四川大学2014-2015第一学期微积分期中考试试卷
(NEW)四川大学《690高等数学(微积分、级数)》历年考研真题汇编
6 （12分）一质量为m的物体，最初静止于x0处，在力F＝－k/x2 的作用下沿直线运动，试求物体在任意位置x处的速度．
7 （13分）质量为m的摩托车，在恒定的牵引力F的作用下工作， 它所受的阻力与其速率的平方成正比，它能达到的最大速率是vm．试计 算从静止加速到vm/2所需的时间以及所走过的路程．
3 求下列不定积分（共50分）： （1） （2）
（3）
（4） （5） （6） （7） （8） （9） （10）
4 用级数展开计算下列积分的近似值（计算前三项）（共20 分）：
（1） （2）
5 （5分）甲乙两船同时从一码头出发，甲船以30km/h的速度向北 行驶，乙船以40km/h的速度向东行驶，求两船间距离增加的速度为多 少？
2012年四川大学690高等数学（微 积分、级数）考研真题
2013年四川大学690高等数学（微 积分、级数）考研真题
2014年四川大学690高等数学（微 积分、级数）考研真题
2015年四川大学690高等数学（微 积分、级数）考研真题
2016年四川大学690高等数学（川大学690高等数学（微 积分、级数）考研真题
1 请写出下列初等函数的级数展开式（共20分）： （1）ax （2）sin（x/2） （3） （4）ln（1＋x） （5）1/（1＋x）
2 求下列平面图形的面积（共30分）： （1）曲线y＝x3与y轴和直线y＝1所围成的图形； （2）曲线y＝x2与y＝2－x2所围成的图形．
目 录
2012年四川大学690高等数学（微积分、级数）考研真题 2013年四川大学690高等数学（微积分、级数）考研真题 2014年四川大学690高等数学（微积分、级数）考研真题 2015年四川大学690高等数学（微积分、级数）考研真题 2016年四川大学690高等数学（微积分、级数）考研真题 2017年四川大学690高等数学（微积分、级数）考研真题
微积分 线性代数与空间解析几何
2、一个圆柱体容器，高 10 米，底面半径为 2 米，该圆柱体容器盛满水。 （1）求该圆柱体侧面所受水的压力。 （2）若将该圆柱体容器内的水从顶部全部抽出，则至少要作多少功？
（重力加速 G 取 10 米/秒 2，水密度 取 1000 千克/m3，圆周率 取 3）。
六、证明题（每小题 7 分，共 14 分）。 1、设 f (x) 在 R 上具有二阶连续导数，且 f (0) = 0 ，令(x) = (x −1)2 f (x) 。
（B） 1 e −1
（D） 2 e −1
4、以下四个数项级数
n=1
2n n2 ,
n n=1 3n ,
(−1)n−1 ,(
n
)n 中,收敛级数共有（ ）个。
n=1 ln(n +1) n=1 2n +1
（A）1
（B）2
（C）3
（D）4
5、设 f (x) = x2e−x (x 0) ,则 f (x) 单调凹增的区间是（
求证：存在 0 1，使( ) = 0 。
5
2、 an =
4 0
tan n xdx
证明对任
0
，
n=1
an n
收敛。
6
）。
（A）(0, 2 − 2) （B）(2 − 2, 2) 三、计算题。（每小题 8 分，共 24 分）
（C）(2, 2 + 2)
（D）(2 + 2, + )
1、计算极限
lim
( arctan
x)
1 x2
。
x→0+
x
2、由方程 ex+y + 2x2 + 3y −1 = 0 确定函数 y = y(x) ，求 y(0), y(0) 。
四川省成都某重点中学2014～2015学年高二上期期中考试数学理 Word版含答案
四川省成都某重点中学2014～2015学年高二上期期中考试数学理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，只将答题卷交回．第I 卷注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卷上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．1．直线y =+的倾斜角是（ ）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒ 2．经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是A ．10x y --=B ．10x y -+=C ．10x y +-=D ．10x y ++= 3．圆22(4)9x y -+=和圆22(3)4x y +-=的公切线有A ．条B ．2条C ．条D ．4条4．已知点(,)P x y 在不等式组2010220x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域内运动，则z x y =-的最大值是A ．1-B ．C ．2-D ．25．已知α，β，γ，δ表示不同的平面，为直线，下列命题中为真命题的是 A ．,αγβγαβ⊥⊥⇒P B ．,αββγαγ⊥⊥⇒⊥ C ．,,αγβδαβγδ⊥⇒P P P D ．,,l l αγβγαβγ⊥⊥=⇒⊥I6．若点(5,)b 在两条平行直线6810x y -+=与3450x y -+=之间，则整数b 的值为A ．4-B ．4C ．5-D ．57．过点(1,0)P -作圆22:(1)(2)1C x y -+-=的两切线，设两切点为A 、B ，圆心为C ，则过A 、B 、C 的圆方程是A ．22(1)2x y +-=B ．22(1)1x y +-=C ．22(1)4x y -+=D ．22(1)1x y -+=8．二面角l αβ--为60︒，A 、B 是棱上的两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC l ⊥，BD l ⊥且1AB AC ==，2BD =，则CD 的长为A ．BC ．2 D9．已知AC ，BD 为圆22:9O x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为M ，则四边形ABCD 的面积的最大值为A． B ．15 C． D ．1810．在直角ABC V 中，30ACB ∠=︒，90B ∠=︒，D 为AC 中点（左图）．将ABD V 沿BD 折起，使得AB CD ⊥（右图），则二面角A BD C --的余弦值为A ．13-B ．13C． D第II 卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共计25分． 11．已知向量(2,1,3)a =-r，(4,2,)b x =-r ，若a b r r P 则x = ▲ ．12．空间四边形ABCD 的对角线10AC =，6BD =，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，7MN =，则异面直线AC 和BD 所成的角等于 ▲ ．13．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为 ▲ ．14．已知PA 垂直于边长为的正六边形ABCDEF 所在的平面，且1PA =，则P 到直线CD 的距离是 ▲ ．15．直线:2l y kx k =+曲线:C y =有两个不同的交点，平面区域02y y kx k⎧⎪≤≤⎨≥+⎪⎩的面积为S ．若2S π≥-，则实数k 的取值范围为▲ ．三、解答题：本大题共6小题，合计75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）直线34120x y -+=与坐标轴的交点是圆C 一条直径的两端点． （I ）求圆C 的方程；（II ）圆C 的弦AB1(1,)2，求弦AB 所在直线的方程．17．（本小题满分12分）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1DD 的中点． （I ）求证：1BD P 平面AEC ； （II ）求异面直线1BC 与AC 所成的角．