数列的通项公式与递推公式ppt课件
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高中数学必修5优质课件:数列的通项公式与递推公式
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第七页,编辑于星期日:二十三点 三十九分。
[类题通法] 根据递推公式写出数列的前几项,要弄清楚公式中各部 分的关系,依次代入计算即可.另外,解答这类问题时还需 注意:若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项 表示后面的项的形式;若知道的是末项,通常将所给公式整 理成用后面的项表示前面的项的形式.
第十二页,编辑于星期日:二十三点 三十九分。
[类题通法] 根据递推公式写出数列的前几项,然后由前几项分析其 特点、规律,归纳总结出数列的一个通项公式.
第十三页,编辑于星期日:二十三点 三十九分。
[对点训练] 3.已知数列{an}满足 a1=1,an=an-1+nn1-1(n≥2), 写出该数列前 5 项,并归纳出它的一个通项公式. 解:a1=1, a2=a1+2×1 1=1+12=32, a3=a2+3×1 2=32+16=53, a4=a3+4×1 3=53+112=74,
[类题通法] 通项公式法、列表法与图象法表示数列优点
(1)用通项公式表示数列,简洁明了,便于计算.公 式法是常用的数学方法.
(2)列表法的优点是不经过计算,就可以直接看出项 数与项的对应关系.
(3)图象能直观形象地表示出随着序号的变化,相应 项变化的趋势.
第四页,编辑于星期日:二十三点 三十九分。
第十七页,编辑于星期日:二十三点 三十九分。
3.已知 a1=1,an=1+an1-1(n≥2),则 a5=________. 解析:由 a1=1,an=1+an1-1得 a2=2,a3=32,a4=53, a5=85. 答案:85
第十八页,编辑于星期日:二十三点 三十九分。
4.已知数列{an}满足 a1>0,aan+n 1=13(n∈N*),则数列{an}是 ________数列(填“递增”或“递减”).
[类题通法] 根据递推公式写出数列的前几项,要弄清楚公式中各部 分的关系,依次代入计算即可.另外,解答这类问题时还需 注意:若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项 表示后面的项的形式;若知道的是末项,通常将所给公式整 理成用后面的项表示前面的项的形式.
第十二页,编辑于星期日:二十三点 三十九分。
[类题通法] 根据递推公式写出数列的前几项,然后由前几项分析其 特点、规律,归纳总结出数列的一个通项公式.
第十三页,编辑于星期日:二十三点 三十九分。
[对点训练] 3.已知数列{an}满足 a1=1,an=an-1+nn1-1(n≥2), 写出该数列前 5 项,并归纳出它的一个通项公式. 解:a1=1, a2=a1+2×1 1=1+12=32, a3=a2+3×1 2=32+16=53, a4=a3+4×1 3=53+112=74,
[类题通法] 通项公式法、列表法与图象法表示数列优点
(1)用通项公式表示数列,简洁明了,便于计算.公 式法是常用的数学方法.
(2)列表法的优点是不经过计算,就可以直接看出项 数与项的对应关系.
(3)图象能直观形象地表示出随着序号的变化,相应 项变化的趋势.
第四页,编辑于星期日:二十三点 三十九分。
第十七页,编辑于星期日:二十三点 三十九分。
3.已知 a1=1,an=1+an1-1(n≥2),则 a5=________. 解析:由 a1=1,an=1+an1-1得 a2=2,a3=32,a4=53, a5=85. 答案:85
第十八页,编辑于星期日:二十三点 三十九分。
4.已知数列{an}满足 a1>0,aan+n 1=13(n∈N*),则数列{an}是 ________数列(填“递增”或“递减”).
人教高中数学 必修五 2.1 第二课时 数列的递推公式(共17张PPT)
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并归纳出通项公式:
(1)a 1 =0, a n 1 = a n +(2n-1) (n∈N);
(2)
a1
=1,
a n1=
2 an
an
2
(n∈N);
(3) a 1 =3,a n 1 =3a n -2 (n∈N,).
