根轨迹绘制举例(1).
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根轨迹绘制习题及答案
根轨迹绘制习题及答案根轨迹绘制习题及答案根轨迹是控制系统理论中的重要概念，它可以帮助我们分析和评估系统的稳定性和动态响应。
在学习根轨迹绘制的过程中，练习习题是必不可少的。
本文将为大家提供一些根轨迹绘制的习题及答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 习题一：考虑一个开环传递函数为G(s) = K/(s^2 + 2s + 1)的系统，请绘制其根轨迹，并分析系统的稳定性。
解答一：首先，我们需要确定系统的极点和零点。
对于给定的传递函数G(s)，我们可以将其分解为G(s) = K/(s+1)^2的形式，其中极点为-1，零点为无穷远处。
接下来，我们可以根据根轨迹的特性来绘制图形。
根轨迹是极点随着增加K的值而移动的轨迹。
当K趋近于无穷大时，根轨迹会趋近于极点的位置。
根据根轨迹的性质，我们可以得出以下结论：- 当K为正实数时，根轨迹从零点开始，逐渐向极点移动。
- 当K为负实数时，根轨迹从极点开始，逐渐向零点移动。
- 当K为纯虚数时，根轨迹会绕过零点和极点，形成一个闭合的曲线。
因此，在本例中，当K为正实数时，根轨迹从零点开始，逐渐向极点-1移动。
系统的稳定性取决于根轨迹是否穿过虚轴。
根据根轨迹的绘制，我们可以发现根轨迹没有穿过虚轴，因此系统是稳定的。
2. 习题二：考虑一个开环传递函数为G(s) = K/(s^2 + 3s + 2)的系统，请绘制其根轨迹，并分析系统的稳定性。
解答二：首先，我们需要确定系统的极点和零点。
对于给定的传递函数G(s)，我们可以将其分解为G(s) = K/(s+1)(s+2)的形式，其中极点为-1和-2，零点为无穷远处。
接下来，我们可以根据根轨迹的特性来绘制图形。
根轨迹是极点随着增加K的值而移动的轨迹。
当K趋近于无穷大时，根轨迹会趋近于极点的位置。
根据根轨迹的性质，我们可以得出以下结论：- 当K为正实数时，根轨迹从零点开始，逐渐向极点移动。
- 当K为负实数时，根轨迹从极点开始，逐渐向零点移动。
绘制根轨迹的基本法则(1)
4.2 根轨迹的绘制
低阶系统（如二阶系统）
解析法求根轨迹 （【例4.1.1】）
高阶系统
根轨迹绘制法则，8条
1
4.2.1 绘制根轨迹的基本法则
法则1：根轨迹的分支数、对称性和连续性 分支数＝MAX（n,m）
G(s)H (s) M (s) N (s)
1 M (s) 0 M (s) N(s) 0 N (s)
s3 3s2 2s K * 0
25
s3 3s2 2s K * 0
计算劳斯表
s3 1
2
s2 s1
3 6 K*
K* 0
3
s0 K*
6K* 0 K* 6 3
用s2行构造辅助方程
Imaginary Axis
例4.2.4
2
K*=6,s=1.414j
1
0
p3=-2
p2=-1
p1=0
-1
-2
3
3
与实轴交角为
(2k
1)
3
,k
0,1, 2
60,180,300
9
开环极点用×表示
例4.2.1
5
开环零点用○表示
一条根轨迹起于p1, 终止于z1
其他三条终止于无 穷远处
Imaginary Axis
=-1.67
p3=-1+j
0
p2=-4
z1=-1 p1=0 p4=-1-j
有三条渐近线
-5
-5
-4
证明：当 n m 2
征方程
1 G(s)H (s) 0
时，系统闭环特
n
m
(s pi ) K * (s z j ) 0
i 1
j 1
n
低阶系统（如二阶系统）
解析法求根轨迹 （【例4.1.1】）
高阶系统
根轨迹绘制法则，8条
1
4.2.1 绘制根轨迹的基本法则
法则1：根轨迹的分支数、对称性和连续性 分支数＝MAX（n,m）
G(s)H (s) M (s) N (s)
1 M (s) 0 M (s) N(s) 0 N (s)
s3 3s2 2s K * 0
25
s3 3s2 2s K * 0
计算劳斯表
s3 1
2
s2 s1
3 6 K*
K* 0
3
s0 K*
6K* 0 K* 6 3
用s2行构造辅助方程
Imaginary Axis
例4.2.4
2
K*=6,s=1.414j
1
0
p3=-2
p2=-1
p1=0
-1
-2
3
3
与实轴交角为
(2k
1)
3
,k
0,1, 2
60,180,300
9
开环极点用×表示
例4.2.1
5
开环零点用○表示
一条根轨迹起于p1, 终止于z1
其他三条终止于无 穷远处
Imaginary Axis
=-1.67
p3=-1+j
0
p2=-4
z1=-1 p1=0 p4=-1-j
有三条渐近线
-5
-5
-4
证明：当 n m 2
征方程
1 G(s)H (s) 0
时，系统闭环特
n
m
(s pi ) K * (s z j ) 0
i 1
j 1
n
Matlab实验三 绘制根轨迹
Matlab
for
Principles of Automatic Control
实验三 绘制根轨迹 1: 绘制根轨迹 2: 参量分析
① 绘制根轨迹 rlocus(sys)
Gk
(s)
K *(s 1) (s 2)(s 3)
rlocus(num, den)
