第6章方差分析-2
第六章方差分析(二)
1.46
1.03
1.62
1.27
31.50
28.97
合计
2.08 2.97
2.08 2.49
2.06 2.91
2.30 3.08
2.24 2.58
SST SSA SSB
2.自由度的分解
总自由度：dfT ab 1
A的自由度：dfA a 1 B的自由度：dfB b 1
组内自由度：dfe (a 1)(b 1)
3. 方差计算：
s
2 A
SS A df A
sB2
SSB df B
se2
SSe dfe
方差分析表
变异来源 df A因素 a－1 B因素 b－1
SSR值与LSR值（dfe = 27）
M SSR0.05 SSR0.01 LSR0.05 LSR0.01
2 2.905 3.925 9.267 12.521
3 3.055 4.095 9.745 13.063
光照（A）
5h/d 10h/d 15h/d
平均数
Tij
90 -9 -17
差异显著性
α=0.05 α=0.01
…
Xabn
T•b
T
x•b
x
线性数学模型：
A、B的交互作用
随机误差，独立，正态分布
xijk i i ( )ij＋ ijk
A因素的效应
B因素的效应
1. 总变异
自由度 平方和
2. A因素引起的变异
自由度 平方和
3. B因素引起的变异
自由度 平方和
4. A、B因素的交互作用引起的变异
自由度 平方和
1. 平方和的分解
矫正数：C T 2 ab
第6章群体间的差异比较方差分析
第6章群体间的差异比较方差分析差异比较方差分析又被称为方差分析（ANOVA），是一种用于比较两个或多个群体之间差异的统计方法。
它可以帮助我们确定群体之间是否存在显著差异，并且确定这些差异是否因为随机变异引起的。
差异比较方差分析可以分为单因素方差分析和多因素方差分析。
在本章中，我们将讨论单因素方差分析，即只包含一个自变量的情况。
单因素方差分析是一种广泛应用于实验研究和调查研究中的方法。
它的基本假设是各个群体的数据是来自于正态分布的总体，并且总体的方差相等。
差异比较方差分析的步骤如下：1.确定研究假设：首先，我们需要确定研究的目的和假设。
例如，我们可能希望比较不同教育水平的学生在考试成绩上是否存在差异。
我们的零假设可以是“不同教育水平的学生在考试成绩上没有差异”。
2.收集数据：然后，我们需要收集适当的数据。
对于单因素方差分析，我们需要至少有两个群体，并且每个群体有至少三个观察值。
例如，我们可以选择三个不同教育水平的学生，并记录他们的考试成绩。
3.计算平均值和方差：接下来，我们需要计算每个群体的平均值和方差。
平均值代表了群体的中心趋势，而方差代表了群体内部的差异程度。
在单因素方差分析中，我们还需要计算每个群体之间的方差。
4.计算方差分析统计量：然后，我们可以计算方差分析的统计量F值。
该值代表了群体间和群体内的方差之间的比值。
F值越大，说明群体间的差异较大；当F值接近于1时，说明群体间和群体内的差异大致相等。
5.检验假设：最后，我们需要使用统计软件或查找F分布表来计算F 值的p值。
如果p值小于事先设定的显著性水平（通常为0.05），我们可以拒绝零假设，并得出结论认为群体之间存在显著差异。
总结起来，差异比较方差分析是一种用于比较两个或多个群体之间差异的统计方法。
它需要满足正态分布的总体和相等方差的假设。
通过计算方差分析的统计量F值，并进行假设检验，我们可以确定群体间是否存在显著差异，从而帮助我们进行更深入的研究和分析。
第6章-正交试验设计结果的方差分析
（4）计算F值
• 各均方除以误差的均方，例如：
FABiblioteka VA Ve或FA
VA V e
FAB
VAB Ve
或
FAB
VAB Ve
（5）显著性检验
• 例如： • 若 FAF(fA,f，e)则因素A对试验结果有显著影
响 • 若 F A BF (fA B,fe，)则交互作用A×B对试验结
果有显著影响
（6）列方差分析表
设：
QT
n
x
2 i
i1
n
T xi i1
②各因素引起的离差平方和
• 第j列所引起的离差平方和 ：
Sj
1( m r p1
Kp2j
)T2 n
k
ST S j Se j 1
③交互作用的离差平方和
• 若交互作用只占有一列，则其离差平方和就等于 所在列的离差平方和
• 若交互作用占有多列，则其离差平方和等于所占 多列离差平方和之和，
• 例：3时
S S S AB （ AB ） 1 （ AB ） 2
④试验误差的离差平方和
• 方差分析时，在进行表头设计时一般要求留有空 列，即误差列
• 误差的离差平方和为所有空列所对应离差平方和 之和 ：
Se S空列
（2）计算自由度
①总自由度 ：＝n－1 ②任一列离差平方和对应的自由度 ：
＝m－1 ③交互作用的自由度 ：（以A×B为例） ×B＝ × ×B＝(m－1 ) 若m ＝ 2， ×B＝ 若m ＝ 3， ×B＝ 2 ＋ ④误差的自由度：
• 方差分析的基本步骤如下： • (1)计算离差平方和 • (2)计算自由度 • (3)计算平均离差平方和(均方) • (4)计算F 值 • (5)显著性检验
5第六章方差分析
练习
• 以小鼠研究正常肝核糖核酸（RNA）对癌细 胞的生物学作用，试验分为对照组（生理 盐水）、水层 RNA组和酚层RNA组，分别用 此三种不同处理诱导肝细胞的FDP酶活力， 得数据如下。该三组资料均服从正态分布， 试比较三组均数有无差别?
