成都七中2021届高三理科数学10月月考(有答案)
四川省成都七中2021-2022高二数学上学期10月月考试题 文(含解析).doc
四川省成都七中2021-2022高二数学上学期10月月考试题文（含解析）一、选择题（本大题共8小题）1.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州现四川省安岳县人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x时只记得，忘记了n的值，但输出v的值为56，则可推断出输入n的值为A. 9B. 10C. 11D. 无法推断出2.有4本不同的书，平均分给甲、乙2人，则不同的分法种数有A. 3B. 6C. 12D. 243.某市要对20000多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出1000名司机，已知抽到的司机年龄都在岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是A. 岁B. 岁C. 岁D. 岁4.大学生小赵计划利用假期进行一次短期职业体验，已知小赵想去某单位体验，单位时间x 2 3 5 8 9 12工资y30 40 60 90 120 140则小赵这段时间每天工资与每天工作时间满足的线性回归方程为A. B. C. D.5.对具有线性相关关系的两个变量，，测得一组数据如表所示：x 2 4 5 6 8y20 m60 70 n根据上表，利用最小二乘法得到他们的回归直线方程为，则A. 119B. 120C. 129D. 1306.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分十分制如图所示，假设得分的中位数为，众数为，平均值为，则A. B. C. D.7.在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的四位数中，大于3145且小于4231的数共有A. 27个B. 28个C. 29个D. 30个8.如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有A. 192B. 336C. 600D. 以上答案均不对二、填空题（本大题共4小题）9.如果执行如图所示的程序框图，输入正整数，，那么输出的p等于______10.某商场对一个月内每天的顾客人数进行统计，得到如图所示的样本茎叶图，则该样本的中位数是______．11.把半椭圆与圆弧合成的曲线称作“曲圆”，其中F为半椭圆的右焦点，A是圆弧与x轴的交点，过点F的直线交“曲圆”于P，Q两点，则的周长取值范围为______ 12.4名大学生毕业到3个用人单位应聘，若每个单位至少录用其中一人，则不同的录用情况的种数是______三、解答题（本大题共3小题）13.从某企业生产的某种产品中随机抽取100件，测量这些产品的某项质量指标，由测量结果得到如下频数分布表：质量指标值分组频数 6 26 38 22 8在图中作出这些数据的频率分布直方图；估计这种产品质量指标值的平均数、中位数保留2位小数；根据以上抽样调査数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的”的规定？14.为了分析某个高三学生的学习状态．现对他前5次考试的数学成绩x，物理成绩y进行分析．下面是该生前5次考试的成绩．数学120 118 116 122 124物理79 79 77 82 83已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，求物理成绩y与数学成绩x的回归直线方程；我们常用来刻画回归的效果，其中越接近于1，表示回归效果越好．求．已知第6次考试该生的数学成绩达到132，请你估计第6次考试他的物理成绩大约是多少？15.如图，椭圆，抛物线，过上一点异于原点作的切线l交于A，B两点，切线l交x轴于点Q．若点P的横坐标为1，且，求p的值．求的面积的最大值，并求证当面积取最大值时，对任意的，直线l均与一个定椭圆相切．答案和解析1.【答案】C【解析】解：初始值为n，，模拟程序运行过程如下；，满足条件，，满足条件，，满足条件，，满足条件，，满足条件，，不满足条件，退出循环，输出v的值为，即，解得．故选：C．由题意，模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的i，v的值，当时，不满足条件时跳出循环，输出v的值，由此列方程求出n的值．本题主要考查了循环结构的程序框图的应用问题，正确依次写出每次循环得到的i，v 值是解题的关键，是中档题．2.【答案】B【解析】解：根据题意，将4本不同的书，平均分给甲、乙2人，每人得2本，分2步进行分析：，在4本书中任选2本，分给甲，有种情况，，剩下的2本送给乙，有1种情况，则有6种不同的分法；故选：B．根据题意，分2步进行分析：，在4本书中任选2本，分给甲，，剩下的2本送给乙，由分步计数原理计算可得答案．本题考查分步计数原理的应用，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：由频率分布直方图，得：司机年龄在的频率为：，司机年龄在的频率为：，司机年龄在的频率为：，估计该市出租车司机年龄的中位数大约是：岁．故选：C．由频率分布直方图，求出司机年龄在的频率为，司机年龄在的频率为：，司机年龄在的频率为：，由此能求出估计该市出租车司机年龄的中位数．本题考查中位数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】B【解析】解：，．，．小赵这段时间每天工资y与每天工作时间x满足的线性回归方程为．故选：B．由已知表格中的数据求得与的值，则线性回归方程可求．本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．5.【答案】B【解析】解：，，样本点的中心的坐标为，代入线性回归方程，得，解得．故选：B．由已知表格中的数据求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求解的值．本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．6.【答案】D【解析】解：根据题意，由题目所给的统计图可知：30个得分中，按大小排序，中间的两个得分为5、6，故中位数，得分为5的最多，故众数，其平均数；则有，故选：D．根据题意，由统计图依次计算数据的中位数、众数、平均数，比较即可得答案．本题考查数据的平均数、中位数、众数的计算，关键是由统计图分析得到平均数、中位数、众数．7.【答案】A【解析】解：根据题意，分2种情况，，四位数的千位数字为3，其百位数字为1时，有3154符合条件，其百位数字可以为2、4、5时，有3种情况，在剩下的3个数字中任选2个，安排在十位、个位，有种情况，此时有个符合条件的四位数；，四位数的千位数字为4，其百位数字为1时，在剩下的3个数字中任选2个，安排在十位、个位，有种情况，其百位数字为2时，只有4213、4215符合条件，此时有个符合条件的四位数；则有个符合条件的四位数；故选：A．根据题意，按四位数的千位数字不同分2种情况讨论：求出每种情况下四位数的个数，由加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：E，F，G分别有4，3，2种方法，当A与F相同时，A有1种方法，此时B有2种，若与F相同有C有1种方法，同时D有3种方法，若C与F不同，则此时D有2种方法，故此时共有：种方法；当A与G相同时，A有1种方法，此时B有3种方法，若C与F相同，C有1种方法，同时D有2种方法，若C与F不同，则D有1种方法，故此时共有：种方法；当A既不同于F又不同于G时，A有1种方法，若B与F相同，则C必须与A相同，同时D有2种方法；若B不同于F，则B有1种方法，Ⅰ若C与F相同则C有1种方法同时D有2种方法；Ⅱ若C与F不同则必与A相同，C有1种方法，同时D有2种方法；故此时共有：种方法；综上共有种方法．故选：C．根据题意，结合计数原理，先排E，F，G，然后根据A，B，C，D的情况讨论．本题考查了计数原理，考查了分类讨论思想的应用，分类时要做到不重不漏．本题属于难题．9.【答案】210【解析】解：模拟程序的运行，可得，，，，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，，不满足条件，退出循环，输出p的值为210．故答案为：210．讨论k从1开始取，分别求出p的值，直到不满足，退出循环，从而求出p的值，解题的关键是弄清循环次数．本题主要考查了直到形循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．10.【答案】46【解析】解：由茎叶图得：该样本的中位数是：．故答案为：46．由茎叶图和中位数的性质能求出该样本的中位数．本题考查中位数的求法，考查茎叶图和中位数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】【解析】解：显然直线PQ的斜率不能为0，设直线PQ的倾斜角为，，由半椭圆方程为可得，圆弧方程为：的圆心为，半径为2，且恰为椭圆的左焦点，，与y轴的两个交点为，，当直线PQ经过B时，，即有；当直线PQ经过C时，，即有．当时，Q、P分别在圆弧：、半椭圆上，为腰为2的等腰三角形，则，的周长；当时，P、Q分别在圆弧：、半椭圆上，为腰为2的等腰三角形，且，的周长；当时，P、Q在半椭圆上，的周长．综上可得，的周长取值范围为．故答案为：．首先判断直线PQ的斜率不能为0，设直线PQ的倾斜角为，，求得F，A的坐标，以及圆的圆心和半径，求得直线PQ经过圆与y轴的交点B，C的倾斜角，分别讨论当时，当，时，当时，P，Q的位置，结合椭圆的定义和圆的定义和等腰三角形的性质，可得的周长的范围．本题是圆与椭圆的综合问题，考查椭圆和圆的定义和性质，以及直线的倾斜角的范围，考查分类讨论思想和数形结合思想，化简运算能力，属于中档题．12.【答案】60【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：，4名大学生中录用3人，有种录取情况；，4名大学生全部录用，有种录取情况，则有种录用种数；故答案为：60．根据题意，分2种情况讨论：，4名大学生中录用3人，，4名大学生全部录用，由加法原理计算可得答案．本题考查分步计数原理的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．13.【答案】解：由已知作出频率分布表为：质量指标值分组频数 6 26 38 22 8频率由频率分布表作出这些数据的频率分布直方图为：质量指标值的样本平均数为：，内频率为：，中位数位于内，设中位数为x，则，中位数为．质量指标值不低于95 的产品所占比例的估计值为．由于该估计值小于，故不能认为该企业生产的这种产品“质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品的规定．【解析】由已知作出频率分布表，由此能作出作出这些数据的频率分布直方图．由频率分布直方图能求出质量指标值的样本平均数、中位数位．质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值．由于该估计值小于，故不能认为该企业生产的这种产品“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的规定．本题考查频率分布直方图的作法，考查平均数、众数、中位数、方差的求法，考查产品质量指标所占比重的估计值的计算与应用．14.【答案】解：计算，；；，所以y关于x的线性回归方程是；由题意，填表得y79 79 77 82 8380 77 83计算相关系数；所以接近于1，表示回归效果越好；第6次考试该生的数学成绩达到132，计算，预测他的物理成绩为89分．【解析】计算、，求出回归系数、，写出回归方程；利用回归方程计算y对应的值，求出相关系数的值；利用回归方程计算时的值即可．本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也看出来相关系数的应用问题，是中档题．15.【答案】解：点，由对称性不妨设．于是，于是所以点Q是的左焦点．设焦准距为．类比抛物线的焦半径算法可得．于是，于是，所以．设于是l：．于是令，则l：．联立．设，．．当且仅当取等，且满足所以的面积的最大值为．注意到即为这个等式类似于；于是猜想椭圆联立得：；；故当面积取最大值时，直线l均与一个定椭圆相切．【解析】不妨设计算出AQ，BQ的长度代入条件计算出p值；设则令，则l：表示出的面积，求出其最大值，验证直线l与椭圆相切；本题考查圆锥曲线的切线，直线与圆锥曲线的位置关系，三角形面积的最值，均值不等式求最值，属于难题．。
成都七中 2021 届高一数学10月阶段性考试试卷
2. 下列图形中，能表示函数图象的是 ()
3. 函数 f ( x)
x 1 的定义域为 () x 1
B. (,1] (1,) C. 1,1 D. 1,1
A. (, 1] [1, )
4. 下列各组函数中，表示同一组函数的是 () A. f (x) x 1, g( x)
1 3
B.
1 2
C.
1 3
D.
1 2
6. 若集合 A B B C ，则集合 A, B, C 的关系下列表示正确的是 () A. A B C B. C B A C. B C A D. B A C
7. 已知定义在R上的奇函数f ( x)在(0, )上单调递增，f (1) 0,以下选项正确的是( A. f ( ) f ( )
)
1 2
1 2
B. f (1) f (0)
C. f ( ) f (1) )
1 2
D.
f (0) f (2)
8. 若函数 f ( x) 满足 f ( x) 2 f (2 x) x2 8x 8 ，则 f (1) 的值为( A. 0 B. 1 C. 2
D. 3
1 x , x (0, a) 在定义域上单调递减，那么a的取值范围是( 9. 已知函数f ( x) x 3 x, x (a, )
2
19.《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资所得不超过 3500 元的部分不必纳税，超过 3500 元的部分 为全月应纳税所得额。此项税款按下表分段累计计算： 全月应纳税所得额 不超过 1500 元的部分 税率（％） 3
超过 1500 元至 4500 元的部分 10 超过 4500 元至 9000 元的部分 20 （1） 某人 10 月份应交此项税款为 350 元，则他 10 月份的工资收入是多少？ （2） 假设某人的月收入为 x 元， 0 x 12500 ，记他应纳税为 f ( x) 元，求 f ( x) 的函数解析式.
四川省成都市第七中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题(含答案)
2024-2025学年度高三上期数学10月阶段性测试（考试时间：120分钟；满分150分）第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．已知集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知复数满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知向量满足，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图为函数在上的图象，则的解析式只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．6．在体积为12的三棱锥中，，平面平面，若点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．7．若，则的最大值为（ ）ABCD8．设，则（ ）{{},21x A x y B y y ====+A B = (]0,1(]1,2[]1,2[]0,2z 23i z z +=+3iz+=12i+12i-2i+2i-,a b 222a b a b -=-= 1b = a b ⋅=1414-1212-()y f x =[]6,6-()f x ())ln cos f x x x=+())lnsin f x x x=+())ln cos f x x x=-())ln sin f x x x=-()()cos f x x a x =+()y f x =()()π,πf ππ0x y +-=ππ0x y -+=π0x y -+=0x y +=A BCD -,AC AD BC BD ⊥⊥ACD ⊥ππ,,34BCD ACD BCD ∠=∠=,,,A B C D O O 12π16π32π48π()()sin cos2sin αβααβ+=-()tan αβ+202420230.2024log 2023,log 2022,log 0.2023a b c ===A ．B ．C ．D ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．9．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件：，下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．是数列中的最大值D ．数列无最大值10．透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为的4个小球，从中任意摸出两个球．设事件“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件“摸出的两个球的编号都大于2”，事件“摸出的两个球中有编号为3的球”，则（ ）A ．事件与事件是互斥事件B ．事件与事件是对立事件C ．事件与事件是相互独立事件D ．事件与事件是互斥事件11．已知，其中，则的取值可以是（ ）A ．eB ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，第14题第一个空3分，第二个空2分．12．若，则______．13．设是数列的前n 项和，点在直线上，则数列的前项和为______．14．已知点是轴上的动点，且满足的外心在轴上的射影为，则点的轨迹方程为______，的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．15．（13分）设的内角的对边分别为，且，边上的两条中线相交于点．c a b <<b c a <<b a c <<a b c<<{}n a q n n S n n T 2024120242025202511,1,01a a a a a ->><-20242025S S <202420261a a <2024T {}n T {}n T 1,2,3,41A =2A =3A =1A 2A 1A 3A 1A 3A 23A A 13A A 6ln ,6e n m m a n a =+=+e nm ≠e nm +2e23e24e1sin 3α=-()cos π2α-=n S {}n a ()()*,n n a n ∈N 2y x =1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n ()()2,0,1,4,A B M N 、y 4,MN AMN =△P y Q P PQ PB +ABC △,,A B C ,,a b c ()()()sin sin sin sin b a ABC BAC c ABC C +∠-∠=∠-,BC AC ,AD BE P（1）求；（2）若，求的面积．16．（15分）如图，在三棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，是边长为2的正三角形，为的中点，为上一点，且平面平面．（1）求证：平面；（2）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．17．（15分）为研究“眼睛近视是否与长时间看电子产品有关”的问题，对某班同学的近视情况和看电子产品的时间进行了统计，得到如下的列联表：每天看电子产品的时间近视情况超过一小时一小时内合计近视10人5人15人不近视10人25人35人合计20人30人50人附表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828．（1）根据小概率值的独立性检验，判断眼睛近视是否与长时间看电子产品有关；（2）在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是多少？（3）以频率估计概率，在该班所在学校随机抽取2人，记其中近视的人数为，每天看电子产品超过一小时的人数为，求的值．BAC ∠2,cos AD BE DPE ==∠=ABC △D ABC -ABC △AB ABD △E AD F DC BEF ⊥ABD AD ⊥BEF ABC ⊥ABD BEF BCD αx α()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++0.05α=2χX Y ()P X Y =18．（17分）已知函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）设函数．证明：存在实数，使得曲线关于直线对称．19．（17分）已知椭圆的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且经过点和．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作不与坐标轴平行的直线交曲线于两点，过点分别向轴作垂线，垂足分别为点，，直线与直线相交于点．①求证：点在定直线上；②求面积的最大值．2024-2025学年度高三上期数学10月阶段性测试（参考答案）一、单项选择题：BAACDDDC8．【解】由对数函数的性质知，，所以；当时，，所以，取，则，所以，即，综上，．二、多项选择题：ABC ACD CD ．11．【解】令，则，()()ln 1f x x =+()y f x =3x =()()()F x ax f x a =-∈R ()()1111g x x f f x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭m ()y g x =x m =C )⎛- ⎝C ()2,0M l C ,A B ,A B xDE AE BD P P PAB △0.20240.2024log 0.2023log 0.20241c =>=2024202420242023202320230log 1log 2023log 20241,0log 1log 2022log 20231=<<==<<=1,01,01c a b ><<<<2n >()()ln 1ln ln 10n n n +>>->()()()()222ln 1ln 1ln 1ln 1(ln )(ln )2n n n n n n ++-⎡⎤+⋅--<-⎢⎥⎣⎦()()()2222222222ln 1ln 11ln (ln )(ln )(ln )(ln )(ln )0222n n n n n n n n n ⎡⎤-+-⎡⎤⎛⎫=-=-<-=-=⎢⎥ ⎪⎢⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦2023n =2lg2022lg2024(lg2023)0⋅-<220232024lg2022lg2023lg2022lg2024(lg2023)log 2022log 20230lg2023lg2024lg2023lg2024b a ⋅--=-=-=<⋅b a <b ac <<()6ln f x x x =-()661xf x x x-=-='故当时，单调递增，当时，单调递减，，又，不妨设，解法一：记，设，则在上恒成立，所以在上单调递减，所以，则，又因为，且在上单调递减，所以，则，所以．解法二：由，两式相减，可得，令，则；令，则，令，则在上恒成立，所以在上单调递增，因为在上恒成立，所以在上单调递增，则，即，所以．