理工本科高等数学A(中)期中试卷20110424
大学工科数学分析期中考试___试题及答案
20XX年复习资料大学复习资料专业：班级：科目老师：日期：一、客观题（每题4分，共40分）1. 曲线⎩⎨⎧==21yx xyz 在点)1,1,1(处切线的的参数方程为 .2. 设函数(,)z z x y =由方程2222(,)0F x y y z --=所确定，其中(,)F u v 是可微函数，且0v zF ≠，则z z yx x y ∂∂+=∂∂ . xy z3. 当 , , a b c ===时，抛物线2y ax bx c =++与正弦曲线sin y x=在点(,1)2π相切，并有相同的曲率.1,2a =-,2b π=21.8c π=-4.用柯西收敛原理叙述级数1n n a ∞=∑收敛的充分必要条件是 .；正项级数1n n a ∞=∑收敛的充分必要条件是 .（1）0ε∀>，0N ∃>，当n N >时，对p ∀∈，有1pn i i a ε+=<∑. （2）部分和数列有界.5. 函数)ln(22z y x u ++=在点)1 ,0 ,1(A 处沿A 点指向)2 ,2 ,3(-B 点的方向导数为21，在点)1 ,0 ,1(A 处的方向导数的最大值为22，最小值为22-.本题分数 40得 分6. 曲面cos sin x u vy u v z av=⎧⎪=⎨⎪=⎩当1,4u v π==时的切平面方程为 .20x y +=7. 设zy xu =，则=∂∂)2,2,3(yu（ ）（ C ） （A ）3ln 4 （B ）3ln 8 （C ）3ln 324 （D ）3ln 1628. 旋转曲面2221499x y z ++=是（ ）（B ）（A ）xOy 平面上椭圆22149x y +=绕Oy 轴旋转成的椭球面（B ）xOy 平面上椭圆22149x y +=绕Ox 轴旋转成的椭球面（C ）xOz 平面上椭圆22149x z +=绕Oz 轴旋转成的椭球面（D ）xOz 平面上椭圆22149x z +=绕Oy 轴旋转成的椭球面9. 设1,02()122,12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，01()cos ,2n n a S x a n x x π∞==+-∞<<+∞∑，其中102()cos ,(0,1,2,.....)n a f x n xdx n π==⎰ ，则5()2S -=（ ）（A ）（A ）34 （B ）34- （C ）12 （D ）12-20XXXX.下列结论正确的是（ ）（C ）（A ）若级数1n n a ∞=∑和1n n b ∞=∑均为发散，则级数()1n n n b a ∞=+∑必为发散（B ）p -级数11p n n ∞=∑当1p >时收敛，现在因为111n +>，所以级数1111n nn ∞+=∑收敛（C ）若1lim 1n n nu r u +→∞=>，则1n n u ∞=∑必发散（D ）若1,1,2n n u u n +<=且lim 0n n u →∞=，则1n n u ∞=∑收敛，其和1S u ≤二、解答题（共60分）11. （8分）设),(),,(y x g y x f 有连续的二阶偏导数，令2(,(,))z f x g x x =，求22d d zx.12. （8分）设直线0:30x y b l x ay z ++=⎧⎨+--=⎩在平面π上且平面π又与曲面22z x y =+相切于点(1,2,5)-，求,a b 的值.解：曲面22z x y =+的法向量为()2,2,1x y -，则平面方程为()()()214250x y z --+--=，即245x y z --=，于是直线的方向向量可取为()()()1,1,01,,11101,1,111i j ks a a a →=⨯-==---，由()2,4,10s →⋅--=可得5a =-，由直线方程知2430x y z b --+-=，故2b =-. 20XXXX. （20XXXX 分）求幂级数21112n+1n n x ∞=⎛⎫-⎪⎝⎭∑的收敛域与和函数()S x .解：令∑∞=+=121121)(n nx n x S ，∑∞==122)(n n x x S ， 则 )()()(21x S x S x S -=，).1,1(-∈x 由于本题分数 60得 分∑∞==122)(n nxx S =221x x -， )1,1(,1))((22121-∈-=='∑∞=x xx xx xS n n, 因此 ⎰-++-=-=xx xx dt tt x xS 022111ln 211)(， 又由于 0)0(1=S ，故.0,1,0,11ln 211)(1=<⎪⎩⎪⎨⎧-++-=x x xx x x S 所以 )()()(21x S x S x S -=.0,1,0,1111ln 212=<⎪⎩⎪⎨⎧---+=x x x x xx20XXXX. （8分） 已知ABCD 是等腰梯形，,,8,BC AD BC AD AB BC CD <++=∥ 求AB ，BC ，AD 的长，使该梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大.解：设, AB x AE y ==，则旋转体体积为22222222(,)()()(82)()(82)33F x y y x y x y x x y x y πππ=-+--=--+. 由0,0x y F F ==，得3,1x y ==. 故3,2,4AB BC AD ===. 也可以用条件极值做！15. （7分） 证明：53275x y z xyz ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭.证明：令a x y z =++，3(,,,)()F x y z xyz x y z a λλ=-++-，则3320, 0, 30, 0,x y z F yz F xz F xyz F x y z a λλλλ=-==-==-==++-=由上述解得：3,,555a a a x y z ===. 所以33553()27()27()55555a a a a x y z xyz ++≤==，即原不等式得证.16. （7分） 证明函数()222222220(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点(0,0)连续且偏导数存在, 但偏导数在(0,0)不连续, 而f 在原点(0,0)可微. 解：由于221sin x y +有界，()2222(,)(0,0)lim 0x y x y x y→+=+，所以(,)f x y 在（0,0）连续. 同时220sinsin(0,0)0, (0,0)0x yx x y x y x f f →→===.可得222222222220(,)0,0x x x y f x y x y x y x yx y ⎧+≠⎪=+++⎨⎪+=⎩，显然(,)(0,0)lim (,)x x y f x y →不存在，故x f 在(0,0)不连续，同理y f 在(0,0)不连续. 又由于()22222222(,)(,)sinlim lim0x yx y x y xy xf yf x y x y x yx y→→+--++=++，所以f 在原点(0,0)可微. 20XXXX. （6分） 讨论1(1)(1)nnn en∞=--∑的收敛性，若收敛是条件收还是绝对收敛. 解：条件收敛。
2010-2011学年第二学期高数IIA期中试卷_答案
2、求无穷限积分 ∫
+∞
dx x x2 −1
1
.
