整体思想在解二元一次方程组中的应用
整体思想应用举例
整体思想应用举例在我们初一学习的《二元一次方程组》这一章中，整体思想有广泛的的应用.一、用于解方程组例1 解方程组⎩⎨⎧2002x+2003y=2001①2003x+2002y=2004②分析：如果选用代入法解答，比如由①得，x= 2001- 2003y 2002,再代入②，得 2003×（2001- 2003y 2002）+2002y=2004 解答起来十分麻烦.如果选用加减法，比如，①×2003- ②×2002，可以消去x ，得2003×2003y-2002×2002y=2001×2003- 2004×2002形式也很复杂，不易求解.注意到两个方程的系数正好对调这一特征，先将两方程相加，①+②，得4005x + 4005y = 4005化简，得 x+y=1 ③再将两方程相减，① - ②，得-x + y = - 3化简，得 x-y=3 ④由③、④组成方程组，得⎩⎨⎧x + y =1 ③x - y =3 ④对于这个方程组，不难解得⎩⎨⎧x = 2y = -1例2 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x+y-z=11①y+z-x=5 ②z+x-y=1 ③ 分析：注意到此方程组中的数据具有轮换特征，可将三个方程相加，①+②+③，得 x+y+z=17 ④④-①,得 z = 3;④-②,得 x = 6;④-③,得 y = 8.所以，原方程组的解为 ⎩⎪⎨⎪⎧x = 6y = 8z = 3 例3（1998年广东省中考题）如果关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧3x-ay = 162x+by = 15的解是⎩⎨⎧x=7y=1 ，那么关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧3(x+y)-a(x-y)=162(x+y)+b(x-y)=15的解是_____. 分析：如果把⎩⎨⎧x=7y=1 代入⎩⎨⎧3x-ay = 162x+by = 15 ，解出a 、b 的值，再代入⎩⎨⎧3(x+y)-a(x-y)=162(x+y)+b(x-y)=15，进而求解，虽然可行，但很繁琐。
整体思想在数学解决问题中的应用
整体思想在数学解决问题中的应用整体思想就是考虑数学问题时，不是着眼于它的局部特征，而是把注意和和着眼点放在问题的整体结构上，通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立但实质上又相互紧密联系着的量作为整体来处理的思想方法。
整体思想在处理数学问题时，有广泛的应用。
一、整体思想在代数式求值中的应用例1：m+n=2，mn=1，则 = ；思路：不用单独求m和n，而是把变成在把m+n和mn的值进行整体代入。
例2：已知 +x-1=0，则 = ；思路：不用单独求x值，而是 +x-1=0变化成2（ + x）-1=0得到 + x=进行整体代入。
二、整体思想在解方程（组）中的应用例1：若方程组的解是，则方程组的解是（）。
A． B． C． D．思路：把x+2和y-1看做一个整体，根据已知方程组的解，容易得到x+2=8.3，y-1=1.2，进而求得x和y的值。
例2：若二元一次方程组的解为则a-b=；思路：不用解方程求x和y，只需把方程组中两个方程相加，得到4x-4y=7，得到x-y的值，进而得到a-b的值。
三、整体思想在求线段长中的应用例1(河北2018中考)：如图，点为△ABC的内心，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为（）A.4.5B.4C.3D.2思路：阴影部分的周长可以凑成一个整体转化为线段AB的长。
例2：如图，某楼梯示意图，BC＝4米。
要在楼梯上铺设地毯，则地毯的长度大约为（）米。
(取1.73)思路：其实地毯的长度就是所有台阶的长度与高度的和，即AC+BC的长。
四、整体思想在求角度中的应用例1：如图，三个全等三角形按如图的形式摆放,则∠1+∠2+∠3的度数是( )。
A.90∘B.120∘C.135∘D.180∘思路：∠1+∠2+∠3的度数和看做一个整体去求。
可以利用平移的办法转化为一个平角，也可以用三个平角的和减去两个三角形的内角和。
五、整体思想在求面积中的应用例2：如图，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，半径都是1cm，则图中阴影部分的面积是( )cm²。
七年级数学下册102二元一次方程组的解法用整体思想解二元一次方程组素材青岛版.
用整体思想解二元一次方程组 解二元一次方程组主要是通过消元（代入消元法、加减消元法），化二元一次方程组为一元一次方程，然后求出二元一次方程组的解，在运用消元法解二元一次方程组时，还要注重整体思想的运用，以探求消元捷径，提高解题速度和准确性．一、代入消元法中的整体思想1、 直接整体代入例1 解方程组⎩⎨⎧=+=+531542153y x y x 分析：方程组中的系数成倍数关系，适宜把①中的整体代入②，先求出x 的值，再求出y 的值．解：由①得5y=21-3x ③把③代入②，得4x+3（21-3x ）=534x+63-9x=53，-5x=-10 x=2把x=2代入③，得5y=21-6 y=3∴原方程组的解是⎩⎨⎧==32y x2、 变形后整体代入例2 解方程组⎩⎨⎧=+=+876254y x y x 分析：由①得4x=2-5y ，把4x 看成整体代入②，式较简捷，解：由①得4x=2-5 ③把③代入②得2x+2-5y+7y=8，化简得x=3-y ④，把④代入①得4（3-y ）+5y=2，解得y=-10，把y=-10代入①得4x-50=2，解得x=13∴原方程组的解是⎩⎨⎧-==1013yx二、加减消元法中的整体思想3、 直接整体加减① ①例3 解方程组⎩⎨⎧=+=+11541378y x y x 分析：方程组中x 、y 的系数和相等，可以把两式相加减解：①+②得12x+12y=24，即x+y=2 ③①-②得4x+2y=2，即2x+y=1 ④④-③得x=-1，把x=-1代入③得y=3∴原方程组的解是⎩⎨⎧=-=31y x 4、 变形后整体加减例4 解方程组⎩⎨⎧+=++=--+yx y x y x y x 3153)(43)(3)(2分析：方程组中的系数成整数倍，②可以通过变形构造出x-y ，且x-y 的系数互为相反数，可以把两式相互加减解：由②得4（x+y ）+3（x-y ）=15 ③，①+③得x+y=3 ④，把④代入①，得x-y=1 ⑤④+⑤得x=2，④-⑤得y=1∴原方程组的解是⎩⎨⎧==12y x 三、由整体思想构造方程组例5 如果2x+3y+z=130，3x+5y+z=180，求z y x y x +++2的值．解：将x+2y 、x+y+z 看作整体，已知条件变形为解得⎩⎨⎧=++=+80502z y x y x 则z y x y x +++2=85① ①。
整体思想在初中数学中的应用-最新教育文档
整体思想在初中数学中的应用整体思想是初中数学中的一种严重思想，贯穿于初中数学教学的各个阶段，是解决好数学问题的一种严重策略.所谓整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法.整体思想涉及的形式较多，这里就通过整体思想在初中数学解题过程中的几种多见应用方法加以举例分析，让我们进一步感受、理解和掌握整体思想的解题技巧，以提高自己的解题能力.一、整体思想在求代数式的值中的应用例1：已知a-a-1=0，求a+2a+2012的值.分析：此题若先从已知条件a-a-1=0中解出a的值，然后代入代数式求解，尽管理论上是正确的，但解答相当麻烦且很困难.若注意到所求代数式与方程的关系，将a-a-1=0转化为a-a=1，再把a-a看做一个整体，用整体思想进行分析求解，则解题会变得简单、简易.解：∵a-a-1=0∴a-a=1∴a+2a+2012=a+a+（a+a）-a+2012=a（a+a）+（a+a）-a+2012=（a+a）（a+1）-a+2012=1×（a+1）-a+2012=2013例2：已知x=2时，ax+bx+cx-8=10.求当x=-2时，代数式ax+bx+cx-8的值.分析：由于ax+bx+cx中的x的指数均为奇数，故当x=2和x=-2时，它的值恰好互为相反数，从而可用整体代入的方法求得代数式的值.解：当x=2时，∵ax+bx+cx-8=10，∴32a+8b+2c=18.①当x=-2时，ax+bx+cx-8=（-2）a+（-2）b+（-2）c-8=-（32a+8b+2c）-8.将①式整体代入，得到-（32a+8b+2c）-8=-18-8=-26.故当x=2时，代数式ax+bx+cx-8的值为-26.二、整体思想在因式分解中的应用例3：因式分解：（a+2a+2）（a+2a+4）+1.分析：对于这类题目，学生很简易先做整式乘法，把式子（a+2a+2）（a+2a+4）+1展开后得到a+4a+10a+12a+9，要把这个多项式进行因式分解，就必须恰当地运用拆项和乘法公式，这是何等的困难.仔细观察可以发现式子中前一项的两个因式中都含有式子a+2a，如果我们把a+2a看成一个整体，展开后就可以得到一个关于a+2a的二次三项式，问题就迎刃而解了.解：（a+2a+2）（a+2a+4）+1=[（a+2a）+2][（a+2a）+4]+1=（a+2a）+4（a+2a）+2（a+2a）+8+1=（a+2a）+6（a+2a）+9=（a+2a+3）三、整体思想在解方程或方程组中的应用例4：解方程：（x-1）-5（x-1）+4=0.分析：如果我们去括号，整理后得到的将是关于x的高次方程x-7x+10=0，要直接解这个方程难度很大.这时我们可以将x-1视为一个整体，设x-1=y，运用整体思想来分析，就可以化难为易.解：设x-1=y，则原方程可化为y-5y+4=0解得y=1，y=4.当y=1时，x-1=1，解得x=±；当Y=4时，x-1=4，解得x=±.∴原方程的解为x=，x=-，x=，x=-.例5：解方程组：x+y=5 ①y+z=4 ②z+x=5 ③分析：解三元一次方程组的基本思路是消元，本题完全可以通过带入消元法或加减消元法将三元一次方程组转化为二元一次方程组来解，但这样比较麻烦.如果我们把三个式子相加，就可以得到x+y+z的值，再把x+y+z看成一个整体分别与方程组中的三个式子相减，就可以求得方程组的解.解：①+②+③，得2（x+y+z）=12 ④④-①，得z=9④-②，得x=8④-③，得y=7∴原方程组的解是x=8y=7z=9.四、整体思想在解应用题中的应用例6：若买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔2支，共需10元；若买铅笔9支，日记本7本，圆珠笔5支，共需25元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需多少元？分析：本题是要求购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需多少元.如果设铅笔每支x元，日记本每本y元，圆珠笔每支z元，需要有三个等量关系，才能列出三个方程分别求出x，y，z的值，但本应用题只有两个等量关系，只能列出两个方程，这就需要应用整体思想，直接求出的值.解：设铅笔每支x元，日记本每本y元，圆珠笔每支z元，依题意得：4x+3y+2z=10 ①9x+7y+5z=25 ②②-①，得5x+4y+3z=15 ③③-①，得x+y+z=5.答：购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需5元.五、整体思想在几何问题中的应用例6：在如图所示的星形图中，求∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的和.分析：显然，我们无法分别求出∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的度数，但仔细审题后可以发现，题目中并不是分别求出这五个角的值，而是要求“∠A+∠B+∠C+∠D+∠E”这一整体的值，因此我们可以利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，把这些角集中到一个三角形内，再利用三角形的内角和定理，就可以使问题得以解决.解：∠AMN，∠ANM分别是△MCE和△NBD的一个外角.∴∠AMN=∠C+∠E，∠ANM=∠B+∠D.在△AMN中，∠A+∠AMN+∠ANM=180°，∴∠A+∠C+∠E+∠B+∠D=180°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.通过举例，我们可以看出，整体思想在初中数学中的作用及严重性.在解答某些数学题时，若能用整体思想去考虑，把整体思想渗透到解题中去，就能做到有的放矢，提高数学思维能力及数学解题能力.。
