2019-2020学年黑龙江省哈尔滨三中高三(上)期末数学试卷(理科)

2019-2020学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）期末数学试卷（理
科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设集合{|1}P x x =„，集合1|1Q x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭
„，则(P Q =I )
A ．ϕ
B ．{1}
C ．{|0}x x <
D ．{|0x x <或1}x =
2．（5分）设复数1z i =，21z i =+，则复数12z z z =g 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．（5分）设函数2,0()1,0x x f x x -⎧=⎨>⎩
„，则满足(1)(2)f x f x +<的x 的取值范围是( )
A ．(-∞，1]-
B ．(0,)+∞
C ．(1,0)-
D ．(,0)-∞
4．（5分）已知椭圆22
143
x y +=，则与椭圆相交且以点(1,1)A 为弦中点的直线所在方程为(
)
A ．3470x y ++=
B ．2570x y +-=
C ．3410x y -+=
D ．3470x y +-=
5．（5分）“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按照干
支顺序相配，构成了“干支纪年法”，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅⋯⋯癸酉、甲戌、乙亥、丙子⋯
⋯癸未、甲申、乙酉、丙戌⋯⋯癸巳⋯⋯癸亥，60为一个周期，周而复始，循环记录．按照“干支纪年法”，中华人民共和国成立的那年为己丑年，则2013年为(
)
A ．甲巳年
B ．壬辰年
C ．辛卯年
D ．癸巳年
6．（5分）设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面 ①m α⊂，//n α，则//m n ； ②//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥； ③n αβ=I ，//m n ，//m α，则//m β； ④若//m α，//n β，//m n ，则//αβ．
上述四个命题中，正确的个数为( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．（5分）在ABC ∆中，1CA =，3CB =，
2
ACB π
∠=，点M 满足3CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r
，则(MA MB =u u u r u u u r g
) A ．3
B ．6
C ．9
D ．0
8．（5分）由直线1y x =-上的点向圆22(2)(3)1x y -+-=引切线，则切线长的最小值为(
) A ．1
B ．2
C ．2
D ．3
9．（5分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(1)(21)n n a n =--，则2019(S = ) A ．2019
B ．2019-
C ．4037-
D ．4037
10．（5分）已知某几何体的三视图如图，则该几何体的外接球的表面积为( )
A ．
17
4
π B 1717
C ．
172
π
D 1717
11．（5分）一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是221y x -=，[1y ∈，10]，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．2.5
12．（5分）已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()2()x
f x f x '+=
，12()22f e
=，若对
任意正数a ，b 都有222
1311(())224644
x ab
f b e a -<++，则x 的取值范围是( ) A ．(2,1)-- B ．(,1)-∞-
C ．1
(1,)2-
D ．1
(0,)2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）若双曲线的渐近线方程为2y x =±，且焦点在y 轴上，则双曲线的离心率为 ． 14．（5分）将5本不同的书分给甲、乙、丙三人，一人三本，其余两人每人一本，则有 种不同分法．（结果用数字作答）
15．（5分）如图，摩天轮上一点P 在t 时刻距离地面高度满足sin()y A t b ωϕ=++，[ϕπ∈-，
]π，已知某摩天轮的半径为50米，点O 距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3
分钟转一圈，点P 的起始位置在摩天轮的最低点处．则y （米)关于t （分钟）的解析式为 ．
16．（5分）已知ABC ∆的三个顶点A 、B 、C 均在抛物线2y x =上，给出下列命题： ①若直线BC 过点3