rlocus(sys,k)
②参量分析（根轨迹图上一顿乱点即可）
K1
(s a )nm
1
根轨迹渐进线的方程是新的根轨迹方程。
Байду номын сангаас
• 例: 绘制根轨迹及其渐近线
G(s)
K1
s(s 1)(s 2)
⑥讨论增加零点对根轨迹的影响 试试-2至-4之间的零点
G(s)
K1
s(s 1)(s 2)
r=rlocus(sys)
Gk
(s)
K *(s 1) (s 2)(s 3)
r=rlocus(num, den)
[r,k]=rlocus(sys)
[r,k]=rlocus(num, den)
③测量出根轨迹增益和对应闭环极点坐标,
在窗口显示
Gk
(s)
K *(s 1) (s 2)(s 3)
[k,poles] = rlocfind(sys)
[k,poles] = rlocfind(sys,p) P为已知的要研究的闭环极点。
④绘制零、极点以及在窗口显示零极点
pzmap(sys)
Gk
(s)
K *(s 1) (s 2)(s 3)
[p,z]=pzmap(sys) 求解零极点的好方法
⑤绘制根轨迹渐近线
一般人我不告诉他:
当根轨迹渐进线与实轴的交点已求出后， 可得到方程，这是根轨迹渐进线的方程。
for
Principles of Automatic Control
实验三 绘制根轨迹 1: 绘制根轨迹 2: 参量分析
① 绘制根轨迹 rlocus(sys)
Gk
(s)
K *(s 1) (s 2)(s 3)
rlocus(num, den)
rlocus(sys,k)
②参量分析（根轨迹图上一顿乱点即可）
K1
(s a )nm
1
根轨迹渐进线的方程是新的根轨迹方程。
Байду номын сангаас
• 例: 绘制根轨迹及其渐近线
G(s)
K1
s(s 1)(s 2)
⑥讨论增加零点对根轨迹的影响 试试-2至-4之间的零点
G(s)
K1
s(s 1)(s 2)
r=rlocus(sys)
Gk
(s)
K *(s 1) (s 2)(s 3)
r=rlocus(num, den)
[r,k]=rlocus(sys)
[r,k]=rlocus(num, den)
③测量出根轨迹增益和对应闭环极点坐标,
在窗口显示
Gk
(s)
K *(s 1) (s 2)(s 3)
[k,poles] = rlocfind(sys)
[k,poles] = rlocfind(sys,p) P为已知的要研究的闭环极点。
④绘制零、极点以及在窗口显示零极点
pzmap(sys)
Gk
(s)
K *(s 1) (s 2)(s 3)
[p,z]=pzmap(sys) 求解零极点的好方法
⑤绘制根轨迹渐近线
一般人我不告诉他:
当根轨迹渐进线与实轴的交点已求出后， 可得到方程，这是根轨迹渐进线的方程。
第四章 根轨迹法(1)
第四章 根轨迹法
（1）当 K * = 0时，s1 = 0、s2 = －2， 此时闭环极点就是开环极点。 （2）当0＜ K * ＜1时， s1 、 s2 均为负 实数，且位于负实轴的（－2，0） 一 段上。 （3）当K * = 1时，s1 = s2 = －1，两 个负实数闭环极点重合在一起。 （4）当1＜ K * ＜∞时， s1， 1 1 k * 2 两个闭环极点变为一对共轭复数极点。 s1 、 s2 的实部不随K * 变化，其位于过 （－1，0）点且平行于虚轴的直线上。 （5）当K * ＝∞时， s1 = －1+ j∞、 s2 = －1－j∞，此时s1、s2将趋于无限 远处。
第四章 根轨迹法
② 位于s1左边的实数零、极 点： (S1 – P4 ) 、(S1 – Z1 ) 、 向量引起的相角为0°
∴ 判断 s1是否落在根轨迹 上，位于s1左边的零、极点不 考虑。
③ 位于s1右边的实数零、极点： 每个零、极点提供180°相 角，其代数和为奇数，则满足相角条件。
第四章 根轨迹法
a
(0) (1 j1) (1 j1) (4) (1) 5 4 1 3
60 180 2k 1 180 2k 1 a 180 nm 3 300
k 0 k 1 k 2
第四章 根轨迹法
五、法则五 根轨迹分离点和分离角
K G( s) H ( S )
* i 1 n j 1
(s z )
i
m
S (s p j )
-1
m个开环零点 n个开环极点 K *根轨迹增益
∴在s平面上凡是满足上式的任意一个点s1、s2、…、 s∞，都 是闭环特征根，即闭环极点。
第四章 根轨迹法
自动控制原理第四章根轨迹法
i 1
j 1
开环极点到此被测零点 (终点)的矢量相角
8. 根轨迹的平衡性(根之和） （ n-m 2）
特征方程 Qs KPs 0
sn an1sn1 a1s a0 K sm bm1sm1 b1s b0 0
n
Qs KPs s p j sn cn1sn1 c1s c0 0 j 1
i 1
j1
k 0,1,2,
s zoi i 开环有限零点到s的矢量的相角
s poj j 开环极点到s的矢量的相角
矢量的相角以逆时针方向为正。
幅值条件：
s
m
m
s zoi
li
A s
i 1 n
i 1 n
s poj
Lj
j 1
j1
li αi
-zoi
Lj βj
×
-poj
开 环 有 限 零 点 到s的 矢 量 长 度 之 积 开环极点到s的矢量长度之积
