第6章方差分析-2

无重复观测值的二因素方差分析表
变异
df
SS s2 F 期望方差
来源
固 随混 定 机合
A因素 a-1
SSA
B因素 b-1
SSB
误差 (a-1)(b-1) SSe
sA2 sA2/se2 sB2 sB2/se2 se2
总变异 ab-1 SST
例:将一种生长激素配成 M1, M2, M3, M4, M5五种浓度，并用 H1, H2, H3三 种时间浸渍某大豆的种子，出苗 45天 后得各处理每株的平均干物重(g)如下 表。试作方差分析与多重比较。
SSB
1 a
x.2j
C
1 5
(402
432
442
)
1075.27
1.73
S e S S T S S A S S B 2 S . 7 9 2 3 . 0 5 8 1 . 7 6 9 4 . 9 3
(2)自由度的计算
df T ab 1 5 3 1 14 df A a 1 5 1 4 df B b 1 3 1 2 df e df T df A df B 14 4 2 8
两因素有重复观测值试验数据模式
见P98表6-23具有重复观测值的二因 素分组资料。方差分析可用线性模 型描述：
xij ki j ()ijij k
(i1,2,,a; j1,2,,b; k1,2,,n)
其中，μ为总平均数；αi为Ai的效应； βj为Bj的效应；(αβ) ij为Ai与Bj的交 互作用，且有
SST SSASSBSSe
dfT dfAdfBdfe
各项平方和与自由度的计算公式为:
矫正数 Cx.2. /abT2ab
ab
ab
总平方和 STS (xijx..)2 xi2jC
i1j1
i1j1
A因素平方和 SA Sbi a1(xi.x..)2b1i a1xi2.C
B因素平方和
b
SS Ba (x.j
(二) 具有重复观测值的两因素方差分析
如果存在两因素的互作，方差分析就 不能用互作来估计误差，必须在有重 复观测值的情况下对试验误差进行估 计。
设A与B两因素分别具有 a与 b个水平， 共有 ab 个水平组合，每个水平组合有 n次重复，则全试验共有 abn 个观测值。 这类试验结果的数据模式如下表所示 （P98表）。
A因素含量分3个水平，即a=3；B因素 含 量 分 3 个 水 平 ， 即 b=3 ； 共 有 ab=3×3=9个水平组合；每个水平组合 重复数n=4；全试验共有=3×3×4=36 个观测值。
光照(A)
1 5h/d 2
3 4 Tij 1 10h/d 2 3 4 Tij 1 15h/d 2 3 4 TAB T.j
光照间 2 5367.03 2683.52 21.94** 3.35 5.49
温度间 2 5391.06 2695.53 22.03 ** 3.35 5.49
光照×温度 4 464.94 116.24 0.95 2.73 4.11
误差 27 3303.25 122.34
总变异 35 295.73
各种光照和温度对滞育期的影响进行 多重比较： 平均数标准误的计算 光照间平均数标准误
xijij ij
(i1,2,,a; j1,2,,b)
上式中，αi和βj分别为Ai和Bj的效应: 值αi=总μi体-μ,平βj均=μ数j-μ，,μ且i和μj分别为Ai和Bj观测
Σαi=Σβj=0; NΕi(j0为,σ随2)。机误差，相互独立，且服从
交叉分组两因素无重复观测值的试 验，全部 ab 个观测值的总变异可以 分解为 A 因素水平间变异、B 因素 水平间变异及试验误差三部分；自 由度也相应分解。平方和与自由度 的分解式如下：
j1
x..)2a 1jb1x.2j C
总自由度 dfT=ab-1 A因素自由度 dfA=a-1 B因素自由度 dfB=b-1 误差自由度 dfe=dfT-dfA–dfB=(a-1)(b-1) 各项方差分别为：
sA2 MSA SSA / dfA,
sB2 MSB SSB / dfB ,
se2 MSe SSe / dfe
2
5
4
11 3.67
40 43 44 127
8.0 8.6 8.8
8.47
(1)平方和计算:
T2 1227 C 107 .257
ab 53
SST
xi2j C 132 142 42 1075.27
295.73
1
SSA b
xi2.