(,0)8
M ，则存在ABC ∆使抛物线2y x =的焦点恰为ABC ∆的重心；
②若直线BC 过点(1,0)N ，则存在点A 使ABC ∆为直角三角形； ③存在ABC ∆，使抛物线2y x =的焦点恰为ABC ∆的外心； ④若边AC 的中线//BM x 轴，||2BM =，则ABC ∆的面积为23． 其中正确的序号为 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12分）ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3a =，26b =，2B A =． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求c 的值．
18．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D 、E 分别为1AA 、1B C 的中点．
（1）证明：DE ⊥平面11BCC B ；
（2）已知直线1B C 与1AA 所成的角为45︒，求二面角1D BC C --的大小．
19．（12分）已知在正项数列{}n a 中，首项12a =，点1(,n n A a a +在双曲线221y x -=上，数列{}n b 中，点(n b ，)n T 在直线1
12
y x =-+上，其中n T 是数列{}n b 的前n 项和．
（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）求使得1
|1|2020
n T -<
成立n 的最小值； （3）若n n n c a b =g ，求证：数列{}n c 为递减数列．
20．（12分）已知抛物线2:4C y x =上一点(2,1)A ，D 与A 关于抛物线的对称轴对称，斜率为1的直线交抛物线于M 、N 两点，且M 、N 在直线AD 两侧． （1）求证：DA 平分MDN ∠；
（2）点E 为抛物线在M 、N 处切线的交点，若EMN DMN S S ∆∆=，求直线MN 的方程． 21．（12分）已知函数()f x lnx ax =-，0a >．
（1）若()f x a -„对0x ∀>恒成立，求实数a 的取值集合；
（2）在函数()f x 的图象上取定点1(A x ，1())f x ，2(B x ，212())()f x x x <，记直线AB 的斜率为k ，证明：存在01(x x ∈，2)x ，使0()k f x '=成立；
（3）当*n N ∈时，证明：22231(2)()()224
n n ln ln ln n n +++⋯+>
+． （二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，将曲线1cos :(sin x C y θ
θθ=⎧⎨
=⎩
为参数）上任意一点(,)P x y
经过伸缩变换2x y y ⎧'⎪
⎨'=⎪⎩
后得到曲线2C 的图形．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极
轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线:(cos sin )8l ρθθ-=． （1）求曲线2C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（2）点P 为曲线2C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值及取得最大值时点P 的坐标．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知0a >，0b >，0c >设函数()||||f x x b x c a =-+++，x R ∈． （1）若2a b c ===，求不等式()7f x >的解集； （2）若函数()f x 的最小值为2，证明：4199
()2
a b c a b b c c a +++++++…．
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）期末数学试卷（理
科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设集合{|1}P x x =„，集合1|1Q x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭
„，则(P Q =I )
A ．ϕ
B ．{1}
C ．{|0}x x <
D ．{|0x x <或1}x =
【解答】解：Q 111
{|1}{|0}{|0}{|1x x Q x x x x x x x x
--====剟厖或0}x <
又{|1}P x x =Q „， {|0P Q x x ∴=<I 或1}x =
故选：D ．
2．（5分）设复数1z i =，21z i =+，则复数12z z z =g 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【解答】解：复数1z i =，21z i =+，则复数12(1)1z z z i i i ==+=-+g ． 复数对应的点的坐标(1,1)-，复数12z z z =g 在复平面内对应的点位于第二象限． 故选：B ．
