概率论中常见古典概型错题辨析

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古典概率题错解辨析

古典概率题错解辨析

古典概率题错解辨析在古典概型的学习中,大家都能熟记公式,但是在具体解题时,往往解错了也不知道错在哪里。

本节对常见的几种错解类型进行一些辨析。

1 基本事件的非等可能性所造成的错解在解古典概率题,应用概率公式时,一定要先检查一下其中的基本事件是否等可能性.否则,会造成一些意想不到的错误.例1 掷4枚硬币,试求事件A ={至少出现2个正面}的概率。

错解 掷4枚硬币,所有可能出现正面的个数为0个,1个,2个,3个,4个共5种结果,故样本空间中的基本事件总数为5.事件A 包含3个基本事件.故其概率为P(A)=30.65=. 错因分析 这个结论是错误的.因为如果我们将4枚硬币从1至4编号,并将它们出现的正面或反面记录在一个4维向量中,则出0个正面的事件包含{反、反、反、反}1个基本事件,而出现1个正面的事件包含{正、反、反、反},{反、正、反、反},{反、反、正、反},{反、反、反、正}4个基本事件,即出现0个正面和出现1个正面的机会是不均等的,不能利用古典概率计算公式来做.事实上,我们有本题解题中没有注意到这5种结果的非等可能性,从而造成了错解.本题的正解是234444012344444411()16C C C P A C C C C C ++==++++. 2 事件的基本事件数与基本事件总数不属同一样本空间所造成的错解在同一个古典概率题中,只要保持基本事件的等可能性,样本空间可以有不同的取法,但计算时,基本事件数和基本事件总数一定要在同一个样本空间中考虑,否则就会产生错解.例2 将大小相同的6个白球、6个黑球从袋中一个接一个地取出5球,试求所取的5个球中恰有4个白球的概率.错解 设事件A ={所取的5球中恰有4个白球}.由于5个球的取法与先后顺序有关,所以样本空间中共有512P 个基本事件.另外,由于题中关心所取的5个球中有几个白球,而并不关心这几个白球是在哪几次取出的,其与顺序无关,事件A包含了4166C C 个基本事件.于是事件A 的概率为4166512()C C P A P =. 错因分析 这是一个错解.因为512P 是考虑取球顺序的样本空间的基本事件总数,而4166C C 是不考虑取球顺序的样本空间中事件A 包含的基本事件数,它们不属于同一个样本空间,从而导致错解.本题的正确解是4166512()C C P A C =或者415665512()C C P P A P =. 3 基本事件重复使用所造成的错解例3 5只球随机地落入4只盒子中,试求4只盒子都不空的概率.错解 设事件A={4只盒子都不空}.每只球有4种进盒方法,5只球就有54种不同的落入方法.这是基本事件总数.为了计算A包含的基本事件数,现分两步来实现:第一步:从5只球中任取4只球,将它们每盒一球地排入4只盒子中,这样就保证了盒子都不会空.有45P 种方法;第二步:让余下的一只球随机地进入4个盒中的任一盒,有4种方法.由乘法原理知事件A包含454P ⋅个基本事件,故得455415()432P P A ==.错因分析 这个错貌似有理,很能迷惑人.现用①②③④⑤表示5只不同的球,按错解的思路来演示如下:第一步取①②③④这四个球,依次放入4个盒子中;第二步将余下的⑤号球放入第4个盒子.再看另一种落入的方法,第一步取①②③⑤这四个球依次放入4个盒子中;第二步将余下的④号球放入第4个盒子.结果表明,这两种落入的结果是完全一致的,是同一基本事件.如图所示而在错解中被重复计算成两个不同的基本事件,故导致出错.正确的解法为2554!15()464C P A ==.4 组合中混杂排列所造成的错解⑤④这类错解在初学者中犯得最多,因此特地把它从基本事件重复使用这一类错解中分离出来,另列一类,以引起初学者的重视.例4 袋中有红、黄、白三种颜色的球各2个,从中任取4个球,试求恰得2个红球和2个其它不同颜色的球的概率.错解 设事件A ={所取的4个球中恰有2个红球和2个其它不同颜色的球}.样本空间的基本事件总数是46C 。

古典概型例题及解析

古典概型例题及解析

古典概型例题及解析
(原创实用版)
目录
1.引言:介绍古典概型例题及解析的重要性
2.古典概型例题:列举几个典型的古典概型例题
3.解析方法:介绍古典概型例题的解析方法
4.结论:总结古典概型例题及解析的作用
正文
一、引言
古典概型是概率论中的一个重要概念,它能帮助我们更好地理解随机事件的规律。

在古典概型的学习过程中,例题及解析起着至关重要的作用。

通过学习和分析例题,我们可以更深入地理解概念,熟练掌握解题方法。

本文将介绍几个古典概型的典型例题,以及如何解析这些例题。

二、古典概型例题
1.投掷一个均匀的六面体骰子,求点数为偶数的概率。

2.从包含 n 个红球,n 个蓝球,n 个黄球的袋子中随机抽取一个球,求抽到红球的概率。

3.某商店出售的商品打九折,求顾客购买一件商品的概率。

三、解析方法
1.对于例题 1,我们可以直接观察骰子的点数,发现共有 3 个偶数,总点数为 6,所以点数为偶数的概率为 3/6=1/2。

2.对于例题 2,由于袋子中有 n 个红球,所以抽到红球的概率为
n/(n+n+n)=n/3n=1/3。

3.对于例题 3,由于商品打九折,所以顾客购买一件商品的概率为 1。

四、结论
通过以上例题及解析,我们可以看到古典概型在实际问题中的应用。

学习古典概型例题及解析,有助于我们更好地理解概率论的基本概念,提高解题能力。

概率解题典型错误类型及根源分析

概率解题典型错误类型及根源分析

概率解题典型错误类型及根源分析高中数学增加了概率的内容。

笔者结合多年的教学经验试图就学生易犯错误类型作些总结,仅供参考。

类型一:“非等可能”与“等可能”混同例1:掷两枚骰子,求事件A 为出现的点数之和等于3的概率。

错解:掷两枚骰子出现的点数之和的可能数值为{2,3,4,……,12},有利于事件A 的结果只有3,故111)(=A P 。

分析:公式基本事件的总数的基本事件数有利于事件A A P =)( 仅当所述的试验结果是等可能性时才成立,而取数值2和3不是等可能的,2只有这样情况(1,1)才出,而3有两种情况(1,2),(2,1)可出现,其它的情况可类推。

正确答案 掷两枚骰子可能出现的情况:(1,1),(1,2),…,(1,6),(2,1),(2,2),…,(2,6),…,(6,1),(6,2),…,(6,6),结果总数为6×6=36。

在这些结果中,事件A 的含有两种结果(1,2),(2,1)。

181362)(==∴A P 。

类型二:“有序”与“无序”混同.例2:从10件产品(其中次品3件)中,一件一件地不放回地任意取出4件,求4件中恰有1件次品的概率。

错解:因为第一次有10种取法,第二次有9种取法,第三次有8种取法,第四次有7种取法,由乘法原理可知从10件取4件共有10×9×8×7种取法,故从10件产品(其中次品3件)中,一件一件地不放回地任意取出4件含有10×9×8×7个可能的结果。

设A=“取出的4件中恰有1件次品”,则A 含有3713C C ⨯种结果(先从3件次品中取1件,再从7件正品中取3件),.48178910)(3713=⨯⨯⨯⨯=C C A P 分析:计算所有可能结果个数是用排列的方法,即考虑了抽取的顺序;而计算事件A 所包含结果个数时是用组合的方法,即没有考虑抽取的顺序。

正解:(1)都用排列方法所有可能的结果共有410A 个,事件A 包含371314A A A ⋅⋅个结果(4件中要恰有1件次品,可以看成四次抽取中有一次抽到次品,有14A 种方式,对于每一方式,从3件次品中取一件,再从7件正品中一件一件地取3件,共有371314A A A ⋅⋅种取法)21)(410371314=⋅⋅=∴A A A A A P (2)都用组合方法一件一件不放回地抽取4件,可以看成一次抽取4件,故共有410C 个可能的结果,事件A 含有3713C C ⋅种结果。

古典概率计算中常见的错误及策略探究

古典概率计算中常见的错误及策略探究

古典概率计算中常见的错误及策略探究古典概率计算是一种重要的数理统计技术,它可以帮助人们理解不确定性、不断变化的事件,概率计算给出的概率值可以帮助人们制定策略,因此,概率计算在很多领域中都有重要的应用。

