待定系数法

待定系数法

待定系数法是中学数学中的一种重要方法，它在平面解析几何中有广泛的应用．

(一)求直线和曲线的方程

例1 过直线x-2y-3=0与直线2x-3y-2=0的交点，使它与两坐标轴相交所成的三角形的面积为5，求此直线的方程．

【解】设所求的直线方程为(x-2y-3)+λ(2x-3y-2)=0，整理，得

依题意，列方程得

于是所求的直线方程为

8x-5y＋20=0或2x-5y-10=0．

【解说】 (1)本解法用到过两直线交点的直线系方程，λ是待定系数．

(2)待定系数法是求直线、圆和圆锥曲线方程的一种基本方法．

例2 如图2－9，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若

系，求曲线C的方程．(1998年全国高考理科试题)

【解】如图2－9，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．由已知，得曲线C是以点N为焦点、l2为准线的抛物线的一段，其中点A、B 为曲线C的端点．

设曲线C的方程为y2=2px，p＞0(x1≤x≤x2，y＞0)．其中，x1、x2分别是A、B的横坐标，p=|MN|．从而M、N

解之，得p=4，x1=1．

故曲线C的方程为y2=8x (1≤x≤4，y＞0)．

(二)探讨二元二次方程(或高次方程)表示的直线的性质

例3 已知方程ax2＋bxy＋cy2=0表示两条不重合的直线L1、L2．求：(1)直线L1与L2交角的两条角平分线方程；(2)直线L1与L2的夹角的大小．

【解】设L1、L2的方程分别为mx＋ny=0、qx＋py=0，则

ax2+bxy＋cy2＝(mx+ny)(qx+py)．

从而由待定系数法，得

a＝mq，b＝mp＋nq，c=np．

(1)由点到直线的距离公式，得所求的角平分线方程为

即(m2＋n2)(qx＋py)2=(q2+p2)(mx＋ny)2，

化简、整理，得

(nq-mp)[(nq＋mp)x2＋2(np-mq)xy-(nq＋mp)y2]=0．∵ L1、L2是两条不重合的直线

∴b2-4ac＝(mp+nq)2-4mnpq

=(mp－nq)2＞0．

即 mp-nq≠0．

从而(nq＋mp)x2＋2(np-mq)xy-(nq+mp)y2=0．

把 mq=a，mp+nq=b，np=c代入上式，得

bx2+2(c-a)xy-by2＝0．

即为所求的两条角平分线方程．

(2)显然当mq＋np=0，即a+c=0时，直线L1与L2垂直，即夹角为90°．

当mq＋np≠0即a＋c≠0时，设L1与L2的夹角为α，则

【解说】一般地说，研究二元二次(或高次)方程表示的直线的性质，用待定系数法较为简便．

(三)探讨二次曲线的性质

1．证明曲线系过定点

例4 求证：不论参数t取什么实数值，曲线系(4t2＋t＋1)x2+(t＋1)y2＋4t(t ＋1)y-(109t2＋21t+31)=0都过两个定点，并求这两个定点的坐标．

【证明】把原方程整理成参数t的方程，得

(4x2＋4y-109)t2+(x2+y2+4y-21)t+x2＋y2-31=0．

∵ t是任意实数上式都成立，

【解说】由本例可总结出，证明含有一个参数t的曲线系F(x，y，t)=0过定点的步骤是：

(1)把F(x，y，t)=0整理成t的方程；

(2)因t是任意实数，所以t的各项系数(包括常数项)都等于零，得x、y 的方程组；

(3)解这个方程组，即得定点坐标．

2．求圆系的公切线或公切圆

例5 求圆系x2＋y2-2(2m＋1)x-2my＋4m2＋4m＋1=0(m≠0)的公切线方程．

【解】将圆系方程整理为

[x-(2m+1)]2＋(y-m)2=m2(m≠0)

显然，平行于y轴的直线都不是圆系的公切线．

设它的公切线方程为 y=kx＋b，则由圆心(2m＋1，m)到切线的距离等于半径|m|，得

从而[(1-2k)m-(k＋b)]2＝m2(1＋k2)，

整理成m的方程，得

(3k2-4k)m2-2(1-2k)(k+b)m+(k+b)2=0．

∵ m取零以外的任意实数上式都成立，

【解说】由本例可总结出求圆系F(x，y，m)=0的公切线方程的步骤是：

(1)把圆系方程化为标准方程，求出圆心和半径；

(2)当公切线的斜率存在时，设其方程为y=kx＋b，利用圆心到切线的距离等于半径，求出k、b、m的关系式f(k，b，m)=0；

(3)把f(k，b，m)=0整理成参数m的方程G(m)=0．由于m∈R，从而可得m 的各项系数(包括常数项)都等于零，得k、b的方程组；

(4)解这个方程组，求出k、b的值；

(5)用同样的方法，可求出x=a型的公切线方程．

3．化简二元二次方程

例6 求曲线9x2＋4y2＋18x-16y-11=0的焦点和准线．

【分析】把平移公式x=x′＋h，y=y′＋k，代入原方程化简．【解】(略)．