大学物理规范作业(本一)32单元测试四(电磁感应)解答

ID j= 2 l
ID 2 ∫ H dl = js = l 2 l1 ≈ 0.46( A)
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比较两个结果得： M 12 = M 21
12
4.一同轴电缆由中心导体圆柱和外层导体圆筒组成，二 4.一同轴电缆由中心导体圆柱和外层导体圆筒组成， 一同轴电缆由中心导体圆柱和外层导体圆筒组成 者半径分别为R 筒和圆柱之间充以电介质， 者半径分别为R1和R2，筒和圆柱之间充以电介质，电介质 I(由中心圆柱 和金属的 均可取作1 求此电缆通过电流I( 和金属的r均可取作1，求此电缆通过电流I(由中心圆柱 流出，由圆筒流回) 单位长度内储存的磁能， 流出，由圆筒流回)时，单位长度内储存的磁能，并通过 和自感磁能的公式比较求出单位长度电缆的自感系数。 和自感磁能的公式比较求出单位长度电缆的自感系数。
ε max = NBS ω = 2 πNBSn
ε max ∴n = 2 π NBS
12.0 = 2 2π × 120 × 2.0 × 10 × 0.1× 0.2
= 40(S )
1
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2.一圆环形线圈a 50匝细线绕成，截面积为4.0 2.一圆环形线圈a由50匝细线绕成，截面积为4.0 cm2， 一圆环形线圈 匝细线绕成 放在另一个匝数等于100 100匝 半径为20.0cm 20.0cm的圆环形线 放在另一个匝数等于100匝，半径为20.0cm的圆环形线 的中心，两线圈同轴。 ：（1 两线圈的互感系数； 圈b的中心，两线圈同轴。求：（1）两线圈的互感系数； 当线圈a中的电流以50A/s的变化率减少时，线圈b 50A/s的变化率减少时 （2）当线圈a中的电流以50A/s的变化率减少时，线圈b 内磁通量的变化率；（ ；（3 线圈b的感生电动势。 内磁通量的变化率；（3）线圈b的感生电动势。 解：(1)线圈b通电流时, 由于线圈a的半径较线圈b的半 径甚小, 所以可近似求得线圈a通过的磁链为：
dB a dB 2 E a 2π a = πa , E a = dt 2 dt
在离轴线b(b>R)的b处
2 dB R dB 2 E b 2π b = πR , Eb = dt 2 b dt
方向如 图示。
5
对①杆利用法拉第电磁感应定律，有：
dφm d dB ε1 = = ( ∫ B dS ) = S dt dt S dt
4
4.在半径为R的圆柱形区域内，磁感应强度保持均匀， 4.在半径为R的圆柱形区域内，磁感应强度保持均匀， 在半径为
dB 的速率增加，则在离轴线a(a<R) a(a<R)的 并以 的速率增加，则在离轴线a(a<R)的a处的感生电 dt a dB
场的大小Ea= 场的大小Ea= 感应电势ε 感应电势ε1= 解:
大学物理规范作业
总（32）
单元测试四（电磁感应）
1
一、填空题 1.载有恒定电流 的长直导线旁有一半圆环导线cd,半圆 载有恒定电流I的长直导线旁有一半圆环导线 1.载有恒定电流 的长直导线旁有一半圆环导线 半圆 环半径为R,环面与直导线垂直 环面与直导线垂直,且半圆环两端点连线的 环半径为 环面与直导线垂直 且半圆环两端点连线的 延长线与直导线相交,如图 当半圆环以速率v沿平行于 如图。 延长线与直导线相交 如图。当半圆环以速率 沿平行于 直导线的方向平移时,半圆环上的感应电动势的大小 直导线的方向平移时R半圆环上的感应电动势的大小 u0I a+ ε = v ln 是 。 2π (a R) 解： 如图所示构构造回路， 运动过程中，穿过该回路的磁通 量保持不变。
∵Wm1 = LI / 2
2
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5.长为 的金属棒置于一无限长直电流 的磁场中， 5.长为L的金属棒置于一无限长直电流 的磁场中，设金 长为 的金属棒置于一无限长直电流I的磁场中 属棒与长直电流共面，并在此平面内绕其一端O以匀角 属棒与长直电流共面，并在此平面内绕其一端 以匀角 速度ω顺时针旋转 顺时针旋转， 端距直导线为 端距直导线为d，如图所示。 速度 顺时针旋转，O端距直导线为 ，如图所示。试求 棒转至下述两种位置时的感应电动势： 转至 转至OA位置 棒转至下述两种位置时的感应电动势：(1)转至 位置 ）；(2)转至 位置（ ＝ ）。 （θ＝0）； 转至 位置（θ＝π/2）。 ＝ ）； 转至OB位置 解:(1)棒上各处的磁感应大小：
