =MR 2
往三个坐标轴投影:得到质点对轴的动量矩定理: d m x (mv ) = m x ( F ) dt d m y (mv ) = m y ( F ) dt d m z (mv ) = m z ( F ) dt (1)若Σmo(F)≡0, mo(mv)=常矢量; 两种特殊情况: (2)若Σmx(F)≡0, mx(mv)=常量。 以上两种情况均称为动量矩守恒
R 别为J 1 和J 2 ,两轮的半径分别为 R1 、 2 ,传 动比 i12 = R2 / R1 。轴Ⅰ上作用主动力矩 M 1 , 轴Ⅱ上有阻力矩 M 2,转向如图。忽略摩擦。 求轴Ⅰ的角加速度。
例 图示传动轴,轴Ⅰ和轴Ⅱ的转动惯量分

M2
M1

解 :分别取轴Ⅰ和Ⅱ为研究对象。受力如图。 两轴对各自轴心的转动微分方程分别为
体积
2π R
π R2
4 π R3 3
4π R 2
Δm
1 1 J O = ∑ ΔMR 2 = MR 2 2 2
N维球
均质直杆:
J z = ∫ x 2 ρ l dx =
0
l
ρl l 3
3
1 2 J z = Ml 3
z
1 1 2 2 J z = ∑ (Δm)l = Ml 3 3
l
x
z
dx
Δm
x

理论力学第11章分析运动学及刚体的合成运动

理论力学第11章分析运动学及刚体的合成运动

例如两个质点 P1 , P2 在运动过程中保持距离 l 不 变(图11-2),则存在1个独立约束方程
x1 x2
2
y1 y2 z1 z2 l 2
2 2
(d)
r 1 代入式(11-6),得出该系统 将 n2 , 的自由度为 f 5 。
若完整系统中各质点均被限制在一平面内运动,
(11-4)
广义坐标确定以后,多余坐标即可由约束方程 (11-4)确定,系统的位形也随之完全确定,成为 广义坐标和时间的函数:
xi xi q1 , q2 ,
, qf ,t
(11-5a) (11-5b)
yi yi q1 , q2 ,
, qf ,t
zi zi q1 , q2 ,
11.1 分析运动学
在工业生产及科学技术的发展中出现了许多复杂的机器, 其中包括能完成各种运动功能的新奇机构。例如汽车装配线上 的机械手,它是一个仿人机器,但比人的手臂有更多的关节, 因而它的手端可以越过各种障碍伸到车身内部隐蔽的角落进行 焊接、装配和其它加工。航天领域中的遥控火星车,是由车身 及各种外伸部件(天线、摄像机、探测仪、行走机构等)组成。 在火箭由地球表面发射时,这些外伸部件都收拢起来以便装进 位于火箭顶部的空间探测器中;火星车在火星着陆后,再由各 种伸展机构将它们从车身中陆续展开到预定位置锁定,或根据 控制指令做相应的运动。在这些复杂机构的设计、运行工程中, 运动学分析是极为重要的一环;包括了解机构各部件的位置范 围、运动规律、角速度与角加速度,各有关点的轨迹、速度、 加速度以及各点运动之间的关系。解析法可以分析运动的全过 程,而且操作过程规范;现代计算技术的发展与计算机的普及 又可以克服解析法存在的数学推导繁冗、计算量大的缺点;因 此,应用计算机进行电算在复杂机构的综合、设计、分析与优 化(统称CAD)中得到了愈来愈多的应用。

第11章动力学基础(牛顿定律质点的运动微分方程).

第11章动力学基础(牛顿定律质点的运动微分方程).