然而,由于概率计算涉及到很多复杂的数学知识,操作不当容易出现错误,影响到概率计算的准确性和结果的可靠性。

针对古典概率计算中的错误,本文将进行探究,并给出相应的策略,以提高计算结果的准确性。

首先,我们来看一下古典概率计算中常见的错误。

在古典概率计算中,常见的错误有:忽视概率项之间的互斥关系;错误计算概率值,如概率值和不为1;不知道如何正确计算多事件的条件概率;不能准确理解确定性事件和随机事件的判别;无法准确估计未知参数的概率分布。

这些错误极大地影响了古典概率计算的准确性,因此,有必要采取策略去改善古典概率计算中的错误。

其次,我们来看一下古典概率计算中常用的策略。

首先,为了准确计算概率,我们需要充分考虑概率项之间的互斥关系,特别是在计算多个事件发生概率的时候;其次,针对概率计算的过程,应该尽可能地使用简单的计算方法,避免使用复杂的计算公式;第三,有时候我们会有一些未知参数,这时候可以根据实际情况,对这些未知参数分布情况进行估计;最后,由于古典概率计算涉及到很多复杂的数学知识,因此,为了更好地掌握概率计算,应该注意不断加强数学基础知识的提升。

最后,应该重申的是,只有准确理解古典概率计算的基本原理,并采取正确的策略,才能使概率计算的结果可靠可靠。

利用这些策略,我们可以更有效地应用古典概率计算,保证计算结果的准确性。

在总结本文之前,我们再来简要看一下。

古典概率计算是一种重要的数理统计技术,它可以帮助人们更有效地制定策略。

然而,由于概率计算涉及到很多复杂的数学知识,操作不当容易出现错误,影响到概率计算的准确性和结果的可靠性。

因此,在进行古典概率计算时,应该注意考虑概率项之间的互斥关系、正确计算概率值、准确理解确定性事件和随机事件的判别、估计未知参数的概率分布,并加强数学基确的提升,以此来提高计算结果的准确性。

古典概型问题常见错解剖析

古典概型问题常见错解剖析

古典概型问题常见错解剖析
古典概型问题是用来考验和检测学生学习能力的一种常见的题目形式,但学生
在解答的过程中也会出现一些错误。

要想让学生正确解答古典概型问题,就必须剖析常见的错误解题思路,并结合实例加以解释。

首先,不少学生倾向于以过于简单的方法来解答不容易解答的问题。

例如有一
道题是关于如何最大限度地利用电能的,而有些学生则只是完全照搬此类问题中提出的建议,而未能深入思考以及创造出更多可能性。

在推理问题中,此类答案仅能赢得分值较低的评价。

其次,有些学生可能会出现对历史背景或者解题过程中涉及的基本知识的缺乏,从而导致他们无法根据题目暗示的信息来解答古典概型问题。

例如有一道问题是关于文艺复兴时期的经济历史,但某位学生的回答竟然完全无视文艺复兴时期有关的内容,而是给出了近代经济发展的简单解答。

最后,当学生以此学习任务为主导思维方式时,他们可能会忽视学习内容本身,并仅仅当作完成学习任务来看待古典概型问题。

这种做法可能会导致学生缺乏理解,缺少对概型的全面洞察,最终得出的结论可能毫无意义或者不正确。

因此,应该尽可能将学习任务与学习内容结合起来,从而获得更加客观全面的
理解,才能在解答古典概型问题时获得良好的效果。

在此过程之中,教师们也应当给学生在错误解答上以适当的指导,以提高学生解题能力。

求解古典概型常见错误剖析

求解古典概型常见错误剖析

求解古典概型常见错误剖析作者:谭斌张世林佘媛媛来源:《理科考试研究·高中》2013年第03期古典概型是一种最基本的概率模型,也是学习其它概型的基础.现将求解古典概型常见的错误剖析如下.一、“有序”与“无序”混同,导致基本事件的个数求错例1从10件产品(其中次品3件)中,一件一件地不放回地任意取出4件,求4件中恰有1件次品的概率.错解因为第一次有10种取法,第二次有9种取法,第三次有8种取法,第四次有7种取法,由乘法原理可知从10件取4件共有10×9×8×7种取法,故从10件产品(其中次品3件)中,一件一件地不放回地任意取出4件含有10×9×8×7个可能的结果.设A=“取出的4件中恰有1件次品”,则A含有C13×C37种结果(先从3件次品中取1件,再从7件正品中取3件),剖析该题错在计算所有等可能结果的个数是用排列的方法,即考虑了抽取的顺序,而计算事件A所包含结果个数时是用组合的方法,即没有考虑抽取的顺序.正解所有可能的结果共有A410个,事件A包含A14·A13·A37个结果(4件中要恰有1件次品,可以看成四次抽取中有一次抽到次品,有A14种方式,对于每种方式,从3件次品中取一件,再从7件正品中一件一件地取3件,共有A14·A13·A37种取法).所以P(A)=A14·A13·A37A410=12.二、“非等可能”与“等可能”混同,对古典概型的等可能性理解不清例2掷两枚质地均匀的骰子,求事件A=“出现的点数之和等于3”的概率.错解掷两枚骰子出现的点数之和的可能数值为{2,3,4,…,12},事件A发生的结果只有一种,故P(A)=111.剖析公式P(A)=事件A所含的基本事件数基本事件的总数,当且仅当所述试验的每个结果是等可能的时候才成立,而取数值2和3不是等可能的,2只在点数为(1,1)才出现,而3却在两种情况(1,2),(2,1)时可出现,其它的情况类推.正解掷两枚骰子可能出现的等可能的情况:(1,1),(1,2),…,(1,6),(2,1),(2,2),…,(2,6),…,(6,1),(6,2),…,(6,6),结果总数为6×6=36.在这些结果中,事件A含有两种结果(1,2),(2,1),故P(A)=236=118.三、对古典概型的有限性把握不准而将古典概型误判为几何概型图1例3甲、乙二人玩数字游戏,先由两人在心中各想一个整数,分别记为x、y,当x、y∈[1,5],且|x-y|≤1时,则称甲、乙二人“心有灵犀”.求甲、乙二人“心有灵犀”的概率.错解设甲、乙二人“心有灵犀”为事件A,由于x、y∈[1,5],且|x-y|≤1,如图1,由几何概型概率公式得,P(A)=S阴影S正方形=16-916=716.剖析本题没有注意x、y的取值是整数,忽视了古典概型的有限性.正解设甲、乙二人“心有灵犀”为事件A,由于x、y∈[1,5],所以满足条件的整数对共有5×5对,满足|x-y|≤1的整数对共有13对,即(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),(4,5),(5,4).所以甲、乙二人“心有灵犀”的概率P(A)=1325.四、混淆“无放回抽取”与“有放回抽取”而出错例4从含有2件正品a1,a2和一件次品b的三件产品中每次任取一件,每次取出后不放回,连续取2次,记“取出的两件中恰有一件次品”为事件A,如果将“每次取出后不放回”换成“每次取出后放回”,连续取2次,记“取出的两件中恰有一件次品”为事件B,则A.P(A)=P(B)B.P(A)P(B)D. 无法确定错解每次任取1件,取出后不放回地(或有放回地)连续抽取两次,所有可能的结果是(a1,b1),(b,a1),(a2,b),(b,a2),(a1,a2)共6个基本事件;取出的2件恰有一件次品的事件B包含的结果是(a1,b),(a2,b),(b,a1),(b,a2),共4个基本事件.所以P(A)=P(B)=46=23,选A.剖析本题错在混淆“每次取出后不放回”与“每次取出后放回”. 从3件产品中不放回地抽取2件和有放回地抽取2件的基本事件都不是很大,可以一一列举出来.正解(1)每次任取1件,取出后不放回地连续抽取两次,所有可能的结果是(a1,b),(b,a1),(a2,b),(b,a2),(a1,a2),(a2,a1),共6个基本事件;取出的2件恰有一件次品的事件A包含的结果是(a1,b),(a2,b),(b,a2),(b,a2),共4个基本事件.所以(2)有放回地连续抽取两次,所有可能的结果是(a1,b),(b,a1),(a1,a1),(a2,b),(b,a2),(a2,a2),(a1,a2),(a2,a1),(b,b)共9个基本事件.取出的2件恰有一件次品的事件B包含的结果是(a1,b),(a2,b),(b,a1),(b,a2),共4个基本事件.所以P(B)=49.所以P(A)>P(B),选C.五、未能正确判断事件的关系,导致概率计算错误例5同时抛掷两枚质地均匀的骰子,求至少有一个5点或6点的概率.错解抛掷两枚骰子,基本事件的总数为36.记一枚出现5点为事件A,一枚出现6点为事件B,事件A与事件B包含的基本事件都为11种情形.而事件A与事件B是互斥事件,由古典概型的概率公式,所求的概率P(A∪B)=P(A)+P(B)=1136+1136=1118.剖析错解的原因在于:误判事件A与事件B是互斥事件.事实上这里事件A与事件B可以同时发生,不是互斥事件.正解同时抛掷两枚骰子,可能出现的结果如下表.。

