高二数学月考试题与答案
2024-2025学年重庆市高二上学期10月月考数学质量检测试题(含解析)
2024-2025学年重庆市高二上学期10月月考数学质量检测试题一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1. 已知直线过点且与直线平行，则直线的一般式方程为（1l()2,5A 2:240l x y +-=1l ）A. B. 290x y ++=290x y +-=C. D. 290x y ++=290x y +-=2. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）(2,2,1)a =- ()4,0,3b = b aA. （4，0，3）B. （4，0，3}C. （2，2，-1）D.591559（2，2，-1）133. 如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若1111ABCD A B C D -M 11A C 11B D ，则等于（）1,,AB a AD b AA c ===BM A. B. 1122-+a b c1122++a b cC. D. 1122--+ a b c1122a b c-++ 4. 已知空间三点O (0，0，0)，A (12)，B -1，2)，则以OA ，OB为邻边的平行四边形的面积为（ ）A. 8B. 4C. D. 5. 已知，，，直线l 过点B ，且与线段AP 相交，则直线l 的斜()2,3A -()3,2B --()1,1P率k 的取值范围是（ ）A. 或B. 4k ≤-34k ≥1354k -≤≤C .或 D.或34k ≤-4k ≥15k ≤-34k ≥6. 在棱长为的正四面体中，，，则（ ）3ABCD 2AM MB = 2CN ND=MN =A .D. 27. 如图所示，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，棱长为1，E ，F 分别是BC，CD 上的点，且BE ＝CF ＝a (0<a <1)，则D ′E 与B ′F 的位置关系是（）A. 平行B. 垂直C. 相交D. 与a 值有关8. 已知二面角C -AB -D 的大小为120°，CA ⊥AB ，DB ⊥AB ，AB =BD =4，AC =2，M ，N分别为直线BC ，AD 上两个动点，则最小值为（）MN二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 直线，则（）:10l x ++=A. 点在上B. 的倾斜角为(-l l 5π6C. 的图象不过第一象限D. 的方向向量为l l )10. 下列结论正确的是（）A. 两个不同的平面的法向量分别是，则,αβ()()2,2,1,3,4,2u v =-=-αβ⊥B. 直线的方向向量，平面的法向量，则l ()0,3,0a =α()1,0,2u =//l αC. 若，则点在平面内()()()2,1,4,4,2,0,0,4,8AB AC AP =--==--P ABC D. 若是空间的一组基底，则向量也是空间一组基底,,a b b c c a +++ ,,a b c11. 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且ABCDES SA ⊥ABCD ABCD DE ∥，分别是线段的中点，是线段上的一个动点SA 22,,SA AB DE M N ===,BC SB Q DC （含端点），则下列说法正确的是（）,D CA. 存在点，使得Q NQ SB⊥B. 存在点，使得异面直线与所成的角为Q NQ SA 60oC. 三棱锥体积的最大值是Q AMN -23D. 当点自向处运动时，二面角的平面角先变小后变大Q D C N MQ A --三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12. 已知点，则直线的倾斜角是______．)(),AB AB 13.如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，P ABCD -PCD ⊥ABCD ABCD ，，点是的中点，点为线段上靠近的三26AB BC ==,⊥=PC PD PC PD O CD E PB B 等分点，则点到直线的距离为______．E AO14.如图，在中，，过的中点的动直线与线段ABC V π6,4AC BC C ===AC M l 交于点，将沿直线向上翻折至，使得点在平面内的射影AB N AMN l 1A MN 1A BCMN 落在线段上，则斜线与平面所成角的正弦值的最大值为________．H BC 1A M BCMN四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15. 已知直线过点.l (2,2)P （1）若直线与垂直，求直线的方程；l 360x y -+=l （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.l l 16. 已知空间中三点，，．(),1,2A m -()3,1,4B -()1,,1C n -（1）若，，三点共线，求的值；A B C m n +（2）若，的夹角是钝角，求的取值范围．AB BCm n +17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD 为直角梯形，且，，P ABCD -AB AD ⊥2AD BC =u u u r u u u r已知侧棱平面ABCD ，设点E 为棱PD 的中点．AP ⊥（1）证明：平面ABP ；//CE （2）若，求点P 到平面BCE 的距离．2AB AP AD ===18. 如图1，在中，，，分别为边，的中点，且MBC △BM BC ⊥A D MB MC ，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，2BC AM ==△MAD AD PAD △PA AB ⊥PB .PC（1）求证：平面；PA ⊥ABCD （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；E PC DE PBD （3）线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角PC G (01)PGPC λλ=≤≤λ的值；若不存在，请说明理由.G AD P --λ19. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离()11,A x y ()22,B x y；曼哈顿距离，余弦距离(,)D A B =1212(,)d A B x x y y =-+-，其中（为坐标原点）．(,)1cos(,)e A B A B =-cos(,)cos ,A B OA OB =〈〉O （1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离；(1,2)A -34,55B ⎛⎫⎪⎝⎭A B (,)d A B (,)e A B （2）若点，，求的最大值；(2,1)M (,)1d M N =(,)e M N （3）已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得P Q :1(1)l y k x -=-l ，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明min min (,)(,)d O P D O Q =l 理由．2024-2025学年重庆市高二上学期10月月考数学质量检测试题一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1. 已知直线过点且与直线平行，则直线的一般式方程为（1l()2,5A 2:240l x y +-=1l ）A. B. 290x y ++=290x y +-=C .D. 290x y ++=290x y +-=【正确答案】B【分析】根据题意，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解.12l k =-【详解】直线的斜截式方程为，则其斜率为，2l24y x =-+2-因为直线过点，且与直线平行，所以，1l()2,5A 2l12l k =-则直线的点斜式方程为，即为．1l()522y x -=--290x y +-=故选：B.2. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）(2,2,1)a =- ()4,0,3b = b aA. （4，0，3）B. （4，0，3}C. （2，2，-1）D.591559（2，2，-1）13【正确答案】C【分析】根据向量在向量上的投影向量的概念求解即可.【详解】向量在向量上的投影向量为，b a 22224035(2,2,1)22(1)9||||b aaa a a →→→→→→⋅⨯+-⋅=⋅=-++-故选：C3. 如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若1111ABCD A B C D -M 11A C 11B D ，则等于（ ）1,,AB a AD b AA c ===BMA. B. 1122-+a b c1122++a b cC. D. 1122--+ a b c1122a b c-++ 【正确答案】D【分析】根据空间向量的线性运算即可得到答案.【详解】因为为与的交点，M 11A C 11B D 所以111111()22BM BB B M AA BD AA AD AB =+=+=+-.111112222AB AD A ca b A =-++=-++故选：D.4. 已知空间三点O (0，0，0)，A (12)，B-1，2)，则以OA ，OB为邻边的平行四边形的面积为（ ）A. 8B. 4C. D. 【正确答案】D【分析】先求出OA ，OB 的长度和夹角，再用面积公式求出的面积进而求得四边形OAB △的面积.【详解】因为O (0，0，0)，A (12)，B-1，2)，所以，OA ==OB ==2),1,2),OA OB ==-，1cos ,2OA OB ==所以sin ,OA OB =以OA ，OB 为邻边的平行四边形的面积为1222ABC S =⨯⨯= 故选：D.5. 已知，，，直线l 过点B ，且与线段AP 相交，则直线l 的斜()2,3A -()3,2B --()1,1P 率k 的取值范围是（）A. 或B. 4k ≤-34k ≥1354k -≤≤C.或 D.或34k ≤-4k ≥15k ≤-34k ≥【正确答案】B【分析】画出图形，数形结合得到，求出，得到答案.BP BA k k k ≥≥,BP BA k k 【详解】如图所示：由题意得，所求直线l 的斜率k 满足，BP BA k k k ≥≥即且，所以．231325k -+≥=---123134k +≤=+1354k -≤≤故选：B ．6. 在棱长为的正四面体中，，，则（ ）3ABCD 2AM MB = 2CNND =MN =A. D. 2【正确答案】B【分析】将用、、表示，利用空间向量数量积的运算性质可求得.MN AB AC AD MN【详解】因为，所以，，2AM MB = 23AM AB=又因为，则，所以，，2CN ND = ()2AN AC AD AN -=- 1233AN AC AD =+ 所以，，122333MN AN AM AC AD AB=-=+-由空间向量的数量积可得，293cos 602AB AC AB AD AC AD ⋅=⋅=⋅==因此，1223MN AC AD AB =+-=.==故选：B.7. 如图所示，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，棱长为1，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且BE ＝CF ＝a (0<a <1)，则D ′E 与B ′F 的位置关系是（）A. 平行B. 垂直C. 相交D. 与a 值有关【正确答案】B【分析】建立坐标系，利用向量的乘积计算出，即可求解''0D E B F ⋅=【详解】建立如图所示空间直角坐标系.则，，，，'(0,0,1)D (1,1,0)E a -'(1,1,1)B (0,1,0)F a -，'(1,1,1)D E a ∴=-- '(1,,1)B F a =---，''(1)(1)1()(1)(1)110D E B F a a a a ∴⋅=-⨯-+⨯-+-⨯-=--+=''D E B F∴⊥ 故选：B本题考查空间向量的垂直的定义，属于基础题8. 已知二面角C -AB -D 的大小为120°，CA ⊥AB ，DB ⊥AB ，AB =BD =4，AC =2，M ，N 分别为直线BC ，AD 上两个动点，则最小值为（ ）MN【正确答案】D【分析】将二面角放到长方体中，根据二面角的定义得到，根据C AB D --120CAF ∠=︒几何知识得到最小值为异面直线，的距离，然后将异面直线，的距离MNBC AD BC AD 转化为直线到平面的距离，即点到平面的距离，最后利用等体积求点BC ADE C ADE 到平面的距离即可.C ADE 【详解】如图，将二面角放到长方体中，取，过点作面交C AB D --4CE BD ==E ⊥EF ABD 面于点，ABD F 由题意可知，，所以为二面角的平面角，即AB AF ⊥CA AB ⊥CAF ∠C AB D --，120CAF ∠=︒因为，分别为直线，上的两个动点，所以最小值为异面直线，M N BC AD MNBC 的距离，AD 由题意知，，所以四边形为平行四边形，，CE BD ∥CE BD =CBDE CB DE ∥因为平面，平面，所以∥平面，则异面直线，的DE ⊂ADE CB ⊄ADE CB ADE BC AD 距离可转化为直线到平面的距离，即点到平面的距离，BC ADE C ADE 设点到平面的距离为，则，，C ADE d C ADED CAE V V --=1133ADE CAE S d S AB⋅⋅=⋅⋅ 在直角三角形中，，，所以，CAH 18012060CAH ∠=︒-︒=︒2CA =1HA=，CH EF ==3AF =AE ==直角梯形中，，ABDF FD ==AD ==，DE ==因为，，所以，，222AC AECE +=222AE DE AD +=CA AE ⊥AE DE ⊥，，122CAE S =⨯⨯=12ADE S =⨯= CAE ADE S AB d S ⋅===故选：D.方法点睛：求异面直线距离的方法：（1）找出异面直线的公垂线，然后求距离；（2）转化为过直线甲且与直线乙平行的平面与直线乙的距离.二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 直线，则（）:10l x ++=A. 点在上B. 的倾斜角为(-l l 5π6C. 的图象不过第一象限D. 的方向向量为l l )【正确答案】BC【分析】利用点与直线的位置关系可判断A选项；求出直线的斜率，可得出直线的倾斜l l 角，可判断B 选项；作出直线的图象可判断C 选项；求出直线的方向向量，可判断D 选l l 项.【详解】对于A 选项，，所以，点不在上，A 错；2210-++≠ (-l 对于B 选项，直线的斜率为，故的倾斜角为，B 对；lk =l 5π6对于C 选项，直线交轴于点，交轴于点，如下图所示：l x ()1,0-y 0,⎛ ⎝由图可知，直线不过第一象限，C 对；l对于D 选项，直线的一个方向向量为，而向量与这里不共线，Dl )1-)1-(错.故选：BC.10. 下列结论正确的是（）A. 两个不同的平面的法向量分别是，则,αβ()()2,2,1,3,4,2u v =-=-αβ⊥B. 直线的方向向量，平面的法向量，则l ()0,3,0a =α()1,0,2u =//l αC. 若，则点在平面内()()()2,1,4,4,2,0,0,4,8AB AC AP =--==--P ABC D. 若是空间的一组基底，则向量也是空间一组基底,,a b b c c a +++ ,,a b c【正确答案】ACD【分析】根据平面向量的法向量垂直判断A ，根据直线与平面的关系判断B ，根据空间中共面基本定理判断C ，由空间向量基本定理判断D.【详解】因为，所以，故A 正确；()()2,2,13,4,26820u v ⋅=-⋅-=-+-=αβ⊥因为直线的方向向量，平面的法向量，l ()0,3,0a =α()1,0,2u =不能确定直线是否在平面内，故B 不正确；因为，()0,4,82(2,1,4)(4,2,0)2AP AB AC→→=--=---=-所以，，共面，即点在平面内，故C 正确；AP AB ACP ABC 若是空间的一组基底，,,a b b c c a +++则对空间任意一个向量，存在唯一的实数组，d →(,,)x y z 使得，()()()d x a b y b c z c a =+++++于是，()()()d x z a x y b y z c =+++++ 所以也是空间一组基底，故D 正确.,,a b c故选：ACD.11. 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且ABCDES SA ⊥ABCD ABCD DE ∥，分别是线段的中点，是线段上的一个动点SA 22,,SA AB DE M N ===,BC SB Q DC （含端点），则下列说法正确的是（）,D CA. 存在点，使得Q NQ SB⊥B. 存在点，使得异面直线与所成的角为Q NQ SA 60oC. 三棱锥体积的最大值是Q AMN -23D. 当点自向处运动时，二面角的平面角先变小后变大Q D C N MQ A --【正确答案】ACD【分析】以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，向量法证明线线垂直判断A 选项；向量法求异面直线所成的角判断选项B ；由，求体积最大值判断C 选项；向量法求Q AMN N AMQV V --=二面角余弦值的变化情况判断选项D.【详解】平面，四边形是正方形，SA ⊥ABCD ABCD 以A 为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，,,AB AD AS,,x y z由，22SA AB DE ===；()()()()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,2,1,0,0,2,1,0,1,2,1,0A B C D E S N M ∴对于A ，假设存在点，使得，()(),2,002Q m m ≤≤NQ SB ⊥则，又，()1,2,1NQ m =--()2,0,2SB =-，解得：，()2120NQ SB m ∴⋅=-+=0m =即点与重合时，，A 选项正确；Q D NQ SB ⊥对于B ，假设存在点，使得异面直线与所成的角为，()(),2,002Q m m ≤≤NQ SA 60o，()()1,2,1,0,0,2NQ m SA =--=-，方程无解；1cos ,2NQ SA NQ SA NQ SA ⋅∴===⋅ 不存在点，使得异面直线与所成的角为，B 选项错误；∴Q NQ SA 60o对于C ，连接；,,AQ AMAN 设，()02DQ m m =≤≤，22AMQ ABCD ABM QCM ADQ mS S S S S =---=-当，即点与点重合时，取得最大值2；∴0m =Q D AMQ S △又点到平面的距离，N AMQ 112d SA ==，C 选项正确；()()maxmax 122133Q AMN N AMQ V V --∴==⨯⨯=对于D ，由上分析知：，()()1,2,1,1,1,1NQ m NM =--=-若是面的法向量，则，(),,m x y z =NMQ ()1200m NQ m x y z m NM x y z ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ 令，则，1x =()1,2,3m m m =-- 而面的法向量，AMQ ()0,0,1n =所以，令，cos ,m nm n m n ⋅==[]31,3t m =-∈则，而，cos ,m n ==11,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦由从到的过程，由小变大，则由大变小，即由小变大，Q D C m t 1t 所以先变大，后变小，由图知：二面角恒为锐角，cos ,m n故二面角先变小后变大，D 选项正确.故选：ACD.三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12. 已知点，则直线的倾斜角是______．)(),AB AB 【正确答案】π6【分析】根据已知两点的坐标求得直线的斜率，即可求得答案.AB 【详解】由于，)(),AB故直线的斜率为，AB k ==因为直线的倾斜角范围为，[0,π)故直线的倾斜角是，AB π6故π613.如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，P ABCD -PCD ⊥ABCD ABCD ，，点是的中点，点为线段上靠近的三26AB BC ==,⊥=PC PD PC PD O CD E PB B 等分点，则点到直线的距离为______．E AO【正确答案】3【分析】说明两两垂直，从而建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，根据空,,OO OC OP '间距离的向量求法，即可求得答案.【详解】取的中点为，连接，因为为的中点，所以AB O ',,PO OO AE ',PC PD O =CD ，PO CD ⊥又平面平面，平面平面，平面，PCD ⊥ABCD PCD ABCD CD =PO ⊂PCD 所以平面，平面，所以，⊥PO ABCD OO '⊂ABCD PO OO '⊥又底面是矩形，点是的中点，的中点为，所以，ABCD O CD AB O 'OO CD '⊥以点为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示，O ,,OO OC OP ',,x y z由，得，,,6PC PD PC PD CD ⊥==132PO CD ==所以，()()()3,3,0,3,3,0,0,0,3A B P -点为线段上靠近的三等分点，则，E PB B 22(3,3,3)33PE PB ==- 则，所以，，()2,2,1E ()1,5,1AE =-()3,3,0AO =-则，，||AE ==AO AE AO⋅== 因此点到直线的距离，E AO 3d =故314.如图，在中，，过的中点的动直线与线段ABC V π6,4AC BC C ===ACM l 交于点，将沿直线向上翻折至，使得点在平面内的射影AB N AMN l 1A MN 1A BCMN 落在线段上，则斜线与平面所成角的正弦值的最大值为________．H BC 1A M BCMN【分析】首先求出中边，角的正弦与余弦值，以底面点为空间原点建系（如ABC V AB B B 图1），设点，由，得，求出坐标，由(),,A x y z '(),0,0H x (,0,)A x z ',,A C M 得出满足的关系式，从而可得的范围也即的范围，翻折过程MC AM A M '==,x z z A H '中可得，设，，由向量的数量积为0从而得出关于MN AA '⊥1,,02N a a ⎛⎫⎪⎝⎭[)0,4a ∈x 的表达式，求得的范围，再由线面角的正弦值得出结论．a x 【详解】中，根据余弦定理，π,4C ABC =△，得AB ==sin sin ACABB C =，由知，则，sin B =AC AB <B C <cos B =如图1，以底面点为空间原点建系，根据底面几何关系，得点，设点B ()()4,2,0,6,0,0A C ，点的投影在轴上，即，由(),,A x y z 'A '(),0,0H x x ()(),0,,5,1,0A x z M '，根据两点间距离公式，MC AM A M '==．=22(5)1x z -+= 图1 图2如图2，在翻折过程中，作于点，则，AMN A MN '△≌△AE MN ⊥E A E MN '⊥并且平面，,,AE A E E AE A E ='⊂' A AE '所以平面平面，MN ⊥,A AE AA ''⊂A AE '所以，即，其中．MN AA '⊥0MN AA '⋅=()4,2,AA x z '=--又动点在线段上，设，所以，且．N AB 1,,02N a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭15,1,02MN a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ [)0,4a ∈由，得，0MN AA '⋅= ()()132245210,52,255x a a x a ⎛⎫⎛⎤----==+∈ ⎪ ⎥-⎝⎭⎝⎦又因为，对应的的取值为，即，22(5)1x z -+=z 40,5⎛⎤ ⎥⎝⎦40,5A H ⎛⎤'∈ ⎥⎝⎦由已知斜线与平面所成角是，1A MBCMN A MH '∠所以．sin A H A MH A M ⎛∠=∈ ⎝'''故斜线与平面1A MBCMN 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15. 已知直线过点.l (2,2)P （1）若直线与垂直，求直线的方程；l 360x y -+=l （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.l l 【正确答案】（1）； 380x y +-=（2）或y x =40x y +-=【分析】（1）由垂直斜率关系求得直线的斜率，再由点斜式写出方程；l （2）分别讨论截距为0、不为0，其中不为0时可设为，代入点P ，即可求得0x y m ++=参数m【小问1详解】直线的斜率为，则直线的斜率为，则直线的方程为360x y -+=3l 13-l ，即；()1223y x -=--380x y +-=【小问2详解】当截距为0时，直线的方程为；l y x =当截距不为0时，直线设为，代入解得，故直线的方程为l 0x y m ++=(2,2)P 4m =-l .40x y +-=综上，直线的方程为或l y x =40x y +-=16. 已知空间中三点，，．(),1,2A m -()3,1,4B -()1,,1C n -（1）若，，三点共线，求的值；A B C m n +（2）若，的夹角是钝角，求的取值范围．AB BCm n +【正确答案】（1）；1-（2）且不同时成立.13m n +<10m n =-⎧⎨=⎩【分析】（1）由向量的坐标表示确定、，再由三点共线，存在使，AB CBR λ∈AB CB λ= 进而求出m 、n ，即可得结果.（2）由向量夹角的坐标表示求，再根据钝角可得cos ,AB BC <>，讨论的情况，即可求范围.2(3)2(1)180m n -+--<,AB BC π<>=m n +【小问1详解】由题设，，又，，三点共线，(3,2,6)AB m =-- (2,1,3)CB n =--A B C 所以存在使，即，可得，R λ∈AB CB λ=322(1)63m n λλλ-=⎧⎪=-⎨⎪-=-⎩210m n λ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以.1m n +=-【小问2详解】由，(2,1,3)BC n =--由（1）知：当时，有；,AB BC π<>=1m n +=-而，的夹角是钝cos ,||||AB BC AB BC AB BC ⋅<>==AB BC角，所以，可得；2(3)2(1)182()260m n m n -+--=+-<m n +13<综上，且不同时成立.13m n +<10m n =-⎧⎨=⎩17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD 为直角梯形，且，，P ABCD -AB AD ⊥2AD BC =u u u ru u u r已知侧棱平面ABCD ，设点E 为棱PD 的中点．AP ⊥（1）证明：平面ABP ；//CE （2）若，求点P 到平面BCE 的距离．2AB AP AD ===【正确答案】（1）见解析 （2【分析】（1）设为的中点,连接,，利用中位线的性质证明四边形是平F PA BF EF EFBC 行四边形，则可得平面.//CE ABP （2）点为坐标原点建立合适的空间直角坐标系，求出平面的法向量，A BCE (0,1,2)n =利用点到平面的距离公式即可.【小问1详解】设为的中点，连接,，F PA BF EF是的中点，，E PD 1//,2EF AD EF AD ∴=,且，2,//AD BC AD BC =∴ 12BC AD=，//,EF BC EF BC ∴=四边形是平行四边形，，∴EFBC //CE BF ∴又平面平面,BF ⊂ ,ABP CE ⊂/ABP 平面.//CE ∴ABP 【小问2详解】由于侧棱平面，面，AP ⊥ABCD ,AB AD ⊂ABCD ，，则以点为坐标原点,以,,所在的直线,AP AB AP AD ∴⊥⊥AB AD ⊥ A AD AB AP 为轴,轴,轴建立如图空间直角坐标系,x y z，，2AD = 112BC AD ∴==，，，，(0,0,2)P ∴(0,2,0)B (1,2,0)C (1,0,1)E ，，，(1,0,0)BC ∴= (0,2,1)CE =- (0,2,2)PB =-设平面的法向量,BCE (,,)n x y z =则有，即，00n BC n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 020x y z =⎧⎨-+=⎩令,则，1y =(0,1,2)n =点到平面的距离.∴PBCE ||||||||||||PB n PB n d PB n PB n ⋅⋅=⋅===⋅18. 如图1，在中，，，分别为边，的中点，且MBC △BM BC ⊥A D MB MC ，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，2BC AM ==△MAD AD PAD △PA AB ⊥PB .PC（1）求证：平面；PA ⊥ABCD （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；E PC DE PBD （3）线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角PC G (01)PGPC λλ=≤≤λ的值；若不存在，请说明理由.G AD P --λ【正确答案】（1）证明见解析（2（3）存在，14λ=【分析】（1）由中位线和垂直关系得到，，从而得到线面垂直；PA AD ⊥PA AB ⊥（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，求出线面角的正弦值；（3）求出两平面的法向量，根据二面角的正弦值列出方程，求出，得到答案.14λ=【小问1详解】因为，分别为，的中点，所以.A D MB MC AD BC ∥因为，所以，所以.BM BC ⊥BM AD ⊥PA AD ⊥又，，平面，PA AB ⊥AB AD A ⋂=,AB AD ⊂ABCD 所以平面.PA ⊥ABCD 【小问2详解】因为，，，所以，，两两垂直.PA AB ⊥PA AD ⊥90DAB ∠=︒AP AB AD 以为坐标原点，所在直线分别为轴，A ,,AB AD AP ,,x y z 建立如图所示的空间直角坐标系，A xyz -依题意有，，，，，，A (0,0,0)()2,0,0B ()2,2,0C D (0,1,0)()0,0,2P ()1,1,1E 则，，，.(2,2,2)PC =- (1,0,1)DE = (2,1,0)BD =-(2,0,2)BP =- 设平面的法向量，PBD ()111,,n x y z =则有()()()()11111111112,1,0,,202,0,2,,220BD n x y z x y BP n x y z x z ⎧⋅=-⋅=-+=⎪⎨⋅=-⋅=-+=⎪⎩令，得，，所以是平面的一个法向量.12y =11x =11z =()1,2,1n = PBD 因为，cos ,DE n DE n DE n⋅〈〉====⋅所以直线与平面DE PBD 【小问3详解】假设存在，使二面角λG AD P --即使二面角G AD P --由（2）得，，(2,2,2)(01)PG PC λλλλλ==-≤≤所以，，.(2,2,22)G λλλ-(0,1,0)AD = (2,2,22)AG λλλ=-易得平面的一个法向量为.PAD ()11,0,0n =设平面的法向量，ADG ()2222,,n x y z =，()()()()()2222222222220,1,0,,02,2,22,,22220AD n x y z y AG n x y z x y z λλλλλλ⎧⋅=⋅==⎪⎨⋅=-⋅=++-=⎪⎩ 解得，令，得，20y =2z λ=21x λ=-则是平面的一个法向量.()21,0,n λλ=-ADG由图形可以看出二面角，G AD P --故二面角G AD P --则有，1cos ,n，解得，.=112λ=-214λ=又因为，所以.01λ≤≤14λ=故存在，使二面角14λ=G AD P --19. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离()11,A x y ()22,B x y ；曼哈顿距离，余弦距离(,)D A B =1212(,)d A B x x y y =-+-，其中（为坐标原点）．(,)1cos(,)e A B A B =-cos(,)cos ,A B OA OB =〈〉O （1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离；(1,2)A -34,55B ⎛⎫⎪⎝⎭A B (,)d A B (,)e A B （2）若点，，求的最大值；(2,1)M (,)1d M N =(,)e M N （3）已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得P Q :1(1)l y k x -=-l ，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明min min (,)(,)d O PD O Q =l 理由．【正确答案】（1）145（2）1-（3）存在，和1y =y x=【分析】（1）代入和的公式，即可求解；(,)d A B (,)e A B （2）首先设，代入，求得点的轨迹，再利用数形结合，结合公式(),N x y (,)1d M N =N ，结合余弦值，即可求解；(),e A B （3）首先求的最小值，分和两种情况求的最小值，对比后，(),D O P 0k =0k ≠(),d O P 即可判断直线方程.【小问1详解】，348614(,)125555d A B +=--+-==，cos(,)cos ,OA OB A B OA OB OA OB⋅=〈〉===；()(),1cos ,1e A B A B =-=-=【小问2详解】设，由题意得：，(,)N x y (,)|2||1|1d M N x y =-+-=即，而表示的图形是正方形，|2||1|1x y -+-=|2||1|1x y -+-=ABCD 其中、、、．()2,0A ()3,1B ()2,2C ()1,1D 即点在正方形的边上运动，，，N ABCD (2,1)OM =(,)ON x y = 可知：当取到最小值时，最大，相应的cos(,)cos ,M N OM ON =<> ,OM ON <>有最大值．(,)e M N 因此，点有如下两种可能：N ①点为点，则，可得；N A (2,0)ON =cos(,)cos ,M N OM ON =<>==②点在线段上运动时，此时与同向，取，N CD ON (1,1)DC =(1,1)ON = 则cos(,)cos ,M N OM ON =<>==的最大值为．>(,)e M N 1【小问3详解】易知，则min (,)D O P (,1)P x kx k -+(,)()|||1|d O P h x x kx k ==+-+当时，，则，，满足题意；0k =(,)()|||1|d O P h x x ==+min (,)1d O P =min (,)1D O P =当时，，0k ≠1(,)()1k d O P h x x kx k x k x k -==+-+=+⋅-由分段函数性质可知，min 1(,)min (0),k d O P h h k ⎛⎫-⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭又且时等号成(0)|1|h k =-≥11k k h k k --⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭1k =立．综上，满足条件的直线有且只有两条，和．:1l y =y x =关键点点睛：本题第二问为代数问题，转化为几何问题，利用数形结合，易求解，第3问的关键是理解，同样是转化为代数与几何相结合的问题.min min (,)(,)d O P D O Q =。
山东省菏泽市鄄城县第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(含解析)
