初中数学思想方法专题复习

(2)存在. 如图1 CP=CO时 (2)存在.①如图1，当CP=CO时， 存在 在以BM为直径的圆上， BM为直径的圆上 点P在以BM为直径的圆上， BM为圆的直径 为圆的直径. ∵BM为圆的直径. ∴∠BPM=90° ∴∠BPM=90°， ∴PM∥AB. CPM∽△ ∴△CPM∽△CBA. 所以CM=5. ∴ CP = CM ，即 4 = CM , 所以CM=5. CB CA 5 25 4 ∴m=∴m=-1.
数学思想方法是指现实世界的空间形式和 数量关系反映到人的意识中，经过思维活动产生的结果， 数量关系反映到人的意识中，经过思维活动产生的结果，是 对数学事实与数学理论的本质认识. 对数学事实与数学理论的本质认识. 数学思想：是对数学内容的进一步提炼和概括，是对数 数学思想：是对数学内容的进一步提炼和概括， 学知识的本质认识，是对数学规律的理性认识， 学知识的本质认识，是对数学规律的理性认识，带有普遍的 指导意义，是建立数学模型和用数学解决问题的指导思想. 指导意义，是建立数学模型和用数学解决问题的指导思想. 数学方法：是指从数学角度提出问题、 数学方法：是指从数学角度提出问题、解决问题过程中 所采用的各种方式、手段、途径等. 所采用的各种方式、手段、途径等.
数形结合思想方法是初中数学中一种重要的思想方法. 数形结合思想方法是初中数学中一种重要的思想方法.数是形 的抽象概括，形是数的直观表现， 的抽象概括，形是数的直观表现，用数形结合的思想解题可 分两类：一是利用几何图形的直观表示数的问题， 分两类：一是利用几何图形的直观表示数的问题，它常借用 数轴、函数图象等；二是运用数量关系来研究几何图形问题， 数轴、函数图象等；二是运用数量关系来研究几何图形问题， 常需要建立方程( 常需要建立方程(组)或建立函数关系式等. 或建立函数关系式等.
(3)存在. (3)存在. 存在 由(2)知，△AOC为等腰直角三角形，∠BAC=45°,在AC上取点 (2)知 AOC为等腰直角三角形， BAC=45° AC上取点 为等腰直角三角形 M， 连接OM， 点作MG⊥AB于点G, MG⊥AB于点 连接OM，过M点作MG⊥AB于点G, OM AC=
18 = 3 2.
【例1】(2010·常州中考)如图， (2010·常州中考)如图， 常州中考 已知二次函数y=ax +bx+3的图象 已知二次函数y=ax2+bx+3的图象 与x轴相交于点A、C，与y轴相交 轴相交于点A
9 0)， 于点B AOB∽△ 于点B，A( − ，0)，且△AOB∽△BOC. 4
(1)求 点坐标、 ABC的度数及二次函数y=ax +bx+3的关系式 的关系式； (1)求C点坐标、∠ABC的度数及二次函数y=ax2+bx+3的关系式； 的度数及二次函数 (2)在线段AC上是否存在点M(m，0).使得以线段BM为直径的圆 (2)在线段AC上是否存在点M(m，0).使得以线段BM为直径的圆 在线段AC上是否存在点M(m 使得以线段BM 与边BC交于P 与边BC交于P点(与点B不同)，且以点P、C、O为顶点的三角形 BC交于 与点B不同) 且以点P 是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
数形结合思想
数形结合思想是指把问题中的数量关系与形象直观的几何图 形有机地结合起来，并充分利用这种结合寻找解题的思路， 形有机地结合起来，并充分利用这种结合寻找解题的思路， 使问题得到解决的思想方法.在分析问题的过程中，注意把数 使问题得到解决的思想方法.在分析问题的过程中， 和形结合起来考查，根据问题的具体情形， 和形结合起来考查，根据问题的具体情形，把图形性质的问 题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图 题转化为数量关系的问题， 形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化， 形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难 为易，获取简便易行的方法. 为易，获取简便易行的方法.