古典概型例题及解析

古典概型例题及解析

古典概型例题及解析
摘要:
1.概论古典概型
2.古典概型的性质与运算
3.例题解析
4.总结
正文:
一、概论古典概型
古典概型是概率论中的一个基本概念,主要用于描述随机试验的结果。

古典概型假设每个试验的结果都是等可能的,即每个结果的概率相等。

古典概型可以应用于各种实际问题,例如掷骰子、抽取扑克牌等。

二、古典概型的性质与运算
1.性质
古典概型的性质主要体现在以下几点:
(1)每个结果的概率相等。

(2)所有可能结果的概率和为1。

(3)任意两个结果的概率和可以表示为它们交集的概率。

2.运算
古典概型的运算主要包括加法和乘法。

(1)加法:对于两个古典概型A 和B,若它们是互斥的,即A 和B 没有相同的结果,则A 和B 的并集的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)。

(2)乘法:对于两个古典概型A 和B,若它们是独立的,即A 的结果不影响B 的结果,则A 和B 的交集的概率为P(A∩B)=P(A)P(B)。

三、例题解析
例题:一个袋子里有3 个红球和2 个绿球,从中随机抽取一个球,求抽到红球的概率。

解析:这是一个典型的古典概型问题。

根据古典概型的性质,抽到红球的概率为红球的个数除以总球数,即P(红球)=3/(3+2)=3/5。

四、总结
古典概型是概率论中的一个基本概念,它具有一些基本的性质和运算规律。

通过理解古典概型的概念和运算,我们可以解决许多实际问题。

古典概型与几何概型中的易错题型归类辨析

古典概型与几何概型中的易错题型归类辨析

古典概型与几何概型中的易错题型归类辨析
吴继敏
【期刊名称】《中学生数理化:高二数学、高考数学》
【年(卷),期】2022()5
【摘要】在概率学习中,不少同学因对概念理解不清,对题意理解不透等原因而出错。

本文针对同学们学习时易混淆的概念进行归纳总结,希望能对同学们有所帮助。

一,
古典概型中的易错题型辨析1.古典概型中忽视事件发生的等可能性。

例1任意抛
掷两次骰子,计算:(1)出现的点数相同的概率;(2)出现的点数之和为奇数的概率。

【总页数】2页(P32-33)
【作者】吴继敏
【作者单位】江苏省宜兴第一中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
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古典概型的六大易错点辨析

古典概型的六大易错点辨析

古典概型的六大易错点辨析“古典概念”作为教育理论中一个重要的经典仍然受到众多学者和教育家的重视。

从这一古老概念中,学者们总结出六大易错点,这些易错点主要包括:投射认知、年作用互补、连续性、普遍性、逻辑性和触觉速度。

首先,将投射认知定义为一种误解,也就是一个人将他或她的认知特征复制给他人。

投射认知易导致人们做错判断,从而彻底改变了原有的事实和真相。

例如,一个人可能把自己与別人做比较,排除自己认知上可能存在的差异。

其次,年作用互补是指一个人可以在同一情景中获得不同的体验,然后将这些体验总结成一种认知互补行为。

这种认知互补行为的一个典型例子是,一个人在社交场合中可以根据身边人的行为进行自我调整。

第三,连续性则是指,一个人只有经过积极的交流和探索,他的认知才会形成持久的进展,并且在他获取新知识的前提下,原有的知识可以总结为一个完整的体系。

再者,普遍性一词指出一个人将自己认知特征普遍地应用于每一种特定的情境中,这样,他就可以迅速地作出判断和做出决定,使自己的认知不受外部情况的影响。

此外,逻辑性则是指一个人在认知过程中,他可以运用逻辑推理,从而清楚地展现自己对问题的见解。

逻辑性有助于一个人在进行认知时理清因果,并且更好地理解某一类事物的本质。

最后,触觉速度是指一个人可以通过改变感官神经系统来提高自己的认知速度,使自己可以更快地做出正确的判断和推理。

这也表明,有效的学习和思考,必须时刻注意课程的反馈,并不断更新自己的知识链和观点。

总之,“古典概念”仍然是一个重要的经典,从中学者们总结出其六大易错点,即投射认知、年作用互补、连续性、普遍性、逻辑性和触觉速度,这些易错点对当今高等教育有着深远的影响。

只有运用这些。

例析古典概型中的几种经典问题

例析古典概型中的几种经典问题

ʏ查 霖在日常工作和现实生活中,有大量的随机事件的概率并不一定要通过大量的试验来得到,只要掌握了一些基本情况,就可以知道它们相应的概率,这就是最常见的古典概型㊂古典概型中主要有几种经典的实例:骰子(硬币)问题㊁摸球问题㊁抽数问题㊁格子问题等㊂下面就此举例分析,供大家学习与参考㊂一㊁骰子(或硬币)问题抛掷骰子问题和抛掷硬币问题一样,是古典概型中一种重要的模型㊂它的实质就是抛掷骰子(或硬币)n 次,那么对应的基本事件总数为6n (或2n),根据相应事件所对应的基本事件的个数,结合古典概型的计算公式求得对应的概率㊂例1 将一颗质地均匀的骰子(一种六个面分别标有1,2,3,4,5,6的正方体玩具),先后抛掷2次,则出现向上的点数之和为4的概率为㊂思路导引:根据抛掷骰子的总数确定古典概型中的基本事件总数,再结合抛掷2次出现向上的点数之和为4的事件的个数,进而利用古典概型的概率公式求解㊂基本事件的总数为6ˑ6=36,点数之和为4的可能结果为(1,3),(2,2),(3,1),共3种情况,所以所求概率P =336=112㊂答案为112㊂解法反思:抛掷骰子或抛掷硬币问题,关键是确定相关事件的个数㊂容易出错的地方是计算遗漏,如本题中的(1,3)和(3,1)是两种不同的结果,不能认为是一种结果㊂二㊁摸球问题摸球问题等同于抽签问题,关键是确定每次所摸的符合题目要求的球的可能结果㊂要注意所摸球的先后顺序和球的颜色与题目条件之间的关系,否则容易出错㊂例2 袋中有4个白球,3个黑球,从中连续任意取出2个球,且每次取出的球不再放回,求第2次取出的球是白球的概率㊂思路导引:本题的基本事件总数是从7个球中有次序地取出2个球的不同取法,即7ˑ6种取法㊂第2次取出的球是白球的可能结果是:若第一次取的是白球,那么第2次是从3个白球中再取出一球,若第一次取的是黑球,那么第2次是从4个白球中再取出一球㊂由题意可得,所求概率P ( 第2次取出的球是白球 )=4ˑ37ˑ6+3ˑ47ˑ6=47㊂解法反思:本题实质上也是抽签问题,按上述规则抽签,每人抽中白球的机会相等,且与抽签次序无关㊂在涉及与抽签及其相关事件时,都可以采用摸球问题的数学模型所对应的古典概型问题来分析与处理㊂三㊁抽数问题抽数问题可以根据条件加以分析,也可以结合排列与组合加以综合分析㊂解答这类问题,关键是确定所有的数的总个数,以及所满足条件的数的个数㊂如果利用排列与组合分析时,一定要注意两者分析时的一致性㊂例3 从1,2, ,9这9个数字中,随机抽取3个不同的数,则这3个数的和为偶数的概率是( )A.59 B .49C .1121D .1021思路导引:本题基本事件的总数是从9个数中有次序地取出3个数的不同取法,即基本事件总数是9ˑ8ˑ7=504㊂分析3个数的和为偶数的不同情况,确定所包含的基本事件个数,从而得到所求概率㊂基本事件的总数是9ˑ8ˑ7=504㊂这3个数的和为偶数33经典题突破方法高一数学 2023年5月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.的可能结果有四种情况:偶奇奇,共有4ˑ5ˑ4=80(种);奇偶奇,共有5ˑ4ˑ4=80(种);奇奇偶,共有5ˑ4ˑ4=80(种);偶偶偶,共有4ˑ3ˑ2=24(种)㊂所以所求概率P =80+80+80+24504=1121㊂应选C ㊂解法反思:本题实质上就是数的一种排列问题,抽出来的2个数所组成的两位数有次序关系,通过计算基本事件的总数以及所求事件的个数,从而得到所求的概率㊂四㊁格子问题格子问题也是一种常见的古典概型问题㊂解答这类问题,关键是确定对应的格子与相应的元素之间的填充关系,有时可以结合树状图㊁列举法加以分析与处理㊂例4 把3个不同的球投入3个不同的盒子内(每盒球数可以不限),计算:(1)无空盒的概率㊂(2)恰有一个空盒的概率㊂思路导引:本题的基本事件总数是把3个不同的球投入3个不同的盒子内的不同放法,题设条件是每盒的球数可以不限,即最多可以投入3个,最少可以投入0个,然后按要求计算出所求事件的个数,从而得到所求概率㊂基本事件的总数是把3个不同的球投入3个不同的盒子内的不同放法,第一个球的放法有3种可能,第二个球的放法也有3种可能,第三个球的放法还是有3种可能,则基本事件总数是3ˑ3ˑ3=27㊂设事件A = 无空盒 ,事件B = 恰有一个空盒 ,3个不同的球分别记为a ,b ,c ㊂(1)事件A 包含的可能结果为a b c ,a c b ,b ac ,b c a ,c a b ,c b a ,共有6种情况,所以P (A )=627=29㊂(2)第一个盒子是空盒的可能结果为( )(a )(b c ),( )(b )(a c ),( )(c )(a b ),( )(b c )(a ),( )(a c )(b ),( )(a b )(c ),共有6种情况,其他两个盒子是空盒的情况与第一个盒子一样,所以事件B 包含的基本事件个数是6ˑ3=18,所以P (B )=1827=23㊂解法反思:本题通过分析3个不同的球与3个不同的盒子之间的关系,计算出基本事件的总数,再根据题设条件,正确分析并列举出所求事件的个数,最后结合古典概型的概率公式求得结果㊂编者的话:在解答古典概型问题时,有时会直接涉及骰子(硬币)问题㊁摸球问题㊁抽数问题㊁格子问题等,有时会涉及与之相关的问题,解题的关键是合理构建对应的古典概率模型,借助古典概型的概率公式来分析与处理,从而实现问题的解决㊂1.连掷两次骰子分别得到点数m ,n ,则向量a =(m ,n )与向量b =(-1,1)的夹角θ>90ʎ的概率是( )㊂A.512 B .712 C .13 D .12提示:连掷两次骰子得到的点数(m ,n )的所有基本事件为(1,1),(1,2), ,(6,6),共36个㊂因为(m ,n )㊃(-1,1)=-m +n <0,所以m >n ,可知符合要求的事件为(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1), ,(5,4),(6,1), ,(6,5),共15个㊂故所求概率P =1536=512㊂应选A ㊂2.已知集合A ={2,3,4,5,6,7},B ={2,3,6,9},在集合A ɣB 中任取一个元素,则它是集合A ɘB 中的元素的概率为( )㊂A.23 B .35 C .37 D .25提示:依题意得A ɣB ={2,3,4,5,6,7,9},即这个试验的样本空间Ω中有7个元素㊂由A ɘB ={2,3,6},可知这个试验包含3个样本点㊂由古典概型的概率公式得所求概率为37㊂应选C ㊂作者单位:江苏省高邮市临泽中学(责任编辑 郭正华)43 经典题突破方法 高一数学 2023年5月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

