中考数学总复习 专题九 反比例函数与几何图形综合题试题 新人教版
人教中考数学复习反比例函数专项综合练含详细答案
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，点A在函数y= （x＞0）图象上，过点A作x轴和y轴的平行线分别交函数y= 图象于点B，C，直线BC与坐标轴的交点为D，E．（1）当点C的横坐标为1时，求点B的坐标；（2）试问：当点A在函数y= （x＞0）图象上运动时，△ABC的面积是否发生变化？若不变，请求出△ABC的面积，若变化，请说明理由．（3）试说明：当点A在函数y= （x＞0）图象上运动时，线段BD与CE的长始终相等．【答案】（1）解：∵点C在y= 的图象上，且C点横坐标为1，∴C（1，1），∵AC∥y轴，AB∥x轴，∴A点横坐标为1，∵A点在函数y= （x＞0）图象上，∴A（1，4），∴B点纵坐标为4，∵点B在y= 的图象上，∴B点坐标为（，4）；（2）解：设A（a，），则C（a，），B（，），∴AB=a﹣ = a，AC= ﹣ = ，∴S△ABC= AB•AC= × × = ，即△ABC的面积不发生变化，其面积为；（3）解：如图，设AB的延长线交y轴于点G，AC的延长线交x轴于点F，∵AB∥x轴，∴△ABC∽△EFC，∴ = ，即 = ，∴EF= a，由（2）可知BG= a，∴BG=EF，∵AE∥y轴，∴∠BDG=∠FCE，在△DBG和△CFE中∴△DBG≌△CEF（AAS），∴BD=EF．【解析】【分析】（1）由条件可先求得A点坐标，从而可求得B点纵坐标，再代入y= 可求得B点坐标；（2）可设出A点坐标，从而可表示出C、B的坐标，则可表示出AB和AC的长，可求得△ABC的面积；（3）可证明△ABC∽△EFC，利用（2）中，AB和AC的长可表示出EF，可得到BG=EF，从而可证明△DBG≌△CFE，可得到DB=CF．2．已知反比例函数y= 的图象经过点A（﹣，1）．（1）试确定此反比例函数的解析式；（2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB．判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；（3）已知点P（m， m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过P点作x轴的垂线，交x轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是，设Q点的纵坐标为n，求n2﹣2 n+9的值．【答案】（1）解：由题意得1= ，解得k=﹣，∴反比例函数的解析式为y=﹣（2）解：过点A作x轴的垂线交x轴于点C．在Rt△AOC中，OC= ，AC=1，∴OA= =2，∠AOC=30°，∵将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB，∴∠AOB=30°，OB=OA=2，∴∠BOC=60°．过点B作x轴的垂线交x轴于点D．在Rt△BOD中，BD=OB•sin∠BOD= ，OD= OB=1，∴B点坐标为（﹣1，），将x=﹣1代入y=﹣中，得y= ，∴点B（﹣1，）在反比例函数y=﹣的图象上（3）解：由y=﹣得xy=﹣，∵点P（m， m+6）在反比例函数y=﹣的图象上，其中m＜0，∴m（ m+6）=﹣，∴m2+2 m+1=0，∵PQ⊥x轴，∴Q点的坐标为（m，n）．∵△OQM的面积是，∴OM•QM= ，∵m＜0，∴mn=﹣1，∴m2n2+2 mn2+n2=0，∴n2﹣2 n=﹣1，∴n2﹣2 n+9=8．【解析】【分析】（1）由于反比例函数y= 的图象经过点A（﹣，1），运用待定系数法即可求出此反比例函数的解析式；（2）首先由点A的坐标，可求出OA的长度，∠AOC的大小，然后根据旋转的性质得出∠AOB=30°，OB=OA，再求出点B的坐标，进而判断点B是否在此反比例函数的图象上；（3）把点P（m， m+6）代入反比例函数的解析式，得到关于m的一元二次方程；根据题意，可得Q点的坐标为（m，n），再由△OQM的面积是，根据三角形的面积公式及m＜0，得出mn的值，最后将所求的代数式变形，把mn的值代入，即可求出n2﹣2 n+9的值．3．已知点A，B分别是x轴、y轴上的动点，点C，D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A，B，C，D各点依次排列）为正方形时，我们称这个正方形为此函数图象的“伴侣正方形”．例如：在图1中，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个“伴侣正方形”．（1）如图1，若某函数是一次函数y=x+1，求它的图象的所有“伴侣正方形”的边长；（2）如图2，若某函数是反比例函数（k＞0），它的图象的“伴侣正方形”为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数的解析式；（3）如图3，若某函数是二次函数y=ax2+c（a≠0），它的图象的“伴侣正方形”为ABCD，C，D中的一个点坐标为（3，4），请你直接写出该二次函数的解析式．【答案】（1）解：（I）当点A在x轴正半轴、点B在y轴负半轴上时：正方形ABCD的边长为．（II）当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时：设正方形边长为a，易得3a= ，解得a= ，此时正方形的边长为．∴所求“伴侣正方形”的边长为或（2）解：如图，作DE⊥x轴，CF⊥y轴，垂足分别为点E、F，易证△ADE≌△BAO≌△CBF．∵点D的坐标为（2，m），m＜2，∴DE=OA=BF=m，∴OB=AE=CF=2﹣m．∴OF=BF+OB=2，∴点C的坐标为（2﹣m，2）．∴2m=2（2﹣m），解得m=1．∴反比例函数的解析式为y=（3）解：实际情况是抛物线开口向上的两种情况中，另一个点都在（3，4）的左侧，而开口向下时，另一点都在（3，4）的右侧，与上述解析明显不符合a、当点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，点C坐标为（3，4）时：另外一个顶点为（4，1），对应的函数解析式是y=﹣ x2+ ；b、当点A在x 轴正半轴上，点 B在 y轴正半轴上，点D 坐标为（3，4）时：不存在，c、当点A 在 x 轴正半轴上，点 B在 y轴负半轴上，点C 坐标为（3，4）时：不存在d、当点A在x 轴正半轴上，点B在y轴负半轴上，点D坐标为（3，4）时：另外一个顶点C为（﹣1，3），对应的函数的解析式是y= x2+ ；e、当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点C坐标为（3，4）时，另一个顶点D的坐标是（7，﹣3）时，对应的函数解析式是y=﹣ x2+ ；f、当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点C坐标为（3，4）时，另一个顶点D 的坐标是（﹣4，7）时，对应的抛物线为y= x2+ ；故二次函数的解析式分别为：y= x2+ 或y=﹣ x2+ 或y=﹣ x2+ 或y= x2+【解析】【分析】（1）先正确地画出图形，再利用正方形的性质确定相关点的坐标从而计算正方形的边长.（2）因为ABCD为正方形，所以可作垂线得到等腰直角三角形，利用点D（2，m）的坐标表示出点C的坐标，可求出m的值，即可得到反比例函数的解析式．（3）由抛物线开口既可能向上，也可能向下．当抛物线开口向上时，正方形的另一个顶点也是在抛物线上，这个点既可能在点（3，4）的左边，也可能在点（3，4）的右边，过点（3，4）向x轴作垂线，利用全等三角形确定线段的长即可确定抛物线上另一个点的坐标；当抛物线开口向下时也是一样地分为两种情况来讨论，即可得到所求的结论．4．给出如下规定：两个图形G1和G2，点P为G1上任一点，点Q为G2上任一点，如果线段PQ的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G1和G2之间的距离．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点．（1）点A的坐标为A（1，0），则点B（2，3）和射线OA之间的距离为________，点C （﹣2，3）和射线OA之间的距离为________；（2）如果直线y=x+1和双曲线y= 之间的距离为，那么k=________；（可在图1中进行研究）（3）点E的坐标为（1，），将射线OE绕原点O顺时针旋转120°，得到射线OF，在坐标平面内所有和射线OE，OF之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M．①请在图2中画出图形M，并描述图形M的组成部分；（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示）．②将射线OE，OF组成的图形记为图形W，直线y=﹣2x﹣4与图形M的公共部分记为图形N，请求出图形W和图形N之间的距离．【答案】（1）3；（2）﹣4（3）解：①如图，x轴正半轴，∠GOH的边及其内部的所有点（OH、OG分别与OE、OF 垂直），；②由①知OH所在直线解析式为y=﹣ x，OG所在直线解析式为y= x，由得，即点M（﹣，），由得：，即点N（﹣，），则﹣≤x≤﹣，图形N（即线段MN）上点的坐标可设为（x，﹣2x﹣4），即图形W与图形N之间的距离为d，d===∴当x=﹣时，d的最小值为 = ，即图形W和图形N之间的距离．【解析】【解答】解：（1）点（2，3）和射线OA之间的距离为3，点（﹣2，3）和射线OA之间的距离为 = ，故答案分别为：3，；（2）直线y=x+1和双曲线y= k x 之间的距离为，∴k＜0（否则直线y=x+1和双曲线y= 相交，它们之间的距离为0）．过点O作直线y=x+1的垂线y=﹣x，与双曲线y= 交于点E、F，过点E作EG⊥x轴，如图1，由得，即点F（﹣，），则OF= = ，∴OE=OF+EF=2 ，在Rt△OEG中，∠EOG=∠OEG=45°，OE=2 ，则有OG=EG= OE=2，∴点E的坐标为（﹣2，2），∴k=﹣2×2=﹣4，故答案为：﹣4；【分析】（1）由题意可得出点B（2，3）到射线OA之间的距离为B点纵坐标，根据新定义得点C（﹣2，3）和射线OA之间的距离；（2）根据题意即可得k＜0（否则直线y=x+1和双曲线y= k x 相交，它们之间的距离为0）．过点O作直线y=x+1的垂线y=﹣x，与双曲线y= k x 交于点E、F，过点E作EG⊥x 轴，如图1，将其联立即可得点F坐标，根据两点间距离公式可得OF长，再由OE=OF+EF 求出OE长，在Rt△OEG中，根据等腰直角三角形的性质可得点E的坐标为（﹣2，2），将E点代入反比例函数解析式即可得出k值.（3）①如图，x轴正半轴，∠GOH的边及其内部的所有点（OH、OG分别与OE、OF垂直）；②由①知OH所在直线解析式为y=﹣ x，OG所在直线解析式为y= x，分别联立即可得出点M、N坐标，从而得出x取值范围，根据题意图形N（即线段MN）上点的坐标可设为（x，﹣2x﹣4），从而求出图形W与图形N之间的距离为d，由二次函数性质知d 最小值.5．如图，已知函数的图象与一次函数的图象相交不同的点A、B，过点A作AD⊥轴于点D，连接AO，其中点A的横坐标为，△AOD 的面积为2.（1）求的值及 =4时的值；（2）记表示为不超过的最大整数，例如：，，设 ,若，求值【答案】（1）解：设A（x0， y0），则OD=x0， AD=y0，∴S△AOD= OD•AD= x0y0=2，∴k=x0y0=4；当x0=4时，y0=1，∴A（4，1），代入y=mx+5中得4m+5=1，m=-1（2）解：∵，∴＝mx+5，整理得，mx2+5x-4=0，∵A的横坐标为x0，∴mx02+5x0=4，当y=0时，mx+5=0，x=- ，∵OC=- ，OD=x0，∴m2•t=m2•（OD•DC），=m2•x0（- -x0），=m（-5x0-mx02），=-4m，∵- ＜m＜- ，∴5＜-4m＜6，∴[m2•t]=5【解析】【分析】(1）根据反比例函数比例系数k的几何意义，即可得出k的值；根据反比例函数图像上的点的坐标特点，即可求出A点的坐标，再将A点的坐标代入直线y=mx+5中即可求出m的值；（2）解联立直线与双曲线的解析式所组成的方程组，得出mx2+5x-4=0，将A点的横坐标代入得出mx02+5x0=4，根据直线与x轴交点的坐标特点，表示出OC,OD的长，由m2•t=m2•（OD•DC）=-4m，根据m的取值范围得出5＜-4m＜6，从而答案。
人教版九年级数学中考反比例函数专项练习及参考答案
人教版九年级数学中考反比例函数专项练习命题点1 图象与性质1．一台印刷机每年可印刷的书本数量 y(万册)与它的使用时间x(年)成反比例关系，当x ＝2时，y ＝20.则y 与x 的函数图象大致是(C)A B C D2．反比例函数y ＝mx 的图象如图所示，以下结论：①常数m ＜－1；②在每个象限内，y 随x的增大而增大；③若A(－1，h)，B(2，k)在图象上，则h ＜k ；④若P(x ，y)在图象上，则P ′(－x ，－y)也在图象上．其中正确的是(C)A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④3．如图，函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x （x ＞0），－1x （x ＜0）的图象所在坐标系的原点是(A)A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q4．定义新运算：a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ab（b ＞0），－ab（b ＜0）. 例如：4⊕5＝45，4⊕(－5)＝45.则函数y ＝2⊕x(x≠0)的图象大致是(D)A B C D5．如图，若抛物线y ＝－x2＋3与x 轴围成的封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为k ，则反比例函数y ＝kx(x ＞0)的图象是(D)A B CD命题点2 反比例函数、一次函数与几何图形综合6．如图，四边形ABCD 是平行四边形，点A(1，0)，B(3，1)，C(3，3)．反比例函数y ＝mx (x＞0)的图象经过点D ，点P 是一次函数y ＝kx ＋3－3k(k ≠0)的图象与该反比例函数图象的一个公共点．(1)求反比例函数的解析式；(2)通过计算说明一次函数y ＝kx ＋3－3k(k ≠0)的图象一定经过点C ；(3)对于一次函数y ＝kx ＋3－3k(k ≠0)，当y 随x 的增大而增大时，确定点P 横坐标的取值范围．(不必写出过程)解：(1)∵B(3，1)，C(3，3)，四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC ＝2，AD ∥BC ，BC ⊥x 轴．∴AD ⊥x 轴． 又∵A(1，0)，∴D(1，2)．∵点D 在反比例函数y ＝mx 的图象上，∴m ＝1×2＝2.∴反比例函数的解析式为y ＝2x .(2)当x ＝3时，y ＝kx ＋3－3k ＝3，∴一次函数y ＝kx ＋3－3k(k ≠0)的图象一定过点C. (3)设点P 的横坐标为a ，则23＜a ＜3.命题点3 反比例函数的实际应用(8年2考)7．(2019·杭州)方方驾驶小汽车匀速地从A 地行驶到B 地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t(单位：小时)，行驶速度为v(单位：千米/小时)，且全程速度限定为不超过120千米/小时．(1)求v 关于t 的函数解析式；(2)方方上午8点驾驶小汽车从A 地出发．①方方需在当天12点48分至14点(含12点48分和14点)间到达B 地，求小汽车行驶速度v 的范围；②方方能否在当天11点30分前到达B 地？说明理由．解：(1)∵vt ＝480，且全程速度限定为不超过120千米/小时，∴v 关于t 的函数解析式为v ＝480t(t ≥4)．(2)①8点至12点48分时间长为245小时，8点至14点时间长为6小时．将t ＝6代入v ＝480t ，得v ＝80；将t ＝245代入v ＝480t，得v ＝100.∴小汽车行驶速度v 的范围为80≤v ≤100.②方方不能在当天11点30分前到达B 地．理由如下：8点至11点30分时间长为72小时，将t ＝72代入v ＝480t ，得v ＝9607.∵9607＞120，超速了． 故方方不能在当天11点30分前到达B 地．基础训练1．(2019·柳州)反比例函数y ＝2x的图象位于(A)A ．第一、三象限B ．第二、三象限C ．第一、二象限D ．第二、四象限2．(2019·哈尔滨)点(－1，4)在反比例函数y ＝kx 的图象上，则下列各点在此函数图象上的是(A)A ．(4，－1)B ．(－14，1)C ．(－4，－1)D ．(14，2)3．(2019·邢台模拟)已知甲圆柱型容器的底面积为30 cm 2，高为8 cm ，乙圆柱型容器底面积为x cm 2.若将甲容器装满水，全部倒入乙容器中(乙容器没有水溢出)，则乙容器水面高度y(cm)与x(cm 2)之间的大致图象是(C)A B C D4．(2019·唐山乐亭县模拟)若点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)都是反比例函数y ＝－6x 图象上的点，并且y 1＜0＜y 2，则下列结论中正确的是(A)A ．x 1＞x 2B ．x 1＜x 2C ．y 随x 的增大而减小D ．两点有可能在同一象限5．(2019·唐山滦南县一模)如图，正比例函数y ＝x 与反比例函数y ＝4x 的图象交于A ，B 两点，其中A(2，2)，当y ＝x 的函数值大于y ＝4x的函数值时，x 的取值范围为(D)A ．x ＞2B ．x ＜－2C ．－2＜x ＜0或0＜x ＜2D ．－2＜x ＜0或x ＞26．(2019·石家庄模拟)已知反比例函数y ＝kx 的图象过第二、四象限，则一次函数y ＝kx ＋k的图象大致是(B)A B C D7．(2019·唐山路北区模拟)已知点P(m ，n)是反比例函数y ＝－3x 图象上一点，当－3≤n ＜－1时，m 的取值范围是(A)A ．1≤m ＜3B ．－3≤m ＜－1C ．1＜m ≤3D ．－3＜m ≤－18．(原创)(2017·河北T15变式)将九年级某班40名学生的数学测试成绩分为5组，第1～4组的频率分别为0.3，0.25，0.15，0.2，第5组的频数记为k ，则反比例y ＝kx (x ＞0)的图象是(D)A B C D9．(原创)(2019·河北T12变式)如图，函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧m x （x ＞0），－m x （x<0）的图象如图所示，以下结论：①常数m ＞0；②在每个象限内，y 随x 增大而减小；③若点A(－2，a)，B(3，b)在图象上，则a ＜b ；④若P(x ，y)在图象上，则P ′(－x ，y)也在图象上，其中正确的是(D)A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④10．(2019·兰州)如图，矩形OABC 的顶点B 在反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象上，S矩形OABC＝6，则k ＝6．11．(2019·北京)在平面直角坐标系xOy 中，点A(a ，b)(a ＞0，b ＞0)在双曲线y ＝k 1x 上，点A 关于x 轴的对称点B 在双曲线y ＝k 2x，则k 1＋k 2的值为0．12．(2019·盐城)如图，一次函数y ＝x ＋1的图象交y 轴于点A ，与反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象交于点B(m ，2)．(1)求反比例函数的解析式； (2)求△AOB 的面积．解：(1)∵点B(m ，2)在直线y ＝x ＋1上， ∴2＝m ＋1，解得m ＝1. ∴点B 的坐标为(1，2)．∵点B(1，2)在反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象上，∴2＝k1，解得k ＝2.∴反比例函数的解析式是y ＝2x.(2)将x ＝0代入y ＝x ＋1，得y ＝1，则点A 的坐标为(0，1)． ∵点B 的坐标为(1，2)， ∴△AOB 的面积为12×1×1＝12.能力提升13．(2019·石家庄新华区模拟)如图，在平面直角坐标系中，点A(0，2)，点P 是双曲线y ＝kx (x ＞0)上的一个动点，作PB ⊥x 轴于点B ，当点P 的横坐标逐渐减小时，四边形OAPB 的面积将会(C)A ．逐渐增大B ．不变C ．逐渐减小D ．先减小后增大14．(2019·陕西)如图，D 是矩形AOBC 的对称中心，A(0，4)，B(6，0)．若一个反比例函数的图象经过点D ，交AC 于点M ，则点M 的坐标为(32，4)．16．(2019·秦皇岛海港区模拟)如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD 的顶点A(1，b)，B(3，b)，D(2，b ＋1)．(1)点C 的坐标是(4，b ＋1)(用b 表示)；(2)双曲线y ＝kx 过▱ABCD 的顶点B 和D ，求该双曲线的解析式；(3)如果▱ABCD 与双曲线y ＝4x(x ＞0)总有公共点，求b 的取值范围．解：(2)∵双曲线y ＝kx 过▱ABCD 的顶点B(3，b)和D(2，b ＋1)，∴3b ＝2(b ＋1)，解得b ＝2，即B(3，2)，D(2，3)． 则该双曲线解析式为y ＝6x .(3)将A(1，b)代入y ＝4x，得b ＝4；将C(4，b ＋1)代入y ＝4x，得b ＋1＝1，即b ＝0.则▱ABCD 与双曲线y ＝4x(x ＞0)总有公共点时，b 的取值范围为0≤b ≤4.17．如图为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中BC 段可看成是一段双曲线，建立如图的直角坐标系后，其中，矩形AOEB 为向上攀爬的梯子，OA ＝5米，进口AB ∥OD ，且AB ＝2米，出口C 点距水面的距离CD 为1米，则B ，C 之间的水平距离DE 的长度为(D)A ．5米B ．6米C ．7米D ．8米18．(1)探究新知：如图1，已知△ABC 与△ABD 的面积相等，试判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由．(2)结论应用：①如图2，点M ，N 在反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象上，过点M 作ME ⊥y 轴，过点N 作NF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ，试证明：MN ∥EF ；②若①中的其他条件不变，只改变点M ，N 的位置，如图3所示，请判断MN 与EF 是否平行？解：(1)AB ∥CD.理由：过点C 作CG ⊥AB 于点G ，过点D 作DH ⊥AB 于点H ， ∴∠CGA ＝∠DHB ＝90°.∴CG ∥DH. ∵△ABC 和△ABD 的面积相等， ∴CG ＝DH.∴四边形CGHD 是矩形．∴AB ∥CD.(2)①证明：连接MF ，NE ，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，∵点M ，N 在反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象上，∴x 1y 1＝k ，x 2y 2＝k. ∵ME ⊥y 轴，NF ⊥x 轴，∴EM ＝x 1，OE ＝y 1，OF ＝x 2，NF ＝y 2. ∴S △EFM ＝12x 1·y 1＝12k ，S △EFN ＝12x 2y 2＝12k.∴S △EFM ＝S △EFN ，由(1)中的结论可知，MN ∥EF.②MN ∥EF ，理由：连接MF ，NE ，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)． ∵M ，N 在反比例函数y ＝kx (k ＞0)的图象上，∴x 1y 1＝k ，x 2y 2＝k.∵ME ⊥y 轴，NF ⊥x 轴，∴EM ＝x 1，OE ＝y 1，OF ＝－x 2，NF ＝－y 2. ∴S △EFM ＝12x 1·y 1＝12k ，S △EFN ＝12(－x 2)(－y 2)＝12k.∴S △EFM ＝S △EFN .由(1)中的结论可知，MN ∥EF.反比例函数中的面积问题1．(2019·枣庄)如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt △ABC 的顶点A ，B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，∠ABC ＝90°，CA ⊥x 轴，点C 在函数y ＝kx (x ＞0)的图象上．若AB ＝1，则k的值为(A)A ．1 B.22C. 2 D ．22．如图，A ，B 两点在双曲线y ＝4x(x ＞0)上，分别经过A ，B 两点向x 轴作垂线段，已知S阴影＝1，则S 1＋S 2＝(D)A ．3B ．4C ．5D ．63．(2019·黄冈)如图，一直线经过原点O ，且与反比例函数y ＝kx (k>0)相交于点A ，B ，过点A 作AC ⊥y 轴，垂足为C ，连接BC.若△ABC 面积为8，则k ＝8．4．如图，A ，B 是反比例函数y ＝2x 的图象上关于原点对称的任意两点，BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则(B)A ．S ＝2B ．S ＝4C ．2＜S ＜4D ．S ＞45．(2019·郴州)如图，点A ，C 分别是正比例函数y ＝x 与反比例函数y ＝4x 的图象的交点，过A 点作AD ⊥x 轴于点D ，过C 点作CB ⊥x 轴于点B ，则四边形ABCD 的面积为8．6．如图，AB 是反比例函数y ＝3x 在第一象限内的图象上的两点，且A ，B 两点的横坐标分别是1和3，则S △AOB ＝4．7．(2019·鸡西)如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，▱OABC 的顶点A 在反比例函数y ＝1x (x ＞0)的图象上，顶点B 在反比例函数y ＝5x (x ＞0)的图象上，点C 在x 轴的正半轴上，则▱OABC 的面积是(C)A.32B.52C ．4D ．68．如图，在平面直角坐标系中，点A 是x 轴上任意一点，BC 平行于x 轴，分别交反比例函数y ＝3x (x ＞0)，y ＝kx(x ＜0)的图象于B ，C 两点．若△ABC 的面积为2，则k 的值为－1．9．(2019·株洲)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B ，C 为反比例函数y ＝k x (k ＞0)图象上不同的三点，连接OA ，OB ，OC ，过点A 作AD ⊥y 轴于点D ，过点B ，C 分别作BE ，CF 垂直x 轴于点E ，F ，OC 与BE 相交于点M ，记△AOD ，△BOM ，四边形CMEF 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则(B)A ．S 1＝S 2＋S 3B ．S 2＝S 3C ．S 3＞S 2＞S 1D ．S 1S 2＜S 2310．(2019·本溪)如图，在平面直角坐标系中，等边△OAB 的边OA 和菱形OCDE 的边OE 都在x 轴上，点C 在OB 边上，S △ABD ＝3，反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象经过点B ，则k 的值为3．。
人教中考数学反比例函数的综合题试题含答案