动力学两 类基本问 题:
(1) 已知运 动求力; (2) 已知力 求运动。
ma F
此外,尚有虚位移原理(分析力学一部分)——用动力学方法求解静力学 问题。
6
(动)力学原理分类:
先了解一下
微分 形式 力学 原理 积分 形式
非变分形式(如牛顿定律、普遍定理、 达朗伯原理、拉氏方程) 变分形式(如虚位移(功)原理、动力 学普遍方程) 非变分形式(如普遍定理、能量守恒原理) 变分形式(如哈密顿原理)
8
三、质点运动微分方程(动力学基本方程)(指惯性参考系下)
即牛二定律的微分形式: ma F
d 2r 矢径式 m 2 F dt
d2 x m 2 X dt 2 d 直角坐标式 m y Y 2 dt d2 z m 2 Z dt
d2s m 2 F dt 2 v 自然坐标式 m Fn 0 Fb
作业:11-3, 11-4
10
如此诸多名称,你一下子记不住,可以在后面学习中 慢慢理解。
7
第11章 动力学基础(牛顿定律 质点的运动微分方程)
牛顿三大定律——动力学的理论基础(相当于静力学的公理)
复习或简介以下内容:
一、牛顿三大定律: 请同学叙述,请其他同学回答叙述是否正确。
问题:牛顿定律对刚体是否成立?
二、(运动)参考系:
提问:①什么是惯性参考系和非惯性参考系?一般如何确定惯性参考系?
4
哲 学 家 云: 静止是相对的,运动是绝对的 物理学家云:静止是相对的,运动也是相对的
运动学——仅从几何角度 研究 物体 的 运动规律。
(动)点 刚体 (无质量) 绝对法 合成法 点的 运动 学

理论力学11质点动力学基本方程

理论力学11质点动力学基本方程

m
研究小球
受力分析
运动分析
FT
建立直角坐标系, 根据质点运动微分方程
Fix max: FT sin ma0
y
mg
Fiy may: mg FT cos 0
x
a0 a0
FT sin ma0 mg FT cos 0
解得绳的倾角以及绳中的张力分别为
arctan a0
g FT m a02 g2
y
v
积分两次,得到
m
v0
x C1t C3
y
1 2
gt2
C2 t
C4
O
mg
x
根据运动初始条件,求出积分常数,得物体的运动方程
x v0 cos t
y
v0
sin
t
1 2
gt 2
从运动方程中消去时间参数 t ,即得物体的轨迹方程
y
tan x
2v02
g
cos2
x2
可见,其轨迹为抛物线
[例4] 摆动输送机由曲柄带动货架 AB 输送质量为 m 的木箱。已知曲
动力学
动力学: 研究力与运动之间的关系 动力学第Ⅰ类问题: 已知运动求力 动力学第Ⅱ类问题: 已知力求运动
第十一章 质点动力学基本方程
一、质点动力学基本方程
F ma 式中,m 为质点质量、 a 为质点加速度
F 为作用于质点上的合力,即 F Fi
一、质点动力学基本方程
F ma
说明: 1)在国际单位制中,m 的单位为 kg、a 的单位为 m/s2、 F 的单位为 N
0.35
O1
0 aA
A
O2
m
B
所以,木箱与货架间静摩擦因数的最小值

理论力学第11章(动量矩定理)

理论力学第11章(动量矩定理)
线相连,使杆AC与BD均为铅垂,系统绕 z 轴的角速度为0。如某时 此细线拉断,杆AC和BD各与铅垂线成a 角。不计各杆的质量,求这 时系统的角速度。
解:以系统为研究对象,系统所受的外力有小球的重力和轴承处的反
力,这些力对转轴之矩都等于零。所以系统对转轴的动量矩守恒,即
Lz1 Lz2
z
z
Lz1 2(ma0 )a 2ma20
质点系对任一固定点的动量矩 对时间的导数,等于作用在质 点系上所有外力对同一点之矩 的矢量和(外力系的主矩)。
将上式在通过固定点O的三个固定直角坐标轴上投影,得:
dLx dt
Mx(F(e))
,
dLy dt
M y(F(e))
,
dLz dt
Mz(F(e))
上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任 一固定轴的动量矩对时间的导数,等于作用在质点系上所有 外力对同一固定轴之矩的代数和(外力系对同一轴的主矩)。
理论力学
9
将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影,得
d dt
M
x
(mv
)
M
x
(F
),
d dt
M
y
(mv )
M
y
( F ),
d dt
M
z
(mv )
M
z
(F
)
上式称质点对固定轴的动量矩定理,也称为质点动量矩定 理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数, 等于作用在质点上的力对同一轴之矩。
理论力学
14
[例3] 已知: PA PB ; P ; r 。求 。
解: 取整个系统为研究对象,
受力分析如图示。
运动分析: v =r

