[电子教案]计算方法 (24)

总存在一点（依赖于x）使
R(x)
f (x) H (x)
f
(4) (
4!
)
(x
x0 )2 (x
x1 ) 2
6.4.7
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6.4.2 低阶含导数项的插值
实际计算中，有一些含低阶导数项的插值，其插值 条件不符合(6.4.1)式，因此，不能利用（6.4.2）式进行 计算，而要采用一些特殊方法求解。本节，通过几个典 型例题，介绍几种求带导数插值的特殊方法。
x1)
0，故
H0 (x)中必有因式(x x1)2 (x x0 )，另外，H0 (x)是一个不
超过三次的多项式，于是可设：
H
0
(x
)
a
(x
x
0
)(
x x0
x1 x1
)
2
其中，a是常数，为确定a，对H0 (x)求导数，再利用
H'0 (x0 ) 1,可得a 1，于是得：
H
0
(
x)
(x
x
0
)(
x x0
方法一： 解：由（6.4.3）~（6.4.6）先求基函数
h0 (x)
1
2
x 0 1 0
x 0
12
1
(1
2x )(1
x)2
h1(x)
1
2
x 0
1 1
x
0
2
10
(3
2x)x2
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9
H0(x)
x
0
x 0
1 1
2
x(1
x)2
H1(x)
x
1
6.4.2
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3
其中h0 (x), h1(x), H0 (x), H1(x)都为插值基函数，它们的取值如表6.4.1
基函数 h0 (x)
表6.4.1
函数值
x0
x1
1
0
一阶导数
x0
x1
0
0
h1 ( x)
0
1
0
0
H0 ( x)
0
0
1
0
H1(x)
0
0
0
1
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H1 (x)
将上述四个基函数h0 (x), h1(x), H0 (x), H1(x)代入式
6.4.2，即可求出H (x)。容易验证H (x)满足6.4.2式。
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例6.4.1：已知f(0) 0,f(1) 1,f'(0) 3,f'(1) 9，构造 三次Hermite插值多项式H(x).
点 x0, x1的函数值 f x0 y0, f x1 y1 和一阶导数 f 'x0 m0, f 'x1 m1 的情形。
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已知函数在两个互异节点x0 , x1上的函数值f x0 y0 , f x1 y1和一阶导数值f ' x0 m0 , f ' x1 m1,求一个三次
p(x) f (x0 ) f (x0, x1)(x x0 ) f (x0 , x1, x2 )(x x0 )(x x1) a(x x0 )(x x1)(x x2 ) q(x) a(x x0 )(x x1)(x x2 )
4
先求h0(x)，由于h0(x1) h'0(x1) 0所以h0(x)中必有因子
(x x1)2，另外，h0(x)最多是一个三次多项式，因此可设：
h
0
(x
)
(a
b(
x
x
0
))
x x0
x1 x1
2
利用h0 (x0 ) 1得a 1，为确定b，对h0 (x)求导数，再
利用h
' 0
(x0
)
0得：
x1 x1
)
2
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6.4.5
6
同理可得：
H1(
x
)(
x
x1
)
(
x x1
x0 x0
)2
6.4.6
这四个插值基函数的图形如图6.4.1所示：
1 h 0 (x)
x0
x1
1
h1(x)
x0
x1
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H0 (x)
x0
x1
x0
x1
b
2
x0 x1
于是得：
h
0
(x
)
(1
2
Baidu Nhomakorabea
x x1
x0 x0
)(
x x1 x0 x1
)2
6.4.3
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5
同理
可
得：
h1(
x
)(
1
2
x x0
x1 x1
)(
x x1
x0 x0
)2
6.4.4
再求H0
(
x)，由于H0
( x0
)
H0
( x1 )
0且H
' 0
(
解：设H(x) a0 a1x a2x2 a3x3
H' (x) a1 2a2x 3a3x2
由所给插值条件得0 ：H(0) a0
3 1
H' (0) a1 H(1) a0
a1
a
2
a
3
9 H' (1) a1 2a 2 3a3
解此方程组得：a0 0, a1 3, a2 12, a3 10
插值多项式H (x)，使其满足 :
H(x0 ) y0 , H(x1) y1 H' (x0 ) m0 , H' (x1) m1
6.4.1
这样的H(x)称为三次Hermite 插值多项式。
采用构造插值基函数的方法，可设：
H(x) h0 (x)y0 h1(x)y1 H0 (x)m0 H1(x)m1
于是H(x) 10x3 12x2 3x
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定理6.4.1 (余项定理)
设H (x)是关于x0 , x1两点三次Hermite插值，若 f (x) C3[a, b], f (4) (x)在[a, b]内存在。其中，[a, b]是
包含x0 , x1的任意区间，则对任意给定的x [a, b]，
6.4 埃尔米特(Hermite)插值
❖ 6.4.1两点三次埃尔米特插值 ❖ 6.4.2低阶含导数项的插值
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6.4.1 两点三次埃尔米特插值
许多实际问题不仅要求插值函数在节点上与原 来的函数相等(满足插值条件)，而且还要求在节点 上的各阶导数值也相等。满足这些条件的插值，称 为埃尔米特(Hermite)插值。本节讨论已知两个节
x 1
0 0
2
(x 1)x2
于是 :
H(x) (1 2x)(1 x)2 0 (3 2x)x2 1 x(1 x)2 3 (x 1)x2 9
(3 2x)x2 3x(1 x)2 9x2 (x 1) 10x3 12x2 3x
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方法二：（待定系数法）
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例6.4.2：求插值多项式P(x)，使其满足条件：
p(xi ) f (xi ) i 0,1,2 p' (x1) f ' (x1)
并求余项表达式。
解：由给定条件，可确定p(x)的次数不超过3，并且p(x) 通过点(x0 , f (x0 ))，(x1, f (x1))及(x2 , f (x2 ))，故可设：