解法三：，两式相减得，，可得，三、填空题： ；3()0,6x ∈()()0,f x f x '>()6,x ∈+∞()()0,f x f x '<()()6ln ,66lne e ,e n n n m m a n a f m f =+==+∴= e n m ≠06e n m <<<12,e nx m x ==()()()()12,0,6g x f x f x x =--∈()()()()2662(6)1201212x x x g x f x f x x x x x ---=---=-=<--'''()0,6()g x ()0,6()()()()()1260,0,6g x f x f x g x =-->=∈()()()11212f x f x f x ->=()1212,6,x x -∈+∞()f x ()6,+∞1212x x -<1212x x +>e 12n m +>6ln ,66lne e nnm m a n a =+==+e 6ln e n nm m =-e (1)n t t m=>()()61ln 6ln 6ln 6ln 1,,e ,e 111n n t t t t tt m t m mt m t t t +=-===∴+=---()()()1ln 21,1g t t t t t =+-->()11ln 2ln 1t g t t t t t+=+-=+-'1ln 1(1)y t t t =+->221110t y t t t-=-=>'()1,+∞()g t '()1,+∞()()10g t g ''>=()1,+∞()g t ()1,+∞()()10g t g >=()1ln 21t t t +>-()61ln e 121n t tm t ++=>-6ln ,66lne e nnm m a n a =+==+ e 6lne ln n n mm-=-212121ln ln 2x x x xx x -+<<-e 12n m +>79-1n n +24y x =14．【解】设点，则根据点是的外心，，而，则，所以从而得到点的轨迹为，焦点为由抛物线的定义可知，因为，即，当点在线段上时等号成立．四、解答题：15．【解】（1）因为，所以由正弦定理得，由余弦定理得，又，所以．（2）因为是边上的两条中线与的交点，所以点是的重心．又，所以在中，由余弦定理，所以，又，所以，所以，所以的面积为．()0,M t ()0,4)N t -P AMN V (),2P x t -22||PM PA =2224(2)(2)x x t +=-+-2(2),24t x y t -==-P 24y x =()1,0F 1PF PQ =+4,14PF PB BF PF PB PQ PB +≥=+=++≥3PQ PB +≥P BF ()()()sin sin sin sin b a ABC BAC c ABC C +∠-∠=∠-222b c a bc +-=2221cos 22b c a BAC bc +-∠==0πBAC <∠<π3BAC ∠=P ,BC AC AD BE P ABC △2,AD BE APB DPE ==∠=∠ABP △22222cos c AB PA PB PA PB APB==+-⋅∠22442433⎛⎫=+-⨯= ⎪⎝⎭2c =π2,3BE BAC =∠=2AE BE ==24b AE ==ABC △1π42sin 23⨯⨯⨯=16．【解】（1）是边长为的正三角形，为的中点，则．且平面平面，平面平面平面，则平面．（2）由于底面为等腰直角三角形，是边长为2正三角形，可取中点，连接，则．且平面平面，且平面平面，则平面．因此两两垂直，可以建立空间直角坐标系．是边长为2的正三角形，则可求得高．底面为等腰直角三角形，求得．可以得到关键点的坐标由第（1）问知道平面的法向量可取．设平面的法向量为，且，则，则，解得．则．则平面与平面17．【解】（1）零假设为：学生患近视与长时间使用电子产品无关．计算可得，，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即患近视与长时间使用电子产品的习惯有关．（2）每天看电子产品超过一小时的人数为，ABD △2E AD BE AD ⊥BEF ⊥ABD BEF ,ABD BE AD =⊂ABD AD ⊥BEF ABC △ABD △AB O OD ,OD AB OC AB ⊥⊥ABC ⊥ABD ABC ABD AB =OD ⊥ABC ,,OC OA OD O xyz -ABD △OD =ABC △1OC OA OB ===()()()(0,1,0,0,1,0,1,0,0,A B C D -BEF (0,AD =-BCD (),,m x y z = ()(1,1,0,BC CD ==- 0m BC m CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩x y x +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩)m = cos ,m AD m AD m AD ⋅〈〉===⋅ BEF BCD 0H 220.0550(1025105)4006.349 3.8411535203063x χ⨯⨯-⨯==≈>=⨯⨯⨯0.05α=2χ0H ξ则，所以在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是．（3）依题意，，事件包含两种情况：①其中一人每天看电子产品超过一小时且近视，另一人既不近视，每天看电子产品也没超过一小时；②其中一人每天看电子产品超过一小时且不近视，另一人近视且每天看电子产品没超过一小时，于是，所以．18．【解】（1）切点为．因为，所以切线的斜率为，所以曲线在处的切线方程为，化简得；（2）由题意可知，则的定义域为，当时，，则在上单调递减；当时，令，即，解得，若；若，则在上单调递减，在上单调递增．综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；()()()21310510331515C C C 45512069223C C 45591P P P ξξξ⨯+≥==+==+==6991()()1111110,22245525P X Y P X Y ===⨯====⨯=1X Y ==()1122111161C C 2551025P X Y ===⨯⨯+⨯⨯=()()()()1165301242525100P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+===++=()3,ln4()11f x x '=+()134k f ='=()y f x =3x =()1ln434y x -=-48ln230x y -+-=()()ln 1F x ax x =-+()F x ()1,-+∞()()11,1,,11ax a F x a x x x +-=-=∈-'+∞++0a ≤()101F x a x '=-<+()F x ()1,-+∞0a >()0F x '=10ax a +-=11x a=-()11111,01a ax a x F x a a x '-+--<≤=-=≤+()111,01ax a x F x a x +--'>=>+()F x 11,1a ⎛⎤-- ⎥⎝⎦11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭0a ≤()F x ()1,-+∞0a >()F x 11,1a ⎛⎤-- ⎥⎝⎦11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭（3）证明：函数，函数的定义域为．若存在，使得曲线关于直线对称，则关于直线对称，所以由．可知曲线关于直线对称．19．【解】（1）设椭圆的方程为，代入已知点的坐标，得：，解得，所以椭圆的标准方程为．（2）如图：①设直线的方程为，并记点，由消去，得，易知，则．由条件，，直线的方程为，直线的方程为()()111ln 1ln 2g x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()g x ()(),10,-∞-+∞ m ()y g x =x m =()(),10,-∞-+∞ x m =12m =-()()111ln 1ln 211g x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-+-+ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭21121lnln ln ln 111x x x x x x x x x x +++=--=-+++()()()11211211lnln ln 1ln ln 1x x x x x x x g x x x x x x+++++=+--=+-=+()y g x =12x =-C 221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠312413m n m n +=⎧⎪⎨+=⎪⎩1612m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩C 22162x y +=l ()20x my m =+≠()()()112200,,,,,A x y B x y P x y 222,162x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩x ()223420m y my ++-=()()222Δ16832410m m m =++=+>12122242,33m y y y y m m --+==++()()12,0,,0D x E x AE ()1212y y x x x x =--BD，联立解得，所以点在定直线上．②，而，所以，则令，则，所以，当且仅当时，等号成立，所以．()2121y y x x x x =--()()2112211212012121222223my y my y x y x y my y x y y y y y y ++++====++++P 3x =0212121121111312222PAB S AD x x y x y my y my y =⋅-=⋅-=⋅-=-△121212my y y y =+()121212my y y y =+1211211224PABy y S y y y +=-=-==△t =1t >2122PAB t S t t t==≤=++△t =PAB △。
四川省成都市2023-2024学年高三上学期10月月考 理数答案和解析
2023-2024学年度（上）阶段性考试（一）高2021级数学（理科）（答案在最后）一、选择题（每个小题都有4个选项，其中只有1个正确选项，请把正确选项直接填涂在答题卡相应位置上.每小题5分，共60分.）1.某同学计划2023年高考结束后，在A ，B ，C ，D ，E 五所大学中随机选两所去参观，则A 大学恰好被选中的概率为（）A.15 B.25C.35D.45【答案】B 【解析】【分析】基本事件总数为25C 10n ==，A 大学恰好被选中的基本事件为：1114C C 4m ==，根据古典概型概率公式即可求解.【详解】依题意，在A ，B ，C ，D ，E 五所大学中随机选两所去参观的基本事件总数为：25C 10n ==，A 大学恰好被选中的基本事件为：1114C C 4m ==，所以A 大学恰好被选中的概率为：25m P n ==.故选：B .2.设集合U =R ，集合{}1M x x =<，{}12N x x =-<<，则{}2x x ≥=（）A.()U M N ðB.U N M ðC.()U M N ðD.U M N⋃ð【答案】A 【解析】【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为{}|2x x ≥即可.【详解】由题意可得{}|2M N x x =< ，则(){}|2U M N x x =≥ ð，选项A 正确；{}|1U M x x =≥ð，则{}|1U N M x x =>- ð，选项B 错误；{}|11M N x x =-<< ，则(){|1U M N x x ⋂=≤-ð或}1x ≥，选项C 错误；{|1U N x x =≤-ð或}2x ≥，则U M N = ð{|1x x <或}2x ≥，选项D 错误；故选：A.3.已知复数i z x y =+（x ，R y ∈）对应的点在第一象限，z 的实部和虚部分别是双曲线C 的实轴长和虚轴长，若4z =，则双曲线C 的焦距为（）A.8B.4C. D.2【答案】B 【解析】【分析】利用双曲线的定义和复数模的定义即可求得双曲线C 的焦距.【详解】复数i z x y =+（x ，R y ∈）对应的点在第一象限，则0,0x y >>，又z 的实部和虚部分别是双曲线C 的实轴长和虚轴长，4z =，则双曲线C 的焦距为4==故选：B4.5(1)(2)x x -+展开式中3x 的系数为（）A.80-B.40- C.40D.80【答案】C 【解析】【分析】应用二项式展开式分类计算即可.【详解】因为()()()5553232325550121C 2C 2C 2k kk k x x x xx x x -=-+=-⨯=⋅⋅⋅+⨯-⨯+∑ ，所以含有3x 的项为32323233355C 2C 2804040x x x x x x ⨯-⨯=-=，故选：C.5.函数(31)cos ()31x xxf x -=+的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据奇偶性判断CD ；根据特殊点判断AB.【详解】函数()f x 的定义域为R ，()(31)cos (13)cos ()()3113x x x xx x f x f x ------===-++，即函数()f x 为奇函数，故CD 错误；由(31)cos 31()03131f ππππ-π-π==-<++可知，C 错误，A 正确；故选：A6.将六位数“124057”重新排列后得到不同的六位偶数的个数为（）A.152B.180C.216D.312【答案】D 【解析】【分析】由题意，分末尾是2或4，末尾是0，即可得出结果.【详解】由题意，末尾是2或4，不同偶数个数为114244C C A 192=，末尾是0，不同偶数个数为55A 120=，所以共有312个.故选：D7.设()5501521x a a x a x +=++⋅⋅⋅+，则125a a a ++⋅⋅⋅+=（）A.531-B.53C.52 D.521-【答案】A 【解析】【分析】令0x =求出0a ，再令1x =求出015a a a ++⋅⋅⋅+，即可得解.【详解】因为()5501521x a a x a x +=++⋅⋅⋅+，令0x =，可得5011a ==，令1x =，可得()55015321a a a ++⋅⋅⋅+==+，所以512531a a a ++⋅⋅⋅+=-.故选：A8.执行如图所示的程序框图，若输入的,x y ∈R ，则（）A.输出的S 的最小值为2-，最大值为5B.输出的S 的最小值为2-，最大值为4C.输出的S 的最小值为0，最大值为5D.输出的S 的最小值为0，最大值为4【答案】A 【解析】【分析】作出可行域，利用线性规划与程序框图判定即可.【详解】作出不等式组001x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩表示的可行域，由图可知，当直线3z x y =+过点()1,1时，z 取得最大值4，当直线3z x y =+过点(1,1)-时，z 取得最小值2-．因为45<，且,x y ∈R ，所以输出的S 的最小值为2-，最大值为5．故选：A9.某四面体的三视图如图所示（3个三角形都是直角边为1的等腰直角三角形），该四面体的外接球的表面积为（）A.3πB.4πC.6πD.12π【答案】A 【解析】【分析】根据三视图还原几何体，借助正方体可求外接球的半径，从而得到面积.【详解】由题意可知，几何体是正方体一个角的三棱锥，它的外接球就是棱长为1的正方体的外接球，外接球的半径为R =，所以外接球的表面积为234π4π3π4S R ==⨯=.故选：A.10.2021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了6名工作人员到A 、B 、C 三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有（）种．A.540 B.480 C.360D.240【答案】A 【解析】【分析】把6名工作人员分别分为(1，1，4)，(2，2，2)，(1，2，3)三种情况讨论，然后分别计算即可求解．【详解】解：把6名工作人员分为1，1，4三组，则不同的安排方式共有：1143654322C C C A 90A ⋅=种，把6名工作人员分为2，2，2三组，不同的安排方式共有：2223642333C C C A 90A ⋅=种，把6名工作人员分为1，2，3三组，不同的安排方式共有：12336533C C C A 360⋅=种，综上，不同的安排方式共有9090360540++=种，故选：A ．11.设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()2xf x -=，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()2f x f x m -≥恒成立，则正数m 的取值范围为（）A.m 1≥B.1m > C.01m << D.01m <≤【答案】A 【解析】【分析】分析可知()2xf x =，由已知可得2x x m ≥-对任意的[],1x m m ∈+恒成立，解得2x m ≤对任意的[],1x m m ∈+恒成立，可得出关于实数m 的不等式，解之即可.【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()2xf x -=，则当0x ≥时，0x -≤，()()2xf x f x =-=，故对任意的x ∈R ，()2xf x =，对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()2f x fx m -≥恒成立，即222x x m -≥，即2x x m ≥-对任意的[],1x m m ∈+恒成立，且m 为正数，则()2x x m ≥-，可得2x m ≤，所以，12m m +≤，可得m 1≥.故选：A.12.如图，一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛有V 升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V 的取值范围是（）A.15,66⎛⎫⎪⎝⎭B.12,33⎛⎫⎪⎝⎭C.12,23⎛⎫⎪⎝⎭D.11,62⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】【分析】找到水最多和水最少的临界情况，如图分别为多面体111ABCDA B D 和三棱锥1A A BD -，从而可得出答案.【详解】将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则如图，水最少的临界情况为，水面为面1A BD ，水最多的临界情况为多面体111ABCDA B D ，水面为11BC D ，因为1111111326A A BD V -=⨯⨯⨯⨯=，11111111111151111326ABCDA B D ABCD A B C D C B C D V V V --=-=-⨯⨯⨯⨯=，所以1566V <<，即15,66V ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选：A .二、填空题（请把每个小题的答案直接填写在答题卡相应位置上，每小题5分，共20分.）13.已知随机变量()23,2N η~，若23ξη=+，则()D ξ=___________.【答案】16【解析】【分析】根据正态分布可得()4D η=，结合方差的性质运算求解.【详解】因为()23,2N η~，则()224D η==，又因为23ξη=+，所以()()2216D D ξη=⨯=.故答案为：16.14.已知向量(1,2)a =- ，(,1)b m =r ．若向量a b + 与a 垂直，则m =________．【答案】7【解析】【分析】首先求出a b +的坐标，再根据两个向量垂直的性质得到()0a b a +⋅= ，根据向量数量积的坐标运算得到方程，即可求得实数m 的值．【详解】解：因为(1,2)a =- ，(,1)b m =r ，所以()1,3a b m +=- ，因为向量a b + 与a 垂直，所以()()1230a b a m +⋅=--+⨯=，解得7m =，故答案为：7．15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 作一条直线与双曲线右支交于,A B两点，坐标原点为O ，若221||,||5OA a b BF a =+=，则该双曲线的离心率为___________.【答案】102##1102【解析】【分析】由12OA OF OF ==得出12AF AF ⊥，由定义结合勾股定理得出m a =，再由勾股定理得出离心率.【详解】解：如图，1212,OA OF OF c AF AF ===∴⊥ 因为15BF a =，则21||||23BF BF a a =-=，设2AF m =，则12AF m a =+，则3AB m a =+，由勾股定理可得22211||||||AF AB BF +=，即()()()222235m a m a a +++=，整理可得22560m am a +-=，因为0m >，解得m a =，所以，2AF a =，13AF a =，由勾股定理可得2221212||||||AF AF F F +=，即()22292a a c +=，整理可得210c a =，因此，该双曲线的离心率为102c e a ==.故答案为：216.若函数()22ln 1f x x a x =-+在1,10a a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单减，则实数a 的取值范围为______．【答案】11,104⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】求出()f x 的单调减区间，由1,10a a ⎛⎫-⎪⎝⎭为减区间的子集求出a 的取值范围.【详解】()()244,0a x af x x x x x-'=-=>，当0a ≤时，()0f x ¢>，()f x 在()0,∞+为增函数，当0a >时，由()0f x '≤得(0,]2x ∈，故()f x 的单调减区间为(0,2，因为()f x 在1,10a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单减，所以10102a a ⎧-≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得11,104a ⎡⎤∈⎢⎣⎦.故答案为：11,104⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题（解答须写出必要的文字说明，推理过程和演算步骤）17.为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某校需要了解学生是否经常锻炼与性别因素有关，为此随机对该校100名学生进行问卷调查，得到如下列联表．经常锻炼不经常锻炼总计男35女25总计100已知从这100名学生中任选1人，经常锻炼的学生被选中的概率为12．附：2(),()()()()n ad bck n a b c da b c d a c b d-==+++ ++++.2()P K k≥0.10.050.010.001k 2.706 3.841 6.63510.828（1）完成上面的列联表；（2）根据列联表中的数据，判断能否有90%的把握认为该校学生是否经常锻炼与性别因素有关．【答案】（1）列联表见解析（2）有90%的把握认为该校学生是否经常锻炼与性别因素有关【解析】【分析】（1）根据概率计算这100名学生中经常锻炼的学生数，进而填写列联表；（2）根据独立性检验求解即可.【小问1详解】解：设这100名学生中经常锻炼的学生有x人，则11002x=，解得50x=．列联表完成如下经常锻炼不经常锻炼总计男352560女152540总计5050100【小问2详解】由（1）可知，()2100352515254.16760405050k⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，因为4.167 2.706>，所以有90%的把握认为该校学生是否经常锻炼与性别因素有关．18.为了不断提高教育教学能力，某地区教育局利用假期在某学习平台组织全区教职工进行网络学习．第一学习阶段结束后，为了解学习情况，负责人从平台数据库中随机抽取了300名教职工的学习时间（满时长15小时），将其分成[3,5),[5,7),[7,9),[9,11),[11,13),[13,15]六组，并绘制成如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<≤+≈，(22)0.9545P μσξμσ-<≤+≈，(33)0.9973P μσξμσ-<≤+≈．