数值分析-高斯求积分
matlab高斯数值积分
MATLAB高斯数值积分在数值计算中，高斯数值积分（Gaussian numerical integration）是一种常用的数值积分方法。
它基于高斯求积公式，通过在给定区间上选择合适的节点和权重来近似计算积分值。
在MATLAB中，高斯数值积分可以通过内置函数或自定义函数来实现。
高斯数值积分的原理高斯数值积分的核心思想是通过在积分区间上选择合适的节点和权重，将被积函数转化为节点和权重的线性组合，从而实现对积分值的近似计算。
在一维情况下，高斯数值积分的基本公式为：I=∫fba (x)dx≈∑w ini=1f(x i)其中，a和b分别为积分区间的上下限，n为节点的个数，x i为节点，w i为节点对应的权重。
高斯数值积分通过选择合适的节点和权重，能够在一定程度上提高积分的精度。
常用的高斯数值积分方法包括高斯-勒让德求积、高斯-拉盖尔求积和高斯-埃尔米特求积等。
MATLAB中的高斯数值积分函数在MATLAB中，可以使用内置函数integral来进行高斯数值积分。
integral函数的基本语法如下：Q = integral(fun,a,b)其中，fun为被积函数的句柄，a和b为积分区间的上下限，Q为近似计算得到的积分值。
integral函数会根据被积函数的特性自动选择合适的高斯求积公式，并计算出积分值。
如果被积函数在积分区间上有奇点或不连续点，可以通过指定'Waypoints'参数来处理。
除了使用内置函数，我们还可以自定义高斯数值积分函数来实现更灵活的积分计算。
下面是一个自定义高斯数值积分函数的示例：function Q = gauss_integration(fun,a,b,n)[x,w] = gauss_nodes_weights(n,a,b); % 获取节点和权重Q = sum(w .* fun(x)); % 计算积分值end在自定义函数中，我们需要提供被积函数的句柄fun、积分区间的上下限a和b，以及节点的个数n。
gauss quadrature 数值积分
文章标题：探索数值积分方法：高斯求积法的深度与广度在数学领域中，数值积分是一项重要的工具，用于解决无法通过解析方法得到精确解的积分问题。
而高斯求积法作为常用的数值积分方法之一，在近年来备受关注。
本文将深入探讨高斯求积法的原理、应用和特点，带您领略数值积分方法的深度与广度。
1. 高斯求积法的基本原理高斯求积法是一种基于多项式插值和数值积分的方法，其基本原理是通过选取适当的插值点和插值权重，利用已知的函数值进行逼近积分值。
在数学表达上，高斯求积法可以表示为∫f(x)dx ≈ Σwi*f(xi)，其中wi和xi分别代表插值权重和插值点。
在实际应用中，高斯求积法通过选择合适的插值点和权重，可以有效提高数值积分的精度和稳定性。
2. 高斯求积法的应用与特点高斯求积法在实际应用中具有广泛的适用性和可靠性，其特点主要表现在以下几个方面：2.1 高精度性：由于高斯求积法选取了一组具有特定性质的插值点和权重，因此可以在较少的插值点情况下，获得相对较高的数值积分精度。
2.2 收敛速度快：相比于其他常用的数值积分方法，高斯求积法在收敛速度上拥有较大的优势，尤其适用于对非常数项函数的数值积分问题。
2.3 对特定函数有优势：高斯求积法在处理特定类型的函数积分时具有明显的优势，如具有较强奇点性质或多项式逼近性质的函数。
3. 个人观点与理解从个人观点而言，高斯求积法作为一种经典的数值积分方法，其优越性在实际应用中得到了充分的展现。
在处理一些复杂函数积分时，高斯求积法所体现出的高精度和快速收敛性，无疑为求解工程和科学计算问题提供了强有力的支持。
然而，也需要注意到高斯求积法在处理一些非典型函数积分时，可能会存在一定的局限性，需要结合具体问题选择合适的数值积分方法。
总结回顾在本文中，我们全面探讨了高斯求积法的基本原理、应用特点以及个人观点与理解。
通过深入的研究与分析，我们不仅对高斯求积法有了更为深刻的理解，同时也对数值积分方法有了更广泛的认识。
数值分析(高斯求积公式)
推论 Gauss求积公式是稳定的. 定理3. 6.4
设f x C a , b , 则Gauss求积公式是收敛的,即
lim Ak f xk f x dx
b n k 0 a
n
常用的Gauss求积公式
1. Gauss－Legendre求积公式 取权函数 ( x ) 1,? 积分区间[a , b] [1,1], Gauss点为Legendre多项式的零点, 则得到 Gauss Legendre求积公式 :
例3.6.1
1
取 ( x ) 1, 积分区间为[1,1], 求x0 , x1和A0 , A1，使
1
求积公式 f x dx A0 f x0 A1 f x1 为Gauss求积公式. 解法二：
注意到f xk q xk 2 xk r xk r xk , k 0,1.
两端ai i 0,1,2,, m 的系数相等。即
A0 A1 A2 An 0 ,
其中，i x i ( x )dx .
a
b
A0 x0 A1 x1 A2 x2 An xn 1 ,
2 2 2 2 A0 x0 A1 x1 A2 x2 An xn 2 ,
则有 f x dx q x 2 x dx r x dx， 3.6.8
1 1 1 1 1 1
注意到r x 是一次式，故对求积公式准确成立，即
r x dx A r x A r x .