高二数学试题考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写济楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A 版选择性必修第一册第二章~第三章第2节.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（ ）A.B. C. D.2.已知双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（ ）A. B.C.D.3.已知椭圆与椭圆有相同的焦点，则（ ）A.B.C.3D.44.已知点在圆的外部，则实数的取值范围为（ ）A.B.C.D.5.已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（ ）A.2B.4C.6D.86.已知点，若过定点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围103x --=π6π32π35π6()222:11x C y a a-=>C y =y x=±y =y x =()222:1016x y C b b +=>221125x y +=b =()0,1-22220x y x my +--+=m ()3,∞-+()3,2-()()3,22,∞--⋃+()2,2-M 22:1916x y C -=12,F F C 1122MF F F MF +-=()()2,3,3,2A B ---()1,1P l AB l k是（ ）A.B.C.D.7.当变动时，动直线围成的封闭图形的面积为（ ）A.C.D.8.已知椭圆，若椭圆上的点到直线的最短距离，则长半轴长的取值范围为（ ）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若直线与直线平行，则的值可以是（）A.0B.2C.D.410.已知点是椭圆上关于原点对称且不与的顶点重合的两点，分别是的左､右焦点，为原点，则（ ）A.的离心率为B.C.的值可以为3D.若的面积为，则11.已知点及圆，点是圆上的动点，则（ ）A.过原点与点的直线被圆截得的弦长为B.过点作圆的切线，则切线方程为C.当点到直线的距离最大时，过点与平行的一条直线的方程为D.过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为(]3,4,4∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭34,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1,5∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭3,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦α2cos2sin24cos x y ααα+=π2π4π()2222:10x y E a b a b +=>>E 50x y ++=a (]0,2((⎤⎦()240a x y a -++=()()222420a x a a y -+++-=a 2-,A B 22:143x y C +=C 12,F F C O C 12228AF BF +=AB 12AF F V 3212154AF AF ⋅=()4,4P 22:40C x y x +-=Q C O P C P C 3440x y -+=Q PC Q PC 240x y ---=P C ,A B AB 240x y +-=三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若方程表示椭圆，则的取值范围是__________.13.已知圆与两直线都相切，且圆经过点，则圆的半径为__________.14.把放置在平面直角坐标系中，点在直线的上方，点在边上，平分，且点都在轴上，直线的斜率为，则点的坐标为__________；直线在轴上的截距为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知直线及点.（1）若与垂直的直线过点，求与的值；（2）若点与点到直线的距离相等，求的斜截式方程.16.（本小题满分15分）已知双曲线的顶点为，且过点.（1）求双曲线的标准方程；（2）过双曲线的左顶点作直线与的一条渐近线垂直，垂足为为坐标原点，求的面积.17.（本小题满分15分）已知圆经过点，且与圆相切于原点.（1）求圆的标准方程；（2）若直线不同时为0与圆交于两点，当取得最小值时，与圆交于两点，求的值.18.（本小题满分17分）已知椭圆的上顶点与左，右焦点连线的斜率之积为.（1）求椭圆的离心率；（2）已知椭圆的左､右顶点分别为，且，点是上任意一点（与不重合），直线22164x y m m +=--m C 220,220x y x y -+=++=C ()1,1C ABC V A BC ,D E BC AD ,BAC AE BC ∠⊥,A E y AD 40,y AD -+==AC3-C AB x :210l x ay a -+-=()2,2A -l 320x my -+=A m a A ()1,1B -l l ()2222:10,0x y C a b a b-=>>()(),A B -()4P C C A C ,H O OHA V 1C ()2,0-222:480C x y x y +-+=O 1C :20(,l ax by a b a b ++-=)1C ,A B AB l 2C ,C D CD ()2222:10x y C a b a b+=>>45-C C ,A B 6AB =M C ,A B分别与直线交于点为坐标原点，求.19.（本小题满分17分）已知点是平面内不同的两点，若点满足，且，则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的-阿波罗尼斯圆.若点满足，则点的轨迹是以为“稳点”的-卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，.（1）若以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆的方程为，求的值；（2）在（1）的条件下，若点在以为“稳点”的5-卡西尼卵形线上，求（为原点）的取值范围；（3）卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称.,MA MB :5l x =,,P Q O OP OQ ⋅,A B P (0PAPBλλ=>1)λ≠P (),A B λQ ()0QA QB μμ⋅=>Q (),A B μ()()()2,0,,2A B a b a -≠-(),A B λ221240x y x +-+=,,a b λQ (),A B OQ O 0,b λ==,a μ(),A B μ参考答案1.A 直线，所以其倾斜角为.故选A.2.D 由题意可知，所以，所以双曲线的渐近线方程为.故选D.3.C 因为椭圆与㮁圆有相同的焦点.所以，解得或（舍去）.故选C.4.C 由题意可知解得或.故选C.5.B 因为为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，所以，故，由于，所以.故选B6.A 直线过定点，且直线与线段相交，由图象知，或，则紏率的取值范围是.故选A 7.D 方程可化为变动时，点到该直线的距离，则该直线是圆的切线，所以动直线围成的封闭图形的面积是圆的面积，面积为.故选D.103x --=π6214a +=23a =22213x C y -=y x =()22221016x y C b b +=>221125x y +=216125b -=-3b =3b =-222(1)20,(2)420,m m ⎧-++>⎨-+-⨯>⎩32m -<<-2m >M 22:1916x y C -=12,F F C 212MF MF a -=112222MF F F MF c a +-=-3,4,5a b c ====1122221064MF F F MF c a +-=-=-= l ()312131,1,4,21314PA PA P k k ----==-==--- AB ∴34k …4k -…k (]3,4,4∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭2cos2sin24cos x a y a a +=()2cos2sin22,x a y a α-+=()2,02d ==22(2)4x y -+=2cos2sin24cos x y ααα+=22(2)4x y -+=4π8.C 设直线与，则的方程为，由整理，得，因为上的点到直线的最短，所以，整理得，由椭圆的离心，可知，所以，所以，则，所以.故选C.9.AB 因为两直线平行，由斜率相等得，所以或，解得或0或，当时两直线重合，舍去.故选.10.AD 对于A ，椭圆中，，离心率为，A 正确；对于B.由对称性可得，所以，B 错误；对于C ，设且，则，故，所以C 错误；对于D ，不妨设在第一象限，，则，是，则，则，故，故D 正确.故选AD.11.ACD 圆的标准方程为，圆的半径，对于，直线的方程为0，点到直线，所以直线被圆截得的弦长为正确；对于，圆的过点的切线斜率存在时，设其方程为，即，，解得，此时切线方程为，另一条切线是斜率不存在的切线错误；对于C ，当点到直线的距离最大时，过点与平行的一条直线，即为与直线距离为2的图的切线，直线的斜率为2，设该切线方程为，则正确；对于D ，设，，可得切线的方程分别为l 50x y ++=l 30x y ++=22221,30,x y ab x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩()2222222690a b x a x a a b +++-=E 50x y ++=()()422222Δ36490a a baa b =-+-…2290a b +-…E 22112b a -=2212b a =221902a a +-…26a …0a <…222424a a a a ---=-++20a -=2244a a ++=2a =2-2a =-AB 22:143x y C +=2,1a b c ===12c a =21BF AF =222124AF BF AF AF a +=+==(),,B m n n <<0n ≠22143m n +=)2OB ===()24,AB OB =∈A ()00,A x y 12013222AF F S c y =⋅⋅=V 032y =31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭21335,4222AF AF ==-=12154AF AF ⋅=C ()22(2) 4.2,0x y C -+=C 2r =A OP x y -=C OP OP C A =B C P ()44y k x -=-440kx y k --+=234k =3440x y -+=4,x B =Q PC Q PC PC C PC 20x y t -+=2,4t =-±(11,A x y ()22,B x y ,PA PB，将代入两方程得，所以者在直线上，所以直线的方程为，即，D 正确.故选ACD.12.且且也给分） 由题意得，且6—，所以且，所以实数的取值范围是.易知直线与关于轴对称或关于对称，又当圆心在上时，该圆不存在，所以圆的圆心在轴上，设圆的方程为，由题意可知，，整理得，解得或，当时，，当时，.14.（2分）（3分） 直线的方程与直线联立得，因为直线的斜率为3，所以直线的方程为，由，得直线的斜率为0，由，得，所以直线的方程为，与联立得.设直线与轴交于点，点关于直线的对称点为，则点在直线上，所以.联立解得代入，得，所以直线在轴上的截距为15.解：（1）因为直线过点，所以，解得，因为与垂直，()()11122220,20x x y y x x x x y y x x +-+=+-+=()4,4P ()()11122244240,44240x y x x y x +-+=+-+=()()1122,,,A x y B x y ()44240x y x +-+=AB ()44240x y x +-+=240x y +-=()()4,55,6{|46m m ⋃<<5},46m m ≠<<5m ≠60,40m m ->->4m m ≠-46m <<5m ≠m ()()4,55,6⋃220x y -+=220x y ++=x 2x =-2x =-C x C 222()x a y r -+==22730a a -+=12a =3a =12a =r =3a =r =(1,1)AE 0x =AD 40y -+=()0,4A AC -AC 34y x =-+AE BC ⊥BC AD =AD 3AE =BC 1y =34y x =-+()1,1C AB x (),0F t F AD (),G a b G AC b a t =-402b -+=122,a tb ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩34y x =-+t =AB x 320x my -+=()2,2A -6220m --+=2m =-3220x y ++=l所以.（2）解法一，若点与点到直线的距离相等，则直线与的斜率相等或的中点在上，又直钱的斜率为的中点坐标为，所以或.解得或.当时，的斜截式方程为，当时，的斜截式方程为.解法二：因为点与点到直线的距离相等，.解得，当时，的斜截式方程为，当时，的斜截式方程为.16.解：（1）因为双曲线的顶点为，且过点，所以，且，解得的标准方程为.（2）由双曲线方程，得渐近线方程为，，又，所以所以.123,32a a ==A()1,1B -l AB l AB l AB ()211,21AB --=---11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭11a =-1121022a a --+-=1a =-1a =1a =-l 3y x =-+1a =l 1y x =+A ()1,1B -l =1a =±1a =-l 3y x =-+1a =l 1y x =+()2222:10,0x y C a b a b-=>>()(),A B -()4P a =2254161a b -=a b ==C 221188x y -=221188x y -=230x y ±=,OH HA OA ⊥=OH =11542213OHA S OH HA =⨯⨯==V17.解：（1）因为圆与图相切，且点在圆的外部，所以圆与圆外切，则三点共线，图化为.所以圆心，故圆心在直线上.设圆的标准方程为，又圆过原点，则，圆经过点，则，解得，故圆的标准方程为.（2）由（1）可知，圆的圆心坐标为，由直线化为，所以直线恒过点，易知点在圆的内部，设点到直线的距离为，则，要使取得最小值，则取得最大值，所以，此时.所以，则直线的方程为，即.又圆心到直线的距离，所以.18.解：（1）椭圆的上顶点的坐标为，左､右焦点的坐标分别为，由题意可知，即，1C 2C ()2,0-2C 1C 2C 12,,C O C 222:480C x y x y +-+=22(2)(4)20x y -++=()22,4C -1C 2y x =-1C 222()(2)x t y t r -++=1C ()0,0O 225r r =1C ()2,0-222(2)(02)5t t t --++=1t =-1C 22(1)(2)5x y ++-=1C ()1,2-:20l ax by a b ++-=()()210a x b y ++-=L ()2,1P -P 1C 1C l d AB ==AB d 1PC l ⊥121112PC k -==-+1t k =-l ()12y x -=-+10x y ++=2C 10x y ++=d 'CD ==C ()0,b ()(),0,,0c c -45b b c c ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭2245b c =又，所以，即的离心率.（2）由，得，即，所以椭圆的方程为.设，则，即，又，则，因为直线分别与直线交于点，所以，所以.19.（1）解：因为以为“稳点”的一阿波罗尼斯圆的方程为，设是该圆上任意一点，则，所以，因为为常数，所以，且，所以.（2）解：由（1）知，设，由，所以，，監理得，即，所以，222a b c =+2295a c =225,9c ca a ==C e =6AB =26a =3,2a c b ===C 22194x y +=()00,M x y 2200194x y +=22003649x y -=()()3,0,3,0A B -()()0000:3,:333y yMA y x MB y x x x =+=-+-,MA MB :5L x =,P Q 0000825,,5,33y y P Q x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭()()220000220000163648216641615,5,2525253399999x y y y OP OQ x x x x -⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=+=+=-= ⎪ ⎪+---⎝⎭⎝⎭(),A B λ221240x y x +-+=(),P x y 22124x y x +=-22222222222222||(2)4416||()()22(122)24PA x y x y x xPB x a y b x y ax by a b a x by a b +++++===-+-+--++--+-+22||||PA PB 2λ2240,0a b b -+==2a ≠-2,0,a b λ====()()2,0,2,0A B -(),Q x y 5QA QB ⋅=5=()222242516x y x ++=+2240y x =--…42890x x --…()()22190x x +-…209x ……由，得，即的取值范围是.（3）证明：若，则以一阿波罗尼斯圆的方程为，整理得，该圆关于点对称.由点关于点对称及，可得—卡西尼卵形线关于点对称，令，解得，与矛盾，所以不存在实数，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称OQ ==209r ……13OQ ……OQ []1,30b =(),A B 2222(2)2()x y x a y ⎡⎤++=-+⎣⎦()22244240x y a x a +-++-=()22,0a +()()2,0,,0A B a -2,02a -⎛⎫ ⎪⎝⎭QA QB μ⋅=μ2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭2222a a -+=2a =-2a ≠=-,a μ(),A B μ。
高二数学上学期第一次月考试题含解析
智才艺州攀枝花市创界学校第二二零二零—二零二壹高二数学上学期第一次月考试题〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共13小题，每一小题4分，一共52分.题1—10为单项选择题，题11-13为多项选择题，多项选择题错选得0分，漏选得2分.〕 1.椭圆229225x ky +=的一个焦点是()4,0，那么k =〔〕A.5B.25C.-5D.-25【答案】B 【解析】 【分析】将椭圆方程化为HY 方程，根据焦点坐标求得c ，由此列方程求得k 的值.【详解】椭圆的HY方程为22122525x y k+=，由于椭圆焦点为()4,0，故焦点在x 轴上，且4c =.所以2225254k=+，解得25k =. 应选：B【点睛】本小题主要考察根据椭圆的焦点坐标求参数的值，属于根底题. 2.双曲线22412mx y -=的一条渐近线的方程为20y -=，那么m =〔〕A.3C.4D.16【答案】A 【解析】 【分析】写出双曲线的HY 方程，根据渐近线方程即可得解. 【详解】双曲线22412mx y -=20y -=，即双曲线221213m x y -=的一条渐近线的方程为y x =， 所以124,3m m==. 应选：A【点睛】此题考察根据双曲线的渐近线方程求双曲线HY 方程，关键在于准确掌握双曲线的概念，找准其中的a ，b .3.“x R ∃∈，2440x x -+≤〞的否认是〔〕A.x R ∀∈，2440x x -+>B.x R ∀∈，2440x x -+≥C.x R ∃∈，2440x x -+>D.x R ∃∈，2440x x -+≥【答案】A 【解析】 【分析】 .【详解】A 选项正确. 应选：A 【点睛】. 4.〕 A.2230x x -->，B.π不是无限不循环小数C.直线与平面相交D.在线段AB 上任取一点【答案】B 【解析】【分析】 ACDB.【详解】ACD 均不能判断真假，B. 应选：B 【点睛】.5.平面内，一个动点P ，两个定点1F ，2F ，假设12PF PF -为大于零的常数，那么动点P 的轨迹为〔〕A.双曲线B.射线C.线段D.双曲线的一支或者射线 【答案】D 【解析】【分析】根据双曲线的定义，对动点P 的轨迹进展判断，由此确定正确选项. 【详解】两个定点的间隔为12F F ,当1212PF PF F F -<时，P 点的轨迹为双曲线的一支； 当1212PF PF F F -=时，P 点的轨迹为射线；不存在1212PF PF F F ->的情况.综上所述，P 的轨迹为双曲线的一支或者射线. 应选：D【点睛】本小题主要考察双曲线定义的辨析，属于根底题. 6.〕A.x R ∀∈，2210x x -+>B.0,4x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，tan 1x <C.a ∀∈R ，in s (s in )a a π-=D.x R ∀∈，12x x+≥ 【答案】C 【解析】 【分析】 .【详解】A.x R ∀∈，2210x x -+>，当21,210x x x =-+=B.0,4x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，tan 1x <，当,tan 14x x π== C.a ∀∈R ，in s (s in )a a π-=，满足题意； D.x R ∀∈，12x x +≥，当10,2x x x<+≤-. 应选：C 【点睛】.7.假设方程22216x y a a +=-表示双曲线，那么实数a 的取值范围是〔〕A.6a <B.6a <且0a≠ C.2a > D.2a >或者3a <-【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线方程形式得2060a a ⎧≠⎨-<⎩，即可得解.【详解】方程22216x y a a +=-表示双曲线，那么2060a a ⎧≠⎨-<⎩，解得：6a <且0a ≠.应选：B【点睛】此题考察双曲线概念辨析，根据方程表示双曲线求解参数的取值范围，关键在于纯熟掌握双曲线方程的形式.8.1F ，2F 是椭圆(222:13x y C a a+=>的两个焦点，P 是C 上一点.假设1260F PF ∠=︒，那么12F PF △的面积为〔〕B. D.与a 有关【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质结合余弦定理求得124F P PF ⋅=，利用三角形面积公式即可得解.【详解】根据椭圆几何性质可得：122F P PF a +=，12F PF △中，由余弦定理：222121212F F F P PF F P PF =+-⋅，即()221212123F F F P PF F P PF =+-⋅()22124343a a F P PF -=-⋅，解得：124F P PF ⋅=12F PF △的面积为121sin 602F P PF ⋅⋅︒=. 应选：A【点睛】此题考察椭圆的几何性质的应用，结合余弦定理和面积公式求三角形面积，关键在于纯熟掌握椭圆根本性质和三角形相关定理公式.9.1F ，2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点，直线23b y =与该椭圆交于B ，C ，假设2BF C △是直角三角形，那么该椭圆的离心率为〔〕B.【答案】D 【解析】 【分析】联立直线和椭圆求出交点坐标22,,,3333b b B C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，分别讨论直角情况即可得解.【详解】联立直线和椭圆方程：2222123x y a b b y ⎧=⎪⎪⎨+=⎪⎪⎩ 所以直线23b y =与椭圆()222210x y a b a b+=>>的交点坐标22,33b b B C ⎛⎫⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 因为椭圆焦点在x 轴，所以角B 不可能为直角，当角Cc =，即e =；当角2F 为直角时，220F B F C ⋅=，即22,,03333b b c c ⎛⎫⎛⎫--⋅-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22254099a b c -+=，2222544099a a c c --+=225c a =，5e =.应选：D【点睛】此题考察根据直线与椭圆位置关系，结合三角形形状求解离心率，关键在于准确求出直线与椭圆的交点坐标，根据垂直关系建立等量关系求椭圆离心率.10.双曲线221916x y -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，P 为右支上一点，且1245cos F PF ∠=，那么12F PF △内切圆的面积为〔〕A.211πB.83π C.649π D.176121π【答案】C 【解析】 【分析】 根据1245cos F PF ∠=求出三角形的边长和面积，利用等面积法求出内切圆的半径，即可得到面积. 【详解】由题：1245cos F PF ∠=，那么123sin 5F PF ∠=，P 为右支上一点， 12F PF △中由余弦定理：()()22212111146265F F F P F P F P F P =++-⋅+⨯解得110F P =，12F PF △的面积121310164825F PF S =⨯⨯⨯=△，设其内切圆半径为r ，()101016482r ++=，解得：83r = 那么12F PF △内切圆的面积为286439ππ⎛⎫⨯=⎪⎝⎭【点睛】此题考察根据双曲线的几何性质求解焦点三角形的面积和内切圆的半径，根据等面积法求解半径得到圆的面积. 11.〕A.假设a ba c ⋅=⋅，那么bc =B.正数,a b ，假设2a b+≠a bC.0x N +∃∈，使200x x ≤D.正数,x y ，那么1xy =是lg lg 0x y +=的充要条件【答案】BCD 【解析】 【分析】 考虑0a=可断定A.【详解】A 选项：假设0a =，任意向量,b c ，0a b a c ⋅=⋅=，不能推出b c =B ,a b ，假设ab =，那么2a b+= C 选项：当01x =D 选项：正数,x y ，lg lg 0x y +=等价于lg 0xy =，等价于1xy =，那么1xy =是lg lg 0x y +=的充要条件应选：BCD 【点睛】.12.〔多项选择题〕双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>与双曲线()222222222:10,0y x C a b a b -=>>的渐近线将第三象限三等分，那么双曲线1C 的离心率可能为〔〕C.2D.3【答案】CD 【解析】 【分析】根据渐近线的平分关系求出斜率，根据斜率为b a =b a =.【详解】双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>与双曲线()222222222:10,0y x C a b a b -=>>的渐近线将第三象限三等分，根据双曲线对称性可得：双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>与双曲线()222222222:10,0y x C a b a b -=>>的渐近线将第一象限三等分，所以第一象限的两条渐近线的倾斜角为30°和60°，其斜率为b a =b a =，所以其离心率为2或者3. 应选：CD【点睛】此题考察根据双曲线的渐近线关系求离心率，关键在于对题目所给条件进展等价转化，利用双曲线根本量之间的关系求解.13.〔多项选择题〕以下说法正确的选项是〔〕 A.方程2xxy x +=表示两条直线B.椭圆221102x y m m +=--的焦距为4，那么4m =C.曲线22259x y xy +=关于坐标原点对称D.双曲线2222x y a b λ-=的渐近线方程为b y x a=±【答案】ACD 【解析】 【分析】B 选项漏掉考虑焦点在y 轴的情况，ACD 说法正确. 【详解】方程2xxy x +=即()10x x y +-=，表示0x =，10x y +-=两条直线，所以A 正确；椭圆221102x ym m+=--的焦距为4，那么()1024m m---=或者()2104m m---=，解得4m=或者8m=，所以B选项错误；曲线22259x yxy+=上任意点(),P x y，满足22259x yxy+=，(),P x y关于坐标原点对称点(),P x y'--也满足()()()()22259x yx y--+=--，即(),P x y'--在22259x yxy+=上，所以曲线22259x yxy+=关于坐标原点对称，所以C选项正确；双曲线2222x ya bλ-=即0λ≠，其渐近线方程为by xa=±正确，所以D选项正确.应选：ACD【点睛】此题考察曲线方程及简单性质辨析，涉及认识曲线方程，研究对称性，根据椭圆性质求参数的取值，求双曲线的渐近线.二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分.〕14.方程22157x ya a+=--表示椭圆，那么实数a的取值范围是_______.【答案】()()5,66,7【解析】【分析】根据方程表示椭圆，列不等式组可得507057aaa a->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，即可求解.【详解】由题方程22157x ya a+=--表示椭圆，那么507057aaa a->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得()()5,66,7a ∈故答案为：()()5,66,7【点睛】此题考察根据曲线方程表示椭圆求参数的取值范围，关键在于纯熟掌握椭圆的HY方程特征，此题容易漏掉考虑a =6的情况不合题意.15.假设“0,4x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，tan x m <〞m 的取值范围是________. 【答案】0m >【解析】【分析】 根据0,4x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，tan x m <，实数m 的取值范围，即()min tan x m <. 【详解】0,4x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，tan x m <，即()min tan x m <， tan y x =在0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递增，()min tan 0x = 即0m >.故答案为：0m >【点睛】.16.2F 是椭圆2211612x y +=的右焦点，P 是椭圆上的动点，(A 为定点，那么1PA PF +的最小值为_______.【答案】6【解析】【分析】 将问题进展转化12288PA PF PA PF PA PF +=+-=+-，根据动点到两个定点间隔之差的最值求解. 【详解】()22,0F 是椭圆2211612x y +=的右焦点，()12,0F -是椭圆2211612x y +=的左焦点，128PF PF +=(A 在椭圆内部，1222888826PA PF PA PF PA PF AF +=+-=+-≥-=-=，当P 为2F A 的延长线与椭圆交点时获得最小值.故答案为：6【点睛】此题考察椭圆上的点到椭圆内一点和焦点的间隔之和最值问题，关键在于利用椭圆的几何性质进展等价转化，结合平面几何知识求解.17.点A ，B 分别是射线()1:0l y x x =≥，2(:0)l y x x =-≤上的动点，O 为坐标原点，且AOB 的面积为定值4.那么线段AB 中点M 的轨迹方程为_________. 【答案】22144-=y x ，0y > 【解析】【分析】设出中点坐标，根据面积关系建立等量关系化简即可得到轨迹方程.【详解】由题：()1:0l y x x =≥，2(:0)l y x x =-≤互相垂直，()()112212,,,,0,0A x x B x x x x -><，设线段AB 中点(),M x y ， AOB 的面积为定值4，即)12142x -=，即124x x =- 121222x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，两式平方得：222121222212122424x x x x x x x x x y ⎧++=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩， 两式相减得：22124x y x x -==- 即22144-=y x ，0y >故答案为：22144-=y x ，0y > 【点睛】此题考察求轨迹方程，关键在于根据给定的条件建立等量关系，此类题目容易漏掉考虑取值范围的限制.三、解答题〔本大题一一共6小题，总分值是82分.解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤〕18.集合{}2(3)0A x x a x a =+-+=，{}0B x x =>.假设A B =∅.务实数a 的取值范围.【答案】(](),19,a ∈-∞+∞【解析】【分析】 将问题转化考虑A B =∅a 的取值范围，即可得到假设A B =∅a 的取值范围. 【详解】考虑A B =∅2(3)0x a x a +-+=没有正根， ①()2340a a ∆=--<得()1,9a ∈； ②()2340a a ∆=--=得1a =，或者9a =， 当9a =时{}{}26903A x x x =++==-符合题意，当1a =时{}{}22101A x x x =-+==，不合题意，所以9a =； ③()23403020a a a a ⎧∆=-->⎪-⎪<⎨⎪>⎪⎩无解； 综受骗A B =∅(]1,9a ∈，所以假设A B =∅(](),19,a ∈-∞+∞【点睛】.19.对称中心在坐标原点的椭圆关于坐标轴对称，该椭圆过1212,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，且长轴长与短轴长之比为4:3.求该椭圆的HY 方程. 【答案】221169x y +=或者221169y x += 【解析】【分析】根据椭圆的长轴短轴长度之比设椭圆的HY 方程，根据椭圆经过的点求解参数即可得解.【详解】由题：对称中心在坐标原点的椭圆关于坐标轴对称，长轴长与短轴长之比为4:3，当焦点在x 轴上，设椭圆的HY 方程为221169x y m m+=，m >0，椭圆过1212,55⎛⎫ ⎪⎝⎭， 14414412516259m m+=⨯⨯，解得：m =1， 所以椭圆的HY 方程为221169x y += 同理可得当焦点在y 轴上，椭圆的HY 方程为221169y x +=， 所以椭圆的HY 方程为221169x y +=或者221169y x += 【点睛】此题考察求椭圆的HY 方程，关键在于根据长轴短轴长度关系设方程，根据椭圆上的点的坐标求解，易错点在于漏掉考虑焦点所在位置.20.“[]0,2x ∃∈，使方程251020x x m -+-=有解〞.〔1〕务实数m 的取值集合A ；〔2〕设不等式()()1120x a x a -+-<+的解集为集合B ，假设x B ∈是x A ∈的必要不充分条件，务实数a 的取值范围.【答案】〔1〕{}32A m m =-≤≤；〔2〕()(),23,a ∈-∞-+∞【解析】【分析】〔1〕将问题转化为()225102513m x x x =-+=--在[]0,2x ∈有解，即可求解；〔2〕分类讨论求解A B ⊆即可得到参数的取值范围.【详解】〔1“[]0,2x ∃∈，使方程251020x x m -+-=有解〞是.即()225102513m x x x =-+=--在[]0,2x ∈有解，所以[]3,2m ∈- 即{}32A m m =-≤≤；〔2〕不等式()()1120x a x a -+-<+的解集为集合B ，假设x B ∈是x A ∈的必要不充分条件， 当23a =不合题意； 当23<a 时，112a a -<-，()1,12B a a =--，13122a a -<-⎧⎨->⎩，得2a <-； 当23a >时，112a a ->-，()12,1B a a =--，12123a a ->⎧⎨-<-⎩，得3a >； 所以()(),23,a ∈-∞-+∞【点睛】此题考察根据方程有解求参数的取值范围，根据充分条件和必要条件关系求解参数的取值范围，关键在于弄清充分条件和必要条件关系，利用分类讨论求解.21.设1F ，2F 分别是椭圆222:14x y E b+=的左，右焦点，假设P 是该椭圆上的一个动点，12PF PF ⋅的最大值为1.求椭圆E 的方程. 【答案】2214x y += 【解析】【分析】设出焦点坐标，表示出12PF PF ⋅利用函数关系求出最大值，即可得到21b =.【详解】由题：()1F ，)2F 分别是椭圆222:14x y E b +=的左，右焦点，设(),P x y 施椭圆上的动点，即[]222221,0,4,44x y x b b+=∈<， ()22222221124444x b x b x b b ⎛⎫⎛⎫=-+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，当2x =4时，获得最大值， 即21b =， 所以椭圆的方程为2214x y +=. 【点睛】此题考察求椭圆的HY 方程，关键在于根据椭圆上的点的坐HY 确计算，结合取值范围求解最值.22.平面直角坐标系中两个不同的定点()1,0F a -，()2,0,0F a a >，过点1F 的直线1l 与过点2F 的直线2l 相交于点P ，假设直线1l 与直线2l 的斜率之积为(0)m m ≠，求动点P 的轨迹方程，并说明此轨迹是何种曲线.【答案】见解析.【解析】【分析】 根据斜率关系化简得22221x y a ma-=，分类讨论得解． 【详解】设(),P x y ，过点1F 的直线1l 与过点2F 的直线2l 相交于点P ，假设直线1l 与直线2l 的斜率之积为(0)m m ≠， 即y y m x a x a ，222y mx ma =-，22221x y a ma-=， 当1m =-轨迹是圆，不含点()1,0F a -，()2,0,0F a a >；当0m >，轨迹是以()1,0F a -，()2,0F a 为顶点的双曲线，不含顶点()1,0F a -，()2,0F a ； 当10m -<<，轨迹是以()1,0F a -，()2,0F a 为长轴顶点的椭圆，不含()1,0F a -，()2,0F a ； 当1m <-，轨迹是以()1,0F a -，()2,0F a 为短轴顶点的椭圆，不含()1,0F a -，()2,0F a ．【点睛】此题考察曲线轨迹的辨析，关键在于根据题意建立等量关系，根据曲线轨迹方程分类讨论得解.23.椭圆221:1169x y C +=和双曲线222:1169x y C -=，点A ，B 为椭圆的左，右顶点，点P 在双曲线2C 上，直线OP 与椭圆1C 交于点Q 〔不与点A ，B 重合〕，设直线AP ，BP ，AQ ，BQ 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k .〔1〕求证：12916k k ⋅=； 〔2〕求证：1234k k k k +++的值是定值.【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕证明见解析.【解析】【分析】〔1〕设(),P x y ，表示出斜率即可求得斜率之积；〔2〕设直线:OP y kx =，0k≠，依次求解P ，Q 坐标，表示出斜率之和化简即可得解. 【详解】〔1〕由题：()()()4,0,4,0,,A B P x y -满足221169x y -=，229116x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 21229441616y y y k k x x x ⋅=⋅==+--； 〔2〕根据曲线的对称性不妨设直线:OP y kx =，0k ≠， 联立221169y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得2221169x k x +=，22144916x k =+，不妨取Q ⎛⎫，同理可得：P ⎛⎫ 所以1234k k k k +++的值是定值.【点睛】此题考察椭圆与双曲线对称性辨析，求解直线与曲线交点坐标，根据坐标表示斜率求解斜率之积和斜率之和证明结论.。
2022-2023学年高二下学期第二次月考数学试题(解析版)