（1）求a 的值；（2）以样本估计总体，该地区教职工学习时间ξ近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本的平均数，经计算知 2.39σ≈．若该地区有5000名教职工，试估计该地区教职工中学习时间在(7.45,14.62]内的人数；（3）现采用分层抽样的方法从样本中学习时间在[7,9),[9,11)内的教职工中随机抽取5人，并从中随机抽取3人作进一步分析，分别求这3人中学习时间在[7,9)内的教职工平均人数．（四舍五入取整数）【答案】（1）0.12a =（2）4093（3）1【解析】【分析】（1）由频率之和等于1，得出a ；（2）计算平均数得出9.84μ=，再由正态分布的概率估计即可；（3）由分层抽样得出X 的所有可能取值，再由超几何分布求解.【小问1详解】解：由题意得2(0.020.030.180.100.05)1a ⨯+++++=，解得0.12a =．【小问2详解】由题意知样本的平均数为40.02260.03280.122100.182120.102140.0529.84⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，所以9.84μ=．又 2.39σ≈，所以()1(7.4514.62)(2)2P P P μμμξμσξσσσξ<=-<+=-<≤≤+≤+()()11220.68270.95450.818622P μσξμσ-<≤+≈⨯+=．则50000.81864093⨯=，所以估计该地区教职工中学习时间在(7.45,14.62]内的人数约为4093．【小问3详解】[7,9),[9,11)对应的频率比为0.24:0.36，即为2:3，所以抽取的5人中学习时间在[7,9),[9,11)内的人数分别为2，3，设从这5人中抽取的3人学习时间在[7,9)内的人数为X ，则X 的所有可能取值为0，1，2，3122132323333555C C C C C 133(0),(1),(2)C 10C 5C 10P X P X P X =========，所以1336()012105105E X =⨯+⨯+⨯=．则这3人中学习时间在[7,9)内的教职工平均人数约为1．19.如图，在圆锥DO 中，D 为圆锥顶点，AB 为圆锥底面的直径，O 为底面圆的圆心，C 为底面圆周上一点，四边形OAED 为矩形，且1AC =，BC =．（1）若F 为BC 的中点，求证：//DF 平面ACE ；（2）若CE 与平面OAED 所成角为30︒，求二面角A DE C --的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）22211【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合线面平行和面面平行的判定定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【小问1详解】连接DF OF 、，在ABC 中，O F 、分别为AB BC 、的中点，所以//OF AC ，因为AC ⊂平面,ACE OF ⊄平面ACE ，所以//OF 平面ACE ，在矩形OAED 中，//OD AE ，同理可得//OD 平面ACE ，又OF OD O = ，,OF OD ⊂平面ODF ，所以平面//ODF 平面ACE ，因为DF ⊂平面ODF ，所以//DF 平面ACE ；【小问2详解】过点C 做CM AB ⊥交AB 于点M ，连接ME由题可知OD ⊥平面ABC ，且//OD AE ，所以⊥AE 平面ABC则AE CM ⊥，又AB AE A = ，AB AE ⊂，平面OAED ，所以CM ⊥平面OAED ，∴CE 在平面OAED 内射影为ME ，则CEM ∠即为CE 与平面OAED 所成的角，所以30CEM ∠=︒在ABC 中，由1122AB CM AC BC ⋅=⋅可知2CM =则CE =AE =以C 为坐标原点，AC BC 、所在直线为x y 、轴，过点C 垂直于平面ABC 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()1,0,0A -，1,22D ⎛-- ⎝，(E -，(AE =，1,,022ED ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，(CE =- ，设平面ADE 的法向量为()1111,,n x y z = ，则1100AE n ED n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即11101322z x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩，令11y =，则13x =)13,1,0n =，设平面CDE 的法向量为()2222,,n x y z =，则2200CE n ED n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即22222013022x x y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，令21y =，则23x =，262z =，所以263,1,2n ⎫=⎪⎪⎭，所以12121222cos ,111122n n n n n n ⋅==⋅，因为二面角A DE C --为锐二面角，所以二面角A DE C --的余弦值为22211.20.已知拋物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，且经过点(1,2)P .（1）求抛物线方程;（2）若直线l 与抛物线交于,A B 两点，且满足4OA OB ⋅=- ，求证:直线l 恒过定点，并求出定点坐标.【答案】（1）24y x=（2）定点()2,0，证明见解析【解析】【分析】（1）根据抛物线过点，代入即可求出结果;（2）由题意直线方程可设为x my n =+，将其与抛物线方程联立，根据韦达定理，化简求解，即可求出定点.公众号：高中试卷君【小问1详解】由题可知，拋物线的开口向右，设拋物线方程为22y px=，因为经过点(1,2)P ，所以42p =，解得2p =所以，抛物线的标准方程为:24y x =.【小问2详解】如图，设直线l 的方程为:x my n =+，联立方程24x my n y x =+⎧⎨=⎩消y 有：2440y my n --=由于交于,A B 两点，设()()1122,,,A x y B x y ，则Δ0>，即216160m n +>，121244y y m y y n +==-，，由()()1122OA x y OB x y == ，，，.则2222121212444y y OA OB x x y y y y n n ⋅=+=+=-=- .解得:2n =，验证满足条件.所以直线l 的方程为2x my =+，即证直线l 恒过定点(2,0).21.已知函数()()21ln 402f x x a x x a =+->.（1）当3a =时，试讨论函数()f x 的单调性；（2）设函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，证明：()()12ln 10f x f x a +>-.【答案】（1）()f x 在区间()0,1，()3,+∞上单调递增，()f x 在区间()1,3单调递减（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，利用导函数的符号讨论即可；（2）由函数()f x 有两个极值点可得()0f x '=在()0,∞+上有两个根，从而求得a 的取值范围，再结合韦达定理可知()()12ln 8f x f x a a a +=--，则原不等式转化为证明()1ln 20a a a -+-<，利用导数研究单调性进而证明即可.【小问1详解】公众号：高中试卷君当3a =时，()213ln 42f x x x x =+-定义域为()0,x ∈+∞，()()()2133434x x x x f x x x x x---+=+-=='，令()0f x '=解得1x =或3，且当01x <<或3x >时，()0f x ¢>，当13x <<时，()0f x '<，所以当01x <<或3x >时，()f x 单调递增，当13x <<时，()f x 单调递减，综上()f x 在区间()0,1，()3,+∞上单调递增，()f x 在区间()1,3单调递减.【小问2详解】由已知()21ln 42f x x a x x =+-，可得()244a x x a f x x x x-+=+-='，函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，即240x x a -+=在()0,∞+上有两个不等实根，令()24h x x x a =-+，只需()()00240h a h a ⎧=>⎪⎨=-<⎪⎩，故04a <<，又124x x +=，12x x a =，所以()()221211122211ln 4ln 422f x f x x a x x x a x x ⎛⎫⎛⎫+=+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2212121214ln ln ln 82x x a x x x x a a a =-+++++=--，要证()()12ln 10f x f x a +>-，即证ln 8ln 10a a a a -->-，只需证()1ln 20a a a -+-<，令()()1ln 2m a a a a =-+-，()0,4a ∈，则()11ln 1ln a m a a a a a -=-++=-'，令()()n a m a '=，则()2110n a a a '=--<恒成立，所以()m a '在()0,4a ∈上单调递减，又()110m '=>，()12ln202m =-<'，由零点存在性定理得，()01,2a ∃∈使得()00m a '=，即001ln a a =，所以()00,a a ∈时，()0m a '>，()m a 单调递增，()0,4a a ∈时，()0m a '<，()m a 单调递减，则()()()()0000000max 00111ln 2123m a m a a a a a a a a a ==-+-=-+-=+-，又由对勾函数知0013y a a =+-在()01,2a ∈上单调递增，所以00111323022a a +-<+-=-<所以()0m a <，即()()12ln 10f x f x a +>-得证.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性求参数；（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题；（4）利用导数证明不等式，常用的思路层次有三个：其一直接构造函数利用导数证明；其二直接做差构造函数利用导数证明；其三先做适当的变换后再做差构造函数利用导数证明.22.在平面直角坐标系xoy 中，曲线C的参数方程为11212x y λλλλ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩λ（为参数）（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点(2,0)M ，直线l 的参数方程为2x t y t=+⎧⎨=⎩(t 为参数，R t ∈)，且直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求11||||MA MB +的值．【答案】（1）2213y x -=（2）3【解析】【分析】（1）根据参数方程消参即可得出直角坐标方程；（2）转化直线的参数方程与曲线C 方程联立，结合韦达定理计算即可.【小问1详解】曲线C的参数方程为11212x y λλλλ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩(λ为参数），则22222211243124x y λλλλ⎧⎛⎫=++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-+ ⎪⎪⎝⎭⎩，即2222221424123x y λλλλ⎧-=+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩，两式相减，可得曲线C 的直角坐标方程：2213y x -=【小问2详解】直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设A ，B 两点对应的参数为1t ，2t ，直线l 的方程可转化为22222x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入2213y x -=，得290t ++=，则12129t t t t ⎧+=-⎪⎨⋅=⎪⎩120t t <、，所以()1212121111223t t MA MB t t t t -++=+==．。
2020-2021学年四川省成都七中高二上10月阶段性考试数学(理)试题(解析版)
2020-2021学年四川省成都七中高二上期10月阶段性考试数学（理）试题一、单选题1．已知命题p ：x R ∀∈，sin x x >，则命题p 的否定为（ ） A ．p ⌝：0x R ∃∈，00sin x x < B ．p ⌝：x R ∀∈，sin x x < C ．p ⌝：0x R ∃∈，00sin x x ≤ D ．p ⌝：x R ∀∈，sin x x ≤【答案】C【解析】利用全称量词命题的否定是存在量词命题写出结果即可． 【详解】解：命题p ：x R ∀∈，sin x x >，为全称量词命题，其否定为存在量词命题，故p ⌝：0x R ∃∈，00sin x x ≤故选：C 【点睛】本题考查命题的否定，存在量词命题与全称量词命题的否定关系，属于基础题． 2．直线():11l y k x -=-和圆2240x y x +-=的位置关系是（ ） A ．相离 B ．相切或相交 C ．相交 D ．相切【答案】C【解析】求出直线l 所过的定点A 的坐标，判断点A 与圆的位置关系，由此可判断出直线l 与圆的位置关系. 【详解】直线():11l y k x -=-过定点()1,1A ，2211410+-⨯<，则点A 在圆2240x y x +-=内，因此，直线():11l y k x -=-和圆2240x y x +-=相交.故选：C. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的判断，考查推理能力，属于基础题.3．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】首先正方体对角面是矩形，其次根据圆与矩形的位置关系分析清楚即可. 【详解】由组合体的结构特征知，球只与正方体的面相切，而与侧棱相离， 故选B. 【点睛】本题考查正方体的内切球的截面问题，难度一般.注意根据几何体的特征去分析. 4．已知P 是圆O ：221x y +=上的动点，则点P 到直线l ：20x y +-=的距离的最小值为（ ） A ．1 B 2C ．2D ．2【答案】A【解析】先利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，再用此距离减去半径，即得所求. 【详解】解：因为圆O ：221x y +=的圆心()0,0O 到直线l ：220x y +-的距离220022211d +-==+，且圆的半径等于1，故圆上的点P 到直线的最小距离为211d r -=-=故选：A 【点睛】本题考查圆上的点到直线的距离的最值问题，属于基础题.5．已知a ，b ,c 为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A ．若a b ∥，b α⊂，则a αB ．若a α⊂，b β⊂，a b ∥，则αβ∥C ．若αβ∥，a α，则a β∥D ．若a αβ⋂=，b βγ=，c αγ⋂=，a b ∥，则b c ∥【答案】D【解析】由空间线面、面面平行的性质和判定逐一判断各选项即可. 【详解】A, 若a b ∥，b α⊂,则a α或a α⊂，故A 不正确.B, 若a α⊂，b β⊂，a b ∥，则αβ∥或α与β相交，故B 不正确. C ，若αβ∥，a α，则a β∥或a β⊂，故C 不正确. D,如图，由a b ∥可得b α，易证b c ∥，故D 正确.【点睛】本题考查空间线面的位置关系.使用空间线面、面面平行(垂直)的判定定理和性质定理时，一定要保证条件完整才能推出结论. 6．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】【详解】因为:1213p x x x +>⇔><-或，p ⌝：31x -≤≤；22:5656023q x x x x x ->⇔-+<⇔<<，q ⌝：23x x ≤≥或，因此从集合角度分析可知p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，选A.7．已知函数()22f x x x =-，()()20g x ax a =+>，若对任意[]11,2x ∈-，总存在[]21,2x ∈-，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．(]0,3D ．[)3,+∞ 【答案】D【解析】根据二次函数的性质求出()f x 在[1,2]-上的值域为[]1,3A =-，利用一次函数的单调性求出()g x 在[1,2]-上的值域为[]2,22B a a =-++，由题意可得A B ⊆，再根据集合的包含关系即可求解. 【详解】()22()211f x x x x =-=--，[1,2]x ∈-，()()min 11f x f ∴==-，()()max 13f x f =-=，∴()f x 在[1,2]-上的值域为[]1,3A =-，又()2(0)g x ax a =+>在[1,2]-上单调递增，∴()g x 在[1,2]-上的值域为[]2,22B a a =-++，由题意可得A B ⊆，021223a a a >⎧⎪∴-+≤-⎨⎪+≥⎩，解得3a ≥.故选：D 【点睛】该题考查了二次函数的性质、由函数的单调性求值域、集合的包含关系求参数的取值范围，属于基础题目.8．过点，且与椭圆221259y x +=有相同焦点的椭圆的标准方程为（ ）A ．221204x y +=B2214y += C ．221204y x +=D．2214x += 【答案】C【解析】将与椭圆221259y x +=焦点相同的椭圆的方程设为221(9)259y x k k k +=<--，再将点代入，求得k 的值，即可得出椭圆标准方程. 【详解】设所求椭圆方程为221(9)259y x k k k+=<--，将点(3,5)-代入，可得22(5)(3)1259k k-+=--，解得5k =（21k =舍去）， 故所求椭圆的标准方程为221204y x +=．故选：C 【点睛】本题主要考查了求与已知椭圆方程有相同焦点的椭圆的标准方程，属于基础题. 9．已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的表面积为（ ）A ．36π+B ．46π+C ．28π+D ．38π+【答案】A【解析】分析：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥与半圆柱的组合体，进而得到结果．详解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥与半圆柱的组合体， 三棱锥的长宽高分别为：2，1，2，，半圆柱的底面半径为1，高为2， 故组合体的表面积为111S ππ22212122?362222π=+⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯+=+，故选A ．点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.10．平面直角坐标系内，过点)2,0的直线l 与曲线21y x =-A B 、两点，当AOB ∆的面积最大时，直线l 的斜率为（ ）A ．3-B ．3-C ．12-D ．22-【答案】A【解析】作出图象，利用三角形面积的最值，确定∠AOB ＝90°，然后求出圆心到直线的距离，结合三角形的边角关系进行求解即可． 【详解】曲线21y x =-O 圆心半径为1的上半圆， 则AOB ∆的面积11sin sin 22S OA OB AOB AOB =∠=∠， 要使三角形的面积最大，此时sin 1AOB ∠=， 即090AOB ∠=，则2AB =，取AB 的中点C ，则1222OC AB ==，∵2OD = ∴212sin 22OC ODC OD ∠===，则030ODC ∠=，0150xDA ∠=， 即直线的倾斜角为150°，则直线的斜率03tan150k ==， 故选A ． 【点睛】本题主要考查直线斜率的计算，结合直线和圆相交的性质以及三角形面积公式进行转化是解决本题的关键．11．已知点(2,0),(2,0)A B -，若圆222(3)(0)x y r r -+=>上存在点P （不同于点,A B ），使得0PA PB ⋅=，则实数r 的取值范围是（ ）A ．(1,5)B ．[1,5]C ．(1,3]D ．[3,5)【答案】A【解析】问题转化为AB 为直径的圆与圆()2223x y r -+=相交，利用两圆圆心距与半径的关系，列出不等式得出r 的取值范围. 【详解】0,PA PB P ⋅=∴在以AB 为直径的圆22:4O x y +=上，因为圆()2223(0)x y r r -+=>上存在点P （不同于点,A B ），使得0PA PB ⋅=，∴圆()()22230x y r r -+=>与圆224x y +=相交，232r r ∴-<<+，解得15r <<，故选A.【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系以及转化与划归思想的应用，属于中档题. 两圆半径为,R r ，两圆心间的距离d ，比较d 与R r -及d 与R r +的大小，即可得到两圆的位置关系.12．已知点P 是椭圆221(0)1612x y xy +=≠上的动点，1F 、2F 为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，若M 是12F PF ∠的角平分线上的一点，且10F M MP ⋅=，则||OM 的取值范围是（ ）A ．(0,2)B ．C ．(0,4)D ．(2,【答案】A【解析】延长2PF 与1F M 交于点G ，由条件判断1PF G ∆为等腰三角形，OM 为12F F G ∆的中位线，故2122111=22222OM F G PF PF a PF =-=-，再根据2PF 的值域，求得OM 的最值，从而得到结果.【详解】 如图，延长2PF 与1F M 交于点G ，则PM 是12F PF ∠的角平分线， 由10F M MP ⋅=可得1F M 与PM 垂直，可得1PF G ∆为等腰三角形，故M 为1F G 的中点， 由于O 为12F F 的中点，则OM 为12F F G ∆的中位线，故21=2OM F G ， 由于1PF PG =，所以212F G PF PF =-， 所以12211=2222OM PF PF a PF -=-， 问题转化为求2PF 的最值，而2PF 的最小值为a c -，2PF 的最大值为a c +，即2PF 的值域为[,]a c a c -+， 故当2PF a c =+或2PF a c =-时，OM 取得最大值为22211=2222()1612222OM a PF a a c c a b -=--==-=-=， 当2PF a =时，P 在y 轴上，此时M 与O 重合，OM 取得最小值为0，又由题意，最值取不到，所以OM 的取值范围是(0,2)， 故选：A. 【点睛】该题考查的是与椭圆相关的问题，涉及到的知识点有椭圆的定义，椭圆的性质，角分线的性质，属于较难题目.二、填空题13．已知直线:210l x y --=和圆22:210C x y y +--=相交于A 、B 两点，则弦长AB =__________．【解析】由圆C 方可知其圆心坐标为(0,1)，半径r =5d ==∴5AB ===，故答案为5. 点睛：本题主要考查了直线与圆相交求截得弦长问题，属于基础题；求直线被圆所截得的弦长时，根据圆的性质通常考虑由弦心距，弦长的一般作为直角边，圆的半径作为斜边，利用勾股定理来解决问题，通常还会用到点到直线的距离公式.14．