行列式计算方法技巧

1 2 3 2 3 4 Dn = 3 4 5 n 1 2
n −1 n 1
n 1 2
n − 2 n −1
[分析]显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式
的性质。注意到从第 1 列开始；每一列与它一列中有 n-1 个数是差 1 的，根据行列 式的性质，先从第 n-1 列开始乘以－1 加到第 n 列，第 n-2 列乘以－1 加到第 n-1 列，一直到第一列乘以－1 加到第 2 列。然后把第 1 行乘以－1 加到各行去，再将其 化为三角形行列式，计算就简单多了。 解：
1 2 Dn = 3
1 1 1
1 1 1
1 1 1− n 1 +n 0 0 0 0 −n
1 1− n 1 1
1
(i = 2, ri = r1 , n)
1 0 0
1 0 0
1 0 −n 0 0 0
1 2
1 −n 0 0
n 1− n 1 1+
(i = 2, r1 + 1 n , n) ri
n − 1 −n 0 0 0 0 −n −n 0 0 0 0 0 0 1 n(n + 1) = ⋅ n 2 0
或
+ ain Ain ( i = 1, 2, + anj Anj ( j = 1, 2,
, n) , n)
Dn = a1 j A1 j + a2 j A2 j +
其中 Aij 为 Dn 中的元素 aij 的代数余子式 按行（列）展开法可以将一个 n 阶行列式化为 n 个 n-1 阶行列式计算。若继续 使用按行（列）展开法，可以将 n 阶行列式降阶直至化为许多个 2 阶行列式计算， 这是计算行列式的又一基本方法。但一般情况下，按行（列）展开并不能减少计算 量，仅当行列式中某一行（列）含有较多零元素时，它才能发挥真正的作用。因此， 应用按行（列）展开法时，应利用行列式的性质将某一行（列）化为有较多的零元 素，再按该行（列）展开。 [9] 例 2，计算 20 阶行列式
Dn = （α＋β）Dn－1－αβ Dn－2
⋅ f ( wn −1 ) ⋅ 1 ) 1 − wn −1
= (-1)
n(n + 1) 1 1 ⋅ (−n) n −1 ⋅ ( ⋅ ⋅ 2 1 − w 1 − w2 n ( n −1) n(n + 1) n −1 (−1) 2 ⋅ ⋅n 2 = n −1 ∏ (1 − wk ) ⋅
k =1
( n −1)( n − 2) 2
α +β
Dn =
1 0 0
αβ α +β
1 0
0
αβ α +β
0
0 0 0
0 0 0
1 α +β
α n +1 − β n +1 证明 ：Dn = , 其中α ≠ β α −β
（虽然这是一道证明题，但我们可以直接求出其值，从而证之。 ） ［分析］此行列式的特点是：除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余 [1] 的元素都为零，这种行列式称“三对角”行列式 。从行列式的左上方往右下方看， 即知 Dn-1 与 Dn 具有相同的结构。因此可考虑利用递推关系式计算。 证明：Dn 按第 1 列展开，再将展开后的第二项中 n-1 阶行列式按第一行展开有：
1 1 n 2 n−2 n −1
0 −n −n 0 0 0 0 0
0 −n −n 0
=
( n −1)( n − 2) 1 n(n + 1) ⋅ ⋅ (−n) n −1 ⋅ (−1) 2 n 2 n ( n −1) (n + 1) n −1 = ⋅ n ⋅ ( −1) 2 2
[问题推广] 例 1 中，显然是 1,2，…，n-1,n 这 n 个数在循环，那么如果是 a0,a1,…,an-2,an-1 这 n 个无规律的数在循环， 行列式该怎么计算呢？把这种行列式称为 “循环行列式” 。
, f ( wn −1 ) wn −1 ) ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ f ( wn −1） ⎦
⎡ f ( w0 ) ⎢ , wn −1 ) ⋅ ⎢ ⎢ ⎣
显然w = ( w0 , w1 ,
⎡1 1 ⎢1 w ⎢ , wn −1 ) = ⎢1 w2 ⎢ ⎢ n −1 ⎢ ⎣1 w
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ 为范德蒙行列式 ⎥ ⎥ w( n −1)( n −1) ⎥ ⎦ 1 wn −1 w2( n −1)
=
(−1)
n ( n −1) 2
⋅ ⋅
n +1 n ⋅n 2
n
= (−1)
n ( n −1) 2
n + 1 n −1 ⋅n 2
与例 1 的答案一致。 方法 2 按行（列）展开法（降阶法）