人教版高中数学《古典概率》易错知识点整理汇总

人教版高中数学《古典概率》易错知识点整理汇总

人教版高中数学《古典概率》易错知识点整理汇总看清问题实质-----方能正确的解决问题初学古典概率问题由于没有掌握古典概率的两个重要特征,以及对概念、性质掌握模糊,常常出现下面的错误,下面就具体剖析。

一.分不清有序、无序产生错误例1、从3台甲型电脑和2台乙型电脑中任选两台,求两种品牌都齐全的概率。

错解:从5台中任取2台,所有结果有5×4=20(种),记事件A 为“一台为甲型另一台为乙型”,甲型从3台中取1台,乙型从2台中取1台,故事件A 所包含的基本事件数为3×2=6,所以.103206)(==A P 剖析:上面的解法由于没能分清有序还是无序,导致出现重复计数,所以出现了重复计算错误,其实,从5台中任取2台,按顺序(x ,y )记录结果,x 有5种可能,y 有4种可能,但(x ,y )和(y ,x )是相同的,所以试验的所有结果应是5×4÷2=10(种)。

正解:从5台中任取2台,所有结果有10245=⨯(种),记事件A 为“一台为甲型另一台为乙型”,甲型从3台中取1台,乙型从2台中取1台,故其包含的基本事件有3×2=6(种),所以.53)(=A P 例2、从甲、乙、丙三人中任选两名代表,甲被选中的概率为【 】 A 、21 B 、.31 C 、32 D 、1 错解:P (甲)=.3162= 故选B.剖析:基本事件总数求错,这是错把选出的两个人看成有序造成的,即将所有的基本事件看作6个,认为(甲、乙)与(乙,甲)是基本事件中的两种,事实上,(甲、乙)之间没有顺序,故这里的所有基本事件为(甲、乙)、(甲,丙)、(乙、丙),此处不分顺序。

正解:由上面分析知,基本事件共3个,甲被选中的事件有2个,依等可能性事件的概率的求法知,甲被选中的概率为P (甲)=32,故选C. 二.放回与不放回例3. 一个盒子里有点数分别为1,2,3,4的4张牌,有放回的连续抽取两次,求“两张牌点数之和不小于6的概率”。

求解古典概型常见错误剖析

求解古典概型常见错误剖析

求解古典概型常见错误剖析古典概型是概率论的基础之一,常被用于解决问题,但是在求解的过程中常常出现一些错误或者不严谨的地方,下面就对这些常见错误进行剖析和说明。

1.未考虑概率的加法原理在使用古典概型解决问题的时候,有时我们需要计算事件的概率,此时会出现一些容易犯的错误。

最常见的错误就是未考虑概率的加法原理。

概率的加法原理指的是:当两个事件没有交集时,它们同时发生的概率等于这两个事件发生的概率之和。

例如,一张扑克牌从52张扑克牌中任选一张牌,这个事件的概率是1/52。

如果现在想要求在两次抽牌中至少有一次抽到黑桃A的概率,应该用“1-不出黑桃A的概率”计算。

此时,不出黑桃A的概率为51/52,因此,至少有一次抽到黑桃A的概率为1-(51/52)×(51/52)=0.039,而不能简单地将1/52相加,得出0.038。

2.过度依赖对称性在一些有对称性的问题中,过度地依赖于对称性,容易导致错误的结果。

古典概型中常有对称性问题,如“在一张扑克牌中抽取两张牌,求两张牌的花色不同的概率”。

这个问题中,我们可能会觉得花色不同的情况只有两种:黑红、黑梅,因此概率为2/52。

但实际上,这个问题有更多种花色不同的情况,如红黑、红梅、红方、黑方、梅方等等,总共有C(4,2)×C(13,1)×C(13,1)=1326种情况,因此概率为1326/2,652=0.5。