2024届高二年级下学期第二次月考数学试卷一、单选题（共40分）1. 已知复数满足，（ ）z ()()31i 1i z --=+z=A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】先求出复数的代数形式，再求模即可. z 【详解】由得()()31i 1i z --=+，()()()()1i 1i 1i333i 1i 1i 1i z +++=+=+=+--+.z ∴==故选：D.2. 某地政府调查育龄妇女生育意愿与家庭年收入高低的关系时，随机调查了当地3000名育龄妇女，用独立性检验的方法处理数据，并计算得，则根据这一数据以及临界值表，判断育龄妇女生育意27.326χ=愿与家庭年收入高低有关系的可信度（ ）参考数据如下：，()()()22210.8280.001,7.8790.005, 6.6350.01P P P χχχ≥≈≥≈≥≈.()()223.8410.05, 2.7060.1P P χχ≥≈≥≈A. 低于 B. 低于 C. 高于 D. 高于1%0.5%99%99.5%【答案】C 【解析】【分析】根据临界值表求得正确答案.【详解】由于，()27.326 6.635,7.879χ=∈而，()()227.8790.005, 6.6350.01P P χχ≥≈≥≈所以可信度高于. 99%故选：C3. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ）,a b 10a b ⋅= ()3,4b =- a b A. B.C.D. ()6,8-()6,8-68,55⎛⎫- ⎪⎝⎭68,55⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】向量在向量上的投影向量的定义计算即可.a b【详解】解：因为向量，且，那么，()3,4b =- 10a b ⋅=5b == 所以向量在向量上的投影向量为， a b ()3468cos ,555b a b a a b b b-⋅⎛⎫⋅=⋅=- ⎪⎝⎭ ，，故选：C.4. 已知等比数列的前n 项和为，若，则（ ）{}n a n S 153n n S t -=⨯+t =A. B. 5C.D.5-53-53【答案】C 【解析】【分析】根据条件得到，，，从而求出，，，再由数列是等比数列得到，1S 2S 3S 1a 2a 3a {}n a 3212a a a a =即可得到.t 【详解】由题意得：，，， 115S a t ==+21215S a a t =+=+312345S a a a t =++=+即，，， 15a t =+210a =330a =因为数列是等比数列，所以， {}n a 3212a a a a =即，解得：，1030510t =+53t =-故选：C .5. 如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点在同一平面内，下列结论：①,,,A B C D AE平面；②平面平面；③；④平面平面，正确命题的个数//CDF ABE //CDF AB AD ⊥ACE ⊥BDF 为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】【分析】根据题意，以正八面体的中心为原点，分别为轴，建立如图所示空间直O ,,OB OC OE ,,x y z 角坐标系，由空间向量的坐标运算以及法向量，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】以正八面体的中心为原点，分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系， O ,,OB OC OE ,,x y z 设正八面体的边长为,则2()(()()(0,,,,,0,0,A E C D F 所以，,(()(,,0,AE CD CF ===设面的法向量为，则，解得，取，即CDF (),,n x y z =CD n CF n ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩x z x y =⎧⎨=-⎩1x =()1,1,1n =-又，所以，面，即面，①正确；0AE n ⋅== AE n ⊥AE ⊄CDF AE //CDF 因为，所以，AE CF =- AE //CF 又，面，面，则面，//AB CD AB ⊄CDF CD ⊂CDF //AB CDF 由，平面，所以平面平面，②正确； AB AE A = ,AE AB ⊂ABE AEB //CDF 因为，则，所以，③正确；))(),,BAB AD ==0AB AD ⋅=u u u r u u u rAB AD ⊥易知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，ACE ()11,0,0n =u r BDF ()20,1,0n =u u r因为，所以平面平面，④正确；120n n ⋅=ACE ⊥BDF 故选：D6. 如图，在正三角形的12个点中任取三个点构成三角形，能构成三角形的数量为（ ）A. 220B. 200C. 190D. 170【答案】C 【解析】【分析】利用间接法，用总数减去不能构成三角形的情况即可.【详解】任取三个点有种，其中三点共线的有种，故能构成三角形个， 312C 353C 33125C 3C 190-=故选：C .7. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、1F 2F ()2222:10,0x y a b a bΓ-=>>1F 右两支于A ，B 两点，点C 在x 轴上，，平分，则双曲线的离心率为（ ）23CB F A =2BF 1F BC ∠ΓA.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据可知，再根据角平分线定理得到的关系，再根据双曲线定23CB F A =2//CB F A 1,BF BC 义分别把图中所有线段用表示出来，根据边的关系利用余弦定理即可解出离心率.,,a b c 【详解】因为，所以∽，23CB F A =12F AF 1F BC △设，则，设，则，． 122FF c =24F C c =1AF t =13BF t =2AB t =因为平分，由角平分线定理可知，， 2BF 1F BC ∠11222142BF F F c BC F C c ===所以，所以， 126BC BF t ==2123AF BC t ==由双曲线定义知，即，，① 212AF AF a -=22t t a -=2t a =又由得，122B F B F a -=2322BF t a t =-=所以，即是等边三角形， 222BF AB AF t ===2ABF △所以．2260F BC ABF ∠=∠=︒在中，由余弦定理知，12F BF 22212121212cos 2BF BF F F F BF BF BF +-∠=⋅⋅即，化简得， 22214942223t t ct t+-=⋅⋅2274t c =把①代入上式得． ce a==故选：A ．8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一；享有“数学王子“的称号.用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x 的最大整数，已知数列满足，，()[]f x x =[]x {}n a 12a =26a =，若，为数列的前n 项和，则（ ）2156n n n a a a +++=[]51log n n b a +=n S 11000n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭[]2023S =A. 999 B. 749 C. 499 D. 249【答案】A 【解析】【分析】根据递推关系可得为等比数列，进而可得，由累加法可求解{}1n n a a +-1145n n n a a -+=⨯-，进而根据对数的运算性质可得，根据裂项求和即可求解.151n n a +=+[]51log n n b a n +==【详解】由得，因此数列为公比为5，2156n n n a a a +++=()2115n n n n a a a a +++-=-{}1n n a a +-首项为的等比数列，故，进而根据累加法214a a -=1145n n n a a -+=⨯-得，()()()()1111112024555251n n n n n n n n a a a a a a a a ++---=+++=++-+-++=+- 由于，又，()515log log 51nn a +=+()()()5555log 5log 51log 55log 511nnnnn n <+<⨯⇒<+<+因此，则，故[]51log n n b a n +==()11000100011100011n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅⋅++⎝⎭，12110001n n S c c c n ⎛⎫=+++=- ⎪⎝⎭所以， []20231100010001100099920232023S ⎡⎤⎛⎫⎡⎤=-=-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦故选：A【点睛】方法点睛：常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于n n n c a b =+{}n a {}n b ()11n a n n =+，其中为等差数列，为等比数列等. n n n c a b =⋅{}n a {}n b 二、多选题（共20分）9. 已知方程表示椭圆，下列说法正确的是（ ）221124x y m m +=--A. m 的取值范围为 B. 若该椭圆的焦点在y 轴上，则 ()4,12()8,12m∈C. 若，则该椭圆的焦距为4 D. 若，则该椭圆经过点6m =10m =(【答案】BC 【解析】【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质依次判断选项即可.【详解】A ：因为方程表示椭圆，221124x y m m +=--所以，解得，且，故A 错误；12040124m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩412m <<8m ≠B ：因为椭圆的焦点在y 轴上，221124x y m m +=--所以，解得，故B 正确；4120m m ->->812m <<C ：若，则椭圆方程为，6m =22162x y +=所以，从而，故C 正确；222624c a b =-=-=24c =D ：若，则椭圆方程为，10m =22126x y +=点的坐标不满足方程，即该椭圆不经过点，故D错误. ((故选：BC.10. 设等差数列的前项和为，，公差为，，，则下列结论正确的是{}n a n n S 10a >d 890a a +>90a <（ ） A.0d <B. 当时，取得最大值 8n =n S C.45180a a a ++<D. 使得成立的最大自然数是15 0n S >n 【答案】ABC 【解析】【分析】根据已知可判断，，然后可判断AB ；利用通项公式将转化为可判80a >90a <4518a a a ++9a 断C ；利用下标和性质表示出可判断D.1617,S S 【详解】解：因为等差数列中，，， {}n a 890a a +>90a <所以，，，A 正确； 80a >90a <980d a a =-<当时，取得最大值，B 正确；8n =n S ，C 正确； ()45181193243830a a a a d a d a ++=+=+=<，，()()1611689880S a a a a =+=+>11717917()1702a a S a +==<故成立的最大自然数，D 错误． 0n S >16n =故选：ABC ．11. 已知的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则（ ） ()1nx +A.8n =B. 的展开式中项的系数为56 ()1nx +2x C. 奇数项的二项式系数和为128 D. 的展开式中项的系数为56()21nx y +-2xy 【答案】AC 【解析】【分析】利用二项式定理求得的展开通项公式，从而得到关于的方程，解出的值判断AB ，()1nx +n n 利用所有奇数项的二项式系数和为判断C ，根据二项式定理判断D.12n -【详解】因为的展开式通项为，()1nx +1C C k k k kr n n T x x +==所以的展开式的第项的二项式系数为，()1nx +1k +C kn 所以，解得，A 正确； 26C C n n =8n =的系数为，B 错误；2x 28C 28=奇数项的二项式系数和为，C 正确； 1722128n -==根据二项式定理，表示8个相乘，()821x y +-()21x y+-所以中有1个选择，1个选择，6个选择，()21x y+-x 2y-1所以的展开式中项的系数为，D 错误；()21nx y +-2xy ()71187C C 156-=-故选：AC12. 已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为13，p .记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，在甲、乙这两个路X 口遇到红灯个数之和为，则（ ） Y A. ()54243P X ==B. ()109D X =C. 当时，小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率为25p =216625D. 当时， 25p =()443E Y =【答案】BC 【解析】【分析】对于AB ，确定，即可求出和，对于C ，表示一天至少遇到红灯15,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭()4P X =()D X 的概率为，可求出星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的表达式，再将1233p +代入即可求得结果，对于D ，记为周一到周五这五天在乙路口遇到红灯的个数，则25p =ξ()5,B p ξ~，，即可求出.Y X ξ=+()E Y 【详解】对于AB ，小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，且他X 在甲路口遇到红灯的概率为， 13则，15,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，， ()44511104C 133243P X ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()111051339D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭所以A 错误，B 正确，对于C ，由题意可知一天至少遇到一次红灯的概率为， ()112111333p p ⎛⎫---=+ ⎪⎝⎭则小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率为， 32351212C 13333p p ⎛⎫⎛⎫+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，， 25p =323233551212122122216C 1C 13333335335625p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=+⨯--⨯= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以C 正确，对于D ，记为周一到周五这五天在乙路口遇到红灯的个数，则，， ξ()5,B p ξ~Y X ξ=+所以， ()()()()1553E Y E X E X E p ξξ=+=+=⨯+当时，，所以D 错误， 25p =()121155353E Y =⨯+⨯=故选：BC三、填空题（共20分）13. 圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程为______. 2x =-20x +-=(-【答案】 ()2224x y ++=【解析】【分析】设圆心为，记点为，由已知直线与直线垂直，由此可()2,C t -(-A AC 20x -=求，再求可得圆的半径，由此可得圆的方程. t AC【详解】记圆心为点，点为点，C (-A 因为圆心在直线上，故可设圆心的坐标为， C 2x =-C ()2,t -因为圆与直线相切于点， C 20x -=(A -所以直线与直线垂直， CA 20x +-=直线的斜率为 CA 20x +-=， 1⎛=- ⎝所以，0=t 所以圆心为， ()2,0C -圆的半径为，2CA r ===所以圆的方程为. ()2224x y ++=故答案为：.()2224x y ++=14. 已知随机变量,且，若,则的最小()21N ξσ ，()()0P P a ξξ≤=≥()00x y a x y +=>>，12x y+值为_________．【答案】 32+【解析】【分析】先根据正态曲线的对称性可求，结合基本不等式可求答案. 2a =【详解】，可得正态分布曲线的对称轴为，()21,N ξσ1x =又，，即． ()()0P P a ξξ≤=≥12a∴=2a =则()(121121213332222y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当，即时，等号成立.y=2,4x y ==-故答案为：. 32+15. 已知数列是等差数列，并且，，若将，，，去掉一项后，剩{}n a 1476a a a ++=60a =2a 3a 4a 5a 下三项依次为等比数列的前三项，则为__________． {}n b 4b 【答案】## 120.5【解析】【分析】先求得，进而求得，，，，根据等比数列的知识求得. n a 2a 3a 4a 5a 4b 【详解】设等差数列的公差为，{}n a d 依题意，则，147660a a a a ++=⎧⎨=⎩1139650a d a d +=⎧⎨+=⎩解得，所以，151a d =⎧⎨=-⎩6n a n =-+所以， 23454,3,2,1a a a a ====通过观察可知，去掉后，3a 成等比数列，2454,2,1a a a ===所以等比数列的首项为，公比为，{}n b 412所以.3411422b ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭故答案为：1216. 设奇函数在上为单调递减函数，且，则不等式的解集()f x (0,)+∞()20f =3()2()05f x f x x--≤为___________【答案】 [)(]2,00,2-U 【解析】【分析】分析函数的奇偶性、单调性和取值范围，即可得到不等式的解集. 【详解】由题意，，x ∈R 在中，为奇函数且在上单调递减，()y f x =()f x ()0,∞+()20f =∴，，函数在和上单调递减，()()f x f x =--()()220f f -==(),0∞-()0,∞+∴当和时，；当和时，. (),2-∞-()0,2()0f x >()2,0-()2,+∞()0f x >∵，3()2()05f x f x x--≤∴，即，3()2()3()2()()055f x f x f x f x f x x x x ----==-≤()0f x x≥当时，解得：；当时，解得：， 0x <20x -≤<0x >02x <≤∴不等式解集为：，3()2()05f x fx x--≤[)(]2,00,2-U 故答案为：.[)(]2,00,2-U 四、解答题（共70分）17. 已知向量，，且函数.()cos ,1m x =)2,cos n x x =()f x m n =⋅（1）求函数的单调增区间；()f x （2）若中，分别为角对的边，，求的取值范围. ABC ,,a b c ,,A B C ()2cos cos -=a c B b C π26A f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】（1）πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2） 30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由题知，再根据三角函数性质求解即可； ()1sin 262πf x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）由正弦定理边角互化，结合恒等变换得，进而得，，再根据三角函数1cos 2B =π3B =2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的性质求解即可. 【小问1详解】因为向量，，且函数()cos ,1m x =)2,cos n x x =()f x m n =⋅所以 ()211π1cos cos cos2sin 22262f x m n x x x x x x ⎛⎫=⋅=+=++=++ ⎪⎝⎭ 令，解得， πππ2π22π262k x k -+≤+≤+ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈所以，函数的单调增区间为.()f x πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【小问2详解】因为，()2cos cos -=a c B b C由正弦定理可得：， 2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=即，2sin cos sin cos sin cos A B C B B C =+因为， ()sin cos sin cos sin sin C B B C B C A +=+=所以，2sin cos sin A B A =因为，所以， ()0,π,sin 0A A ∈≠1cos 2B =因为，所以，所以， ()0,πB ∈π3B =2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以， πππ11sin cos 263622A f A A ⎛⎫⎛⎫+=+++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以；π13cos 0,2622A f A ⎛⎫⎛⎫+=+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，的取值范围为.π26A f ⎛⎫+⎪⎝⎭30,2⎛⎫⎪⎝⎭18. 已知正项数列中，．{}n a 2113,223(2)n n n a S S a n -=+=-≥（1）求的通项公式； {}n a （2）若，求的前n 项和． 2nn na b ={}n b n T 【答案】（1） 21n a n =+（2） 2552n nn T +=-【解析】【分析】（1）根据计算即可得解；11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（2）利用错位相减法求解即可.【小问1详解】当时，，2n =2212212222324212,0S S a a a a a +=-=+=+>解得，25a =由当时，， 2n ≥21223n n n S S a -+=-得当时，，3n ≥2121223n n n S S a ---+=-两式相减得，即，()22112n n n n a a a a --+=-()()()1112n n n n n n a a a a a a ---++-=又，所以，0n a >()123n n a a n --=≥又适合上式，212a a -=所以数列是以为首项，为公差的等差数列， {}n a 32所以； 21n a n =+【小问2详解】， 2122n n n n a n b +==则， 1223521222n n n n T b b b +=+++=+++ ， 231135212122222n n n n n T +-+=++++ 两式相减得 2311322221222222n n n n T ++=++++- 211111121122222n n n -++⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭111121212212n n n +-+=+--， 152522n n ++=-所以. 2552n nn T +=-19. 如图，在四棱锥中，侧面底面，，底面是平行四边形，S ABCD -SCD ⊥ABCD SC SD =ABCD ，，，分别为线段的中点. π3BAD ∠=2AB =1AD =,MN ,CD AB（1）证明：平面；BD ⊥SMN （2）若直线与平面所成角的大小为，求二面角的余弦值. SA ABCD π6C SBD --【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用勾股定理、面面垂直和线面垂直的性质可证得，，由线面垂直BD MN ⊥SM BD ⊥的判定可证得结论；（2）根据线面角的定义可知，设，取中点，根据垂直关系可以为π6SAM ∠=MN BD O = SN F O 坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果. 【小问1详解】，，，， 2AB = 1AD =π3BAD ∠=2222cos 3BD AB AD AB AD BAD ∴=+-⋅∠=即，，，BD =222AD BD AB ∴+=AD BD ∴⊥分别为中点，四边形为平行四边形，，；,M N ,CD AB ABCD //MN AD ∴BD MN ∴⊥，为中点，，SC SD = M CD SM CD ∴⊥平面平面，平面平面，平面，SCD ⊥ABCD SCD ABCD CD =SM ⊂SCD 平面，又平面，；SM ∴⊥ABCD BD ⊂ABCD SM BD ∴⊥，平面，平面.SM MN M = ,SM MN ⊂SMN BD ∴⊥SMN 【小问2详解】 连接，AM 由（1）知：平面，则与平面所成角为，即， SM ⊥ABCD SA ABCD SAM ∠π6SAM ∠=在中，，， ADM △1AD DM ==2ππ3ADC BAD ∠=-∠=，解得：2222cos 3AM AD DM AD DM ADC ∴=+-⋅∠=AM =，； 2πcos 6AMSA ∴==πtan 16SM AM ==设，取中点，连接，MN BD O = SN F OF 分别为中点，，又平面，,O F ,MN SN //OF SM ∴SM ⊥ABCD 平面，又，OF ∴⊥ABCD MN BD ⊥则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，O ,,OM OB OF,,x y z则，，，，C ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,0,12S ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭0,D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，112SB ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭()1,0,0CB =()DB = 设平面的法向量，SBC (),,n x y z =则，令，解得：，，；1020SB n x y z CB n x ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅==⎩2y =0x=z=(0,n ∴= 设平面的法向量，SBD (),,m a b c =则，令，解得：，，；1020SB m a c DB m ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅==⎩2a =0b =1c =()2,0,1m ∴= ，cos m n m n m n⋅∴<⋅>===⋅ 二面角为钝二面角，二面角的余弦值为C SBD --∴C SB D --20. 2023年1月26日，世界乒乓球职业大联盟（WTT ）支线赛多哈站结束，中国队包揽了五个单项冠军，乒乓球单打规则是首先由发球员发球2次，再由接发球员发球2次，两者交替，胜者得1分．在一局比赛中，先得11分的一方为胜方（胜方至少比对方多2分），10平后，先多得2分的一方为胜方，甲、乙两位同学进行乒乓球单打比赛，甲在一次发球中，得1分的概率为，乙在一次发球中，得1分35的概率为，如果在一局比赛中，由乙队员先发球．12（1）甲、乙的比分暂时为8：8，求最终甲以11：9赢得比赛的概率； （2）求发球3次后，甲的累计得分的分布列及数学期望． 【答案】（1）625（2）分布列见详解， 85【解析】【分析】（1）根据题意可得甲以11：9赢得比赛，则甲再得到3分，乙得到1分，且甲得到最后一分，再根据独立事件的乘法公式求概率即可；（2）根据题意可得X 的可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率列出分布列，再求其数学期望即可． 【小问1详解】甲以11：9赢得比赛，共计20次发球，在后4次发球中，需甲在最后一次获胜，最终甲以11：9赢得比赛的概率为：． 22212131236C 2525525P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【小问2详解】设甲累计得分为随机变量X ，X 的可能取值为0，1，2，3．，()212102510P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， ()2212121371C 252520P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2212131222C 25255P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()213332520P X ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭∴随机变量X 的分布列为： X 0123P110 720 25 320∴． ()17238012310205205E X =⨯+⨯+⨯+⨯=21. 已知某种商品的价格（单位：元）和需求量（单位：件）之间存在线性关系，下表是试营业期间记录的数据（对应的需求量因污损缺失）： 24x =价格x16 17 18 192024需求量y 5549424036经计算得，，，由前组数据计算出的关于的线性回归5211630i ix==∑52110086ii y ==∑513949i i i x y ==∑5y x 方程为. 4710y x a=-+（1）估计对应的需求量y （结果保留整数）；24x =（2）若对应的需求量恰为（1）中的估计值，求组数据的相关系数（结果保留三位小数）.24x =6r 附：相关系数. r ==328.8769≈【答案】（1）16（2） 0.575-【解析】【分析】（1）计算前五组数据价格、需求量，，代入回归直线方程求出值，再代入18x =2225y =a 即可；24x =（2）求出六组数据价格、需求量的平均值，，以及与相关系数有关的数值，代入计算即可. x 'y '【小问1详解】记前五组数据价格、需求量的平均值分别为，，x y 由题设知，. 511185i i x x ===∑51122255i i y y ===∑因为回归直线经过样本中心，所以，解得. (),x y 2224718510a =-⨯+129a =即， 4712910x y -+=所以时对应的需求量（件）. 24x =47241291610y =-⨯+≈【小问2详解】设六组数据价格、需求量的平均值分别为，，则，，x 'y '611196i i x x ===∑61111963i i y y ===∑，，.6212206ii x==∑62110342i i y ==∑514333i i i xy ==∑所以相关系数. 0.575r ==≈-22. 已知点，经过轴右侧一动点作轴的垂线，垂足为，且.记动点的(1,0)F y A y M ||||1AF AM -=A 轨迹为曲线.C （1）求曲线的方程；C （2）设经过点的直线与曲线相交于，两点，经过点，且为常数）的直(1,0)B -C P Q (1,)((0,2)D t t ∈t 线与曲线的另一个交点为，求证：直线恒过定点. PD C N QN 【答案】（1）()240y x x =>（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）设，根据距离公式得到方程，整理即可；()(),0A x y x >（2）设、、，表示出直线的方程，由点在直线上，代()11,P x y ()22,Q x y ()33,N x y PQ ()1,0B -PQ 入可得，同理可得，再表示出直线，代入可得124y y =()13231y y ty y y ++=QN ，即可得到直线过定点坐标.()()()131441y y ty y x +-=-QN 【小问1详解】解：设，则， ()(),0A x y x >()0,M y 因为，||||1AF AM -=又，整理得.0x >1x =+()240y x x =>【小问2详解】证明：设、、，()11,P x y ()22,Q x y ()33,N x y 所以， 121222121212444PQ y y y y k y y x x y y --===-+-所以直线的方程为，PQ ()11124y y x x y y -=-+因为点在直线上，()1,0B -PQ 所以，即，解得①， ()111241y x y y -=--+21112414y y y y ⎛⎫-=-- ⎪+⎝⎭124y y =同理可得直线的方程为，PN ()11134y y x x y y -=-+又在直线上，所以，易得， ()1,D t PN ()111341t y x y y -=-+1y t ≠解得②，()13231y y ty y y ++=所以直线的方程为，即③，QN ()22234y y x x y y -=-+()23234y y y x y y +=+将②式代入③式化简得，又， ()1311234y y ty y x y y y +=+124y y =即， ()131344y y ty y x y +=+即， ()()()131441y y ty y x +-=-所以直线恒过定点.QN 41,t ⎛⎫ ⎪⎝⎭。
陕西高二高中数学月考试卷带答案解析
陕西高二高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.数列的一个通项公式是（）A．B．C．D．2.在中，，那么三边之比∶∶等于（）A．1∶2∶3B．3∶2∶1C．1∶∶2D．2∶∶13.从甲处望乙处的仰角为，从乙处望甲处的俯角为，则与的关系为A．B．C．D．4.在中，，则（）A．B．C．D．等于（）5.在等差数列中，已知，则S21A．100B．105C．200D．06.在等比数列中，，则公比为（）A．1B．1或－1C．或D．2或－2 7.在中，若，则的外接圆半径为（）A．B．C．D．8.在中，已知，则的形状是（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．直角三角形9.在中，已知角B=300，AB=，AC=2．则的面积为（）A．B．或C．D．或10.在数列中，且满足．则（）A．B．10C．D．2011.边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为（）A．90°B．120°C．135°D．150°二、填空题1.设一个等差数列，由三个数组成，三个数之和为9 ，三个数的平方和为35，则公差= ．2.已知数列的前n项和，求数列的通项公式．3.海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成600的视角，从B岛望C岛和A岛成300的视角，则B、C间的距离是___________________海里．4.在△ABC中，若，，则．5.已知数列中，，则数列通项公式=______________．三、解答题1.已知等差数列满足，，求数列的前项和2.如图，在塔底B测得山顶C的仰角为600，在山顶C测得塔顶A的俯角为450，已知塔高为AB=20m，求山高CD．3.在中，分别是角A、B、C的对边，且（1）求角B的大小；（2）若，求的面积．4.设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，．（1）求数列、的通项公式；（2）求数列的前n项和陕西高二高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.数列的一个通项公式是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】,所以数列各项被开方数为等差数列，公差为3，因此通项公式为【考点】数列通项公式2.在中，，那么三边之比∶∶等于（）A．1∶2∶3B．3∶2∶1C．1∶∶2D．2∶∶1【答案】C【解析】【考点】正弦定理解三角形3.从甲处望乙处的仰角为，从乙处望甲处的俯角为，则与的关系为A．B．C．D．【答案】B【解析】从点A看点B的仰角与从点B看点A的俯角互为内错角，大小相等．仰角和俯角都是水平线与视线的夹角，故【考点】仰角、俯角的概念4.在中，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【考点】余弦定理解三角形等于（）5.在等差数列中，已知，则S21A．100B．105C．200D．0【答案】B【解析】由等差数列性质可知【考点】6.在等比数列中，，则公比为（）A．1B．1或－1C．或D．2或－2【答案】B【解析】【考点】等比数列通项公式7.在中，若，则的外接圆半径为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由得，外接圆半径为【考点】正弦定理解三角形8.在中，已知，则的形状是（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．直角三角形【答案】C【解析】，三角形为等腰三角形【考点】三角函数基本公式9.在中，已知角B=300，AB=，AC=2．则的面积为（）A．B．或C．D．或【答案】B【解析】由正弦定理得或，所以或，由面积公式可知或【考点】正弦定理及三角形面积公式10.在数列中，且满足．则（）A．B．10C．D．20【答案】A【解析】由可知数列为等差数列，由可得【考点】等差数列11.边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为（）A．90°B．120°C．135°D．150°【答案】B【解析】长为7的边对应的角满足，，所以最大角与最小角之和为120°【考点】余弦定理解三角形二、填空题1.设一个等差数列，由三个数组成，三个数之和为9 ，三个数的平方和为35，则公差= ．【答案】【解析】设等差数列三个数为，解方程组得，所以公差为【考点】等差数列2.已知数列的前n项和，求数列的通项公式．【答案】【解析】当时，当时综上可知【考点】数列通项公式3.海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成600的视角，从B岛望C岛和A岛成300的视角，则B、C间的距离是___________________海里．【答案】【解析】依题意，作图如下：∵∠CAB=60°，∠ABC=30°，∴△ABC为直角三角形，∠C为直角，又|AB|=10海里，∴|BC|=|AB|sin60°=10×=海里，【考点】正弦定理的应用4.在△ABC中，若，，则．【答案】【解析】由余弦定理可得【考点】余弦定理5.已知数列中，，则数列通项公式=______________．【答案】【解析】为等比数列，公比为3，首项为，所以通项公式为【考点】构造法求数列通项公式三、解答题1.已知等差数列满足，，求数列的前项和【答案】【解析】将已知条件转化为用等差数列的首项和公差表示，通过解方程组求得基本量的值，从而求得数列的前项和试题解析：设的公差为，则即因此【考点】等差数列及求和2.如图，在塔底B测得山顶C的仰角为600，在山顶C测得塔顶A的俯角为450，已知塔高为AB=20m，求山高CD．【答案】【解析】先根据三角形内角和求得∠BAC，进而根据正弦定理求得BC，最后在Rt△BCD中，根据CD=BC•sin∠CBD求得答案试题解析：在中，AB=20，B=300，C=150，由正弦定理得：，在中，故山高m．【考点】解三角形的实际应用3.在中，分别是角A、B、C的对边，且（1）求角B的大小；（2）若，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】（1）变形已知式子代入结合角的范围可得；（2）由余弦定理可得，代入数据配方整体可得ac，代入面积公式可得试题解析：（1）由已知得（2）将代入中，得，【考点】余弦定理；正弦定理4.设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，．（1）求数列、的通项公式；（2）求数列的前n项和【答案】（1）（2）【解析】（Ⅰ）设的公差为d，的公比为q，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得d和q，进而可得、的通项公式．（Ⅱ）数列的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前n项和试题解析：：（Ⅰ）设的公差为d，的公比为q，则依题意有q＞0且解得d=2，q=2．所以（Ⅱ）①②①-②得则【考点】1．等差数列等比数列的通项公式；2．错位相减法数列的求和。
湖北云学名校联盟2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(解析版)