二元一次方程组的解法相关问题
二元一次方程组的解法相关问题一、二元一次方程及方程组1、二元一次方程的概念：含有两个未知数（他们的系数不为0），且未知的最高次数为1 例：若,7523m 2=+--m n n y x 是关于x,y 的二元一次方程，则m= n=2、二元一次方程(组)的解是使等式成立的未知数的值，因此将解代入原方程（组）便可得到新的方程(组) 例：已知{12y ==x 是方程组{21ax =+=+ay bx by 的解，那么a,b 的值各是多少3、不定方程及解法：当未知数的个数多于方程的个数时，这样的方程称为不定方程，其解有无数个，但往往由于实际意义，使得他的解成为有限个，可以用枚举法解这类方程。
例：足球联赛得分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在4场比赛中共得了6分，这个队胜了几场，平了几场，负了几场。
练习：现有一张面值10元的人民币要换成1元和2元的零钱，则换法有 种小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？二、二元一次方程组的解及解法：解二元一次方程组的基本思想是消元，常用的消元方法有代入、加减消元。
利用方程组的特点灵活先择方法可使过程简便1、已知方程2(3y-3)=6x+4，用含x 的代数式表示y=2、解下列方程组 {)1(51x 25x 4-=+=-y y ）（ ⎩⎨⎧-=++=+-)1(42124)12(2x 3x yx y{323283a 2-=+=+b a b {)5(3)1(4)1(21-x 3+=--=x y y ）（3、整体思想的应用：①已知x=2时代数式61a 3的值为++bx x ,则x=-2时2ax 3-+bx =②关于x,y 的方程组{83272x 3=+=+y x y ，则x+y= ③{82342a =+=+b a b 则a+b=4、二元一次方程组的解满足满足特定条件问题：例：已知关于x,y 的方程组{m y x m y 9223x 4=-=+的解也是方程2x-3y=9的解,求m 的值练习：若方程组{8222x -=+=-m y x m y 的解x 与y 互为相反数，则m=若方程组{5132x =--=+y x a y 的解满足x+y=7，则a=5、方程组的同解问题：例：关于x,y 的方程组{{843x 222545x 3=--=+-=+=-by ax y by ax y 、有相同的解，则a,b 各为多少?练习：已知关于x,y 的方程组{2252x -=+=-by ax y 与方程组{6324ax =+=-y x by 有相同的解，求a,b 的值。
例谈解二元一次方程组中的数学思想方法
例谈解二元一次方程组中的数学思想方法成晓明解二元一次方程组的基本思想是消元，求解的主要方法是代入消元法和加减消元法.但是对于一些比较特殊的方程组，仅有这些方法是不够的，下面结合一些典型的例题进行分析，向同学们介绍几种解二元一次方程组常用的思想方法.一、转化思想例1解方程组5x+y=6，①3x-2y=1.②【解析】观察方程组中x、y的系数的特点，可以将方程①变形为y=6-5x③，然后将③代入②，消去y，得到关于x的一元一次方程，先求出x，进而再求出y的值.或者将方程①×2+②消去y，然后得到关于x的一元一次方程求解.例2解方程组7x-11y=7，①17x-13y=-7.②【解析】观察方程组中x、y的系数，既不简单，也不存在倍数关系，用代入消元法和加减消元法数据都相对复杂，再次观察系数，发现①+②可得24x-24y=0，化简得x=y③，再利用代入消元法求解就非常简单了.说明：转化思想就是将复杂的、陌生的问题转化为简单的、熟悉的问题进行求解，这是学习新知识、研究新问题的常用的基本方法.解二元一次方程组实际上就是通过“消元”（代入消元、加减消元）的手段化“二元”为“一元”.二、整体思想例3解方程组3x-2（x+2y）=3，①11x+4（x+2y）=45.②【解析】方程①和②中都含有（x+2y），可以将（x+2y）看作一个整体，①×2+②，从而消去（x+2y），达到消去y的目的.例4解方程组3x+2y-2=0，①■-2x=-3.②【解析】方程①和②中都含有（3x+2y），可以将（3x+2y）看作一个整体，把方程①变形为3x+2y=2③，然后将方程③代入方程②，从而消去（3x+2y），达到消去y的目的.说明：解数学题时，我们往往习惯于从问题的局部出发，将问题分解成若干个小问题，然后逐一解决.然而这种思考方法常常导致解题过程繁杂，运算量大.这时可将注意力和着眼点放在其问题的整体上，突出对问题整体结构的分析，发现问题的整体结构特征，找出整体与局部的有机联系，从整体上把握并解决问题，这就是整体思想.三、数形结合思想例5如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个长方形，求其中每一个小长方形的面积.【解析】图形中隐含着长和宽的两个关系：一是每块小长方形地砖的长是宽的3倍，二是长与宽的和为60厘米，由此可以设未知数并列方程求出地砖的长和宽，进而求出每一个小长方形的面积.例6小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的矩形，如图（1）所示.小红看见了，说：“我来试一试.”结果小红七拼八凑，拼成如图（2）那样的正方形.咳！怎么中间还留下了一个洞，恰好是边长为2mm的小正方形！你能求出小长方形的长和宽吗？【解析】本题中有两个未知量：长方形的长与宽，而小明和小红的两个拼图恰好给出了两个等量关系：图1中得到：长×3=宽×5，图2中得到：宽×2-长=2，由此可以设未知数并列方程求出长方形的长和宽，说明：数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化.几何问题代数化.上面所举的两例都是巧妙地运用拼图，建立起小长方形的长与宽的关系，将数与形有机结合起来，突破了用语言描述数量关系的常规，突出了数形结合思想的应用.四、类比思想例7已知方程组2x-3y=1，3x+5y=12.9的解是x=2.3，y=1.2.请你用较简便的方法解方程组2（a-1）-3（b+2）=1，3（a-1）+5（b+2）=12.9.【解析】如果将方程组2（a-1）-3（b+2）=1，3（a-1）+5（b+2）=12.9中的（a-1）、（b+2）看做是一个整体，那么a-1=x，b+2=y，因为方程组2x-3y=1，3x+5y=12.9的解是x=2.3，y=1.2.所以a-1=2.3，b+2=1.2.这样就可以求出方程组的解了.说明：在平时的数学学习中，经常发现在数学中有一些相类似的概念，可以利用类比法进行学习，类比思想其实就是知识的迁移，就是一类问题的解决方法对另一类问题的影响，在学习的过程中，我们应当注意迁移意识的培养.例8有同学在解方程组22x+27y=4，7x+9y=3时，采用了如下的解法：原方程组化为x+3（7x+9y）=4，①7x+9y=3.②将②代入①得x+3×3=4，所以x=-5，把x=-5代入②求得y=■，所以原方程组的解为x=-5，y=■.请你用这种方法解方程组3x+5y=2，①11x+20y=6.②【解析】方程②可以变形为4（3x+5y）-x=6③，然后把方程①代入方程③，这样就可以达到消去y的目的.说明：数学上的类比思想是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想.类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使知识的记忆变得自然和顺畅，从而可以激发起学习的创造力.五、换元思想例9解方程组4（x+y）-5（x-y）=2，■+■=6.【解析】设x+y=m，x-y=n，则原方程组可变形为关于m、n的方程组4m-5n=2，■+■=6.方程组形式较为简单，可以先求出m、n，再求出x、y.说明：换元法通过用一个字母表示一个整体的方法进行变量的替换，将问题进行转化，从而起到化繁为简、化难为易的目的.。
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整体思想在初中数学中的应用整体思想是初中数学中的一种重要思想，贯穿于初中数学教学的各个阶段，是解决好数学问题的一种重要策略.所谓整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法.整体思想涉及的形式较多，这里就通过整体思想在初中数学解题过程中的几种常见应用方法加以举例分析，让我们进一步感受、理解和掌握整体思想的解题技巧，以提高自己的解题能力.一、整体思想在求代数式的值中的应用例1：已知a-a-1=0，求a+2a+2012的值.分析：此题若先从已知条件a-a-1=0中解出a的值，然后代入代数式求解，尽管理论上是正确的，但解答相当麻烦且很困难.若注意到所求代数式与方程的关系，将a-a-1=0转化为a-a=1，再把a-a看做一个整体，用整体思想进行分析求解，则解题会变得简单、容易.解：∵a-a-1=0∴a-a=1∴a+2a+2012=a+a+（a+a）-a+2012=a（a+a）+（a+a）-a+2012=（a+a）（a+1）-a+2012=1×（a+1）-a+2012=2013例2：已知x=2时，ax+bx+cx-8=10.求当x=-2时，代数式ax+bx+cx-8的值.分析：由于ax+bx+cx中的x的指数均为奇数，故当x=2和x=-2时，它的值恰好互为相反数，从而可用整体代入的方法求得代数式的值.解：当x=2时，∵ax+bx+cx-8=10，∴32a+8b+2c=18.①当x=-2时，ax+bx+cx-8=（-2）a+（-2）b+（-2）c-8=-（32a+8b+2c）-8.将①式整体代入，得到-（32a+8b+2c）-8=-18-8=-26.故当x=2时，代数式ax+bx+cx-8的值为-26.二、整体思想在因式分解中的应用例3：因式分解：（a+2a+2）（a+2a+4）+1.分析：对于这类题目，学生很容易先做整式乘法，把式子（a+2a+2）（a+2a+4）+1展开后得到a+4a+10a+12a+9，要把这个多项式进行因式分解，就必须恰当地运用拆项和乘法公式，这是何等的困难.仔细观察可以发现式子中前一项的两个因式中都含有式子a+2a，如果我们把a+2a看成一个整体，展开后就可以得到一个关于a+2a的二次三项式，问题就迎刃而解了.解：（a+2a+2）（a+2a+4）+1=[（a+2a）+2][（a+2a）+4]+1=（a+2a）+4（a+2a）+2（a+2a）+8+1=（a+2a）+6（a+2a）+9=（a+2a+3）三、整体思想在解方程或方程组中的应用例4：解方程：（x-1）-5（x-1）+4=0.分析：如果我们去括号，整理后得到的将是关于x的高次方程x-7x+10=0，要直接解这个方程难度很大.这时我们可以将x-1视为一个整体，设x-1=y，运用整体思想来分析，就可以化难为易.解：设x-1=y，则原方程可化为y-5y+4=0解得y=1，y=4.当y=1时，x-1=1，解得x=±；当Y=4时，x-1=4，解得x=±.∴原方程的解为x=，x=-，x=，x=-.例5：解方程组：x+y=5 ①y+z=4 ②z+x=5 ③分析：解三元一次方程组的基本思路是消元，本题完全可以通过带入消元法或加减消元法将三元一次方程组转化为二元一次方程组来解，但这样比较麻烦.如果我们把三个式子相加，就可以得到x+y+z的值，再把x+y+z看成一个整体分别与方程组中的三个式子相减，就可以求得方程组的解.解：①+②+③，得2（x+y+z）=12 ④④-①，得z=9④-②，得x=8④-③，得y=7∴原方程组的解是x=8y=7z=9.四、整体思想在解应用题中的应用例6：若买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔2支，共需10元；若买铅笔9支，日记本7本，圆珠笔5支，共需25元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需多少元？分析：本题是要求购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需多少元.如果设铅笔每支x元，日记本每本y元，圆珠笔每支z元，需要有三个等量关系，才能列出三个方程分别求出x，y，z的值，但本应用题只有两个等量关系，只能列出两个方程，这就需要应用整体思想，直接求出的值.解：设铅笔每支x元，日记本每本y元，圆珠笔每支z元，依题意得：4x+3y+2z=10 ①9x+7y+5z=25 ②②-①，得5x+4y+3z=15 ③③-①，得x+y+z=5.答：购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需5元.五、整体思想在几何问题中的应用例6：在如图所示的星形图中，求∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的和.分析：显然，我们无法分别求出∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的度数，但仔细审题后可以发现，题目中并不是分别求出这五个角的值，而是要求“∠A+∠B+∠C+∠D+∠E”这一整体的值，因此我们可以利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，把这些角集中到一个三角形内，再利用三角形的内角和定理，就可以使问题得以解决.解：∠AMN，∠ANM分别是△MCE和△NBD的一个外角.∴∠AMN=∠C+∠E，∠ANM=∠B+∠D.在△AMN中，∠A+∠AMN+∠ANM=180°，∴∠A+∠C+∠E+∠B+∠D=180°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.通过举例，我们可以看出，整体思想在初中数学中的作用及重要性.在解答某些数学题时，若能用整体思想去考虑，把整体思想渗透到解题中去，就能做到有的放矢，提高数学思维能力及数学解题能力.。