解：令x = sec t , 当x → +∞, t → ∴∫
+∞
π
2
, 当x → 1, t → 0, 且dx = sec t tan tdt ⋯⋯⋯ (2分)
dx x x2 −1
1
= ∫2
0
π
sec t tan tdt ⋯⋯⋯ (4分) sec t tan t
4、求函数 u = x 2 + y 2 + z 2 在约束条件 z = x 2 + y 2 和 x + y + z = 4 下的最大值和最小值。 专业
解：作辅助函数 F ( x, y , z , λ1 , λ2 ) = x 2 + y 2 + z 2 + λ1 ( x 2 + y 2 − z ) + λ2 ( x + y + z − 4) ⋯⋯⋯ (2分) F ′ = 2 x + 2λ1 x + λ2 = 0 x Fy′ = 2 y + 2λ1 y + λ2 = 0 则令 Fz′ = 2 z − λ1 + λ2 = 0 ′ 2 2 Fλ1 = x + y − z = 0 F ′ = x + y + z − 4 = 0 λ2 x = 1 x = −2 解得 y = 1 和 y = −2 z = 2 z = 8
C、 −1
D、不存在 （ A ）
∫∫
x + y ≤1
2
栏
3
x 2 + y 2 dxdy 的值等于
2011-2《微积分A》期中试题解答(1)
北京理工大学2011-2012学年第二学期《微积分A 》期中试题解答及评分标准一、填空题（每小题4分，共20分） 1. ；30=S 2.;02,11111=-++-==-z y x z y x3. ⎰⎰=eeydx y x f dy I ),(10 4. ⎩⎨⎧==+02222z y x ; 5.)12ln 2(411+=∂∂==y x xz ,=∂∂==11y x yz 4.二、2132(cos ),x zxf x xf ye f x∂''=++∂ ………………………4分2232231232321332332sin (2)sin cos cos sin .xy xy xyxyxy z x yf x e x ye f x y xf x yx xe f x ye yf x ye f ∂''"=-++-∂∂""''+-+ (8)分 三、 ⎰⎰--=Ddxdy y x RI 222⎰⎰θππ-ρρρ-θ=cos 02222R d R d …………….……….….4分).322(32)sin 1(323233-π=θθ-=⎰πR d R ………….….…8分四、 0)2(2222=+++=∂∂xxey y x exf0)22(2=+=∂∂y eyf x……………………….2分解得驻点：)1,21(- ……………………….3分.2),1(4),12(4222222222xxxeyf y eyx f y y x exf =∂∂+=∂∂∂+++=∂∂.5分在点)1,21(-e C B e A 2,0,2===，0422<-=-=∆e AC B，又02>=e A ，所以点)1,21(-是极小值点； ……………………….7分极小值为.2)1,21(ef -=- ……………………….8分五、由于积分区域关于yoz 面对称，所以 0245=⎰⎰⎰dxdydz z xy V….2分dxdydz z y x z xy I V⎰⎰⎰++=)2(245dxdydz z y x V⎰⎰⎰+=)(2=⎰⎰⎰-+y xdz z y x dy dx 102110)(22……………….6分⎰+-+-=12468)31323432(dx x x x x.945184=……………………….8分六、 }0,2,2{}1,1,1{}1,1,1{-=-⨯=s L的方向向量为设直线， ….2分⎪⎩⎪⎨⎧--==+=t z t y t x L 211的参数方程为：， …………………….….4分)4,2,3(1-ππ的交点坐标为与的方程，得代入平面L ….6分 所以直线的标准方程为042223:+=-=--z y x L ……………8分七、1:22≤+y x D xoy V 面上的投影区域为在， …………….1分⎰⎰⎰++=Vdv zy x I 2221⎰⎰⎰ϕππϕϕθ=cos 14020sin dr r d d ………….5分ϕϕϕπ=⎰πd 402cossin.)12(π-= ……………………….8分八、xz xz xz xz yexu yzsin )(∂∂+-∂∂=∂∂方程0),(=-xz y x f 两边对x 求偏导，得，0)(21=∂∂+'+'xz xz f f221f x f z f x z ''+'-=∂∂⇒，.sin 21221xz f f f x f z f yexu yz''+''+'-=∂∂⇒ ……………….4分同理：,sin )(yz xzx yz yz eyu yz∂∂-∂∂+=∂∂方程0),(=-xz y x f 两边对y 求偏导，得，021=∂∂'+'-yz f x f21f x f y z ''=∂∂⇒.sin 2121f x f xzx f x f yezeyu yzyz''-''+=∂∂⇒ ………….….8分九、（1）曲面S 的方程为：221y x z --= …………..….2分（2）由题意，密度22),,(y x z y x +=ρ ……………...3分由对称性知：,0==y x⎰⎰⎰⎰⎰⎰++=VVdxdydzy x dxdydzy x z z 2222而dz d d dxdydz y x V⎰⎰⎰⎰⎰⎰ρ-πρρθ=+2102102022154π=dz z d d dxdydz y x z V⎰⎰⎰⎰⎰⎰ρ-πρρθ=+2102120221058π=72=z ,所以质心坐标为：).72,0,0( ………………..….8分十、}0,21,21{0-=l所以目标函数为：)(2y x lf-=∂∂ …………………….2分约束条件为： 632222=++z y x ………………………3分 构造拉氏函数：)632()(),,(222-++λ+-=z y x y x z y x F⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=λ='=λ+-='=λ+='63206041021222z y x z F y F x F z y x 解得驻点为：)0,1,2(),0,1,2(--B A ………………….…….6分又23|)(2|-=-=∂∂A A y x l f23|)(2|=-=∂∂B B y x lf比较知，满足题目要求的点的坐标为：)0,1,2(-B ，方向导数的最大值为.23 …………………………….8分十一、记⎰⎰+=Ddxdy y t f )1arctan()(⎰⎰+=t ytdx y dy )1arctan(2⎰+-=2)1arctan()(tdy y y t⎰⎰+-+=22)1arctan()1arctan(tt dy y y dy y t⎰+='2)1arctan()(tdy y t f …………….….3分)cos 1()1arctan(lim 0t t dxdyy Dt -+⎰⎰+→2)(lim 3tt f t +→= （0）2)(lim 32tt f t '=+→22)1a r c t a n (lim 32tdyy tt ⎰+=+→62)1a r c t a n (2l i m 3220π=+=+→t t t t …………..8分。
高数期中试题A卷与答案
y
其中 Dz : e 2 x y 2,0 x ln 2 2 2. 【 积.
0.389 】求第一卦限中由曲面 z 1 x 2 y 2 ， y x ， y 3x 及 z 0 所围成的立体的体 7
2 1
Dz y=e2x
x
1 2 0
V dv 3 d d
2.333 】 3
y lim(1 ) x e k . x x y k
.