， 2 2
c 2k 11800 2
由此可推理得到出射角：
其余开环极点到被测极 点(起点)的矢量相角
n1
m
c 2k 1180o j i
j 1
i 1
有限零点到被测极点
(起点)的矢量相角
同理入射角：
其余开环有限零点到被测 零点(终点)的矢量相角
m1
n
r 2k 1180o i j
1 GsHs 0
m
GsHs
KPs Qs
K
i 1
n
s
s
zoi
poj
j 1
P s sm bm1sm1 b1s b0
Q s sn an1sn1 a1s a0
于是，特征方程
第四章根轨迹法
系统得闭环根轨迹图。
j
已知负反馈系统开环零极点 分布如图示。
2 p2
在s平面找一点s1 ,
1
画出各开环零、极点到 z1
s1
1
p1 0
s1点得向量。
3
检验s1就是否满足相角条件: p3
(s1 z1) [(s1 p1) + (s1 p2) + (s1 p3)]
= 1 1 2 3 = (2k+1) ？？
点,称为根轨迹得分离点(会合点)。
Kg=0 p1
j
j1
Kg A
Kg z1
0
p2 Kg=0
分离点得性质:
1)分离点就是系统闭环重根; 2)由于根轨迹就是对称得,所以分离点或位于实轴上,或 以共轭形式成对出现在复平面上; 3)实轴上相邻两个开环零(极)点之间(其中之一可为无穷 零(极)点)若为根轨迹,则必有一个分离点;
n
m
(s p j ) K g (s zi ) 0
j 1
i 1
d
ds
n j 1
(s
pj)
Kg
d ds
m
(s zi ) 0
i 1
d n
ds j1
n
(s
pj)
dm
ds i1
m
(s zi )
(s pj ) (s zi )
j 1
i 1
(lnV ) V V
n
m
d ln (s pj ) d ln (s zi )
如果s1点满足相角条件,则就是根轨迹上得一点。寻找
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
在s 平面内满足相角条件得所有s1 点,将这些点连成光滑曲 线,即就是闭环系统根轨迹。
自动控制原理之根轨迹图
* c
5
，
* 令 s j ， 并 将 K * K c 5代 入 辅 助 方 程 可 求 出 c 1 。系统的根轨迹如图4-13所示。
2 1 .5 1 0 .5
p3
Kc 5
*
Байду номын сангаас
0
p2 p1
j
0 – 0 .5 –1 – 1 .5 –2 –3 –2
p4
–1
0
1
2
图4-13 例4-9系统的根轨迹图
a nm 40 1
渐近线与实轴正方向的交角为
2 k 1 a π n m
当k = 0时， 当k = 1时， 当k = 2时， 当k = 3时，
a
π 4 3π 4
45
a
135
a
a
5π 4 7π
4
135
45
⑸由规则五可求出根轨迹与实轴的交点（分离点）。 分离点方程是
4 3
3
⑺ 该系统为4阶系统，用解析法求根轨迹与虚轴的 * 交点 c 和对应的开环根轨迹增益的临界值 K c 比较困 * 难。下面采用劳斯判据求出 c 和 K c 的值。 根据系统的特征方程列出劳斯表如下：
s
4
1 4 5
20 4 K 5
*
6K 4
K
*
*
s 2 s
s
1
3
0 0
0
s
0
K
*
令劳斯表中s1 行的首项系数为零，求得 K 2 * 2 由 s 行系数写出辅助方程为 5s K 0
s 4s 6s 4s K 0
4 3 2 *
由规则二知，该系统的根轨迹共有4条分支（n=4），4条根 轨迹连续且对称于实轴。 ⑶由规则三知，实轴上的根轨迹是实轴上由0到-2的线 段。
(电气)自动控制原理15(复数域分析)
s1, 2 = − p1, 2 1 3 =− ± j 3 3
.
－0.432
jω
j 2
×
－2
×
－1
×
0
-j 2
( K = 1.037)
σ
当K=1.037时，系统的另一个闭环极点为：
− p3 = (− po1 − po2 − po3 ) − (− p1 − p2 ) = −3 − (− 2 3) = −2.33
－5 －4
×
× ×
－2
01 2
σ
′ zo ( s ) = 1
′ po ( s ) = 3s 2 + 18s + 24
则：
′ ′ po ( s)zo ( s) − zo ( s) po ( s) = 2s 3 + 6s 2 − 18s − 44 = 0
《自动控制原理》
第四章 控制系统的复数域分析
用试探法，先确定出方程的一个根。 令
8σ 3 − 6σ 2 − j 6 3σ 2 − 2σ + j 2 3σ + K = 0
− j 2 3σ ( 3σ − 1) = 0 8σ 3 − 6σ 2 − 2σ + K = 0
σ =1 3
K = 28 27 = 1. 037
《自动控制原理》
第四章 控制系统的复数域分析
则交点s1,2（闭环极点）为：
3 s1 = −1 + = −0.432, 3 3 s2 = −1 − = −1.577, 3 K1 = 0.38 > 0
K 2 = −0.38 < 0
－0.432
jω
因此分离点为 -0.432。
分离点处的分离角为：
( 2 k + 1)180 o ⎧ 90 o , k = 0 θd = =⎨ l 270 o , k = 1 ⎩
.