3．（5分）设函数2,0
()1,0x x f x x -⎧=⎨>⎩
„，则满足(1)(2)f x f x +<的x 的取值范围是( )
A ．(-∞，1]-
B ．(0,)+∞
C ．(1,0)-
D ．(,0)-∞
【解答】解：函数2,0
()1,0
x x f x x -⎧=⎨>⎩„，的图象如图：
满足(1)(2)f x f x +<，
可得：201x x <<+或210x x <+„， 解得(,0)x ∈-∞． 故选：D ．
4．（5分）已知椭圆22
143
x y +=，则与椭圆相交且以点(1,1)A 为弦中点的直线所在方程为(
)
A ．3470x y ++=
B ．2570x y +-=
C ．3410x y -+=
D ．3470x y +-=
【解答】解：设(,)A x y ，(,)B x y ''，
由题意知22x x y y '+=⎧⎨'+=⎩，则22
2214314
3x y x y ⎧+=⎪⎪⎨''⎪+=⎪⎩， 两式相减得：2222
043
x x y y ''--+=，整理得：
3()34()4y y x x x x y y ''-+=-=-''-+， 所以34k =-，直线方程为：3
1(1)4
y x -=--，即3470x y +-=，
故选：D ．
5．（5分）“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按照干
支顺序相配，构成了“干支纪年法”，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅⋯⋯癸酉、甲戌、乙亥、丙子⋯
⋯癸未、甲申、乙酉、丙戌⋯⋯癸巳⋯⋯癸亥，60为一个周期，周而复始，循环记录．按照“干支纪年法”，中华人民共和国成立的那年为己丑年，则2013年为(
)
A ．甲巳年
B ．壬辰年
C ．辛卯年
D ．癸巳年
【解答】解：从1949年到2009年，总共经过了60年； 从2009年到2013年，总共经过了5年； 所以天干中的己变为癸，地支中的丑变为巳，
即2020年是“干支纪年法”中的癸巳年． 故选：D ．
6．（5分）设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面 ①m α⊂，//n α，则//m n ； ②//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥； ③n αβ=I ，//m n ，//m α，则//m β； ④若//m α，//n β，//m n ，则//αβ． 上述四个命题中，正确的个数为( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【解答】解：若m α⊂，//n α，则m 与n 平行或异面，①错误；
若//αβ，//βγ，则由平行公理得//αγ，又因为m α⊥，所以m γ⊥，故②正确； 若n αβ=I ，//m n ，//m α，则//m β或m β⊂，故③错误； 若//m α，//n β，//m n ，则α与β平行或相交；故④错误， 故选：A ．
7．（5分）在ABC ∆中，1CA =，3CB =，
2
ACB π
∠=，点M 满足3CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r
，则(MA MB =u u u r u u u r g
) A ．3
B ．6
C ．9
D ．0
【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示，
由题意知，(0,0)C ，(3,0)B ，(0,1)A ； ∴(3,0)CB =u u u r ，(0,1)CA =u u u r
， ∴3(3,3)CM CB CA =+=u u u u r u u u r u u u r
，
∴(3,2)MA CA CM =-=--u u u r u u u r u u u u r
， (0,3)MB CB CM =-=-u u u r u u u r u u u u r
，
则30(2)(3)6MA MB =-⨯+-⨯-=u u u r u u u r
g ．
故选：B ．
8．（5分）由直线1y x =-上的点向圆22(2)(3)1x y -+-=引切线，则切线长的最小值为(
)
A ．1
B ．2
C D 【解答】解：根据题意，设P 为直线1y x =-上一点，过点P 向圆22(2)(3)1x y -+-=引切线，T 为切线，
圆22(2)(3)1x y -+-=的圆心为C ，其坐标为(2,3)，半径1r =，
则切线长||PT ==， 要使切线长最小，必须是||PC 的值最小，
又由||PC 的最小值
d =
=
则切线长||PT 1=； 故选：A ．
9．（5分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(1)(21)n n a n =--，则2019(S = ) A ．2019
B ．2019-
C ．4037-
D ．4037
【解答】解：(1)(21)n n a n =--，
可得20191357911(40341)(40361)(40381)S =-+-+-+-⋯--+--- 22240372100940372019=++⋯+-=⨯-=-．