18．（本小题满分12分）在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知cos 23cos()1A B C -+=． （I ）求角A 的大小；（II ）若ABC V 的面积S =，5b =，求sin sin B C 的值．19．（本小题满分12分）如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面相互垂直，AB CD P ，AB BC ⊥，22AB CD BC ==，EA EB ⊥．（I ）求证：AB DE ⊥； （II ）求直线EC 与平面ABE 所成的角的正弦值；（III ）线段EA 上是否存在点F ，使得EC P 平面FBD ？若存在，求出EFEA的值；若不存在，说明理由．20．（本小题满分13分）如图，在平行四边形ABCD 中，60BAD ∠=︒，6AB =，3AD =，G 为CD 中点（左图），现将梯形ABCG 沿着AG 折起到AFEG ．直线GE 与平面ABCD 所成角为30︒（右图）．（I ）求证：FG ⊥平面ABCD ； （II ）求二面角B EF A --的平面角的正切值．21．（本小题满分14分）点P 到(2,0)A -的距离是点P 到(1,0)B 的距离的2倍． （I ）求点P 的轨迹方程；（II ）点P 与点Q 关于点(2,1)对称，点(3,0)C ，求22||||QA QC +的最大值和最小值． （III ）若过A 的直线从左向右依次交第（II ）问中Q 的轨迹于不同两点E ，F ，FA EA λ=uu r uu r，判断k 的取值范围并证明．高2016届2014—2015学年度上期期中考试数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：1．C ． 2．B ． 3．C ． 4．D ． 5．D ． 6．B ． 7．A ． 8．C ． 9．B ． 10．A ． 二、填空题：11．6-． 12．60︒． 13．． 14．2． 15．[0,1]．三、解答题： 16．解：（I ）直线34120x y -+=与两坐标轴的交点分别为(4,0)A -，(0,3)B ．（2分） 所以线段AB 的中点为3(2,)2C -，||5AB =．（4分）故所求圆的方程为22235(2)()()22x y ++-=．（6分）（II ）设直线AB 到原点距离为d ，则1d ==．（8分） 若直线AB 斜率不存在，不符合题意．若直线AB 斜率存在，设直线AB 方程为1(1)2y k x -=-，则1d ==，解得0k =或34k =-．（11分） 所以直线AB 的方程为210y -=或3450x y +-=．（12分）17．解：（I ）证明：连结BD 交AC 于点O ，连结EO ．因为E ，O 分别是1DD 与BD 的中点，所以1OE BD P ．（3分）又因为OE 在平面AEC 内，1BD 不在平面AEC 内，所以1BD P 平面AEC ．（6分）（II ）连结11,A C A B ，由于11AA CC P 且11AA CC =四，所以边形11ACC A 为平行四边形，11AC A C P ，异面直线1BC 与AC 所成的角为11A C B ∠或其补角．（9分）而11A BC V 为正三角形，所以异面直线1BC 与AC 所成的角为60︒．（12分）18．解：（I ）由cos 23cos()1A B C -+=，得22cos 3cos 20A A +-=．（2分） 即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，解得1cos 2A =或cos 2A =-（舍去）．（4分） 因为0A π<<，所以3A π=．（6分）（II）由1sin 2S bc A ===20bc =．又5b =，知4c =．（8分） 由余弦定理得2222cos 21a b c bc A =+-=，故a =．（10分） 从而由正弦定理得22sin sin 2035sin sin sin 2147b Ac A bc B C A a a a =⋅==⨯=．（12分）19．解：（I ）取AB 的中点O ，连结EO ，DO ．因为EB EA =，所以EO AB ⊥．因为四边形ABCD 为直角梯形，AB BC ⊥，22AB CD BC ==，所以四边形OBCD 为正方形，所以AB OD ⊥．因为EO DO O =I ，所以AB ⊥平面EOD ，所以AB ED ⊥．（4分）（II ）因为平面ABE ⊥平面ABCD ，且EO AB ⊥，所以EO ⊥平面ABCD ，所以EO OD ⊥．由OB ，OD ，OE 两两OEC 1CD 1B 1DA 1BAz yxFODCEAB垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -．因为EAB V 是等腰直角三角形，所以OA OB OD OE ===．设1OB =，则(0,0,0)O ，(1,0,0)A -，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,1,0)D ，(0,0,1)E ．所以(1,1,1)EC =-uu u r ，平面ABE 的一个法向量为(0,1,0)OD =uuu r ．设直线EC 与平面ABE 所成的角为θ，则||sin |cos ,|||||EC OD EC OD EC OD θ⋅=<>==⋅uu u r uuu ruu u r uuu r uu u r uuu r EC 与平面ABE 所成的角．（8分） （III ）存在点F ，且13EF EA =时，有EC P 平面FBD ．（9分） 证明如下：由111(,0,)333EF EA ==--uu u r uu r ，12(,0,)33F -，所以42(,0,)33FB =-uu r ，(1,1,0)BD =-uu u r ．设平面FBD 的法向量为(,,)v a b c =r ，则有00v BD v FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu u r r uu r ，所以042033a b a c -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩．取1a =，得(1,1,2)v =r ．因为0EC v ⋅=uu u r r 且EC ⊄平面FBD ，所以EC P 平面FBD ．即点F 满足13EF EA =时，有EC P 平面FBD ．（12分）20．解：（I ）在平行四边形ABCD 中，60BAD ∠=︒，6AB =，3AD =，G 为CD 中点，得BG AG ⊥，所以FG AG ⊥．（2分）又因为直线GE 与平面ABCD 所成角为30︒，所以直线AF 与平面ABCD 所成角为30︒，所以F 到平面ABCD 的距离为．所以FG ⊥平面ABCD ．（6分）（II ）由（I ）知FG BG ⊥，所以BG ⊥平面ABCD ．（8分）过点G 作GH EF ⊥，垂足为H ，则BH EF ⊥，所以BHG ∠为所求二面角的平面角．（11分） 在直角BGH V 中，3BG =，GH =，tan BHG ∠=13分）H EFG C DBA21．解：（I ）设点(,)P x y ，由题意可得||2||PA PB ==．化简可得22(2)4x y -+=．（4分）（II ）设00(,)Q x y ，由题可得4)2(22=+-y x ，⎩⎨⎧⨯=+⨯=+122200y y x x 代入上式消去可得4)2()2(2020=-+-y x ，即Q 的轨迹为4)2()2(22=-+-y x ，即y x y x 44422+=++．（6分） 令222222||||(2)(3)z QA QC x y x y =+=+++-+2222213685x y x x y =+-+=++．所以0586=-++z y x ，21033=≤-=r z d ，所以1353z ≤≤．因此22||||QA QC +的最大值为53，最小值为13．（9分） （注：用参数方程计算的参考给分） （III ）λ的取值范围是．（10分） 证明：设11(,)E x y ，22(,)F x y 且12y y <．因为FA EA λ=uu r uu r ，所以21212(2)x x y y λλ+=+⎧⎨=⎩，且1λ>．（11分）设过A 的直线方程为2x ty =-（一定存在），与Q 的轨迹方程联立，2224440x ty x y x y =-⎧⎨+--+=⎩．消去x 得22(1)(84)160t y t y +-++=．22(84)64(1)0t t ∆=+-+>，解得34t >．而122841t y y t ++=+，122161y y t =+，212122112()2y y y y y y y y +++=，因此2143162445251(43)6(43)t t t t λλ-++=+=+≤+-++-，当且仅当2t =时等号成立．所以130λλ+-≤（1k >），解得1λ<≤（14分） （注：用平面几何方法得出结论的参考给分．）。