1 1 0 0 1 1
b a k 0
n
k
f ( xk )
的余项为
R
数值分析课件_高斯求积公式
b
a
f ( x ) ( x )dx Ak f ( xk )
k 0
b b
n
2
a
f ( x ) ( x )dx p( x ) ( x )dx
a
b
a
p( x ) ( x )dx Ak p( xk )
k 0
n
n
0
2
m 2n 1
Ak p( xk ) Ak f ( xk )
证明：由Weierstrass定理知
f p max f p
a xb
则Gauss型求积公式（*）是收敛的。 对
0
b
存在m次多项式
下证
p( x ) 满足
fp
n
N ,
当n
N时
k 0
2 ( x )dx
a
b
a
f ( x ) ( x )dx Ak f ( xk )
的插值型求积公式的代数精度最高不超过2n+1次。 只需证明：对于上述插值型求积公式，存在一个 2n+2次多项式，使得求积公式不能精确成立。
2 n1
令 f ( x)
因为
b
( x)
b a
其中 n 1 ( x ) ( x xk )
k 0
n
f ( x)dx 而 A f (x ) 0
k 0
n
与任何不超过n次的多项式 p( x ) 带权正交:
b a
p( x )n1 ( x ) ( x )dx 0
证明： 必要性 设
p( x ) H n
高斯求积公式范文
高斯求积公式范文高斯求积公式，也称为高斯–勒让德求积公式（Gauss-Legendre Quadrature），是数值计算中一种常见的数值积分方法。
它通过选择适当的节点和权重来近似计算一个确定积分的值。
高斯求积公式的基本思想是通过选取合适的节点，使得积分节点上的函数值和求积公式的节点值与相应的权重值的乘积之和等于被积函数的积分。
要了解高斯求积公式，首先需要了解勒让德多项式（Legendre Polynomials）。
勒让德多项式是定义在区间[-1,1]上的一个连续函数系列，它们具有许多重要的性质。
其中最为重要的性质是勒让德多项式是在[-1,1]上正交的，即在区间[-1,1]上的积分为0，除非两个不同的多项式相乘。
高斯求积公式可以通过使用勒让德多项式的正交性质来推导。
假设我们要计算函数f(x)在区间[-1,1]上的积分，可以通过勒让德多项式来近似这个积分。
具体的做法是，首先选择一个适当的正整数n，计算n个勒让德多项式。
然后，在区间[-1,1]上选择n个互不相同的节点x_i，通过求解勒让德多项式的根来得到这些节点。
接下来，计算n个权重w_i，使得求积公式的节点值与权重值之积的和等于被积函数在区间[-1,1]上的积分。
对于一个给定的n，高斯求积公式的节点和权重可以通过一系列的计算得到。
首先，通过求解勒让德多项式的根来得到节点。
勒让德多项式的根是对应于勒让德多项式的零点的x值。
然后，通过求解勒让德多项式的导数来得到权重。
通过这些计算，我们可以得到一组称为高斯节点和权重的数值。
利用高斯节点和权重，我们可以将原始的积分问题转化为一组简单的加权求和问题。
具体地，我们可以将被积函数f(x)展开为勒让德多项式的级数形式，然后将这个级数代入原始积分的公式中，使用高斯节点和权重来计算每一项的值，最后将这些值相加得到积分的数值近似值。
1.高准确性：高斯求积公式可以提供非常精确的数值积分结果。
2.高效性：高斯求积公式可以通过选择适当的节点和权重，使计算量最小化。
数值分析-高斯求积分
有（插值节点为x1
3 5 , x2 0, x3
3） 5
1
A1 A2 +A3
dx
1
A1 x1 A2 x2 +A3 x3
A1 x12 A2 x22 +A3 x32
2
1
xdx 0
1
x 2dx
2
1
3
解得 :
A1
5 9
,
A2
8 9
,
A3
3点Gauss型求积公式为：
1
f ( x)dx
1
5 f( 9
3 ) 8 f (0) 59
I sin tdt sin
dx
若用n=0 2的Gaus4s-L1egend4re公式，则
I
4
sin4
(1
0.5773503)
4
sin4
(1.5773503)
0.9984725
例题2
若用n=3的Gauss-Legendre公式，则
I 0.5555556 f (0.7745967) 0.8888889 f (0) 0.5555556 f (0.7745967)
5 9
5 f( 3) 95
例题1
1
例例11 用高斯—勒让德求积公式计算 cos xdx
使其具有五次代数精度。 1
解： 用三个节点的高斯—勒让德公式
1
51
8
51
f ( x)dx f ( 15) f (0) f ( 15),
1
95
9
95
5 0.5556, 8 0.8889,cos( 1 15) cos(1 15) 0.7147
多项式，即若p( x)为一个不超过n-1次得多项式，则
数值分析实验报告---高斯消去法 LU分解法
数值分析实验报告---高斯消去法 LU分解法实验一：高斯消去法一、实验目的1. 掌握高斯消去法的原理2. 用高斯消去法解线性方程组3. 分析误差二、实验原理高斯消去法(又称为高斯-约旦消去法)是一种利用矩阵消元的方法，将线性方程组化为改进的阶梯形式，从而解出线性方程组的解的方法。
具体而言，高斯消去法将线性方程组的系数矩阵化为一个上三角矩阵，再利用回带法求解线性方程组的解。
三、实验内容1.1、用高斯消去法解线性方程组在具体实验中，我们将使用高斯消去法来解决下述的线性方程组。
5x+2y+z=102x+6y+2z=14x-y+10z=25为了使用高斯消去法来解这个方程组，首先需要将系数矩阵A进行变换，消除A矩阵中第一列中的下角元素，如下所示:1, 2/5, 1/50, 28/5, 18/50, 0, 49/28接着使用回代法来计算该方程组的解。
回代法的过程是从下往上进行的，具体步骤如下：第三个方程的解：z=49/28；第二个方程的解： y=（14-2z-2x）/6；第一个方程的解： x=（10-2y-z）/5。
1.2、分析误差在使用高斯消去法求解线性方程组时，一般会出现截断误差，导致得到的解与真实解之间存在一些误差。