三、解答下列各题（每小题 6 分，共 24 分） ： 2.278 1. 【 】设函数 z z ( x, y ) 由方程 z 3 2 xz y 0 所确定,求 z 6 y
6z （
2 ， z (1,1,1)
订
订
分的闭区域。 4. 【
3.889 】 求函数 f x, y 2xy 3x 2 2 y 2 的极值。 6
【法一】
专业班级
f x 2 y 6 x 0, 得 (0, 0) 为驻点，又 f xx 6, f xy 2, f yy 4, f ( x, y) 2 xy 3x 2 2 y 2 , 令 f y 2 x 4 y 0, H AC B2 (6) (4) 22 20 0, A 6 0, 所以函数在(0，0) 处有极大值 f (0,0) 0.
2
由于 z x 2 y 2 ， 学号
z z 2x ， 2 y ， D : x2 y2 1 ， x y
dz
0
2
ln 2 2 0
ln y 2y 2 2 2 e e 2y e2y dxdy dz dx 2 x dy dz dy 2 dx 0 e ln y 0 1 ln y 0 ln y Dz
2010-2011高数(下)期中考试试题1
北京信息科技大学2010-2011学年第2学期《高等数学》176学时课程期中考试试题一、填空题（共10分，每小题2分）1．向量 )1,1,1(=a r 的方向余弦_______,cos =α_______,cos =β._______cos =γ2. 求过点)3,1,4(−且平行于直线51123−==−z y x 的直线方程 是 ._______3．将yoz 面的抛物线 绕z y 32=z 轴旋转一周所成的旋转曲面方程是._______4. 曲线⎪⎩⎪⎨⎧+=−−=)(34:2222y x z y x z C 在xoy 面的投影曲线是 ._______5. 设∫∫−−=D y x y x I d d 422 由几何意义知4:22≤+y x D ._______=I 二、解答题（共63分，每小题7分）1. 已知)3,1,3(,)3,0,2(,)2,1,1(C B A −三点，求同时垂直于与的单位向量2. 已知,2z x e yz y x u ++= 求 z d 3. 已知(),,2x y x xf z += 其中具有二阶连续偏导数，f .,2y x z x z ∂∂∂∂∂求 4. 设由方程所确定，),(y x z z =023=+−y xz z yz x z ∂∂∂∂,求5. 求曲面在点处的切平面 3=+−xy z e z )0,1,2(6. 问函数在点z xy z y x u 2),,(=)2,1,1(−P 处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值7..333的极值求函数xy y x z −+=8．交换二次积分的积分次序()∫∫y y x y x f y 2202d ,d9． ()∫∫∫Ωdv z y x f ,,将三重积分.2:2222y x z y x −−≤≤+Ω化为柱面坐标系下的三次积分三、计算下列各题(27分)1．及直线∫∫+D y x y x d d )(22计算4,12222=+=+y x y x D 由曲线其中.0,所围成的闭区域==x x y (9分)2．∫∫Dx y x e ,d d 2计算.01,所围成的闭区域及由其中===y x x y D (9分) 3．.0,,2222所围成的立体体积求由曲面==++=z x y x y x z (9分)。
大学高等数学-(A)期中试卷(含答案)
20XX年复习资料大学复习资料专业：班级：科目老师：日期：一、填空题 （每小题4分，共20XX 分）1、22lim sin 1x xx x →∞=+ 。
2、1lim(ln )n n n n →∞= 。
3、设321)(+=x x f ，则()(0)n f = 。
4、已知232,()arctan 32x y f f x x x -⎛⎫'== ⎪+⎝⎭，求0|x dy dx == 。
5、设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-=0,0,2arcsin 1)(2tan 3x ae x xe xf xx在0=x 处连续，则=a 。
二、单项选择题 （每小题4分，共20XX 分）1、设ln ||()sin |1|x f x x x =-，则)(x f 有（ ）。
A. 一个可去间断点，一个跳跃间断点 B. 两个无穷间断点 C. 一个跳跃间断点，一个无穷间断点 D. 两个跳跃间断点 2、 若0→x 时，2)(kx x f =与x x x x g cos arcsin 1)(-+=是等价无穷小，则k 等于（ ）。
A. 1B. 32C. 43D. 23、 设)(x y y =是由方程1+=+x e xy y所确定的隐函数，则022|=x dxyd 等于（ ）。
A. 3-B. 2-C. 1-D. 0 4、设)(x f 处处可导，则（ ）。
A. 当lim ()x f x →-∞=-∞，必有lim ()x f x →-∞'=-∞B. 当lim ()x f x →-∞'=-∞，必有lim ()x f x →-∞=-∞厦门大学《高等数学（A ）》期中试卷＿＿＿＿学院＿＿＿＿系＿＿＿＿年级＿＿＿＿专业C. 当lim ()x f x →+∞=+∞，必有lim ()x f x →+∞'=+∞D. 当lim ()x f x →+∞'=+∞，必有lim ()x f x →+∞=+∞5、设函数)(u f 可导，)(2x f y =当自变量x 在1-=x 处取得增量1.0-=∆x 时，相应的函数增量y ∆ 的线性主部为1.0，则)1('f 等于（ ）。
《高等数学》(理科)A卷答案及评分标准 - 赣南师范
《高等数学》（理科）A 卷答案及评分标准一、填空题（每小题2分，共20分）1、a b -2、1，03、>4、35、Ⅲ，Ⅷ6、)1,2,3(-，)1,2,3(--7、双曲线，双曲柱面8、1，57- 9、yx -，0 10、dx y x f dy y ⎰⎰101),( 二、选择题（每小题3分，共18分）1、A2、C3、D4、C5、B6、B 三、（每小题4分，共16分）1、41]cos 41[cos cos sin cos 2024323=-=-=⎰⎰πππx x xd xdx x2、πππππ202020220202]2sin 41[412sin 41)12(cos 21cos ⎰⎰⎰=+=+=x x x x xd dx x x xdx x 22022sin 41πππ=+-⎰xdx 3、令3ln 24)]1ln (2[11121211,20202040-=+-=+-+=+=+=⎰⎰⎰t t dt t t dt t t dx xt x 4、e e e x d e dx xe x xx-=-=-=⎰⎰2112112121][1 四、（每小题5分，共20分） 1、22222,2yx y y z y x x x z +=∂∂+=∂∂ 2、x xy y x y z y y y x x z +-=∂∂+-=∂∂2322292,33 xy x yz y y x x y z y x z xy x z 182,196,63222222222-=∂∂+-=∂∂∂=∂∂∂=∂∂ 3、33)332(23y x xe xy x x z -++=∂∂，33)332(32y x ye y y x yz---=∂∂4、xy ye x z =∂∂，xy xe y z =∂∂，()21,2e x z=∂∂，()21,22e y z =∂∂，dy e dx e dz 222+=五、（每小题5分，共10分）1、先画D （略），再改变次序：dx y x f dy dy y x f dx yyx x ⎰⎰⎰⎰=1010),(),(22、先交换积分次序，然后积分。