2014-2015学年四川省成都市新津中学高三(上)期中数学试卷和答案(理科)
2014-2015学年四川省成都市新津中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．（5分）已知集合M={y|y=（）x，x∈R}，N={1，0，﹣1}，则M∩N=（）A．{1，0，﹣1}B．{1，﹣1}C．{1，0}D．{1}2．（5分）设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数为纯虚数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）设α是第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，且cosα=x，则tanα=（）A．B．C．D．4．（5分）若命题p1：y=log2014[（2﹣x）（2+x）]为偶函数；若命题p2：y=log2014为奇函数，则下列命题为假命题的是（）A．p1∧p2B．p1∨￢p2C．p1∨p2D．p1∧￢p25．（5分）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）A．8 B．C．10 D．6．（5分）已知正项等比数列{a n}满足a7=a6+2a5．若存在两项a m，a n使得，则的最小值为（）A．B．C．D．7．（5分）如图所示的算法中，令a=tanθ，b=sinθ，c=cosθ，若在集合中，给θ取一个值，输出的结果是sinθ，则θ值所在范围是（）A．B．C．D．8．（5分）函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为（）A．{x|x＞0}B．{x|x＜0}C．{x|x＜﹣1，或x＞1}D．{x|x＜﹣1，或0＜x＜1}9．（5分）O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若，则△ABC是（）A．以AB为底边的等腰三角形B．以BC为底边的等腰三角形C．以AB为斜边的直角三角形D．以BC为斜边的直角三角形10．（5分）已知直线（1﹣λ）x+（3λ+1）y﹣4=0（λ∈R）所过定点恰好落在曲线f（x）=上，若函数h（x）=f（x）﹣mx+2有三个不同的零点，则实数m的范围是（）A．（，1）B．（﹣∞，）∪（1，+∞）C．（﹣∞，）∪[1，+∞）D．（，1]二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（1﹣）4展开式中的系数是．12．（5分）已知向量与的夹角为，且，若，则实数λ=．13．（5分）两个等差数列的前n项和之比为，则它们的第7项之比为．14．（5分）函数y=x﹣2sinx在[0，π]上的递增区间是．15．（5分）若a，b是任意非零的常数，对于函数y=f（x）有以下5个命题：①f（x）是T=2a的周期函数的充要条件是f（x+a）=f（x﹣a）；②f（x）是T=2a的周期函数的充要条件是f（x+a）=﹣f（x）；③若f（x）是奇函数且是T=2a的周期函数，则f（x）的图形关于直线对称；④若f（x）关于直线对称，且f（x+a）=﹣f（x），则f（x）是奇函数；⑤若f（x）关于点（a，0）对称，关于直线x=b对称，则f（x）是T=4（a﹣b）的周期函数．其中正确命题的序号为．三、解答题（共6小题，满分75分.其中16-19每题12分，20题12分，21题14分）16．（12分）已知数列{a n}满足a1=，且a n+1=（n∈N+）．（1）证明数列是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=a n a n+1（n∈N+），数列{b n}的前n项和记为T n，证明：T n＜．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求sinBsinC的最大值．18．（12分）某班的数学研究性学习小组有9名成员，在暑假中各自都进行了小课题研究活动，其中参加活动一次的为2人，参加活动两次的为3人，参加活动三次的为4人．（1）从中人选3人，求这3人参加活动次数各不相同的概率；（2）从中任选2人，求这2人参加活动次数之和的随机变量ξ的分布列和期望．19．（12分）如图四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上且AG=GD，BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点，四面体P﹣BCG的体积为．（1）求二面角P﹣BC﹣D的正切值；（2）求直线DP到平面PBG所成角的正弦值；（3）在棱PC上是否存在一点F，使异面直线DF与GC所成的角为60°，若存在，确定点F的位置，若不存在，说明理由．20．（13分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求△ABC面积的最大值．21．（14分）设函数f（x）定义在（0，+∞）上，f（1）=0，导函数f′（x）=，g（x）=f（x）+f′（x）．（Ⅰ）求g（x）的单调区间和最小值；（Ⅱ）讨论g（x）与的大小关系；（Ⅲ）是否存在x0＞0，使得|g（x）﹣g（x0）|＜对任意x＞0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在请说明理由．2014-2015学年四川省成都市新津中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．（5分）已知集合M={y|y=（）x，x∈R}，N={1，0，﹣1}，则M∩N=（）A．{1，0，﹣1}B．{1，﹣1}C．{1，0}D．{1}【解答】解：，则M∩N={1}．故选：D．2．（5分）设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数为纯虚数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：因为“ab=0”得a=0或b=0，只有a=0，并且b≠0，复数为纯虚数，否则不成立；复数=a﹣bi为纯虚数，所以a=0并且b≠0，所以ab=0，因此a，b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件．故选：B．3．（5分）设α是第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，且cosα=x，则tanα=（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得x＜0，r=|OP|=，故cosα==．再由可得x=﹣3，∴tanα==﹣，故选：D．4．（5分）若命题p1：y=log2014[（2﹣x）（2+x）]为偶函数；若命题p2：y=log2014为奇函数，则下列命题为假命题的是（）A．