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等.现有同高的三棱锥和圆锥满足“幂势既同”.若圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，由此推算三棱锥的体积为________．【解析】根据侧面展开图先计算圆锥的体积，再根据祖暅原理得到三棱锥的体积. 【详解】圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆则圆锥的底面半径满足：221r r ππ=∴= ，高h ==2133V r h π==【点睛】本题考查了圆锥的体积的计算，新知识的引入，意在考查学生的应用能力和解决问题的能力.15．已知12,F F 为椭圆221123x y+=的两个焦点，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在 y 轴上，且12PF tPF =，则t 的值为________． 【答案】7.【解析】由题意可得PF 2平行y 轴，然后结合椭圆方程和椭圆的定义整理计算即可求得最终结果. 【详解】∵原点O 是F 1F 2的中点， ∴PF 2平行y 轴，即PF 2垂直于x 轴 ∵c =3， ∴|F 1F 2|=6，设|PF 1|=x ，根据椭圆定义可知2PF x =∴22)36x x +=，解得x =∴|PF 2|=2∵|PF 1|=t |PF 2|， ∴t =7. 【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，方程的思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的表面上，AB ⊥平面,,1,2,3BCD BC CD AB BC CD ⊥===,则球O 的表面积为__________．【答案】14π【解析】根据题意及边长关系得到因为AB ⊥平面BCD 故得到1,AB AD AC === 三角形ABC 为直角三角形，三角形ACD 也为直角三角形，故球心在AD 的中点上，球的半径为1441424V ππ=⨯= 故答案为14π.点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.三、解答题17．已知集合A 是函数()2lg 208y x x=--的定义域，集合B 是不等式22210x x a -+-≥（0a >）的解集，p ：x A ∈，q ：x B ∈．（1）若A B =∅，求实数a 的取值范围；（2）若p ⌝是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1） 11a ≥；（2） 01a <≤． 【解析】（1）分别求函数()2lg 208y x x=--的定义域和不等式22210(0)x x a a -+->的解集化简集合A B ，，由A B =∅得到区间端点值之间的关系，解不等式组得到a 的取值范围；（2）求出p ⌝对应的x 的取值范围，由p ⌝是q 的充分不必要条件得到对应集合之间的关系，由区间端点值的关系列不等式组求解a 的范围． 【详解】（1）由条件得： {|102}A x x =-<<， {|1B x x a =+或1}x a -若A B =Φ，则必须满足121100a a a +≥⎧⎪-≤-⎨⎪>⎩所以，a 的取值范围为： 11a ≥ （2）易得： p ⌝： 2x ≥或10x ≤-， ∵p ⌝是q 的充分不必要条件，{|2x x ∴或10}x -是{|1B x x a =+或1}x a -的真子集，则121100a a a +≤⎧⎪-≥-⎨⎪>⎩，解得：01a <≤ ∴a 的取值范围为： 01a <≤ 【点睛】本题考查的知识点是充要条件的定义，考查了对数函数的定义域以及一元二次不等式的解法，正确理解充要条件的定义，是解答的关键．18．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在边BC 上，1AD C D ⊥.（1）求证：AD ⊥平面11BCC B ；（2）如果点E 是11B C 的中点，求证：1//AE 平面1ADC . 【答案】（1）证明见解析． （2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）证明线面垂直，关键证明线线垂直.已知1,AD C D ⊥，所以还需再找一组线线垂直. 11,,,CC ABC AD ABC CC AD ⊥⊂∴⊥面面∴AD ⊥平面11BCC B .（2）证明线面平行，关键证明线线平行.本题有中点条件，所以从中位线寻找平行条件. 因为AD ⊥平面11BCC B ，所以.AD BC ⊥从而D 是BC 中点.连接1,//.DE DE AA ===则1.A ADE ∴四边形是平行四边形∴1A E //111,,AD ADC A E ADC ⊂∉面面∴1A E //平面1ADC .证：（1）11,,,CC ABC AD ABC CC AD ⊥⊂∴⊥面面1,AD C D ⊥又111,CC C D C ⋂=∴AD ⊥平面11BCC B . 7分(2) 因为AD ⊥平面11BCC B ，所以.AD BC ⊥从而D 是BC 中点.连接1,//.DE DE AA ===则 1.A ADE ∴四边形是平行四边形∴1A E //111,,AD ADC A E ADC ⊂∉面面∴1A E //平面1ADC . 14分【考点】线面平行判定定理，线面垂直判定定理19．已知命题:p x R ∃∈，使240x x a -+<成立，命题:,21q x R x x a ∀∈-++≥恒成立.（1）若命题p ⌝为真，求实数a 的取值范围； （2）若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围.【答案】（1）4a ≥；（2）34a <<【解析】（1）写出非P 命题，通过二次函数恒成立问题，求解参数的范围； （2）先求出每个命题真假分别对应的参数范围，再分类讨论，先交后并即可. 【详解】（1）p ⌝为真，即240x x a -+≥恒成立， 故0∆≤，即1640a -≤， 解得4a ≥，故a 的取值范围为：4a ≥（2）由（1）可知命题p 为假命题，则4a ≥ 故命题p 为真，则4a <，对命题q ，若其为真，则21x x a -++≥ 恒成立 则()()21213x x x x a -++≥--+=≥ 解得：3a ≤故命题q ,若其为假，则3a >； 又由p 或q 为真，p 且q 为假， 则p ，q 中一个为真，一个为假即43a a <⎧⎨>⎩或43a a ≥⎧⎨≤⎩解得()3,4a ∈故实数a 的取值范围为34a <<. 【点睛】本题考查由命题的真假，求参数的取值范围，涉及二次函数恒成立，绝对值不等式. 20．如图，矩形ABCD 中，22AB =，2AD =，M 为DC 的中点，将DAM ∆沿AM 折到D AM ∆'的位置，AD BM '⊥．（1）求证：平面D AM '⊥平面ABCM ；（2）若E 为'D B 的中点，求三棱锥A D EM -'的体积． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）13A D EM V -'=. 【解析】试题分析：（1）在矩形ABCD 中，由题意可得90AMB ∠=，结合'D A BM ⊥，可得BM ⊥平面'D AM ，再由面面垂直的判定可得面ABCM ⊥面'D AM ；（2）在矩形ABCD 中，求得12,2212ADM BM S ∆==⨯⨯=，然后利用等积法求得三棱锥A DEM -的体积.试题解析：（1）由题知，在矩形ABCD 中， 45AMD BMC ︒∠=∠=， 90AMB ︒∴∠=，又D A BM '⊥，BM ∴⊥面D AM '，面ABCM ⊥面D AM '；（2）1111212663A D EM E AD MB AD M D AM V V V BM S '''--∆'-===⋅⋅=⋅⋅=. 21．已知两个定点A （0，4），B （0，1），动点P 满足|PA |＝2|PB |，设动点P 的轨迹为曲线E ，直线l ：y ＝kx ﹣4. （1）求曲线E 的轨迹方程；（2）若l 与曲线E 交于不同的C 、D 两点，且120COD ∠=︒（O 为坐标原点），求直线l 的斜率；（3）若k ＝1，Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线QM 、QN ，切点为M 、N ，探究：直线MN 是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由. 【答案】（1）224x y +=；（2）15（3）直线MN 过定点(1,1)-.【解析】（1）设点P 坐标为（x ，y ），运用两点的距离公式，化简整理，即可得到所求轨迹的方程；（2）由120COD ︒∠=，则点O 到CD 边的距离为1，由点到线的距离公式得直线l 的斜率；（3）由题意可知：O ，Q ，M ，N 四点共圆且在以OQ 为直径的圆上，设(,4)Q t t -，则圆F 的圆心为4,22t t -⎛⎫⎪⎝⎭运用直径式圆的方程，得直线MN 的方程为(4)40tx t y ，结合直线系方程，即可得到所求定点．【详解】（1）设点P 的坐标为(,)x y ， 由||2||PA PB =可得，2222(4)2(1)x y x y +-=+-整理可得224x y +=，所以曲线E 的轨迹方程为224x y +=.（2）依题意，2OC OD ==，且120COD ︒∠=，则点O 到CD 边的距离为1，即点(0,0)O 到直线:40l kx y --=的距离211k =+，解得15k =±，所以直线l 的斜率为15±.（3）依题意，,ON QN OM QM ⊥⊥， 则M N ，都在以OQ 为直径的圆F 上，Q 是直线:4l y x =-上的动点，设(,4)Q t t -则圆F 的圆心为4,22t t -⎛⎫⎪⎝⎭，且经过坐标原点， 即圆的方程为22(4)0x y tx t y +---=， 又因为,M N 在曲线22:4E x y +=上，由22224(4)0x y x y tx t y ⎧+=⎨+---=⎩， 可得(4)40tx ty即直线MN 的方程为(4)40tx ty由t R ∈且()440t x y y +--=可得，0440x y y +=⎧⎨+=⎩解得11x y =⎧⎨=-⎩， 所以直线MN 是过定点(1,1)-. 【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，注意运用两点的距离公式，考查直线和圆相交的弦长公式，考查直线恒过定点的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．22．已知定点()1,0M -，圆()22:116N x y -+=，点Q 为圆N 上动点，线段MQ 的垂直平分线交NQ 于点P ，记P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）过点M 与N 作平行直线1l 和2l ，分别交曲线C 于点A 、B 和点D 、E ，求四边形ABDE 面积的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）6. 【解析】（1）由中垂线的性质得PM PQ =，可得出4MP NP MN +=>，符合椭圆的定义，可知曲线C 是以M 、N 为焦点的椭圆，由此可得出曲线C 的方程； （2）设直线2l 的方程为1x ty =+，设点()11,D x y 、()22,E x y ，将直线2l 的方程与曲线C 的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式计算出DE ，同理得出AB ，并计算出两平行直线1l 、2l 的距离，可得出四边形ABDE 的面积关于t 的表达式，然后利用双勾函数的单调性可求出四边形ABDE 面积的最大值. 【详解】（1）由中垂线的性质得PM PQ =，42MP NP PQ NP MN ∴+=+=>=， 所以，动点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，长轴长为4的椭圆，设曲线C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，则2a =，b =，因此，曲线C 的方程为:22143x y +=；（2）由题意，可设2l 的方程为1x ty =+，联立方程得()2222134690431x y t y ty x ty ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩， 设()11,D x y 、()22,E x y ，则由根与系数关系有122122634934t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩，所以()2212134t DE t +===+， 同理()2212134t AB t +=+，1l 与2l 的距离为d =，所以，四边形ABDE 的面积为22434S t =⨯+，u =，则1u ≥，得224241313u S u u u ==++，由双勾函数的单调性可知，函数13y u u=+在[)1,+∞上为增函数，所以，函数2413S u u=+在[)1,+∞上为减函数， 当且仅当1u =，即0t =时，四边形ABDE 的面积取最大值为6. 【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，涉及椭圆的定义，同时也考查了直线与椭圆中四边形面积最值的计算，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法来求解，考查计算能力，属于中等题.。
2021届四川省成都七中高三10月阶段性测试数学(理)试题(解析版)
2021届四川省成都七中高三10月阶段性测试数学（理）试题一、单选题1．复数()21z i =+的虚部为（ ） A ．2- B ．2 C ．2i - D ．2i【答案】B【解析】利用复数代数形式的乘法运算化简，即可得出复数z 的虚部． 【详解】解：因为()221122z i i i i =+=++=， 即2z i =，所以复数z 的虚部为2. 故选：B. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 2．{}2P y y x==，{}222Q x xy =+=，则P Q =（ ）A ．⎡⎣B ．()(){}1,1,1,1- C ．{D ．⎡⎣【答案】D【解析】集合P 表示的是函数的值域，求出二次函数的值域即化简了P ；集合Q 表示的方程中x 的范围，求出x 的范围化简集合Q ；利用交集的定义求出P Q ．【详解】2{|}{|0}P y y x y y ===22{|2}{|2}Q x x y x x=+==∴{|02}x xP Q ⋂=故选：D ． 【点睛】本题考查集合的表示法、考查利用交集的定义求两个集合的交集，属于基础题． 3．“2a >”是“函数()()xf x x a e =-在()0,∞+上有极值”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】求出函数()()xf x x a e =-的极值点，利用该极值点在()0,∞+内求得实数a取值范围，利用集合的包含关系可得出结论. 【详解】()()x f x x a e =-，则()()1x f x x a e '=-+，令()0f x '=，可得1x a =-.当1x a <-时，()0f x '<；当1x a >-时，()0f x '>. 所以，函数()y f x =在1x a =-处取得极小值.若函数()y f x =在()0,∞+上有极值，则10a ->，1a ∴>.因此，“2a >”是“函数()()xf x x a e =-在()0,∞+上有极值”的充分不必要条件.故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用导数求函数的极值点，考查计算能力与推理能力，属于中等题.4．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为126，则判断框内的条件可以为（ ）A ．5n ≤B ．6n ≤C ．7n ≤D ．8n ≤【答案】B【解析】根据框图，模拟程序运行即可求解. 【详解】根据框图，执行程序，12,2S n ==； 1222,3S n =+=；⋯12222,1i S n i =++⋯+=+，令12222126i S =++⋯+=， 解得6i =，即7n =时结束程序， 所以6n ≤， 故选 ：B 【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，条件分支结构，等比数列求和，属于中档题.genju 5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．32B ．1C ．13D ．12【答案】C【解析】由三视图还原为原图，由此求得几何体的体积. 【详解】由三视图可知，该几何体如下图所示四棱锥1D EFBC -，故体积为1111133⨯⨯⨯=. 故选：C【点睛】本小题主要考查有三视图还原为原图，考查四棱锥体积的计算，属于基础题. 6．关于函数()()πf x 4sin 2x x R 3⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭有如下命题，其中正确的个数有( )()y f x =①的表达式可改写为()()πf x 4cos 2x x R 6⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭()y f x =②是以2π为最小正周期的周期函数； ()y f x ③=的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称； ()y f x =④的图象关于直线πx 3=对称． A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】利用诱导公式变形判断①；由正弦函数的周期公式判断②；求得πf 6⎛⎫- ⎪⎝⎭的值可判断③；求得πf 3⎛⎫⎪⎝⎭的值可判断④． 【详解】()ππππf x 4sin 2x 4cos 2x 4cos 2x 3236⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，①正确；()f x 的最小正周期2πT π2==，②错误； πππf 4sin 0633⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()y f x =的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，③正确； 由π2ππf 4sin 0333⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不为最值，④错误． 其中正确的个数为2．故选C ． 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查诱导公式，()y Asin ωx φ=+型函数的图象和性质，属基础题．7．为抗击新冠病毒，某部门安排甲、乙、丙、丁、戊五名专家到三地指导防疫工作.因工作需要，每地至少需安排一名专家，其中甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的分配方法总数为（ ） A ．18 B ．24C ．30D ．36【答案】C【解析】由甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数，即可得到答案. 【详解】因为甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家 看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，即从四个中选二个和其余二个看成三个元素的全排列共有：2343C A ⋅种；又因为丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，所以再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数有33A 种，所以不同的分配方法种数有：23343336630C A A ⋅-=-=故选：C 【点睛】本题考查了排列组合的应用，考查了间接法求排列组合应用问题，属于一般题.8．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：40kx y k -+=与曲线y =A ，B 两点，且2AO AB ⋅=，则k =（ ）A ．B ．2C ．1D【答案】C【解析】根据直线方程得到l 过定点()4,0P -，过圆心O 作OM l ⊥于M ，由2AO AB ⋅=，得到2AB =，再利用弦长公式，得到k 的值，从而得到答案.【详解】直线40kx y k -+=，即()40k x y ++=， 所以直线l 过定点()4,0P -，曲线y =3r =的上半圆. 过圆心O 作OM l ⊥于M ， 即122AO AB AM AB AB AB ⋅=⋅=⋅=， 所以2AB =，圆心到直线l 的距离()2224411k k d k k ==++-，2222422921k AB r d k ⎛⎫=-=⨯-= ⎪+⎝⎭， 解得1k =±，因为曲线29y x =-是上半圆，结合图像可得0k >， 所以1k =. 故选C.【点睛】本题考查向量的数量积的几何意义，根据弦长求参数的值，考查数形结合的思想，属于中档题.9．如图，四棱锥S ABCD -中，底面是边长为2的正方形ABCD ，AC 与BD 的交点为O ，SO ⊥平面ABCD 且2SO =，E 是边BC 的中点，动点P 在四棱锥表面上运动，并且总保持PE AC ⊥，则动点P 的轨迹的周长为( )A ．2B ．23C ．12D ．13【答案】D【解析】分别取CD 、SC 的中点F 、G ，连接EF 、FG 和EG ，证明平面EFG ∥平面BDS ，再由题意证明AC ⊥平面EFG ，得出点P 在△EFG 的三条边上，求出△EFG 的周长即可. 【详解】解：分别取CD 、SC 的中点F 、G ，连接EF 、FG 和EG ，如图所示；则EF ∥BD ，EF ⊄平面BDS ，BD ⊂平面BDS ∴EF ∥平面BDS 同理FG ∥平面BDS又EF ∩FG ＝F ，EF ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG ，， ∴平面EFG ∥平面BDS ，由AC ⊥BD ，AC ⊥SO ，且AC ∩SO ＝O ， 则AC ⊥平面BDS ， ∴AC ⊥平面EFG ，∴点P 在△EFG 的三条边上； 又EF ＝12BD ＝1222＝1， FG ＝EG ＝12SB ＝1222(2)1+3∴△EFG 的周长为EF +2FG ＝3故选：D. 【点睛】本题考查了四棱锥结构特征的应用问题，也考查了空间中线线、线面、面面间的位置关系应用问题，是中档题.10．已知定义域为R 的奇函数()f x 的周期为2，且(]0,1x ∈时，()12log f x x =.若函数()()πsin 2F x f x x =-在区间[]3,m -（m Z ∈且3m >-）上至少有5个零点，则m 的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6【答案】A【解析】先根据条件分析函数()f x 的性质，然后将问题转化为函数()y f x =和πsin2y x =的图象交点问题，再根据图象求解出m 的最小值.【详解】因为()y f x =是奇函数，所以()00f =，又因为函数()f x 的周期为2， 所以()()()202f f f -==0=，在同一坐标系中作出函数()y f x =和πsin2y x =的图象（如图）， 观察图象可知()y f x =和πsin2y x =的图象在3,2上有五个交点， 而函数()()πsin 2F x f x x =-在区间[]3,m -（m Z ∈且3m >-）上有至少有5个零点，所以2m ≥，所以m 的最小值为2. 故选：A.【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，着重考查函数性质以及数形结合思想，难度较难.数形结合思想的用处：（1）解决函数零点与方程根的个数问题；（2）解决函数图象问题；（3）求解参数范围与解不等式.11．