2024年湖北云学名校联盟高二年级10月联考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项考试时间：2024年10月15日15：00-17：00 时长：120分钟满分：150分是符合题目要求的．1. 已知i 为虚数单位，20253i 1i ++的虚部为（ ）A. i −B. iC. 1−D. 1【答案】C 【解析】【分析】根据复数乘方、乘法、除法运算法则结合复数的概念运算即可得出结果.【详解】根据复数的乘方可知()50620254i i i i =⋅=，则()()()()20253i 1i 3i 3i32i 12i 1i 1i1i 1i 2+−++−+====−+++−，其虚部为1−. 故选：C2. 已知一组数据：2，5，7，x ，10的平均数为6，则该组数据的第60百分位数为（ ） A. 7 B. 6.5C. 6D. 5.5【答案】B 【解析】【分析】先根据平均数求x 的值，然后将数据从小到大排列，根据百分位数的概念求值. 【详解】因为2571065x ++++=⇒6x =.所以数据为：2，5，6，7，10.又因为560%3×=，所以这组数据的第60百分位数为：676.52+=. 故选：B3. 直线1l ：20250ax y −+=，2l ：()3220a x ay a −+−=，若12l l ⊥，则实数a 的值为（ ） A 0 B. 1C. 0或1D.13或1 【答案】C.【分析】根据两直线垂直的公式12120A A B B +=求解即可. 【详解】因为1l ：20250ax y −+=，2l ：()3220a x ay a −+−=垂直， 所以()()3210a a a −+−=， 解得0a =或1a =，将0a =，1a =代入方程，均满足题意， 所以当0a =或1a =时，12l l ⊥. 故选：C .4. 为了测量河对岸一古树高度AB 的问题（如图），某同学选取与树底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，测得15BCD ∠=°，30BDC ∠=°，48m CD =，并在点C 处测得树顶A 的仰角为60°，则树高AB 约为（ ）1.4≈1.7≈）A. 100.8mB. 33.6mC. 81.6mD. 57.12m【答案】D 【解析】【分析】先在BCD △中，利用正弦定理求出BC ，再在Rt ABC △中求AB 即可.【详解】在BCD △中，15BCD ∠=°，30BDC ∠=°，所以135CBD ∠=°，又48CD =，由正弦定理得：sin sin CD CBCBD CDB=∠∠⇒12CB=⇒CB =在Rt ABC △中，tan 60AB BC =°=24 1.4 1.7≈××57.12=. 故选：D5. 如果直线ax ＋by ＝4与圆x 2＋y 2＝4有两个不同的交点，那么点P (a ，b )与圆的位置关系是( ) A. P 在圆外 B. P 在圆上D. P 与圆的位置关系不确定 【答案】A 【解析】224a b ∴+，所以点(),a b 在圆外考点：1．直线与圆的位置关系；2．点与圆的位置关系6. 在棱长为6的正四面体ABCD 中，点P 与Q 满足23AP AB = ，且2CD CQ =，则PQ 的值为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】以{},,AB AC AD 为基底，表示出PQ，利用空间向量的数量积求模.【详解】如图：以{},,AB AC AD 为基底，则6AB AC AD ===，60BAC BAD CAD ∠=∠=∠=°，所以66cos 6018AB AC AB AD AC AD ⋅=⋅=⋅=××°=.因为()1223PQ AQ AP AC AD AB =−=+− 211322AB AC AD =−++. 所以22211322PQ AB AC AD =−++222411221944332AB AC AD AB AC AB AD AC AD =++−⋅−⋅+⋅ 169912129=++−−+19=.所以PQ =.故选：D7. 下列命题中正确的是（ ）A. 221240z z +=，则120z z ==； B. 若点P 、Q 、R 、S 共面，点P 、Q 、R 、T 共面，则点P 、Q 、R 、S 、T 共面；C. 若()()1P A P B +=，则事件A 与事件B 是对立事件； D. 从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为310； 【答案】D 【解析】【分析】举反例说明ABC 不成立，根据古典概型的算法判断D 是正确的.【详解】对A ：若1i z =，22z =，则221240z z +=，但120z z ==不成立，故A 错误； 对B ：如图：四面体S PRT −中，Q 是棱PR 上一点，则点P 、Q 、R 、S 共面，点P 、Q 、R 、T 共面，但点P 、Q 、R 、S 、T 不共面，故B 错误； 对C ：掷1枚骰子，即事件A ：点数为奇数，事件B ：点数不大于3， 则()12P A =，()12P B =，()()1P A P B +=，但事件A 、B 不互斥，也不对立，故C 错误； 对D ：从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，有35C 10=种选法， 这三条线段能构成一个三角形的的选法有：{}3,5,7，{}3,7,9，{}5,7,9共3种， 所以条线段能构成一个三角形的的概率为：310P =，故D 正确. 故选：D8. 动点Q 在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D −侧面11BCC B 上，满足2QA QB =，则点Q 的轨迹长度为（ ）A. 2πB.4π3C.D.【解析】【分析】结合图形，计算出||BQ =，由点Q ∈平面11BCC B ，得出点Q 的轨迹为圆弧 EQF，利用弧长公式计算即得.【详解】如图，易得AB ⊥平面11BCC B ,因BQ ⊂平面11BCC B ，则AB BQ ⊥，不妨设||BQ r =，则||2AQ r =, ||3AB ==，解得r =又点Q ∈平面11BCC B ，故点Q 的轨迹为以点B EQF,故其长度为π2. 故选：D.二、选择题：本题共36分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ） A. 若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为1−；B. 已知()2,4A ，()1,1B ，若直线l ：20kx y k ++−=与线段AB 有公共点，则21,32k∈−； C. 过点()1,2，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程为10x y −+=；D. 若圆()2214x y −+=上恰有3个点到直线y x b =+的距离等于1，则1b =−±． 【答案】BD 【解析】【分析】根据直线是否存在斜率判断A 的真假；数形结合求k 的取值范围判断B 的真假；根据截距的概念判断真假；转化为点（圆心）到直线的距离求b 判断D 的真假.【详解】对A ：“若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为1−”成立的前提是两条直线的斜率都存若两条直线1条不存在斜率，另一条斜率为0，它们也垂直.故A 是错误的. 对B ：如图：对直线l ：20kx y k ++−=⇒()21y k x −=−+，表示过点()1,2P −，且斜率为k −的直线， 且()422213APk −==−−，()121112BP k −==−−−， 由直线l 与线段AB 有公共点，所以：203k ≤−≤或102k −≤−<，即203k −≤≤或102k <≤，进而得：2132k −≤≤.故B 正确； 对C ：过点()1,2，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程为10x y −+=或2y x =，故C 错误； 对D ：“圆()2214x y −+=上恰有3个点到直线y x b =+的距离等于1”可转化为“圆心(1,0)到直线y x b =+的距离等于1”.1⇒1b =−±.故D 正确.故选：BD10. 如图所示四面体OABC 中，4OB OC ==，3OA =，OB OC ⊥，且60AOB AOC ∠=∠=°，23CD CB =，G 为AD 的中点，点H 是线段OA 上动点，则下列说法正确的是（ ）A. ()13OG OA OB OC =++ ；B. 当H 是靠近A 的三等分点时，DH ，OC ，AB共面；C. 当56OH OA = 时，GH OA ⊥ ；D. DH OH ⋅的最小值为1−．【答案】BCD 【解析】【分析】以{},,OA OB OC为基底，表示出相关向量，可直接判断A 的真假，借助空间向量共面的判定方法可判断B 的真假，利用空间向量数量积的有关运算可判断CD 的真假.【详解】以{},,OA OB OC 为基底，则3OA = ，4OB OC == ，6OA OB OA OC ⋅=⋅= ,0OB OC ⋅=.对A ：因为23AD AC CD AC CB =+=+ ()23AC AB AC =+−2133AB AC +()()2133OB OA OC OA =−+−2133OA OB OC =−++ . 所以12OG OA AG OA AD =+=+ 121233OA OA OB OC =+−++111236OA OB OC =++ ，故A 错误；对B ：当H 是靠近A 的三等分点，即23OH OA =时，DH AH AD =− 121333OA OA OB OC =−−−++221333OA OB OC =−− ，又AB OB OA =−，所以13DH AB OC − .故DH ，AB ，OC 共面.故B 正确；对C ：因为HG OG OH OA AG OH =−=+− 1526OA AD OA =+−12152336OA OA OB OC OA =+−++− 111336OA OB OC =−++，所以：HG OA ⋅= 111336OA OB OC OA −++⋅ 2111336OA OB OA OC OA =−+⋅+⋅1119660336=−×+×+×=，所以HG OA ⊥ ，故GH OA ⊥，故C 正确；对D ：设OH OA λ=，()01λ≤≤.因为：DH OH OD =−()OA OA AD λ=−+ 2133OA OA OA OB OC λ =−−++2133OA OB OC λ=−− .所以DH OH ⋅ 2133OA OB OC OAλλ =−−⋅()2233OA OA OB OA OCλλλ−⋅−⋅296λλ−，()01λ≤≤.当13λ=时，DH OH ⋅ 有最小值，为：1196193×−×=−，故D 正确. 故选：BCD11. 已知()2,3P 是圆C ：22810410x y x y a +−−−+=内一点，其中0a >，经过点P 的动直线l 与C 交于A ，B 两点，若|AAAA |的最小值为4，则（ ） A. 12a =；B. 若|AAAA |=4，则直线l 的倾斜角为120°；C. 存在直线l 使得CA CB ⊥；D. 记PAC 与PBC △的面积分别为PAC S ，PBC S ，则PAC PBC S S ⋅△△的最大值为8． 【答案】ACD 【解析】【分析】根据点()2,3P 在圆内，列不等式，可求a 的取值范围，在根据弦|AAAA |的最小值为4求a 的值，判断A 的真假；明确圆的圆心和半径，根据1l CP k k ⋅=−，可求直线AB 的斜率，进而求直线AB 的倾斜角，判断B 的真假；利用圆心到直线的距离，确定弦长的取值范围，可判断C 的真假；由三角形面积公式和相交弦定理，可求PAC PBC S S ⋅△△的最大值，判断D 的真假. 【详解】对A ：由222382103410a +−×−×−+<⇒8a >. 此时圆C ：()()2245x y a −+−=.因为过P 点的弦|AAAA |的最小值为4，所以CP=又CP =⇒12a =.故A 正确；对B ：因为53142CP k −==−，1l CP k k ⋅=−，所以直线l 的斜率为1−，其倾斜角为135°，故B 错误； 对C ：当|AAAA |=4时，如图：sin ACP ∠==，cos ACP ∠==41cos 1033ACB ∠=−=>， 所以ACB ∠为锐角，又随着直线AB 斜率的变化，ACB ∠最大可以为平角， 所以存在直线l 使得CA CB ⊥.故C 正确； 对D ：如图：直线CP 与圆C 交于M 、N 两点，链接AM ，BN ，因为MAP BNP ∠=∠，APM NPB ∠=∠，所以APM NPB .所以AP MP NPBP=⇒(4AP BP MP NP ⋅=⋅=−+=.又1sin 2PACS PA PC APC APC =⋅⋅∠=∠ ，PBCS BPC =∠ ，且sin sin APC BPC ∠=∠.所以22sin PAC PBC S S PA PB APC⋅=⋅⋅∠ 28sin APC ∠8≤，当且仅当sin 1APC ∠=，即AB CP ⊥时取“=”.故D 正确. 故选：ACD【点睛】方法点睛：在求PAC PBC S S ⋅△△的最大值时，应该先结合三角形相似（或者蝴蝶定理）求出AP BP ⋅为定值，再结合三角形的面积公式求PAC PBC S S ⋅△△的最大值. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 实数x 、y 满足224x y +=，则()()2243x y −++的最大值是______． 【答案】49 【解析】【分析】根据()()2243x y −++几何意义为圆上的点(),x y 与()4,3−距离的平方，找出圆上的与()4,3−的最大值，再平方即可求解.【详解】解：由题意知：设(),p x y ，()4,3A −，则(),p x y 为圆224x y +=上的点， 圆224x y +=的圆心OO (0,0),半径2r =， 则()()2243x y −++表示圆上的点(),p x y 与()4,3A −距离的平方，又因为max 27PA AO r=+=+=, 所以22max749PA==； 故()()2243x y −++的最大值是49. 故答案为：49.13. 记ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()cos2cos a B c b A =−，其中π2B ≠，若ABC 的面积S =，2BE EC = ，且AE = ，则BC 的长为______．【解析】【分析】利用正弦定理对()cos 2cos a B c b A =−化简，可得π3A =，再由三角形面积公式求出8bc =，根据题意写出1233AE AB AC =+，等式两边平方后，可求出,b c 的值，由余弦定理2222cos a b c bc A =+−，求出BC 的长.【详解】()cos 2cos a B c b A =−,由正弦定理可得:sin cos 2sin cos sin cos A B C A B A =−，sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=， ()sin 2sin cos A B C A +=，()sin πC 2sin cos C A −=,sin 2sin cos (sin 0)C C A C >，即1cos 2A =,π3A =，1sin 2ABC S bc A == ,得8bc =， ∵2BE EC = ，∴1233AE AB AC =+ ，221233AE AB AC =+， 即2228144cos 3999c b bc A =++，由8bc =，解得42b c = = 或18b c = = ， 根据余弦定理2222cos a b c bc A =+−，当42b c = =时，a =，此时π2B =，不满足题意， 当18b c = =时，a =..14. 如图，已知四面体ABCD 的体积为9，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，G 、H 分别在CD 、AD 上，且G 、H 是靠近D 的三等分点，则多面体EFGHBD 的体积为______．【答案】72##3.5 【解析】 【分析】多面体EFGHBD 的体积为三棱锥G DEH −与四棱锥E BFGD −的体积之和，根据体积之比与底面积之比高之比的关系求解即可.【详解】连接ED ，EG ，因为H 为AAAA 上的靠近D 的三分点，所以13DH AD =， 因为E 为AAAA 的中点，所以点E 到AAAA 的距离为点B 到AAAA 的距离的一半， 所以16DEH BAD S S = ， 又G 为CCAA 上靠近D 的三分点，所以点G 到平面ABD 的距离为点C 到平面ABD 的距离的13， 所以111119663182G DEH G BAD C BAD V V V −−−==×=×=， 1233BCD FCG BCD BCD BCD BFGD S S S S S S =−=−= 四边形， 所以2211933323E BFGD E BCD A BCD V V V −−−==×=×=， 所以多面体EFGHBD 的体积为17322G DEH E BFGD V V −−+=+=. 故答案为：72. 【点睛】关键点点睛：将多面体转化为两个锥体的体积之和，通过体积之比与底面积之比高之比的关系求解.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在对某高中1500名高二年级学生的百米成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高二年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生成绩的平均数和方差分别为13.2秒和13.36，女生成绩的平均数和方差分别为15.2秒和17.56．（1）求抽取的总样本的平均数；（2）试估计高二年级全体学生的百米成绩的方差．【答案】（1）14 （2）16【解析】【分析】（1）先确定样本中男生、女生的人数，再求总样本的平均数.（2）根据方差的概念，计算总样本的方差.【小问1详解】 样本中男生的人数为：100900601500×=；女生的人数为：1006040−=. 所以总样本的平均数为：6013.24015.214100x ×+×=. 【小问2详解】记总样本的方差为2s ， 则()(){}22216013.3613.2144017.5615.214100s =×+−+×+− 16=. 所以，估计高二年级全体学生的百米成绩的方差为16.16. 在平面直角坐标系xOy 中，ABC 的顶点A 的坐标为()4,2−，ACB ∠的角平分线所在的直线方程为10x y −+=，AC 边上中线BM 所在的直线方程为220x y +−=． （1）求点C 的坐标；（2）求直线BC 的方程．【答案】（1）(3,4)C ；（2）72130x y −−=【解析】【分析】（1）设(,1)C m m +，则43(,)22m m M −+，代入220x y +−=，求解即可； （2）设直线BC 的方程为：340x ny n +−−=，在直线10x y −+=取点(0,1)P ，利用点P 到直线AC 的距离等于点P 到直线BC 的距离，求解即可.【小问1详解】解：由题意可知点C 在直线0x y −+=上， 所以设(,1)C m m +，所以AC 中点43(,)22m m M −+， 又因为点43(,)22m m M −+在直线220x y +−=上， 所以34202m m +−+−=，解得3m =， 所以(3,4)C ；【小问2详解】解：因为(3,4)C ，设直线BC 的方程为：340x ny n +−−=， 又因为(4,2)A −，所以直线AC 的方程为：27220x y −+=， .又因为ACB ∠的角平分线所在的直线方程为10x y −+=， 在直线10x y −+=取点(0,1)P ，则点P 到直线AC 的距离等于点P 到直线BC 的距离，=，整理得21453140n n ++=， 解得：72n =−或27n =−， 当72n =−时，所求方程即为直线AC 的方程， 所以27n =−， 所以直线BC 的方程为： 72130x y −−=. 17. 直三棱柱111ABC A B C −中，12AB AC AA ===，其中,,E F D 分别为棱111,,BC B A B C 的中点，已知11AF A C ⊥，（1）求证：AF DE ⊥；（2）设平面EFD 与平面ABC 的交线为直线m ，求直线AC 与直线m 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）取AB 的中点G ，连接1,EG A G 证得四边形ADEG 为平行四边形，得到1//DE A G ，利用1A AG ABF ≌，证得90AHG ∠= ，得到1AF A G ⊥，即可证得AF DE ⊥；（2）根据题意，证得11A C ⊥平面11ABB A ，得到1111A C A B ⊥，以A 为原点，建立空间直角坐标系，求得(0,2,0)AC = ，再取AC 的中点M ，延长,MB DF 交于点N ，得到直线AC 与直线m 所成角，即为直线AC 与直线EN 所成角，求得(4,1,0)N −，得到(3,2,0)EN =− ，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：取AB 的中点G ，连接1,EG A G ，因为E 的中点，可得//EG AC ，且12EG AC =， 又因为1//A D AC ，且112A D AC =，所以1//EG A D ，且1EG A D =， 所以四边形ADEG 平行四边形，所以1//DE A G ，在正方形11ABB A 中，可得1A AG ABF ≌，所以1A GA AFB ∠=∠， 因为90AFB AFB ∠+∠= ，所以190AFB A GA ∠+∠= ，AGH 中，可得90AHG ∠= ，所以1AF A G ⊥，又因为1//DE A G ，所以AF DE ⊥.【小问2详解】解：在直三棱柱111ABC A B C −中，可得1AA ⊥平面111A B C ，因为11AC ⊂平面111AB C ，所以111AA A C ⊥， 又因为11AF A C ⊥，且1AA AF A ∩=，1,AA AF ⊂平面11ABB A ，所以11A C ⊥平面11ABB A ， 因为11A B ⊂平面11ABB A ，所以1111A C A B ⊥，即直三棱柱111ABC A B C −的底面为等腰直角三角形，以A 为原点，以1,,AB AC AA 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为12AB AC AA ===，可得(0,0,0),(0,2,0)A C ，则(0,2,0)AC =， 为在取AC 的中点M ，连接,MB DM ，可得1//DM CC 且1DM CC =，因为11//BB DD 且11BB DD =，所以//BF DM ，且12BF DM =， 延长,MB DF 交于点N ，可得B 为MN 的中点，连接EN ，可得EN 即为平面DEF 与平面ABC 的交线，所以直线AC 与直线m 所成角，即为直线AC 与直线EN 所成角，又由(0,1,0),(2,0,0),(1,1,0)M B E ， 设(,,)N x y z ，可得MB BN =，即(2,1,0)(2,,)x y z −=−， 可得4,1,0x y z ==−=，所以(4,1,0)N −，可得(3,2,0)EN =− ，设直线EN 与直线AC 所成角为θ，可得cos cos ,AC EN AC EN AC EN θ⋅=== 即直线AC 与直线m18. 已知圆C ：22430x y y +−+=，过直线l ：12y x =上的动点M 作圆C 的切线，切点分别为P ，Q ．（1）当π3PMQ ∠=时，求出点M 的坐标； （2）经过M ，P ，C 三点的圆是否过定点？若是，求出所有定点的坐标；（3）求线段PQ 的中点N 的轨迹方程．【答案】（1）(0,0)或84(,)55（2）过定点(0,2)或42(,)55（3）22173042x y x y +−−+= 【解析】【分析】（1）点M 在直线l 上，设(2,)M m m ，由对称性可知30CMP ∠= ，可得2MC =，从而可得点M 坐标．（2）MC 的中点,12m Q m+，因为MP 是圆P 的切线，进而可知经过C ，P ，M 三点的圆是以Q 为圆心，以MC 为半径的圆，进而得到该圆的方程，根据其方程是关于m 的恒等式，进而可求得x 和y ，得到结果；（3）结合（2）将两圆方程相减可得直线PQ 的方程，且得直线PQ 过定点13,42R，由几何性质得MN RN ⊥，即点N 在以MR 为直径的圆上，进而可得结果.【小问1详解】（1）直线l 的方程为20x y −=，点M 在直线l 上，设(2,)M m m ， 因为π3PMQ ∠=，由对称性可得：由对称性可知30CMP ∠= ，由题1CP =所以2MC =，所以22(2)(2)4+−=m m ， 解之得：40,5==m m 故所求点M 的坐标为(0,0)或84(,)55． 【小问2详解】 设(2,)M m m ，则MC 的中点(,1)2m E m +，因为MP 是圆C 的切线， 所以经过,,C P M 三点的圆是以Q 为圆心，以ME 为半径的圆，故圆E 方程为：2222()(1)(1)22m m x m y m −+−−=+−化简得：222(22)0x y y m x y +−−+−=，此式是关于m 的恒等式，故2220,{220,x y y x y +−=+−=解得02x y = = 或4525x y = = , 所以经过,,C P M 三点的圆必过定点(0,2)或42(,)55．【小问3详解】 由()22222220,430x y mx m y m x y y +−−++= +−+=可得PQ ：()22320mx m y m +−+−=，即()22230m x y y +−−+=， 由220,230x y y +−= −=可得PQ 过定点13,42R . 因为N 为圆E 的弦PQ 的中点，所以MN PQ ⊥，即MN RN ⊥，故点N 在以MR 为直径的圆上，点N 的轨迹方程为22173042x y x y +−−+=. 19. 四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为等腰梯形，224AB BC CD ===，侧面PAD 为正三角形；（1）当BD PD ⊥时，线段PB 上是否存在一点Q ，使得直线AQ 与平面ABCD所成角的正弦值为若存在，求出PQ QB 的值；若不存在，请说明理由． （2）当PD 与平面BCD 所成角最大时，求三棱锥P BCD −的外接球的体积．【答案】（1）存在；1.（2【解析】【分析】（1）先证平面PAD ⊥平面ABCD ，可得线面垂直，根据垂直，可建立空间直角坐标系，用空间向量，结合线面角的求法确定点Q 的位置.（2）根据PD 与平面BCD 所成角最大，确定平面PAD ⊥平面ABCD ，利用（1）中的图形，设三棱锥P BCD −的外接球的球心，利用空间两点的距离公式求球心和半径即可.【小问1详解】因为底面ABCD 为等腰梯形，224AB BC CD ===，所以60BAD ∠=°，120BCD ∠=°，30CBD ABD ∠=∠=°，所以90ADB ∠=°. 所以BD AD ⊥，又BD PD ⊥，,AD PD ⊂平面PAD ，且AD PD D = ，所以BD ⊥平面PAD .又BD ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD .取AD 中点O ，因为PAD △是等边三角形，所以PO AD ⊥，平面PAD ∩平面ABCD AD =，所以⊥PO 平面ABCD .再取AB 中点E ，连接OE ，则//OE BD ，所以OE AD ⊥.所以可以O 为原点，建立如图空间直角坐标系.则()0,0,0O ，()1,0,0A ，()1,0,0D −，()E ，()1,B −，(P ，()C −.(1,PB =−− .设PQ PB λ= ，可得)()1Q λλ−−所以)()1,1AQ λλ=−−− ，取平面ABCD 的法向量()0,0,1n = .因为AQ 与平面ABCD ，所以AQ nAQ n ⋅⋅ ，解得12λ=或5λ=（舍去）. 所以：线段PB 上存在一点Q ，使得直线AQ 与平面ABCD ，此时1PQ QB =. 【小问2详解】当平面PAD ⊥平面ABCD 时, PD 与平面BCD 所成角为PDA ∠.当平面PAD 与平面ABCD 不垂直时，过P 做PH ⊥平面ABCD ，连接HD ，则PDH ∠为PD 与平面BCD 所成角，因为PH PO <，sin PH PDH PD ∠=，sin PO PDA PD∠=，s s n i i n PDA PDH ∠∠<，所以A PDH PD ∠∠<. 故当平面PAD ⊥平面ABCD 时，PD 与平面BCD 所成角最大.此时，设棱锥P BCD −的外接球球心为(),,G x y z ，GP GB GC GD R====,所以(()(()(()2222222222222222121x y z R x y z R x y z R x y z R ++= ++−+= ++−+=+++=，解得20133x y z R = = = = 所以三棱锥P BCD −的外接球的体积为：34π3V R ==. 【点睛】方法点睛：在空间直角坐标系中，求一个几何体的外接球球心，可以利用空间两点的距离公式，根据球心到各顶点的距离相等列方程求解..。
高二10月月考(数学)试题含答案
高二10月月考（数学）（考试总分：150 分）一、 单选题 （本题共计12小题，总分60分）1.（5分）1．已知向量()2,a m =，()3,6b =，若a b ⊥，则实数m 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．4D ．4-2.（5分）2．如图，一个水平放置的图形的直观图是一个等腰直角三角形OAB ，斜边长1OB =，那么原平面图形的面积是（ ）A ．2BCD ．123.（5分）3．下列命题中正确的个数是（ ）①四边形是平面图形；①四条线段顺次首尾相连，它们可能确定4个平面； ①若直线//a b ，直线b α⊂，则//a α；①如果直线l 不垂直于平面α，则α内就没有直线与l 垂直. A ．0B ．1C ．2D ．34.（5分）4．已知直线1:10l kx y -+=与2:(4)10l kx k y +-+=平行，则k 的值是（ ） A ．5B ．0或5C ．0D ．0或15.（5分）5．已知角a 的终边过点()3,4-，则sin 2a 的值为（ ）A ．725B ．2425C ．725-D ．2425-6.（5分）6．若a ，b ，c ，m ，n 为空间直线，α，β为平面，则下列说法错误的是（ ）A ．//a b ，b c ⊥，则a c ⊥B ．m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥C ．m α⊥，n β⊥，//αβ，则//m nD ．a ，b 是异面直线，则a ，b 在α内的射影为两条相交直线7.（5分）7．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别为1,BC CC 的中点，则点C 到平面AEF 的距离为（ ）A B C ．34 D ．238.（5分）8．过正方形ABCD 的顶点A 作线段PA ⊥平面ABCD ，若AB PA =，则平面ABP 与平面CDP 夹角的余弦值为（ ）A ．13B C D 9.（5分）9．ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量(),p a c b =+，(),q b a c a =--．若//p q ，则角C 的大小为（ ）A ．6πB ．3πC ．2π D ．23π10.（5分）10．在直三棱柱111ABC A B C -中，若ABC 为等边三角形，且1BB ，则1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）A ．38B ．14C D ．5811.（5分）11．已知函数()222,0,2,0,x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩若ƒ(-a )+ƒ(a )≤2ƒ(1)，则实数a 的取值范围是 A ．[-1，0)B ．[0，1]C ．[-1,1]D ．[-2,2]12.（5分）12．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -满足12AB AA =，点E 在线段1DD 上移动，F 点在线段1BB 上移动，并且满足1DE FB =.则下列结论中正确的是（ ）A ．直线1AC 与直线EF 可能异面B ．直线EF 与直线AC 所成角随着E 点位置的变化而变化 C ．三角形AEF 可能是钝角三角形D ．四棱锥A CEF -的体积保持不变二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）13.（5分）13．在等差数列{}n a 中，8100S =，16392S =，求24S =____________ 14.（5分）14．已知直线50x -=，则其倾斜角为____________．15.（5分）15．在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是棱AA 1的中点，过C ，M ，D 1作正方体的截面，则截面的面积是________.16.（5分）16．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点E ，F ，G 分别为棱AB ，AA 1，C 1D 1的中点，则下列结论中，正确结论的序号是_______________(把所有正确结论序号都填上).①过E ，F ，G 三点作正方体的截面，所得截面为正六边形；①B 1D 1//平面EFG ；①四面体ACB 1D 1的体积等于12a 3；①BD 1①平面ACB 1；①二面角D 1－AC －D 平面角的正切值为.三、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）17.（10分）17．（本小题10分）（1）以(1,1)A ，(3,2)B ，(5,4)C 为顶点的ABC ，求边AB 上的高所在的直线方程（2）若点P 在直线350x y +-=上，且P 到直线10x y --=P 的坐标18.（12分）18．（本小题12分）在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为2的菱形，60DAB ∠=︒，对角线AC 与BD 相交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成的角为60度．（1）求四棱锥P ABCD -的体积；（2）若E 是PB 的中点，求异面直线DE 与PA 所成角的余弦值.19.（12分）19．（本小题12分）已知公差不为0的等差数列{}n a 满足11a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列.（①）求数列{}n a 的通项公式；（①）若12n n b -=，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .20.（12分）20．（本小题12分）如图，边长为2的正方形ACDE 所在平面与平面ABC垂直，AD 与CE 的交点为M ，AC BC ⊥，且AC BC =，（1）求证：AM ⊥平面EBC ；（2）求直线AD 与平面ABE 所成线面角．21.（12分）21．（本小题12分）如图，在四边形ABCD 中，π3DAB ∠=，:2:3AD AB =，BD =AB BC ⊥．（1）求sin ABD ∠的值； （2）若2π3BCD ∠=，求CD 的长．22.（12分）22．（本小题12分）如图，已知矩形ABCD 中，10AB =，6BC =，将矩形沿对角线BD 把ABD △折起，使A 移到1A 点，且1A 在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上．（1）求证：1BC A D ⊥；（2）求证：平面1A BC ⊥平面1A BD ； （3）求二面角1A BD C --所成角的余弦值．答案一、 单选题 （本题共计12小题，总分60分） 1.（5分）B 2.（5分）B 3.（5分）B 4.（5分）C5.（5分）D/6.（5分）D7.（5分）D8.（5分）B9.（5分）B10.（5分）D/11.（5分）C12.（5分）D二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）13.（5分） 13．87614.（5分） 14．56π15.（5分） 15．9216.（5分） 16．①④三、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）17.（10分） 17．解：（1）2140x y +-=. （2）(1,2)P 或(2,1)-． 18.（12分）18.解：（1）因为PO ⊥平面ABCD ，OB ⊂平面ABCD ，所以PBO ∠是PB 与平面ABCD 所成的角，60PBO ∠=︒，PO OB ⊥，在直角三角形AOB 中，sin301OB AB =︒=，因为PO OB ⊥，所以tan 60PO OB =︒=ABCD 的面积为所以四棱锥P ABCD -的体积为123⨯，（2）取AB 的中点F ，连接，,EF DF 因为E 是PB 的中点，所以EF ∥PA ， 所以FED ∠是异面直线DE 与PA 所成的角（或它的补角），在直角三角形AOB中，cos30AO AB OP =︒=，所以在等腰直角三角形APO中，PA =EF =, 在等边三角形ABD 和等边三角形PBD 中,DE DF ==12cos EFFED DE ∠===所以异面直线DE 与PA所成角的余弦值为4，19．19.（12分）解：（①）设等差数列{}n a 的公差为()d d ≠0，由1a ，2a，5a 成等比数列，可得2215a a a =⋅，即()()21114d d +=⨯+，解得2d =或0d =（舍），所以数列{}n a 的通项公式21n a n =-. （①）由（①）得()1212n n n a b n -⋅=-⨯所以()0121123252212n nT n -=⨯+⨯+⨯++-⨯，可得()()12121232232212n n nT n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯，两式相减得()01212222222212n n nT n --=+⨯+⨯++⨯--⨯()()()()1212122121422212332212n n n n n n n n -⨯-=+⨯--⨯=-+⨯--⨯=-+-⨯-所以()3232n nT n =+-⨯.20.（12分）20.（1）证明：由ACDE 是正方形，则AM EC ⊥，面ACDE ⊥面ABC ，面ACDE面ABC AC =，AC BC ⊥，BC ⊂面ABC ，BC ∴⊥平面ACDE ，又AM ⊂平面ACDE ，AM BC ∴⊥，而EC BC C =，AM ∴⊥平面EBC ．（2）过C 作CFAB ⊥于F ，而ACDE 是正方形，即AE AC ⊥，面ACDE ⊥面ABC ，面ACDE 面ABC AC =，AE ⊂面ACDE ，∴AE ⊥面ABC ，CF ⊂面ACE ，则AE CF ⊥，又AEAB A =，∴CF ⊥面ABE ，即C 到面ABE的距离为CF =//CD AE ，易知//CD 面ABE ，∴D 到面ABE的距离h CF ==设直线AD 与平面ABE 所成线面角θ，故1sin 2h AD θ===， ∴直线AD 与平面ABE 所成线面角为6π． 21.（12分）21．解：（1）因为:2:3AD BD =， 所以可设2AD k =，3AB k =，0k>．又BD =π3DAB ∠=，所以由余弦定理，得()()222π32232cos3k k k k =+-⨯⨯，解得1k =, 所以2AD =，3AB =，2sin sin AD DABABD BD∠∠===．（2）因为AB BC ⊥，所以cos sin DBC ABD ∠=∠=所以sin DBC ∠=sin sin BD CD BCD DBC =∠∠，所以CD ==22.（12分）（文）22．（1）证明：平面ABCD ⊥平面ADEF ，90ADE ∠=︒， DE ∴⊥平面ABCD ，DE AC ∴⊥．ABCD 是正方形，AC BD ∴⊥，因为,BD DE ⊂平面BDE ,BD DE D ⋂=,AC ∴⊥平面BDE .（2）证明：设AC BD O =，取BE 中点G ，连接FG ，OG ，OG 为BDE 的中位线1//2OG DE ∴//AF DE ，2DE AF =，//AF OG ∴，∴四边形AFGO 是平行四边形，//FG AO ∴．FG ⊂平面BEF ，AO ⊂/平面BEF ，//AO ∴平面BEF ，即//AC 平面BEF ．3（）平面ABCD ⊥平面ADEF ，AB AD ⊥，AB ∴⊥平面.ADEF 因为//9022AF DE ADE DE DA AF ∠=︒===，，，DEF ∴的面积为122DEFSED AD =⨯⨯=，∴四面体BDEF 的体积1433DEFV S AB =⋅⨯=又因为O 是BD 中点，所以1223BOEF BDEF V V == 2.3BOEF V ∴=（理）22．（1）证明：四边形ABCD 是矩形，BC CD ∴⊥，1A O ⊥平面BCD ，且BC ⊂平面BCD ，1BC A O ∴⊥，1CDAO O =，BC ∴⊥平面1A CD ， 1A D ⊂平面1A CD ，1BC A D ∴⊥；（2）证明：翻折前，由于四边形ABCD 为矩形，则AB AD ⊥， 翻折后，对应地，有11A D A B ⊥，由（1）知，BC ⊥平面1A CD ，1A D ⊂平面1A CD ，1A D BC ∴⊥， 1A B BC B ⋂=，1A D ∴⊥平面1A BC ，1A D ⊂平面1A BD ，∴平面1A BC ⊥平面1A BD ；（3）过点O 在平面ABCD 内作OE BD ⊥，垂足为点E ，连接1A E ，因为1A O ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，则1AO BD ⊥， OE BD ⊥，1AO OE O ⋂=，BD ∴⊥平面1A OE ， 1A E ⊂平面1A OE ，故1BD A E ⊥，所以，二面角1A BD C --所成角的平面角为1A EO ∠，由（2）知，1A D ⊥平面1A BC ，1AC ⊂平面1A BC ，11A D AC ∴⊥，16A D AD BC ===，10CD AB ==，18AC ∴=， 111245AC A D AO CD ⋅∴==，在1Rt A BD 中，16A D =，110A B =，BD ==1A O ⊥平面ABCD ，OE ⊂平面ABCD ，1A O OE ⊥，所以，111A B A D A E BD ⋅===，EO =，所以，119cos 25EO A EO A E ∠==， 因此，二面角1A BD C --的余弦值为925.。