p1∧p2B．p1∨￢p2C．p1∨p2D．p1∧￢p2【解答】D解：函数y=log2014[（2﹣x）（2+x）]，定义域均为（﹣2，2），对f（x）=log2014[（2﹣x）（2+x）]，f（﹣x）=log2014[（2+x）（2﹣x）]=f（x），∴y=log2014[（2﹣x）（2+x）]为偶函数，即命题p1为真命题；对于函数，，∴为奇函数，命题p2为真命题；则有：命题p1∧（￢p2）中，p1为真命题，￢p2为假命题，“且”命题为假命题．故选：D．5．（5分）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）A．8 B．C．10 D．【解答】解：三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图，四个面的面积分别为：8，6，，10，显然面积的最大值，10．故选：C．6．（5分）已知正项等比数列{a n}满足a7=a6+2a5．若存在两项a m，a n使得，则的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：设等比数列的公比为q（q＞0），则∵a7=a6+2a5，∴a5q2=a5q+2a5，∴q2﹣q﹣2=0，∴q=2，∵存在两项a m，a n使得，∴a m a n=16a12，∴q m+n﹣2=16，∴m+n=6∴=（m+n）（）=（10+）m=1，n=5时，=；m=2，n=4时，=．∴的最小值为，故选：B．7．（5分）如图所示的算法中，令a=tanθ，b=sinθ，c=cosθ，若在集合中，给θ取一个值，输出的结果是sinθ，则θ值所在范围是（）A．B．C．D．【解答】解：程序框图的功能是求a，b，c的最大值∵输出的结果是sinθ，∴sinθ最大即解得故选：D．8．（5分）函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为（）A．{x|x＞0}B．{x|x＜0}C．{x|x＜﹣1，或x＞1}D．{x|x＜﹣1，或0＜x＜1}【解答】解：令g（x）=e x•f（x）﹣e x，则g′（x）=e x•[f（x）+f′（x）﹣1]∵对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，∴g′（x）＞0恒成立即g（x）=e x•f（x）﹣e x在R上为增函数又∵f（0）=2，∴g（0）=1故g（x）=e x•f（x）﹣e x＞1的解集为{x|x＞0}即不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为{x|x＞0}故选：A．9．（5分）O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若，则△ABC是（）A．以AB为底边的等腰三角形B．以BC为底边的等腰三角形C．以AB为斜边的直角三角形D．以BC为斜边的直角三角形【解答】解：设BC的中点为D，∵，∴•（2﹣2）=0，∴•2=0，∴⊥，故△ABC的BC边上的中线也是高线．故△ABC是以BC为底边的等腰三角形，故选：B．10．（5分）已知直线（1﹣λ）x+（3λ+1）y﹣4=0（λ∈R）所过定点恰好落在曲线f（x）=上，若函数h（x）=f（x）﹣mx+2有三个不同的零点，则实数m的范围是（）A．（，1）B．（﹣∞，）∪（1，+∞）C．（﹣∞，）∪[1，+∞）D．（，1]【解答】解：依题意，直线为（x+y﹣4）﹣λ（x﹣3y）=0，联立，解得，故定点为（3，1），log a3=1，∴a=3，．令h（x）=f（x）﹣mx+2=0，故f（x）=mx﹣2．则f（x）的图象与g（x）=mx﹣2的图象有三个不同的交点．作图，得关键点A（0，﹣2），B（3，1），C（4，0），可知g（x）=mx﹣2应介于直线AB与直线AC之间．由k AB=1，，故．故选：A．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（1﹣）4展开式中的系数是﹣16．【解答】解：的通项为，令r=1，可得的系数是﹣16，故答案为：﹣16．12．（5分）已知向量与的夹角为，且，若，则实数λ=1．【解答】解：∵，∴∵∴（2）=2∴2﹣2λ=0∴λ=1故答案为：113．（5分）两个等差数列的前n项和之比为，则它们的第7项之比为3：1．【解答】解：设这两个等差数列的前n项和分别为S n，T n，由题意知===3，故答案为：3：114．（5分）函数y=x﹣2sinx在[0，π]上的递增区间是[，π] ．【解答】解：y′=1﹣2cosx，由y′=0解得x=，当0≤x＜时，1﹣2cosx＜0，∴函数y=x﹣2sinx在[0，]上递减；当＜x≤π时，1﹣2cosx＞0，∴函数y=x﹣2sinx在[，π]上递增；故答案为：[，π]．15．（5分）若a，b是任意非零的常数，对于函数y=f（x）有以下5个命题：①f（x）是T=2a的周期函数的充要条件是f（x+a）=f（x﹣a）；②f（x）是T=2a的周期函数的充要条件是f（x+a）=﹣f（x）；③若f（x）是奇函数且是T=2a的周期函数，则f（x）的图形关于直线对称；④若f（x）关于直线对称，且f（x+a）=﹣f（x），则f（x）是奇函数；⑤若f（x）关于点（a，0）对称，关于直线x=b对称，则f（x）是T=4（a﹣b）的周期函数．其中正确命题的序号为①④⑤．【解答】解：f（x+a）=f（x﹣a）时，f（x+2a）=f（x），f（x）是T=2a的周期函数f（x）是T=2a的周期函数时，f（x+a）=f（x﹣a）一定成立，故①正确；当f（x+a）=﹣f（x）时，f（x+2a）=f（x），f（x）是T=2a的周期函数f（x）是T=2a的周期函数时，f（x+a）=﹣f（x）不一定成立，故f（x）是T=2a的周期函数的充分条件是f（x+a）=﹣f（x），故②错误；若f（x）是奇函数且是T=2a的周期函数，则f（x）的图形不一定是轴对称图象，故③错误；若f（x）关于直线对称，则f（a+x）=f（x），又由f（x+a）=﹣f（x），可得f （x）=﹣f（﹣x），即f（x）是奇函数，故④正确；函数f（x）是以4（m﹣a）为周期的周期函数．由条件图象关于点（a，0）对称，故﹣f（x）=f（2a﹣x），又图象关于直线x=b对称，f（2b﹣x）=f（x），所以，﹣f（2b﹣x）=f（2b﹣x），即﹣f（x）=f（2a﹣2b+x）．由﹣f（x）=f（2a﹣2b+x）得：﹣f（2a﹣2b+x）=f（4a﹣4b+x），∴﹣（﹣f（x））=f（4a﹣4b+x），因此，f[4（a﹣b）+x]=f（x），所以，f（x）是以4（a﹣b）为周期的函数．故⑤正确故答案为：①④⑤三、解答题（共6小题，满分75分.其中16-19每题12分，20题12分，21题14分）16．（12分）已知数列{a n}满足a1=，且a n+1=（n∈N+）．（1）证明数列是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=a n a n+1（n∈N+），数列{b n}的前n项和记为T n，证明：T n＜．【解答】（1）证明：∵数列{a n}满足a1=，且a n+1=（n∈N+），∴=+3，∴=3，又，∴{}是首项为2，公差为3的等差数列．∴=2+（n﹣1）×3=3n﹣1，∴．（2）b n=a n a n+1==，∴T n===．∴T n＜．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求sinBsinC的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵=﹣，∴由正弦定理可得：=﹣，整理得：cosAsinB+2cosAsinC=﹣sinAcosB，即2cosAsinC=﹣sin（A+B），∴2cosAsinC=﹣sinC，∴cosA=﹣，又A为三角形的内角，则A=；（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2+bc，①由正弦定理得：===，∴sinB=，sinC=，∴sinB•sinC=，②①代入②，sinB•si nC=≤=，当且仅当b=c时，sinBsinC取最大值．