ex_36.sas
表 6.1 对照组
2.79 2.69 3.11 3.47 1.77 2.44 2.83 2.52
复相关系数（确定系数），变异系数，均方根，总均数
对自变量的检验
R-Square:等于模型的平方和除以总 平方和，用于度量在因变量的变差 里能够由模型决定的比例有多少， 越接近1，效果越好。
检验的显著水平、自由度、 误差均方
具有相同字母的组间 均值差异没有统计学意义。
第2组具有A和B两个字母，所以 第二组和第三组，第一组均没有差异。
单因素方差分析
假设某单因素试验有k个处理，每个处理有n次重 复，共有nk个观测值。这类试验资料的数据模式
如下表所示。
（一）总平方和的分解 在上表中，反映全部观测值总变异的总平方和
是各观测值xij与总平均数的离均差平方和，记 为SST。即
kn
SST
( xij x.. ) 2
i1 j 1
nj 组内样本容量j 1,2,,n ki 组数，即水平数i 1,2,,k x.. 总平均数 xij i水平下第 j个样样本
变 差
组间 变差
总 变 差 组内 变差
组数（水平数）
（二）总自由度的剖分
在计算总平方和时，资料中的各个观测值要
kn
受 (xij x这..) 一0 条件的约束，故总自由度等于 i1 j1
资料中观测值的总个数减1，即kn-1。
dfT kn 1 df t k 1 df e dfT df t
第6章方差分析
• 结果解读5
➢ S-N-K检验结果将无统计学意义的比较组列在同 一列中。即样本均数显示在同一列时，表示两组 总体均数差别无统计学意义。
➢单因素方差分析 完全随机设计的单因素方差分析 多个样本均数间的多重比较 ➢多因素方差分析 随机区组设计的方差分析 交叉设计的方差分析 拉丁方设计的方差分析 析因设计的方差分析 正交设计的方差分析 重复测量资料的方差分析 协方差分析
区组 I组
II组
III组
1
3.6
3.0
0.4
2
4.5
2.3
1.7
3
4.2
2.4
2.3
4
4.4
1.1
4.5
5
3.7
4.0
3.6
6
5.6
3.7
1.3
7
7.0
2.7
3.2
8
4.1
1.9
3.0
9
5.0
2.6
2.1
10
4.5
1.3
2.5
IV组 3.3 1.2 0.0
2.7 3.0 3.2 0.6 1.4 1.2 2.1
• 第五步：点击模型。在单变量：模型对话框中，选 定“设定”后，将“患者编号”、“阶段”、“药 物”移入右模型框。
第六步：设置两两比较。将“药物”选入两两 比较检验。勾上LSD、S-N-K、Dunnett。
• 第七步：设置选项。勾上“描述统计”。
第八步：完成，解读结果 • 结果解读1
阶段F=0.313， p=0.583；（药物顺序与疗效无关） 药物间F=0.522， p=0.479；（功效相当） 患者间F=2.537，p=0.027。
第六章 方差分析
第六章方差分析
2se（ 2 LSD检验）
x
n0
x1 x2
n0
第三节双因素方差分析
1、试验指标：衡量试验结果的标准 2、因素(factor)：也叫因子，是指对试验指标有影响，在研究中加以（控制）考虑的试验
4
条件。 3、可控因子：在试验中可以人为地加以调控的因子浓度、温度等 4、非控因子：不能人为调控的因素（气象、环境等） 5、固定因素：指因素的水平是经过特意选择的 6、随机因素：指因素的水平是从该因素水平总体中随机抽出的样本 7、水平(level)：每个因素的不同状态（从质或量方面分成不同的等级） （因素是一个抽象的概念，水平则是一个较为具体的概念） 8、处理：指对试验对象施以不同的措施（对单因素试验而言，水平和处理是一致的，一个 水平就是一个处理；对多因素试验而言，处理就是指水平与水平的组合） 9、固定效应(fixed effect)：由固定因素所引起的效应。 10、随机效应(random effect)：由随机因素引起的效应。 11、二因素方差分析：是指对试验指标同时受到两个试验因素作用的试验资料的方差分析。 12、固定模型:二因素都是固定因素 13、随机模型:二因素均为随机因素 14、混合模型:一个因素是固定因素，一个因素是随机因素 15、主效应（main effect）：各试验因素的相对独立作用 16、互作（interaction）：某一因素在另一因素的不同水平上所产生的效应不同。 17、因素间的交互作用显著与否关系到主效应的利用价值 如果交互作用不显著，则各因素的效应可以累加，各因素的最优水平组合起来，即为最优的 处理组合。 如果交互作用显著，则各因素的效应就不能累加，最优处理组合的选定应根据各处理组合的 直接表现选定。有时交互作用相当大，甚至可以忽略主效应。 二因素间是否存在交互作用有专门的统计判断方法，有时也可根据专业知识判断。 （一）无重复观测值的二因素方差分析 依据经验或专业知识，判断二因素无交互作用时，每个处理可只设一个观测值，即假定 A 因素有 a 各水平，B 因素有 b 个水平，每个处理组合只有一个观测值。
第6章 方差分析
２.Dunnett-t检验