－0.432
jω
j 2
×
－2
×
－1
×
0
-j 2
( K = 1.037)
σ
当K=1.037时，系统的另一个闭环极点为：
− p3 = (− po1 − po2 − po3 ) − (− p1 − p2 ) = −3 − (− 2 3) = −2.33
－5 －4
×
× ×
－2
01 2
σ
′ zo ( s ) = 1
′ po ( s ) = 3s 2 + 18s + 24
则：
′ ′ po ( s)zo ( s) − zo ( s) po ( s) = 2s 3 + 6s 2 − 18s − 44 = 0
《自动控制原理》
第四章 控制系统的复数域分析
用试探法，先确定出方程的一个根。 令
8σ 3 − 6σ 2 − j 6 3σ 2 − 2σ + j 2 3σ + K = 0
− j 2 3σ ( 3σ − 1) = 0 8σ 3 − 6σ 2 − 2σ + K = 0
σ =1 3
K = 28 27 = 1. 037
《自动控制原理》
第四章 控制系统的复数域分析
则交点s1,2（闭环极点）为：
3 s1 = −1 + = −0.432, 3 3 s2 = −1 − = −1.577, 3 K1 = 0.38 > 0
K 2 = −0.38 < 0
－0.432
jω
因此分离点为 -0.432。
分离点处的分离角为：
( 2 k + 1)180 o ⎧ 90 o , k = 0 θd = =⎨ l 270 o , k = 1 ⎩
自动控制原理第四章根轨迹法
第四章 根轨迹法
第一节 根轨迹与根轨迹方程 根轨迹 系统的某个参数（如开环增益K）由0到∞变化时， 闭环特征根在S平面上运动的轨迹。
例： GK(S)= K/[S(0.5S+1)] = 2K/[S(S+2)] GB(S)= 2K/(S2+2S+2K) 特征方程：S2+2S+2K = 0
-P1)(S-P2)…(S-Pn)
单击此处可添加副标题
当n＞m时，只有m条根轨迹趋向于开环零点，还有（n-m）条？ m，S→∞，有: (S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm) -1 -1 ———————-— = —— = —— P1)(S-P2)…(S-Pn) K* AK 可写成：左边 = 1/Sn-m = 0 当K=∞时，右边 = 0 K=∞（终点）对应于S→∞（趋向无穷远）. 即：有（n-m）条根轨迹终止于无穷远。
分解为：
03
例：GK(S)= K/[S(0.05S+1)(0.05S2+0.2S+1)] 试绘制根轨迹。 解： 化成标准形式： GK(S)= 400K/[S(S+20)(S2+4S+20)] = K*/[S(S+20)(S+2+j4)(S+2-j4)] K*=400K——根迹增益 P1=0，P2=-20，P3=-2+j4，P4=-2-j4 n=4，m=0
一点σa。
σa= Zi= Pi
ΣPi-ΣZi = (n-m)σa
σa= (ΣPi-ΣZi)/(n-m)
绘制根轨迹的基本法则
K*(S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm)
—————————— = -1 (S-P1)(S-P2)…(S-Pn)
第4章 控制系统的根轨迹分析
绘制根轨迹如图4-13所示。
第4章 控制系统的根轨迹分析
图4-13 例4-5系统的根轨迹
第4章 控制系统的根轨迹分析
图中根轨迹与虚轴的交点可从系统临界稳定的条件
得到τ=1。τ=1时系统的特征方程为
得与虚轴交点的坐标为jω=±j。从根轨迹得到系统稳定时τ
的取值范围为0<τ<1。
第4章 控制系统的根轨迹分析
θj(j=1,2,3,4)。选取实轴上一点s0,若s0为根轨迹上的点,必满足
相角条件,有
第4章 控制系统的根轨迹分析
图4-5 实轴上根轨迹相角示意
第4章 控制系统的根轨迹分析
下面分别分析开环零、极点对相角条件的影响,进而分
析对实轴上根轨迹的影响。
(1)共轭复数极点p4和p5到点s0的向量的相角和为
φ4+φ5=2π,共轭复数零点到s0点的向量的相角和也为2π。
(2)实轴上,s0点左侧的开环极点p3和开环零点z2到点s0所
构成的向量的夹角φ3和θ2均为零度。
(3)实轴上,s0点右侧的开环极点p1、p2和开环零点z1到点
s0 所构成的向量的夹角φ1、φ2和θ1均为π。
第4章 控制系统的根轨迹分析
第4章 控制系统的根轨迹分析
若系统稳定,由劳斯表的第一列系数,有以下不等式成立:
得0<K* <78.47。