18．（12分）某班的数学研究性学习小组有9名成员，在暑假中各自都进行了小课题研究活动，其中参加活动一次的为2人，参加活动两次的为3人，参加活动三次的为4人．（1）从中人选3人，求这3人参加活动次数各不相同的概率；（2）从中任选2人，求这2人参加活动次数之和的随机变量ξ的分布列和期望．【解答】解：（1）从人中任选3人，一共有种不同选法，其中这3人的活动次数各不相同的选法有=24种，∴这3人参加活动次数各不相同的概率p==，（2）由题意知ξ=2，3，4，5，6，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，P（ξ=4）==，P（ξ=5）=，P（ξ=6）==．∴ξ的分布列为：Eξ==．19．（12分）如图四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上且AG=GD，BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点，四面体P﹣BCG的体积为．（1）求二面角P﹣BC﹣D的正切值；（2）求直线DP到平面PBG所成角的正弦值；（3）在棱PC上是否存在一点F，使异面直线DF与GC所成的角为60°，若存在，确定点F的位置，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵BG⊥GC，GB=GC=2，四面体P﹣BCG的体积为，∴，解得PG=4，设二面角P﹣BC﹣D的大小为θ，∵GB=GC=2，E为中点，∴GE⊥BC，同理PE⊥BC，∴∠PEG=θ，∵BG⊥GC，GB=GC=2，∴EG==，∴tanθ===2．∴二面角P﹣BC﹣D的正切值为2．…（3分）（2）∵GB=GC=2，AG=GD，BG⊥GC，E是BC的中点，∴△BGC为等腰直角三角形，GE为∠BGC的角平分线，作DK⊥BG交BG的延长线于K，∵PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，∴DK⊥面BPG∵∠DGK=∠BGA=45°，DK⊥GK，∴DK=GK，∵AG=GD，∴DK2+GK2=DG2=（）2==，∴DK=CK=．∵PG=4，DG==，PG⊥DG，∴=，设直线DP与平面PBG所成角为α∵DK⊥面BPG∴∠DPK=α，∴，∴直线DP与平面PBG所成角的正弦值为．…（8分）（3）∵GB，GC，GP两两垂直，分别以GB，GC，GP为x，y，z轴建立坐标系假设F存在，设F（0，y，4﹣2y）（0＜y＜2），∵，∴，又直线DF与GC所成的角为60°∴，化简得：不满足0＜y＜2∴这样的点不存在．…（12分）20．（13分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求△ABC面积的最大值．（Ⅰ）因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为，【解答】解：所以，又椭圆的离心率为，即，所以，…（2分）所以a=3，．所以b=1，椭圆M的方程为．…（3分）（Ⅱ）不妨设直线AB的方程x=ky+m．由消去x得（k2+9）y2+2kmy+m2﹣9=0，…（5分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则有，．①…（6分）因为以AB为直径的圆过点C，所以．由，得（x1﹣3）（x2﹣3）+y1y2=0．…（7分）将x1=ky1+m，x2=ky2+m代入上式，得（k2+1）y1y2+k（m﹣3）（y1+y2）+（m﹣3）2=0．将①代入上式，解得或m=3（舍）．…（8分）所以，令D是直线AB与X轴的交点，则|DC|=则有=．…（10分）设，则．取得最大值．…（12分）所以当时，S△ABC21．（14分）设函数f（x）定义在（0，+∞）上，f（1）=0，导函数f′（x）=，g（x）=f（x）+f′（x）．（Ⅰ）求g（x）的单调区间和最小值；（Ⅱ）讨论g（x）与的大小关系；（Ⅲ）是否存在x0＞0，使得|g（x）﹣g（x0）|＜对任意x＞0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题设易知f（x）=lnx，g（x）=lnx+，∴g′（x）=，令g′（x）=0，得x=1，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，故g（x）的单调递减区间是（0，1），当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，故g（x）的单调递增区间是（1，+∞），因此x=1是g（x）的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，∴最小值为g（1）=1；（Ⅱ）=﹣lnx+x，设h（x）=g（x）﹣=2lnx﹣x+，则h′（x）=，当x=1时，h（1）=0，即g（x）=，当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h′（x）＜0，h′（1）=0，因此，h（x）在（0，+∞）内单调递减，当0＜x＜1，时，h（x）＞h（1）=0，即g（x）＞，当x＞1，时，h（x）＜h（1）=0，即g（x）＜，（Ⅲ）满足条件的x0 不存在．证明如下：证法一假设存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|＜成立，即对任意x＞0，有，（*）但对上述x0，取时，有lnx1=g（x0），这与（*）左边不等式矛盾，因此，不存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|＜成立．证法二假设存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|成＜成立．由（Ⅰ）知，的最小值为g（1）=1．又＞lnx，而x＞1 时，lnx 的值域为（0，+∞），∴x≥1 时，g（x）的值域为[1，+∞），从而可取一个x1＞1，使g（x1）≥g（x0）+1，即g（x1）﹣g（x0）≥1，故|g（x1）﹣g（x0）|≥1＞，与假设矛盾．∴不存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|＜成立．。
四川大学微积分1-2(2016)B卷
4．设空间曲面： z 1 ( x 2 y2 ) (0 z 1部分) 所围成，方向指向外侧，计算曲面积分 2
( x y)dydz ( y z)dzdx ( x z)dxdy .
5．求微分方程 y 4 y x cos x 的通解.
(1)求常数 A，以及该微分方程的通解.
(2)计算曲线积分 (0,1) 2 xydx ( Ax 2 2 y)dy 的值. (1,0)
3．设二元函数
f
(
x,
y)
xy , x2 y2
0,
( x, y) (0, 0)
.
( x, y) (0, 0)
(1)求证：二元函数 f ( x, y) 在点(0,0)处不可微.
0
2
0
确定的隐函数组，求
y(1),
z(1) .
第 1 页，共 2 页 试卷编号：
2．设空间区域是由 z x2 y2 与 z 2 x2 y2 所围成，计算三重积分
(2x y 3z)dxdydz .
3．设平面闭曲线 L： y cos x 从点 A(1,1)到 B(1,1)，计算曲线积分
四川大学期末考试试题（闭卷） （2015-2016 学年第 2 学期） B 卷
课程号：201138040 适用专业年级：
课序号： 学生人数：
课程名称：微积分（I）-2 任课教师：
成绩：
印题份数：
学号：
姓名：
考生承诺
我已认真阅读并知晓《四川大学考场规则》和《四川大学本科学生考试违纪作弊处分规定（修 订）》，郑重承诺：