工科数学分析第二学期期中试卷11-12-2(精简版)
河南理工大学 2011-2012 学年第 二 学期《工科数学分析2》期中试卷（A ）一．填空题（共35分，每小题5分.）1．设函数 f (u ) 具有二阶连续导数，而 )sin (y e f z x = 满足方程 z e y z x z x 22222=∂∂+∂∂，则f (u )=2．第一型线积分()()⎰+C ds y x 的值为 ，其中()C 为以 (1,0) 和 (0,1) 为顶点的线段．3．三重积分⎰⎰⎰Ω++dxdydz z y x 222 的值为，其中(){}2220,,y x z z y x --≤≤=Ω． 4．y x x y x x +→∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-211lim 0= ．5．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+y z y y x ϕ22 确定()y x z z ,=，其中ϕ为可微函数，则=∂∂y z ． 6．球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上的投影方程为． 7．xOz 坐标面上的圆92=+z x 2绕z 轴旋转一周，生成的旋转曲面方程为 ．二．试解下列各题（共35分，每小题7分）8．用定义证明()()21110,0=-+→xy xy limy x,． 9. 计算二重积分⎰⎰--=Dd y x a I σ22241．其中D 是由曲线22x a a y -+-=（a > 0） 和直线 x y -= 围成．10. 若3,,2,5π=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∧b a b a ，求：(1)()()b a b 3-a 2 2+⨯; (2) ()b 3-a 2 .11. 求密度为μ均匀物体：222222,2z y x z y x ≥+≤++对z 轴的转动惯量．12. 求通过点()0,0,3A 和()1,0,0B 且与xOy 面成3π角的平面的方程．三 ．证明题（共30分，每小题10分）13. 证明函数()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=0,0,,00,0,,1sin ,2222y x y x y x y x y x f 在()0,0处可微． 14. 设()t r r =为空间3R 中动点()()()()T t z t y t x ,,的向径，证明：()C t r = （C 为常数）的充分必要条件为()()0,='t r t r ．15. 设1:222≤++Ωz y x ．证明： ππ3852223433≤+-+≤⎰⎰⎰Ωdv z y x ．。
2015-2016-上海理工大学高数A1-期中考试 - 答案
一、填空题：(每空 3 分，共 18 分) 1. lim
cos n n 2n 1
0
.
2
( lim
1 0 ， cos n 有界，无穷小乘以有界函数为无穷小) n 2n 1
2
阶无穷小. ( x 0 ， sin(sin x ) sin x x )
4
(端点处连续可导必须利用定义)
1
又 f (0 ) lim f ( x) lim x e x 0 ， f (0) 0 ， f ( x) 0 ， f (0 ) lim
x 0 x 0 x 0
则 f ( x) 在 x 0 处连续, 进而 f ( x) 在 ( , ) 上连续. 当 x 0 时， f ( x) 0 ；当 x 0 时， f ( x) 4 x e x x e x
2.
1 x sin x e x . (拆项后利用等价无穷小) lim x 0 ln(1 x 2 )
2 2 2
2
1 x sin x e x 1 x sin x 1 1 e x 1 x sin x 1 1 ex 解： lim lim lim lim x 0 x 0 x 0 x 0 x 2 ln(1 x 2 ) x2 x2
3 4 1 1 1 1 2 x ； (4 1)e x x 2 x
1 x 4e x 0 00 3 x ， 当 x 0 时， f (0) lim f (0) lim lim x e 0 ，则 f (0) 0 0 x 0 x 0 x 0 x x 1 x 2 (4 x 1)e x , x 0 故 f ( x) 在 ( , ) 上可导，且 f ( x) . 0, x0 六、(本题 12 分) 求内接于半径为 R 的球内体积最大的圆柱体的半径和高.
武汉理工大学2011高数A上期中试卷及解答
2. 设 e a b e ，求证： ln
2
b ln 2 a
4 b a 。 e2
期中试卷参考答案：
一、选择题： D、B、C、B、A． 4、 2n (n 1)! ； 5、 y 2 x.
二、填空题：
1、1；
2、1；
3、0；
三、计算题
e 1、 lim
x 0
2． y y ( x) 由方程 e y 6 xy 1 x2 所确定，求 y (0) 。 3． y y ( x) 由参数方程
x f (t ) d2y 所确定（其中 f (t ) 0 ） ，求 2 。 dx y tf (t ) f (t )
4． 设 y
4、 y 4
五、应用题： 解：设 P 点坐标 ( x, x ) ， 则切线方程为 Y x 2 x( X x0 ) S
2
2
1 8 x 16 x x 2 2
0 x 8
令
dS 16 16 4096 0 x （唯一驻点） ，根据实际情况知， S 为所求。 dx 3 27 3
3、
dy f (t ) tf (t ) f (t ) d2y 1 t 2 . dx f (t ) dx f (t )
3 1 1 3 1 1 n y n 1 n ! . n 1 n 1 2 x 1 x 1 2 x 1 x 1
n
(0)
5.
