整体思想在解二元一次方程组中的应用

整体思想在解二元一次方程组中的应用

求解一元二次方程时，用代入消元法或是加减消元法，将二元消元为一元。在运用消元法时，对于有些问题，不是从局部着手，而是从大处着眼，从整体上观察，探求解题途径，这种数学思想方法叫整体探求思想，在《二元一次方程组》中，体现这种思想方法的地方很多．在平常遇到方程组求解时，先从全局观察，再动手求解，可以在一定程度上训练我们“大处着眼，小处着手”的战略眼光，对今后高中数学学习，以至工作中都会有所帮助。

例1 已知x 、y 满足方程组则x －y 的值为________.

分析：观察题目特点，我们发现可以把原来的两个方程相减，就能够得到所要求的结果． 解：把原来的两个方程相减得：，故，答案应该填写1．

点评：本题是把x －y 作为一个整体来处理，解答起来要比解这个方程组，求出x 、y 的值，再带入x －y 计算求值省时，快速，简便．

例2 解方程组⎩⎨⎧=+=+②①.2196,823y x y x

分析 此题应抓住6x 是3x 的2倍，利用方程①的3x =8-2y ，从而整体代入方程②，经消元求解，使解法简洁.

解 由①，得3x =8-2y . ③

把③代入②，得2（8-2y ）+9y =21.

∴ y =1.

把y =1代入③，得3x =8-2.

∴x =2，∴⎩

⎨⎧==.1,2y x

练习：1.解方程组⎩⎨⎧=+=+53

1542153y x y x

分析：方程组中的系数成倍数关系，适宜把①中的整体代入②，先求出x 的值，再求出y 的值．

解：由①得5y =21-3x ③

把③代入②，得4x +3（21-3x ）=53

4x +63-9x =53，-5x =-10 x =2

把x =2代入③，得5y =21-6 y =3

∴原方程组的解是⎩⎨⎧==3

2y x

⎩⎨⎧=+=+,

42,52y x y x 1y x =-

2.解方程组5613 7+18 1. x y x y +=⎧⎨=-⎩，

①②

解：由①，得6135y x =-，将其代入②，得7+3(13-5)1x x =-，解得5x =．

把5x =代入③，得61355y =-⨯，解得2y =-．

所以原方程组的解为52

x y =⎧⎨

=-⎩． 例3 解方程组⎩⎨⎧=+=+②①.3112137,3273721y x y x

分析 此题数字较大，直接运用代入法或加减法，都会遇到复杂的计算，且容易出错.仔细观察各未知数的系数，第一个方程组的x ，y 的系数，刚好是第二个方程中y 和x 的系数，故可采用整体相加减，使系数绝对值变小，得到一个新的简易的方程.

解 ①+②，得58x +58y =638.

即x +y =11. ③

②-①，得16x -16y =-16，

即x -y =-1. ④

③+④，得2x =10，∴ x =5.

③-④，得2y =12，∴ y =6.

∴ ⎩

⎨⎧==.6,5y x 例4 解方程组7 233()17. 2

3x y x y x y x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪+=⎪⎩，①②

分析：本题直接解方程组比较复杂，观察方程组中方程的特点，如果把2x y +，3

x y -看成整体，先求出它们的值，计算量会较小，也不容易出错。为此，我们先把方程变得简单． 设2x y +=A ，3x y -=B ，则原方程组化为7 317. A B A B +=⎧⎨+=⎩，解得52.A B =⎧⎨=⎩

， 即52 2.3

x y x y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，，整理，得106.x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得82.x y =⎧⎨=⎩，

练习：1.解方程组⎩⎨⎧=+=+11

541378y x y x

分析：方程组中x 、y 的系数和相等，可以把两式相加减

解：①+②得12x +12y =24，即x +y =2 ③

①-②得4x +2y =2，即2x +y =1 ④

④-③得x =-1，把x =-1代入③得y =3

∴原方程组的解是⎩⎨⎧=-=31

y x

2.解方程组201220132013?,

201320122012?.x y x y +=⎧⎨+=⎩①②

分析:两方程中未知数的系数较大，若采用通常的消元法计算量很大，观察方程组的形式，可发现系数有轮换、对称的特点，且和相等，因此可采用整体相加或相减的办法，化简系数，寻找隐含的x 、y 的关系.

解:①+②，化简得:x + y = 1 ③，

①-②，化简得: x -y = -1 ④，

③+④，化简得：x =0，把x =0代入③得y =1.

所以原方程组的解为0,1.x y =⎧⎨=⎩

3.已知方程组 则x +y 的值等于______________.

分析：本题可用“代入法”或“加减法”求得x 、y 的值，但细心观察②×2+①，可发现x 、y 上的系数相同.因此可不求x 、y 的值而利用整体思想直接解得x +y 的值.

解: ②×2+①，得

10x +10y =45，

所以x +y =4.5.

4.解方程组 分析：从形式上看这个方程组比较复杂，应先将每一个方程都进行化简，化成二元一6833,

26.x y x y +=⎧⎨+=⎩①②()()⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+162

143y x y x y x y x

次方程组的一般形式，然后再选择代入法或加减法。但是通过观察可以发现，两个未知数出现的形式只有（x +y ）和（x -y ）两种，可以把它们分别看成一个整体，利用换元法解。

解：设a =x +y ,b =x -y

原方程化为解得 所以, 解得

5.解方程组

分析：方程组中的系数成整数倍，②可以通过变形构造出x -y ，且x -y 的系数互为相反数，可以把两式相互加减

解：由②得4（x +y ）+3（x -y ）=15 ③，

①+③得x +y =3 ④，

把④代入①，得x -y =1 ⑤

④+⑤得x =2，④-⑤得y =1

∴原方程组的解是

例5 如果关于m 、n 的二元一次方程组（Ⅰ）⎩⎨⎧=+=+152163bn m an m 的解是⎩⎨⎧==.1,7n m 请你用合理的方法求关于x ，y 的二元一次方程组（Ⅱ）3()()162()()15x y a x y x y b x y ++-=⎧⎨-+-=⎩

的解. 分析 通过观察后发现方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）中对应的系数分别相等，若把（Ⅱ）中的x +y 和x -y 分别看成整体，可知x +y 和x -y 的值分别与m ，n 的值相等，从而求得方程组的解.

解 把方程组（Ⅱ）中的x +y 和x -y 分别看成整体，

根据方程组（Ⅰ）的解是⎩⎨⎧==.1,7n m 可得⎩

⎨⎧=-=+1,7y x y x ∴⎩

⎨⎧==3,4y x

⎪⎩⎪⎨⎧=+=-16

2143b a b a ⎪⎩⎪⎨⎧==135b a ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+135y x y x ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧==3134y x ⎩⎨⎧+=++=--+y

x y x y x y x 3153)(43)(3)(2⎩⎨

⎧==1

2y x