根轨迹绘制举例(1).
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i 1 i 1 i j m n
p2＝ (2k 1) (p 2 p1 ) (p 2 P3 ) 75
p3 ＝ 75
与虚轴交点：
D(s) s3 8s2 17s K1 0
临界K1=136
将K=136、s=j代入D(s)=0
=4.123
i 1 i 1 i j
p4ⅹ
p4＝ 71.6
71.3o
(2k 1) (26.6 135 90 ) 71.6
根轨迹绘制举例(3)
根轨迹与虚轴的交点（劳斯法）。
4
D( s) s 5s 8 6s K1 0
3 2
j
s4 s3 s2
p3ⅹ p2 ⅹ -3
根轨迹绘制举例(1)
例1已知单位反馈系统 的开环传递函数，试绘 制根轨迹的大致形状。
j
K1 G( s) s( s 3)( s 2 2s 2)
解： 开环极点：p1=0，p2=-3、 p3=-1+j、p4=-1-j 无开环零点 n-m=4 实轴上[0，-3]为根轨迹
σ
p3ⅹ p2 ⅹ -3
K1 s[( s 4)2 1]
n-m=3 负实轴为根轨迹 渐近线
a
n
(2k 1)180 nm
m i i 1 i
a 60 、 180
a＝ i 1
p z
nm
8 2.67 3
与虚轴交于j4.61
出射角
p ＝ (p j z i ) (p j p i ) j ( 2k 1) ＋
分离点（或会合点）：
K1 s3 8s2 17s
K1 0 s
d1 1.465
d2 3.865
n-m=3 负实轴为根轨迹 渐近线
a
n
G( s) H ( s)
K1 s[( s 4)2 16]
(2k 1)180 nm
m
a 60 、 180
K1 G( s) H (s) s[( s 4)2 16]
K1 G( s) H ( s) 2 s[( s 3) 3]
2.分别绘B=4、9、12、∞时闭环系统的根轨迹的大致 形状。
K1 ( s 1) G(s) H (s) 2 s ( s B)
G( s) H ( s)
G( s ) H ( s )
3 K ( s 2) s( s 3)( s 2 2 s 2)
s 4 5s3 8s 2 (6 K1 ) s 2 K1 0
50 K1 6 K 0 K1 3K 7.02 1 34 K1 1 2 8 (6 K ) 1 s 2 K1 0 5
( 2k 1)180 a 3
根轨迹绘制举例(5)
(5)渐近线与实轴交点坐标为
(0 3 1 j 1 jLeabharlann Baidu) ( 2) a 1 41 (6)系统特征方程
s4 s3 s2 s1 s0 1 5 1 8 (6 K1 ) 5 50 K1 6 K1 34 K1 2 K1 8 2 K1 6 K1 0 2 K1 0
(9)根轨迹与虚轴两个交点
s3,4 j1.614 交点处的K1＝2.34
根轨迹绘制举例(7)
常见的根轨 迹的形状
根轨迹绘制举例(8)
课堂练习1
根轨迹绘制举例(9)
课堂练习2 1.分别绘如下闭环系统的 根轨迹的大致形状。
K1 G( s) H ( s) 2 s[( s 4) 1]
根轨迹实轴的分离点
dK1 0 ds
4s 3 15s 2 16s 6 0
（舍去）
p3ⅹ p2 ⅹ -3
-2.3 -1.25
j1
-71.3o 45o
-2
-1
p1 ⅹ
0
-j1
σ
b1 2.3 s2,3 0.73 j 0.37
m n
根轨迹在开环极点-p3处的出射角
p3＝ (2k 1)＋ ( p j zi ) ( p j pi )
——根轨迹与虚轴的交点 j j1.614
根轨迹绘制举例(6)
(7)两条根轨迹分支起始于共轭复数极点－1±j
p ( 2k 1)180 45 (135 90 26.6) 26.6
(8)各闭环极点之和为－5 当 实轴上根轨迹分支向左趋向于 无限零点时，两个从复数极点 出发的根轨迹分支趋向于右边 无限零点。
pi zi 8 i 1 i 1 a＝ 2.67 nm 3
出射角
与虚轴交于4.61
m n i 1 i 1 i j
根轨迹绘制举例(4)
例2：画出开环传递函数对 应的闭环根轨迹。
3 K ( s 2) G( s ) H ( s ) s( s 3)( s 2 2 s 2)
解（1）根轨迹增益K1=3K。 （2）根轨迹对称于实轴，有四条 根轨迹分支分别起始于开环极点0， －3，－1±j，终止于零点－2和 另外三个无限远零点。 (3)实轴上区段0 ~ -2和-3 ~ -∞为 根轨迹。 (4) 根轨迹有三条渐近线(n－m＝3)，与 实轴的倾角为
-1.25 -2 -1 45o
j1
p1 ⅹ
0
-j1
渐近线与实轴交点： a = 1.25 渐近线与实轴正方向的夹角：
p4ⅹ
a 45 ,135 , 225 ,315
根轨迹绘制举例(2)
例1已知单位反馈系统 的开环传递函数，试绘 制根轨迹的大致形状。
j
K1 G( s) 2 s( s 3)( s 2s 2)
-2.3 -2 -1.25 -1
j1.1 -71.3o 45o
j1
p1 ⅹ
0
-j1
σ
s1 s0
p4ⅹ
71.3o
-j1.1
解得临界稳定的条件：K1=8.16 34 2 s K1 0 j j1.1 3,4 5