0I B = 2π d
A
ω
θ
方向垂直纸面向内。 I
v
B

O
ε1 =
=
(v × B ) d l = ∫
l
l 0
vBdl ∫
l
2
∫
0I 0 Iω l ω ldl = 2π d 4π d
方向O→A。
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(2)如图建立坐标系， 线元dx处的磁感应强度为：
B=
2π ( d + x )
0I
I
d
O
x dx
v
2π R1 2 Ψ NΦ 0 N h R2 因此自感系数为 L = = = ln I I 2π R1
φ=
0
ln
2
(2)直导线可以认为在无限远处闭合,匝数为1.螺绕环通 过电流I1时,通过螺绕环截面的磁通量也就是通过直导线 回路的磁链. 因此
0 Nh R2 Ψ21 φ1 0 NI1h R2 M 21 = = = ln / I1 = ln I1 I1 2π R1 2π R1
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0I2 当直导线通有电流I2时,其周围的磁场为： B 2 = 2π r
通过螺绕环截面积的磁通量为：
φ12 = ∫
R2
R1
0 I2h R dr 0 I2h R2 B2hdr = ∫R r = 2π ln R1 2π
2 1
Ψ12 Nφ12 0 Nh R2 ∴M12 = = = ln I2 I2 2π R1
a 2 dB = 2 dt
方向如图所示
ε1 ε2
对②杆利用法拉第电磁感应定律，有：
dφm d dB ε1 = = ( ∫ B dS ) = S dt dt S dt
=
πR dB
2
8 dt
方向如图所示
6
5.半径为R的圆形电容器某一时刻的放电电流为I0，此 5.半径为R 半径为 I0 时圆形电容器内的位移电流密度j ；圆形 时圆形电容器内的位移电流密度jd= 电容器内离中心r(r<R)处的磁场强度H= 电容器内离中心r(r<R)处的磁场强度H=π R r(r<R)处的磁场强度 。
B
方向垂直纸面向内。
x
ε 2 = ∫ ( v × B ) d l = ∫ vBdl
l
=
∫
l
0
0 Iω ω x dx = 2π 2π ( d + x )
0I
l
∫
l
0
xdx d+x
0 Iω d +l = (l d ln ) 方向O→B。 2π d
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6.一个边长为1．22m的方形平行板电容器，充电瞬间 6.一个边长为1 22m的方形平行板电容器， 一个边长为 的方形平行板电容器 电流为I 1.84A求此时 (1)通过板间的位移电流 通过板间的位移电流； 电流为Ic＝1.84A求此时 (1)通过板间的位移电流； (2)沿虚线回路的 虚线回路为边长为61cm 61cm的正 (2)沿虚线回路的∫ H dl(虚线回路为边长为61cm的正 方形) 方形) 解：1）由全电流连续性原理Io=1.84A 2)
3.二线圈自感系数分别为L 3.二线圈自感系数分别为L1和L2、互感系 二线圈自感系数分别为 数为M 线圈中通电流I 则通过L 数为M。若L1线圈中通电流I1，则通过L2线 圈中的总磁通量 φ m 2 = M 1 ， I 通过L 通过L1线圈中的总磁通量 φm1 ＝ 分析：
L1I1
。
φ m 2 = L2 I 2 + M 21 I 1 = L2 × 0 + MI 1 = MI 2 φ m1 = L1 I 1 + M 12 I 2 = L1 I 1 + M × I 2 = L1 I 1
dB 解： 设 = C (C为常数), dt
E感
× × ×
× × ×
dB × × dt
× ×
根据法拉第电磁感应定律有:
回路 dB 方向 ε = ∫ E感 dl = ∫ dS 2 dt R R 可得 E = 1 CR 即 E感 2π = Cπ 感 4 2 2 dB 4ma = 依题意可知 F = E感Q = ma 解得 C = dt RQ 3
B
v ×B
∴ ε cd + ε dc = 0
ε cd = ε cd
a+ R
∴ ε cd = ε dc = ε cd
a+ R
由于速度的方向与磁感应强度的方向垂直，
u0 I a+R u0 I ln dr = v = ∫ (v × B) dl = ∫ v 2π (a R) 2π r aR aR
2
2.一限定在半径为R的圆柱体内均匀磁场， 2.一限定在半径为R的圆柱体内均匀磁场，其大小以恒 一限定在半径为 定的变化率变化，位于圆柱体内离轴线R/2处的质量为m R/2处的质量为 定的变化率变化，位于圆柱体内离轴线R/2处的质量为m、 带电量为Q的带电粒子的加速度大小是a 带电量为Q的带电粒子的加速度大小是a，则该磁场随时 间的变化率|dB/dt|=_____________ |dB/dt|=_____________。 间的变化率|dB/dt|=_____________。 4ma/RQ
；在离轴线b(b>R)的b处的感生 在离轴线b(b>R)的 b(b>R) ；图中所示杆①和杆②的 图中所示杆①和杆②
π
dB R 8 dt
2
2 dt 电场的大小Eb 电场的大小Eb =
a 2 dB 2 dt
R 2 dB 2b dt
； ε2 =
。
∫ E dl
l
= ∫
S
在离轴线a(a<R)的a处
B dS t
ψ ab = N b
0Ib
2 Rb
N aSa
由此得两线圈的互感系数为：
Ψab 0 Na Nb Sa = M= Ib 2Rb 7 4 4π ×10 × 50×100× 4.0 ×10 6 = = 6.3 ×10 ( H ) 2 × 0.2
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(2)
d φ ba di a 1 d Ψba 1 = = M dt N b dt Nb dt
2
方向 与I0组成右手系
rI 0 ， 2π R 2
Id I0 解: ∵ I d = I 0 ∴ j d = = S πR2 根据安培环路定律 ∫ H dl = I 0
L
I0 H 2π r = πr 2 πR
rI 0 ∴H = 2π R 2
2
方向与I0组成右手系
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二、计算题 1.发电机由矩形线环组成，线环平面绕竖直轴旋转。 1.发电机由矩形线环组成，线环平面绕竖直轴旋转。此 发电机由矩形线环组成 竖直轴与大小为2.0 2.0× 的均匀水平磁场垂直。 竖直轴与大小为2.0×10-2T的均匀水平磁场垂直。环的 尺寸为10.0cm 20.0cm,它有120圈 它有120 尺寸为10.0cm × 20.0cm,它有120圈。导线的两端接到 外电路上，为了在两端之间产生最大值为12.0v 12.0v的感应 外电路上，为了在两端之间产生最大值为12.0v的感应 电动势，线环必须以多大的转速旋转？ 电动势，线环必须以多大的转速旋转？ 解: 线环转动时，
B 解: W m 1 = ∫ dV 20 R 0I 2 1 R 0 Ir 2 = ) 2π rdr 1 + ∫ ( ) 2π rdr 1 ∫0 ( 2 R 2 0 2π R1 2π r 0I 2 1 R2 = ( + ln ) 4π 4 R1
1 2 1
2
0 1 R2 单位长度电缆的自感系数为：L = ( + ln ) 2π 4 R1
1 = ×6.3×106 ×(50) = 3.1×106 (Wb / s) 100
(3)
ε ba
di a = M dt
= 6.3 × 10 6 × ( 50) = 3.1× 10 4 (V )
10
3.如图所示的截面为矩形的螺绕环，总匝数为N。（1 3.如图所示的截面为矩形的螺绕环，总匝数为N。（1） 如图所示的截面为矩形的螺绕环 求此螺绕环的自感系数；（ ；（2 求此螺绕环的自感系数；（2）沿环的轴线拉一根直导 求直导线与螺绕环的互感系数M 线。求直导线与螺绕环的互感系数M12和M21，二者是否 相等？ 相等？ 解：(1)可求得电流为I时环截面积的 磁通量为: NIh R