数列的通项公式与递推公式ppt课件

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3．已知数列{an}满足 a1>0，aan＋n1＝12(n∈N*)，则数列{an} 是________数列(填“递增”或“递减”)．
解析： 由已知 a1>0，an＋1＝12an(n∈N*)，
得 an>0(n∈N*)．
答又案a：n＋1－递a减n＝12an－an＝－12an<0，
∴{an}是递减数列．
(2)a1＝1，an＋1＝a2n＋an2 (n∈N*)．
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解：(1)a1＝0，a2＝a1＋1＝1，a3＝a2＋3＝4， a4＝a3＋5＝9，a5＝a4＋7＝16. a1＝02；a2＝12；a3＝22；a4＝32；a5＝42. 可归纳出 an＝(n－1)2.
(2)a1＝1，a2＝a21＋a12＝23，a3＝a22＋a22＝12，a4＝a23＋a32＝25，
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▪ 4．已知a1＝1，an＋1＝2an， ▪ (1)写出数列的前五项；
▪ (2)求数列的一个通项公式．
解析： (1)由 a1＝1，an＋1＝2an 得 a2＝2，a3＝4，a4＝8，a5＝16. (2)方法一(累乘法)：由已知得aan－n 1＝2(n≥2)， ∴aa21＝2，aa23＝2，aa43＝2，…，aan－n 1＝2， 将这些式子的两边分别相乘得
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aa21·aa23·aa43·…·aan－n 1＝aa1n＝2n－1(n≥2)， 又 a1＝1＝20，∴通项公式为 an＝2n－1. 方法二(迭代法)： an＝2an－1＝22an－2＝23an－3 ＝…＝2n－1a1＝2n－1， 即通项公式为 an＝2n－1.
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已知数列的递推公式，求前几项
▪ 2．数列的递推公式
▪ 如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第 二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项 an－1 (或前几项)(n≥2，n∈N*)间的关系可以
用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个
数列的
递公推 式． .
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▪ 3．通项公式与递推公式的区别与联系
区别
联系
通项公 式
递推公 式
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若数列有形如an＋1＝an＋f(n)的递推公式， 且可求f(1)＋f(2)＋…＋f(n)，可用累加法求通项公式．
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题型3 已知递推公式，用累乘法求通项公式
例3 设{an}是首项为 1 的正项数列，且满足关系： an＝3an＋1(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．
解：∵an＝3an＋1，∴an＋1＝13an.
1＝15.可推测数列{an}的通项公式为an＝2n－1.
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数列的递推公式是由递推关系式( 递推) 和 首项(基础)两个因素所确定的，即便递推关系完全一样，而首项 不同就可得到两个不同的数列．
1－1.根据下列各数列的首项和递推公式，分别 写出它的前五项，并归纳出通项公式：
(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；
解：由递推关系an＝an－1＋3(n≥2)，得 a2＝a1＋3，a3＝a2＋3，…，an＝an－1＋3. 将以上(n－1)个式子左右两边同时相加，得
a2＋a3＋…＋an－1＋an
＝a1＋3＋a2＋3＋a3＋3＋…＋an－1＋3，
消去a2＋a3＋…＋an－1，并整理得an＝a1＋3(n－1)．
∵a1＝5，∴an＝3n＋2.
对 n 从 1 到 n－1 依次取值，得
a2＝13a1，a3＝13a2，a4＝13a3，…，an＝13an－1.
例 1: 已知数列{an}满足an＋1＝2an＋1，n∈N*.
(1)若a1＝－1，写出此数列的前4项，并推测数列的通项公式 (2)若a1＝1，写出此数列的前4项，并推测数列的通项公式．
解： (1)a1＝a2＝a3＝a4＝－1，
可推测数列{an}的通项公式an＝－1.
(2)a1＝1，a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋
项an是序号n的函数式an ＝f(n)
已知a1及相邻项间的关 系式
都可以 确定 数列
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▪ 1 ． 已 知 数 列 {an} ， a1 ＝ 1 ， an － an － 1 ＝ n － 1(n≥2)．则a6＝( )
▪ A．7
B．11
▪ C．16
D．17
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▪ 解析： ∵a1＝1，an－an－1＝n－1 ▪ ∴a2－a1＝1 ▪ a3－a2＝2 ▪ a4－a3＝3 ▪ a5－a4＝4 ▪ a6－a5＝5 ▪ 累加得a6－a1＝1＋2＋3＋4＋5 ▪ ∴a6＝1＋15＝16.故选C. ▪ 答案： C
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a5＝a24＋a42＝13.
a1＝1＝22；a2＝23；a3＝12＝24；a4＝25；
a5＝13＝26.由此可见：an＝n＋2 1.
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题型2 已知递推公式，用累加法求通项公式
例 2：已知数列{an}中，a1＝5，an＝an－1＋3(n≥2)，求数列 {an}的通项公式．
思维突破：先对an＝an－1＋3 从2 到n 进行取值，得到(n－1) 个式子，再把这(n－1)个式子相加，消去中间项．
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▪ 2．数列2,4,6,8,10，…的递推公式是( )
▪ A．an＝an－1＋2(n≥2) ▪ B．an＝2an－1(n≥2) ▪ C．a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2) ▪ D．a1＝2，an＝2an－1(n≥2)
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▪ 解析： a2－a1＝2 ▪ a3－a2＝2 ▪ a4－a3＝2 ▪ a5－a4＝2 ▪ ∴an－an－1＝2，即an＝an－1＋2(n≥2)，故选C. ▪ 答案： C
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▪ 1.体会递推公式是数列的一种表示方法．
▪ 2.理解递推公式的含义，能够根据递推公式写 出数列的前几项．
▪ 3.掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公 式.
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▪ 1.对通项公式及递推公式的考查是本课的热 点．
▪ 2.本课时的内容常与函数，不等式结合命题． ▪ 3.多以选择题，解答题的形式考查.
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下列数列{an}中，an 随 n 的变化有何规律？ (1)an＝3n－1； (2)an＝1＋n12； (3)an＝2.
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▪ 1．数列的单调性
▪ 在数列{an}中，若an＋1 >an，则{an}是递增数列；
若an＋1 an，则< {an}是递减数列；若an＋1
an，
＝ 则{an}是常数列．