解:(1) a 1=0, a 2 =1,a 3 =4,a 4 =9,a 5=16, ∴ a n =(n-1)2 ;
1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,… 斐波那契数列
an2an1an,
例5:已知数列 an 满足:a1=5,an=an-1+3(n≥2)
(1)写出这个数列an 的前五项为
。
(2)这个数列 an 的通项公式是 an 3n2
。
累差叠加法 ( n 2 ) a n a n 1 f( n ) 或 a n 1 a 者 n f( n )
(1)a1=0,an+1=an+(2n-1),n∈N+;
(2)a1=1,a n 1
2an an 2
,
n∈N+;
解:(1)因为a1=0,an+1=an+(2n-1),n∈N+; 所以, a2=1 , a3=4, a4=9, a5=16 ,
归纳出它的通项公式是an=(n-1)2 。
(2)a1=1,a n 1
又 a1a2a3 9
解得 a 3
9 4
同理可得 a 4
16 9
,
a5
25 16
a3
a5
92561 4 16 16
(2) 2 5 6 是此数列中的项吗?
225
解:(2)令
256 225
n2 (n 1)2
(1)a 1 =0, a n 1 = a n +(2n-1) (n∈N);
(2)
a1
=1,
a n1=
2 an
an
2
(n∈N);
(3) a 1 =3,a n 1 =3a n -2 (n∈N,).
解:(1) a 1=0, a 2 =1,a 3 =4,a 4 =9,a 5=16, ∴ a n =(n-1)2 ;
1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,… 斐波那契数列
an2an1an,
例5:已知数列 an 满足:a1=5,an=an-1+3(n≥2)
(1)写出这个数列an 的前五项为
。
(2)这个数列 an 的通项公式是 an 3n2
。
累差叠加法 ( n 2 ) a n a n 1 f( n ) 或 a n 1 a 者 n f( n )
(1)a1=0,an+1=an+(2n-1),n∈N+;
(2)a1=1,a n 1
2an an 2
,
n∈N+;
解:(1)因为a1=0,an+1=an+(2n-1),n∈N+; 所以, a2=1 , a3=4, a4=9, a5=16 ,
归纳出它的通项公式是an=(n-1)2 。
(2)a1=1,a n 1
又 a1a2a3 9
解得 a 3
9 4
同理可得 a 4
16 9
,
a5
25 16
a3
a5
92561 4 16 16
(2) 2 5 6 是此数列中的项吗?
225
解:(2)令
256 225
n2 (n 1)2
常见递推数列通项公式的求法ppt课件
![常见递推数列通项公式的求法ppt课件](https://img.taocdn.com/s3/m/f0d04da4710abb68a98271fe910ef12d2bf9a97a.png)
1S 2
1 23
2 24
n2 2n
n 1 2 n+1
②
由①-②得
1S 2
1 22
1 23
1 2n
n 1 2n+1
1 2
n 1 2 n 1
S 1 n1 2n
an 2n
1
an 2n
2
n 1 2n
an 2n1 n 1
变式训练:答案an 6 4n1 (n 1) 2n
数列 满足 an
an1 3 4 5 6
n 1
an a1
1 2 n(n 1)
a1
1 an
2 n(n 1)
累乘
例 2:已知数列an 中,a1
1且满足 an1 an
n ,求数 n2
列an 的通项公式。
其他解法探究:
a n 1 an
n n2
(n 2)an1
nan
(n 1)(n 2)an1 n(n 1)an
则可构造n(n 1)an 是常数数列
故an n2 n 2(n 1,2,3,)
方法归纳:累加
可求和
变式训练:
1.已知数列an中, a1 2 满足 an1 an 2n n ,求数列an 的通 项公式. 2.已知数列an 中, a1 2 满足 an1 an n 2n n ,求数列an 的 通项公式.
类型二:形如 an1 f (n)
an1 2an n 2n1 2n1 2n1
an1 an n 2n1 2n 2n1
累加
a2 22
a1 2
1 ,a3 22 23
a2 22
2 23
,,
an 2n
an1 2n1
n 2n
1
,
第2课时 数列的通项公式与递推公式
![第2课时 数列的通项公式与递推公式](https://img.taocdn.com/s3/m/2f04dbb3970590c69ec3d5bbfd0a79563c1ed466.png)
1)可得
n
an+1-an=ln(1+ n1),利用累加法求通项.