11-2 质心运动定理

11-2 质心运动定理
B
r
aB
B O
aB
mA g
A
A相对于 的加速度: 相对于B的加速度 相对于 的加速度:a
θ
ar
x
mB g
的绝对加速度: 则A的绝对加速度:a + a 的绝对加速度 B r
FN
§11-3
质心运动定理
质心运动守恒定律的应用。 解: (1) 求d。质心运动守恒定律的应用。 向左移动的距离d。 设B向左移动的距离 。 向左移动的距离
§11-3
质心运动定理
4. 小结:动量守恒定律、质心运动守恒定律 小结:动量守恒定律、
(e) Fx = 0 ∑
x方向上动量守恒 方向上动量守恒
px = mvCx = mvCx0 = Cx
(e) Fx = 0 ∑
初始静止
x方向上质心守恒 方向上质心守恒
xC = C : xC
或:∆x = 0 C
∑m x = ∑m
i
i Ci
=C
∑mi ∆xCi = 0 ∆xC = ∑mi
∑m ∆x
i
Ci
=0
§11-3 例11-11 11-
质心运动定理
如图所示, 静止的小船上, 如图所示,在静止的小船上,设船的 的小船上 质量为m 人的质量为m 质量为m1 ,人的质量为m2,船长 l,水的阻力忽略 不计。若一人自船头走到船尾, 不计。若一人自船头走到船尾,求船的位移 s 。
§11-3 [说明] 说明]
(1)投影式 )
质心运动定理
(e)
maC = ∑F i
maCx = ∑Fx(e) maCy = ∑Fy(e) ma = F(e) Cz ∑ z

n maC = ∑F(e) n t maC = ∑Ft(e) 0 = F(e) ∑b

理论力学11 质点运动微分方程

理论力学11  质点运动微分方程

质点。
2.质点系 质点系:由有限或无限个有着一定联系 质点系 的质点组成的系统。 刚体是一个特殊的质点系,由无数个相互间保持距离 刚体 不变的质点组成,又称为不变质点系。
1
自由质点系:质点系中各质点的运动不受约束的限制。 非自由质点系:质点系中的质点的运动受到约束的限制。 质点系是力学中最普遍的抽象化模型;包括刚体,弹性体,流体。 三.动力学分类: 质点动力学
5
二. 第二定律(力与加速度关系定律) 第二定律(力与加速度关系定律) 质点受力作用时所获得的加速度的大小与作用力的大 小成正比,与质点的质量成反比, 小成正比,与质点的质量成反比,加速度的方向与力的方 向相同。 向相同。
即:
r r F a= m
r r 或 ma = F
由于上式是推导其它动力学方程的出发点,所以通常称上式 为动力学基本方程 动力学基本方程。 动力学基本方程 注意: 注意:当质点同时受几个力的作用时,式中的F 为这ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ力的合力。
2
授课教师:薛齐文 授课教师: 土木与安全工程学院力学教研室
3
第十一章
质点运动微分方程
§11–1 动力学基本定律 §11–2 质点运动微分方程
4
§11.1 动力学基本定律 动力学的理论基础:是牛顿三大定律,它们也被称为 动力学的理论基础 动力学的基本定律。 第一定律(惯性定律) 一. 第一定律(惯性定律) 任何质点如不受力作用, 任何质点如不受力作用,则将保持其原来静止的或匀速 直线运动的状态不变。 直线运动的状态不变。 质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性 称为惯性 事实上,不存在不受力的质点,若作用在质点上的力系为 平衡力系,则等效于质点不受力。 该定律表明:力是改变质点运动状态的原因。 该定律表明:力是改变质点运动状态的原因。