它适用于k－１个试验组与一个对照组均数差 别的多重比较。 公式为：
t
Xi X0
1 1 MS 误差 （ ) ni n0
照组的均数，MS误差为方差分析中所计算的误差均 方，ni和n0分别为第i个试验组和对照组的例数。 v＝v误差
X 为第i个（i=1,2,…k-1)试验组的均数， 0 为对 X i
两两比较计算表
对比组 两均数 之差
XA XB
A与B (1) （2）
q值
(3) (2) 0.3899
组 数
a (4)
q界值
P
（3）
α=0.05 (5)
α=0.01 (6)
(7)
1与2 1与3 2与3
1.0323 2.7543 1.7220
2.65 7.06 4.42
2 3 2
2.83 3.40 2.83
方差分析
Analysis of Variance
本章内容
方差分析的基本思想 完全随机设计的单因素方差分析 随机区组设计的两因素方差分析 多个样本均数间的多重比较 变量变换
例1.某研究者为研究核黄素缺乏对尿中氨基氮的 影响，将60只Wistar大白鼠随机分为核黄素缺乏、 限食量、不限食量三组不同饲料组。每组20只 大白鼠。一周后测尿中氨基氮的三天排出量， 结果如表1。
一、方差分析的基本思想
4. 方差分析的基本思想： 根据变异的不同来源将全部观察值总的 离均差平方和与自由度分解为两个或多 个部分，除随机误差外，其余每个部分 的变异可由某个因素的作用（或某几个 因素的交互作用）加以解释，通过比较 不同变异来源的均方，借助F分布作出 统计推断，从而了解该因素对观测指标 有无影响。
生物统计学 第六章 方差分析
该法是最小显著差数（Least significant difference） 法的简称，是Fisher 1935年提出的，多用于检验某一对 或某几对在专业上有特殊探索价值的均数间的两两比 较，并且在多组均数的方差分析没有推翻无效假设H0 时也可以应用。该方法实质上就是t检验，检验水准无 需作任何修正，只是在标准误的计算上充分利用了样 本信息，为所有的均数统一估计出一个更为稳健的标 准误，因此它一般用于事先就已经明确所要实施对比 的具体组别的多重比较。
xij i ij
它是方差分析的基础。
6.2 方差分析的原理
方差分析的基本原理是认为不同处理组的均数间 的差别基本来源有两个： (1) 随机误差，如测量误差造成的差异或个体间的差 异，称为组内差异，用变量在各组的均值与该组内变 量值之偏差平方和的总和表示，记作 SS e ，组内自由度 df e 。 (2) 实验条件，即不同的处理造成的差异，称为组间 差异。用变量在各组的均值与总均值之偏差平方和表 示，记作 SSt ，组间自由度 df t 。 总偏差平方和 SST SSt SSe 。
6.1 方差分析的相关术语
研究马氏珠母贝三亚、印度品系在不同地区的生 长差异，选择同一批繁殖的两品系马氏珠母贝的稚贝， 分别在海南黎安港、广东流沙港、广西防城港三个海 区进行养殖，每个地区每个品系养殖1000个，1年后 测定马氏珠母贝壳高与总重，比较生长差异。 这里壳高与总重称为试验指标，在试验中常会测定 日增重、产仔数、产奶量、产蛋率、瘦肉率、某些生 理生化和体型指标(如血糖含量、体高、体重)等，这些 都是试验指标，就是我们需要测量的数据。
6.4 均值间的两两比较
对完全随机设计多组平均水平进行比较时，当资料满 足正态性和方差齐性，就可以尝试方差分析，若得到 P>α的结果，不拒绝零假设，认为各组样本来自均数相 等的总体，即不同的处理产生的效应居于同一水平， 分析到此结束; 若方差分析结果P≤α，则拒绝零假设， 接受备择假设，认为各处理组的总体均数不等或不全 相等，即各个处理组中至少有两组的总体均数居于不 同水平。这是一个概括性的结论，研究者往往希望进 一步了解具体是哪两组的总体均数居于不同水平，哪 两组的总体均数相等，这就需要进一步作两两比较来 考察各个组别之间的差别。
spss之统计挖掘第6章 方差分析
5．“两两比较”
6．“保存”
▪ 单击“保存”按钮，弹出图6-18所示的“单变 量：保存”对话框
7．“选项”
▪ 单击“选项”按钮，弹出图6-19所示的“单变 量：选项”对话框。
析因设计方差分析
▪ 例6.3 A、B两种药物联合应用对红细胞增加数 的影响，数据见表6-8。数据库见6-3.sav。
▪ 1．操作步骤
▪ （4）单击“选项”按钮，将“因子与因子交互 ”列表中的“组别”移入右侧“显示均值”框 ，同时勾选“比较主效应”复选框；“输出” 列表中选择“描述统计”和“方差齐性检验” ，单击“继续”按钮，返回主对话框，单击“ 确定”按钮运行。
▪ 2．主要结果解读
▪ 图6-33所示给出两组的例数、均值和标准差； 图6-34所示为两组治疗后血压的Levene方差齐 性检验，本例F=0.049，P=0.826>0.05，因此 方差齐性，符合方差分析条件要求；图6-35所 示为协方差分析结果，可见组别因素F=0.820， P=0.373，组别因素（即两种药物）对降压效果 没有差别；而治疗前血压因素的F=6.463， P=0.017，说明治疗前血压确实对治疗后血压有 影响。
