冲激响应和卷积分析

实验2离散系统的差分方程、冲激响应和卷积分析

一、实验目的

1 加深对离散系统的差分方程、冲激响应和卷积分析方法的理解。

二、实验原理

离散系统

其输入、输出关系可用以下差分方程描述：

∑=∑=-=-M k k N k k k n x p k n y d 00][][ 输入信号分解为冲激信号：∑-=∞-∞

=m m n m x n x ][][][δ

记系统单位冲激响应 ： ][][n h n →δ

则系统响应为如下的卷积计算式： ∑∞-∞=-=

*=m m n h m x n h n x n y ][][][][][ 当N k d k ,...2,1,0==时，h[n]是有限长度的（n ：[0，M]），称系统为FIR 系统；反之，称系统为IIR 系统。

在MATLAB 中，可以用函数y=Filter(p,d,x) 求解差分方程，也可以用函数

y=Conv(x,h)计算卷积。

二、实验内容

编制程序求解下列两个系统的单位冲激响应和阶跃响应，并绘出其图形。

(1): y [n ]+0.75y [n -1]+0.125y [n -2]=x [n ]-x [n -1]

(2)： y [n ]=0.25{x [n -1]+x [n -2]+x [n -3]+x [n -4]+x [n -5]}

程序（1）：

A=[1,0.75,0.125];

B=[1,-1];

x1=[1,zeros(1,10)];

x2=ones(1,20);

y1=filter(B,A,x1);

subplot(2,2,1);

stem(y1);

title('y1单位冲击响应')

y2=filter(B,A,x2);

subplot(2,2,2);

stem(y2);

title('y2阶跃响应');

y3=conv(x1,y1);

subplot(2,2,3);

stem(y3);

title('y3卷积');

y4=conv(x2,y1);

subplot(2,2,4);

stem(y4);

title('y4卷积')

程序（1）图

程序（2）：

A=[1];

B=[0,0.25,0.25,0.25,0.25];

x1=[1,zeros(1,10)];

x2=ones(1,20);

y1=filter(B,A,x1);

subplot(2,2,1);

stem(y1);

title('y1单位冲击响应')

y2=filter(B,A,x2);

subplot(2,2,2);

stem(y2);

title('y2阶跃响应');

y3=conv(x1,y1);

subplot(2,2,3);

stem(y3);

title('y3卷积');

y4=conv(x2,y1);

subplot(2,2,4);

stem(y4);

title('y4卷积')

程序（2）图

三、理论计算：

经计算：

系统(1)： y[n]+0.75y[n-1]+0.125y[n-2]=x[n]-x[n-1]

理论冲激响应为：因为y[n]为因果函数，由递归计算所得：

X[n]= δ(n)

当n<0时，h(n)=0

h(0)=1, h(1)=-7/4, h(2)=19/16, h(3)=-43/64 ..... ......

h(z)=7.5*(-0.5).^n*u(n)- (-0.25).^n*u(n)

理论阶跃响应为：因为y[n]为因果函数，由递归计算所得：

X[n]=u(n)

当n<0时，g(n)=0

g(0)=1, g(1)=-3/4, g(2)=7/16, g(3)=-9/64......

.......

g(z)=1.5*(-0.5).^n-(-0.25).^n

系统(2)：y[n]=0.25{x[n-1]+x[n-2]+x[n-3]+x[n-4]+x[n-5]}

同理，由递归方法可得：

理论冲激响应为：h(z)=0.25*[δ（n-1）+ δ（n-2）+ δ（n-3）+ δ（n-4]

理论阶跃响应为：g(z)=0.25*[u（n-1）+ u（n-2）+ u（n-3）+ u（n-4)]

将n值分别代入理论式h(z)和g(z)，将结果与程序结果图比较可知理论与程序结果一致。

四、实验小结

通过这次实验，基本学会了用MATLAB软件编程求离散系统的单位脉冲响应和单位冲击响应，对解离散系统差分方程有了进一步学习。