C
(412
372 3
112 )
1075.27
289.06
大豆干物重平均数间差异显著性检验
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地区 平均数
差异显著性
α=0.05
α=0.01
M1
13.67
a
M2
12.33
a
M4
9.67
b
M5
3.67
c
M3
3.00
c
A A
B C C
多重比较后表明：5种激素浓度对大豆干物 重的影响有着极显著的差异，除 M1与 M2， M5 与 M3 无显著差异外，均达到显著水平。
第三节 两因素方差分析
两因素方差分析是指对试验指标同时 受到两个试验因素作用的方差分析。
若试验考察因素 A和 B，A因素分 a 个水平，B因素分 b 个水平。两者交 叉搭配形成 a×b 个水平组合即处理。 试验分为无重复观测值和有重复观测 值两种类型。
一、无重复观测值的二因素方差分析
对于 A和 B两个试验因素的全部 a×b 个水平组合，每个水平组合只有一个 观测值， 全试验共有 a×b 个观测值， 其数据模式如下表。
本例是了解激素和时间的效应，故 为２个固定因素，适用于固定模型。 方差分析如下：
激素处理对大豆干物重的影响
浓度A
M1 M2 M3 M4 M5
T.j x.j
时间B
总和 Ti. 平均数
H1
H2
H3
13 14 14
41 13.67
12 12 13 37 12.33
3
3
3
9 3.00
10
9 10
29 9.67
25 ℃
143 138 120 107
96 103
78 91 79 83 96 98
温度(B) 30℃
101 100 80 83 79 61 83 59 60 71 78 64
35℃
89 93 101 76 80 76 61 67 67 58 71 83
本例中，由于温度和光照条件都是人 为控制的，为固定因素，可依据固定 模型分析。将表数减去80，并整理如 下表。
1 [2722(4)12(3)82]10.364953.9016 34
SSAB
1 n
TA2B C SSA SSB
1 [1882 442 (41)2 ] 4
1034.69 5367.03 5391.06
464.94
SSe SSTSSASSBSSAB 145.3216536.073539.01646.944330.235 dTfabn1334135 dAfBab13318
SxSe 2/b n12 .3/2 4 3 (4)1.1 09
温度间平均数标准误
SxSe 2/a n12 .3/2 4 3 (4)1.1 09
检验方法同前例。
第五节 数据转换
前面介绍的几种试验资料的方差分 析法，尽管其数学模型的具体表达 式有所不同，但以下三点却是共同 的。
1、效应的可加性 我们据以进行方差 分析的模型均为 线 性可加模型。这个
B 因素平方和与自由度
SSBan
(xj
x)2 1 an
x2 .j.
C，
dBf b1
组内平方和与自由度
SSe
(xijnxij)2
SST SSA SSB SSAB,
dfe ab(n1)
其中，SSAB、dfAB为A因素与B因素交
互作用平方和与自由度。
ST SSS ASB SSS ABSeS
dTfdAfdBfdAfBdef
Tab
平均 x.j x.1 x.2 …x.j … x.b
x
表中
b
x i. x ij ,
j 1
xi.
1 b
b
xij ,
j 1
n
x. j xij , i 1
x. j
1 a
a i 1
xij ,
ab
x..
x ij
i1 j 1
ab
x..xij / ab i1 j1
两因素方差分析观测值的线性模型：
dfA a1312 dfB b1312 dfAB(a1)(b1) (31)(31) 4 dfe ab(n1) 33(41) 27
列出方差分析表，进行F检验表明， 不同温度和光照间的差异极显著，即
影响昆虫的滞育期长短的主要决定于 温度和光照，与二者互作关系不大。
变异来源 df SS
s2
F F0.05 F0.01
a
b
n
b
ab
i j( )ij( )ij ( )ij 0
i 1
j 1
i 1
j 1
i 1j 1
Εijk 是随机误差，彼此独立且服从N
（0,σ2）。
试验的总次数为 abn 次。方差分析步 骤和前面介绍相似。只有 F 检验的方 法不同。
平方和与自由度的分解：
矫正数
C
x2 ...