【解析】因为a1=2,an+1=an+lnn1(1+ ), 所以a2=a1+ln(1+1)=2+ln2, a3=a2+ln(1+12 )=2+ln2+32ln =2+ln3, a4=a3+ln(1+13 )=2+ln3+43ln =2+ln4. 可猜想an=2+lnn(n∈N*).
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4.数列{an}满足
an+1=
1
1 an
,a8=2,则
a1=
1 2
.
【解析】由
an+1=
1
1 an
,可得
an=1-
1 an +1
,又
a8=2, 故
a7= 1 ,……依次下去得 a1= 1 .
2
2
5.根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式:
(1)3,5,7,9,11,….
=
1+
3 5
=
8 5
【即时练习】
在数列{an}中,已知a1=2,a2=3,an+2=3an+1-2an(n≥1) 写出此数列的前六项.
【解题关键】通过观察,此题的递推公式是数列中相
邻三项的关系式,知道前两项就可以求出后一项.
【解析】a1=2,a2=3, a3=3a2-2a1=3×3-2×2=5, a4=3a3-2a2=3×5-2×3=9, a5=3a4-2a3=3×9-2×5=17, a6=3a5-2a4=3×17-2×9=33.
由数列的递推关系求通项公式PPT优秀课件
![由数列的递推关系求通项公式PPT优秀课件](https://img.taocdn.com/s3/m/168d4d0fa32d7375a41780e3.png)
3,
设 bn
an1
an
,则 b1
a2
a1
6 ,且 bn1 bn
3,
所以 bn 6 3n1 2 3n ,即 an1 an 2 3n ,
有 3an 3 an 2 3n
所以
an
3n
3 2
.
解:由已知递推式得
an 3an1 3 ,
an
2n .
1
例题分析
例 1.
已知数列an 中, a1
3 2
,
an1
3an
3
(n N *), 求数列an 的通项公式.
.
巩固练习
1. 已知数列 an 中, a1 1, an1 3an 3n (n N *), 求数列an 的通项公式.
an n3n1
an 2n1
课堂热身
2.已知数列
an
中,
a1
1 2
,
an1
an
1 3n
(n N*), 求数列an 的通项公式.
1
an
1
.
2
3n1
课堂热身
3.已知数列 an 中 a1 3, an1 3an (n N*).求数列an 的通项公式.
an 3n
1 3n
,所以 an1 3n1
an 3n
1 3n
,
设 bn
an 3n
, 则 b1
a1 3
1,, 2
且 bn1
bn
1 3n
高中数学选择性必修二(人教版)《4.1 数列的概念 第二课时 数列的通项公式与递推公式》课件
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题型二 由前 n 项和 Sn 求通项公式 an [学透用活]
[典例 2] 设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 2Sn=3n+3,求{an}的通项 公式.
[解] 因为 2Sn=3n+3,所以 2a1=3+3,故 a1=3. 当 n≥2 时,2Sn-1=3n-1+3, 两式相减得 2an=2Sn-2Sn-1=3n-3n-1=2×3n-1, 即 an=3n-1,所以 an=33n,-1n,=n1≥,2.
题型三 数列中的最大项、最小项 [学透用活]
[典例 3] 已知数列{an}的通项公式为 an=n2-5n+4. (1)数列中有多少项是负数? (2)n 为何值时,an 有最小值?并求出最小值. [解] (1)由 n2-5n+4<0,解得 1<n<4.
∵n∈N *,∴n=2,3.∴数列中有两项是负数.
(二)基本知能小试
1.判断正误
(1)已知数列{an}的前 n 项和 Sn,若 Sn=n2-n,则 an=2n-2. ( ) (2)已知数列{an}的前 n 项和 Sn,若 Sn=3n-2,则 an=2×3n-1.
答案:(1)√ (2)×
()
2.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn+Sm=Sn+m,且 a1=1,那么 a10
(2)法一:∵an=n2-5n+4=n-522-94, 可知对称轴方程为 n=52=2.5.
又∵n∈N *,故 n=2 或 3 时,an 有最小值, 且 a2=a3,其最小值为 22-5×2+4=-2.
法二:设第 n 项最小,由aann≤ ≤aann+ -11, , 得nn22--55nn++44≤≤nn-+1122--55nn-+11++44, . 解不等式组,得 2≤n≤3, ∴n=2 或 3 时 an 有最小值且 a2=a3, ∴最小值为 22-5×2+4=-2.
