数值分析-高斯求积分

I 2
2
0.9460411
0.5773503 1
0.5773503 1
• 用3个节点的Gauss公式
I
0.5555556
sin
1 (0.7745907 1) 2 0.7s7i4n59107(0.1774509.8087888819)
有（插值节点为x1
3 5 , x2 0, x3
3） 5
1
A1 A2 +A3
dx
1
A1 x1 A2 x2 +A3 x3
A1 x12 A2 x22 +A3 x32
2
1
xdx 0
1
1
x 2dx
2
1
3
解得 :
A1
5 9
,
A2
8 9
,
A3
3点Gauss型求积公式为：
1
f ( x)dx
1
5 f( 9
3 ) 8 f (0) 59
具有2n-1次代数精度
令求积公式对f ( x) xk ,(k 0,1, , 2n 1)准确成立
b
n
I
x k dx
Aj
x
k j
,
k
0,1,
, 2n 1
a
j1
得到2n阶非线性方程组，从中可求解出参数{ Aj },{ x j }
b
n
1.定义：有n个节点的求积公式 f ( x)dx Ak f ( xk )
a
证明： 必要性： 若x1, x2 ,, xn是高斯点,则求积公式
b
f ( x)dx
a
n
Ak f ( xk )具有2n 1次代数精度
k1
作多项式, ωn( x) ( x x1)( x x2 ) ( x xn ), 设p( x)为
至多n 1次多项式,则p( x)ωn( x)为至多2n 1次多项式
b
n
k1
为2n-1,因此为
b
n
f ( x)dx
Ak f ( xk )准确成立
Gauss点
a
k1
即：对于任意次数不超过2n 1的多项式均准确成立
❖ 利用Gauss点的性质确定两点Gauss公式
确定
1
f (x)dx
1
A1 f ( x1)
A2 f ( x2 ),Gauss点
根据正交性条件，知
1
(x
1
x1)( x
f
(1)
0.94569086
• 三：用复化Simpson公式
• 令h=1/8=0.125
1
0
sin x
xdx
hf
3
(0)
4
f
(h)
f
(7h)
2 f
(2h)
f
(6h)
f
(1)
0.946083305
例题3
• 四、 Romberg公式
•K
Tn
Sn
• 0 0.9207355
Cn Rn
• 1 0.9397933 0.9461459
a
k 1
最高可具有2n-1次代数精度，称这种高精度的求积
公式为Gauss型求积公式，节点xk为Gauss点
2.常见的Gauss型公式
1
1点Gauss公式： f ( x)dx 2 f (0)
1 1
2点Gauss公式： f ( x)dx A1 f ( x1) A2 f ( x2 ),
对于f ( x) 1, x,1x2 , x3, 均准确成立，即
p( x)ωn ( x)dx
Ak p( xk )ωn ( xk ) 0
a
k1
即ωn( x)与任意次数不超过n 1的多项式p( x)
在[a, b]上正交
充分性：如果w(x)与任意次数不超过n-1的多项式正 交，则其零点必为Gauss点
设f ( x)为任意次数不超过2n 1次的多项式,
用n ( x)除f ( x)得
I sin tdt sin
dx
若用n=0 2的Gaus4s-L1egend4re公式，则
I
4
sin4
(1
0.5773503)
4
sin4
(1.5773503)
0.9984725
例题2
若用n=3的Gauss-Legendre公式，则
I 0.5555556 f (0.7745967) 0.8888889 f (0) 0.5555556 f (0.7745967)
高精度求积公式
一.高斯型求积公式
设a 1, b 1,则
b
n
I f ( x)dx
Ak f ( xk )
a
k1
对于插值型求积公式，只要节点xk确定,则相应的求
积系数为
Ak
b
lk ( x)dx, lk ( x)
a
n x xj j 1 xk x j
jk
Ak,xk (k=1,2,…,n)均为待定参数,则可使求积公式的
§3.6 高斯型求积公式
第6节 高斯型求积公式
§3.6 高斯求积公式