3.未考虑再次选取的影响在一些问题中,一次选取后必须再次选取,其结果会对后续的选取有影响,但是我们常常会忽略这个因素。

例如,在一副52张扑克牌中,抽取4张牌,求其中3张牌是红桃的概率。

我们可能会认为,红桃共有13张,所以3张牌是红桃的概率为C(13,3)/C(52,4)=0.003,但实际上这个结果是不正确的。

因为要求3张牌是红桃,意味着第四张牌不能是红桃,而4张牌中第四张牌出现的概率为39/48。

因此,正确的计算方法是:C(13,3)×C(39,1)/C(52,4)=0.042。

古典概率模型错例分析

古典概率模型错例分析

随机变量的概率求法错例分析广东省陆丰市启恩中学(516500)林敏燕随机变量的概率求法是高考的一个重点与难点,在历年的高考中,客观题和主观题都有出现。

同学们在复习这部分内容里由于对概念的理解不够透彻,常常会犯一些错误。

本文把一些常见的错误分类展示出来,供同学们参考。

1 概念不清互斥事件,对立事件与相互独立事件是几个很重要的概念,学习时要把握它们的联系与区别.例1 若随机事件A ,B 发生的概率均不等于0,且()()()P A B P A P B +=+,则事件A,B 的关系是( )(A)A 与B 是互斥的;(B) A 与B 不是互斥的;(C)A 与B 是独立的;(D) A 与B 不是独立的错解:对任意的事件A,B,总有()()()()P A BP A P B P A B +=+-,由条件可知()0P AB =,故A,B 是互斥的,选(A). 错因分析与正解:如果A,B 是互斥的,则()0P AB =,反之却不成立.事实上,由()0,()0P A P B >>可知()()()P AB P A P B ≠,故A 与B 不是独立的,选(D).点评:要清楚事件互斥与事件独立的联系与区别,把握它们的定义是解题的关键之处.2.基本事件个数计算出错古典概率模型中概率的计算主要是排列组合数的计算,计算时一定要看清物品与组有没有编号,如“相同的小球”是指物品没有编号,“分成A,B 两组”是指组有编号等等.例2 8支蓝球队中有2个强队,先任意将这8个队分成两个组(每组4个队)进行比赛,这两个强队被分在同一组的概率是多少?错解: 8个队分成两个组有4484C C 种分法,两个强队被分在同一组有224264C C C 种分法,故两个强队被分在同一组的概率是2242644484314C C C P C C == 错因分析与正解:这是属于物品不同,组没有编号的排列组合问题. 事实上,8个队分成两个组有442842/C C A 种分法,这是因为组没有编号.从而两个强队被分在同一组的概率是22426444842237C C C P C C A == 点评:这类问题是同学们最容易犯的错误,组有编号和没有编号的组合数是不一样的.3.模型滥用古典概率模型是指试验中所有可能出现的基本事件只有有限个且每个基本事件出现的可能性相等的概率模型.运用时一定要注意模型的前提条件.例3 甲,乙两个围棋队各5名队员按事先排好的顺序进行擂台赛,双方1号队员先赛,负者被淘汰,然后负方的2号队员再与对方的获胜队员再赛,负者又被淘汰,一直这样进行下去,直到一方队员全被淘汰时,另一方获胜.假设每个队员的实力相当,试求甲方有四名队员被淘汰且最后战胜乙方的概率.错解:将问题转化为10个人坐座位,因为事先顺序已定,故从10个位置中选5个位置给甲有510C 种选法,而甲胜的情况是最后一个位置为甲的最后一人,倒数第二个位置为乙的最后一人,其余8个位置中选4个位置给甲的其余4人,共有48C 种选法,所以所求事件的概率是:48510518C P C == 错因分析与正解:错解基于古典概率模型的计算方法, 解决古典概率模型的概率问题,首先应判断可能出现的试验结果。

古典概率计算中常见的错误分析

古典概率计算中常见的错误分析

㊀㊀㊀解题技巧与方法137㊀数学学习与研究㊀2020 1古典概率计算中常见的错误分析古典概率计算中常见的错误分析Һ肖红梅㊀(吉林师范大学ꎬ吉林㊀四平㊀136000)㊀㊀ʌ摘要ɔ古典概率是概率学的重要组成部分ꎬ对古典概率的学习主要是关于它的计算问题ꎬ古典概型的计算问题在中学时期就已经出现.本文主要针对学生在古典概率计算中的易错点ꎬ进行错误分析ꎬ找到学生出问题的地方ꎬ希望对学生在古典概率的学习上能够有所帮助.ʌ关键词ɔ古典概率ꎻ样本空间ꎻ等可能ꎻ随机事件高中教科书中关于概率计算的问题包括两个部分ꎬ分别是古典概率与几何概率.本文主要通过列举实际的古典概率的计算问题ꎬ来对古典概率计算中常见的几个错误进行具体分析.一㊁古典概率的定义与公式对古典概率ꎬ首先是在假设随机现象所能发生的事件是有限的㊁互不相容的ꎬ并且是在每个基本事件发生的可能性相等的前提下进行的.事实上ꎬ古典概率的假想世界是不存在的.一般地ꎬ设在所有可能出现的基本事件范围内构成事件A的基本事件有N(A)个ꎬ总的基本事件个数是Mꎬ则出现事件A的概率是P(A)=N(A)Mꎬ这就是古典概率的计算公式ꎬ接下来我们通过几道经典的习题来分析一下学生常常出错的地方.二㊁样本空间的选择错误(一)基本事件数与基本事件总数不属于同一样本空间在古典概率的计算公式P(A)=N(A)M中ꎬN(A)ꎬM分别是一个样本空间中的事件A所含的基本事件数与基本事件总数ꎬ公式要求构成A的基本事件个数N(A)与基本事件总数M要属于同一个样本空间ꎬ如果N(A)ꎬM在两个不同的样本空间ꎬ那么就会产生错误ꎬ为了便于我们的理解ꎬ来看下面两道例题.例1㊀某商店有24只灯泡ꎬ其中有4只是劣品ꎬ其余灯泡均可以正常发光ꎬ商店老板在这些灯泡中每次任取1只ꎬ取完后不放回ꎬ连续取3次ꎬ问取出的灯泡中恰好有一个是劣品的概率P(A).错解分析㊀情况一:因为灯泡是一个一个取出来的ꎬ所以所有可能的取法与3次取得的顺序是有关联的ꎬ所以总的样本空间为Ω1=P324ꎬ由此就得到了错误答案:P(A)=C14C220P324.情况二:因为求的是取出来的3只灯泡中只有1只是劣品的概率ꎬ而不关心是哪一次取出来的ꎬ所以就没有顺序问题ꎬ总的样本空间为Ω2=C324ꎬ由此得到错误答案P(A)=P13(C14C220)C324.此题的样本空间有两种取法ꎬ分别是有序与无序.产生这两种错误情况的原因是分子与分母分别在两个不同的样本空间中ꎬ也就是分子与分母的计算方法不同ꎬ导致出错.正确解答㊀此题的正确答案为P(A)=P13(C14C220)P324(有序)或P(A)=C14C220C324(无序).(二)样本空间中的样本点不是等可能的古典概率的定义规定了古典概率要在假设事件发生的结果是有限的㊁等可能的前提下进行的ꎬ如果忽略这一点就会得到错误答案.所以学生在做题时一定要注意ꎬ所选择的样本空间的样本点一定是等可能的.例2㊀某人一次掷两个骰子ꎬ求此人掷出的骰子数之和是偶数的概率P(A).错解分析㊀学生可能认为一次试验后所有可能的结果有三种ꎬ分别是骰子数全部是奇数㊁全部是偶数和一奇一偶ꎬ由此得到错解P(A)=23.事实上ꎬ骰子数全为奇数㊁全为偶数和一奇一偶三种基本事件发生不是等可能的ꎬ全为奇数和全为偶数的概率都是14ꎬ而出现一奇一偶的概率是12ꎬ不符合古典概率的假设条件ꎬ所以就不能再运用古典概率的公式来解答ꎬ因此ꎬ导致出现错误.正确解答㊀记(aꎬb)为一次掷两个骰子的结果ꎬ其中a代表第一个骰子出现的点数ꎬb代表第二个骰子出现的点数ꎬa或b可取的值为1ꎬ2ꎬ ꎬ6ꎬ所以基本事件空间为6ˑ6=36ꎬ事件A所包含的基本事件数为3ˑ3+3ˑ3=18ꎬ由此所求概率P(A)=1836=12.三㊁常用的术语理解错误学生在学习古典概率问题时ꎬ经常会遇到 至多 至少 不少于 不超过 都 不都 都不 才是 等术语ꎬ这些词都是解决问题的关键ꎬ只有正确地把握住这些词的语境ꎬ才能将题目做正确.例3㊀口袋中一共有10个球ꎬ其中白球8个ꎬ黑球2个ꎬ从中依次不放回地取出3个球ꎬ求第三个球是黑球的概率P(A).㊀错解分析㊀通过审题可以知道要从口袋中依次不放回地取出3个球ꎬ所以与取球的先后顺序有关联ꎬ因此ꎬ总的事件空间为M=P310ꎬ但如果不能很好地理解此题中的关键词ꎬ就很容易理解成就第三个球是黑球ꎬ导致出错ꎬ得到错误答案P(A)=C12P28P310.正确答案㊀第三个球是黑球的取法有C12种ꎬ而第一㊁二个球要从剩下的9个球中去取ꎬ所以可能的取法有P29种ꎬ因此ꎬ得到正确答案P(A)=C12P29P310.四㊁概念混淆错误学生在刚接触概率时ꎬ常常会把 频率 当作 概率 来进行计算ꎬ导致出错.频率是在多次试验中某一事件出现的次数与试验总数的比值ꎬ概率是某一事件所固有的性质.频率是变化的ꎬ概率是稳定值ꎬ不变的.例4㊀抛三次硬币ꎬ求只出现两次正面的概率P(A).错解分析㊀审完题之后很多人可能认为进行三次试验ꎬ有两次试验是正面ꎬ所以就会得到错误答案P(A)=23ꎬ这是因为做题者误将频率当成了概率.正确答案㊀抛三次硬币ꎬ总的基本事件空间Ω={(正ꎬ正ꎬ正)ꎬ(正ꎬ正ꎬ反)ꎬ(正ꎬ反ꎬ正)ꎬ(反ꎬ正ꎬ正)ꎬ(正ꎬ反ꎬ反)ꎬ(反ꎬ正ꎬ反)ꎬ(反ꎬ反ꎬ正)ꎬ(反ꎬ反ꎬ反)}ꎬ共8个基本事件ꎬ事件A={(正ꎬ正ꎬ反)ꎬ(正ꎬ反ꎬ正)ꎬ(反ꎬ正ꎬ正)}ꎬ共3个基本事件ꎬ所以由古典概率计算公式可知P(A)=38.五㊁小㊀结通过以上的错误分析ꎬ可以知道ꎬ我们在处理古典概率的计算问题时ꎬ可以从以上几个方面进行着手ꎬ做题并检验.值得注意的是本文提到的这几个错误ꎬ仅仅是学生在古典概率计算中常见的出错点ꎬ并不代表全部ꎬ所以在遇到具体问题时ꎬ我们要进行具体分析.ʌ参考文献ɔ[1]贾明斌ꎬ颜景佐.古典概率计算问题中的常见错误分析[J].山东电大学报ꎬ2005(1):59-60.[2]赵曹荣.概率计算中的常见错误及错因分析[J].中国数学月刊ꎬ2008(9):46-47.[3]刘金.古典概型计算中的常见错误及分析[J].数学通讯ꎬ2008(14):34-35.[4]易同茂.古典概率计算中常出现的错误及分析[J].长江工程职业技术学院学报ꎬ1998(3):34-35.。