截断误差的大小和矩阵的维数有关。
为了估计截断误差，我们使用矩阵B来生成误差，在具体实验中，我们将使用下面的矩阵：我们来计算该矩阵的行列式，如果方程组有唯一解，则行列性不为0。
本例中，行列式的值是 -1，因此方程组有唯一解。
然后我们计算真实解和高斯消去法得到的解之间的误差，具体公式如下所示：误差 = 真实解的范数 - 高斯消去法得到的解的范数其中，范数的定义如下：||x||1=max{|xi|}; ||x||2=sqrt{(|x1|^2 + |x2|^2 + ... + |xn|^2)}四、实验步骤1、将高斯消去法的每一个步骤翻译成代码，并保存为一个独立的函数。
2、将代码上传至 Python 交互式环境，并使用高斯消去法来解线性方程组。
数值分析10_4。4高斯型求积公式
Px
x
n1
Q( x)
其中P(x)和Q(x)都是次数不超过n的多项式，于是有
b
a
x
f
xdx
b
a
x Qx dx
由于是插值型求积，它对于Q(x)能准确立即
华长生制作
8
即
b
a
x
Q
x
dx
n
Ak
Q
xk
k 0
注意到 n1xk 0 知 Qxk f xk ，从而有
b
a
x f
x dx
n
Ak
f
xk
k 0
Gauss-Chebyshev求积公式为
1
1
1 1 x2
f
xdx
3
f
3 2
f 0
f
3 2
,
华长生制作
19
例 计算积分
1 2 x dx
1 1 x 2
解 选用n=2的Gauss-Chebyshev求积公式计算,这时 f x 2 x
于是有
1 1
2 x 1 x2
dx
3
2 3 2
2
2
3 2
多项式。n+1次Chebyshev多项式
Tn1x cos[(n 1) arccos x]
的零点为
xk
cos 2k 1 , k
2n 2
0,1,
, n.
以此为Gauss点,利用Chebyshev多项式的性质可得相应的求积系数 为
1
Ak 1
1 1
x2
lk xdx
,k
n 1
0,1,
n.
其中 lk x 是关于Gauss点的Lagrange插值基函数.从而有Gauss-
数值分析高斯—勒让德积分公式
高斯—勒让德积分公式摘要：高斯—勒让德积分公式可以用较少节点数得到高精度的计算结果,是现在现实生活中经常运用到的数值积分法。
然而，当积分区间较大时，积分精度并不理想。
T he adva ntage of Gauss-Legendre integral formula is tend to get high-precision calculational result by using fewer Gauss-points, real life is now often applied numerical integration method. But the precision is not good when the length of integral interval is longer.关键字：积分计算，积分公式，高斯—勒让德积分公式，MATLABKeyword:Integral Calculation , Integral formula ,Gauss-Legendre integral formula, Matlab 引言：众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。
微分实际上是求一函数的导数，而积分是已知一函数的导数，求这一函数。
所以，微分与积分互为逆运算。
实际上，积分还可以分为两部分。
第一种，是单纯的积分，也就是已知导数求原函数，称为不定积分。
相对而言，另一种就是定积分了，之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。
计算定积分的方法很多，而高斯—勒让德公式就是其中之一。
高斯积分法是精度最高的插值型数值积分，具有2n+1阶精度，并且高斯积分总是稳定。
而高斯求积系数，可以由Lagrange多项式插值系数进行积分得到。
高斯—勒让德求积公式是构造高精度差值积分的最好方法之一。
他是通过让节点和积分系数待定让函数f(x)以此取i=0,1,2....n次多项式使其尽可能多的能够精确成立来求出积分节点和积分系数。
- 高斯积分法及其应用(精选、)
§4-4 高斯积分法及其应用● 由§4-3知，在计算空间等参数单元的载荷列阵及刚度矩阵时，需用到如下形式的定积分：ηξηξd d f ⎰⎰--1111),(； ζηξζηξd d d f ⎰⎰⎰---111111),,(其中被积分函数f(ξ，η，ζ)一般是很复杂的，即使能够得出它的显式，其积分也是很繁的。
因此，一般用数值积分来代替函数的定积分。
● 数值积分：在积分区域内按一定规则选出一些点，称为积分点，算出被积函数f(ξ，η，ζ)在这些积分点处的值，然后再乘以相应的加权系数并求和，作为近似的积分值。
● 数值积分的方法有多种，其中高斯积分法可以用相同的积分点数达到较高的精度，或者说用较少的积分数达到同样的精度。
一、高斯积分法 1．一维积分的高斯公式● 一维积分的高斯公式∑⎰=-=ni i i f H d f 111)()(ξξξ (4-47)其中f(ξi )是被积函数在积分点ξi 处的数值，H i 为加数系数，n 为积分点数目。
● 可以证明， ✧对于n 个积分点，只要选取适当的加数系数及积分点位置，能够使(4-47)式在被积分函数为不超过(2n-1)次多项式时精确成立。
✧由于多数函数可表示成多项式形式，这种积分适应于大多数函数。
● 例如， ✧n=1时)()(1111ξξξf H d f I ==⎰- (a)不论f(ξ)的次数是0还是1，只需取H １=2，ξ１＝０，上式均是精确成立的。