设 Dn = aij 为 n 阶行列式，根据行列式的按行（列）展开定理有
Dn = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 +
0
⎡ 1 ⎤ ⎢ wj ⎥ ⎢ ⎥ 记：w j = ⎢ w2 j ⎥ , ( j = 0,1, ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ( n −1) j ⎥ ⎢ w ⎣ ⎦ , Awn −1 )
, n − 1) 方阵w = ( w0 , w1 ,
, wn −1 )
= ( f ( w ) w0 , f ( w) w1 , = ( w0 , w1 ,
x n − 1 n −1 而又 = ∏ ( x − wk ) = 1 + x + x 2 + x − 1 k =1 令x = 1 则有： ∏ (1 − wk ) = 1＋1＋ ＋1 = n
k =1 n −1
+ x n −1 ,
从而有： Dn = (-1)
'
( n −1)( n − 2) 2
⋅ f (1) ⋅ f ( w) ⋅
⎡ 1 ⎤ ⎡ a0 + a1u + + an −1u n −1 ⎤ ⎢ u ⎥ ⎢ n −1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ an −1 + a0u + + an − 2u ⎥ ⎥ (这里∵ u n = 1,∴ 用到u = u n +1等） A⋅ ⎢ u2 ⎥ = ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ n −1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ a2 + a3u + + a1u n −1 ⎥ n −1 ⎥ ⎢ ⎢ u + + + a a u a u ⎣ ⎦ ⎣ 1 2 0 ⎦ ⎡ ⎤ a0 + a1u + + an −1u n −1 ⎢ ⎥ 2 n ⎢ a0u + a1u + + an −1u ⎥ ⎢ ⎥ = (a0 + a1u + = ⎢ n −2 ⎥ n −1 2 n −3 ⎢ a0u + a1u + + an −1u ⎥ ⎢ a u n −1 + a u n + + a u 2 n − 2 ⎥ 1 n −1 ⎣ 0 ⎦ ⎡ 1 ⎤ ⎢ u ⎥ ⎢ ⎥ = f (u ) ⋅ ⎢ u 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ n −1 ⎥ ⎢ ⎣u ⎦ ⎡ 1 ⎤ ⎢ u ⎥ ⎢ ⎥ + an −1u n −1 ) ⋅ ⎢ u 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ n −1 ⎥ ⎢ ⎣u ⎦
化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。 这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形 行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。 原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列 式，在一般情况下，计算往往较繁。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作 为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。 例 1： 浙江大学 2004 年攻读硕士研究生入学考试试题第一大题第 2 小题 （重庆大学 2004 年攻读硕士研究生入学考试试题第三大题第 1 小题）的解答中需要计算如下行列式的值：
1 2 D20 = 3
2 1 2
3 2 1
18 19 20 17 18 19 16 17 18 3 2 1
20 19 18
[分析]这个行列式中没有一个零元素，若直接应用按行（列）展开法逐次降阶直至 化许许多多个 2 阶行列式计算，需进行 20！*20－1 次加减法和乘法运算，这人根本 是无法完成的，更何况是 n 阶。但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素，则 很快就可算出结果。 注意到此行列式的相邻两列（行）的对应元素仅差 1，因此，可按下述方法计
算： 解：
1 2 D20 = 3
2 1 2
3 2 1
18 19 20 17 18 19 16 17 18 3 2 1