质点运动微分方程

质点运动微分方程
ma= F
式中:m——质点的质量; F——作用于质点上的所有力的合力; a——质点获得的加速度。 该式是研究质点动力学问题的基本依据,称为动力学基本方程。
目录
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程 根据动力学基本方程,当质点不受力的作用(合力为零)时,其
加速度必为零,此时质点将保持静止或匀速直线运动状态不变。 物体的这种保持运动状态不变的属性称为惯性。两个质点受力相 同时,质量大的加速度小,说明其运动状态不容易改变,即它的 惯性大;质量小的加速度大,说明其运动状态容易改变,即它的 惯性小。因此,质量是质点惯性的度量。
目录
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程
1.3 刚体平行移动微分方程
v0 v
0
解得活塞的速度为 v=v0e-kt
目录
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程
将上式写为
dx dt
v0ekt
再次积分
x
t
dx v0ektdt
解得
0
0
x v0 (1 ekt )
k
即为活塞的运动规律。
当t→∞时,e-kt→0,由v=v0e-kt 可知,活塞的速度趋于零;由上 式可知,此时x趋于最大值。由此确定液压缸的长度为
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程
解 把活塞看作一质点,作用于活塞上
的力为液体的阻力F。如图所示,取活塞初 始位置为坐标原点,建立x轴。列出活塞的 运动微分方程
m d2x F dt 2

m d2x v
dt 2
令k
m
,则上式成为
dv kv dt
分离变的方向恒指向椭圆中心,这种力称为有心力。
目录
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程 例7.2 液压减振器 (如图)的活塞在获得初速度v0后,在液压

第十一章 质点运动微分方程理论力学

第十一章 质点运动微分方程理论力学

第十一章 质点运动微分方程 该定律表明:
14
1、力与加速度的关系是瞬时关系,即力在某瞬时 对质点运动状态的改变是通过该瞬时确定的加速度表 现的。作用力并不直接决定质点的速度,速度的方向 可以完全不同于作用力的方向。 2、若相等的两个力作用在质量不同的两个质点 上,则质量越大,加速度越小;质量越小,加速度越 大。 这说明:质量越大,保持其原来运动状态的能力越 强,即质量越大,惯性也越大。因此,质量是质点惯 性大小的度量。
Fmax
2 v0 = P(1 + ) gl
第十一章 质点运动微分方程
25
※ 刚才介绍的是动力学第一类问题,其要点是运动方程的 建立,基本数学方法是求导 ※ 动力学第二类问题,是已知力求运动。基本数学方法是 积分。积分的难易取决于载荷的复杂程度。通常有: F=F(c、t、v、r) ※ 目前要求掌握: F=c F=F(v) F=F(t) F=F(r) 须将积分 变量作变换 dv dv dx m = m ⋅ = F ( x) dt dx dt
第十一章 质点运动微分方程 第二定律(力与加速度关系定律)
13
质点受力作用时所获得的加速度的大小与作 用力的大小成正比,与质点的质量成反比,加速 度的方向与力的方向相同。 即:
F a= m

ma = F
由于上式是推导其它动力学方程的出发点,所以通常 称上式为动力学基本方程。 当质点同时受几个力的作用时上式中的F 应理解 为这些力的合力。
α ω α B
l
M
F F N1 N2 an FN2 α mg M
a
a
l
第十一章 质点运动微分方程
A α ω α B l M a FN 1 sin α + FN 2 sin α ρ

哈尔滨工业大学 第七版 理论力学11

哈尔滨工业大学 第七版 理论力学11

上式代入式(4)得
FN = 4mB g − mB
11-10 如图 11-10a 所示,质量为 m 的滑块 A,可以在水平光滑槽中运动,具有刚性系 数为 k 的弹簧 1 端与滑块相连接,另 1 端固定。杆 AB 长度为 l,质量忽略不计,A 端与滑 块 A 铰接,B 端装有质量 m1,在铅直平面内可绕点 A 旋转。设在力偶 M 作用下转动角速度 ω 为常数。求滑块 A 的运动微分方程。
质量为 m2 的小车 D,由绞车拖动,相对于平台的运动规律为 s = 不计绞车的质量,求平台的加速度。
1 2 bt ,其中 b 为已知常数。 2
m2 g
y
S D
A
vr
m1 g FN
B
ω
v
(a) 图 11-8
x
(b)