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=ax+b（a≠0）的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y2= （c≠0）的图象相交于点B（3，2）、C（﹣1，n）．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）根据图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围；（3）在y轴上是否存在点P，使△PAB为直角三角形？如果存在，请求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：把B（3，2）代入得：k=6∴反比例函数解析式为：把C（﹣1，n）代入，得：n=﹣6∴C（﹣1，﹣6）把B（3，2）、C（﹣1，﹣6）分别代入y1=ax+b，得：，解得：所以一次函数解析式为y1=2x﹣4（2）解：由图可知，当写出y1＞y2时x的取值范围是﹣1＜x＜0或者x＞3．（3）解：y轴上存在点P，使△PAB为直角三角形如图，过B作BP1⊥y轴于P1，∠B P1 A=0，△P1AB为直角三角形此时，P1（0，2）过B作BP2⊥AB交y轴于P2∠P2BA=90，△P2AB为直角三角形在Rt△P1AB中，在Rt△P1 AB和Rt△P2 AB∴∴P2（0，）综上所述，P1（0，2）、P2（0，）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点C坐标，最后用再用待定系数法求出一次函数解析式；（2）利用图象直接得出结论；（3）分三种情况，利用勾股定理或锐角三角函数的定义建立方程求解即可得出结论．2．如图，已知点D在反比例函数y= 的图象上，过点D作x轴的平行线交y轴于点B （0，3）．过点A（5，0）的直线y=kx+b与y轴于点C，且BD=OC，tan∠OAC= ．（1）求反比例函数y= 和直线y=kx+b的解析式；（2）连接CD，试判断线段AC与线段CD的关系，并说明理由；（3）点E为x轴上点A右侧的一点，且AE=OC，连接BE交直线CA与点M，求∠BMC的度数．【答案】（1）解：∵A（5，0），∴OA=5．∵，∴，解得OC=2，∴C（0，﹣2），∴BD=OC=2，∵B（0，3），BD∥x轴，∴D（﹣2，3），∴m=﹣2×3=﹣6，∴，设直线AC关系式为y=kx+b，∵过A（5，0），C（0，﹣2），∴，解得，∴；（2）解：∵B（0，3），C（0，﹣2），∴BC=5=OA，在△OAC和△BCD中∴△OAC≌△BCD（SAS），∴AC=CD，∴∠OAC=∠BCD，∴∠BCD+∠BCA=∠OAC+∠BCA=90°，∴AC⊥CD；（3）解：∠BMC=45°．如图，连接AD，∵AE=OC，BD=OC，AE=BD，∴BD∥x轴，∴四边形AEBD为平行四边形，∴AD∥BM，∴∠BMC=∠DAC，∵△OAC≌△BCD，∴AC=CD，∵AC⊥CD，∴△ACD为等腰直角三角形，∴∠BMC=∠DAC=45°．【解析】【分析】（1）由正切定义可求C坐标，进而由BD=OC求出D坐标，求出反比例函数解析式；由A、C求出直线解析式；（2）由条件可判定△OAC≌△BCD，得出AC=CD，∠OAC=∠BCD，进而AC⊥CD；（3）由已知可得AE=OC，BD=OC，得出AE=BD，再加平行得四边形AEBD为平行四边形，推出△OAC≌△BCD，∴AC=CD，∵AC⊥CD，∴△ACD为等腰直角三角形，∴∠BMC=∠DAC=45°.3．已知一次函数y=kx+b与反比例函数y= 交于A（﹣1，2），B（2，n），与y轴交于C 点．（1）求反比例函数和一次函数解析式；（2）如图1，若将y=kx+b向下平移，使平移后的直线与y轴交于F点，与双曲线交于D，E两点，若S△ABD=3，求D，E的坐标．（3）如图2，P为直线y=2上的一个动点，过点P作PQ∥y轴交直线AB于Q，交双曲线于R，若QR=2QP，求P点坐标．【答案】（1）解：点A（﹣1，2）在反比例函数y= 的图象上，∴m=（﹣1）×2=﹣2，∴反比例函数的表达式为y=﹣，∵点B（2，n）也在反比例函数的y=﹣图象上，∴n=﹣1，即B（2，﹣1）把点A（﹣1，2），点B（2，﹣1）代入一次函数y=kx+b中，得，解得：k=﹣1，b=1，∴一次函数的表达式为y=﹣x+1，答：反比例函数的表达式是y=﹣，一次函数的表达式是y=﹣x+1；（2）解：如图1，连接AF，BF，∵DE∥AB，∴S△ABF=S△ABD=3（同底等高的两三角形面积相等），∵直线AB的解析式为y=﹣x+1，∴C（0，1），设点F（0，m），∴AF=1﹣m，∴S△ABF=S△ACF+S△BCF= CF×|x A|+ CF×|x B|= （1﹣m）×（1+2）=3，∴m=﹣1，∴F（0，﹣1），∵直线DE的解析式为y=﹣x+1，且DE∥AB，∴直线DE的解析式为y=﹣x﹣1①．∵反比例函数的表达式为y=﹣②，联立①②解得，或∴D（﹣2，1），E（1，﹣2）；（3）解：如图2由（1）知，直线AB的解析式为y=﹣x﹣1，双曲线的解析式为y=﹣，设点P（p，2），∴Q（p，﹣p﹣1），R（p，﹣），PQ=|2+p+1|，QR=|﹣p﹣1+ |，∵QR=2QP，∴|﹣p﹣1+ |=2|2+p+1|，解得，p= 或p= ，∴P（，2）或（，2）或（，2）或（，2）．【解析】【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式可求得m的值，从而可得到反比例函数的解析式；把点A和点B的坐标代入一次函数的解析式可求得一次函数的解析式；（2）依据同底等高的两个三角形的面积相等可得到S△ABF=S△ABD=3，再利用三角形的面积公式可求得点F的坐标，即可得出直线DE的解析式，即可求出交点坐标；（3）设点P（p，2），则Q（p，﹣p﹣1），R（p，﹣），然后可表示出PQ与QR的长度，最后依据QR=2QP，可得到关于p的方程，从而可求得p的值，从而可得到点P的坐标.4．如图，P1、P2（P2在P1的右侧）是y= （k＞0）在第一象限上的两点，点A1的坐标为（2，0）．（1）填空：当点P1的横坐标逐渐增大时，△P1OA1的面积将________（减小、不变、增大）（2）若△P1OA1与△P2A1A2均为等边三角形，①求反比例函数的解析式；②求出点P2的坐标，并根据图象直接写在第一象限内，当x满足什么条件时，经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y= 的函数值．【答案】（1）减小（2）解：①如图所示，作P1B⊥OA1于点B，∵A1的坐标为（2，0），∴OA1=2，∵△P1OA1是等边三角形，∴∠P1OA1=60°，又∵P1B⊥OA1，∴OB=BA1=1，∴P1B= ，∴P1的坐标为（1，），代入反比例函数解析式可得k= ，∴反比例函数的解析式为y= ；②如图所示，过P2作P2C⊥A1A2于点C，∵△P2A1A2为等边三角形，∴∠P2A1A2=60°，设A1C=x，则P2C= x，∴点P2的坐标为（2+x， x），代入反比例函数解析式可得（2+x） x= ，解得x1= ﹣1，x2=﹣﹣1（舍去），∴OC=2+ ﹣1= +1，P2C= （﹣1）= ﹣，∴点P2的坐标为（ +1，﹣），∴当1＜x＜ +1时，经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y= 的函数值【解析】【解答】解：（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，点P1离x轴的距离变小，而OA1的长度不变，故△P1OA1的面积将减小，故答案为：减小；【分析】（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，点P1离x轴的距离变小，而OA1的长度不变，故△P1OA1的面积将减小；（2）①由A1的坐标为（2，0），△P1OA1是等边三角形，求出P1的坐标，代入反比例函数解析式即可；②由△P2A1A2为等边三角形，求出点P2的坐标，得出结论.5．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函数y= 的图象在第二象限交于点C，CE⊥x轴，垂足为点E，tan∠ABO= ，OB=4，OE=2．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点D是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF．如果S△BAF=4S△DFO，求点D的坐标．【答案】（1）解：∵OB=4，OE=2，∴BE=OB+OE=6．∵CE⊥x轴，∴∠CEB=90°．在Rt△BEC中，∠CEB=90°，BE=6，tan∠ABO= ，∴CE=BE•tan∠ABO=6× =3，结合函数图象可知点C的坐标为（﹣2，3）．∵点C在反比例函数y= 的图象上，∴m=﹣2×3=﹣6，∴反比例函数的解析式为y=﹣（2）解：∵点D在反比例函数y=﹣第四象限的图象上，∴设点D的坐标为（n，﹣）（n＞0）．在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OB=4，tan∠ABO= ，∴OA=OB•tan∠ABO=4× =2．∵S△BAF= AF•OB= （OA+OF）•OB= （2+ ）×4=4+ ．∵点D在反比例函数y=﹣第四象限的图象上，∴S△DFO= ×|﹣6|=3．∵S△BAF=4S△DFO，∴4+ =4×3，解得：n= ，经验证，n= 是分式方程4+ =4×3的解，∴点D的坐标为（，﹣4）．【解析】【分析】（1）由边的关系可得出BE=6，通过解直角三角形可得出CE=3，结合函数图象即可得出点C的坐标，再根据点C的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出反比例函数系数m，由此即可得出结论；（2）由点D在反比例函数在第四象限的图象上，设出点D的坐标为（n，﹣）（n＞0）．通过解直角三角形求出线段OA的长度，再利用三角形的面积公式利用含n的代数式表示出S△BAF，根据点D在反比例函数图形上利用反比例函数系数k的几何意义即可得出S△DFO的值，结合题意给出的两三角形的面积间的关系即可得出关于n的分式方程，解方程，即可得出n值，从而得出点D的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边，顶点坐标为，点坐标为 .（1）点的坐标是________，点的坐标是________（用表示）；（2）若双曲线过平行四边形的顶点和，求该双曲线的表达式；（3）若平行四边形与双曲线总有公共点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）解：∵双曲线过点和点，∴，解得，∴点的坐标为，点的坐标为，把点的坐标代入，解得，∴双曲线表达式为（3）解：∵平行四边形与双曲线总有公共点，∴当点在双曲线，得到，当点在双曲线，得到，∴的取值范围 .【解析】【分析】（1）由四边形ABCD为平行四边形，得到A与B纵坐标相同，C与D纵坐标相同，横坐标相差2，得出B、C坐标即可；（2）根据B与D在反比例图象上，得到C与D横纵坐标乘积相等，求出b的值确定出B坐标，进而求出k的值，确定出双曲线解析式；（3）抓住两个关键点，将A坐标代入双曲线解析式求出b的值；将C坐标代入双曲线解析式求出b的值，即可确定出平行四边形与双曲线总有公共点时b的范围．7．如图，直线 y=kx与双曲线 =－交于A、B两点，点C为第三象限内一点．（1）若点A的坐标为（a，3），求a的值；（2）当k=－，且CA=CB，∠ACB=90°时，求C点的坐标；（3）当△ABC为等边三角形时，点C的坐标为（m，n），试求m、n之间的关系式．【答案】（1）解：把（a，3）代入 =－，得，解得a=－2；（2）解：连接CO，作AD⊥y轴于D点，作CE垂直y轴于E点，则∠ADO=∠CEO=90°，∴∠DAO+∠AOD=90°，∵直线 y=kx与双曲线 =－交于A、B两点，∴OA=OB，当CA=CB，∠ACB=90°时，∴CO=AO，∠BOC=90°，即∠COE+∠BOE=90°，∵∠AOD=∠BOE，∴∠DAO=∠EOC，∴△ADO≌△OEC，又k=－，由y=－ x和y=－解得，，所以A点坐标为（－2，3），由△ADO≌△OEC得，CE=OD=3，EO=DA=2，所以C（-3，-2）；（3）解：连接CO，作AD⊥y轴于D点，作CE⊥y轴于E点，则∠ADO=∠CEO=90°，∴∠DAO+∠AOD=90°，∵直线 y=kx与双曲线 =－交于A、B两点，∴OA=OB，∵△ABC为等边三角形，∴CA=CB，∠ACB=60°，∠BOC=90°，即∠COE+∠BOE=90°，∵∠AOD=∠BOE，∴∠DAO=∠EOC，∴△ADO∽△OEC，∴，∵∠ACO= ∠ACB=30°，∠AOC=90°，∴，∵C的坐标为（m，n），∴CE=-m，OE=-n，∴AD=－ n，OD=－ m，∴A（ n，－ m），代入y=－中，得mn=18.【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数的解析式即可求出a的值；（2）连接CO，作AD⊥y轴于D点，作CE垂直y轴于E点，根据垂直的定义得出∠ADO=∠CEO=90°，故∠DAO+∠AOD=90°，根据双曲线的对称性得出OA=OB，当CA=CB，∠ACB=90°时，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及等腰三角形的三线合一得出CO=AO，∠BOC=90°，即∠COE+∠BOE=90°，根据等角的余角相等得出∠DAO=∠EOC，从而利用AAS判断出△ADO≌△OEC，，解联立直线与双曲线的解析式组成的方程组，得出A 点的坐标，由△ADO≌△OEC得，CE=OD=3，EO=DA=2，进而得出C点坐标；（3）连接CO，作AD⊥y轴于D点，作CE⊥y轴于E点，根据垂直的定义得出∠ADO=∠CEO=90°，故∠DAO+∠AOD=90°，根据双曲线的对称性得出OA=OB，△ABC为等边三角形，故CA=CB，∠ACB=60°，∠BOC=90°，即∠COE+∠BOE=90°，根据等角的余角相等得出∠DAO=∠EOC，从而判断出△ADO∽△OEC，根据相似三角形的旋转得出,根据锐角三角函数的定义，及特殊锐角三角函数值得出,C的坐标为（m，n），故CE=-m，OE=-n，AD=－ n，OD=－m，从而得出A点的坐标，再代入反比例函数的解析式即可求出mn=18.8．如图，一次函数y=﹣x+3的图象与反比例y= （k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．【答案】（1）解：∵点A（1，a）在一次函数y=﹣x+3的图象上，∴a=﹣1+3=2，∴点A（1，2）．∵点A（1，2）在反比例y= （k为常数，且k≠0）的图象上，∴k=1×2=2，∴反比例函数的表达式为y= ．联立一次函数与反比例函数关系式成方程组，得：，解得：，，∴点B（2，1）（2）解：作B点关于x轴的对称点B′（2，﹣1），连接AB’，交x轴于点P，连接PB，如图所示．∵点B、B′关于x轴对称，∵点A、P、B′三点共线，∴此时PA+PB取最小值．设直线AB′的函数表达式为y=mx+n（m≠0），将A（1，2）、B（2，﹣1）代入y=mx+n，，解得：，∴直线AB′的函数表达式为y=﹣3x+5．当y=﹣3x+5=0时，x= ，∴满足条件的点P的坐标为（，0）．【解析】【分析】（1）将x=1代入直线AB的函数表达式中即可求出点A的坐标，由点A 的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的表达式，联立两函数表达式成方程组，通过解方程组即可求出点B的坐标；（2）作B点关于x轴的对称点B′（2，﹣1），连接AB’，交x轴于点P，连接PB，由两点之间线段最短可得出此时PA+PB 取最小值，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的函数表达式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标．9．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B、C在第一象限，且四边形OABC是平行四边形，OC=2 ，sin∠AOC= ，反比例函数y= 的图象经过点C以及边AB的中点D．（1）求这个反比例函数的解析式；（2）四边形OABC的面积．【答案】（1）解：过C作CM⊥x轴于M，则∠CMO=90°，∵OC=2 ，sin∠AOC= = ，由勾股定理得：OM= =2，∴C的坐标为（2，4），代入y= 得：k=8，所以这个反比例函数的解析式是y=（2）解：过B作BE⊥x轴于E，则BE=CM=4，AE=OM=2，过D作DN⊥x轴于N，∵D为AB的中点，∴DN= =2，AN= =1，把y=2代入y= 得：x=4，即ON=4，∴OA=4﹣1=3，∴四边形OABC的面积为OA×CM=3×4=12【解析】【分析】（1）过C作CM⊥x轴于M，则∠CMO=90°，解直角三角形求出CM，根据勾股定理求出OM，求出C的坐标，即可求出答案；（2）根据D为中点求出DN的值，代入反比例函数解析式求出ON，求出OA，根据平行四边形的面积公式求出即可．10．如图1，抛物线y＝ax2﹣4ax+b经过点A（1，0），与x轴交于点B，与y轴交于点C，且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）将△OAC沿AC翻折得到△ACE，直线AE交抛物线于点P，求点P的坐标；（3）如图2，点M为直线BC上一点（不与B、C重合），连OM，将OM绕O点旋转90°，得到线段ON，是否存在这样的点N，使点N恰好在抛物线上？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）解：由题意知：抛物线的对称轴为：x=2，则B（3，0）；已知OB=OC=3，则C（0，-3）；设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），依题意有：a（0-1）（0-3）=-3，a=-1；故抛物线的解析式为：y=-x2+4x-3．（2）解：设AE交y轴于点F；易证得△FOA∽△FEC，有，设OF＝x，则EF＝3x，所以FA＝3x﹣1；在Rt△FOA中，由勾股定理得：（3x﹣1）2＝x2+1，解得x＝；即OF＝，F（0，）；求得直线AE为y＝﹣x+ ，联立抛物线的解析式得：，解得，；故点P（，）．（3）解：∵B（3，0），C（0，﹣3），∴直线BC：y＝x﹣3；设点M（a，a﹣3），则：①当点M在第一象限时，OG＝a，MG＝a﹣3；过M作MG⊥x轴于G，过N作NH⊥x轴于H；根据旋转的性质知：∠MON＝90°，OM＝ON，则可证得△MOG≌△NOH，得：OG＝NH＝a，OH＝MG＝a﹣3，故N（a﹣3，﹣a），将其代入抛物线的解析式中，得：﹣（a﹣3）2+4（a﹣3）﹣3＝﹣a，整理得：a2﹣11a+24＝0，a＝3（舍去），a＝8；故M（8，5），N（5，﹣8）．②当点M在第三象限时，OG＝﹣a，MG＝3﹣a；同①可得：MG＝OH＝3﹣a，OG＝NH＝﹣a，则N（3﹣a，a），代入抛物线的解析式可得：﹣（3﹣a）2+4（3﹣a）﹣3＝a，整理得：a2﹣a＝0，故a＝0，a＝1；由于点M在第三象限，所以a＜0，故a＝0、a＝1均不合题意，此种情况不成立；③当点M在第四象限时，OG＝a，MG＝3﹣a；同①得：N（3﹣a，a），在②中已经求得此时a＝0（舍去），a＝1；故M（1，﹣2），N（2，1）；综上可知：存在符合条件的N点，且坐标为N（2，1）或（5，﹣8）．【解析】【分析】（1）根据抛物线的解析式，可得抛物线的对称轴方程，进而可根据点A 的坐标表示出点B的坐标，已知OB=OC，即可得到点C的坐标，从而利用待定系数法求得抛物线的解析式．（2）点P为直线AE和抛物线的交点，欲求点P，必须先求出直线AE的解析式；设直线AE与y轴的交点为F，易得△FOA∽△FEC，由于OA=1，EC=3，根据相似三角形的对应边成比例即可得到FE=3OF，设OF=x，则EF=3x，AF=3x-1，进而可在Rt△FOA 中求出x的值，也就能求出F点的坐标，然后利用待定系数法求出直线AE的解析式，联立抛物线的解析式即可得到点P的坐标．（3）此题应分三种情况讨论：①当点M在第一象限时，可设M（a，a-3），由于ON是由OM旋转90°而得，因此△OMN是等腰直角三角形，分别过M、N作MG、NH垂直于x轴，即可证得△OMG≌△NOH，得MG=OH，NH=OG，由此可表示出N点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求得点M、N 的坐标；②当点M在第三象限，④点M在第四象限时，解法同①．11．请完成下面题目的证明．如图,AB为⊙O的直径,AB=8,点C和点D是⊙O上关于直线AB对称的两个点,连接OC,AC,且∠BOC<90°,直线BC与直线AD相交于点E,过点C作直线CG 与线段AB的延长线相交于点F,与直线AD相交于点G,且∠GAF=∠GCE（1）求证:直线CG为⊙O的切线；（2）若点H为线段OB上一点,连接CH,满足CB=CH；①求证:△CBH∽△OBC；②求OH+HC的最大值.【答案】（1）证明：由题意可知：∠CAB=∠GAF，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°∵OA=OC，∴∠CAB=∠OCA，∴∠OCA+∠OCB=90°，∵∠GAF=∠GCE，∴∠GCE+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，∵OC是⊙O的半径，∴直线CG是⊙O的切线；（2）证明：①∵CB=CH，∴∠CBH=∠CHB，∵OB=OC，∴∠CBH=∠OCB，∴△CBH∽△OBC解：②由△CBH∽△OBC可知：∵AB=8，∴BC2=HB•OC=4HB，∴HB= ，∴OH=OB-HB=∵CB=CH，∴OH+HC=当∠BOC=90°，此时BC=∵∠BOC＜90°，∴0＜BC＜令BC=x∴OH+HC= = =当x=2时，∴OH+HC可取得最大值，最大值为5【解析】【分析】（1）由题意可知：∠CAB=∠GAF，∠GAF=∠GCE，由圆的性质可知：∠CAB=∠OCA，所以∠OCA=∠GCE，从而可证明直线CG是⊙O的切线；（2）①由于CB=CH，所以∠CBH=∠CHB，易证∠CBH=∠OCB，从而可证明△CBH∽△OBC；②由△CBH∽△OBC可知：，所以HB= ，由于BC=HC，所以OH+HC=利用二次函数的性质即可求出OH+HC的最大值．12．如图，二次函数（其中a，m是常数，且a>0，m>0）的图象与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0，－3)，点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD.过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE.（1）用含m的代数式表示a；（2）求证：为定值；（3）设该二次函数图象的顶点为F.探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接CF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）解：将C（0，-3）代入函数表达式得，，∴（2）证明：如答图1，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N.由解得x1=－m，x2=3m.∴A(－m，0)，B(3m，0).∵CD∥AB，∴点D的坐标为（2m，－3）.∵AB平分∠DAE.∴∠DAM=∠EAN.∵∠DMA=∠ENA=900，∴△ADM∽△AEN, ∴ .设点E的坐标为（x, ）,∴ ,∴x=4m.∴为定值.（3）解：存在，如答图2，连接FC并延长，与x轴负半轴的交点即为所求点G.由题意得：二次函数图像顶点F的坐标为（m，-4），过点F作FH⊥x轴于点H，在Rt△CGO和Rt△FGH中,∵tan∠CGO＝ , tan∠FGH＝ , ∴ = .∴OG="3m,"由勾股定理得，GF= ，AD=∴ .由（2）得，，∴AD∶GF∶AE=3∶4∶5.∴以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时点G的横坐标为－3m.【解析】【分析】1）将C点代入函数解析式即可求得.（2）令y=0求A、B的坐标，再根据，CD∥AB，求点D的坐标，由△ADM∽△AEN,对应边成比例，将求的比转化成求比，结果不含m即为定值.（3）连接FC并延长，与x轴负半轴的交点即为所求点G..过点F作FH⊥x轴于点H，在Rt△CGO和Rt△FGH中根据同角的同一个三角函数相等，可求OG（用m表示），然后利用勾股定理求GF和AD（用m表示），并求其比值，由（2）是定值，所以可得AD∶GF∶AE=3∶4∶5，由此可根据勾股定理逆定理判断以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，直接得点G的横坐标.13．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），BC＝AC．（1）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；（2）在（1）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP＝DQ＝m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．【答案】（1）解：如图1，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ABD＝90°，∴△ABC∽△ADB，∴∠ABC＝∠ADB，且∠ACB＝∠BCD＝90°，∴△ABC∽△BDC，∴∵A（﹣3，0），C（1，0），∴AC＝4，∵BC＝AC．∴BC＝3，∴AB＝＝＝5，∵，∴，∴CD＝，∴AD＝AC+CD＝4+ ＝，∴OD＝AD﹣AO＝，∴点D的坐标为：（，0）；（2）解：如图2，当∠APC＝∠ABD＝90°时，∵∠APC＝∠ABD＝90°，∠BAD＝∠PAQ，∴△APQ∽△ABD，∴，∴∴m＝，如图3，当∠AQP＝∠ABD＝90°时，∵∠AQP＝∠ABD＝90°，∠PAQ＝∠BAD，∴△APQ∽△ADB，∴，∴∴m＝；综上所述：当m＝或时，△APQ与△ADB相似．【解析】【分析】（1）如图1，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，可证△ABC∽△ADB，可得∠ABC＝∠ADB，可证△ABC∽△BDC，可得，可求CD 的长，即可求点D坐标；（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解．14．已知：抛物线y＝﹣mx2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点，且开口向上（1）求抛物线的解析式；（2）结合图象写出，0＜x＜4时，直接写出y的取值范围________；（3）点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C．当BC＝1时，求出矩形ABCD的周长．【答案】（1）解：∵y＝x2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点，∴0＝0+0+m2﹣1，即m2﹣1＝0解得m＝±1．又∵开口向上，∴﹣m＞0，∴m＜0，∴m＝﹣1，∴二次函数解析式为y＝x2﹣3x．（2）﹣≤y＜4（3）解：如图，∵BC＝1，B、C关于对称轴对称，∴B（1，0），C（2，0），∵AB⊥x轴，DC⊥x轴，∴A（1，﹣2），D（2，﹣2），∴AB＝DC＝2，BC＝AD＝1，∴四边形ABCD的周长为6，当BC＝1时，矩形的周长为6．【解析】【解答】解：（2）∵y＝x2﹣3x═（x﹣）2﹣，∴x＝时，y最小值为﹣，x＝0时，y＝0，x＝4时，y＝4，∴0＜x＜4时，﹣≤y＜4．故答案为﹣≤y＜4．【分析】（1）把（0，0）代入抛物线解析式求出m的值，再根据开口方向确定m的值即可．（2）求出函数最小值以及x＝0或4是的y的值，由此即可判断．（3）由BC＝1，B、C关于对称轴对称，推出B（，1，0），C（2，0），由AB⊥x轴，DC⊥x轴，推出A （1，﹣2），D（2，﹣2），求出AB，即可解决问题．15．如图，反比例函数y= 的图象经过点A（﹣1，4），直线y=﹣x+b（b≠0）与双曲线y= 在第二、四象限分别相交于P，Q两点，与x轴、y轴分别相交于C，D两点．（1）求k的值；（2）当b=﹣2时，求△OCD的面积；（3）连接OQ，是否存在实数b，使得S△ODQ=S△OCD？若存在，请求出b的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：∵反比例函数y= 的图象经过点A（﹣1，4），∴k=﹣1×4=﹣4；（2）解：当b=﹣2时，直线解析式为y=﹣x﹣2，∵y=0时，﹣x﹣2=0，解得x=﹣2，∴C（﹣2，0），∵当x=0时，y=﹣x﹣2=﹣2，∴D（0，﹣2），∴S△OCD= ×2×2=2（3）解：存在．当y=0时，﹣x+b=0，解得x=b，则C（b，0），∵S△ODQ=S△OCD，∴点Q和点C到OD的距离相等，而Q点在第四象限，∴Q的横坐标为﹣b，当x=﹣b时，y=﹣x+b=2b，则Q（﹣b，2b），∵点Q在反比例函数y=﹣的图象上，∴﹣b•2b=﹣4，解得b=﹣或b= （舍去），∴b的值为﹣．【解析】【分析】（1）根据反比例函数的图象上点的坐标特征易得k=﹣4；（2）当b=﹣2时，直线解析式为y=﹣x﹣2，则利用坐标轴上点的坐标特征可求出C（﹣2，0），D（0，﹣2），然后根据三角形面积公式求解；（3）先表示出C（b，0），根据三角形面积公式，由于S△ODQ=S△OCD，所以点Q和点C到OD的距离相等，则Q的横坐标为（﹣b，0），利用直线解析式可得到Q（﹣b，2b），再根据反比例函数的图象上点的坐标特征得到﹣b•2b=﹣4，然后解方程即可得到满足条件的b的值．。
人教版九年级数学反比例函数专题复习与测试含答案
m 2 + m − 1 = 1; 2 m + 2m ≠ 0.
解得：
m = −2, 或m = 1 m ≠ 0, 且m ≠ −2
所以 m = 1.
故若 y 是 x 的正比例函数，则 m = 1. ⑵若 y 是 x 的反比例函数，由题意知：
m 2 + m − 1 = −1; 2 m + 2m ≠ 0.