2．二元函数 z
f (u, v) 具有二阶连续偏导数,
u
【四川大学】2014-2015春(概率统计理工)半期试题
四川大学半期考试试卷（2014—2015年第二学期）科目：概率统计（理工）考试时间：90分钟注：请将答案写在答题纸规定的方框内，否则记0分。
1.（16分）测谎仪是用来检测一个人是否说谎的仪器,常常用于安全部门的筛查、侦破、诉讼等领域.经验表明:一个真正在说谎的人被检测为在说谎的概率为0.88,而一个本来没有说谎的人被检测为在说谎的概率为0.14.已知某批参与检测的人群中有1%的人真正在说谎,试求:(1)一个参与检测的人被检测为在说谎的概率;(2)当已知一个人被检测为在说谎时,而他本身却没有说谎的概率.2.（17分）设8件产品中有2件次品,6件正品,随机地从中抽取产品,每次取一件,直到取得正品为止.(1)若无放回地抽取,抽取次数记为X,求X 的概率分布与分布函数;(2)若有放回地抽取,抽取次数记为Y,求Y 的概率分布.3.（16分）设随机变量X 有密度函数33,0()0,0x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩.令31X Y e -=-,求Y 的分布函数()Y F y 与概率密度函数()Y f y .4.（12分）设随机变量X 有密度函数4,0()160,0x x e x f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩.用Y 表示对X 的三次独立重复观测中事件{8}X >出现的次数,求(3).P Y ≥5.（15分）设二元随机变量),(Y X 有联合分布律01200.250.100.3010.150.150.05X Y (1)求X ,Y 的边缘分布律;(2)求X ,Y 的协方差(,)Cov X Y ;(3)记||Z X Y =-,求Z 的数学期望()E Z .6.（24分）设二维随机向量(,)X Y 有联合密度函数,01(,)0,Axy y x f x y <<<⎧=⎨⎩其它,试求:(1)A 的值;(2)边缘密度(),()X Y f x f y ;(3)条件概率密度函数()Y X f y x ;(4)条件概率1143P Y X ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭;(5)Z Y X =-的概率密度函数()Z f z ;(6)判定X 与Y 是否独立？说明理由.。
四川省川大附中2015届高三上学期期中考试物理试题 Word版含答案
高2012级川大附中物理半期测试题（word ）1．关于静电场的电场强度和电势，下列说法正确的是（A ） A ． 电场强度的方向处处与等势面垂直 B ． 电场强度为零的地方，电势也为零C ． 随着电场强度的大小逐渐减小，电势也逐渐降低D ． 任意一点的电场强度总是指向该点电势降落的方向2．如图所示，一高度为h 的光滑水平面与一倾角为θ的斜面相连，一小球以速度v 从平面的右端P 点向右水平抛出，则小球在空中运动的时间t 与初速v 的关系是（ C ）3．由于高速公路维修只允许单车通行，某段时间有甲，乙两辆车正在通行，甲车在前，乙车在后，如果t=0时两车相距S 0=100m ，且从此时刻开始两车按如图所示规律运动，则根据图像可得（ C ） A. 在这9s 内加速度最小在3-9s B. 在3-9s 内两车的加速度相同 C. 在这9s 内两车相距最近为10m D. 在5s 和7s 时两车间距不等 4．如图所示，一水平传送带以不变的速度v 向右运动，将质量为m 的小物块A 轻放在其左端，经t 时间后，物体A 的速度也变为v ，再经时间t 到达右端，下列说法不正确的是（ D ） A.后一段t 时间内A 与传送带间无摩擦力B.A 从左端运动到右端的过程中，平均速度为43v C.A 与传送带间的摩擦因数为gtv D. 传送带对物体做的功和物体对传送带做功的绝对值相等5.一个电子在静电场中的运动，若只受电场力作用，则在一段时间内则有（ BD ） A. 电子的动能一定增大B. 电子的动能可能减小C. 电子的速度可能不变D. 电子的加速度可能不变6. 如图所示，小车在倾角为θ的斜面上自由运动，小车的支架上用细线拴一个小球，悬点为O ，已知过O 的水平虚线MN 和竖直虚线QO ，则下列说法正确的是（ BC ）A. 若小车沿斜面无摩擦下滑，则稳定后细线的拉力为Gsin θB. 若小车沿斜面向下加速运动，则稳定后细线的拉力的最小值为Gcos θC. 若小车沿斜面有摩擦下滑，则细线可能竖直D. 若小车沿斜面有摩擦上滑，则可能满足θ<∠QOR7.如图所示，轻质弹簧的一端与固定的竖直板 P 拴接另一端与物体A 相连，物体A 置于光滑的水平面上（桌面足够大），A 右端连接一水平细线，细线绕过光滑的定滑轮与物体B 相连，开始时托住B ，让A 静止且细线恰好伸直，然后由静止释放B ，直到B 获得最大速度，下列有关B 从静止到最大速度过程的分析中正确的是（ AD ） A. B 物体受到细线的拉力也达到最大B. 弹簧弹性势能的增加量大于B 物体机械能的减少量C. A 物体机械能的增加量等于B 物体重力对B 做的功与弹簧弹力对A 做的功之和D. 细线的拉力对A 做的功等于物体A 与弹簧所组成的系统机械能的增加量 8. 如图所示，在光滑绝缘的水平面上，有质量相等的三个带电小球A 、B 和C 分别位于边长为l 的正三角形的三个顶点上，O 为A 、B 的中点，A 、B 带正电均为q ，C 带负电，整个系统置于平行桌面的匀强电场中而保持距离不变，已知静电力常数为k 。
2014-15(2)四川大学微积分期末试卷 解答
∆y → 0
f (0, 0 + ∆y ) − f (0, 0) 0 = lim = 0 ∆ → y 0 ∆y ∆y
假设 f ( x, y ) 在 (0, 0) 处的可微，则 = dz
f x′(0, 0)∆x + f y′(0, 0) = ∆y 0
考虑 lim
ρ →0
ϕ ′( x) = e x − ∫ ϕ (t )dt ，
0
x
ϕ ′′( x) = e x − ϕ ( x) ， 即 ϕ ′′( x) + ϕ ( x) = e x ，
r2 +1 = 0，
Φ ( x) = C1 cos x + C 2 sin x ，
特征根为 r1, 2 = ±i ，故对应的齐次方程的通解为 易知 Φ * ( x) =
内的部分的上侧. 解：设 S 0 为平面： x + y ≤ 2, z = 0 方向向下， Ω 为 S + S 0 围的立体，
2 2
Ω 在 xOy 上投影 D xy : x 2 + y 2 ≤ 2, z = 0 ，
用极坐标表示： 0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ r ≤ 利用高斯公式得
S + S0
2
∫∫ ( y
故
∂2 z 3 = − ∂x∂y (0,0) 25
1
∂2 z = 2. 设 z f (2 x − y, y sin x) ，其中 f 具有连续二阶偏导数，求 ∂x∂y= x
解： 令 u =2 x − y, v =y sin x ， 则
π
.
= ,y 2 4
∂z ∂f ∂u ∂f ∂v = ⋅ + ⋅ = 2 fu′ + y cos xf v′ ， ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
2014-2015学年数2-B答案
f '(x) 0
,且
1 f ( x)dx 1
0
3
,求
1 f 1 ( x)dx . 0
解: 1 f 1 ( x)dx 0
1
y
f '( y)dy, y
f
1 ( x)
0
yf ( y) |10
1 0
f ( y)dy
1 1 2.
33
4.
若 f 2(x) 1
x
[
f
2 (t )
(
f
'(t ))2 ]dt
3 x) sin 2x 3cos 2x x 1
2
13Biblioteka 2626. 计算由抛物面 z x 2 y 2 ,柱面 x 2 y 0 ,以及平面 2x y 0 , xy 坐标平面围
成的封闭空间的体积.