因为ξξ10)(C C f += (b)101()22(0)I f d C f ξξ-===•⎰ (c)✧当n=2时，能保证(4-47)式精确成立所允许的多项式的最高次数是3，此时，f(ξ)的通式为332210)(ξξξξC C C C f +++= (d)其精确积分为2011322)(C C d f I +==⎰-ξξ (e)数值积分为)()()()()(323222102313212101221121ξξξξξξξξξC C C C H C C C C H f H f H f H I i i i +++++++=+==∑= (f)为了在C 0～C 3取任意值(包括取零值在内)时公式(f)是精确的，显然应有221=+H H ， 02211=+ξξH H32222211=+ξξH H ， 0322311=+ξξH H 所以，应取2,269,350,577.03121-=-=-=ξξ0,000,000,000.121==H H✧同样，对于不超过五次的多项式，只要取n=3130.577,350,269,2ξξ=-==- 0,000,000,000.02=ξ6,555,555,555.09521===H H 9,888,888,888.0983==H即可保证得到精确的积分值。
高斯求积公式-数值分析课程设计1
高斯求积公式（2）摘要数值积分一直都是数值计算领域一个重要的分支，很多工程问题都要运用数值积分的相关知识，而高斯求积公式是又是一种重要的数值积分的方法，对比于牛顿-科特斯公式，高斯公式不但是高精度的，而且是数值稳定的、收敛的。
高斯-勒让德求积公式又是在高斯公式的基础上发展而来的，是高斯公式的补充与完善。
本文就重点介绍基于MATLAB软件下高斯求积公式的求解,通过MATLAB数学软件我们不仅能够比较精确的解决高斯公式的求积问题,还可以比较形象易懂地反映出随着高斯点的增加误差的变化。
关键字：数值积分高斯公式稳定精确度MATLABGAUSSIAN QUADRATURE FORMULAABSTRACTNumerical integration is always a very important branch of Numerical calculus fileds,many projects problem need use the related knowledge of Numerical calculus,and , the Gaussian quadrature formula is an important way of Numerical Cauculus, Contrast in the Newton – Ctoes Tess formula, Gaussian quadrature formula is not only high accuracy,but also the value is stable and restraining. Gauss - Legendre quadrature formula develops in the function of the Gaussian quadrature formula,and it is the supplement and consummation Gaussian quadrature formula. This article introduced on the key point of based on the MATLAB Gaussian quadrature formula solution,Through the mathematics software of MAMTLAB,we ont only can compared with precisely the problem of Gaussian quadrature formula,but also can understand easily reflect the change with the increase of the Gauss node.The key words: Numerical integration Gaussian quadrature formula Stable Precision MATLAB目录一、引言 (1)二、方法描述 (2)2.1、高斯—勒让德（Gauss-Legendre）公式………………………………2.2、高斯-切比雪夫（Gauss-Chebyshev）求积公式………………………三、数值实验 (3)四、参考文献……………………………………………………………………. 附录:…………………………………………………………………………………。
《数值分析》Gauss积分
(r+1)
数值分析
数值分析
上式共有 r +1个 等式，2n+2个待定系数(变元),要想如 上方程组有唯一解，应有方程的个数等于变元的个数, 即 r+1=2n+2, 这样导出求积公式的代数精度至少是 2 n+1,下面证明代数精度只能是2n+1.
数值分析
数值分析
6-3
数值分析
数值分析
n 0,
n1
1
n
f ( x)dx
1
Ak f ( xk )
k0
1
f ( x)dx 2 f (0) 1
1
f ( x)dx f (0.5773502692) f (0.5773502692) 1
n2
1
f ( x)dx 0.555555556 f (0.7745966692) 1
使
1
0 f ( x)dx A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 )
为Gauss型求积公式。
解：先作变量代换
x 1 (a b) 1 (b a)t 1 (1 t),
2
2
2
dx 1 dt 2
于是 1 f ( x)dx 1
1
f
(
1
(1
t
))dt
1
1
F (t)dt
0
2 1 2
2 1
2
2
将积分区间从[a,b]变成[-1,1],由定积分的换元积
分法有
b f ( x)dx b a 1 f (b a t a b )dt
数值分析高斯求积课程设计
数值分析高斯求积课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解数值分析中数值积分的基本概念，掌握高斯求积公式的原理及其数学背景；2. 掌握高斯-勒让德求积公式及其在数值积分中的应用，能够准确计算出给定函数的数值积分；3. 了解高斯求积的误差分析，掌握误差估计的方法，并能够分析其收敛性。