k ( k ≠ 0 ) , 此问题的关键在于确定 k 的值. x k 解：⑴设反比例函数为 y = ( k ≠ 0 ) , 当 x = −1 时， y = 2, 得 k = xy = ( −1) × 2 = −2. x 2 所以反比例函数为 y = − . x ⑵利用函数表达式把已知的 x 或 y 的值代入表达式，即可解出未知 x 或 y 的值.从左到 y=
反比例函数专题复习 反比例函数专题复习
【课标要点 课标要点】 课标要点 1．掌握反比例函数的图象及性质； 2．会求反比例函数的解析式； 3．会画反比例函数的图象．
【知识网络 知识网络】 知识网络
定义 反比例函数的概念 图象 性质
第 1 讲 反比例函数
【知识要点 知识要点】 知识要点 1、一般地，函数 y =
9.如图，已知 A, B 两点是反比例函数 y =
2 x
( x > 0 ) 的图象上任意两点，过 A, B 两点分别
作 y 轴的垂线， 垂足分别是 C , D ， 连结 AB, AO, BO. 求梯形 ABDC 的面积与 ∆AOB 的 面积是多少？
第 2 讲 反比例函数的应用
又∵C 点在反比例函数 y = 【知识运用 知识运用】 知识运用 一、选择题 1.在下列函数中，反比例函数是（ ）
最新人教版九年级下册《反比例函数》专题汇总(解析版)
最新人教版九年级下册《反比例函数》专题汇总一、单选题1．如图，梯形AOBC 的顶点A 、C 在反比例函数3y x =的图像上，//OA BC ，上底OA 在直线y x =上，下底BC 交x 轴于点(2,0)E ，则四边形AOEC 的面积为（ ）A ．3B 3C 31D 31【答案】D 【分析】四边形AOEC 的面积＝梯形AOBC 的面积−三角形OBE 的面积．根据AO ∥BC ，且直线BC 经过E （2，0），解方程组3y xy x ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝求出A 点坐标．根据勾股定理求出OA 、BC 的长度，易求梯形AOBC 的高，从而求出梯形AOBC 的面积．△OBE 是等腰直角三角形，腰长是2，易求其面积，进而即可求解． 【详解】将反比例函数解析式为3y x =，与y ＝x 组成方程组得：3y xy x ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，解得x 3，x ＝3代入y ＝x 得，y 3A 33 ∴OA ()()22336+AOE =45°，∵//OA BC ，∴∠OEB =∠AOE =45°，即BOE △是等腰直角三角形， ∵E （2，0），∴OE=OB=2，B （0，-2）， ∴BE ＝22， ∴BE 边上的高为2， ∴梯形AOBC 高为2，由点C 的纵坐标y =1，代入3y x =，可得x =3，即：C （3，1）， ∴BC =()()22301232-++=，梯形AOBC 面积=12×（32＋6）×2＝3＋3， △OBE 的面积为：12×2×2＝2，则四边形AOEC 的面积=3＋3−2＝1＋3． 故选：D ． 【点睛】此题综合考查了梯形和函数的有关知识，此题难度较大，考查了函数和方程的关系，交点坐标和方程组的解的关系，以及反比例函数的图像．要用梯形、三角形的面积公式及勾股定理来计算． 2．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的对角线AC 的中点与坐标原点重合，点E 是x 轴上一点，连接AE 、BE ，若AD 平分OAE ∠，反比例函数()0,0k y k x x=<<的图像经过AE 上的点A 、F ，且AF EF =，ABE △的面积为18，则k 的值为（ ）A ．6-B ．12-C ．18-D ．24-【答案】B 【分析】连接BD ，OF ，过点A 作AN ⊥OE 于N ，过点F 作FM ⊥OE 于M ．证明BD ∥AE ，推出S △ABE ＝S △AOE ＝18，推出S △EOF ＝S △AOE ＝9，可得S △FME ＝3，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，连接BD ，OF ，过点A 作AN ⊥OE 于N ，过点F 作FM ⊥OE 于M ． ∵AN ∥FM ，AF ＝FE ， ∴MN ＝ME ， ∴FM ＝12AN ，∵A ，F 在反比例函数的图象上， ∴S △AON ＝S △FOM ， ∴ON •AN ＝•OM •FM ， ∴ON ＝12OM ， ∴ON ＝MN ＝EM ， ∴ME ＝13OE ， ∴S △FME ＝13S △FOE ， ∵AD 平分∠OAE ， ∴∠OAD ＝∠EAD ， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA ＝∠DAE ， ∴AE ∥BD ， ∴S △ABE ＝S △AOE ， ∴S △AOE ＝18， ∵AF ＝EF ，∴S△EOF＝S△AOF＝9，∴S△FME＝3，∴S△FOM＝S△FOE﹣S△FME＝9﹣3＝6，162OM MF ，∵点F在第二象限，∴k＝-12．故选：B．【点睛】本题考查反比例函数的性质，矩形的性质，平行线的判断和性质，解题的关键是证明BD∥AE，利用等积法求出三角形面积．3．如图，菱形OABC的两个顶点A、C在反比例函数y＝kx（k≠0）的第一象限内的图象上，已知菱形OABC面积为6，点B坐标为（32，32），则k的值为（）A．2 B．4 C．2D．8【答案】B【分析】连接OB ，AC ，交点为Q ，作AD ⊥y 轴于D ，AF ⊥x 轴于F ，CE ⊥x 轴于E ，根据菱形的性质得出OB 平分∠AOC ，OA ＝OC ，AC ⊥BD ，Q 是AC 、OB 的中点，进而求得Q 的坐标，△AOC 的面积，即可得出m ＋n ＝32，由点B 在直线y ＝x 上，即可得出∠AOD ＝∠COE ，通过证得△AOD ≌△COE 得到A （m ，n ），则C （n ，m ），根据S △OAC ＝S 梯形ACEF +S △AOF ﹣S △COE ＝S 梯形ACEF ，求得n −m ＝2，与m ＋n ＝32组成方程组，解方程组求得m 、n 的值，即可求得k 的值． 【详解】证明：如图连接OB ，AC ，交点为Q ，作AD ⊥y 轴于D ，AF ⊥x 轴于F ，CE ⊥x 轴于E ，∵B 坐标为（22 ∴点B 在直线y ＝x 上， ∵四边形OABC 是菱形，∴OB 平分∠AOC ，OA ＝OC ，AC ⊥BD ，Q 是AC 、OB 的中点， ∴∠AOD ＝∠COE ， 在△AOD 和△COE 中，AOD COE ADO CEO OA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AOD ≌△COE （AAS ）， ∴AD ＝CE ，OD ＝OE ，∴设A （m ，n ），则C （n ，m ）， ∵Q 是AC 、OB 的中点， ∴322m n += ， ∴m +n ＝2∵菱形OABC 面积为6， ∴S △AOC ＝3，∵S △OAC ＝S 梯形ACEF +S △AOF ﹣S △COE ＝S 梯形ACEF ， ∴12（m +n ）（n ﹣m ）＝3， ∴32（n ﹣m ）＝6， ∴n ﹣m ＝2，∴322m n n m ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ ，解得222n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∵点A 、C 在反比例函数y ＝k x（k ≠0）的第一象限内的图象上， ∴k ＝mn ＝4， 故选：B ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，反比例函数系数k 的几何意义，三角形全等的判定和性质，三角形的面积，求得A 或C 的坐标是解题的关键．4．如图所示，直线2x y =与双曲线()0,0k y k x x =>>交于点A ，将直线2x y =向上平移4个单位长度后，与y 轴交于点C ，与双曲线()0,0ky k x x=>>交干点B ，若3OA BC =，则k 的值为（ ）A ．3B ．6C ．1D ．92【答案】D 【分析】方法1，过点A 引1AA x ⊥轴于点1A ，过点B 引 1BB x ⊥轴于点1B ，过点C 引11CC BB ⊥于点 1C ，易证11Rt ~Rt AOA BCC ，所以 11133OA CC OB ==，得A 33,2b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ,42b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再代入A A B B k x y x y ==即可得出答案．方法2，设A ,kx x ⎛⎫⎪⎝⎭，代入2xy =得2x k =，所以A 22,2k k ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．因为11AOA BCC ，且3OA BC =，由平移得B 22,436k k ⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭．计算22436k k k ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭即可得出答案． 【详解】方法1 如图所示，过点A 引1AA x ⊥轴于点1A ，过点B 引1BB x ⊥轴于点1B ，过点C 引11CC BB ⊥于点1C ．因为OA CB ∥，所以11Rt Rt AOA BCC ，于是有11133OA CC OB ==， 设点A 的坐标为,2a a ⎛⎫⎪⎝⎭，点B 的坐标为,42bb ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以3a b =，故点A 的坐标为33,2b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭．从而可由点A ，B 均在双曲线ky x=上，得A A B B k x y x y ==，即133422b b b b ⎛⎫⋅=+ ⎪⎝⎭，解得1b =或0（舍去）， 于是由点A 的坐标为33,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．可得92=k ．故选D ．方法2 设点A 的坐标为,k x x ⎛⎫⎪⎝⎭，于是由点A 在2x y =上，可得2k x x =，即2x k =A 的坐标为22,k k ⎭．又因为11AOA BCC ，且3OA BC =，从而根据已知平移的性质，可得点B 的坐标为22,436k k ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭．据此同样可根据22436k k k ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得92=k 或0（舍去）． 故选D ． 【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，根据题意作出辅助线，设出A 、B 两点的坐标，再根据k =xy 的特点求出k 的值是解决本题的关键．5．如图，11122233,,,OA B A A B A A B △△△…是分别以123,,,A A A …为直角顶点，一条直角边在x 轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点111222333(,),(,),(,),C x y C x y C x y …均在反比例函数4y x=（x ＞0）的图象上，则12100y y y +++的值为（ ）A ．210B ．20C ．42D ．27【答案】B 【分析】作辅助线如图，根据等腰直角三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特点依次求出1234C C C C 、、、点的纵坐标，找到规律，再求和即可．【详解】解：过123C C C 、、……分别作x 轴的垂线，垂足分别为123D D D 、、……其斜边的中点1C 在反比例函数4y x=上，∴12,2C （），即12y =， ∴1112OD D A ==，设12A D a =，则22C D a =，此时2(4,)C a a +，带入4y x=， 解得：222a =-，2222y =-， 同理32322y =-，42423y =-，……1002100299y =-， 12100=2+2222322+2100299=2100=20y y y +++（-）+（-）……（-）故选：B ． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点、等腰直角三角形的性质以及一元二次方程的解法等知识，熟练掌握相关知识、找到规律是解题的关键．6．如图，已知平行四边形ABCD 的顶点A 、B 分别在x 轴和y 轴正半轴上，顶点C 、D 分别落在双曲线k y x=上，过点C 作y 轴垂线交y 轴于点E ，且2OB BE =．若平行四边形ABCD 的面积为16，则k 的值为（ ）A ．6B ．12C ．18D ．24 【答案】B【分析】连接AC ，设2=OB a ，则BE a =，则(0,2)B a ，(0,3)E a ，(3kC a ，3)a ，设点A 的横坐标为m ，则(,0)A m ，由平行四边形的平移可知，(3kD m a +，)a ；再根据点D 在反比例函数k y x=上，则()3km a k a+=，即23km a =，最后根据8ABC AOB BCE OACE S S S S =--=△△△梯形建立方程即可可解得12k =．【详解】解：如图，连接AC ，由题意可得：ABC 的面积为8，设2=OB a ，则BE a =，(0,2)B a ∴，(0,3)E a ，点C 在反比例函数ky x=上，(3kC a∴，3)a ， 设点A 的横坐标为m ，则(,0)A m ，由平行四边形的性质可知，//BC AD ，BC AD =， ∵由B 到C 向上移动a ，向右移动3ka ， ∴由A 到D 向上移动a ，向右移动3ka， (3kD m a∴+，)a ， 又∵点D 在反比例函数k y x=上，()3km a k a∴+=，解得：23k m a =， ∵8ABC AOB BCE OACE S S S S =--=△△△梯形， ∴12121()3282332323k k k k a a a a a a a +⋅-⋅⋅-⋅⋅=，∴112132822323k k k a a a a a a ⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅=，∴328236k k k --=， 解得：12k =．故选：B ．【点睛】本题考查反比例函数的性质，平行四边形的性质，由平移方式确定点的坐标，能通过B 点的平移方式和反比例函数上点的坐标特征表示D 点的坐标是解决本题的关键．7．如图，正方形1112A B PP 的两个顶点1A ，1B 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，另外两个顶点1P ，2P 在函数2y x=的图像上，在正方形1112A B PP 的右侧再作一个正方形2223A B P P ，使2A 在x 轴上，3P 在函数图像上，则点3P 的坐标为（）A ．()221B ．()331C ．)551D ．()3,1【答案】B【分析】 分别过点123P P P ，，作123PC y P B x P D x ⊥，⊥，⊥，过点2P 作23P E P D ⊥，根据全等求出各边之间的关系，设113OA a OB b P D c ===，，，表示出123P P P ，，的坐标代入反比例函数，求解即可．【详解】解：分别过点123P P P ，，作123PC y P B x P D x ⊥，⊥，⊥，过点2P 作23P E P D ⊥，如下图：则11112190PCB AOB P BA ∠=∠=∠=︒，111190PB C B PC ∠+∠=︒ 在正方形1112A B PP 中，111211A B A P B P ==，11111290PB A B A P ∠=∠=︒∴111190PB C A B O ∠+∠=︒∴1111B PC A B O ∠=∠ ∴1111()PB C B AO AAS △≌△同理可得：1211A PB B AO △≌△，2332P P E P A D △≌△ 由题意可知：四边形2P BDE 为矩形，设113OA a OB b P D c ===，，则211111=BP B C OA a A B PC OB b =====，，23P E P D BD c === 则1(,)P b a b +，2(,)P a b a +，3(,)P a b c c ++ 代入反比例函数得2a b b +=①，2a a b =+②，2c a b c=++③ 由①得2a b b =-，代入②得222b b b b b-=-+，化简得21b =，解得1b =±（负值舍去） 将1b =代入①得12a +=，1a = 代入③得22c c=+，化简得2220c c +-= 由求根公式可得22241(2)13c -±-⨯⨯-=- 31c =，令31y =231x=，解得31x =+ 点3P 的坐标为()331故选B ．【点睛】此题考查了反比例函数与几何的综合应用，涉及了全等三角形的判定与性质，正方形的性质以及一元二次方程的求解，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．8．如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC 的斜边AB 的中点与坐标原点重合，点D 是x 轴上一点，连接CD 、A D ．若CB 平分OCD ∠，反比例函数(0,0)k y k x x=<<的图象经过CD 上的两点C 、E ，且CE DE =，ACD △的面积为18，则k 的值为（ ）．A ．8-B ．12-C ．14-D ．16-【答案】B【分析】 连接OE ，过点E 作EF ⊥OD 于点F ，过点C 作CG ⊥OD 于点G ，证明CD ∥AB ，推出S △OCD ＝S △ACD ＝18，求得△ODE 的面积，再证明DF ＝FG ＝OG ，得S △OEF ＝23S △ODE ，进而即可求解．【详解】解：连接OE ，过点E 作EF ⊥OD 于点F ，过点C 作CG ⊥OD 于点G ，则EF ∥CG ，∵CE ＝DE ，∴DF ＝FG ，EF ＝12CG ， ∵反比例函数(0,0)k y k x x =<<的图象经过CD 上的两点C 、E ，∴S △OCG ＝S △OEF ＝12|k |， ∴12OG •CG ＝12OF •EF ，∴OF ＝2FG ，∴DF ＝FG ＝OG ，∴S △OEF ＝23S △ODE ，∵Rt △ABC 的斜边AB 的中点与坐标原点重合，∴OC ＝OB ，∴∠OBC ＝∠OCB ，∵CB 平分∠OCD ，∴∠OCB ＝∠DCB ，∴∠OBC ＝∠DCB ，∴CD ∥OB ，∴S △OCD ＝S △ACD ＝18，∵CE ＝DE ，∴S △ODE ＝12S △OCD ＝9，∴S △OEF ＝23S △ODE ＝23×9＝6， ∴12|k |＝6，∵k ＜0，∴k ＝−12．故选：B ．【点睛】本题考查反比例函数的性质，直角三角形的性质，平行线的判断和性质，等高模型等知识，解题的关键是证明CD ∥AB ，利用等高模型解决问题，属于中考选择题中的压轴题．9．如图，过原点的直线与反比例函数(0)k y k x=>的图象交于A 、B 两点，点A 在第一象限，点C 在x 轴正半轴上，连接AC 交反比例函数图象于点D ，AE 为BAC ∠的平分线，过点B 作AE 的垂线，垂足为E ，连接DE ，若2AD DC =，ADE 的面积为8，则k 的值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】B【分析】 如图：连接OE 、CE ，过点A 作AF ⊥x 轴，过点D 作DH ⊥x 轴，过点D 作DG ⊥AF ；由AB 经过原点，则A 与B 关于原点对称，再由BE ⊥AE ，AE 为∠BAC 的平分线，可得AD //OE ，进而可得S △ACE =S △AOC ；设点A （m ，k m ），由已知条件AC =2DC ，DH ∥AF ，可得3DH =AF ，则点D （3m ，3k m ），证明△DHC ∽△AGD ，得到S △HDC =14S △ADG ，所以S △AOC =S △AOF +S 梯形AFHD +S △HDC =12k +43k +6k =12；即可求解． 【详解】解：如图：连接OE ，CE ，过点A 作AF ⊥x 轴，过点D 作DH ⊥x 轴，过点D 作DG ⊥AF ，∵过原点的直线与反比例函数y=kx（k＞0）的图象交于A，B两点，∴A与B关于原点对称，∴O是AB的中点，∵BE⊥AE，∴OE=OA，∴∠OAE=∠AEO，∵AE为∠BAC的平分线，∴∠OAE=∠CAE，∴∠DAE=∠AEO，∴AD//OE，∴S△ACE=S△AOC，∵AD=2DC∴AC=3DC，∵△ADE的面积为8，∴S△ACE=S△AOC=12，设点A（m，km），∵AC=3DC，DH//AF，∴3DH =AF ，∴D （3m ，3k m ）， ∵CH //GD ，AG //DH ，∴△DHC ∽△AGD ，∴S △HDC =14S △ADG ，∵S △AOC =S △AOF +S 梯形AFHD +S △HDC=11()22HDC k DH AF FH S ∆+⨯+⨯+=11411222223243k k k m m m m +⨯⨯+⨯⨯⨯ =1412236k k k ++=， ∴2k =12，∴k =6．故选B ．【点睛】本题主要考查反了比例函数k 的几何意义、直角三角形、角平分线等知识点，将△ACE 的面积转化为△AOC 的面积是解答本题的关键．10．如图，点B 是反比例函数()120y x x =>图象上一点，过点B 分别向坐标轴作垂线，垂足分别为A ，C ．反比例函数()0k y x x =>的图象经过OB 的中点M ．与AB ，BC 分别交于点D ，E ．连接DE 并延长交x 轴于点F ，下列结论①6k =；②:1:3AD DB =；③BDF 的面积是个定值；④AD CF =中，正确的有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【分析】取OA 的中点N ，连接MN ，由中位线定理可知AB =2MN ，OA =2ON ，设点B 的坐标为(m ，n )，则可得mn =12，从而可得k 的值，得到函数解析式，对①可作出判断；由AB ⊥y 轴，可得得D 的坐标，从而可求得AD 、DB ，并求得其比，对②可作出判断；由前一问的结论可求得△BDF 的面积，故可对③作出判断；因点E 在k y x=上，且BC ⊥x 轴，可得E 的坐标，也可求得CE 与EF 的比，再由△CEF ∽△BED ，从而易得CF 与AD 的关系，从而可对④作出判断．【详解】取OA 的中点N ，连接MN ，如图∵M 是OB 的中点∴MN 是△OAB 的中位线∴AB =2MN ，OA =2ON设点B 的坐标为(m ，n )，则AB =m ，OA =n ∴1122MN m ON n ==， ∴11,22M m n ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∵点B 是反比例函数()120y x x =>图象上一点 ∴mn =12 ∴12m n= ∵点M 在双曲线ky x =上 ∴1122m n k ⨯=∴k =3故①不正确； ∵3y x =，且AB ⊥y 轴，点D 在此双曲线上∴点D的纵坐标为n∴3 xn =即3 ADn=∵12 mn =∴DB=AB-AD=1239 n n n-=∴AD:DB=1:3 故②正确；∵1199222 BDFS DB OA nn==⨯⨯=△∴△BDF的面积为定值故③正确；∵点D在3yx=的图象上，且BC⊥x轴∴E点的横坐标为m∴3 ym =即3 CEm=∵AB⊥y轴，BC⊥x轴，AO⊥BO ∴四边形ABCO是矩形∴BC=OA=n12m=，AB∥OC∴CE：BC=1：4 ∴CE：BE=1：3 ∵AB∥OC∴△CEF∽△BED∴13 CF CE DB BE==∴CF：DB=1：3∴AD=CF故④正确综上所述，正确的结论有②③④三个故选：C．【点睛】本题是反比例函数与几何图形的综合，考查了反比例函数的图象，面积的计算，相似三角形的判定与性质，中位线定理等知识，掌握反比例函数的性质是关键．11．平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，其中点A在第一象限．设为双曲线上一点，直线，分别交y轴于C，D两点，则的值为（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】根据直线与双曲线相交于A，B两点，其中点A在第一象限求得，，再根据为双曲线上一点求得；根据点A与点M的坐标求得直线AM解析式为，进而求得，根据点B与点M的坐标求得直线BM解析式为，进而求得，最后计算即可．【详解】解：∵直线与双曲线相交于A，B两点，∴联立可得：解得：或∵点A在第一象限，∴，．∵为双曲线上一点，∴．解得：．∴．设直线AM的解析式为，将点与点代入解析式可得：解得：∴直线AM的解析式为．∵直线AM与y轴交于C点，∴．∴．∴．∵，∴．设直线BM的解析式为，将点与点代入解析式可得：解得：∴直线BM 的解析式为． ∵直线BM 与y 轴交于D 点， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴=4．故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，涉及到分式方程，一元二次方程和二元一次方程组的求解，正确求出点的坐标和直线解析式是解题关键．12．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 与反比例函数()0k y x x =>的图象交于D ，E 两点，矩形的顶点A ，C 在坐标轴上，:10:21OD DE =，90ODE ∠=︒，若点D 的坐标为()2,5，则下列结论错误的是（ ）A ．10OEC S =△B ．44120DBE S =△C ．214BE EC =D ．点E 的坐标为254,25⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】 先根据题意求得OA =5,AD =2,OD 2229OA AD +:10:21OD DE =求出DE ,然后再证明△OAD ∽△DBE 可得OA AD OD DB BE DE==，进而求得BD 、BE ，然后求出OC 、EC ，最后逐项排查即可． 【详解】解：∵四边形OABC 为矩形，D (2,5)∴OA =5，AD =2，OD 2229OA AD +又∵:10:21OD DE =∴DE 212910∵∠ODE =90°∴∠ODA +∠BDE =90°又∵∠ODA +∠AOD =90°∴∠BDE =∠AOD90,OAD DBE ∠=∠=︒∴△OAD ∽△DBE ∴OA AD OD DB BE DE ==,即521021DB BE == ∴BD 212= ，BE 215= ∴OC =AD +BD =2125222+=，EC =BC -BE =214555-=∴S △OEC =1125452225OC CE =⨯⨯=,故A 错误；符合题意； S △DEB =112121441222520BD BE =⨯⨯= ，故B 正确；不符合题意； 21215445BE EC ==,故C 正确；不符合题意； CO =252，EC =45，则点E 的坐标为254,25⎛⎫ ⎪⎝⎭．正确，不符合题意； 故选：.A【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何的结合、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．二、填空题13．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数()0ky x x =>的图象过点A ，连接OA ，过点A 作OA 的垂线交反比例函数图象于另一点B ，若2AB OA =，点A 的横坐标为1，则k 的值是_____________．21【分析】作AD x ⊥轴于D ，BE AD ⊥于E ，通过证得ABE OAD ∽，得出2AE =，2BE AD =，设(1,)A n ，则(12,2)B n n +-，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到(12)(2)k n n n ==+⋅-，解得即可．【详解】解：作AD x ⊥轴于D ，BE AD ⊥于E ，OA AB ⊥，90OAD BAE ∴∠+∠=︒，90AOD OAD ∠+∠=︒，BAE AOD ∴∠=∠，90AEB ODA ∠=∠=︒，ABE OAD ∴∽， ∴AE BE AB OD AD OA==， 2AB OA =，点A 的横坐标为1， ∴=21AE BE AB AD OA==， 2AE ∴=，2BE AD =，设AD n =，则2BE n =，∴(1,)A n ，则(12,2)B n n +-， 反比例函数(0)ky x x =>的图象过点A 、B ，(12)(2)k n n n ∴==+⋅-， 解得112n =21-2n =12k ∴= 故答案为12【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，表示出A 、B 的坐标是解题的关键．14．如图，在Rt△ABC 中，∠ABC ＝90°，C （0，﹣4），AC 与x 轴交于点D ，CD ＝4AD ，点A 在反比例函数k y x=（x ＞0）的图象上，且y 轴平分∠ACB ，求k ＝__．【答案】53【分析】作x 轴的垂线，构造相似三角形，利用4CD AD ＝和C （0，﹣4）可以求出A 的纵坐标，再利用三角形相似，设未知数，由相似三角形对应边成比例，列出方程，求出待定未知数，从而确定点A 的坐标，进而确定k 的值．【详解】解：过A 作AE ⊥x 轴，垂足为E ，∵C （0，﹣4），∴OC ＝4，∵∠AED ＝∠COD ＝90°，∠ADE ＝∠CDO ∴ADE CDO ∽，∵4CD AD ＝，∴41AE DE AD CO OD CD ===，∠OCD ＝∠DAE ， ∴AE ＝1；又∵y 轴平分∠ACB ，CO ⊥BD ，在△OBC 和△ODC 中，90BCO DCO OC OC BOC DOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴△OBC ≌△ODC （ASA ）∴BO ＝OD ，∠OCB ＝∠OCD ，∵∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBD＝90°，又∵∠OCB+∠CBD＝90°，∴∠OCB＝∠OCD＝∠DAE＝∠ABE，∴△ABE～△DCO，∴AE BE OD OC=，设DE＝n，则BO＝OD＝4n，BE＝9n，∴1944n=n，∴n＝13，∴OE＝5n＝53，∴A（53，1）∴k＝53×1＝53．故答案为：53．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，综合利用相似三角形的性质求A的坐标，依据A在反比例函数的图象上的点，根据坐标求出k的值．综合性较强，注意转化思想方法的应用．15．如图，点A，B在反比例函数ykx=第一象限的图象上，点A坐标为（1，2），AB的延长线交x轴于点C．点D在x轴上，BD的延长线交双曲线的另一支于点E，AB＝BC＝BD．则点C的坐标为____，△CDE的面积等于____．【答案】(3,0) 2【分析】 先求出反比例函数的解析式2y x =，根据B 为AC 的中点，由中点坐标公式可计算出(3,0)C ，同理可求出点(1,0)D ，再求出直线BD 的方程1y x =-，联立12y x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩求出点(1,2)E --，根据1||2BCE E S CD y =⋅即可求解． 【详解】解：点A ，B 在反比例函数y k x=第一象限的图象上，将(1,2)A 代入上式，解得：2k =，2y x ∴=， 设点(,0)C c ，AB BC =，B ∴为AC 的中点， 由中点坐标公式可得：1(,1)2c B +， 将1(,1)2c B +代入2y x =，解得：3c =，即(3,0)C ，(2,1)B ∴由勾股定理得：ABBD ∴=设(,0),(03)D d d <<，=解得：1d =，故(1,0)D ，设直线BD 的方程为y kx b =+，解得,B D 两点代入其中得：012k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得：1,1k b ==-，1∴=-y x ， 联立12y x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩， 解得：12x y =-⎧⎨=-⎩或21x y =⎧⎨=⎩， 由图可得：(1,2)E --312,||2E CD y =-==， 由11||22222BCE E S CD y =⋅=⨯⨯=， 故答案是：(3,0)C ，2．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，中点坐标公式，勾股定理，解题的关键是掌握用待定系数法求函数的解析式．16．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，▱ABCD 的边AB 在x 轴上，顶点D 在y 轴的正半轴上，点C在第一象限，将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，点B恰好为OE的中点，DE与BC交于点F．若kyx=（k≠0）图象经过点C，且S△BEF＝1，则k的值为_____．【答案】24【分析】连接OC，BD，根据折叠的性质得到OA＝OE，得到OE＝2OB，求得OA＝2OB，设OB＝BE＝x，则OA＝2x，根据平行四边形的性质得到CD＝AB＝3x，根据相似三角形的性质得到133BE EF xCD DF x===，求得S△BDF＝3，S△CDF＝9，于是得到结论．【详解】解：连接OC，BD，∵将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，∴OA＝OE，∵点B恰好为OE的中点，∴OE＝2OB，∴OA＝2OB，设OB＝BE＝x，则OA＝2x，∴AB＝3x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝3x，∵CD∥AB，∴△CDF∽△BEF，∴133 BE EF xCD DF x===，∵S△BEF＝1，∴S △BDF ＝3，S △CDF ＝9， ∴S △BCD ＝12， ∴S △CDO ＝S △BDC ＝12， ∴k 的值＝2S △CDO ＝24． 故答案为：24【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k 的几何意义，折叠的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．17．如图，菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，顶点A ，C 在双曲线()110k y k x=>上，顶点B ，D 在双曲线()220k y k x=<上，且BD 经过点O ．若122k k +=，则菱形ABCD 面积的最小值是___________．【答案】3【分析】先构造出COM ∽△OBN ，得出OM CM OCBN ON OB==，再判断出△BCD 是等边三角形，得出OC 3，进而得出OM 3，CM 3，设点B 的坐标为（m ，2k m ），求出C （23k 3），进而得出k 1=-3k 2，进而求出k 1=3，k 2=-1，进而求出OB ，OC ，最后得出S 菱形ABCD 3m -1m)23论．【详解】解：如图，过点C 作CM ⊥y 轴于M ，过点B 作BN ⊥y 轴于N ，连接OC ， ∴∠OMC =∠BNO =90°， ∴∠COM +∠OCM =90°， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴OC ⊥BD ， ∴∠BOC =90°， ∴∠COM +∠BON =90°， ∴∠OCM =∠OBN ， ∴△COM ∽△OBN ， ∴OM CM OCBN ON OB==， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴CD =CB ，AB ∥CD ，∴∠BCD =180°-∠ABC =60°， ∴△BCD 是等边三角形， ∵OC ⊥BD ，∴OC ，∴OM CMBN ON==∴OM ，CM ， 设点B 的坐标为（m ，2k m）， ∴BN =m ，ON =2k m-，∴OM ，CM -2k m )=∴C （）， ∵点C 在反比例函数y =1k x图象上，∴23k m-×3m =k 1， ∴k 1=3-k 2， ∵k 1+k 2=2， ∴k 1=3，k 2=-1， ∴3(3)C m m，，1()B m m ，-，∴22223()(3)1OC m OB m m m=+=+，， ∴S 菱形ABCD =2×12BD •OC =2OB •OC2222312()(3)m m m m=+⨯+ 223(12)m m =+. 