故选：B ．
10．（5分）已知某几何体的三视图如图，则该几何体的外接球的表面积为( )
A．17
4
πB．
1717
πC．17
2
π
D．
1717
π
【解答】解：由题意可知几何体是三棱锥，是正方体的一部分如图：
底面BCD是等腰三角形，边长为：2，5，5，外接圆的半径为r，可得222
(2)1
r r
=-+，
解得
5
4
r=，三棱锥的外接球的半径为R，22
25934
(2)
1616
R r r
=+-=+=，
外接球的表面积为：
3417
4
162
π
π⨯=．
故选：C．
11．（5分）一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是221
y x
-=，[1
y∈，10]，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为()
A ．1
B ．2
C ．3
D ．2.5
【解答】解：由题意画出曲线的图象，设小球的截面圆心为：0(0,)y ，
设双曲线上的点(,)x y ，点到圆心的距离的平方2222222
0000
()1()221r x y y y y y y y y y =+-=-+-=-+-，对称轴0
2
y y =
若2r 最小值在(0,1)时取得，则小球触及最底部，故二次函数的对称轴在1y =的左边，所以0
12
y „，02y „， 所以0211r <-=„， 故选：A ．
12．（5分）已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()2()x
f x f x '+12()22f e
=，若对
任意正数a ，b 都有2221311(())224644
x ab
f b e a -<++
，则x 的取值范围是( ) A ．(2,1)-- B ．(,1)-∞- C ．1
(1,)2
-
D ．1
(0,)2
【
解
答
】
解
：
令
2()()
x g x e f x =，则2()()x
g x f x e =
，且
222()2()()[2()()]x x x g x e f x e f x e f x f x e x '=+'=+'=
则22222()()2()2()2()
()()x x x x x g x e g x e g x g x e x g x f x e e '-'--'===g g ，
令()2()h x e
x g x =，则()2()22x x
h x e
x g x x
x
'=-'=
，
令()0h x '>，解得102x <<
；令()0h x '<，解得1
2
x >， ∴1
21112122()()2()2()02222e e e
h x h e g ef ==-==„，
()0f x ∴'„在(0,)+∞上恒成立，
()f x ∴在(0,)+∞上递减；
又
222222111114()4644464882ab ab ab f b e a b e a ++=+++==…， ∴131(())()222
x f f -<，
∴13()022
131()222
x x ⎧->⎪⎪⎨
⎪->⎪⎩，解得1x <-． 故选：B ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）若双曲线的渐近线方程为2y x =±，且焦点在y 轴上，则双曲线的离心率为
． 【解答】解：Q 双曲线的焦点在y 轴上，
∴设双曲线的方程为22
221(0,0)y x a b a b
-=>>
可得双曲线的渐近线方程是a
y x b =±，
结合题意双曲线的渐近线方程是2y x =±，得
2a
b
=， 2b a ∴=，可得：2224()c a a -=，即2245c a =，
此双曲线的离心率e =．
． 14．（5分）将5本不同的书分给甲、乙、丙三人，一人三本，其余两人每人一本，则有 60 种不同分法．（结果用数字作答）
【解答】解：第一步：一人三本的方法：13235554
333021
C C C ⨯==⨯
=⨯g g ， 第二步，剩余的分给另外两人：2
2
2A =， 所以共有：30260⨯=种方法； 故答案为：60．
15．（5分）如图，摩天轮上一点P 在t 时刻距离地面高度满足sin()y A t b ωϕ=++，[ϕπ∈-，
]π，已知某摩天轮的半径为50米，点O 距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3
分钟转一圈，点P 的起始位置在摩天轮的最低点处．则y （米)关于t （分钟）的解析式为
250sin(
)6032
y t ππ
=-+ ．
【解答】解：（1）由题意， 50A =，60b =，3T =；
故23
πω=
， 故250sin(
)603
y t π
ϕ=++； 则由50sin 6010ϕ+=及[ϕπ∈-，]π得，
2
πϕ=-；
故250sin(
)6032
y t ππ
=-+． 故答案为：250sin(
)6032
y t ππ
=-+． 16．（5分）已知ABC ∆的三个顶点A 、B 、C 均在抛物线2y x =上，给出下列命题： ①若直线BC 过点3
(,0)8
M ，则存在ABC ∆使抛物线2y x =的焦点恰为ABC ∆的重心；