过抛物线()2:20E x py p =>的焦点F 作两条互相垂直的弦AB ，CD ，设P 为抛物线上的一动点，(1,2)Q ，若111||||4AB CD +=，则||||PF PQ +的最小值是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】设直线AB 的方程为2p y kx =+，代入22x py =得：2220x pkx p --=，由根与系数的关系得2A B x x pk +=，2A B x x p =-，从而得到()2||21AB p k =+，同理可得21||2(1)CD p k=+，再利用111||||4AB CD +=求得p 的值，当Q ，P ，M 三点共线时，即可得答案. 【详解】根据题意，可知抛物线的焦点为(0,)2p，则直线AB 的斜率存在且不为0， 设直线AB 的方程为2p y kx =+，代入22x py =得：2220x pkx p --=. 由根与系数的关系得2A B x x pk +=，2A B x x p =-，所以()2||21AB p k=+.又直线CD 的方程为12p y x k =-+，同理21||2(1)CD p k=+， 所以221111111||||2(1)242(1)AB C p k p kD p +=+==++，所以24p =.故24x y =.过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足， 则由抛物线的定义可得||||PF PM =.所以||||||||||3PF PQ PM PQ MQ +=+≥=，当Q ，P ，M 三点共线时，等号成立. 故选：C. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、焦半径公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意取最值的条件. 12．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()2f x '>-，则不等式()()()2132ln 312f x x x x -<-+-的解集为（ ）A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()0,1C ．()1,eD ．1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,【答案】B【解析】构造()()2F x f x x =+，易知奇函数，且在R 上为增函数，()00F =，然后将()()()2132ln 312f x xx x -<-+-转化为()()()212132ln 14f x x x x x -+-<-+-，令()()232ln 14g x x x x =-+-，用导数法得到()0,1x ∈时()0g x >，然后利用函数单调性的定义求解. 【详解】因为奇函数()f x 满足()2f x '>-， 所以()20f x '+>，所以()()2F x f x x =+为奇函数，且在R 上为增函数，()00F =， 而()()()2132ln 312f x xx x -<-+-等价于，()()()212132ln 14f x x x x x -+-<-+-，令()()232ln 14g x xx x =-+-，则()()()22232ln 444ln 4,10g x x x x x x x g x ⎛⎫''=⋅-+--=--= ⎪⎝⎭， 而()4ln g x x ''=-，当()0g x ''>时，01x <<，当()0g x ''<时，1x >， 所以()()10g x g ''≤=， 所以()g x 在()0,∞+上递减，而()10g =，所以()0,1x ∈时，()0g x >，()10F x -<，； 所以()()()2132ln 312f x x x x -<-+-的解集为()0,1，故选：B 【点睛】本题主要考查函数的单调性与导数，函数的单调性的定义的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于较难题.二、填空题13．已知2nx⎛- ⎝的展开式二项式系数和为64，则展开式中常数项是___．（用数字作答） 【答案】60【解析】因为展开式二项式系数和为64，所以264n =，6n =，展开式的通项为3666622+166=(1)2(1)2r r r rr rr rr r T C xxC x------=- ，令36=02r -，得4r =，所以常数项为第5项，541560T =⨯=，故填60.点睛：涉及二项式展开式的特定项，一般要先写出二项式的展开式的通项公式，根据特定项的特点确定r,从而求出特定项或与题目有关的问题，一般会求常数项. 14．已知2=a ，1b =，a b -与b 垂直，则a 与b 的夹角为______. 【答案】π3【解析】利用两个向量垂直的性质，两个向量的夹角公式，求得a 与b 的夹角的余弦值，可得a 与b 的夹角． 【详解】||2a =，||1b =，a b -与b 垂直，故有22()||||cos ,||2cos ,10a b b a b b a b a b b a b -⋅=⋅-=<>-=<>-=， 所以1cos ,2a b <>=， 因为0,a b π≤<>≤ 所以a 与b 的夹角为3π， 故答案为：3π． 【点睛】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的夹角公式，属于基础题．15．已知集合{}{}012a b c =,,,,，有下列三个关系①2a ≠；②2b =；③0c ≠，若三个关系中有且只有一个正确的，则23a b c ++=_______________. 【答案】5【解析】依次讨论①②③正确性，确定a b c 、、的值，得到答案. 【详解】若①正确，②③错误，则0c，1b =，2a =，矛盾，不成立；若②正确，①③错误，则2b =，0c，1a =，矛盾，不成立；若③正确，①②错误，则2a =，1c =，0b =，成立，235a b c ++=； 综上所述：235a b c ++=. 故答案为：5. 【点睛】本题考查了逻辑推理，相等集合，意在考查学生的计算能力和逻辑推理能力.16．已知函数2()2ln 3f x x ax =-+，若存在实数,[1,5]m n ∈满足2n m -≥时，()()f m f n =成立，则实数a 的最大值为_____ 【答案】ln34【解析】由题得222(ln ln )n m a n m -=-，令n m t =+，（2t ≥），则ln(1)(2)tm a t m t +=+，（[1,5]m ∈，2t ≥）， 构造函数ln(1)()(2)t m g m t m t +=+，再利用导数求函数的最小值得解. 【详解】由22()()2ln 32ln 3f m f n n an m am =⇒-+=-+，所以222(ln ln )n m a n m -=-，令n m t =+，（2t ≥），则ln(1)(2)t m a t m t +=+，（[1,5]m ∈，2t ≥）， 显然ln(1)()(2)t m g m t m t +=+，在[1,)m ∈+∞单调递减， ∴ln(1)(1)(2)t a g t t +≤=+（2t ≥）令ln(1)()(1)(2)t h t g t t +==+，（2t ≥），22222(1)ln(1)()[(2)](1)t t t t h t t t t +-++'=++，∵2t ≥，∴2ln(1)1t +>，则2222(1)ln(1)t t t t +-++，∴令ln(1)()(1)(2)t h t g t t +==+在[2,)+∞单调递减，∴ln 3(2)4a h ≤=，∴实数a 的最大值为ln34． 故答案为：ln34【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题17．已知向量(sin ,sin ),(cos ,cos ),sin 2,m A B n B A m n C ==⋅=且A 、B 、C 分别为△ABC 的三边a 、b 、c 所对的角． （1）求角C 的大小；（2）若sin ,sin ,sin A C B 成等差数列，且()18CA AB AC ⋅-=，求c 边的长．【答案】（1）3C π=；（2）6c =．【解析】【分析】试题分析：（1）先利用数量积公式得：sin cos sin cos sin()m n A B B A A B ⋅=⋅+⋅=+，化简得：sin 2sin C C =，再有二倍角公式化简即可；（2）由（1）可得3C π=，由sin ,sin ,sin A C B 成等差数列得：2c a b =+，()18CA AB AC ⋅-=得：36ab =，利用余弦定理可得c 的值．【详解】（1）sin cos sin cos sin()m n A B B A A B ⋅=⋅+⋅=+对于,,0sin()sin ABC A B C C A B C ππ∆+=-<<∴+=，且sin 0C ≠，sin 2sin ,2sin cos sin C C C C C ∴=⇒⋅=1cos 23C C π⇒=⇒= （2）由sin ,sin ,sin A C B 成等差数列，得2sin sin sin C A B =+， 由正弦定理得2c a b=+()18,18CA AB AC CA CB ⋅-=∴⋅=，即cos 18,36ab C ab ==由余弦弦定理22222cos ()3c a b ab C a b ab =+-=+-，2224336,36c c c ∴=-⨯=，6C ∴=【点睛】本题考查了平面向量数量积坐标表示公式的应用，考查了正弦定理、余弦定理的应用，考查了二倍角正弦公式的应用，考查了特殊角的三角函数值，考查了等差数列的性质，考查了数学运算能力.18．某校随机调查了80位学生，以研究学生中爱好羽毛球运动与性别的关系，得到下面的数据表：（1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查了本校的3名学生、设这3人中爱好羽毛球运动的人数为X ，求X 的分布列和期望值：（2）根据表中数据，能否有充分证据判定爱好羽毛球运动与性别有关联？若有，有多大把握？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】（1）分布列详见解析；期望为98（人）；（2）没有. 【解析】（1）X 的可能取值为0123，，，，随机变量服从二项分布，运用独立重复实验公式求出概率后列出分布列，运用二项分布求出期望；（2）根据列联表，利用公式计算出临界值，与临界值表进行比较，即可得出结论. 【详解】（1）X 的可能取值为0123，，，，随机变量服从二项分布，任一学生爱好羽毛球运动的概率为38，故3~3,8X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭()303512508512P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()21335225188512P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()22335135288512P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()33332738512P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， X 的分布列为39388EX =⨯=（人）（2）()228020201030800.35560.45530503050225K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯， 故没有充分证据判定爱好羽毛球运动与性别有关联. 【点睛】本题考查二项分布的应用以及独立重复实验解决实际问题，独立性检验计算出临界值与临界值表进行比较解决实际问题.19．如图,在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 是直角梯形,,//,AB AD AB CD PC ⊥⊥底面ABCD 224,2,AB AD CD PC a E ====,是PB的中点.（1）.求证:平面EAC ⊥平面PBC ; （2）.若二面角P AC E --的余弦值为6,求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）23.【解析】试题分析：（1）根据PC ⊥平面ABCD 有PC AC ⊥，利用勾股定理可证明AC BC ⊥，故AC ⊥平面PBC ，再由面面垂直的判定定理可证得结论；（2）在C 点建立空间直角坐标系，利用二面角P AC E --的余弦值为6建立方程求得2PC =，在利用法向量求得PA 和平面EAC 所成角的正弦值. 试题解析：（Ⅰ）PC ⊥ 平面,ABCD AC ⊂平面,ABCD AC PC ∴⊥因为4,2AB AD CD ===,所以2AC BC ==,所以222AC BC AB +=,所以AC BC ⊥,又BC PC C ⋂=，所以AC ⊥平面PBC .因为AC ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面PBC ． （Ⅱ）如图，以点C 为原点，,,DA CD CP 分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则()()()0,0,0,2,2,0,2,2,0C A B -.设()0,0,2(0)P a a >，则()1,1,E a -()()()2,2,0,0,0,2,1,1,CA CP a CE a ===-取()1,1,0m =-，则0,m CA m CP m ⋅=⋅=为面PAC 法向量．设(),,n x y z =为面EAC 的法向量，则0n CA n CE ⋅=⋅=， 即0{x y x y az +=-+=，取,,2x a y a z ==-=-，则(),,2n a a =--依题意2cos ,m n m n m na ⋅〈〉===⋅+，则2a =．于是()()2,2,2,2,2,4n PA =--=-．设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则2sin cos ,3PA n PA n PA nθ⋅=〈〉==⋅ 即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为3． 20．已知椭圆C：()222210x y a b a b +=>>的两个焦点为1F ，2F ，焦距为直线l ：1y x =-与椭圆C 相交于A ，B 两点，31,44P ⎛⎫- ⎪⎝⎭为弦AB 的中点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l ：y kx m =+与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，()0,Q m ，若3OM ON OQ λ+=（O 为坐标原点），求m 的取值范围. 【答案】（1）2213x y +=；（2）113m <<或113m -<<-. 【解析】（1）31,44P ⎛⎫-⎪⎝⎭为弦AB 的中点, 设()11,A x y ，()22,B x y ,代入椭圆方程利用点差法可求解.（2）由M ，Q ，N 三点共线，133OQ OM ON λ=+，根据三点共线性质可得：1133λ+=，则2λ=，将直线l 的方程和椭圆C 方程联立，利用韦达定理即可求得答案. 【详解】（1）∵焦距为c =()11,A x y ，()22,B x y ，∵31,44P ⎛⎫-⎪⎝⎭为弦AB 的中点，根据中点坐标公式可得：1232x x +=，1212y y +=-，又∵将()11,A x y ，()22,B x y 代入椭圆C ：22221x y a b+=∴2222221122222222b x a y a b b x a y a b⎧+=⎨+=⎩ ∴将两式作差可得：()()()()22121212120b x x x x a y y y y +-++-=，所以()()22121222121231AB b x x y y b k x x a y y a+-==-==-+， 所以223a b ………①.∵222a c b -=………②由①②得：2231a b ⎧=⎨=⎩所以椭圆的标准方程为2213x y +=.（2）∵M ，Q ，N 三点共线，133OQ OM ON λ=+ ∴根据三点共线性质可得：1133λ+=，则2λ= 设()11,M x y ，()22,N x y ，则1212033x x +=，∴122x x =-.将直线l 和椭圆C 联立方程22,33y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消掉y . 可得：()222136330kxkmx m +++-=.220310k m ∆>⇒-+>………③，根据韦达定理：122613km x x k +=-+，21223313m x x k-=+， 代入122x x =-，可得：22613km x k =+，222233213m x k --=+，∴()222222363321313k m m kk --⨯=++，即()2229131m k m -⋅=-.∵2910m -≠，219m ≠，∴22213091m k m -=≥-………④，代入③式得22211091m m m --+>-，即()22211091m m m -+->-， ∴()()2221910mmm --<，∴2119m <<满足④式，∴113m <<或113m -<<-.【点睛】本题考查椭圆的中点弦问题，考查直线与椭圆的综合问题，联立方程，韦达定理的应用，属于中档题.21．已知函数()21xe f x ax bx =++，其中0a >，b R ∈，e 为自然对数的底数.（1）若1b =，[)0,x ∈+∞，①若函数()f x 单调递增，求实数a 的取值范围；②若对任意0x ≥，()1f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. （2）若0b =，且()f x 存在两个极值点1x ，2x ，求证：()()12312f x f x e a+<+<. 【答案】（1）①102a <≤；②102a <≤；（2）证明见解析. 【解析】（1）①问题等价于()0f x '≥在[)0,+∞上恒成立，即21ax a ≥-对任意[)0,x ∈+∞恒成立，由此得解；②分102a <≤、12a >两种情况讨论，即可得出答案； （2）表示出()()()112111222x x e x e x f x f x --++=，令()()222x x e x e xF x --+=，求导后易证()()1F x F e <=，令()()()2232xx e xG x e x x x e=-+--，()0,1x ∈，利用导数可证()()02G x G >=，进而得证()()12312f x f x e a+<+<. 【详解】[详解]（1）①因为()21xe f x ax x =++单调递增，所以()()222(12)01x e ax a x f x axx ⎡⎤+-⎣⎦'=≥++对任意[)0,x ∈+∞恒成立，即21ax a ≥-对任意[)0,x ∈+∞恒成立， ∴210a -≤，即102a <≤； ②由①当102a <≤时，()21xe f x ax x =++单调递增，故()1f x ≥成立，符合题意，当12a >时，令()0f x '=得21a x a -=，∴()f x 在210,a a -⎛⎫⎪⎝⎭上递减，∴()2101a f f a -⎛⎫<= ⎪⎝⎭不合题意；综上，实数a 的取值范围为102a <≤. （2）因为()21xe f x ax =+，x ∈R 存在两个极值点1x ，2x ，所以()()()2222101x e ax ax f x ax-+'==+有两个不同的解，故2440a a ∆=->，又0a >，所以1a >，设两根为1x ，()212x x x <，则122x x +=，121=x x a，故101x <<， ()()()1112121221121122212121221211211xx x x x x x x e x e x e x e x e e e e f x f x x x ax ax x x x x --+++=+=+==+++++令()()222xxe x ex F x --+=，因为()()()21102xx e x e x e F x --+'=>， 所以()F x 在()0,1上递增，所以()()1F x F e <=；又()()()()11211211132232x x e x f x f x e x x x a e +-=-+--⎡⎤⎣⎦ 令()()()2232xx e xG x e x x x e=-+--，()0,1x ∈，则()()216x x e G x x e e ⎛⎫'=-+- ⎪⎝⎭，令()0G x '=得3x e =，又()0,1x ∈，则3x e =即(ln 3x =，记为0x ，则()G x 在()00,x 上递增，在()0,1x 上递减，又()02G =，()1232G e =->，所以()()02G x G >=，即()()12312f x f x a+>+， 综上：()()12312f x f x e a+<+<. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及不等式的恒成立问题，考查不等式的证明，考查推理论证能力及运算求解能力，属于较难题目.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）．在以O为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为3sin()42πρθ-=． （Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点(2,3)P -，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求||||PA PB ⋅的值．【答案】（Ⅰ）曲线C 的普通方程为2212x y +=；直线l 的直角坐标方程为10x y ++=；（Ⅱ）403. 【解析】（Ⅰ）消去参数α可得曲线C 的普通方程，利用极坐标与直角坐标互化的方法确定直线l 的直角坐标方程即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，点()2,3P -在直线l 上，联立直线的参数方程与C 的直角坐标方程，结合直线的几何意义可得PA PB ⋅的值. 【详解】（Ⅰ）由x y sin αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，消去参数α可得2212x y +=，故曲线C 的普通方程为2212x y +=．由342sin πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可得222sin cos ρθρθ--=，即10sin cos ρθρθ++=，将x cos ρθ=，y sin ρθ=代入上式，可得10x y ++=， 故直线l 的直角坐标方程为10x y ++=．第 21 页 共 21 页 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，点()2,3P -在直线l 上，可设直线l的参数方程为223x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），将22x =-，32y t =-+代入2212x y +=，化简可得23400t -+=， 设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则12403t t =， 所以1212403PA PB t t t t ⋅=⋅==． 【点睛】本题主要考查极坐标与直角坐标的互化，参数方程与普通方程的互化，直线参数方程中参数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23．（1）求函数()32123x x f x x +--=+的最大值M . （2）若实数a ，b ，c 满足22a b c M +≤≤，证明：()210a b c +++≥，并说明取等条件.【答案】（1）1M =；（2）证明见解析；当12a b ==-，12c =时取等. 【解析】（1）利用绝对值三角不等式可得()f x 的最大值；（2）利用已知条件结合不等式，可证明命题成立．【详解】（1）()32123212133x x x x f x x x +--++-=≤=++，等号成立， 当且仅当23x ≤-或12x ≥，所以1M =. （2）()()222()2121212a b a b c a b a b a b ⎛⎫++++≥++++≥+++ ⎪⎝⎭()210a b =++≥， 当且仅当12a b ==-，12c =时取等，所以存在实数12a b ==-，12c =满足条件. 【点睛】 本题考查绝对值三角不等式的应用，考查重要不等式，属于中档题．。