常见递推数列通项公式的求法课件
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解题步骤与例题解析
• 将递推式中的每一项乘以累乘因子,并累乘得到通项公式 。
解题步骤与例题解析
例题解析 1. 题目:求数列1, 3, 7, 13, 21...的通项公式。 2. 分析:该数列的递推式为`an+1 = an + 2n`。
解题步骤与例题解析
01
3. 解题步骤
02
a. 确定关系:an+1 = an + 2n。
常见递推数列通项公式的求法课件
目录 Contents
• 递推数列通项公式概述 • 累加法 • 累乘法 • 构造法 • 特征根法 • 其他方法
01
递推数列通项公式概述
定义与分类
递推数列的定义
递推数列是一种特殊的数列,它 可以通过前一项或前几项的值, 推导出下一项的值。
递推数列的分类
根据不同的递推关系,递推数列 可以分为线性递推、二次递推、 指数递推等。
03
累乘法
适用范围与基本思想
适用范围
适用于形如`a(n+1) = an + f(n)`的递推数列,其中f(n)为关 于n的函数。
基本思想
累乘法的基本思想是将递推式中的每一项都乘以累乘因子, 从而得到通项公式。
解题步骤与例题解析
步骤 1. 确定递推式中每一项与前一项的关系。
2. 选择适当的累乘因子。
常见递推数列类型
01
02
03
04
Fibonacci数列:每一项是前 两项的和。
Lucas数列:每一项是前两项 的差。
等差数列:每一项与前一项的 差是一个常数。
等比数列:每一项与前一项的 比值是一个常数。
通项公式的应用
数学分析
高考数学微专题3 数列的通项课件(共41张PPT)
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内容索引
内容索引
目标1 根据规律找通项公式
1 (2023吉林三模)大衍数列,来源于《乾坤谱》中对易传“大
衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理,
数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总
和,是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项
依 次 是 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50 , 则 此 数 列 的 第 25 项 与 第 24 项 的 差 为
高考命题方向: 1. 根据前几项来寻找序号 n 与项之间的关系. 2. 根据前几项所呈现的周期性规律,猜想通项. 3. 抓住相邻项的关系转化为熟悉问题.
内容索引
内容索引
说明: 1. 解决方案及流程 (1) 归纳猜想法: ①确定数列的前几项; ②分析序号 n 与项有何关系,初步确定分类标准; ③研究数列整体或部分规律; ④归纳数列的项用序号 n 表示的规律; ⑤证明归纳的正确性.
内容索引
内容索引
1. (2022泰安三模)已知数列{an}满足:对任意的m,n∈N*,都有aman
=am+n,且a2=3,则a20的值为( )
A. 320
B. 315
C. 310
D. 35
【解析】 因为对任意的 m,n∈N*,都有 aman=am+n,所以 a1a1=a2, a1an=a1+n.又 a2=3,所以 a1=± 3,所以aan+n 1=a1,所以数列{an}是首项 为 a1,公比为 a1 的等比数列,所以 an=a1·an1-1=an1,所以 a20=a210=310.
重复循环,2 022=674×3,恰好能被3整除,且a3为偶数,所以a2 022也 为偶数,故B错误;对于C,若C正确,又a2 022=a2 021+a2 020,则a2 021= a1+a2+…+a2 019,同理a2 020=a1+a2+…+a2 018,a2 019=a1+a2+…+ a2 017,依次类推,可得a4=a1+a2,显然错误,故C错误;对于D,因为 a2 024=a2 023+a2 022=2a2 022+a2 021,所以a2 020+a2 024=a2 020+2a2 022+a2 021=2a2 022+(a2 020+a2 021)=3a2 022,故D正确.故选AD.
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目标1 根据规律找通项公式
1 (2023吉林三模)大衍数列,来源于《乾坤谱》中对易传“大
衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理,
数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总
和,是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项
依 次 是 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50 , 则 此 数 列 的 第 25 项 与 第 24 项 的 差 为
高考命题方向: 1. 根据前几项来寻找序号 n 与项之间的关系. 2. 根据前几项所呈现的周期性规律,猜想通项. 3. 抓住相邻项的关系转化为熟悉问题.