受力和运动分析如图 11-8b 所示
& = bt vr = & s ar = & s& = b a Da = a e + a r = a AB + a r a Da = ar − a AB m2 (a r − a AB ) − m1a AB = F F = f (m1 + m2 ) g
1
(
)
开伞后,他受重力 mg 和阻力 F 作用,如图 11-2 所示。取铅直轴 y 向下为正, 根据动量定理有
mg y
图 11-2
mv 2 − mv1 = I y = (mg − F )t
由题知:当 t=5 s 时,有 v2=4.3 m/s 即
60 × (4.3 − 44.3) = (60 × 9.8 − F ) × 5
棱柱 B 接触水平面时系统质心坐标
a b ⎤ ⎡ m A (l − ) + m B ⎢l − (a − )⎥ 3 3 ⎦ 3(m A + m B )l − a (m A + 3m B ) + m B b ⎣ ′ = xC = m A + mB 3(m A + m B )
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必须指出,牛顿定律中涉及到物体的运动与作用在 物体上的力。显然,物体及其所受的力不因参考系的选 择而改变,但同一物体的运动在不同的参考系中的描述 可能是完全不同的,这就存在着根本性的矛盾。这决定 了牛顿定律不可能适用于一切参考系,而只能适用于某 些参考系。凡牛顿定律成立的参考系,称为惯性参考系。 凡牛顿定律成立的参考系,称为惯性参考系 凡牛顿定律成立的参考系
2 d 2ρ dϕ m 2 −ρ = Fρ dt dt 2 d ρ dϕ d ϕ m 2 + ρ 2 = Fϕ dt dt dt
(11.6)
这就是极坐标形式的质点运动微分方程。
11.3 质点动力学的两类基本问题
应用质点运动微分方程,可以求解质点动力学的两 类基本问题。 第一类基本问题 已知质点的运动规律,即已知质点 的运动方程或质点在任意瞬时的速度或加速度,求作用 在质点上的未知力。这一类问题可归结为数学中的微分 问题。 求解该问题比较简单。若已知质点的运动方程,则 只须将它对时间求两次导数即可得到质点的加速度,代 入适当形式的质点运动微分方程,得到一个代数方程组, 求解这个方程组即可得到所求的未知力。
11.1 动力学基本定律
质点动力学的基本定律是牛顿在总结前人特别是伽 利略的研究成果的基础上,1687年在其著作《自然哲学 的数学原理》中提出来的,通常称为牛顿三定律 牛顿三定律。这些 牛顿三定律 定律是动力学的基础。
11.1 动力学基本定律
第一定律 任何质点都保持其静止的或作匀速直线运 动的状态, 动的状态,直到它受到其他物体的作用而被迫改变这 种状态为止。 种状态为止 质点保持静止或匀速直线运动状态的属性称为惯性 惯性, 惯性 质点作匀速直线运动称为惯性运动,因此第一定律又称 惯性运动, 惯性运动 惯性定律。此定律表明:质点必须受到其他物体的作用 惯性定律 时,也就是受到外力的作用时,才会改变其运动状态, 即外力是改变质点运动状态的原因 外力是改变质点运动状态的原因。 外力是改变质点运动状态的原因
G = mg
11.1 动力学基本定律
注意:重量和质量是两个不同的概念。质量是质点 惯性大小的度量,在古典力学中,质量是一个不变的常 量;而重量是物体所受重力的大小,在地面附近各点的 重力加速度的大小随所在位置的纬度和高度的不同而略 有差异,因此重量随物体所在位置的不同而改变,且在 地面附近的空间内才有意义。不过,在一般工程实际中, 45o 可以认为重力加速度的大小为常数,其值取在 纬度 海平面上重力加速度的大小,即 。 g = 9.8 m / s 2
11.2 质点运动微分方程
这就是自然轴系形式的质点运动微分方程 自然轴系形式的质点运动微分方程。式中 Fτ 自然轴系形式的质点运动微分方程
Fn、 Fb 分别是作用在质点上的合力 F =
轴、主法线轴和次法线轴上的投影。
∑ Fi