7.2二元一次方程组的解法 第二课时 课件1
（2）求：求出含x（或含y）的一次式表示y（或x）； （3）代：代入另一个方程，得到一个一元一次方程； （4）计：计算出未知数的值；
（5）检：检验求得的解是否是方程组的解。
注意：第四步中，在求出一个未知数的值后，再求另 一个未知数的值，要选择计算最简单的一个方 程来代,即要“择简而代”。
5x+2y=1 2×2+3n=10
组，并与学习小组
把n（=22）代n入=252②xx+-3，6yy=得=41：0
的其他同学比一比， 看谁能最先求出x 的值？看谁的方法
3m+ 2×2=2 m=-2/3
最巧妙？
∴
m=-2/3 n=2
1、（1）方程5x-10y+15=0中，用x的一次式表示y，
得y=（
）；用y的一次式表示x，
x=
16-5y 3
（3） x/3+y/4=3
y= 36-4x 3
x=
36-3y 4
二元解你能方程组：
一次（1归纳）
x+3y=7 6x+5y=16
① ②
方用
解程：代由①得：x=7-3y ③
组 的
入法把③代入②，得：
一 解6（7-3y）+5y=16
般
y=2
步 把y=2代入③，得：
骤 吗 ？
x=7-3×2
2x+3y=7-x-2y
（2）
x:y=3:2 x-y=16
（3）
2x+y 3x-2y 3 = 8 =3
1、用代入法解二元一次方程组一般步骤： 一“选”二“求”三“代”四“计”五“检”。
2、整体思想在解二元一次方程组中的应用。
第07讲 专题3 一次方程(组)中整体思想的应用(解析版)七年级数学下册
第07讲专题3一次方程（组）中整体思想的应用类型一：不解方程（组）求式子的值类型二：利用整体代入法求方程组的解类型三：整体换元法求未知数的值类型一：不解方程（组）求式子的值1．已知x，y为二元一次方程组的解，则x﹣y＝1．【分析】两式相减即可得出答案．【解答】解：，②﹣①，得2x﹣2y＝2，则x﹣y＝1．故答案为：1．2．若，是关于x和y的二元一次方程mx+ny＝3的解，则2m﹣4n的值等于（）A．3B．6C．﹣1D．﹣2【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出m﹣2n＝3，把所求式子因式分解后代入计算即可．【解答】解：将代入方程mx+ny＝3得：m﹣2n＝3，∴2m﹣4n＝2（m﹣2n）＝2×3＝6．故选：B．3．若是二元一次方程ax+by＝﹣1的一个解，则3a﹣2b+2025的值为2024．【分析】先将方程的解代入方程ax+by＝﹣1，求出3a﹣2b＝﹣1，再整体代入求值即可．【解答】解：将代入方程ax+by＝﹣1可得，3a﹣2b＝﹣1，∴原式＝﹣1+2025＝2024；故答案为：2024．4．已知是方程mx+ny＝5的解，则代数式4m+6n﹣1的值为9．【分析】把代入方程mx+ny＝5得出2m+3n＝5，变形后代入，即可求出答案．【解答】解：把代入方程mx+ny＝5得：2m+3n＝5，所以4m+6n﹣1＝2（2m+3n）﹣1＝2×5﹣1＝9．故答案为：9．5．如果是方程2x﹣3y＝2020的一组解，那么代数式2024﹣2m+3n＝4．【分析】先根据方程解的定义求出2m﹣3n的值，再整体代入求值．【解答】解：∵是方程2x﹣3y＝2020的一组解，∴2m﹣3n＝2020．∴代数式2024﹣2m+3n＝2024﹣（2m﹣3n）＝2024﹣2020＝4．故答案为：4．6．若是二元一次方程ax+by＝﹣1的一个解，则3a﹣2b的值为﹣1．【分析】把解代入二元一次方程中，可得结论．【解答】解：∵是二元一次方程ax+by＝﹣1的一个解，∴3a﹣2b＝﹣1．故答案为：﹣1．7．已知x、y是二元一次方程组的解，那么x﹣y的值是（）A．2B．﹣2C．3D．﹣3【分析】将方程两式相加得，4x﹣4y＝8，即可求出答案．【解答】解：将方程两式相加得，4x﹣4y＝8，∴x﹣y＝2，故选：A．8．已知x、y满足方程组，则x+y的值为（）A．﹣4B．4C．﹣2D．2【分析】直接把两式相加即可得出结论．【解答】解：，①+②得，4x+4y＝16，解得x+y＝4．故选：B．9．已知二元一次方程组，则m+n的值是（）A．9B．3C．﹣3D．﹣9【分析】②﹣①得：m+n＝3．【解答】解：，②﹣①得：m+n＝3．故选：B．10．如果关于x，y的方程组与的解相同，则a+b的值为（）A．1B．2C．﹣1D．0【分析】把代入方程组，得到一个关于a，b的方程组，将方程组的两个方程左右两边分别相加，整理即可得出a+b的值．【解答】解：把代入方程组，得：，①+②，得：7（a+b）＝7，则a+b＝1．故选：A．类型二：利用整体代入法求方程组的解11．解方程组：．【分析】方程组利用代入消元法求解即可．【解答】解：，由①得x＝3y﹣1③，把③代入②，得6y﹣y＝10，解得y＝2，把y＝2代入③，解得x＝5，∴．12．解方程组时，可把①代入②得：3×8+4y＝20，求得y＝﹣1，从而进一步求得这种解法为“整体代入法“，请用这样的方法解下列方程组．【分析】利用整体代入法的求解方法进行解答即可．【解答】解：，把①代入②得：3×12+5y＝26，解得y＝﹣2，把y＝﹣2代入①得：2x+6＝12，解得x＝3，故原方程组的解是：．13．阅读以下材料：解方程组：；小亮在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下：解：由①得x﹣y＝1③，将③代入②得：（1）请你替小亮补全完整的解题过程；（2）请你用这种方法解方程组：．【分析】（1）利用整体代入法进行求解即可；（2）利用整体代入法进行求解即可．【解答】解：（1）由①得x﹣y＝1③，将③代入②得：4×1﹣y＝0，解得y＝4，把y＝4代入①得：x﹣4﹣1＝0，解得x＝5，故原方程组的解是：；（2），整理得：，把③代入④得：2×2+1+15y＝50，解得y＝3，把y＝3代入①得：3x﹣3﹣2＝0，解得x＝，故原方程组的解是：．14．先阅读材料，然后解方程组：材料：解方程组在本题中，先将x+y看作一个整体，将①整体代入②，得3×4+y＝14，解得y＝2．把y＝2代入①得x＝2，所以这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此法解答，请用这种方法解方程组．【分析】根据阅读材料中的方法求出方程组的解即可．【解答】解：由①得：x﹣y＝1③，把③代入②得：4﹣y＝5，即y＝﹣1，把y＝﹣1代入③得：x＝0，则方程组的解为．15．整体代入就是把某些部分看成一个整体，则能使复杂的问题简单化．例如在解方程组时，把①变形：x﹣y＝1③，把③代入②中，求得x＝0，y＝1；利用整体代入思想，已知，则x2+4y2＝17．【分析】将x﹣y＝1代入4（x﹣y）﹣y＝5即可求得x，y的值；给2x2+xy+8y2＝36两边同乘以2得到方程③4x2+2xy+16y2＝72，然后方程①3x2﹣2xy+12y2＝47加方程③4x2+2xy+16y2＝72即可解答．【解答】解：把x﹣y＝1代入4（x﹣y）﹣y＝5，解得y＝﹣1，∴x＝0，故答案为：0，1；，②×2得：4x2+2xy+16y2＝72③，③+①得：4x2+2xy+16y2+3x2﹣2xy+12y2＝47+72，∴7x2+28y2＝119，∴7（x2+4y2）＝119，∴x2+4y2＝17，故答案为：17．16．阅读材料：小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”解法：解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5…③，把方程①代入③得：2×3+y＝5即y＝﹣1，把y＝﹣1代入方程①，得x＝4，所以方程组的解为．请你解决以下问题（1）模仿小强同学的“整体代换”法解方程组；（2）已知x，y满足方程组；（i）求xy的值；（ii）求出这个方程组的所有整数解．【分析】（1）把3x+5y看做一个整体，求出3x+5y的值，进而可得出结论；（2）将①代入方程②求出xy的值，再由x与y是整数求出符合条件的x，y的对应值即可．【解答】解：（1），将方程②变形：6x+10y+y＝35，即2（3x+5y）+y＝35③，把方程①代入③得：2×16+y＝35，解得y＝3，把y＝3代入方程①，得，所以方程组的解为；（2）（i）原方程组化为，将①代入方程②得：72+7xy＝51，∴xy＝﹣3；（ii）由（i）得xy＝﹣3，∵x与y是整数，∴或或或，由（i）可求得2x2+3y2＝21，∴和符合题意，故原方程组的所有整数解是或．类型三：整体换元法求未知数的值17．用换元法解方程组，如果，那么原方程组化为关于u、v的方程组是．【分析】结合已知条件，利用换元法将原二元一次方程组进行换元即可．【解答】解：已知，设＝u，＝v，那么原方程组化为：，故答案为：．18．解方程组．【分析】先把方程组化简后，再用适当的方法进行求解．【解答】解：原方程组可化为：，（2）×5+（1）得：46y＝46，y＝1，把y＝1代入（1）得：x＝7．∴．19．关于x，y的方程组（其中a，b是常数）的解为，则方程组的解为（）A．B．C．D．【分析】由原方程组的解及两方程组的特点知，x+y、x﹣y分别相当于原方程组中的x、y，据此列出方程组，解之可得．【解答】解：由题意知，，①+②，得：2x＝7，x＝3.5，①﹣②，得：2y＝﹣1，y＝﹣0.5，所以方程组的解为，故选：C．20．阅读材料，解答问题：材料：解方程组，我们可以设x+y＝a，x﹣y＝b，则原方程组可以变形为，解得，将a、b转化为，再解这个方程组得．这种解方程的过程，就是把某个式子看作一个整体，用一个字母代替他，这种解方程组得方法叫做换元法．请用换元法解方程组：．【分析】设x+y＝a，x﹣y＝b，则原方程组可以变形为，用加减消元法解得，再解方程组即可求解．【解答】解：设x+y＝a，x﹣y＝b，则原方程组可以变形为，用加减消元法解得，再将a、b转化为，解得．21．阅读下列材料，解答问题：材料：解方程组，若设x+y＝m，x﹣y＝n，则原方程组可变形为，用加减消元法得，所以，在解这个方程组得，由此可以看出，上述解方程组过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把解这个方程组的方法叫换元法．问题：请你用上述方法解方程组．【分析】设x+y＝A，x﹣y＝B，方程变形后，利用加减消元法求出A与B的值，进而确定出x与y的值即可．【解答】解：设x+y＝A，x﹣y＝B，方程组变形得：，整理得：，①×3﹣②×2得：5A＝﹣50，即A＝﹣10，把A＝﹣10代入①得：B＝﹣15，∴，解得：．22．阅读探索：材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下：解：设a﹣1＝x，b+2＝y，原方程组可化为，解得，即，解得．材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：解：将方程②8x+20y+2y＝10，变形为2（4x+10y）+2y＝10③，把方程①代入③得，2×6+2y＝10，则y＝﹣1；把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程组的解为：．根据上述材料，解决下列问题：（1）运用换元法解求关于a，b的方程组：的解；（2）若关于x，y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解．（3）已知x、y、z，满足，试求z的值．【分析】（1）用换元法替换和，解方程组即可；（2）用换元法替换5（m﹣3）和3（n+2），根据已知条件解方程组即可；（3）仿照题意将方程①变形为，然后把将方程②代入③得到关于z的方程，解方程即可．【解答】解：（1）设，，∴原方程可以化为，用②﹣①×2得：﹣3y＝﹣3，解得y＝1，把y＝1代入到①得：x+2＝4，解得x＝2，∴方程组的解为，即，解得，∴原方程组的解为；（2）解：设，则方程化为：，即，解得；（3）解：将方程①3x﹣2z+12y＝47，变形为，将方程②代入③得：，解得z＝2．。