卡尔·弗里德里希·高斯 （C.F.Gauss,1777.4.30-1855.2.23）， 生于不伦瑞克，卒于哥廷根，德国数学家、物 理学家和天文学家，大地测量学家。近代数学 奠基者之一，在历史上影响之大，可以和阿基 米德、牛顿、欧拉并列，有“数学王子”之称。
( 1)n 1v(n 1) (1)u(1) 0
u(1) u (1) u (1)
u(n 1) (1) 0
因此x 1, x 1均为u( x)的n重零点，因而设 u( x) c( x 1)n( x 1)n c( x2 1)n
首项系数为1的勒让德多项式的表达式
Ln ( x)
n! dn （2n）! dxn
(x2
关键：确定Gauss点
考察Gauss点的性质
高斯求积定理
b
n
定理：插值型求积公式 f ( x)dx
Ak f ( xk )
a
k1
的节点是高斯点的充要条件是以这些点为零点的
n
函数 n( x)
( x xk )与任意次数不超过n 1的多
k1
b
项式p( x)在[a, b]上正交，即 p( x) n( x)dx 0
5 x1=-0.9061798459 A1=A5=0.2369268851
x2=-0.5384693101 A2=A4=0.4786286705
x3=0,x4=-x2,x5=-x1 A3=0.5688888889
例题2
例2求积分
2
I 的sin近td似t 值。
解：作变换
0
t x,则
44
2
1 ( x 1)
1v( x)du(n 1)( x)
-1
1
1
u(n 1)( x)v ( x)d x
-1
v(1)u(n 1) (1) v(1)u(n 1) (1)
1
u(n 1) ( x)v ( x)d x
-1
v (1)u(n 2) (1)
1
u(n 2) ( x)v ( x)d x
-1
v(1)u(n 1) (1) v (1)u(n 2) (1)
2 利用插值型积分公式的构造方法， 确定求积系数Ak
构造三点Gauss公式
1
f ( x)dx A1 f ( x1)
-1
A2 f ( x2 )
A3 f ( x3 )
(1)x1, x2 , x3为3次Legendre多项式的零点
L3( x)
x3
3x 5
0
x1
3 5
,
x2
0, x3
3 5
(2)令插值型求积公式对于f ( x) 1, x, x2准确成立，
1)n
{Ln( x)}为[ 1,1]上的正交多项式系，即
{Ln( x), Lm ( x)}
1
1 Ln ( x)Lm ( x)dx, m n
Ln ( x)性质：
(1)Ln( x)在( 1,1)上有n个相异的实根, x1, x2 , , xn
(2)Ln( x)在[-1,1]上正交与任何一个次数不高于n-1次的
• 2 0.9445135 0.9460869 0.9400830
• 3 0.9456906 0.9460833 0.9460831 0.9460831
例题3
• 五、Gauss公式
• 令x=(t+1)/2,
I
1 sin( t 1) / 2 dt
1
t 1
• 用2个节点的Gauss公式
sin 1 (0.5773503 1) sin 1 (0.5773503 1)
1.0000081
准确解：I
π 2
sin tdt
0
(cos π cos 0) 1 2
例题3
分别用不同方法计算如下积分,并做比较
令I
1 sin x dx
0x
1 sin x
0
dx x
各种做法比较如下：
n
• 一、Newton-Cotes公式I (b a)
C (n) k
f
(
xk
)
k0
• 当n=1时，即用梯形公式， I 0.9270354
x
1 Ln ( x)dx
dxdx为2n次多项式，并且
Ln( x), u( 1) u ( 1) u ( 1)
u(n 1)( 1) 0
设v( x)是任意次数不超过n-1次得多项式，由Gauss点的性质
1
-1 v( x)Ln ( x)dx
1v( x)u(n)( x)dx
-1
v( x)u(n 1) ( x) x 1 v( x)u(n 1) ( x) x
多项式，即若p( x)为一个不超过n-1次得多项式，则
(Ln( x), p( x))
1
Ln( x) p( x)dx 0
1
逐步构造出勒让德多项式
L1( x) x,
L2 ( x)
x2
1, 3
L3( x)
x3
3x 5
L4 ( x)
x4