T2
abn abn
F的检F验值表未明达到: 浓显度著间水的平F，值表大明于不F0.同01 ，浓时度间对间大 豆干物重有极显著差异。
(4)进行多重比较(用SSR法)：由于只有 浓度间达到了极显著水平，只需对5种 浓度进行多重比较，浓度间的平均标 准误均为( b=3为每一浓度的观测值数)：
sx
se2 b
0.620.455 3
25 ℃
63 58 40 27 188 16 23 -2 11 48 -1 3 16 18 36 272
温度(B)
30℃
21 20 0 3 44 -1 -19 3 -21 -38 -20 -9 -2 -16 -47 -41
35℃
9 13 21 -4 39 0 -4 -19 -13 -36 -13 -22 -9 3 -41 -38
两因素单独观测值试验数据模式
处理
A1 A2
因素B
总和 Ti. 平均数
B1 B2 … Bj …Bb
x11 x12 …x1b …x1b
T1.
x1.
x21 x22 … x2b …x2b
T2.
x2.
Ai
xi1 xi2 … xij … xib
Ti.
xi.
Aa
xa1 xa2 … xij …xab
Ta.
xa.
总和 T.j T.1 T.2 … T.j… T.b
总平方和与自由度
S T S x i 2 j l C ， d T f a b 1
水平组合平方和与自由度
SA S B1 n x i2 .j C ， dAf B(a 1 )b ( 1 )
A 因素平方和与自由度
SA S bn (x i x )2 b 1n x i2 . .C ， dA fa 1
(3)列出方差分析表，进行F检验:
激素处理对大豆干物重影响的方差分析表
变异来源 df SS s2
F
F0.05 F0.01
浓度间(A) 4 289.06 72.27 116.56** 3.84 7.01 时间间(B) 2 1.73 0.87 1.40 4.46 8.65
误差 8 4.94 0.62
总变异 14 295.73
F s2A／s2e s2B／s2e s2AB／s2e
期望方差
σ2+bnη2α σ2+anη2β σ2+nη2αβ
σ2
【例】为了研究某种昆虫滞育期长短 与环境的关系，在给定的温度和光照 下在实验室培养，每一处理记录4只 昆虫的滞育天数，结果如下表，试对 该资料进行方差分析。
光照(A)
5h/d 10h/d 15h/d
模型明确提出了处理效应与误差效应 应该是“可加的”，正是由于这一 “可加性”，才有了样本平方和的 “可加性”，亦即有了试验观测值总 平方和的“可剖分”性。如果试验资 料不具备这一性质，那么变量的总变 异依据变异原因的剖分将失去根据， 方差分析不能正确进行。
Ti. 271
-26
-52 T=193
平方和与自由度的分解
CT2 1923103 .649 abn334
STS x2C
(623 52832)10.63 94 14.5 52 6
SS Ab1n Ti.2C
1 [2721(2)62(5)22]10.364953.6073 34
SB Sa1n T.2j C
查附表8，当 df=8，M=2,3,4,5时的SSR 值及LSR值列表：
大豆干物重多重比较的SSR值 及LSR值列表
M
2
3
4
5
SSR0.05 3.26 3.40 3.48 3.52 SSR0.01 4.75 4.94 5.06 5.14 LSR0.05 1.48 1.55 1.58 1.60 LSR0.01 2.16 2.25 2.30 2.34
各项方差为：
SA2
MSA
SSA dfA
SA2B
MSAB
SSAB dfAB
SB2
MSB
SSB dfB
Se2
MSe
SSe dfe
F检验：实际应用时多用固定模型
固定模型中，αi、βj及(αβ)ij均为固定 效应。F检验时，A因素、B因素和
A×B互作项均以s2e作为分母。
变异来源
固定模型
因素A 因素B A×B 误差