2123()43m m=-+， ∴当m =1m时，S 菱形ABCD 最小=43， 故答案为：43．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，待定系数法，构造出相似三角形是解本题的关键．18．如图，平行四边形OABC 中，点A ，C 在反比例函数1k y x=第一象限的图象上，点B 在反比例函数2k y x =第一象限的图象上，连接AC 并延长交x 轴于点D ，若2AD AC =，则12k k 的值是_______．【答案】29 【分析】作AM x ⊥轴于M ，CN x ⊥轴于N ，由//AM CN ，即可得出12CNCD AMAD ==，即2AM CN =，设1(k C m，)m ，则1(2k A m ，2)m ，根据平行四边形的性质得出11(2k k B m m +，3)m ，代入2k y x=即可证得结论．【详解】解：作AM x ⊥轴于M ，CN x ⊥轴于N ，//AM CN ∴，∴CN CDAM AD=， 2AD AC =，∴12CN CD AM AD ==， 2AM CN ∴=，设1(k C m，)m ，则1(2k A m ，2)m ， 四边形OABC 是平行四边形，且原点O 向右平移12km 个单位，向上平移2m 个单位得到A ，∴点C 向右平移12k m个单位，向上平移2m 个单位得到B ， 11(2k k B m m∴+，3)m ，点B 在反比例函数2k y x=第一象限的图象上， 112()32k k m k m m∴+⋅=， ∴1229k k =， 故答案为29． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，解题的关键是表示出A 、B 、C 的坐标．19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知正比例函数y ＝kx 与反比例函数8y x-=的图象交于A ，B （-2，a ）两点，过原点O 的另一条直线l 与双曲线y ＝k x交于P ，Q 两点（Q 点在第四象限），若以点A ，B ，P ，Q 为顶点的四边形面积为24，则点P 的坐标是_______．【答案】（-4，2）或（-1，8） 【分析】根据题意先求出点B （﹣2，4），利用反比例函数的对称性求出A （2，﹣4），再把A 代入代入正比例函数得出解析式，利用原点对称得出四边形AQBP 是平行四边形，S △POB ＝S 平行四边形AQBP ×14＝14×24＝6，设点P 的横坐标为m （m ＜0且m ≠﹣2），得到P 的坐标，根据双曲线的性质得到S △POM ＝S △BON ＝4，接着再分情况讨论：若m ＜﹣2时，可得P 的坐标为（﹣4，2）；若﹣2＜m ＜0时，可得P 的坐标为（﹣1，8）． 【详解】解：∵点B （﹣2，a ）在反比例函数8y x=-上，∴把x＝﹣2代入反比例函数82x-=-，解得y＝4，∴点B（﹣2， 4），∵点A与B关于原点对称，∴A点坐标为（2，﹣4），把点A（2，﹣4）代入反比例函数y kx=，得k＝﹣2，∴正比例函数为y＝﹣2x，∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形，∴OP＝OQ，OA＝OB，∴四边形AQBP是平行四边形，∴S△POB＝S平行四边形AQBP×14＝14×24＝6，设点P的横坐标为m（m＜0且m≠﹣2），得P（m，﹣8m），过点P、B分别做x轴的垂线，垂足为M、N，∵点P、B在双曲线上，∴S△POM＝S△BON＝4，若m＜﹣2，如图1，∵S△POM+S梯形PMNB＝S△POB+S△POM，∴S梯形PMNB＝S△POB＝6．∴12（4﹣8m）•（﹣2﹣m）＝6．∴m1＝﹣4，m2＝1（舍去），∴P（﹣4，2）；若﹣2＜m＜0，如图2，∵S△POM+S梯形BNMP＝S△BOP+S△BON，∴S梯形BNMP＝S△POB＝6．∴12（4﹣8m）•（m+2）＝6，解得m1＝﹣1，m2＝4（舍去），∴P（﹣1，8）．∴点P的坐标是P（﹣4，2）或P（﹣1，8），答案为：（﹣4，2）或（﹣1，8）．【点睛】此题考查一次函数和反比例函数的综合，解题关键在于做出辅助线，运用分类讨论的思想解决问题．20．如图，直线y＝kx+b分别与x轴、y轴交于C、D两点，与反比例函数y＝mx的图象交于A（1，3）、B（3，1）两点，过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，连结EF．给出以下结论：①m＝3，k＝﹣1，b＝4；②EF∥AB；③五边形AEOFB的面积＝6；④四边形DEFB与四边形AEFC的周长相等．所有正确的结论有 ______．（填正确的序号）【答案】①②④【分析】根据待定系数法求出函数关系式可确定k、b、m的值，并对①作出判断；确定点E、F的坐标及直线AB与x轴、y轴交点C、D的坐标，利用等腰直角三角形的性质可对②作出判断；根据S五边形AEOFB＝S△COD﹣S△ADE﹣S△BCF，即可对③作出判断；由坐标求出相应的线段的长，根据勾股定理求出AD、BC、EF、CD的长，再求出BD、AC的长，分别计算出四边形DEFB与四边形AEFC的周长即可对④作出判断．【详解】∵直线y＝kx+b过A（1，3）、B（3，1）两点，∴3 31k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得14kb=-⎧⎨=⎩，∴直线的函数关系式为y＝﹣x+4，又∵反比例函数y＝mx的图象过A（1，3），∴m＝1×3＝3，∴反比例函数的关系式为y＝3x，因此①正确；∵AE⊥y轴，BF⊥x轴，∴E（0，3），F（3，0），∴OE＝OF＝3，又∵直线y＝﹣x+4与x轴的交点C（4，0），与y轴的交点D（0，4），∴OC＝OD＝4，∴AE＝DE＝BF＝FC＝1，∴∠BCF＝∠EFO＝45°，∴EF∥AB，因此②正确；S五边形AEOFB＝S△COD﹣S△ADE﹣S△BCF＝12×4×4﹣12×1×1﹣12×1×1＝7，因此③不正确；在直角△ADE中，AD=在直角△BCF中，BC，在直角△EOF中，EF=在直角△COD中，CD=∴BD=CD-BC=AC=CD-AD=∴四边形DEFB的周长为DE+EF+BF+BD＝，四边形AEFC的周长为AE+EF+FC+AC＝，∴四边形DEFB与四边形AEFC的周长相等，因此④正确；综上所述，正确的结论有：①②④，故答案为：①②④．【点睛】本题考查反比例函数、一次函数的图象的交点坐标，勾股定理，图形的周长与面积的计算，待定系数法求函数解析式以及勾股定理求出线段的长是解决问题的关键．21．如图，已知直线y＝kx＋b与函数y＝mx（x＞0）的图象交于第一象限内点A，与x轴负半轴交于点B ，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，点D 为AB 中点，线段CD 交y 轴于点E ，连接BE ．若△BEC 的面积为272，则m 的值为___．【答案】27 【分析】过点A 作AF ⊥y 轴于点F ，连接AE ，根据点D 是AB 的中点，△ADC 的面积=△BDC 的面积，△ADE 的面积=△BDE 的面积，从而其差相等，即△AEC 的面积=△BEC 的面积，由于△AEC 的面积=矩形AFOC 面积的一半，再由反比例函数中k 的几何意义即可求得m 的值． 【详解】过点A 作AF ⊥y 轴于点F ，连接AE ，如图 ∵AC ⊥x 轴，FO ⊥OC ∴四边形ACOF 是矩形 ∵点D 是AB 的中点∴CD 、ED 分别是△ABC 、△ABE 的边AB 上的中线 ∴ADCBDCS S =， ADEBDESS=∴ADC ADE BDCBDES SSS-=-即272AECBECSS==∵·ACOF S AC OC =矩形，1·2AECS AC OC =∴2722272AECACOF S S==⨯=矩形 ∴根据反比例函数解析式中k 的几何意义知，27ACOF S m ==矩形∵反比例函数的图象在第一象限∴m=27故答案为：27．【点睛】本题考查了三角形中线的性质、反比例函数比例系数k的几何意义、矩形的判定等知识，添加辅助线，利用三角形中线平分三角形面积的性质是本题的关键．22．如图，反比例函数6yx=的图象与直线y x m=-+（0m>）交于A，B两点（点A在点B左侧），过点A作x轴的垂线，垂足为点C，连接AO，BO，图中阴影部分的面积为6，则m的值为______．【答案】33【分析】首先由已知得到S△BFG＝2S△OEC，从而可得A、B横坐标的关系，再设A、B坐标代入y＝−x＋m，即可求解．【详解】解：过点A、B分别作y轴和x轴的垂线，垂足分别为R、F，设点M是AB的中点，由6yxy x m⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，整理得：x2−mx＋6＝0，由题意可得x2−mx＋6＝0有两个不相等的实数根分别设为x1，x2，则x1＋x2＝m，y1＋y2＝−x1＋m−x2＋m＝m，则点M的坐标为（12m，12m），设直线AB交x轴于点G，交y轴于点H，对于y＝−x＋m，令x＝0，则y＝m，令y＝0，则x＝m，∴点G、H的坐标分别为（m，0）、（0，m），则点HG中点的坐标为（12m，12m），即点M也为GH的中点，故AH＝BG，∵AR∥x轴，∴∠HAR＝∠BGF，∵∠HRA＝∠BFG＝90°，∴△HRA≌△BFG（AAS），∴AR＝OC＝FG，∴S△HRA＝S△BFG，∵S△AEO＋S△OCE＋S△OCE＋S四边形ECFB＝12|k|＋12|k|＝6，而阴影部分的面积＝S△AEO＋S四边形EBFC＋S△BFG＝6，∴S △BFG ＝2S △OEC ， 即2×12×CO •EC ＝12×BF •FG ，而OC ＝FG ，∴EC ＝12BF ，即EC 是△OBF 的中位线，故设点A 的坐标为（t ，6t ），则点B （2t ，3t ），将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式得：632t m t t m t ⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＝＋＝＋，解得333t m ⎧=⎪⎨=⎪⎩（不合题意的值已舍去）， 故答案为：33．【点睛】本题为反比例函数综合运用，考查反比例函数和一次函数的基本性质、中点公式的运用、三角形全等及面积问题，题目较难，解题的关键是得出A 、B 横坐标的关系．23．如图，已知等腰三角形ABC 的底边BC 落在x 轴上，延长CA 到点D ，使得AD AC =，延长AB 交y 轴于点E ，连接CE ，点D 落在反比例函数()0k y k x=≠的图像上．若BCE ∆的面积等于23，则k =_______． \【答案】3连接,,OD ED BD ，根据已知条件可得,BDA BCA EDA ECA S S S S ==△△△△，进而可得EDB ECB S S =△△，再证明DB BC ⊥，则可得DBO DBE S S =，根据反比例函数k 的几何意义，即可求得；【详解】连接,,OD ED BD ，AD AC =，,BDA BCA EDA ECA S S S S ∴==△△△△，EDB ECB S S ∴=△△，,AB AC AD AC ==，AD AB ∴=，,DBA BDA ABC ACB ∴∠=∠∠=∠，180DBA BDA ABC ACB ∠+∠+∠+∠=︒，90ABD ABC ∴∠+∠=︒，DB BC ∴⊥，//OE DB ∴，DBO DBE S S ∴==△△23ECB S =△243OBD k S ∴==△ D 在第一象限，43k ∴= 故答案为：43本题考查了三角形中线的性质，反比例函数k 的几何意义，掌握以上知识点是解题的关键．24．如图，在ABC 中，AB AC =，点A 在反比例函数(0,0)ky k x x =>>的图像上，点B 、C 在x 轴上，15OC OB =，延长AC 交y 轴于点D ，连接BD ，若BCD △的面积等于1，则k 的值为______．【答案】3【分析】作AE BC ⊥于E ，连接OA ，根据等腰三角形的性质得出12OC CE =，根据相似三角形的性质求得1CEA S ∆=，进而根据题意求得32AOE S ∆=，根据反比例函数系数k 的几何意义即可求得k 的值． 【详解】解：作AE BC ⊥于E ，连接OA ，AB AC =，CE BE ∴=，15OC OB =， 12OC CE ∴=， //AE OD ，COD CEA ∴∆∆∽，∴2()4CEA COD S CE S OC∆∆==， BCD ∆的面积等于1，15OC OB =，1144COD BCD S S ∆∆∴==， 1414CEA S ∆∴=⨯=， 12OC CE =， 1122AOC CEA S S ∆∆∴==， 13122AOE S ∆∴=+=， 1(0)2AOE S k k ∆=>， 3k ∴=，故答案为3．【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，三角形的面积，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．三、解答题25．如图，直线2y x =-+与双曲线ky x=-相交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，AD x ⊥轴，垂足为D ，已知32ACD S ∆=．（1）求此双曲线的函数表达式；（2）求点A ，B 的坐标；（3）直接写出不等式2k x x -+≥的解集【答案】（1）3y x =-；（2）()3,1A -，()1,3B -；（3）1x ≤-或03x <≤．【分析】（1）利用反比例函数k 的几何意义即可求出k =-3．（2）联立两个函数表达式求解即可．（3）根据图像和第二小题即可找出所求解集．【详解】（1）∵Δ113222ACD A A S y x k =⋅⋅== ∴3k =-或3．∵反比例函数只分布在第二、四象限，∴0k <，∴3k =-． 所以，这个双曲线的函数表达式为3y x=-．（2）由题意得：23y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩， 解得：1113x y =-⎧⎨=⎩或2231x y =⎧⎨=-⎩．所以，A ，B 坐标分别为()3,1A -，()1,3B -（3）由图象知，不等式2k x x-+≥的解集为1x ≤-或03x <≤．【点睛】本题考查反比例函数表达式的求解、一次函数和反比例函数的交点等问题，熟练掌握反比例函数的知识是本题解题关键．26．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2k y x =的图象交于点()2,4A 和点(),2B m -．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）直线AB 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点C ．①过点C 作//CE x 轴交反比例函数2k y x =的图象于点E ，连接AE ，试判断ACE ∆的形状，并说明理由；②设M 是x 轴上一点，当12CMO DCO ∠=∠时，求点M 的坐标．【答案】（1）2y x =+；8y x =；（2）①等腰直角三角形，见解析；②点M 坐标为(2)2,0+或(22,0)--． 【分析】（1）根据点()2,4A 在反比例函数2k y x =的图象上，可求出反比例函数的表达式为8y x=，从而得到。
人教中考数学专题复习反比例函数的综合题及详细答案
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2= 的图象交于点A（4，m）和B（﹣8，﹣2），与y轴交于点C．（1）m=________，k1=________；（2）当x的取值是________时，k1x+b＞；（3）过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点．设直线OP 与线段AD交于点E，当S四边形ODAC：S△ODE=3：1时，求点P的坐标．【答案】（1）4；（2）﹣8＜x＜0或x＞4（3）解：由（1）知，y1= x+2与反比例函数y2= ，∴点C的坐标是（0，2），点A 的坐标是（4，4）．∴CO=2，AD=OD=4．∴S梯形ODAC= •OD= ×4=12，∵S四边形ODAC：S△ODE=3：1，∴S△ODE= S梯形ODAC= ×12=4，即OD•DE=4，∴DE=2．∴点E的坐标为（4，2）．又点E在直线OP上，∴直线OP的解析式是y= x，∴直线OP与y2= 的图象在第一象限内的交点P的坐标为（4 ，2 ）．【解析】【解答】解：（1）∵反比例函数y2= 的图象过点B（﹣8，﹣2），∴k2=（﹣8）×（﹣2）=16，即反比例函数解析式为y2= ，将点A（4，m）代入y2= ，得：m=4，即点A（4，4），将点A（4，4）、B（﹣8，﹣2）代入y1=k1x+b，得：，解得：，∴一次函数解析式为y1= x+2，故答案为：4，；（2）∵一次函数y1=k1x+2与反比例函数y2= 的图象交于点A（4，4）和B（﹣8，﹣2），∴当y1＞y2时，x的取值范围是﹣8＜x＜0或x＞4，故答案为：﹣8＜x＜0或x＞4；【分析】（1）由A与B为一次函数与反比例函数的交点，将B坐标代入反比例函数解析式中，求出k2的值，确定出反比例解析式，再将A的坐标代入反比例解析式中求出m的值，确定出A的坐标，将B坐标代入一次函数解析式中即可求出k1的值；（2）由A与B 横坐标分别为4、﹣8，加上0，将x轴分为四个范围，由图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时x的范围即可；（3）先求出四边形ODAC的面积，由S四边形ODAC：S△ODE=3：1得到△ODE的面积，继而求得点E的坐标，从而得出直线OP的解析式，结合反比例函数解析式即可得．2．如图直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在x轴上，点B，D的坐标分别为B（1，0），D（3，3）．（1）点C的坐标________；（2）若反比例函数y= （k≠0）的图象经过直线AC上的点E，且点E的坐标为（2，m），求m的值及反比例函数的解析式；（3）若（2）中的反比例函数的图象与CD相交于点F，连接EF，在直线AB上找一点P，使得S△PEF= S△CEF，求点P的坐标．【答案】（1）（3，0）（2）解：∵AB=CD=3，OB=1，∴A的坐标为（1，3），又C（3，0），设直线AC的解析式为y=ax+b，则，解得：，∴直线AC的解析式为y=﹣ x+ ．∵点E（2，m）在直线AC上，∴m=﹣ ×2+ = ，∴点E（2，）．∵反比例函数y= 的图象经过点E，∴k=2× =3，∴反比例函数的解析式为y=（3）解：延长FC至M，使CM= CF，连接EM，则S△EFM= S△EFC， M（3，﹣0.5）．在y= 中，当x=3时，y=1，∴F（3，1）．过点M作直线MP∥EF交直线AB于P，则S△PEF=S△MEF．设直线EF的解析式为y=a'x+b'，∴，解得，∴y=﹣ x+ ．设直线PM的解析式为y=﹣ x+c，代入M（3，﹣0.5），得：c=1，∴y=﹣ x+1．当x=1时，y=0.5，∴点P（1，0.5）．同理可得点P（1，3.5）．∴点P坐标为（1，0.5）或（1，3.5）．【解析】【解答】解：（1）∵D（3，3），∴OC=3，∴C（3，0）．故答案为（3，0）；【分析】（1）由D的横坐标为3，得到线段OC=3，即可确定出C的坐标；（2）由矩形的对边相等，得到AB=CD，由D的纵坐标确定出CD的长，即为AB的长，再由B的坐标确定出OB的长，再由A为第一象限角，确定出A的坐标，由A与C的坐标确定出直线AC的解析式，将E坐标代入直线AC解析式中，求出m的值，确定出E的坐标，代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式；（3）延长FC至M，使CM=CF，连接EM，则S△EFM=S△EFC， M（3，﹣0.5）．求出F（3，1），过点M作直线MP∥EF交直线AB于P，利用平行线间的距离处处相等得到高相等，再利用同底等高得到S△PEF=S△MEF．此时直线EF与直线PM的斜率相同，由F的横坐标与C横坐标相同求出F 的横坐标，代入反比例解析式中，确定出F坐标，由E与F坐标确定出直线EF斜率，即为直线PM的斜率，再由M坐标，确定出直线PM解析式，由P横坐标与B横坐标相同，将B横坐标代入直线PM解析式中求出y的值，即为P的纵坐标，进而确定出此时P的坐标．3．如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A、B两点，点A的坐标为（2，3n），点B的坐标为（5n+2，1）．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）将一次函数y=kx+b的图象沿y轴向下平移a个单位，使平移后的图象与反比例函数y= 的图象有且只有一个交点，求a的值；（3）点E为y轴上一个动点，若S△AEB=5，则点E的坐标为________．【答案】（1）解：∵A、B在反比例函数的图象上，∴2×3n=（5n+2）×1=m，∴n=2，m=12，∴A（2，6），B（12，1），∵一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，∴，解得，∴反比例函数与一次函数的表达式分别为y= ，y=﹣ x+7．（2）解：设平移后的一次函数的解析式为y=﹣ x+7﹣a，由，消去y得到x2+（2a﹣14）x+24=0，由题意，△=0，（21a﹣14）2﹣4×24=0，解得a=7±2 ．（3）（0，6）或（0，8）【解析】【解答】（3）设直线AB交y轴于K，则K（0，7），设E（0，m），由题意，PE=|m﹣7|．∵S△AEB=S△BEP﹣S△AEP=5，∴ ×|m﹣7|×（12﹣2）=5．∴|m﹣7|=1．∴m1=6，m2=8．∴点E的坐标为（0，6）或（0，8）．故答案为（0，6）或（0，8）．【分析】（1）由A、B在反比例函数的图象上，得到n，m的值和A、B的坐标，用待定系数法求出反比例函数与一次函数的表达式；（2）由将一次函数y=kx+b的图象沿y轴向下平移a个单位，得到平移后的一次函数的解析式，由平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，得到方程组求出a的值；（3）由点E为y轴上一个动点和S△AEB=5，求出点E的坐标.4．如图，四边形OP1A1B1、A1P2A2B2、A2P3A3B3、…、A n﹣1P n A n B n都是正方形，对角线OA1、A1A2、A2A3、…、A n﹣1A n都在y轴上（n≥1的整数），点P1（x1，y1），点P2（x2，y2），…，P n（x n， y n）在反比例函数y= （x＞0）的图象上，并已知B1（﹣1，1）．（1）求反比例函数y= 的解析式；（2）求点P2和点P3的坐标；（3）由（1）、（2）的结果或规律试猜想并直接写出：△P n B n O的面积为 ________ ，点P n的坐标为________ （用含n的式子表示）．【答案】（1）解：在正方形OP1A1B1中，OA1是对角线，则B1与P1关于y轴对称，∵B1（﹣1，1），∴P1（1，1）．则k=1×1=1，即反比例函数解析式为y=（2）解：连接P2B2、P3B3，分别交y轴于点E、F，又点P1的坐标为（1，1），∴OA1=2，设点P2的坐标为（a，a+2），代入y=得a=-1，故点P2的坐标为（-1，+1），则A1E=A2E=2-2，OA2=OA1+A1A2=2，设点P3的坐标为（b，b+2），代入y=（>0）可得b=-，故点P3的坐标为（-，+）（3）1；（-，+）【解析】【解答】解：（3）∵=2=2×=1，=2=2×=1，…∴△P n B n O的面积为1，由P1（1，1）、P2（﹣1， +1）、P3（﹣，+ ）知点P n的坐标为（﹣，+ ），故答案为：1、（﹣， +）．【分析】（1）由四边形OP1A1B1为正方形且OA1是对角线知B1与P1关于y轴对称，得出点P1（1，1），然后利用待定系数法求解即可；（2）连接P2B2、P3B3，分别交y轴于点E、F，由点P1坐标及正方形的性质知OA1=2，设P2的坐标为（a，a+2），代入解析式求得a的值即可，同理可得点P3的坐标；（3）先分别求得S△P1B1O、S△P2B2O的值，然后找出其中的规律，最后依据规律进行计算即可.5．如图，已知正比例函数y=2x和反比例函数的图象交于点A（m，﹣2）.（1）求反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；（3）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移个单位长度得到点B，判断四边形OABC 的形状并证明你的结论.【答案】（1）解：设反比例函数的解析式为（k＞0）∵A（m，﹣2）在y=2x上，∴﹣2=2m，∴解得m=﹣1。
人教中考数学反比例函数的综合题试题含详细答案
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，一次函数y=x+4的图象与反比例函数y= （k为常数，且k≠0）的图象交于A （﹣1，a），B（b，1）两点．（1）求反比例函数的表达式；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标；（3）求△PAB的面积．【答案】（1）解：当x=﹣1时，a=x+4=3，∴点A的坐标为（﹣1，3）．将点A（﹣1，3）代入y= 中，3= ，解得：k=﹣3，∴反比例函数的表达式为y=﹣（2）解：当y=b+4=1时，b=﹣3，∴点B的坐标为（﹣3，1）．作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，如图所示．∵点B的坐标为（﹣3，1），∴点D的坐标为（﹣3，﹣1）．设直线AD的函数表达式为y=mx+n，将点A（﹣1，3）、D（﹣3，﹣1）代入y=mx+n中，，解得：，∴直线AD的函数表达式为y=2x+5．当y=2x+5=0时，x=﹣，∴点P的坐标为（﹣，0）（3）解：S△PAB=S△ABD﹣S△BDP= ×2×2﹣ ×2× =【解析】【分析】（1）由一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，根据点A的坐标利用待定系数法，即可求出反比例函数的表达式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，由点B的坐标可得出点D的坐标，根据点A、D的坐标利用待定系数法，即可求出直线AB的函数表达式，再由一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；（3）根据三角形的面积公式结合S△PAB=S△ABD﹣S△BDP，即可得出结论．2．如图1，已知一次函数y=ax+2与x轴、y轴分别交于点A，B，反比例函数y= 经过点M．（1）若M是线段AB上的一个动点（不与点A、B重合）．当a=﹣3时，设点M的横坐标为m，求k与m之间的函数关系式．（2）当一次函数y=ax+2的图象与反比例函数y= 的图象有唯一公共点M，且OM= ，求a的值．（3）当a=﹣2时，将Rt△AOB在第一象限内沿直线y=x平移个单位长度得到Rt△A′O′B′，如图2，M是Rt△A′O′B′斜边上的一个动点，求k的取值范围．【答案】（1）解：当a=﹣3时，y=﹣3x+2，当y=0时，﹣3x+2=0，x= ，∵点M的横坐标为m，且M是线段AB上的一个动点（不与点A、B重合），∴0＜m＜，，DANG则，﹣3x+2= ，当x=m时，﹣3m+2= ，∴k=﹣3m2+2m（0＜m＜）（2）解：由题意得：，ax+2= ，ax2+2x﹣k=0，∵直线y=ax+2（a≠0）与双曲线y= 有唯一公共点M时，∴△=4+4ak=0，ak=﹣1，∴k=﹣，则，解得：，∵OM= ，∴12+（﹣）2=（）2，a=±（3）解：当a=﹣2时，y=﹣2x+2，∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，2），∵将Rt△AOB在第一象限内沿直线y=x平移个单位得到Rt△A′O′B′，∴A′（2，1），B′（1，3），点M是Rt△A′O′B′斜边上一动点，当点M′与A′重合时，k=2，当点M′与B′重合时，k=3，∴k的取值范围是2≤k≤3【解析】【分析】（1）当a=﹣3时，直线解析式为y=﹣3x+2，求出A点的横坐标，由于点M的横坐标为m，且M是线段AB上的一个动点（不与点A、B重合）从而得到m的取值范围，由﹣3x+2= ,由X=m得k=﹣3m2+2m（0＜m＜）；（2）由ax+2= 得ax2+2x﹣k=0，直线y=ax+2（a≠0）与双曲线y= 有唯一公共点M时，△=4+4ak=0，ak=﹣1，由勾股定理即可；（3）当a=﹣2时，y=﹣2x+2，从而求出A、B两点的坐标，由平移的知识知A′，B′点的坐标，从而得到k的取值范围。
2024年人教版九年级数学中考专题训练：反比例函数(含解析)
2024年人教版九年级数学中考专题训练：反比例函数1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝﹣x+m 的图象与反比例函数y＝（x ＞0）的图象交于A 、B 两点，已知A （1，2）（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）连接AO 、BO ，求△AOB 的面积．2．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数.已知当时，.（1）求出这个函数的表达式；（2）当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？3．如图，反比例函数与一次函数的图像在第一象限交于、两点．（1）则 ， ， （2）观察图像，请直接写出满足的取值范围．（3）若Q 为y 轴上的一点，使最小，求点Q 的坐标．4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x 轴，y 轴正半轴于点A ，B ，内切于，反比例函数的图象经过点P ，交直线于点C ，D （C 在点D 的左侧）.kx()P kPa ()3mV 30.8m V =120kPa P =128kPa ()10ky k x=≠2y x b =-+()13A ，()3B n ，k =b =n =12y y ≥QA QB +364y x =-+P ABO ()0ky x x=>AB（1）求反比例函数的解析式；（2）过点C ，D 分别作x 轴，y 轴的平行线交于点E ，求的面积.5．如图1，点A （1，0），B （0，m ）都在直线y ＝﹣2x+b 上，四边形ABCD 为平行四边形，点D 在x轴上，AD=3，反比例函数（x>0）的图象经过点C ．（1）求k 的值；（2）将图1的线段CD 向右平移n 个单位长度（n≥0），得到对应线段EF ，线段EF 和反比例函数（x>0）的图象交于点M ．①在平移过程中，如图2，若点M 为EF 的中点，求△ACM 的面积；②在平移过程中，如图3，若AM ⊥EF ，求n 的值．6．如图，点A 是反比例函数图象上的点，AB 平行于y 轴，且交x 轴于点，点C 的坐标为，AC 交y 轴于点D ，连接BD ，（1）求反比例函数的表达式；（2）设点P 是反比例函数图象上一点，点Q 是直线AC 上一点，若以点O ，P ，D ，Q CDE ky x=ky x=()0ky k x=>()10B ，()10-，AD =()0ky x x=>为顶点的四边形是平行四边形，求点Q 的坐标； （3）若点是该反比例函数图象上的点，且满足∠MDB>∠BDC ，请直接写a 的取值范围.7．某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其销售量与上市的天数之间成正比，当广告停止后，销售量与上市的天数之间成反比（如图），现已知上市30天时，当日销售量为120万件．（1）写出该商品上市以后销售量y （万件）与时间x （天数）之间的表达式；（2）求上市至第100天（含第100天），日销售量在36万件以下（不含36万件）的天数；（3）广告合同约定，当销售量不低于100万件，并且持续天数不少于12天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”？8．在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了（x>0）和的图象，两个函数图象交于A （x 1，y 2），B （x 2，y 2）两点，在线段AB 上选取一点P ，过点P 作y 轴的平行线交反比例函数图象于点 O （如图1）.在点P 移动的过程中，发现PO 的长度随着点P 的运动而变化.为了进一步研究 PO 的长度与点P 的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题∶（1）设点P 的横坐标为x ，PQ 的长度为y ，则y 与x 之间的函数关系式为 （x 1<x<x 2）；（2）为了进一步的研究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图象；①列表∶()M a b ，ky x=1y x=5y x =-+x 1234ym3n表中 m ＝ ，n ＝；②描点∶根据上表中的数据，在图2中描出各点；③连线∶请在图2中画出该函数的图象.观察函数图象，当x ＝时，y 的最大值为；（3）应用∶已知某矩形的一组邻边长分别为m ，n ，且该矩形的周长 W 与n 存在函数关系，求 m 取最大值时矩形的对角线长.9．如图，点P 为函数与函数图象的交点，点P 的纵坐标为4，轴，垂足为点B ．（1）求m 的值；（2）点M 是函数图象上一动点，过点M 作于点D ，若，求点M 的坐标．10．若关于x 的函数y ，当时，函数y 的最大值为M ，最小值为N ，令函数，我们不妨把函数h 称之为函数y 的“共同体函数”.（1）①若函数，当时，求函数y 的“共同体函数”h 的值；②若函数（，k ，b 为常数），求函数y 的“共同体函数”h 的解析式；（2）若函数，求函数y 的“共同体函数”h 的最大值；（3）若函数，是否存在实数k ，使得函数y 的最大值等于函数y 的“共同体函数”h 的最小值.若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.11．已知一块矩形草坪的两边长分别是2米与3米，现在要把这个矩形按照如图1的方式扩大到面积为1x 13122x 535234220W n=-+1y x =+()0my x x=>PB x ⊥()0m y x x =>MD BP ⊥12tan PMD ∠=1122t x t -≤≤+2M Nh -=4044y x =1t =y kx b =+0k ≠21y x x=≥（）24y x x k =-++原来的2倍，设原矩形的一边加长a 米，另一边长加长b 米，可得a 与b 之间的函数关系式b＝﹣2．某班“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数y ＝﹣2，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下，请补充完整：（1）类比反比例函数可知，函数y ＝﹣2的自变量x 的取值范围是 ，这个函数值y 的取值范围是 ．（2）“数学兴趣小组”进一步思考函数y ＝|﹣2|的图象和性质，请根据函数y ＝﹣2的图象，画出函数y ＝|﹣2|的图象；（3）结合函数y ＝|﹣2|的图象解答下列问题：①求出方程|﹣2|＝0的根；②如果方程|﹣2|＝a 有2个实数根，请直接写出a 的取值范围．12．如图，抛物线与x 轴交于两点（在的左边），与y 轴交于C ，；双曲线经过抛物线的顶点，点的横坐标为1．123a +123x +123x +123x +123x +123x +123x +123x +123x +23y ax bx =++A B 、A B 3tan CAB ∠=(0)ky k x=≠23y ax bx =++D D（1）求抛物线和双曲线的解析式．（2）点P 为抛物线上一动点，且在第一象限，连接，求当四边形取得最大值时，点P 的坐标，并求出这个最大值．（3）若在此抛物线和双曲线上存在点Q ，使得，请求出点Q 的坐标．13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．（1）分别求一次函数及反比例函数的表达式；（2）在第三象限内的B 点右侧的反比例函数图象上取一点P ，连接且满足．i ）求点P 的坐标；ii ）过点A 作直线，在直线l 上取一点Q ，且点Q 位于点A 的左侧，连接，试问：能否与相似？若能，求出此时点Q 的坐标；若不能，请说明理由．14．定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“n 阶方点”．例如，点是函数图像的“阶方点”；点是函数图像的“2阶方点”．