广东省高一下学期期中数学试卷
广东省广州市禺山高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含简单答案)
广州市禺山高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷注意事项：1、本试卷分第1卷（选择题）和第2卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、考号、座位号、学校、班级等考生信息填在答题卡上．2、回答第1卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．3、回答第2卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第1卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知i 是虚数单位，复数，则的虚部为（）A. 1B. 2C. iD. 2. 已知条件，条件，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知角的终边过点(4，－3)，则＝( )A.B. C.D. 4. 如图，在中，是的中点，若，则实数的值是A.B. 1C.D.5. 若，，，则大小关系是（ ）的2i z =+i z ⋅2i:240p x ->2:560q x x -+<θcos()πθ-3535-4545-ABC ∆12AN AC P = ，BN 14AP mAB AC =+m 1412321.20.9a =0.91.2b = 1.2log 0.9c =,,a b cA. B. C. D. 6. 已知单位向量满足，则与的夹角为A.B.C.D.7. 沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）．在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的．已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时1小时．当上方圆锥中沙子的高度漏至一半时，所需时间为（ ）A.小时 B.小时 C.小时 D.小时8. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）A B. C. D. 二、多选题，本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9. 水平放置的的直观图如图所示，其中，，那么原是一个（ ）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 三边互不相等的三角形D.10. 的内角A ，B ，C 的对边分别为，则（ ）A. B. .a b c>>c b a >>b a c >>c a b>>,a b3a b +=a b 6π4π3π2π12783423()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩()22()f m f m ->m (2,1)-(,1)(2,)-∞-⋃+∞(,2)(1,)-∞-+∞ (1,2)-ABC V 1B O C O ''''==A O ''=ABC V ABC V π,,,2,3a b c a b A ===3c =sin B =C. D.外接圆的面积为11. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A. 函数的最小正周期为B. 函数的图象关于直线对称C. 函数图象向右平移个单位可得函数图象D. 若方程在上有两个不等实数根，，则．第2卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知，，则______．13. 已知中，，，，则__________．14. 圆锥被一平面所截得到一个圆台，若圆台的上底面半径为2cm ，下底面半径为3cm ，圆台母线长为4cm ，则该圆锥的侧面积为_______cm 2.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. 在中，角所对边分别为，，，且.（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若，，求的面积.16. 已知：向量．的的sin C =ABC V 7π3()()sin f x A x =+ωϕ0A >0ω>π2ϕ<()f x π()f x 5π12x =-()f x π62sin y x =()()R f x m m =∈ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1x 2x ()121cos 2x x +=π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭3sin 5α=sin 2α=ABC V 5a =8b =60C = BC CA ⋅=ABC V ,,A B C a b c 222a c b ac +=-B a =3b =ABC V (3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=（1）求；（2）求夹角的余弦值；（3）若，求实数值．17. 已知函数.（1）求的值；（2）判断函数在区间上的单调性，并用定义加以证明.18. 如图，在正四棱柱中，，是的中点.（1）求证：平面；（2）若正四棱柱的外接球的表面积是，求三棱锥的体积.19. 的内角，，的对边分别是，，，已知．（1）求；（2）若是锐角三角形，，求周长的取值范围．的a b c +-,a b()a kb c +∥k 1()2x f x x +=+[(1)]f f ()f x (2,)-+∞1111ABCD A B C D -12AA AD =M 1DD 1//BD MAC 24π1D MAC -ABC V A B C a b c sin cos c B b A =+B ABC V 3b =ABC V广州市禺山高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷简要答案第1卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】A二、多选题，本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．【9题答案】【答案】ABD【10题答案】【答案】ABD【11题答案】【答案】AB第2卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】##【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（Ⅰ）【16题答案】【答案】（1（2（3）【17题答案】【答案】（1）（2）函数在区间上单调递增，证明略.【18题答案】【答案】（1）证明略 （2）【19题答案】【答案】（1）（2）2425-0.96-20-36π120B ︒=59k =-58()f x (2,)-+∞433B π=(3,9⎤+⎦。
2023-2024学年广东省广州市高一下学期期中数学质量检测试题(含解析)
2023-2024学年广东省广州市高一下学期期中数学质量检测试题试题说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为150分，考试时间为120分钟．第一部分 选择题（共58分）一、单项选择题：本题包括8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．多选、错选均不得分．1．i 是虚数单位，若复数，则z 的共轭复数（ ）．6i 2i 1i z +=+z =A ．B ．C ．D ．13i 22-13i 22+13i 22-+31i 22-2．已知向量，向量在向量上的投影向量（ ）()()1,1,2,0a b =-= a b c = A ．B ．()2,0-()2,0C ．D ．()1,0-()1,03．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°(如图所示)，若将△ABC 绕直线BC 旋转一周，则形成的旋转体的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．92π72π52π32π4．年月日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵201892489士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在年，德国数学家黎曼向科1859学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个何题，并得到小于数字的素数个数大约可x 以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论，估计以内的素数个数为（ ）（素()πln xx x ≈10000数即质数，，计算结果取整数）lg e 0.43≈A ．B ．C ．D ．1079107543425005．在中，角对边为，且，则的形状为（ ）ABC ,,A B C ,,a b c 22cos 2Ac b c ⋅=+ABC A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形6．已知圆锥的底面圆周在球O 的表面上，顶点为球心O ，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球O 的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．32π37．已知平行四边形中，，，．若点满足，点ABCD 8AB = 4AD = π3A ∠=M 15AM MB = 为中点，则（ ）N AB ()DM DA DN ⋅+=A ．B ．C ．D ．61224308．是定义在R 上的偶函数，对，都有，且当时，()f x R x ∀∈(2)(2)f x f x -=+[2,0]x ∈-.若在区间内关于x 的方程至少有2个不同的1()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2,6]-()log (2)0(1)a f x x a -+=>实数根，至多有3个不同的实数根，则的取值范围是（ ）aA ．B ．C ．D ．(1,2)(2,)+∞二、多项选择题：本题包括3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9．已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）A ．，则()(),R,i 234i 2ix y x y y ∈++=-+5x y +=B ．3i 1i+>+C ．若，则复数z 对应的点位于第四象限2(1)i 2z =+D ．已知复数z 满足，则z 在复平面内对应的点的轨迹为圆|2i |3z -=10．下列说法中正确的有（ ）A ．设正六棱锥的底面边长为1B ．用斜二测法作△ABC 的水平放置直观图得到边长为a 的正三角形，则△ABC 2C ．三个平面可以将空间分成4，6，7或者8个部分D ．已知四点不共面，则其中任意三点不共线．11．给出以下命题正确命题的选项为（ ）A ．要得到的图象，只需将图象沿轴方向向左平移个单位cos 2y x =sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭x 12πB ．函数的最大值为2sin cos 36y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．定义运算，则且，设，,:,a a b a b b a b ≤⎧⊗⊗=⎨>⎩()sin f x x =()cos ()g x x x =∈R ()()()F x f x g x =⊗则的值域为()F x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．函数，当等时恒有解，则的范围是2()4sin4cos 1f x x x a =-++-2,43x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()0f x =a [4,5]-第二部分 非选择题（共92分）三、填空题：本题包括3小题，每小题5分，共15分．12．四边形ABCD 是复平面内的平行四边形，三点对应的复数分别是，，,,A B C 13i +2i -，则点D 对应的复数为．3i -+13．已知向量满足，则.21,ee 12121e e e e ==-=122e e +=14．如图，直角三角形的三个顶点分别在等边三角形的边、、上，且PQR ABC AB BC CA ，，，则长度的最大值为PQ =2QR =2PQR π∠=AB 四、解答题：本题包括5小题，共77分．15．在锐角中，的对边分别为ABC ,,A B C ,,a b c 2sin c A =(1)确定角的大小；C (2)若，求边.c =6ab =,a b16．已知向量是同一平面内的三个向量，其中．,,a b c(1,1)a =-r(1)若，且，求向量的坐标；c =//c a c (2)若是单位向量，且，求与的夹角.b (2)a a b ⊥- a bθ17．已知.()()sin 0f x x ωω=>(1)函数的最小正周期是，求，并求此时的解集；()y f x =4πω1()2f x =(2)已知，，求函数，的值域.1ω=2π()()()()2g x f x x f x =+--()y g x =π[0,4x ∈18．如图，四边形为梯形，ABCD，，．//AB CD 2AB CD ==tan A =1cos 3ADB ∠=(1)求的值；cos BDC ∠(2)求的长．BC 19．已知函数，．2()lg()1f x a x =+-a R ∈(1)若函数是奇函数，求实数的值；()f x a (2)在(1)的条件下，判断函数与函数的图象公共点个数，并说明理由；()y f x =lg 2xy =(3)当时，函数的图象始终在函数的图象上方，求实数的取[)1,2x ∈(2)x y f =lg(42)xy =-a 值范围．【分析】利用复数的乘方及复数除法运算，结合共轭复数的意义求解即得.【详解】依题意，，12i (12i)(1i)13i 13i 1i (1i)(1i)222z -+-+-+====+++-所以.13i22z =-故选：A 2．C【分析】利用平面向量投影向量的定义求解.【详解】解：因为向量，()()1,1,2,0a b =-=所以向量在向量上的投影向量，ab ()21,0a bc b b⋅=⋅=- 故选：C 3．D【分析】由旋转体的概念得旋转是一个大圆锥去掉一个小圆锥，由圆锥体积公式可得．【详解】依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，如图所示，OA ＝AB ·cos 30°＝∴旋转体的体积为π2·(OC －OB )＝.1332π故选：D.4．B 【分析】计算的值，即可得解.()10000π【详解】因为，()1000010000100002500lg 25000.431075ln100004ln10πe ===≈⨯=所以，估计以内的素数个数为.100001075故选：B.【分析】先根据二倍角公式化简，根据余弦定理化简得到即可得到答案.2cos 2A222c a b =+【详解】因为，22cos 2Ac b c⋅=+所以，即，1cos 22Ac b c +⋅=+cos c c A b c +=+所以，cos c A b =在中，由余弦定理：，ABC 222cos 2b c a A bc +-=代入得，，即，2222c b b c a bc +-⋅=22222b c a b +-=所以.222c a b =+所以直角三角形.ABC 故选：B 6．B【分析】根据给定条件，求出圆锥的母线长即得球的半径，再利用球的体积公式计算得解.【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，r l 由圆锥的侧面展开图是一个半圆，得，得．π2πl r =2l r =由圆锥的高为3，解得3=3=l =因此球的半径.O R l ==34π3R =故选：B 7．C【分析】将向量、、用基底表示，结合平面向量数量积的运算性质可DM DA DN {},AB AD求得的值.()DM DA DN ⋅+ 【详解】如下图所示：因为，则，又因为点为的中点，则，15AM MB = 16AM AB = N AB 12AN AB=，16DM AM AD AB AD=-=- ，1222DA DN AD AN AD AN AD AB AD+=-+-=-=- 所以，()2211152262126DM DA DN AB AD AB AD AB AB AD AD⎛⎫⎛⎫⋅+=-⋅-=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .222215π151cos 2884242412631262AB AB AD AD =-⋅+=⨯-⨯⨯⨯+⨯= 故选：C.8．C【分析】先根据题意分析函数的对称性及周期性；再利用函数的对称性和周期性作出函()f x 数在上的图象；最后数形结合列出不等式组求解即可.()f x []2,6-【详解】由，可得：.(2)(2)f x f x -=+()()4f x f x -=+又因为是定义在R 上的偶函数，()f x 则，且函数图象关于轴对称.()()f x f x -=()f x y 所以，即的周期为4.()()4f x f x +=()f x 作出函数在上的图象，根据对称性及周期为4，可得出在1()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭[2,0]x ∈-()f x ()f x 上的图象.[]2,6-令()log (2)(1)a g x x a =+>若在区间内关于x 的方程至少有2个不同的实数根，至多有(2,6]-()log (2)0(1)a f x x a -+=>3个不同的实数根，则函数与函数在上至少有2个不同的交点，至多有3个不()f x ()log (2)(1)a g x x a =+>(2,6]-同的交点.所以，即.()()()()2266g f g f ⎧≤⎪⎨>⎪⎩()()log 223log 623a a ⎧+≤⎪⎨+>⎪⎩2a ≤<故答案为：C【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质的综合应用，函数与方程的综合应用及数形结合思想.解题关键在于根据题意分析出分析函数的对称性及周期性，并作出和图象；()f x ()f x ()g x 将方程根的问题转化为函数图象交点问题，数形结合解答即可.9．AD【分析】根据复数相等的充要条件即可求解A ，根据复数的性质即可求解B ，根据复数的几何意义即可求解CD.【详解】A ：由题意，(i)2(2)i (34i)2i 3(24)i x y x y y y ++=++=-+=+-所以，解得，，所以,故A 正确，2324x y y +=⎧⎨=-⎩1x =4y =5x y +=B ：因为两个复数不能比较大小，所以B 不正确；C ：因为，所以复数z 对应的点位于第二象限，因此C 2(12i)14i 434i z =+=+-=-+()3,4-不正确；D ：因为，所以z 在复平面内对应的点的轨迹为圆心为，半径为3的圆，因此|2i |3z -=()0,2D 正确，故选：AD10．ACD【解析】对A,根据题意求出底面积与高再求体积判定即可.对B,根据斜二测画法前后面积的关系求解判断即可.对C,分析这三个平面的位置关系再逐个讨论即可.对D,利用反证法证明即可.【详解】对于A,正六棱锥的底面边长为1,则S 底面积＝6•1×1×sin60°；12⨯=则棱锥的高h 2,==所以该棱锥的体积为VS 底面积h 2正确；13=13==对于B,水平放置直观图是边长为a 的正三角形,直观图的面积为S ′a 2×sin60°,则原12=⨯2=△ABC 的面积为S ＝′＝a 22,所以B 错误；=对于C,若三个平面互相平行,则可将空间分为4部分；若三个平面有两个平行,第三个平面与其它两个平面相交,则可将空间分为6部分；若三个平面交于一线,则可将空间分为6部分；若三个平面两两相交且三条交线平行（联想三棱柱三个侧面的关系）,则可将空间分为7部分；若三个平面两两相交且三条交线交于一点（联想墙角三个墙面的关系）,则可将空间分为8部分；所以三个平面可以将空间分成4,6,7或8部分,C 正确；对于D,四点不共面,则其中任意三点不共线,否则是四点共面,所以D 正确；综上知,正确的命题序号是ACD.故选：ACD.【点睛】本题主要考查了立体几何中的基本性质与空间中线面的关系问题,属于基础题.11．ABD【分析】对于A ，由三角函数的平移变化即可判断A ；对于B ，用正、余弦的和差角公式及辅助角公式化简为，即可判断B ；对于C ，取时，即可判断C ；对于2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭x π=D ，将化简，然后用二次函数求最值，即可判断D.()f x 【详解】对于A ，将图象沿轴方向向左平移个单位，则sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭x 12π，所以A 正确；sin 2sin 2cos21232y x x xπππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于B ，，当时，sin cos sin 2sin 363y x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin 13x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以B 正确.max 2y =对于C ，，即，当时，(),()()()()()(),()()f x f x g x F x f x g x g x f x g x ≤⎧=⊗=⎨>⎩sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x xF x x x x ≤⎧=⎨>⎩x π=，，所以C 错误.sin 0,cos 1ππ==-()()cos 1F x F ππ===-对于D ，()22()4sin 4cos 1=41cos 4cos 1f x x x a x x a=-++---++-，令，22=4cos 4cos 3,,43x x a x x ππ⎡⎤+--∈∈-⎢⎥⎣⎦12cos 1,t x ⎡⎤-⎢⎥=∈⎣⎦，所以在上单调递增，()221443442f t t t a t a⎛⎫=+--=+-- ⎪⎝⎭()f t 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，()min 142f t f a⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭()()max 15f t f a ==-当时恒有解，则2,43x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦()0f x =404505a a a a --≤≥-⎧⎧⇔⎨⎨-≥≤⎩⎩所以的范围是，所以D 正确.a [4,5]-故选：ABD.12．##45i -+54i -【分析】利用复数的几何意义，结合平面向量相等的性质即可得解.【详解】依题意，因为三点对应的复数分别是，，，,,A B C 13i +2i -3i -+所以，()()()1,3,2,1,3,1A B C --因为是平行四边形，所以，设，ABCD AB DC =(),D x y 则，故，解得，()()1,43,1x y -=---3114x y --=⎧⎨-=-⎩45x y =-⎧⎨=⎩所以，则点D 对应的复数为.()4,5D -45i -+故答案为: .45i -+13【分析】由向量的数量积的运算公式，运算求得，结合，1212e e ⋅= 222121212244e e e e e e +=++⋅即可求解.【详解】由向量满足，21,e e12121e e e e ==-=可得，解得，22121212122122221e e e e e e e e e e ==-=+-=-⋅⋅= 1212e e ⋅= 又由，所以.2221212122441427e e e e ee +=++⋅=++=1e + .14【分析】选取角度作为变量，运用正弦定理将线段表示为角度的函数，进而运用三角函数的知识求解最值可得出结果.【详解】正三角形ABC 中，，设 ，则根据题意有：,60AB BC B C =∠=∠=︒QRC θ∠=， 180120RQC C QRC θ∠=︒-∠-∠=︒-9030BQP RQC θ∠=︒-∠=-︒中，BPQ 180150BPQ B BQP θ∠=︒-∠-∠=︒-中，根据正弦定理得：BQP ·sin sin sin sin BQ PQ PQ BPQ BQ BPQ B B∠=∴==∠∠∠中，根据正弦定理得：RQC ·sin 2sin sin sin sin sin 60CQ RQ RQ QRC CQ QRC C C θ∠=∴==∠∠∠︒2sin sin 60AB BC BQ QC θ∴==+=︒化简计算得：（()AB θϕ=+tan ϕ=当时，有最大值 ()sin 1θϕ+=AB .15．(1)π3C =(2)或23a b =⎧⎨=⎩32a b =⎧⎨=⎩【分析】(1)直接由正弦定理可得，从而可得答案.sin sin a A c C =(2)由余弦定理可得，再由可求答案.2213a b +=6ab =【详解】（1及正弦定理得2sinc A =sin sin a A c C ==因为，故sin 0A >sin C =又锐角，所以.ABC π3C =（2）由余弦定理，22π2cos 73a b ab +-=，得6ab =2213a b +=解得:或.23a b =⎧⎨=⎩32a b =⎧⎨=⎩16．(1)或(3,3)c =- (3,3)c =- (2)π4【分析】（1）设，由，列出方程组，求得的值，即可求解；(,)c x y = c = //c a ,x y （2）由，求得，利用向量的夹角公式，求得，即可求解.(2)a a b⊥- 1a b ⋅= cos θ=【详解】（1）解：设，因为，且，(,)c x y = c = //c a 可得，解得或，22018y x x y +=⎧⎨+=⎩3,3x y =-=3,3x y ==-所以或.(3,3)c =- (3,3)c =- （2）解：因为，且，，(1,1)a =-r b 1b = 又因为，可得，所以，(2)a a b ⊥- 2(2)20a a b a a b ⋅-=-⋅=1a b⋅= 则cos a b a b θ⋅=== 因为，所以.[]0,πθ∈π4θ=17．(1)，或；12ω=π{|4π3x x k =+5π4π,Z}3x k k =+∈(2).1[,0]2-【分析】（1）利用正弦函数的周期公式求出，再求出方程的解集即得.ω（2）利用二倍角公式及辅助角公式求出，再利用正弦函数性质求出值域即可.()g x 【详解】（1）依题意，，解得，则，由，得，2π4πω=12ω=1()sin 2f x x =1()2f x =1sin 22x =解得或，即或π2π26x k =+5π2π,Z 26x k k =+∈π4π3x k =+5π4π,Z 3x k k =+∈所以的解集为或.1()2f x =π{|4π3x x k =+5π4π,Z}3x k k =+∈（2）依题意，，()sin f x x =2π11()sin )sin()cos 2cos 222g x x x x x x x =--=-，111πcos 22sin(2)2226x x x =-=-+当时，，则有，，π[0,]4x ∈ππ2π2[,]663x +∈1πsin(2)126x ≤+≤11πsin(20226x -≤-+≤所以函数，的值域为.()y g x =π[0,]4x ∈1[,0]2-18．(2)BC =【分析】（1）计算出，利用两角和的余弦公式可求得sin ,cos ,sin A A ADB ∠的值；cos cos BDC ABD ∠=∠（2）在中，利用正弦定理可求出BD 的长，再在中利用余弦定理可求得BC ABD △BCD △的长.【详解】（1）因为，解得，sin tan cos A A A ==22sin cos 1A A +=sin A cos A =而，所以，1cos 3ADB ∠=sin ADB ∠==所以cos cos()cos()ABD A ADB A ADB π∠=-∠-∠=-∠+∠(cos cos sin sin )A ADB A ADB =-∠-∠13=因为，所以，所以．//AB CD BDC ABD ∠=∠cos cos BDC ABD ∠=∠=（2）在中，由正弦定理得，ABD △sin sin BD AB A ADB =∠因为．AB =sin sin AB A BD ADB ⋅==∠在中，由余弦定理得CBD △2222cos BC BD CD BD CD BDC=+∠-⋅⋅，2718233=+-⨯=所以BC =19．(1) .1a =(2) 函数与函数的图象有2个公共点；说明见解析.()y f x =lg 2x y =(3).(3)-+∞【详解】分析：（1）由题意可得，解出；()()0f x f x +-=1a =（2）要求方程解的个数，即求方程在定义域上的解的个数，1lg lg21x x x +=-22101x x --=-D 令，利用零点存在定理判断即可；()2211x F x x =---（3）要使时，函数的图象始终在函数的图象的上方，[)1,2x ∈()2x y f =()lg 42x y =-必须使在上恒成立，令，则，上式整理得24221x x a +>--[)1,2x ∈2x t =[)2,4t ∈在恒成立，分类讨论即可.()2560t a t a +-+->[)2,4t ∈详解：（1）因为为奇函数，所以对于定义域内任意，都有，()f x x ()()0f x f x +-=即，22lg lg 011a a x x ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭， 22111a a x x ⎛⎫⎛⎫∴+⋅-= ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭显然，由于奇函数定义域关于原点对称，所以必有.1x ≠1x ≠-上面等式左右两边同时乘以得()()11x x -+，化简得()()212121a x a x x ⎡⎤⎡⎤-+⋅+-=-⎣⎦⎣⎦，.()()2221430a x a a ---+=上式对定义域内任意恒成立，所以必有，x 2210430a a a ⎧-=⎨-+=⎩解得.1a =（2）由（1）知，所以，即，1a =()2lg 11f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭()1lg 1x f x x +=-由得或，101x x +>-1x <-1x > 所以函数定义域. ()f x ()(),11,D =-∞-⋃+∞由题意，要求方程解的个数，即求方程1lg lg21x x x +=-在定义域上的解的个数.22101x x --=-D 令，显然在区间和均单调递增，()2211x F x x =---()F x (),1-∞-()1,+∞又，()22112210343F --=--=-<-323212105252F -⎛⎫-=--=> ⎪⎝⎭- 且，.32322150122F ⎛⎫=--=-< ⎪⎝⎭()22221101F =--=> 所以函数在区间和上各有一个零点，()F x 32,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭即方程在定义域上有2个解，22101x x --=-D 所以函数与函数的图象有2个公共点.()y f x =lg2x y =（附注：函数与在定义域上的大致图象如图所示）11x y x +=-2x y =()(),11,D =-∞-⋃+∞（3）要使时，函数的图象始终在函数的图象的上方，[)1,2x ∈()2x y f =()lg 42x y =-必须使在上恒成立，24221x x a +>--[)1,2x ∈令，则，上式整理得在恒成立.2x t =[)2,4t ∈()2560t a t a +-+->[)2,4t ∈方法一：令，.()()256g t t a t a =+-+-[)2,4t ∈① 当，即时，在上单调递增，522a -≤1a ≥()g t [)2,4所以，恒成立；()()()min 2425610g t g a a a ⎡⎤==+-+-=≥>⎣⎦② 当，即时，在上单调递减，542a -≥3a ≤-()g t [)2,4只需，解得与矛盾.()4320g a =+≥23a ≥-3a ≤-③ 当，即时，5242a -<<31a -<<在上单调递减，在上单调递增，()g t 52,2a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦5,42a -⎡⎫⎪⎢⎣⎭所以由，解得()2min 561024a a a g t g --+-⎛⎫⎡⎤==> ⎪⎣⎦⎝⎭33a -<<+又，所以31a -<<31a -<<综合①②③得的取值范围是. a ()3-+∞方法二：因为在恒成立. 即，()2560t a t a +-+->[)2,4t ∈()2156t a t t ->-+-又，所以得在恒成立113t ≤-<2561t t a t -+->-[)2,4t ∈令，则，且，1u t =-[)1,3u ∈1t u =+所以， ()()22151656231u u t t u t u u -+++--+-⎛⎫==-+ ⎪-⎝⎭由基本不等式可知时，等号成立.）2u u +≥=[)1,3u =即，min 2u u ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以,2max max 562331t t u t u ⎡⎤⎡⎤-+-⎛⎫=-+=-⎢⎥ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦⎣⎦所以的取值范围是.a ()3-+∞点睛：函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象.。
广东省重点高中高一下学期期中数学试题(解析版)
