理工本科高等数学A(中)期中试卷20110424

福州大学理工高等数学A(中)期中试卷

一、单项选择(共18分,每小题3分)

1.设222sin A y i yz j x z k =++ ，则

A

y

∂∂＝( ).

(A) 2z j (B) 24y i z j +

(C) 4y i

(D) 24y z + 2.下列函数中处处解析的是( ). (A)tan z (B) Re()z (C)

2

1

1z + (D) 1z e

3.

2

(,)(,)1lim

1x x y

x y a x +→∞⎛

⎫-= ⎪⎝⎭( ).

(A)e (B)1 (C) 1e - (D)

4.设()()z x y x y ϕψ=++-，其中,

ϕψ具有二阶连续的导数，则必有( ).

(A) 22220z z x y ∂∂+=∂∂ (B) 22220z z

x y

∂∂-=∂∂ (C)

20z x y ∂=∂∂ (D) 2220z z x y x ∂∂+=∂∂∂ 5.二元函数332339z x y x y x =--+-的一个极值点是( ). (A) (1,1) (B) (1,1)-- (C) (3,1) (D) (3,1)- 6. 改变二次积分2

2

12(,)x

x dx f x y dy -⎰⎰的积分次序后为( ).

(A)1

20

(,)y dy f x y dx -⎰ (B) 1

242021

(,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰

⎰ (C)12

02(,)y dy f x y dx -⎰⎰ (D) 1

24

202

1

2

(,)(,)y

y dy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰

二、填空(共16分,每小题2分)

1.

方程0z e =的根z = . 2. 映射1()1z

f z z

-=

+在z i =处的旋转角为＝ . 3.

设z =22

0x y +≠时,2222z z x y

∂∂+=∂∂ .

4.ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为 .

5.设(,,)z u x y z e xyz =-,则(1,0,1)gradu = .

6.设f 可微且2(,)xy z f x y e =,则

=∂∂x

z

. 7.设D 由1x y +≤所确定的有界闭区域，则()D

x y dxdy +⎰⎰的值为 .

8.设区域D 由221x y +=，y x =及y 轴围成的第一象限部分,则二重积分

(,)D

I f x y dxdy =⎰⎰化为极坐标系下的二次积分为=I .

三、计算题(每小题7分,共14分)

1.求曲线22230

23540

x y z x x y z ⎧++-=⎨-+-=⎩在点(1,1,1)的切线和法平面方程.

2. 设(,)f u v 具有二阶连续的偏导数，2

2

(,2)z f x y xy =+，求2,,z z z

x y x y

∂∂∂∂∂∂∂.

四、计算题(每小题7分,共14分)

1. 问函数2()Im()f z z z =在何处连续？何处可导？何处解析？ 请说明理由.

2．求一个共形映射将区域{:|Im |2}D z z =<映为单位圆1w <||.

五、计算题(每小题8分,共16分)

1. 计算二重积分

xy D

ye dxdy ⎰⎰，其中D 由直线1,2,2x x y === 以及双曲线1xy =所围成的区域.

2.

化二次积分

22221()()0

x x y x y e dy dy -+-++⎰⎰

⎰

为极坐标系下的二次

积分并计算其值.

六、计算题(每小题8分,共16分)

1.设(,)z z x y =由方程(,)0z z F x y y x ++=所确定，且(,)F u v 具有

连续的偏导数，计算z z

x y xy x y

∂∂++∂∂.

2.在椭球面222

1149

x y z ++=的第一卦限上求一点，使该点的切平面与三坐标面围成

的四面体的体积最小.

七、计算题(6分)

设()f x 在[]0,a 上连续，证明：2

02

()()()a a a

x

dx f x f y dy f x dx ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

⎰

⎰

⎰.