（1）在①；②；③三点中，是反比例函数图像的“1阶方点”的有 （填序号）；（2）若y 关于x 的一次函数图像的“2阶方点”有且只有一个，求a 的值；（3）若y 关于x 的二次函数图像的“n 阶方点”一定存在，请直接写出n 的取值范围．15．如图1，已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于A （2，a ），B 两点.BP CP 、ABPC QB QC =xOy y kx b =+my x=(14)A ，(4)B n -，PA PB ，15PAB S = l PB BQ QAB ABP (0)n n ≥1133⎛⎫⎪⎝⎭，y x =12(21)，2y x =122⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(11)--，(11)，1y x=31y ax a =-+2()21y x n n =---+(0)ky k x=≠1y x =-（1）求反比例函数的表达式及A ，B 两点的坐标；（2）M 是x 轴上一点，N 是y 轴上一点，若以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是以为边的平行四边形，求点M 的坐标；（3）如图2，反比例函数的图象上有P ，Q 两点，点P 的横坐标为，点Q 的横坐标与点P 的横坐标互为相反数，连接，，，.若的面积是的面积的3倍，求m 的值.16．如图，直线AC 与双曲线交于A （m ，6），B （3，n ）两点，与x 轴交于点C ，直线AD 与x 轴交于点D （－11，0），（1）请直接写出m ，n 的值；（2）若点E 在x 轴上，若点F 在y 轴上，求的最小值；（3）P 是直线AD 上一点，Q 是双曲线上一点，是否存在点P ，Q ，使得四边形ACQP 是正方形？若存在，求出点P ，Q 的坐标；若不存在，请说明理由．17．在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“H 点”，如（2，-3）与（-3，2）是一对“H 点”.（1）点 和它的“H 点”均在直线 上，求k 的值；AB ky x=(2)m m >AP AQ BP BQ ABQ ABP ()60y k x=≠AF EF BE ++()m n ，y kx a =+（2）若直线 经过的A ，B 两点恰好是一对“H 点”，其中点A 还在反比例函数 的图象上，一条抛物线 也经过A ，B 两点，求该抛物线的解析式；（3）已知 ，B 为抛物线 上的一对“H 点”，且满足：， ，点P 为抛物线上一动点，若该抛物线上有且仅存在3个点P 满足△PAB 的面积为16，求 的值.18．已知：如图，一次函数y ＝-2x+10的图象与反比例函数y＝的图象相交于A 、B 两点（A 在B 的右侧），点A 横坐标为4.（1）求反比例函数解析式及点B 的坐标；（2）观察图象，直接写出关于x 的不等式-2x+10-＞0的解集；（3）反比例函数图象的另一支上是否存在一点P ，使△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.19．如图，反比例函数与一次函数相交于点A （1，4）和点B （4，1），直线 的图象与y 轴和x 轴分别相交于点C 和点D ；（1）请直接写出当时自变量x 的取值范围；（2）将一次函数向下平移8个单位长度得到直线EF ，直线EF 与x 和y 轴分别交于点E 和点F ，抛物线过点A 、D 、E 三点，求该抛物线的函数解析式（也称函数表达式）；3y kx =+2y x=2y x bx c =++()()A m n m n <，()20y ax bx c a =++≠2m n +=3mn =-a b c ++kxkx()110k y x x=>22y k x n =+2y 12y y ≥22y k x n =+2y ax bx c =++（3）在（2）抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得△PBF 是以BF 为斜边的直角三角形，若存在，请用尺规作图（圆规和无刻度直尺）画出点P 所在位置，保留作图痕迹，并直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图1，平面直角坐标系中，，反比例函数的图象分别交矩形的两边、于E 、F （E 、F 不与A 重合），沿着将矩形折叠使A 、D 重合．（1）当点E 为中点时，求点F 的坐标，并直接写出与对角线的关系；（2）如图2，连接．①的周长是否有最小值，若有，请求出最小值；若没有，请说明理由；②当平分时，直接写出k 的值．21．如图1，四边形为正方形，点A 在y 轴上，点B 在x 轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C ．（1）求点C 的坐标和反比例函数的关系式；（2）如图，将正方形沿x 轴向右平移m 个单位长度得到正方形A ′B ′C ′D ′，点A ′恰好落在反比例函数的图象上，求n 值．（3）在（2）的条件下，坐标系内是否存在点P ，使以点O ，A ′，B ′，P 为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．xOy (43)A -，(0)ky k x=<ABOC AC AB EF ABOC AC EF BC CD CDE CD ACO ∠ABCD 4OA =2OB =()0ky k x=≠2ABCD22．如图，在平面直角坐标系中，A （8，0）、B （0，6）是矩形OACB 的两个顶点，双曲线y＝（k≠0，x ＞0）经过AC 的中点D ，点E 是矩形OACB 与双曲线y ＝的另一个交点．（1）点D 的坐标为 ，点E 的坐标为 ；（2）动点P 在第一象限内，且满足S △PBO ＝S △ODE ．①若点P 在这个反比例函数的图象上，求点P 的坐标；②若点Q 是平面内一点，使得以A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q 的坐标．23．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点．（，，为常数）（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）将一次函数向下平移个单位后与反比例函数的图像有且只有一个公共点，求的值；（3）为轴上一点，若的面积为，求点的坐标．24．如图，一次函数的图象与反比例函数（k 为常数且）的图象交于A ，B 两点，其中，直线与y 轴、x 轴分别交于C ，D 两点．kxkx561y k x b =+2k y x=()41A -，()4B m ，1k 2k b 1y k x b =+m 2k y x=m P y PAB 3P 4y x =+ky x=0k ≠()13A -，4y x =+（1）求反比例函数的表达式；（2）在x 轴上找一点P ，使的值最小，并求满足条件的点P 的坐标；（3）在坐标平面中是否存在点Q ，使得以Q ，A ，B 为顶点的三角形与相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．PA PB COD答案解析部分1．【答案】（1）解：把点A （1，2）代入y ＝-x+m ，得-1+m ＝2，∴m ＝3，∴一次函数解析式为y ＝﹣x+3；把点A （1，2）代入y ＝，∴k ＝1×2＝2，∴反比例函数解析式为y ＝；（2）解：联立方程组{y ＝−x +3y ＝2x ， 解得或，∴B （2，1），设直线y ＝﹣x+3与y 轴的交点为C ，∴C （0，3），∴S △AOB =S △COB -S △COA =×3×2-×3×1=1.5.【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数的解析式和反比例函数的解析式即可；（2）先求出点B 的坐标，再求出直线与y 轴的交点C 的坐标，再利用S △AOB =S △COB -S △COA ，根据三角形的面积公式进行计算即可.2．【答案】（1）解：设P 与V 之间的函数表达式为，当时，，所以，∴，∴P 与V 之间的函数表达式为；（2）解：当时，，∴，∴为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于.【解析】【分析】（1）由题意可设，把V=0.8，P=120代入解析式计算可求得F 的值，则解析式可k x 2x12x y =⎧⎨=⎩21x y =⎧⎨=⎩1212F P V=0.8V =120P =1200.8F =96F =96P V =128P ≤96128V ≤0.75V ≥30.75m F P V=求解；（2）由题意可得关于V 的不等式，解这个不等式可求解.3．【答案】（1）3；4；1（2）解：0＜x≤1或x≥3（3）解：作A 关于y 轴的对称点，连接，如图，∵，∴A 关于y 轴的对称点A ′(−1，3)．设直线的解析式为，将A ′(−1，3)，代入可得：∴，解得：．∴直线的解析式为，令，则，∴．【解析】【解答】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图像在第一象限交于、两点，∴，，∴，，∴反比例函数和一次函数的表达式分别为：，；将点代入得；故答案为：3，4，1（2）解：由图像可得：满足的取值范围是或；A 'A B '()13A ，A B 'y ax c =+()31B ，331a c a c -+=⎧⎨+=⎩1252a c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩A B '1522y x =-+0x =52y =502Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()10k y k x=≠2y x b =-+()13A ，()3B n ，3k =31b =-+3k =4b =13y x =24y x =-+()3B n ，13y x=1n =12y y ≥01x <≤3x ≥【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入求出k 、n 的值，再将点A 的坐标代入求出b 的值即可； （2）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可；（3）作A 关于y 轴的对称点，连接，利用待定系数法求出直线的解析式，再将代入解析式求出y 的值，可得点Q 的坐标。
人教版九年级数学下册《反比例函数的概念、图像和性质》练习-含答案
人教版九年级数学下册《反比例函数的概念、图像和性质》练习-含答案满分100分 时间：45分钟 姓名：注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题(共24分)1．(本题4分)（2022·河南三门峡·九年级期末）下列四个关系式中 y 是x 的反比例函数的是（ ）A ．yx =B ．21y x =C ．6y x =+D 1y=2．(本题4分)（2022·安徽·九年级期末）下列四个点中 不在反比例函数2y x=图象上的是（ ） A ．()1,2-- B ．()2,1C ．1,42⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．33,2⎛⎫⎪⎝⎭特点解决问题．3．(本题4分)（2022·重庆市育才中学二模）按如图所示的运算程序 能使输出y 值为3的是（ ）A ．1x =B ．2x =C ．3x =D ．4x =4．(本题4分)（2021·江苏淮安·一模）定义运算：a ∵b ＝(0)(0)ab b a b b ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪-⎩例如：4∵5＝45 4∵(-5)＝45 那么函数y =2∵x （x ≠0）的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】D5．(本题4分)（2022·全国·九年级单元测试）在平面直角坐标系中 点A (1,2)-、B (2,3)、C (6,)m 分别在三个不同的象限 若反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过其中两点 则k 的值为（ ） A ．2- B ．6C ．2-或6D ．6-6．(本题4分)（2022·全国·九年级课时练习）反比例函数的图象如图所示 则这个反比例函数的表达式可能是（ ）A ．2y x=-B ．83y x =-C ．3y x =-D ．5y x=-【答案】B【分析】根据点A 、B 的坐标结合函数图象以及反比例函数图象上点的坐标特征 即可得出32k -<<- 再对照四个选项即可得出结论．【详解】解：观察函数图象可知：3(1)21k ⨯-<<-⨯ 即32k -<<-． 故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数的图象以及反比例函数图象上点的坐标特征 观察函数图象利用反比例函数图象上点的坐标特征找出k 的取值范围是解题的关键．第II 卷（非选择题）二、填空题(共20分)7．(本题5分)（2022·浙江宁波·八年级期末）已知反比例函1k y x-= 在每个象限内y 随x 的增大而增大 则k 的取值范围为______． 【答案】k ＜1##1>k8．(本题5分)（2022·河南·辉县市城北初级中学一模）从-1 2 -3 4这四个数中任取两个不同的数分别作为a b 的值 得到反比例函数aby x= 则这些反比例函数中 其图像在第二 四象限的概率是________．9．(本题5分)（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校三模）若点M （3m - 1y ）、N （2m +2y ）在双曲线ky x=（0k >）上 且12y y < 则m 的取值范围是________． 3m m -<32m m -<⎧∴⎨+>⎩解得2-<故答案为：【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．10．(本题5分)（2022·江苏泰州·八年级期末）如图在平面直角坐标系xOy中点A为反比例函数y=-4 x（x＞0）的图象上一动点AB∵y轴垂足为B以AB为边作正方形ABCD其中CD在AB上方连接OA则OA2-OC2=_______．三、解答题(共56分)11．(本题10分)（2021·广东·广州市黄埔区华实初级中学二模）如图在平面直角坐标系中O为坐标原点Rt∵OAB的直角边OB在x轴的正半轴上点A的坐标为（6 4）斜边OA的中点D在反比例函数ykx（x＞0）的图象上AB交该图象于点C连接OC．(1)求k的值；(2)求∵OAC的面积．）解：点点12．(本题10分)（2022·江苏·苏州市吴江区铜罗中学八年级期中）已知y是x的反比例函数并且当x=2时y=6．(1)求y关于x的函数解析式；(2)当x=4时求y的值．13．(本题12分)（2022·河南南阳·八年级期中）如图一次函数y＝﹣x+b的图象与x轴交于A点与y轴交于B点与反比例函数kyx=的图象交于点E（1 5）和点F（5 1）．(1)求k b的值；(2)求∵EOF的面积；(3)请根据函数图象直接写出反比例函数值大于一次函数值时x的范围．14．(本题12分)（2022·河北唐山·一模）已知反比例函数y＝3mx-（m为常数且m≠3）(1)若在其图象的每一个分支上y随x增大而减小求m的取值范围；(2)若点A（2 32）在该反比例函数的图象上；∵求m的值；∵当x＜﹣1时直接写出y的取值范围．15．(本题12分)（2022·江苏扬州·八年级期末）如图某养鸡场利用一面长为11m的墙其他三面用栅栏围成矩形面积为260m设与墙垂直的边长为x m 与墙平行的边长为y m．(1)直接写出y与x的函数关系式为______；x=试选择合理的设计方案并求此栅栏总长．(2)现有两种方案5x=或66012y5舍去；=10x y；261022答：应选择x = 6的设计方案【点睛】本题考查了反比例函数的应用关系式；（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征第11页共12第12页共12页。
2023年九年级数学中考专题训练——反比例函数与几何综合
(2)直接应用：若函数 （a＞2），则当a=_____时，函数 （a＞2）有最小值为______．
16．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+5与反比例函数y＝ （x＞0）的图象相交于点A（3，a）和点B（b，3），点D，C分别是x轴和y轴的正半轴上的动点，且满足CD∥AB．
(1)求a，b的值及反比例函数的解析式；
(2)若OD＝1，求点C的坐标，判断四边形ABCD的形状并说明理由；
(3)若点M是反比例函数y＝ （x＞0）图象上的一个动点，当△AMD是以AM为直角边的等腰直角三角形时，求点M的坐标．
(3)若点G是直线AB上的动点，连接GB，GC，若三角形GBC的面积为4，求点G的坐标．
19．如图，直线 与反比例函数 的图像交于点A，B，点A的横坐标为1
(1)求k的值；
(2)点P是反比例函数 在第一象限上的一个动点，作P关于原点的对称点 ，以 为边作等边 ，使点C在第四象限．设点C（x，y），求y关于x的函数关系式；
18．如图，直线 与双曲线 交于A，B两点，点A的坐标为（m，-3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交 轴于点D，且BC=2CD．
(1)求 的值并直接写出点B的坐标；
(2)P是坐标轴上的点，Q是平面内一点，是否存在点P、Q，使得四边形ABPQ是矩形？若存在，请求出所有符合条件的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)探索应用：如图2，已知A为反比例函数y= 的图象上一点，A点的横坐标为2，将一块三角板的直角顶点放在A处旋转，保持两直角边始终与x轴交于两点D、E，F（0，－4）为y轴上一点，连接DF、EF，求四边形ADFE面积的最小值．
中考数学总复习《反比例函数与几何综合》专题训练-附答案
中考数学总复习《反比例函数与几何综合》专题训练-附答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．如图，一次函数y x b =-+与反比例函数()0k y x x=>的图像交于点(,3)A m 和(3,1)B ．(1)填空：一次函数的解析式为______，反比例函数的解析式为______；(2)点P 是线段AB 上一点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，连接OP ，若POD 和POB 的面积相等，求点P 的坐标．2．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是菱形，点A 在y 轴正半轴上，点B 的坐标是()4,8-，反比例函数ky x=（0x <）的图像经过点C ．(1)求反比例函数的解析式；(2)点D 在边CO 上，且34CD DO =，过点D 作DE x ∥轴，交反比例函数的图像于点E ，求点E 的坐标；(3)在x 轴上找一点P ，使PE PC +的值最小，直接写出此时点P 的坐标．3．如图，已知点(),2A a ，()1,B b -是直线26y x =-与反比例函数my x=图像的交点，且该直线与y 轴交于点C ．(1)求该反比例函数的解析式； (2)连接OA 和OB ，求AOB 的面积；(3)根据图像，直接．．写出不等式26mx x-≥的解集．4．如图，O是平面直角坐标系的原点，点B是x轴上一点，坐标是()40，，以OB为边在第一象限作等边三角形OAB，反比例函数kyx=的图像经过点A．(1)求反比例函数的表达式；(2)将等边OAB沿x轴正方向平移，使线段OA的中点恰好落在反比例函数的图像上，求等边OAB平移的距离．5．如图，一次函数y kx b=+与反比例函数myx=的图象交于()1,6A、()3,B n两点，与x轴交于C点．(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)若点M 在x 轴上，且AMC 的面积为6，求点M 的坐标；(3)在第（2）问的假设下，取本题M 为你所求得的所有可能的M 当中横坐标最小的那个点．在平面内有一点N ，使得四个点M ，A ，B ，N 可以成为某个平行四边形的四个顶点．请写出所有可能的N 点的坐标．6．如图，反比例函数ky x=的图象经过点()432A -，，射线AB 与反比例函数的图象的另一个交点为()2B a -，，射线AC 与x 轴交于点E ，与y 轴交于点C ，75BAC AD y ∠=︒⊥，轴，垂足为D ．(1)求反比例函数的解析式； (2)求DC 的长；(3)在x 轴上是否存在点P ，使得APE 与ACD 相似，若存在，请求出满足条件点P 的坐标．若不存在说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点,A C 分别在x 轴和y 轴上，反比例函数(0)ky x x=>的图象与矩形交于,D E 两点，点B 的坐标为()6,3,1BE =．(1)求反比例函数的表达式． (2)①求点D 的坐标．①连接,DE AC ，求证：DBE CBA △∽△．(3)若P 为x 轴上一动点，则DP EP +的最小值为_________．8．如图，四边形ABCD 为正方形．点A 的坐标为()02，，点B 的坐标为()03-，，反比例函数ky x=的图象经过点C ，一次函数y ax b =+的图象经过点C 和点A ．(1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)写出kax b x+>的解集； (3)点P 是反比例函数图象上的一点，若OAP △的面积恰好等于正方形ABCD 的面积，求P 点坐标．9．如图，()4,0A 和()1,3B ，以OA OB 、为边作平行四边形OACB ，反比例函数ky x=的图象经过点C ．(1)求k 的值；(2)将平行四边形OACB 向上平移几个单位长度，使点B 落在反比例函数的图象上； (3)根据图象写出，x 为何值时反比例函数ky x=的图象在直线OC 上方．10．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数43y x =的图象经过点A ，点A 的纵坐标为4，反比例函数my x=的图象也经过点A ；第一象限内的点B 在这个反比例函数的图象上，过点B 作BC x ∥轴，交y 轴于点C ，且AC AB =.求：(1)这个反比例函数的解析式. (2)求点C 的坐标. (3)直线AB 的函数表达式.11．如图1，已知点(),0A a 和()0,B b ，且a 、b 满足()2150a a b ++++=，平行四边形ABCD的边AD 与y 轴交于点E ，且E 为AD 的中点，双曲线ky x=上经过C 、D 两点.(1)求k 的值； (2)点P 在双曲线ky x=上，点Q 在y 轴上，若以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q 的坐标；(3)以线段AB 为对角线作正方形AFBH （如图3），点T 是边AF 上一动点，M 是HT 的中点，MN HT ⊥，交AB 于N ，当T 在AF 上运动时，MNHT的值是否发生变化，若改变，请求出其变化范围；若不改变，请求出其值.12．已知平面直角坐标系中，直线AB 与反比例函数(0)ky x x=>的图象交于点()1,3A 和点()3,B n ，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ．(1)求反比例函数的表达式及n 的值；(2)将OCD 沿直线AB 翻折，点O 落在第一象限内的点E 处，EC 与反比例函数的图象交于点F ．①请求出点F 的坐标；①将线段BF 绕点B 旋转，在旋转过程中，求线段OF 的最大值．13．如图，一次函数122y x =-+的图象与反比例函数2ky x=的图象分别交于点A ，点B ，与y 轴，x 轴分别交于点C ，点D ，作AE y ⊥轴，垂足为点E ，OE=4．(1)求反比例函数的表达式；(2)在第二象限内，当12y y <时，直接写出x 的取值范围； (3)点P 在x 轴负半轴上，连接PA ，且PA AB ⊥，求点P 坐标．14．如图，在直角坐标系中，直线34y x =-与反比例函数k y x =的图像交于(),3A m 、B 两点．(1)求反比例函数的表达式；(2)将直线34y x =-向上平移后与y 轴交于点C ，与双曲线在第二象限内的部分交于点D ，如果ABD △的面积为16，求直线向上平移的距离；(3)E 是y 轴正半轴上的一点，F 是平面内任意一点，使以点A ，B ，E ，F 为顶点的四边形是矩形，请求出所有符合条件的点E 的坐标．15．如图一：在平面直角坐标系xOy 中，直线y x b =+与双曲线()0ky k x=≠交于A ，B 两点，已知()1,4A 和()4,B m -．(1)求直线和双曲线的解析式及点B 的坐标；(2)根据图象直接写出不等式k x b x+>的解集； (3)如图二，设直线y x b =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ．将直线y x b =+向下平移a 个单位长度，与双曲线在第一象限交于点C ，与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E ，若13CD DE =，判定四边形DEMN 的形状，并说明理由．参考答案： 1．(1)4y x =-+；()30y x x => (2)点P 的坐标为(2,2)或(6,2)-2．(1)12y x=- (2)127,7⎛⎫- ⎪⎝⎭ (3)65,011⎛⎫- ⎪⎝⎭3．(1)反比例函数的解析式为8y x=(2)15(3)-1≤x ＜0或x ≥44．(1)反比例函数表达式为43y x =； (2)等边OAB 平移的距离为3．5．(1)28y x =-+ 6y x= (2)点M 的坐标为()6,0或()2,0(3)N 点的坐标为()0,4或()2,8或()4,4-6．(1)83y x =-(2)4DC =(3)存在，①当APE CDA ∽时()430P -，；①当APE DCA ∽时14303P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，7．(1)12(0)y x x =>(2)①点D 的坐标为()4,3；(3)298．(1)15y x =- 2y x =-+(2)3x <-或05x <<(3)325,5⎛⎫- ⎪⎝⎭或325,5⎛⎫- ⎪⎝⎭9．(1)15k =(2)12(3)05x <<10．(1)12y x =；(2)()0,2；(3)263y x =-+．11．(1)8k(2)()0,8或()0,8-或()0,4(3)不变 1212．(1)3y x= 1n = (2)①F 点坐标为3(4,)4；①线段OF 的最大值为17104+13．(1)4y x =-；(2)10x -<<；(3)()9,0-．14．(1)12y x =-(2)4(3)1250,3E ⎛⎫⎪⎝⎭ ()20,5E15．(1)3y x 4y x =；(2),40x -<<或1x >(3)正方形。
【人教版】九年级数学下册《反比例函数》专项训练(附答案)
第 26 章反比例函数专项训练反比例函数与几何的综合应用名师点金：解反比例函数与几何图形的综合题，一般先设出几何图形中的未知数，然后结合函数的图象用含未知数的式子表示出几何图形与图象的交点坐标，再由函数解析式及几何图形的性质写出含未知数及待求字母系数的方程( 组) ，解方程 ( 组) 即可得所求几何图形中的未知量或函数解析式中待定字母的值．反比例函数与三角形的综合61．如图，一次函数 y＝kx＋ b 与反比例函数 y＝x(x>0) 的图象交于 A(m，6) ，B(3， n) 两点．(1)求一次函数的解析式；6(2)根据图象直接写出使 kx＋ b<x成立的 x 的取值范围；(3)求△ AOB的面积．(第1题)2．如图，点 A，B 分别在 x 轴、 y 轴上，点 D 在第一象限内， DC⊥ x 轴于点kC，AO＝CD＝ 2， AB＝DA＝5，反比例函数 y＝x(k ＞0) 的图象过 CD的中点 E.(1)求证：△ AOB≌△ DCA；(2)求 k 的值；(3) △BFG和△ DCA关于某点成中心对称，其中点 F 在 y 轴上，试判断点 G 是否在反比例函数的图象上，并说明理由．(第2题)反比例函数与四边形的综合类型 1：反比例函数与平行四边形的综合63．如图，过反比例函数y＝x(x ＞0) 的图象上一点 A 作 x 轴的平行线，交双33曲线 y＝－x(x ＜0) 于点 B，过 B 作 BC∥OA交双曲线 y＝－x(x ＜0) 于点 D，交 x 轴于点 C，连接 AD交 y 轴于点 E，若 OC＝3，求 OE的长．(第3题)类型 2：反比例函数与矩形的综合4．如图，矩形 OABC的顶点 A，C的坐标分别是 (4 ， 0) 和(0 ，2) ，反比例函k数 y＝x(x>0) 的图象过对角线的交点P 并且与 AB，(第4题)BC分别交于 D，E 两点，连接 OD， OE，DE，则△ ODE的面积为 ________．5．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线 OB，AC相交于点 D，且 BE∥ AC，AE∥ OB.(1)求证：四边形 AEBD是菱形；(2)如果 OA＝3，OC＝2，求出经过点 E 的双曲线对应的函数解析式．(第5题)类型 3：反比例函数与菱形的综合6．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边 BC与 x 轴平3行， A，B 两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数 y＝x的图象(第6题)经过 A，B 两点，则菱形 ABCD的面积为 ()A．2B． 4C．22D．4 27．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点 C 与原点 O 重合，点 Bk在 y 轴的正半轴上，点 A 在反比例函数y＝x(k>0 ，x>0) 的图象上，点 D 的坐标为(4 ，3) ．(1)求 k 的值；(2)若将菱形 ABCD沿 x 轴正方向平移，当菱形的顶点 D落在反比例函数 y＝kx(k>0 ，x>0) 的图象上时，求菱形ABCD沿 x 轴正方向平移的距离．(第7题)类型 4：反比例函数与正方形的综合8．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，正方形OABC的边 OA，kOC分别在 x 轴， y 轴上，点 B 的坐标为 (2 ， 2) ，反比例函数 y＝x(x ＞0，k≠0)的图象经过线段BC的中点 D(1)求 k 的值；(2)若点 P(x ，y) 在该反比例函数的图象上运动 ( 不与点 D 重合 ) ，过点 P 作PR⊥y 轴于点 R，作 PQ⊥ BC 所在直线于点 Q，记四边形 CQPR的面积为 S，求 S关于 x 的函数解析式并写出x 的取值范围．(第8题)反比例函数与圆的综合(第9题)k9．如图，双曲线 y＝x(k>0) 与⊙ O在第一象限内交于P，Q两点，分别过 P，Q两点向 x 轴和 y 轴作垂线，已知点P 的坐标为 (1 ，3) ，则图中阴影部分的面积为 ________．k10．如图，反比例函数y＝x(k ＜0) 的图象与⊙ O相交．某同学在⊙ O内做随机扎针试验，求针头落在阴影区域内的概率．(第 10题)答案61．解： (1) ∵A(m，6) ， B(3，n) 两点在反比例函数y＝x(x>0) 的图象上，∴m＝1，n＝2，即 A(1 ，6) ，B(3，2) ．又∵ A(1，6) ，B(3， 2) 在一次函数 y＝kx＋b 的图象上，∴6＝ k＋ b，k＝－ 2，解得b＝ 8，2＝ 3k＋b，即一次函数解析式为y＝－ 2x＋8.(第1题)6(2)根据图象可知使 kx ＋b<x成立的 x 的取值范围是 0<x<1 或 x>3.(3)如图，分别过点 A，B 作 AE⊥x 轴， BC⊥ x 轴，垂足分别为 E，C，设直线AB交 x 轴于 D点．令－ 2x＋8＝0，得 x＝ 4，即 D(4， 0) ．∵A(1， 6) ，B(3，2) ，∴ AE＝6，BC＝ 2.11∴S△AOB＝S△AOD－S△ODB＝2×4×6－2×4×2＝8.2．(1) 证明：∵点 A，B 分别在 x 轴， y 轴上，点 D 在第一象限内， DC⊥x 轴于点 C，∴∠ AOB＝∠ DCA＝90°.AO＝DC，∴Rt△ AOB≌Rt△ DCA.在 Rt△AOB和 Rt△ DCA中，∵AB＝DA，(2)解：在 Rt△ ACD中，∵ CD＝ 2， DA＝ 5，22∴AC＝DA－CD＝ 1. ∴OC＝OA＋ AC＝2＋1＝3.∴D点坐标为 (3 ，2) ．∵点 E 为 CD的中点，∴点 E 的坐标为 (3 ，1) ．∴ k＝3×1＝3.(3)解：点 G在反比例函数的图象上．理由如下：∵△ BFG和△ DCA关于某点成中心对称，∴△ BFG≌△ DCA.∴FG＝CA＝ 1，BF＝DC＝ 2，∠ BFG＝∠ DCA＝90°.∵OB＝AC＝ 1，∴ OF＝OB＋BF＝ 1＋ 2＝ 3. ∴G点坐标为 (1 ，3) ．∵1×3＝3，∴点 G(1，3) 在反比例函数的图象上．3．解： ∵BC ∥OA ，AB ∥ x 轴，∴四边形 ABCO 为平行四边形． ∴AB ＝OC ＝ 3.66设 A a ， a ，则 B a －3，a ，6∴ (a －3) · a ＝－ 3. ∴a ＝2.∴ A (2，3) ，B(－1，3) ．∵OC ＝3，C 在 x 轴负半轴上，∴ C(－3，0) ， 设直线 BC 对应的函数解析式为 y ＝kx ＋ b ，3－3k ＋ b ＝ 0，k ＝2， 则 解得9 －k ＋b ＝3，b ＝2.3 9∴直线 BC 对应的函数解析式为 y ＝2x ＋ 2.391＝－ ， x 2＝－ 2，y ＝2x ＋ 2，x3 解方程组得3y 1＝3，y 2＝2. y ＝－ x ，3∴D －2，2 .设直线 AD 对应的函数解析式为 y ＝mx ＋ n ，2m ＋n ＝ 3，3m ＝ 8， 则 3 解得－ 2m ＋n ＝ ，92n ＝ 4.∴直线 AD 对应的函数解析式为y ＝38x ＋ 94.∴E 0， 9 ∴＝ 94.OE 4.154. 4点拨：因为 C(0，2) ，A(4，0) ，由矩形的性质可得 P(2，1) ，把 P2点坐标代入反比例函数解析式可得k ＝2，所以反比例函数解析式为 y ＝ x . 因为 D点的横坐标为2124，所以 AD＝＝ . 因为点 E 的纵坐标为 2，所以 2＝，所以 CE 42CE915＝1，则 BE＝3. 所以 S△ODE＝ S 矩形OABC－ S△OCE－S△BED－S△OAD＝ 8－ 1－4－1＝4 .5．(1) 证明：∵BE∥ AC，AE∥OB，∴四边形 AEBD是平行四边形．11∵四边形 OABC是矩形，∴ DA＝2AC，DB＝2OB，AC＝OB.∴DA＝DB.∴四边形 AEBD是菱形．(2)解：如图，连接 DE，交 AB于 F，∵四边形 AEBD是菱形，1319∴DF＝EF＝2OA＝2， AF＝2AB＝ 1. ∴E 2，1 .k设所求反比例函数解析式为y＝x，把点9E 2，1的坐标代入得k1＝9，解得9k＝2.29∴所求反比例函数解析式为y＝2x.(第5题)(第7题)6．D7．解： (1) 如图，过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为 F.∵点 D 的坐标为 (4 ， 3) ，∴ OF＝4，DF＝3. ∴ OD＝5.∴AD＝5. ∴点 A 的坐标为 (4 ，8) ．∴ k＝xy＝ 4×8＝32.(2) 将菱形ABCD沿x 轴正方向平移，使得点 D 落在函数32y＝ x (x>0)的图象上点 D′处，过点 D′作 x 轴的垂线，垂足为F′.∵DF＝3，∴ D′F′＝ 3. ∴点 D′的纵坐标为 3.323232∵点 D′在 y＝x的图象上，∴ 3＝x，解得 x＝3，323220即 OF′＝3 . ∴FF′＝3－4＝3 .20∴菱形 ABCD沿 x 轴正方向平移的距离为 3 .8．解： (1) ∵正方形 OABC的边 OA，OC分别在 x 轴， y 轴上，点 B 的坐标为 (2 ，2) ，∴ C(0，2) ．k∵D是 BC的中点，∴ D(1，2) ．∵反比例函数 y＝x(x ＞0，k≠ 0) 的图象经过点 D，∴ k＝2.(2)当 P 在直线 BC的上方，即 0＜x＜1 时，2∵点 P(x ，y) 在该反比例函数的图象上运动，∴y＝x.∴S 四边形 CQPR＝· ＝·2－2＝－2x；当P在直线BC的下方，即x＞1 CQ PQ x x2时，同理求出S 四边形 CQPR＝· ＝·2－2＝2x－2，综上，S＝CQ PQ x x2x－ 2（x＞1），2－2x（0＜x＜1）.9．410．解：∵反比例函数的图象关于原点对称，圆也关于原点对称，故阴影部11分的面积占⊙ O面积的4，则针头落在阴影区域内的概率为4.。
2022-2023学年人教版初中数学专题《反比例函数与几何综合》含答案解析