广东省广州市高一下学期期中数学试题一、单选题1．当m ＜1时，复数m （3+i ）﹣（2+i ）在复平面内对应的点位于（ ）23＜A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D【分析】原复数化为（3m ﹣2）+i （m ﹣1），再根据m 的范围确定. 【详解】m （3+i ）﹣（2+i ）化简得（3m ﹣2）+i （m ﹣1）， ∵ 213m ＜＜∴3m ﹣2＞0，m ﹣1＜0 ∴所对应的点在第四象限 故选：D.【点睛】本题主要考查复数的代数形式，考查了复平面内各象限复数的特点，属于基础题.二、多选题2．对于任意两个向量和，下列命题中正确的是（ ） a bA ．若，且与同向，则B ．||||a b > a ba b > ||||||a b a b ⋅ …C ．D ．||||||a b a b -- …||||||a b a b ++ …【答案】BD【分析】根据向量的性质及数量积的运算、模的运算及比较大小的方法可判断. 【详解】对于A ，由于向量不能比较大小，A 错误； 对于B ，，B 正确；|||||||cos ,|||||a b a b a b a b ⋅=⋅⋅〈〉…对于C ，，可能小于0，C 错误；||0b a - …||||a b -对于D ，因为，所以()(22222()||22a b a b a a b b a a b +-+=++-+⋅+ )22(1cos )0b a b θ=- …，D 正确．||||||a b a b ++…故选：BD三、单选题3．某人用如图所示的纸片，沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①、②、③处应依次写上A ．快、新、乐B ．乐、新、快C ．新、乐、快D ．乐、快、新【答案】A【分析】根据四棱锥图形，正好看到“新年快乐”的字样，可知顺序为②年①③，即可得出结论． 【详解】根据四棱锥图形，正好看到“新年快乐”的字样，可知顺序为②年①③， 故选A ．【点睛】本题考查四棱锥的结构特征，考查学生对图形的认识，属于基础题. 4．下列命题：①若直线上有无数个点不在平面内，则； l α//l α②若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行；l αl α③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； ④若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点. l αl α其中正确的个数是（ ） A ． B ．C ．D ．1234【答案】A【分析】利用直线与平面位置关系的定义，逐一分析判断各个命题即可作答. 【详解】对于①，当与相交时，直线上有无数个点不在平面内，①错误； l αl α对于②，当直线与平面平行时，与内的一条直线平行或异面，②错误； l αl α对于③，另一条直线可以在平面内，③错误；对于④，直线与平面平行，则直线与没有公共点，则与平面内的任意一条直线都没有公l αl αl α共点，④正确， 所以正确命题的个数是1. 故选：A5．已知向量，不共线，且向量与的方向相反，则实数的值为 a →b →a b λ→→+()21a b λ→→+-λA ．1 B ．C ．1或D ．-1或12-12-12-【答案】B【分析】根据题意，得出且，化简后得出，，()21a b k a b λλ→→→→⎡⎤+=+-⎢⎥⎣⎦0k <()211λλ-=0k λ=<即可求出实数的值.λ【详解】解：由题可知，，不共线，且向量与的方向相反，a →b →a b λ→→+()21a b λ→→+-则，即，()210a b k a b k λλ⎧⎡⎤+=+-⎪⎣⎦⎨<⎪⎩ ()210a b ka k b k λλ⎧+=+-⎪⎨<⎪⎩ 则，即，()1210kk k λλ=⎧⎪=-⎨⎪<⎩()2110k λλλ⎧-=⎨=<⎩解得：或（舍去）.12λ=-1λ=即实数的值为.λ12-故选：B.【点睛】本题考查平面向量共线的定理的应用，属于基础题.6．已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向ABC ∆O 2AB AC AO OA AB +== ，BA BC 量为（ ） A ．B14BCC ．D ．14BC -【答案】A【分析】首先根据已知条件的点为中点，又因为点为的外接圆圆2AB AC AO +=O BC O ABC 心，得，再根据得为等边三角形，最后结合投影向量的定义即可求解.90BAC ∠=OA AB =ABO 【详解】已知，故点为中点，2AB AC AO +=O BC又因为点为的外接圆圆心，故为直角三角形，且.O ABC ABC 90BAC ∠= 由于，易知为等边三角形， OA AB =ABO 过点作的垂线，垂足为， A BC D 设，则. 12AB BO BC m ===2m BD =因此可得：向量在向量上的投影向量为.BABC 14BD BC = 故选：A7．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为A ．B ．C ．D ．3500cm 3π3866cm 3π31372cm 3π32048cm 3π【答案】A【分析】根据题意可求出正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm ，再根据截面圆半径，球的半径以及球心距的关系，即可求出球的半径，从而得到球的体积．【详解】设球的半径为cm ，根据已知条件知，正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为R 4cm ，球心到截面圆的距离为cm ，所以由，得，所以球的体积为()2R -()22242R R +-=5R =． ()333445005cm 333V R πππ==⨯=故选：A ．【点睛】本题主要考查球的体积公式的应用，以及球的结构特征的应用，属于基础题．8．已知三棱锥的底面为等腰直角三角形，其顶点P 到底面ABC 的距离为3，体积-P ABC ABC 为24，若该三棱锥的外接球O 的半径为5，则满足上述条件的顶点P 的轨迹长度为（ ） A ．6πB ．30πC ．D ．(9π+(6π+【答案】D【分析】利用三棱锥的体积，求解底边边长，求出的外接圆半径， -P ABC ABC 以及球心到底面的距离，判断顶点的轨迹是两个不同截面圆的圆周， O ABC P 进而求解周长即可．【详解】依题意得，设底面等腰直角三角形的边长为， ABC ()0x x >三棱锥的体积∴-P ABC 21132432V x =⋅⋅⋅=解得：x =的外接圆半径为ABC ∴ 112r ==球心到底面的距离为∴O ABC， 11d ===又顶点P 到底面ABC 的距离为3，顶点的轨迹是一个截面圆的圆周∴P 当球心在底面和截面圆之间时， ABC 球心到该截面圆的距离为，O 2312d =-=截面圆的半径为，2r ==顶点P 的轨迹长度为；∴22r π=当球心在底面和截面圆同一侧时， ABC 球心到该截面圆的距离为，O 3314d =+=截面圆的半径为，33r ===顶点P 的轨迹长度为；∴326r ππ=综上所述，顶点P 的轨迹的总长度为 (6π+故选：D ．【点睛】本题考查空间几何体外接球的问题以及轨迹周长的求法，考查 空间想象能力、转化思想以及计算能力，题目具有一定的难度．四、多选题9．设为复数，则下列命题中正确的是（ ） z A ．B ．2z z z =⋅22z z =C ．若，则的最小值为 D ．若，则1z =i z +011z -=02z ≤≤【答案】ACD【分析】根据复数的概念以及复数的几何意义对每个选项逐个判断即可.【详解】对于A ，不妨设，所以.，所以；i(,)z a b a b R =+∈i z a b =-222z a b =+又因为，所以.故A 正确；22(i)(i)z z a b a b a b ⋅=+-=+2z z z =⋅对于B ，不妨设，则，，和不一定相i(,)z c d c d R =+∈2222(i)2i z c d c d cd =+=-+222z c d =+2z 2z 等，故B 错误；对于C ，根据复数的几何意义可知，表示以原点为圆心，为半径的圆上的点；表示1z =1M i z +点到点的距离，那么点与点重合时距离最小为，故最小值为，故C 正M (0,1)N -M N 0i z +0确；对于D ，根据复数的几何意义可知，可以表示以为圆心，为半径的圆上的点,表11z -=(1,0)1P z 示点到原点的距离，则当点与点重合时距离最小为；当点时距离最大为.故P O O P 0(2,0)P 2，故D 正确.02z ≤≤故选:ACD10．在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，下列说法正确的是（ ） ABC A ．若，则为等腰三角形 cos cos a A b B =ABC B ．若，，，则必有两解 40a =20b =25B =︒ABCC ．若，则角B 的大小为cos a B =sin 3b A =3πD ．若，则为锐角三角形 cos 2cos 2cos 21A B C +-<ABC 【答案】BC【分析】由正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换依次判断4个选项即可.【详解】对于A ，由正弦定理得，即，又，sin cos sin cos A A B B =11sin 2sin 222A B =()0,A B π+∈则，或，22A B =22A B π+=则为等腰三角形或直角三角形，A 错误； ABC 对于B ，由正弦定理得，解得，又，故sin sin a bA B =sin sin 2sin 252sin 301a B A b==<= a b >必有两解，B 正确；ABC对于C ，，由正弦定理得，又，sin 3cos b A B ==sin sin cos B A A B =()sin 0,0,A B π≠∈故，C 正确；tan B =3B π=对于D ，由余弦倍角公式知：，即，22212sin 12sin 12sin 1A B C -+--+<222sin sin sin 0A B C +->由正弦定理得，由余弦定理，即为锐角，不确定是否为2220a b c +->222cos 02a b c C ab+-=>C ,A B 锐角，故D 错误. 故选：BC.11．用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体可能是 A ．圆锥 B ．圆柱C ．三棱锥D ．正方体【答案】ACD【分析】根据物体特征分析截面可能的情况即可得解.【详解】圆锥的轴截面是三角形，圆柱的任何截面都不可能是三角形， 三棱锥平行于底面的截面是三角形， 正方体的截面可能是三角形，如图：故选：ACD【点睛】此题考查物体截面辨析，关键在于熟悉常见几何体的几何特征，分析截面可能的情况. 12．下列说法正确的是（ ）A ．若非零向量，且，则为等边三角形 0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭ 12AB AC AB AC ⋅= ABC B ．已知，且四边形为平行四边形，则 ,,,OA a OB b OC c OD d ====ABCD 0a b c d +--=C ．已知正三角形的边长为O是该三角形的内切圆，P 是圆O 上的任意一点，则ABC 的最大值为1PA PB ⋅D ．已知向量，则与夹角的范围是()())2,0,2,2,OB OC CA αα=== OAOB 5,412ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】AC【分析】利用单位向量以及向量数量积的定义可判断A ；利用向量的加法运算可判断B ；利用向量的加、减运算可判断C ；由题意可得点在以为半径的圆上，由向量夹角定义可A ()2,2判断D.【详解】A ，因为非零向量，所以的平分线与垂直， 0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭BAC ∠BC 为等腰三角形，又，所以， ABC 12AB AC AB AC ⋅=3BAC π∠=所以为等边三角形，故A 正确；ABC B ，, a b c d OA OB OC OD +--=+--，CA DB CD DA DA AB =+=+++在平行四边形中，有，ABCD AB DC =所以原式，故B 错误； 20DA =≠C ，设正三角形内切圆半径，ABC r 由面积相等可得，113sin 223r π⨯⨯=⨯解得，令的中点为，从而1r =AB D DA DC ==则，,2PA PB PD += 2PA PB BA DA -== 两式平方作差可得,22444PA PB PD DA ⋅=- 即，若要使最大，只需最大23PA PB PD ⋅=- PA PB ⋅ 2PD 由于为的中点，也为圆与的切点，所以的最大值为， D AB O AB PD 22r =所以，故C 正确；23431PA PB PD ⋅=-≤-=D ，设，，(),OA x y =())2,2CA OA OC x y αα=-=--=所以，， 2x α-=2y α-=所以，()()22222x y -+-=即在以 A ()2,2如图：，所以， 1sin 2COA ∠=6COA π∠=当与圆在下方相切时，与夹角最小，此时为，OA OA OB 4612πππ-=当与圆在上方相切时，与夹角最大，此时为，OA OA OB 54612πππ+=所以与夹角的范围是，故D 错误.OA OB 5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：AC【点睛】关键点点睛：本题考查了向量的数量积定义、向量的加减法以及向量的夹角，解题的关键是是将向量问题转化为平面几何问题，利用圆的性质求解，考查了转化思想、数学运算、数学建模，此题是向量的综合题目.五、填空题13．已知复数满足，则 _________________； z (12)43i z i +=+z =【答案】2i +【分析】先根据复数除法得，再根据共轭复数概念得. z z 【详解】因为，所以,即 ()1243i z i +=+43212iz i i+==-+2.z i =+【点睛】本题重点考查复数的概念与复数相等，属于基本题.复数的实部为、虚部(,)abi a b R +∈a 为、对应点为、共轭为b (,)a b .-a bi六、双空题14．如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，ABC 13BD BC = E AD AE AB AC λμ=+则____________，的最小值是____________. λμ=22λμ-【答案】 214-【分析】利用定比分点公式得出，设出得出2133AD AB AC =+ (01)AE x AD x =<< ，则，两问分别代入计算即可.233x x AE AB AC =+ 2=,33x x λμ=【详解】因为在中，，所以.ABC 13BD BC = 2DC BD =u u u r u u u r由向量定比分点公式得,即. 211212AD AB AC =+++2133AD AB AC =+ 因为点在线段上移动（不含端点），所以设.E AD (01)AE x AD x =<<所以，对比可得. 233x x AE AB AC =+ AE AB AC λμ=+ 2=,33x xλμ=代入，得；2=,33x x λμ=2323xx λμ==代入可得，根据二次函数性质知当2=,33x x λμ=2222422=23393(01)x x x x x λμ⎛⎫--⨯= ⎭<-<⎪⎝时，. 2334429x -=-=⨯()22min 432312=94344λμ⎛⎫-⨯-⨯=- ⎪⎝⎭故答案为: 12;4-七、填空题15．某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是，则石凳的表面积为________.50cm 2cm【答案】2(7500cm +【分析】由题意，该几何体是由棱长为的正方体截去八个四面体构成的多面体，截去的八个50cm 四面体是全等的三棱锥，结合三角形和正方形的面积公式，即可求解.【详解】由题意，该几何体是由棱长为的正方体截去八个四面体构成的多面体，截去的八个50cm 四面体是全等的三棱锥，同时几何体是由8个底面边长为的等边三角形和边长为的6个正方形组成的一个14面体，所以该几何体的表面积为：. 218606(75002S cm =⨯⨯+⨯=+故答案为：.2(7500cm +【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及几何体的表面积的计算，其中解答中正确判定几何体的结构特征是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及计算能力，属于基础题. 16．已知矩形，沿将折起成.若点在平面上的射影落,2,1ABCD AB AD ==BD ABD △A BD ' A 'BCD 在的内部（不包括边界），则四面体的体积的取值范围是___________.BCD △A BCD -'【答案】【分析】由点在平面上的投影落在的内部，可知当在面上的投影在上'A BCD BCD △'A BCD CD 时，四面体的体积最小，当当在面上的投影在上时，四面体的体积最'A BCD 'A BCD BD 'A BCD 大，从而求出四面体的体积的取值范围.'A BCD 【详解】解：根据题意可知：点在平面上的射影落在的内部（不包括边界） A 'BCD BCD △所以当在面上的投影在上时，四面体的体积最大，'A BCD BD 'A BCD由，设到面的距离为，BD =='A BCD 1d则11111222d d ⨯⨯=⇒=所以四面体的体积最大为： 'A BCD 111232⨯⨯⨯=当在面上的投影在上时，四面体的体积最小，'A BCD CD 'A BCD 如图：翻折前翻折后设到面的距离为，其中 'A BCD 2d A E ='1d AF A F =='=所以 DF ==2DF AF EF EF =⋅⇒=所以2d A E ='=所以四面体的体积最小为： 'A BCD 111232⨯⨯⨯=所以四面体的体积的取值范围为.'A BCD故答案为：.八、解答题17．已知()()()()0,0,1,1,1,3,2,5A O B C --(1)判断A ，B ，C 三点之间的位置关系；(2)当为何值时，与垂直．()R λλ∈AB AO λ+ BC 【答案】(1)三点共线(2) 103λ=-【分析】（1）根据向量共线充要条件计算即可；（2）根据向量数量积的坐标表示计算垂直关系求参数即可.【详解】（1）由题意可得：,显然,而有公共点B ，故A ，()()2,4,1,2AB BC == 2AB BC = AB BC 、B ，C 三点共线；（2）易得：， ()24AB AO λλλ+=++ ，当与垂直时有：. AB AO λ+ BC ()()10122403λλλ⨯++⨯+=⇒=-18．设是虚数，且满足. z 1z zω=+12ω-<<(1)求的值及的实部的取值范围；||z z (2)设，求证：为纯虚数； 11z u z-=+u (3)求的最小值.2u ω-【答案】(1)， ||1z =112⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)证明见解析(3)1【分析】（1）根据复数的除法可得，根据其为实数可得，从而的实部的取值范围；ω221a b +=z（2）根据复数的除法可得，从而可证为纯虚数； i 1b u a =-+u （3）根据基本不等式可求最小值.【详解】（1）设，，，i z a b =+a b R ∈、0b ≠则， 22221i i i a b a b a b a b a b a b ω⎛⎫⎛⎫=++=++- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∵，∴是实数，又，∴，即，12ω-<<ω0b ≠221a b +=||1z =∴，，，∴的实部的取值范围是； 2a ω=122a ω-<=<112a -<<z 112⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）， ()222211i 12i i 11i 11z a b a b b b u z a b a a b------====-++++++∵，，∴为纯虚数； 1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭0b ≠u （3）， ()()22212122212131111b a u a a a a a a a a ω-⎡⎤-=+=-=-+=++-⎢⎥+++⎣⎦+∵，∴，故， 112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭10a +>223431u ω-≥⨯=-=当，即时，取得最小值. 111a a +=+0a =2u ω-119．如图，某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面．制作时需要将圆锥的顶点剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为．24πcm 30cm 20cm(1)求这种“笼具”的体积；(2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元?【答案】(1)33552πcm (2)1104π25【分析】（1）求出圆柱的体积和圆锥的体积，相减后得到答案；（2）先求出这种笼具的表面积，从而得到总造价.【详解】（1）设圆柱的半径为，体积为，圆锥的体积为，r 1V 2V 则由得，，2π24πr =12cm r =所以，3211230π2cm 430πV =⨯=设圆锥的高为，其中母线长，则由勾股定理得，h 20cm l=m c 16h ==， 3221π1216768c πm 3V =⋅⨯=故这种“笼具”的体积为；2314320π768π3πcm 552V V -=-=（2）圆柱的侧面积为，圆柱的上底面面积为，圆锥的侧面2124π30=720πcm S =⋅222π=144πcm S r =积为，23π=1220π240πcm S rl =⨯=所以“笼具”的表面积为，2123144π720π240π1104πcm S S S ++=++=故造50个“笼具”，总造价为（元）. 45081104π1104π1025⨯⨯=20．若函数，的角，，的对边分别为，，，且. 2()2cos2x f x x =+ABC A B C a b c ()3f A =（1）当取最大值时，判断的形状； b c a+ABC （2）在中，为边的中点，且，求的长.ABC D BC AD =2AC =BC【答案】（1）是等边三角形；（2）.ABC BC =【分析】（1）化简，由求得，根据正弦定理得到()f x ()3f A =3A π=，从而判断取最大值时，B 的取值，从而判断三角形形状； sin sin 2sin sin 6b c BC B a A π++⎛⎫==+ ⎪⎝⎭（2）取边的中点，在中，由余弦定理求得，，从而在中由余弦定理求AB E ADEV AE AB ABC 得.BC 【详解】解：因为 ()+cos 12sin 16f x x x x π⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭所以由得， ()2sin 136f A A π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭sin 16A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为，所以，所以， 0A π<<7666A πππ<+<62A ππ+=3A π=（1） sin sin 2sin sin 6b c B C B a A π++⎛⎫===+ ⎪⎝⎭因为，，所以， 203B π<<5666B πππ<+<所以当时，取最大值， 3B π=b c a +此时，所以，所以是等边三角形；3C π=A B C ==ABC （2）解：取边的中点，连接，AB E DE 则，且， //DE AC 112DE AC ==23AED π∠=在中，由余弦定理得 ADE V 2222 2cos 133AD AE DE AE DE π=+-⋅⋅=解得，所以3AE =6AB=在中由余弦定理得ABCBC ===【点睛】方法点睛：利用正弦定理进行边角转化，根据三角函数的最值情况来求得原表达式的最值，从而判断三角形形状；利用余弦定理解得三角形各边长.21．在中，满足，M 是中点．ABC AB AC ⊥ BC （1）若，求向量与向量的夹角的余弦值；AB AC = 2+ AB AC 2AB AC +u u u r u u u r （2）若O 是线段，求的最小值．AM ⋅+⋅ OA OB OC OA 【答案】（1）（2） 4512-【分析】（1）利用平面向量的夹角公式可求得结果；（2）设，将化为的二次函数，利用二次函数知识可求得结OM t AM = (01)t ≤≤⋅+⋅ OA OB OC OA t 果.【详解】（1）因为，所以，AB AC ⊥ 0AB AC ⋅= 设向量与向量的夹角为，2+ AB AC 2AB AC +u u u r u u u r θ则 ()()22cos |2||2|AB AC AB AC AB AC AB AC θ+⋅+=+⋅+==. 45=（2）因为，M 是，AB AC ⊥ BC所以， 1||||2AM BC = 1===设，则，OM t AM = (01)t ≤≤OA OM AM =- (1)t AM AM t AM =-=- 所以 ⋅+⋅ OA OB OC OA ()222(1)OA OB OC OA OM t t AM =⋅+=⋅=- ， 2(1)t t =-2112(22t =--因为，所以当时，取得最小值. 01t ≤≤12t =2112(22t --12-所以的最小值为. ⋅+⋅ OA OB OC OA 12-【点睛】关键点点睛：第（2）问，设，将化为的二次函OM t AM = (01)t ≤≤⋅+⋅ OA OB OC OA t 数，利用二次函数知识求解是解题关键.22．在气象台A 正西方向处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为250km ，距台风中心以内的地区都将受到影响．若台风中心的这种移动趋势不变，气象台40km/h 250km 所在地是否会受到台风的影响?如果会，大约多长时间后受到影响?持续时间有多长?（精确到）10min 2.6≈≈【答案】答案见详解.【分析】以气象台为坐标原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴建立平面直角坐标系，则x y 现在台风中心的坐标为，用参数写出小时后的坐标，由求得的范围，从1B ()250,0-t B 250AB ≤t 而得出结论．【详解】以气象台为坐标原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴建立平面直角坐标系， x y 则现在台风中心的坐标为，， 1B ()250,0-145AB B ︒∠=根据题意，可知小时后，的坐标为，t B ()25040cos45,40sin 45t t -+︒︒即，()250,-+因为以台风中心为圆心，以250千米为半径的圆上或圆内的点将遭受台风影响，所以在圆上或圆内时，气象台将受台风影响.B所以令，即，250AB ≤222(250))250-≤++整理得，解得 240t -≤0t ≤≤所以，08.75t ≤≤故气象台A 所在地马上将遭受台风影响，大约持续8小时50分钟.。
2023广东省深圳中学高一下学期期中数学试题及答案
深圳中学2022—2023学年度第二学期期中考试试题数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数25ii z -=，则z 的虚部为（ ）A. 2B. 2- C. 5D. 5-2. 下列结论中，正确的是（ ）A. 零向量只有大小，没有方向B. 若//AB CD ，//AB EF，则//CD EFC. 对任一向量a ，0a >总是成立的D. AB BA= 3. 若7cos 225α=-，π02α<<，则cos α等于（ ）A45 B. 45-C.35D. 35-4. 函数()12cos 22f x x x =+的最小正周期和振幅分别是（ ）A. π,1B. π,2C. 2π,1D. 2π,25. 已知,,,M N P Q 是平面内四个互不相同的点，,a b 为不共线向量，5MN a b =+，()24=--NP a b ，()3=- PQ a b ，则（ ）A. M ，N ，P 三点共线B. M ，N ，Q 三点共线C. M ，P ，Q 三点共线D. N ，P ，Q三点共线6. 已知,αβ都锐角，12cos 13α=，()4cos 5αβ+=，则cos β等于（ ）A.6365B. 6365-C. 3365D. 3365-7. 若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（ ）.为A. 65-B.25C. 25-D.65或25-8. 剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形ABCD 的边长为2，点P 在四段圆弧上运动，则AP AB ⋅的取值范围为（ ）A. []1,3-B. []2,6-C. []3,9-D. []3,6-二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知平面向量()()2,2,1,a b m ==，且22a b a b +=- ，则（ ）A. 1m =- B. π,3a b =C. //a bD.b =10. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且π8,6c B ==.若ABC 有两解，则b 的值可以是（ ）A. 4B. 5C. 7D. 1011. 已知()cos ,sin a θθ=，()cos ,sin b ϕϕ= ，则下列选项中可能成立的是（ ）A. a b a b+=- B. 1a b -= C. ()()1a b a b +⋅-= D.2a b ×= 12. 如图，直线12l l ∥，点A 是12,l l 之间的一个定点，点A 到12,l l 的距离分别为1和2.点B 是直线2l 上一个动点，过点A 作AC AB ⊥，交直线1l 于点,0C GA GB GC ++=，则（ ）A. ()12AG AB AC =+B. GAB △面积的最小值是23C. 1AG ≥ D. GA GB ⋅存在最小值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 2cos 15= _____．14. 设,D E 分别是ABC 边,AB BC 上的点，12,23AD AB BE BC ==,若,AB a AC b == ，则DE＝________.（用,a b 表示）15.=________ .16. 如图在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，3CP PD =，2AP BP ⋅=，则AB AD ⋅的值是______________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知复数1i z =-（i 是虚数单位）.（1）求复数z 的模和共轭复数；（2）若(),az b z a b R +=∈，求,a b 的值.18 已知向量a ，b满足()1,1a =- ，1= b ．（1）若a ，b 的夹角为π3，求a b ⋅ ；（2）若()-⊥a b b r r r ，求a 与b的夹角．19. 已知向量()sin ,1a x = ，3cos ,2b x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，函数()()2f x a a b =⋅- .（1）求()f x 的最小正周期以及单调递增区间；（2）将()f x 的图象向左平移π4单位后得到()g x 的图象，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()g x 的值域.的.20. 某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设立了两个相距12km 的观测站A 和B ，观测人员分别在A ，B 处观测该动物种群．如图，某一时刻，该动物种群出现在点C 处，观测人员从两个观测站分别测得30BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒，经过一段时间后，该动物种群出现在点D 处，观测人员从两个观测站分别测得75BAD ∠=︒，45ABD ∠=︒．（注：点A ，B ，C ，D 在同一平面内）（1）求ABD △的面积；（2）求点C D ，之间的距离．21. 已知tan α，tan β是方程2430x px --=的两个实根，且0p >.（1）若1p =，求()tan αβ+的值；（2）用p 表示()()2tan cos 2cos 2sin αβαβαβ⎡⎤++-⎣⎦，并求其最大值.22. 悬索桥外观大气漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线，悬链线的方程和双曲余弦函数cos ()h x 以及双曲正弦函数()sin h x 有关.已知()cos ()f x h x =是R 上的偶函数，()()sin g x h x =是R 上的奇函数，满足()()e x f x g x +=，其中e 是自然对数的底数.（1）求()f x 和()g x 的解析式；（2）已知[]0,x π∈，（i ）解不等式cos sin sin cos e e e e x x x x ---≥-；（ii ）设（i ）中不等式的解集为D ，若x D ∀∈，()()2cos cos 10f x ag x -+≥恒成立，求a 的取值范围.（注：1e<+<）.的深圳中学2022—2023学年度第二学期期中考试试题数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数25ii z -=，则z 的虚部为（ ）A. 2B. 2- C. 5D. 5-【答案】B 【解析】【分析】由复数的乘法和除法运算化简复数，即可得出答案.【详解】()i 25i 25i 52i i 1z ---===--，则z 的虚部为2-．故选：B .2. 下列结论中，正确的是（ ）A. 零向量只有大小，没有方向B. 若//AB CD ，//AB EF，则//CD EFC. 对任一向量a ，0a >总是成立的D. AB BA=【答案】D 【解析】【分析】对于A ，根据零向量的定义可判断；对于B ，根据向量平行的传递性可判断；对于C ，举反例00= ，即可判断；D ，根据AB BA =-即可判断.【详解】对于A ，零向量的方向是任意方向的，A 错误；对于B ，当0AB = 时，CD 与EF可以不平行，B 错误；对于C ，00=，C 错误；对于D ，AB BA BA =-=，D 正确.3. 若7cos 225α=-，π02α<<，则cos α等于（ ）A.45 B. 45-C.35D. 35-【答案】C 【解析】【分析】根据倍角余弦公式可得29cos25α=，再根据π02α<<，开方即可求解.【详解】因为27cos 22cos 125αα=-=-，所以29cos 25α=，又π02α<<，则3cos 5α=.故选：C4. 函数()12cos 22f x x x =+的最小正周期和振幅分别是（ ）A. π,1 B. π,2C. 2π,1D. 2π,2【答案】A 【解析】【分析】利用辅助角公式化简可得()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合最小正周期和振幅的概念即可求解.【详解】()1π2cos2sin 226f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以最小正周期为2ππT ω==，振幅为1.故选：A.5. 已知,,,M N P Q 是平面内四个互不相同的点，,a b 为不共线向量，5MN a b =+，()24=--NP a b ，()3=- PQ a b ，则（ ）A. M ，N ，P 三点共线B. M ，N ，Q 三点共线C. M ，P ，Q 三点共线D. N ，P ，Q三点共线【解析】【分析】根据共线定理即可判断各项.