用整体思想解题举例-
用整体思想解题举例用整体思想法解数学题，就是把一些看似彼此独立而实质是紧密相联的量看成一个整体去设元、列式、变形、消元、代入或求值等。
这样做，不仅可以摆脱固定模式的束缚，使复杂的问题变得简单，陌生的问题变得熟悉，还往往可以解决按常规方法解决不了的一些问题。
例1 分解因式()()x x x x 22535121+-++-分析：若把两个二次三项式()x x 253+-与()x x 251++相乘，则将得到一个四次多项式，这时再分解因式就十分困难。
但若把x x 253+-（或x x 25+）视为一个整体，即把x x 253+-看成一个新变元t ，原式就变形为关于t 的二次多项式，问题就容易解决了。
解：设x x t 253+-=，则x x t 2514++=+原式=+-=+-=+-t t t t t t ()()()421421732再将t x x =+-253代入上式原式=+-++--()()x x x x 22537533 =+++-=+++-()()()()()()x x x x x x x x 2254561461 说明：由上例可以看出，对某些多项式的因式分解，如果前一项的两个因式中只是常数项不同，则可将它们中的相同部分看成一个整体，用换元法可以降次，简化解题过程。
例2 解方程()x x x x -+--=151602解：设x x m -=1，则原方程可变为m x 2560+-= 解得m 16=-，m 21= 当x x -=-16时，解得x =67；当x x -=11时无解 经检验，x =67是原方程的解。
说明：本题是把x x -1看成一个整体，恰当换元，才能化繁就简。
例3 计算()()()(1213120051121312004112131200512+++++++-++++⋅+ 1312004++ ) 解：设a =++++1121312005，则 原式=-----()()()a a a a 112005112005 =--+-++=a a a a a a 22200512005200512005说明：这是一类规律探索型问题，看似复杂吓人，若掌握了整体换元思想，并不难解。
整体代入法解二元一次方程组例题
整体代入法是一种解二元一次方程组的常用方法，其基本思想是将一个方程中的一个变量表示为另一个方程中的变量的函数，然后将其带入另一个方程，从而得到只含有一个变量的方程，进而求解。
下面给出一个例题来说明整体代入法的应用：
解方程组：
(1) 2x - 3y = 7
(2) 4x + 5y = 1
首先，我们可以将方程(1) 中的x 表示为方程(2) 中的y 的函数。
观察方程(1) 的系数为2 和-3，而方程(2) 的系数为 4 和5。
接下来按照整体代入法的步骤进行解题：
步骤1：将方程(1) 中的x 表示为方程(2) 中的y 的函数。
由方程(1) 得：x = (7 + 3y) / 2
步骤2：将x 的表达式代入方程(2)。
4( (7 + 3y) / 2 ) + 5y = 1
步骤3：化简方程，求解y。
( 28 + 12y + 10y ) / 2 = 1
28 + 22y = 2
22y = 2 - 28
22y = -26
y = -26 / 22
y = -13/11
步骤4：将求得的y 的值代入方程(1)，求解x。
2x - 3(-13/11) = 7
2x + 39/11 = 7
2x = 7 - 39/11
2x = 77/11 - 39/11
2x = 38/11
x = 38/11 * (1/2)
x = 19/11
因此，原方程组的解为x = 19/11，y = -13/11。
通过整体代入法，我们可以求得二元一次方程组的解。
需要注意的是，如果方程组中的方程较复杂或系数较大，整体代入法可能会导致计算过程繁琐，此时可以考虑其他解方方法。
人教版七年级数学下册《消元——解二元一次方程组(第6课时)》示范教学设计
消元——解二元一次方程组（第6课时）教学目标1．能观察方程组的系数特点，根据方程组的整体特征，选择解决问题的最优方法．2．能利用二元一次方程组解决其他的数学问题．3．经历观察和分析选择解决问题的最优方法的过程，培养逻辑思维能力和推理能力．教学重点会对方程组的整体特征进行分析，选择最优解决方法．教学难点消元法解二元一次方程组的灵活应用．教学过程知识回顾1．消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，就可将二元一次方程组转化为一元一次方程．可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想．2．代入法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法．3．加减法：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．4．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”你能用二元一次方程组表示题中的数量关系吗？请选择你认为简便的方法解决这个问题．【师生活动】学生独立完成，小组交流，对各种方法进行比较．【答案】解：设笼中有鸡x只、兔y只．根据题意，得35 2494 x yx y+=⎧⎨+=⎩，．由①，得x＝35－y．③把③代入②，得2(35－y)＋4y＝94，解得y＝12．把y＝12代入③，得x＝23．所以这个方程组的解为2312 xy=⎧⎨=⎩，．答：笼中有鸡23只、兔12只．【设计意图】复习消元解二元一次方程组的相关知识，巩固基础，引出本节课学习的“消元解二元一次方程组的灵活应用”．新知探究类型一、整体思想在解方程组中的应用【问题】1．用适当的方法解方程组：3()4()4126x y x yx y x y+--=+-+=⎧⎪⎨⎪⎩，①．②【师生活动】教师给出分析，学生根据分析独立思考，师生一起总结．【分析】解题的关键是利用整体思想把x＋y和x－y分别看成整体进行消元，先求x ＋y，x－y的值，再求x，y的值．【答案】解：②×6，得3(x＋y)＋(x－y)＝6．③③－①，得5(x－y)＝2，即x－y＝25．把x－y＝25代入①，得x＋y＝2815．解方程组281525x yx y⎧⎪⎪⎨+=-⎪⎪=⎩，，得17151115xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，．所以原方程组的解为17151115 xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，．【归纳】利用整体思想解二元一次方程组的步骤第1步：找准“整体”，从已知方程组中找到可以作为整体的式子；第2步：正确变形，求解整体，把方程组看作以选定的“整体”为未知数的二元一次方程组，并求解；第3步：求原方程组的解，此时得到的解并不是原方程组的解，需根据选择的“整体”进一步求出原方程组中未知数的值．【设计意图】通过解答本题，让学生知道对于解系数有规律的二元一次方程，除了常用的代入法、加减法，还可以用整体思想解二元一次方程组．【问题】2．已知方程组23133530.9a ba b-=⎧⎨+=⎩，的解为8.31.2ab=⎧⎨=⎩，．求方程组2(2)3(1)133(2)5(1)30.9x yx y+--=⎧⎨++-=⎩，的解．【师生活动】教师引导学生观察已知方程组和所求方程组的结构特征，找出“整体”，学生小组讨论，完成作答．【答案】解：把(x＋2)和(y－1)分别看成整体A，B，则所求的方程组可转化为2313 3530.9A BA B-=⎧⎨+=⎩，．因为方程组23133530.9a ba b-=⎧⎨+=⎩，的解为8.31.2ab=⎧⎨=⎩，，所以8.31.2AB=⎧⎨=⎩，， 即28.31 1.2xy+=⎧⎨-=⎩，，解得6.32.2 xy=⎧⎨=⎩，．所以原方程组的解为6.32.2 xy=⎧⎨=⎩，．【设计意图】通过解答本题，让学生意识到，运用整体思想解二元一次方程组的前提是方程组中每一个方程都有相同结构的式子，培养学生的逻辑思维能力和推理能力．类型二、系数成对称关系的二元一次方程组的解法【问题】3．解方程组：121337 131238x yx y⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，①．②【师生活动】教师引导学生观察x与y的系数的关系，学生小组讨论，完成作答．【分析】若方程组中两个方程的x与y的系数成对称关系，则先把两个方程相加和相减，转化为关于x＋y，x－y的方程组，再利用加减消元法求解．【答案】解：①＋②，得25x＋25y＝75，即x＋y＝3．③②－①，得x－y＝1．④将③④联立，得31 x yx y+=⎧⎨-=⎩，，解得21 xy=⎧⎨=⎩，．所以原方程组的解为21 xy=⎧⎨=⎩，．【归纳】对于系数成对称关系的二元一次方程组，通过两方程加减重新构造方程组解答比较简单，也可直接用加减消元法或代入消元法求解，但过程比较烦琐．【设计意图】通过解答本题，让学生知道对于解未知数系数较大，且系数有规律的二元一次方程，可以通过两方程加减重新构造方程组解答，让学生逐步积累解二元一次方程组的经验，提高选择能力．类型三、利用二元一次方程组求代数式的值【问题】4．已知32xy=⎧⎨=-⎩，是关于x，y的二元一次方程组37ax bybx ay+=⎧⎨+=-⎩，的解，则代数式(a＋b)(a－b)的值为____________．【师生活动】学生独立思考作答，教师讲评总结．【答案】－8【解析】把32xy=⎧⎨=-⎩，代入方程组，得323327a bb a⎧-=⎪⎨-=-⎪⎩，①．②由①＋②，得a＋b＝－4．由①－②，得5a－5b＝10，即a－b＝2．所以(a＋b)(a－b)＝－4×2＝－8．【归纳】已知二元一次方程组求关于未知数的式子的值时，有时不必解方程组，可将所求式子看作一个整体，利用方程组中两个方程之间的相关运算直接求出式子的值．【设计意图】通过解答本题，让学生学会利用二元一次方程组求代数式的值，进一步体会整体思想．【问题】5．若x，y的值满足方程组32452335x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，则1x＋1y＝_____，1x－1y＝_____．【师生活动】学生独立完成，一名学生板演，教师讲评．【答案】1610【解析】32452335x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，①．②由①＋②，得5x＋5y＝80，则1x＋1y＝16．由①－②，得1x－1y＝10．类型四、同解方程组的应用【问题】6．已知关于x，y的方程组354522x yax by-=⎧⎨+=-⎩，和2348x yax by+=-⎧⎨-=⎩，有相同的解，求(－a)b的值．【师生活动】学生小组讨论，尝试解答，教师给予帮助．【分析】因为两个方程组有相同的解，所以只要将两个方程组中不含有a，b的两个方程联立，组成新的方程组，求出x和y的值，再将x，y的值代入含有a，b的两个方程中，解关于a，b的方程组即可得出a，b的值，进而可求得(－a)b的值．【答案】解：因为两方程组有相同的解，所以原方程组可化为①35234x yx y-=⎧⎨+=-⎩，；②45228ax byax by+=-⎧⎨-=⎩，．解方程组①，得12 xy=⎧⎨=-⎩，．代入方程组②，得4102228a ba b-=-⎧⎨+=⎩，，解得23 ab==⎧⎨⎩，．