▪ （1）单击“分析”|“一般线性模型”|“单变 量”命令。
▪ （2）将“治疗后血压”放入“因变量”框；将 分组变量“组别”放入“固定因子”框；将“ 治疗前血压”放入“协变量”框。
▪ （3）单击“模型”按钮，在弹出框中将“因子 与协变量”列表中的“组别”和“治疗前血压 ”放入右侧“模型”列表。“构建项”中类型 选择“主效应”。其他默认，单击继续返回。
▪ 实例详解
▪ 例6.1：比较三个不同电池生产企业生产电池的 寿命，见例6-1.sav。此例企业为因素，不同厂 家为水平，本例为单因素3水平设计。
1第6章方差分析
1第6章⽅差分析1第6章⽅差分析⽅差分析是R. A. Fister 发明的，⽤于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验. 由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状，造成波动的原因可分成两类，⼀是不可控的随机因素，另⼀是研究中施加的对结果形成影响的可控因素. ⽅差分析的基本思想是：通过分析研究中不同来源的变异对总变异的贡献⼤⼩，从⽽确定可控因素对研究结果影响⼒的⼤⼩.6.1 单因素⽅差分析我们把在实验中或在抽样时发⽣变化的“量”称为因素或因⼦. ⽅差分析的⽬的就是分析因⼦对实验或抽样的结果有⽆显著影响. 如果在实验中变化的因素只有⼀个，这时的⽅差分析称为单因素⽅差分析；在实验中变化的因素不只⼀个时，就称多因素⽅差分析. 双因素⽅差分析是多因素⽅差分析的最简单情形.因⼦在实验中的不同状态称作⽔平. 如果因⼦A 有r 个不同状态，就称它有r 个⽔平. 我们针对因素的不同⽔平或⽔平的组合，进⾏实验或抽取样本，以便了解因⼦的影响. 当⽅差分析的影响因⼦不唯⼀时，必要注意这些因⼦间的相互影响. 如果因⼦间存在相互影响，我们称之为“交互影响”；如果因⼦间是相互独⽴的，则称为⽆交互影响. 互影响有时也称为交互作⽤，是对实验结果产⽣作⽤的⼀个新因素，分析过程中有必要将它的影响作⽤也单独分离开来.6.1.1 单因素⽅差分析的模型假设设某单因素A 有r 种⽔平：1A ，2A ，…，r A ，在每种⽔平下的试验结果服从正态分布2(,)i N µσ（1,2,,i r = ）. 在各⽔平下分别独⽴做了i n （1,2,,i r = ）次试验，所得数据见表，其中ij x 表⽰表⽰第i 种⽔平下第j 个试验数据. 判断因素A 对试验结果是否有显著影响. 这⾥我们假定各种⽔平下的试验结果有相同的标准差σ. 单因素⽅差分析问题可以归结为以下的假设检验: 012:r H µµµ=== 1:H 12,,,r µµµ 不全相等表6-1 单因⼦试验表6.1.2 单因素⽅差分析的原理如何检验统计假设0H ?⼀般情况下，1µ，2µ，，r µ不全相同将反映在ij x (1,2,,;i r = 1,2,,)i j n = 取值的⼤⼩不同上，这时离差211()in r ij i j S x x ===?∑∑也⽐较⼤. 其中111in r ij i j x x n ===∑∑，1ri i n n ==∑. 但是我们还不能只从S ⽐较⼤就断定1µ，2µ，，r µ不全相同，因为在1µ，2µ，，r µ全相同时，由于试验中的随机误差影响，S 也可能取⽐较⼤的值. 为了区别这两种情况，先把离差S 作⼀个分解. 令 11in i ijj ix xn ==∑2112112211111122111()()()()2()()()()ii ii iin rT ij i j n rij i i i j n n n rr r ij i i ij i i i j i j i j n rrij i i i i j i S x x x x x x x x x x x x x x x x n x x ==============?=?+?=?+?+??=?+?∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ (5. 1)记上式分解的第⼀项为e S ，第⼆项为A S . 211()i n r e ij i i j S x x ===?∑∑ ， 1(rA i i i S n x x ==?∑有T A e S S S =+即总离差T S 等于组内误差e S 与组间离差A S 之和.下⾯分析e S : 对任⼀指定的1i r ≤≤，21()in ij i j x x =?∑是⽔平i A 下试验数据的离差，是由随机因素造成的. e S 是所有⽔平下离差的和，因⽽也是由随机因素造成的.形成A S 除了随机因素外，如果1µ，2µ，，r µ不全相同，这个差异也要从A S 反映出来，⼀般A S 取⽐较⼤的值. 因此，将A S 和e S ⽐较，如果A S 不太⼤，我们只能认为A S 是由试验的随机误差形成的，从⽽接受0H ；如果A S 太⼤，我们便有理由怀疑A S 完全是由试验的随机误差形成的，认为1µ，2µ，，r µ不全相同，从⽽拒绝0H . 我们将⽤形如A e S c S ??