高二月考数学试题
高二月考数学试题 总分150分一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．关于频率分布直方图，下列有关说法正确的是 （ D ） A ．直方图的高表示取某数的频率。
B ．直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率。
C ．直方图的高表示取某组上的个体在样本中出现的频数与组距的比值。
D ．直方图的高表示取该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值。
2．下列说法错误．．的是 ( C ) A ．命题“若0232=+-x x 则 1=x ”的逆否命题为：“若1≠x , 则0232≠+-x x ”。
B ．“1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件。
C ．若p q 且为假命题，则p ．q 均为假命题。
D ．对于命题p ：x R ∃∈，使得210x x ++<. 则⌝p ：x R ∀∈， 均有210x x ++≥。
3．若函数f （x ）=2x 2－1的图象两点（1，1）及（1+Δx ，1+Δy ），则xy∆∆等于（ C ） A ．4 B ．4x C ．4+2Δx D ．4+2Δx 2 3．已知点A(1, -2, 11)，B(4, 2, 3)，C(6, -1, 4)，则△ABC 的形状是 （ C ） A ．等腰三角形 B ．正三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形4．椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是 （ D ） A 855 B 455833 D 4335．曲线y =x 3－3x 2+1在点（1，－1）处的切线方程为 （ A ） A ．y =－3x +2 B ．y =3x －4 C ．y =－4x +3 D ．y =4x －5 5．已知四面体ABCD 中，AB ，AC ，AD 两两互相垂直，给出下列命题：①AB CD AC BD AD BC ⋅=⋅=⋅；②2222|AB AC AD ||AB ||AC ||AD |++=++；则下列关于以上两个命题的真假性判断正确的是 （ A ） A ．①真②真 B ．①假②真 C ．①假②假 D ．①假②真6．已知动点P （x ,y ）到点（1，2）的距离等于到直线3x+4y-11=0的距离，则P 点的轨迹是 （ A ）A ．直线B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆7．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为 （ B ） A ．2 B ．4 C ．2- D ． 4-8．过点(0,1)作直线，使它与抛物线x y 42=仅有一个公共点，这样的直线有 （ C ）A.1条B.2条C. 3条D. 0条 9．双曲线的渐近线方程为3y x 4=±，则双曲线的离心率为 （ D ） A ．53 B ．54 C 515 D ．5534或10．下面有三个游戏规则，袋子中分别装有球，从袋中无放回地取球，问其中不公平的游戏是（D ）游戏1 游戏2 游戏33个黑球和一个白球 一个黑球和一个白球 2个黑球和2个白球 取1个球，再取1个球 取1个球 取1个球，再取1个球 取出的两个球同色→甲胜 取出的球是黑球→甲胜 取出的两个球同色→甲胜 取出的两个球不同色→乙胜 取出的球是白球→乙胜 取出的两个球不同色→乙胜 A. 游戏1和游戏3 B. 游戏1 C. 游戏2 D. 游戏3二．填空题（本大共6小题，每小题6分，共36分）11．写出命题：“R x ∃∈，使23+x =0”的否定3R,x +20x ∀∈≠使。
山西大学附属中学校2024年高二10月月考数学试题及答案
山西大学附属中学2024～2025学年第一学期高二10月月考（总第二次）数学试题考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若直线2:tan 5l x π=的倾斜角为α，则α=（ ）A ．0B ．25πC ．2πD ．不存在 2．已知向量(),2,1a x =− ，()2,4,2b =− ，若a b，则（ ） A ．1−B ．1C ．5−D ．53．已知直线1:2l y x a =−+与直线()22:22l y a x =−+，则“1a =−”是“12l l ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．在空间四边形OABC 中，若E ，F 分别是AB ，BC 的中点，H 是EF 上的点，且13EH EF =，记OH xOA yOB zOC =++，则(),,x y z 等于（ ）A ．111,,326B ．111,,263C ．111,,362D ．111,,2365．如图，在圆锥SO 中，AB 是底面圆O 的直径，2AB SO ==，D ，E 分别为SO ，SB 的中点，点C 是底面圆周上一点（不同于A ，B ）且OC AB ⊥，则直线AD 与直线CE 所成角的余弦值为（ ）ABCD ．126．已知直线l 过点()2,3,1A ，且()1,1,1a =为其一个方向向量，则点()4,3,2P 到直线l 的距离为（ ）ABCD7．已知两点()1,5A −，()0,0B ，若直线:22l y kx k =−+与线段AB 有公共点，则k 的取值范围为（ ） A ．(][),11,−∞−+∞ B ．(][],10,1−∞− C ．[][)1,01,−+∞D ．[]1,1−8．已知点P 和非零实数λ，若两条不同的直线1l ，2l 均过点P ，且斜率之积为λ，则称直线1l ，2l 是一组“P λ共轭线对”，如直线1:2l y x =，21:2l y x =−是一组“1O −共轭线对”，其中O 是坐标原点．已知1l ，2l 是一组“3O −共轭线对”，则1l ，2l 的夹角的最小值为（ ） A ．6πB ．3πC ．4πD ．12π二、选择题（本小题3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9．下列说法中不正确的是（ ）A ．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B ．若直线过点()1,2，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点()3,4C ．过()11,x y ，()22,x y 两点的直线的方程为112121y y x x y y x x −−=−− D ．直线2y kx =−在在y 轴上的截距为210．在空间直角坐标系Oxyz 中，点()0,0,0O ，()2,1,1A −−，()3,4,5B ，下列结论正确的有（ ） A．AB =B ．向量OA 与OB的夹角的余弦值为C ．点A 关于z 轴的对称点坐标为()2,1,1−−−D ．向量OA 在OB 上的投影向量为110OB −11．如图，在三棱锥P ABC −中，AB BC ==BA BC ⊥，2PAPB PC ===，O 为AC 的中点，点M 是棱BC 上一动点，则下列结论正确的是（ ）A ．三棱锥P ABC −1+B ．若M 为棱BC 的中点，则异面直线PM 与ABC ．若PC 与平面PAM 所成角的正弦值为12，则二面角M PA C −−D ．PM MA +的取值范围为4三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12．已知点P 在平面ABC 上，点O 是空间内任意一点，且()1322OP OA mOB OC m R =++∈，则m 的值为_______________．13．直线的一个方向向量为()1,3v=−，且经过点()0,2，则直线的一般式方程为_______________.14．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，P 为棱1BB 上一点，且12B P PB =，Q 为正方形11BB C C内一动点（含边界），若1D Q =且1D Q 与平面1A PD 所成的角最大时，线段1AQ 的长度为_______________.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分13分）已知ABC △的顶点坐标分别是()1,5A −，()2,1B −−，()4,3C ，M 为BC 边的中点． （1）求BC 边上的中线AM 的一般式方程； （2）求经过点C 且与直线AB 垂直的直线方程． 16．（本小题满分15分）已知()2,1,2a =−，()4,2,b x =− ，且a b ⊥．（1）求a b +；（2）求a 与a b +夹角的余弦值．17．（本小题满分15分）已知直线():120l kx y kk −++=∈R （1）若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；（2）若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设AOB △的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程． 18．（本小题满分17分）已知在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是正三角形，点E ，F ，M ，O 分别是PC ，PD ，BC ，AD 的中点，PO ⊥平面ABCD ． （1）求证：EF PA ⊥；（2）求点B 到平面EFM 的距离；（3）在线段PA 上是否存在点N ，使得直线MN 与平面EFM PN 的长度；若不存在，说明理由．19．（本小题满分17分）已知Ω的正四面体ABCD ，设Ω的四个顶点到平面α的距离所构成的集合为M ，若M 中元素的个数为k ，则称α为Ω的k 阶等距平面，M 为Ω的k 阶等距集．（1）若α为Ω的1阶等距平面且1阶等距集为{}a ，求a 的所有可能值以及相应的α的个数；（2）已知β为Ω的4阶等距平面，且点A 与点B ，C ，D 分别位于β的两侧．是否存在β，使Ω的4阶等距集为{},2,3,4b b b b ，其中点A 到β的距离为b ？若存在，求平面BCD 与β夹角的余弦值；若不存在，说明理由．山西大学附中2024～2025学年第一学期高一（10月）月考（总第一次）数学评分细则一．选择题：1234567891011A DBAABCDABCBDABD三．填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分。
高二12月月考(数学)试题含答案
高二12月月考（数学）（考试总分：150 分）一、单选题（本题共计8小题，总分40分）1.（5分）1．直线x﹣y+1＝0的斜率为（）A．B．﹣C．D．﹣2.（5分）2．已知向量＝（2，3，1），＝（1，2，0），则|+|等于（）A．B．3C．D．93.（5分）3．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为A1C1的中点，若＝，＝，＝，则下列向量与相等的是（）A．﹣﹣+B．+﹣C．﹣++D．++4.（5分）4．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列．若冬至、大寒、雨水的日影子长的和是40.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为（）A．6.5尺B．13.5尺C．14.5尺D．15.5尺5.（5分）5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别为棱A1B1和BB1的中点，那么异面直线AM和CN所成角的余弦值是（）A．B．C．D．﹣6.（5分）6．历时23天嫦娥五号成功携带月球样品返回地球，标志着中国航天向前迈出一大步．其中2020年11月28日晚，嫦娥五号成功进行首次近月制动，进入一个大椭圆轨道．该椭圆形轨道以月球球心为一个焦点F1，若其近月点A（离月球表面最近的点）与月球表面距离为r1公里，远月点B（离月球表面最远的点）与月球表面距离为r2公里，并且F1，A，B在同一直线上已知月球的半径为R公里，则该椭圆形轨道的离心率为（）A．B．C．D．7.（5分）7．已知动点P在直线l1：3x﹣4y+1＝0上运动，动点Q在直线l2：6x+my+4＝0上运动，且l1∥l2，则|PQ|的最小值为（）A．B．C．D．8.（5分）8．若等差数列{a n}的前n项和为S n，首项a1＞0，a2020+a2021＞0，a2020•a2021＜0，则满足S n＞0成立的最大正整数n是（）A．4039B．4040C．4041D．4042二、多选题（本题共计4小题，总分20分）9.（5分）9．关于双曲线C1：＝1与双曲线C2：＝1，下列说法正确的是（）A．它们的实轴长相等B．它们的渐近线相同C．它们的离心率相等D．它们的焦距相等10.（5分）10．已知圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣4x＝0的公共点为A，B，则（）A．|C1C2|＝2B．直线AB的方程是x＝C．AC1⊥AC2D．|AB|＝11.（5分）11．若数列{a n}满足a1＝1，a2＝1，a n＝a n﹣1+a n﹣2（n≥3，n∈N+），则称数列{a n}为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用则下列结论成立的是（）A．a7＝13B．a1+a3+a5+……+a2019＝a2020C．S7＝54D．a2+a4+a6+……+a2020＝a202112.（5分）12．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E，F在平面A1B1C1D1内，若|AE|＝，AC⊥DF，则（）A．点E的轨迹是一个圆B．点F的轨迹是一个圆C．|EF|的最小值为﹣1D．AE与平面A1BD所成角的正弦值的最大值为三、填空题（本题共计3小题，总分15分）13.（5分）13．若直线x﹣y+1＝0与直线mx+3y﹣1＝0互相垂直，则实数m的值为．14.（5分）14．若双曲线的渐近线为，则双曲线C的离心率为．15.（5分）16．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点（，0）的直线l与圆C：x2+y2﹣4x+8＝0交于A，B两点，则四边形OACB面积的最大值为．四、解答题（本题共计7小题，总分75分）16.（5分）15．已知四面体ABCD的顶点分别为A（2，3，1），B（1，0，2），C（4，3，﹣1），D（0，3，﹣3），则点D到平面ABC的距离．17.（10分）17．在：①圆C与y轴相切，且与x轴正半轴相交所得弦长为2；②圆C经过点A（4，1）和B（2，3）；③圆C与直线x﹣2y﹣1＝0相切，且与圆Q：x2+（y﹣2）2＝1相外切。
天津高二下学期第一次月考数学试题(解析版)
一、单选题1．下列各式正确的是（ ） A ．B ． ()cos sin x x '=()ln x x a a a '=C ． D ．ππsin cos 1212'⎛⎫= ⎪⎝⎭()5615xx --'=-【答案】B【分析】根据基本初等函数的求导公式判断．【详解】；；，，只有B 正确．(cos )sin x x '=-πsin 012'⎛⎫= ⎪⎝⎭56()5x x --'=-()ln x xa a a '=故选：B ．2．函数的单调递减区间是（ ） (e 3)()x f x x =-A ． B ． C ． D ．(),2-∞()0,3()1,4()2,+∞【答案】A【分析】求出导函数，由得减区间． ()f x '()0f x '<【详解】由已知， ()(3)(2)x x x f x e x e x e '=+-=-时，，时，，2x <()0f x '<2x >()0f x '>所以的减区间是，增区间是； ()f x (,2)-∞(2,)+∞故选：A ．3．曲线在处的切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）()2ln f x x x =x e =A ．B ．C ．D ．24e 2e 22e 22e 【答案】D【解析】先利用导数的几何意义求出切线方程，再分别求出直线与两坐标轴的交点坐标，即可得l 到切线l 与坐标轴围成的三角形的面积．【详解】由，得，则，，所以曲线在()2ln f x x x =()22ln f x x '=+()2f e e =()224f e '=+=()f x 处的切线的方程为，即.令得；令得.所以直x e =l ()24y e x e -=-42y x e =-0x =2y e =-0y =2ex =线与两坐标轴的交点坐标分别为，，所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为l ()0,2e -,02e ⎛⎫⎪⎝⎭l . 212222e e e ⨯⨯=故选D.4．若对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是（ ） 0,ln 0x x x x a >--≥a A ． B ．C ．D ．(,1]-∞-(,1]-∞[1,)-+∞[1,)+∞【答案】A【解析】构造函数，利用导数研究函数在单调性，并计算()ln f x x x x a =--()f x ()0,∞+，可得结果.()min 0f x ≥【详解】令，()ln f x x x x a =--()0,x ∈+∞则，令()'ln f x x =()'01f x x =⇒=若时，01x <<()'0f x <若时，1x >()'0f x >所以可知函数在递减，在递增 ()f x ()0,1()1,+∞所以()()min 11f x f a ==--由对任意的实数恒成立 0,ln 0x x x x a >--≥所以 ()min 101f x a a =--≥⇒≤-故选：A【点睛】本题考查利用导数解决恒成立问题，关键在于构建函数，通过导数研究函数性质，属基础题.5．已知R 上的可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）()f x ()()20x f x '->A ．B ． ()(),21,-∞-+∞ ()()212-∞-,,UC ．D ．()(),12,-∞+∞ ()()1,12,-+∞ 【答案】D【分析】由函数图象得出和的解，然后用分类讨论思想求得结论． ()0f x '>()0f x '<【详解】由图象知的解集为，的解集为，()0f x '>(,1)-∞-(1,)⋃+∞()0f x '<(1,1)-或，(2)()0x f x '->20()0x f x -⇔'>⎧⎨>⎩20()0x f x -<<'⎧⎨⎩所以或，解集即为． 2x >11x -<<()()1,12,-+∞ 故选：D ．6．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）2()ln 2f x x ax =+-1,22⎛⎫⎪⎝⎭a A ． B ． C ． D ．(,2]-∞-1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭12,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭(2,)-+∞【答案】D【分析】求出函数的导数，问题转化为在有解，进而求函数的最值，即212a x >-1(,2)221()2g x x =可求出的范围.a 【详解】∵， 2()ln 2f x x ax =+-∴，1()2f x ax x'=+若在区间内存在单调递增区间，则有解，()f x 1(,2)21()0,(,2)2f x x '>∈故， 212a x >-令，则在单调递增， 21()2g x x =-21()2g x x =-1(,2)2，1()()22∴>=-g x g 故. 2 a >-故选：D.7．已知函数在处有极值10，则的值为（ ） 322()f x x ax bx a =--+1x =a b 、A ．， B ．，或， 4a =-11b =3a =3b =-4a =-11b =C ．， D ．以上都不正确1a =-5b =【答案】A【解析】根据条件函数在处有极值10，则有且，解出的值，然后()f x 1x =1(1)0f =()01f '=a b 、再代入检验是否满足条件，得出答案【详解】解：函数的导数为， 2()32f x x ax b '=--因为函数在处有极值10， 322()f x x ax bx a =--+1x =所以且．1(1)0f =()01f '=即，解得或． 2320110a b a b a --=⎧⎨--+=⎩33a b =⎧⎨=-⎩411a b =-⎧⎨=⎩当，，，3a =3b =-22()3633(1)0f x x x x '=-+=-…此时函数单调递增，所以此时函数没有极值，所以不满足条件． 所以经检验值当，时，满足条件． 4a =-11b =故选：A ．【点睛】本题考查函数取极值的情况，求参数的值，注意要检验，属于中档题. 8．定义在R 上的偶函数，其导函数，当x ≥0时，恒有，若()f x ()f x '()()02xf x f x '+-<，则不等式的解集为（ ） 2()()g x x f x =()(12)g x g x <-A ．(,1)B ．(∞,)∪(1,+∞)13-13C ．(,+∞)D ．(∞,)13-13【答案】A【分析】由已知可得，即在上单调递减，再利用函数的奇偶()[2()()]0g x x f x xf x ''=+<()g x [0,)+∞性、单调性，求解题设不等式即可.【详解】当时，，又， 0x ≥2()2()()[2()()]g x xf x x f x x f x xf x '=+''=+()()()()022x xf x f x f x f x ''+-=+<∴，即在上单调递减． ()0g x '<()g x [0,)+∞∵是定义在R 上的偶函数， ()f x ∴是定义在R 上的偶函数，()g x 由不等式，则有， ()(12)g x g x <-(||)(|12|)g x g x <-∴，解得：． |||12|x x >-113x <<∴不等式的解集为． ()(12)g x g x <-1(,1)3故选：A9．设函数与是定义在同一区间上的两个函敉，若对任意的，都有()f x ()g x [],a b [],x a b ∈，则称与在上是“k 度和谐函数”，称为“k 度密切区()()()0f x g x k k -≤>()f x ()g x [],a b [],a b 间”．设函数与在上是“e 度和谐函数”，则m 的取值范围是（ ） ()ln f x x =()1mx g x x -=1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A ．B ．[]e 1,1--[]1,e 1-+C ．D ．1e,1e e ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦11e,1e e ⎡⎤+-+⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】由新定义转化为不等式恒成立，再转化为求函数的最值，从而得出结论． 【详解】由题意在时恒成立，即在时恒成1ln e mx x x --≤1[e]e x ∈,1e ln e m x m x-≤+≤+1[e]e x ∈,立， 设，则，1()ln h x x x=+22111()x h x x x x -'=-=时，，单调递减，时，，单调递增， 11ex ≤<()0h x '<()h x 1e x <≤()0h x '>()h x 所以，又，，所以，min ()(1)1h x h ==1(e 1e h =-1(e)1e 1e h =+<-max ()e 1h x =-因此由在时恒成立得：1e ln e m x m x-≤+≤+1[e]e x ∈,且，所以．e 1m -≤e e 1m +≥-1e 1m -≤≤+故选：B ．【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题的处理方法，解决函数不等式恒成立的常用方法是分离参数法，即不等式变形把参数与自变量分离，然后构造新函数，利用导数求得函数的最值，然后解相x 应不等式得参数范围．二、填空题10．已知函数的导函数为，且满足，则________． ()f x ()f x '()()121f x xf x'=+()1f '=【答案】1【分析】根据题意，求导可得，然后令，即可得到结果. ()f x '1x =【详解】因为，则， ()()121f x xf x '=+()()2121f x f x''=-令，可得，解得. 1x =()()1211f f ''=-()11f '=故答案为: 111．函数的单调减区间为_______ ． ()219ln 2f x x x =-【答案】.()0,3【解析】利用导数研究函数单调性即可得到结论. 【详解】解：∵，， ()219ln 2f x x x =-0x >则，299()x f x x x x'-=-=由，即，解得 ，()0f x '<290x -<33x -<<，即函数的单调减区间为， 0,03x x >∴<< ()0,3故答案为：.()0,3【点睛】本题主要考查函数单调区间的求解，根据函数的导数和单调性之间的关系是解决本题的关键.12．函数的图象在点处的切线的倾斜角为__________ ()cos x f x e x =(0,(0))f 【答案】4π【详解】因为， ()cos sin x x f x e x e x -'=00(0)cos 0sin 01f e e -'==所以函数的图象在点处的切线的倾斜角为()cos x f x e x =(0,(0))f 4π13．已知函数对区间上任意的都有，则实数m 的最小3()3f x x x =-[3,2]-1,x 2x ()()12f x f x m -≤值是________. 【答案】20【分析】求出在上的最大值和最小值后由两者差可得的范围，即得的最小值、 ()f x [3,2]-m m 【详解】，则＝0，，当或时，，3()3f x x x =-2()33f x x '=-1x =±31x -≤<-12x <≤()0f x '>递增，当时，，递减．()f x 11x -<<()0f x '<()f x 所以，，又，， ()(1)2f x f =-=极大值()2f x =-极小值(3)18f -=-(2)2f =所以在上，，[3,2]-()2,()18f x f x ==-最大值最小值所以的最大值为，即，所以的最小值为20． 12()()f x f x -2(18)20--=20m ≥m 故答案为：20．【点睛】本题考查用导数研究函数的最值，解题关键是命题对区间上任意的都有[3,2]-1,x 2x ，转化继．()()12f x f x m -≤12()()()()f x f x f x f x -≤-最大值最小值14．当时，函数有两个极值点，则实数m 的取值范围___________.0x >()22x f x e mx =-+【答案】 2e m >【分析】函数有两个极值点转化为方程有两个不同的实数根，等价于与有两个2xe m x =y m =2x e y x=不同的交点，构造函数，即可求出结果.()(0)2xe h x x x =>【详解】有两个极值点， 2()2xf x e mx =-+所以有两个不同的实数根，'()20x f x e mx =-+=即有两个不同的实数根，2xe m x=等价于与有两个不同的交点，y m =2xe y x =设， ()(0)2x e h x x x =>2(1)'()(0)2x e x h x x x -=>当单调递减， (0,1),'()0,()x h x h x ∈<当单调递增， (1+),'()0,()x h x h x ∈∞>，所以 min ()(1)2eh x h ==当；0()x h x →→+∞，+()x h x →∞→+∞，所以与要有两个不同的交点，只需y m =2xe y x=2e m >故答案为：2em >【点睛】方法点睛：含参方程有根的问题转化为函数图像的交点问题，数形结合，是常用的方法.本题考查了运算求解能力和数形结合思想，属于一般题目.三、双空题15．（1）设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则()()e 21xf x x ax a =--+1a <0x ()00f x <a 的取值范围是________．（2）已知，，若，，使得成立，则实数a 的()e xf x x =()()21g x x a =-++1x ∃2x ∈R ()()21f x g x ≤取值范围________． 【答案】3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭1,e ⎡-+∞⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据题意转化为存在唯一的整数，使得在直线的下方，求导得0x ()0g x y ax a =-，然后结合图像即可得到结果；()g x '（2）根据题意，将问题转化为，然后求导得极值，即可得到结果.()()min max f x g x ≤【详解】（1）函数，其中，()()e 21xf x x ax a =--+1a <设，()()e 21,xg x x y ax a =-=-因为存在唯一的整数，使得，0x ()00f x <所以存在唯一的整数，使得在直线的下方， 0x ()0g x y ax a =-因为，所以当时，，()()e 21xg x x '=+12x <-()0g x '<当时，，12x =-()12min 12e 2g x g -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭当时，， 0x =()()01,1e>0g g =-=直线恒过点，斜率为，y ax a =-()1,0a 故，且，解得 ()01a g ->=-()113e g a a --=-≥--32ea >所以的取值范围是a 3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭（2），，使得成立，等价于，1x ∃2x ∈R ()()21f x g x ≤()()min max f x g x ≤因为，所以，()e x f x x =()()1e xf x x '=+当时，，则函数递减； 1x <-()0f x '<()f x 当时，，则函数递增； 1x >-()0f x ¢>()f x 所以时，，=1x -()min 1ef x =-因为，所以，()()21g x x a =-++()max g x a =所以，则实数的取值范围是.1e a -≤m 1,e ⎡-+∞⎫⎪⎢⎣⎭故答案为: （1）;（2）3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭1,e ⎡-+∞⎫⎪⎢⎣⎭四、解答题16．已知函数（a ，），其图象在点处的切线方程为()()322113f x x ax a x b =-+-+b ∈R ()()1,1f ．30x y +-=(1)求a ，b 的值；(2)求函数的单调区间和极值； ()f x (3)求函数在区间上的最大值． ()f x []2,5-【答案】(1)，；1a =83b =(2)的增区间是和，减区间是，极大值是，极小值是；()f x (,0)-∞(2,)+∞(0,2)8(0)3f =()423f =(3)最大值是，最小值是． 5834-【分析】（1）由出导函数，计算和，由切线方程列方程组解得； ()f x '(1)f '(1)f ,a b （2）由得增区间，由得减区间，从而可得极值；()0f x '>()0f x '<（3）结合（2）可得函数在上的单调性，再计算出区间端点处的函数值，，与[2,5]-(2)f -(5)f （2）中极值比较可得最值．【详解】（1），，22()21f x x ax a '=-+-22(1)1212f a a a a '=-+-=-，2212(1)133f a a b a a b =-+-+=-+-又图象在点处的切线方程为，()()1,1f 30x y +-=所以，解得； 222121(303a a a a b ⎧-=-⎪⎨+-+--=⎪⎩183a b =⎧⎪⎨=⎪⎩（2）由（1）得，，3218()33f x x x =-+2()2(2f x x x x x '=-=-）或时，，时，，0x <2x >()0f x '>02x <<()0f x '<所以的增区间是和，减区间是， ()f x (,0)-∞(2,)+∞(0,2)极大值是，极小值是；8(0)3f =()423f =（3）由（2）知在和上递增，在上单调递减， ()f x [2,0]-[2,5](0,2)又，， (2)4f -=-58(5)3f =所以在上的最大值是，最小值是． ()f x [2,5]-5834-17．已知函数，其中是自然对数的底数，．()()21e xf x ax x =+-e a R ∈(1)若，求的单调区间；a<0()f x (2)若，函数的图象与函数的图象有个不同的交点，求实数的1a =-()f x ()321132g x x x m =++3m 取值范围．【答案】(1)答案见解析(2) 31,1e 6⎛⎫--- ⎪⎝⎭【分析】（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变()()221e xf x ax a x '⎡⎤=++⎣⎦a 化，由此可得出函数的增区间和减区间；()f x （2）由可得出，构造函数()()f x g x =()232111e 32xm x x x x -=-+++，可知直线与函数的图象有三个交点，利用导数分析函()()232111e 32x h x x x x x =-+++y m =-()h x 数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.()h x m 【详解】（1）解：当时，因为，该函数的定义域为， 0a <()()21e xf x ax x =+-R ，()()()()2221e 1e 21e x x xf x ax ax x ax a x '⎡⎤=+++-=++⎣⎦由可得或. ()0f x '=0x =21a x a+=-①当时，即当时，210a a+-<12a <-由可得或，由可得， ()0f x '<21a x a +<-0x >()0f x ¢>210a x a+-<<此时函数的单调递减区间为、，单调递增区间为； ()f x 21,a a +⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭()0,∞+21,0a a +⎛⎫-⎪⎝⎭②当时，即当时，对任意的，且不恒为零， 210a a+-=12a =-x R ∈()0f x '≤()f x '此时函数的减区间为，无增区间； ()f x (),-∞+∞③当时，即当时，210a a+->102a -<<由可得或，由可得， ()0f x '<0x <21a x a +>-()0f x ¢>210a x a+<<-此时函数的单调递减区间为、，单调递增区间为.()f x (),0∞-21,a a ∞+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭综上所述，当时，函数的单调递减区间为、，单调递增区间为12a <-()f x 21,a a +⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭()0,∞+； 21,0a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭当时，函数的减区间为，无增区间； 12a =-()f x (),-∞+∞当时，函数的单调递减区间为、，单调递增区间为102a -<<()f x (),0∞-21,a a ∞+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭. 210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）解：当时，，1a =-()()21e x f x x x =-+-由可得，可得， ()()f x g x =()232111e 32x x x x x m -+-=++()232111e 32x m x x x x -=-+++令，则， ()()232111e 32x h x x x x x =-+++()()()2e 1x h x x x '=++由可得或，由可得.()0h x '>1x <-0x >()0h x '<10x -<<所以，函数的增区间为、，减区间为，()h x (),1-∞-()0,∞+()1,0-函数的极大值为，极小值为， ()h x ()311e 6h -=+()01h =因为函数、的图象有三个交点，()f x ()g x 所以，直线与函数的图象有三个交点，如下图所示：y m =-()h x由图可知，当时，即当时， 311e 6m <-<+311e 6m --<<-直线与函数的图象有三个交点，y m =-()h x 因此，实数的取值范围是. m 31,1e 6⎛⎫--- ⎪⎝⎭【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化x 归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数()0f x =()a g x =y a =的图象的交点问题.()y g x =18．已知函数()ln 1x f x me x =--（1）设是的极值点，求m ，并求的单调区间；2x =()f x ()f x （2）当时，求证：1m >()1f x >（3）当时，求证： 1m e>()0f x >【答案】（1），在上单调递减，在上单调递增； 21=2m e ()y f x =()0,2()2,∞+（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）先由是的极值点求出m ，再直接求单调区间；2x =()f x （2）用分析法，只需证明即可，构造函数，利用导数证明ln 20x e x -->()()ln 20x g x e x x =-->，即证；()min 0g x >（3）先判断时，，构造函数，利用导数证明当1m e >()ln 1xe f x x e >--()()ln 10x e p x x x e=-->时，，即证.0x >()()10p x p =≥【详解】解：定义域为 ()ln 1x f x me x =--()01()x f x me x=∞'+-，，（1）∵是的极值点，2x =()f x ∴，解得：. 21(2)=02f me '=-21=2m e 此时， 22111()ln 1()22x x f x e x f x e e e x'=--=-，当时；当时；02x <<()0f x '<2x >()0f x '>所以在上单调递减，在上单调递增.()y f x =()0,2()2,∞+（2）当时，，只需证即可.1m >()1ln 2ln 2x x f x me x e x -=-->--ln 20x e x -->令，则 ()()ln 20x g x e x x =-->()()111x x g x e =xe x x=--'令，则，()()10x h x xe x =->()0x x h x e xe '=>+∵∴存在，使得即，也可化为()121110,110,22h e h e ⎛⎫=-<=-> ⎪⎝⎭01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00h x =0010x x e =-00ln 0x x +=∴在上，，则单调递减；在上，，则单调递增.()00x ，()0g x '<()g x ()0x +∞，()0g x '>()g x 所以 ()()000000000min 1ln 221221012x x g x g x =e x =e x x x x x ⎛⎫=--+->++-=-><< ⎪⎝⎭∵即证.（3）当时，， 1m e >()ln 1xe f x x e>--令，则 ()()ln 10x e p x x x e=-->()1x e p x e x '=-令，解得x =1， ()10x e p x =e x'=-∴在上，，则单调递减；在上，，则单调递增. ()01，()0p x '<()p x ()1+∞，()0p x '>()p x ∴，故当时，.()()min 10p x =p =0x >()()10p x p =≥∴时，都有. 1m e>()0f x >【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；（2）利用导数求参数的取值范围.（3）构造新函数，利用导数判断单调性，证明不等式成立19．已知函数，.()ln f x x x =()()1g x a x a =+-(1)求函数的极值；()()()h x f x g x =-(2)若存在时，使成立，求的取值范围.[]1,e x ∈()223f x x ax ≥-+-a (3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.()()()12e x h x x a a -≤--+[)1,x ∈+∞a 【答案】(1)函数有极小值，无极大值；()h x ()ee a a h a =-(2)； 32e e a ≤++(3).(],0-∞【分析】（1）由题可得，然后根据导数与函数极值的关系即得；()()ln 1x x x h x a a =-++（2）由题可得存在，成立，构造函数，利用导[]1,e x ∈32ln a x x x ≤++()[]32ln ,1,e F x x x x x=++∈数求函数的最值即得；（3）设，由题可得对任意恒成立，利用导数可得()()1e xg x x a =--()()ln 1g x g x ≤-[)1,x ∈+∞，进而可得只需在上单调递增，即在0ln 1x x ≤≤-()()1e x g x x a =--[)0,+∞()()e 0x g x x a '=-≥上恒成立，即得.[)0,+∞【详解】（1）因为，()()()()ln 1h x x x x a x a f x g =-=++-∴，()()ln 1n 1l h x x a x a -+='+-=由，可得，由，可得，()0h x '<0e a x <<()0h x '>e a x >∴在上单调递减，在上单调递增， ()h x ()0,e a ()e ,a+∞所以，当时，函数有极小值，无极大值；e a x =()h x ()e e a a h a =-（2）由，可得， ()222ln 3f x x x x ax =≥-+-32ln a x x x≤++即存在，成立， []1,e x ∈32ln a x x x≤++设，则， ()[]32ln ,1,e F x x x x x =++∈()()()22132310x x F x x x x -+'=+-=≥所以函数在上单调递增，， ()F x []1,e ()()max 3e 2e eF x F ==++所以； 32e ea ≤++（3）由题可知对任意恒成立， ()()()1ln 12ex x x a x x a --+≤--[)1,x ∈+∞即对任意恒成立， ()()()1ln ln 1e 11ex x x a x a ---≤---⎡⎤⎣⎦[)1,x ∈+∞设，则对任意恒成立，()()1e x g x x a =--()()ln 1g x g x ≤-[)1,x ∈+∞下面证明对任意恒成立，0ln 1x x ≤≤-[)1,x ∈+∞设，，()ln 1t x x x =-+[)1,x ∈+∞则在上恒成立，且仅在时取等号， ()1110x t x x x-'=-=≤[)1,+∞=1x 所以在上单调递减，()ln 1t x x x =-+[)1,+∞∴，即，()()10t x t ≤=0ln 1x x ≤≤-所以对任意恒成立，只需在上单调递增， ()()ln 1g x g x ≤-[)1,x ∈+∞()()1e xg x x a =--[)0,+∞即在上恒成立，()()e 0x g x x a '=-≥[)0,+∞所以在上恒成立，a x ≤[)0,+∞所以，即实数的取值范围为.0a ≤a (],0-∞【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间上有最值，则()f x D （1）恒成立：；； ()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<（2）能成立：；. ()()max ,00x D f x f x ∃∈>⇔>()()min ,00x D f x f x ∃∈<⇔<若能分离常数，即将问题转化为：（或），则 ()a f x >()a f x <（1）恒成立：；； ()()max a f x a f x >⇔>()()min a f x a f x <⇔<（2）能成立：；. ()()min a f x a f x >⇔>()()max a f x a f x <⇔<。