由此可知,当 Kc* =78.47时,系统临界稳定,此时根轨迹穿
过虚轴。K* =78.4ω 值由以下辅助方程确定:
将 K* =78.47代入辅助方程,得
解得s=±j2.16。
第4章 控制系统的根轨迹分析
对于例4-1,其在实轴上的根轨迹一条始于开环极点,止于
开环零点(根轨迹位于-2到-5之间),另两条始于开环极点,止于
第四章 控制系统根轨迹分析法
i j 1 j
4.1 根轨迹的概念
模条件与角条件的作用： 1、角条件与k无关，即s平面上所有满足角条件的 点都属于根轨迹。（所以绘制根轨迹只要依据角条 件就足够了）。 2、模条件主要用来确定根轨迹上各点对应的根轨 I 迹增益k值。
m
k
j 1 m
n
s p
j
s Zi
args Z i
1
所以结论：实轴上线段右侧的零、极点数目之和为奇 数时，此区段为根轨迹。
jω
例
k G0 ( s ) Ts 1
1 T
×
×
×
×
σ
1 p T
j
1 1 T F 1 T 2k 1 1
k' G0 ( s ) s( s 0.5 )
j
p1 0 p2 0.5
k G0 s 举例： 开环传函： ss 1
K为开环增益（因为标准型） 有两个开环极点 无开环零点
rs
k ss 1
C s
k G s 2 闭环传函： s sk
2 D s s sk 0 则闭环特征方程为：
1 1 闭环特征根（即闭环传函的极点）： s1 1 4k
0 0 .5 F 0.25 2 2k 1 3 , 2 2 2
-0.5 0
4.2 根轨迹的绘制规则
规则四：根轨迹的渐近线： （1）条数： （n-m）条 （2）与实轴所成角度 当
m n 2k 1
n m
s 时，认为所有开环零极点引向s的角相同
Z1 Z m p1 p n
G 0 s k
m
为m个开环零点
4.1 根轨迹的概念
模条件与角条件的作用： 1、角条件与k无关，即s平面上所有满足角条件的 点都属于根轨迹。（所以绘制根轨迹只要依据角条 件就足够了）。 2、模条件主要用来确定根轨迹上各点对应的根轨 I 迹增益k值。
m
k
j 1 m
n
s p
j
s Zi
args Z i
1
所以结论：实轴上线段右侧的零、极点数目之和为奇 数时，此区段为根轨迹。
jω
例
k G0 ( s ) Ts 1
1 T
×
×
×
×
σ
1 p T
j
1 1 T F 1 T 2k 1 1
k' G0 ( s ) s( s 0.5 )
j
p1 0 p2 0.5
k G0 s 举例： 开环传函： ss 1
K为开环增益（因为标准型） 有两个开环极点 无开环零点
rs
k ss 1
C s
k G s 2 闭环传函： s sk
2 D s s sk 0 则闭环特征方程为：
1 1 闭环特征根（即闭环传函的极点）： s1 1 4k
0 0 .5 F 0.25 2 2k 1 3 , 2 2 2
-0.5 0
4.2 根轨迹的绘制规则
规则四：根轨迹的渐近线： （1）条数： （n-m）条 （2）与实轴所成角度 当
m n 2k 1
n m
s 时，认为所有开环零极点引向s的角相同
Z1 Z m p1 p n
G 0 s k
m
为m个开环零点
(自动控制)第四章：根轨迹法
动态性能：从根轨迹图可以分析出系统的工作状态，
如过阻尼状态、欠阻尼状态……
根轨迹增益、闭环零极点与开环零极点的关系 l f
* G(s)= KG
∏( s-p ) i i=1
f i i 1 H q
q
∏( s-z ) i i=1
;
l
j=1 * H (s)= KH h
f l m
∏(s-zj )
C(s)
C ( s) 2k 2 R ( s ) S 2 S 2k
特征方程（闭环）：
S2+2s+2k=0
k s(0.5s+1)
特征根：s1,2= －1±√1－2k k=0时， s1=0, s2=－2
K:0 ~ ∞
0＜k＜0.5 时，两个负实根 ；若s1=－0.25, s2=? k=0.5 时，s1=s2=－1 0.5＜k＜∞时，s1,2=－1±j√2k－1 j
注意：一组根对应同一个K；
K一变，一组根变； K一停，一组根停；
-2
-1
0
由以上分析，s1、s2两条根轨迹反映了系统特征根随参 数k变化的规律，组成了系统的根轨迹。 1.二阶系统有两个特征根，它的根轨迹有两条分支； 一个n阶系统的根轨迹则应有n条分支。 2.k＝0时的闭环极点，s1=0、s2=-2正好是开环传递函 数的两个极点，因此说，系统开环极点就是它各条根轨 迹的起点。 3. k＝∞时的闭环极点，是根轨迹的终点。 4.特征方程的重根点是根轨迹的分支离开负实轴进入复 数平面的分支点。