古典概型中的一个易错问题

古典概型中的一个易错问题

古典概型中的一个易错问题例1.对于古典概型概率的求法,只要求出基本事件总数和事件A包含的基本事件个数就行了。

困难在于确定基本事件,使之具有有限性和等可能性。

判断等可能性是被许多人忽略,又使许多人感到困惑的问题,要做好这一点,需要严谨的思维,切忌想当然。

本文就是对这类问题出现的错误归类予以剖析,以期引起大家的注意。

例2.一个家庭有两个小孩,求他们中至少有一个女孩的概率。

错解:样本空间:两个女孩或两个男孩或一男一女,用A表示“至少有一女孩”这一事件,则Ω={男,男,男,女,女,女}A={男,男,男,女}∴PA=23解析:上述解法在考虑样本空间时,两个女孩或两个男孩或一男一女发生的可能性不相等。

古典概型中,PA=A包含基本事件的个数基本事件的总数仅当所述的试验结果是等可能时才成立。

两个女孩只可能是(女,女),但有一女孩的情况有(男,女),(女,男)两种情况,所以Ω={男,男,男,女,(女,男),女,女}A={男,女,女,男,(女,女},∴PA=34例2设袋中有4只白球和2只黑球,现从袋中无放回地摸出2只球,(1)求这两只球都是白球的概率;(2)求这两只球中一只是白球一只是黑球的概率。

错解1:一次摸出2个球,观察结果的颜色只能有(白,白),(白,黑),(黑,黑)三种情况,即Ω={白,白,白,黑,(黑,黑)}。

(1)用A表示“两只球都是白球”这一事件,A={白,白},所以PA=13(2)用B表示“两只球中一只是白球一只是黑球”这一事件,B={白,黑},所以PB=13错解2:从袋中无放回地摸出2只球,第一次有6种摸法,第二次有5种摸法,共有65215⨯÷=种可能结果,(1)用A表示“两只球都是白球”这一事件,则A事件共有4326⨯÷=种可能结果,所以PA=25(2)用B表示“两只球中一只是白球一只是黑球”这一事件,则B事件共有4224⨯÷=种可能结果,所以PB=2 15解析1:在上述错解1中(白,白),(白,黑),(黑,黑)三种结果出现不是等可能的。