技能目标：1. 能够运用高斯求积方法解决实际问题中的数值积分问题，提高计算精度和效率；2. 学会使用计算工具（如数学软件）实现高斯求积算法，进行数据分析和处理；3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提升数学建模和数值计算技巧。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对数值分析的兴趣，激发其探索数值计算领域的热情；2. 增强学生的团队协作意识，培养在小组讨论和合作中主动分享、倾听他人意见的习惯；3. 培养学生严谨的科学态度，使其认识到数值方法在科学研究和技术应用中的重要性。
本课程设计针对高年级本科生或研究生，学生在具备一定的高等数学和数值分析基础之上，通过本课程的学习，能够深入理解并掌握高斯求积方法。
课程强调理论与实践相结合，注重培养学生的实际操作能力和解决复杂问题的能力。
通过具体案例的分析，让学生在实际应用中感受数值分析的魅力，从而提高其学习的积极性和主动性。
二、教学内容1. 数值积分基本概念：回顾数值积分的定义、特点和分类，重点介绍高斯求积方法；教材章节：第二章 数值积分，第三节 高斯求积方法。
2. 高斯-勒让德求积公式：讲解高斯-勒让德求积公式的推导过程，以及其在数值积分中的应用；教材章节：第二章 数值积分，第四节 高斯-勒让德求积公式。
3. 高斯求积的误差分析：分析高斯求积的误差来源，探讨误差估计方法及其收敛性；教材章节：第二章 数值积分，第五节 高斯求积误差分析。
4. 实际应用案例：结合实际问题，展示高斯求积方法在数值分析中的应用，如求解常微分方程初值问题、计算积分变换等；教材章节：第二章 数值积分，第六节 高斯求积应用实例。
高斯求积公式-数值分析课程设计2
一、 引言介绍高斯型求积公式，并使用其求积分⎰=1sin I xdx 。
要求：数值实验结果要体现出随高斯点的增加误差的变化。
我们知道,求积公式⎰∑=≈bani i ix f Adx x f 0)()( （1.1）含有22+n 个待定常数i x 及),,2,1,0(n i A i =,如果它具有n 次代数精确度,则它应使1+m 个方程mk dx x x A bakni ki i ,,2,1,0,==⎰∑= (1.2)精确成立。
作为插值型求积公式(1.1)它至少具有n 次代数精确度；另一方面,令)())(()(101n n x x x x x x x ---=+ ω,则对22+n 次多项式)()(21x x f n +=ω而言，(7.5.1)右端为零,而左端严格大于零,即(7.5.1)式对22+n 次多项式)(21x n +ω不准确成立。
但要确定方程组(7.5.2)中的22+n 个待定常数i x 与i A ,最多需要给出22+n 个独立条件,所以m最大取12+n 。
因此,插值型求积公式(1.1)的代数精确度最小是n ,最大是12+n ．由此可见，高斯公式的代数精度比牛顿-科特斯公式高，求解高斯求积公式的关键就是解出上述2n+2个待定常数。
为解决上述问题，首先要先给出三个定理：定理一：以n x x x ,,,10 为节点的插值型求积公式(7.5.1)具有12+n 次代数精确度的充要条件是以这些节点为零点的多项式)())(()(101n n x x x x x x x ---=+ ω与任意次数不超过n 的多项式)(x P 均在区间],[b a 上正交,即⎰=+ban dx x x P 0)()(1ω (1.3)定理二：高斯公式(1.1)的求积系数k A 全为正,且nk dx x l dx x l A bak bak k ,1,0,)()(2===⎰⎰(1.4)定理三：对于高斯公式(1.1),其余项为dxx fn f R ban n ⎰+++=)()()!22(1)(21)22(ωη (1.5)其中).())(()(],,[101n n x x x x x x x b a ---=∈+ ωη证明 以n x x x ,,,10 为节点构造)(x f 的埃尔米特插值多项式)(x H),()(i i x f x H = ni x f x H i i ,1,0),()(='='因为)(x H 是12+n 次多项式,而它的余项是)()()!22(1)()(21)22(x fn x H x f n n +++=-ωξ所以高斯公式(7.5.1)对)(x H 能准确成立,即∑∑⎰====ni i in i iibax f Ax H A dx x H 0)()()(从而dxx fn dxx H dx x f x f A dx x f f R n ban babani i i ba)()()!22(1)()()()()(21)22(0++=⎰⎰⎰∑⎰+=-=-=ωξ若)()22(x fn +在区间],[b a 上连续,由于)(21x n +ω在],[b a 上不变号,故应用积分中值定理可得],[,)()()!22(1)(21)22(b a dx x fn f R ban n ∈+=⎰++ηωη上述定理说明,与牛顿—科兹公式进行比较,高斯公式不但具有高精度,而且它还是数值稳定的,但是节点和求积系数的计算比较麻烦。
高斯数值积分
高斯数值积分
数值积分，用于求定积分的近似值。
在数值分析中，数值积分是计算定积分数值的方
法和理论。
在数学分析中，给定函数的定积分的计算不总是可行的。
许多定积分不能用已
知的积分公式得到精确值。
简介
数值积分就是利用黎曼积分等数学定义，用数值迫近的方法近似计算取值的定分数值。
借助电子计算设备，数值积分可以快速而有效地排序繁杂的分数。
构造数值积分公式最通常的方法是用积分区间上的n 次插值多项式代替被积函数，由此导出的求积公式称为插值型求积公式。
特别在节点分布等距的情形称为牛顿-柯茨公式，例如梯形公式(trapezoidal approximations)与抛物线公式(approximations using parabolas)就是最基本的近似公式。
但它们的精度较差。