【详解】对于A ，令tMN NP = ，即()()524b t a b a -+-=，所以258t t =-⎧⎨=⎩，所以不存在t ，使得tMN NP = ，A 错误；对于B ，由于2(4)NP a b =--，3()PQ a b =-，所以5NQ NP PQ a b =+=+ ，所以MN NQ = ，又,MN NQ相交于点N ，故 M 、N 、Q 三点共线.B 正确；对于C ，13MP MN NP a b =+=-+，令mMP PQ = ，即()()133b m b a a -+=-，所以3133m m -=⎧⎨=-⎩，所以不存m ，使得mMP PQ = ，C 错误；对于D ， 令nNP PQ = ，即()()243b n a b a --=- ，所以2383n n -=⎧⎨=-⎩，所以不存在n ，使得nNP PQ = ，D 错误.故选：B6. 已知,αβ都为锐角，12cos 13α=，()4cos 5αβ+=，则cos β等于（ ）A.6365B. 6365-C. 3365D. 3365-【答案】A 【解析】【分析】根据余弦的差角公式，结合()βαβα=+-,同角三角函数关系求解即可.【详解】解：因为,αβ都为锐角，即π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()0,παβ+∈因为12cos 13α=，()4cos 5αβ+=，在所以5sin 13α=，()3sin 5αβ+=，所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+-=+++⎡⎤⎣⎦124536313513565=⨯+⨯=.故选：A7. 若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（ ）A. 65-B.25C. 25-D.65或25-【答案】B 【解析】【分析】利用三角恒等变换和同角三角关系求解即可.【详解】因为tan 2θ=-，所以cos 0θ≠，所以()222sin 1sin 2sin (sin cos 2sin cos )sin (sin cos )sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθ++++==+++222sin sin cos sin (sin cos )sin cos θθθθθθθθ+=+=+22tan tan 2tan 15θθθ+==+，故选：B8. 剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形ABCD 的边长为2，点P 在四段圆弧上运动，则AP AB ⋅的取值范围为（ ）A. []1,3-B. []2,6-C. []3,9-D. []3,6-【答案】B 【解析】【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，求出点P 的横坐标的取值范围，利用平面向量数量积的坐标运算可求得AP AB ⋅的取值范围.【详解】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xAy ，设点(),P x y ，易知，以AD 为半径的左半圆的方程为()()221110x y x +-=-≤≤，以BC 为半径的右半圆的方程为()()()2221123x y x -+-=≤≤，所以点P 的横坐标x 的取值范围是[]1,3-，又因为(),AP x y =，()2,0AB = ，所以，[]22,6AB AP x ⋅=∈- .故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知平面向量()()2,2,1,a b m ==，且22a b a b +=- ，则（ ）A. 1m =- B. π,3a b =C. //a bD.b =【答案】AD 【解析】【分析】因为22a b a b +=-，两边平方可得0a b ⋅= ，即可求得1m =-，从而可判断选项ABC ，进而求得()1,1b =-，从而可判断选项D.【详解】因为22a b a b +=- ，两边平方可得()()2222a ba b +=- ，所以22224444a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ ，即0a b ⋅= .对于A ，220a b m ⋅=+=，解得1m =-，A 正确；对于B ，因0a b ⋅= ，所以π,2a b =，B 错误；对于C ，因为0a b ⋅= ，则a b ⊥ ，C 错误；对于D ，由选项A 可知()1,1b =-，所以b == ，D 正确故选：AD10. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且π8,6c B ==.若ABC 有两解，则b 的值可以是（ ）A. 4 B. 5C. 7D. 10【答案】BC 【解析】【分析】由题意画出图形，可知sin c B a c <<，求出a 的范围，根据选项，得出结果即可.【详解】解：如图：要使ABC 有两个解，则sin c B a c <<，即π8sin86a <<，解得：48a <<，故选：BC11. 已知()cos ,sin a θθ=，()cos ,sin b ϕϕ= ，则下列选项中可能成立的是（ ）A. a b a b+=- B. 1a b -= C. ()()1a b a b +⋅-= D.2a b ×= 【答案】AB 【解析】【分析】利用坐标进行向量线性运算，并结合三角恒等变换计算相应数量积和模长，从而判断出答案.为.【详解】因为()cos ,sin a θθ=，()cos ,sin b ϕϕ= ，所以1a == ，1b == ，()cos cos ,sin sin a b θϕθϕ+=++ ，()cos cos ,sin sin a b θϕθϕ-=--，()()222cos cos sin sin a b θϕθϕ+=+++ ()()22cos cos sin sin 22cos θϕθϕθϕ=++=+-，()()222cos cos sin sin a b θϕθϕ-=-+- ()()22cos cos sin sin 22cos θϕθϕθϕ=-+=--，若π2θϕ=+，此时222a b a b +=-= ，故a b a b +=- ，A 可能正确；若π3θϕ=+，此时21a b -= ，1a b -= ，B 选项可能正确；()()()()cos cos ,sin sin cos cos ,sin sin a b a b θϕθϕθϕθϕ+⋅-=++⋅--()()22222222cos cos sin sin cos sin cos sin 110θϕθϕθθϕϕ=-+-=++-+=-=，故C 一定不正确；[]cos ,cos ,1,1a b a b a b a b×=×=Î-，故D 一定不正确.故选：AB12. 如图，直线12l l ∥，点A 是12,l l 之间的一个定点，点A 到12,l l 的距离分别为1和2.点B 是直线2l 上一个动点，过点A 作AC AB ⊥，交直线1l 于点,0C GA GB GC ++=，则（ ）A. ()12AG AB AC =+B. GAB △面积的最小值是23C. 1AG ≥ D. GA GB ⋅存在最小值【答案】BC 【解析】【分析】根据题意建立合适的直角坐标系，设出(),3C m ，(),0B n ，(),G x y ，根据AC AB ⊥及0GA GB GC ++= ，即可找到三个点的坐标关系，分别写出AG ，()13AB AC +，即可判断A ；取AB 中点为F ，连接CF ，根据0GA GB GC ++=，可得,,G C F 三点共线，且G 为CF 靠近F 的三等分点，即可找到GAB △面积与ABC 面积之间比例关系，进而建立GAB △面积等式，根据基本不等式即可判断B ；求出AG ，再根据基本不等式可判断C ；写出GA GB ⋅ 进行化简，根据m 的范围即可得到GA GB ⋅的最值情况.【详解】设AB 中点为F ，连接CF ，以D 为原点，,DB DE 方向分别为,x y 轴建立如图所示的直角坐标系，则()0,2A ，()0,3E ，设(),3C m ，(),0B n ，(),G x y ，,,,R m n x y ∈，且,0m n ≠，所以(),1AC m =，(),2AB n =- ，因为AC AB ⊥，所以0AC AB ⋅=，即20mn -=，故2n m =，即2,0B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以(),2GA x y =-- ，2,GB x y m --⎛⎫= ⎪⎝⎭，(),3m x y GC =--，因为0GA GB GC ++=，所以2230355303m mx m x my y ⎧+⎪⎧=+-=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪-=⎩=⎪⎩，因为()211,333m m AB AC ⎛⎫+ ⎪+=- ⎪ ⎪⎝⎭，故()13AG AB AC =+，A 错误；因为0GA GB GC ++= ，所以()GC GA GB =-+ ，即2GC GF =- ，所以,,G C F 三点共线，且G 为CF 靠近F 的三等分点，所以1136GABABC S S AC AB ==⋅==23=≥=，当且仅当221m m =，即1m =±时取等，故B 正确；因为()211,333m m AG AB AC ⎛⎫+ ⎪=+=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以AG =1=≥=，当且仅当224mm =，即m =时取等，故1AG ≥，C 正确；因为32,15,3334,m m m m GA GB ⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪⎛⎫+- ⎪=- ⎪⎭⎪⎝⎭⎝ ，所以245339m m m m GA GB ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⋅=--⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭222288275999m m m m ----=-=，因为R m ∈且0m ≠，所以20m >，记()87,0f x x x x=-->，()2810f x x'=+>，可知()f x 单调递增，没有最值，即GA GB ⋅没有最值，故D 错误.故选：BC【点睛】关键点睛：本题考查了平面向量数量积的性质以及平面向量在平面几何中的应用，属于较难题目.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 2cos 15= _____．【解析】【分析】利用21cos30cos 152+=即可得到答案.【详解】211cos302cos 1522++===.【点睛】本题主要考查余弦二倍角公式，熟记公式为解题关键，属于简单题.14. 设,D E 分别是ABC 的边,AB BC 上的点，12,23AD AB BE BC ==,若,AB a AC b == ，则DE＝________.（用,a b 表示）【答案】1263a b -+ 【解析】【分析】利用三角形法则，结合12,23AD AB BE BC ==即可.【详解】如图:因为12,23AD AB BE BC ==，所以()12122323DE DB BE AB BC AB AC AB =+=+=+-12212122336363AB AB AC AB AC a b -+=-+=-+，故答案为：1263a b -+15.=________ .【答案】1【解析】【分析】=，再利用差角余弦公式和诱导公式即可求解.=1===故答案为：116. 如图在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，3CP PD = ，2AP BP ⋅=，则AB AD ⋅的值是______________.【答案】22【解析】【分析】根据基底,AB AD 表示,,AP BP 再根据向量数量积化简2AP BP ⋅=，即得结果.【详解】13()()()()44AP BP AD DP BC CP AD AB AD AB ⋅=+⋅+=+⋅-2231162AD AB AB AD=--⋅ 311256413222.1622AB AD AB AD AB AD =-⨯-⋅=-⋅=∴⋅=【点睛】用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知复数1i z =-（i 是虚数单位）.（1）求复数z 的模和共轭复数；（2）若(),az b z a b R +=∈，求,a b 的值.【答案】（1）z =，1i z =+（2）1,0a b ==【解析】【分析】（1）利用复数模的公式求模，再利用复数的共轭复数的定义求共轭复数；（2）将复数z 代入(),az b z a b R +=∈，利用复数相等求解；【小问1详解】解：因为复数1i z =-（i 是虚数单位），所以z ==，1i z =+；【小问2详解】因为复数1i z =-（i 是虚数单位），且(),az b z a b R +=∈，所以()1i 1i a b -+=-，即i 1i a b a +-=-，则11a b a +=⎧⎨-=-⎩，解得01b a =⎧⎨=⎩.18. 已知向量a ，b满足()1,1a =- ，1= b ．（1）若a ，b 的夹角为π3，求a b ⋅ ；（2）若()-⊥a b b r r r ，求a 与b的夹角．【答案】（1（2）π4【解析】【分析】（1）先算出a r，再按照数量积的公式计算即可（1）根据()-⊥a b b r r r 得到()0a b b -=r r r g ，计算出a b ⋅ ，再根据cos θa b a b=即可【小问1详解】()1,1a =-，所以a =，所以π1cos 132a b a b ⋅==⨯=【小问2详解】因为()a b b -⊥ ，所以()0a b b -⋅=，所以20a b b -= ，所以1a b = ，令θa b ⋅=所以cos θa b a b⋅== 因为[]θ0,π∈，所以πθ4=故a 与b的夹角为π4．19. 已知向量()sin ,1a x = ，3cos ,2b x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，函数()()2f x a a b =⋅- .（1）求()f x 最小正周期以及单调递增区间；（2）将()f x 的图象向左平移π4单位后得到()g x 的图象，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()g x 的值域.【答案】（1）π，增区间为π3ππ,π,Z 88k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）⎡-⎣【解析】【分析】（1）求得()π24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据周期公式可求得最小正周期，令πππ2π22π,Z 242k x k k -≤-≤+∈可求得单调递增区间；（2）由π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求得ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，再根据正弦函数的性质即可求解.【小问1详解】由题意知：()()2π22sin 2sin cos 1sin 2cos 224f x a a b x x x x x x ⎛⎫=⋅-=+-=-=- ⎪⎝⎭ ，所以πT =，令πππ2π22π,Z 242k x k k -≤-≤+∈，则π3πππ,Z88k x k k -≤≤+∈所以()f x 的最小正周期为π，增区间为π3ππ,π,Z 88k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】由题意知：()π24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦所以()g x ⎡∈-⎣.即()g x的值域为⎡-⎣.20. 某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设立了两个相距12km 的观测站A 和B ，观的测人员分别在A ，B 处观测该动物种群．如图，某一时刻，该动物种群出现在点C 处，观测人员从两个观测站分别测得30BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒，经过一段时间后，该动物种群出现在点D 处，观测人员从两个观测站分别测得75BAD ∠=︒，45ABD ∠=︒．（注：点A ，B ，C ，D 在同一平面内）（1）求ABD △的面积；（2）求点C D ，之间的距离．【答案】（1）)236km +;（2）．【解析】【分析】（1）由正弦定理求得AD 的长，利用三角形面积公式，即可求得答案；（2）求出AC 和CAD ∠，由余弦定理即可求得答案.【小问1详解】ABD △ 中，75BAD ∠=︒，45ABD ∠=︒，所以60ADB ∠=︒．由正弦定理：si n si n AD ABABD ADB=∠∠，得sin 45sin 60AD AB =︒︒，所以)sin 4512km sin 60AD AB ︒=⋅==︒,()1sin sin 75sin 45302BAD ⎫∠=︒=︒+︒=+=⎪⎪⎝⎭，所以ABD △的面积为)211sin 1236km 22ABD S AB AD BAD ∆=⋅⋅∠=⨯⨯=+．在【小问2详解】由30BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒，得45CAD ∠=︒，且90ACB ∠=︒,12cos30AC ∴== ．在ACD中由余弦定理，得2222cos 3631662602CD AC AD AC AD CAD =+-⋅⋅∠=⨯+⨯-⨯=,所以)km CD =．即点C ，D之间的距离为．21. 已知tan α，tan β是方程2430x px --=的两个实根，且0p >.（1）若1p =，求()tan αβ+的值；（2）用p 表示()()2tan cos 2cos 2sin αβαβαβ⎡⎤++-⎣⎦，并求其最大值.【答案】（1）1 （2）11p p+，最大值为12【解析】【分析】（1）根据韦达定理，结合和角正切公式即可求解；（2）根据韦达定理结合和角正切公式先求得()tan p αβ+=，再利用三角恒等变换结合齐次弦化切得原式为()()22tan 11tan 11p p p pαβαβ+==++++，利用基本不等式即可求得最大值.【小问1详解】当1p =时，2430x x --=由题意知：tan tan 4αβ+=，tan tan 3αβ=-所以()tan tan 4tan 11tan tan 13αβαβαβ++===-+【小问2详解】由题知：tan tan 4p αβ+=，tan tan 3αβ=-，则()tan tan 4tan 1tan tan 13ppαβαβαβ++===-+因为()()()()222222cos 2cos 2sin cos sin cos sin sin cos cos sin αβαβααββαβαβ+-=--+-2222222222cos cos cos sin sin cos sin sin sin cos 2sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβαβ=--++-22cos sin αβ+2222cos cos sin sin 2sin cos cos sin αβαβαβαβ=+-()()2222cos cos sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ=-+-()()cos cos cos cos sin sin sin sin sin sin cos cos αβαβαβαβαββα=-+-()()()()()22222cos 1cos sin cos tan 1αβαβαβαβαβ+=+==+++++，所以()()()()222tan 1tan cos 2cos 2sin 1tan 11p p p pαβαβαβαβαβ+⎡⎤++-===⎣⎦++++而12p p +≥=，当且仅当1p =时，等号成立，所以当1p =时，取得最大值为12.22. 悬索桥的外观大气漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线，悬链线的方程和双曲余弦函数cos ()h x 以及双曲正弦函数()sin h x 有关.已知()cos ()f x h x =是R 上的偶函数，()()sin g x h x =是R 上的奇函数，满足()()e x f x g x +=，其中e 是自然对数的底数.（1）求()f x 和()g x 的解析式；（2）已知[]0,x π∈，（i ）解不等式cos sin sin cos e e e e x x x x ---≥-；（ii ）设（i ）中不等式的解集为D ，若x D ∀∈，()()2cos cos 10f x ag x -+≥恒成立，求a 的取值范围.（注：1e<+<）.【答案】（1）()e e 2x x f x -+=，()e e 2x xg x --= （2）（i ）30,,π44ππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（ii ）[]4,4-【解析】【分析】（1）根据()cos ()f x h x =是R 上的偶函数，()()sin g x h x =是R 上的奇函数，由()()()()e e xx f x g x f x g x -⎧+=⎪⎨-=⎪⎩求解；（2）由（i ）不等式cos sin sin cos cos cos sin sin e e e e e e e e x x x x x x x x -----≥-⇒+≥+，令()e e x x h x -=+，证明其单调性即可；（ii ）令cos t x =，将x D ∀∈，()()2cos cos 10f x ag x -+≥恒成立，转化为()22e e e e 20t t t t a --+--+≥恒成立求解.【小问1详解】解：由()()()()e exx f x g x f x g x -⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得：()e e 2x xf x -+=，()2x x e eg x --=；【小问2详解】（i ）不等式cos sin sin cos cos cos sin sin e e e e e e e e x x x x x x x x -----≥-⇒+≥+，令()e exxh x -=+，任取[)12,0,x x ∈+∞，且12x x <，则()()()()121212e eee xx x x h x h x ---=-+-，()12121e e 1ex x x x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，因为[)12,0,x x ∈+∞，所以12e 1x x +>，则12110e x x +->，因为12x x <，所以12e e x x <，所以()()120h x h x -<，所以函数()h x 在[)0,∞+为增函数，又()()ee e e xx x x h x h x ---=+=+=，所以()h x 是偶函数，则cos sin x x ≥，又因为[]0,πx ∈，所以不等式解集为30,,π44ππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（ii ）令cos t x =，则1,t ⎤⎡∈⋃-⎥⎢⎣⎦⎣⎦，由()()2cos cos 10f x ag x -+≥，得()22e ee e 20ttt t a --+--+≥，当t ⎤∈⎥⎦时，1e e e e t t --⎡⎤-∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则问题转化为22e e 2e e t t t ta --++≥-恒成立，因为()2ee44e e 4e e e ett t t t tt t-----+=-+≥≥--，当且仅当e e 2t t --=时，等号成立，所以4a ≤，当1,t ⎡∈-⎢⎣时，1e e e e t t --⎡⎤-∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则问题转化为22e e 2e e t t t ta --++≥-恒成立；，()2ee 44e e e e e ett t t t tt ta -----+=-+≥--，因为()2e e 44e e 4e e e e t t t t t tt t-----+⎛⎫=--+≤-=- ⎪--⎝⎭，当且仅当e e 2t t --=-时，等号成立，所以4a ≥-，综上：a 的取值范围是[]4,4-.。
广东省茂名市化州市2023-2024学年高一下学期期中学科素养测评数学试题
广东省茂名市化州市2023-2024学年高一下学期期中学科素养测评数学试题一、单选题1．已知集合{}N 3A x x =∈<，{}22B x x =-<<，则A B =I （ ）A ．{}23x x -<<B ．{}24x x -<<C ．{}0,1D ．{}0,1,22．若复数z 满足(1i)1z -=，则z =（ ）A ．1i -B ．1i +C ．22i -D ．22i + 3．若2x >，则42y x x =+-的最小值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．84．已知π2cos 33α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．13BC ．D ．23- 5．设D 为ABC V 所在平面内一点，若3BC CD =u u u r u u u r ，则下列关系中正确的是（ ）A ．1433AD AB AC =-+u u u r u u u r u u u r B ．1344AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r C ．3144AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r D ．4133AD AB AC =-u u u r u u u r u u u r 6．已知幂函数1()n f x mx +=是定义在区间[2,]n -上的奇函数，设222sin ,cos ,tan 777a f b f c f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（ ） A ．b a c << B ．c b a << C ．b c a << D ．a b c << 7．化橘红具有散寒燥湿，利气消疾，止咳、健脾消食等功效．如图，小明为了测量一棵老橘红树的高度，他选取与树根部C 在同一水平面的A 、B 两点，在A 点测得树根部C 在西偏北30︒的方向上，沿正西方向步行20米到B 处，测得树根部C 在西偏北75︒的方向上，树梢D 的仰角为30︒，则树的高度是（ ）A ．B ．C 米D 8．设函数()22f x x mx n =++，()()22424g x x m x n m =+++++，其中x ∈R ，若对任意t ∈R及任意n ∈R ，f t 和()g t 中至少有一个为非负值，则实数m 的最大值是（ ）A．1 B C ．2 D二、多选题9．已知直线l m ,，平面,αβ，则下列说法错误的是（ ）A ．//,//m l l α，则//m αB ．//,//,,l m l m ββαα⊂⊂，则//αβC ．//,,l m l m αβ⊂⊂，则//αβD ．//,//,,,l m l m l m M ββαα⊂⊂=I ，则//αβ10．已知向量(a =r ，()cos ,sin b αα=r ，则下列结论正确的是（ ） A ．若a r 与b r 的夹角为π3，则3a b -=r rB ．若a b ⊥r r ，则tan αC ．若a b ∥r r ，则tan α=D ．若a r 与b r 方向相反，则b r 在a r 上的投影向量的坐标是1,2⎛- ⎝⎭11．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，侧棱11AA =，P 为上底面1111D C B A 上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（ ）A ．若3PD =，则满足条件的P 点有且只有一个B ．若PD P 的轨迹是一段圆弧C ．若PD ∥平面1ACB ，则DP 长的最小值为2D ．若PD ∥平面1ACB ，且PD =BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得平面图形的面积为94π三、填空题12．()130.50.2510.2562527--⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.13．定义运算：,,b a b a b a a b≥⎧⊗=⎨<⎩，则函数()33x x f x -=⊗的值域为． 14．在希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长为a ，b ，c ，其面积S =，这里1()2p a b c =++．已知在ABC V 中，6BC =，2AB AC =，则ABC V 面积的最大值为．四、解答题15．已知三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c o s c o s 2c o s a B b A c B +=．(1)求角B ；(2)若4A π=，角B 的角平分线交AC 于点D ，BD =，求CD 的长．16．已知平面向量()1,a x =r ，()23,b x x =+-r ，x ∈R .(1)若a b ⊥r r ，求a b -r r ；(2)若a r 与b r的夹角为锐角，求x 的取值范围.17．如图：在正方体1111ABCD A B C D -中，边长2AB =，M 为1DD 的中点．(1)求三棱锥D AMC -的体积；(2)求证：1//BD 平面AMC ；(3)若E 为线段1BD 上的动点，则线段1CC 上是否存在点N ，使//EN 平面AMC ？说明理由． 18．某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格()P x （元）与时间x （天）的函数关系近似满足()1k P x x=+（k 为正常数）.该商品的日销售量()Q x （个）与时间x （天）部分数据如下表所示：已知第10天该商品的日销售收入为121元.（I ）求k 的值;（II ）给出以下二种函数模型：①()Q x ax b =+，②()|25|Q x a x b =-+，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量()Q x 与时间x 的关系，并求出该函数的解析式;（III ）求该商品的日销售收入()()130,f x x x N +≤≤∈（元）的最小值.（函数()(0,0)k f x x x k x =+>>，在区间(上单调递减，在区间)+∞上单调递增.性质直接应用.）19．已知1x =是函数()232g x ax ax =-+的零点，()()g x f x x=． (1)求实数a 的值；(2)若方程()3213021x x f k k ⎛⎫ ⎪-+-= ⎪-⎝⎭有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．。
广东省广州市高一下学期期中联考数学试题(解析版)