>的判别区域，c 由预先给定的信度α确定. 给定α后，需要计算统计量AeS S 在0H 为真时的分布. 可以证明，在0H 为真时，(1,)1A e S n p F p n p p S ～. 即1AeS n p p S ??服从参数为1p ?和n p ?的F 分布. 只需从F 分布表，查(1,)F p n p α??，使((1,))P F p n p αηα>??=. 其中(1,)F p n p η??～.最后得到的检验⽅法是: 若(1,)1AeS n p F p n p p S α??>，就拒绝0H ，否则接受0H图6-1. (4,10)F 时的F 曲线和0.05α=时的临界值6.1.3 单因素⽅差分析表对上⼀⼩节的分析进⾏总结，得到单因素⽅差分析表6-2. 表6-2 单因素⽅差分析表3若0.01(1,)F F r n r α>??，称因素A 对试验结果有⾮常显著的影响，⽤“* *”号表⽰；若0.050.01(1,)(1,)F r n r F F r n r α??<6.2 利⽤SPSS 进⾏单因素⽅差分析6.2.1 SPSS ⽅差分析对数据的要求应⽤⽅差分析对数据进⾏统计推断之前应注意样本分布的正态性，即偏态分布样本不宜⽤⽅差分析. 对偏态分布的样本应考虑⽤对数变换、平⽅根变换、倒数变换、平⽅根反正弦变换等变量变换⽅法变为正态或接近正态分布的数据后再进⾏⽅差分析.在⽅差分析的F 检验中，是以各个实验组内总体⽅差齐性（⽅差相等）为前提的，因此，按理应该在⽅差分析之前，要对各个实验组内的总体⽅差先进⾏齐性检验. 如果各个实验组内总体⽅差为齐性，⽽且经过F 检验所得多个样本所属总体平均数差异显著，这时才可以将多个样本所属总体平均数的差异归因于各种实验处理的不同所致；如果各个总体⽅差不齐，那么经过F 检验所得多个样本所属总体平均数差异显著的结果，可能有⼀部分归因于各个实验组内总体⽅差不同所致.但是，⽅差齐性检验也可以在F 检验结果为多个样本所属总体平均数差异显著的情况下进⾏，因为F 检验之后，如果多个样本所属总体平均数差异不显著，就不必再进⾏⽅差齐性检验.在使⽤SPSS 进⾏⽅差分析时，要求因⼦变量值为整数，⽽因变量应为定量变量（区间测量级别）. SPSS 对于偏离正态的样本数据也是稳健的. 各组数据应来⾃⽅差相等的总体.6.2.2 SPSS ⽅差分析过程⽤SPSS 进⾏⽅差分析时，选项如图 .图 6-2 SPSS ⽅差分析的选项这些选项的含义如下:描述性：计算每组中每个因变量的个案数、均值、标准差、均值的标准误、最⼩值、最⼤值和95%的置信区间.固定和随机效果：显⽰固定效应模型的标准差、标准误和95%置信区间，以及随机效应模型的标准误差、95%置信区间和成分间⽅差估计.⽅差同质性检验：计算Levene 统计量以检验组间⽅差是否相等. 该检验独⽴于正态分布的假设.Brown-Forsythe ：指采⽤Brown-Forsythe 分布的统计量进⾏的各组均值是否相等的检验.Brown-Forsythe分布也近似于F分布，但采⽤Brown-Forsythe检验对⽅差齐性没有要求，所以当因变量的分布不满⾜⽅差齐性的要求时，采⽤Brown-Forsythe检验⽐F检验更稳妥。
【生物统计】第六章 方差分析
722 922 562 1162 SSt C 7056 504 n 4
Ti 2
dft k 1 4 1 3
SSe SST SSt 602 504 98
dfe dfT dft k (n 1) 4 (4 1) 12
yij y
Ｃ
试 验 误 差
yi y
Ａ ＢLeabharlann yij yiＡ Ｂ Ｃ
Ａ
Ｂ
Ｃ
-2 -2 -2 -2
0 0 0 0
2 2 2 2
-3 -2 -2 -1
-1 0 0 1
0 1 2 5
-1 0 0 1
-1 0 0 1
-2 -1 0 3
SSt n( yi y )2 32
SST ( yij y )2 50
2 2
因为
SST ( yij y ) ( yij yi yi y )
2
( y y ) 0
i
所以 SST SSt SSe
第一节 方差分析的基本原理
自由度的分解 总自由度： 处理项自由度： 误差项自由度：
dfT nk 1
dft k 1
dfe dfT dft k (n 1)
SSe ( yij yi )2 18
第一节 方差分析的基本原理
通过前面的平方和的直观分解可以看出： SSe SSt
SST SSt SSe
2
当然也可以由公式推导出来：
( yij yi ) ( yi y ) 2 (yij yi ) ( yi y )
18 23 14 29
y 21
第一节 方差分析的基本原理
SPSS_第6章 方差分析
-12.3756
15.7090
-31.0423
-2.9577
-15.7090
12.3756
-32.7090
-4.6244
2.9577
31.0423
4.6244
32.7090
40
结果2
英语
Subset for alpha = .05
Student-Newman-Keul sa
g rou p 2 1 3 Si g.