如图2 PC=PO时 OC垂 ②如图2，当PC=PO时，点P在OC垂 直平分线上，所以PC=PO=PB， 直平分线上，所以PC=PO=PB，所以 PC=PO=PB
1 ×BC=2.5. 2 CPM∽△CBA， 由△CPM∽△CBA，得
PC=
CP CM 25 = , 所以CM = . CB CA 8 25 7 ∴m = 4 − = . 8 8 OC=OP时 点不在线段AC AC上 ③当OC=OP时，M点不在线段AC上.
分类讨论思想方法
分类讨论思想是指当数学问题不宜统一方法处理时， 分类讨论思想是指当数学问题不宜统一方法处理时，我们常 常根据研究对象性质的差异，按照一定的分类方法或标准,将 常根据研究对象性质的差异，按照一定的分类方法或标准, 问题分为全而不重，广而不漏的若干类， 问题分为全而不重，广而不漏的若干类，然后逐类分别进行 讨论，再把结论汇总，得出问题的答案的思想. 讨论，再把结论汇总，得出问题的答案的思想.
思路点拨】 【思路点拨】
源自文库
自主解答】 的顶点坐标为(0,0), 【自主解答】(1)∵y=x2的顶点坐标为(0,0), ∴y=(x-h)2+k的顶点坐标为D(-1,-4), ∴y=(x- +k的顶点坐标为D(-1,的顶点坐标为D( ∴h=-1,k=∴h=-1,k=-4. (2)由(1)得 (2)由(1)得y=(x+1)2-4. 当y=0时,(x+1)2-4=0,x1=-3,x2=1, y=0时 ∴A(∴A(-3,0),B(1,0). x=0时 4=当x=0时,y=(x+1)2-4=(0+1)2-4=-3, ∴C点坐标为(0， ∴C点坐标为(0，-3). 点坐标为(0 又因为顶点坐标D(-1,又因为顶点坐标D(-1,-4), D(
(1)求 (1)求h、k的值； 的值； (2)判断△ACD的形状，并说明理由； (2)判断△ACD的形状，并说明理由； 判断 的形状 (3)在线段AC上是否存在点M (3)在线段AC上是否存在点M，使△AOM与△ABC相似.若存在， 在线段AC上是否存在点 AOM与 ABC相似.若存在， 相似 求出点M的坐标；若不存在，说明理由. 求出点M的坐标；若不存在，说明理由.
AOM∽△ABC,则 AO = AM ， ①若△AOM∽△ABC,则 AB AC
3 AM 3× 3 2 9 2 = 即 = ，AM = . 4 3 2 4 4 ∵MG⊥AB,∴AG2+MG2=AM2,
9 2 2 ） 81 9 4 ∴ AG = MG = = = , 2 16 4 9 3 OG = AO − AG = 3 − = . 4 4 3 9 Q M点在第三象限， M(− ， ). ∴ − 4 4 （
【例2】(2010·曲靖中考)如图，在平 (2010·曲靖中考)如图， 曲靖中考 面直角坐标系xOy中 抛物线y=x 面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2向左 xOy 平移1个单位，再向下平移4个单位， 平移1个单位，再向下平移4个单位， 得到抛物线y=(x-h)2+k,所得抛物线与 得到抛物线y=(x- +k,所得抛物线与 y=(x x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)与 轴交于A 两点( 在点B的左边) y轴交于点C，顶点为D. 轴交于点C 顶点为D.