一、单选题1．如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则ABCD E BC F AE DF =A ．B ．1324AB AD -+1223AB AD +C ．D ．1132AB AD -1324AB AD -【答案】D【分析】利用向量的三角形法则和向量共线定理可得：，，DF AF AD =- 1=2AF AE=AE AB BE+ ，，，即可得出答案.1=2BE BC =BC AD【详解】利用向量的三角形法则，可得，， DF AF AD =- =AE AB BE +为的中点，为的中点，则， E BC F AE 1=2AF AE 1=2BE BC1111==()=+2224DF AF AD AE AD AB BE AD AB BC AD ∴=--+-- 又 =BC AD .1324DF AB AD ∴=- 故选D.【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力. 向量的运算有两种方法：一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是： （１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）； （２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算，建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．2．已知m ，n 为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） ,αβA ．若，则 B ．若，则 //,//,//m n αβαβ//m n //,//,m m n αβαβ⋂=//m n C ．若，则 D ．若，则//,//αβn n //αβ//,m n n α⊂//m α【答案】B【分析】A ：结合两直线的位置关系可判断或异面； B ：结合线面平行的性质可判断//m n ,m n； C ：结合线面的位置关系可判断或相交； D ：结合线面的位置关系可判断//m n //αβ,αβ或.//m αm α⊂【详解】A ：若，则或异面，故A 错误；//,//,//m n αβαβ//m n ,m n B ：因为，所以在平面内存在不同于n 的直线l ，使得，则，从而，故//m αα//l m l //β//l n //m n ，故B 正确；C ：若，则或相交，故C 错误； //,//αβn n //αβ,αβD ：若，则或，故D 错误. //,m n n α⊂//m αm α⊂故选：B3．已知梯形ABCD 是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图A′B′C′D′（如图2所示），其中A′D′=2，B′C′=4，A′B′=1，则直角梯形DC 边的长度是A B ．C ．D【答案】B【详解】由图形可知．故选B ． 02,4,2,90AD BC AB ABC CD ===∠=∴==4．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（ ）A ．16B ．C ．D ．21【答案】D【分析】由祖暅原理知不规则几何体的体积与正六棱台体积相等即可求解. 【详解】由祖暅原理，该不规则几何体体积与正六棱台体积相等，故. ()12112133V S S h =+=⨯+⨯=故选：D5．P 是所在平面上一点，满足，则的形状是（ ） ABC A 20PB PC PB PC PA --+-=ABC A A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等边三角形【答案】B【分析】根据平面向量的线性运算、数量积与模长公式，可以得出，由此可判断出0AB AC ⋅=的形状.ABC A 【详解】由，可得，即，20PB PC PB PC PA --+-= 2CB PB PC PA =+-CB AB AC =+u u r u u u r u u u r ，AB AC AC AB -=+等式两边平方，化简得，， AB AC AC AB -=+ 0AB AC ⋅= AB AC ∴⊥ 因此，是直角三角形. ABC A 故选：B.6．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列判断正确的是（ ）A ．平面平面B ． BME //CAN AF CN //C ．平面D ．与相交//BM EFD BE AN 【答案】A【解析】将正方体的平面展开图复原为几何图形，进而判断选项的正误即可. 【详解】解：将正方体的平面展开图复原为几何图形，选项A ，如图可知，且平面，平面，//AN BM BM ⊂BME //AN BME ，且平面，平面，所以平面平面，故正确.NC BE //BE ⊂BME //NC BME BME //CAN选项B，如图，可知与为异面直线，不平行，故错误.AF CN选项C，如图可知平面与会相交，并不平行，故错误.EFD BM选项D，如图可知与为异面直线，不相交，故错误.BE AN故选：A.【点睛】本题考查空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的关系，考查空间想象能力，属于基础题.7．在正三角形ABC 中，AB ＝2，，且AD 与BE 相交于点O ，则＝1,2BD DC AE EC == ·OA OBA ．－B ．－C ．－D ．－45342312【答案】B【分析】根据题意将 用基底向量表示出来，然后通过基底向量进行计算．,OA OB,AB AC【详解】由题意画图如下因为,所以D 时BC 的中点，BD DC =所以,1122AD AB AC =+ 因为，12AE EC = 所以，13AE AC = 设，则,AO AD λ=1122AO AB AC λλ=+ 因为B,O,E 三点共线，所以存在实数 ，使得 μ()()1113AO AB AE AB AC μμμμ=+-=+-所以可得 解得 ()1=211=123λμλμ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩1=21=4λμ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩所以1144AO AB AC =+3144BO BA AO AB AC =+=-+所以11314444OA OB AO BO AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫==+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ A A A2222311=16816311222cos 6021681634AB AB AC AC --+=-⨯-⨯⨯⨯+⨯=-A 故选B【点睛】本题考查向量的运算，解题的关键是找到一组基底，将所求向量用基底表示，然后再进行数量积的运算．8．记内角的对边分别为，点是的重心，若则的ABC A ,,A B C ,,a b c G ABC A ,56BG CG b c ⊥=cos A 取值是（ ） A ．B ．C ．D ．5975577511156175【答案】D【分析】利用平向向量的线性运算得到，再由直角三角形斜边中线是斜边的一()12AM AB AC =+u u u r u u u r u u u r半与三角形重心的性质求得，从而利用平面向量的数量积运算得到32AM a =，结合余弦定理整理得，从而求得. 22292cos a c b bc A =++22225cos 0c b bc A +-=61cos 75A =【详解】依题意，作出图形，因为点是的重心，所以是的中点，故，G ABC A M BC ()12AM AB AC =+u u u r u u u r u u u r由已知得， ,,BC a AC b AB c === 因为，所以， BG CG ⊥1122GM BC a ==又因为点是的重心，所以，则，G ABC A 12GM GA =1322AM a a a =+=又因为，所以，则， ()2214AM AB AC =+ ()222912cos 44a cb bc A =++22292cos a c b bc A =++又由余弦定理得，所以，整理得2222cos a c b bc A =+-()222292cos 2cos c b bc A c b bc A +-=++，22225cos 0c b bc A +-=因为，令，则， 56b c =()60b k k =>5c k =所以， ()()()()222526565cos 0k k k k A ⨯+⨯-⨯⨯=则. 12261cos 15075A ==故选：D..二、多选题9．已知，则下列命题正确的有（ ）((),cos ,sin a b θθ==A ．若，则B ．的最大值为2a b ⊥π3θ=a b ⋅C ．存在，使D ．的最大值为3θ||||||a b a b +=+a b - 【答案】BCD【分析】根据向量的数量积公式即可求解AB ，当同向时，则有，将转化,a b ||||||a b a b +=+a b - 为三角函数的最值问题即可求解.【详解】依题意，对于A ：，0a b a b⊥⇒⋅=即，(()πcos ,sin cos 2sin 06a b θθθθ=θ⎛⎫⋅=⋅=++= ⎪⎝⎭ 所以，故A 错误；()()πππ,Z πZ 66k k k k θθ+=∈⇒=-∈对于B ：由A 知，π2sin 6a b θ⎛⎫⋅=+ ⎪⎝⎭ 所以当时，()()πππ2π,Z 2πZ 623k k k k θθ+=+∈⇒=+∈有最大值2，故B 正确；对于C ：当时，， π3θ=(1,2a b ⎛== ⎝，(1322a b ⎛⎛+=+=⎝⎝所以， ||3a b +==，1=所以，故C 正确；||||||a b a b +=+对于D：，(()()cos ,sin 1cos sin a b θθθθ-=-=- 所以())2221cos sin a b θθ-=-+，=()π52cos 54sin 6θθθ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭当，πsin 16θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭即时， ()()ππ2π2π,Z 2π,Z 623k k k k θθ+=-+∈⇒=-+∈取得最大值9，所以的最大值为3，故D 正确.2a b - a b - 故选：BCD.10．折扇在我国已有三四千年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它以字画的形式集中体现了我国文化的方方面面，是运筹帷幄，决胜千里，大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且，则该圆台（ ）120ABC∠=︒A B ．表面积为34π9C D ．上底面积、下底面积和侧面积之比为1:9:24【答案】BCD【分析】求得圆台的上下底面半径，根据圆台的结构特征可求得圆台母线长和高，判断A ；根据圆台的侧面积以及体积公式求得表面积和体积，判断B ，C ；进而求得上底面积、下底面积和侧面积之比，判断D.【详解】对于A ，设圆台的上底面半径为r ，下底面半径为R ，则，112π2π1,2π2π333r R =⋅⋅=⋅⋅解得,所以圆台的母线长为，高为，选项A 错误；1,13r R ==312-=h ==对于B ，圆台的上底面积为，下底面积为，侧面积为，1π9π18π(1)2π33⨯+⨯=所以圆台的表面积为，选项B 正确； 1834ππππ939S =++=对于C ，圆台的体积为 ，选项C 正确； 22111π[(11)333V =⋅+⋅+=对于D ，圆台的上底面积、下底面积和侧面积之比为，选项D 正确， 18πππ1:9:2493=∶∶故选：BCD ．11．在中，a ，b ，c 分别为的对边，下列叙述正确的是（ ） ABC A ,,A B C ∠∠∠A ．若有两解 45,A a b =︒==ABC AB ．若，则为等腰三角形 cos cos a bB A=ABC A C ．若为锐角三角形，则ABC A sin cos A B >D ．若，则为锐角三角形 sin :sin :sin 2:3:4A B C =ABC A 【答案】AC【分析】利用正弦定理可判定A ，B 的正误，根据锐角三角形的特点和余弦函数的单调性可得C 的正误，用正弦定理和余弦定理可得D 的正误.【详解】若， 45,A a b =︒==sin sin a bA B=可得或，sin sin b AB a===60B =︒120B =︒此时有两解，A 正确； ABC A 若，则由正弦定理可得，所以, cos cos a b B A=sin sin cos cos A BB A =sin cos sin cos A A B B =即，所以有或， sin 2sin 2A B =22A B =22180A B +=︒即或，B 不正确； A B =90A B +=︒若为锐角三角形，则，， ABC A π2A B +>π2B A >-因为在为减函数，所以，C 正确；cos y x =()0,ππcos cos sin 2B A A ⎛⎫<-= ⎪⎝⎭若，则由正弦定理可得， sin :sin :sin 2:3:4A B C =::2:3:4a b c =设，其中；2,3,4a k b k c k ===0k >则为最大边，， c 22222249161cos 022234a b c k k k C abk k+-+-===-<⨯⨯为钝角三角形，D 不正确.ABC A 故选：AC.12．如图，在棱长为1的正方体中，P 是上的动点，则（ ）1111ABCD A B C D -11B DA ．直线与是异面直线 DP 1BCB ．平面 //CP 1A BDC ．的最小值是21A P PB +D ．当P 与重合时，三棱锥1B 1P A BD -【答案】ABD【分析】选项A ，利用平面可说明直线与是异面直线；11BB C C DP 1BC 选项B ，先证明平面平面，再由平面，得平面；11//CB D 1A BD CP ⊂11CB D //CP 1A BD 选项C ，通过作辅助线，将的最小值转化为求的值，在中，利用勾股定理求出1A P PB +BM BMN A 的值；BM 选项D ，认识到当P 与重合时，三棱锥的外接球与正方体的外接球是同一个，利用正1B 1P A BD -方体来求外接球半径.【详解】A 选项，因为直线与平面相交于点，直线在平面内，所以由线DP 11BB C C 1B 1BC 11BB C C 线位置关系知，直线与是异面直线，故选项A 正确；DP 1BC B 选项，连接，，由正方体性质，易知，，，所以四边形为平1CB 1CD 11//A D BC 11A D BC =11A BCD 行四边形，有，又平面，平面，所以平面， 11//CD A B 1CD ⊄1A BD 1A B ⊂1A BD 1//CD 1A BD 同理可证平面，1//CB 1A BD 又，都在平面内，且相交于点，所以平面平面， 1CD 1CB 11CB D C 11//CB D 1A BD 又平面，所以平面，故选项B 正确；CP ⊂11CB D //CP 1A BDC 选项，延长到，使得，1BB 2B 1211B B B D =21B D 在上取点，使得，21B D M 11111D M A D ==则，有.111A D P MD P ≅A A 1MP PA =故.1A P PB MP PB BM +=+≥过点作，交于点，M 12MN B B ⊥12B B N在中，因为，所以，又， 121B B D A 1211B B B D =212B D =111D M =所以， MN =1B N =1BN =BM =所以，故选项C 错误；1A P PB +D 选项，当P 与重合时，三棱锥的外接球即为正方体的外接球， 1B 1P A BD -1111ABCD A B C D -又正方体的棱长为1，故其外接球半径D 正确. 1111ABCD A B C D -R ==故选：ABD.三、填空题13．已知是方向相同的单位向量,且向量在向量方向上的投影向量为,求与||2,||3,a b e == b a b e - a的夹角__________.b θ=【答案】 23π【分析】根据向量在向量上的投影向量为,由求解. a b e - cos ,1a b a b a b b b⋅⋅⋅==- 【详解】因为向量在向量上的投影向量为,a b e - 所以, cos ,1a b a b a b b b⋅⋅⋅==-即, 1cos ,2a b =- 因为,[],0,πa b ∈ 所以, 2π,3a b= 故答案为:. 2π314．已知圆柱上下底面圆周均在球面上，且圆柱底面直径和高相等，则该球与圆柱的体积之比为________．【分析】设圆柱底面圆的半径，外接球的半径为，得到，结合圆柱和球的体积公式，r R =R 即看求解.【详解】如图所示，作出圆柱与外接球的组合体的轴截面，设圆柱底面圆的半径，外接球的半径为，则，rR 12,2AB r AA r ==所以，可得，2R===R 所以外接球的体积， )333144ππ33V R r ==⋅=圆柱的体积为，232π22πV r r r =⋅=所以该球与圆柱的体积之比为12V V =15．如图所示，为了测量A 、B 两岛屿的距离，小明在D 处观测到A 、B 分别在D 处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶10海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60°方向，则A 、B 两岛屿的距离为__海里．【答案】【分析】先利用正弦定理求解AD 的长，再利用余弦定理求出AB ．【详解】由题意知∠ADB ＝60°，∠ACB ＝60°，∠ADC ＝105°，∠ACD ＝30°，CD ＝10，∠BDC =45°， 在三角形ACD 中，， 10sin 30sin 45AD =∴AD ＝在直角三角形BCD 中，BD ＝，在三角形ABD 中，AB=故答案为：16．如图，中，为中点，为圆心为、半径为1的圆的动直径，则ABC A M AB 5,3,AB CM EF ==C 的取值范围是__________.⋅BE AF【答案】 1327,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】由向量的运算得出，再由的范围得出的取值范围. 74BE AF CE AB ⋅=⋅+ CE AB ⋅ ⋅BE AF 【详解】 ()()()2BE AF BC CE AC CE BC AC CE AC BC CE ⋅=+⋅-=⋅+⋅--()()()()BC AC BM MC AM MC AM MC AM MC ⋅=+⋅+=-+⋅+ ，且. 222511944MC AM =-=-= 21CE = 即 2579144BE AF CE AB CE AB ⋅=-+⋅-=⋅+ 设与的夹角为，则. CE AB []0,θπ∈77cos 5cos 44BE AF CE AB θθ⋅+=+⋅= 因为，所以. []cos 1,1θ∈-BE AF ⋅∈ 7713275,5,4444⎡⎤⎡⎤-+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦故答案为： 1327,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦四、解答题17．已知向量，，． a b ()1,1b =- ()()2a b a b -⊥+ (1)若，求实数的值； //4a b a b λλ++ （）（）λ(2)若设与的夹角为，求的大小．2a b + b θθ【答案】(1) 12λ=±(2)4πθ=【分析】（1）利用向量垂直数量积为，得出，从而确定向量，不共线，可作为一组01a b ⋅=- a b 基底，再根据共线定理得出实数的值；λ（2）根据两向量的夹角公式的需要，首先求出两向量的数量积，再求出的模长，最后代入2a b + 夹角公式即可.【详解】（1）由可得：， ()()2a b a b -⊥+ ()()20a b a b -⋅+=即得，，2220a a b b +⋅-= ()1,1b =- 25a = 22b = 代入解得：，所以，是不共线的向量.1a b ⋅=- a b 由题可设：，因为，是不共线的向量， ()4a b a b λμλ++= a b所以且，解得． λμ=41λμ=12λ=±（2）由于， ()222143a b b a b b +⋅=⋅+=-+=，3a =+= 由与的夹角为：2a b + b θ()2c 2os a b b a b b θ+⋅===+⋅由于，所以．[]0,θπ∈4πθ=18．如图，已知正三棱锥的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高．S ABC -3SO=(1)求此正三棱锥的表面积；(2)求此正三棱锥的体积．【答案】(1)正三棱锥的表面积为(2)正三棱锥的体积为【分析】(1)由条件列方程求底面边长、斜高，进而求三棱锥的表面积；(2)利用锥体体积公式求解.【详解】（1）如图，设正三棱锥的底面边长为a ，斜高为，侧面积、底面积分别为， h '12,S S 过点O 作，与交于点E ，连接，则．OE AB ⊥AB SE ,SE AB SE h '⊥=由，即，可得. 122S S =21322a h '⋅⋅=⨯a'=由，则， SO OE ⊥222SO OE SE +=1133OE CE ===即．2223h ⎫''+=⎪⎪⎭．h '∴=6a =． 2226S ∴===1S =∴表面积12S S S =+==（2）正三棱锥的体积21113333ABC V S h S SO ==⋅=⨯=A 19．已知，，分别为三个内角，，的对边，且.a b c ABC A A B C 22cos b c a C =+(1)求；A(2)若，求的周长. ABC A 3a =ABC A 【答案】(1)π3A =(2)8【分析】（1）由及正弦定理求解；22cos b c a C =+（2）由面积公式求得，由余弦定理及求得，从而得到的周长.bc 3a =b c +ABC A 【详解】（1）.由正弦定理可得： 22cos b c a C =+ ∴，2sin sin 2sin cos B C A C =+所以，()()2sin π2sin sin 2sin cos A C A C C A C --=+=+所以，2sin cos 2cos sin sin 2sin cos A C A C C A C +=+， ∴sin 2cos sin C A C =为三角形内角，，解得，， C sin 0C ≠1cos 2A =(0,π)A ∈. π3A ∴=（2），， 11sin 22S bc A bc === 163bc ∴=由余弦定理得，，22222cos ()22cos =+-=+--a b c bc A b c bc bc A 即，解得， 2169()33b c =+-⨯5b c +=的周长为.ABC A ∴8a b c ++=20．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，E 为棱的中点，平面与棱P ABCD -ABCD PC ABE 交于点F ． PD(1)求证：平面；//PA BDE (2)求证：F 为的中点；PD 【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；【分析】（1）连接AC 交BD 于点G ，连接GE ，根据ABCD 为平行四边形，得到G 为AC 的中点，再由E 为PC 的中点，得到，再利用线面平行的判定定理证明；//GE PA （2）先由，利用线面平行的判定定理得到 平面ABEF ，再利用线面平行的性质定//AB CD //CD 理得到求解.//CD EF 【详解】（1）证明：如图所示：连接AC 交BD 于点G ，连接GE ，因为ABCD 为平行四边形，所以G 为AC 的中点，又E 为PC 的中点，所以，又平面BDE ，平面BDE ，//GE PA PA ⊄GE Ì所以平面；//PA BDE （2）因为底面为平行四边形，ABCD 所以，//AB CD又 平面ABCD ， 平面ABCD ，AB ⊂CD ⊄所以 平面ABEF ，又平面平面，//CD ABEF ⋂PDC EF =所以，//CD EF 又因为E 为PC 的中点，所以F 为的中点.PD 21．如图，棱长为2的正方体中，P ，Q 分别是棱的中点．1111ABCD A B C D -1,DDAB(1)平面与直线交于R 点，求的值； PQC 1AA 1AR A R(2)在线段上是否存在点M ，使得面，若存在，请求出M 点位置并证明；若不存1CC //BM PQC 在，请说明理由．【答案】(1) 13(2)存在，为线段上靠近点的四等分点M 1CC C【分析】（1）根据题意，延长和交于，连接，交于，即可得到，从CQ DA E PE 1AA R 114AR AA =而得到结果；（2）根据题意，取中点，中点，连接，即可得到四边形为平行四边PC N DC G ,NG NM MNQB 形，从而得到结果. 【详解】（1）延长和交于，连接，交于，CQ DA E PE 1AA R即平面与直线交于点，PQC 1AA R 因为为中点， ，所以为中点，Q AB AQ DC //A ED 于是， 1111111122244AR PD DD DD AA ==⨯==所以. 113AR A R =（2）存在，当为线段上靠近点的四等分点时，面，M 1CC C //BM PQC 取中点，中点，连接，则，且，PC N DC G ,NG NM //MN GC MN GC =所以，且，所以四边形为平行四边形，//MN BQ MN BQ =MNQB 所以，又因为平面，平面，BM NQ //BM ⊄PQC NQ ⊂PQC 所以面.//BM PQC 22．在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足），灯杆与灯柱所在平面与AB 90BAD ∠=︒BC AB 道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知120ABC ∠=︒C ，路宽．设灯柱高，．60ACD ∠=︒12m AD =()m AB h =()3045ACB θθ∠=︒≤≤︒(1)当时，求四边形的面积；30θ=︒ABCD (2)求灯柱的高（用表示）；h θ(3)若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出BC AB S S θS 的最小值．【答案】(1)2(2)()8sin23045h θθ=︒≤≤︒(3)，最小值为 ())8sin 2603045S θθ=++≤≤︒︒︒S 24+【分析】（1）由三角形角的关系结合正弦定理可得各边长，再由可得ABC ACD ABCD S S S =+四边形△△解；（2）分别在与中由正弦定理化简即可得解；ACD A ABC A （3）根据正弦定理分别表示各边长及，再根据三角函数求值域的方法可得最值.S 【详解】（1）当时，， 30θ=︒1801203030BAC ︒︒︒︒∠=--=所以，AB BC =又9060CAD BAC ∠︒∠=︒=-所以是等边三角形，所以，ACD A 12AC AD ==所以在中，，即， ABC A sin sin sin AB BC AC ACB BAC ABC==∠∠∠AB BC ==所以； 11sin1201212sin6022ABC ACD ABCD S S S =+=⨯︒+⨯⨯︒⨯=A A 四边形（2），，18012060BAC θθ∠=︒--=︒︒-9030CAD BAC θ∠︒-=+︒=∠，()180630900ADC θθ︒︒∠=-=︒-︒+-在中，由正弦定理得， ACD A sin sin AD AC ACD ADC∠∠=所以 ()12sin60sin 90AC θ=︒︒-所以AC θ=在中，由正弦定理得， ABC A sin sin AC AB ABC ACB =∠∠所以， sin120sin AC h θ=︒所以，所以； AC θ==()8sin23045h θθ=︒≤≤︒（3）在中，由正弦定理得， ABC A sin sin AC BC ABC BAC =∠∠， ()sin 60BC θ=︒-所以()[]216cos sin 6016cos sin60cos cos60sin 8sin cos BC θθθθθθθθ=-=︒︒-︒=-1cos24sin24sin22θθθθ+=-=-所以 ()8sin24sin24sin2S AB BC θθθθθ=+=+-=+， ()18sin28sin 2602θθθ⎛⎫=+=++ ⎭︒⎪⎪⎝因为，所以， 3045θ︒≤≤︒120260150θ︒≤+︒≤︒所以当，即时，取最小值 260150θ+︒=︒45θ=︒S 4+故关于的函数表达式为，最小值为. S θ())8sin 2603045S θθ=++≤≤︒︒︒S 24+。
广东省广州市广州中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含简单答案)
广州市广州中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知向量，，则（ ）A. 2B. 3C. 4D. 52（ ）A. B. C. D. 3. 如图，四边形中，，则必有（ ）A. B. C. D. 4. 如图，在空间四边形中、点、分别是边、上的点，、分别是边、上的点，，，则下列关于直线，的位置关系判断正确的是（ ）A. 与互相平行；B. 与是异面直线；C. 与相交，其交点在直线上；D. 与相交，且交点在直线上．5.已知，，且与互相垂直，则与的夹角为（ ）A. B. C. D. .(2,1)a =(2,4)b =- ||a b -= ()i 13i 1i-=+2i +2i -2i-+2i--ABCD AB DC =AD CB=DO OB=AC DB=OA OC=ABCD E H AB AD F G BC CD EH FG ∥EH FG ≠EF GH EF GH EF GH EF GH BD EF GH AC a = 1b = a b - 2a b + a b30︒45︒60︒90︒6. 已知圆锥的底面圆周在球的球面上，顶点为球心，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的表面积为（ ）A. B. C. D.7. 函数的部分图象如图所示，则函数的单调递减区间为（ ）A. B. C. D. 8. 如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点，其对应的方程为（，其中为不超过的最大整数，）.若该葫芦曲线上一点到轴的距离为，则点到轴的距离为（ ）A.B.C.D.二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式O O O 12π16π48π96π()()πsin 1002f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭，，()π16g x f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭πππ,π,Z 66k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ππ2π,2π,Z 66k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦π5ππ,π,Z 36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦π,24P ⎛⎫⎪⎝⎭122sin 2πx y x ω⎛⎫⎡⎤=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭0x ≥[]x x 05ω<<M y 4π3M x 1412s t h cm，确定，其中，，．小球从最高点出发，经过后，第一次回到最高点，则（ ）A B.C. 与时的相对于平衡位置的高度D. 与时的相对于平衡位置的高度之比为10. 下列说法正确的是（ ）A. 向量在向量上的投影向量可表示为B. 若，则与的夹角θ的范围是C. 若是等边三角形，则D 已知，，则11. 如图，在直三棱柱中，分别是棱上的点，，，则下列说法正确的是（ ）A. 直三棱柱的体积为..()sin h A t ωϕ=+[)0,t ∞∈+0A >0ω>(]0,πϕ∈2s π4ϕ=πω=3.75s t =10s t =h 3.75s t =10s t =h 12ab a b b b b⋅⋅0a b ⋅< a bπ,π2⎛⎤⎥⎝⎦ABC V π,3AB BC <>=(1,2)A -(1,1)B ()2AB =-,1111ABC A B C -,E F 11,B B C C 11111224AA A B A C ===111π3A CB ∠=111ABC A B C -B. 直三棱柱外接球的表面积为；C. 若分别是棱的中点，则直线；D. 当取得最小值时，有三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分12. 在复平面内，对应的复数是，对应的复数是，则点之间的距离是______．13. 已知不共线的三个单位向量满足与的夹角为，则实数____________.14. 将函数且的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图形向左平移个单位长度后，得到一个奇函数图象，则__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. （1）将向量运算式化简最简形式．（2）已知，且复数，求实数的值．16. 如图所示，正六棱锥的底面周长为24，H 是的中点，O 为底面中心，，求：（1）正六棱锥的高；（2）正六棱锥斜高；（3）正六棱锥的侧棱长.17. （1）在三角形中，内角所对的边分别是，其中，，求．（2）热气球是利用加热的空气或某些气体，比如氢气或氦气的密度低于气球外的空气密度以产生浮力飞行．热气球主要通过自带的机载加热器来调整气囊中空气的温度，从而达到控制气球升降的目的．其工作的基本原理是热胀冷缩，当空气受热膨胀后，比重会变轻而向上升起，热气球可用于测量．如图，在离地为的111ABC A B C -64π3,E F 11,B B C C 1A F AE ∥1AE EF FA ++1A F EF=AB1i -AD 1i +,B D ,,a b c0,a b c a λ++=bπ3λ=()sin cos (,R f x a x b x a b =+∈0)b ≠π3ab =AB CB DC DE FA --++x ∈R ()222522i 0x x x x -++--=x BC 60SHO ∠=︒ABC ,,A B C ,,a b c 2c a =1sin sin sin 2b B a A a C -=cos B面高的热气球上，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，求山的高度．18. 如图，在梯形中，，，且，，，在平面内过点作，以为轴将四边形旋转一周．（1）求旋转体的表面积；（2）求旋转体的体积；（3）求图中所示圆锥的内切球体积．19. 如图，在的边上做匀速运动的点，当时分别从点，，出发，各以定速度向点前进，当时分别到达点．（1）记，点为三角形的重心，试用向量线性表示（注：三角形的重心为三角形三边中线的公共点）（2）若的面积为，求的面积的最小值．（3）试探求在运动过程中，的重心如何变化？并说明理由．800m M C 15︒A 45︒60BAC ∠=︒BC ABCD 90ABC ∠=︒AD BC ∥AD a =2BC a =60DCB ∠=︒ABCD C l CB ⊥l ABCD CO ABC V ,,D E F 0=t A B C ,,B C A 1t =,,B C A ,AB a AC b == G ABC ,a bBG ABC V S DEF V DEF V广州市广州中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷简要答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】D二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】AB【11题答案】【答案】ABD三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分【12题答案】【答案】2【13题答案】【答案】-1【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）；（2）2.【16题答案】【答案】（1）6；（2）3）【17题答案】【答案】（1）；（2）【18题答案】【答案】（1）（2（3【19题答案】【答案】（1）（2）（3）的重心保持不变，理由略.FE341200m 2(9πa +3a 3πa 1233BG b a =-14S DEF V。
广东省高一下学期期中考试 数学 Word版
数学试题（满分 150分。
考试时间 120分钟。
）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
并用2B 铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效。
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回。
第I 卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．已知集合，，则 {14}A x Nx =∈-<<∣{}2,3B =A B ⋃=A ． B ．C ．D ．{}2{}0,1,2,3{}2,3{}1,2,32．若复数，则 2i1iz +=-z =A ．B C D 13．已知等边三角形的边长为2，且，则 ABC ()12AD AB AC =+ AD AC ⋅=A B C ． D ．234．已知，则 1sin 4π6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ． 127878-5．已知实数满足，则下列各项中一定成立的是 ,a b 22log log 0a b <<A B ．C ．D ．>sin 2sin 2a b <log 2log 2a b <b a a b <6．定义在上的函数满足.若的图象关于直线对称，则下列选R ()f x ()()42f x f x -+=()f x 4x =项中一定成立的是 A ．B ．C ．D ．()21f -=()00f =()42f =()61f =-7.珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的．这种挤压一直在进行，珠穆朗玛峰的高度也一直在变化．由于地势险峻，气候恶劣，通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”．攀登者们肩负高精度测量仪器，采用了分段测量的方法，从山脚开始，直到到达山顶，再把所有的高度差累加，就会得到珠峰的高度．2020年5月，中国珠峰高程测量登山队8名队员开始新一轮的珠峰测量工作．在测量过程中，已知竖立在点处的测量觇标高10米，攀登者们在处B A 测得到觇标底点和顶点的仰角分别为70°，80°，则、的高度差约为B C A B）1.414==A ．10米B ．9.72米C ．9.40米D ．8.62米8．已知函数在上单调递减，则的取值范围为 ()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭ωA ．B ．C ．D ．17,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦25,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦24,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦35,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年广东省惠州中学高一(下)期中数学试卷(含答案)