2 x3 的渐近线方程为 x2 1
。
三、计算题（每小题 6 分，共 24 分）
e 1． lim
x 0
x
高数(A)下期中试卷
中国计量学院现代科技学院2010~ 2011学年第 2 学期《高等数学Ａ（下）》课程期中考试试卷开课系部： 基础部 ，考试时间： 2011年4 月 23日14：00-16：00时 考试形式：闭卷■、开卷□，允许带入场考生姓名： 学号： 专业： 班级：一、单项选择题（每小题2分，共20分）1、下列点中只有（）在xoy 坐标面上（A ）（0，1，1） （B ）（1，0，0）（C ）（1，0，1）（D ）（1，1，0） 2. 设21xy t z e dt =⎰，则x z ∂∂=（ ）（A ） 2)(xy ye （B ）2)(xy xye （C ）2)(xy xe （D ）e e xy -2)(3. 函数z =的定义域是（ ）.（A ）闭区域（B ）区域（C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域4.点()0,0是函数z xy =的（ ）.（A ）极大值点（B ）极小值点 （C ）驻点但不是极值点 （D ）驻点且是极值点. 5．函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处具有一阶连续偏导数是它在该点存在全微分的（）. （A ）充分必要条件 （B ）充分而非必要条件（C ）必要而非充分条件 （D ）既非充分又非必要条件.6. 设已知()1,0,2A ,()3,1,0B , 则向量AB 的方向余弦之一=αcos （）.（A ） 32-（B ） 32（C ） 31- （D ）317. 设向量()1,2,1=a ，()1,1,2=-b , 则向量a b ⨯在y 轴上的投影是（ ）（A ）-1（B ）1 （C ）j -（D ） j8. 直线13x -=14y +-=21z -与平面23620x y z +++=的关系是（ ）. （A ） 垂直 （B ）平行 （C ）斜交 （D ）以上都不是9. 空间曲线22222420x y z x x y ⎧++=⎪Γ⎨-+=⎪⎩:在xoy 平面的投影是（）. （A ）椭圆 （B ）圆（C ）抛物线（D ）双曲线10、下列方程在空间直角系中表示柱面的是（ ）（A ）32100x y +-=。
高数(A)下期中考试
高数(A)下期中考试——-————-———————————-——-----——--- 作者：————————————————————-——-————————日期：中国计量学院现代科技学院2010～ 2011学年第 2 学期《高等数学Ａ（下）》课程期中考试试卷开课系部： 基础部 ，考试时间: 2011 年 4 月 23 日14：00-16：00 时 考试形式:闭卷■、开卷□，允许带 入场 考生姓名： 学号： 专业： 班级： 题序 一 二 三 四 五 总分 得分 评卷人 一、单项选择题（每小题2分，共20分） 1、下列点中只有（ ）在xoy 坐标面上 （A ）（0，1，1） （B ）（1,0，0） （C ）（1，0,1） （D)（1，1，0） 2。
设21xy t z e dt =⎰，则x z ∂∂=( ) （A ） 2)(xy ye （B ） 2)(xy xye (C ） 2)(xy xe （D ） e e xy -2)( 3。
函数2222141z x y x y =--++-的定义域是（ ). （A ）闭区域 （ B ）区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 4。
点()0,0是函数z xy =的（ ). （A ）极大值点 （B ）极小值点 (C ）驻点但不是极值点 （D)驻点且是极值点. 5．函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处具有一阶连续偏导数是它在该点存在全微分的( )。
（A ）充分必要条件 （ B ）充分而非必要条件 （C ）必要而非充分条件 （D)既非充分又非必要条件。
6. 设已知()1,0,2A ， ()3,1,0B ， 则 向量AB 的方向余弦之一=αcos （ ）。
（A ) 32- （B ） 32 (C ） 31- (D ）31 7。
设向量()1,2,1=a ,()1,1,2=-b , 则向量a b ⨯在y 轴上的投影是( ）（A)-1 (B ）1 （C ）j - （D ） j装8. 直线13x -=14y +-=21z -与平面23620x y z +++=的关系是（ ）. （A) 垂直 (B)平行 （C ）斜交 （D ）以上都不是9. 空间曲线 22222420x y z x x y ⎧++=⎪Γ⎨-+=⎪⎩:在xoy 平面的投影是（ ). (A ）椭圆 （B ）圆 （C)抛物线 （D ）双曲线10、下列方程在空间直角系中表示柱面的是（ )（A ）32100x y +-=； （B) 22223140x y z ++-=;（C ）2220z x y --=； （D ）220x y z +-=.二、填空题（每小题2分，共20分）1、 设 cos u xyz =，则全微分du =_________________2、 设 223z x xy y =++,则 (1,0)zy ∂∂=_______3、 设 (,)z f xy y x =- ,则z x ∂=∂_______ ____ 4、 极限 2222(,)(0,0)1lim ()sinx y x y x y →+=+__________ 5、 方程222z y x +=在空间直角坐标系中表示的曲面是________________6、 向量()1,1,1a =的单位向量0a =___________________7、 设(1,1,2)=--a , (1,2,1)=-b , 则与a b 夹角的正弦等于_______________8、 将xoy 坐标面上的双曲线224916x y -=绕y 轴旋转一周, 所生成的旋转曲面方程是________________9、 原点到平面22100x y z ++-=的距离是_________ 10、 直线31215x y z --==的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧ 三、计算题（每题5分，共50分)1、设向量 )3,1,1(-=a ， )1,3,2(=b ，计算：)2()(b a b a +•⨯2、求与直线⎩⎨⎧=--=++003z y x z y x 平行，且过点（1,—1,2）的直线方程3、求过点(1,1,1)-且平行于向量)1,1,2(=a 和)0,1,1(-=b 的平面的方程4、求极限 {}(,)(0,2)tan()lim x y x y xy e x +→+装5、设 ()1y z xy =+，求偏导数,z z x y∂∂∂∂6、设 2cos ,sin ,x z u v u xy v y =-==，求,z z x y∂∂∂∂7、 设 02222=-++z z y x ， 求22z y ∂∂8、求 空间曲线为 cos ,sin ,x a t y a t z bt ===, 在)0,0,(a 处的切线及法平面方程9、求曲面3=+-xy z e z 在点（2，1，0）处的切平面及法线方程 10、求函数 433),(22+-+++=y x y xy x y x f 的极值四、 应用题（共5分)装用拉格朗日乘数法求抛物线 2x y =到直线02=--y x 的(最小）距离五、 证明题（共5分） 证明二重极限326(,)(0,0)lim x y xy x y →+不存在。
-2011-2高等数学a2期中试卷参考答案(信息专业用)教学内容
《高等数学A2》期中试卷
（课程代码：BB103003）考试方式闭卷考试时长分钟
姓名学号专业级班
题号
一
二
三
四
五
六
合计
满分
15
15
20
30
30
20
100
得分
阅卷人
一、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在第二页指定的答题栏内）
（A） ；（B） ；
（C） ；（D） .
4.区域 ，又
，则正确的是（C）.
（A） ；（B） ；（C） ；（D） .
5.设 ，则 等于（D）.
（A） 倍的 的体积.；（B） ；
（C） ；（D） .
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，将答案填在本页指定的答题栏内）
1. =（ ）.
2.设 ，则 ＝（0）.
所求几何体的体积为
……………………………4分
利用极坐标进行计算得
……………………………10分
方法二利用三重积分计算
由于上面空间区域在xoy平面的投影区域为 .……………………2分
利用柱面坐标计算.
……………………………6分
……………………………10分
六、计算题（本题共2小题，每小题10分，满分20分）
做拉格朗日函数
…………………………………3分
由方程组 ，…………………………………6分
得
则 ，或 .
所求的点为 .…………………………………10分
五、计算题（本题共3小题，每小题10分，满分30分）
1．计算二重积分 其中 是由抛物线 和直线 所围成的闭区域.
高等数学A(1)期中测试题A+答案
xy y x xy
3.
求由参数方程
x y
ln(1 t 2) t arctan t
的所确定的函数
y
y(x)
的一阶导数dy dxFra bibliotek和二阶导数
d2y dx2
.