解: V Dzd ， D : x 2 y 0 和 2x y 0 围成的封闭区域。
( x 2 y 2 )d D
lim 0 x
e ax
lim
x
f ( x)e ax ae ax
b.
a
x
a
证:方程 y'ay f ( x) 的通解为
y e ax ( x f (t )e at dt C ) . 0
lim y( x) lim e ax ( x f (t )e at dt C )
x
x
0
lim e ax x f (t )e at dt
x
0
x f (t )e at dt
距离最短. 解：建立目标函数
F ( x, y, z,, ) x 2 y 2 z 2 (2x 3 y z 3) ( x 2 y 2 4)
2015级第一学期期中考试解答(last)
[用其他方法，比如换元或者泰勒公式，参照此给分] 解：(利用 Taylor 公式） u ( x) ( x
1 3 1 x o( x 3 )) x x 3 o( x 3 ) ,（3 分） 6 6
6. 设 y ln 解： y
2
arctan
1 ，求 y (1) . x
1 2 1 [ln ln arctan ] ，所以 2 x
解：因 x 0 时， y 1 ，所以，
( y )
y 1
1 1 1 1 f (0) ln 3 x 2 x 2 2
2
x 0
1 1 1 ln 2 ln 2
1 ( 10 ) ，求 y ( x) ． 2 x 3x 1 1 1 2 解：因 y ，所以 2 2 x 3x 1 x 1 2 x 1
由题设知，在
km， 注意，变量设置不同时解法有差别。
km/h，于是汽车的速度为
km/h . （5 分）
[典型错误] 设汽车的行进速度为 a km/h,a 为常数，时间为 t 小时，汽车和飞机的距离为 d km,则
二、综合题（每小题 6 分，共 30 分） 13．求函数
的导函数
，并讨论
的连续性。
解：因
11．求函数 f ( x)
f ( x) lim 解：间断点为 x 0 ， x 1 （2 分） 。因 lim
x 0 x 0
x 0
lim f ( x) lim
x 0
x sin(1 x) sin 1 ，所以 x 0 为跳跃间断点； x( x 2 1)
三、证明题（每小题 5 分，共 10 分） 18．设 一点 在闭区间 ，使 上有二阶导数，且 ； （2）至少存在一点 ，不妨设 ， ，使 ，则有 . ，证明： （1）至少存在
川大高数半期考试试卷
x 0 y 0
(
( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) 0 . 若在(x0, y0)有 lim ) 4. 设 f x
z
0
0
则 z=f(x, y)在(x0, y0)是可微的，其中 ( x )2 ( y )2 .
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一、判断题：下列陈述，你认为正确者， 请在前 面括号里填 入 Y ， 否则填 入 N.
阅卷人签名
(每小题 3 分 , 共 12 分 ) ( ) 1. 设连续函数 f(x)以 T 为周期. 若函数 f ( t )dt 仍以 T
a
T 0
x
为周期, 则 f ( x )dx 0 . ( ) 2. 设 f(x)是连续函数. 如果
a
f ( x )dx 收敛 lim f ( x ) 0.
x
f ( x )dx 收敛. a a a f ( x ) dx 收敛 a f ( x )dx 收敛. x f ( x ) dx 收敛 a a e f ( x )dx 收敛.
x 2 f ( x )dx 收敛
阅卷人签名
1. lim
n
n
k 1
1 nk
2. lim
( x 1) y x 1 | x 1 | | y |
y 0
第 4 页 共 8 页
2u 3. 设 x+y+u+xy+u － 1=0. 求 . x y
2
ln(1 x 2 y 2 ) 4. I 2 2 1 x 2 y 2 dxdy . 2 0 x y R
r
H
六、应用题 :(共 10 分) 一个正圆柱形的水 桶,内径为 2r, 内深为 H.里面装了一些水,
四川大学期末考试试卷A卷
四川大学期末考试试卷（A 卷）（2014—2015年第二学期）科目：微积分（I ）-2 课程号： 考试时间：120分钟注：请将答案写在答题纸规定的方框内，否则记0分。
一、填空题(每小题3分，共18分)1．函数22ln(2)z x y =++在x =2，y =1时的全微分为2．已知曲线23,,x t y t z t ===上的点M 处的切线平行于平面24x y z ++=，则M 的坐标 是3．二重积分()22222sin 34x y a x x y d σ+≤-++⎰⎰的值等于4．设L 为连接(1,0), (0,1)两点的线段，曲线积分()L x y ds +⎰的值等于5. 设∑为平面1x y z ++=在第一卦限的部分，曲面积分2(1)dS x y ∑++⎰⎰的值等于 6．微分方程ln dy y x y dx x=的通解是 二、计算题 (每小题8分，共48分)1．设 5431z xz yz -+=，求2(0,0)z x y ∂∂∂． 2．设(2,sin )z f x y y x =-，其中f 具有连续二阶偏导数，求2 , 24x y z x yπ==∂∂∂． 3．计算2z dxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是两个球2222xy z R ++≤，2222 (0)x y z Rz R ++≤>所围成的闭区域．4．利用格林公式计算积分232()(2)Lx xy dx y xy dy -+-⎰Ñ，其中L 顶点为(0,0), (2,0), (2,2)和(0,2)的正方形区域的正向边界．5．计算222()()()SI y x dydz z y dzdx x z dxdy =-+-+-⎰⎰,其中S 为抛物面222z x y =--位于0z ≥内的部分的上侧．6．求微分方程tan sec dy y x x dx-=满足初始条件00x y ==的特解．三、应用题 (每小题10分，共20分)1．抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求原点到此椭圆的最长和最短距离．2．设函数()x ϕ连续， 且满足00()()()x x x x e t t dt x t dt ϕϕϕ=+-⎰⎰， 求()x ϕ． 四、分析证明题 (每小题7分，共14分)1．设222222),0(,)0,0x y x y f x y x y ++≠=⎨⎪+=⎩，讨论(,)f x y 在(0,0)处的可微性．2．设()[,],()0f x C a b f x ∈>，证明2()()()bb a a dx f x dx b a f x ≥-⎰⎰．。
四川省成都六校2014-2015学年高一上学期期中考试化学试卷.pdf
B、NO
C、N2O
D、N2O5A．MnO2＋4HCl＝MnCl2＋2H2O＋Cl2↑
B．2Cl22Ca(OH)2＝CaCl2＋Ca(ClO)2＋2H2O
C．5Cl2I2＋6H2O＝10HCl＋2HIO3
D．2NaCl2H2O2NaOH＋Cl2↑＋H2↑
23．下列溶液中，Cl的物质的量浓度与50ml 1mol/LAlCl3溶液中Cl-物质的量浓度相等是
A．100ml 1mol/LNaCl溶液
B．75ml 1mol/LMgCl2溶液
C．150ml 3mol/LKCl溶液
D．25ml 2mol/LAlCl3溶液
A．已知气体在标准状况时的密度
B．已知物质的体积和质量
C．已知一物质的质量和物质的量
D．已知物质一个分子的实际质量
A．总数
C．NaHSO4D．NaHSO4A．B．
C．D．
A. Cl-
B. Ba2＋
C. NO3-
D. Na+
13. 下列化学方程式不能用离子方程式Ba2++SO42-＝BaSO4↓表示的是
A. Ba(NO3)2+H2SO4＝BaSO4↓+2HNO3
B. BaCl2+Na2SO4＝BaSO4↓+2NaCl
。
（2）H2O2既体现氧化性又体现还原性的反应是（填代号）
。
（3）H2O2体现酸性的反应是（填代号）
。
（4）上述反应说明H2O2、Ag2O、K2CrO4氧化性由强到弱的顺序是：