2023-2024学年广东省惠州中学高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={−2,−1,0,1,2}，B ={x|lnx >0}，则A ∩B =( )A. {1}B. {2}C. {−2,2}D. {−1,0,1}2.已知α，β是平行四边形的两个内角，则“α=β”是“sinα=sinβ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知互相垂直的平面α，β交于直线l ，若直线m ，n 满足m//α，n ⊥β，则( )A. m//lB. m//nC. n ⊥lD. m ⊥n 4.如图，在△ABC 中，AN =12NC ，P 是BN 上的一点，若AP =(m +13)AB +19AC ，则实数m 的值为( )A. 19B. 29C. 23D. 135.若函数f(x)={x 2−2ax +1,x >1ax,x ≤1在其定义域内是一个单调递增函数，则实数a 的取值范围是( )A. (0,1]B. (0,23]C. [0,1]D. [0,23]6.已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积是底面积的2倍，则圆锥的体积为( )A. 6πB. 6 3πC. 9 3πD. 12π7.心理学家有时用函数L(t)=A(1−e −kt )测定在时间t(单位：min)内能够记忆的量L ，其中A 表示需要记忆的量，k 表示记忆率．假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时L 表示在时间t 内该生能够记忆的单词个数．已知该生在5min 内能够记忆20个单词，则k 的值约为( )(ln0.9≈−0.105,ln0.1≈−2.303)A. 0.021B. 0.221C. 0.461D. 0.6618.如图，O 是锐角三角形ABC 的外心，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A =π3，若cosB sinCAB +cosCsinB AC =2m AO ，则m =( )A. 12 B. 22C. 32D. 1二、多选题：本题共3小题，共18分。
广东省广州大学附属中学等三校2023-2024学年高一下学期期中联考数学试题答案
2023-2024学年下学期期中三校联考高一数学参考答案一、单选题1、B2、C3、C4、D5、A6、D7、A8、B二、多选题9、AD 10、BCD 11、ABD三、填空题12、()0,1− 13、325 14、22−四、解答题（注：利用公式A 12AOB A B B S x y x y =− 计算也可以）.11DA 1、EC 1为截面与各木块表面的交线. ………………2分理由如下：由于11////C A AC DE ，故11C D 、、、A E 四点共面，且平面11BCC B 平面11AC ED 1C E =，平面11ABB A 平面11AC ED 1A D =，平面ABC 平面11AC ED DE =，则DE 、DA 1、EC 1为截面与各木块表面的交线.………………4分（2）由于点O 为重心，DE //AC ，所以23DE AC =，又因为2AC =3A 1C 1，故11DE A C = 故几何体111A B C DEB −为棱柱，设棱台的高为h ，111C B A ∆的面积为S ，故111A B C DEB V S h −=⋅，………………7分由L K 、为1111B A C B 、的中点得11//KL C A ，又由于在正三棱台111C B A ABC −中DE //AC ，所以DE //KL ，L K E D 、、、四点共面.又因为2AC =3A 1C 1，点O 为重心，K C 2123313111111==⋅==C B C B BC CE ， 故四边形1CEMC 为平行四边形，故1//K CC E ，所以11//K A ACC E 平面，又11//A ACC DE 平面，所以11//A ACC DEKL 平面平面，所以当点KL M ∈时KL DE OM 平面⊆，于是11A C //AC OM 平面.………………14分（2）2()2cos 21sin 14sin sin F x x x x x λλ=−−=−−由于()0F x =时，sin 0x ≠，故由()0F x =可得14sin sin x xλ=−， 设sin x t =，1()4h t t t=−，()h t 在[)1,0−和(]0,1上递减，()()13,13h h −==− 因为[]sin 1,1t x =∈−， ………………8分 ①若3λ=，由14sin 3sin x x −=得sin 1x =−或1sin 4x =，则()F x 在(0,2)π内有且仅有3个零点，且在(0,)π内恰有2个零点，则要满足()x f 在()()*0,πN n n ∈内恰有2024个零点，则13491232022=+×=n ………………10分②若3λ=−，由14sin 3sin x x −=−得sin 1x =或1sin 4x =−，则()F x 在(0,2)π内有且仅有3个零点，且在(0,)π内恰有1个零点，，此时()F x 在(0,)n π内的零点个数为k 3或()N k k ∈+13个，不符题意； ……………12分③若33λ−<<，则()F x 在(0,2)π内有且仅有4个零点，则要满足()x f 在()()*0,πN n n ∈内 恰有2024个零点，则1012242024=×=n ， ……………14分 ④3λ>或3λ<−，则()F x 在(0,2)π内有且仅有2个零点，则要满足()x f 在()()*0,πN n n ∈内恰有2024个零点，则2024222024=×=n ． ……………16分 综上：当()3,3λ∈−时，1012n =；当3λ=时，1349n =；当()(),33,λ∈−∞−+∞ 时，2024n =. ……………17分。
2022—2023学年度广东省茂名市第一中学高一第二学期期中考试数学试题及答案
茂名市第一中学2022—2023学年度第二学期期中考试高一数学试卷考试时间：120分钟总分：150分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．设z ＝1+2i ，则在复平面内z 的共轭复数对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．＝（）A ．B ．C ．D ．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1,3,3===b a A π，则c 等于（）A ．2B ．C ．D ．4．一梯形的直观图是如图所示的等腰梯形，且直观图OA ′B ′C ′的面积为2，则原梯形的面积为（）A ．2B ．22C ．24D ．45.为了得到函数ππsin 3cos cos3sin 33y x x =+的图象，可以将函数sin 3y x =图象()A.向左平移π个单位B.向左平移π9个单位C.向右平移π个单位D.向右平移π9个单位6.在空间中，下列命题正确的是（）A ．三点确定一个平面B ．若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行C ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D ．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行7.在ABC 中，已知2cos c a B =⋅，那么ABC 一定是（）A.等腰直角三角B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形8.已知中，，，点D 是AC 的中点，M 是边BC 上一点，的最小值是()A. B. C. D.二､多选题（本大题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
）9.复数i z 2321+=，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（）A.z 的实部是21 B.z 的共轭复数为3122i +C.z 的实部与虚部之和为2 D.z 在复平面内的对应点位于第一象限10.已知平面向量()1,0a =，(1,b = ，则下列说法正确的是（）A.||16a b +=B.()2a b a +⋅= C.33,cos >=<→→b a D.向量+a b在a 上的投影向量为2a11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，以下结论中正确的有（）A ．若sin A ＞sinB ，则A ＞BB ．若sin2A ＝sin2B ，则△ABC 一定为等腰三角形C ．若cos 2A +cos 2B ﹣cos 2C ＝1，则△ABC 为直角三角形D ．若△ABC 为锐角三角形，则sin A ＜cos B 12.如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对角线交点O ，点E 是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（）A.直三棱柱的体积是1B.直三棱柱的外接球表面积是C.三棱锥的体积与点E 的位置有关D.的最小值为三、填空题(每小题5分，共20分)13．设复数z 满足其中i 是虚数单位，则__________.14．圆锥的半径为2，高为2，则圆锥的侧面积为．15．非零向量→a ＝（sin θ，2），＝（cos θ，1），若→a 与共线，则tan （θ﹣4π）＝．16南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即])2([41222222b a c a c S -+-=（其中S 为三角形的面积，a ，b ，c 为三角形的三边）．在斜△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若)cos 3(cos C B c a +=，且B C a sin 3sin =．则此△ABC 面积的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分)17．（10分）已知向量→a ＝（1，1），→b ＝（2，﹣3）．（1）若→c ＝2→a +3→b ，求→c 的坐标；（2）若→a λ﹣2→b 与→a 垂直，求λ的值．18．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足bc a c b -=-22）（．（1）求角A 的大小；（2）若a ＝2，sinC ＝2sinB ，求△ABC 的面积．19．（12分）（1）已知正四棱锥的底面边长是6，侧棱长为5，求该正四棱锥的体积；（2）如图（单位：cm ），求图中阴影部分绕AB 旋转一周所形成的几何体的体积．20（12分）已知函数x x x x f 4cos 212sin )1cos 2()(2+-=．（1）求f （x ）的最小正周期及单调递减区间；（2）若α∈（0，π），且22)84(=-παf ，求α的值．21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，E 是线段PD 上的点，且，PA ＝PD ＝AD ＝3，32CE =，BC ∥AD ，∠ADC ＝45°．（1）求证：CE ∥平面PAB ；（2）若M 是线段CE 上一动点，则线段AD 上是否存在点N ，使MN ∥平面PAB ？若存在，求出MN 的最小值；若不存在，说明理由．22.（12分）借助国家实施乡村振兴政策支持，某网红村计划在村内扇形荷花水池OAB 中修建荷花观赏台，助推乡村旅游经济.如图所示，扇形荷花水池OAB 的半径为20米，圆心角为π4.设计的荷花观赏台由两部分组成，一部分是矩形观赏台MNPQ ，另一部分是三角形观赏台AO C.现计划在弧AB 上选取一点M ，作MN 平行OA 交OB 于点N ，以MN 为边在水池中修建一个矩形观赏台MNPQ ，NP 长为5米；同时在水池岸边修建一个满足AO OC =且2COA AOM ∠=∠的三角形观赏台AOC ，记)46(ππ<≤=∠x x AOM .（1）当π6AOM ∠=时,过点M 作OA 的垂线，交OA 于点E ，过点N 作OA 的垂线，交OA 于点F,求ME ,OF 及矩形观赏台MNPQ 的面积；（2）求整个观赏台（包括矩形观赏台和三角形观赏台两部分）面积的最大值.茂名市第一中学2022—2023学年度第二学期期中考试高一数学试卷答案1【答案】D ．解：∵z ＝1+2i ，∴z 的共轭复数＝1﹣2i ，对应的点为（1，﹣2），故在第四象限，2【答案】D解：根据向量的线性运算法则，可得．3【答案】A解：，则由余弦定理可得，3＝1+c 2﹣2c ×1×cos＝1+c 2﹣c ，∴c 2﹣c ﹣2＝0，解得c ＝2或﹣1（舍）．4【答案】C解：把该梯形的直观图还原为原来的梯形，如图所示；设该梯形的上底为a ，下底为b ，高为h ，则直观图中等腰梯形的高为h ′＝h sin45°；∵等腰梯形的体积为（a +b ）h ′＝（a +b ）•h sin45°＝2，∴（a +b ）•h ＝＝4∴该梯形的面积为4．5【答案】B【详解】依题意，ππππsin 3coscos3sin sin(3)sin 3(3339y x x x x =+=+=+，所以函数sin 3y x =图象向左平移π9个单位可得πsin 3()9y x =+的图象.6【答案】C解：对于A ，不共线的三点确定一个平面，故A 错误；对于B ，l ∥α，则l 与平面α内的直线平行或异面，故B 错误；对于C ，由平面基本性质及其推论得：两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故C 正确；对于D ，如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行或在这个平面内，故D 错误．7【答案】B解：已知2c a cosB ＝，则：2sinC sinAcosB ＝，整理得：()2sin A B sinAcosB +＝，则：()0sin A B -＝，所以：A B ＝.8.【答案】B解：根据题意，建立图示直角坐标系，，，则，，，，是边BC上一点，设，则，，，当时，取得最小值，9【答案】ACD解:由题得A 正确；z 的共轭复数为1322i -，则B 不正确；z 的实部与虚部之和为13222+=，则C 正确；z 在复平面内的对应点为13(,22，位于第一象限，则D 正确.10【答案】BD解：((11,02,2a b +=++= ，所以4a b +==，故A错误；()1202a a b ⋅+=⨯+⨯=，故B 正确；1313,cos =⋅>=<→→→→→→ba b a b a ，向量+a b 在a 上的投影向量为()2·21a ab a a a a a ⋅+=⨯=，故D 正确．11【答案】AC【解答】解：对于A ，若sin A ＞sin B 成立，由正弦定理可得a ＞b ，所以A ＞B ，故正确；对于B ，由sin2A ＝sin2B ，得到2A ＝2B 或2A +2B ＝π，可得A ＝B 或A +B ＝，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故错误；对C ，若cos 2A +cos 2B ﹣cos 2C ＝1，可得若（1﹣sin 2A ）+（1﹣sin 2B ）﹣（1﹣sin 2C ）＝1，整理得：sin 2A +sin 2B ＝sin 2C ，可得a 2+b 2＝c 2．可得△ABC 为直角三角形，故正确；对于D ，若△ABC 是锐角三角形，则A +B +C ＝π，A +B ＞，A ＞﹣B ，A 、B 、C 均是锐角，由正弦函数在（0，）递增，所以：sin A ＞sin （﹣B ）＝cos B ，故错误．12【答案】AD解：在直三棱柱中，，，所以其体积V=Sh=121121=⨯⨯⨯，故A 正确；对于B ，由直三棱柱结构特征及外接球的对称性可得，其外接球即为长宽高分别为2，1，1的长方体的外接球，所以其外接球半径为，所以其外接球的表面积为，故B 错误；由平面，且点E 是侧棱上的一个动点，，三棱锥的高h 为定值，，，故三棱锥的体积为定值，故C 错误；将四边形沿翻折，使四边形与四边形位于同一平面内，此时，连接与相交于点E ，此时最小，即，故D 正确．13【答案】解：，故14【答案】解：如图，圆锥的母线，圆锥的侧面展开图为扇形，故侧面积为，．15【答案】【解答】解：∵向量＝（sin θ，2），＝（cos θ，1），且与共线，∴＝2，即tan θ＝2，则tan（θ﹣）＝＝＝．16【答案】解：∵，∴sin A＝sin C（cos B+cos C），即sin C cos B+sin C cos C＝sin（B+C）＝sin B cos C+cos B sin C，即sin C cos C＝sin B cos C，又C∈（0，π）且C≠，∴sin B＝sin C，∴b＝c，又．∴ac＝b，解得a＝3，＝＝＝，当c＝3时，S max＝．17解：（1）∵＝（1，1），＝（2，﹣3），∴＝2+3＝2（1，1）+3（2，﹣3）＝（8，﹣7）； 4分（2）λ﹣2＝λ（1，1）﹣2（2，﹣3）＝（λ﹣4，λ+6）， 6分∵λ﹣2与垂直，∴1×（λ﹣4）+1×（λ+6）＝0， 9分即λ＝﹣1． 10分18解：（1）因为（b﹣c）2＝a2﹣bc，可得b2+c2﹣a2＝bc， 2分所以cos A＝＝， 3分又A∈（0，π），所以A＝． 5分（2）因为sin C＝2sin B，由正弦定理可得c＝2b， 6分又a＝2，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得4＝b2+c2﹣bc， 8分解得b＝，c＝， 10分所以S△ABC＝bc sin A＝××＝ 12分19【解答】解：（1）正四棱锥的底面边长是a＝6，侧棱长为l＝5，所以正四棱锥的高为h＝＝， 2分所以正四棱锥的体积为V＝Sh＝×62×＝12； 5分（2）图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体，是圆台挖去一个半球，圆台的体积为V圆台＝π（r2+rr′+r′2）h＝×（22+2×5+52）×4＝52π， 8分半球的体积为V半球＝πr3＝×23＝， 10分所以该几何体的体积为V＝V圆台﹣V半球＝52π﹣＝3140（cm3）． 12分20【答案】（1）；；（2）．【解答】解：（1）∵f（x）＝（2cos2x﹣1）sin2x+cos4x＝cos2x sin2x+cos4x 1分＝（sin4x+cos4x）＝sin（4x+）， 3分∴f（x）的最小正周期T＝， 4分令，可得，∴f（x）的单调递减区间为； 6分（2）∵f（）＝，∴， 8分∵α∈（0，π），，∴， 10分∴ 12分21【解答】（1）证明：如图1，在PA上取点F使，连接EF，BF，如图示：∵，∴EF∥AD且， 1分又BC∥AD，且， 2分∴EF∥AD，EF＝AD，∴四边形BCEF为平行四边形，∴CE∥BF， 3分而CE⊄平面PAB， 4分BF⊂平面PAB，则CE∥平面PAB． 5分（2）解：线段AD上存在点N且，使得MN∥平面PAB；理由如下：如图2，在AD上取点N使，连接CN，EN，如图示：∵，，∴EN∥PA， 6分∵EN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴EN∥平面PAB； 7分由（1）知CE∥平面PAB，又CE∩EN＝E，∴平面CEN∥平面PAB，又M是CE上的动点，MN⊂平面CEN，∴MN∥平面PAB， 8分∴线段AD上存在点N，使得MN∥平面PAB．∵BC∥AN，BC＝AN，∴ND＝2， 9分在△CND中，∠ADC＝45°，，由余弦定理知CN＝2． 10分在△CEN中，CN＝NE＝2，，∴由余弦定理知∠CNE＝120°，∴MN 的最小值为， 11分∴线段AD 上存在点N ，使MN ∥平面PAB ，且MN 的最小值为1． 12分22.【详解】（1）当π6AOM ∠=时，则π1sin 201062ME OM =⋅=⨯=. 2分πcos 2062OE OM =⋅=⨯=. 3分过N 作OA 的垂线，交AO 于点F ，NF ME =.∵π4AOB ∠=，10OF NF ==，∴10MN OE OF =-=-. 4分因为5NP =.矩形MNPQ 的面积())510501S MN NP =⋅=⨯=-平方米.所以矩形观赏台MNPQ 的面积)501平方米. 5分（2）由题意可知，AOM x ∠=，π4AOB ∠=，π4MON x ∠=-，3π4MNO ∠=，在OMN 中，由sin sin MN OM MON MNO =∠∠，得()cos sin 20cos sin MN OM x OM x x x =-=-. 6分矩形MNPQ 的面积()()1520cos sin 100cos sin S MN NP x x x x =⋅=⨯-=-.7分观赏台AOC 的面积211sin 2020sin 2200sin 222S OA OC AOC x x =⋅⋅∠=⨯⨯=.整个观赏台面积()12100cos sin 200sin 2S S S x x x=+=-+. 8分设πcos sin 4t x x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，46(ππ<≤x ，∴.2130-≤<t 9分()2222cos sin cos sin 2sin cos 1sin 2t x x x x x x x =-=+-=-.∴2sin 21x t =-. 10分∴()100cos sin 200sin 2S x x x =-+()2211002001200212.54t t t ⎛⎫=+-=--+ ⎪⎝⎭.当]213,0(41-∈=t 时，整个观赏台观赏台S 取得最大值为212.5平方 11分∴整个观赏台的面积S 的最大值为212.5平方米. 12分。
广东省广州市2022-2023学年高一下学期期中数学试题(含解析)
广东省广州市2022-2023学年高一下学期期中数学试题（含解析）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）1.设复数()i 12i z =+（其中i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【正确答案】B【分析】根据复数的乘法运算求出复数z ，再根据复数的几何意义即可得出答案.【详解】解：()i i 12i 2z =+=-+，所以复数z 在复平面内对应的点为()2,1-，位于第二象限.故选：B.2.设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β”是“αβ”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】B【详解】试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，，∴和没有公共点，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分条件．故选B ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且，显然能得到，这样即可找出正确选项.3.如图，在平行四边形ABCD 中，M 为AB 的中点，AC 与DM 交于点O ，则OM =（）A.1163OM AB AD=- B.1233OM AB AD=-C.1122OM AB AD=- D.1143OM AB AD=- 【正确答案】A【分析】设AO xAC =，则()2AO x AC x AB AD x AM x AD ==+=+ ，再根据,,O D M三点共线可求得x ，再根据平面向量的线性运算结合图形即可得出答案.【详解】解：设AO xAC =，则()2AO x AC x AB AD x AM x AD ==+=+ ，因为,,O D M 三点共线，所以21x x +=，解得13x =，则1133AO xAC AB AD==+ 所以1111133263OM OA AM AB AD AB AB AD =+=--+=-.故选：A.4.在正方体1111ABCD A B C D -中,,E F 分别为,AB AD 的中点,则异面直线1BC 与EF 所成角的大小为（）A.30B.45C.60D.90【正确答案】C【分析】由题易得11//EF B D ,连接1CD ,即可得出11B CD 为等边三角形,从而得出所求角的大小为60°.【详解】如下图所示,连接111,,BD B D D C11//,//EF DB DB D B ,11//EF D B ∴则异面直线1B C 与EF 所成角为11D B C∠1111D B B C D C == ,即11B CD 为等边三角形1160D B C ︒∴∠=.故选:C.5.已知()()(),0,0,1,3,1A m B C -，且,,A B C 三点共线，则m =（）A.32B.23C.32-D.23-【正确答案】A【分析】利用向量的共线定理的坐标运算即可求解.【详解】由()()(),0,0,1,3,1A m B C -，得()(),1,3,2AB m BC =-=-,因为,,A B C 三点共线，所以//AB BC，即()()2130m -⨯--⨯=，解得32m =.所以32m =.故选：A.6.已知ABC 的外接圆圆心为O ，且2,||||AO AB AC AO AB =+= ，则向量BA 在向量BC上的投影向量为（）A.14BCB.4BCC.14BC-D.4BC -【正确答案】A【分析】根据题意，由向量加法的性质可得O 为BC 的中点，又由||||AO AB =，分析可得ABO 为正三角形，则有1||||2BA BC =，结合投影向量的计算公式计算可得答案．【详解】根据题意，若2AO AB AC =+，则O 为BC 的中点，故BC 边为圆O 的直径，又由||||AO AB =，则ABO 为正三角形，则有1||||2BA BC = ，则向量BA 在向量BC 上的投影向量||cos 60||BC BA BC ⨯14BC = ,故选：A ．7.已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为表面积为（）A. B.(8π+ C. D.(10π+【正确答案】D【分析】根据题意及圆柱、球的对称，可求得圆柱底面圆半径，根据圆柱表面积的求法，即可得答案.，设圆柱底面圆半径为r ，根据圆柱和球的对称性可得r ==所以圆柱的表面积2222(10S πππ=⨯+=+.故选：D8.如图，在Rt ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c （a b c >>），分别以边AB ，AC ，BC 所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，其体积分别为1V ，2V ，3V ，则（）A.123aV bV cV ==B.213aV bV cV ==C.321aV bV cV ==D.132aV bV cV ==【正确答案】A【分析】由直角三角形绕其直角边旋转可以得到一个圆锥，直角三角形绕其斜边旋转可以得到两个共用同一底面的圆锥的组合体，绕三边旋转一周分别形成三个几何体的形状，求出他们的体积，即可得答案．【详解】解：当绕a 边旋转时，其体积22211(33bc b c V a a a ππ=⨯⨯⨯=；当绕b 边旋转时，体积2221133V c b bc ππ=⨯⨯=；当绕c 边旋转时，体积2231133V b c b c ππ=⨯⨯=．∴123aV bV cV ==．故选：A ．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.对于任意向量a ，b ，c，下列命题正确的是（）A.若//a b r r ，//b c，则//a c B.若a b b c ⋅=⋅r r r r，则a c= C.若a b =，b c = ，则a c= D.若a b a b -=+ ，则0a b ⋅= 【正确答案】CD【分析】A.由0b = 判断；B.由a b b c ⋅=⋅r r r r，转化为()0b a c ⋅-= 判断；C.根据相等向量的概念判断；D.由a b a b -=+ 转化为22a b a b -=+ 运算判断.【详解】A.当0b = 时，满足//a b r r ，//b c ，但,a c不一定共线，故错误；B.因为a b b c ⋅=⋅r r r r，所以()0b a c ⋅-= ，所以()b ac ⊥- ，故错误；C.因为a b =，b c = ，所以a c = ，故正确；D.因为a b a b -=+ ，所以22a b a b -=+ ，即0a b ⋅= ，故正确；故选：CD10.设l ，m 是空间中不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若//l m ，m α⊂，l α⊄，则//l αB .若l ⊂α，m β⊂，//αβ，则//l mC.若l ⊂α，m α⊂，l //β，//m β，则//αβD.若//αβ，l αγ= ，m βγ= ，则//l m 【正确答案】AD【分析】根据线面平行的判定定理，可判定A 正确；根据两平行平面内的直线平行或异面，可判定B 不正确；根据面面平行的判定定理，可判定C 不正确；根据根据面面平行的性质，可判定D 正确.【详解】对于A 中，.若//l m ，m α⊂，l α⊄，根据线面平行的判定定理，可得//l α，所以A 正确；对于B 中，若l ⊂α，m β⊂，//αβ，则直线l 与m 平行或异面，所以B 不正确；对于C 中，若l ⊂α，m α⊂，l //β，//m β，只有当l 与m 相交时，才能得到//αβ，所以C 不正确；对于D 中，若//αβ，l αγ= ，m βγ= ，根据面面平行的性质，可得//l m ，所以D 正确.故选：AD.11.在ABC 中，若()()()::9:10:11a b a c b c +++=，下列结论中正确的有（）A.sin :sin :sin 4:5:6A B C =B.ABC 是钝角三角形C.ABC 的最大内角是最小内角的2倍D.若6c =，则ABC 外接圆的半径为877【正确答案】ACD【分析】先根据题意求出a ，b ，c ,结合正弦定理可得A ，D 的正误,结合余弦定理可得B ，C 的正误.【详解】由题意,设9,10,11a b x a c x b c x +=+=+=,解得4,5,6a x b x c x ===;所以sin :sin :sin 4:5:6A B C =,所以A 正确;由以上可知C 最大,()()()2224561cos 02458x x x C x x +-==>⨯⨯所以C 为锐角,所以B 错误;由以上可知A 最小,()()()2225643cos 2564x x x A x x+-==⨯⨯,291cos22cos 121168A A =-=⨯-=,即cos cos2C A =,因为C 为锐角,2A 为锐角,所以2C A =所以C 正确;因为1cos 8C =，所以sin 8C ==,设ABC 外接圆的半径为r ,则由正弦定理可得1672sin 7c r C ==所以877r =所以D 正确.故选:ACD .12.如图，四棱锥S ABCD -的底面为菱形，3,60AB SD DAB ==∠=︒，SD ⊥底面ABCD ，P 是SC 上任意一点（不含端点），则下列结论中正确的是（）A.若//SA 平面PBD ，则//SA POB.B 到平面SAC 的距离为355C.当P 为SC 中点时，过P 、A 、B 的截面为直角梯形D.当P 为SC 中点时，DP PB +有最小值【正确答案】ABC【分析】对于A ：根据线面平行的性质定理证明判断；对于B ：利用等体积法求D 到平面SAC 的距离；对于C ：根据三角形中位线先证PM ∥AB ，则过P 、A 、B 的截面为ABPM ，再利用长度结合勾股定理证PM PB ⊥；对于D ：借助于侧面展开图分析判断．【详解】∵//SA 平面PBD ，SA ⊂平面SAC ，平面PBD 平面SAC PO =∴//SA PO ，A 正确；设B 到平面SAC 的距离为h ，则有SA SC AC ===∵B SAC S ABC V V --=，即1111333332322h ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，则5h =，B 正确；当P 为SC 中点时，如图1，取SD 的中点M ，连接,,PM AM MB 则PM ∥CD ，PM 12CD =∵AB ∥CD ，则PM ∥AB∴过P 、A 、B 的截面为ABPM ，则33,22PB BM PM ===∴222BM PM PB =+，则PM PB ⊥，即ABPM 为直角梯形，C 正确；借助于侧面展开图，如图2，连接DB 交SC 于点P ，此时DP PB +为最小值若P 为SC 中点时，∵SD CD =，则DP SC ⊥∴BC SB =，这与题意相矛盾，D 错误；故选：ABC ．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知复数2022i i z =-+，其中i 为虚数单位，则z =___________．【分析】根据i 的多次方的周期性，可知()505202242i i i 1=⋅=-，进而根据复数的模的公式求解即可.【详解】因为2i 1=-，3i i =-，41i =，所以()505202242i i i 1=⋅=-，所以1i z =+，则z ==，14.已知向量a 、b 满足3a = ，4b = ，a 、b的夹角为60︒，则a b -= ______.【分析】直接利用向量的模的运算法则，结合向量的数量积求解即可.【详解】解：向量a 、b 满足3a = ，4b = ，a 、b的夹角为60︒，则a b -===15.已知平行四边形ABCD 中，A 、B 、C 的坐标分别为()2,1-、()1,3-、()3,4，则点D 的坐标为______.【正确答案】()2,2【分析】本题可根据AB DC =得出结果.【详解】设(),D x y ，则()1,2AB = ，()3,4DC x y =--，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB DC =，则3142x y -=⎧⎨-=⎩，解得2x =，2y =，()2,2D故答案为.()2,216.已知正方体1111ABCD A B C D -表面积为S ，体积为V ，从该正方体中切割出一个四面体11C A BD -，其表面积1S ，体积为1V ，则1S S =________，1V V=________.