专题 反比例函数优选提升题四：反比例函数与几何综合一、单选题1．（2022·山东临沂·九年级期末）如图，点A 的坐标是（－4，0），C 为OB 的中点，将△ABC 绕点B 逆时针旋转90后得到△A BC ''．若反比例函数24y x=的图象恰好经过A B '的中点D ，则点B 的坐标是（ ）A ．（0，6）B ．（0，8）C ．（0，10）D ．（0，12） A H y 轴于H 坐标，再利用D 在y 【详解】解：作A H y 轴于H结合题意可得：90AOBA HB ABA ， △90ABOA BH ，△ABO +△BAO =90°， △BAO A BH ，AB A B '=，AOB BHA '△≌△（AAS ），OA =BH ，OB =A H '1,,2BC CO m BC A H OB m的坐标是()4,-0，4,4,BH OA OH m,4,A m mD 为A B '的中点，,2,2m D m △反比例函数24y x =的图象经过点△224,2m m解得：8m =或m =-0,m >8m ∴=，则0,8B 故选：B ．【点睛】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，坐标与图形的变化2．（2022·湖南娄底·九年级期末）如图，△OAB ，11BA B △，122B A B ，…，1n n n B A B -都是等边三角形，顶点A ，1A ，2A ，…，n A 在反比例函数)0y x =>的图象上，则2021B 的横坐标是（ ）A B C．D．【答案】D【分析】过点A作AC△x轴于点C，过点A1作A1D△x轴于点D，过点A2作A2E△x轴于点E，先在△OCA中，表示出OC和AC的长度，表示出A1的坐标，代入反比例函数解析式，求出OC的长度和OA的长度，表示出B的坐标，同理可求得B1、B2的坐标，即可发现一般规律．【详解】解：如图，过点A作AC△x轴于点C，过点A1作A1D△x轴于点D，过点A2作A2E△x轴于点E，OAB是等边三角形，故选D ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．还考查了等边三角形的性质、勾股定理，灵活运用各类知识求出A 1、A 2、 A 3的坐标是解题的关键．3．（2022·河南信阳·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点D 在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB x ∥轴，AO AD ⊥，AO AD =．过点A 作AE CD ⊥，垂足为E ，4DE CE =．反比例函数()0ky x x =>的图象经过点E ，与边AB 交于点F ，连接OE ，OF ，EF ．若118EOF S =，则k 的值为（ ）A ．73B ．114C ．7D ．212214a ， ，4a ）， a ，FH ＝4二、填空题4．（2022·山东德州·九年级期末）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3…是分别以A1，A2，A3…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1，C2，C3…均在反比例函数y1x=（x＞0）的图象上，则点A2021的坐标为________．点△OA A B，即111x=或解得：1A的坐标为∴点1设点2C的坐标为点△点△三、解答题5．（2022·江西抚州·九年级期末）在如图中，A、B两点在反比例函数y＝kx的图象上，AB过O点，△ABC是等边三角形，点D为AC的中点，请用无刻度的直尺按下列要求画图．(1)在图1中，在x轴上画出点F，使四边形ADBF为矩形；(2)在图2中，画出菱形ACBF．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接BD并延长BD交反比例函数图象于M，连接MO，并延长MO交反比例函数图象于N，连接AN交x轴于F，连接BF，则四边形ADBF即为所要求作的矩形；（2）延长BP和CO相交于点F，连接AF，则四边形ACBF即为所求．（1）解：连接BD并延长BD交反比例函数图象于M，连接MO，并延长MO交反比例函数图象于N，连接AN交x轴于F，连接BF，如图，四边形ADBF即为所求；由（1）得：四边形ADBP 是矩形，OA =OB ，△AD △BP ，即AC △BF ，△△OAC =△OBF ，△ACO =△BFO ，△△AOC △△BOF ，△AC =BF ，△△ABC 是等边三角形，△△OAC =△OBF =60°，AB =AC =BC ，△AB =BF ，△△ABF 是等边三角形，△AF =BF =AB =BC =AC ，△四边形ADBF 是菱形，△四边形ADBF 是所要求作的菱形．【点睛】本题考查复杂作图，涉及反比例函数的对称性质，等边三角形的性质，中心对称作图，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定等知识，本题综合性较强，属压轴题目．6．（2022·辽宁沈阳·九年级期末）如图1，四边形ABCD 为正方形，点A 在y 轴上，点B 在x 轴上，且4OA =，2OB =，反比例函数()0k y k x=≠在第一象限的图象经过正方形的顶点C ．(1)求点C的坐标和反比例函数的关系式；''''，点A'恰好落在反比例函数的(2)如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移m个单位长度得到正方形A B C D图象上，求m值．(3)在（2）的条件下，坐标系内是否存在点P，使以点O，A'，B'，P为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．7．（2022·四川成都·九年级期末）如图，过A (2，0)，B (0，2)的直线y ＝﹣x +2与双曲线y ＝34x（x ＞0）交于P (12，32)，Q (32，12)两点，连接OQ ．点C 是线段OA 上一点（不与O ，A 重合），CD △AB 于D ，DE △OB 于E ．设CA ＝a ．(1)求AQ 的长；(2)当a 为何值时，CE ＝AC ？(3)设OQ ，EC 相交于点F ，是否存在这样的点C ，使得OEF 为等腰三角形？若存在，求出此时点C 的坐标；若不存在，请说明理由．31EK 8．（2022·湖南永州·九年级期末）如图，在矩形OABC 中，4OA =，6OC =，分别以OA 、OC 所在直线为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，D 是边CB 上的一个动点（不与C 、B 重合），反比例函数()0k y k x=>的图象经过点D 且与边BA 交于点E ，连接DE ．(1)连接OE，若EOA△的面积为3，则k=______；(2)连接CA，DE与CA是否平行?请说明理由；(3)是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上?若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．，证明BDE BCARt DCRt AOE△BDE∽BCARt DC9．（2021·湖南·长沙市华益中学九年级期末）如图1，已知抛物线F1：y＝ax2﹣36a（a＞0）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，直线l：y＝kx+b经过点B，与y轴负半轴交于点D．（1）若D（0，﹣8）为△ABC的外心，求a的值；（2）如图2，若D为△ABC的内心且△ABC的内切圆半径为3，点P为线段BC的中点，求经过点P的反比例函数的解析式；（3）如图3，点E是抛物线F1与直线l的另一个交点，已知OC＝2OD，△BCE的面积为6，点E在双曲线F2：y＝1cx+上，若当m≤x≤n（其中mn＜0）时，二次函数y＝﹣x2+2x+c的函数值的取值范围恰好是2m≤y≤2n，求m+n的值．10．（2022·广东茂名·九年级期末）如图1，已知点A （a ，0），B （0，b ），且a 、b （a+b+3）2＝0，平行四边形ABCD 的边AD 与y 轴交于点E ，且E 为AD 中点，双曲线y ＝k x上经过C 、D 两点． （1）a ＝ ，b ＝ ；（2）求反比例函数表达式；（3）点P在双曲线y＝kx上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标；（4）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M是HT的中点，MN△HT，交AB于N，当T在AF上运动时，MNHT的值是否发生改变？若改变，直接写出其变化范围；若不改变，请直接写出其值．-+ 1x11．（2021·广东深圳·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3x+b经过点A（﹣1，0），与y轴正半轴交于B点，与反比例函数y＝kx（x＞0）交于点C，且BC＝2AB，BD△x轴交反比例函数y＝kx（x＞0）于点D，连接AD．（1）求b、k的值；（2）求△ABD的面积；（3）若E为射线BC上一点，设E的横坐标为m，过点E作EF△BD，交反比例函数y＝kx（x＞0）的图象于点F，且EF＝13BD，求m的值．。
2023年九年级数学中考专题训练反比例函数与几何综合含答案解析
中考专题训练——反比例函数与几何综合1．如图，一次函数图象与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，与反比例函数图象交于点C 和点D ，其中点D 的横标为1，1OA OB ==．（1）如图1，求一次函数和反比例函数的表达式；（2）如图2，点E 是x 轴正半轴上一点，2OE OB =，求BDE △的面积；（3）在（2）的条件下，直线BE 向上平移，平移后的直线过点D 且交y 轴于点F ，点M 为平面直角坐标系内一点，是否存在以B 、D 、F 、M 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，点A 是反比例函数y ＝m x（m ＜0）位于第二象限的图象上的一个动点，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ；M 为是线段AC 的中点，过点M 作AC 的垂线，与反比例函数的图象及y 轴分别交于B 、D 两点．顺次连接A 、B 、C 、D ．设点A 的横坐标为n ．（1）求点B 的坐标（用含有m 、n 的代数式表示）；（2）求证：四边形ABCD 是菱形；（3）若⊥ABM 的面积为4，当四边形ABCD 是正方形时，求直线AB 的函数表达式．3．如图，A 为反比例函数k y x=（其中0x >）图像上的一点，在x 轴正半轴上有一点B ，10OB =．连接OA 、AB ，且13OA AB ==．（1）求反比例函数的解析式；（2）过点B 作BC OB ⊥，交反比例函数k y x=（其中0x >）的图像于点C ，连接OC 交AB 于点D ． ⊥求OC 的长；⊥求DO DC 的值． 4．如图，将一个长方形放置在平面直角坐标系中，OA ＝2，OC ＝3，E 是AB 中点，反比例函数图象过点E 且和BC 相交点F ．（1）直接写出点B 和点E 的坐标；（2）求直线OB 与反比例函数的解析式；（3）连接OE 、OF ，求四边形OEBF 的面积．5．如图，在直角坐标中，矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，顶点A 、C 分别在x 轴和y 轴上，点B 的坐标为()2,3，反比例函数k y x=是的图像经过BC 的中点D ，且与AB 交于点E ，连接DE ．（1）求k 的值及点E 的坐标；（2）若点F 是OC 边上一点，且FBC DEB ∽，求直线FB 的解析式．（3）若点P 在y 轴上，且OPD △的面积与四边形BDOE 的面积相等，求点P 的坐标．6．已知在平面直角坐标中，点A (m ，n )在第一象限内，AB ⊥OA 且AB =OA ，反比例函数y =k x的图象经过点A（1）当点B 的坐标为(4，0)时（如图1），求这个反比例函数的解析式；（2）当点B 在反比例函数y =k x的图象上，且在点A 的右侧时（如图2），用含字母m ，n 的代数式表示点B 的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，求n m的值．7．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，函数m y x=（m 为常数，1m >，0x >）的图象经过点(),1P m 和()1,Q m ，直线PQ 与x 轴、y 轴分别交于C ，D 两点．（1）求OCD ∠的度数；（2）如图2，连接OQ 、OP ，当POC OCD DOQ ∠=∠-∠时，求此时m 的值；（3）如图3，点A 、点B 分别是在x 轴和y 轴正半轴上的动点．再以OA 、OB 为邻边作矩形OAMB ．若点M 恰好在函数m y x=（m 为常数，1m >，0x >）的图象上，且四边形BAPQ 为平行四边形，求此时OA 、OB 的长度．8．如图，矩形AOCB 的两边OC 、OA 分别位于x 轴、y 轴上，对角线OB 长为8，且30COB ∠=︒，D 是AB 边上的点，将ADO △沿直线OD 翻折，使A 点恰好落在对角线OB 上的点E 处．（1）求OE 的长；（2）点E 在一反比例函数的图象上，那么该函数的解析式；（3）反比例函数与BC 交于M 点，连接OM ，求OBM 的面积．9．如图，已知点()3,1A -，()2,2B -，反比例函数()0k y x x=<的图象记为L ． （1）若L 经过点A ．⊥求L 的解析式；⊥L 是否经过点B ？若经过，说明理由；若不经过，请判断点B 在L 的上方，还是下方．（2）若L 与线段AB 有公共点，直接写出k 的取值范围．10．如图，一次函数y ＝k 1x +b 的图象与反比例函数y ＝2k x（x ＜0）的图象相交于点A （﹣1，2）、点B （﹣4，n ）．（1）求此一次函数和反比例函数的表达式；（2）求△AOB 的面积；（3）若点H （﹣12，h ）也在双曲线上，那么在y 轴上存在一点P ，使得|PB ﹣PH |的差最大，求出点P 的坐标．11．如图，直线y ＝﹣12x +7与反比例函数y ＝m x （m ≠0）的图象交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且点A 的横坐标为2．（1）求反比例函数的表达式；（2）求出点B 坐标，并结合图象直接写出不等式m x ＜﹣12x +7的解集； （3）点E 为y 轴上一个动点，若S △AEB ＝5，求点E 的坐标．12．如图，一次函数2y x b =-的图象与反比例函数k y x=的图象交于点A 、B 两点，与x 轴、y 轴分别交于C 、D 两点，且点A 的坐标为()3,2．（1）求一次函数和反比例函数的表达式．（2）求AOB 的面积．（3）点P 为反比例函数图像上的一个动点，PM x ⊥轴于M ，是否存在以P 、M 、O 为顶点的三角形与COD △相似，若存在，直接写出P 点的坐标，若不存在，请说明理由．13．已知反比例函数12m y x-=（m 为常数）的图象在第一、三象限．（1）求m 的取值范围；（2）如图，若该反比例函数的图象经过ABCO 的顶点B ，点,A C 的坐标分别为()2,0，1,2，求出m 的值；（3）将ABCO 沿x 轴翻折，点C 落在C '处，判断点C '是否落在该反比例函数的图象上？14．如图，一次函数y ＝mx+1的图象与反比例函数y ＝k x 的图象相交于A 、B 两点，点C 在x 轴正半轴上，点D(1，﹣2)，连结OA 、OD 、DC 、AC ，四边形OACD 为菱形．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据图象，直接写出反比例函数的值小于2时，x 的取值范围；（3）设点P 是直线AB 上一动点，且OAP S △＝12S 菱形OACD ，求点P 的坐标．15．如图，在第一象限内有一点A （4，1），过点A 作AB⊥x 轴于B 点，作AC⊥y 轴于C 点，点N 为线段AB 上的一动点，过点N 的反比例函数y ＝n x交线段AC 于M 点，连接OM ，ON ，MN ． （1）若点N 为AB 的中点，则n 的值为 ；（2）求线段AN 的长（用含n 的代数式表示）；（3）求⊥AMN 的面积等于14时n 的值．16．如图，直线11y k x b =+与反比例函数22k y x=的图象交于A 、B 两点，已知点(),4A m ，(),2B n ，AD x ⊥轴于点D ，BC x ⊥轴于点C ，3DC =．（1）求m ，n 的值及反比例函数的解析式；（2）结合图象，当21k k x b x+≤时，直接写出自变量x 的取值范围； （3）若P 是x 轴上的一个动点，当ABP 的周长最小时，求点P 的坐标．17．如图，一次函数1y kx b =+的图象与反比例函数26y x=的图象交于(2,)A m ，(,1)B n 两点，连接OA ，OB ．（1）求这个一次函数的表达式；（2）求OAB 的面积；（3）问：在直角坐标系中，是否存在一点P ，使以O ，A ，B ，P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，反比例函数m y x=与一次函数y kx b =+的图象交于A （1，3）和B （－3，n ）两点．（1）求m 、n 的值；（2）当x 取什么值时，一次函数的值大于反比例函数的值．（3）求出⊥OAB 的面积．19．如图1，一次函数y ＝kx －4（k≠0）的图象与y 轴交于点A ，与反比例函数y ＝－12x（x ＜0）的图象交于点B （－6，b ）．（1）b ＝__________．k ＝__________．（2）点C 是线段AB 上一点（不与A ，B 重合），过点C 且平行于y 轴的直线l 交该反比例函数的图象于点D ，连接OC ，OD ，若⊥OCD 的面积＝8，求点C 的坐标．（3）将第（2）小题中的⊥OCD 沿射线AB 方向平移一定的距离后，得到⊥O′C′D′，若点O 的对应点O′恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求此时点D 的对应点D′的坐标．20．如图，直线AD ：33y x =+与坐标轴交于A D 、两点，以AD 为边在AD 右侧作正方形ABCD ，过C 作CG y ⊥轴于G 点．过点C 的反比例函数(0)k y k x=≠与直线AD 交于,E F 两点． （1）求证：⊥AOD⊥⊥DGC ；（2）求E 、F 两点坐标；（3）填空：不等式33k x x+>的取值范围是_________．参考答案1．（1）1y x =+，2y x =；（2）32（3）17(1,)2M ，21(1,)2M ，33(1,)2M -- 【分析】（1）根据题意，分别求得,A B 点的坐标，用待定系数法求得一次函数的解析式，再求得D 点的坐标，用待定系数法求反比例函数解析式即可；（2）过点D 作DG x ⊥轴于点G ,根据BDE S S =△梯形BOGD DGE BOE S S +-△△求解即可；（3）根据平行线的性质，分情况讨论，⊥当BF 为边时，32BF DM ==，上、下平移点D 即可求得M 点的坐标⊥当FB 为对角线时，根据FH BH =，DH MH =，利用中点坐标求解M 的坐标【详解】（1）点A 和点B 分别是x 轴、y 轴的点，且1OA OB ==,根据图像可知： (1,0),(0,1)A B -设直线AB 的解析式为：y kx b =+ 将点(1,0),(0,1)A B -代入，得：01k b b -+=⎧⎨=⎩解得：11k b =⎧⎨=⎩ 1y x ∴=+点D 在直线AB 上，且横标为1， 112D y ∴=+=(1,2)D ∴ 又D 在反比例函数图像上设反比例函数解析式为：m y x =， 将(1,2)D 代入，得2m ∴=2y x∴= （2）如图，过点D 作DG x ⊥轴于点G ,则2DG =,1OG =2OE OB =2OE ∴=，1EG OE OG ∴=-=BDE S S =△梯形BOGD DGE BOE S S +-△△111=()222OB DG OG EG DG OE OB +⋅+⋅-⋅111(12)11221222=+⨯+⨯⨯-⨯⨯ 32= （3）存在，理由如下： 设直线BE 的解析式为y ax b =+ (2,0),(01)E B ，201a b b +=⎧∴⎨=⎩解得：121a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 112y x ∴=-+ 平移后经过点D (1,2)设平移后的直线DF 的解析式为12y x c =-+ 将D (1,2)代入，求得52c = 5(0,)2F ∴ 53122BF ∴=-= 如图：以B 、D 、F 、M 为顶点的四边形是平行四边形 ⊥当BF 为边时，//BF DM 时，32BF DM == ,B F 都在y 轴上//DM y ∴轴(1,2)D17(1,)2M ∴或者21(1,)2M⊥当FB为对角线时，设对角线,FB DM交点为H ∴FH BH=，DH MH=,设(,)M x y5(0,),(0,1)2F B7(0,)4H∴(1,2)D117(1)0,(2)224x y∴+=+=解得132xy=-⎧⎪⎨=⎪⎩33(1,)2M∴--综上所述，17(1,)2M，21(1,)2M，33(1,)2M--【点睛】本题考查平移的性质，一次函数与反比例函数图像的性质，待定系数法求解析式，平行四边形的判定与性质，熟练一次函数与反比例函数图像的性质是解题的关键．2．（1）B（2n，2mn）；（2）见解析；（3）y＝x＋【分析】（1）由点A在双曲线上，确定出A坐标，进而得出B的坐标，即可得出结论；（2）由（1）得到的点B，D，M的坐标判断出MB MD AM MC==，，得出四边形ABCD是平行四边形，再用BD AC⊥即可；（3）由（2）结合AC BD=建立方程求出n，m，从而得到点B，A的坐标即可．【详解】（1）当x n=时，myn=，()m A n n∴，， 由题意知，BD 是AC 的中垂线，∴点B 的纵坐标是2m n ， ∴把2m y n=代入m y x =得2x n =， ∴B （2n ，2m n ）； （2）证明：⊥BD ⊥AC ，AC ⊥x 轴，⊥BD ⊥y 轴，由（1）知，B （2n ，2m n ），A （n ，m n）， ⊥D （0，2m n ），M （n ，2m n ）， ⊥BM ＝MD ＝﹣n ，⊥AC ⊥x 轴，⊥C （n ，0），⊥AM ＝CM ，⊥四边形ABCD 是平行四边形．又⊥BD ⊥AC ，⊥平行四边形ABCD 是菱形；（3）当四边形ABCD 是正方形时， ABM 为等腰直角三角形，AM BM ∴=， ABM 的面积是4，2142ABM S AM ∴==, 22AM BM ∴==，M 为线段AC 的中点，22AC AM BD BM ∴====2n ∴=-，m n=((A B ∴--，， 设直线AB 的解析式为y kx b =+，b b ⎧-+=⎪∴⎨-+=⎪⎩， 解得1k b =⎧⎪⎨=⎪⎩直线AB 的函数表达式为y ＝x ＋【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，解本题的关键是用m ，n 表示出点A ，B ，D ，M 的坐标．3．（1）60y x =；（2）⊥；⊥4【分析】（1）要求k 的值，只需要求出A 的坐标即可，所以过A 作AE x ⊥轴于E ，由于OA AB =，所以5OE EB ==，利用勾股定理求出AE 的长，得到A 的坐标(5,12)，代入到反比例函数解析式中即可解决； （2）⊥因为BC x ⊥轴，所以C 的横坐标为10，由于C 在反比例函数图象上，所以可以求出C 的纵坐标，在直角三角形OBC 中，利用勾股定理可以求出OC 的长度；⊥要求DO DC的值，由OC 的长度已知，所以只需要求出DO 或者DC 的长度即可，因为D 是直线OC 和直线AB 的交点，所以求出直线OC 和直线AB 的解析式，联立两个函数解析式，求得D 的坐标，进而求出线段OD 的长度，即可解决，此题也可以平行线构造相似来解决．【详解】解：（1）过A 作AE OB ⊥于E ，如图1，OA AB =，152OE BE OB ∴===， ∴12AE =，A ∴的坐标为(5,12)， A 为反比例函数k y x=（其中0)x >图象上的一点， 60∴=k ，∴反比例函数的解析式为：60y x=； （2）⊥10OB =，B ∴的坐标为(10,0)，BC x ⊥轴交反比例函数图象于C 点，C ∴的横坐标为10，令10x =，则606y x==， (10,6)C ∴， 6BC ∴=，∴OC ；⊥设直线OC 为y mx =，代入点C 的坐标得35m =， ∴直线OC 的解析式为35y x =， 设直线AB 的解析式为(10)y n x =-，代入点A 的坐标得125n =-， ∴直线AB 的解析式为12245y x =-+， 联立1224535y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 解得8245x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， D ∴的坐标为24(8,)5，∴OD =，∴CD OC OD =-， ∴4DO DC=．【点睛】本题是一道反比例函数综合题，注意等腰三角形的性质和勾股定理在求线段时的作用，求线段比可以用直接解析法和相似来转化．4．（1）B （2，3），E （2，32）；（2）33,2y x y x==；（3）3 【分析】（1）根据OA ＝2，OC ＝3，得到点B 的坐标；根据E 是AB 的中点，求得点E 的坐标，（2）运用待定系数法求直线OB 的解析式，再进一步运用待定系数法求得反比例函数的解析式；（3）根据反比例函数的解析式求得点F 的横坐标，再进一步根据四边形的面积等于矩形的面积减去两个直角三角形的面积进行计算．【详解】解：（1）⊥OA ＝2，OC ＝3，E 是AB 中点，⊥B （2，3），E （2，32）； （2）设直线OB 的解析式是y ＝k 1x ，把B 点坐标代入，得k 1＝32， 则直线OB 的解析式是y ＝32x ． 设反比例函数解析式是y ＝2k x， 把E 点坐标代入，得k 2＝3，则反比例函数的解析式是y ＝3x； （3）由题意得Fy ＝3，代入y ＝3x， 得Fx ＝1，即F （1，3）．则四边形OEBF 的面积＝矩形OABC 的面积﹣⊥OAE 的面积﹣⊥OCF 的面积＝2×3﹣12⨯1×3﹣12⨯2×32＝3． 【点睛】本题考查反比例函数系数k 的几何意义、待定系数法求反比例函数解析式、矩形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式，灵活应用是关键，本题是中考的常考题型5．（1）3k =；32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）2533y x =+；（3）()0,6或()0,6- 【分析】（1）由B 点的坐标，可得出D 点的坐标，利用反比例函数图像上点的坐标特征可求出k 值，由E 点在AB 上可得出点B 的横坐标，再利用反比例函数图像上点的坐标特征可求出E 点的纵坐标，进而可得出E 点的坐标；（2）由（1）可得出BD ＝1，BE ＝，CB ＝2，由⊥FBC ⊥⊥DEB ，利用相似三角形的性质可求出CF 的长，结合OF ＝OC -CF 可得出OF 的长，进而可得出点F 的坐标，由点F ，B 的坐标，利用待定系数法即可求出直线FB 的解析式；（3）由AOE COD OABC BDOE S S S S =--△△矩形四边形，可求出四边形BDOE 的面积，由点P 在y 轴上及⊥OPD 的面积与四边形BDOE 的面积相等，可求出OP 的长，进而可得出P 点的坐标．【详解】解：（1）在矩形OABC 中，⊥B 点坐标为(2,3)，⊥BC 边中点D 的坐标为(1,3)，又⊥反比例函数k y x=图像经过点(1,3)D ， ⊥31k =， ⊥3k =，⊥E 点在AB 上，⊥E 点的横坐标为2，又⊥3y x=经过点E ，⊥E 点纵坐标为32， ⊥E 点坐标为32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭， （2）由（1）得1BD =，32BE =，2CB =，⊥FBC DEB ∽， ⊥BD BE CF CB =，即3122CF =， ⊥43CF =， ⊥53OF =，即点F 的坐标为50,3⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设直线FB 的解析式为()110y k x b k =+≠，而直线FB 经过()2,3B ，50,3F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ⊥13253k b b =+⎧⎪⎨=⎪⎩， ⊥125,33k b ==， ⊥直线FB 的解析式为2533y x =+； （3）⊥131232313222AOE COD BDOE OABC S S S S =--=⨯-⨯⨯-⨯⨯=四边形矩形，由题意，得13,12OP DC DC ⋅==， ⊥6OP =，⊥点P 的坐标为()0,6或()0,6-．【点睛】本题考查了矩形的性质、反比例函数图像上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用反比例函数图像上点的坐标特征求出k 值；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（3）利用三角形面积的计算公式，求出OP 的长．6．（1）y =4x ；（2）(m +n ，n -m )；（3【分析】（1）根据等腰直角三角形性质，三线合一，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到点A坐标，代入解析式即可得到y =4x． （2）过点A 作AE⊥x 轴于点E ，过点B 作BD⊥AE 于点D ，构造一对全等三角形，得到AE=BD=n ，OE=AD=m ，所以B （m+n ，n -m ）.（3）把点A 和点B 的坐标代入反比例函数的解析式得到关于m 、n 的等22m n mn -=，两边除以2n ，换元法解得n m =． 【详解】解：（1）过A 作AC ⊥OB ，交x 轴于点C ，⊥OA =AB ，⊥OAB =90°，⊥⊥AOB 为等腰直角三角形，⊥AC =OC =BC =12OB =2，⊥A （2，2），将x =2，y =2代入反比例解析式得：2=2k ，即k =4， 则反比例解析式为y =4x； （2）过A 作AE ⊥x 轴，过B 作BD ⊥AE ，⊥⊥OAB =90°，⊥⊥OAE +⊥BAD =90°，⊥⊥AOE +⊥OAE =90°，⊥⊥BAD =⊥AOE ，在⊥AOE 和⊥BAD 中，°90AOE BAD AEO BDA AO BA ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，⊥⊥AOE ⊥⊥BAD （AAS ），⊥AE =BD =n ，OE =AD =m ，⊥DE =AE -AD =n -m ，OE +BD =m +n ，则B （m +n ，n -m ）；（3）由A 与B 都在反比例图象上，得到mn =（m +n ）（n -m ），整理得：n 2-m 2=mn ，即2()()10m m n n这里a =1，b =1，c =-1，⊥⊥=1+4=5，⊥m n = ⊥A （m ，n ）在第一象限，⊥m ＞0，n ＞0， 则1+52mn ． 【点睛】此题属于反比例函数综合题,涉及的知识有:全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质,等腰直角三角形的性质,以及一元二次方程的解法,熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．7．（1）⊥OCD =45°．（2）m；（3）OA OB == 【分析】（1）求出点C ，点D 的坐标，证明OC =OD 即可解决问题；（2）作辅助线，证明⊥OMQ ⊥⊥ONP （SAS ），得OQ =OP ，⊥DOQ =⊥POC ，根据已知可得⊥DOQ =⊥POC =⊥QOH =⊥POH ，根据角平分线的性质得：MQ =QH =PH =PN =1，根据CD =DQ +PQ +PC ，列方程可得结论；（3）先根据四边形BAPQ为平行四边形，可知⊥OAB=45°，可得⊥AOB是等腰直角三角形，所以OA=OB，从而得M，即OA=OB AB=PQ列方程解出即可．【详解】解：（1）设直线PQ的解析式为y=kx+b，则有1 km bk b m+⎧⎨+⎩＝＝，解得11 kb m-⎧⎨+⎩＝＝，⊥y=-x+m+1，令x=0，得到y=m+1，⊥D（0，m+1），令y=0，得到x=m+1，⊥C（m+1，0），⊥OC=OD，⊥⊥COD=90°，⊥⊥OCD=45°．（2）如图2，过Q作QM⊥y轴于M，过P作PN⊥OC于N，过O作OH⊥CD于H，⊥P（m，1）和Q（1，m），⊥MQ=PN=1，OM=ON=m，⊥⊥OMQ=⊥ONP=90°，⊥⊥OMQ⊥⊥ONP（SAS），⊥OQ=OP，⊥DOQ=⊥POC，⊥⊥DOQ=⊥OCD-⊥POC，⊥OCD=45°，⊥⊥DOQ=⊥POC=⊥QOH=⊥POH=22.5°，⊥MQ=QH=PH=PN=1，⊥⊥OCD=⊥ODC=45°，⊥⊥DMQ和△CNP都是等腰直角三角形，⊥DQ=PC⊥OC=OD=m+1，⊥CD m+1），⊥CD=DQ+PQ+PC，（m+1）+2，⊥m；（3）如图3，⊥四边形BAPQ为平行四边形，⊥AB⊥PQ，AB=PQ，⊥⊥OAB=45°，⊥⊥AOB=90°，⊥OA=OB，⊥矩形OAMB是正方形，⊥点M恰好在函数y=mx（m为常数，m＞1，x＞0）的图象上，⊥M，即OA=OB⊥AB=PQ，解得：m=m=（舍），⊥OA OB===【点睛】本题考查反比例函数综合题、矩形的性质、待定系数法、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．8．（1）4；（2）y =（3）【分析】（1）根据OB 的长度，⊥OCB 的度数可得BC 和OA ，再根据折叠的性质可得OE ；（2）过E 点作EF ⊥OC 于F ，求出点E 的坐标，从而可得反比例函数解析式；（3）根据OC 的长得到点M 的横坐标，代入反比例函数解析式得到点M 的坐标，从而得到BM ，再利用三角形面积公式计算结果．【详解】解：（1）⊥四边形ABCD 是矩形，⊥⊥OCB =90°⊥OB =8，⊥COB =30°，⊥BC =OA =4，由折叠可知：OE =OA =4；（2）过E 点作EF ⊥OC 于F ，⊥OE =4，⊥BOC =30°，⊥EF =2，⊥OF⊥E （2），设经过点E 的反比例函数表达式为：k y x=，则k =⊥反比例函数的解析式为：y =（3）⊥点M 在反比例函数图像上，OC⊥将x =y =1，即M （1），CM =1，又⊥BC =4，⊥BM =4-1=3，⊥S △OBM =132⨯⨯ 【点睛】此题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的面积，本题综合性强，考查知识面广，能较全面考查学生综合应用知识的能力．9．（1）⊥3y x=-(0x <)；⊥点B 在图象L 上方，理由见解析；（2）43k -≤≤-． 【分析】（1）⊥将点A 坐标代入图象L 解析式中，解得，即可得出结论；⊥将x=-2代入图象L 解析式中，求出y ，再与2比较大小，即可得出结论；（2）求出图象L 过点A ，B 时的k 的值，再求出图象L 与线段AB 相切时的k 的值，即可得出结论．【详解】解：（1）⊥⊥L 过点A （-3，1），⊥313k =-⨯=-，⊥图象L 的解析式为3y x=-(0x <)； ⊥点B 在图象L 上方，理由：由（1）知，图象L 的解析式为3y x=-， 当2x =-时，33222y =-=<-， ⊥点B 在图象L 上方；（2）当图象L 过点A 时，由（1）知，3k =-，当图象L 过点B 时，将点B （-2，2）代入图象L 解析式k y x=中，得224k =-⨯=-， 当线段AB 与图象L 只有一个交点时，设直线AB 的解析式为y mx n =+，将点A （-3，1），B （-2，2）代入y mx n =+中，3122m n m n -+=⎧⎨-+=⎩， ⊥14m n =⎧⎨=⎩， ⊥直线AB 的解析式为4y x =+，联立图象L 的解析式和直线AB 的解析式得，4k y x y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩， 化为关于x 的一元二次方程为240x x k +-=，⊥1640k =+=，⊥4k =-，即满足条件的k 的范围为：43k -≤≤-．【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，找出图象L 与线段AB 有公共点的分界点是解本题的关键．10．（1）y ＝12x +52， y ＝﹣2x ；（2）S △AOB ＝154；（3）P （0，92）． 