黑龙江省哈尔滨市2024-2025学年高二上学期10月月考试题 数学含答案
哈尔滨市2024-2025学年度上学期十月学业阶段性评价考试高二数学学科考试试卷（答案在最后）（考试时间：120分钟满分150分）第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（共8小题，每小题5分，每小题只有一个选项符合题意）1.在空间直角坐标系中，点()2,1,4-关于x 轴对称的点坐标是（）A.()2,1,4-- B.()2,1,4 C.()2,1,4--- D.()2,1,4-2.若向量{}123,,e e e 是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量a，存在唯一的有序实数组(),,x y z ，使得：123a xe ye ze =++ ，我们把有序实数组(),,x y z 叫做基底{}123,,e e e 下向量a 的斜坐标.设向量p 在基底{},,a b c 下的斜坐标为()1,2,3-，则向量p 在基底{},,a b a b c +-下的斜坐标为（）A.13,,322⎛⎫--⎪⎝⎭B.13,,322⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C.13,,322⎛⎫-⎪⎝⎭ D.13,,322⎛⎫-⎪⎝⎭3.已知两条直线12:410,:20l ax y l x ay +-=++=，则“2a =”是“12l l //”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知平面α的一个法向量(2,2,1)n =--，点()1,3,0A -在平面α内，若点()2,1,P z -到α的距离为103，则z =（）A.16B.4- C.4或16- D.4-或165.已知点()2,3A -，()3,2B --，若过点()1,1的直线与线段AB 相交，则该直线斜率的取值范围是（）A.[)3,4,4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦B.(]3,4,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣--⋃⎭∞C.3,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.34,4⎡⎤-⎢⎣⎦6.直线l 过点()2,3A ，则直线l 与x 轴、y 轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（）A.9B.12C.18D.247.如图，在平行六面体ABCD A B C D -''''中，5,3,7AB AD AA ='==，60BAD ∠=︒，45BAA DAA ''∠=∠=︒，则AC '的长为（）A. B.C.D.8.正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，所有棱长均为2，点E ，F 分别为棱BB 1，A 1C 1的中点，若过点A ，E ，F 作一截面，则截面的周长为（）A. B.C. D.2+二、多选题（共3小题，每小题有多个选项符合题意，全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分）9.下列命题中正确的是（）A.若向量,a b 满足0a b ⋅<，则向量,a b 的夹角是钝角B.若,,OA OB OC 是空间的一组基底，且232OD OA OB OC =-+，则,,,A B C D 四点共面C.若向量{},,a b c 是空间的一个基底，若向量m a c =+，则{},,a b m 也是空间的一个基底D.若直线l 的方向向量为(1,0,3)e = ，平面α的法向量为(2,0,2)n =-，则直线l 与平面α所成角的余弦值为5510.以下四个命题为真命题的是（）A.过点()10,10-且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的4倍的直线的方程为11542y x =-+B.直线()cos 20R x θθ+=∈的倾斜角的范围是π5π0,,π66⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎢⎣⎦⎣⎭C.直线10x y +-=与直线2210x y ++=D.直线()()()1213m x m y m m -+-=-∈R 恒过定点()5,2-11.如图，在多面体ABCDES 中，SA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且//DE SA ，22SA AB DE ===，,M N 分别是线段,BC SB 的中点，Q 是线段DC 上的一个动点（含端点,D C ），则下列说法正确的是（）A.不存在点Q ，使得NQ SB⊥B.存在点Q ，使得异面直线NQ 与SA 所成的角为60o C.三棱锥Q AMN -体积的最大值是23D.当点Q 自D 向C 处运动时，直线DC 与平面QMN 所成的角逐渐增大第Ⅱ卷（共92分）三、填空题（共3个小题，每小题5分）12.已知()()()1,1,0,0,3,0,2,2,2A B C ，则向量AB 在AC上的投影向量的坐标是______．13.当点()2,1P --到直线l ：()()()131240x y λλλλ+++--=∈R 距离的最大值时，直线l 的一般式方程是______．14.离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P 为多面体Γ的一个顶点，定义多面体Γ在点P 处的离散曲率为()122311112πP k k k Q PQ Q PQ Q PQ Q PQ -∅=-∠+∠++∠+∠ ，其中i Q （1i =，2，……，k ，3k ≥）为多面体Γ的所有与点P 相邻的顶点，且平面12Q PQ ，平面23Q PQ ，…，平面1k k Q PQ -和平面1k Q PQ 为多面体Γ的所有以P 为公共点的面.如图，四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，且2AC =，顶点S 在底面的射影O 为AC 的中点.若该四棱锥在S 处的离散曲率13S ∅=，则直线OS 与平面SAB 所成角的正弦值为___________.四、解答题（共5小题，总计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知直线()():12360m a x a y a -++-+=，:230n x y -+=.（1）若坐标原点O 到直线m ，求a 的值；（2）当0a =时，直线l 过m 与n 的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l 的方程.16.已知ABC V 的顶点()1,2,A AB 边上的中线CM 所在直线的方程为210,x y ABC +-=∠的平分线BH 所在直线的方程为y x =.（1）求直线BC 的方程和点C 的坐标；（2）求ABC V 的面积．17.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==(1)求证：PD ⊥平面PAB ．(2)在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由．18.已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA a = ，OB b =，则AOB ∠叫做向量a ，b 的夹角，记作,a b <> .定义a 与b 的“向量积”为：a b ⨯是一个向量，它与向量a ，b 都垂直，它的模sin ,a b a b a b ⨯=.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，4DP DA ==，E 为AD 上一点，AD BP ⨯=.（1）求AB 的长；（2）若E 为AD 的中点，求二面角P EB A --的余弦值；19.如图①所示，矩形ABCD 中，1AD =，2AB =，点M 是边CD 的中点，将ADM △沿AM 翻折到PAM △，连接PB ，PC ，得到图②的四棱锥P ABCM -，N 为PB 中点，（1）若平面PAM ⊥平面ABCD ，求直线BC 与平面PMB 所成角的大小；（2）设P AM D --的大小为θ，若π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，求平面PAM 和平面PBC 夹角余弦值的最小值.哈尔滨市2024-2025学年度上学期十月学业阶段性评价考试高二数学学科考试试卷（考试时间：120分钟满分150分）第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（共8小题，每小题5分，每小题只有一个选项符合题意）【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】B二、多选题（共3小题，每小题有多个选项符合题意，全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分）【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】BD【11题答案】【答案】CD第Ⅱ卷（共92分）三、填空题（共3个小题，每小题5分）【12题答案】【答案】111,,663⎛⎫ ⎪⎝⎭【13题答案】【答案】3250x y +-=【14题答案】【答案】1323-四、解答题（共5小题，总计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）【15题答案】【答案】（1）14a =-或73a =-（2）370x y -=或120x y -+=【16题答案】【答案】（1）2310x y --=，51(,)77，（2）107.【17题答案】【答案】(1)证明见解析；(2)存在，AM AP 的值为14.【18题答案】【答案】（1）2（2）13-【19题答案】【答案】（1）π6；（2）11。
最新高二数学上学期第一次月考试题
最新高二数学上学期第一次月考试题(1)选择题1.设函数 f(x) = x^2 - 3x + 2，那么 f(1) 的值为： A. -2 B. 0 C. 1 D.2答案：C解析：将 x = 1 代入函数 f(x)，得到 f(1) = 1^2 - 3 * 1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 + 2 = 2。
2.已知函数 f(x) = 2x - 1，那么 f(-2) 的值为： A. -5 B. -3 C. 1 D. 5答案：B解析：将 x = -2 代入函数 f(x)，得到 f(-2) = 2 * (-2) - 1 = -4 - 1 = -5。
3.设函数 f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 3，那么 f(2) 的值为： A. -4 B. -3 C.0 D. 1答案：A解析：将 x = 2 代入函数 f(x)，得到 f(2) = 2^3 - 2 * 2^2 + 2 - 3 = 8 - 8 + 2 - 3 = 0 - 1 = -1。
4.设函数 f(x) = x^2 + 2x + 1，那么 f(-1) 的值为： A. -3 B. -1 C. 0 D.1答案：C解析：将 x = -1 代入函数 f(x)，得到 f(-1) = (-1)^2 + 2 * (-1) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0。
5.设函数 f(x) = x^2 - 4x + 3，求 f(x) = 0 的解。
A. x = 1, x = 3 B.x = 1, x = -3 C. x = 2, x = 3 D. x = 1, x = -2答案：A解析：将 f(x) = 0，得到 x^2 - 4x + 3 = 0。
通过因式分解或求根公式，得到 (x - 1)(x - 3) = 0。
因此，x = 1 或 x = 3。
填空题1.设函数 f(x) = a^x，若 f(2) = 8，那么 a 的值为______。
答案：2解析：将 x = 2 代入函数 f(x)，得到 f(2) = a^2 = 8。
高二数学必修2第一次月考试题及答案
高二数学第一次月考试题一、选择题：（每小题4分，共40分）． 1. 下列命题正确的是A ． 经过三点确定一个平面.B ． 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面.C ． 经过一条直线和一个点确定一个平面.D ． 四边形确定一个平面.2. 垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是A.平行B. 相交C. 异面D. A 、B 、C 均有可能 3. 如果直线a ∥平面α,那么直线a 与平面α内的A. 任意一条直线不相交B.一条直线不相交C. 无数条直线不相交D.两条直线不相交4.如图所示的一个几何体，在图中是该几何体的俯视图的是（ ）5.不同直线,m n 和不同平面,αβ，给出下列命题① ////m m αββα⎫⇒⎬⊂⎭② //////m n n m ββ⎫⇒⎬⎭③ ,m m n n αβ⊂⎫⇒⎬⊂⎭异面 ④//m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭ 其中假命题有：（ ）A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个6.若直线a 与平面α不垂直,那么在平面α内与直线a 垂直的直线A. 只有一条B. 有无数条C. 是平面α的所有直线D. 不存在7.设 P 是△ABC 所在平面外一点，P 到△ABC 各顶点的距离相等，而且点 P 到△ABC 各边的距离也相等，那么△ABC 是（ ） A ．是任意三角形 B. 是等边三角形C. 是等腰直角三角形D. 是非等腰直角三角形 8．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ）A3：3 B 2：3 C3：2 D 3：19.若圆锥的侧面展开图是圆心角为1200，半径为l 的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是（ ）A 3：2B 2：1C 4：3D 5：310．若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（ ） A21倍 B 42倍 C 2倍 D 2倍 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共25分）． 11.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中与A 1B 是异面直线的棱有_______条。
山西省高二下学期第一次月考数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则（ ） {}12M x x =-<(){}ln 1N x y x ==+A ． B ．C ．D ．N M ⊆M N ⊆M N ⋂=∅M N =R 【答案】B【分析】化简集合，判断两个集合之间的关系即可得答案. 【详解】由题可得，， {}13M x x =-<<{}1N x x =>-所以，且 ，，. M N ⊆M N M N M =≠∅I R M N N =≠ 故选：B.2．已知向量，，且，则实数（ ） ()2,a m = ()3,4b m =- a b ⊥ m =A ．3 B ．1C ．D ．131-【答案】B【分析】根据向量垂直的坐标表示可直接构造方程求得结果. 【详解】由得：，a b ⊥ ()2340a b m m ⋅=-+= 解得：. 1m =故选：B.3．在中，角，，的对边分别为，，，若，且，则角的余弦值为ABC A A B C a b c 3a c =13c b =A （ ）A ．B ．C ．D ．15141613【答案】C【分析】根据余弦定理即得． 【详解】由题可得，，3a c =3b c =试题. ()()22222233cos 223c c c b c a A bc c c+-+-==⋅⋅16=故选：C ．4．设为所在平面内一点，，则（ ）D ABC A 3BC CD =A ．B ．1433AD AB AC =-+1334AD AB AC =-C ．D ．4133AD AB AC =+ 4133AD AB AC =- 【答案】A【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算求解作答.【详解】在中，，ABC A 3BC CD =.1114()3333AD AC CD AC BC AC AC AB AB AC =+=+=+-=-+故选：A5．在中，三角形三条边上的高之比为，则为（ ） ABC A 2:3:4ABC A A ．钝角三角形 B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰三角形【答案】A【分析】由题可得三角形三条边之比为，然后利用余弦定理，求出最大边所对角的余弦值，6:4:3即可判断出结果.【详解】因为三角形三条边上的高之比为，2:3:4所以三角形三条边之比为，即，111::2346:4:3不妨设，6,4,3,0a x b x c x x ===>则最大角的余弦值为，22216911362c 44os 023x x x A x x +-==-<⋅⋅因此角为钝角，三角形为钝角三角形. A 故选：A.6．定义在上的偶函数满足，且在区间上递增，则（ ） R ()f x ()()22f x f x +=-[]2,0-A ．B ．()216log 63f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭()2166log 3f f f⎛⎫<< ⎪⎝⎭C ．D ． ()216log 63f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭()2166log3f ff ⎛⎫<< ⎪⎝⎭【答案】B【分析】由条件求出函数的周期，再根据函数的单调性结合条件即得. 【详解】∵定义在R 上的偶函数，所以， ()()f x f x -=又满足，()f x ()()22f x f x +=-所以， ()()()()()42222f x f x f x f x f x +=++=--=-=所以是周期为4的函数，又函数在区间上递增， ()f x ()f x []2,0-所以在区间上递减，()f x []0,2所以，，()()62f f =()2222161616log log 4log log 3333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为，，所以，3223<3223<322222log 4log 3l 3g 202o ==>>>>所以，即.()()22log 3f f f <<()2166log 3f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭故选：B ．7．已知是的外心，，，则（ ） O ABC A 4AB =u u u r 2AC = ()AO AB AC ⋅+=A ．10B ．9C ．8D ．6【答案】A【分析】根据三角形外心的性质，结合数量积的几何意义以及数量积运算律，即可求得答案. 【详解】如图，O 为的外心，设为的中点， ABC A ,D E ,AB AC 则,,OD AB OE AC ⊥⊥故()AO AB AC AO AB AO AC ⋅+=+⋅⋅||||cos |||co |s AO AB AO AC OAD OAE ⋅∠+=∠⋅⋅⋅||||||||AD AB AE AC +=⋅⋅ , 2222111||41||2222210AB AC +=⨯+⨯⋅==故选：A8．在中，角所对的边分别为，，，若，则ABC A ,,A B C a b c 2022sin sin sin c C b B a A -=的值为（ ）()sin sin tan tan tan cos cos A BC A B A B ⋅+⋅⋅A ．2013 B ．C ．2029D ．2029220212【答案】D【分析】对，利用正、余弦定理整理得，根据题意结2022sin sin sin c C b B a A -=22021cos 2ab C c =合三角恒等变换分析运算即可.【详解】∵，由正弦定理可得：， 2022sin sin sin c C b B a A -=2222022c b a -=整理得：，22222021a b c c +-=由余弦定理可得：，故 22cos 2021ab C c =22021cos 2ab C c =()sin sin sin sin sin sin tan tan tan cos cos tan cos cos cos cos A BA B A B C A B A BC A BA B ⋅⋅=+⋅⋅⎛⎫+⋅⋅ ⎪⎝⎭()()22sin sin sin sin sin sin cos cos sin tan sin cos cos sin sin sin cos A B A B A B C ab CC C A B A B C c A B C⋅⋅⋅⋅====⋅⋅+⋅⋅+. 222021202122cc ==故选：D.二、多选题9．下列说法中错误的是（ ）A ．若，，则B ．a b ∥ b c∥a c ∥()()()a b c a b c b a c ⋅=⋅=⋅C ．若，则D ．a b a c ⋅=⋅b c = ()2222a ba ab b +=+⋅+ 【答案】ABC【分析】根据共线向量的概念，向量数量积的概念及运算法则逐项分析即得.【详解】对于A ，若时，，不一定能推出，故A 错误；0b →→=a b ∥b c ∥ a c ∥ 对于B ，不妨考虑不共线且不互相垂直时，向量与向量不共线，所以不能推,,a b c →→→()a b c ⋅()a b c ⋅ 出，故B 错误；()()a b c a b c ⋅=⋅对于C ，若且时，则，而不一定相等，故C 错误；a b ⊥ a c ⊥ a b a c ⋅=⋅,b c 对于D ，根据数量积的运算法则可知，故D 正确.()2222a ba ab b +=+⋅+故选：ABC.10．在中，，则的面积可以是（ ）ABC ∆1,6AB AC B π===ABC ∆AB ．1 CD【答案】AD【分析】由余弦定理求出，再根据三角形的面积公式即可求出答案． BC 【详解】解：∵，1,6AB AC B π===由余弦定理得，2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅∴， 2320BC BC -+=∴，或， 1BC =2BC =∴由的面积公式得或， ABC ∆1sin 2ABC S AB BC B ∆=⋅⋅⋅ABC S ∆=ABC S ∆=故选：AD ．【点睛】本题主要考查三角形的面积公式的应用，考查余弦定理解三角形，属于基础题． 11．在中，，，则下列说法正确的是（ ） ABC A cos 2C 1BC =5AC =A ． B ．的面积为2 4sin 5C =ABC A C．D ．ABC A ABC A 【答案】ABD【分析】利用二倍角公式求出，根据同角三角函数的基本关系求出，再由余弦定理求出cosC sin C ，由正弦定理求出外接圆的直径，利用面积公式及等面积法判断B 、D ；c 【详解】解：因为，cos 2C 223cos 2cos 12125C C =-=⨯-=所以，，故A 、B 正确； 4sin 5==C 114sin 152225ABC S ab C ==⨯⨯⨯=A 由余弦定理，即，所以，2222cos c a b ab C =+-222315215205c =+-⨯⨯⨯=c =所以外接圆的直径，故C 错误； 2sin c R C ===设的内切圆半径为，则，即，所以ABC A r ()12ABCS a b c r =++△(11522r ++=r =D 正确； 故选：ABD12．设P 为所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）ABC A A ．若，则点P 是的重心0PA PB PC ++=ABC A B ．若，则点P 是的垂心PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅ABC A C ．若，，则点P 是的内心 (||||AB ACAP AB AC λ=+,[)0λ∈+∞ABC A D ．若，则点P 是的外心()()()0PA PB BA PB PC CB PC PA AC +⋅=+⋅=+⋅=ABC A 【答案】ABD【分析】对于A ：以，为邻边作平行四边形PADB ，M 为PD 的中点，利用向量的线性运算PA PB得到，即可证明；对于B ：利用数量积运算证明出，，得到P 为||2||PC PM =PB CA ⊥PA BC ⊥的垂心，即可证明；对于C ：在边AB ，AC 上分别取点E ，F ，使，，ABC A ||ABAE AB =||AC AF AC = 以AE ，AF 为邻边作平行四边形AEGF ，则四边形AEGF 为菱形，即可判断；对于D ：证明出，，，即可证明.||||PA PB = ||||PB PC = ||||PC PA =【详解】对于A ：若，则.0PA PB PC ++= PA PB PC +=-以，为邻边作平行四边形PADB ，M 为PD 的中点，则，所以，又PA PBPA PB PD += PD PC =- ，所以，故P 为的重心. 2PD PM=||2||PC PM = ABC A 所以A 正确；对于B ：若，则，即，即，所以PA PB PB PC ⋅=⋅ 0PA PB PB PC ⋅-⋅=()0PB PA PC ⋅-= 0PB CA ⋅= .PB CA ⊥同理，则，故P 为的垂心.PA PB PA PC ⋅=⋅u u r u u r u u r u u u rPA BC ⊥ABC A 故B 正确；对于C ：在边AB ，AC 上分别取点E ，F ，使，，则，以AE ，||ABAE AB =||AC AF AC = ||||1AE AF == AF 为邻边作平行四边形AEGF ，则四边形AEGF 为菱形.连接AG ，则AG 为的角平分线，由，所以点P 在角平分线AG 上，故点P 的||||AB AC AP AB AC λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭轨迹一定通过的内心. ABC A 所以C 错误；对于D ：若，则，同理有22()()()0PA PB BA PA PB PA PB PA PB +⋅=+⋅-=-= ||||PA PB = ，，故P 为的外心.||||PB PC = ||||PC PA =ABCA所以D 正确. 故选：ABD三、填空题13．在△ABC 中，，则=__________ ()()()a c a c b b c +-=+A ∠【答案】2π3【分析】由可得，再由余弦定理可得结果. ()()()a c a c b b c +-=+222b c a bc +-=-【详解】 ()()()a c a c b b c +-=+ 222a c b bc ∴--=222b c a bc -∴+=-，2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-所以，故答案为. 23A π∠=23π【点睛】本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条2222cos a b c bc A =+-222cos 2b c a A bc+-=件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数30,45,60o o o 值，以便在解题中直接应用.14．若，且，则的最小值为______.0a >20a b +=21a b -+【答案】5【分析】由，且，得到,进而有，利用基本不等式求0a >20a b +=20a b =->22121a b b b -+=--+解.【详解】解：因为，且， 0a >20a b +=所以,20a b =->则，2212115a b b b -+=--+≥=当且仅当，即时，等号成立， 22b b-=-1b =-所以的最小值为5，21a b -+故答案为：515．探空气球是将探空仪器带到高空进行温度、大气压力、湿度、风速、风向等气象要素测量的气球，利用探空仪将实时探测到的大气垂直方向上的气象数据反馈给地面雷达，通过数据处理，成为全球预报员制作天气预报的重要依据.大气压强对气球能达到的最大高度和停留时间有非常大的影响.已知大气压强随海拔高度的变化规律是，其中是海平面()Pa p ()m h ()0e 0.000126k hp p k -⋅==0p 大气压强.若探空气球在两处测得的大气压强分别为，，且，那么两处的海,A B 1p 2p 122p p =,A B 拔高度的差约为______m.（参考数据：） ln20.693≈【答案】5500【分析】根据题意结合对数运算求解. 【详解】设两处的海拔高度分别为，,A B 12,h h 由题意可得：，且， 121020e e k h k h p p p p -⋅-⋅⎧=⋅⎨=⋅⎩122p p =即，且，12002ee k h k h p p -⋅-⋅⋅=⋅00p ≠可得，两边同时取对数可得：，122e e k h k h -⋅-⋅=()1212,ln lne 2ln 2e k h k h k h k h -⋅-⋅-⋅-⋅==即，整理得， 12ln 2k h k h -⋅-⋅=21ln 20.69355000.000126h h k -=≈=即两处的海拔高度的差约为5500 m. ,A B 故答案为：5500.16．已知为的垂心（三角形的三条高线的交点），若，则H ABC A 1235AH AB AC =+sin BAC ∠=______.【分析】由题可得，，利用，得2235=-+BH AB AC 1335=- CH AB AC 0BH AC ⋅= 0CH AB ⋅= ，，可得， 再利用平方关系结合条件即得.3cos 5AC BAC AB∠= 5cos 9AB BAC AC ∠= 21cos 3BAC ∠=【详解】因为，1235AH AB AC =+所以，同理，2235BH BA AH AB AC =+=-+1335CH CA AH AB AC =+=-由H 为△ABC 的垂心，得，即， 0BH AC ⋅= 22035AB AC AC ⎛⎫-+⋅= ⎪⎝⎭可知，即， 222cos 53AC AC AB BAC =∠ 3cos 5AC BAC AB∠=同理有，即，可知，即0CH AB ⋅= 13035AB AC AB ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭213cos 35AB AC AB BAC =∠ ，5cos 9ABBAC AC∠= 所以， ，又， 21cos 3BAC ∠=2231cos 2sin 113∠∠=-=-=BAC BAC ()0,πBAC ∠∈所以 sin BAC ∠四、解答题17．已知，，且与的夹角为.1a = 2b = a b 2π3(1)求.()()23a b a b +⋅-(2)求.2a b +【答案】(1)5-【分析】（1）先求得，再利用数量积的运算律求解；a b ⋅（2）先求得，根据向量模的求法，结合数量积的运算律求解.a b ⋅【详解】（1）解：因为，，且与的夹角为，1a = 2b = a b 2π3所以，c 2π3o 1s a b a b ⋅-⋅=⋅=所以()()2223253a b a b a a b b +⋅-=-⋅- ；()22151325=⨯-⨯--⨯=-（2）， 2a b +===18．在中，角，，的对边为，，，已知. ABC A A B C a b c ()12cos b A c +=(1)证明：； 2A B =(2)若，求的值. 23a b =cb【答案】(1)证明见解析； (2). 54【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和差角的正弦公式推理作答. （2）由已知结合余弦定理角化边，代入计算作答.【详解】（1）在中，由及正弦定理得：， ABC A ()12cos b A c +=sin 2sin cos sin B B A C +=而，因此， ()C A B π=-+sin 2sin cos sin()sin cos cos sin B B A A B A B A B +=+=+即有，显然，有， sin sin cos cos sin sin()B A B A B A B =-=-sin 0B >sin()0A B ->即，角B 为锐角，又，，因此， 0A B ->0πA B <-<()πB A B A +-=<B A B =-所以. 2A B =（2）在中，由及余弦定理得：，整理得，ABC A ()12cos b A c +=22222b c a b b c bc+-+⋅=22bc a b =-而，即，于是，又，即23a b =32a b =22235()24bc b b b =-=0b >54c b =所以. 54c b =19．如图，在矩形中，和分别是边和上的点，满足，.OACB E F AC BC 3AC AE =3BC BF=(1)若，其中，，求，的值；OC OE OF λμ=+ λμ∈R λμ(2)连接分别交，于，两点.记，，以，为基底来表示.AB OC OE M N CO a = CA b = a b CN 【答案】(1)； 33,44λμ==(2). 1142CN a b =+【分析】（1）根据给定的图形，利用作基底，结合平面向量基本定理求解作答.,OA OB （2）结合（1）中信息，利用平面向量基本定理确定点的位置，即可求解作答.N 【详解】（1）在矩形中，，，则OACB 3AC AE = 3BC BF = 1133OE OA AE OA AC OA OB =+=+=+ ，，因此1133OF OB BF OB BC OB OA =+=+=+ ， 11()()()()3333O OA OB OB OA C OA OB λμμλλμ++=+++=+ 又，不共线，于是，解得， OC OA OB =+ ,OA OB 1313μλλμ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩33,44λμ==所以. 33,44λμ==（2）为与的交点，则， N AB OE 1(),R 33t ON tOE t OA OB tOA OB t ==+=+∈ ，， (1)33t t AN ON OA tOA OB OA t OA OB =-=+-=-+ AB OB OA =- 又，即存在，，则， //AN AB R m ∈AN mAB = (1)3t t OA OB mOA mOB -+=-+ 因为不共线，因此，解得， ,OA OB 13t m t m -=-⎧⎪⎨=⎪⎩31,44t m ==显然与的交点是线段、的中点，则，即是线段的中AB OC M AB OC 1142AN AB AM == N AM 点，所以. 11111111()22224242CN CA AN CA AM CA CM CA CM CA CM CA a b =+=+=+-=+=+=+ 20．已知函数的最小正周期为，的图象过点，且()()π2sin 03,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭T ()f x (),1T ，将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象. ()π3f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()f x π4()g x (1)求函数在上的值域； ()g x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)在上恰有两个不同的实数解，求的取值范围. ()()2x g x +=[]0,m m【答案】(1)⎡-⎣(2) 11π5π,124⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）利用函数的最小正周期公式表示点，代入求解角，再根据对称性()f x (),1T ()f x ϕ求解，得到函数，根据图像平移变换得到函数，并求其在给定区间上的值域；ω()f x ()g x（2）化简变形，通过恰有两个不同的实数()()()F x x g x =+()()2x g x +=解，限制的取值范围，从而得解.m 【详解】（1）因为函数的最小正周期为， ()()π2sin 03,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭T 所以，. 