②若直线BC 过点(1,0)N ，则存在点A 使ABC ∆为直角三角形； ③存在ABC ∆，使抛物线2y x =的焦点恰为ABC ∆的外心； ④若边AC 的中线//BM x 轴，||2BM =，则ABC ∆的面积为23． 其中正确的序号为 ①② ．
【解答】解：①若直线BC 过点3
(,0)8
M ，则当A 为坐标原点时，(0,0)A ，
设1(B x ，1)y ，2(C x ，2)y ，则由重心坐标公式可得，
ABC ∆的重心的横坐标为121131
(0)3344
x x ++=⨯=，纵坐标为0，
∴抛物线2y x =的焦点1(4
，0)为ABC ∆的重心，故①正确；
②若直线BC 过点(1,0)N ，取(4,2)B ，则202
413
BC k -=
=-， 过B 且与BC 垂直的直线方程为3
2(4)2y x -=--，
联立2382y x y x ⎧
=-+⎪⎨⎪=⎩，解得42x y =⎧⎨
=⎩或649
83x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
． ∴若直线BC 过点(1,0)N ，则存在点A 使ABC ∆为直角三角形，故②正确；
设以1(4，0)为圆心的圆的方程为2221
()4x y r -+=，
联立222
21()4
x y r y x
⎧-+=⎪⎨⎪=⎩，得221681160x x r ++-=． Q 12102x x +=-<，∴方程221681160x x r ++-=至多有一个正根，即圆为222
1
()4
x y r -+=与抛物线2y x =至多有两个交点，
∴不存在ABC ∆，使抛物线2y x =的焦点恰为ABC ∆的外心，故③错误；
④如图，
根据题意设2(A a ，)a ，2(B b ，)b ，2(C c ，)c ，不妨设0a <，
M Q 为边AC 的中点，22(2a c M +∴，)2a c +，又//BM x 轴，则2a c
b +=， 故2222222
()()||||||22244a c a c a c a c BM b +++-=-=-==，
2()8a c ∴-=，即22a c -=-
设A 到BM 的距离为h ，故
122||2||2||||2222
ABC ABM a c
S S BM h a b a a c ∆∆+==⨯=-=-=-=g D 错误．
∴正确的序号为①②．
故答案为：①②．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12分）ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3a =
，b =，2B A =． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求c 的值．
【解答】解：（Ⅰ）ABC ∆Q 中，3a =
，b =2B A =，
∴
由正弦定理得：
3sin sin 2A A =
，即2sin cos sin 3
A A A =
，
cos A ∴=
； （Ⅱ）由（1
）知cos A =
(0,)A π∈，
sin A ∴，又2B A =， 21
cos cos22cos 13
B A A ∴==-=，(0,)B π∈，
sin 3
B ∴=
， 在ABC ∆
中，1sin sin()sin cos cos sin 3C A B A B A B =+=+=，
3sin 5sin a C
c A
∴=
==． 18．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D 、E 分别为1AA 、1B C 的中点．
（1）证明：DE ⊥平面11BCC B ；
（2）已知直线1B C 与1AA 所成的角为45︒，求二面角1D BC C --的大小．
【解答】解：（1）证明：直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D 、E 分别为1AA 、1B C 的中点．
以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，
设2AB AC ==，1AA t =，则(2B ，0，0)，(0C ，2，0)，1(2B ，0，)t ，(0D ，0，)2t ，
(1E ，1，)2
t
，
(2BC =-u u u r
，2，0)，1(0BB =u u u r ，0，)t ，(1DE =u u u r ，1，0)， Q 0BC DE =u u u r u u u r
g ，10BB DE =u u u r u u u r g ，BC DE ∴⊥，1BB DE ⊥， 1BC BB B =Q I ，DE ∴⊥平面11BCC B ．
（2）解：1(0A ，0，)t ，1(2B C =-u u u u r ，2，)t -，1(0AA =u u u r
，0，)t ， Q 直线1B C 与1AA 所成的角为45︒，
21111211||2
|cos ,|||||8B C AA B C AA B C AA t t
∴<>===+u u u u r u u u r
u u u u r u u u r g u u u u r u u u r g g ，解得22t =
(0D ∴，02)，1(0C ，2，22)，
(2BC =-u u u r