【分析】（1）把点A 的坐标代入反比例函数解析式求出m 的值，然后再把点B 的坐标代入反比例函数求出n 的值，从而求出点B 的坐标，再把A 、B 的坐标代入一次函数表达式，利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；（2）求得直线AB 与x 轴的交点，然后根据三角形的面积公式即可求解；（3）根据题意，P 点是直线BH 与y 轴的交点；【详解】（1）⊥点A(﹣1，2)在反比例函数图象上， ⊥21k -＝2， 解得k 2＝﹣2，⊥反比例函数的解析式是y ＝﹣2x， ⊥点B(﹣4，n)在反比例函数图象上，⊥n ＝21=42-- ， ⊥点B 的坐标是(﹣4，12)，⊥一次函数1y k x b =+的图象经过点A(﹣1，2)、点B(﹣4，12)． ⊥112142k b k b -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 解得11252k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ． ⊥一次函数解析式是1522y x =+ ； （2）设直线AB 与x 轴的交点为C ，1522y x =+中，令y ＝0，则x ＝﹣5， ⊥直线与x 轴的交点C 为(﹣5，0)，⊥S △AOB ＝S △AOC ﹣S △BOC 11115=525=2224⨯⨯-⨯⨯ ； （3）⊥点H(﹣12，h)也在双曲线上，⊥2=412h=--，⊥H(﹣12，4)，⊥在y轴上存在一点P，使得|PB﹣PH|最大，⊥P点是直线BH与y轴的交点，设直线BH的解析式为y＝kx+m，⊥142142k mk m⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得192km=⎧⎪⎨=⎪⎩，⊥直线BH的解析式为y＝x+92，令x＝0，则y＝92，⊥P(0，92 )．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形面积，会利用待定系数法求一次函数解析式；运用两点之间线段最短解决最短路径问题是解题的关键；11．（1）12yx=；（2）x＜0或2＜x＜12；（3）E（0，6）或（0，8）【分析】（1）由直线y＝﹣12x+7求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；（2）解析式联立，解方程组即可求得B的坐标，然后根据图象即可求得不等式mx＜﹣12x+7的解集；（3）设E（0，n），求得点C的坐标，然后根据三角形面积公式得到S△AEB＝S△BCE﹣S△ACE＝12|7﹣n|×（12﹣2）＝5，解得即可．【详解】解：（1）把x＝2代入y＝﹣12x+7得，y＝6，⊥A（2，6），⊥反比例函数y＝mx（m≠0）的图象经过A点，⊥m ＝2×6＝12，⊥反比例函数的表达式为12y x=； （2）由12172y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，得26x y =⎧⎨=⎩或121x y =⎧⎨=⎩， ⊥B （12，1）， 由图象可知，不等式m x ＜﹣12x +7的解集是：x ＜0或2＜x ＜12； （3）设E （0，n ），⊥直线y ＝﹣12x +7与y 轴交于点C ，⊥C （0，7），⊥CE ＝|7﹣n |，⊥S △AEB ＝S △BCE ﹣S △ACE ＝12|7﹣n |×（12﹣2）＝5，解得，n ＝6或n ＝8，⊥E （0，6）或（0，8）．【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，掌握反比例函数图像上的点的坐标特征以及待定系数法，是解题的关键．12．（1）24y x =-，6y x =；（2）8AOB S =△；（3）存在，P点的坐标为或(-或(或(-．【分析】（1）把()3,2A 分别代入直线2y x b =-和反比例函数k y x =进行求解即可； （2）连接OA 、OB ，由246y x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩解得：1132x y =⎧⎨=⎩，2216x y =-⎧⎨=-⎩，进而可得()1,6B --，然后由一次函数可得2OC =，最后根据割补法可求解⊥AOB 的面积；（3）当以P 、M 、O 为顶点的三角形与COD △相似时，始终有90PMO COD ∠=∠=︒，由（2）可得OC=2，OD=4，设点6,P a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则6,PM OM a a ==，12OC OD =，则可分⊥当OPM OCD ∠=∠时，⊥当OPM ODC ∠=∠时，然后根据相似三角形的性质进行求解即可．【详解】解：（1）把()3,2A 代入2y x b =-得：62b -=，解得：4b =，⊥一次函数的表达式为24y x =-，把()3,2A 代入k y x =得：23k =， 解得：6k =， ⊥反比例函数的表达式为6y x=； （2）连接OA 、OB ，如图所示：由246y x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩解得：1132x y =⎧⎨=⎩，2216x y =-⎧⎨=-⎩， ⊥()3,2A ，()1,6B --，在24y x =-上，当0y =时，240x -=，解得：2x =⊥()2,0C⊥2OC = ⊥1222OAC S OC =⨯=△，1662OBC S OC =⨯=△， ⊥8AOB OAC OBC S S S =+=△△△；（3）由题意可得如图所示：当以P 、M 、O 为顶点的三角形与COD △相似时，始终有90PMO COD ∠=∠=︒，由（2）可得OC=2，OD=4，设点6,P a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则6,PM OM a a ==，12OC OD =， ⊥当OPM OCD ∠=∠时， ⊥12OC PM OD OM ==，即612a a =，解得：a =±⊥点(P 或(P -；⊥当OPM ODC ∠=∠时， ⊥12OC OM OD PM ==，即62a a =，解得：a =⊥点P 或(P -；综上所述：当以P 、M 、O 为顶点的三角形与COD △相似时，P 点的坐标为或(-或(或(-． 【点睛】本题主要考查反比例函数与几何综合及相似三角形的性质，熟练掌握反比例函数与几何综合及相似三角形的性质是解题的关键．13．（1）12m <；（2）12m =-；（3）点()1,2C '--在反比例2y x =图象上 【分析】（1）根据反比例函数图象在第一、三象限，列不等式即可；（2）根据平行四边形的性质求出BC 长，再求出点B 坐标代入解析式即可；（3）根据翻折求出C '坐标，代入解析式即可．【详解】解：（1）反比例函数12m y x-=（m 为常数）的图象在第一、三象限， ⊥120m ->， 解得12m <； （2）⊥ABCO 是平行四边形，⊥2CB OA ==，⊥点B 坐标为()1,2．把点()1,2代入12m y x-=得， 1221m -=， 解得12m =-．（3）点C 关于x 轴的对称点为()1,2C '--．由（2）知反比例函数的解析式2y x =， 把=1x -代入2221y x ===--， 故点()1,2C '--也在反比例2y x =图象上． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合问题，和平行四边形 性质，解题关键是熟知反比例函数的性质和平行四边形的性质，树立数形结合思想，利用点的坐标解决问题．14．（1）一次函数的解析式为：y=x+1，反比例函数的解析式为：y ＝2x ；（2）x ＜0或x ＞1；（3）P 点坐标为（-3，-2）或（5，6）【分析】（1）由菱形的性质可知A 、D 关于x 轴对称，可求得A 点坐标，把A 点坐标分别代入两函数解析式可求得k 和m 值；（2）由（1）可知A 点坐标为（1，2），结合图象可知在A 点的下方时，反比例函数的值小于2，可求得x 的取值范围；（3）根据菱形的性质求得菱形面积，分点P 在x 轴下方和点P 在x 轴上方两种情况加以分析即可．【详解】解：（1）如图，连接AD ，交x 轴于点E ，⊥D （1，2），⊥OE=1，ED=2，⊥四边形AODC 是菱形，⊥AE=DE=2，EC=OE=1，⊥A （1，2），将A （1，2）代入直线y=mx+1可得m+1=2，解得m=1，⊥一次函数的解析式为：y=x+1，将A （1，2）代入反比例函数y ＝k x ，可求得k=2； ⊥反比例函数的解析式为：y ＝2x； （2）⊥当x=1时，反比例函数的值为2，⊥当反比例函数图象在A 点下方时，对应的函数值小于2，此时x 的取值范围为：x ＜0或x ＞1；（3）⊥OC=2OE=2，AD=2DE=4，⊥S 菱形OACD 142=⋅=OC AD ，S △OAP =12S 菱形OACD ， ⊥S △OAP =2，直线y=x+1与x 轴交点M （-1，0）设P 点坐标为（x ，x+1），当点P 在x 轴下方时，⊥S △OAP =S △OAM +S △OMP =2， ⊥()111211222x ⨯⨯+⨯--⨯=， 解得x=-3，⊥P 点坐标为（-3，-2）．当点P 在x 轴上方时，⊥S △OAP = S △OMP -S △OAM =2， ⊥()111112222x ⨯+⨯-⨯⨯=， 解得x=5，⊥P 点坐标为（5，6）．．【点睛】本题考查了反比例函数和几何的综合应用，涉及知识点有待定系数法、菱形的性质、三角形的面积及数形结合思想等，熟练掌握相关知识是解题的关键．15．（1）2；（2）14n -；（3）4【分析】（1）根据点A 的坐标和点N 为AB 的中点得到点N 的坐标，可得n 值；（2）将点N 的横坐标代入反比例函数表达式，得到纵坐标，即BN 的长，再根据AB 得到AN ；（3）分别表示出AN 和AM 的长，表示出⊥AMN 的面积，令其为14，解方程即可得到结果． 【详解】解：（1）⊥A （4，1），AB⊥x 轴于点B ，交n y x=于点N ， ⊥x A =x B =x N =4，AB=1，又⊥点N 为AB 中点，⊥BN=12AB=12，即y N =12， ⊥n=x N ×y N =4×12=2， 故n=2；（2）由（1）可知：x A =x B =x N =4， ⊥点N 在n y x =上， ⊥y N =4N n n x =， ⊥AN=AB -BN=14n -， 故线段AN 的长为14n -； （3）由（2）可知：AN=14n -， ⊥点A （4，1），AC⊥y 轴，交n y x=于点M ， ⊥y A =y M =1，AC=x N =4， 则x M =M n y =n ，即CM=x M =n ， ⊥AM=AC -CM=4-n ， ⊥AC⊥y 轴，AB⊥x 轴， ⊥四边形OBAC 为矩形， ⊥⊥A=90°，⊥S △AMN =12AN AM ⨯⨯ =()11424n n ⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭=2128n n -+， 又⊥AMN 的面积等于14， ⊥211284n n -+=，解得：4n =又AN=14n -＞0， ⊥n ＜4，⊥4n =故n 的值为4【点睛】本题考查了反比例函数综合，矩形的判定和性质，一元二次方程，解题的关键是利用反比例函数图像上的点坐标表示出相应线段的长度．16．（1）3m =，6n =，212y x=；（2）03x <≤或6x ≥；（3）点P 的坐标为()5,0． 【分析】（1）把点A 、B 的坐标代入反比例函数中，得到2n m =，由CD=3可知 ，3n m -=即可求出m 、n 的值；（2）根据图象可直接写出x 的取值范围；（3）作点B 关于x 轴的对称点()62F -，，连接AF 交x 轴于点P ，此时ABP 的周长最小，求出坐标即可； 【详解】（1）⊥点()4A m ，，()2B n ，在反比例函数22k y x=的图象上， ⊥242k m n ==，即2n m =；⊥3DC =，⊥3n m -=，⊥3m =，6n =， ⊥点()34A ，，点()62B ，， ⊥23412k =⨯=，⊥反比例函数的解析式为212y x=； （2）⊥点()34A ，，点()62B ，， ⊥当21k k x b x+≤ 时：03x <≤或6x ≥； （3）如图，作点B 关于x 轴的对称点()62F -，，连接AF 交x 轴于点P ，此时ABP 的周长最小； 设直线AF 的解析式为y kx a =+，3462k a k a +=⎧⎨+=-⎩ 解得210k a =-⎧⎨=⎩ ⊥直线AF 的解析式为210y x =-+，当0y =时，5x =，⊥点P 的坐标为()50，．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的解析式以及求x 的取值范围，还有在反比例函数中出现的动点问题，属于中等难度．17．（1）1142y x =-+；（2）8；（3）存在，点P 的坐标为()42-，，()42-，，()84， 【分析】（1）由点A ，B 在反比例函数图象上，求出m ，n ，进而求出A ，B 坐标，再代入一次函数解析式中，即可得出结论；（2）利用三角形的面积的差即可得出结论；（3）分三种情况：利用平移的特点，即可得出结论．【详解】解：（1）将()2A m ，，()1B n ，两点代入反比例函数26y x = 得62m =，61n =，得3m =，6n =，所以()23A ，，()61B ， 将()23A ，，()61B ，代入一次函数1y kx b =+ 得32k b =+，16k b =+，解得12k =-，4b = 即1142y x =-+ （2）设一次函数1142y x =-+与x 轴、y 轴分别交于D ，C 两点，再过A ，B 两点分别向y 轴、x 轴作垂线，垂足分别为E ，F 两点，如图1，当0x =时，111404422y x ；当0y =时，1042x =-+，8x = ⊥4OC =，8OD =⊥()23A ，，()61B ，⊥2AE =，1BF = ⊥11481622OCD S OC OD ∆=⨯⨯=⨯⨯= 1142422OAC S OC AE ∆=⨯⨯=⨯⨯= 1181422OBD S OD BF ∆=⨯⨯=⨯⨯= 16448OAB OCD OAC OBD S S S S ∆∆∆∆=--=--=⊥OAB ∆的面积为8（3）存在，如图2，当AB 和OB 为邻边时，点B （6，1）先向左平移6个单位再向下平移1个单位到点O （0，0），则点A 也先向左平移6个单位再向下平移1个单位到点P （2-6，3-1），即P （-4，2）；当OA 和OB 为邻边时，点O （0，0）先向右平移2个单位再向上平移3个单位到点A （2，3）， 则点B 也先向右平移2个单位再向上平移3个单位到点P '（6+2，1+3），即P '（8，4）；当AB 和OA 为邻边时，点A （2，3）先向右平移4个单位再向下平移2个单位到点B （6，1）， 则点O 也先向右平移4个单位再向下平移2个单位到点P''（0+4，0-2），即P ''（4，-2）；⊥点P 的坐标为（-4，2）或（4，-2）或（8，4）．【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，平行四边形的性质，平移的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．18．（1）m=3，n=-1；（2）x>1或－3<x<0；（3）4【分析】（1）把A ，B 的坐标代入反比例函数的解析式，即可求解；（2）观察函数图象即可求解；（3）由⊥AOB 的面积S ＝S △AOC ＋S △BOC ，即可求解．【详解】解：（1）由题意，得m 31m n 3⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪-⎩，解得：3m =，1n =- （2）由（1）可求得反比例函数解析式为：3y x=，一次函数解析式为：2y x =+，观察函数图象知，当1x ＞或30x -＜＜时，一次函数的值大于反比例函数的值．（3）设直线AB 交y 轴于C ，把0x =代入2y x =+，得：2y =，⊥OC=2，⊥⊥OAB 的面积AOC BOC 11S S 2132422∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯=．【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形的面积，一次函数与反比例函数的交点问题，关键是掌握数形结合思想．19．（1）2，﹣1；（2）C （﹣2，﹣2）；（3）D′(2--+【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）设点C （m ，﹣m ﹣4），则点D （m ，﹣12m），再根据△OCD 的面积＝8，得出m 的值，即可求解； （3）直线AB 与x 轴负半轴的夹角为45°，设△OCD 沿射线AB 方向向左平移m 个单位，则向上平移m 个单位，则点O′（-m ，m ），将O′坐标代入y ＝﹣12x 得到m 的值，进而求解． 【详解】解：（1）将点B 的坐标代入y ＝﹣12x 得，b ＝﹣126-＝2， 故点B 的坐标为（﹣6，2）．将点B 的坐标代入一次函数表达式得，2＝﹣6k ﹣4，解得k ＝﹣1，故答案为2，﹣1．（2）⊥点C 在直线AB 上，一次函数表达式为y ＝﹣x ﹣4，故设点C （m ，﹣m ﹣4），则点D （m ，﹣12m ）， 则△CDO 的面积＝12CD×（－m ）＝12×（﹣12m ＋m ＋4）（－m ）＝8， 解得12m m ＝＝﹣2，故点C （﹣2，﹣2）．（3）由AB 的函数表达式知，直线AB 与x 轴负半轴的夹角为45°，。
反比例函数与几何综合专题(基础篇)九年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)
专题26.14反比例函数与几何综合专题（基础篇）（专项练习）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．如果等腰三角形的面积为10，底边长为x ，底边上的高为y ，则y 与x 的函数关系式为（）A ．y=B ．y=C ．y=D ．y=2．如图，点A 在反比例函数y ＝﹣x（x ＜0）的图象上，过点A 作AC ⊥x 轴垂足为C ，OA 的垂直平分线交x 轴于点B ，当AC ＝1时，△ABC 的周长为（）A ．1B 1+C D2+3．如图，点A 是双曲线y =6x是在第一象限上的一动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为斜边作等腰Rt △ABC ，点C 在第二象限，随着点A 的运动，点C 的位置也不）A ．13y x=-B ．3y x =-C ．16y x=-D ．6y x=-4．如图，反比例函数ky x=（0x >）的图象经过点()1,2A 和点(),B m n ，过点B 作BC y⊥轴与C ，若ABC 的面积为2，则点B 的坐标为（）A ．23,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()2,1D ．()1,25．如图，菱形AOBC 的边BO 在x 轴正半轴上，点A (2，，反比例函数kyx=图象经过点C ，则k 的值为()A ．12B ．C ．D ．6．在ABC 中90ACB ∠=︒，将Rt ABC 放在如图所示的平面直角坐标系中，ABC 的边AC x ∥轴．1AC =，点B 在x 轴上，点C 在反比例函数2(0)y x x=>的图像上，将ABC 先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度得到111A B C △，此时点1A 在反比例函数()0ky x x=<的图像上．11B C 与此图像交于点P ，则点P 的纵坐标是（）A ．92-B ．72-C ．94-D ．74-7．如图，点A 在双曲线y ＝6x上，过A 作AC ⊥x ，垂足为C ，OA 的垂直平分线交OC 于B ，且AC ＝1.5，则△ABC 的周长为（）A ．6.5B ．5.5C ．5D ．48．如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，在OAB ∆中，AO AB =，AC OB ⊥于点C ，点A 在反比例函数()0ky k x=≠的图像上，若4OB =，3AC =，则k 的值为（）．A ．12B ．8C ．6D ．39．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC 的顶点O 在坐标原点，边BO 在x 轴的负半轴上，60BOC ∠=︒，顶点C 的坐标为(m ，反比例函数()0ky k x=<的图象与菱形对角线AO 交于点D ，连结BD ，当DB x ⊥轴时，k 的值是（）A ．B ．C ．D ．-10．如图，平行于y 轴的直线l 分别与反比例函数k y x =（x ＞0）和1y x=-（x ＞0）的图象交于M 、N 两点，点P 是y 轴上一动点，若△PMN 的面积为2，则k 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．如图反比例函数图像过A(2，2)，AB ⊥x 轴于B ，则△OAB 的面积为_______12．如图，点A 、B 是反比例函数y ＝kx（x ＞0）图象上的两点，且A 、B 两点的纵坐标分别为2和1，C 在x 轴上，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，则k ＝_____．13．如图，在平面直角坐标系中，△ABO 边AB 平行于y 轴，反比例函数(0)k y x x=>的图像经过OA 中点C 和点B ，且△OAB 的面积为9，则k =________14．我市某校想种植一块面积为400平方米的长方形草坪，要求两邻边均不小于10米，草坪的一边长y （米）与另一边长x （米）之间的关系如图中曲线AB 所示，其中AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，垂足分别为C ，D ，连接AB ，则四边形ACDB 的面积为______平方米．15．在平面直角坐标系中，OA ＝AB ，∠OAB ＝90°，反比例函数ky x=（x ＞0）的图像经过A 和B 两点其中A （2，m ），且点B 的纵坐标为n ，则n ＝______．16．如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，直线y＝kx﹣（k＜0）交x轴的正半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，若BC平分∠ABO交OA于点C，AC＝2OC，则k 的值为____．17．如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点A在反比例函数y=kx(x>0)图象上，C在x轴上，AB//x轴，BC与双曲线交于点D，且BD=3CD=6，则k=_______．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数8yx=的图象经过A（2，4），B两点，∠AOB＝45°，则点B的坐标为________．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，某反比例函数的图象经过点()1,3A--．()1求该反比例函数的解析式；()2点(),3B m 和()3,C n 均在该反比例函数的图象上，点P 在x 轴上，请画出使PB PC+的值最小的P 点位置，并求出此时点P 的坐标．20．（8分）如图，点P 的坐标是(32)-，，过点P 作x 轴的平行线交y 轴于点A ，交双曲线(0)ky x x =>于点N ，作PM AN ⊥交双曲线(0)k y x x=>于点M ，连接AM ．已知PN =4．(1)求k 的值；(2)求APM △的面积．21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A ，B 在函数()0ky x x=>的图象上（点A 的纵坐标大于点B 的纵坐标），点A 的坐标为（2，4），过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，连结OA ，AB ．(1)求k 的值．(2)若CD ＝2OD ，求四边形OABC 的面积．22．（10分）如图，矩形ABCD 的两边AD AB 、的长分别为3、8.边BC 落在x 轴上，E 是DC 的中点，连接AE ，反比例函数my x=的图象经过点E ，与AB 交于点F ．(1)直接写出AE 的长；(2)若2AF AE -=，求反比例函数的解析式．23．（10分）如图，一次函数4y x =-+的图象与反比例函数()0ky k x=≠在第一象限内的图象交于()1,A n 和()3,B m 两点．(1)求反比例函数的表达式．(2)在第一象限内，当一次函数4y x =-+的值大于反比例函数()0ky k x=≠的值时，写出自变量x 的取值范围(3)求△AOB 面积．24．（12分）如图，已知平行四边形ABCD 的顶点A 、C 在反比例函数ky x=的图象上，顶点B 、D 在x 轴上．已知点()32A -，、(50)B -，．(1)直接写出点C 、D 的坐标；(2)求反比例函数的解析式；(3)求平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的长；(4)求平行四边形ABCD 的面积S ．参考答案1．C试题分析：利用三角形面积公式得出xy=10，进而得出答案．解：∵等腰三角形的面积为10，底边长为x ，底边上的高为y ，∴xy=10，∴y 与x 的函数关系式为：y=．故选C ．考点：根据实际问题列反比例函数关系式．2．B【分析】依据点A 在反比例函数y ＝﹣x（x ＜0）的图象上，AC ⊥x 轴，AC ＝1，可得OC ，再根据CD 垂直平分AO ，可得OB ＝AB ，再根据△ABC 的周长＝AB+BC+AC ＝OC+AC 进行计算即可．解：∵点A 在反比例函数y ＝﹣x（x ＜0）的图象上，AC ⊥x 轴，∴AC×OC ∵AC ＝1，∴OC ∵OA 的垂直平分线交x 轴于点B ，∴OB ＝AB ，∴△ABC 的周长＝AB+BC+AC ＝OB+BC+AC ＝OC+AC +1，故选：B ．【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，比较容易掌握．3．D【分析】连接OC ，作CD ⊥x 轴于D ，AE ⊥x 轴于E ，利用反比例函数的性质和等腰直角三角形的性质，根据“AAS”可判定△COD ≌△OAE ，设A 点坐标为（a ，6a ），得出OD =AE =6a，CD =OE =a ，最后根据反比例函数图象上点C 的坐标特征确定函数解析式．解：如图，连接OC ，作CD ⊥x 轴于D ，AE ⊥x 轴于E ，∵A点、B点是正比例函数图象与双曲线y=6x的交点，∴点A与点B关于原点对称，∴OA=OB，∵△ABC为等腰直角三角形，∴OC=OA，OC⊥OA，∴∠DOC+∠AOE=90°，∵∠DOC+∠DCO=90°，∴∠DCO=∠AOE，∴△COD≌△OAE（AAS），设A点坐标为（a，6a），得出OD=AE=6a，CD=OE=a，∴C点坐标为（-6a，a），∵-6a•a=-6，∴点C在反比例函数y=-6x图象上．故选：D．【点拨】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，解题时需要综合运用反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质．判定三角形全等是解决问题的关键环节．4．A【分析】根据三角形面积公式得到12•m•（2−n）＝2，即2m−mn＝4，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到mn＝2，则可计算出m＝3，n＝23，从而可确定B点坐标．解：∵△ABC的面积为2，∴12•m •（2−n ）＝2，即2m −mn ＝4，∵反比例函数k y x=（x ＞0）的图象经过点A （1，2）和点B （m ，n ），∴1×2＝mn ，∴2m −2＝4，解得m ＝3，∴n ＝23，∴B （3，23）．故选A ．【点拨】本题考查了反比例函数比例系数k 的几何意义：在反比例函数k y x =图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k |．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征．5．C【分析】根据题意可求出菱形的边长．再根据边BO 在x 轴正半轴上，即可判断AC x ∥轴，从而可求出C 点坐标，代入反比例函数解析式求解即可．解：∵点A (2，，∴4OA =，∴菱形的边长为4，即4AC =．∵边BO 在x 轴正半轴上，∴AC x ∥轴，∴246C A x x AC =+=+=，C A y y ==∴C (6，．将C (6，代入k y x =，得：6k =解得：k =故选C ．【点拨】本题考查两点的距离公式，菱形的性质，坐标与图形以及求反比例函数解析式．利用数形结合的思想是解题关键．6．A【分析】首先由边AC ∥x 轴，AC ＝1，点C 在函数2(0)y x x=>的图像上，求得点C 的坐标，继而求得点A 与点B 的坐标，然后由旋转的性质、平移的性质，求得△A 1B 1C 1各顶点的坐标，再由点A 1在函数()0k y x x=<的图像上，B 1C 1与此图像交于点P ，求得答案．解：∵边AC ∥x 轴，AC ＝1，∴点C 的横坐标为1，∵点C 在函数2(0)y x x =>的图像上，∴y ＝2，∴点C 的坐标为：（1，2），∴点A 的坐标为：（0，2），点B 的坐标为：（1，0），∵将ABC 先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度得到111A B C △，，∴A 1的坐标为：（-3，﹣3），B 1的坐标为：（-2，-5），C 1的坐标为：（-2，﹣3），∵点A 1在函数()0k y x x=<的图像上，∴k ＝xy ＝-3×（﹣3）＝9，∴此反比例函数的解析式为：9y x =，∵线段B 1C 1的解析式为：x ＝-2∴点P 的横坐标为：-2，∴点P 的纵坐标为：92y =-．故选：A ．【点拨】此题属于反比例函数综合题．考查了待定系数求反比例函数解析式、旋转的性质、平移的性质以及点与函数的关系．注意求得△A 1B 1C 1各顶点的坐标是关键．7．B【分析】由于BD 是OA 的垂直平分线，那么OB AB =，据图可知A 点的纵坐标是1.5，把 1.5y =代入反比例函数解析式，易求OC ，进而可求ABC ∆的周长．解：如图所示，BD Q 是OA 的垂直平分线，OB AB ∴=，1.5AC = ，∴点A 的纵坐标是1.5，把 1.5y =代入6y x=，得61.5x =，解得4x =，4OC ∴=，ABC ∴∆的周长 1.54 5.5AC AB BC AC OB BC AC OC =++=++=+=+=，故选：B ．【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、线段垂直平分线的性质，解题的关键是求出A 点的坐标．8．CC 点坐标，结合AC 长即可得到A 点坐标，根点A 在反比例函数的图像上，将点A 的坐标代入反比例函数解析式中可得k 值．解：∵AO AB =，∴OAB ∆为等腰三角形，又∵AC OB ⊥，∴C 为OB 中点，∵4OB =，∴2OC =，∵3AC =，∴A 点坐标为（2，3），将A 点坐标代入反比例函数(0)k y k x=≠得，32k =，∴6k =．故选：C ．【点拨】本题考查反比例函数图像上的点的性质，等腰三角形的判定和性质．利用等腰三角形的性质求得反比例函数上点的坐标是解题关键．9．C【分析】延长AC交y轴于E，如图，根据菱形的性质得AC//OB，则AE⊥y轴，再由∠BOC＝60°得到∠COE＝30°，则根据含30度的直角三角形三边的关系得到CE OE＝2，OC＝2CE＝4，接着根据菱形的性质得OB＝OC＝4，∠BOA＝30°，于是在Rt△BDO中可计算出BD＝3，所以D点坐标为（−4，3），然后利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k的值．解：延长AC交y轴于E，如图，∵菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，∴AC//OB，∴AE⊥y轴，∵∠BOC＝60°，∴∠COE＝30°，∴CO=2CE而顶点C的坐标为(m，∴OE＝CE=-m，CO=-2m，∵CO2=CE2+OE2，即（-2m）2=（-m）2+（2，解得m=-2∴OC＝2CE＝4，∴C(2,-∵四边形ABOC为菱形，∴OB ＝OC ＝4，∠BOA ＝30°，∴OD =2BD在Rt △BDO 中，DO 2=BD 2+OB 2，即（2BD ）2=BD 2+42，∴BD ＝3，∴D 点坐标为（−4，3），∵反比例函数()0k y k x =<的图象经过点D ，∴k ＝故选：C ．【点拨】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．10．B【分析】由题意易得点M 到y 轴的距离即为△PMN 以MN 为底的高，点M 、N 的横坐标相等，设点1,,,k M a N a a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有11k k MN a a a +⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，进而根据三角形面积公式可求解．解：由平行于y 轴的直线l 分别与反比例函数k y x =（x ＞0）和1y x=-（x ＞0）的图象交于M 、N 两点，可得：点M 到y 轴的距离即为△PMN 以MN 为底的高，点M 、N 的横坐标相等，设点1,,,k M a N a a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴11k k MN a a a+⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，∵△PMN 的面积为2，∴111222PMN k S MN a a a+=⋅=⨯⨯= ，解得：3k =；故选B ．【点拨】本题主要考查反比例函数与几何的综合，熟练掌握反比例函数与几何的综合是解题的关键．11．2【分析】根据题意可得OB=2，AB=2，然后根据三角形的面积公式即可求出结论．解：∵反比例函数图像过A(2，2)，AB ⊥x 轴于B ，∴OB=2，AB=2∴S △ABC =12OB·AB=2故答案为：2．【点拨】此题考查的是坐标与图形的面积，掌握三角形的面积公式是解决此题的关键．12．6【分析】过点A 作AG ⊥x 轴于点G ，过点B 作BH ⊥x 轴于点H ，易证△AGC ≌CHB ，根据全等三角形的性质，可得GC 和CH 的值，根据A 、B 的纵坐标，表示出横坐标，列方程求解即可．解：过点A 作AG ⊥x 轴于点G ，过点B 作BH ⊥x 轴于点H ，如图所示，则有∠AGC =∠CHB =90°，∴∠GAC +∠GCA =90°，∵∠ACB =90°，AC =BC ，∴∠ACG +∠HCB =90°，∴∠GAC =∠HCB ，∴△AGC ≌CHB （AAS ），∴AG =CH =2，GC =BH =1，∴=3∵A 、B 在反比例函数的图象上，∴,22k A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B （k ,1），∴32k k -=,∴k =6，故答案为：6．【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，设计等腰直角三角形的性质，构造全等三角形是解题的关键．13．6【分析】延长AB 交x 轴于D ，根据反比例函数k y x =（x ＞0）的图象经过点B ，设B k m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则OD ＝m ，根据△OAB 的面积为9，列等式可表示AB 的长，表示点A 的坐标，根据线段中点坐标公式可得C 的坐标，从而得出结论．解：延长AB 交x 轴于D ，如图所示：∵AB y ∥轴，∴AD ⊥x 轴，∵反比例函数k y x=（x ＞0）的图像经过OA 中点C 和点B ，∴设B k m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则OD ＝m ，∵△OAB 的面积为9，∴192AB OD ⋅=，即12AB •m ＝9，∴AB ＝18m ，∴A （m ，18k m +），∵C 是OA 的中点，∴C 11822k m m +⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴11822k k m m+=⋅，∴k ＝6，故答案为：6．【点拨】本题主要考查了反比例函数上点的坐标特征，线段的中点坐标公式，三角形面积公式，解本题的关键是设未知数建立方程解决问题．14．750【分析】由题意得y 与x 的函数关系式为400y x =，则当10x =时，4004010y ==，当40x =时，4001040y ==，即可得40AC =，10BD =，401030CD =-=，即可得．