龙贝格算法就是在区间逐次分半过程中，对梯形公式的近似值展开加权平均赢得精确
程度较高的分数近似值的一种方法，它具备公式简洁、计算结果精确、使用方便、稳定性
不好等优点，因此在等距情形宜使用龙贝格算草公式(rhomberg integration)。
当用不等距节点进行计算时，常用高斯型求积公式计算，它在节点数目相同情况下，
准确程度较高，稳定性好，而且还可以计算无穷积分。
数值积分还是微分方程数值解法的
重要依据。
许多重要公式都可以用数值积分方程导出。
数值分析4-5(高斯公式)
b x 2 xdx 2 / 7
a
b x 3 xdx 2 / 9
a
作业： 习题 10，11
结束语
若有不当之处，请指正，谢谢！
待定系数法
举例 要构造下列形式的高斯公式
1
0 x f(x ) A 0f(x 0 ) A 1f(x 1 )
解 则其代数精度应为 2 n 1 2 1 1 3 即
A0
A1
b a
xdx 2 / 3
A0 x0
A0 x02
A0 x03
A1 x1 A1 x12 A1 x3
b
x xdx 2 / 5
证明 先证必要性，即
x k 是高斯点
(x)与 P(x)正交
设P(x)是任意次数不超过 n 的多项式，则
P(x)ω(x)的次数不超过2n+1，因此应准确
成立
a bP (x)(x)d x nA kP (xk)(xk) k 0
但 (x k ) 0 (k 0 ,1 ,.n ) ..,
故 (x)与 P(x)正交
1
1f(x)dx2f(0)
中矩形公式
再取 P2(x)12(3x21) 的零点
1 3
作节点构
造求积公式
1 1f(x )d x A 0f(1 3 ) A 1f(1 3 )
令它对 f(x) = 1, x 准确成立，即可定出A0 ,A1 可得两点高斯—勒让得公式为
1f(x)d xf(1)f(1)
1
33
若适当选择这些参数使求积公式具有2n+1次代
数精度，则这类公式称为高斯公式。
请回答: 以前学过的梯形公式、辛甫生公式、柯 特斯公式、中矩形公式是高斯公式吗？
答：除中矩形公式外都不是！
数值积分中的高斯积分-教案
数值积分中的高斯积分-教案一、引言1.1数值积分的重要性1.1.1数值积分在工程和科学计算中的应用1.1.2数值积分相较于解析积分的优势1.1.3高斯积分在数值积分中的地位1.1.4引入高斯积分的背景和意义1.2高斯积分的基本概念1.2.1高斯积分的定义1.2.2高斯积分的数学表达1.2.3高斯积分与高斯求积公式的关系1.2.4高斯积分在数值分析中的重要性1.3教学目标和结构安排1.3.1教学目标1.3.2教学内容的结构安排1.3.3教学方法和策略1.3.4教学评估方式二、知识点讲解2.1高斯积分的理论基础2.1.1高斯积分的数学原理2.1.2高斯积分的误差分析2.1.3高斯积分的收敛性2.1.4高斯积分与勒让德多项式的关系2.2高斯积分的算法实现2.2.1高斯积分的算法步骤2.2.2高斯积分的编程实现2.2.3高斯积分的算法优化2.2.4高斯积分在数值计算软件中的应用2.3高斯积分的应用实例2.3.1高斯积分在物理学中的应用2.3.2高斯积分在金融数学中的应用2.3.3高斯积分在工程问题中的应用2.3.4高斯积分在机器学习中的应用三、教学内容3.1高斯积分的基本方法3.1.1高斯积分的节点选择3.1.2高斯积分的权重计算3.1.3高斯积分的数值实现3.1.4高斯积分的误差控制3.2高斯积分的高级技巧3.2.1高斯积分的多维扩展3.2.2高斯积分的适应性调整3.2.3高斯积分的并行计算3.2.4高斯积分的优化算法3.3高斯积分的教学实践3.3.1高斯积分的教学案例分析3.3.2高斯积分的教学活动设计3.3.3高斯积分的教学资源推荐3.3.4高斯积分的教学效果评估四、教学目标4.1知识与技能目标4.1.1理解高斯积分的基本概念和原理4.1.2掌握高斯积分的计算方法和步骤4.1.3学会使用高斯积分解决实际问题4.1.4能够分析和评估高斯积分的误差和收敛性4.2过程与方法目标4.2.1培养学生的数值计算能力4.2.2提高学生的数学建模和问题解决能力4.2.3增强学生的编程和软件应用能力4.2.4培养学生的团队协作和沟通能力4.3情感态度与价值观目标4.3.1培养学生对数学的兴趣和热情4.3.2增强学生对数学应用的认识和重视4.3.3培养学生的创新思维和科学精神4.3.4培养学生的责任感和合作精神五、教学难点与重点5.1教学难点5.1.1高斯积分的数学原理和理论推导5.1.2高斯积分的算法实现和编程技巧5.1.3高斯积分的应用领域和实际问题解决5.2教学重点5.2.1高斯积分的基本概念和计算方法5.2.2高斯积分的误差分析和收敛性评估5.2.3高斯积分的实际应用和案例分析5.3教学难点与重点的关系5.3.1教学难点是教学重点的基础和前提5.3.2教学重点是教学难点的发展和延伸5.3.3教学难点与重点相互依存，相互促进六、教具与学具准备6.1教具准备6.1.1讲义和教材6.1.2多媒体设备和投影仪6.1.3数学软件和编程环境6.1.4实验设备和工具6.2学具准备6.2.1笔记本和计算器6.2.2数学软件和编程环境6.2.3实验设备和工具6.2.4学习资源和参考资料6.3教具与学具的应用6.3.1教具的应用在教学过程中的作用6.3.2学具的应用在学习过程中的作用6.3.3教具与学具的结合使用的效果6.3.4教具与学具的选择和调整的原则七、教学过程7.1导入新课7.1.1引入高斯积分的背景和意义7.1.2引导学生回顾数值积分的相关知识7.1.3提出教学目标和要求7.1.4激发学生的兴趣和好奇心7.2教学内容讲解7.2.1讲解高斯积分的基本概念和原理7.2.2讲解高斯积分的计算方法和步骤7.2.3讲解高斯积分的误差分析和收敛性评估7.2.4讲解高斯积分的实际应用和案例分析7.3教学活动与练习7.3.1安排学生进行高斯积分的计算练习7.3.2组织学生进行高斯积分的应用案例分析7.3.3开展小组讨论和合作学习活动7.3.4提供反馈和指导，帮助学生解决问题7.4.2对学生学习情况的评估和反馈7.4.3对教学方法和策略的反思和改进八、板书设计8.1高斯积分的基本概念和原理8.