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说明: 1. 解决方案及流程 (1) 归纳猜想法: ①确定数列的前几项; ②分析序号 n 与项有何关系,初步确定分类标准; ③研究数列整体或部分规律; ④归纳数列的项用序号 n 表示的规律; ⑤证明归纳的正确性.
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1. (2022泰安三模)已知数列{an}满足:对任意的m,n∈N*,都有aman
=am+n,且a2=3,则a20的值为( )
A. 320
B. 315
C. 310
D. 35
【解析】 因为对任意的 m,n∈N*,都有 aman=am+n,所以 a1a1=a2, a1an=a1+n.又 a2=3,所以 a1=± 3,所以aan+n 1=a1,所以数列{an}是首项 为 a1,公比为 a1 的等比数列,所以 an=a1·an1-1=an1,所以 a20=a210=310.
重复循环,2 022=674×3,恰好能被3整除,且a3为偶数,所以a2 022也 为偶数,故B错误;对于C,若C正确,又a2 022=a2 021+a2 020,则a2 021= a1+a2+…+a2 019,同理a2 020=a1+a2+…+a2 018,a2 019=a1+a2+…+ a2 017,依次类推,可得a4=a1+a2,显然错误,故C错误;对于D,因为 a2 024=a2 023+a2 022=2a2 022+a2 021,所以a2 020+a2 024=a2 020+2a2 022+a2 021=2a2 022+(a2 020+a2 021)=3a2 022,故D正确.故选AD.
第5章《数列》(第1节)ppt 省级一等奖课件
![第5章《数列》(第1节)ppt 省级一等奖课件](https://img.taocdn.com/s3/m/7379adbb49649b6649d74762.png)
第五章 数列
5.已知数列{an}的通项公式为 an=pn+qn,且 a2=32,a4=23,则
a8=________.
解析
由已知得24pp++qq24==3232,,解得pq==142,.
则 an=14n+2n,故 a8=94.
答案
9 4
第五章 数列
[关键要点点拨] 1.对数列概念的理解
(2014·安阳模拟)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,若不等 式 a2n+Sn2n2≥ma21对任意等差数列{an}及任意正整数 n 都成立,
则实数 m 的最大值为
()
1
1
A.4
B.5
C.1
D.无法确定
第五章 数列
【思路导析】 将已知不等式用 an 与 a1 表示后分离参数 m 转化为 函数的最值问题求解. 【解析】 因为 Sn=12n(a1+an), 所以原不等式可化为 a2n+41(a1+an)2≥ma21. 若 a1=0,则原不等式恒成立; 若 a1≠0,则有 m≤54aan12+21aan1+41,
第五章 数列
满足条件 项数 有限 项数 无限
an+1 > an an+1 < an an+1=an
其中 n∈N*
第五章 数列
3.数列的通项公式: 如果数列{an}的第n项与 序号n 之间的关系可以用一个式子 来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
第五章 数列
二、数列的递推公式 如果已知数列{an}的首项(或前几项),且 任一项an 与它 的 前一项an-1 (n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式 来表示,那么这个公式叫数列的递推公式.
第五章 数列
2.数列的函数特征 数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2, 3,…,n})的特殊函数,数列的通项公式也就是相应的 函数解析式,即f(n)=an(n∈N*).