解:
dx dt
1
2t t
2
,
dy dt
t2 1t2
,
则 dy dx
t 2
;
d2y dx 2
d ( t ) / dt 2
dx / dt
1t2 . 4t
则 (0) f (0) (03 3* 02 0) 0, (1) f (1) (13 3*12 1) 0 ,
由罗尔定理,至少存在一点 1 (0,1), 使得(1) 0 , 又有(1) f (1) (3 6 1) 0 ,
由罗尔定理,至少存在一点 2 (1,1), 使得(2 ) 0 , 又有(1) f (1) (6 6) 0 ,
=e lim x0
ln(cos x2
x
)
e lim sin x x0 2 x cos x
1
e 2
(2) lim( 1 1 ) x0 x ln(1 x)
lim ln(1 x) x x0 x ln(1 x)
lim
x0
ln(1
x) x2
x
1 1 lim 1 x
x0 2x lim x 1
18-19（1）《高等数学 A(1)》期中测试题 A
一、陈述:略
（1）
lim (1
1
x) x
e; lim
sin bx
b
，故 a
=b
e
x0
x x0
（2）
XXX《高等数学(A)》期中试卷(含答案)
XXX《高等数学(A)》期中试卷(含答案)的区域为圆盘D，半径为t。
根据题意，有：limtx2y2t2f(x2y2)dxdyt4limtDf(x2y2)dxdyt4limt2t(t2r2) f(r2) rdrdt4limt2t(t2r2) f(r2) rdrt4limt2t(1(r/t)2) f(r2) rdr t2令u=r/t，则上式变为：limt2t(1u2) f(t2u2) tdu t221(1u2) f(u2t2) du22f(0)limt01(1u2) du2f(0)因此，所求极限为f(0)。
2、解：eydydx = ∫e^x [y]0^1 dx = ∫e^x (3x) dx = 3∫x e^x dx 3[xe^x - ∫e^x dx] = 3xe^x - 3e^x + C因此，所求积分为3xe^x - 3e^x + C。
3、解：根据题意，有：xyz + x^2 + y^2 + z^2 = 2对两边同时求全微分，得：zdx + ydx + 2xdy + 2zdz = 0因此，有：dz = -(zdx + ydx + 2xdy) / (2z)在点(1.0.-1)处，有：z = f(x。
y) = 1 - x^2 - y^2y = 0，dx = 1，有：dz| (1,0,-1) = -dx / 2 = -1/2因此，所求导数为-1/2.4、解：根据题意，有：D: y = 4 - x^2.y = 2x - x^2.x + y = 0将y = 4 - x^2和y = 2x - x^2相减，得：2x - 4 = 0因此，x = 2，y = -2.将其带入原式，有：D (x^2 + y^2) dxdy = ∫0^2 ∫2x-x^2^4-x^2 dxdy 0^2 [(2x^3/3 - 2x^5/5) - (x^5/5 - x^7/21)] dx 16/15因此，所求积分为16/15.5、解：根据题意，有：z^2 = x^2 + y^2.z = 1将z带入第一个方程，得：x^2 + y^2 = 1因此，所求积分为：x^2 + z) dV = ∫0^2∫0^1 ∫0^(1-z^2) (x^2 + z) r dr dz d 0^2∫0^1 [(r^4/4 + r^2z^2/2) |0^(1-z^2)] dz d0^2 [(1/20)(1-z^2)^(5/2) + (1/6)(1-z^2)^(3/2)] dz2/15)(2 2 - 1)因此，所求积分为(2/15)(2 2 - 1)。
高等数学a2期中测试题及答案
高等数学a2期中测试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 极限lim(x→0)(sinx/x)的值是多少？A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B2. 函数f(x)=x^2+3x+2在x=-1处的导数是多少？A. -4B. -2C. 4D. 2答案：A3. 以下哪个选项是正确的不定积分？A. ∫x dx = x^2 + CB. ∫e^x dx = e^x + CC. ∫sin(x) dx = cos(x) + CD. ∫cos(x) dx = sin(x) + C答案：B4. 以下哪个级数是收敛的？A. 1 + 1/2 + 1/4 + ...B. 1 - 1/2 + 1/4 - ...C. 1 + 2 + 3 + ...D. 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...答案：B二、填空题（每题5分，共20分）5. 设函数f(x)=3x^2-2x+1，求f'(x)。
答案：6x-26. 计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx。
答案：1/37. 求函数y=ln(x)的反函数。
答案：e^y8. 计算二重积分∬(D) xy dA，其中D为x^2+y^2≤1的区域。
答案：π/8三、解答题（每题10分，共60分）9. 求极限lim(x→∞) (x^3-1)/(x^2+1)。
解：lim(x→∞) (x^3-1)/(x^2+1) = lim(x→∞) (x^3/x^2) =lim(x→∞) x = ∞10. 求函数f(x)=x^3-6x+8的极值点。
解：首先求导数f'(x)=3x^2-6，令f'(x)=0，解得x=±√2。
检查二阶导数f''(x)=6x，当x=√2时，f''(x)>0，因此x=√2是极小值点；当x=-√2时，f''(x)<0，因此x=-√2是极大值点。
11. 计算定积分∫(0 to π/2) sin(x) dx。
11高等数学A(中)期中试卷
1福州大学高等数学A(中)期中试卷2012年4月22日一、单项选择(共18分,每小题3分) 1.设22sin A y i xyz j x z k =++ ，则Az∂∂＝( ). (A)xy j (B)cos xy j x z k +(C) cos xy x z + (D)cos x z k 2.映射2()21f z z z =++在z i =处的旋转角为( ). (A)π (B)2π (C)3π (D)4π 3.(,)limx y →=( ).(A)1 (B)2 (C) 3 (D) 04.设),(y x f 连续且(,)(,)Df x y x y f x y dxdy =++⎰⎰,其中D 由x y y x ===,1,0围成的区域,则=),(y x f ( ).(A)18x y ++(B)14x y ++ (C) 1x y ++ (D) 2x y ++5.曲面3ze z xy -+=在点(2,1,0)处的切平面方程是( ).(A)240x y +-= (B)24x y z +-= (C)240x y +-= (D)250x y +-= 6.积分122001(,)(,)x dx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰交换积分次序后为( ).(A)1201(,)ydy f x y dx -⎰⎰(B)1201(,)ydy f x y dx +⎰⎰ (C)1201(,)ydy f x y dx -⎰⎰(D)1201(,)ydy f x y dx+⎰⎰学院 专业 级 班 姓 名 学 号2二、填空(共16分,每小题2分)1.方程1z e =+的根z = .2.数量场22cos u x y z =+-经过点(1,0,)M π的等值面方程为 .3.设2(,)(1)arctanx y yf x y e x x+=+-，则(1,0)x f = .4.u =(1,0,1)A 处沿A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为 .5.已知33z x y axy =+-在点(1,1)取极小值,则常数a = .6.设()f r可微且r =则()grad f r = . 7.设22{(,)|1,0}D x y x y y =+≤≥，则2sin()Dx xy dxdy ⎰⎰的值为 .8.设Ω为由z =z =,则三重积分22(,)I f x y z dxdydz Ω=+⎰⎰⎰在球面坐标系下的累次积分为=I .三、计算题(每小题7分,共14分)1.问函数2()Re f z z z =在何处连续？何处可导？何处解析？ 请说明理由.2.求一个共形映射将区域{:1Re 3}D z z =<<映为单位圆1w <||.3四、计算题(每小题7分,共14分)1.由0ze xyz -=所确定的函数为(,)z z x y =，求22zx∂∂.2.设(,)f u v 具有二阶连续的偏导数，22(,)z f xy x y =-，求2,,z z zx y x y∂∂∂∂∂∂∂.五、计算题(每小题8分,共16分)1.计算二次积分10x ydx dy y⎰.2.计算二重积分D，其中2222:4,2D x y x y x +≤+≥.4六、计算题(每小题8分,共16分)1.设Ω为由222x y z +=与2z =所围成的区域，计算三重积分22()x y dxdydz Ω+⎰⎰⎰.2.在球面2223x y z ++=的第一卦限上求一点，使该点的切平面与三坐标面 围成的四面体的体积最小.七、证明题(6分)设()f t 在[]0,1上连续，证明：11211()(1)()dx f z dz t f t dt π--=-⎰⎰⎰⎰.装 订 线 装 订 线 装 订 线。
