定义法证明函数的单调性

定义法证明函数的 单调性
例1、用定义法证明下列函数的单调性
（1） f (x) 1 , x (2,) x2
(2) f (x) x3 x, x R
例2、判定函数 f (x) x x2 1
在区间 (,) 的单调性。
例3、讨论函数
f
(x)
x
ax 2 1
(1
x
1,
a
Baidu Nhomakorabea
0)
的单调性。
例4、作出函数
结论：设y=f(g(x))是由外函数y=f(u)和 内函数u=g(x)复合而成的函数，则：
（1）若y=f(u)为增函数，u=g(x)为增函数，则 y=f(g(x))也为增函数
（2）若y=f(u)为增函数，u=g(x)为减函数，则 y=f(g(x))也为减函数
（3）若y=f(u)为减函数，u=g(x)为增函数，则 y=f(g(x))也为减函数
(1)求证：f( x2)=2f(x); (2)求f(1)的值； （3）若f(x)+f(x+3)<2,求x的取值范围。
例1、已知函数f (x) x 2 2x 3，则f(2),f(3),f(-5)
的大小关系为______.
例2、设函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，则
()
A．f(a)>f(2a)
B．f(a 2)<f(a)
C．f(a 2＋a)<f(a)
D．f( a 2＋1)<f(a)
二、利用单调性解不等式
（1）若函数 y f (x) 在区间D上是增函数，
(1)已知函数 f(x) 在区间A上单增，g(x)在区间B上 单增,则f(x)+g(x)在公共区间上是增函数
（2）已知函数 f(x) 在区间A上单增，g(x)在区间B 上单减,则f(x)-g(x)在公共区间上是增函数
（3）已知函数 f(x) 在区间A上单减，g(x)在区间B 上单减,则f(x)+g(x)在公共区间上是减函数
（4）若y=f(u)为减函数，u=g(x)为减函数，则 y=f(g(x))也为增函数
结论即为：同增异减
函数 f (x) x2 2x 3的单调递减区
间为________
函数单调性的应用
一、利用单调性比较大小
（1）增函数中自变量大函数值也大，减函数中自变 量小函数值反而大。但要注意将自变量放在同一单 调区间。
f
(x)
x
1 x
的图像
（1）判断函数 f (x) x 1 在区间 (,1) x
上的单调性并证明；
（2）判断函数 f (x) x 1 在区间 (1,0)
x
的单调性并证明。 （3）（0,1）的单调性呢？
（4） (1,) 的单调性怎样？
由上猜测函数 f (x) x a (a 0) 的单调情况并证明 x
（4）已知函数 f(x) 在区间A上单减，g(x)在区间B 上单增,则f(x)-g(x)在公共区间上是减函数
即：增+增=增，减+减=减
增-减=增，减-增=减
证明函数 f (x) x2 1
在定义域上的单调性。
若函数y=f(x)在（a,b)上单 调递增，u=g(x)在（a,b) 上单调递增，
证明：函数y=f(g(x))在 (a,b)上单调递增。
对任意 x1, x2 D, 且f (x1 ) f (x2 )
则有______. (2)若函数 y f (x)在区间D上是减函数，对
任意 x1 , x2 D, 且f (x1 ) f (x2 )
则有______.
1、设函数f(x)是R上的减函数，
若f(m－1)＞f(2m－1)，则实数m的取值范围 是________．
2、已知函数 f(x)为区间[－1,1]上的增函数 ，
则满足f(x)<f(1/2)的实数x的取值范围为
________．
3、已知函数f
(
x)
x 4
2
x
4 x
x, 2,
x x
0
若0 f(2－a
2)＞f(
a)，
则实数a的取值范围是.
已知y=f(x)在（0，+ ）上有意义，且单调递 增，并满足f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y).