成都七中2021高三10月月考数学试卷及答案
成都七中2021高三10月月考数学试卷及答案 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时刻120分钟．第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）1．设x ∈R ，则“l<x<2”是“l<x<3”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．己知命题p ：(0,),2x π∃∈使得cos x ≤x ，则该命题的否定是( ) A ．(0,),2x π∃∈使得cos x>x B ．(0,),2x π∀∈使得cos x>x C ．(0,),2x π∀∈使得cos x ≥x D ．(0,),2x π∀∈使得cos x ≤x 3．设A 到B 的函数f ：x → y= (x-l)2，若集合A={0，l ，2），则集合B 不可能是()A 、{0,1}B 、{0,1,2}C 、{0,-1,2)D 、{0,1,-1)4．函数f( x)= ln 1x x -的定义域为 A.(0,+ ∞) B.[0,+∞) C.(0,1) (1,+∞) D.[0,1) (1,+∞)5. sin 240° =A ．12 B.—12C. 32D.— 32 6．若a 为实数，且2+ai=(1+i)(3+i)，则a=( )A ． -4B ． 一3C ． 3D ． 47．已知13212112,log ,log ,33a b c -===则( ) A.a>b>c B. a>c>b C.c>a>b D.c>b>a8．函数f(x)=ln (x +1) - 2x的一个零点所在的区间是( ) A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)9．己知tan θ=，则sin θcos θ一cos 2θ=( )A ．12B ．- 12C 31-D 13- 10.设偶函数f (x)在[0，+m ）单调递增，则使得f (x)>f （2x -1）成立的x 的取值范畴 是( )A ．1(,1)3 B ．1(,)(1,)3-∞+∞ C ．11(,)33- D ．11(,)(,)33-∞-+∞ 11.己知函数f (x)=|x-2|+1，g (x)= kx ，若方程f(x ）=g(x ）有两个不相等的实根，则实数k 的取值范畴是A ．（0，12）B ．(12，1） C ．(1，2) D ．(2，+∞) 12.设函数f (x)=若互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足 123()()()f x f x f x ==，则x 1+x 2+x 3的取值范畴是( )第II 卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）13.在区间[0，2]上随机地取一个数x ，则事件“0≤x ≤32”发生的概率为 14.若函数f (x)= 的值域为 ．15.若3-a =2a ，则a=16. 己知函数f (x)=2 sin ωx(ω>0)在区间上的最小值是-2，则ω的最小值为三、解答题（解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本题满分10分）己知集合A={x |y=2x x -}, B={y|y=x 2+x+l,x ∈ R ）．(1)求A ，B ；(2)求,R AB AC B ． 18.（本题满分12分）（1)已知不等式ax 2一bx+1≥0的解集是11[,]23--，求不等式一x 2+bx+a>0的解集；(2)若不等式ax 2+ 4x 十a>1—2x 2对任意x ∈R 均成立，求实数a 的取值范畴．19.（本题满分12分）某校为了解高三开学数学考试的情形，从高三的所有学生数学试卷 中随机抽取n 份试卷进行成绩分析，得到数学成绩频率分布直方图（如图所示），其中成 绩在[50，60 )的学生人数为6．(1)求直方图中x 的值；(2)试依照样本估量“该校高三学生期末数学考试成绩≥70”的概率；(3)试估量所抽取的数学成绩的平均数．20.（本题满分12分）已知函数f (x)= sin2x+2sinxcosx+3cos2x ，x ∈R.求： (1)函数f (x)的最小正周期和单调递增区间；(2)函数f （x)在区间[,]63ππ-上的值域．21.（本题满分12分）设函数f (x)= 212x x e -． (1)求函数f (x)的单调区间；(2)若当x ∈[-2，2]时，不等式f (x)<m 恒成立，求实数m 的取值范畴．22.（本题满分12分）已知函数2221()()1ax a f x x R x -+=∈+，其中a ∈R. (1)当a=l 时，求曲线y=f （x ）在点(2，f （2)）处的切线方程；(2)当a ≠0时，求函数f (x)的单调区间与极值．。
2020-2021学年四川省成都市某校高三(上)10月月考数学(理)试卷 (2)有答案
2020-2021学年四川省成都市某校高三（上）10月月考数学（理）试卷一、选择题1. 设集合A={x∈N|−2<x<4}，集合B={x|x2+x−2≤0}，则A∩B=()A.{x|−2≤x<4}B.{−2,−1,0,1,2,3}C.{x|−2<x≤1}D.{0,1}2. 已知复数z满足z+z⋅i=3+i，则复数z的共轭复数为()A.1+2iB.1−2iC.2+iD.2−i3. 已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.π6+13B.π12+1 C.π12+13D.π4+134. 实数对(x,y)满足不等式组{x−y−2≤0，x+2y−5≥0，y−2≤0，则目标函数z=(x−1)2+y2的最小值为()A.4√55B.4 C.165D.25. 根据如图所示程序框图，当输入x为6时，输出的y=()A.1B.2C.5D.106. 在各项均为正数的等比数列{a n}中a6=3，则4a4+a8=( )A.有最小值12B.有最大值12C.有最大值9D.有最小值97. 下面命题正确的是()<1”的充分必要条件A.“a>1”是“1aB.命题“若x2<1，则x<1”的否命题是“若x≥1，则x2≥1”C.设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要不充分条件D.设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件5)，8. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(−∞,0)上单调递减，若a=f(log12b=f(log4.1)，c=f(20.8)，则a，b，c的大小关系是()2A.a<b<cB.${cC.${bD.c<a<b9. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列判断正确的是()①平面PB1D⊥平面ACD1；②A1P//平面ACD1；]；③异面直线A1P与AD1所成角的取值范围是(0,π3④三棱锥D1−APC的体积不变.A.①②B.①②④C.③④D.①④10. 关于圆周率，数学发展史上出现过很多有创意的求法，如著名的蒲丰试验．受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值，试验步骤如下：①先请高二年级n 名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对(x, y)(0<x <1, 0<y <1)；②若卡片上的x ，y 能与1构成锐角三角形，则将此卡片上交；③统计上交的卡片数，记为m ；④根据统计数n ，m 估计π的值．那么可以估计π的值约为( ) A.mnB.n−m nC.4(n−m)nD.4m n11. 已知点A 是抛物线x 2=4y 的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上，当|PF||PA|取最小值时，点P 恰好在以A ，F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( ) A.√3+1 B.√2+1 C.√5+12D.√2+1212. 已知⊙C:(x −2)2+(y −2)2=2，O 为坐标原点，OT 为⊙C 的一条切线，点P 为⊙C 上一点且满足OP →=λOT →+μOC →(其中 λ≥√33,μ∈R )，若关于λ,μ的方程OP →⋅CT →=t存在两组不同的解，则实数t 的取值范围为( ) A.[√3−2,0) B.(√3−2,0) C.[√3−3,0) D.(√3−3,0)二、填空题对于函数y =f(x)，若其定义域内存在两个不同的实数x 1，x 2，使得f(x i )x i=1(i =1,2)成立，则称函数f(x)具有性质G ，若函数f(x)=a ln x 具有性质G ，则实数a 的取值范围是________. 三、解答题在△ABC 中，a,b,c 分别是内角A,B,C 的对边，且满足cos Bcos C +−2a+b c=0.(1)求角C 的值；(2)若b=2，AB边上的中线CD=√3，求△ACD的面积.某有机水果种植基地试验种植的某水果在售卖前要成箱包装，每箱80个，每一箱水果在交付顾客之前要按约定标准对水果作检测，如检测出不合格品，则更换为合格品．检测时，先从这一箱水果中任取10个作检测，再根据检测结果决定是否对余下的所有水果作检测．设每个水果为不合格品的概率都为p(0<p<1)，且各个水果是否为不合格品相互独立．(1)记10个水果中恰有2个不合格品的概率为f(p)，求f(p)取最大值时p的值p0；(2)现对一箱水果检验了10个，结果恰有2个不合格，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每个水果的检测费用为1.5元，若有不合格水果进入顾客手中，则种植基地要对每个不合格水果支付a元的赔偿费用(a∈N∗)．①若不对该箱余下的水果作检验，这一箱水果的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)；②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为多少元时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检验？如图所示，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF // AB，EF⊥FB，∠BFC=90∘，BF=FC，H为BC的中点.(1)求证：AC⊥平面EDB；(2)求直线AH与平面BCE所成角的正弦值.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率等于√32，点P(2, √3)，Q(2, −√3)在椭圆C上，A，B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点，直线AB与直线PQ交于点M.(1)若直线AB的斜率为√3，求四边形APBQ面积的最大值；6(2)当A，B运动时，满足|PA|⋅|BM|=|PB|⋅|AM|，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．已知函数f(x)=ln x+x−ax2，a∈R.(1)设g(x)=f(x)+(a−3)x，试讨论函数g(x)的单调性；(2)当a=−2时，若存在正实数x1，x2满足f(x1)+f(x2)+3x1x2=0，求证：x1+ x2>1.2|.已知函数f(x)=|2x−a|+|x+2a(1)当a=2时，解不等式f(x)≥1；(2)求函数g(x)=f(x)+f(−x)的最小值．参考答案与试题解析2020-2021学年四川省成都市某校高三（上）10月月考数学（理）试卷一、选择题1.【答案】D【考点】一元二次不等式的解法交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：已知集合A={x∈N|−2<x<4}，则A={0,1,2,3}，集合B={x|x2+x−2≤0}，则(x−1)(x+2)≤0，即−2≤x≤1，所以集合B={x|−2≤x≤1}，则A∩B={0,1}.故选D.2.【答案】C【考点】共轭复数复数代数形式的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】解：∵复数z满足z+z⋅i=3+i，∴z=3+i1+i =(3+i)(1−i)(1+i)(1−i)=2−i，则复数z的共轭复数为2+i.故选C.3.【答案】C【考点】由三视图求体积【解析】由三视图可知：该几何体由一个三棱锥与一个圆锥的14组成．【解答】解：由三视图可知：该几何体由一个三棱锥与一个圆锥的14组成．∴该几何体的体积：V=14×13×π×12×1+13×12×2×1×1=π12+13．故选C.4.【答案】C【考点】求解非线性目标函数的最值-有关距离简单线性规划【解析】此题暂无解析【解答】解：根据不等式作出可行域：则z的几何意义为点(1,0)到可行域距离的平方，据图可知该点到x+2y−5=0的距离最小，故z min=(|1−5|√1+22)2=165.故选C.5.【答案】D【考点】程序框图【解析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x的值，当x=−3时不满足条件x≥0，计算并输出y的值为10．【解答】解：模拟执行程序框图，输入x=6，得x=3，满足条件x≥0，循环：x=0，满足条件x≥0，循环：x=−3，不满足条件x≥0，此时y=(−3)2+1=10,所以输出y的值为10．故选D．6.【答案】A【考点】数列与不等式的综合基本不等式等比数列的通项公式【解析】由题意设出等比数列的公比，把a4、a8用a6和公比表示，然后利用基本不等式求得答案．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q(q>0)，∵a6=3，∴a4=a6q2=3q2,a8=a6q2=3q2，∴4a4+a8=12q2+3q2≥2√12q2⋅3q2=12．当且仅当q=√2时上式等号成立．故4a4+a8有最小值12.故选A.7.【答案】D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断命题的真假判断与应用命题的否定【解析】根据充要条件的定义，逐一分析四个答案的真假，最后综合讨论结果，可得结论．【解答】解：“a>1”⇔“0<1a<1”，故“a>1”是“1a<1”的充分不必要条件，故A错误；命题“若x2<1，则x<1”的否命题是：“若x2≥1，则x≥1”，故B错误；当“x≥2且y≥2”时，“x2+y2≥4”成立，但“x2+y2≥4”时，“x≥2且y≥2”不一定成立，故“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件，故C错误；a,b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，D正确.故选D.8.【答案】B【考点】对数值大小的比较函数奇偶性的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(−∞,0)上单调递减，则在(0,+∞)上单调递增，则a=f(log125)=f(−log25)=f(log25)，而log25>log24.1，则a>b；又∵log24.1>log24=2，20.8<21=2，则20.8<log24.1，∴c<b.故c<b<a.故选B.9.【答案】B【考点】平面与平面垂直的判定异面直线及其所成的角柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，连接DB1，根据正方体的性质，有DB1⊥平面ACD1，DB1⊂平面PB1D，从而可以证明平面PB1D⊥平面ACD1，①正确；连接A1B,A1C1，容易证明平面BA1C1//平面ACD1，从而由线面平行的定义可得A1P//平面ACD1，②正确；V三棱锥D1−APC =V三棱锥C−AD1P，因为C到面AD1P的距离不变，且三角形AD1P的面积不变，所以三棱锥A−D1PC的体积不变，④正确；当P与线段BC1的端点重合时，A1P与AD1所成角取得最小值π3，当P与线段BC1的中点重合时，A1P与AD1所成角取得最大值π2，故A1P与A1D所成角的范围是[π3,π2]，③错误.①②④正确. 故选B . 10.【答案】 C【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型） 【解析】500对都小于l 的正实数对(x, y)满足{0<x <10<y <1 ，面积为1，两个数能与1构成锐角三角形三边的数对(x, y)，满足x 2+y 2>1且{0<x <10<y <1 ，x +y >1，面积为1−π4，由此能估计π的值． 【解答】解：由题意，n 对都小于1的正实数对(x, y)满足{0<x <1,0<y <1, 面积为1，两个数能与1构成锐角三角形三边的数对(x, y)， 满足cos α=x 2+y 2−122xy>0且{0<x <1,0<y <1,即x 2+y 2>1且{0<x <10<y <1，x +y >1，面积为1−π4，因为统计两数能与1构成锐角三角形三边的数对(x, y) 的个数m ， 所以mn =1−π4，所以π=4(n−m)n．故选C .11.【答案】 B【考点】 抛物线的性质 双曲线的离心率 抛物线的标准方程 抛物线的定义 直线的点斜式方程 直线的倾斜角【解析】 此题暂无解析 【解答】解：过P 作准线的垂线，垂足为N ，如图：∵点F为抛物线焦点，点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，∴F(0,1)，A(0,−1)，则由抛物线的定义可得|PF|=|PN|，=m，设|PF||PA|∴|PN|=m，|PA|设PA的倾斜角为α，则sinα=m，当m取得最小值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为y=kx−1，代入x2=4y，可得x2=4(kx−1)，即x2−4kx+4=0，∴Δ=16k2−16=0，∴k=±1，∴P(2, 1)，∴双曲线的实轴长为|PA|−|PF|=2(√2−1)，∴a=√2−1，c=1，∴双曲线的离心率为1=√2+1．√2−1故选B.12.【答案】A【考点】向量的线性运算性质及几何意义空间直线的向量参数方程向量在几何中的应用向量的共线定理根的存在性及根的个数判断【解析】此题暂无解析【解答】解：如图：OT为⊙C的切线，则OT →⋅CT →=0,易知C(2，2)，OC =2√2，r =√2，∴ ∠COT =30∘，∠OCT =60∘，OP →⋅CT →=(λOT →+μOC →)⋅CT →=λOT →⋅CT →+μOC →⋅CT →=μOC →⋅CT →=t .∴ OC →⋅CT →=−2√2×√2×12=−2，∴ −2μ=t .而OC →⋅OT →=−2√2×√6×√32=6， CP →=OP →−OC →=λOT →+μOC →−OC →=λOT →+(μ−1)OC →.∴ CP →2=λ2OT →2+2(μ−1)λOT →×OC →+(μ−1)2OC →2，∴ 2=6λ2+12λ(μ−1)+8(μ−1)2，1=3λ2+6λ(μ−1)+4(μ−1)2，∴ 3λ2+6λ(μ−1)+4(μ−1)2−1=0，∴ Δ=36(μ−1)2−4×3×[4(μ−1)2−1]=−12(μ−1)2+12>0.解得0<μ<2.∵ λ≥√33时，OP →×CT →=t 存在两个不同的解， ∴ 令f(λ)=3λ2+6λ(μ−1)+4(μ−1)2−1，则{f(√33)≥0，−6(μ−1)6>√33解得{μ≤1−√32或μ≥1,μ<1−√33， 故μ≤1−√32， 又0<μ<2，∴ 0<μ≤1−√32， 又−2μ=t ，∴ √3−2≤t <0.故选A .二、填空题【答案】(e,+∞)【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题由函数零点求参数取值范围问题【解析】此题暂无解析【解答】解：函数f(x)=a ln x(x >0)具有性质G ， 则f(x)x =a ln xx =1(x >0)有两个解，即f(x)=a ln x 与y =x 有两个交点，如图：则f ′(x)=ax ，令f ′(x)=1，则x =a ， 当x =a 时，a ln a =a ，此时，a =e ，所以当a =e 时，f(x)与y =x 有一个交点，由图可知当a >e 时，f(x)=a ln x 与y =x 有两个交点.,即当a >e 时，函数f(x)=a ln x 具有G 性质.故答案为：(e,+∞).三、解答题【答案】解：(1)∵ cos Bcos C +−2a+b c =0，由正弦定理得： cos B cos C +−2sin A+sin B sin C=0， 即cos B ⋅sin C +cos C(−2sin A +sin B)=0，从而sin (B +C)−2sin A cos C =0，即sin A −2sin A cos C =0.又△ABC 中，sin A >0，∴ cos C =12得C =π3.(2)由CD →=12(CA →+CB →)两边平方得：3=14(22+a 2+2×2×a ×cos 60∘)， 从而a =2或a =−4(舍)，故S △ABC =12ab sin C =12×2×2×sin 60∘=√3，∴ S △ACD =√32. 【考点】两角和与差的正弦公式解三角形正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)∵ cos B cos C +−2a+b c =0，由正弦定理得： cos B cos C +−2sin A+sin B sin C=0， 即cos B ⋅sin C +cos C(−2sin A +sin B)=0，从而sin (B +C)−2sin A cos C =0，即sin A −2sin A cos C =0.又△ABC 中，sin A >0，∴ cos C =12得C =π3.(2)由CD →=12(CA →+CB →)两边平方得：3=14(22+a 2+2×2×a ×cos 60∘)， 从而a =2或a =−4(舍)，故S △ABC =12ab sin C =12×2×2×sin 60∘=√3， ∴ S △ACD =√32. 【答案】解：(1)记10个水果中恰有2个不合格的概率为f(p)，则f(p)=C 102p 2(1−p)8，∴ f′(p)=C 102[2p(1−p)8−8p 2(1−p)7]=90p(1−p)7(1−5p)，由f′(p)=0，得p =0.2．且当p ∈(0, 0.2)时，f′(p)>0，当p ∈(0.2, 1)时，f′(p)<0，∴ f(p)的最大值点p 0=0.2；(2)由(1)知p =0.2．①令Y 表示余下的70个水果中的不合格数，依题意Y ∼B(70, 0.2)，X =10×1.5+aY =15+aY ．∴ E(X)=E(15+aY)=15+aE(Y)=15+a ×70×0.2=15+14a ．②如果对余下的水果作检验，则这一箱水果所需要的检验费为120元，由15+14a >120，得a >10514=7.5，且a ∈N ∗，∴ 当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为8元时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检验．【考点】离散型随机变量的期望与方差二项分布的应用【解析】（1）恰有2个不合格的概率f(p)可以根据n次独立重复试验的概率求法表示出来，转化成函数的最值，(2)(ⅰ)根据余下的水果中的不合格数服从二项分步，可以求出余下水果赔偿费用，得到X的表达式，进而得到X的期望．(ⅱ)当赔偿费用大于检验费用时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检验，列出关于a的不等式，求解即可．【解答】解：(1)记10个水果中恰有2个不合格的概率为f(p)，则f(p)=C102p2(1−p)8，∴f′(p)=C102[2p(1−p)8−8p2(1−p)7]=90p(1−p)7(1−5p)，由f′(p)=0，得p=0.2．