递推数列的通项公式PPT演示文稿
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其中
0,求数列 an 的通项公式。
n 1 n a a (2 ) 2 n 解:由 a a n 1 (2 ) 2n n 1 n1 n 1 n n 1 n 1 n1 n 1 n n 1 n an1 an 2 a a 2 2 2 n 1 n n1 n 1 n1 n 1 a 2
B B B a A an 是以 A 为 0 时,数列 n ,当 a1 A 1 A 1 A 1
公比的等比数列。 例1(2006年重庆高考)在数列 的通项公式 an
an 中,若 a1 1, an1 2an 3 则该数列
则
an 的通项公式为
。
3 an 1 1 an 1 an 1 1 ,得 数列是以 a1 1 0 解:由 an 2 2 n 1 n 1 1 1 1 为首项,公比为 则 an 1 (a1 1) an 1 (a1 1) 2 2 2
1时, f (n) B n ,( B 0, 0)
时 an 1
an a1 即数列 n 1 是以 0 为首项,公差为B的等差数列。 a1 2, an1 an n1 (2 ) 2n , n N * an 中, 例5、(2007年天津高考)在数列
二、递推关系为
an1 Aan f n ,( A 0)
1、当A=1时,有
an1 an f (n)
1, an1 an n
型
,此时可用累加法求
an
0,求数列 an 的通项公式。
n 1 n a a (2 ) 2 n 解:由 a a n 1 (2 ) 2n n 1 n1 n 1 n n 1 n 1 n1 n 1 n n 1 n an1 an 2 a a 2 2 2 n 1 n n1 n 1 n1 n 1 a 2
B B B a A an 是以 A 为 0 时,数列 n ,当 a1 A 1 A 1 A 1
公比的等比数列。 例1(2006年重庆高考)在数列 的通项公式 an
an 中,若 a1 1, an1 2an 3 则该数列
则
an 的通项公式为
。
3 an 1 1 an 1 an 1 1 ,得 数列是以 a1 1 0 解:由 an 2 2 n 1 n 1 1 1 1 为首项,公比为 则 an 1 (a1 1) an 1 (a1 1) 2 2 2
1时, f (n) B n ,( B 0, 0)
时 an 1
an a1 即数列 n 1 是以 0 为首项,公差为B的等差数列。 a1 2, an1 an n1 (2 ) 2n , n N * an 中, 例5、(2007年天津高考)在数列
二、递推关系为
an1 Aan f n ,( A 0)
1、当A=1时,有
an1 an f (n)
1, an1 an n
型
,此时可用累加法求
an
人教版高中数学选择性必修第二册4.1.2数列的递推公式【课件】
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4.1.2数列的递推公式
人教A版(2019)
选择性必修第二册
新知导入
复习旧知
1 数列的概念是 ?
2 数列的表示有 ?
3 数列的通项公式是?
提示:
1
一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列,数列中的每
一个数叫做这个数列的项.
2 ①通项公式法 ②列表法 ③图象法 ④一般表示法
3 如果数列{ }的第n项 与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子
答案: (1)-17
(2)2
(3)2020
课堂练习
2(由递推公式求数列的项)
(多选题)已知数列{ }满足 =
−
,+ =
−
, 则下列各数是{ }的
项的有( BD)
A.-2
B.
Hale Waihona Puke C.
D. 3
分析: 根据递推关系找出规律,可得数列是周期为3的周期数列,从而得出结论.
解: 因为数列{ }满足 = − ,
用符合要求的正整数依次去替换n,就可以求出数列的各项;
(3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项,直至求出数列的任何一项和所需的项;
(4)用递推公式给出数列,不易了解数列的全貌,计算也不方便,所以,
经常用它推导出数列的通项公式或得到一个特殊数列,比如具有周期性质的数列.
(若存在一个正整数t,使得∀ ∈ ∗ , + = ,则数列{ })为周期数列,其周期为t)
来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
新知导入
问题:
1 什么叫数列的递推公式?
2 由数列的递推公式能否求出数列的项?
新知讲解
例3 如果数列{ }的通项公式为 = + , 那么120是不是这个数列的项?
人教A版(2019)
选择性必修第二册
新知导入
复习旧知
1 数列的概念是 ?
2 数列的表示有 ?
3 数列的通项公式是?
提示:
1
一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列,数列中的每
一个数叫做这个数列的项.
2 ①通项公式法 ②列表法 ③图象法 ④一般表示法
3 如果数列{ }的第n项 与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子
答案: (1)-17
(2)2
(3)2020
课堂练习
2(由递推公式求数列的项)
(多选题)已知数列{ }满足 =
−
,+ =
−
, 则下列各数是{ }的
项的有( BD)
A.-2
B.
Hale Waihona Puke C.
D. 3
分析: 根据递推关系找出规律,可得数列是周期为3的周期数列,从而得出结论.
解: 因为数列{ }满足 = − ,
用符合要求的正整数依次去替换n,就可以求出数列的各项;
(3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项,直至求出数列的任何一项和所需的项;
(4)用递推公式给出数列,不易了解数列的全貌,计算也不方便,所以,
经常用它推导出数列的通项公式或得到一个特殊数列,比如具有周期性质的数列.