专题27 古典概型和几何概型-高中数学经典错题深度剖析及针对训练

专题27 古典概型和几何概型-高中数学经典错题深度剖析及针对训练

3 1 b b 2 1 b b【标题 01】忽略了对数函数中底数的范围【习题 01】先后抛掷两枚骰子,出现的点数分别记为 a , b ,则事件log a 2= 1b b 发生的概率为 .【经典错解】 log a 2 = 1∴ 2 = a ∴b = 2a ,根据题意得试验的全部结果有6⨯ 6 = 36 个基本事件,事件blog a 2 = 1 包含的基本事件有 a = 1, b = 2或a = 2, b = 4或a = 3,b = 6 ,共 3 个.由古典概型的概率公式得 P ( A ) = = ,故填 1 .36 12 12【详细正解】 log a 2 = 1∴ 2 = a ∴b = 2a ,根据题意得试验的全部结果有6⨯ 6 = 36 个基本事件, ba > 0 且a ≠ 1 所以事件log a 2 = 1 包含的基本事件有 a = 2,b = 4 和 a = 3,b = 6 共 2 个.由古典概型的 概率公式得 P ( A ) = = ,故填 1 .36 18 18 【习题 01 针对训练】先后抛掷两枚骰子,出现的点数分别记为 a ,为 .= = b ,则事件log a 2≥ 1 发生的概率 【标题 02】事件 A 构成的区域找错了【习题 02】在半径为 1 的圆周上有一定点 A ,以 A 为端点连一弦,另外一端点在圆周上等可能的选取,则 弦长超过 1 的概率为 .【经典错解】如图所示, AB = OA = OB = 1 ∴∠AOB = π ,当点 B 在优弧 AB 上时,弦长超过 1,根3 330 11 11 据几何概型的概率公式得 P .故填 . 360 12 12【详细正解】如图所示,AB = OA = OB = OC = AC = 1== ∴∠AOB=∠AOC=π,当点B在优弧B C上3240 2 2时,弦长超过1,根据几何概型的概率公式得P .故填.360 3 3【深度剖析】(1)经典错解错在事件A 构成的区域找错了. (2)错解错在寻找事件A 构成的区域时,只顾及了一边,忽略了另外一边.所以在寻找事件A 的全部结果构成的区域时,要考虑周全,不能受习惯思维的影响.【习题 02 针对训练】有一长、宽分别为50m 、30m 的游泳池,一名工作人员在池边巡视,某时刻出现在池边任一位置的可能性相同.一人在池中心(对角线交点)处呼唤工作人员,其声音可传出15 2m ,则工作人员能及时听到呼唤(出现在声音可传到区域)的概率是()3 3A.B.4 83C.D.16106 4 12 + 3π32【标题 03】对组合数实际意义理解不清【习题03】甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有 10 个不同的题目,其中选择题 6 个,判断题 4 个,甲、乙依次各抽一题.求甲抽到选择题,乙抽到判断题的概率是多少?【经典错解】甲从选择题抽到一题的结果为C 1 ,乙从判断题中抽到一题的结果为C 1 ,而甲、乙依次抽到一题的结果为C 26 4 C 1C 1∴所求概率为 6 4 2 10 【详细正解】甲从选择题抽到一题的结果为C 1 ,乙从判断题中抽到一题的结果为C 1 ,而甲、乙依次抽到一1 1 C 1C 1 4 题的结果为C C ∴所求概率为 6 4 = . 10 9C = 8 15C1C11510 9【习题03 针对训练】一纸箱中放有除颜色外,其余完全相同的黑球和白球,其中黑球 2 个,白球 3 个. (1)从中同时摸出两个球,求两球颜色恰好相同的概率;(2)从中摸出一个球,放回后再摸出一个球,求两球颜色恰好不同的概率.【标题04】“事件的全部结果”和“事件A 的全部结果”对应的区域找错了π【习题04】在∆ABC 中,∠ABC =,AB =36, BC =3,若在线段BC 上任取一点D ,则∠BAD 为锐角的概率是.3【经典错解】在∆ABC 中,由余弦定理得AC =90 3. 又由余弦定理得∠BAC = 1200 ,所以∠BAD 为锐角的概率是=.120 4【详细正解】当∠BAD=900 时,BD = 2 ,所以∠BAD 为锐角的概率是BD=2. BC 3【习题04 针对训练】在Rt∆ABC 中,∠A = 300 ,过直角顶点C 作射线CM 交线段AB 于M ,使| AM |>| AC | 的概率是.【标题 05】“试验的全部结果构成的区域”和“事件 A 的全部结果构成的区域”理解错误S【习题 05】在面积为S 的∆ABC为.的边AB 上任取一点P ,则 PBC 的面积大于4S【经典错解】由题得试验的全部结果构成的区域是如图所示的∆ABC ,事件“ ∆PBC 的面积大于49S部结果构成的区域是如图所示的∆ADE ,根据几何概型概率的公式得P =16 =9 S 16⎨ 9,故填.16【详细正解】由题得试验的全部结果构成的区域是如图所示的线段AB ,事件“ ∆PBC 的面积大于S”的43全部结果构成的区域是如图所示的线段AD ,根据几何概型概率的公式得P =4 =31 43,故填.4【深度剖析】(1)经典错解错在“试验的全部结果构成的区域”和“事件 A 的全部结果构成的区域”理解错误. (2)在做概率题时,一定要认真审题,弄清“试验的全部结果构成的区域”和“事件 A 的全部结果构成的区域”.⎧0 ≤x ≤ 2,【习题 05 针对训练】设不等式组⎩0 ≤y ≤ 2 标原点的距离大于2 的概率是(),表示平面区域为D ,在区域D 内随机取一个点,则此点到坐πA.B.4π- 2 πC.2 64 -πD.4【标题06】考虑问题不周全没有分类讨论【习题 06】在∆ABC 中,∠ABC = 600 , AB = 2, BC = 6 ,在BC 上任取一点D ,则使∆ABD 为钝角三角形的概率为()1 1A.B.6 31 2C.D.2 3【经典错解】由题意得,过A 作AF ⊥AB ,则BF = 2 AB = 4 ,CF = 6 - 4 = 2 ,若使得∆ABD 为钝角FC 1三角形,则D 在线段FC 上,所以对应的概率为P ==,故选B .BC 3【详细正解】(1)当∠BAD 为钝角时,由题意得,过A 作AF ⊥AB ,则BF = 2 A B = 4 ,CF = 6 - 4 = 2 ,若使得∆ABD为钝角三角形,则D在线段FC 上;(2)当∠BDA为钝角时,过点A作AE ⊥BC ,则1BE =3π3π 6 AB = 1 , 若使得 ∆ABD 为钝角三角形, 则 D 在线段 BE 上. 故由几何概型的概率公式得2FC + BE 2 +1 1P == = .故选C .BC 6 2【习题 06 针对训练】向顶角为1200的等腰三角形 ABC (其中 AC = BC )内任意投一点 M , 则 AM 小于 AC 的概率为( ) 1 πA .B .C .D .3923【标题 07】审题错误导致把几何概型看成了古典概型【习题 07】设关于 x 的一元二次方程 x 2 - 2ax + b 2= 0 .(1)若 a , b 都是从集合{1, 2, 3, 4}中任取的数字,求方程无实根的概率;(2)若 a 是从区间[0, 4] 中任取的数字, b 是从区间[1, 4] 中任取的数字,求方程有实根的概率. 【经典错解】(1)设事件 A 为“方程无实根”,记(a , b ) 为取到的一种组合,则所有的情况有:(1,1),(1, 2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).一共 16 种且每种情况被取到的 可能性相同.∵关于 x 的一元二次方程 x 2 - 2ax + b 2 = 0 无实根,∴ ∆ = 4a 2 - 4b 2< 0a > 0,b > 0∴ a < b .∴事件 A 包含的基本事件有:(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4).共 6 种 ∴ P ( A ) = = 316 83∴方程无实根的概率 .8(2)∵关于 x 的一元二次方程 x 2 - 2ax + b 2 = 0 有实根,∴ ∆ = 4a 2 - 4b 2≥ 0 ,a > 0,b > 0 ∴ a ≥ b .设事件 B 为“方程有实根”,记(a , b ) 为取到的一种组合,则其包含的基本事件有:(1,1),(2,1),(2, 2 )(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).一共 10 种且每种情况被取到的可能性 相同.10 5 ⎨⎩∴ P ( A ) = = 所以方程有实根的概率是 5 .16 8 8【详细正解】(1)同上(2)设事件 B =“方程有实根”,记(a , b ) 为取到的一种组合.∵ a 是从区间[0, 4] 中任取的数字, b 是从区间[1, 4] 中任取的数字, ∴点(a , b ) 所在区域是长为 4,宽为 3 的矩形区域. 又∵满足 a ≥ b 的点的区域是如图所示的阴影部分1⨯ 3⨯ 3 ∴ P (B ) = 2 = 3 . ∴方程有实根的概率是 3.3⨯ 4 88【习题 07 针对训练】已知关于 x 的二次函数 f (x ) = ax 2- 4bx +1.(1)设集合 A = {-1,1,2,3,4,5} 和 B = {-2,-1,1,2,3,4} ,分别从集合 A , B 中随机取一个数作为 a 和b ,求 函数 y = f (x ) 在区间[1,+∞) 上是增函数的概率.⎧x + y - 8 ≤ 0(2)设点(a ,b ) 是区域⎪x > 0, ⎪ y > 0 内的随机点,求函数 f (x ) 在区间[1,+∞) 上是增函数的概率.【标题 08】审题不清把总事件没有理解清楚 【习题 08】有一个半径为 4 的圆,现在将一枚半径为1的硬币向圆投去,如果不考虑硬币完全落在圆外的情况,则硬币完全落入圆内的概率为.【经典错解】由题得此概型为几何概型,所有结果组成的区域是以原点为圆心,以 4 为半径的圆,事件 A 9π9的所有结果构成的区域是以原点为圆心,以 3 为半径的圆,所以由几何概型的定义得 P ==.16π 16【详细正解】由题得此概型为几何概型,所有结果组成的区域是以原点为圆心,以 5 为半径的圆,当硬币 和圆外切时,也是满足题意的,它不是完全落在圆外,因为此时两圆有公共点),事件A 的所有结果构成的 9π 9区域是以原点为圆心,以 3 为半径的圆,所以由几何概型的定义得 P ==.25π25【深度剖析】(1)经典错解错在审题不清,把总事件没有理解清楚. (2)学习数学,必须养成严谨认真细心的学习习惯,审题必须认真,错解就是审题不清,导致的错误.【习题 08 针对训练】甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头,它们在一天二十四小时内到达该码 头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为 1 小时,乙船停泊时间为 2 小时,求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率.【标题 09】对随机模拟求近似值原理理解不清【习题 09】从区间[0,1] 上随机抽取 2n 个数 x 1 , x 2 , , x n , y 1 , y 2 , , y n ,构成n 个数对(x 1, y 1 ) ,(x 2 , y 2 ) ,, (xn , yn) ,其中两数的平方和小于1的数对共有m 个,则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为A.4nm.B.2nmm C.4mnD.mn【经典错解】由题得圆周率 的近似值为⎩ ⎪ ⎩ .所以选择 D .n ⎧0 ≤ x ≤ 1【详细正解】由题得数学试验的全部结果表示为⎨0 ≤ y ≤ 1,它们构成的是边长为 1 的正方形,事件 A 的 ⎧0 ≤ x ≤ 1 全部结果表示为⎨0 ≤ y ≤ 1 ⎪x 2 + y 2 < 1 1,它们构成的是 个单位圆,它是分布在第一象限的扇形. 根据古典概型和几 4何概型的概率公式得 S扇形 = m S 正方形 n4m1 π 12 = 4 = m 12 n ∴π= . 所以选择C . n 【习题 09 针对训练】某同学动手做实验:《用随机模拟的方法估计圆周率的值》,在左下图的正方形中随机 撒豆子,每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的,若他随机地撒50 粒统计得到落在圆内的豆子数为39 粒,则由.此.估.计.出的圆周率π的值为 .(精确到0.01 )高中数学经典错题深度剖析及针对训练。

古典概型中的两个易错问题

古典概型中的两个易错问题

古典概型中的两个易错问题李娜张艳古典概型中的许多问题看似很简单,不学概率知识就能“理所当然”地得出答案,但实际上,有些答案往往是错的。

下面就两类易犯错误加以剖析。

一.等可能性的忽视。

古典概型的特点:(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;(2)每个基本事件出现的可能性相等。

例1:先后抛掷2枚均匀的硬币,求出现“一枚正面、一枚反面”的概率。

错解:基本事件为“2枚正面”、“2枚反面”、“一枚正面、一枚反面”共3个,设事件A=“一枚正面、一枚反面”,则事件A包含1个基本事件,()1 3P A∴=。

剖析:古典概型中()P A=(A包含的基本事件的个数)/(基本事件的总数),仅当所述的试验结果是等可能的时才成立。

事实上,基本事件为“正正”、“正反”、“反正”、“反反”共4个,事件A包含“正反”、“反正”2个结果。

()21 42P A∴==。

例2:设袋中有4只白球和2只黑球,现从袋中无放回的依次摸出2只球,求这两只球都是白球的概率。

错解:依次摸出2个球,共有“白白”、“白黑”、“黑黑”3个基本事件。

设事件A=“两只都是白球”只包含“白白”一个基本事件,()1 3P A∴=。

剖析:“白白”、“白黑”、“黑黑”这3个事件不是等可能的。

正确解法1:4个白球分别标上1、2、3、4号,2个黑球分别标上5、6号,则基本事件为“1、2”“1、3”,“1、4”,“1、5”,“16”,“2、3”,“2、4”,“2、5”,“2、6”,“3、4”,“3、5”,“3、6”,“4、5”,“4、6”,“5、6”,共15个,事件A=“1、2”,“1、3”,“1、4”,“2、3”,“2、4”,“3、4”,包含5个基本事件,()62 155P A∴==。

正确解法2:此题也可将两次摸球,一次一次地考虑,设iB={第i次摸到白球}(i=1,2),则()()()()1212432 665P A P B B P B P B==∙=⨯=。

二.有序与无序的混淆。

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概率论中常见古典概型错题辨析
陈朝霞1 , 杨雨慧2
( 1 南京农业大学 理学院 , 江苏 南京 基础课部, 江苏 210095; 南京 210016) 2 南京工业职业技术学院