Std. Deviation 13.70280 12.42176 6.96898 13.79175
Std. Error 5.59414 5.07116 2.84507 3.25075
95% Confidence Interval for M ea n
Lower Bound Upper Bound
58.7865
75 70
74
80 72
72
77 66
68
68 72
71
75 70
71
75 70
Xt =72
4
从上表可知，三种不同实验教材的教学效果不完全 一致，表现在三个不同实验处理组的平均数之间存 在差异；同时，同一实验组内部的5名样本的反应变 量也存在差异。
5
我们可以将三个实验组的所有15名样本分数的差异 分为两部分：实验组间的差异（称为组间差异）和 实验组内的差异（称为组内差异）。
18.66667* 6.58815
*. The mean difference is significant at the .05 level.
Si g. .804 .021 .804 .013 .021 .013
95% Confidence Interval
6方差分析
LSD 最小显著差异检验(Least-significant difference) ，用t检验完
成各组均值间的配对比较。对多重比较误差率不进行调整。
Bonferroni 修正的LSD检验(LSDMOD)：用t检验完成各组间均值
的配对比较，但通过设置每个检验的误差率来控制整个误差率。
Sidak 多重配对比较检验。计算t统计量进行多重配对比较。可
水平ɑ的临界值Fɑ进行比较，作出授受或 拒绝原假设H0的决策。
§6.1 方差分析的常用术语
● 因变量（Dependent）：某试验结果。 ● 因素（Factor）：影响试验结果的（自）变量。 ● 水平：因素划分类别，即自变量取值类别。
例：5个班级、四种工艺、不同年龄段。 ● 可控因素：因素的不同水平会导致不同试验结果。 ● 不可控因素：因素的水平与试验结果的关系是随机的，
K---因素水平数。
xi ---i水平均值。
μ ---总个案均值。
●计算组间离差平方和（Between Group Sum of Squares）：
k
2
SA N xi μ
i=1,2...k i1
组间离差平方和SA，反映各水平均值差异。
●计算组内离差平方和(Within Group Sum of Squares)
小的子集)的均值配对比较。在该比较过程中，各组均值从大到小按顺序
排列，最先比较最末端的差异。
Tukey 真实显著差异检验(Tukey's honestly significant
difference)检验。用Student-Range统计量进行所有组间 均值的配对比较，用所有配对比较误差率作为实验误差率。
6第六章 单因素方差分析
32
单因素方差分析的步骤
单因素方差分析
33
①建立原假设“H0：各组平均数相等” ②构造统计量“F＝组间均方／组内均方” 在计算组间均方时，使用自由度为（a-1），计算组内均 方时，使用自由度为a（n-1）。 ③F满足第一自由度为（a-1），第二自由度为a（n-1） 的F分布。查表。 ④推断：若F值大于0.05临界值，则拒绝原假设，认为各
方差分析也主要是由 Fisher推导出来的，也叫F 检验。
6
方差分析优缺点
优：可以一次检验多组样本，避免 了t检验一次只能比较两组的缺陷。 缺：只能反映出各组样本中存在着
差异，但具体是哪一组样本存在差异，
无法进行判定。
方差分析的基本原理7差分析的意义其目的是推断两组或多组 资料的总体均数是否相同，检 验两个或多个样本均数的差异 是否有统计学意义。
72.1
70.0 69.1 71.0
68.2
69.8 68.3 67.5
株高
46
47
Test of Homogeneity of Variances 株高（ cm） Levene Statis tic 1.362 df1 4
ANOVA 株 高 （ cm） Sum of Squares 131.740 15.580 147.320 df 4 20 24 Mean Square 32.935 .779 F 42.279 Sig. .000
单因素方差分析
41
a
SSe SST SSA 147.32 131.74 15.58
单因素方差分析
42
3. 将以上结果列成方差分析表
变差来源
品系间 误 差 总 和
单因素方差分析
第6章 方差分析
6-6
方差分析中基本假定
►
如果原假设成立， 如果原假设成立，即H0 ：µ1 = µ2 = µ3 = µ4
不同处理的均值都相等 意味着每个样本都来自均值为 意味着每个样本都来自均值为 µ、方差为σ 2的同一正态总体
f(X)
X
µ1 = µ2 = µ3 = µ4
统计学
6-7
方差分析中基本假定
►
若备择假设成立， 若备择假设成立，即H1 ： µi (i=1,2,3,4)不全相等 不全相等
自变量对因变量没有显著影响 自变量对因变量有显著影响
►H1 ： µ1 ，µ2 ，… ，µk不全相等
注意： 拒绝原假设， 注意 ： 拒绝原假设 ， 只表明至少有两 个总体的均值不相等， 个总体的均值不相等 ， 并不意味着所 有的均值都不相等
6-15
统计学
计算水平的均值
1. 假定从 第 i个总体中抽取一个容量为 i 的简单 假定从第 个总体中抽取一个容量为 个总体中抽取一个容量为n