(若存在一个正整数t,使得∀ ∈ ∗ , + = ,则数列{ })为周期数列,其周期为t)
来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
新知导入
问题:
1 什么叫数列的递推公式?
2 由数列的递推公式能否求出数列的项?
新知讲解
例3 如果数列{ }的通项公式为 = + , 那么120是不是这个数列的项?
人教A版选择性必修41时数列的通项公式与递推公式课件
![人教A版选择性必修41时数列的通项公式与递推公式课件](https://img.taocdn.com/s3/m/d573307dbc64783e0912a21614791711cd797974.png)
a1+a2+…+an
2.数列2,4,6,8,10,…的递推公式是 ( ) A.an=an-1+2(n≥2) B.an=2an-1(n≥2) C.a1=2,an=an-1+2(n≥2) D.a1=2,an=2an-1(n≥2) 【解析】选C.A,B中没有说明某一项,无法递推,D中a1=2,a2=4,a3=8,不符合.
能力形成·合作探究
【解题策略】
由递推公式求数列的项的方法 根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,依次 代入计算即可.若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后 面的项的形式;若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前 面的项的形式.
【结论通通用】 当Sn是二次式时,若Sn有常数项,则an分段,若Sn没有常数项,则an不分段. 计算an=Sn-Sn-1时,同次项分别相减,并运用平方差公式,能有效减少运算.
【解透教材】
1.通项公式与递推公式的区别:①通项公式反映的是an与n的关系,递推公式 反映的是项与项之间的关系;②若已知n的值,则由通项公式可直接求出an的 值,而通过递推公式只能间接求出an的值. 2.利用递推公式求一个数列,必须具备:①数列第1项或前几项;②递推关系. 这两个条件缺一不可.
递推公式
图象法
能直观形象地表示出随着序号的 变化,相应项变化的趋势,直观明了
数列项数较多时用图象表示比较 困难
递推 可以揭示数列的一些性质,如前后 不容易了解数列的全貌,计算也不
公式法 几项之间的关系
方便
【思考与交流】
仅由数列{an}的关系式an=an-1+2(n≥2,n∈N*)就能确定这个数列吗? 提示:不能.数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的,如果 只有递推关系而无初始值,那么这个数列是不能确定的.
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(2)a1=1,an+1=a2n+an2 (n∈N*).
.
18
解:(1)a1=0,a2=a1+1=1,a3=a2+3=4, a4=a3+5=9,a5=a4+7=16. a1=02;a2=12;a3=22;a4=32;a5=42. 可归纳出 an=(n-1)2.
(2)a1=1,a2=a21+a12=23,a3=a22+a22=12,a4=a23+a32=25,
▪ 2.数列的递推公式
▪ 如果已知数列{an}的第1项(或前几项),且从第 二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项 an-1 (或前几项)(n≥2,n∈N*)间的关系可以
用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个
数列的
递公推 式. .
7
▪ 3.通项公式与递推公式的区别与联系
区别
联系
通项公 式
递推公 式
a5=a24+a42=13.
a1=1=22;a2=23;a3=12=24;a4=25;
a5=13=26.由此可见:an=n+2 1.
.
19
题型2 已知递推公式,用累加法求通项公式
例 2:已知数列{an}中,a1=5,an=an-1+3(n≥2),求数列 {an}的通项公式.
思维突破:先对an=an-1+3 从2 到n 进行取值,得到(n-1) 个式子,再把这(n-1)个式子相加,消去中间项.
1=15.可推测数列{an}的通项公式为an=2n-1.
.
17
数列的递推公式是由递推关系式( 递推) 和 首项(基础)两个因素所确定的,即便递推关系完全一样,而首项 不同就可得到两个不同的数列.
1-1.根据下列各数列的首项和递推公式,分别 写出它的前五项,并归纳出通项公式:
(1)a1=0,an+1=an+(2n-1)(n∈N*);
.
10
▪ 2.数列2,4,6,8,10,…的递推公式是( )
▪ A.an=an-1+2(n≥2) ▪ B.an=2an-1(n≥2) ▪ C.a1=2,an=an-1+2(n≥2) ▪ D.a1=2,an=2an-1(n≥2)
.