a.系统响应单调上升（ξ>1）系统具有两个不相等的负实根┈ 过阻尼响应。 b.系统响应衰减振荡（0＜ξ＜1）系统具有一对负实部的共 轭复根┈欠阻尼响应。
根轨迹绘制例题
3 4 k 0 g 解得： k 0 ， 3 / 4 ； 0 ， 3 g
Im 4
2 三重 极点 -4 -2 0 -2 Re
-6.65 -6
-4
2．当－∞≤kg≤0时，绘制0o等相角根轨迹。
实轴上的根轨迹区间为：[-3，-1]和[0，+∞) 渐近线：开环极点数-开环零点数=1，则该根轨迹有一条 渐进线。渐进线的倾角为： 2k 0 nm 分离（会合）点：计算方法如1。s=-6.65不在根轨迹上， 应该舍去。 s=-1.35是会合点。
实轴上的根轨迹区间为： [-4，0]
根轨迹的渐近线：开环极点与开 环零点的数目相同，该根轨迹没有 渐进线。
z2
-4
p1
Im
116.57 1 Re 0
1
2
-3 -2 实轴上根轨迹
z1
-1
1
p2
-1
分离（会合）点：令 s4 kgs ' 2 1 N( s )2 s4 N (s )s 4 s 2 s 2 s2 2 ' D ( s ) s 2 s 2 D ( s )2 s 2 2 ' ' 代入方程 N 有： ( s ) D ( s ) N ( s ) D ( s ) 0 s 2 s 4 0
根轨迹与虚轴的交点：
2 1 k ) s ( 2 4 k ) s 2 0 系统的闭环特征方程为： ( g g
劳斯阵列如下： s2 1 kg 2
s1 2 4k g 0 s0 2 0 由于kg≥0，劳斯阵列中没有全为零的行。所以，根 轨迹与虚轴没有交点。根轨迹如下：
Im 1 -1.24 -4 -3 -2 -1 0 -1 Re
2 三重 极点 -4 -2 0 -2 Re
Im 4
2 三重 极点 -4 -2 0 -2 Re
-6.65 -6
-4
2．当－∞≤kg≤0时，绘制0o等相角根轨迹。
实轴上的根轨迹区间为：[-3，-1]和[0，+∞) 渐近线：开环极点数-开环零点数=1，则该根轨迹有一条 渐进线。渐进线的倾角为： 2k 0 nm 分离（会合）点：计算方法如1。s=-6.65不在根轨迹上， 应该舍去。 s=-1.35是会合点。
实轴上的根轨迹区间为： [-4，0]
根轨迹的渐近线：开环极点与开 环零点的数目相同，该根轨迹没有 渐进线。
z2
-4
p1
Im
116.57 1 Re 0
1
2
-3 -2 实轴上根轨迹
z1
-1
1
p2
-1
分离（会合）点：令 s4 kgs ' 2 1 N( s )2 s4 N (s )s 4 s 2 s 2 s2 2 ' D ( s ) s 2 s 2 D ( s )2 s 2 2 ' ' 代入方程 N 有： ( s ) D ( s ) N ( s ) D ( s ) 0 s 2 s 4 0
根轨迹与虚轴的交点：
2 1 k ) s ( 2 4 k ) s 2 0 系统的闭环特征方程为： ( g g
劳斯阵列如下： s2 1 kg 2
s1 2 4k g 0 s0 2 0 由于kg≥0，劳斯阵列中没有全为零的行。所以，根 轨迹与虚轴没有交点。根轨迹如下：
Im 1 -1.24 -4 -3 -2 -1 0 -1 Re
2 三重 极点 -4 -2 0 -2 Re
自动控制_根轨迹(例题)
n
m
n
m
nm
j 1
i 1
nm
这是与实轴交点为－，斜率为 tg
(2k 1) nm
是渐近线方程。渐近线与实轴的夹角(称为渐近线的倾斜角为
k 0,1,2
( 2k 1) 的直线方程。也就 nm
180
0
n m 1
nm 2
90 0
和
实轴上的会合点和分离点的求法
由此得： D( d ) K gd N ( d ) 0 ' ' D ( ) K N ( d ) 0 d gd 即：
N ' ( s ) D( s ) N ( s ) D ' ( s ) 0 D( s ) K gd N ( s) s d
二．根据相角条件确定根轨迹上的点
设某一系统的开环零极点如图，在Ｓ 平面中的任意一点 S0 ，用相角条件可
s0
O
× p2
以判断 S0 是不是根轨迹的点。
1、从 S0 到各零极点连直线
2、用量角器量 (s0 p1 )，…等各个角 3、将量好的值代入（＊＊）式，若等
式成立，则 S0 就是根轨迹上的点
j 1 i 1 i
当 Kg= 0 时，有 s = pj ( j =1, 2, … , n) 上式说明Kg= 0时，闭环特征方程的根就是开环极点。
将特征方程改写为：
1 Kg
(s p ) (s z ) 0
j 1 j i 1 i
n
m
当 Kg 时，有
s = zi
( i =1, 2, … , m)
z1
o
根轨迹绘制举例(1).