SSA = ∑∑(xi − x) = ∑ni (xi − x)
k 2 k i=1 j=1 i=1
ni
2
前例的计算结果： 前例的计算结果：SSA = 1456.608696
统计学
6-20
计算误差项平方和 SSE
1. 每个水平或组的各样本数据与其组平均值的离
差平方和 2. 反映每个样本各观察值的离散状况，又称组内 反映每个样本各观察值的离散状况， 平方和 3. 该平方和反映的是随机误差的大小 4. 计算公式为
2. 水平或处理 水平或处理(treatment)
因子的不同表现 上述问题中， 值得各种取值就是水平 上述问题中，IQ值得各种取值就是水平
第6章2第二节方差分析的方法
总和
株
号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
总和 Ti 217.3 153.6 365.4 197.5 平均xi 31.043 25.6 36.54 24.688 ni 7 6 10 8
933.8 31
1.平方和与自由度的分解
933.8 C 28128.466 ni 31 T
2 2
方差分析的步骤是： ①分析变异原因，计算各变因的平方 和、自由度及其均方； ②列方差分析表并做出F测验，以明了 各变因的重要程度； ③对各个平均数进行多重比较，最后 作出结论。
二、样本容量不相等的单向分组资料 的方差分析 例如测定晚香玉品种花序长度 的资料列于表，试分析这4个 品种花序长度的差异情况。
5.多重比较结果的表示方法
1）列三角形表示法：见上表
2）划连线法： 同上 3）标记字母法：先将全部平均数从大到小 顺序排列，然后在最大的平均数上标记 字母a，依次将差异不显著的标记相同字 母，差异显著的标记不同字母。一般以 大写字母A、B、C……表示0.01水平； 以小写字母a、b、c……表示0.05水平。
02???plsd法差异显著性自交系1平均xx2xx4xx3差异显著性005001204091805880376aa34216641452112205420330212bbcbbcc多重比较结果表明在试验的4个自交系中除3号和4号自交系的叶球重量没有差异外其余自交系间均存在显著或极显著差异且1号自交系的叶球重量最大2号自交系的最小
SST xij C
2
(30.5 26.5 28.0 25.0 ) 28128.466
2 2 2 2
888.03342
Ti SSt ( ) C ni 217.3 2 153.6 2 365.4 2 197.5 2 28128.466 7 6 10 8 776.8041
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2
5
4
11 3.67
40 43 44 127
8.0 8.6 8.8
8.47
(1)平方和计算:
T2 1227 C 107 .257
ab 53
SST
xi2j C 132 142 42 1075.27
295.73
1
SSA b
xi2.
C
(412
372 3
112 )
1075.27
289.06
F的检F验值表未明达到: 浓显度著间水的平F，值表大明于不F0.同01 ，浓时度间对法)：由于只有 浓度间达到了极显著水平，只需对5种 浓度进行多重比较，浓度间的平均标 准误均为( b=3为每一浓度的观测值数)：
sx
se2 b
0.620.455 3
光照间 2 5367.03 2683.52 21.94** 3.35 5.49
温度间 2 5391.06 2695.53 22.03 ** 3.35 5.49
光照×温度 4 464.94 116.24 0.95 2.73 4.11
误差 27 3303.25 122.34
总变异 35 295.73
各种光照和温度对滞育期的影响进行 多重比较： 平均数标准误的计算 光照间平均数标准误
本例是了解激素和时间的效应，故 为２个固定因素，适用于固定模型。 方差分析如下：
激素处理对大豆干物重的影响
浓度A
M1 M2 M3 M4 M5
T.j x.j
时间B
总和 Ti. 平均数
H1
H2
H3
13 14 14
41 13.67
12 12 13 37 12.33
3
3
3
9 3.00
10
9 10
29 9.67
查附表8，当 df=8，M=2,3,4,5时的SSR 值及LSR值列表：
大豆干物重多重比较的SSR值 及LSR值列表
M
2
3
4
5
SSR0.05 3.26 3.40 3.48 3.52 SSR0.01 4.75 4.94 5.06 5.14 LSR0.05 1.48 1.55 1.58 1.60 LSR0.01 2.16 2.25 2.30 2.34
Ti. 271
-26
-52 T=193
平方和与自由度的分解
CT2 1923103 .649 abn334
STS x2C
(623 52832)10.63 94 14.5 52 6
SS Ab1n Ti.2C
1 [2721(2)62(5)22]10.364953.6073 34
SB Sa1n T.2j C
a
b
n
b
ab
i j( )ij( )ij ( )ij 0
i 1
j 1
i 1
j 1
i 1j 1
Εijk 是随机误差，彼此独立且服从N
（0,σ2）。
试验的总次数为 abn 次。方差分析步 骤和前面介绍相似。只有 F 检验的方 法不同。
平方和与自由度的分解：
矫正数
C
x2 ...