30 x2 35
3, 35
四.高斯型求积公式的构造
1 确定Gauss点(以Legendre多项式的零点作为 Gauss点)
x2 ) 1dx
0,
1
(x
1
x1)( x
x2 ) xdx
0,
1
x1 x2
3 , x1 x2 0,
1
1
x1
3 , x2
, 3
三、勒让德多项式
定义： 以Gauss点xk为零点的n次多项式 Ln ( x) ( x x1)( x x2 ) ( x xn )
称为勒让德多项式
设u( x) u(n) ( x)
xx 11
5 9
5 f( 3) 95
例题1
1
例例11 用高斯—勒让德求积公式计算 cos xdx
使其具有五次代数精度。 1
解： 用三个节点的高斯—勒让德公式
1
51
8
51
f ( x)dx f ( 15) f (0) f ( 15),
1
95
9
95
5 0.5556, 8 0.8889,cos( 1 15) cos(1 15) 0.7147
x2=-x1
3 x1=-7745966692 A1=A3=0.5555555556
x2=0,x2=-x1
A2=0.8888888889
4 x1=- 0.8611363116 A1=A4=0.3478548451 x2=-0.3399810436 A2=A3=0.6521451549 x3=-x2,x4=-x1
4位有效数字
1 2 23
2 2 3 0.9460411
2 1 11
1 11
2 23
2 23
T2=0.9207355,
1位有效数字
二.Gauss点的性质
Gauss公式可以通过求解2n阶非线性方程组，确 定待定参数，构造求积公式
困难
如果Gauss点位置确定，则可以通过插值型求积公
式确定求积系数Ak
降低难度
3
b at 2
b
b a1 a b b a
f ( x)dx
f(
t )dt
2
2
2
a
1
例：利用两点Gauss公式计算 1 sin xdx 0x
解：a 0, b 1,因此x 1 1 t 22
I
1 sin x dx
1
1
sin( 1 2
1 t) 2 dt
0x
2 1 1 1t
22
sin( 1 1 1 ) sin( 1 1 1 )
高斯求积定理
f ( x) q( x)n( x) r( x)
其中q( x), r( x)均为至多n 1次多项式，且r( xk ) f ( xk )
b
b
b
b
f ( x)dx q( x)ωn ( x)dx r( x)dx r( x)dx
a
a
a
a
b
r( x)dx
a
n
Akr( xk )
k1
n
Ak f ( xk ) 代数精度至少
• 当n=2时, 即用Simpson公式I, 0.9461359
• 当n=3时, I=0.9461090
• 当n=4时, I=0.9460830
• 当n=5时, I=0.9460831
例题3
• 二:用复化梯形公式
• 令h=1/8=0.125
1
0
sin x
xdx
hf
2
(0)
2 f
(h)
f
(7h)
A1 A2
1
dx 2
1
A1 x1 A2 x2
1
xdx 0
1
A1 x12 A2 x22
1
x 2dx
2
1
3
A1 x13 A2 x23
1
x3dx 0
1
1
1
x1
3 , x2
3
A1 A2 1
1
两点Gauss公式： f ( x)dx f (
1 b
对于： f ( x)dx作变换x
a
ab 2
1 ) f( 1 )
3
3.6 高斯（Gauss）型求积公式
主要内容
• 具有(n+1)个求积节点的Newton-Cotes公式，
b
n
f ( x)dx
Ak f ( xk )
a
k1
源自文库
至少具有n阶代数精度
•在确定求积公式求积系数Ak的过程中限定求积节点 为等分节点，简化了处理过程，但也降低了求积公 式的代数精度
去掉求积节点 为等分节点的限制条件，会有什么 结果？？
9
9
5
5
1
cos xdx 0.5556 0.7147 0.8889 0.5556 0.7147 1.6831
1
用Gauss型求积公式计算积分近似值时，Gauss点
与求积系数都是预先给出的，
❖ Gauss-Legendre多项式的Gauss点及求积系数
n Gauss点 10
系数Ak 2
2 x1=-0.5773502692 A1=A2=1