，2，0)，(2BD =-u u u r ，02)，1(2BC =-u u u u r ，2，22)，
设平面BDC 的法向量(n x =r
，y ，)z ，
则220
220
n BD x z n BC x y ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，取1x =，得(1n =r ，12)， 设平面1BCC 的法向量(m x =r
，y ，)z ，
则
1220 2222
m BC x y
m BC x y z
⎧=-+=
⎪
⎨
=-++=
⎪⎩
u u u r
r
g
u u u u r
r
g
，取1
x=，得(1
m=
r
，1，0)，
设二面角
1
D BC C
--的大小为θ．
则
||2
cos
||||42
m n
m n
θ===
r r
g
r r
g g
，
4
π
θ
∴=．
∴二面角
1
D BC C
--的大小为
4
π
．
19．（12分）已知在正项数列{}
n
a中，首项
1
2
a=，点
1
(,
n n
A a a
+
在双曲线221
y x
-=上，
数列{}
n
b中，点(
n
b，)
n
T在直线
1
1
2
y x
=-+上，其中
n
T是数列{}
n
b的前n项和．
（1）求数列{}
n
a、{}
n
b的通项公式；
（2）求使得
1
|1|
2020
n
T-<成立n的最小值；
（3）若
n n n
c a b
=g，求证：数列{}
n
c为递减数列．
【解答】（1）解：由题意，点
1
(,)
n n
A a a
+
在双曲线221
y x
-=上，则
1
1
n n
a a
+
-=．
∴数列{}
n
a是以2为首项，1为公差的等差数列，
2(1)11
n
a n n
∴=+-=+
g，*
n N
∈．
又Q点(
n
b，)
n
T在直线
1
1
2
y x
=-+上，则
1
1
2
n n
T b
=-+．
当1
n=时，
111
1
1
2
b T b
==-+，解得
1
2
3
b=；
当2n …
时，1111
1122n n n n n b T T b b --=-=-++-， 整理，得11
3
n n b b -=．
∴数列{}n b 是以
2
3
为首项，13为公比的等比数列，
1212
()333
n n n b -∴==g ，*n N ∈．
（2）解：由（1），得11211112233
n n n n T b =-+=-+=-g ．
则111
|1||11|332020
n n
n T -=-
-=<， 即32020n >．
63729=Q ，732187=， n ∴的最小值为7．
（3）证明：由（1），得22(1)
(1)33n n n n n n c a b n +==+=
g g ． 111
2(2)2(1)42
0333n n n n n n n n c c ++++++∴-=
-=-<，*n N ∈． 1n n c c +∴<对任意*n N ∈恒成立．
∴数列{}n c 为递减数列．
20．（12分）已知抛物线2:4C y x =上一点(2,1)A ，D 与A 关于抛物线的对称轴对称，斜率为1的直线交抛物线于M 、N 两点，且M 、N 在直线AD 两侧． （1）求证：DA 平分MDN ∠；
（2）点E 为抛物线在M 、N 处切线的交点，若EMN DMN S S ∆∆=，求直线MN 的方程． 【解答】解：（1）由题意如图，由题意抛物线的对称轴为y 轴，可知(2,1)D -， 设直线MN 的方程为y x b =+，(,)M x y ''''，(,)N x y ''，
联立直线与抛物线的方程整理得：2440x x b --=，4x x '+=，4xx b '=-， 所
以
11(1)(2)(1)(2)2(1)()4(1)2(4)4(1)4(1)022(2)(2)(2)(2)(2)(2)
DN DM y y x b x x b x x x b x x b b b b k k x x x x x x x x '''''-''-+-''++''+-+''+++''+--+++-+=
+====''''+''++''++''++''+，
所以DN DM k k =-， 所以DA 平分MDN ∠；
（2）由2
4y x =，24x y =，所以2
x
y '=，
所以在M 处的切线方程为：22
()2424x x x x y x x x ''''''''=-''+=-
①， 同理在N 处的切线方程为：2
24x x y x ''=-②，
①②联立和（1）解得：22x x x '+''==，4x x y b '''
==-，
所以E 的坐标为：(2,)b -，
由（1）直线:0MN x y b -+=及题意得：22
=
，整理得：231450b b +-=，解得：1
3b =或5-，
又因为且M 、N 在直线AD 两侧，经检验1
3
b =符合题意， 所以直线MN 的方程为1
3
y x =+．
21．（12分）已知函数()f x lnx ax =-，0a >．
（1）若()f x a -„对0x ∀>恒成立，求实数a 的取值集合；
（2）在函数()f x 的图象上取定点1(A x ，1())f x ，2(B x ，212())()f x x x <，记直线AB 的斜率为k ，证明：存在01(x x ∈，2)x ，使0()k f x '=成立；
（3）当*n N ∈时，证明：22231(2)()()224