1.1高斯积分的定义和数学表达8.1.2高斯积分的节点选择和权重计算8.1.3高斯积分的数值实现和误差控制8.1.4高斯积分的收敛性和误差分析8.2高斯积分的计算方法和步骤8.2.1高斯积分的算法步骤和编程实现8.2.2高斯积分的多维扩展和适应性调整8.2.3高斯积分的并行计算和优化算法8.2.4高斯积分的实际应用和案例分析8.3高斯积分的教学实践和案例分析8.3.1高斯积分的教学案例分析8.3.2高斯积分的教学活动设计8.3.3高斯积分的教学资源推荐8.3.4高斯积分的教学效果评估九、作业设计9.1基础练习题9.1.1高斯积分的基本概念和原理的练习题9.1.2高斯积分的计算方法和步骤的练习题9.1.3高斯积分的误差分析和收敛性评估的练习题9.1.4高斯积分的实际应用和案例分析的练习题9.2综合应用题9.2.1高斯积分在物理学中的应用题9.2.2高斯积分在金融数学中的应用题9.2.3高斯积分在工程问题中的应用题9.2.4高斯积分在机器学习中的应用题9.3探究拓展题9.3.1高斯积分的高级技巧和优化算法的探究题9.3.2高斯积分的教学实践和案例分析的探究题9.3.3高斯积分的研究论文和学术文章的阅读题9.3.4高斯积分的实验设计和数据处理的探究题十、课后反思及拓展延伸10.1教学反思10.1.1教学内容的难易程度和学生的接受情况10.1.2教学方法和策略的有效性和改进空间10.1.3教学目标的实现程度和学生的反馈意见10.1.4教学效果的评价和改进方向10.2拓展延伸10.2.1高斯积分的高级技巧和研究方向的介绍10.2.2高斯积分在其他领域的应用案例的分享10.2.3高斯积分的实验设计和数据处理的指导10.2.4高斯积分的相关研究论文和学术文章的推荐重点关注环节的补充和说明：1.教学内容的讲解：应注重高斯积分的基本概念和原理的讲解，确保学生能够理解并掌握高斯积分的定义、数学表达、节点选择、权重计算等关键知识点。
一维高斯求积规则
一维高斯求积规则一维高斯求积规则是数值分析中一种常用的数值积分方法，用于近似计算函数在一维区间上的积分值。
它的基本思想是通过选择一组合适的插值节点和权重系数，将被积函数在积分区间上进行插值拟合，并利用插值多项式的性质来近似表示被积函数，从而求得积分结果。
一维高斯求积规则的核心是选取合适的插值节点和权重系数。
在一维情况下，常用的选择是选择一组正交多项式的零点作为插值节点，并根据正交多项式的性质计算相应的权重系数。
常见的正交多项式有Legendre多项式、Chebyshev多项式和Hermite多项式等。
以Legendre多项式为例，Legendre多项式是定义在区间[-1, 1]上的一组正交多项式。
Legendre多项式的零点即为一维高斯求积规则中的插值节点。
通过选择一定数量的Legendre多项式的零点，并利用这些零点计算相应的权重系数，就可以构造出一维高斯求积规则。
具体而言，在一维高斯求积规则中，我们选择一个整数n，代表选取n个插值节点。
然后，利用Legendre多项式的零点计算出这n 个插值节点。
接着，利用对应的Legendre多项式的导数计算出相应的权重系数。
最后，将被积函数在插值节点上的函数值与权重系数相乘，并将结果相加，即可得到函数在积分区间上的近似积分值。
一维高斯求积规则的优点在于通过选择合适的插值节点和权重系数，可以在积分区间上以较高的精度对函数进行插值拟合。
相比于其他常用的数值积分方法，一维高斯求积规则通常能够得到更精确的积分结果。
然而，一维高斯求积规则也存在一些限制。
首先，它要求被积函数在积分区间上连续可导，否则无法使用Legendre多项式进行插值拟合。
其次，一维高斯求积规则对插值节点的选取较为敏感，不同的选取方式可能会导致不同的积分精度。
为了提高积分精度，可以采用自适应的一维高斯求积规则。
自适应的一维高斯求积规则通过在积分区间上不断细分，将区间划分为多个子区间，并在每个子区间上分别应用一维高斯求积规则，然后将各个子区间上的积分结果相加得到最终的积分值。
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2 利用插值型积分公式的构造方法， 确定求积系数Ak
构造三点Gauss公式
1
f ( x)dx A1 f ( x1)
-1
A2 f ( x2 )
A3 f ( x3 )
(1)x1, x2 , x3为3次Legendre多项式的零点
L3( x)
x3
3x 5
0
x1
3 5
,
x2
0, x3
3 5
(2)令插值型求积公式对于f ( x) 1, x, x2准确成立，
3.6 高斯（Gauss）型求积公式
主要内容
• 具有(n+1)个求积节点的Newton-Cotes公式，
b
n
f ( x)dx
Ak f ( xk )
a
k1
至少具有n阶代数精度
•在确定求积公式求积系数Ak的过程中限定求积节点 为等分节点，简化了处理过程，但也降低了求积公 式的代数精度
去掉求积节点 为等分节点的限制条件，会有什么 结果？？
1v( x)du(n 1)( x)
-1
1
1
u(n 1)( x)v ( x)d x
-1
v(1)u(n 1) (1) v(1)u(n 1) (1)
1
u(n 1) ( x)v ( x)d x
-1
v (1)u(n 2) (1)
1
u(n 2) ( x)v ( x)d x
-1
v(1)u(n 1) (1) v (1)u(n 2) (1)
5 9
5 f( 3) 95
例题1
1
例例11 用高斯—勒让德求积公式计算 cos xdx
使其具有五次代数精度。 1
解： 用三个节点的高斯—勒让德公式
1
51
8
51
f ( x)dx f ( 15) f (0) f ( 15),
1
95
9
95
5 0.5556, 8 0.8889,cos( 1 15) cos(1 15) 0.7147
• 2 0.9445135 0.9460869 0.9400830
• 3 0.9456906 0.9460833 0.9460831 0.9460831
例题3
• 五、Gauss公式
• 令x=(t+1)/2,