2πT ω=0ω>由于的图象过点，即过，代入得 ()f x (),1T 2π,1ω⎛⎫ ⎪⎝⎭，即. ()()2π2sin 2sin 2π2sin 1f x ωϕϕϕω⎛⎫=⋅+=+== ⎪⎝⎭1sin 2ϕ=则，或，又， πZ π2,6k k ϕ=+∈5π2π,Z 6k k ϕ=+∈π2ϕ<所以取. π0,6k ϕ==由于，则的图象关于对称， ()π3f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()f x π6x =故，则. ππππ,Z 662k k ω+=+∈26,Z k k ω=+∈又因为，则令.03ω<<0,2k ω==故. ()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭将的图象向左平移个单位长度后得. ()f x π4()ππ2π2sin 22sin 2463g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦当，， π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦2π2π5π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦令，在单调递减，在单调递增， 2π23t x =+()2sin h t t =2π3π,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦3π5π,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦当时，取最小值，最小值为；当时，3π2t =()h t 2-2π3t =()h t所以，()h t ⎡∈-⎣所以函数在上的值域为. ()g x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡-⎣（2）因为，， ()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()2π2sin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令 ()()()π2π22sin 263F x x g x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, πππ22cos 24sin 2663x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由于在上恰有两个不同的实数解，()2F x =[]0,m 则在上恰有两个不同的实数解， π1sin 232x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭[]0,m 当，， []0,x m ∈πππ2,2333x m ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦当时，，或，或， π1sin 232x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭π5π236x +=π13π236x +=π17π236x +=所以依题意，解得. 13ππ17π2636m ≤+<11π5π124m ≤<所以的取值范围. m 11π5π,124⎡⎤⎢⎥⎣⎦21．在中，内角，，所对的边分别为，，.ABC AA B C a b c cos sin C c A =(1)求角的大小；C(2)已知，若为锐角三角形，求的取值范围.c =ABC A a b +【答案】(1) π3(2)【分析】（1，再根据cos sin C c A =cos sin sin A C C A =求解；(),0,πA C ∈（2）由（1）求得，再由，利用三角函数24sin c R C ==2sin 2sin a b R A R B +=+6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的性质求解.【详解】（1）解：在中， ，ABCA cos sin C c A =,cos sin sin A C C A =因为，(),0,πA C ∈所以，即sin sin A C C ≠=tan C =则； π3C =（2）由（1）知：， 24sin c R C ===所以，2sin 2sin a b R A R B +=+， 2π4sin sin 3A A ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 34sin2A A ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为为锐角三角形，ABC A 所以所以，则，解得， π02π02π02A B C ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩π022ππ032A B A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩ππ62A <<所以，则，ππ2π663A <+<1sin 126A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭所以a b <+≤所以的取值范围是.a b +22．已知函数.()()2ln e 2e 3x x f x a =-+(1)若的定义域为，求的取值范围；()f x R a (2)若，使得在区间上单调递增，且值域为，求的取值范围.,m n ∃∈R ()f x [],m n [],m n a 【答案】(1)； 13a >(2). 2334a ≤< 【分析】（1）由题可得恒成立，然后利用参变分离结合函数的性质即得； 2e 2e 30x x a -+>（2）根据复合函数的单调性结合条件可得，且，进而可得在上0a >1e m a ≤2330ax x -+=1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭有两个不等实根，然后根据二次函数的性质即得.【详解】（1）因为的定义域为，， ()f x R ()()2ln e 2e 3x x f x a =-+所以，即恒成立， 2e 2e 30x x a -+>2222e 3321113e e e e 33x x x x x a -⎛⎫>=-+=--+ ⎪⎝⎭因为，，当时等号成立， 10e x >23211113333e e e x x x ⎛⎫+=--+≤ ⎪⎝⎭-1e 13x =所以，即的取值范围为； 13a >a 13a >（2）因为函数在其定义域上为增函数，要使在区间上单调递增， ln y x =()f x [],m n 则函数在区间上单调递增，又为增函数，2e 2e 3x x u a =-+[],m n e x t =所以在上为增函数，显然时不合题意，223y at t =-+e ,e m n ⎡⎤⎣⎦0a ≤所以，且， 0a >1e m a≤又在区间上单调递增，且值域为，()f x [],m n [],m n 所以，即， ()()()()22ln e 2e 3ln e 2e 3m m n n f m a m f n a n ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩22e 3e 30e 3e 30m m n n a a ⎧-+=⎨-+=⎩所以在上有两个不等实根， 2330ax x -+=1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭则，解得， ()22Δ312031211330a a aa a a ⎧⎪=-->⎪⎪>⎨⎪⎪⎛⎫⋅-⋅+≥⎪ ⎪⎝⎭⎩2334a ≤<所以的取值范围为. a 2334a ≤<【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间上有最值，则()f x D （1）恒成立：；；()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<（2）能成立：；. ()()max ,00x D f x f x ∃∈>⇔>()()min ,00x D f x f x ∃∈<⇔<若能分离常数，即将问题转化为：（或），则 ()a f x >()a f x <（1）恒成立：；； ()()max a f x a f x >⇔>()()min a f x a f x <⇔<（2）能成立：；. ()()min a f x a f x >⇔>()()max a f x a f x <⇔<。
华师一附中2023-2024学年度第一学期高二年级十月月考数学试题及答案
华师一附中2023-2024学年度第一学期高二年级十月月考数学试卷时限：120分钟 满分：150分一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意）1. 直线l 过点()2,1A ，(),3B m 的直线的倾斜角α的范围是3,44ππ，则实数m 的取值范围是（ ）A. (]0,2B. ()0,4C. [)2,4D. ()()0,22,42. 直线1l ：10ax y +−=，2l ：()1210a x y −−+=，则“1a =−”是“12l l ⊥”的（ ）条件 A. 必要不充分B. 充分不必要C. 充要D. 既不充分也不必要3. 已知空间向量()()0,1,2,1,2,2a b ==−，则向量a在向量b 上的投影向量是（ ）A. 122,,333− B. 244,,333−C. ()2,4,4−D. 422,,333−4. 如图，在平行六面体1111ABCD A B C D −中，点M 是棱1CC 的中点，连接1B M 、1BC 交于点P ，则（ ）A 12133DP AB AD AA =−+B. 11233DP AB AD AA =−+C. 12233DP AB AD AA =++D. 11122DP AB AD AA =−+5. 将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点()2,0与点()2,4−重合，点()2021,2022与点(),m n 重合，则m n +=（ ） A 1B. 2023C. 4043D. 40466. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，E 为线段1DD 的中点，F 为线段1BB 的中点．直线1FC ..到平面1AB E 的距离为（ ）．A.B.C.23D.137. 过点()3,4P 在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线有多少条（ ） A. 4B. 5C. 6D. 78. 在四棱锥P ABCD −中，棱长为2的侧棱PD 垂直底面边长为2的正方形ABCD ，M 为棱PD 的中点，过直线BM 的平面α分别与侧棱PA 、PC 相交于点E 、F ，当PE PF =时，截面MEBF 的面积为（ ）A. B. 2C. D. 3二、多项选择题（每题有两个或者两个以上正确答案，每题5分，少选得2分，共20分）9. 下列说法中不正确的是（ ）A. 经过定点000(,)P x y 的直线都可以用方程00()y y k x x −=−来表示B. 经过定点(0,)A b 的直线都可以用方程y kx b =+来表示 C. 不与坐标轴重合或平行直线其方程一定可以写成截距式 D. 不与坐标轴重合或平行的直线其方程一定可以写成两点式 10. 下列命题中正确的是（ ）A. 若,,,A B C D 是空间任意四点，则有0AB BC CD DA +++=B. 若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°，则直线l 与平面α所成的角等于50°C. 已知向量{},,a b c 组是空间的一个基底，则{},,a b b c a b c ++++也是空间的一个基底D. 对空间任意一点O 与不共线的三点,,A B C ，若OP xOA yOB zOC =++（其中,,x y z ∈R,,x y z ∈R ），则,,,P A B C 四点共面11. 已知点()1,1M −，()2,1N ，且点P 在直线l ：20x y ++=上，则（ ）的A. 存在点P ，使得PM PN ⊥B. 存在点P ，使得2PM PN =C. PM PN +的最小值为D. PM PN −最大值为312. 如图，四边形ABCD 中，90BAD ∠=°，AB AD ==，45ACB ∠=°，1tan 2BAC ∠=，将ABC 沿AC 折到B AC ′位置，使得平面B AC ′⊥平面ADC ，则以下结论中正确的是（ ）A. 三棱锥B ACD ′−体积为8B. 三棱锥B ACD ′−外接球的表面积为44πC. 二面角B AD C ′−−D. 异面直线AC 与B D ′所成角的余弦值为5三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13. 直线1:230l mx y +−=与直线()2:3160l x m y m +−+−=平行，则m =_________. 14. 如图，平行六面体1111ABCD A B C D −的底面ABCD是矩形，AB =，AD =，1AA =，且1160A AD A AB ∠=∠=°，则线段1AC 的长为_______________.15. 已知正方形的中心为直线220x y −+=，10x y ++=的交点，正方形一边所在的直线方程为350x y +−=，则它邻边所在的直线方程为___________．的的16. 已知a ，0b R a ∈≠，，曲线221a y y ax b x+==++，，若两条曲线在区间[]34，上至少有一个公共点，则22a b +的最小值为________．四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （1）求证：动直线()()222231310m m x m m y m++++−++=（其中R m ∈）恒过定点，并求出定点坐标；（2）求经过两直线1:240l x y −+=和2:20l x y +−=的交点P ，且与直线3:3450x l y −+=垂直的直线l 的方程.18. 在ABC 中，()()()3,4,1,3,5,0A B C −. （1）求BC 边的高线所在的直线的方程；（2）已知直线l 过点A ，且B C 、到l 的距离之比为1:2，求直线l 的方程.19. 如图，在四棱锥P ABCD −中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，BC CD ⊥，π4ABC ∠=，112CDCE BE ===，2PA AD ==，F 为PD 的中点．（1）证明：AB PE ⊥；（2）求二面角A EF D −−的平面角的余弦值．20. 如图1，边长为2的菱形ABCD 中，120DAB ∠=°，E ，O ，F 分别是AB ，BD ，CD 的中点.现沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，连接AC ，如图2.（1）求cos EOF ∠；（2）若过E ，O ，F 三点的平面交AC 于点G ，求四棱锥A OEGF −的体积.21. 在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB ，AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点A 与坐标原点重合(如图所示).将矩形折叠，使点A 落在线段DC 上．（1）若折痕所在直线的斜率为k ，试求折痕所在直线的方程;（2）当20k −+≤≤时，求折痕长的最大值．22. 如图，P 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AC 为底面直径，ABD △为底面圆O 的内接正三角形，且ABD △E 在母线PC 上，且AE =1CE =．（1）求证：直线//PO 平面BDE ，并求三棱锥P BDE −的体积：（2）若点M 为线段PO 上的动点，当直线DM 与平面ABE 所成角的正弦值最大时，求此时点M 到平面ABE 的距离．1. B 【解析】由直线的倾斜角α的范围是3,44ππ，得直线的斜率存在时，1k <−或1k >. 当2m ≠时，31222k m m −==−−， 212m ∴<−−或212m >−，解得02m <<或24m <<. 当直线的斜率不存在时，2m =符合题意 综上，实数m 的取值范围是()0,4.故选：B 2.B 【解析】直线1l ：10ax y +−=，2l ：()1210a x y −−+=， 当12l l ⊥时,有()120a a −−=，解得2a =或1a =−. 所以“1a =−”时“12l l ⊥”成立，“12l l ⊥”时“1a =−”不一定成立， 则“1a =−”是“12l l ⊥”的充分不必要条件.故选：B 3. B 【解析】由已知可得，6a b ⋅= ，3b = ，所以，向量a 在向量b 上的投影向量是244,,23333a b b b b b − == ⋅⋅. 故选：B . 4. B 【解析】在平行四边形11BB C C 中，因为M 为1CC 的中点，连接1B M 、1BC 交于点P ，且11//BB CC ，所以，11112C P C M BP BB ==，则()()111222333BP BC BC BB AD AA ++， 因此，()11212333DP DA AB BP AD AB AD AA AB AD AA =++=−+++=−+. 参考答案故选：B. 5. C 【解析】解：设()2,0A ，()2,4B −，则,A B 所在直线的斜率为40122AB k −==−−−，由题知过点()2021,2022与点(),m n 的直线与直线AB 平行， 所以202212021n m −=−−，整理得202120224043m n +=+=故选：C 6.D 【解析】11,AE FC FC ⊄ 平面1AB E ,AE ⊂平面1AB E , 1FC ∴ 平面1AB E ,因此直线1FC 到平面1AB E 的距离等于点1C 到平面1AB E 的距离，如图，以D 点为坐标原点，DA 所在的直线为x 轴，DC 所在的直线为y 轴，1DD 所在的直线为z 轴，建立直角坐标系.则1111(1,0,0),(1,1,1),(0,1,1),(0,0,),(1,1,)22A B C E F111111(1,0,),(1,0,),(0,1,1),(1,0,0)22FC AE AB C B =−=−==设平面1AB E 的法向量为(,,)n x y z =，则11020n AE x z n AB y z ⋅=−+=⋅=+=，令2z =，则(1,2,2)n =− 设点1C 到平面1AB E 的距离为d ，则1113n C B dn⋅=故直线1FC 到平面1AB E 距离为13. 故选：D. 7. D 【解析】当截距为0时，是直线OP ,只有一条，当截距大于0时，设截距分别为,,a b 则直线方程为1x ya b+=，∵直线过点()3,4P , ∴341+a b =①，∵0,0a b >>,∴3400>,>a b ,结合①可得，34<1<1,a b,∴3,4a b >>,又∵,a b 为整数，45a b ∴≥≥，， 由①解得412433a b a a ==+−−,3a −为12的因数， ∴31,2,3,4,6,12a −=,对应4,5,6,7,9,15a =,相应16,10,8,7,6,5,b = 对应的直线又有6条，综上所述，满足题意的直线共有7条，故选：D. 8. A 【解析】由题意，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形， 如图，建立空间直角坐标系D -xyz ，则()0,2,0C ，()002P ,,，()2,0,0A ，()0,0,1M ，()2,2,0B ，()2,0,2PA =−，()2,2,1BM =−−，设()2,0,2PEtPA t t ==−，01t ≤≤，则()2,0,22E t t −，又PE PF =，PA PC =，所以()0,2,2PF tPC t t ==− ，则()0,2,22F t t −，由题意，M E B F 、、、四点共面，所以BM xBE yBF =+，的所以2(22)222(22)1(22)(22)t x yx t y t x t y−=−−−=−+− =−+−，解得32,43x y t ===，所以42,0,33E ，420,,33F ，所以2222,2,,2,,3333BE BF =−−=−− ，所以7cos ,11BE BF BEBF BE BF⋅==，即7cos 11EBF ∠=，所以sin EBF ∠所以1144sin 229EBF S BE BF EBF =××∠=×， 又4141,0,,0,,3333ME MF =−=− ，所以1cos ,17ME MF MEMF ME MF⋅==，即1cos 17EMF ∠=，所以sin EMF ∠所以1117sin 229EMF S ME MF EMF =××∠=×， 所以截面MEBF的面积为EBF EMF S S S =+=+= 故选：A 9. ABC 【解析】对于A ，点斜式方程适用斜率存在的直线，故A 错误； 对于B ，斜截式方程适用斜率存在的直线，故B 错误；对于C ，截距式方程适用不与坐标轴重合或平行且不过原点的直线，故C 错误； 对于D ，两点式方程适用不与坐标轴重合或平行的直线，故D 正确；故选：ABC 10. AC 【解析】A ：因为0AB BC CD DA +++=，所以本选项命题正确；B ：因为直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°， 所以直线l 与平面α所成的角等于()9018013040°−°−°=°，因此本选项命题不正确；C ：假设{},,a b b c a b c ++++不是空间一个基底，所以有()()a b cx a b y b c ++=+++成立， 因为{},,a b c组是空间的一个基底，所以可得111x x y y ==+ =，显然该方程组没有实数解，因此假设不成立， 所以{},,a b b c a b c ++++ 也是空间的一个基底，因此本选项命题正确；D ：因为只有当1x y z ++=时，,,,P A B C 四点才共面， 所以本选项命题不正确， 故选：AC 11. BCD 【解析】对于A ：设(),2P a a −−，若1a =−时()1,1P −−，此时PM 斜率不存在，203PN k =≠，PM 与PN 不垂直，同理2a =时PM 与PN 不垂直， 当1a ≠−且2a ≠时31PM a k a −−=+，32PN a k a −−=−， 若PM PN ⊥，则33121PM PN a a k k a a −−−−⋅=⋅=−−+， 去分母整理得22570a a ++=，2Δ54270−××<，方程无解，故PM 与PN 不垂直，故A 错误； 对于B ：设(),2P a a −−，若2PM PN =，则即221090a a ++=，由2Δ10429280=−××=>，所以方程有解，则存在点P ，使得的2PM PN =，故B 正确；对于C ：如图设()1,1M −关于直线l 的对称点为(),M a b ′，则111112022b a a b − = +−++ ++= ， 解得31a b =− =− ，所以()3,1M ′−−，所以PM PN PM PN M N +=+≥=′′，当且仅当M ′、P 、N 三点共线时取等号（P 在线段M N ′之间），故C 正确；对于D ：如下图，3PM PN MN −≤=，当且仅当P 在NM 的延长线与直线l 的交点时取等号，故D 正确.故选：BCD 12. ABC【解析】过B 作BEAC ⊥于E ，在ABC 中，因为1tan 2BAC∠=，所以sinBAC ∠cos BAC ∠由正弦定理得sin sin AB BCACB BAC=∠∠,=，解得BC =所以sin2BE BC ACB=∠==，2CE=，因为()ABC ACB BACπ∠=−∠+∠,所以sin sin()ABC ACB BAC∠=∠+∠sin cos cos sinACB BAC ACB BAC=∠∠+∠∠=+=，由正弦定理得sin sinAC ABABC ACB=∠∠=6AC=，所以11sin sin(90)22ACDS AC AD DAC AC AD BAC=⋅⋅∠=⋅⋅°−∠11cos61222AC AD BAC=⋅⋅∠=××=，因为平面B AC′⊥平面ADC，平面'B AC 平面ADC AC=，BE AC⊥，所以'B E⊥平面ADC，所以三棱锥B ACD′−的体积为11122833ACDS BE⋅=××=，所以A正确，设O为ACD的外心，ACD外接圆半径为r，由余弦定理得2222cosCD AC AD AC AD DAC=+−⋅∠22222cos(90)2sin36202632AC AD AC AD BACAC AD AC AD BAC+−⋅°−∠=+−⋅∠=+−××所以CD=，由正弦定理得2sinCDrDAC==∠r=取AC的中点M，连接,,OM OE OC，则1OM=，OE，设三棱锥B ACD′−外接球的半径为R，球心为'O，设'OO x=，则222222(2)R OE x R x OC=++ =+ ，即22222(2)10R x R x =++ =+ ，解得1x =，211R =， 所以三棱锥B ACD ′−外接球的表面积为2444R π=π，所以B 正确，过E 作EF AD ⊥于F ，连接'B F ，因为'B E ⊥平面ADC ，AD ⊂平面ADC ，所以'B E AD ⊥，因为'B E EF E = ，所以AD ⊥平面'EB F ，因为'B F ⊂平面'EB F ，所以'B F AD ⊥，所以'B FE ∠为二面角B AD C ′−−的平面角，因为sin 4EF AE DAC =⋅∠=''tan B E B FE EF ∠=C 正确，如图，以E 为坐标原点，建立空间直角坐标系，过D 作DG AC ⊥于G ，则cos 2AG AD CAD =⋅∠==，sin 4DG AD CAD =⋅∠==， 则'(2,0,0),(4,0,0),(2,4,0),(0,0,2)C A D B −−所以'(6,0,0),(2,4,2)AC B D ==−−设异面直线AC 与B D ′所成角为θ，则cos θ，所以D 错误， 故选：ABC13. －2 【解析】由1:230l mx y +−=，得到12:32ml y x =−+，因为12l l //，所以10m −≠，由()3160x m y m +−+−=，得到3611m y x m m −=−−−− 所以3213621mm m m −=− −− ≠− − ，即2603m m m −−= ≠ ，解得2m =−，故答案为：2−.14. 【解析】依题意，11AC AC CC =+ ，得22221111()2AC AC CC AC AC CC CC =+=+⋅+ ， 由底面ABCD为矩形，AB =，AD =222224AC AB AD =+=+= ，显然22118CC AA == ， 又1111()AC CC AB AD CC AB AA AD AA ⋅=+⋅=⋅+⋅1111cos 60cos 60422AB AA AD AA =⋅⋅°+⋅⋅°+= ，因此21424820AC =+×+=，所以1AC = .故答案为：15. 390,330x y x y −+=−−= 【解析】解：22010x y x y −+= ++= ，解得10x y =− =，∴中心坐标为(1,0)M −，点M 到直线1:350l x y +−=的距离d 设与1l 垂直两线分别为34l l 、，则点(1,0)M −，设34,l l 方程为230x y d −+=23d =−或9 ， ∴它邻边所在的直线方程为390,330x y x y −+=−−=．故答案为：390,330x y x y −+=−−= 16.1100【解析】曲线221a yy ax b x+==++，， 221a ax b x+∴=++， 222a ax bx x ∴+=++，()21220x a bx x ∴−++−=， 于是可以看作关于a ，b 的直线方程， 则()a b ，是该直线上的点，22a b ∴+表示原点到点()a b ，的距离的平方，设原点到直线的距离为d ， 根据点到直线的距离公式得到d =()()222222222211x x a b d x x −− ∴+≥== + +， 令[]234t x x =−∈，，，则[]12t ∈，，则2x t =+， ()222222221545214t t a b d t t t t t ∴+≥=== ++++ ++， 设()[]5412f t t t t=++∈，，， 可知函数()f t 在[]12，上为减函数， ∴当1t =时，()()115410max f t f ==++=， ∴当1t =时，22a b +最小值为1100． 故答案为:1100． 17. 【解析】(1)证明：解法一：令0m =，则直线方程为310x y ++= ① 再令1m =时，直线方程为640x y ++=② ①和②联立方程组310640x y x y ++=++=，得12x y =− = ，将点()1,2A −代入动直线()()222231310m m x m my m++++−++=中，即()()()()()22222311231312222130m m m m m m m ++×−++−×++−−+−+++−故动直线()()222231310mm x m m y m ++++−++=恒过定点()1,2A −. 解法二：将动直线方程按m 降幂排列整理，得()()232310x y m x y m x y −++++++=① 不论m 为何实数，①式恒为零，∴ 有3020310x y x y x y −+=+=++=，解得12x y =− = ， 故动直线恒过点()1,2A −．(2)解法一：联立方程24020x y x y −+=+−=，解得()0,2P ， 直线3:3450x l y −+=的斜率为34，由3l l ⊥，则直线l 的斜率为43k =−， 故直线l 的方程为4360x y +−=. 解法二：设所求直线方程为430x y m ++=， 将解法一中求得的交点()0,2P 代入上式可得6m =−，故所求直线方程为4360x y +−=. 解法三：设直线l 的方程为()()2420x y x y λ−+++−=， 即()()12420x y λλλ++−+−=，又3l l ⊥， ∴ ()()()31420λλ×++−×−=， 解得11λ=，故直线l 的方程为4360x y +−=. 18. 【解析】（1）设BC 边高线所在的直线为m ，的所以由3011215m BC m m k k k k −⋅=−⇒⋅=−⇒=−−， 所以直线m 的方程为()423220y x x y −=−⇒−−=； （2）当直线l 不存在斜率时，直线l 的方程为3x =， 显然B C 、到l 的距离之比为2:1，不符合题意；当直线l 存在斜率时，设为k ，方程为()43430y k x kx y k −=−⇒−+−=， 因为B C 、到l 的距离之比为1:2，1k =，或15k =−， 方程为10x y −+=，或5230x y +−=， 综上所述：直线l 的方程10x y −+=，或5230x y +−=. 19. 【解析】（1）在四边形ABCD 中，//AD BC ，取BE 中点G ，连接,AG AE ，由112CDCE BE ===，得2CG AD ==，则四边形AGCD 是平行四边形，又BC CD ⊥， 因此AGCD 是矩形，即有AG BC ⊥，有AE AB =，π4AEB ABC ∠=∠=， 从而π2BAE ∠=，即AB AE ⊥，而PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，则AB PA ⊥， 又,,PA AE A PA AE ∩=⊂平面PAE ，于是AB ⊥平面PAE ，而PE ⊂平面PAE ， 所以AB PE ⊥.（2）由（1）知,,AG AD AP 两两垂直，以点A 为原点，直线,,AG AD AP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，依题意，(0,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,1,1)A E D F ，(1,1,0),(1,0,1),(1,1,0)AE EF ED ==−=−，设平面AEF 的一个法向量(,,)m x y z = ，则00m AE x y m EF x z ⋅=+= ⋅=−+= ，令1x =，得(1,1,1)m =− ，设平面DEF 的一个法向量111(,,)n x y z = ，则111100n ED x y n EF x z ⋅=−+= ⋅=−+=，令11x =，得(1,1,1)n = ，因此1cos ,3||||m n m n m n ⋅〈〉==，显然二面角A EF D −−的平面角为钝角， 所以二面角A EF D −−的平面角的余弦值为13−.20. 【解析】（1）连接OA ，OC ，平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD BD =，OA BD ⊥，OA ⊂平面ABD ，故OA ⊥平面BCD ，分别以OC ，OD ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,1A，()0,B ，()1,0,0C，()D ，因为E ，F 分别是AB ，CD的中点，所以10,2OE =，12OF =， 所以334cos 114OE OF EOF OE OF −⋅∠===−×⋅ . 【小问2详解】连接EG ，FG ，AF ， 设平面OEGF的法向量为(,,)n x y z = ，则0n OE ⋅=，0n OF ⋅=，即1111102102y z x y += +=，令1y =，则13x =−，13z =，所以()n =− ， 设A 到平面OEGF 的距离为h，而10,2AE =−，AE nh n ⋅==依题意得四边形OEGF 是一个菱形，()0,πEOF ∠∈，sin EOF ∠，所以2sin OEF OEGF S S OE OF EOF ==⋅⋅∠=四边形，所以1133A OEGF OEGF V S h −=××==四边形. 21. 【解析】解：（1）①当0k =时，此时点A 与点D 重合，折痕所在直线的方程为12y =． ②当0k ≠时，将矩形折叠后点A 落在线段DC 上的点记为(),1G a ，02a <≤，所以点A 与点G 关于折痕所在的直线对称，有1·11OG k k k a k a=−⇒⋅=−⇒=−， 故点G 的坐标为(),1k −，从而折痕所在的直线与OG 的交点(线段OG 的中点)为122k P−,， 故折痕所在直线的方程为122k y k x −=+，即2122k y kx =++．综上所述，折痕所在直线的方程为2122k y kx =++．()2当0k =时，折痕的长为2;当20k −+≤<时，折痕所在的直线交直线BC 于点212222k M k++,，交y 轴于点2102k N + ,．(22027k<≤−+=−,∴(211122=1222k +<≤<×,则N 在AD 上，221132(2)2222k k k ++=+−，20k −+≤<，21222k k ∴++的取值范围为10,2 ，故点M 在线段BC 上．(22222211||224444732222k k MN k k +=+−++=+≤+×−=− ，∴2.=而22>，故折痕长度的最大值为2.22.【解析】（1）设AC BD F ∩=，连接EF ，ABD 为底面圆O的内接正三角形，2AC ∴=，F 为BD 中点，又32AF ==，31222CF ∴=−=，213AO AF ==；AE = ，1CE =，222AE CE AC ∴+=，AE EC ∴⊥，AF AE AE AC= ，AEF ∴ ∽ACE △，AFE AEC ∴∠=∠，EF AC ∴⊥； PO ⊥ 平面ABD ，PO ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面ABD ， 平面PAC 平面ABD AC =，EF ⊂平面PAC ，EF ∴⊥平面ABD ， 又PO ⊥平面ABD ，//EF PO ∴，PO ⊄ 平面BDE ，EF ⊂平面BDE ，//PO ∴平面BDE ；F 为BD 中点，AF BD ∴⊥，即OF BD ⊥，又EF ⊥平面ABD ，,OF BD ⊂平面ABD ，EF OF ∴⊥，EF BD ⊥， EF BD F = ，,EF BD ⊂平面BDE ，OF ∴⊥平面BDE ，EF === EF BD ⊥，113224BDE S BD EF ∴=⋅== ， 又1122OF AF ==，//PO 平面BDE ， 1131133428P BDE O BDE BDE V V S OF −−∴==⋅=××= . （2）12OF CF == ，F ∴为OC 中点，又//PO EF ，E ∴为PC 中点，2PO EF =，PO ∴，2PC =， 以F 为坐标原点，,,FB FC FE 正方向为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则30,,02A −，B，E，D ，10,,02O −，10,2P − ，3,02AB ∴，30,2AE =，(OP =，1,02DO=−，3,02DA =−，设()()01OM OP λλ==≤≤，12DM DO OM ∴=+=−；设平面ABE 的法向量(),,n x y z = ，则302302AB n x y AE n y z ⋅=+= ⋅==，令1y =−，解得：x =，z =，n ∴=− ， 设直线DM 与平面ABE 所成角为θ，sin DM n DM n θ⋅∴==⋅令32t λ=+，则[]2,5t ∈，23t λ−∴=， ()()2222222213147174313332t t t t t t t λλ−++−+ ∴===−++， 111,52t ∈ ，∴当127t =，即12λ=时，()22min 313114497324λλ+ +== + ， ()max sin 1θ∴==，此时12DM =−，0,1,MA DA DM ∴=−=− ， ∴点M 到平面ABE的距离MA n d n ⋅== .。
高二数学第一次月考试卷及答案