n n ln ln ln n n +++⋯+>
+． 【解答】解：（1）()f x a -„对0x ∀>恒成立，即0lnx ax a -+„对任意0x >都成立， 构造函数()(0)g x lnx ax a x =-+>，则()0max g x „，11()ax
g x a x x
-'=-=
， 令()0g x '=，解得1
x a
=
， 当1(0,)x a ∈时，()0g x '>；当1
(,)x a
∈+∞，()0g x '<；
故11
()()10max g x g ln a a a
==-+„，即10(0)lna a a -+>…，
设h （a ）1(0)lna a a =-+>，则11()1a
h a a a
-'=-=
， 令h '（a ）0=，解得1a =，
当(0,1)a ∈时，h '（a ）0>；当(1,)a ∈+∞时，h '（a ）0<； 故h （a ）max h =（1）0=，即h （a ）10lna a =-+„，
而又需10lna a -+…
，故1a =； （2）证明：作辅助函数211121
()()
()()()()f x f x F x f x f x x x x x -=--
--，则
2121
()()
()()f x f x F x f x x x -'='-
-，
显然12()()F x F x =，由导数的几何意义可知，存在01(x x ∈，2)x ，使得
210021
()()
()()0f x f x F x f x x x -'='-
=-，
即21021()()
()f x f x f x x x -'=-，即0()f x k '=，即得证．
（3）证明：由（1）知，1lnx x -„，则1
1ln x x
-…，
取11()n n N x n +=∈g ，则11
1
n ln n n +>
+，则2211111()(1)(1)(2)12n ln n n n n n n +>>=-+++++， ∴22
23111111111(2)()()2233412222(2)
n n
ln ln ln
n n n n n +++⋯⋯+>-+-+⋯⋯+-=-=++++，即得证．
（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，将曲线1cos :(sin x C y θ
θθ
=⎧⎨
=⎩为参数）上任意一点(,)P x y
经过伸缩变换2x y y
⎧'⎪⎨'=⎪⎩后得到曲线2C 的图形．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极
轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线:(cos sin )8l ρθθ-=． （1）求曲线2C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（2）点P 为曲线2C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值及取得最大值时点P 的坐标．
第21页（共21页）
【解答】解：（1）将曲线1cos :(sin x C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）上任意一点(,)P x y
经过伸缩变换2x y y
⎧'=⎪⎨'=⎪⎩
后得到曲线22sin x C y θθ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩的图形．整理得
22
134x y +=．
（2
）设点,2sin )P θθ，
直线:(cos sin )8l ρθθ-=转换为直角坐标方程为：80x y --=．
所以
点,2sin )P θθ到直线80x y --=，的距
离d ==，
当sin()1θα+=-
时，max d =+
，此时点(P ．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知0a >，0b >，0c >设函数()||||f x x b x c a =-+++，x R ∈．
（1）若2a b c ===，求不等式()7f x >的解集；
（2）若函数()f x 的最小值为2，证明：4199
()2a b c a b b c c a +++++++…．
【解答】解：（1）当2a b c ===时，22,2
()|2||2|26,2222,2
x x f x x x x x x +>⎧⎪=-+++=-⎨⎪-+<-⎩剟．
()7f x >Q ，∴2272x x +>⎧⎨>⎩或2272
x x -+>⎧
⎨<-⎩， ∴5
2x <-或5
2x >，
∴不等式的解集为55
(,)(,)22-∞-+∞U ．
（2）()|||||()()|||f x x b x c a x b x c a b c a b c a =-+++--++=++=++Q …， ()2min f x b c a ∴=++=， ∴4191
4
1
9
()(222)2a b c a b b c c a a b b c c a ++=++++++++++
21
9
22=…， ∴4
1
9
9
()2a b c a b b c c a +++++++…。