在切线
11.2 质点运动微分方程
*4.极坐标形式的质点运动 . 微分方程 当质点M作平面曲线运动时, 有时还可以采用极坐标表示的 质点运动微分方程。如图11.3所 示,由运动学可知,质点的加 速度在极坐标系下有如下表达 式: 2 2
maτ = Fτ man = Fn mab = Fb
图 11.2
11.2 质点运动微分方程
由点的运动学知
aτ = ɺɺ s 2 v an = ρ ab = 0
ɺɺ ms = Fτ v2 m = Fn ρ 0 == Fb
故有
(11.5)
普通高等教育规划教材
理 论 力 学
编 著 课件制作 肖明葵 程光均 张祥东 吴云芳 邹昭文 王建宁
第11章 质点运动微分方程 章
11.1 11.2 11.3 11.4 动力学基本定律 质点运动微分定律 质点动力学的两类基本问题 质点相对运动动力学的基本方程
11.1 动力学基本定律
动力学是研究物体机械运动与作用于其上的力之间的 动力学 关系的科学。静力学 静力学所研究的是作用在刚体上的力系的 静力学 合成方法及其平衡条件,而没有研究刚体在不平衡力系 作用下的运动情况。运动学 运动学所研究的是质点和刚体运动 运动学 的几何特征,而没有研究使物体运动发生变化的原因。
11.1 动力学基本定律
若用M、L、T分别表示质量、长度和时间的量纲,则 速度的量纲为dimv=LT-1,加速度的量纲为dima=LT-2,力 的量纲为dimF=MLT-2。根据牛顿第二定律规定,使1kg质 量的质点产生1m/s2加速度的力规定为1N,即
1N=1kg × 1m/s 2 =1kgm/s 2
11.2 质点运动微分方程
由牛顿第二定律直接导出且含有表示质点的位置或速 度对时间的变化率的方程称为质点的运动微分方程。 度对时间的变化率的方程称为质点的运动微分方程。下面 给出常用的几种质点运动微分方程的表达形式。 1.矢量形式的质点运动微分方程 . 设一质量为 m 的质点M,在合力 F = ∑ Fi 作用下,沿某一空间曲线 运动,如图11.1所示。 图 11.1
d r m 2 =F dt
2
(11.3)
这就是矢量形式的质点运动微分方程 矢量形式的质点运动微分方程。 矢量形式的质点运动微分方程 式(11.3)主要用于理论推导,在计算实际问题时,常常应 用它的投影形式。
11.2 质点运动微分方程
2.直角坐标形式的质点运动微分方程 . 过原点O建立直角坐标系Oxyz(图11-1),将式(11.3)中 各项投影到各轴上,则有
是质点的加速度a 在x、y、z轴上的投影。
11.2 质点运动微分方程
若质点在平面oxy内作平面运动,则式(11.4) 中 ɺɺ = 0 ;若质点沿ox轴作直线运动,则式(11.4) z 中 ɺɺ = ɺɺ = 0 。 z y
11.2 质点运动微分方程
3.自然轴系形式的质点运动微分方程 .
若已知质点M的轨迹曲线,如图11.2所示,则以任意 瞬时质点所在处M为原点,建立自然轴系Mτnb,其中τ、 n和b分别为沿运动轨迹上M点的切线、主法线和次法线 方向的单位矢量。将式(11.3)中各项投影到自然坐标轴 上,则有
11.1 动力学基本定律
质点受力作用而产生的加速度, 第二定律 质点受力作用而产生的加速度,其方向与 力的方向相同,其大小与力的大小成正比, 力的方向相同,其大小与力的大小成正比,而与质点 的质量成反比, 的质量成反比,即
ma = F
(11.1)
式中, 和 a 分别表示质点的质量和加速度; 表示 m F 作用于质点上的外力。此方程给出了作用于质点的力、质 点的质量和质点的加速度三者之间的关系,称为质点动力 质点动力 学基本方程。 学基本方程
mɺɺ = Fx x mɺɺ = Fy y mɺɺ = Fz z
(11.4)
这就是直角坐标形式的质点运动微分方程 直角坐标形式的质点运动微分方程。式中 直角坐标形式的质点运动微分方程
Fz
是作用在质点上的各个力
F i 在x、y、z轴上投影的代数和;
Fx 、Fy
ɺɺ 、ɺɺ 、ɺɺ x y z