11
▪ 解析: a2-a1=2 ▪ a3-a2=2 ▪ a4-a3=2 ▪ a5-a4=2 ▪ ∴an-an-1=2,即an=an-1+2(n≥2),故选C. ▪ 答案: C
.
20
若数列有形如an+1=an+f(n)的递推公式, 且可求f(1)+f(2)+…+f(n),可用累加法求通项公式.
.
21
题型3 已知递推公式,用累乘法求通项公式
例3 设{an}是首项为 1 的正项数列,且满足关系: an=3an+1(n∈N*),求数列{an}的通项公式.
解:∵an=3an+1,∴an+1=13an.
例 1: 已知数列{an}满足an+1=2an+1,n∈N*.
(1)若a1=-1,写出此数列的前4项,并推测数列的通项公式 (2)若a1=1,写出此数列的前4项,并推测数列的通项公式.
解: (1)a1=a2=a3=a4=-1,
可推测数列{an}的通项公式an=-1.
(2)a1=1,a2=2×1+1=3,a3=2×3+1=7,a4=2×7+
项an是序号n的函数式an =f(n)
已知a1及相邻项间的关 系式
都可以 确定 数列
.
8
▪ 1 . 已 知 数 列 {an} , a1 = 1 , an - an - 1 = n - 1(n≥2).则a6=( )
▪ A.7
B.11
▪ C.16
D.17
.
9
▪ 解析: ∵a1=1,an-an-1=n-1 ▪ ∴a2-a1=1 ▪ a3-a2=2 ▪ a4-a3=3 ▪ a5-a4=4 ▪ a6-a5=5 ▪ 累加得a6-a1=1+2+3+4+5 ▪ ∴a6=1+15=16.故选C. ▪ 答案: C
对 n 从 1 到 n-1 依次取值,得
a2=13a1,a3=13a2,a4=13a3,…,an=13an-1.
.
12
3.已知数列{an}满足 a1>0,aan+n1=12(n∈N*),则数列{an} 是________数列(填“递增”或“递减”).
解析: 由已知 a1>0,an+1=12an(n∈N*),
得 an>0(n∈N*).
答又案a:n+1-递a减n=12an-an=-12an<0,
∴{an}是递减数列.
解:由递推关系an=an-1+3(n≥2),得 a2=a1+3,a3=a2+3,…,an=an-1+3. 将以上(n-1)个式子左右两边同时相加,得
a2+a3+…+an-1+an
=a1+3+a2+3+a3+3+…+an-1+3,
消去a2+a3+…+an-1,并整理得an=a1+3(n-1).
∵a1=5,∴an=3n+2.
.
14
aa21·aa23·aa43·…·aan-n 1=aa1n=2n-1(n≥2), 又 a1=1=20,∴通项公式为 an=2n-1. 方法二(迭代法): an=2an-1=22an-2=23an-3 =…=2n-1a1=2n-1, 即通项公式为 an=2n-1.
.
15
.
16
已知数列的递推公式,求前几项
.
4
.
5
下列数列{an}中,an 随 n 的变化有何规律? (1)an=3n-1; (2)an=1+n12; (3)an=2.
.
6
▪ 1.数列的单调性
▪ 在数列{an}中,若an+1 >an,则{an}是递增数列;
若an+1 an,则< {an}是递减数列;若an+1
an,
= 则{an}是常数列.
.
13
▪ 4.已知a1=1,an+1=2an, ▪ (1)写出数列的前五项;
▪ (2)求数列的一个通项公式.
解析: (1)由 a1=1,an+1=2an 得 a2=2,a3=4,a4=8,a5=16. (2)方法一(累乘法):由已知得aan-n 1=2(n≥2), ∴aa21=2,aa23=2,aa43=2,…,aan-n 1=2, 将这些式子的两边分别相乘得
.
1
.
2
▪ 1.体会递推公式是数列的一种表示方法.
▪ 2.理解递推公式的含义,能够根据递推公式写 出数列的前几项.
▪ 3.掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公 式.
.
3
▪ 1.对通项公式及递推公式的考查是本课的热 点.
▪ 2.本课时的内容常与函数,不等式结合命题. ▪ 3.多以选择题,解答题的形式考查.