要 : 古典概型是概率论教学中的难点之一 , 针对古典概型 分析中易出 现的错解 , 按非等 可能性 、 样本 空间不 一 、
例 3 : 考试时共有 N 张考签, n 个学生参加考试 ( n N ) , 每人随机抽取一张考签, 被抽过的考签立 即放回, 求在考试结束之后, 至少有一张考签没有被 抽到的概率。 有些学生认为 n 名考生可从 N 张签中任意地 重复抽取 , 所以样本空间中基本事件总数为 N 。设 事件 A = { 考 试结束 后至 少有 一张 考签没 有被 抽 到} , 事件 B = { 考试结束后每张考签都被抽到 } 。现 按两步来计算事件 B 的基本事件数 , 第一步, 从 n 个考生中任取 N 名 , 令其各抽一张不相同的考签 , 有 CN n ! 种方法 ; 第二步, 让余下 的 n - N 名考生 在 N 张考签中任意地重复抽取 , 有 N n - N 种方法。所以由 n- N 乘法原理知事件 B 含有 CN 个基本事件数, n N! N 从而 事 件 A 的 概 率 为 P ( A ) = 1 - P ( B ) = n- N CN n N! N 。 Nn 这个解法是错误的。事实上 , 事件 B 的概率计 算错了 , 现以 4 个学生 3 张考签为例来说明错解原 因。如果第一步让第 1、 2、 3 名学生依次抽取第 1、 2、 3 号考签, 第 2 步让第 4 名学生取 3 号考签; 再如第 一步取 1、 2、 4 名学生依次取第 1、 2、 3 号考签 , 第二 步让第 3 名学生取 3 号考签 , 如图 1 所示。 1 2 3 4 1 2 4 3
这是一个错解。因为 P 5 12 是第一个样本空间的
1 基本事件总数, 而 C 4 6 C 6 是事件 A 在第二个样本空
间中所含的基本事件数 , 它们不属于同一个样本空 间 , 所以本题的正确解是: P ( A ) =
1 C4 6 C6 5 或 P (A ) = C 12
收稿日期: 2004 07 21 作者简介: 陈朝霞 ( 1976 ) , 女 , 江苏海门人 , 南京农业大学助教 , 2003 级南京农业大学硕士研究生。
k = u
题的正解是 : P ( A ) =
A 中所包含的基本事件数 。在 古典概型 学习中 , 大 基本事件总数 家都能熟记公式, 但是在具体解题时 , 往往解错了, 也不知道错在哪里。本文对常见的几种错解类型进 行一些辨析。
2 事件的基本事件数与基本事件总数 不属同一样本空间所造成的错解
在同一个古典概率题中, 只要保持基本事件的 等可能性, 样本空间可以有不同的取法 , 但计算时 , 基本事件数和基本事件总数一定要在同一个样本空 间中, 否则就会产生错解。 例 2: 将大小相同的 6 个白球、 6 个黑球从袋中 一个接一个地取出 5 个 , 试求所取的 5 个球中恰有 4 个白球的概率。 设事件 A = { 所取的 5 球中恰有 4 个白球} 。 由于 5 个球的取法与先后顺序有关 , 所以样本 空间中共有 P 5 12 个基本事件。另外 , 由于题中关心所 取的 5 个球中有几个白球, 而并不关心这几个白球 是在哪几次取出的。因此可以用组合方式构成另一 个样本空间 , 显然其中共有 C 12 个基本事件。有些学 生把事件 A 的概率解为 P ( A ) = C6C6 5 。 P 12
事件重复 、 排列组合混淆等方面进行一一辨析 , 从而有助于古典概型的学习 。 关键词 : 事件 ; 古典概型 ; 辨析 中图分类号 : O211 文献标识码 :
3 4 C2 4+ C 4+ C 4 11 。 1 2 3 4= 16 C0 4+ C 4+ C 4+ C 4+ C 4
古 典 概 率 的 计 算 公 式 是: P ( A ) =
1 2
( 1 Nanjing Agricultural University , Nanjing 210095, China; 2. Nanjing Institute o f Industry T echnology , Nanjing 210016, China ) Abstract: Classical probability type is diff icult in teaching of probability theory. This paper analyzes common problems in classical probability according to unequal probability, non uniform of sample space, process duplicat ion, confusion of per mutation and combination in order to help the study of classical probability. Key words: process; classical probability type; analysis ( 责任编辑种取法。故事件 A 含有 C 2 C 4 C 2 个基本事 1 1 C1 2C4 C2 。 4 C6 由上述解知, 样本空间中基本事件是由组合方
件 , 所求的概率为 : P ( A ) =
法构成的。其中基本事件与 球取出的 先后顺序 无 关。但在上述解中把 第二步取得一个黄球 , 第三取 得一个白球 与 第二取得一个白球, 第三步取得一 个黄球 这类仅有部分顺序差异的结果, 视为不同的 基本事件, 这是一类在组合计算中混进了排列所造 成的错解。本题的正确解是: P( A ) =
第 4 卷第 3 期 2004 年 9 月
南 京工 业 职业 技术 学院 学报 Journal of Nanjing Institute of Industry Technology
Vol. 4, No. 3 Sep. , 2004
文章编号 : 1671 4644( 2004) 03 0086 03
图 1 抽签次序图
n
4
组合中混杂排列所造成的错解
由于这类错误在学生中犯得较多 , 因此特地把
它从基本事件重复所造成的错解中区分出来。 例 4: 袋中有红、 黄、 白三种颜色的球各 2 个 , 从 中任取 4 个球 , 试求恰得 2 个红球和 2 个其它不同 颜色的球的概率。 设事件 A = { 所取的 4 个球中恰有 2 个红球和 2 个其它不同颜色的球 } 。样本空间的基本事件总数 是 C4 6 。为使所取的 4 个球中恰有 2 个红球和 2 个其 它不同颜色的球 , 有些学生分三步完成。第一步, 从 2 个红球中取 2 个红球 , 有 C 2 2 种取法 ; 第二步, 在余 下的黄、 白 4 球中取的一球 , 有 C 1 4 种取法 ; 第三步 , 去掉第二步所取的同色球后, 再在余下的球里取一
题中事件 A 的 某些基本事件被重复使用。本题的 正确解如下 : 设事件 A = { 第 i 号考签未被抽到 } ( i = 1, 2, N ) , 则 P ( A ) = P ( i= 1A i ) =
N n n
P ( Ai) i= 1
P ( A iAj ) +
1 i< j N
+ ( - 1) N- 1 P ( i= 1Ai ) =
1 1 C2 2C2 C2 。 C4 6
结果表明, 这两种取法都是样本空间的同一个 基本事件, 而我们学生在解题中把它看成了 2 个不 n- N 同的基本事件, 类似地在 CN 中包含许多这 n! N 种重复 , 所以事件 B 的基本事件被重复使用 , 从而 造成了错解。本题的另一种错解是 : P ( A ) =
1 + (- 1) N- 2 CNN
C1 N 1 + Nn
( N - 1) n ( N - 2) n - C2 + N n N Nn
应考虑排列 。例如, 2 张 A 点和 1 张 2 点这三张牌
88
南 京 工业 职 业技 术 学 院学 报
第 4卷第3 期
的取法 , 在考 虑顺序 的情形 之下有 以下 三种: ( A , A , 2) , ( A , 2, A ) , ( 2, A , A ) 。所以遗漏了基本事 件, 使 概 率 变 小。 本 题 的 正 确 解 是: P ( A ) = 13 12 3 。 133
n 2 n - 1 n C1 + CN N ( N - 1) + C N ( N - 2) + N ( N - (N - 1) ) Nn 从下面的正确解中, 不难发现这一错解的原因是解
5
遗漏基本事件所造成的错解
例 5: 从 13 张黑桃牌中有放回地 取 3 次, 试 求
A = { 所取的 3 张牌中恰有 2 张相同 } 的概率。 从 13 张黑桃牌中有放回地取 3 次 , 共有 133 种 取法 , 这是样本空间的基本事件总数。 A 所含的基 本事件数可按以 下方法数出 : 含两张 A 点的有 12 种 , 含两张 2 点的有 12 种, , 含两张 K 点的也有 12 种 , 故由加法原理知 , 事件 A 包含 13 12 个基 本事 件。所以事件 A 的概率为 : P ( A ) = 13 12 。 133 这个解法是错的。因为此解中遗漏 每三张牌
第 4 卷第 3 期
1 5 C4 6C6P 5 。 P5 12
陈朝霞 , 杨雨慧 : 概率论中常见古典概型错题辨析
N- 1
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0=
3
基本事件重复使用所造成的错解
( N - i) n i=1 Nn 这类错误不仅只在由排列方法构成的样本空间 (- 1) i- 1 CiN
中会产生, 而且在由组合方式构成的样本空间里, 解 得不当 , 也会发生这类错误。
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