。
27．（8分）为除去粗盐中的Ca2+、Mg2+、SO42以及泥沙等杂质，（1）判断BaCl2已过量的方法是
B．滤去不溶性杂质以后，将滤液移至坩埚内加热浓缩
四川大学期末考试试题(闭卷)2016-2017春微积分
（四川大学期末考试试题（闭卷） （2016——2017 学年第 2 学期）A 卷印题份数：学号：课程号：201138040 课序号： 课程名称：微积分（I ）-2 任课教师：成绩：适用专业年级：学生人数：姓名：⎨ ⎩3. 求微分方程 y ' + 2 y ' + y = 6 x e- x的通解．4. 设 f ( x , y ) 的二阶偏导都连续，f (0,0) = 0 ， f x'(0,0) = f y '(0,0) = 1 ， f x 'x (0,0) = 2 ，函数 z = z ( x , y ) 由 z =f ( x + y , yz ) 确定，求 z 'x (0,0)、 z 'y (0,0)、 z 'y 'x (0,0)．三、综合题 (每小题 9 分，共 18 分)⎧ x 2 y 21．讨论函数 f ( x , y ) = ⎪ (2 x 2 + 7 y 2 )3/ 2, ( x , y ) ≠ (0,0) 在点(0,0) 处的下列性质：⎪0 , ( x , y ) = (0,0) （1）偏导数的存在性；（2）函数的连续性；（3）函数的可微性．2．设 f '( x ) 连续， f (1) = 2017 ，当 x ≠ 0 时 f ( x ) > 0 ，曲线积分 ⎰ Ly d x - x d yf ( x ) + 2017 y 2y d x - x d y在不含原点的单连通区域上与路径无关，求：（1） f ( x ) 的表达式；（2）⎰ Lf ( x ) + 2017 y 2，其中 L 为 x2+ 2017 y 2 = 1 ， L 的方向规定为逆时针方向．四、应用题 (每小题 9 分，共 18 分)1. 设曲面∑ 是由 yoz 平面上的曲线 z = y 2绕 z 轴旋转产生的，曲面∑ 与平面 x +zy + z= 12围成的立体记为Ω ，求：（1）曲面∑ 的方程；（2）曲面∑ 与平面 x +y + = 1 的交线在 xoy2平面上的投影的曲线方程；（3）计算Ω 的体积．(提示：利用 x + 1 = ρ cos θ 、y + 1 = ρ sin θ )zy 2 2. 在椭圆抛物面= x 2 +与平面 z = 20 围成的空间区域中内置一个长方体，假设该长方204体的一个面位于 z = 20 上，长方体的其它面都与某个坐标平面平行，求长方体的体积的最大值．五、证明题 (7 分)设区域 D 为 x2+y 2:(1， I = ⎰⎰sin( x 2 + Dy 2 )5/ 2 d x d y ，求证：d t ；（2）I <2π2/ 7 ；（3）I >π34· ˝ 解：直接代入曲线方程，´ y dx ´+ x d y = ˜¸L LL/ 4 ．参考解答及其评分标准一、填空题：（每题3分，共21分）1、曲面 z = 2x y 上点(1, 0, 2)处的切平面方程为.解：z x (1, 0) = 0，z y (1, 0) = 0，故切平面方程为z − 2 = 0.2、 20x 3 + 17y 3limx →0 y →0x 2 + y =.解：limx →0 y →020x 3 + 17y 3x 2 + y 2= lim ρ (20 cos 3 θ + 17 sin 3ρ→0+θ) = 0.3、设 Ω为x 2 + y 2 + z 2� 1，则 (x 2+ y 2 + z 2)dxdydz =.Ω2π π 1 2 21 4解：原式= ´0 dθ ´0 dϕ ´0 r · r sin ϕdr = 2π · 2 · 5 = 5 π. 4、设L 是y = x 2 − 1上从(0, −1)到(2, 3)的有向曲线，则´ ydx + xdy = .2− 1 + x · 2x )dx = 6. 5、设区域D 是由y = x 2与y = x 围成的，则 xydxdy = .D1 x 1 1 3 51解：˜ xydxy = ´0 dx ´x 2 xydy = ´0 2 (x − x )dx = 24 . 6、设曲线L 的方程为x 2 + y 2 = 1，则 (x 2 + 7y 2)ds = .L解：由曲线L 的对称性 ¸ x 2ds = ¸ y 2ds ，2L 20 D5∵∴ ¸ (x 2 + 7y 2)ds = 4¸ (x 2 + y 2)ds = 4¸ ds = 8π.7、微分方程 xy ， + y = x 2满足y (3) = 4的特解为 .解： (xy )， = x 2，xy = 1 x 3 + C ，由y (3) = 4可得： 312 = 9 + C ，于是C = 3，∴ y = 1 x 2 + 3.3xL L L6✓ ˜˜Σx 2+y 2�120 0 2、设曲面}为z = ✓1 − x 2 − y 2， 方向规定为上侧， 求˜ x 2dydz +}˝ ´ ˜ 1 2 ˝π/2 1 2 ΣΣ二、计算题：（每题9分，共36分）1、设曲面Σ为z =x 2 + y 2（x2+ y 2� 1），求˜(20xy + 17y 2)dS .解：由曲面Σ的对称性 xydS = 0， ............ 1分Σ˜ x 2dS = ˜y 2dS ， ....................... 1分 ∴ (20xy + 17y 2)dS Σ 17 2 = 2˜(x + y 2 )dS ..................................................... 2分 =17 √2 ˜ (x 2 + y 2)dxdy .................................... 2分= 17 √2 ´ 2π dθ ´ 1 ρ3dρ ..............................................2分=17 √2π .................................................................... 1分4y 2dzdx + 5z 3dxdy.艺解：补充平面z = 0，使得它们与曲面围成封闭的立体Ω，曲面方向都指向外侧； ............................................................ 1分显然在补充的平面上，曲面积分为零， ..................................... 1分 于是由高斯公式可得˜ x 2dydz +y 2dzdx +5z 3dxdy = ˝(2x +2y +15z 2)dxdydz ; ........... 1分 艺Ω由立体Ω的对称性，˝ xdxdy dz = ˝y dxdy dz = 0; ......................... 2分ΩΩ2 1 2用截面法计算三重积分z Ωdxdydz = 0 dz z D zdxdy .......................... 1分= ´0 z · π(1 − z 2) = π .................................................................... 2分15因此，˜ x 2dy dz +y 2dz dx +5z 3dxdy = 15˝ z 2dxdy dz = 2π .............. 1分艺Ω另解：前面解答步骤习题，用球面坐标计算三重积分 z 2dxdydz Ω2ππ/21 222= ´0 dθ ´0 dϕ ´0 r cos ϕ· r sin ϕdr ............................................... 1分= 2π ´0 cos ϕ sin ϕdϕ ´0 r dr = π ................................................. 2分 15 因此，˜ x 2dy dz +y 2dz dx +5z 3dxdy = 15˝ z 2dxdy dz = 2π .............. 1分 艺Ω2Σ22 473、求微分方程y ，， + 2y ， + y = 6xe −x 的通解。