且当p∈(0, 0.2)时，f′(p)>0，当p∈(0.2, 1)时，f′(p)<0，∴f(p)的最大值点p0=0.2；(2)由(1)知p=0.2．①令Y表示余下的70个水果中的不合格数，依题意Y∼B(70, 0.2)，X=10×1.5+aY=15+aY．∴E(X)=E(15+aY)=15+aE(Y)=15+a×70×0.2=15+14a．②如果对余下的水果作检验，则这一箱水果所需要的检验费为120元，=7.5，且a∈N∗，由15+14a>120，得a>10514∴当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为8元时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检验．【答案】(1)证明：记AC与BD的交点为G，连接EG，GH，由四边形ABCD是正方形，有AB⊥BC，又EF // AB，∴EF⊥BC，而EF⊥FB，BC∩FB=B，∴EF⊥平面BFC，则EF⊥FH．∴AB⊥FH，又BF=FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC．∵AB∩BC=B，∴FH⊥平面ABCD，则FH⊥AC．∵GH=1AB=EF，且EF//AB，GH//AB，2∴EF//GH，则四边形EFGH是矩形，∴AC⊥EG．又AC ⊥BD ，EG ∩BD =G ，∴ AC ⊥平面EDB .(2)解：以GA ，GB ,GE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，A(√2,0,0),B(0,√2,0),C(−√2,0,0),H(−√22,√22,0)，F(−√22,√22,1），E(0,0,1)，∴ AH →=(−3√22,√22,0),BC →=(−√2,−√2,0),BE →=(0,−√2,1)，设平面BCE 的法向量为 n →=(x,y,z) ，则{−√2x −√2y =0,−√2y +z =0，所以n →=(−1,1,√2)，sin θ=|cos <AH →，n →>|=√105， 即直线AH 与平面BCE 所成角的正弦值为√105. 【考点】用空间向量求直线与平面的夹角直线与平面垂直的判定【解析】（1）记AC 与BD 的交点为G ，连接EG ，GH ，由已知可得AB ⊥BC ，且EF ⊥BC ，而EF ⊥FB ，由线面垂直的判定可得EF ⊥平面BFC ，进一步得到EF ⊥FH ．则AB ⊥FH ，再由已知可得FH ⊥BC ．则FH ⊥平面ABCD ，得到AC ⊥EG ．结合AC ⊥BD ，可得AC ⊥平面EDB ；（2）由EF ⊥FB ，∠BFC =90∘，可得BF ⊥平面CDEF ，求出BF =FC =√2．代入三棱锥体积公式可得求四面体B −DEF 的体积．【解答】(1)证明：记AC 与BD 的交点为G ，连接EG ，GH ，由四边形ABCD 是正方形，有AB ⊥BC ，又EF // AB ，∴ EF ⊥BC ，而EF ⊥FB ，BC ∩FB =B ，∴ EF ⊥平面BFC ，则EF ⊥FH ．∴ AB ⊥FH ，又BF =FC ，H 为BC 的中点，∴ FH ⊥BC ．∵ AB ∩BC =B ，∴ FH ⊥平面ABCD ，则FH ⊥AC ．∵ GH =12AB =EF ，且EF//AB ，GH//AB ，∴ EF//GH ，则四边形EFGH 是矩形，∴ AC ⊥EG ．又AC ⊥BD ，EG ∩BD =G ，∴ AC ⊥平面EDB .(2)解：以GA ，GB ,GE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， A(√2,0,0),B(0,√2,0),C(−√2,0,0),H(−√22,√22,0)，F(−√22,√22,1），E(0,0,1)，∴ AH →=(−3√22,√22,0),BC →=(−√2,−√2,0),BE →=(0,−√2,1)，设平面BCE 的法向量为 n →=(x,y,z) ，则{−√2x −√2y =0,−√2y +z =0，所以n →=(−1,1,√2)，sin θ=|cos <AH →，n →>|=√105， 即直线AH 与平面BCE 所成角的正弦值为√105. 【答案】解：(1)椭圆C 的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，∵ 点P(2, √3)，Q(2, −√3)在椭圆C 上，代入方程得：∴ 4a 2+3b 2=1，①又∵ 离心率等于√32，∴ c a =√32②，a 2=b 2+c 2③，联立①②③，解得：∴ a =4，c =2√3，b =2，可得椭圆C 的标准方程为x 216+y 24=1．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线AB 的方程为y =√36x +t ， 联立{y =√36x +t,x 2+4y 2=16,，得x 2+√3tx +3t 2−12=0， 由Δ>0，计算得出−4√33<t <4√33，∴ x 1+x 2=−√3t ，x 1x 2=3t 2−12，∴ |x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√48−9t 2．∴ 四边形APBQ 面积S =12×2√3×|x 1−x 2|=√3⋅√48−9t 2， 当t =0时，S max =12．(2)∵ |PA|⋅|BM|=|PB|⋅|AM|，∴ |PA||PB|=|AM||BM|，∴ PQ 为∠APB 的角平分线，此时k PA +k PB =0.则PA ，PB 的斜率互为相反数，可设直线PA 的斜率为k ，则PB 的斜率为−k ，直线PA 的方程为：y −√3=k(x −2)，联立{y −√3=k(x −2)，x 2+4y 2=16，化为(1+4k 2)x 2+8k(√3−2k)x +4(√3−2k)2−16=0， ∴ x 1+2=8k(2k−√3)1+4k 2，同理可得：x 2+2=−8k(−2k−√3)1+4k 2=8k(2k+√3)1+4k 2， ∴ x 1+x 2=16k 2−41+4k 2，x 1−x 2=−16√3k 1+4k 2， k AB =y 1−y 2x 1−x 2=k(x 1+x 2)−4k x 1−x 2=√36． ∴ 直线AB 的斜率为定值√36．【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程【解析】（1）设椭圆C 的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，由椭圆的一个顶点恰好在抛物线x 2=8y 的准线y =−2上，可得−b =−2，解得b ．又c a =√32，a 2=b 2+c 2，联立解得即可．【解答】解：(1)椭圆C 的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，∵ 点P(2, √3)，Q(2, −√3)在椭圆C 上，代入方程得：∴ 4a 2+3b 2=1，①又∵ 离心率等于√32，∴ c a =√32②，a 2=b 2+c 2③，联立①②③，解得：∴ a =4，c =2√3，b =2，可得椭圆C 的标准方程为x 216+y 24=1．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线AB 的方程为y =√36x +t ， 联立{y =√36x +t,x 2+4y 2=16,，得x 2+√3tx +3t 2−12=0， 由Δ>0，计算得出−4√33<t <4√33，∴ x 1+x 2=−√3t ，x 1x 2=3t 2−12，∴ |x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√48−9t 2．∴ 四边形APBQ 面积S =12×2√3×|x 1−x 2|=√3⋅√48−9t 2， 当t =0时，S max =12．(2)∵ |PA|⋅|BM|=|PB|⋅|AM|，∴ |PA||PB|=|AM||BM|，∴ PQ 为∠APB 的角平分线，此时k PA +k PB =0.则PA ，PB 的斜率互为相反数，可设直线PA 的斜率为k ，则PB 的斜率为−k ，直线PA 的方程为：y −√3=k(x −2)，联立{y −√3=k(x −2)，x 2+4y 2=16，化为(1+4k 2)x 2+8k(√3−2k)x +4(√3−2k)2−16=0， ∴ x 1+2=8k(2k−√3)1+4k 2，同理可得：x 2+2=−8k(−2k−√3)1+4k 2=8k(2k+√3)1+4k 2， ∴ x 1+x 2=16k 2−41+4k 2，x 1−x 2=−16√3k 1+4k 2， k AB =y 1−y 2x 1−x 2=k(x 1+x 2)−4k x 1−x 2=√36． ∴ 直线AB 的斜率为定值√36．【答案】解：(1)∵ g(x)=f(x)+(a −3)x=ln x +x −ax 2+(a −3)x=ln x −ax 2+(a −2)x ，∴ g ′(x)=1x −2ax +(a −2)=−(ax+1)(2x−1)x (x >0).①若a ≥0，则当x ∈(0，12)时，g ′(x)>0，∴ 函数g(x)在(0，12)上单调递增； 当x ∈(12，+∞)时，g ′(x)<0，函数g(x)在(12，+∞)上单调递减. ②若a <0，g ′(x)=−a(x+1a )(2x−1)x (x >0)，当a <−2时，易得函数g(x)在(0，−1a )和(12，+∞)上单调递增，在(−1a ，12)上单调递减；当a =−2时，g ′(x)≥0恒成立，∴ 函数g(x)在(0，+∞)上单调递增；当−2<a <0时，易得函数g(x)在(0，12)和(−1a ，+∞)上单调递增， 在(12，−1a )上单调递减.(2)证明：当a =−2时，f(x)=ln x +x +2x 2，∵ f(x 1)+f(x 2)+3x 1x 2=0，∴ ln x 1+x 1+2x 12+ln x 2+x 2+2x 22+3x 1x 2=0，即ln x 1x 2+2(x 12+x 22)+(x 1+x 2)+3x 1x 2=0，∴ 2(x 1+x 2)2+(x 1+x 2)=x 1x 2−ln x 1x 2.令 t =x 1x 2，φ(t)=t −ln t(t >0)，则φ′(t)=1−1t =t−1t (t >0)，当t ∈(0，1)时，φ′(t)<0，∴ 函数φ(t)=t −ln t(t >0)在(0，1)上单调递减；当t ∈(1，+∞)时，φ′(t)>0，∴ 函数φ(t)=t −ln t(t >0)在(1，+∞)上单调递增.∴ 函数φ(t)=t −ln t(t >0)在t =1时，取得最小值，最小值为1. ∴ 2(x 1+x 2)2+(x 1+x 2)≥1，即2(x 1+x 2)2+(x 1+x 2)−1≥0∴ x 1+x 2≥12或x 1+x 2≤−1. ∵ x 1，x 2为正实数,∴ x 1+x 2≥12. 当x 1+x 2=12时，x 1x 2=1， 此时不存在x 1，x 2满足条件，∴ x 1+x 2>12.【考点】利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)∵ g(x)=f(x)+(a −3)x=ln x +x −ax 2+(a −3)x=ln x −ax 2+(a −2)x ，∴ g ′(x)=1x −2ax +(a −2)=−(ax+1)(2x−1)x (x >0).①若a ≥0，则当x ∈(0，12)时，g ′(x)>0，∴ 函数g(x)在(0，12)上单调递增； 当x ∈(12，+∞)时，g ′(x)<0，函数g(x)在(12，+∞)上单调递减. ②若a <0，g ′(x)=−a(x+1a )(2x−1)x (x >0)，当a <−2时，易得函数g(x)在(0，−1a )和(12，+∞)上单调递增，在(−1a ，12)上单调递减；当a =−2时，g ′(x)≥0恒成立，∴ 函数g(x)在(0，+∞)上单调递增；当−2<a <0时，易得函数g(x)在(0，12)和(−1a ，+∞)上单调递增， 在(12，−1a )上单调递减. (2)证明：当a =−2时，f(x)=ln x +x +2x 2，∵ f(x 1)+f(x 2)+3x 1x 2=0，∴ ln x 1+x 1+2x 12+ln x 2+x 2+2x 22+3x 1x 2=0，即ln x 1x 2+2(x 12+x 22)+(x 1+x 2)+3x 1x 2=0，∴ 2(x 1+x 2)2+(x 1+x 2)=x 1x 2−ln x 1x 2.令 t =x 1x 2，φ(t)=t −ln t(t >0)，则φ′(t)=1−1t =t−1t (t >0)，当t ∈(0，1)时，φ′(t)<0，∴ 函数φ(t)=t −ln t(t >0)在(0，1)上单调递减；当t ∈(1，+∞)时，φ′(t)>0，∴ 函数φ(t)=t −ln t(t >0)在(1，+∞)上单调递增.∴ 函数φ(t)=t −ln t(t >0)在t =1时，取得最小值，最小值为1. ∴ 2(x 1+x 2)2+(x 1+x 2)≥1，即2(x 1+x 2)2+(x 1+x 2)−1≥0∴ x 1+x 2≥12或x 1+x 2≤−1.∵ x 1，x 2为正实数,∴ x 1+x 2≥12.当x 1+x 2=12时，x 1x 2=1，此时不存在x1，x2满足条件，∴x1+x2>12.【答案】解：(1)当a=2时，|2x−2|+|x+1|≥1，x≤−1时，2−2x−x−1≥1，得x≤0，即有x≤−1，−1<x<1时，2−2x+x+1≥1，得x≤2，即有−1<x<1，x≥1时，2x−2+x+1≥1，得x≥23，即有x≥1，综上，不等式f(x)≥1的解集为R．(2)g(x)=f(x)+f(−x)=|2x−a|+|x+2a |+|−2x−a|+|−x+2a|=|2x−a|+|2x+a|+|x+2a|+|x−2a|≥|(2x−a)−(2x+a)|+|(x+2a)−(x−2a)|=|2a|+|4 a |≥2√|2a||4a|=4√2，当且仅当(2x−a)(2x+a)≤0，(x+2a )(x−2a)≤0且|2a|=|4a|时取“=”，函数g(x)的最小值为4√2．【考点】绝对值不等式绝对值不等式的解法与证明基本不等式在最值问题中的应用函数的最值及其几何意义【解析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）根据绝对值不等式的性质求出g(x)的最小值即可．【解答】解：(1)当a=2时，|2x−2|+|x+1|≥1，x≤−1时，2−2x−x−1≥1，得x≤0，即有x≤−1，−1<x<1时，2−2x+x+1≥1，得x≤2，即有−1<x<1，x≥1时，2x−2+x+1≥1，得x≥23，即有x≥1，综上，不等式f(x)≥1的解集为R．(2)g(x)=f(x)+f(−x)=|2x−a|+|x+2a |+|−2x−a|+|−x+2a|=|2x−a|+|2x+a|+|x+2a|+|x−2a|≥|(2x−a)−(2x+a)|+|(x+2a)−(x−2a)|=|2a|+|4 a |≥2√|2a||4a|=4√2，当且仅当(2x−a)(2x+a)≤0，(x+2a )(x−2a)≤0且|2a|=|4a|时取“=”，函数g(x)的最小值为4√2．。
2020-2021学年四川省成都市某校高三(上)10月月考数学(理)试卷 (1)有答案
2020-2021学年四川省成都市某校高三（上）10月月考数学（理）试卷一、选择题1. 已知全集为实数集R，集合A={x|0≤x≤4}，B={x|x2−8x+15>0}，则A∩(∁R B)=( )A.[4,5]B.[0,3]C.[3,4]D.(3,4)2. 已知复数z=21−i，则|z|=( )A.1B.√2C.√3D.23. 命题$p:``\forall x \in (0,\,\frac{\pi}{2})$，$\sin x < \tan x"$的否定¬p为( )A.∀x∈(0, π2)，sin x≥tan x B.∀x∈(0, π2)，sin x>tan xC.∃x0∈(0, π2)，sin x0≥tan x0 D.∃x0∉(0, π2)，sin x0≥tan x04. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3，a7是方程x2−8x−13=0的两根，则S9=( )A.36B.40C.72D.805. 已知tan(α+π4)=−∫1xe31dx，则2sinα+cosαcosα−sinα=( )A.−4B.4C.5D.−56. 已知随机变量X服从二项分布B(4,p)，其期望E(X)=3，随机变量Y服从正态分布N(1,2)，若P(Y>0)=p，则P(0<Y<2)=( )A.2 3B.34C.14D.127. “m∈(0,13)”是“函数f(x)={(3m−1)x+4m，x<1，−mx,x≥1，是定义在R上的减函数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8. 美国在今年对华为实行了禁令，为了突围实现技术自主，华为某分公司抽调了含甲、乙的5个工程师到华为总部的4个不同的技术部门参与研发，要求每个工程师只能去一个部门，每个部门至少去一个工程师，且甲乙两人不能去同一个部门，则不同的安排方式一共有( )种 A.96 B.120 C.180 D.2169. 已知函数f (x )=|lg x|，若f (a )=f (b )且a <b ，则不等式log a x +log b (2x −1)>0的解集为( ) A.(1,+∞) B.(0,1)C.(12,+∞) D.(12,1)10. 已知二项式(3x −1x)n的展开式中所有项的系数和为512，函数f (r )=C n r，r ∈[0,n]且r ∈N ，则函数f (r )取最大值时r 的取值为( ) A.4 B.5 C.4或5 D.611. 已知函数f (x )=e |x|+cos x ，设a =f(0.3−1)，b =f(2−0.3)，c =f((log 20.2)，则( ) A.c <b <a B.c <a <b C.b <a <c D.b <c <a12. 已知函数f (x )的定义域为R ，且对任意x ∈R 都满足f (1+x )=f (1−x )，当x ≤1时，f (x )={ln x, 0<x ≤1，e x , x ≤0，（其中e 为自然对数的底数），若函数g (x )=m|x|−2与y =f (x )的图像恰有两个交点，则实数m 的取值范围是( ) A.m ≤0或m =e B.0<m ≤32C.32<m <eD.m >e二、填空题已知角α终边上一点P (3,4)，则sin 2α=________.已知非零向量a →与b →的夹角为2π3， |b →|=2，若a →⊥(a →+b →)，则|a →|=________.已知等比数列{a n }的前n 项和S n =2n+1−r , n ∈N ∗，若命题“∀n ∈N ∗，λa n ≤a n 2+128”为真，则实数λ的最大值为________.对于定义在区间D 上的函数f (x )，若满足对∀x 1， x 2∈D 且x 1≠x 2时都有(x 1−x 2)(f (x 1)−f (x 2))>0，则称函数f (x )为区间D 上的“非减函数”，若f (x )为区间[0,2]上的“非减函数”且f (2)=2，f (x )+f (2−x )=2，又当x ∈[32,2]，f (x )≤2(x −1)恒成立，有下列命题 ①f(1)=1②∃x ∈[32,2]，f(x)<1③f(114)+f(916)+f(2518)+f(2714)=4 ④当x ∈[0,12]时， f(f (x ))≤−f (x )+2 其中正确的所有命题的序号为________. 三、解答题已知向量m →=(√3,1)，n →=(cos x,sin x )，f (x )=(m →⋅n →)sin x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值；(2)若b =4，△ABC 的周长为12，且f (B )=32，求△ABC 的面积．随着新冠疫情防控进入常态化，生产生活逐步步入正轨，为拉动消费，成都市先后发行了三批（每批2亿元）消费券．我们随机抽取了50人，对这种拉动消费的方式是否赞同进行调查，结果如下表，其中年龄低于45岁的总人数与不低于45岁的总人数之比为3:2.(1)求m ，n 的值；(2)若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“赞同”的态度与人的年龄有关；(3)若从年龄在[55,65）的被调查人中随机选取2人进行追踪调查，求2人中至少有1人不赞同的概率．参考数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.如图(1)所示，AD是△BCD中BC边上的高线，且AB=2AD=2AC，将△BCD沿AD翻折，使得平面ACD⊥平面ABD，如图(2).(1)求证：AB⊥CD；(2)图(2)中，E是BD上一点，连接AE，CE，当AE与底面ABC所成角的正切值为12时，求直线AE与平面BCE所成角的正弦值．已知动点P(x,y)（其中x≥0）到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1.(1)求点P的轨迹C的方程；(2)过椭圆C1:x216+y212=1的右顶点作直线交曲线C于A，B两点，其中O为坐标原点①求证：OA⊥OB；②设OA，OB分别与椭圆相交于点D，E，证明：原点到直线DE的距离为定值．已知函数f(x)=x2+2a ln x，g(x)=2x2−1，其中a∈R.(1)当a=−1时，求f(x)的单调区间；(2)若方程f(x)=g(x)在[1,e]（e为自然对数的底数）上存在唯一实数解，求实数a的取值范围．在直角坐标系xOy 中，直线C 1的方程为： {x =−1+√22t ，y =1+√22t （t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 2的极坐标方程为ρ2−2ρcos θ−4ρsin θ+4=0.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)设C 1,C 2的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．已知m >n >0，函数f (x )=|x +1n (m−n )| . (1)若m =3，n =1，求不等式f (x )>2的解集；(2)求证∶f (x )≥4−|x −m 2|.参考答案与试题解析2020-2021学年四川省成都市某校高三（上）10月月考数学（理）试卷一、选择题1.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】解：由x2−8x+15>0⇒x<3或x>5，则∁R B=[3,5]，则A∩(∁R B)=[3,4]．故选C．2.【答案】B【考点】复数的模复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解：由z=21−i =2(1+i)(1−i)(1+i)=2(1+i)1−i2=1+i，则|z|=√2．故选B．3.【答案】C【考点】全称命题与特称命题【解析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：命题p:∀x∈(0, π2)，sin x<tan x，则¬p:∃x0∈(0, π2)，sin x0≥tan x0．故选C．4.【答案】A【考点】等差数列的性质一元二次方程的根的分布与系数的关系 【解析】由a 3+a 7=8，则S 9=9(a 1+a 3)2=9(a 9+a 7)2=36 .【解答】解：由a 3+a 7=8，则S 9=9(a 1+a 9)2=9(a 3+a 7)2=36 .故选A . 5. 【答案】 D【考点】两角和与差的正切公式 定积分三角函数的恒等变换及化简求值 两角和与差的正切 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：由∫1x e 31dx =(ln x +C)|1e3=(ln e 3+C)−(ln 1+C)=3， 则tan (α+π4)=tan α+11−tan α=−3，可得tan α=2. 所以2sin α+cos αcos α−sin α=2tan α+11−tan α=−5 .故选D .6. 【答案】 D【考点】离散型随机变量的期望与方差 正态分布的密度曲线 【解析】由E (X )=4p =3⇒p =34，则P (Y >0)=34，则P (0<Y <1)=34−12=14，则P (0<Y <2)=2P (0<Y <1)=12 . 