所以(－a)b＝(－2)3＝－8．【问题】7．若关于x，y的方程组239x y mx y m+-=⎩=⎧⎨，的解也是方程3x＋2y＝17的一个解，求m的值．【师生活动】教师提示：一个二元一次方程组和一个方程同解可以理解为三个方程有相同的解．学生根据提示独立完成，教师给出答案．【答案】解：方法1：239x y mx y m⎧⎪⎨⎪⎩+=-=，①，②①－②，得3y＝－6m，即y＝－2m．把y＝－2m代入①，得x－4m＝3m，所以x＝7m．把x＝7m，y＝－2m代入3x＋2y＝17，得21m－4m＝17，解得m＝1．方法2：239x y mx y m⎧⎪⎨⎪⎩+=-=，①，②①×3－②，得2x＋7y＝0．联立2x＋7y＝0与3x＋2y＝17，得方程组270 3217 x yx y+=⎧⎨+=⎩，，解这个方程组，得72 xy=⎧⎨=-⎩，．把72xy=⎧⎨=-⎩，代入①，得7－4＝3m，解得m＝1．【归纳】利用同解方程（组）求字母参数的方法当几个二元一次方程有公共解或两个二元一次方程组同解时，可利用两个不含有字母参数或通过运算可将字母参数消去的二元一次方程组成新的方程组，并求出新方程组的解，然后利用这个解得到关于字母参数的方程（组），解方程（组）进而求得字母参数的值．【设计意图】通过解答6～7题，让学生知道如何用同解方程求字母参数．类型五、有关二元一次方程组的新题型【问题】8．定义一种运算“◎”，规定x◎y＝ax－by，a，b为常数，且2◎3＝6，4◎2＝8，则a＋b的值是__________．【师生活动】师生一起分析题目，完成作答．【答案】1 2【解析】因为x◎y＝ax－by．所以2◎3＝2a－3b＝6，4◎2＝4a－2b＝8，即236 428 a ba b-=-⎧⎨=⎩，．解得321 ab⎧=⎪⎨⎪=-⎩，．所以a＋b＝12．【设计意图】通过对此题进行解答，让学生知道解有关二元一次方程组的新题型的一般步骤：先弄清题目所给的解题方法，再按照题目所给的方法进行解题．课堂小结板书设计一、整体思想在解方程组中的应用二、系数成对称关系的二元一次方程组的解法三、利用二元一次方程组求代数式的值四、同解方程（组）的应用五、有关二元一次方程组的新题型课后任务完成教材第97页习题8.2第1～4题．。
整体代入法解二元一次方程组
整体代入法解二元一次方程组整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理。
整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程(组)、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。
整体思想，方程思想及例题含答案1.解方程组：3132 325 x y x y=-⎧⎨-=⎩2.解方程组：32 3211 x yx y-=⎧⎨+=⎩3.解方程组：3521 41553 x yx y+=⎧⎨+=⎩4．阅读材料：善于思考的小军在解方程组2534115x y x y +=⎧⎨+=⎩①②时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形：4105x y y ++=，即2(25)5x y y ++=③ 把方程①带入③得：235y ⨯+=，1y ∴=-，所以1y =-代入①得4x =，∴方程组的解为41x y =⎧⎨=-⎩， 请你解决以下问题：(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组3259419x y x y -=⎧⎨-=⎩①②， (2)已知x ，y 满足方程组22223212472836x xy y x xy y ⎧-+=⎨++=⎩①②，求224x y +的值22x y xy +和的值．5.方程组3211439a b a b -=⎧⎨+=⎩的解为=31a b ⎧⎨=-⎩，则由3()2()114()3()9x y x y x y x y +--=⎧⎨++-=⎩可以得出 x y +=， x y +=，从而得出 .x y =⎧⎨=⎩6.．(1)解方程2416,52 4.x y x y +=⎧⎨-=⎩(2)在(1)的基础上，求方程组2()4()16,5()2() 4.m n m n m n m n ++-=⎧⎨+--=⎩的解．。
解二元一次方程组与数学思想同行
的解是 n 1 请你用合理的方法求关于x、y的二元
一次方程组(2) 3(x y) a(x y) 16 的解
2(x y) b(x y) 15
类型之三 方程思想 1．已知 3xab y3 与 2xy3ab 是同类项，求a，b的值．
2、若3x2m5n9 4y4m2n7 2是二元一次方程,求 (n 1)m2016 的值．
解二元一次方程组与数学 思想同行
薛忠强 郑州市第七十三中学
学习目标
• 1. 学生学会熟练解二元一次方程组 • 2.通过练习不同类型的二元一次方程组，能够总结一些数学思想
方法 • 3体会数学思想方法对解题的指导作用
类型之一 整体思想 1．若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15， 求x＋y＋z的值．
2．已知方程组
6x 2x
8y 33 y6
求x＋y的值．
类型之二 换元思想 1．解方程组：
2(x
3
y)
x
4
y
7 4
3(x y) 2(x y) 3
2、如果关于m，n的二元一次方程组(Ⅰ)
m 7
3m an 16 2m bn 15
小结：解二元一次方程组常用的思想
• 一、整体思想 • 二、换元思想 • 三、方程思想 • 四、数形结合思想 • 五、函数思想
作业：
• 教材课本113页 习题5.3
25初中数学七年级下册 二元一次方程组解法(一)--代入法(提高) 知识讲解
4.已知
2x ax
5y by
6 4
① ②
和方程组
3x bx
5y ay
16 8
③ ④ 的解相同，求 (2a b)2011 的
值．
【思路点拨】两个方程组有相同的解，这个解是 2x+5y＝-6 和 3x-5y＝16 的解．由于这两个
方程的系数都已知，故可联立在一起，求出 x、y 的值．再将 x、y 的值代入 ax-by＝-4，bx+ay
4/5
【答案】 解：把
代入 cx﹣3y=﹣2，得 c+3=﹣2，
解得：c=﹣5，
把
与
分别代入 ax+by=2，得
，
解得：
，
则 a+b+c=2 + ﹣5=3﹣5=﹣2．
5/5
＝-8 中建立关于 a、b 的方程组即可求出 a、b 的值．
【答案与解析】
2x 5y 6 ①
解：依题意联立方程组 3x 5y 16
③
①+③得 5x＝10，解得 x＝2．
把
x＝2
代入①得：2×2+5y＝-6，解得
y
，
又联立方程组
ax bx
by ay
4 8
，则有
2a 2b 4 2a 2b 8
2.消元的基本思路：未知数由多变少. 3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程. 要点二、代入消元法 通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元 法，简称代入法． 要点诠释： (1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未 知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的． (2)代入消元法的技巧是： ①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解； ②若方程组中有未知数的系数为 1(或-1)的方程．则选择系数为 1(或-1)的方程进行变形 比较简便； (3)若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是 1 或-1，选系数的绝对值较小的方程变形 比较简便．
二元一次方程组的解法
二元一次方程组的解法（一）一、教学目标1、初步学会用代入法解简单的二元一次方程组。
2、通过探求二元一次方程组的解法，经历把“二元”转化为“一元”的过程，从而初步体会“消元”的思想，以及化“未知”为“已知”，化复杂问题为简单问题的化归思想。
3、体验二元一次方程组与客观世界、周围生活之间的密切联系，认识它作为一种数学模型在解决实际问题中的作用。
二教学重点与难点探求二元一次方程组的解法。
三、教学过程1、创设兴趣情境：举世瞩目的2010年世界博览会举办国，2002年12月3日在摩纳哥蒙特卡洛揭晓，经过国际展览局第132 次成员国大会投票表决，中国上海市成功地获得了2010年上海世界博览会的举办权。
喜讯传来，全国亿万群众彻夜难眠，人们聚集在南京路上，伴随着歌声，人们传递着一面周长为36米的巨幅五星红旗，也传递着对世博会的欢迎和祝福。
这幅五星红旗的长比宽多2米，你能算出这幅五星红旗的长和宽各是多少米吗？你能设两个未知数，用二元一次方程组来解吗？让学生自己列出一元一次方程并求解：2、趣味题：绿魔与红魔：绿魔队与红魔队球迷举行联欢活动，绿魔队员脸上涂绿油彩，红魔队员脸上涂红油彩，每个绿魔队员看见涂红色的人数是涂绿色的人数的2倍，而每个红魔队员看见涂绿色的人数是涂红色的人数的3/5，问绿魔、红魔队各有几人？四、课堂小结：1、用代入法解二元一次方程组的一般步骤：一“选”二“求”三“代”四“计”五“检”。
2、整体思想在解二元一次方程组中的应用。
五、作业：见配套练习册学生分析、观察方程组的结构特点：方程组中同一未知数系数的绝对值相等。
由学生共同完成解答。
六、综合反思1、议一议：下列方程组中先消去哪个未知数较简单，怎样消?2、做一做用加减法解下列方程组：课堂设计说明在学习加减法解题之前，学生已学会用代入法解二元一次方程组，其核心是代入“消元”，将二元方程转化为一元方程求解。
因此，本节课是从提出问题，“除了代入可…消元‟，是否还有其它方法可达到…消元‟目的”入手的。
专题4-1 二元一次方程组(考题猜想,六种特殊解法)解析版-24学年7下数学期末考点大串讲(人教版)
专题4-1二元一次方程组（考题猜想，六种特殊解法）解法1：用整体代入法解二元一次方程组【例题1】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）阅读以下材料：解方程组()1045x y x y y --=⎧⎪⎨--=⎪⎩①②，由①得1x y -=③，把③代入②，得415y ⨯-=，解得1y =-，把1y =-代入③得0x =．∴01x y =⎧⎨=-⎩，这种解法称为“整体代入法”．请你用这种方法解方程组：310622243x y x y y -+=⎧⎪⎨-++=⎪①②．∴132x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩【变式1】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）先阅读材料，然后解方程组．材料：解方程组：()2034x y x y y +-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩①②，由①，得2x y +=．③把③代入②，得324y ⨯-=，解得2y =．把2y =代入③，得0x =．∴原方程组的解为02x y =⎧⎨=⎩；这种方法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组：321032526x y x y y --=⎧⎪⎨-++=⎪①②．∴原方程组的解为11x y =⎧⎨=⎩【变式2】（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）材料：解方程组()4314x y x y y +=⎧⎪⎨++=⎪⎩①②将①整体代入②，得3414y ⨯+=，解得2y =，把2y =代入①，得2x =，所以22x y =⎧⎨=⎩这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请解方程组104()5x y x y y --=⎧⎨--=⎩①②【答案】01x y =⎧⎨=-⎩【分析】本题考查解二元一次方程组．理解并掌握整体代入法解方程组，是解题的关键．利用整体代入法解方程组即可．