(9)根轨迹与虚轴两个交点
s3,4 j1.614 交点处的K1＝2.34
根轨迹绘制举例(7)
常见的根轨 迹的形状
根轨迹绘制举例(8)
课堂练习1
根轨迹绘制举例(9)
课堂练习2 1.分别绘如下闭环系统的 根轨迹的大致形状。
K1 G( s) H ( s) 2 s[( s 4) 1]
分离点（或会合点）：
K1 s3 8s2 3s
K1 0 s
与虚轴交点：
D(s) s3 8s2 32s K1 0 临界K1=256
d=-2.67j1.89 ！舍去
将K1=256、s=j代入D(s)=0 =5.66
G( s) H ( s)
K1 s[( s 3) 2 3]
G( s ) H ( s )
3 K ( s 2) s( s 3)( s 2 2 s 2)
s 4 5s3 8s 2 (6 K1 ) s 2 K1 0
50 K1 6 K 0 K1 3K 7.02 1 34 K1 1 2 8 (6 K ) 1 s 2 K1 0 5
(2k 1)180 nm
出射角
(2k 1)＋ (p j z i ) (p j p i ) 1 2＝
i 1 i 1 i j m n
2
90
与虚轴交点： D(s) s2 K1 (s 1) 0
s2 s s0
1
分离点（或会合点）：
分离点（或会合点）：
K1 s3 8s2 17s
K1 0 s
d1 1.465
d2 3.865
n-m=3 负实轴为根轨迹 渐近线
s3,4 j1.614 交点处的K1＝2.34
根轨迹绘制举例(7)
常见的根轨 迹的形状
根轨迹绘制举例(8)
课堂练习1
根轨迹绘制举例(9)
课堂练习2 1.分别绘如下闭环系统的 根轨迹的大致形状。
K1 G( s) H ( s) 2 s[( s 4) 1]
分离点（或会合点）：
K1 s3 8s2 3s
K1 0 s
与虚轴交点：
D(s) s3 8s2 32s K1 0 临界K1=256
d=-2.67j1.89 ！舍去
将K1=256、s=j代入D(s)=0 =5.66
G( s) H ( s)
K1 s[( s 3) 2 3]
G( s ) H ( s )
3 K ( s 2) s( s 3)( s 2 2 s 2)
s 4 5s3 8s 2 (6 K1 ) s 2 K1 0
50 K1 6 K 0 K1 3K 7.02 1 34 K1 1 2 8 (6 K ) 1 s 2 K1 0 5
(2k 1)180 nm
出射角
(2k 1)＋ (p j z i ) (p j p i ) 1 2＝
i 1 i 1 i j m n
2
90
与虚轴交点： D(s) s2 K1 (s 1) 0
s2 s s0
1
分离点（或会合点）：
分离点（或会合点）：
K1 s3 8s2 17s
K1 0 s
d1 1.465
d2 3.865
n-m=3 负实轴为根轨迹 渐近线
根 轨迹法
第三章
(五) 《礼记》中说：“入境而问禁，入国而问
俗，入门而问讳。”俗话说“十里不同风、 百里不同俗”“到什么山唱什么歌”，这 些对劳动人民有益的格言都说明尊重各地 不同风俗与禁忌的重要性。尊重习俗原则
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第三章
1. 仪表是指人的容貌，是一个人精神面貌的
外观体现。一个人的卫生习惯、服饰与形 成和保持端庄、大方的仪表有着密切的关 系。清洁卫生是仪容美的关键，是礼仪的
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第三章
3. 放松。女性应两膝并拢；男性膝部可分开 一些，但不要过大，一般不超过肩宽。双 手自然放在膝盖上或椅子扶手上。在正式 场合，入座时要轻柔和缓，起座要端庄稳 重，如古人所言的“坐如钟”。若坚持这 一点，那么不管怎样变换身体的姿态，都 会优美、自然。不可随意拖拉椅凳，从椅 子的左侧入座，沉着安静地坐下。女士着
角均等于π。 四、根轨迹的渐近线 五、根轨迹的分离点
当K*由零至无穷大变化过程中，几条根轨迹在s平面某一点 相遇后立即分开，这一点称为分离点。最常见的分离点出现在 实轴上，实轴上的分离点有两种情况：i)实轴上的根轨迹相向 运动，在某一点相遇后进入复数平面，如图4-7的A点；ⅱ)复数 平面内的一对共轭复数根轨迹在实轴上相遇，然后趋向实轴上
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第三章
2. 服饰是一种文化，反映一个民族的文化素
养、精神面貌和物质文明发展的程度；着 装是一门艺术，能体现个人良好的精神面 貌、文化修养和审美情趣。既要自然得体， 协调大方，又要遵守某种约定俗成的规范 或原则。不但要与自己的具体条件相适应， 还必须时刻注意客观环境和场合上一，页与下时一页间、返回
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§4-3 根轨及草图绘制举例
例4-7 若开环系统传递函数为
第6章根轨迹法
m
i 1 n
k
s Pj s Zi
i 1 j 1 m
n
根轨迹图
角条件和模条件是根轨迹法的理论依据。 对于标准形式的开环传递函数，当k由0连续 变化至+∞时，满足模条件和角条件的所有点 的图像称为该系统的根轨迹图。 点在根轨迹上的充要条件是满足相角条件。 k和开环放大系数K不是一个概念。
与虚轴交点求法举例一（续1）
Re[1 G ( s )] 4 7.46 2 k 0 3 Im[1 G ( s )] 4.73 5.46 0
5.46 1.07 解得 2 4.73
(1) (2)
kc 7.28
1 4.73 7.46 5.46 k
– 如果两端点为异性奇点。
• 如果没有与实轴的交点，则它为一个完整的分支， 即起始于开环极点，沿实轴运动直至该零点。 • 如果存在会合点，那么一定要有一个分离点也存在。
求根轨迹分离（会合）点的方法
方法一：