【正确答案】①.3②.13【分析】根据正方体的特征，利用锥体的表面积和体积计算公式即可求解.【详解】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，由正方体的性质可知，四面体11C A BD -每个面均是边长为的正三角形，所以22134)4S =⨯⨯=，因为26S a =，所以21223363S S a ==，111111111A ABD C A B B C BCD D A C D V V V V V V ----=----31111111132323232a a a a a a a a a a a a a =-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯313a =，则3131133a V V a ==，故33；13.四、解答题（本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，其余各题均为12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知复数11i z a =+（其中a R ∈且a<0，i 为应数单位），且21z 为纯虚数.（1）求实数a 的值；（2）若1221iz z =++，求复数2z 的模2z .【正确答案】（1）1a =-（2【分析】（1）先求得22112i z a a =-+，再根据21z 是纯虚数建立方程即可求出；（2）根据复数除法运算法则求出2z ，即可求出2z .【小问1详解】由已知得：22112i z a a =-+，且21z 是纯虚数21020a a ⎧-=∴⎨≠⎩，∵a<0，∴1a =-.【小问2详解】由（1）得：11i z =-，∴()()()2121i 1i 2222i 1i 1i 1i 1i z z --=+=+=+=-+++-∴22i z =-=.18.在平而直角坐标系xOy 中，设与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量分别为i 和j ，2OA i j =+ ，24O i B j =- .（1）求向量OA 与OB 夹角的余弦值；（2）若点P 是线段AB 的中点，且向量OP 与OA kOB + 垂直，求实数k 的值.【正确答案】（1）35-（2）114【分析】（1）用坐标表示向量，然后由数量积的定义求得夹角余弦值；（2）由向量OP 与OA kOB + 的数量积为0可求得k ．【小问1详解】由已知得()1,2OA = ，()2,4OB =-uu u r ，所以：12246OA OB ⋅=⨯-⨯=-uu r uu u r，OA == ，OB ==u u u r ，所以所求余弦值为35OA OB OA OB⋅=-u u r u u u r u u r u u u r ．【小问2详解】因为()12,24OA kOB k k +=+-uur uu u r ，3,12OP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uu u r ，而向量OP 与向量有OA kOB + 垂直，所以()0OA kOB OP +⋅= ，所以()()3122402k k +--=．所以114k =19.如图，一个高为8的三棱柱形容器中盛有水，若侧面11AA B B 水平放置时，水面恰好过,AC BC ，11B C ，11AC 的中点E ，F ，G ，H .（1）直接写出直线FG 与直线1A H 、直线FG 与平面11ABB A 的位置关系（不要求证明）；（2）有人说有水的部分呈棱台形，你认为这种说法是否正确？并说明理由.（3）已知某三棱锥的底面与该三棱柱底面ABC 全等，若将这些水全部倒入此三棱锥形的容器中，则水恰好装满此三棱锥，求此三棱锥的高.【正确答案】（1）直线FG 与直线1A H 异面；直线FG 与平面11ABB A 平行；（2）不正确，理由见详解；（3）18【分析】（1）根据三角形中位线定理，异面直线的定义进行判断即可；（2）根据棱台的定义进行判断即可；（3）根据棱锥和棱柱的体积公式进行求解即可.【小问1详解】因为水面恰好过AC ，BC ，11B C ，11AC 的中点E ，F ，G ，H ，所以111111//,//,,,22HG A B EF AB HG A B EF AB ==又11//,A B AB 且11,A B AB =因此//HG EF ，且HG EF =，所以四边形EFGH 是平行四边形，则平面//EFGH 平面11ABB A ，因为FG ⊂平面EFGH ，所以//FG 平面EFGH ，由四边形EFGH 是平行四边形可得，//FG EH ，而1A H EH H = ，所以直线FG 与直线1A H 不可能平行，而面EFGH 平面111A B C HG =，所以直线FG 与直线1A H 不可能是相交直线，所以直线FG 与直线1A H 是异面直线；直线FG 与平面11ABB A 平行.【小问2详解】不正确；因为棱台各侧棱交于一点，易知1AEA H 无交点，所以该几何体不是棱台；【小问3详解】设此三棱锥的高为h ，底面面积为S ，容器中水的形状为棱柱，体积为3864S S ⨯=所以有163S h S ⋅⋅=，解得18h =，即三棱锥的高为18.20.在ABC 中，22sin sin sin sin sin ()A B C C B -=-.（1）求A ；（2）若点D 在BC 边上，BD CD ==AD =，求ABC 的面积.【正确答案】（1）π3（2）【分析】（1）利用正弦定理角化边，结合余弦定理即可求出A ；（2）判断出D 在BC 中点，结合向量()12AD AB AC =+ ，利用向量的模长公式得到一个关于边长的方程，再结合余弦定理的方程，即可求出bc ，从而求出面积.【小问1详解】22sin sin sin sin sin ()A B C C B -=-由正弦定理得：22()a b c c b -=-，222a b c bc =+-，结合余弦定理得：1cos 2A =，且在三角形中，0πA <<，π3A ∴=.【小问2详解】BD CD ==所以a =,D 是BC 的中点，()12AD AB AC ∴=+= ，即()2172AB AC ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦ ，22π2cos 283c b bc ++=，且22212a b c bc =+-=,两式相减得：216,8bc bc ==,所以，1πsin 23ABC S bc ==21.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，6AB =，6ABC π∠=，5PA =，点E 、F 分别为棱PD 、AB 的中点．（1）证明：AE //平面PCF ；（2）求三棱锥E PCF -的体积．【正确答案】（1）证明见解析（2）152【分析】（1）通过构造平行四边形的方法来证得//AE 面PCF .（2）通过等体积变换的方法求得三棱锥E PCF -的体积.【小问1详解】取PC 的中点G ，连接EG ，FG ，因为E 、F 、G 分别为PD 、AB 、PC 的中点，故//EG CD ，且12EG CD =，//AF CD 且12AF CD =，故//EG AF 且EG AF =，所以四边形AEGF 为平行四边形，AE //FG ∴，又AE ⊂/ 面PCF ，FG ⊂面PCF ，AE //∴面PCF ．【小问2详解】由（1）可知，AE //∴面PCF ，且F 为AB 的中点，底面ABCD 为菱形，6AB =，π6ABC ∠=，13E PCF A PCF P ACF ACF V V V S PA ---===⋅⋅△1111566sin 532262π⎛⎫=⨯⨯⋅⋅⋅⨯= ⎪⎝⎭.22.如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B 与小岛A 、小岛C 相距都为5nmile ，与小岛D 相距为.BAD ∠为钝角，且3sin 5A =.（1）求小岛A 与小岛D 之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；（2）记BDC ∠为α，CBD ∠为β，求sin(2)αβ+的值.【正确答案】（1）2nmile ，18平方n mile （2）2525【分析】（1）由同角的平方关系，求出cos A ，在ABD △中结合余弦定理即可求出结果；（2）在BCD △中结合正弦定理求得sin α，然后根据同角的平方关系求出cos α，再由平面几何图形以及诱导公式求出sin()αβ+和cos()αβ+，然后利用两角和的正弦公式即可求出结果.【详解】（1）因为3sin 5A =，且角A 为钝角，所以4cos 5A ==-.在ABD △中，由余弦定理得，2222cos AD AB AD AB A BD +-⋅⋅=，所以2224525()5AD AD +-⋅⋅-=，即28200AD AD +-=，解得2AD =或10AD =-（舍），所以小岛A 与小岛D 之间的距离为2nmile .∵A ，B ，C ，D 四点共圆，∴角A 与角C 互补，∴3sin 5C =，()4cos cos 180cos 5C A A =︒-=-=，在BDC 中，由余弦定理得：2222cos CD CB CD CB C BD +-⋅⋅=，∴(22245255CD CD +-⋅⋅=，∴28200CD CD --=.解得2CD =-（舍）或10CD =.∴ABC BCD ABCD S S S =+△△四边形11sin sin 22AB AD A CB CD C =⋅⋅+⋅⋅131352510315182525=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+=.∴四个小岛所形成的四边形的面积为18平方n mile .（2）在BCD △中，由正弦定理，sin sin BC BD C α=，即5353sin 5α=，解得5sin ,5α=又因为DB BC >，所以C α<，且C 为锐角，所以α为锐角，所以cos 5α=，又因为3sin()sin(180)sin 5C C αβ+=-== ，4cos()cos(180)cos 5C C αβ+=-=-=- ，所以sin(2)sin[()]sin cos()cos sin()αβααβααβααβ+=++=+++。
广东省广州市高一下学期期中数学试题(解析版)
高一 数学注意事项：1、本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.2. 考生务必将自己的姓名、考号、考试科目等按要求填涂在答题卡上.3. 第I 卷的答案必须答在选择题答题卡上；第II 卷用黑色字迹的钢笔或签字笔按各题要求答在答卷相应位置上.4. 考试结束时，将选择题答题卡和第II 卷答卷一并交回，试卷和草稿纸自己带走.第I 卷（选择题，共60分）一、单选题（共8小题，每题5分，共40分）1. 复数的虚部是（ ） ()()1i 2i z =+-A. 1B. iC. 3D. 3i【答案】A【解析】【分析】应用复数乘法化简复数，即可知虚部.【详解】，故其虚部为1.()()1i 2i 3i z =+-=+故选：A2. 已知水平放置的△ABC 按“斜二测画法”得到如右图所示的直观图，其中B′O′=C′O′=1,A′O′=，那么原△ABC 是一个A. 等边三角形B. 直角三角形C. 三边中只有两边相等的等腰三角形D. 三边互不相等的三角形【答案】A【解析】【详解】原△ABC 中，BO=OC=1，BC=2.AO BC,且AO=2 在直角△ABO 和△ACO 中AB=⊥.AC=2.故△ABC 等边三角形2==3. 已知一个圆锥的母线长为20cm ，母线与轴的夹角为60°，则圆锥的高为（ ）A.B. C. 20cm D. 10cm【答案】D【解析】【分析】画出图形，利用余弦值求出圆锥的高.【详解】如图，由题意得：，BC =20cm ，60ACB ∠=︒则cm. cos 6010AC BC =⋅︒=故选：D4. 如图，在中，C 为BD 的中点，，则（ ） ABD △2AE EB = CE =A. B. 1132AD AB -- 1123AD AB -- C. D. 1136AD AB -- 1126AD AB -- 【答案】D【解析】 【分析】利用向量加，减，数乘运算，结合图形，即可求解.【详解】. 12112112322326CE CB BE DB BA DA AB AB AD AB =+=+=+-=-- 故选：D5. 在中，，，则的值为（ ） ABC A a =3B π=3b =cA. B. C. D. 3【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理可得出关于的等式，即可解得的值.c c【详解】由余弦定理可得，即，222292cos 33b a c ac c π==+-=+-260c -=，解得.0c >Q c =故选：B.6. 把一个铁制的底面半径为，侧面积为的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的半径为4163π（ ）A. B. C. D.322【答案】C【解析】【分析】先求出圆柱的高，由圆柱和球的体积关系即可得出半径【详解】因为实心圆柱的底面半径为，侧面积为， 4163π所以圆柱的高为， 16232π43π=⨯则圆柱的体积为， 2232433V ππ=⨯⨯=设球的半径为，则， R 32324,33R R ππ==故选：C7. 已知复数，则（ ） 1i 1i z +=-2023z =A.B. C. D.2023220232-i -i 【答案】C【解析】【分析】化简得到，再计算得到答案. i z =20232023i z =【详解】，. ()()()21i 1i 2i i 1i 1i 1i 2z ++====--+202320233i i i z ===-故选：C8. 如图，从无人机上测得正前方的峡谷的两岸，的俯角分别为，，若无人机的高度是A B C 75︒30°AD ，则此时峡谷的宽度是（ ）)151BCA . 60 B. C. 30 D. )601)301【答案】A【解析】【分析】利用锐角三角函数，得到，，即CD =BD =BC CD BD =-可得到答案. 【详解】由已知得，得到 30,75ACB ABD ∠=∠=，， CD =15(3=+1)BD ==-60BC CD BD ∴=-=故选：A二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9. 下列结论正确的是（ ）．A. 模等于1个单位长度的向量是单位向量，所有单位向量均相等B. 已知平面内的一组基底，，则向量，也能作为一组基底 1e 2e 12e e + 12e e -C. 已知单位向量，满足，则在方向上的投影向量为 a b 1a b -= a b 12b r D. 已知，i 为虚数单位，若复数为纯虚数，则 a ∈R ()211i z a a =-++1a =±【答案】BC【解析】【分析】结合单位向量、向量的基底、投影向量、虚数等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】对于A ，虽然单位向量模长相等，但方向可以不同，故不是所有单位向量均相等，A 错误；对于B ，∵，为一组基底，∴，不共线，1e 2e 1e 2e ∴，也不共线，∴，也可以作为一组基底，B 正确； 12e e + 2e e - 12e e + 12e e -对于C 选项，，两边平方得，， 1a b -= 2221a a b b -⋅+= 12a b ⋅= 所以在方向上的投影向量为，C 选项正确； a b 12a b b b b b ⋅⨯= 对于D 选项，复数为纯虚数， ()211i z a a =-++则，解得，D 选项错误，故选BC ．21010a a ⎧-=⎨+≠⎩1a =10. 已知复数z 的共轭复数为，若，则（ ）z i 1i z =+A. z 的实部是1B. z 的虚部是C.D. i -1i z =+2z =【答案】AC【解析】【分析】依题意根据复数代数形式的除法运算法则化简复数，即可得到其共轭复数与模，即可判断；z【详解】解：因为，所以，所以，i 1i z =+()21i i 1i 1i i i z ++===-1i z =+z ==的实部为，虚部为； z 11-故选：AC11. 已知中，其内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 下列命题正确的有（ ）ABC A A . 若，则A B >sin sin A B >B. 若，，则外接圆半径为10 π6A =5a =ABC A C. 若，则为等腰三角形2cos a b C =ABC AD .若，，，则1b =2c =2π3A =ABC S =A 【答案】ACD【解析】【分析】利用三角形性质和正弦定理可知A 正确，利用正弦定理可知B,C 的正误，利用三角形面积公式可知D 正确.【详解】因为，所以，由正弦定理，可得，即A B >a b >2sin sin a b R A B==2sin 2sin R A R B >，A 正确；sin sin A B >由正弦定理可知，所以外接圆半径为5，B 不正确； 2sin a R A=210R =ABC A 因为，所以，即，2cos a b C =sin 2sin cos A B C =()sin 2sin cos B C B C +=整理可得，即，sin cos cos sin 0B C B C -=()sin 0B C -=因为为三角形的内角，所以，即为等腰三角形，C 正确；,B C B C =ABC A因为，，，所以，D 正确. 1b =2c =2π3A =11sin 1222ABC S bc A ==⨯⨯=A 故选：ACD.12. 在圆锥中，C 是母线上靠近点S 的三等分点，，底面圆的半径为r ，圆锥的侧面积SO SA SA l =SO 为，则下列说法正确的是（ ）12πA. 当时，过顶点S 和两母线的截面三角形的最大面积为=3rB. 当时，从点A 到点C 绕圆锥侧面一周的最小长度为6l =C. 当时，圆锥的外接球表面积为6l =SO 812πD. 当内可以任意转动 6l =SO 【答案】BCD【解析】【分析】依题意可得，对于A ，利用余弦定理求出，即可判断为钝角，从而求12rl =cos ASB ∠ASB ∠出截面面积最大值，对于B 、C 、D ，首先求出圆锥的高，将圆锥的侧面展开，化曲为直，利用余弦定理计算最小值，即可判断B ，求出外接球的半径，即可求出外接球的表面积，从而判断C ，再求出圆锥的内切球的半径与正四面体的外接球的半径，即可判断D ；【详解】解：依题意可知，所以． 12rl ππ=12rl =对于A 选项，，所以， 3,4r l ==2224461cos 02448ASB +-∠==-<⨯⨯所以为钝角，ASB ∠所以过顶点和两母线的截面三角形的最大面积为，A 选项错误． S 12448⨯⨯=对于BCD 选项，当时，，圆锥的高为．6l ==2r h ==以下分析BCD 选项：侧面展开图的弧长为，所以圆心角． 24r ππ=4263ASC ππ∠==所以，B 选项正确．AC ==设圆锥的外接球的球心为，半径为，SO 1O 1r所以，解得， ()222112+=r r 1r =所以外接球的表面积为，C 选项正确． 218142r ππ=的正四面体如下图所示， 1111A B C D -， =⨯=的正四面体的外接球半径为． 1111A B C D -2r =设内切圆的半径为，则，解得， SAB △3r ()311446622r ⨯⨯=++3r =所以的正四面体在圆锥内可以任意转动，D 选项正确． 32r r =SO 故选：BCD 第II 卷（选择题，共90分）三、 填空题（共4小题） 13. 已知复数（其中为虚数单位），则复数___________. 13i 3i z -=+i z =【答案】1【解析】【分析】化简得到，再计算模长得到答案. i z=-【详解】，则. ()()()()13i 3i 13i 10i i 3i 3i 3i 10z ----====-++-i 1z =-=故答案为：.114. 在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果，，ABC A 3a =b =c =ABC A 的最大内角的余弦值为________.【答案】 18【解析】【分析】由边的大小关系可知是最大角，然后利用余弦定理求解.A ∠【详解】角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果，，是最大角，3a =b =c =A ∠则， 2221cos 28b c a A bc +-===故答案为：. 18【点睛】本题考查三角形中的边角关系，考查余弦定理的应用，属于简单题.15. 已知向量，是两个不共线的向量，且，，，若，a b 35=+ OA a b 47=+ OB a b =+OC a mb A B，三点共线，则实数__________．C m =【答案】1【解析】【分析】由三点共线可令且，结合已知有λμ=+ OB OA OC 1λμ+=47(35)()a b a b a mb λμ+=+++，即可求m 值. 【详解】由，，三点共线，可令且，A B C λμ=+ OB OA OC 1λμ+=∴，47(35)()a b a b a mb λμ+=+++ 综上，，可得. 34571m λμλμλμ+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩32121m λμ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩故答案为：116. 如图所示，一个由圆锥和圆柱组成的玻璃容器，中间联通（玻璃壁厚度忽略不计），容器中装有一定体积的水，圆柱高为10，底面半径为3，圆锥高为，底面半径大于圆柱，左图中，圆柱体在下面，液面h 保持水平，高度为，右图中将容器倒置，水恰好充满圆锥，则圆锥底面的半径为________．h【答案】【解析】【分析】根据前后体积一致，列出计算式即可求解.【详解】, 221π3π3V h R h =⋅⋅=⋅⋅⋅水解得.227,R=R =故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚.17. 已知复数，其中i 为虚数单位.()()22223i,z m m m m m =+-+--∈R （1）若复数z 为纯虚数，求m 的值；（2）若，求m 的值.3i 1612i z z z ⋅+=+【答案】（1）或1m =2m =-（2）2【解析】【分析】（1）根据纯复数的定义:实部为0，虚部不等于0，列出方程即可求解.（2）设，代入式子化简，根据两个复数相等的充要条件即可列出式子进行求解.()i ,R z x y x y =+∈【小问1详解】 因为复数为纯虚数，所以满足，解得:或. z 2220230m m m m ⎧+-=⎨--≠⎩1m =2m =-【小问2详解】设，则，将其代入，()i ,R z x y x y =+∈22z z x y ⋅=+3i 1612i z z z ⋅+=+则，整理得:，()223i i 1612i x y x y =++++223i 1612i 3x y y x -++=+且，解得:，或，312x ∴=22316x y y +=-4x =0y =3y =或，222423=0m m m m ⎧+-=∴⎨--⎩2224233m m m m ⎧+-=⎨--=⎩解得:2m =18. 已知向量与的夹角，且． a b 2π3θ=3,2== a b （1）求a b + （2）在上的投影向量；b a （3）求向量与夹角的余弦值．a ab + 【答案】（1 （2）13a -（3 【解析】【分析】（1）先求出，可求得;222||2a b a b a b +=++⋅ ||a b + （2）根据投影向量的计算公式计算即可；（3）利用向量的夹角公式求解即可.【小问1详解】， 13232a b ⎛⎫⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭， 所以；22229467a b a b a b +=++⋅=+-= a b += 【小问2详解】在上的投影向量为∶； b a 2π11cos 2()3233a ab a a ⋅⋅=⨯-⨯=- 【小问3详解】 ，2()936a a b a ab ⋅+=+⋅=-= 则， ()cos ,||||a a b a a b a a b⋅++===⋅+ 即向量与． a ab + 19. 如图，已知点A ，B ，M ，N 在同一平面内，且，，，2AM =AB =4BN =30BAM∠=︒.120ABN ∠=︒（1）求MN 的长；（2）求△AMN 的面积.【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）连接，根据余弦定理得到，确定，利用勾股定理计算得到答案. MB 2BM =90MBN ∠=︒（2）分别计算，，.6ABN S =△4BNM S =△ABM S =△【小问1详解】如图所示：连接， MB则，， 2222cos30412224BM AB AM AB AM =+-⋅︒=+-⨯⨯=2BM =则，则， 30ABM BAM ∠=∠=︒1203090MBN ∠=︒-︒=︒.MN ===【小问2详解】， 11sin1204622ABN S AB BN =⋅︒=⨯=△， 1124422BNM S BM BN =⋅=⨯⨯=△， 111sin 302222ABM S AB AM =⋅︒=⨯⨯=△故642AMN ABN ABM BMN S S S S =--=-=△△△△20. 如图，某巡逻艇在A 处发现北偏东30°B 处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以小时的速度沿着正东方向直线追去，1//小时后，巡逻艇到达C 处，走私船到达D 处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里小时的速度沿着直线追击/（1）当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里（2）问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船【答案】（1.（2）巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船.75︒【解析】【分析】（1）在中，解三角形得，， 在中，由余弦定理求得ABC A BC =45ABC ︒∠=BCD △.CD （2）在中，解三角形得，，得到，在中，由BCD △60BCD ︒∠=90BDC ︒∠=135CDE ︒∠=CDE A 正弦定理求得，结合图形知巡逻艇的追赶方向.30∠= DCE 【小问1详解】由题意知，当走私船发现了巡逻艇时，走私船在D 处，巡逻艇在C 处，此时，313,1BD AC =⨯===由题意知903060BAC ︒︒︒∠=-=在中，ABC A AB AC ==由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠221122=+-+⋅=所以BC =在中， 由正弦定理得 ABC A sin sin AC BC ABC BAC =∠∠=所以（舍去） sin 45,ABC ABC ︒∠=∴∠=135 所在180604575ACB ︒︒︒︒∠=--=又180********CBD ︒︒︒︒︒∠=---=在中， BCD △30,3,CBD BD BC ︒∠===由余弦定理得2222cos30CD BC BD BC BD ︒=+-⋅⋅(22323cos330︒=+-⋅=⨯CD ∴=.【小问2详解】当巡逻艇经过小时经方向在处追上走私船，t CE E则,3,3CE DE t CD ===在中，由正弦定理得： BCD △sin sin sin CD BD BC CBD BCD BDC==∠∠∠3sin BCD ==∠所以， sin 60BCD BCD ︒∠=∴∠=90,135BDC CDE ︒︒∠=∠=在中，由正弦定理得： CDE A sin sin CE DE CDE DCE=∠∠则，故 （舍） 1sin 2DCE ∠==30∠= DCE 150ACE ACB BCD DCE ∠=∠+∠+∠7560309075︒︒︒=+++ ＝故巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船.75︒21. 已知(1,0),(2,1)a b == （1）当k 为何值时，与共线？ ka b - 2a b +（2）若，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．23,AB a b BC a mb =+=+ 【答案】（1） 12k =-（2） 32m =【解析】【分析】（1）根据题意，由向量共线的坐标运算列出方程，即可得到结果.（2）根据题意，由三点共线可得与共线，列出方程，即可得到结果.AB BC 【小问1详解】 因为(1,0),(2,1)a b == 所以，，(1,0)(2,1)(2,1)ka b k k -=-=-- 2(1,0)2(2,1)(5,2)a b +=+= 因为与共线， ka b - 2a b +所以，解得. 2152k --=12k =-【小问2详解】因为(1,0),(2,1)a b == 所以， 232(1,0)3(2,1)(8,3)AB a b =+=+=，(1,0)(2,1)(12,)BC a mb m m m =+=+=+ 因为A ，B ，C 三点共线， 所以与共线，即，解得. AB BC 1283m m +=32m =22. 如图，在中，D ，E 在BC 上，，，．ABC A 2BD =1DE EC ==BAD CAE ∠=∠（1）求的值； sin sin ACB ABC∠∠（2）求面积的取值范围． ABC A 【答案】（1）；sin sin ACB ABC ∠∠=（2）.(0,【解析】【分析】（1）根据三角形面积公式结合条件可得，，进而可得21AB AD AC AE ⋅=⋅32AB AE AC AD ⋅=⋅AB AC=然后利用正弦定理即得；（2）设，根据余弦定理及三角形面积公式结合条件可表示三角形面积，然后利用二次函数的性AC x =质结合条件即得.【小问1详解】 因为，，， 2BD =1DE EC ==BAD CAE ∠=∠所以， 1sin 2211sin 2ABDAEC AB AD BAD S AB AD S AC AE AC AE EAC ∠∠⋅⋅⋅===⋅⋅⋅A A ， 1sin 3212sin 2ABEADC AB AE BAE S AB AE S AC AD AC AD DAC ∠∠⋅⋅⋅===⋅⋅⋅A A故，即223AB AC =AB AC =则在中，根据正弦定理可得，； ABC A sin sin ACB AB ABC AC∠∠==【小问2详解】 设，则，由解得，ACx==AB 4,4,xx ⎧>⎪-<1)1)x -<<+在中， ABC A 222cos 2AB BC AC ABC AB BC ∠+-==⋅则， 422223264sin 1cos 48x x ABC ABC x ∠∠-+-=-=， ()2224221619213264sin 244ABC x x x S AB BC ABC ∠--+-+-⎛⎫=⋅== ⎪⎝⎭A 由，得，1)1)x -<<+21616x -<<+则，2048ABC S <≤A 故面积的取值范围为． ABC A (0,。
广东省佛山市顺德区第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题(含简单答案)
顺德区第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）A. 2B. 2或C.D. 2. 在矩形ABCD 中，，，则（ ）A. 6B. 8C. 10D. 123. 为了得到图像，需要把函数的图象向右平移的单位数是（ ）A.B.C.D.4. 设，则=A. 2B.C.D. 15. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，，边，则（ ）A.B.C. D. 6化简（ ）A.B.C.D.7. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知，，且，则b 的值为（ ）A. B. C.D.8. 已知向量均为单位向量，且．向量与向量的夹角为，则的最大值为（ ）A.B. 1C.D. 2的.()242iz aa =-+-a 2-2-4-3AB =4=AD AB AC AD ++=1πcos 227y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭21cos 2y x =-π14π76π713π143i12iz -=+z π6B ∠=BC cos A =1212-1︒=sin40cos10︒︒1cos40︒cos40sin10︒︒1sin80︒30B ∠=︒6ac =()sin sin 2sin A C A C +=+4+4-11+,a b12a b ⋅= - a c b c - π6a c -二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对按比例给分，错选不给分.9. 设复数，其中是虚数单位，下列判断中正确的是（ ）A. B. 在复平面内对应的点在第一象限C. 是方程一个根 D. 若复数z满足，则最大值为210. 已知，且，，则（ ）A. B. C. D. 11. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，则下列说法正确是（ ）A. 若，则周长的最大值为B. 若，且只有一解，则的取值范围为C. 若为锐角三角形，且，则的取值范围为D. 若的外心为，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知向量，若，则_________．13. 在中，、、分别是角、、的对边，若，则___________.14. 函数（）在上单调，且在上存在对称轴，则的取值范围是___________.四、解答题：本题共5小题，共77分，第15题13分，16、17题15分；18、19题17分.解答时应写出文字说明、解答过程或演算步骤.15. 如图，在方格纸（每个小方格边长为1）上有A ，B ，C 三点，已知向量以A 为始点.的的012z =+i 0012z z ⋅=-0z 0z 210x x -+=01z z -=z 0παβ<<<4cos 5α=()sin 1βα-=24sin 225α=4sin 5β=4cos 5β=-()24cos 25αβ+=-ABC V A B C a b c 2cos cos c B b C a +=π3A =ABC V 3π4A =ABC V b (]0,1ABC V 2C A =c ABC V O 12BC BO ⋅=()()2,5,,4a b λ== //a b r r λ=ABC V a b c A B C sin cos sin a b cA B B==A ∠=()πsin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0ω>π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭π0,3⎛⎫⎪⎝⎭ωa（1）试以B 为始点画出向量，使在方向上的投影向量为，且的值（2）设点D 是线段上的动点，求的最大值.16. 已知，，（1）求的值；（2）若，且，求的值.17. 设函数，.（1）求函数单调递减区间；（2）若函数在区间上有最小值，求实数m 的取值范围.18. 如图，在中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 已知，且为边上的中线，为的角平分线．（1）求线段的长；（2）求的面积．19. 如图，A 、B 是单位圆上的相异两定点（O 为圆心），且.点C 为单位圆上的动点，线段AC 交线段OB 于点M .的b b a 2ab = a b ⋅ AC BD CD ⋅()0,πα∈4sin 25α=-sin α<tan απ,π2β⎛⎫∈⎪⎝⎭cos β=αβ+()π2sin 3f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭()ππ66g x f x f x ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x ()g x []0,m 1-ABC V 3,6,sin 2sin b c C B ===AD BC AE BAC ∠BC ADE V 60AOB ∠=︒（1）设，求的取值范围；（2）设（），求的取值范围.BOC α∠=CA CB ⋅OM tOB =01t <<COM BMAS S∆∆顺德区第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题简要答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】D二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对按比例给分，错选不给分.【9题答案】【答案】BCD【10题答案】【答案】ABD【11题答案】【答案】ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】.四、解答题：本题共5小题，共77分，第15题13分，16、17题15分；18、19题17分.解答时应写出文字说明、解答过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）作图略，； （2）4.【16题答案】【答案】（1）； （2）.【17题答案】【答案】（1）；（2）.【18题答案】【答案】（1）6 （2【19题答案】【答案】（1） （2）85π217,26⎛⎤⎥⎝⎦8a b ⋅=12-7π45π11π2π,2π,66k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z π,3∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭[]0,3()0,2。