1 5 34 5 204 5 K1 5 34 5 K1
8 6
K1 0
K1
0 0
p2＝ (2k 1) (p 2 p1 ) (p 2 P3 ) 75
p3 ＝ 75
与虚轴交点：
D(s) s3 8s2 17s K1 0
临界K1=136
将K=136、s=j代入D(s)=0
=4.123
i 1 i 1 i j
p4ⅹ
p4＝ 71.6
71.3o
(2k 1) (26.6 135 90 ) 71.6
根轨迹绘制举例(3)
根轨迹与虚轴的交点（劳斯法）。
4
D( s) s 5s 8 6s K1 0
3 2
j
s4 s3 s2
p3ⅹ p2 ⅹ -3
根轨迹绘制举例(1)
例1已知单位反馈系统 的开环传递函数，试绘 制根轨迹的大致形状。
j
K1 G( s) s( s 3)( s 2 2s 2)
解： 开环极点：p1=0，p2=-3、 p3=-1+j、p4=-1-j 无开环零点 n-m=4 实轴上[0，-3]为根轨迹
σ
p3ⅹ p2 ⅹ -3
K1 s[( s 4)2 1]
n-m=3 负实轴为根轨迹 渐近线
a
n
(2k 1)180 nm
m i i 1 i
a 60 、 180
a＝ i 1
p z
nm
8 2.67 3
与虚轴交于j4.61
出射角
p ＝ (p j z i ) (p j p i ) j ( 2k 1) ＋
分离点（或会合点）：
K1 s3 8s2 17s
K1 0 s
d1 1.465
d2 3.865
n-m=3 负实轴为根轨迹 渐近线
a
n
G( s) H ( s)
K1 s[( s 4)2 16]
(2k 1)180 nm
m
a 60 、 180
K1 G( s) H (s) s[( s 4)2 16]
K1 G( s) H ( s) 2 s[( s 3) 3]
2.分别绘B=4、9、12、∞时闭环系统的根轨迹的大致 形状。
K1 ( s 1) G(s) H (s) 2 s ( s B)
G( s) H ( s)
G( s ) H ( s )
3 K ( s 2) s( s 3)( s 2 2 s 2)
s 4 5s3 8s 2 (6 K1 ) s 2 K1 0
50 K1 6 K 0 K1 3K 7.02 1 34 K1 1 2 8 (6 K ) 1 s 2 K1 0 5
( 2k 1)180 a 3
根轨迹绘制举例(5)
(5)渐近线与实轴交点坐标为
(0 3 1 j 1 jLeabharlann Baidu) ( 2) a 1 41 (6)系统特征方程
s4 s3 s2 s1 s0 1 5 1 8 (6 K1 ) 5 50 K1 6 K1 34 K1 2 K1 8 2 K1 6 K1 0 2 K1 0
(9)根轨迹与虚轴两个交点
s3,4 j1.614 交点处的K1＝2.34
根轨迹绘制举例(7)
常见的根轨 迹的形状
根轨迹绘制举例(8)
课堂练习1
根轨迹绘制举例(9)
课堂练习2 1.分别绘如下闭环系统的 根轨迹的大致形状。
K1 G( s) H ( s) 2 s[( s 4) 1]
根轨迹实轴的分离点
dK1 0 ds
4s 3 15s 2 16s 6 0
（舍去）
p3ⅹ p2 ⅹ -3
-2.3 -1.25
j1
-71.3o 45o
-2
-1
p1 ⅹ
0
-j1
σ
b1 2.3 s2,3 0.73 j 0.37
m n
根轨迹在开环极点-p3处的出射角
p3＝ (2k 1)＋ ( p j zi ) ( p j pi )
——根轨迹与虚轴的交点 j j1.614
根轨迹绘制举例(6)
(7)两条根轨迹分支起始于共轭复数极点－1±j
p ( 2k 1)180 45 (135 90 26.6) 26.6
(8)各闭环极点之和为－5 当 实轴上根轨迹分支向左趋向于 无限零点时，两个从复数极点 出发的根轨迹分支趋向于右边 无限零点。
pi zi 8 i 1 i 1 a＝ 2.67 nm 3
出射角
与虚轴交于4.61
m n i 1 i 1 i j
根轨迹绘制举例(4)
例2：画出开环传递函数对 应的闭环根轨迹。
3 K ( s 2) G( s ) H ( s ) s( s 3)( s 2 2 s 2)
解（1）根轨迹增益K1=3K。 （2）根轨迹对称于实轴，有四条 根轨迹分支分别起始于开环极点0， －3，－1±j，终止于零点－2和 另外三个无限远零点。 (3)实轴上区段0 ~ -2和-3 ~ -∞为 根轨迹。 (4) 根轨迹有三条渐近线(n－m＝3)，与 实轴的倾角为
-1.25 -2 -1 45o
j1
p1 ⅹ
0
-j1
渐近线与实轴交点： a = 1.25 渐近线与实轴正方向的夹角：
p4ⅹ
a 45 ,135 , 225 ,315
根轨迹绘制举例(2)
例1已知单位反馈系统 的开环传递函数，试绘 制根轨迹的大致形状。
j
K1 G( s) 2 s( s 3)( s 2s 2)
-2.3 -2 -1.25 -1
j1.1 -71.3o 45o
j1
p1 ⅹ
0
-j1
σ
s1 s0
p4ⅹ
71.3o
-j1.1
解得临界稳定的条件：K1=8.16 34 2 s K1 0 j j1.1 3,4 5
1 5 34 5 204 5 K1 5 34 5 K1
8 6
K1 0
K1
0 0