1 1 方法二： d P j i 1 d Z i j 1
n
m
例6.2已知开环传递函数，求其与实轴的交点。 k ( s 1) G( s) s 2 2s 4 解：依据G(s)将开环零、 极点画于S平面如图
根轨迹系数k的求取举例
解：画零极点分布图 求s1与开环零极点的 幅角代数和
[( s1 P ) ( s1 P2 ) ( s1 P3 )] [90 60 30] 180 1
满足角条件，故s1在根轨迹上，则k为：
3 2 2 3 12
(-∞, P4)
规则六：根轨迹与实轴的交点
• 如果某区间是实轴上的根轨迹，则有三种 运动情况：
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根轨迹绘制举例(4)
例2：画出开环传递函数对 应的闭环根轨迹。
3 K ( s 2) G( s ) H ( s ) s( s 3)( s 2 2 s 2)
解（1）根轨迹增益K1=3K。 （2）根轨迹对称于实轴，有四条 根轨迹分支分别起始于开环极点0， －3，－1±j，终止于零点－2和 另外三个无限远零点。 (3)实轴上区段0 ~ -2和-3 ~ -∞为 根轨迹。 (4) 根轨迹有三条渐近线(n－m＝3)，与 实轴的倾角为
-1.25 -2 -1 45o
j1
p1 ⅹ
0
-j1
渐近线与实轴交点： a = 1.25 渐近线与实轴正方向的夹角：
p4ⅹ
a 45 ,135 , 225 ,315
根轨迹绘制举例(2)
例1已知单位反馈系统 的开环传递函数，试绘 制根轨迹的大致形状。
j
K1 G( s) 2 s( s 3)( s 2s 2)
( 2k 1)180 a 3
根轨迹绘制举例(5)
(5)渐近线与实轴交点坐标为
(0 3 1 j 1 j ) ( 2) a 1 41 (6)系统特征方程
s4 s3 s2 s1 s0 1 5 1 8 (6 K1 ) 5 50 K1 6 K1 34 K1 2 K1 8 2 K1 6 K1 0 2 K1 0
i 1 i 1 i j m n
p2＝ (2k 1) (p 2 p1 ) (p 2 P3 ) 75
p3 ＝ 75
与虚轴交点：
D(s) s3 8s2 17s K1 0
临界K1=136
将K=136、s=j代入D(s)=0
=4.123
(9)根轨迹与虚轴两个交点
s3,4 j1.614 交点处的K1＝2.34
根轨迹绘制举例(7)
常见的根轨 迹的形状
根轨迹绘制举例(8)
课堂练习1
根轨迹绘制举例(9)
课堂练习2 1.分别绘如下闭环系统的 根轨迹的大致形状。
K1 G( s) H ( s) 2 s[( s 4) 1]
pi zi 8 i 1 i 1 a＝ 2.67 nm 3
出射角
与虚轴交于4.61
m n i 1 i 1 i j
根轨迹绘制举例(1)
例1已知单位反馈系统 的开环传递函数，试绘 制根轨迹的大致形状。
j
K1 G( s) s( s 3)( s 2 2s 2)
解： 开环极点：p1=0，p2=-3、 p3=-1+j、p4=-1-j 无开环零点 n-m=4 实轴上[0，-3]为根轨迹
σ
p3ⅹ p2 ⅹ -3
-2.3 -2 -1.25பைடு நூலகம்-1
j1.1 -71.3o 45o
j1
p1 ⅹ
0
-j1
σ
s1 s0
p4ⅹ
71.3o
-j1.1
解得临界稳定的条件：K1=8.16 34 2 s K1 0 j j1.1 3,4 5
1 5 34 5 204 5 K1 5 34 5 K1
8 6
K1 0
K1
0 0
分离点（或会合点）：
K1 s3 8s2 17s
K1 0 s
d1 1.465
d2 3.865
n-m=3 负实轴为根轨迹 渐近线
a
n
G( s) H ( s)
K1 s[( s 4)2 16]
(2k 1)180 nm
m
a 60 、 180
根轨迹实轴的分离点
dK1 0 ds
4s 3 15s 2 16s 6 0
（舍去）
p3ⅹ p2 ⅹ -3
-2.3 -1.25
j1
-71.3o 45o
-2
-1
p1 ⅹ
0
-j1
σ
b1 2.3 s2,3 0.73 j 0.37
m n
根轨迹在开环极点-p3处的出射角
p3＝ (2k 1)＋ ( p j zi ) ( p j pi )
——根轨迹与虚轴的交点 j j1.614
根轨迹绘制举例(6)
(7)两条根轨迹分支起始于共轭复数极点－1±j
p ( 2k 1)180 45 (135 90 26.6) 26.6
(8)各闭环极点之和为－5 当 实轴上根轨迹分支向左趋向于 无限零点时，两个从复数极点 出发的根轨迹分支趋向于右边 无限零点。
i 1 i 1 i j
p4ⅹ
p4＝ 71.6
71.3o
(2k 1) (26.6 135 90 ) 71.6
根轨迹绘制举例(3)
根轨迹与虚轴的交点（劳斯法）。
4
D( s) s 5s 8 6s K1 0
3 2
j
s4 s3 s2
p3ⅹ p2 ⅹ -3
K1 s[( s 4)2 1]
n-m=3 负实轴为根轨迹 渐近线
a
n
(2k 1)180 nm
m i i 1 i
a 60 、 180
a＝ i 1
p z
nm
8 2.67 3
与虚轴交于j4.61
出射角
p ＝ (p j z i ) (p j p i ) j ( 2k 1) ＋
G( s ) H ( s )
3 K ( s 2) s( s 3)( s 2 2 s 2)
s 4 5s3 8s 2 (6 K1 ) s 2 K1 0
50 K1 6 K 0 K1 3K 7.02 1 34 K1 1 2 8 (6 K ) 1 s 2 K1 0 5
K1 G( s) H (s) s[( s 4)2 16]
K1 G( s) H ( s) 2 s[( s 3) 3]
2.分别绘B=4、9、12、∞时闭环系统的根轨迹的大致 形状。
K1 ( s 1) G(s) H (s) 2 s ( s B)
G( s) H ( s)