【详解】解：由①得：1x y -=③，将③代入②得：415y ⨯-=，解得：1y =-，将1y =-代入①得：()110x ---=，解得：0x =，∴方程组104()5x y x y y --=⎧⎨--=⎩①②的解为01x y =⎧⎨=-⎩【变式3】2023七年级上·全国·专题练习）解方程组2320523297x y x y y -+=⎧⎪-+⎨+=⎪故原方程组的解为54 xy=⎧⎨=⎩解法2：用特殊消元法解二元一次方程组类型1：方程组中两未知数系数之差的绝对值相等【例题2】（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于x，y的方程组3242x y kx y k+=+⎧⎨-=⎩(1)若方程组的解互为相反数，求k的值(2)若方程组的解满足方程310x y+=，求k的值．代入②得：321k -⨯=，∴1k =【变式1】（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）解下列方程或方程组(1)()()4320679x x x x --=--(2)1226x x x +-=-(3)2354210x y x y +=⎧⎨--=⎩①②所以原方程组的解为1698x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【变式2】（2024·广东肇庆·一模）解二元一次方程组225x y x y +=⎧⎨-=⎩．【答案】41x y =⎧⎨=-⎩【分析】用加减消元法解方程组即可；【详解】()()22,15,2x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解：(1)(2)-得33y =-，解得1y =-．将1y =-代入（1）得4x =．所以该方程组的解为4,1.x y =⎧⎨=-⎩【变式3】（23-24八年级上·山东济南·期末）解下列方程组：(1)248x y x y -=⎧⎨+=⎩；(2)422237x y x y -=⎧⎨+=-⎩．类型2：方程组中两未知数系数之和的绝对值相等【例题3】（23-24七年级下·福建福州·阶段练习）已知关于x，y的方程组325x y ax y a-=+⎧⎨+=⎩，a为常数．(1)求方程组的解（用含a的式子表示）；(2)平面直角坐标系中，若以方程组的解为横、纵坐标的点(),P x y在第一、三象限的角平分线上，求a的值．【答案】(1)212 x a y a=+⎧⎨=-⎩(2)3a=-【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，一，三象限角平分线上点的坐标特点，熟练的解方程组是解本题的关键．（1）直接利用加减消元法解方程组即可；（2）由一，三象限角平分线上的点的横纵坐标相等，再建立方程求解即可．【详解】（1）解：325x y ax y a-=+⎧⎨+=⎩①②，+①②，得363x a =+，∴21x a =+．将21x a =+代入①，得2y a =-．∴原方程组的解为：212x a y a =+⎧⎨=-⎩；（2）∵以方程组的解为横、纵坐标的点(),P x y 在第一、三象限的角平分线上，∴212a a +=-，解得：3a =-【变式1】（2024年贵州省黔南州中考一模考试数学模拟试题）解方程组：227x y x y -=⎧⎨+=⎩【答案】31x y =⎧⎨=⎩【分析】灵活运用加减消元法解方程组是解题的关键．选择相加消元后直接解方程即可．【详解】227x y x y -=⎧⎨+=⎩①②，+①②得39x =，解得3x =，把3x =代入①，可得32y -=，解得1y =，31x y =⎧∴⎨=⎩是原方程的解【变式2】（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）甲、乙两人同时解方程组5213mx y x ny +=⎧⎨-=⎩①②，甲解题看错了①中的m ，解得722x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，乙解题时看错②中的n ，解得37x y =⎧⎨=-⎩，试求原方程组的解．【答案】23x y =⎧⎨=-⎩．【分析】本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解方程组．把甲的解代入②中求出n 的值，把乙的解代入①中求出m 的值；把m 与n 的值代入方程组求解即可得到答案．则方程组的解为23 xy=⎧⎨=-⎩【变式3】（23-24七年级下·全国·随堂练习）用加减法解下列方程组：(1)2531x yx y+=⎧⎨-=⎩(2)92153410x yx y+=⎧⎨+=⎩解法3：用换元法解二元一次方程组【例题4】（22-23八年级上·四川成都·阶段练习）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想：(1)解方程组3213213x y x y -=-⎧⎨+=⎩，我们利用加减消元法，可以求得此方程组的解为___________；(2)如何解方程组()()()()35231352313m n m n ⎧+-+=-⎪⎨+++=⎪⎩呢，我们可以把5,3m n ++分别看成一个整体，设5m x +=，3n y +=，请补全过程求出原方程组的解；(3)若关于m ，n 的方程组()()()()3223226m n m n m n m n ⎧+--=-⎪⎨++-=⎪⎩，则方程组的解为______．【变式1】（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）计算：解方程组726x y x y +--=⎧⎪+-⎨+=⎪（）（93x y =⎧∴⎨=⎩【变式2】（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想：(1)已知方程组3213213x y x y -=-⎧⎨+=⎩的解为272x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，如何解大于,m n 的方程组()()()()35231352313m n m n ⎧+-+=-⎪⎨+++=⎪⎩呢，我们可以把分别5,3m n ++看成一个整体，设5,3m x n y +=+=，则原方程组的解为______________________；(2)若方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是32x y =⎧⎨=-⎩，求方程组1111122222322322a m b n a b c a m b n a b c +=++⎧⎨+=++⎩的解．(3)已知m ，n 为定值，关于x 的方程136kx m x nk ++=-，无论k 为何值，它的解总是2x =，求m n +的值．把2x =代入，得4262k m nk +=--，(4)240n k m ∴++-=恒成立，40240n m +=⎧∴⎨-=⎩，即42n m =-⎧⎨=⎩，2m n ∴+=-【变式3】（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）用换元法解方程组：121134x y x y⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪．∴原方程组的解是11x y =-⎧⎨=⎩解法4：用同解交换法解二元一次方程组【例题5】（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）已知关于x y ，的方程组37x y ax b y -=⎧⎨+=⎩和28x by a x y +=⎧⎨+=⎩的解相同．求,a b 的值．【答案】11a b ==-，【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握加减消元法解二元一次方程组的方法是解题的关键．根据两个方程组有相同的解，将①与④组合可求出x y ，的值，再代入②与③组合的方程组中即可求解．【详解】解：方程组37x y ax b y -=⎧⎨+=⎩①②与28x by a x y +=⎧⎨+=⎩③④的解相同，∴①与④组合得，3728x y x y -=⎧⎨+=⎩①④，①+④得，3x =，∴2y =，把x y ，代入②与③组合的方程组中得，3232a b b a +=⎧⎨+=⎩②③，把③代入②得，1b =-，∴1a =，∴11a b ==-，【变式1】（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）已知关于x ，y 的方程组23324x y ax by -=⎧⎨+=⎩和2333211ax by x y +=⎧⎨+=⎩的解相同，求20243)(a b +的值．【答案】1【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，乘方的性质，解题的关键是掌握二元一次方程组的求解，正确求得a b ，的值．由题意可得：方程组2333211x y x y -=⎧⎨+=⎩和方程组24233ax by ax by +=⎧⎨+=⎩的解相同，求得a b ，的值，代入求解即可．【详解】解：由题意可得：方程组2333211x y x y -=⎧⎨+=⎩和方程组24233ax by ax by +=⎧⎨+=⎩的解相同，解方程组2333211x y x y -=⎧⎨+=⎩可得：31x y =⎧⎨=⎩，将31x y =⎧⎨=⎩代入24233ax by ax by +=⎧⎨+=⎩可得：324633a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：25ab=-⎧⎨=⎩，将25ab=-⎧⎨=⎩代入()20243a b+可得，原式()2024651-+==，即()20243a b+的值1．【变式2】（23-24七年级下·四川眉山·阶段练习）数学学霸甲、乙两人在一次解方程组比赛中，甲求关于x y、的方程祖35368x ybx ay-=⎧⎨+=-⎩的正确解与乙求关于,x y的方程组25264x yax by+=-⎧⎨-=-⎩的正确的解相同．则()20232a b+的值为多少？【答案】1【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．联立不含a与b的方程求出x与y的值，进而确定出a与b的值，代入原式计算即可求出值．【详解】解：联立得：3536 2526 x yx y-=⎧⎨+=-⎩，解得：26 xy=⎧⎨=-⎩，代入得：268 264 b aa b-=-⎧⎨+=-⎩，解得：11 ab=⎧⎨=-⎩，∴()()2023202321 211a b=⨯-=+【变式3】（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）已知关于x，y的方程组45321x yx y+=⎧⎨-=⎩与方程组31mx nymx ny+=⎧⎨-=⎩的解相同，求mn的值．【答案】2mn=【分析】本题考查的是解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题关键．先解方程组45321x yx y+=⎧⎨-=⎩，再根据两个方程组同解，得到关于m、n的方程，求解即可计算求值．【详解】解：45321x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，2⨯+①②得：1111x =，解得：1x =，将1x =代入①得：1y =，∴方程组45321x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集为11x y =⎧⎨=⎩， 方程组45321x y x y +=⎧⎨-=⎩与方程组31mx ny mx ny +=⎧⎨-=⎩的解相同，31m n m n +=⎧∴⎨-=⎩，解得：21m n =⎧⎨=⎩，2mn ∴=解法5：用主元法解方程组【例题6】（22-23八年级上·四川成都·期中）已知3460x y z -+=，45230x y z +-=，0xyz ≠，则2222324x y z xy yz zx --+-的值为．故答案为：5-【变式1】（2023九年级·全国·专题练习）已知433030x y zx y z--=⎧⎨--=⎩（x，y，z均不为0），求2222xy yzx y z++-的值．【点睛】本题不是考查学生直接解方程的能力，而是让学生理清三个未知数之间的关系，所以未知数之间的转换就是关键【变式2】（20-21八年级上·全国·课时练习）已知430,4520,x y zx y z+-=⎧⎨-+=⎩xyz≠．（1）用含z的代数式表示x，y；（2）求222232x xy zx y++的值．