高二数学月考试卷答案(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某公共汽车上有15位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有() A．515种B．155种C．50种D．50625种【解析】每位乘客都有5种不同的下车方式，根据分步乘法计数原理，共有515种可能的下车方式，故选A.【答案】A2．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有() A．6种B．12种C．18种D．24种【解析】种植黄瓜有3种不同的种法，其余两块地从余下的3种蔬菜中选一种种植有3×2＝6种不同种法．由分步乘法计数原理知共有3×6＝18种不同的种植方法．故选C.【答案】C3．(1－x)6展开式中x的奇次项系数和为()A．32B．－32C．0D．－64【解析】(1－x)6＝1－C16x＋C26x2－C36x3＋C46x4－C56x5＋C66x6，所以x的奇次项系数和为－C16－C36－C56＝－32，故选B.【答案】B4．甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达到标准的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人中至少有一人达标的概率是()A．0.04B．0.16C．0.24D．0.96【解析】三人都不达标的概率是(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.04，故三人中至少有一人达标的概率为1－0.04＝0.96.【答案】D5．正态分布密度函数为f(x)＝122πe－x－128，x∈R，则其标准差为()A．1B．2C．4D．8【解析】根据f(x)＝1σ2πe－x－μ22σ2，对比f(x)＝122πe－x－128知σ＝2.【答案】B6．随机变量X的分布列如下表，则E(5X＋4)等于()X024P0.30.20.5A.16B．11C．2.2D．2.3【解析】由表格可求E(X)＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝5×2.4＋4＝16.故选A.【答案】A7．三名教师教六个班的数学，则每人教两个班，分配方案共有()A．18种B．24种C．45种D．90种【解析】不妨设三名教师为甲、乙、丙．先从6个班中任取两个班分配甲，再从剩余4个班中，任取2个班分配给乙，最后两个班分给丙．由乘法计数原理得分配方案共C26·C24·C22＝90(种)．【答案】D8．在(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数为()A．140B．240C．360D．800【解析】由(x2＋3x＋2)5＝(x＋1)5(x＋2)5，知(x＋1)5的展开式中x的系数为C45，常数项为1，(x＋2)5的展开式中x的系数为C45·24，常数项为25.因此原式中x的系数为C45·25＋C45·24＝240.【答案】B9．设随机变量ξ～B(n，p)，若E(ξ)＝2.4，D(ξ)＝1.44，则参数n，p 的值为()【导学号：97270066】A．n＝4，p＝0.6B．n＝6，p＝0.4C．n＝8，p＝0.3D．n＝24，p＝0.1【解析】由二项分布的均值与方差性质得＝2.4，1－p＝1.44，＝6，＝0.4，故选B.【答案】B10．小明同学在网易上申请了一个电子信箱，密码由4位数字组成，现在小明只记得密码是由2个6,1个3,1个9组成，但忘记了它们的顺序．那么小明试着输入由这样4个数组成的一个密码，则他恰好能输入正确进入邮箱的概率是()A.16B.18C.112D.124【解析】由2个6,1个3,1个9这4个数字一共可以组成A44A22＝12种不同的密码顺序，因此小明试着输入由这样4个数组成的一个密码，他恰好能输入正确进入邮箱的概率是P＝1 12 .【答案】C11．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是()自然状况概率方案盈利(万元)S i PiA1A2A3A4S10.255070－2098S20.3065265282S30.45261678－10A.A1B．A2C．A3D．A4【解析】利用方案A 1，期望为50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7；利用方案A 2，期望为70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5；利用方案A 3，期望为－20×0.25＋52×0.30＋78×0.45＝45.7；利用方案A 4，期望为98×0.25＋82×0.30－10×0.45＝44.6；因为A 3的期望最大，所以应选择的方案是A 3，故选C.【答案】C12.如图12，用五种不同的颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F 六个不同的点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共()A．264种B．360种C．1240种D．1920种【解析】由于A 和E 或F 可以同色，B 和D 或F 可以同色，C 和D 或E 可以同色，所以当五种颜色都选择时，选法有C 13C 12A 55种；当五种颜色选择四种时，选法有C 45C 13×3×A 44种；当五种颜色选择三种时，选法有C 35×2×A 33种，所以不同的涂色方法共C 13C 12A 55＋C 45C 13×3×A 44＋C 35×2×A 33＝1920.故选D.【答案】D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．某科技小组有女同学2名、男同学x 名，现从中选出3名去参加展览．若恰有1名女生入选时的不同选法有20种，则该科技小组中男生的人数为________．【解析】由题意得C12·C2x＝20，解得x＝5.【答案】514．已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a＋a2＋a4)·(a1＋a3＋a5)的值等于________．【解析】令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，①再令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝25＝32，②①＋②得a0＋a2＋a4＝16，①－②得a1＋a3＋a5＝－16，故(a0＋a2＋a4)·(a1＋a3＋a5)的值等于－256.【答案】－25615．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.9的3次方×0.1；③他至少击中目标1次的概率是1－0.1的4次方.其中正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号)．解析：②中恰好击中目标3次的概率应为C34×0.93×0.1＝0.93×0.4，只有①③正确．答案：①③16.抽样调查表明，某校高三学生成绩(总分750分)X近似服从正态分布，平均成绩为500分．已知P(400<X<450)＝0.3，则P(550<X<600)＝________.【解析】由下图可以看出P(550<X<600)＝P(400<X<450)＝0.3.【答案】0.3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10x n ＝C 2xn ，x ＋1n ＝113C x －1n，试求x ，n 的值.【解】∵C x n ＝C n －x n ＝C 2xn ，∴n －x ＝2x 或x ＝2x (舍去)，∴n ＝3x .由C x ＋1n ＝113C x －1n ，得n ！x ＋1！n －x －1！＝113·n ！x －1！n －x ＋1！，整理得3(x －1)！(n －x ＋1)！＝11(x ＋1)！(n －x －1)！，3(n －x ＋1)(n －x )＝11(x ＋1)x .将n ＝3x 代入，整理得6(2x ＋1)＝11(x ＋1)，∴x ＝5，n ＝3x ＝15.18．18．(本小题满分12分)要从两名同学中挑出一名，代表班级参加射击比赛，根据以往的成绩记录同学甲击中目标的环数为X 1的分布列为X 15678910P 0.030.090.200.310.270.10同学乙击目标的环数X 2的分布列为X 256789P 0.010.050.200.410.33(1)请你评价两位同学的射击水平(用数据作依据)；(2)如果其它班参加选手成绩都在9环左右，本班应派哪一位选手参赛，如果其它班参赛选手的成绩都在7环左右呢？（1）利用期望和方差公式求出两变量的期望和方差；（2）根据第（1）问的结论选择水平高的选手解：（1）EX 1＝，EX 2＝=8DX 1=1.50DX 2=0.8两位同学射击平均中靶环数是相等的，同学甲的方差DX1大于同学乙的方差DX2，因此同学乙发挥的更稳定。
江西省高二上学期第一次月考数学试题(解析版)
一、单选题1．直线的倾斜角为（ ） 20x -=A ．B ．C ．D ．6π4π3π5π6【答案】D【分析】利用斜率和倾斜角的关系即可求倾斜角. 【详解】设斜率为，倾斜角为， k α∵∴，． y =tan k α==56πα=故选：D ．2．过点（2，－3）、斜率为的直线在y 轴上的截距为（ ）12-A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4【答案】B【分析】根据点斜式公式，整理直线方程，令，可得答案. 0x =【详解】由题意得直线方程为，令x =0，解得y ＝－2． ()1322y x +=--故选：B ．3．直线与圆的位置关系是（ ） 34120x y ++=()()22119-++=x y A ．相交且过圆心 B ．相切C ．相离D ．相交但不过圆心【答案】D【分析】根据圆心到直线的距离与半径的大小比较，即可判断圆与直线的位置关系.【详解】圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离()11-，3r =34120x y ++=，又因为直线不过圆心，所以直线与圆相交但不过圆心． 115d r <故选:D4．在平面直角坐标系内，一束光线从点A （1，2）出发，被直线反射后到达点B （3，6），则y x =这束光线从A 到B 所经过的距离为（ ）A ．BC ．4D ．5【答案】B【分析】作出点A 关于直线的对称点，连接，利用光线关于直线对称得到即为y x =()2,1C CB CB光线经过路程的最小值，再利用两点间的距离公式进行求解. 【详解】作出点A 关于直线的对称点， y x =()2,1C 连接，交直线于点， CB y x =M 则即为光线经过路程的最小值，CB=此即光线从A 到B . 故选：B ．5．若直线与直线的交点在第一象限内，则实数k 的取值范围是1:2l y kx k =++2:24l y x =-+（ ） A ．B ． 23k >-2k <C ． D ．或223k -<<23k <-2k >【答案】C【分析】求出两直线的交点坐标，再根据交点在第一象限建立不等式组求解.【详解】方法一：由直线，有交点，得．由，得，即交点坐标1l 2l 2k ≠-224y kx k y x =++⎧⎨=-+⎩22642k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩为．又交点在第一象限内，所以，解得． 264,22k k k k -+⎛⎫⎪++⎝⎭202642kk k k -⎧>⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩223k -<<方法二：由题意知，直线过定点，斜率为k ，直线与x 轴、y 轴分别交于1:2(1)l y k x -=+(1,2)P -2l 点，．若直线与的交点在第一象限内，则必过线段AB 上的点（不包括点A ，(2,0)A (0,4)B 1l 2l 1l B ）．因为，，所以．故A ，B ，D 错误.23PA k =-2PB k =223k -<<故选：C ．6．已知圆的方程为，过点的该圆的所有弦中，最短弦的长为（ ） 2260x y x +-=()1,2A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】整理圆的方程，写出圆心坐标，利用圆的性质，以及两点之间距离公式，结合勾股定理，可得答案.【详解】整理为，故圆心为，半径为， 2260x y x +-=22(3)9x y -+=()3,0A 3r =设，故当与圆的弦垂直时，弦最短， ()1,2B AB=由垂径定理得：. 22==故选：B7．已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为()()22124x y +++=10ax by ++=0a >0b >12a b+（ ） A ．B ．9C ．4D ．852【答案】B【分析】由题可得，然后利用基本不等式即得.()210,0a b a b +=>>【详解】圆的圆心为，依题意，点在直线上，()()22124x y +++=()1,2--()1,2--10ax by ++=因此，即，210a b --+=()210,0a b a b +=>>∴， ()1212222559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当，即时取“=”， 22b a a b =13a b ==所以的最小值为9. 12a b+故选：B.8．若圆上至少有3个点到直线的距离为，则k 的取值范226:80M x y x y +-+=():13l y k x -=-52围是（ ）A ．B ．)(⎡⋃⎣[]3,3-C ．D ．(),-∞⋃+∞(),-∞+∞【答案】C【分析】圆M 先成化标准方程求得圆心，半径为5，则至少有3个点到直线l 的距离为()3,4M -52等价于圆心到直线l 的距离不超过，用点线距离公式列式求解即可 52【详解】圆M 的标准方程为，则圆心，半径为5， ()()222345x y -++=()3,4M -由题意及圆的几何性质得，圆心到直线的距离不超过， ()3,4M -():13l y k x -=-52，解得，即 52≤23k ≥k ≥k ≤故选：C二、多选题9．使方程表示圆的实数a 的可能取值为（ ） 2222210x y ax ay a a +-+++-=A ． B ．0 C ． D ．2-1-34【答案】BC【分析】配方后，利用半径的平方大于0，得到不等式，解不等式求出实数a 的取值范围. 【详解】，配方得： 2222210x y ax ay a a +-+++-=，()2223124a x y a a a ⎛⎫-++=--+ ⎪⎝⎭要想表示圆，则，23140a a -->+解得：， 223a -<<故选：BC10．已知圆，下列结论中正确的有（ ） ()()224x a y b -+-=A ．若圆过原点，则 B ．若圆心在轴上，则224a b +=y 0b =C ．若圆与轴相切，则 D ．若圆与轴均相切，则y 2a =±,x y 2a b ==【答案】ACD【分析】将原点代入圆方程可知A 正确；由圆心为可知B 错误；由圆心坐标和半径可确定(),a b CD 正确.【详解】对于A ，若圆过原点，则，即，A 正确；()()22004a b -+-=224a b +=对于B ，由圆的方程知其圆心为，若圆心在轴上，则，B 错误； (),a b y 0a =对于C ，由圆的方程知其圆心为，半径；若圆与轴相切，则，(),a b 2r =y 2a r ==，C 正确；2a ∴=±对于D ，若圆与轴均相切，由C 知：，D 正确. ,x y 2a b ==故选：ACD.11．下列结论正确的有（ ）A ．已知点，若直线与线段相交，则的取值范围是 ()()1,1,4,2AB ():2l y k x =-AB k []1,1-B ．点关于的对称点为()0,21yx =+()1,1C ．直线方向向量为，则此直线倾斜角为(30︒D ．若直线与直线平行，则或2 :210l x ay ++=2:210l ax y ++=2a =-【答案】BC【分析】易得直线过定点，作出图象，结合图象即可判断A ；设点关于的对l ()2,0C ()0,21y x =+称点为，则，从而可判断B ；根据直线的方向向量求得直线的斜率，即可得直线(),a b 2112122b ab a -⎧⋅=-⎪⎪⎨+⎪=+⎪⎩的倾斜角，即可判断C ；根据两直线平行的公式即可判断D. 【详解】选项A ，作图如下：直线过定点，若与线段相交，则， l ()2,0C AB 20011,14221BC AC k k --====---直线的斜率，故A 错误；l ()(),11,k ∈-∞-+∞ 选项B ，设点关于的对称点为，()0,21y x =+(),a b则，解得，2112122b ab a -⎧⋅=-⎪⎪⎨+⎪=+⎪⎩1a b ==所以点关于的对称点为，故B 正确；()0,21y x =+()1,1选项C ，因为方向向量为，倾斜角的正切为，又，(tan α=[)0,πα∈所以倾斜角为，故C 正确；30︒选项D ，由两直线平行可得，则，故D 错误；2222a a ⎧=⎨≠⎩2a =-故选：BC.12．已知实数x ，y 满足方程，则下列说法正确的是（ ） 224240x y x y +--+=A ．的最大值为 B ．的最小值为0 yx 43yxC ．D ．的最大值为22xy+1+x y ＋3【答案】ABD 【分析】根据的几何意义，结合图形可求得的最值，由此判断A ，B ，根据的几何意义y x y x22x y +求其最值，判断C ，再利用三角换元，结合正弦函数性质判断D.【详解】由实数x ，y 满足方程可得点在圆上，作其224240x y x y +--+=(,)x y ()()22211x y -+-=图象如下，因为表示点与坐标原点连线的斜率， yx(,)x y设过坐标原点的圆的切线方程为，解得：或， y kx =10k =43k =，，，A ，B 正确； 40,3y x ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦max 43y x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭min0y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为22x y +(,)x y (,)x y ，+1OC所以最大值为22x y +()21OC+所以的最大值为C 错，22xy +6+因为可化为， 224240x y x y +--+=()()22211x y -+-=故可设，，2cos x θ=+1sin y θ=+所以，2cos 1sin 34x y πθθθ⎛⎫=+++=+ ⎪⎝⎭＋所以当时，即取最大值，最大值为，D 对， 4πθ=21x y ==x y ＋3故选：ABD.三、填空题13．已知、和三点共线，则实数______． ()1,3A ()4,1B ()1,3C a +-=a 【答案】9【分析】利用直线斜率的定义列方程即可求得实数a 的值. 【详解】由题意可得，即 AB AC k k =313(3)141(1)a ---=--+解之得 9a =故答案为：914．已知两直线与，则与间的距离为______．1:60l x y -+=2:3320l x y -+-=1l 2l 【分析】先将两平行直线方程x 的系数化成相等，然后由平行直线的距离公式直接可得. 【详解】将直线的方程化为， 1l 33180x y -+-=则与间的距离1l 2ld15．已知点是直线上的点，点是圆上的点，则的最小值P 3420x y +-=Q 22(1)(1)1x y +++=PQ 是___________. 【答案】## 450.8【分析】由题意可得的最小值为圆心到直线的距离减去半径即可 PQ 【详解】圆的圆心为，半径为1， 22(1)(1)1x y +++=(1,1)--则圆心到直线的距离为3420x y +-=， 95d 所以的最小值为，PQ 94155-=故答案为：4516．若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是______.:420l kx y k -++=y =k 【答案】31,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【分析】先求出直线所过定点，再将曲线，可知其为l (2,4)A -y =224(0)x y y +=≥半圆，结合图像，即可求出的取值范围.k 【详解】由题意得，直线的方程可化为，所以直线恒过定点， l (2)40x k y +-+=l (2,4)A -又曲线可化为，其表示以为圆心，半径为2的圆的上半部分，如y =224(0)x y y +=≥(0,0)图.当与该曲线相切时，点到直线的距离，解得，l (0,0)2d 34k =-设，则， (2,0)B 40122AB k -==---由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，须得，即.l y =314k -≤<-31,4k ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭故答案为：.31,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭四、解答题17．已知直线l 经过直线x ＋3y -4＝0与直线3x ＋4y -2＝0的交点P ，且垂直于直线x -2y -1＝0． (1)求直线l 的方程；(2)求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1)； 220x y ++=(2)1.【分析】（1）解方程组求出点P 的坐标，由垂直条件求出直线l 的斜率，并由点斜式写出方程作答. （2）求出直线l 与二坐标轴的交点坐标即可求出三角形面积作答.【详解】（1）依题意，由，解得，则，3403420x y x y +-=⎧⎨+-=⎩22x y =-⎧⎨=⎩(2,2)P -因为直线l 与直线x -2y -1＝0垂直，设直线l 的斜率为k ，则，解得k ＝-2， 112k ⨯=-所以直线l 的方程为，即2x ＋y ＋2＝0.()222y x -=-+（2）直线l ：2x ＋y ＋2＝0与x 轴的交点为，与y 轴的交点为， (1,0)-(0,2)-所以直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积．11212S =⨯⨯=18．求适合下列条件的直线的方程：l (1)直线在两坐标轴上的截距相等，且经过点；l ()4,3P (2)直线经过点且与点和点的距离之比为. l ()2,5P -()3,2A -()1,6B -1:2【答案】(1)或 340x y -=70x y +-=(2)或 30x y ++=17290x y +-=【分析】（1）分别讨论截距存在和不存在两种情况，利用正比例函数和直线的截距式方程，带点求参即可得到直线方程；（2）分别讨论斜率存在和不存在两种情况，利用点斜式方程和点到直线的距离公式求解即可. 【详解】（1）若直线过原点，设直线的方程为，代入点，可得， l l y kx =()4,3P 34k =则直线的方程为， l 340x y -=若直线不过原点，可设直线的方程为，代入点，可得， l l ()10x ya a a+=≠()4,3P 7a =则直线的方程为，l 70x y +-=综上所述，直线的方程为或； l 340x y -=70x y +-=（2）若直线的斜率不存在，直线的方程为， l l 2x =此时，点到直线的距离分别为，不合乎题意；A B ､l 13､若直线的斜率存在，设直线的方程为，即.l l ()52y k x +=-250kx y k ---=，整理得，解得或. 12218170k k ++=1k =-17k =-综上所述，直线的方程为或，即或.l 30x y ---=173450x y --+-=30x y ++=17290x y +-=19．已知方程表示圆，其圆心为.()2222410621190x y kx k y k k +++++++=C (1)求圆心坐标以及该圆半径的取值范围；r (2)若，线段的端点的坐标为，端点在圆上运动，求线段中点的轨迹方2k =-AB A ()0,4B C AB M 程.【答案】(1)()5,25,0,2k k ⎛⎤--- ⎥⎝⎦(2)223(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭【分析】（1）利用配方法，整理圆的一般方程为标准方程，根据标准方程的成立条件，可得答案； （2）设出动点坐标，利用中点坐标公式，表示点的坐标，代入圆方程，可得答案.B 【详解】（1）方程可变为：()2222410621190x y kx k y k k +++++++=由方程表示圆， 222()(25)6x k y k k k ++++=--+所以，即得，260k k --+>32k -<<.圆心坐标为. 50,2r ⎛⎤∴== ⎥⎝⎦(),25k k ---（2）当时，圆方程为：，2k =-C 22(2)(1)4x y -++=设，又为线段的中点，的坐标为则，(),M x y M AB A ()0,4()2,24B x y -由端点在圆上运动，B C 即 22(22)(23)4x y ∴-+-=223(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭线段中点的轨迹方程为. ∴AB M 223(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭20．已知圆C 的圆心在直线x +y ﹣2＝0上，且经过点A （4，0），B （2，2）．(1)求圆C 的方程；(2)若直线l 过点P （3，4）与圆交于M ，N 两点，且弦长l 的方程．||MN =【答案】(1)()2224x y -+=(2)x ﹣3＝0或15x ﹣8y ﹣13＝0【分析】（1）求得圆心和半径，由此求得圆的方程.（2）根据直线的斜率存在和不存在进行分类讨论，结合弦长来求得直线的方程.l l 【详解】（1）由题意可得：，AB 中点坐标为M （3，1），则直线AB 的垂直平分线20124AB k -==--方程为y ﹣1＝x ﹣3，与直线x +y ﹣2＝0联立可得两直线的交点坐标为（2，0），即所求圆的圆心坐标为（2，0），圆的半径r ＝4﹣2＝2，圆的方程为：．()2224x y -+=（2）设圆心到直线的距离为d ，则，解得d ＝1，很明显直线斜率不存在时，直线=x ﹣3＝0满足题意，当直线斜率存在时，设直线方程为：y ﹣4＝k （x ﹣3），即kx ﹣y ﹣3k +4＝0，，解得，则直线方程为，即15x ﹣8y ﹣13＝0， 1=158k =151534088x y --⨯+=综上可得，直线方程为x ﹣3＝0或15x ﹣8y ﹣13＝0．21．如图，某海面上有O ，A ，B 三个小岛（面积大小忽略不计），A 岛在O 岛的北偏东45°方向距O 岛千米处，B 岛在O 岛的正东方向距O 岛20千米处．以O 为坐标原点，O的正东方向为x 轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C 经过O ，A ，B 三点．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 区域内有未知暗礁，现有一船D 在O 岛的南偏西30°方向距O 岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险?【答案】(1)；2220600x y x y +--=(2)该船有触礁的危险．【分析】（1）根据给定条件，求出点A ，B 的坐标，设出圆C 的一般方程，利用待定系数法求解作答.（2）求出船D 的航线所在直线的方程，再利用点到直线距离公式计算判断作答.【详解】（1）依题意，因A 岛在O 岛的北偏东45°方向距O 岛， ()40,40A 又B 岛在O 岛的正东方向距O 岛20千米处，则，()20,0B 设过O ，A ，B 三点的圆C 的方程为，220x y Dx Ey F ++++=则，解得，222040404040020200F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪++=⎩20600D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以圆C 的方程为．2220600x y x y +--=（2）因船D 在O 岛的南偏西30°方向距O 岛40千米处，则，(20,D --而船D 沿着北偏东45°方向行驶，则船D 的航线所在直线l 的斜率为1，直线l的方程为， 200x y -+-=由（1）知，圆C 的圆心为，半径()10,30C r =则圆心C 到直线l 的距离，d d r <所以该船有触礁的危险. 22．已知直线与圆.:(2)(12)630l m x m y m ++-+-=22:40C x y x +-=(1)求证：直线l 过定点，并求出此定点坐标；(2)设O 为坐标原点，若直线l 与圆C 交于M ，N 两点，且直线OM ，ON 的斜率分别为，，则1k 2k 是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．12k k +【答案】(1)证明见解析，定点(0,3)(2)是定值，定值为43【分析】（1）由已知可得根据过定点(2)(12)630,m x m y m ++-+-=(23)(26)0.x y m x y +-+-+=的直线系方程计算方法可得l 恒过定点(0,3).（2）设出直线的方程.联立直线与圆的方程，利用韦达定理求解进而即可得结果.l 【详解】（1）由直线得， :(2)(12)630l m x m y m ++-+-=(26)(23)0m x y x y -+++-=联立，解得， 260230x y x y -+=⎧⎨+-=⎩03x y =⎧⎨=⎩直线l 恒过定点.∴(0,3)（2）圆的圆心为，半径为，直线过点，22:40C x y x +-=()2,02l ()0,3直线l 与圆C 交于M ，N 两点，则直线l 的斜率存在，设直线l 方程为，3y kx =+联立，得， 22340y kx x y x =+⎧⎨+-=⎩22(1)(64)90k x k x ++-+=设，，则，， 11(,)M x y 22(,)N x y 122641k x x k -+=-+12291x x k =+ 12121212121212333()3(46)422.93y y kx kx x x k k k k k x x x x x x +++-+=+=+=+=+=是定值，定值为 12k k ∴+4.3。
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潮阳实验学校2015－ 2016 学年度第一学期第一次月考高二数学本试卷分选择题和非选择题两部分,全卷满分150 分，考试时间120 分钟。
考生注意事项：1.答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对。
2.答选择题时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，作图题可先用铅笔在答题．．．．．．卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。
必须在题号所指示的答题区．域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4.考试结束，务必将答题卡上交，试卷和草稿纸请自己带走。
一．选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{ x|x2－ 2x＝ 0} ， B＝ {0 ， 1， 2} ，则 A∩B＝ ()A． {0}B．{0，1}C．{0 ， 2}D．{0，1，2}2．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（）A ．y e x B．y x C．y ln x D．y x3．下列推理错误的是()A ． A∈ l， A∈ α， B∈ l， B∈ α? l? αB ．A∈ α， A∈ β， B∈ α， B∈ β? α∩ β＝ ABC．l?α， A∈ l? A?αD． A∈ l， l? α? A∈α4. 已知圆的半径为cm ，圆心角为120所对的弧长是 ()A ．cmB ．22cm22cm C． D ．cm 3333 5．根据如下样本数据：x345678y 4.0 2.5－ 0.50.5－2.0－ 3.0得到的回归方程为^) y＝ bx＋ a，则 (A． a>0， b>0 B ．a>0 ， b<0C． a<0， b>0D． a<0 ，b<0 6．tan 690的值为 ()33 C ．3D ．3A ．B ．337．执行如图 2 的程序框图，如果输入的N 的值是 6，那么输出的p 的值是 ()A ．15B ． 105C ． 120D ．720否开始输入 Nk 1, p 1p p kk N ?输出 p结束是k k2图 28. 已知 m ， n 表示两条不同直线， α表示平面．下列说法正确的是()A ．若 m ∥ α， n ∥ α，则 m ∥ nB ．若 m ⊥ α， n? α ，则 m ⊥ nC ．若 m ⊥ α， m ⊥n ，则 n ∥ αD ．若 m ∥ α， m ⊥ n ，则 n ⊥ α9．已知 a (3,4) ， b(2,1) ，则 a 在b 方向上的投影为 ()A ． 2B ．5 2C ．2 5D ． 510．若将函数 f ( x) sin 2x cos2 x 的图像向右平移 个单位， 所得图像关于 y 轴对称，则的最小正值是（）A ．B ．C ．338D ．84411.根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上时， 属醉酒驾车． 某地对涉嫌酒后驾车的 28800 人进行血液检测， 根据检测结果绘制的频率分布直方图如图 1 所示．则这 28800 人中属于醉酒驾车的人数约为（）A ． 4320B ． 2880C ． 8640D ． 576012. 已知函数 f ( x) 是定义域为 R 且周期为3 的奇函数， 当 x(0, 3) 时， f ( x) ln( x 2 x 1) ，2则函数 f ( x) 在区间 [0，6] 上的零点个数是（）A ．3B ．5C ．7D ．9二．填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，满分 20 分13．在等比数列{ a n}中，若a2a33a1，则 a4．y114．若x、y满足x y10 ，则z3x y 的最小值为.x y1015．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为 1 的半圆，则该几何体的表面积是 _____________.正视图侧视图16．定义域为 R 的函数f ( x)满足f ( x2) 3 f (x) ，当 x[ 0,2] 时， f ( x) x2 2 x ，当x[4,2] 时，1 ( 3俯视图f ( x)t ) 恒成立，则实数t的取值范围是_________18t三.解答题：本大题共 6小题，满分 70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17.（本小题满分10 分）在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ，b， c ，且cos A C3．23（ 1）求cos B的值；（ 2）若a3，b 2 2 ，求 c 的值．18.（本小题满分 12 分）如图，正方形 OABC的边长为 2（ 1）在其四边或内部取点P(x, y) ，且 x, y Z ，求事件：“ | OP | 1”的概率；（ 2）在其内部取点P( x, y) ，且 x, y R ，求事件：“POA ，PAB ，PBC ，PCO 的面积均大于2”的概率。
y3C BO A x19.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥O－ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， OA⊥底面 ABCD ，OA＝ 2，M为 OA 的中点。
（1）求四棱锥 O－ABCD 的体积；（2）求异面直线 OC 与 MD 所成角的正切值的大小。
20.（本小题满分12 分）设数列 a n满足 a1a2a3a n2n， n N* 2222n 1．（ 1）求数列a n的通项公式；（ 2）设b na n，求数列b n的前 n 项和 S n。
a n 1 a n 1 121.（本小题满分12 分）已知在多面体ABCDE 中， AB平面 ACD，DE//AB， AC AD CD DE 2，AB 1， F 是 CD 的中点，AB（1）求证：CD平面ABF；（2）求多面体ABCDE的体积。
C FD22．（本小题满分 12 分）E 已知函数 f (x) x 2 1x2kx ．（ 1）若k 2，求方程f (x)0 的解；（ 2）若关于x的方程f (x)0 在0,2 上有两个解 x1 , x211．，求 k 的取值范围，并证明4x1x2潮阳实验学校 2015－2016学年度第一学期第一次月考高二数学参考答案及评分参考一．选择题： CBCDBABBCCAD二．填空题： 13.3 14. 1 15. 33 )16. [ 1,0) [3,2三 .解答题：17.（本小题满分 12 分）解：（1）在△ ABC 中， AB C．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 1 分所以 cosAC cos 2B ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 2 分2sinB3 ． ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3 分23所以 cos B 1 2sin 2 B1 ． ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 5 分23（ 2）因为 a 3， b 22 ， cos B 1，3由余弦定理 b 2 a 2 c 2 2ac cos B ， ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 8 分得 c 2 2c 10 ．解得 c1 ．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,10 分18.（本小题满分 12 分）解： 1） P(x, y) 共有 9 种情形：(0,0) ， (0,1) ， ( 0,2) ， (1,0) ， (1,1) ， (1,2) ， (2,0) ， (2,1) ， (2,2) ⋯⋯2 分满足 |OP | 1，即x 2 y 2 1共有 6种( 0,2) ， (1,1) ， (1,2) ， (2,0) ， (2,1) ， (2,2) 。
⋯⋯4 分因此所求的概率是：6 2⋯⋯6分932）设 P 到 OA 的距离为 d ，则S POA1 2 d 2， d2⋯⋯8分233所以 P 到 OA AB BC CO 的距离均大于2 ⋯⋯9 分3(2 22)213因此所所求的概率是：,, 12分2 2919. （本小题满分 12 分）解 :(1)由已知可求得，正方形 ABCD 的面积 S ＝4，18所以，四棱锥 O－ABCD 的体积 V＝3×4×2＝3.(2)连接 AC，设线段 AC 的中点为 E，连接 ME ， DE ，则∠ EMD 为异面直线 OC 与 MD 所成的角 (或其补角 )，由已知，可得 DE ＝2， EM ＝3，MD ＝5，∵( 2)2＋ ( 3)2＝( 5)2，∴△ DEM 为直角三角形，∴tan∠ EMD ＝DE26＝＝ . EM3320.（本小题满分 12 分）解：（ 1）因为a1a2a3a n2n ， n*，①2222n 1N所以当 n1时，a 2 ．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1当 n 2 时， a1a2a3an 12 n 1 ，②,,,,,, 2222n 2a n 2．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,①－②得，2n 1所以 a n2n．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,因为 a12 ，适合上式，所以 a2n n N *． ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,n（ 2）由（ 1）得a n2n．所以 b na n2n,,,,,,,,,,,,,,a n 1 a n 112n 1 2n 1111．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2n12n11⋯⋯ 5分⋯⋯8 分⋯⋯10 分,,12 分1分2分4分5分6分8分10分所以 S n b 1 b 2b n1 11 11 1 1 13 3 77 152n 1 2n 1 111．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2n 1 121.（本小题满分 12 分）证明由AB平面 ACD ， CD平面 ACDAB CDAC AD CD DE 2，F 是 CD 的中点，所以 AF CDCCD 平面 ABF2）由题意可得多面体的体积分解为V BACDVB CDE因为AB 平面 ACD ，V B ACD1S ACD AB3因为AC AD CDDE 2， AB 1S ACD1 2 2 3 32 2VB ACD1 S ACDAB13 1 3333因为 DE// AB ，AB 平面 ACD所以 DE 平面 ACD 由AF平面 ACD ，所以AFDE ，由 AF CDAF平面 CDE ，由 DE // AB则三棱锥 BCDE 的高为 AFSCDE12 22， AF32VB CDE123 S CDE AF33多面体的体积 V BACDVB CDE322．（本小题满分 12 分）解：（ 1）当 x 2 10 即 x 1,或 x 1时2x22x 1 0, x13, x1 3舍去当 x 22 21 0 即 1x 1 时A12 分B⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分DF⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分E⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分1 2x 0, x1x 131⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分综上所述，2或 x 22（ 2）一法：当 0 x1时， kx 1 ，①当 1 x 2 时， 2x 2 kx 10 ，②若 k0 则①无解，②的解为 x20 不合题意。