高 二数学上学期期中考试 理 A 试题
智才艺州攀枝花市创界学校沙洋2021—2021上学期期中考试高二理科数学试卷〔老师用卷〕说明：1、本卷内容包括的全部内容与选修2—3的第一章计数原理.2、线性回归方程y bx a =+中系数计算公式121()(),()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑a y bx =-,其中,x y 表示样本均值.3、本卷总分值是150分，限时120分钟.第I 卷〔选择题一共50分〕一、选择题：(本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．) 1、将二进制的数(2)1010化为十进制的数是()〔A 〕2〔B 〕4〔C 〕10〔D 〕9 [答案]C 2、以下()〔A 〕65〔B 〕64〔C 〕63〔D 〕62[答案]B 3、样本容量为30，在样本频率分布直方图〔如上图〕中，各小长方形的高的比从左到右依次为2∶4∶3∶1，那么第2组的频率和频数分别为〔〕 〔A 〕0.4,12〔B 〕0.6,16〔C 〕0.4,16〔D 〕0.6,12数据 频率组距1 乙 12 53368 479 甲 45 2637857 2题3题4题[答案]A4、执行程序框图〔如上图〕，假设输入的N是6，那么输出的p是()〔A〕120〔B〕720〔C〕1440〔D〕5040[答案]B5、取一根长度为30厘米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于10厘米的概率为()〔A〕12〔B〕14〔C〕34〔D〕13[答案]D6、4名学生和2名老师排成一排照相，要求两位老师必须相邻但不站在两端，那么排法种数为()〔A〕144种〔B〕72种〔C〕120种〔D〕240种[答案]A7、有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶〞的对立事件是〔〕〔A〕至多有1次中靶〔B〕2次都中靶〔C〕2次都不中靶〔D〕只有1次中靶[答案]C8、回文数是指从左到右读与从右到左读都是一样的正整数，如121，676，94249等，在五位数中，百位是0的回文数的个数是()〔A〕100〔B〕90〔C〕72〔D〕8100[答案]B说明：此题根据教材p51B组3、的回文数的概念，结合排列组合的知识改编.9、假设1()nxx展开式的二项式系数之和为64，那么展开式的常数项为()〔A〕10〔B〕20〔C〕30〔D〕120[答案]B10、为了迎接2021年亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不一样．记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间是间隔均为5秒.假设要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间是至少是() 〔A 〕1205秒〔B 〕1200秒〔C 〕1195秒〔D 〕1190秒 [答案]C第II 卷非选择题一共100分二、填空题：(本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分．把答案填在答题卡相应位置上．) 11、今天是星期3，3021-天后的这一天是星期[答案]312、将9个大小一样的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子内的球数不小于该盒子的编号数，一一共有种不同的放法. [答案]1013、一海豚在水池中自由游弋，水池为长30米，宽20米的长方形，那么海豚嘴尖离岸边不超过2米的概率为. [答案]237514、某数学老师身高176cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm 、170cm 和182cm ．因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_____cm ． [答案]185 由题意，123173,170,176x x x ===；123170,176,182,y y y ===173,176x y ==ˆˆ1,3ba ==,ˆ3y x =+,当182x =时，ˆ185y = (4)81()2x +的展开式的第二项的系数不是08C ，是18C . [答案]〔1〕、〔2〕、〔4〕说明：此题根据p73的中位数与频率直方图的关系，p115的探究，p142B(2)及选修2-3二项式系数的概念编.三、解答题：：〔本大题一一共6小题，一共75分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤．〕 16、〔12分〕一个小商店从一家食品购进展14袋白糖，每袋白糖的HY 重量是500克，为了理解这些白糖的重量情况，称出各袋白糖的重量〔单位：克〕如下： 498484497504489495503499503509498487500506求：〔1〕14袋白糖的平均重量x 是多少？HY 差s 是多少？〔计算结果保存整数〕〔2〕重量位于[,]xs x s -+有多少袋白糖？可以估计，数据落在[,]x s x s -+上的概率是多少？[答案]〔1〕将各样本数据减去500，得2163416531392130650049814x ---+--+-++--++=+=.…………3分7≈…………………………………………………………6分498,7x s ∴==.…………………………………………8分(2)位于[491，505]的有9袋，可以估计914p =.…………………………12分说明：此题根据教材p79练习第2题改编. 17、〔12分〕以下32组数据是用电脑产生的随机数 181807924544171658097983861962067650031055236405 052662389775841607449983114632242014858845109372某篮球运发动每一次投球的命中率为80%，请你根据以上32组数据，用设计模拟试验的方法，求他在三次的投球中恰有两次投中的概率大约是多少？[答案]用1,2,3,4,5,6,7,8表示投中,用0,9表示不投中,………………2分 32组数据相当于做了32次试验，…………………………4分在一组数据中，假设恰有两个数在1，2，3，4，5，6，7，8中，那么表示恰有两次投中， …………………………………………………………………6分它们分别是807，924，962，067，650，031，055，405，052，607，449，014一共12个数， …………………………………………………………………8分由此得到该篮球运发动三次投球中恰有两次投中的概率大约为123328p==.…………12分法二用0，1，2，3，4，5，6，7表示进球，用8，9表示不进球，同理可求得1132 p=.说明：此题根据教材p132例6改编.18、〔12分〕画出“务实数x的绝对值〞的程序框图，并写出相应的程序.[答案]程序框图如下：评分说明：错一处，扣除2相应的程序：IFENDIFEND评分说明：错一处扣2分，6分扣完为止.说明：此题选自教材p25例519、〔12分〕⑴从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.求所选3人中至少有1名女生的概率.