2021-2022学年广东省深圳市深圳中学高一下学期期中数学试题(解析版)
2021-2022学年广东省深圳市深圳中学高一下学期期中数学试题一、单选题 1．2022i =（ ） A ．1 B ．1- C ．i - D ．i【答案】B【分析】由i 的幂运算的周期性可直接求得结果.【详解】4i 1n =，41i i n +=，42i 1n +=-，43i i n +=-，其中n N ∈，202245052i i 1⨯+∴==-. 故选：B.2．sin 40cos10sin130sin10-=（ ） A ．32-B ．32C ．12-D ．12【答案】D【分析】利用两角差的正弦可求三角函数式的值.【详解】sin 40cos10sin130sin10sin 40cos10cos40sin101sin302-=-==, 故选：D.3．已知2sin cos 3αα-=，则sin 2α=（ ） A ．13B ．59C ．13-D ．59-【答案】B【分析】利用同角的三角函数关系式，结合二倍角的正弦公式进行求解即可. 【详解】由()222244sin cos sin cos sin cos 2sin cos 399αααααααα-=⇒-=⇒+-=⇒ 451sin 2sin 299αα-=⇒=， 故选：B4．如图，在ABC 中，点M 是线段BC 上靠近B 的三等分点，则AM =（ ）A ．1233AB AC +B ．2133AB AC +C ．1433AB AC -+D ．1433AB AC -【答案】B【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算计算作答.【详解】在ABC 中，点M 是线段BC 上靠近B 的三等分点，则13BM BC =，所以121()333AM AB BM AB AC AB AB AC =+=+-=+.故选：B5．ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知6,60,75a AB，c =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【分析】结合正弦定理求得正确答案. 【详解】18045C A B =︒--=︒，由正弦定理得2sin sin a c c A C ===. 故选：A6．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B ＝（ ）A ．14B ．34CD ．3【答案】B【分析】利用余弦定理求cos B 即可. 【详解】由b 2＝ac ， 又c ＝2a ， 得222b a =， 由余弦定理，得cos B ＝2222a c b ac+-＝222423224a a a a a +-=⋅. 故选：B.7．已知向量(cos ,sin ),(1,2)θθ==a b ，且a b ⊥，则tan 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ ）A ．1B ．3-C ．3D ．13【答案】D【分析】根据向量垂直的坐标表示求tan θ，再利用两角和的正切公式，求tan 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【详解】a b ⊥，cos 2sin 0θθ∴+=，得1tan 2θ=-，tan 11tan 41tan 3πθθθ+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭.故选：D8．在ABC 中，||5,||6==AB AC ，若2B C =，则向量AB 在AC 上的投影是（ ） A ．75-B ．77125C ．11725D ．11725-【答案】C【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出cos C ，进而求出cos A ，再利用向量投影的意义计算作答.【详解】在ABC 中，||5,||6==AB AC ，2B C =，由正弦定理得：sin sin B ACC AB=， 即有sin 26sin 5C C =，整理得2sin cos 6sin 5C C C =，解得3cos 5C =，4sin 5C =，因此，24sin 2sin cos 25B C C ==，227cos cos sin 25B C C =-=-， 73244117cos cos()cos cos sin sin 255255125A B C B C B C =-+=-+=⨯+⨯=， 所以向量AB 在AC 上的投影是117117||cos 512525AB A =⨯=. 故选：C 二、多选题9．已知复数43i z =-，下列说法正确的是（ ） A ．复数z 的虚部是3i - B ．复数z 的模为5C ．复数z 的共轭复数是43i --D ．在复平面内复数z 对应的点在第四象限【答案】BD【分析】根据复数的相关定义、模的运算与几何意义即可求得答案. 【详解】复数的虚部为-3，A 错误；5=，B 正确； 复数的共轭复数为43i +，C 错误；复数对应的点的坐标为()4,3-，在第四象限，D 正确. 故选：BD.10．已知向量OA ＝（1，－3），OB ＝（2，－1），OC ＝（m ＋1，m －2），若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 可以是（ ） A ．－2 B ．12C ．1D ．－1【答案】ABD【分析】先求AB 与AC ，使之共线并求出m 的值，则A ，B ，C 三点不共线即可构成三角形，因此m 取共线之外的值即可．【详解】因为(2,1)(1,3)(1,2)AB OB OA =-=---=， (1,2)(1,3)(,1)AC OC OA m m m m =-=+---=+．假设A ，B ，C 三点共线，则1×（m ＋1）－2m ＝0，即m ＝1．所以只要m ≠1，则A ，B ，C 三点即可构成三角形. 故选：ABD ．11．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列说法中不正确的是（ ） A ．向量(1,0),(0,1)==AB AC ，则|68|2-=AB AC B ．若点G 为ABC 的重心，则0GA GB GC ++=C ．若O 为ABC 所在平面内一点，且OA OB OA OC ⋅=⋅，则=OB OCD ．若I 为ABC 的内心，则0aIA bIB cIC ++= 【答案】AC【分析】利用向量坐标运算及模的坐标表示计算判断A ；利用三角形重心定理计算判断B ；利用数量积运算律计算判断C ；利用三角形内角平分线性质推理计算判断D 作答. 【详解】对于A ，(1,0),(0,1)==AB AC ，则(686,8)AB AC -=-，|68|10AB AC -=，A 不正确；对于B ，点G 为ABC 的重心，如图，延长AG 交BC 于E ，则E 是BC 中点，则122()2AG GE GB GC GB GC ==⨯+=+，因此，0GA GB GC ++=，B 正确；对于C ，由OA OB OA OC ⋅=⋅得：()0OA OB OC ⋅-=，即0OA CB ⋅=， 点O 在ABC 边BC 的高所在直线上，显然OB OC ≠，C 不正确； 对于D ，I 为ABC 的内心，如图，延长AI 交BC 于D ，显然,IB IC 分别平分,ABC ACB ∠∠，则有IA c b b cID BD CD a+===，IA b c AD a b c +=++，CD b CB b c =+，bCD CB b c =+，()b c b c b c bIA DA CA CD CA CB a b c a b c a b c a b c+++==-=-++++++++()c b c bCA CA CB CA BA a b c a b c a b c a b c=+-=+++++++++，同理a cIB AB CB a b c a b c=+++++，a b IC AC BC a b c a b c =+++++， 所以ac ab ab bcCA BA AB CBa b c a b c a b c a aIA bIB cIC b c++++++++++=+++0ac bcAC BC a b c a b c=++++++，D 正确.故选：AC【点睛】易错点睛：平面向量数量积的关系等式中，不能全与代数等式的相关性质类比，如：()··0a b b c b =≠不能推出a c =. 12．如图，甲船从1A 出发以每小时25海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的北偏西105︒方向的1B 处，此时两船相距52海里．当甲船航行12分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120︒方向的2B 处，此时两船相距5海里，下面正确的是（ ）A ．乙船的行驶速度与甲船相同B ．乙船的行驶速度是152/小时C 12+小时 D ．甲乙两船不可能相遇 【答案】AD【分析】连接12A B ，求出12A B ，再用余弦定理求出12B B ，计算乙船速度判断A ，B ；延长12B B 与12A A 延长线交于O ，计算甲乙到达点O 的时间判断C ，D 作答. 【详解】如图，连接12A B ，依题意，121225560A A =⨯=（海里），而225B A =海里，12260A A B ∠=，则122A A B 是正三角形，21260A A B ∠=，125A B =海里，在112A B B 中，11245B A B ∠=，1152A B =由余弦定理得：2222121112111222cos 45(52)5252552B B A B A B A B A B +-⋅=+-⨯⨯⨯，且有11245A B B ∠=，所以乙船的行驶速度是5251260=海里/小时，A 正确，B 不正确；延长12B B 与12A A 延长线交于O ，显然有12190A B B ∠=，即121A B OB ⊥，110OA =海里，253OB =15(31)OB =海里，甲船从出发到点O 用时1102255t ==（小时），乙船从出发到点O 用时25(31)31t ++==（小时），12t t <，即甲船先到达点O ，所以，甲乙两船不可能相遇，C 不正确，D 正确. 故选：AD【点睛】关键点睛：解三角形应用问题，根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型是解题的关键． 三、填空题13．函数3sin2cos2y x x =+的最大值为________． 【答案】2【分析】利用辅助角公式化简即可求解. 【详解】解：3sin2cos22sin 26y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，∴当sin 216x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，函数3sin2cos2y x x =+取得最大值为2．故答案为：2．14．已知2i1i-=+m z 在复平面内对应的点在第三象限，则实数m 的取值范围是_________．【答案】()2,2-【分析】根据复数的运算法则和复数的几何意义即可列式计算. 【详解】()()()()2i 1i 2i 2(2)i 22i 1i 1i 1i 222m m m m m m z -----+-+====-++-， 由题可知，20222202m m m -⎧<⎪⎪⇒-<<⎨+⎪-<⎪⎩. 故答案为：()2,2-.15．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3,3,4a b c ===，则sin 2sin AC=_______． 【答案】1【分析】根据给定条件，确定角A 与B 的关系，结合诱导公式计算作答. 【详解】在ABC 中，因3,3,4a b c ===，则A B =，()2C A B A ππ=-+=-， 所以sin 2sin 2sin 21sin sin(2)sin 2A A A C A Aπ===-. 故答案为：116．ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，AN AB AC λμ→→→=+，则λμ+的值为________ 【答案】12【分析】根据1,=,,2AN AM AM AB BM BM x BC BC AC AB →→→→→→→→→→=+==-即可得111222AN x AC x AB →→→⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，进而得答案. 【详解】因为[]()1,=,0,1,2AN AM AM AB BM BM x BC x BC AC AB →→→→→→→→→→=+=∈=-， 所以1111122222AN AM AB BM AB x BC AB x AC AB →→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111222x AC x AB AB AC λμ→→→→⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭， 所以111,222x x λμ=-=，所以12λμ+=故答案为：12【点睛】本题考查基底表示向量，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于借助[]()0,1BM x BC x →→=∈得111222AN x AC x AB →→→⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，进而求解. 四、解答题17．已知复数1z 满足1i 1i(i z ⋅=+为虚数单位)，复数22i()z m m R =+∈. （1）求1z ；（2）若12z z ⋅是纯虚数，求m 的值. 【答案】（1）11i z =-；（2）2-.【分析】（1）利用复数代数形式的乘除运算化简即可， （2）先求出12z z ⋅，再利用纯虚数的概念列出方程组得答案. 【详解】解：（1）1i 1i z ⋅=+，121i (1i)i1i i iz ++∴===-， （2）12(1i)(2i)(2)(2)i z z m m m ⋅=-+=++-，12z z ⋅是纯虚数，∴2020m m +=⎧⎨-≠⎩，2m ∴=-.18．已知,αβ为锐角，10tan 2,sin()ααβ=-=． (1)求cos2α的值； (2)求tan β的值． 【答案】(1)35； (2)1.【分析】（1）由二倍角的余弦公式，结合正余弦齐次式法计算作答. （2）由同角公式求出tan()αβ-，再利用差角的正切公式计算作答.【详解】(1)因tan 2α=，所以22222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin cos sin 1tan 5ααααααααα--=-===-++. (2)因,αβ为锐角，则22ππαβ-<-<，而10sin()10αβ-=，则2310cos()1sin ()10αβαβ-=--=， 于是得1tan()3αβ-=，所以12tan tan()3tan tan[()]111tan tan()123ααββααβααβ---=--===+-+⨯. 19．如图，已知ABC 内接于以O 圆心，半径为2的圆O 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，R 表示的ABC 外接圆半径．若BC 和BA 是圆O 的弦，且2,45=∠=︒BC ABC ．(1)求A ∠； (2)求弦AB 的长． 【答案】(1)30°； 26【分析】（1）由正弦定理求出sin A ，进而根据角的范围求得答案； （2）通过正弦定理并结合两角和与差的正弦公式即可求得答案. 【详解】(1)由正弦定理可知2124sin sin 2R A A ==⇒=，因为45B =︒，所以0135B ︒<<︒，则30A =︒.(2)由（1）可知105C =︒，于是由正弦定理可得()2123244sin1054sin 754sin 45304sin105222c R c ⎛==⇒=︒=︒=︒+︒=+ ︒⎝⎭2+6AB 2620．己知函数2()cos sin 3sin =f x x x x ，在锐角ABC 中，()0f A =． (1)求A 的值；(2)角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a =，求锐角ABC 面积最大值．【答案】(1)6A π=；(2)23+.【分析】（1）利用给定函数()f x 及()0f A =，借助同角公式求出A 作答.（2）利用余弦定理结合均值不等式，求出bc 的最大值，再由三角形面积定理求解作答. 【详解】(1)依题意，2()cos sin 3sin =-f x x x x ，则2cos sin 3s ()0in A A A A f =-=， 在锐角ABC 中，02A π<<，sin 0A >，于是得3tan 3A =，解得6A π=，所以6A π=.(2)在锐角ABC 中，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：222242cos 3(23)6b c bc b c bc bc π=+-=+-≥-，即44(23)23bc ≤=+-，当且仅当b c =时取“=”， 于是得111sin 4(23)23244ABCSbc A bc ==≤⨯+=+， 所以锐角ABC 面积最大值为23+.21．如图，在直角梯形OABC 中，//OA CB ，OA OC ⊥，22OA BC OC ==，M 为AB 上靠近B 的三等分点，OM 交AC 于D ．(1)用OA 和OC 表示OM ； (2)求OD DM． 【答案】(1)2233OM OA OC =+(2)3【分析】（1）据给定条件及几何图形，利用平面向量的线性运算即可求解； （2）选定一组基向量，OD 将由这一组基向量的唯一表示及三点共线即可求解. 【详解】(1)由题意可知，因为2OA BC =，所以12CB OA =.又因为M 为AB 上靠近B 的三等分点，所以23AM AB =. 22221221()()33333333AM OB OA OC CB OA OC OA OA OC OA ∴=-=+-=+-=-.21223333OM OA AM OA OC OA OA OC ⎛⎫∴=+=+-=+ ⎪⎝⎭. (2)因为OM 交AC 于D ，由（1）知，2233OM OA OC =+， 所以22223333t t OD tOM t OA OC OA OC ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭， 因为,,A D C 三点共线，所以22133t t +=，解得3t 4=， 所以34OD OM =，即3OD DM =，于是有3OD DM =. 所以3OD DM=. 22．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量(3,1),(1,0),(cos ,)r A B t θ=．(1)若//r AB ，且||2||=AB OA ，求向量OB 的坐标；(2)若AB r ⊥，求22cos 6cos θθ=++y t 的取值范围．【答案】(1)()11-；(2)[]3,7.【分析】（1）运用向量平行的条件和向量的模长公式，解方程可得t ，进而得到所求向量的坐标；（2）由向量垂直数量积为零的条件求出t ，代入函数式子化简，利用余弦函数的性质，可得所求函数的最小值.【详解】(1)(3,1),(1,0),(cos ,)r A B t θ= ()cos 1,AB t θ∴=- ，()1,0OA = (cos AB ∴=，1OA =||2||=AB OA2= ① 又//r ABcos 1θ∴-= ②由①②得，1t =±当1t =时，cos 1θ（舍去）当1t =-时，cos 1θ=()11B ∴-()11OB ∴=-(2)由（1）知，()cos 1,AB t θ=- AB r ⊥ 0A r B =⋅∴)cos 10t θ-+=)1cos t θ∴-)22222cos 6cos cos 6c 1co o s 4os 3s c y t θθθθθθ=⎤∴+=-⎦=++++又[]cos 1,1θ∈- []2cos 0,1θ∴∈ []24cos 33,7θ∴+∈22cos 6cos y t θθ∴=++的取值范围为[]3,7.。
广东省广州中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题
广东省广州中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．212R p B ．210R p ．在ABCV 中，若60,3A a =°=，则sin ．3B ．32．已知四边形ABCD 是圆内接四边形，大值时，四边形ABCD 的面积为（ ）点的仰角45,MAN C Ð=°点的仰角30CAB Ð=°以及75MAC Ð=°；从C 点测得60MCA Ð=°，已知山高50m BC =，则山高MN =________m .16．在直角梯形.ABCD 中，,//,22AB AD AD BC AB BC AD ^===，,E F 分别为,BC CD 的中点，以A 为圆心，AD 为半径的圆交AB 于G ，点P 在¼DG 上运动（如图）.若AP AE BF l m =+uuu r uuu r uuu r，其中,R l m Î，则2l m +的最大值是________.四、解答题17．（1）已知正四棱锥的底而边长是6，侧棱长为5，求该正四棱锥的表面积．（2）在ABC V 中，90,30,1C A BC Ð=°Ð=°=．在三角形内挖去半圆（圆心O 在边AC上，半圆与BC AB 、分别相切于点C 、M ，与AC 交于N ），求图中阴影部分绕直线(1)若M为PA中点，求证：AC∥平面当a b ^r r时，()120a b m m ×=--=r r ，解得1m =-或2m =，必要性不成立.所以“2m =”是“a b^r r ”的充分不必要条件.故选：A.4．A【分析】连接DM ，可以证到BC DM ^，BC PM ^，从而证到BC ^平面DMP ，所以BC DP ^，即可得解．【详解】解：连接DM ,Q 四面体ABCD 是正四面体，M 是BC 的中点,DBC \△、ABC V 是等边三角形，BC DM \^，BC PM ^．DM ÌQ 平面DMP ，PM Ì平面DMP ，DM PM M =I ，BC \^平面DMP ，又DP Ì平面DMP ，BC DP \^，\直线DP 与BC 所成角为90°.【详解】A.如图所示： ，可得结果l//b 或l bÌ，故A错误；B.如图所示：，可得结果//m b，故B正确；C.如图所示：，可得m l^，故C错误；有tan tan CR DMCDR CD q =Ð==在ADM △翻折到PAM △的过程中，若存在某一翻折位置，使得AM PB ^则AM ^平面POB ，而平面POB I22．(1)5π8A =，π8C =(2)3。
广东省广州天省实验学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含简单答案)
广州天省实验学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题注意：1．考试时间为120分钟．满分为150分．2．试卷分为第Ⅰ卷（选择题）与第Ⅱ卷（非选择题）两部分．3．选择题答案必须用2B 铅笔在答题卡对应题号答题框内填涂，非选择题需在问卷指定位置作答．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共8小题，只有一项符合题目要求，每小题5分，共40分．1. 已知，则复数的共轭复数是（ ）A. B. C. D. 2. 如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（ ）A. B. 1 C. D. 3. 已知向量，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 如图，在正四面体中，是的中点，P 是线段上的动点，则直线和所成角的大小（）()1i 2i z +=z 1i +1i -+1i -1i --O A B '''O A A B ''''=2O B ''=()()1,1,,2a m b m =-=- 2m =a b ⊥ ABCD M BC AM DP BCA. 一定为B. 一定为C. 一定为D. 与P 的位置有关5.已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（ ）A. B. C. D. 6. 在中，，，为（ ）．A. B. C. D.7. 为捍卫国家南海主权，我国海军在南海海域进行例行巡逻，某天，一艘巡逻舰从海岛A 出发，沿南偏东75°的方向航行到达海岛B ，然后再从海岛B 出发，沿北偏东45°的方向航行了海里到达海岛C .若巡逻舰从海岛A以北偏东60°的航向出发沿直线到达海岛C ，则航行路程AC (单位：海里)为（ ）A B.C. D. 8. 如图，直三棱柱的底面为直角三角形，，，，P 是上一动点，则的最小值为（ ）A B. C. D. 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ）A. 的共轭复数是..90︒60︒45︒2b a = a b 120 2ab - b 3b- 32b- 12b -3bABC V 60A ∠=︒1b =ABC V sin a A111ABC A B C -90ACB ∠=︒6AC =1BC CC ==1BC 1CP PA +1i z =+z 1i-B. 的虚部是C.D. 若复数满足，则的最大值是10. 已知，是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，则下列说法正确的有（ ）A. 若，，则B. 若，，，则C. 若，，，则D. 若，，，则11. 锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且，下列结论正确的是（ ）A. A =2BB. B 的取值范围为C. 的取值范围为D. 的取值范围为12. 如图，在边长为2的正方形中，E 、F 分别是、的中点.若沿SE 、SF及EF 把这个正方形折成一个四面体，使、、三点重合，重合后的点记为G ，则（ ）A. B. 点G 到平面SEF的距离为C. 三棱锥的外接球表面积为D. 二面角等于第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若，，则线段AB 的靠近B 的三等分点P 的坐标为______.14. 是关于的方程的根，______．z ii z z=0z 01z z -=0z 1+αβl α∥m α∥l m∥l α∥αβ∥⊂/l βl β∥l α⊥m β⊥αβ⊥l m ⊥αβ⊥m αβ= l m ⊥l β⊥2cos c b b A -=0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭a b 112sin tan tan A B A -+⎫⎪⎪⎭123SG G G 12G G 23G G 1G 2G 3G GS EF⊥34G SEF -6πE GSF --45︒()3,6AB =- ()2,3B -43i -+x 20(,R)x px q p q ++=∈p =15. 已知圆锥侧面展开图是一个半径为的半圆，则圆锥的底面半径为______；若该圆锥的顶点及底面圆周在球O 的表面上，则球O 的体积为______.16. 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.如下图的印信，可以看成是将一个棱长等于2cm 的正方体截去8个一样的四面体之后得到的，则该印信的所有棱长之和等于______cm ，该印信的表面积等于______.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 如图，在中，是的中点，点在上，且与交于点，设.（1）求的值；（2）当时，求的值.18. 已知向量（1）向量夹角的余弦值；（2）若向量与垂直，求实数k 的值；（3）若向量，且与向量平行，求实数k 的值.19. 在中，内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且满足.（1）求A ；（2）若，，AD 是的中线，求AD 的长.20. 已知四棱锥A —BCDE ，AB =BC =AC =BE =1，CD =2BE =2，CD 面ABC ，BE ∥CD ，F 为AD 中点．的的2cm ABC V D BC E AB 2,BE EA AD =CE O AO AD λ= λ5,3AB AC ==AO BC ⋅ ()()()3,1,1,2,a b m a kb k =-=-=+∈R ,a b m 2a b - (1,1)c =- m kb c + ABC V cossin 2B C b a B +=a =3BA AC ⋅= ABC V ⊥（1）求证：EF ∥面ABC ；（2）求四棱锥A —BCDE 体积，21. 如图，为矩形，为梯形，平面平面，，，．（1）若为中点，求证：平面；（2）求直线与直线所成角的大小；（3）设平面平面，试判断与平面能否垂直？并求平面与平面所成锐二面角的大小．22. 若函数，的角，，的对边分别为，，，且.（1）当取最大值时，判断的形状；（2）在中，为边的中点，且，求的长.的PDCE ABCD PDCE ⊥ABCD 90BAD ADC ∠=∠=︒12AB AD CD a ===PD =M PA AC ∥MDE PB CD PAD ⋂EBC l =l ABCD PAD EBC 2()2cos 2x f x x =+ABC V A B C a b c ()3f A =b c a+ABC V ABC V D BC AD =2AC =BC广州天省实验学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题简要答案第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共8小题，只有一项符合题目要求，每小题5分，共40分．【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】A二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分【9题答案】【答案】AD【10题答案】【答案】BC【11题答案】【答案】ACD【12题答案】【答案】AC第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】【15题答案】【答案】 ①.②. 【16题答案】【答案】 ①.②. 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【17题答案】【答案】（1） （2）【18题答案】【答案】（1）（2）（3）【19题答案】【答案】（1） （2【20题答案】【答案】（1）证明略；（2【21题答案】(3,5)-832π312+12λ=4-53k =13k =-23A π=【答案】（1）证明略（2）（3）垂直，【22题答案】【答案】（1）是等边三角形；（2）.3π4πABCV BC=。
2022-2023学年广东省东莞市高一(下)期中数学试卷-附答案