I
1 sin( t 1) / 2 dt
1
t 1
• 用2个节点的Gauss公式
sin 1 (0.5773503 1) sin 1 (0.5773503 1)
有（插值节点为x1
3 5 , x2 0, x3
3） 5
1
A1 A2 +A3
dx
1
A1 x1 A2 x2 +A3 x3
A1 x12 A2 x22 +A3 x32
2
1
xdx 0
1
1
x 2dx
2
1
3
解得 :
A1
5 9
,
A2
8 9
,
A3
3点Gauss型求积公式为：
1
f ( x)dx
1
5 f( 9
3 ) 8 f (0) 59
I sin tdt sin
dx
若用n=0 2的Gaus4s-L1egend4re公式，则
I
4
sin4
(1
0.5773503)
4
sin4
(1.5773503)
0.9984725
例题2
若用n=3的Gauss-Legendre公式，则
I 0.5555556 f (0.7745967) 0.8888889 f (0) 0.5555556 f (0.7745967)
高精度求积公式
一.高斯型求积公式
设a 1, b 1,则
b
n
I f ( x)dx
Ak f ( xk )
a
k1
对于插值型求积公式，只要节点xk确定,则相应的求
积系数为
Ak
b
lk ( x)dx, lk ( x)
a
n x xj j 1 xk x j
jk
Ak,xk (k=1,2,…,n)均为待定参数,则可使求积公式的
9
9
5
5
1
cos xdx 0.5556 0.7147 0.8889 0.5556 0.7147 1.6831
1
用Gauss型求积公式计算积分近似值时，Gauss点
与求积系数都是预先给出的，
❖ Gauss-Legendre多项式的Gauss点及求积系数
n Gauss点 10
系数Ak 2
2 x1=-0.5773502692 A1=A2=1
4位有效数字
1 2 23
2 2 3 0.9460411
2 1 11
1 11
2 23
2 23
T2=0.9207355,
1位有效数字
二.Gauss点的性质
Gauss公式可以通过求解2n阶非线性方程组，确 定待定参数，构造求积公式
困难
如果Gauss点位置确定，则可以通过插值型求积公
式确定求积系数Ak
降低难度
x2 ) 1dx
0,
1
(x
1
x1)( x
x2 ) xdx
0,
1
x1 x2
3 , x1 x2 0,
1
1
x1
3 , x2
, 3
三、勒让德多项式
定义： 以Gauss点xk为零点的n次多项式 Ln ( x) ( x x1)( x x2 ) ( x xn )
称为勒让德多项式
设u( x) u(n) ( x)
xx 11
a
k 1
最高可具有2n-1次代数精度，称这种高精度的求积
公式为Gauss型求积公式，节点xk为Gauss点
2.常见的Gauss型公式
1
1点Gauss公式： f ( x)dx 2 f (0)
1 1
2点Gauss公式： f ( x)dx A1 f ( x1) A2 f ( x2 ),
对于f ( x) 1, x,1x2 , x3, 均准确成立，即
p( x)ωn ( x)dx
Ak p( xk )ωn ( xk ) 0
a
k1
即ωn( x)与任意次数不超过n 1的多项式p( x)
在[a, b]上正交
充分性：如果w(x)与任意次数不超过n-1的多项式正 交，则其零点必为Gauss点
设f ( x)为任意次数不超过2n 1次的多项式,
用n ( x)除f ( x)得
A1 A2
1
dx 2
1
A1 x1 A2 x2
1
xdx 0
1
A1 x12 A2 x22
1
x 2dx
2
1
3
A1 x13 A2 x23
1
x3dx 0
1
1
1
x1
3 , x2
3
A1 A2 1
1
两点Gauss公式： f换x
a
ab 2
1 ) f( 1 )
3
多项式，即若p( x)为一个不超过n-1次得多项式，则
(Ln( x), p( x))
1
Ln( x) p( x)dx 0
1
逐步构造出勒让德多项式
L1( x) x,
L2 ( x)
x2
1, 3
L3( x)
x3
3x 5
L4 ( x)
x4
30 x2 35
3, 35
四.高斯型求积公式的构造
1 确定Gauss点(以Legendre多项式的零点作为 Gauss点)
1)n
{Ln( x)}为[ 1,1]上的正交多项式系，即
{Ln( x), Lm ( x)}
1
1 Ln ( x)Lm ( x)dx, m n
Ln ( x)性质：
(1)Ln( x)在( 1,1)上有n个相异的实根, x1, x2 , , xn
(2)Ln( x)在[-1,1]上正交与任何一个次数不高于n-1次的
x2=-x1
3 x1=-7745966692 A1=A3=0.5555555556
x2=0,x2=-x1
A2=0.8888888889
4 x1=- 0.8611363116 A1=A4=0.3478548451 x2=-0.3399810436 A2=A3=0.6521451549 x3=-x2,x4=-x1
a
证明： 必要性： 若x1, x2 ,, xn是高斯点,则求积公式
b
f ( x)dx
a
n
Ak f ( xk )具有2n 1次代数精度
k1
作多项式, ωn( x) ( x x1)( x x2 ) ( x xn ), 设p( x)为
至多n 1次多项式,则p( x)ωn( x)为至多2n 1次多项式
b
n
• 当n=2时, 即用Simpson公式I, 0.9461359
• 当n=3时, I=0.9461090
• 当n=4时, I=0.9460830
• 当n=5时, I=0.9460831
例题3
• 二:用复化梯形公式
• 令h=1/8=0.125
1
0
sin x
xdx
hf
2
(0)
2 f
(h)
f
(7h)
1.0000081
准确解：I
π 2
sin tdt
0
(cos π cos 0) 1 2
例题3
分别用不同方法计算如下积分,并做比较
令I
1 sin x dx
0x