解：∵长方形草坪的面积为400平方米，∴y 与x 的函数关系式为400y x =，∴当10x =时，4004010y ==，当40x =时，4001040y ==，∵AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，∴40AC =，10BD =，401030CD =-=，∴四边形ABCD 的面积为：()()2401030750m 2+⨯=，故答案为：750．【点拨】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是理解题意，掌握反比例函数的性质．15【分析】过A 作AC ⊥y 轴，垂足为C ，作BD ⊥AC ，垂足为D ，通过证△AOC ≌△ABD 可得：OC ＝AD ＝m ，AC ＝BD ＝2，即可求得B 点的纵坐标．解：如图：过A 作AC ⊥y 轴，垂足为C ，作BD ⊥AC ，垂足为D ，∵∠BAO ＝90°，∴∠OAC +∠BAD ＝90°，∠BAD +∠ABD ＝90°，∴∠ABD ＝∠CAO ，∵∠D ＝∠ACO ＝90°，AO ＝AB ，∴△ACO ≌△DAB （AAS ），∴AD ＝CO ，BD ＝AC ，∵A （2，m ），∴OC ＝AD ＝m ，AC ＝BD ＝2．∴点B 坐标为()2,2m m +-∴()()222m m m =+-∴解得11m =+21m =（舍去）∴n ＝m ﹣2，．【点拨】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，关键是求得BD 的长．16．【分析】过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则OC =CD ，利用面积法结合AB =2OC ，可得出AB =2OA ，利用勾股定理可得出OA =，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出OA ，OB的长，结合OA =可求出k 值．解：如图，过点C 作CD ⊥D ，∵BC 平分∠ABO ，∴OC =CD ，∵12BOC S OC OB ∆=⋅，1122ABC S AC OB AB CD ∆=⋅=⋅，∴2ABC BOC S AC AB S OC OB∆∆===，∴AB =2OB ，∴OA ==，当x =0时，y，当y =0时，x =∴OB =-，=OA∴()-，解得：3k =-，故答案为：-．3【点拨】本题考查了角平分线的性质、三角形的面积、勾股定理以及一次函数图象上点的坐标特征，利用面积法找出OA=是解题的关键．173【分析】过点A、D分别作x轴和垂线，垂足分别为E、F，求得CD=2，AB=BC=AC=8，利用直角三角形的性质求得CE=4，CF=1，设A，，D，利用OF-OE=CE+CF=5，列方程求解即可．解：过点A、D分别作x轴和垂线，垂足分别为E、F，∵△ABC是等边三角形，BD=3CD=6，∴CD=2，AB=BC=AC=8，∵AB//x轴，∴∠ACE=∠BCF=30°，∴CE=4，CF=1，由勾股定理得AEDF设AOF，解得：k【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，含30°角的直角三角形的三边关系，解题的关键是通过含30°角的直角三角形的三边关系表示点A 和点B 的坐标．18．3⎛ ⎝⎭【分析】将OA 绕O 点顺时针旋转90°到OC ，连接AB 、CB ，作AM ⊥y 轴于M ，CN ⊥x 轴于N ，通过证得△AOB ≌△COB （SAS ），得到AB =CB ，证得△AOM ≌△CON （AAS ），求得C （4，-2），设B 点的坐标为（m ，8m），根据AB =BC ，得到关于m 的方程，解方程求得m 的值，即可求得B 的坐标．解：将OA 绕O 点顺时针旋转90°到OC ，连接AB 、CB ，作AM ⊥y 轴于M ，CN ⊥x 轴于N ，∵点A 的坐标为（2，4），∴AM =2，OM =4，∵∠AOB =45°，∴∠BOC =45°，在△AOB 和△COB 中，OA OC AOB COB OB OB ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△AOB ≌△COB （SAS ），∴AB =CB ，∵∠AOM +∠AON =90°=∠CON +∠AON ，∴∠AOM =∠CON ，在△AOM 和△CON 中，AOM CON AMO ONC OA OC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△AOM ≌△CON （AAS ），∴CN =AM =2，ON =OM =4，∴C （4，-2），设B 点的坐标为（m ，8m ），∵AB =CB ，∴2222882442m m m m-+-=-++（）（）（）（），解得m =-（负值不合题意，舍去）故答案为：⎛ ⎝．【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形全等的判定和性质，作出辅助线根据全等三角形是解题的关键．19．（1）3y x =；（2）P 点坐标为5()20【分析】（1）根据待定系数法即可求解；（2）先求出B,C 的坐标，再根据对称性作A 点关于x 轴的对称点’A ，连接'BA 交x 轴于P 点，求出直线'BA 的解析式即可得到P 点坐标．解：解:()1设反比例函数解析式为k y x=把()1,3A 代入，得133k =⨯=，∴反比例函数解析式为3y x=()2把(3,)B m 代入得33m =，解得1m =，B ∴点坐标为(3)1，；作A 点关于x 轴的对称点’A ，连接'BA 交x 轴于P 点，则’3(1)A -，，''PA PB PA PB BA +=+= ，设直线'BA 的解析式为y mx n =+，则331m n m n +=-⎧⎨+=⎩，解得25m n =⎧⎨=-⎩∴直线'BA 的解析式为25y x =-，当0y =时，250x -=，解得52x =P ∴点坐标为5()20．【点拨】此题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知反比例函数的图像与性质、待定系数法的应用．20．(1)-14(2)4【分析】（1）由题意可得出3AP =，2N y =-．再根据PN =4，可求出AN =7，即得出N 的坐标，最后将N 的坐标代入反比例函数解析式，即可求出k 的值；（2）由题意可得出3M x =，代入所求出的反比例函数解析式，即得出M 的纵坐标，从而可求出PM 的长，最后由三角形面积公式计算即可．解：（1）由题意可知3AP =，2N =-．∵PN =4，∴AN =AP +PN =3+4=7，∴7N x =，∴N (7，-2)．将N (7，-2)代入k y x =，得：27k -=解得：14=-k ．（2）由题意可知3M x =．由（1）可知反比例函数解析式为：14y x =-，将3M x =代入14y x =-得：143M y =-∴1482(33P M PM y y =-=---=，∴11834223APM S AP PM =⋅=⨯⨯=△．【点拨】本题考查坐标与图形，求反比例函数的解析式，反比例函数与几何的综合．利用数形结合的思想是解题关键．21．(1)8(2)443【分析】（1）将点A 的坐标（2，4）代入()0k y x x=>，可得结果；（2）利用反比例函数的解析式可得点B 的坐标，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式可得结果．（1）解：将点A 的坐标（2，4）代入()0k y x x =>，可得k ＝xy ＝2×4＝8，∴k 的值为8；（2）∵k 的值为8，∴函数k y x =的解析式为8y x =，∵CD ＝2OD ，OD ＝2，∴CD ＝4，∴OC ＝6，∴点B 的横坐标为6，将x ＝6代入8y x =，得43y =，∴点B 的坐标为（6，43），∴S 四边形OABC ＝S △AOD ＋S 梯形ABCD ＝12×2×4＋12×(43＋4)×4＝443．【点拨】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，运用数形结合思想是解答此题的关键．22．(1)5(2)4y x=-【分析】（1）根据勾股定理即可求解；（2）设E 点的坐标为（x ，4），F 点的坐标是（x −3，1），代入m y x =求出x ，再求出m ，即可得出答案．解：(1)∵矩形ABCD 的两边AD AB 、的长分别为3、8，∵点E 为DC 的中点，∴CE =DE =4，在Rt △ADE 中，由勾股定理得：AE 5=；(2)∵AF −AE ＝2，∴AF ＝5＋2＝7，∴BF ＝8−7＝1，设E 点的坐标为（x ，4），F 点的坐标是（x −3，1），代入m y x=得：m ＝4x ＝（x −3）•1，解得：x ＝−1，即m ＝−4，所以当AF −AE ＝2时反比例函数表达式是4y x=-．【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的性质等知识点，能求出E 点的坐标是解此题的关键．23．(1)3y x=．(2)1﹤x ﹤3．(3)4．【分析】（1）把A n 的值，再代入反比例函数解析式可求得k ，即可得出反比例函数的表达式；（2）根据A ，B 点的横坐标，结合图象可直接得出满足条件的x 的取值范围；（3）设一次函数与x 轴交于点C ，可求得C 点坐标，利用AOB AOC BOC S S S =-△△△可求得ABO 的面积．（1）解：（1）∵点A 在一次函数图象上，∴n =-1+4=3，∴A （1，3），∵点A 在反比例函数图象上，∴k =3×1=3，∴反比例函数的表达式为3.y x=（2）结合图象可知当一次函数值大于反比例函数值时，x 的取值范围为1＜x ＜3．（3）如图，设一次函数与x 轴交于点C ，在y =-x +4中，令y =0可求得x =4，∴C （4，0），即OC =4，将B （3，m ）代入y =-x +4，得m =1，∴点B 的坐标为（3，1）．114341 4.22AOB AOC BOC S S S =-=⨯⨯-⨯⨯= 故△AOB 的面积为4．【点拨】本题是反比例函数与一次函数的综合题，主要考查函数图象的交点问题，掌握两函数图象的交点坐标满足每个函数解析式是解题的关键．24．(1)C (3，-2)；D （5，0）(2)6y x =-(3)10BD =；AC =20S =【分析】（1）由题意，点A 、C ，点B 、D 关于原点对称，即可得出答案；（2）直接将点()32A -，代入反比例函数k y x =，即可求出解析式；（3）直接根据B 、D BD 的长，过点A 作AE ⊥x 轴于E ，有勾股定理可求出OA 的长，即可得出AC 的长；（4）由2ABD S S = ，即可求解．（1）解：由题意点A 、C ，点B 、D 关于原点对称，且()32A -，、(50)B -，，∴C (3，-2)；D （5，0）．（2）∵反比例函数图象经过点（-3，2），∴()326k xy ==-⨯=-反比例函数的解析式为6y x=-．（3）()5510BD =--=；过点A 作AE ⊥x 轴于E ，在Rt △AEO 中，AO ===∴2AC AO ==（4）Δ122210202ABD S S ==⨯⨯⨯=．【点拨】本题考查反比例函数，平行四边形，熟练运用反比例函数的对称性是解题的关键．。
九年级数学全册 代几结合专题 反比例函数与几何图形的综合(选做)试题(新版)新人教版-新人教版初中九
代几结合专题：反比例函数与几何图形的综合(选做)——代几结合，掌握中考风向标 ◆类型一 与三角形的综合1．(2016·某某中考)位于第一象限的点E 在反比例函数y ＝k x的图象上，点F 在x 轴的正半轴上，O 是坐标原点．若EO ＝EF ，△EOF 的面积等于2，则k 的值为( )A ．4B ．2C ．1D ．－22．(2016·某某中考)如图，△OAC 和△BAD 都是等腰直角三角形，∠ACO ＝∠ADB ＝90°，反比例函数y ＝6x在第一象限的图象经过点B ，则△OAC 与△BAD 的面积之差S △OAC －S △BAD 为( )A ．36B ．12C ．6D ．33．如图，点A 在双曲线y ＝5x 上，点B 在双曲线y ＝8x上，且AB ∥x 轴，则△OAB 的面积等于________．第3题图第4题图4．(2016·某某中考)如图，在平面直角坐标系中，点A 在第二象限内，点B 在x 轴上，∠AOB ＝30°，AB ＝BO ，反比例函数y ＝k x(x ＜0)的图象经过点A ，若S △AOB ＝3，则k 的值为________．5．(2016·某某中考)如图，点A 为函数y ＝9x (x >0)图象上一点，连接OA ，交函数y ＝1x(x >0)的图象于点B ，点C 是x 轴上一点，且AO ＝AC ，则△ABC 的面积为________．第5题图第6题图6．★如图，若双曲线y ＝kx(k ＞0)与边长为3的等边△AOB (O 为坐标原点)的边OA 、AB 分别交于C 、D 两点，且OC ＝2BD ，则k 的值为________．7．(2016·某某中考)如图，Rt△ABO 的顶点O 在坐标原点，点B 在x 轴上，∠ABO ＝90°，∠AOB ＝30°，OB ＝23，反比例函数y ＝k x(x >0)的图象经过OA 的中点C ，交AB 于点D .(1)求反比例函数的关系式； (2)连接CD ，求四边形CDBO 的面积．8．(2016·某某中考)如图，P 1、P 2是反比例函数y ＝kx(k >0)在第一象限图象上的两点，点A 1的坐标为(4，0)．若△P 1OA 1与△P 2A 1A 2均为等腰直角三角形，其中点P 1、P 2为直角顶点．(1)求反比例函数的解析式；(2)①求P 2的坐标；②根据图象直接写出在第一象限内当x 满足什么条件时，经过点P 1、P 2的一次函数的函数值大于反比例函数y ＝kx的函数值．◆类型二 与特殊四边形的综合9．如图，点A 是反比例函数y ＝－6x(x ＜0)的图象上的一点，过点A 作平行四边形ABCD ，使B 、C 在x 轴上，点D 在y 轴上，则平行四边形ABCD 的面积为( )A ．1B ．3C ．6D ．12第9题图 第10题图10．(2016·某某中考)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的面积为12，点B 在y 轴上，点C 在反比例函数y ＝kx的图象上，则k 的值为________．11．(2016·某某中考)如图，已知点P (6，3)，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，反比例函数y ＝k x的图象交PM 于点A ，交PN 于点B ，若四边形OAPB 的面积为12，则k ＝________．第11题图第12题图12．如图，矩形OABC 的顶点A 、C 的坐标分别是(4，0)和(0，2)，反比例函数y ＝kx(x ＞0)的图象过对角线的交点P 并且与AB ，BC 分别交于D ，E 两点，连接OD ，OE ，DE ，则△ODE 的面积为________．13．(2016·资阳中考)如图，在平行四边形ABCD 中，点A 、B 、C 的坐标分别是(1，0)、(3，1)、(3，3)，双曲线y ＝kx(k ≠0，x >0)过点D .(1)求双曲线的解析式；(2)作直线AC 交y 轴于点E ，连接DE ，求△CDE 的面积．14．(2016·某某中考)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，点C 的坐标为(0，3)，点A 在x 轴的负半轴上，点D 、M 分别在边AB 、OA 上，且AD ＝2DB ，AM ＝2MO ，一次函数y ＝kx ＋b 的图象过点D 和M ，反比例函数y ＝m x的图象经过点D ，与BC 的交点为N .(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)若点P 在直线DM 上，且使△OPM 的面积与四边形OMNC 的面积相等，求点P 的坐标．◆类型三 动点、规律性问题15．(2016·某某中考)如图，在平面直角坐标系中，点P (1，4)，Q (m ，n )在函数y ＝kx(x >0)的图象上，当m >1时，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为点A ，B ，过点Q 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为点C ，D .QD 交AP 于点E ，随着x 的增大，四边形ACQE 的面积( )A ．减小B ．增大C ．先减小后增大D ．先增大后减小第15题图第16题图16．★在反比例函数y ＝10x(x ＞0)的图象上，有一系列点A 1，A 2，A 3，…，A n ，A n ＋1，若A 1A 1，A 2，A 3，…，A n ，A n ＋1作x 轴与y 轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为S 1，S 2，S 3，…，S n ，则S 1＝________，S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n ＝________(用含n 的代数式表示)．代几结合专题：反比例函数与几何图形的综合(选做)1．B2．D 解析：设△OAC 和△BAD 的直角边长分别为a 、b ，则点B 的坐标为(a ＋b ，a －b )．∵点B 在反比例函数y ＝6x 的第一象限图象上，∴(a ＋b )×(a －b )＝a 2－b 2＝6.∴S △OAC －S △BAD ＝12a 2－12b 2＝12(a 2－b 2)＝12×6＝3.3.32 解析：延长BA 交y 轴于点C .S △OAC ＝12×5＝52，S △OCB ＝12×8＝4，则S △OAB ＝S △OCB －S △OAC＝4－52＝32.4．－3 35．6 解析：设点A 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫a ，9a ，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，1b .∵点C 是x 轴上一点，且AO ＝AC ，∴点C 的坐标是(2a ，0)．设过点O (0，0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，9a 的直线的解析式为y ＝kx ，∴9a ＝k ·a ，解得k ＝9a2.又∵点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，1b 在y ＝9a 2x 上，∴1b ＝9a 2·b ，解得a b ＝3或a b＝－3(舍去)，∴S △ABC ＝S △AOC －S △OBC ＝2a ·9a 2－2a ·1b 2＝182－62＝9－3＝6.6.36325解析：过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，过点D 作DF ⊥x 轴于点F .设OC ＝2x ，则BD ＝x .在Rt△OCE 中，OC ＝2x ，∠COE ＝60°，∴∠OCE ＝30°，则OE ＝x ，CE ＝3x ，则点C 的坐标为(x ，3x )．在Rt△BDF 中，BD ＝x ，∠DBF ＝60°，∴∠BDF ＝30°，则BF ＝12x ，DF＝32x ，则点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12x ，32x .将点C 的坐标代入反比例函数解析式可得k ＝3x 2，将点D 的坐标代入反比例函数解析式可得k ＝332x －34x 2，则3x 2＝332x －34x 2，解得x 1＝65，x 2＝0(舍去)，故k ＝3x 2＝36325. 7．解：(1)∵∠ABO ＝90°，∠AOB ＝30°，OB ＝23，∴OA ＝2AB ，∴(2AB )2＝AB 2＋(23)2，∴ABCE ⊥OB 于E .∵∠ABO ＝90°，∴CE ∥AB .∵OC ＝AC ，∴OE ＝BE ＝12OB ＝3，CE ＝12AB ＝1，∴C 点坐标为(3，1)．∵反比例函数y ＝kx(x >0)的图象经过OA 的中点C ，∴1＝k3，∴k＝3，∴反比例函数的关系式为y ＝3x；(2)∵OB ＝23，∴D 的横坐标为23，代入y ＝3x 得y ＝12，∴D 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，12，∴BD ＝12.∵AB ＝2，∴AD ＝AB －BD ＝32，∴S △ACD ＝12AD ·BE ＝12×32×3＝334.∴S 四边形CDBO ＝S △AOB－S △ACD ＝12OB ·AB －334＝12×23×2－334＝534.8．解：(1)过点P 1作P 1B ⊥x 轴，垂足为B .∵点A 1的坐标为(4，0)，△P 1OA 1为等腰直角三角形，∴OB ＝2，P 1B ＝12OA 1＝2，∴P 1的坐标为(2，2)．将P 1的坐标代入反比例函数y ＝kx (k >0)，得k ＝2×2＝4，∴反比例函数的解析式为y ＝4x；(2)①过点P 2作P 2C ⊥x 轴，垂足为C ，∵△P 2A 1A 2为等腰直角三角形，∴P 2C ＝A 1C .设P 2C ＝A 1C ＝a ，则P 2的坐标为(4＋a ，a )．将P 2的坐标代入反比例函数的解析式y ＝4x 中，得a ＝44＋a ，解得a 1＝22－2，a 2＝－22－2(舍去)，∴P 2的坐标为(2＋22，22－2)；②在第一象限内，当2<x <2＋22时，经过点P 1、P 2的一次函数的函数值大于反比例函数y ＝4x的函数值．9．C 10.－611．6 解析：∵点P 的坐标为(6，3)，∴点A 的横坐标为6，点B 的纵坐标为3，代入反比例函数y ＝k x ，得点A 的纵坐标为k 6，点B 的横坐标为k 3，即AM ＝k 6，NB ＝k3.∵S 四边形OAPB ＝12，即S 矩形OMPN －S △OAM －S △NBO ＝12，∴6×3－12×6×k 6－12×3×k3＝12，解得k ＝6.12.154 解析：∵四边形OABC 是矩形，∴AB ＝OC ，BC ＝OA .∵A 、C 的坐标分别是(4，0)和(0，2)，∴OA ＝4，OC ＝2.∵P 是矩形对角线的交点，∴P 点的坐标是(2，1)．∵反比例函数y ＝k x(x ＞0)的图象过对角线的交点P ，∴k ＝2，∴反比例函数的解析式为y ＝2x.∵D ，E两点在反比例函数y ＝k x (x ＞0)的图象上，∴D 点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，E 点的坐标是(1，2)，∴S △ODE＝S 矩形OABC －S △AOD －S △COE －S △BDE ＝4×2－12×2－12×2－12×32×3＝154.13．解：(1)∵在平行四边形ABCD 中，点A 、B 、C 的坐标分别是(1，0)、(3，1)、(3，3)，∴点D 的坐标是(1，2)．∵双曲线y ＝k x (k ≠0，x >0)过点D ，∴2＝k1，得k ＝2，即双曲线的解析式是y ＝2x(x >0)；(2)∵直线AC 交y 轴于点E ，∴S △CDE ＝S △EDA ＋S △ADC ＝（2－0）×12＋（2－0）×（3－1）2＝1＋2＝3，即△CDE 的面积是3.14．解：(1)∵正方形OABC 的顶点C 的坐标为(0，3)，∴OA ＝AB ＝BC ＝OC ＝3，∠OAB ＝∠B ＝∠BCO ＝90°.∵AD ＝2DB ，∴AD ＝23AB ＝2，∴D 点的坐标为(－3，2)．把D 点的坐标代入y ＝m x 得m ＝－6，∴反比例函数的解析式为y ＝－6x .∵AM ＝2MO ，∴MO ＝13OA ＝1，∴M 点的坐标为(－1，0)．把M 点与D 点的坐标代入y ＝kx ＋b 中得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，－3k ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝－1，则一次函数的解析式为y ＝－x －1；(2)把y ＝3代入y ＝－6x得x ＝－2，∴N 点坐标为(－2，3)，∴NCP 点坐标为(x ，y )．∵△OPM 的面积与四边形OMNC 的面积相等，∴12(OM ＋NC )·OC ＝12OM ·|y |，即|y |＝9，解得yy＝9时，x ＝－10，当y ＝－9时，x ＝8，则点P 的坐标为(－10，9)或(8，－9)．15．B 解析：由题意得AC ＝m －1，CQ ＝n ，则S 四边形ACQE ＝AC ·CQ ＝(m －1)n ＝mn －n .∵P (1，4)，Q (m ，n )在函数y ＝kx(x >0)的图象上，∴mn ＝k ＝4(常数)．∴S四边形ACQE＝4－n .∵当m >1时，n 随着m 的增大而减小，∴S 四边形ACQE ＝4－n 随着m 的增大而增大．故选B.16．510n n ＋1 解析：∵点A 1、A 2、A 3、…、A n 、A n ＋1在反比例函数y ＝10x(x ＞0)的图象上，且每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，又点A 1的横坐标为2，∴点A 1的坐标为(2，5)，点A 2的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，52，∴S 1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫5－52＝5.由题图象知，点A n 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ，102n ，点A n ＋1的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2n ＋2，102n ＋2，∴S 2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫104－106＝53，∴S n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫102n －102n ＋2＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1(n ＝1，2，3，…)．∴S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n ＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋10⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋10⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…1n －1n ＋1＝10n n ＋1.。
九年级数学下册专项综合全练反比例函数的图象和性质试题新人教版(2021年整理)
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1 / 81反比例函数的图象和性质一、选择题1.下列函数中,满足y的值随x的值增大而增大的是（)A.y=-2xB.y=3x—1 C。
y= D。
y=x2答案 B 对于正比例函数y=-2x，因为k=—2〈0,所以y的值随x的值增大而减小；对于一次函数y=3x—1,因为k=3〉0，所以y的值随x的值增大而增大;对于反比例函数y=，因为k〉0，所以在每个象限内y的值随x 的值增大而减小;对于二次函数y=x2,它的图象是一条抛物线，因为a=1>0,所以开口向上，在对称轴的左侧, y 的值随x的值增大而减小;在对称轴的右侧,y的值随x的值增大而增大.故选B.2。
已知反比例函数y=,当1<x<3时,y的最小整数值是（)A.3 B。
4 C。
5 D。
6答案 A 在反比例函数y=中,k=6>0,当x>0时，y随x的增大而减小，当x=3时，y==2;当x=1时，y==6.∴当1<x<3时，2〈y<6。
∴y的最小整数值是3.故选A。
3.反比例函数y=—的图象上有P1（x1，-2），P2（x2，—3)两点,则x1与x2的大小关系是( )A.x1〉x2 B。
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专题九 反比例函数与几何图形综合题
反比例函数与三角形
【例1】 (2016·重庆)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A ，B 两点，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，点B 的坐标是(m ，
－4)，连接AO ，AO ＝5，sin ∠AOC ＝3
5
.
(1)求反比例函数的解析式； (2)连接OB ，求△AOB 的面积．
分析：(1)过点A 作AE⊥x 轴于点E ，通过解直角三角形求出线段AE ，OE 的长度，得出点A 的坐标，即可求出反比例函数解析式；(2)先求出点B 的坐标，再求直线AB 的解析式，从而可求出点C 的坐标，再利用三角形的面积公式即可得出结论．
解：(1)过点A 作AE⊥x 轴于点E ，设反比例函数解析式为y ＝k
x
.∵AE⊥x 轴，∴∠AEO
＝90°.在Rt △AEO 中，AO ＝5，sin ∠AOC ＝35
，∴AE ＝AO·sin ∠AOC ＝3，OE ＝AO 2－AE 2
＝4，
∴点A 的坐标为(－4，3)，可求反比例函数解析式为y ＝－12
x
(2)易求B(3，－4)，可求直线AB 的解析式为y ＝－x －1.令一次函数y ＝－x －1中y ＝
0，则0＝－x －1，解得x ＝－1，∴C(－1，0)，∴S △AOB ＝12OC·(y A －y B )＝1
2
×1×[3－(－4)]
＝72
反比例函数与四边形
【例2】 (2016·恩施)如图，直角三角板ABC 放在平面直角坐标系中，直角边AB 垂
直于x 轴，垂足为点Q ，已知∠ACB ＝60°，点A ，C ，P 均在反比例函数y ＝43
x
的图象上，
分别作PF⊥x 轴于点F ，AD ⊥y 轴于点D ，延长DA ，FP 交于点E ，且点P 为EF 的中点．
(1)求点B 的坐标；
(2)求四边形AOPE 的面积．
分析：(1)设点A(a ，b)，则tan 60°＝b a ＝3，b ＝43
a
，联立可求点A 的坐标，从而
得出点C ，B 的坐标；
(2)先求出AQ ，PF 的长，从而可求点P 的坐标和S △OPF ，再求出S 矩形DEFO ，根据S 四边形AOPE
＝S 矩形DEFO －S △AOD －S △OPF ，代入计算即可．
解：(1)∵∠ACB＝60°，∴∠AOQ ＝60°，∴tan 60°＝
AQ
OQ
＝3，设点A(a ，b)，则⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝3，b ＝43a
，解得⎩⎨
⎧a ＝2，b ＝23或⎩⎨⎧a ＝－2，
b ＝－23
(不合题意，舍去)，∴点A 的坐标是(2，23)，∴
点C 的坐标是(－2，－23)，∴点B 的坐标是(2，－23)
(2)∵点A 的坐标是(2，23)，∴AQ ＝23，∴EF ＝AQ ＝23，∵点P 为EF 的中点，∴
PF ＝3，设点P 的坐标是(m ，n)，则n ＝3，∵点P 在反比例函数y ＝43
x 的图象上，∴3
＝43m ，S △OPF ＝12
|43|＝23，∴m ＝4，∴OF ＝4，∴S
矩形DEFO
＝OF·OD＝4×23＝83，∵
点A 在反比例函数y ＝43x 的图象上，∴S △AOD ＝12|43|＝23，∴S
四边形AOPE
＝S
矩形DEFO
－S △AOD
－S △OPF ＝83－23－23＝4 3
1．(2016·泸州)如图，一次函数y ＝kx ＋b(k ＜0)与反比例函数y ＝m
x
的图象相交于A ，
B 两点，一次函数的图象与y 轴相交于点
C ，已知点A(4，1)．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)连接OB(O 是坐标原点)，若△BOC 的面积为3，求该一次函数的解析式．
解：(1)y ＝4
x (2)∵一次函数y ＝kx ＋b(k ＜0)经过点A(4，1)，∴4k ＋b ＝1，即b ＝1
－4k ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，y ＝kx ＋1－4k
得kx 2
＋(1－4k)x －4＝0，解得x ＝4或－1k ，∴点B(－1k
，－4k)，
又点C(0，1－4k)，而k ＜0，∴－1k ＞0，1－4k ＞0，∴S △BOC ＝12×(－1
k
)×(1－4k)＝3，∴k
＝－12，∴b ＝1－4k ＝3，∴该一次函数解析式为y ＝－1
2x ＋3
2．(2016·宁夏)如图，Rt △ABO 的顶点O 在坐标原点，点B 在x 轴上，∠ABO ＝90°，
∠AOB ＝30°，OB ＝23，反比例函数y ＝k
x
(x ＞0)的图象经过OA 的中点C ，交AB 于点D.
(1)求反比例函数的关系式；
(2)连接CD ，求四边形CDBO 的面积．
解：(1)∵∠ABO＝90°，∠AOB ＝30°，OB ＝23，∴AB ＝3
3
OB ＝2，作CE⊥OB 于E ，∵∠ABO ＝90°，∴CE ∥AB ，∵OC ＝AC ，∴OE ＝BE ＝12OB ＝3，CE ＝1
2
AB ＝1，∴C(3，1)，
可求反比例函数的关系式为y ＝
3
x
(2)∵OB＝23，∴点D 的横 坐标为23，代入y ＝
3x 得y ＝12，∴D(23，12)，∴BD ＝12，∵AB ＝2，∴AD ＝3
2
，∴S △ACD
＝12AD·BE＝12×32×3＝33
4，∴S 四边形CDBO
＝S △AOB －S △ACD ＝12OB·AB－334＝1
2
×23×2－
334＝53
4
1．(导学号 59042305)(2016·东营)如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于
点B ，与y 轴交于点A ，与反比例函数y ＝m
x
的图象在第二象限交于点C ，CE ⊥x 轴，垂足为
点E ，tan ∠ABO ＝1
2
，OB ＝4，OE ＝2.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点D 是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D 作DF⊥y 轴，垂足为点F ，连接OD ，BF ，如果S △BAF ＝4S △DFO ，求点D 的坐标．
解：(1)∵OB＝4，OE ＝2，∴BE ＝OB ＋OE ＝6.∵CE⊥x 轴，∴∠CEB ＝90°.在Rt △BEC
中，BE ＝6，tan ∠ABO ＝12，∴CE ＝BE·tan ∠ABO ＝6×1
2＝3，∴C(－2，3)，可求反比例函数
的解析式为y ＝－6
x
(2)∵点D 在反比例函数y ＝－6x 第四象限的图象上，∴设点D 的坐标为(n ，－6
n
)(n ＞
0)．在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，OB ＝4，tan ∠ABO ＝12，∴OA ＝OB ·tan ∠ABO ＝4×1
2
＝2.∵S
△BAF ＝12AF·OB＝12(OA ＋OF)·OB＝12(2＋6n )×4＝4＋
12n .∵点D 在反比例函数y ＝－6
x
第四象限的图象上，∴S △DFO ＝12×|－6|＝3.∵S △BAF ＝4S △DFO ，∴4＋12n ＝4×3，解得n ＝32，经检验n ＝
3
2
是分式方程的解，∴点D 的坐标为(3
2
，－4)
2．(导学号 59042306)(2016·莆田)如图，反比例函数y ＝k
x
(x ＞0)的图象与直线y ＝x
交于点M ，∠AMB ＝90°，其两边分别与两坐标轴的正半轴交于点A ，B ，四边形OAMB 的面积为6.
(1)求k 的值；
(2)点P 在反比例函数y ＝k
x
(x ＞0)的图象上，若点P 的横坐标为3，∠EPF ＝90°，其两
边分别与x 轴的正半轴，直线y ＝x 交于点E ，F ，问是否存在点E ，使得PE ＝PF ？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)过点M 作MC⊥x 轴于点C ，MD ⊥y 轴于点D ，则∠MCA＝∠MDB＝90°，∠AMC ＝∠BMD，MC ＝MD ，∴△AMC ≌△BMD ，∴S 四边形OCMD ＝S 四边形OAMB ＝6，∴k ＝6
(2)存在点E ，使得PE ＝PF.由题意得点P 的坐标为(3，2)，①过点P 作PG⊥x 轴于点G ，过点F 作FH ⊥PG 于点H ，交y 轴于点K ，∵∠PGE ＝∠FHP＝90°，∠EPG ＝∠PFH，PE ＝PF ，∴△PGE ≌△FHP ，∴PG ＝FH ＝2，FK ＝OK ＝3－2＝1，GE ＝HP ＝2－1＝1，∴OE ＝OG ＋GE ＝3＋1＝4，∴E(4，0)；②过点P 作PG⊥x 轴于点G ，过点F 作FH⊥PG 于点H ，交y 轴于点K ，∵∠PGE ＝∠FHP＝90°，∠EPG ＝∠PFH，PE ＝PF ，∴△PGE ≌△FHP ，∴PG ＝FH ＝2，FK ＝OK ＝3＋2＝5，GE ＝HP ＝5－2＝3，∴OE ＝OG ＋GE ＝3＋3＝6，∴E(6，0)．综上可知，点E 的坐标为(4，0)或(6，0)。