（2）2222222211232321633351233z z z z x xy z x y z z ⎛⎫⨯+⨯⨯+ ⎪++⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查了用加减法解方程组的特殊解法，把x 、y 看作未知数解方程组是解题的关键【变式3】已知x ，y ，z 都不为零，且满足4360x y z --=，270x y z +-=．求2335x y z x y z-++-的值．【点睛】本题主要考查解方程组，代数式求值，能根据具体问题选择合适的解法，如本题中用含有z 的代数式来表示x 、y ，这是解题的关键解法6：用设辅助元法解方程组【例题7】【观察思考】怎样判断两条直线是否平行？如图①，很难看出直线a 、n 是否平行，可添加“第三条线”（截线c ），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系．我们称直线c 为“辅助线”．在部分代数问题中，很难用算术直接计算出结果，于是，引入字母解决复杂问题，我们称引入的字母为“辅助元”．事实上，使用“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”可以更容易地解决问题．【理解运用】（1）计算111111111111113367867896786789⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++-++++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭这个算式直接计算很麻烦，请你引入合适的“辅助元”完成计算．【拓展提高】（2）若关于x，y的方程组mx ny pax by q+=⎧⎨-=⎩的解是32xy=⎧⎨=⎩，则关于x、y的方程组(1)(1)(1)(1)m x n y pa xb y q-++=⎧⎨--+=⎩的解为．【变式1】．（22-23七年级下·广西玉林·期末）【阅读·领会】怎么判断两条直线是否平行？如图①，很难看出直线是否平行，可添加“第三条线”（截线），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系，我们称直线为“辅助线”.在部分代数问题中，难用算术直接计算出结果，于是，引入字母解决复杂问题，我们称引入字母为“辅助元”或“整体代换”．事实上，使用“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”可以更容易地解决问题．【实践·体验】（1）已知210a a +-=，则23a a ++=______（引入“辅助元”或“整体代换”计算）.（2）如图②，已知C E EAB ∠+∠=∠，求证：AB CD ∥，请你添加适当的“辅助线”，并完成证明．【创造·突破】（3）若关于x y ，的方程组ax by c mx ny p +=⎧⎨-=⎩的解是23x y =⎧⎨=⎩，则关于x y ，的方程组22ax by c mx ny p -=⎧⎨+=⎩的解为______．【答案】（1）4；（2）见解析；（3）13x y =⎧⎨=-⎩【分析】（1）把210a a +-=变形为21a a +=，然后整体代入求值即可；（2）利用“辅助线”延长BA 交EC 于点F ，由三角形内角和定理以及等量代换可得AFE C ∠=∠，由同位角相等，两直线平行可得结论；（3）将23x y =⎧⎨=⎩代入关于x 、y 的方程组ax by c mx ny p +=⎧⎨-=⎩可得，2323a b c m n p +=⎧⎨-=⎩，再代入关于x 、y 的方程组22ax by c mx ny p -=⎧⎨+=⎩可得答案．【详解】解：（1）∵210a a +-=，∴21a a +=，∴23134a a ++=+=，故答案为：4（2）如图，延长BA 到，使BA 与CE 相交于点F ，∵AFE E EAB C E EAB ∠+∠=∠∠+∠=∠，，∴EFA C =∠∠，∴AB CD ∥；（3）将23x y =⎧⎨=⎩代入关于x 、y 的方程组ax by c mx ny p +=⎧⎨-=⎩可得，2323a b c m n p +=⎧⎨-=⎩，再代入关于x 、y 的方程组22ax by c mx ny p -=⎧⎨+=⎩可得，223223ax by a b mx ny m n -=+⎧⎨+=-⎩，所以13x y =⎧⎨=-⎩，故答案为：13x y =⎧⎨=-⎩．【点睛】本题考查二元一次方程组，平行线的性质以及有理数的运算，掌握二元一次方程组的解法、平行线的性质和判定，理解“辅助线”、“辅助元”、“辅助元素”的意义是正确解答的前提．【变式2】【阅读•领会】怎样判断两条直线否平行？如图1，很难看出直线a 、b 是否平行，可添加“第三条线”（截线c ），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系．我们称直线c 为“辅助线”．在部分代数问题中，很难用算术直接计算出结果，于是，引入字母解决复杂问题，我们称引入的字母为“辅助元”．事实上，使用“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”可以更容易地解决问题．【实践•体悟】(1)计算111111125675678⎛⎫⎛⎫+++⨯+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111111125675678⎛⎫⎛⎫-++⨯++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭这个算式直接计算很麻烦，请你引入合适的“辅助元”完成计算．(2)如图2，已知C E EAB ∠+∠=∠，求证AB CD ∥，请你添加适当的“辅助线”，并完成证明．【创造•突破】(3)若关于,x y 的方程组ax by c mx ny p +=⎧⎨-=⎩的解是23x y =⎧⎨=⎩，则关于,x y 的方程组22ax by c mx ny p -=⎧⎨+=⎩的解为___________．(4)如图3，15120A A ∠=∠=︒，2470A A ∠=∠=︒，6890A A ∠=∠=︒，我们把大于平角的角称为“优角”，若优角3270A ∠=︒，则优角7A ∠=___________．EAB ∠ 是EFA 的外角，EAB E EFA ∴∠=∠+∠，又EAB E C ∠=∠+∠ ，EFA C ∴∠=∠，AB CD ∴∥；（3）把23x y =⎧⎨=⎩代入方程组ax by c mx ny p +=⎧⎨-=⎩得：2323a b c m n p +=⎧⎨-=⎩，与方程组22ax by c mx ny p -=⎧⎨+=⎩比较得：13x y =⎧⎨=-⎩，方程组的解为：13x y =⎧⎨=-⎩，故答案为：13x y =⎧⎨=-⎩；（4）连接3A 、7A ，分成两个五边形，如图所示：五边形的内角和为(52)180540-⨯︒=︒，两个五边形的内角和为1080︒，7A ∠=两个五边形的内角和1263222A A A A -∠-∠-∠-∠10802120270290270250=︒-⨯︒-⨯︒-⨯︒-︒=︒，故答案为：250°．【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，平行线的性质与判断，解二元一次方程组，多边形的内角和等知识，加入了“辅助”的思想解题的关键是正确找到“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”．【变式3】．（20-21七年级下·江苏无锡·期中）[阅读•领会]如图①，为了判断两直线的位置关系．我们添加了直线c为“辅助线”．在部分代数问题中，引入字母解决复杂问题，我们称引入的字母为“辅助元”．【实践•体悟】（1）计算111111111111112256756785675678⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++-++++++⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，这个算式直接计算很麻烦，请你引入合适的“辅助元”完成计算．（2）若关于x、y的方程组的解是ax by cmx ny p+=⎧⎨-=⎩的解是23xy=⎧⎨=⎩，则关于x、y的方程组22ax by cmx ny p-=⎧⎨+=⎩的解为．【创造•突破】（3）已知直线AB//CD．如图2，请写出∠ABE、∠E、∠CDE的数量关系，并添加适当的辅助线说明理由．（4）已知直线AB//CD．如图3，∠ABM＝13∠MBE，∠CDN＝13∠NDE，直线MB、ND交于点F，若∠F＝m°，则∠E=．（用含m的代数式表示）。
感悟二元一次方程组应用题中的数学思想
３
看作 一 个 整 体 ， 样 有 时 可使 运 算 简 捷 。 这 例 １ 甲骑 自行 车从 Ａ到 Ｂ ， ： 地 乙骑 自行 车 从 Ｂ 到Ａ地 ， 地 两
人均 匀 速 前 进 ， 已知 两 人 在 上 午 ８ 同 时 出 发 ， 上 午 １ 时 ， 时 到 ０ 两 人 还 相 距 ３ 千 米 。 中 午 １ 时 ， 人 又 相 距 ３ 千 米 ， Ａ、 两 ６ 到 ２ 两 ６ 求 Ｂ
、
往 往 比 用其 它 方法 简捷 、 便 得 多 。 方 例３ 《 千 零 一 夜 》 有 这 样 的 一 段 文 字 ： 一 群 鸽 子 ， ：一 中 有 其 中部 分 在树 上欢 歌 ， 一 部 分 在 地 上 觅 食 ， 上 的一 只 鸽 子 对 另 树 地 上觅 食 的鸽 子 说 ： 若 从 你 们 中 飞 上 来 一 只 ，则 树 下 的鸽 子 “
地 间 的距 离 。 分 析 ： 目中 甲 、 的速 度 ， Ｂ 地 的距 离 均 不 知 道 ， 题 乙 Ａ、 两 可
子 就 一样 多 了 。 ” 知 道 树 上 、 下 各 有 多 少 只 鸽 子 吗 ７ 你 树
．
分 析 ：此 题 有 两 个 未 知 量— — 树 上 的鸽 子 数 与 树 下 的鸽 子数。 问题 中有 两 上 等 量 关 系 ： （ ） 下 的鸽 子数 一 ＝ １ （ 上 的 鸽子 数 ＋ 下 的 鸽 子数 ） １树 １一 ×树 树 ；
一
３３０ ） ４ ４ ０
所 以与 ２ 球 体 相 等 质 量 的正 方 体 的个 数 为５ 故 选 Ａ。 个 ， 三 、 程 思 想 方 将数量关 系转化为方程 （ ） 组 的形 式 ， 过 解 方 程 （ ） 通 组 使 问 题 得 以解 决 的 思 维 方 式 就 是 方 程 思 想 ，用 方 程 的思 想 解 决
代数中的整体思想及其应用
整体思想是指从整体上去认识问题，思考问题，重点分析问题整体结构与特征，从而达到化繁为简、变难为易的目的。
整体思想主要表现为整体思考、整体运算、整体代换或整体构造等，它可以应用在方程与不等式、函数与图象、几何与图形等诸多方面。
以下笔者结合几则典例，重点探讨代数中的整体思想及其应用。
一、平方差公式中的整体思想平方差公式用字母可表示为（a +b ）（a -b ）=a 2-b 2，公式里的字母a ，b 可以是单项式，也可以是多项式，当字母是多项式时，需要用整体思想加以处理，当算式需要多处应用平方差公式时，也需要用整体思想。
［例1］如图1，在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a >b ），把余下的部分剪拼成一个矩形。
（1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是 。
（请选择正确的一个）A. a 2-2ab +b 2=（a -b ）2B. a 2-b 2=（a +b ）（a -b ）C. a +ab 2=a（a +b ）D. a 2+2ab +b 2=（a +b ）2（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知x 2-4y 2=12，x +2y =4，求x -2y 的值；②计算：（22+42+62+82+102+122+ (1002)）-（12+32+52+72+92+112+…+992）。
思路导引：（1）利用大正方形面积减去小正方形面积表示左图阴影部分面积，用长方形面积公式表示右图阴影部分面积，根据面积不变得到结论；（2）①运用平方差公式，将x 2-4y 2=12，x +2y =4整体代入求解；②算式是多个连续偶数的平方和减去多个连续奇数的平方和，利用加法的交换律与结合律变为若干个平方差的和，从而解决问题。