11.3
d ρ d ρ dϕ dϕ d 2ϕ a = 2 −ρ + ρ 2 ϕ0 ρ0 + 2 dt dt dt dt dt
11.2 质点运动微分方程
ρ 式中, 0 和 ϕ 0 分别为沿径向和横向的单位矢量。将上式
代入式(11.1)并将各项分别投影到 ρ0 和 ϕ 0 方向,则有
11.2 质点运动微分方程
某瞬时,质点位于M点,其加速度为 牛顿第二定律,有
a,则根据
(a)
ma = F
由运动学知
dv d r a= = 2 dt dt
2
(b)
11.2 质点运动微分方程 式中, 为质点M的速度;r为质点M相对于某固定点O的 v
位置矢径。将式(b)代入式(a)后可得

dv m =F dt
11.1 动力学基本定律
当质点同时受几个力作用时,则式中力 F 应理解为这些 力的合力。因此,式(11.1)可写成
ma = ∑ Fi
即质点的质量与加速度的乘积等于作用在质点上力系的合力。
11.1 动力学基本定律
由第二定律可知,不同外力作用在质量相同的质点 上时,外力较大的质点获得的加速度较大,外力较小的 质点获得的加速度较小;相同外力作用在质量不同的质 点上时,质量较大的质点所获得的加速度较小,质量较 小的质点所获得的加速度较大。这说明,质量较大的质 点保持其原有运动状态的能力较强,即惯性较大;质量 较小的质点保持其原有运动状态的能力较弱,即惯性较 小。因此,质量是质点惯性大小的度量 质量是质点惯性大小的度量。因为平动刚体 质量是质点惯性大小的度量 可视为质量集中在质心的质点,所以质量也是平动刚体 惯性大小的度量。
11.1 动力学基本定律
式(11.1)说明了质点所受外力与加速度的关系。速度和 加速度是两个不同的概念,而且速度的大小和方向与质 点的初始条件有关,因此,仅由式(11.1)并不能完全确定 质点的速度。 在地球表面附近任何一点,物体都将受到地球的引力 作用,这种作用称为重力 重力,用符号表示。地球对物体作 重力 用的重力的大小称为重量 重量。物体在重力作用下所产生的 重量 加速度称为重力加速度 重力加速度,用符号表示。由式(11.1)得 重力加速度 (11.2) 上式建立了物体的重量与质量的关系。
11.1 动力学基本定律
两个物体间的作用力与反作用力, 第三定律 两个物体间的作用力与反作用力,总是大 小相等、方向相反,沿同一直线, 小相等、方向相反,沿同一直线,且同时分别作用在 这两个物体上。 这两个物体上 第三定律也就是静力学中讲过的作用与反作用定律。 这个定律不但适用于静力平衡问题,而且在动力学问题 中仍然适用。
11.1 动力学基本定律
动力学知识在工程技术或科学研究中具有极广泛的 应用。例如,高速转动机械的均衡、振动和稳定,各种 机器、机构和结构的动力计算,以及宇宙飞船和火箭的 运行轨道等问题,都要用动力学知识来解决。所以,掌 握动力学基本理论及其应用,具有十分重要的意义。
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