9 +bx+3的图象经过点 的图象经过点A( 0)，C(4,0)， ∵y=ax2+bx+3的图象经过点A( − , 0)，C(4,0)， 4
1 81 9 a = − 3 a − b+3= 0 ∴ 16 ，解得 . 4 16a + 4b + 3 = 0 b = 7 12 1 7 ∴ y = − x 2 + x + 3. 3 12
综上所述， 综上所述，m的值为 7 或-1. 8
1.(2011·浙江中考)解关于x的不等式组： 1.(2011·浙江中考)解关于x的不等式组： 浙江中考
a ( x − 2 )＞x − 3 . 9 ( a + x )＞9a + 8
a x − 2 )＞x − 3 ① 解析】 (a-1)x＞2a【解析】 ( ，由①得(a-1)x＞2a-3, 9 ( a + x )＞9a + 8 ② 由 ② 得 x＞ 8 , 9 8 a=1时 成立,∴x ,∴x＞ 当a=1时，由①得-2＞-3成立,∴x＞ , 9 2a − 3 1 当 a＞ 1时 ， x＞ = 2− ， a −1 a −1 19 1 8 当1＜a≤ 时， − 2 ≤ , 10 a −1 9
此时不等式组的解是x 此时不等式组的解是x＞ 8 , 9
19 1 8 当 a＞ ， − 2 ＞ 时， 10 a −1 9 2a − 3 此时不等式组的解是x 此时不等式组的解是x＞ , a −1 当a＜1时，不等式组的解集为 8 ＜x＜ 2a − 3 . 9 a −1 所以a ∵a＜1，所以a-1＜0，∴ 2 − 1 ＞2, a −1 所以不等式组的解为 8 ＜x＜ 2a − 3 . 9 a −1 19 时，不等式组的解集是x＞ 8； 综上所述： 不等式组的解集是x 综上所述：当1≤a≤ 9 10 19 2a − 3 不等式组的解集是x 当a＞ 时，不等式组的解集是x＞ ； 10 a −1 8 2a − 3 当a＜1时，不等式组的解集为 ＜x＜ . 9 a −1
作出抛物线的对称轴x=作出抛物线的对称轴x=-1交x轴于点E. x= 轴于点E. DF⊥y轴交 轴于点F. 轴交y 作DF⊥y轴交y轴于点F. Rt△AED中 在Rt△AED中， =20； AD2=22+42=20； Rt△AOC中 在Rt△AOC中， =18； AC2=32+32=18； Rt△CFD中 在Rt△CFD中， =2； CD2=12+12=2； ∵AC2+CD2=AD2， ACD是直角三角形 是直角三角形. ∴△ACD是直角三角形.
分类原则： 分类原则： (1)分类中的每一部分都是相互独立的； (1)分类中的每一部分都是相互独立的； 分类中的每一部分都是相互独立的 (2)一次分类必须是同一个标准； (2)一次分类必须是同一个标准； 一次分类必须是同一个标准 (3)分类讨论应逐级进行.分类思想有利于完整地考虑问题， (3)分类讨论应逐级进行.分类思想有利于完整地考虑问题，化 分类讨论应逐级进行 整为零地解决问题. 整为零地解决问题. 分类讨论问题常与开放探索型问题综合在一起，贯穿于代数、 分类讨论问题常与开放探索型问题综合在一起，贯穿于代数、 几何的各个数学知识板块，不论是在分类中探究， 几何的各个数学知识板块，不论是在分类中探究，还是在探究 中分类，都需有扎实的基础知识和灵活的思维方式， 中分类，都需有扎实的基础知识和灵活的思维方式，对问题进 行全面衡量、统筹兼顾，切忌以偏概全. 行全面衡量、统筹兼顾，切忌以偏概全.
数学思想和数学方法是紧密联系的，两者的本质相同， 数学思想和数学方法是紧密联系的，两者的本质相同， 只是站在不同的角度看问题，故常混称为“数学思想方法” 只是站在不同的角度看问题，故常混称为“数学思想方法”. 初中数学中的主要数学思想方法有： 初中数学中的主要数学思想方法有：
①化归与转化思想； 化归与转化思想； ②方程与函数思想； 方程与函数思想； ③数形结合思想； 数形结合思想； ④分类讨论思想； 分类讨论思想； ⑤统计思想； 统计思想； ⑥整体思想； 整体思想； ⑦消元法； 消元法； ⑧配方法； 配方法； ⑨待定系数法等. 待定系数法等.
思路点拨】 【思路点拨】
自主解答】(1)由题意 由题意， 【自主解答】(1)由题意，得B(0,3). ∵△AOB∽△BOC， AOB∽△BOC， ∴∠OAB=∠OBC， ∴∠OAB=∠OBC，OA = OB .∴ 2.25 = 3 . OAB=∠OBC OB OC 3 OC OC=4， ∴OC=4，∴C(4,0). ∵∠OAB+∠OBA=90° ∵∠OAB+∠OBA=90°， ∴∠OBC+∠OBA=90°.∴∠ABC=90° ∴∠OBC+∠OBA=90°.∴∠ABC=90°. OBC+∠OBA=90