⑵对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进展测试，至区分出所有次品为止，假设所有次品恰好在第5次测试时全部发现,那么这样的测试方法有多少种？[答案]“从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛〞根本领件总数为36C………2分设“所选3人中至少有1名女生〞为事件A，恰有1名女生的选法有1224C C .恰有2名女生的选法有2124C C .…………………………………………………………4分 所选3人中至少有1名女生的概率为1221242436C C C C P C +=45=…………………………………………………………6分 〔2〕由题意知前5次测试恰有4次测到次品，且第5次测试是次品.………………9分 故有：314464576C C A =种可能.…………………………………………………………12分20、〔13分〕口袋中有质地、大小完全一样的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，假设两个编号的和为偶数算甲赢，否那么算乙赢．⑴甲、乙按以上规那么各摸一个球，求事件“甲赢且编号的和为6〞发生的概率； ⑵这种游戏规那么公平吗试说明理由． [答案](1) 设“甲胜且两数字之和为6〞为事件A ，事件A 包含的根本领件为〔1，5〕，〔2，4〕，〔3，3〕，〔4，2〕，〔5，1〕一共5个.……………………3分又甲、乙二人取出的数字一共有一共有25个等可能的结果，……………………………4分 所以51()255P A ==，所以编号和为6的概率为15.………………………………6分 (2)这种游戏规那么不公平.设“甲胜〞为事件B ，“乙胜〞为事件C ，那么甲胜即两数字之和为偶数所包含的根本领件数为13个： 〔1，1〕，〔1，3〕，〔1，5〕，〔2，2〕，〔2，4〕，〔3，1〕，〔3，3〕，〔3，5〕，〔4，2〕，〔4，4〕，〔5，1〕，〔5，3〕，〔5，5〕.………………………………9分 所以甲胜的概率为13()25P B =，从而乙胜的概率1312()12525P C =-=.………………11分由于()()P B P C ≠，所以这种游戏规那么不公平.………………………………13分21、〔14分〕()(1)()n f x x n N *=+∈.〔1〕当0,1xn >>时，证明：()1n f x x >+.(2)假设1234,,,a a a a 为()f x 的展开式中相邻四项的系数，证明：312122334,,a a a a a a a a a +++成等差数列.[答案]〔1〕()(1)(1)(1)n n n f x x x x -+=+-+………………………………2分01122()k k n nn n n n n C C x C x C x C x =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+(1)n x -+……………………4分 112211k k n n n n n n C x C x C x C x --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+0>………………………………6分()1n f x x ∴>+.……………………………………………………………………7分(2)设1121234,,,,k k k k n n n n a C a C a C a C n N -++*====∈，那么……………………9分212111k k k n n n ++=+=⋅+++.…………………………………………………………12分 而23232221221111a k a n k a a n k a +⋅===⋅-+++++.……………………………………13分 3121234232a a a a a a a a a ∴+=⋅+++. 312122334,,a a a a a a a a a ∴+++成等差数列.……………………………………14分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
福州大学理工高等数学A(中)期中试卷
一、单项选择(共18分,每小题3分)
1.设222sin A y i yz j x z k =++ ，则
A
y
∂∂＝( ).
(A) 2z j (B) 24y i z j +
(C) 4y i
(D) 24y z + 2.下列函数中处处解析的是( ). (A)tan z (B) Re()z (C)
2
1
1z + (D) 1z e
3.
2
(,)(,)1lim
1x x y
x y a x +→∞⎛
⎫-= ⎪⎝⎭( ).
(A)e (B)1 (C) 1e - (D)
4.设()()z x y x y ϕψ=++-，其中,
ϕψ具有二阶连续的导数，则必有( ).
(A) 22220z z x y ∂∂+=∂∂ (B) 22220z z
x y
∂∂-=∂∂ (C)
20z x y ∂=∂∂ (D) 2220z z x y x ∂∂+=∂∂∂ 5.二元函数332339z x y x y x =--+-的一个极值点是( ). (A) (1,1) (B) (1,1)-- (C) (3,1) (D) (3,1)- 6. 改变二次积分2
2
12(,)x
x dx f x y dy -⎰⎰的积分次序后为( ).
(A)1
20
(,)y dy f x y dx -⎰ (B) 1
242021
(,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰
⎰ (C)12
02(,)y dy f x y dx -⎰⎰ (D) 1
24
202
1
2
(,)(,)y
y dy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰
二、填空(共16分,每小题2分)
1.
方程0z e =的根z = . 2. 映射1()1z
f z z
-=
+在z i =处的旋转角为＝ . 3.
设z =22
0x y +≠时,2222z z x y
∂∂+=∂∂ .
4.ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为 .
5.设(,,)z u x y z e xyz =-,则(1,0,1)gradu = .
6.设f 可微且2(,)xy z f x y e =,则
=∂∂x
z
. 7.设D 由1x y +≤所确定的有界闭区域，则()D
x y dxdy +⎰⎰的值为 .
8.设区域D 由221x y +=，y x =及y 轴围成的第一象限部分,则二重积分
(,)D
I f x y dxdy =⎰⎰化为极坐标系下的二次积分为=I .
三、计算题(每小题7分,共14分)
1.求曲线22230
23540
x y z x x y z ⎧++-=⎨-+-=⎩在点(1,1,1)的切线和法平面方程.
2. 设(,)f u v 具有二阶连续的偏导数，2
2
(,2)z f x y xy =+，求2,,z z z
x y x y
∂∂∂∂∂∂∂.
四、计算题(每小题7分,共14分)
1. 问函数2()Im()f z z z =在何处连续？何处可导？何处解析？ 请说明理由.
2．求一个共形映射将区域{:|Im |2}D z z =<映为单位圆1w <||.
五、计算题(每小题8分,共16分)
1. 计算二重积分
xy D
ye dxdy ⎰⎰，其中D 由直线1,2,2x x y === 以及双曲线1xy =所围成的区域.
2.
化二次积分
22221()()0
x x y x y e dy dy -+-++⎰⎰
⎰
为极坐标系下的二次
积分并计算其值.
六、计算题(每小题8分,共16分)
1.设(,)z z x y =由方程(,)0z z F x y y x ++=所确定，且(,)F u v 具有
连续的偏导数，计算z z
x y xy x y
∂∂++∂∂.
2.在椭球面222
1149
x y z ++=的第一卦限上求一点，使该点的切平面与三坐标面围成
的四面体的体积最小.
七、计算题(6分)
设()f x 在[]0,a 上连续，证明：2
02
()()()a a a
x
dx f x f y dy f x dx ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
⎰
⎰
⎰.。