解：（1）左图中，阴影部分为大正方形减去小正方形，面积为a 2-b 2，右图阴影是拼成的长方形，长为a +b ，宽为a -b ，所以右图阴影部分面积为（a +b ）（a -b ），由于左、右两图面积相等，所以a 2-b 2=（a +b ）（a -b ），故答案为B 。
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整体思想在解二元一次方程组中的应用求解一元二次方程时，用代入消元法或是加减消元法，将二元消元为一元。
在运用消元法时，对于有些问题，不是从局部着手，而是从大处着眼，从整体上观察，探求解题途径，这种数学思想方法叫整体探求思想，在《二元一次方程组》中，体现这种思想方法的地方很多．在平常遇到方程组求解时，先从全局观察，再动手求解，可以在一定程度上训练我们“大处着眼，小处着手”的战略眼光，对今后高中数学学习，以至工作中都会有所帮助。
例1 已知x 、y 满足方程组则x －y 的值为________.分析：观察题目特点，我们发现可以把原来的两个方程相减，就能够得到所要求的结果． 解：把原来的两个方程相减得：，故，答案应该填写1．点评：本题是把x －y 作为一个整体来处理，解答起来要比解这个方程组，求出x 、y 的值，再带入x －y 计算求值省时，快速，简便．例2 解方程组⎩⎨⎧=+=+②①.2196,823y x y x分析 此题应抓住6x 是3x 的2倍，利用方程①的3x =8-2y ，从而整体代入方程②，经消元求解，使解法简洁.解 由①，得3x =8-2y . ③把③代入②，得2（8-2y ）+9y =21.∴ y =1.把y =1代入③，得3x =8-2.∴x =2，∴⎩⎨⎧==.1,2y x练习：1.解方程组⎩⎨⎧=+=+531542153y x y x分析：方程组中的系数成倍数关系，适宜把①中的整体代入②，先求出x 的值，再求出y 的值．解：由①得5y =21-3x ③把③代入②，得4x +3（21-3x ）=534x +63-9x =53，-5x =-10 x =2把x =2代入③，得5y =21-6 y =3∴原方程组的解是⎩⎨⎧==32y x⎩⎨⎧=+=+,42,52y x y x 1y x =-2.解方程组5613 7+18 1. x y x y +=⎧⎨=-⎩，①②解：由①，得6135y x =-，将其代入②，得7+3(13-5)1x x =-，解得5x =．把5x =代入③，得61355y =-⨯，解得2y =-．所以原方程组的解为52x y =⎧⎨=-⎩． 例3 解方程组⎩⎨⎧=+=+②①.3112137,3273721y x y x分析 此题数字较大，直接运用代入法或加减法，都会遇到复杂的计算，且容易出错.仔细观察各未知数的系数，第一个方程组的x ，y 的系数，刚好是第二个方程中y 和x 的系数，故可采用整体相加减，使系数绝对值变小，得到一个新的简易的方程.解 ①+②，得58x +58y =638.即x +y =11. ③②-①，得16x -16y =-16，即x -y =-1. ④③+④，得2x =10，∴ x =5.③-④，得2y =12，∴ y =6.∴ ⎩⎨⎧==.6,5y x 例4 解方程组7 233()17. 23x y x y x y x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪+=⎪⎩，①②分析：本题直接解方程组比较复杂，观察方程组中方程的特点，如果把2x y +，3x y -看成整体，先求出它们的值，计算量会较小，也不容易出错。
为此，我们先把方程变得简单． 设2x y +=A ，3x y -=B ，则原方程组化为7 317. A B A B +=⎧⎨+=⎩，解得52.A B =⎧⎨=⎩， 即52 2.3x y x y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，，整理，得106.x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得82.x y =⎧⎨=⎩，练习：1.解方程组⎩⎨⎧=+=+11541378y x y x分析：方程组中x 、y 的系数和相等，可以把两式相加减解：①+②得12x +12y =24，即x +y =2 ③①-②得4x +2y =2，即2x +y =1 ④④-③得x =-1，把x =-1代入③得y =3∴原方程组的解是⎩⎨⎧=-=31y x2.解方程组201220132013?,201320122012?.x y x y +=⎧⎨+=⎩①②分析:两方程中未知数的系数较大，若采用通常的消元法计算量很大，观察方程组的形式，可发现系数有轮换、对称的特点，且和相等，因此可采用整体相加或相减的办法，化简系数，寻找隐含的x 、y 的关系.解:①+②，化简得:x + y = 1 ③，①-②，化简得: x -y = -1 ④，③+④，化简得：x =0，把x =0代入③得y =1.所以原方程组的解为0,1.x y =⎧⎨=⎩3.已知方程组 则x +y 的值等于______________.分析：本题可用“代入法”或“加减法”求得x 、y 的值，但细心观察②×2+①，可发现x 、y 上的系数相同.因此可不求x 、y 的值而利用整体思想直接解得x +y 的值.解: ②×2+①，得10x +10y =45，所以x +y =4.5.4.解方程组 分析：从形式上看这个方程组比较复杂，应先将每一个方程都进行化简，化成二元一6833,26.x y x y +=⎧⎨+=⎩①②()()⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+162143y x y x y x y x次方程组的一般形式，然后再选择代入法或加减法。
但是通过观察可以发现，两个未知数出现的形式只有（x +y ）和（x -y ）两种，可以把它们分别看成一个整体，利用换元法解。
解：设a =x +y ,b =x -y原方程化为解得 所以, 解得5.解方程组分析：方程组中的系数成整数倍，②可以通过变形构造出x -y ，且x -y 的系数互为相反数，可以把两式相互加减解：由②得4（x +y ）+3（x -y ）=15 ③，①+③得x +y =3 ④，把④代入①，得x -y =1 ⑤④+⑤得x =2，④-⑤得y =1∴原方程组的解是例5 如果关于m 、n 的二元一次方程组（Ⅰ）⎩⎨⎧=+=+152163bn m an m 的解是⎩⎨⎧==.1,7n m 请你用合理的方法求关于x ，y 的二元一次方程组（Ⅱ）3()()162()()15x y a x y x y b x y ++-=⎧⎨-+-=⎩的解. 分析 通过观察后发现方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）中对应的系数分别相等，若把（Ⅱ）中的x +y 和x -y 分别看成整体，可知x +y 和x -y 的值分别与m ，n 的值相等，从而求得方程组的解.解 把方程组（Ⅱ）中的x +y 和x -y 分别看成整体，根据方程组（Ⅰ）的解是⎩⎨⎧==.1,7n m 可得⎩⎨⎧=-=+1,7y x y x ∴⎩⎨⎧==3,4y x⎪⎩⎪⎨⎧=+=-162143b a b a ⎪⎩⎪⎨⎧==135b a ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+135y x y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3134y x ⎩⎨⎧+=++=--+yx y x y x y x 3153)(43)(3)(2⎩⎨⎧==12y x例6 已知方程组373,4104.x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩①②求x +y +z 的值.分析：本题是一个三元一次方程组，依据条件不能分别求出x 、y 、z 的值，因此可探究方程中每项未知数系数的特点，从整体上考虑解决的办法.解:①×3，②×2，得92139,22028.x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩①②③-④得 x + y + z = 1 .练习1.已知5x +4y =9，且3x +8y =11.求代数式2x +3y 的值；2.已知a -2b =5，求15—3a +6b 的值.分析：1.中两个方程没有联立方程组，不易观察，可联立方程组利用整体思想探寻特征巧妙解题.2.中可对所求代数式进行变形，整体代入.解:1.联立方程组，得5493811.x y x y +=⎧⎨+=⎩①，②①+②，得8x +12y =20化简得2x +3y =5.故代数式2x +3y 的值为5.2.原式=15-(3a -6b )=15-3(a -2b )，由a -2b =5，所以原式=15-3×5=0.3. 如果2x +3y +z =130，3x +5y +z =180，求z y x yx +++2的值．解：将x +2y 、x +y +z 看作整体，已知条件变形为⎩⎨⎧=++++=++++180)()2(2130)()2(z y x y x z y x y x 解得⎩⎨⎧=++=+80502z y x y x 则z y x y x +++2=85例7 有A 、B 两种型号的U 盘，其中2个A 型U 盘与3个B 型U 盘最多可存储60GB 的信息，5个A 型U 盘与6个B 型U 盘最多可存储150GB 的信息，求3个A 型U 盘与5个B 型U 盘最多可存储多少GB 的信息？分析：本题可根据题意设未知数列方程组，在解方程组的过程中发现解决问题的办法. 解: 设1个A 型U 盘最多可存储x GB 的信息， 1个B 型U 盘最多可存储y GB 的信息，根据题意得2360,56150.x y x y +=⎧⎨+=⎩①②①×7-②，得9x +15y =270，化简得3x +5y =90.故3个A 型U 盘与5个B 型U 盘最多可存储90GB 的信息.例8 有甲、乙、丙三种货物，若买甲5件，乙2件，丙4件，一共需80元；若买甲3件，乙6件，丙4件，一共需144元，现在需购买甲、乙、丙各一件共需多少元？分析：本题可根据题意设未知数列三元一次方程组，但由题中条件只能找到两种等量关系，因此不可能一一求得三个未知数的值，需考虑整体代入探求结果.解: 设购买一件甲需x 元，一件乙需y 元，一件需丙z 元，根据题意得52480,364144.x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩①② ①+②，得8x +8y +8z =224，所以x +y +z =28.故购买甲、乙、丙各一件共需28元.练习：1.有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件，丙1件共需315元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需285元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需 元钱．分析：我们可以通过设元，构建三元一次方程组来解答．设购买甲、乙、丙三种商品分别需要x 元、y 元和z 元，要想求出购甲、乙、丙三种商品各一件共需多少元钱，我们可以运用整体的思想求出x +y +z 的值就可以得到正确答案．解：设购买甲、乙、丙三种商品分别需要x 元、y 元和z 元，那么，根据题意，可以得到：3x +2y +z =315x +2y +3z =285，解得：x +y +z =150.因此，可以填写答案是150元．2.有这样一个问题：今有四数，取其三个而相加，其和分别为22，22，26和20，求此四数各几何？部分学生读不懂题意，但大部分学生是列出了方程组，却不知该如何求解.如果能灵活运用整体思想，此题便能轻松求解.解 若设此四数分别为a ，b ，c ，d ，则根据题意可列出方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++④③②①.20,26,22,22d c b d c a d b a c b a①+②+③+④，得3(a +b +c +d )=90.∴a +b +c +d =30. ⑤⑤-①，得d =8，⑤-②，得c =8，⑤-③，得b =4，⑤-④，得a =10，∴ 所求的四数分别为10，4，8，8.总之，在解二元一次方程组的有关问题时，“代入法”和“加减法”是解方程常用的方法，有时根据题目的形式特征及方程组系数的特点，采用整体思想，灵活代入或加减，可巧妙求出未知量，达到简单、快捷的效果.但同时也要注意具体问题具体分析，切不可生搬硬套.。