T2
abn abn
dfA a1312 dfB b1312 dfAB(a1)(b1) (31)(31) 4 dfe ab(n1) 33(41) 27
列出方差分析表，进行F检验表明， 不同温度和光照间的差异极显著，即
影响昆虫的滞育期长短的主要决定于 温度和光照，与二者互作关系不大。
变异来源 df SS
s2
F F0.05 F0.01
A因素含量分3个水平，即a=3；B因素 含 量 分 3 个 水 平 ， 即 b=3 ； 共 有 ab=3×3=9个水平组合；每个水平组合 重复数n=4；全试验共有=3×3×4=36 个观测值。
光照(A)
1 5h/d 2
3 4 Tij 1 10h/d 2 3 4 Tij 1 15h/d 2 3 4 TAB T.j
j1
x..)2a 1jb1x.2j C
总自由度 dfT=ab-1 A因素自由度 dfA=a-1 B因素自由度 dfB=b-1 误差自由度 dfe=dfT-dfA–dfB=(a-1)(b-1) 各项方差分别为：
sA2 MSA SSA / dfA,
sB2 MSB SSB / dfB ,
se2 MSe SSe / dfe
第三节 两因素方差分析
两因素方差分析是指对试验指标同时 受到两个试验因素作用的方差分析。
若试验考察因素 A和 B，A因素分 a 个水平，B因素分 b 个水平。两者交 叉搭配形成 a×b 个水平组合即处理。 试验分为无重复观测值和有重复观测 值两种类型。
一、无重复观测值的二因素方差分析
对于 A和 B两个试验因素的全部 a×b 个水平组合，每个水平组合只有一个 观测值， 全试验共有 a×b 个观测值， 其数据模式如下表。
模型明确提出了处理效应与误差效应 应该是“可加的”，正是由于这一 “可加性”，才有了样本平方和的 “可加性”，亦即有了试验观测值总 平方和的“可剖分”性。如果试验资 料不具备这一性质，那么变量的总变 异依据变异原因的剖分将失去根据， 方差分析不能正确进行。
大豆干物重平均数间差异显著性检验
地区 平均数
差异显著性
α=0.05
α=0.01
M1
13.67
a
M2
12.33
a
M4
9.67
b
M5
3.67
c
M3
3.00
c
A A
B C C
多重比较后表明：5种激素浓度对大豆干物 重的影响有着极显著的差异，除 M1与 M2， M5 与 M3 无显著差异外，均达到显著水平。
两因素单独观测值试验数据模式
处理
A1 A2
因素B
总和 Ti. 平均数
B1 B2 … Bj …Bb
x11 x12 …x1b …x1b
T1.
x1.
x21 x22 … x2b …x2b
T2.
x2.
Ai
xi1 xi2 … xij … xib
Ti.
xi.
Aa
xa1 xa2 … xij …xab
Ta.
xa.
总和 T.j T.1 T.2 … T.j… T.b
25 ℃
63 58 40 27 188 16 23 -2 11 48 -1 3 16 18 36 272
温度(B)
30℃
21 20 0 3 44 -1 -19 3 -21 -38 -20 -9 -2 -16 -47 -41
35℃
9 13 21 -4 39 0 -4 -19 -13 -36 -13 -22 -9 3 -41 -38
F s2A／s2e s2B／s2e s2AB／s2e
期望方差
σ2+bnη2α σ2+anη2β σ2+nη2αβ
σ2
【例】为了研究某种昆虫滞育期长短 与环境的关系，在给定的温度和光照 下在实验室培养，每一处理记录4只 昆虫的滞育天数，结果如下表，试对 该资料进行方差分析。
光照(A)
5h/d 10h/d 15h/d
SST SSASSBSSe
dfT dfAdfBdfe
各项平方和与自由度的计算公式为:
矫正数 Cx.2. /abT2ab
ab
ab
总平方和 STS (xijx..)2 xi2jC
i1j1
i1j1
A因素平方和 SA Sbi a1(xi.x..)2b1i a1xi2.C
B因素平方和
b
SS Ba (x.j
(二) 具有重复观测值的两因素方差分析
如果存在两因素的互作，方差分析就 不能用互作来估计误差，必须在有重 复观测值的情况下对试验误差进行估 计。
设A与B两因素分别具有 a与 b个水平， 共有 ab 个水平组合，每个水平组合有 n次重复，则全试验共有 abn 个观测值。 这类试验结果的数据模式如下表所示 （P98表）。
总平方和与自由度
S T S x i 2 j l C ， d T f a b 1
水平组合平方和与自由度
SA S B1 n x i2 .j C ， dAf B(a 1 )b ( 1 )
A 因素平方和与自由度
SA S bn (x i x )2 b 1n x i2 . .C ， dA fa 1
xijij ij
(i1,2,,a; j1,2,,b)
上式中，αi和βj分别为Ai和Bj的效应: 值αi=总μi体-μ,平βj均=μ数j-μ，,μ且i和μj分别为Ai和Bj观测
Σαi=Σβj=0; NΕi(j0为,σ随2)。机误差，相互独立，且服从
交叉分组两因素无重复观测值的试 验，全部 ab 个观测值的总变异可以 分解为 A 因素水平间变异、B 因素 水平间变异及试验误差三部分；自 由度也相应分解。平方和与自由度 的分解式如下：
两因素有重复观测值试验数据模式
见P98表6-23具有重复观测值的二因 素分组资料。方差分析可用线性模 型描述：
xij ki j ()ijij k
(i1,2,,a; j1,2,,b; k1,2,,n)
其中，μ为总平均数；αi为Ai的效应； βj为Bj的效应；(αβ) ij为Ai与Bj的交 互作用，且有
各项方差为：
SA2
MSA
SSA dfA
SA2B
MSAB
SSAB dfAB
SB2
MSB
SSB dfB
Se2
MSe
SSe dfe
F检验：实际应用时多用固定模型
固定模型中，αi、βj及(αβ)ij均为固定 效应。F检验时，A因素、B因素和
A×B互作项均以s2e作为分母。
变异来源
固定模型