2022-2023学年广东省东莞市高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足（2+i ）z ＝2i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为（）A ．209B ．45C ．255D ．2532．已知平面向量a ＝（1，﹣2），b ＝（4，m ），且a b ⊥ ，则向量53a b -是（）A ．（﹣7，﹣34）B ．（﹣7．﹣16）C ．（﹣7，﹣4）D ．（﹣7，14）3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＝4，c ＝2，C ＝60°，则此三角形的解的情况是（）A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定4．某组样本数据的频率分布直方图如图所示，设该组样本数据的众数、平均数、第一四分位数分别为123x x x ，，，则123x x x ，，的大小关系是（注：同一组中数据用该组区间中点值近似替代）（）A ．213x x x <<B ．312x x x <<C ．132x x x <<D ．123x x x <<5．已知某圆锥轴截面的顶角为120°，过圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为2，则该圆锥的底面半径为（）A ．3B ．43C ．23D ．4236．设点O 在△ABC 内部，且有230OA OB OC ++=，点D 是边BC 的中点，设△ADC 与△AOC 的面积分别为S 1、S 2，则S 1：S 2＝（）A ．1：2B ．1：3C ．3：2D ．5：37．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且AB ＝BC ＝CD ，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为（）A ．12B ．12-C ．32D ．32-8．三棱锥P ﹣ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝23π，AP ＝3，BC ＝6，则该三棱锥外接球的表面积为（）A ．45πB ．63πC ．57πD ．84π二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若a ，b ，c是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（）A ．若a ＝b ，则|a |＝|b |B ．若a c ⋅ ＝b c ⋅ ，则a ＝bC ．若a ∥b ，b c ∥，则a c ∥D ．若|a +b |＝|a ﹣b |，则a b⊥10．已知m 、n 为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列说法正确的是（）A ．若m ∥α，n ∥β且α∥β，则m ∥nB ．若m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α∥βC ．若m ∥n ，n ⊂α，α∥β，m ⊄β，则m ∥βD ．若m ∥n ，n ⊥α，α⊥β，则m ∥β11．某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，希望获得全体学生的身高信息，按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本，经计算得到男生身高样本均值为170cm ，方差为17cm 2；女生身高样本均值为160cm ，方差为30cm 2.下列说法中正确的是（）A ．男生样本容量为30B ．每个女生被抽入到样本的概率均为25C ．所有样本的均值为166cmD ．所有样本的方差为46.2cm 212．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1棱长为1，P 是A 1D 上的一个动点，下列结论中正确的是（）A ．BP 的最小值为32B ．PA +PC 的最小值为22+C ．当P 在直线A 1D 上运动时，三棱锥B 1﹣ACP 的体积不变D ．以点B 为球心，22为半径的球面与面AB 1C 的交线长为63π三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的平均数是3，则数据2x 1+1，2x 2+1，…，2x n +1的平均数为．14．如图所示是利用斜二测画法画出的水平放置的△ABC 的直观图，已知A 'C '∥y '轴，B 'C '∥x '轴且2A 'C '＝B 'C '＝2，则△ABC 的周长为．15．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为4，E ，F 分别为BC 、CC 1的中点，则平面AEF 截正方体所得的截面面积为．16．如图，△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且满足（b +c ）cos A ＝a （2﹣cos B ﹣cos C ），b ＝c ，设∠AOB ＝θ（0＜θ＜π）．OA ＝2OB ＝4，则四边形OACB 面积的最大值为．四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知向量1e ，2e 是两个不共线的向量，AB ＝31e +2e ，AC ＝1e ﹣32e ，AD ＝21e +λ2e ．（1）若B ，C ，D 三点共线，求实数λ的值；（2）若|1e |＝2|2e |＝2，1e ，2e 的夹角是34π，且AD BC ⊥ ，求实数λ的值．18．已知z ＝a +bi （a ，b ∈R ），z +2i 和1zi-均为实数，其中i 是虚数单位．（Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）若11712z z i m m =+--+对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围．19．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，D 为AC 的中点，AA 1＝AB ＝2，BC ＝3．（1）求证：AB 1∥平面BC 1D ；（2）求三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的表面积．20．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 2B +sin 2C ＝（sin A +6sin B sin C ）sin A ．（1）求tan A ；（2）若5a =，10b =，求△ABC 的面积．21．某校为了解高一学生在五一假期中参加社会实践活动的情况，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图．（1）估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的众数，中位数，平均数；（2）估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的上四分位数（结果保留两位小数）．22．已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝∠BAD ＝2，AB ＝BC ＝2AD ＝4，E ，F 分别是AB ，CD 上的点，EF ∥BC ，AE ＝2，沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF （如图）．（1）证明：EF ⊥平面ABE ；（2）求二面角D ﹣BF ﹣E 的余弦值．参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：∵（2+i）z＝2i，∴，|z|＝．故选：C．2．【解答】解：∵，＝（1，﹣2），＝（4，m），∴1×4﹣2m＝0，解得m＝2．∴＝5（1，﹣2）﹣3（4，2）＝（5﹣12，﹣10﹣6）＝（﹣7，﹣16）．故选：B．3．【解答】解：因为b＝4，c＝2，C＝60°，由正弦定理得，故sin B＝＝＝＞1，故B不存在，即三角形无解．故选：C．4．【解答】选：B．5．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，如图所示，由题意可知，∠APB＝120°，∠ABP＝30°，又过圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为2，则，解得l＝2，在Rt△POB中，r＝l cos30°＝，所以该圆锥的底面半径为．故选：A．6．【解答】解：如图，取AC的中点为E，∵，∴++2（+）＝，∴2+4＝，∴O、D、E三点共线且||＝2||，∴＝，∴S1：S2＝＝，故选：C．7．【解答】解：如图所示，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，则EF∥BD，EG∥AC，FO⊥OG，∴∠FEG为异面直线AC与BD所成角．设AB＝2a，则EG＝EF＝a，FG＝＝a，∴∠FEG＝60°，∴异面直线AC与BD所成角的余弦值为，故选：A．8．【解答】解：作出△ABC的外接圆O1由于P A⊥平面ABC，可将三棱锥P﹣ABC中放在圆柱O1O2中，如图所示：因为，由正弦定理得△ABC的外接圆O1的直径为，又AP＝3，则三棱锥P﹣ABC外接球的直径为（2R）2＝|PA|2+（2r）2＝9+48＝57，故外接球的表面积为S＝4πR2＝57π．故选：C．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9．【解答】解：对于A，若，则向量长度相等，方向相同，故，故A正确；对于B，若＝，则，即＝或，故B错误；对于C，若，，则方向相同或相反，方向相同或相反，即的方向相同或相反，故，故C正确；对于D，若，则，∴，∴，故D正确，故选：ACD．10．【解答】解：对A，若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n或者m与n相交，或者m与n 异面，所以A错误；对B，若m∥n，m⊥α，则n⊥α，又n⊥β，所以α∥β，正确；对C，若n⊂α，α∥β，则n∥β，又m∥n，m⊄β，所以m∥β，正确；对D，若m∥n，n⊥α，则m⊥α，又α⊥β，所以m∥β或m⊂β，所以D错误．故选：BC．11．【解答】解：A：由50×＝30人，正确；B：由50×人，故每个女生被抽入到样本的概率为，错误；C：所有样本的均值为＝166cm，正确；D：男生方差，女生方差，所有样本的方差＝]＝[+480++12+720]＝＝46.2，正确．故选：ACD．12．【解答】解：对于A，当BP⊥A 1D时，BP最小，由于，∴B到直线A1D的距离，故A错误；对于B，将平面DCB1A1翻折到平面ADA1上，如图，连接AC，与A1D的交点即为点P，此时PA+PC取最小值AC，在三角形ADC中，∠ADC＝135°，，故B 正确；对于C，由正方体的性质可得A1D∥B1C，A1D⊄平面AB1C，∴A1D∥平面AB1C，∴P 到平面AB1C的距离为定值，又为定值，则为定值，即三棱锥B 1﹣ACP的体积不变，故C正确；对于D，由于BD1⊥平面AB1C，设BD1与平面AB1C交于Q点，∴，设以B为球心，为半径的球与面AB1C交线上任一点为G，∴，∴，∴G在以Q为圆心，为半径的圆上，由于△AB1C为正三角形，边长为，其内切圆半径为，故此圆恰好为△AB1C的内切圆，完全落在面AB1C内，∴交线长为，故D正确．故选：BCD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．【解答】解：一组样本数据x1，x2，…，x n的平均数是3，则数据2x1+1，2x2+1，…，2x n+1的平均数为2×3+1＝7．故答案为：7．14．【解答】解：先由斜二测画法得AC⊥BC，AC＝BC＝2，即可求解．由题意得，AC⊥BC，且AC＝BC＝2，则，则△ABC的周长为．故答案为：．15．【解答】解：如图，把截面AEF补形为四边形AEFD1，连接AD1，由正方体可得EF∥AD1，可得等腰梯形AEFD1为平面AEF截正方体所得的截面图形，由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，得AD1＝4，EF＝2，＝2，则E到AD1的距离即等腰梯形AEFD1的高为＝3，∴所求截面的面积为S＝（2）×＝18．故答案为：18．16．【解答】解：由（b+c）cos A＝a（2﹣cos B﹣cos C）及正弦定理得（sin B+sin C）cos A＝sin A（2﹣cos B﹣cisC），化简得sin C+sin B＝2sin A，再用正弦定理得c+b＝2a，又b＝c，所以a＝b＝c，即△ABC 为正三角形，在三角形AOB中|AB|2＝c2＝|OA|2+|OB|2﹣2|OA||OB|cosθ＝16+4﹣2×2×4cosθ＝20﹣16cosθ，S四边形OACB＝S△ABC+S△AOB＝c2+×2×4sinθ＝（20﹣16cosθ）+4sinθ＝5+4sinθ﹣4cosθ＝5+8sin（），∵0＜θ＜π，∴﹣＜θ﹣＜，∴sin（θ﹣）∈[﹣，1]，S四边形OACB∈[，8+5]，故答案为：8+5．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解答】解：（1）＝＝（﹣3）﹣（3+）＝﹣2﹣4，＝＝（2+λ）﹣（﹣3）＝+（λ+3），由B，C，D三点共线，根据共线向量定理的条件可得：＝k，即﹣2﹣4＝k[+（λ+3）]，所以解得：λ＝﹣1．∴B，C，D三点共线时实数λ的值为﹣1；（2）∵，∴＝0，即（2+λ）•（﹣2﹣4）＝0，∴﹣4²﹣（8+2λ）•﹣4λ²＝﹣8﹣（8+2λ）×2×1×cos﹣4λ＝0，解得：λ＝﹣4．18．【解答】解：（Ⅰ）∵z＝a+bi（a，b∈R），∴z+2i＝a+（b+2）i，＝＝，由题意，，可得a＝2，b＝﹣2，则z＝2﹣2i；（Ⅱ）＝2+2i+＝，由题意，，解得﹣2＜m＜或1＜m＜．∴实数m的取值范围是（﹣2，）∪（1，）．19．【解答】（1）证明：连接B1C，交BC1于点O，连接OD，所以O是B1C的中点，所以OD∥AB1，又因为AB1⊄平面BC1D，OD⊂平面BC1D中，所以AB1∥平面BC1D；（2）解：三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积为S＝2S△ABC+++＝2××2×3+2×2+2×3+2×＝16+2．20．【解答】解：（1）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，因为sin2B+sin2C＝（sin A+6sin B sin C）sin A，所以b2+c2＝a2+6bc sin A，所以2bc cos A＝6bc sin A，所以；（2）因为，，所以，，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得，即c2﹣6c+5＝0，解得c＝1或c＝5，当c＝1时，△ABC的面积为；当c＝5时，△ABC的面积为．21．【解答】解：（1）由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为20，故众数是20，由（0.02+0.06+0.075+a+0.025）×4＝1得a＝0.07，∵（0.02+0.06）×4＝0.32且（0.02+0.06+0.075）×4＝0.62，∴中位数位于18～22之间，设中位数为x，则，解得，故中位数是20.4；平均数为（0.02×12+0.06×16+0.075×20+0.07×24+0.025×28）×4＝20.32；（2）上四分位数即为75百分位数，又∵（0.02+0.06+0.075）×4＝0.62，（0.02+0.06+0.075+0.07）×4＝0.9，∴上四分位数位于22～26之间，设上四分位数为y，则，得．22．【解答】（1）证明：在直角梯形ABCD中，因为∠ABC＝∠BAD＝，故DA⊥AB，BC⊥AB，因为EF∥BC，故EF⊥AB．所以在折叠后的几何体中，有EF⊥AE，EF⊥BE，而AE∩BE＝E，故EF⊥平面ABE．（2）解：如图，在平面AEFD中，过D作DG⊥EF交EF于G．在平面DBF中，过D作DH⊥BF交BF于H，连结GH．因为平面AEFD⊥平面EBCF，平面AEFD∩平面EBCF＝EF，DG⊂平面AEFD，故DG⊥平面EBCF，因为BF⊂平面EBCF，故DG⊥BF，而DG∩DH＝D，故BF⊥平面DGH，又GH⊂平面DGH，故GH⊥BF，所以∠DHG为二面角D﹣BF﹣E的平面角，在平面AEFD中，因为AE⊥EF，DG⊥EF，故AE∥DG，又在直角梯形ABCD中，EF∥BC且EF＝（BC+AD）＝3，故EF∥AD，故四边形AEGD为平行四边形，故DG＝AE＝2，GF＝1，在Rt△BEF中，tan∠BFE＝，因为∠BFE为三角形的内角，故sin∠BFE＝，故GH＝1×sin∠BFE＝，故tan∠DHG＝＝，因为∠DHG为三角形的内角，故cos∠DHG＝．所以二面角D﹣BF﹣E的平面角的余弦值为．。
2022-2023学年广东省广州市广雅中学高一(下)期中数学试卷
2022-2023学年广东省广州市广雅中学高一（下）期中数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知a ∈R ，若复数z ＝（a 2﹣1）+（a +1）i 为纯虚数，则复数a ﹣i 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{x |﹣1＜x ＜3}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2} B ．{x |1＜x ＜3}C ．{1，2，3}D ．{x |1＜x ＜2}3．函数f （x ）=x 2−1|x|的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．4．已知非零向量a →，b →满足|b →|=√2|a →|，且(a →−b →)⊥(3a →+2b →)，则a →与b →的夹角为（ ） A ．45°B ．135°C ．60°D ．120°5．已知函数f(x)=log 13(3x 2−ax +8)在[﹣1，+∞）上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣6]B ．[﹣11，﹣6]C ．（﹣11，﹣6]D ．（﹣11，+∞）6．已知定义域为R 的函数f （x ），g （x ）满足f （x +π）＝﹣f （x ），且g （x ）＝cos x +f （x +π），f （x ）＝sin x ﹣g （x +π），则当x ∈[0，π4]时，函数y ＝f （x ）g （x ）的最小值为（ ） A ．0B ．2C ．2√3−34D ．2√2−387．已知E 是球O 内一点，过点E 作球O 的截面，其中最大截面圆的面积为4π，最小截面圆的面积为π，则OE 的值为（ ） A ．√2B ．√22C ．√32D ．√38．如图，假定两点P 、Q 以相同的初速度运动，分别同时从A 、C 出发，点Q 沿射线CD 做匀速运动，CQ ＝x ；点P 沿线段AB （长度为107单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离（PB ＝y ），那么定义x 为y 的纳皮尔对数，对应关系为y =107(1e)x107（其中e 为自然对数的底数，e ≈2.718），则P 从靠近A 的第一个四等分点移动到靠近B 的三等分点经过的时间约为（ ）（参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 5≈1.6）A ．0.7秒B ．0.8秒C ．1.1秒D ．1.2秒二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．） 9．下列说法中错误的是（ ） A ．若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R B ．若复数z 满足z 2＜0，则z ∈R C ．若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈RD ．若复数z 1、z 2满足z 1•z 2∈R ，则z 1＝z 210．对于△ABC ，有如下命题，其中正确的有（ ） A ．若sin2A ＝sin2B ，则△ABC 为等腰三角形 B ．若sin A ＝cos B ，则△ABC 为直角三角形C ．若sin 2A +sin 2B +cos 2C ＜1，则△ABC 为钝角三角形D ．若AB =√3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积为√34或√3211．将函数f （x ）＝sin2x 的图象向右平移π6个单位长度后，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的1ω(ω＞1)，得到函数g （x ）的图象，若g （x ）图象在[0，π）内恰有5条对称轴，则ω的取值可能是（ ） A ．2912B ．3512C ．176D ．11412．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1．M 、N 分别为BB 1、AB 的中点下列说法正确的是（ ）A ．点M 到平面AND 1的距离为√22B ．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1外接球的体积为√3π2C ．面AND 1截正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1外接球所得圆的面积为3π4D ．以顶点A 为球心，2√33为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于5√3π6三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省广州市天天向上联盟2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷
广东省广州市天天向上联盟2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷一、单选题1．复数52i z =-的虚部是（ ） A ．i B ．53 C ．5i 3 D ．12．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O A B C ''''，且//O A B C ''''，242O A B C A B '''''='==，，则该平面图形的高为（ ）A ．B ．2C ．D 3．在ABC V 中，D 是边BC 上一点，且2,BD DC E =是AC 的中点，记,AC m AD n ==u u u r u u u r u r r ，则BE =u u u r （ ）A ．533n m -r u rB ．732n m -r u rC ．732m n -u r rD ．532m n -u r r 4．已知m ，n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，,m n αβ⊂⊂，下列结论中正确的是（ ）A ．若m n ∥，则αβ∥B ．若αβ∥，则m n ∥C ．若m 与n 不相交，则αβ∥D ．若αβ∥，则m 与n 不相交5．已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设22(sin sin )sin (2sin B C A B C +=+，2sin 0A B -=，则角B 等于（ ）A ．30︒B ．60︒C ．45︒D ．150︒6．已知某圆台的上、下底面半径分别为1r ，r 2，且213r r =，若半径为下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（ ）A ．28πB ．28π3C ．56π3 D7．已知sin 3cos 0αα-=，则sin cos24ααα=π⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ） A ．25- B ．25 C ．35 D ．35- 8．已知ABC V 中，(1)AO AB AC λλ=+-u u u r u u u r u u u r ，且O 为ABC V 的外心．若BA u u u r 在BC u u u r 上的投影向量为BC μu u u r ，且12cos ,33AOC ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，则μ的取值范围为（ ） A ．25,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．13,510⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．45,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．13,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、多选题9．下列说法中正确的是（ ）A ．若复数1ii z =+，则复数z 在复平面内对应的点位于第一象限 B ．已知复数z 满足(12i)2i z +=+，则||1z =C ．32i +是关于x 的方程220x mx n ++=（m ，n 为实数）在复数集内的一个根，则实数n 的值为26D ．若复数z 满足若z ∈C ，且||1z =，则|34i |z --的最小值为410．若ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3a =，b 1c =，则（ ）A ．ABC V 为锐角三角形B ．ABC VC ．O 为ABC V 的外心，则143OA OC ⋅=-u u u r u u u r D ．设3AG AC =u u u r u u u r，则BG =11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得截面记为S ，则下列命题正确的是（ ）A ．当102CQ <<时，S 为四边形 B ．当12CQ =时，S 为等腰梯形 C ．当34CQ =时，S 与11C D 的交点1R ，满足1113C R = D ．当314CQ <<时，S 为四边形三、填空题12．若复数z 与2(3)18i z +-都为纯虚数，则z =.13．平面向量,a b r r 满足()2,1a =r ，a b r r ∥，a b ⋅=r r ，则b =r ． 14．在三棱锥P ABC -中，2AB =，AC BC ⊥，若该三棱锥的体积为23，则其外接球表面积的最小值为．四、解答题15．已知向量12,e e r r ，且1211,e e e ==r r r 与2e r 的夹角为1212π,,323m e e n e e λ=+=-r r r r r r . (1)求证：（)1222e e e -⊥r r r ；(2)若m r 与n r 的夹角为π3，求λ的值. 16．已知向量()cos ,1m α=-r ，()2,sin n α=r ，其中0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且m n ⊥r r ． ()1求cos2α的值；()2若()sin αβ-0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求角β．17．已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，a b =，且A ≠B ． (1)求C ∠的大小；(2)若C ∠的平分线交AB 于点D ，且CD =2+a b 的取值范围．18．由直四棱柱1111ABCD A B C D -截去三棱锥111C B CD -后得到的几何体如图所示，四边形ABCD 为平行四边形，O 为AC 与BD 的交点.(1)求证：1//AO 平面11B CD； (2)求证：平面1//A BD 平面11B CD ；(3)设平面11B CD 与底面ABCD 的交线为l ，求证：11//B D l .19．某景区为拓展旅游业务，拟建一个观景台P （如图所示），其中AB ，AC 为两条公路，120BAC ∠=︒，M ，N 为公路上的两个景点，测得2km AM =，1km AN =，为了获得最佳观景效果，要求P 对的视角60MNP ∠=︒.现需要从观景台P 到M ，N 建造两条观光路线PM ，PN ，且要求观光路线最长.若建造观光路线的宽为5米，每平方米造价为100元.(1)求M 、N 的距离；(2)设MNP α∠=，用α表示PM PN +；(3) 2.65）。
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广东省高一下学期期中数学试卷
姓名:________
班级:________
成绩:________
一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)
1. （2 分） (2019 高二上·北京期中) 数列-3，1，5，9，…的一个通项公式
（）
A.
B.
C.
D.
2. （2 分） (2018 高一下·深圳期中) 已知向量
，
，则
（）
A.
B.
C.
D. 3. （2 分） (2018 高二上·惠来期中) 已知 A、B 两地的距离为 10 km,B、C 两地的距离为 20 km,现测得 ∠ABC=120°，则 A、C 两地的距离为 （ ） A . 10 km
B.
km
C.
km
D.
km
4. （2 分） 在等比数列{an}中，S3=3a3 ， 则其公比 q 的值为（ ）
第 1 页 共 20 页
A.﹣
B.
C . 1 或﹣
D . ﹣1 或
5. （2 分） (2020 高三上·厦门期中) 已知函数
的图象与 轴的两个相邻
交点的距离为 ，把
图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半，再沿 轴向左平移 个单位长度，然后
纵坐标扩大到原来的 2 倍得到函数
的图象，若
在
上单调递增，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D. 6. （2 分） 已知△ABP 的顶点 A、B 分别为双曲线 的值等于（ ） A.
的左右焦点，顶点 P 在双曲线 C 上，则
B. C.
D.
7. （2 分） (2020 高一下·驻马店期末) 在
且满足
和
，连接
中， 是 边上的一点， 是 上的一点，
并延长交 于 ，若
，则 的值为（ ）
第 2 页 共 20 页
A. B.
C.
D.
8. （2 分） 数列 的通项公式
， 其前项和为 ， 则 等于（ ）
A . 1006
B . 2012
C . 503
D.0
9. （2 分） (2020·奉贤模拟) 如图，圆 O 的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角 x 的始边为射
线 ，终边为射线 ，过点 P 作直线 的垂线，垂足为 M，将点 M 到直线 的距离表示成 x 的函数
，
则
在
上的图象大致为（ ）
A.
第 3 页 共 20 页
B.
C.
D. 10. （2 分） (2016 高二下·北京期中) 已知定义在 R 上的函数 y=f（x）满足 f（x+2）=2f（x），当 x∈[0，
2]时，
，则函数 y=f（x）在[2，4]上的大致图象是（ ）
A. B.
第 4 页 共 20 页
C.
D.
11. （2 分） (2019 高二下·富阳月考) 已知向量 ， ， 满足
，若 为 ， 的夹角，则
的值是（ ）
A.
B.
C.
D.
12.（2 分）(2019·河南模拟) 已知数列 中，
，且对任意的
，且
，都有
，
则
（）
A.
B.
C.
D.
二、 填空题： (共 4 题；共 4 分)
13. （1 分） (2017 高一上·安庆期末) 已知 D 为三角形 ABC 的边 BC 的中点，点 P 满足 ，则实数 λ 的值为________．
第 5 页 共 20 页
14. （1 分） (2020 高一上·北海期末) 已知函数 ________.
，若
，则实数
15. （1 分） (2020·沈阳模拟) 已知等差数列 的前 n 项和为 ，且
中，
，
.则
________.
，
.数列
16. （1 分） 如图，在河的一侧有一塔 CD=12m，河宽 BC=3m，另一侧有点 A，AB=4m，则点 A 与塔顶 D 的距离 AD=________
三、 解答题 (共 6 题；共 70 分)
17. （10 分） (2020 高一下·宁波期中) 在 .
（1） 求角 B；
中，三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且
（2） 若
，
，求
的面积.
18. （10 分） (2016 高一下·南平期末) 已知向量 =（x，﹣1）， =（x﹣2，3）， =（1﹣2x，6）．
（1） 若 ⊥（2 + ），求| |；
（2） 若 • ＜0，求 x 的取值范围．
19. （10 分） (2019 高三上·衡水月考) 在
知
.
中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已
（1） 若
，
（2） 若
的面积为 ，且
，求 ， 的值； 为钝角三角形，求实数 的取值范围.
20. （15 分） (2019 高一下·广东期中) 已知正项数列 与正项数列
第 6 页 共 20 页
的前 项和分别为 和 ，
且对任意
，
恒成立.
（1） 若 （2） 在（1）的条件下，若
，求数列 ，求 ；
的通项公式；
（3） 若对任意
，恒有
及
成立，求实数 的取值范围.
21. （10 分） (2017 高一下·景德镇期末) 如图，矩形 ABCD 是一个历史文物展览厅的俯视图，点 E 在 AB 上， 在梯形 BCDE 区域内部展示文物，DE 是玻璃幕墙，游客只能在△ADE 区域内参观，在 AE 上点 P 处安装一可旋转的监 控摄像头，∠MPN 为监控角，其中 M、N 在线段 DE（含端点）上，且点 M 在点 N 的右下方，经测量得知：AD=6 米，
AE=6 米，AP=2 米，∠MPN= ，记∠EPM=θ（弧度），监控摄像头的可视区域△PMN 的面积为 S 平方米．
（1） 求 S 关于 θ 的函数关系式，并写出 θ 的取值范围：（参考数据：tan ≈3） （2） 求 S 的最小值． 22. （15 分） (2017 高一下·南京期末) 已知等差数列{an}和等比数列{bn}，其中{an}的公差不为 0．设 Sn 是数列{an}的前 n 项和．若 a1 ， a2 ， a5 是数列{bn}的前 3 项，且 S4=16． （1） 求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2） 若数列{
}为等差数列，求实数 t；
（3） 构造数列 a1 ， b1 ， a2 ， b1 ， b2 ， a3 ， b1 ， b2 ， b3 ， …，ak ， b1 ， b2 ， …，bk ， …， 若该数列前 n 项和 Tn=1821，求 n 的值．
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一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)
答案：1-1、 考点：
参考答案
解析： 答案：2-1、 考点：
解析： 答案：3-1、 考点：
解析： 答案：4-1、
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考点：
解析： 答案：5-1、 考点： 解析：
第 9 页 共 20 页
答案：6-1、 考点：
解析： 答案：7-1、 考点： 解析：
第 10 页 共 20 页
答案：8-1、考点：
解析：
答案：9-1、考点：
解析：
答案：10-1、考点：
解析：
答案：11-1、考点：
解析：
答案：12-1、
考点：
解析：
二、填空题： (共4题；共4分)答案：13-1、
考点：
解析：
答案：14-1、考点：
解析：
答案：15-1、考点：
解析：
答案：16-1、
考点：
解析：
三、解答题 (共6题；共70分)答案：17-1、
答案：17-2、考点：
解析：
答案：18-1、
答案：18-2、考点：
解析：
答案：19-1、
答案：19-2、考点：
解析：
答案：20-1、
答案：20-2、
答案：20-3、考点：
解析：
答案：21-1、答案：21-2、考点：
解析：
答案：22-1、
答案：22-2、答案：22-3、
考点：
解析：。