1 2
ci +1 − ci
( i = 1,
1 −1
1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
3
19)
−1 −1
20 19 18 1
(i = 2, , 20)
19 −1 −1 20 −1 −1
[2]
从而推广到一般，求下列行列式：
⎡ a0 ⎢a ⎢ n −1 Dn = ⎢ ⎢ ⎢ a2 ⎢ ⎣ a1
Baidu Nhomakorabea
a1 a0 a3 a2
a2 a1 a4 a3
an −1 ⎤ an − 2 ⎥ ⎥ ⎥ (ai ∈ c, i = 0,1, ⎥ a1 ⎥ a0 ⎥ ⎦
, n − 1)
an −1 ⎤ ⎡ a0 a1 a 2 ⎢a an − 2 ⎥ ⎢ n −1 a0 a1 ⎥ ⎥ 解：令 A=⎢ ⎢ ⎥ a1 ⎥ ⎢ a 2 a3 a4 ⎢ a0 ⎥ ⎣ a1 a 2 a3 ⎦ n ，则有： 首先注意，若 u 为 n 次单位根（即 u =1）
∴w ≠0 Aw = w ⋅ f (1) ⋅ f ( w) ⋅ 从而有： ∴ A = Dn = f (1) ⋅ f ( w) ⋅ ⋅ f ( wn −1 ) = A ⋅ w ⋅ f ( wn −1 )
又例 1 中，循环的方向与该推广在方向上相反 所以例 1 与
a0 Dn' = a1 an −1
相对应
论行列式的计算方法
黄正敏 （莆田学院数学系 2002 级，福建 莆田）
摘要：归纳行列式的各种计算方法，并举例说明了它们的应用，同时对若干特殊 例子进行推广。 关键词：行列式；范德蒙行列式；矩阵；特征植；拉普拉斯定理；析因法；辅助 行列式法
行列式的计算灵活多变，需要有较强的技巧。当然，任何一个 n 阶行列式都可以由它 的定义去计算其值。但由定义可知，n 阶行列式的展开式有 n!项，计算量很大，一般情况下 不用此法，但如果行列式中有许多零元素，可考虑此法。值的注意的是：在应用定义法求非 零元素乘积项时，不一定从第 1 行开始，哪行非零元素最少就从哪行开始。接下来要介绍计 算行列式的两种最基本方法――化三角形法和按行（列）展开法。 方法 1 化三角形法
( n−1)( n −2 )
a1 a2 a0
an −1 a0 an − 2
而Dn与Dn 只相差（－1）
( n−1)( n−2 )
'
2
个符号
⋅ f ( wn −1 )
即得：Dn =(-1) 从而当（a0 , a1,
'
2
⋅ f (1) ⋅ f ( w) ⋅
, an −1 ) = (1, 2, + nu n −1
应用行列式的性质， 把一个 n 阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式 （比 如，n-1 阶或 n-1 阶与 n-2 阶等）的线性关系式，这种关系式称为递推关系式。根 据递推关系式及某个低阶初始行列式（比如二阶或一阶行列式）的值，便可递推求 得所给 n 阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法。 ［注意］用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话，即 很难找出递推关系式，从而不能使用此方法。 例 3， 2003 年福州大学研究生入学考试试题第二大题第 10 小题要证如下行列式 等式：
n ( n +1) 2
, n)时
对单位根u = wk ≠ 1, 总有： f (u ) = 1 + 2u + 3u 2 + f (1) = 1 + 2 + +n =
∴ f (u ) − uf (u ) = 1 + u + u 2 + −n ∴ f (u ) = 1− u
+ u n −1 − n = −n
−1 −1 1 −1 −1 −1
1 1 0 2 0 0
1 1 1 2 2 2 2 2 2 0 0 2 0 0 0 = 21× (−1) 20+1 × 218 = −21× 218
3 4
ri + r1
20 0 0 21 0 0
以上就是计算行列式最基本的两种方法，接下来介绍的一些方法，不管是哪种， 都要与行列式的性质和基本方法结合起来。 下面是一常用的方法： 方法 3 递推法
其中f (u ) = a0 + a1u +
+ an −1u n −1
2π k 2π k +i sin 为n次本原单位根 n n ∴ 有:wn = 1, wk ≠ 1(0 < k < n)
设w = cos 于是： 1, w, w2 ,
, wn −1互异且为单位根
则由上述知：A ⋅ w j = f ( wi ) ⋅ w j 故 Aw = ( Aw0 , Aw1 ,