【解答】解：由E (X )=4p =3⇒p =34，则P (Y >0)=34，则P (0<Y <1)=34−12=14，则P (0<Y <2)=2P (0<Y <1)=12 .故选D . 7.【答案】 B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由f (x )是R 上的减函数，则 {3m −1<0，−m <0，(3m −1)+4m ≥−m ，⇒m ∈[18,13)，由[18,13)⫋(0,13)，则是必要不充分条件 . 故选B . 8. 【答案】 D【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】【解答】解：由题意得(C 52−1)A 44=216． 故选D ． 9. 【答案】 A【考点】对数函数的单调性与特殊点 对数及其运算【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由图像可知0<a <1，b >1，由|lg a|=|lg b|⇒−lg a =lg b ⇒lg ab =0，则ab =1，由log a x +log b (2x −1)>0⇒log a x +log 1a(2x −1)>0⇒log a x −log a (2x −1)>0，则log a x >log a (2x −1)．由a ∈(0,1)，则 {x <2x −1，x >0，2x −1>0⇒x ∈(1+∞) .故选A .10.【答案】C【考点】二项式系数的性质二项式定理的应用【解析】【解答】解：由所有项的系数和为(3−1)n=2n=512⇒n=9，则由二项式系数最值性可知当r=4或5时，f(r)最大．故选C．11.【答案】D【考点】对数函数的单调性与特殊点对数值大小的比较奇偶性与单调性的综合【解析】此题暂无解析【解答】解：由f(−x)=e|x|+cos x=f(x)，则f(x)是偶函数，当x>0时，f′(x)=e x−sin x>0，则f(x)在(0,+∞)上单调递增，(−∞,0)上单调递减.由|0.3−1|=103∈(3,4)，|2−0.3|=2−0.3∈(0,1)，|log20.2|=log25∈(2,3)，则|0.3−1|>|log20.2|>|2−0.3|，则结合图象性质可知b<c<a．故选D．12.【答案】A【考点】函数的对称性利用导数研究曲线上某点切线方程分段函数的应用根的存在性及根的个数判断【解析】【解答】解：由f(1+x)=f(1−x)，则y=f(x)关于直线x=1对称.由题y=f(x)与y=g(x)的图像只有两个交点，设y =ln x,x ∈(0,1)图像上的切点(x 0,ln x 0)， y ′=1x ，则k 切=1x 0，l 切：y −ln x 0=1x 0(x −x 0)，把(0,−2)代入可得x 0=1e ， 则k 切=1x 0=e ，如图所示：结合图像可知，要有两个交点，则m ≤0或m =e . 故选A . 二、填空题 【答案】 2425【考点】二倍角的正弦公式 任意角的三角函数 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由已知可得sin α=45，cos α=35， 则sin 2α=2sin αcos α=2425．故答案为：2425．【答案】 1【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 平面向量数量积的运算 【解析】【解答】解：由a →⊥(a →+b →)，则a →⋅(a →+b →)=0 ⇒a →2+a →⋅b →=0⇒|a →|2+|a →||b →|cos2π3=0，则|a →|2−|a →|=0⇒|a →|=0（舍）或|a →|=1． 故答案为：1． 【答案】 24【考点】不等式恒成立问题基本不等式在最值问题中的应用 等比数列的性质【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由{a n }是等比数列， S n =2n+1−r =2⋅2n −r ，则r =2，a n =2n ，由λa n ≤a n 2+128对∀n ∈N ∗恒成立， 则λ2n ≤(2n )2+128⇒λ≤2n +1282n对∀n ∈N ∗恒成立，令t =2n ，则y =t +128t，由√128∈(11,12)，当t =23=8时，y =24，当t =24=16时，y =24，则y min =24⇒λ≤24，则λmax =24． 故答案为：24． 【答案】 ①③④ 【考点】命题的真假判断与应用 抽象函数及其应用【解析】由f (2)=2,f (x )+f (2−x )=2，则f(0)=0,y =1f(x)关于(1,1)点对称，则f(1)=1，故①正确；由当x ∈[32,2],fx|)<2(x −1)恒成立，令x =32，则f (32)≤1，由f (x )为区间 [0,2]上的“非减函数”，则 f (32)≥f (1)=1，则 1≤f (32)≤1⇒f (32)=1 ，则∀x ∈[32,2],f (x )≥f (32)=1，故②错误；由∀x ∈[1,32],f (1)≤f (x )≤f (32)⇒f (x )=1，同理可得∀x ∈[12,32],f (x )=1，由f (114)+f (2714)=2， 916∈[12,32],2518∈[12,32]，则f (916)=f (2518)=1，则 f (114)+f (916)+f (2518)+f (2714)=4，故③正确；当 x ∈[0,12]时， f (x )∈[0,1]，令t =f (x )∈[0,1]，则f (t )∈[0,1],−t +2∈[1,2]，则f (t )≤−1+2，则f(f (x ))≤−f (x )+2，故④正确 . 【解答】解：由f (2)=2，f (x )+f (2−x )=2，则f(0)=0，y =f(x)关于(1,1)点对称，则f(1)=1，故①正确； 由当x ∈[32,2]，f(x)≤2(x −1)恒成立，令x =32，则f (32)≤1，由f (x )为区间 [0,2]上的“非减函数”， 则 f (32)≥f (1)=1，则 1≤f (32)≤1⇒f (32)=1 ，则∀x ∈[32,2]，f (x )≥f (32)=1，故②错误； 由∀x ∈[1,32]，f (1)≤f (x )≤f (32)⇒f (x )=1，同理可得∀x ∈[12,32]，f (x )=1，由f (114)+f (2714)=2， 916∈[12,32]，2518∈[12,32]， 则f (916)=f (2518)=1，则 f (114)+f (916)+f (2518)+f (2714)=4，故③正确； 当 x ∈[0,12]时， f (x )∈[0,1]，令t =f (x )∈[0,1]，则f (t )∈[0,1]，−t +2∈[1,2]， 则f (t )≤−t +2，则f(f (x ))≤−f (x )+2，故④正确 . 故答案为：①③④. 三、解答题【答案】解：(1)f (x )=√3sin x cos x +sin 2x =√32sin 2x +1−cos 2x2=sin (2x −π6)+12，故f (x )的最小正周期为T =2π2=π，当2x −π6=2kπ+π2(k ∈Z )时， f (x )的最大值为32．(2)由f (B )=32，得2B −π6=2kπ+π2(k ∈Z )，B =kπ+π3(k ∈Z )，因为0<B <π，故B =π3．因为b =4，△ABC 的周长为12，所以a +c =8．由余弦定理得： a 2+c 2−ac =16，即(a +c )2−3ac =16， 所以ac =16．故S △ABC =12ac ⋅sin B =12×16×√32=4√3．【考点】二倍角的余弦公式 两角和与差的正弦公式 三角函数的最值 余弦定理 正弦定理平面向量数量积的运算【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)f (x )=√3sin x cos x +sin 2x =√32sin 2x +1−cos 2x2=sin (2x −π6)+12，故f (x )的最小正周期为T =2π2=π，当2x −π6=2kπ+π2(k ∈Z )时， f (x )的最大值为32．(2)由f (B )=32，得2B −π6=2kπ+π2(k ∈Z )，B =kπ+π3(k ∈Z )， 因为0<B <π，故B =π3．因为b =4，△ABC 的周长为12，所以a +c =8．由余弦定理得： a 2+c 2−ac =16，即(a +c )2−3ac =16， 所以ac =16．故S △ABC =12ac ⋅sin B =12×16×√32=4√3．【答案】解：(1)由题意， 5+m +15+10+n +5=50， 且(5+m +15):(10+n +5)=3:2， 解得： m =10，n =5.(2)由以上统计数据填写下面2×2列联表，如下：根据公式计算K 2=50(10×27−10×3)237×13×30×20≈9.98>6.635，所以有99%的把握认为年龄45岁为分界点对发行成都消费券的态度有差异．(3)设年龄在[55,65)中不赞同“发行成都消费券”的人为A ，B ，C ， 赞同“发行成都消费券”的人为a ，b ，则从5人中随机选取2人有AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，ab ，10个结果； 其中2人中至少有1人不赞同“发行成都消费券”的有AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ，Bb ，Ca，Cb，9个结果，．所以2人中至少有1人不赞同“发行成都消费券”的概率为P=910【考点】频率分布表独立性检验列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】【解答】解：(1)由题意，5+m+15+10+n+5=50，且(5+m+15):(10+n+5)=3:2，解得：m=10，n=5.(2)由以上统计数据填写下面2×2列联表，如下：≈9.98>6.635，根据公式计算K2=50(10×27−10×3)237×13×30×20所以有99%的把握认为年龄45岁为分界点对发行成都消费券的态度有差异．(3)设年龄在[55,65)中不赞同“发行成都消费券”的人为A，B，C，赞同“发行成都消费券”的人为a，b，则从5人中随机选取2人有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，10个结果；其中2人中至少有1人不赞同“发行成都消费券”的有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，9个结果，．所以2人中至少有1人不赞同“发行成都消费券”的概率为P=910【答案】(1)证明：在图(2)中，AC⊥AD，AB⊥AD，∵平面ACD⊥平面ABD，平面ACD∩平面ABD=AD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面ACD，又CD⊂平面ACD，∴AB⊥CD .(2)解：以A为原点，AC，AB，AD所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AC =1，则A (0,0,0)，B (0,2,0)，C (1,0,0)，D (0,0,1)， 设E (x,y,z )，由DE →=λDB →(0<λ<1)，得(x,y,z −1)=(0,2λ,−λ)， 得E (0,2λ,1−λ)， ∴ AE →=(0,2λ,1−λ)，平面ABC 的一个法向量为AD →=(0,0,1)， 由AE 与底面ABC 所成角的正切值为12， 可得tan ⟨AD →,AE →⟩=2， 于是cos ⟨AD →,AE →⟩=1√5，即1−λ√(2λ)2+(1−λ)2=1√5，解得：λ=12，则E (0,1,12)，AE →=(0,1,12)， BC →=(1,−2,0)，BE →=(0,−1,12)，设平面BCE 的法向量n →=(x,y,z )，则{n →⋅BC →=0，n →⋅BE →=0，即 {x −2y =0，−y +12z =0， 令y =1，得x =2，z =2，则n →=(2,1,2)是平面BCE 的一个法向量. 设直线AE 平面BCE 所成的角是θ， 则sin θ=|cos ⟨AE →,n →⟩|=|AE →⋅n →||AE →||n →|=4√515，故直线AE 与平面BCE 所成角的正弦值为4√515 . 【考点】直线与平面垂直的判定 两条直线垂直的判定用空间向量求直线与平面的夹角【解析】 此题暂无解析 【解答】(1)证明：在图(2)中，AC ⊥AD ，AB ⊥AD ，∵ 平面ACD ⊥平面ABD ，平面ACD ∩平面ABD =AD ，AB ⊂平面ABD ， ∴ AB ⊥平面ACD ，又CD ⊂平面ACD ， ∴ AB ⊥CD .(2)解：以A 为原点，AC ，AB ，AD 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AC =1，则A (0,0,0)，B (0,2,0)，C (1,0,0)，D (0,0,1)， 设E (x,y,z )，由DE →=λDB →(0<λ<1)，得(x,y,z −1)=(0,2λ,−λ)， 得E (0,2λ,1−λ)， ∴ AE →=(0,2λ,1−λ)，平面ABC 的一个法向量为AD →=(0,0,1)， 由AE 与底面ABC 所成角的正切值为12，可得tan ⟨AD →,AE →⟩=2， 于是cos ⟨AD →,AE →⟩=1√5，即1−λ√(2λ)2+(1−λ)2=1√5，解得：λ=12，则E (0,1,12)，AE →=(0,1,12)， BC →=(1,−2,0)，BE →=(0,−1,12)，设平面BCE 的法向量n →=(x,y,z )，则{n →⋅BC →=0，n →⋅BE →=0，即 {x −2y =0，−y +12z =0， 令y =1，得x =2，z =2，则n →=(2,1,2)是平面BCE 的一个法向量. 设直线AE 平面BCE 所成的角是θ，则sin θ=|cos ⟨AE →,n →⟩|=|AE →⋅n →||AE →||n →|=4√515，故直线AE 与平面BCE 所成角的正弦值为4√515. 【答案】解：(1)设P (x,y )(x ≥0)，由题意， √(x −1)2+y 2=x +1(x ≥0)， 两边平方，整理得： y 2=4x ，所以，所求点P 的轨迹方程为C:y 2=4x ．(2)①证明：设过椭圆的右顶点(4,0)的直线AB 的方程为x =my +4， 代入抛物线方程y 2=4x ，得y 2−4my −16=0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则{y 1+y 2=4m,y 1y 2=−16.∴ x 1x 2+y 1y 2=(my 1+4)(my 2+4)+y 1y 2 =(1+m 2)y 1y 2+4m(y 1+y 2)+16=0， ∴ OA ⊥OB .②解：设D (x 3,y 3)，E (x 4,y 4)，直线DE 的方程为x =ty +λ， 代入x 216+y 212=1，得(3t 2+4)y 2+6tλy +3λ2−48=0， 于是y 3+y 4=−6tλ3t 2+4，y 3y 4=3λ2−483t 2+4.从而x 3x 4=(ty 3+λ)(ty 4+λ)=4λ2−48t 23t 2+4.∵ OD ⊥OE ，∴ x 3x 4+y 3y 4=0，代入，整理得7λ2=48(t 2+1)， ∴ 原点到直线DE 的距离d =√1+t2=4√217为定值． 【考点】 轨迹方程点到直线的距离公式 圆锥曲线中的定点与定值问题 【解析】【解答】解：(1)设P (x,y )(x ≥0)，由题意， √(x −1)2+y 2=x +1(x ≥0)， 两边平方，整理得： y 2=4x ，所以，所求点P 的轨迹方程为C:y 2=4x ．(2)①证明：设过椭圆的右顶点(4,0)的直线AB 的方程为x =my +4， 代入抛物线方程y 2=4x ，得y 2−4my −16=0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则{y 1+y 2=4m,y 1y 2=−16.∴ x 1x 2+y 1y 2=(my 1+4)(my 2+4)+y 1y 2=(1+m 2)y 1y 2+4m(y 1+y 2)+16=0， ∴ OA ⊥OB .②解：设D (x 3,y 3)，E (x 4,y 4)，直线DE 的方程为x =ty +λ， 代入x 216+y 212=1，得(3t 2+4)y 2+6tλy +3λ2−48=0，于是y 3+y 4=−6tλ3t 2+4，y 3y 4=3λ2−483t 2+4.从而x 3x 4=(ty 3+λ)(ty 4+λ)=4λ2−48t 23t 2+4.∵ OD ⊥OE ，∴ x 3x 4+y 3y 4=0，代入，整理得7λ2=48(t 2+1)， ∴ 原点到直线DE 的距离d =√1+t 2=4√217为定值． 【答案】解：(1)当a =−1时，f(x)=x 2−2ln x （x >0）， 则f ′(x )=2x −2x=2(x 2−1)x，当x ∈(0,1)，f ′(x )<0，f (x )为减函数，当x ∈(1,+∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，故f (x )的单调递增区间为(1,+∞)，单调递减区间为(0,1). (2)∵ f (x )=g (x )，∴ x 2+2a ln x =2x 2−1， 即x 2−2a ln x −1=0.令F (x )=x 2−2a ln x −1，由题意得只需函数y =F(x)在[1,e]上有唯一的零点. 又F ′(x )=2x −2a x=2(x 2−a )x，其中x ∈[1,e ]，①当a ≤1时，F ′(x )≥0恒成立，F (x )单调递增， 又F (1)=0，则函数F(x)在[1,e]上有唯一的零点； ②当a ≥e 2，F ′(x )≤0恒成立，F (x )单调递减，又F (1)=0，则函数F (x )在区间[1,e]上有唯一的零点； ③当1<a <e 2时， 当1≤x ≤√a 时，F ′(x )≤0，F (x )单调递减，又F (1)=0，∴ F(√a)<F (1)=0，则函数F (x )在区间[1,√a]上有唯一的零点； 当√a <x ≤e 时，F ′(x )>0，F (x )单调递增，则当F (e )<0时，F (x )(√a,e]在上没有零点， 即e 22−a −12<0， 解得：a >e 2−12，∴ 当e 2−12<a <e 2时，F (x )在(√a,e]上没有零点，此时函数F (x )在[1,e ]上有唯一的零点.所以实数a的取值范围是(−∞,1]∪(e 2−12,+∞)．【考点】利用导数研究函数的最值由函数零点求参数取值范围问题利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)当a=−1时，f(x)=x2−2ln x（x>0），则f′(x)=2x−2x =2(x2−1)x，当x∈(0,1)，f′(x)<0，f(x)为减函数，当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，故f(x)的单调递增区间为(1,+∞)，单调递减区间为(0,1).(2)∵f(x)=g(x)，∴x2+2a ln x=2x2−1，即x2−2a ln x−1=0.令F(x)=x2−2a ln x−1，由题意得只需函数y=F(x)在[1,e]上有唯一的零点.又F′(x)=2x−2ax =2(x2−a)x，其中x∈[1,e]，①当a≤1时，F′(x)≥0恒成立，F(x)单调递增，又F(1)=0，则函数F(x)在[1,e]上有唯一的零点；②当a≥e2，F′(x)≤0恒成立，F(x)单调递减，又F(1)=0，则函数F(x)在区间[1,e]上有唯一的零点；③当1<a<e2时，当1≤x≤√a时，F′(x)≤0，F(x)单调递减，又F(1)=0，∴F(√a)<F(1)=0，则函数F(x)在区间[1,√a]上有唯一的零点；当√a<x≤e时，F′(x)>0，F(x)单调递增，则当F(e)<0时，F(x)(√a,e]在上没有零点，即e 22−a−12<0，解得：a>e 2−12，∴当e2−12<a<e2时，F(x)在(√a,e]上没有零点，此时函数F(x)在[1,e]上有唯一的零点.所以实数a的取值范围是(−∞,1]∪(e 2−12,+∞)．【答案】解：(1)因为ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，C2的直角坐标方程为x2+y2−2x−4y+4=0，即(x−1)2+(y−2)2=1.(2)将C1的方程代入C2的直角坐标方程得：(−2+√22t′)2+(−1+√22t′)2=1，整理得：t′2−3√2+4=0，Δ=(−3√2)2−4×4=2>0，且t1′+t2′=3√2，t1′t2′=4.所以|MN|=√(t1′−t2′)2=√(t1′+t2′)2−4t1′t2′=√(3√2)2−4×4=√2.因为C2的半径为r=1，则圆心C2到MN的距离d=√r2−(|MN|2)2=√1−(√22)2=√22，则△C2MN的面积为S=12×√2×√22=12.【考点】圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化直线和圆的方程的应用【解析】【解答】解：(1)因为ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，C2的直角坐标方程为x2+y2−2x−4y+4=0，即(x−1)2+(y−2)2=1.(2)将C1的方程代入C2的直角坐标方程得：(−2+√22t′)2+(−1+√22t′)2=1，整理得：t′2−3√2+4=0，Δ=(−3√2)2−4×4=2>0，且t1′+t2′=3√2，t1′t2′=4.所以|MN|=√(t1′−t2′)2=√(t1′+t2′)2−4t1′t2′=√(3√2)2−4×4=√2.因为C2的半径为r=1，则圆心C2到MN的距离d=√r2−(|MN|2)2=√1−(√22)2=√22，则△C2MN的面积为S=12×√2×√22=12.【答案】(1)解：依题意，f(x)=|x+12|，则f(x)>2⇔|x+12|>2⇔x+12>2或x+12<−2，试卷第21页，总21页 解得x >32或x <−52，故不等式f (x )>2的解集为{x|x >32或x <−52}． (2)证明：依题意，f (x )≥4−|x −m 2| ⇔|x +1n (m−n )|+|x −m 2|≥4， 因为|x +1n (m−n )|+|x −m 2|≥|x +1n (m−n )−(x −m 2)| =m 2+1n (m−n )，m =n +(m −n )≥2√n (m −n )， 故1n (m−n )≥4m 2，故m 2+1n (m−n )≥m 2+4m 2≥4，当且仅当m =√2，n =√22时等号成立. 【考点】不等式的证明绝对值不等式的解法与证明基本不等式【解析】此题暂无解析【解答】(1)解：依题意，f (x )=|x +12|， 则f (x )>2⇔|x +12|>2⇔x +12>2或x +12<−2， 解得x >32或x <−52，故不等式f (x )>2的解集为{x|x >32或x <−52}．(2)证明：依题意，f (x )≥4−|x −m 2| ⇔|x +1n (m−n )|+|x −m 2|≥4， 因为|x +1n (m−n )|+|x −m 2|≥|x +1n (m−n )−(x −m 2)| =m 2+1n (m−n )，m =n +(m −n )≥2√n (m −n )， 故1n (m−n )≥4m 2，故m 2+1n (m−n )≥m 2+4m 2≥4，当且仅当m =√2，n =√22时等号成立.。
2021-2022学年四川省成都七中高三(上)期中数学试卷(理科)(附详解)
2021-2022学年四川省成都七中高三（上）期中数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）)6的展开式中，x3项的系数为()1.在(x2−1xA. −20B. −15C. 15D. 20(其中i为虚数单位)的虚部为()2.复数z=4−3i2+iA. −2B. −1C. 1D. 23.设全集U={0,1,2,3,4,5,6}，集合A={1,2,4}，B={1,3,5}，则A∩(∁U B)=()A. {0,6}B. {1,4}C. {2,4}D. {3,5}4.已知直线ax+by−1=0(a>0,b>0)与圆x2+y2=4相切，则log2a+log2b的最大值为()A. 3B. 2C. −2D. −35.青少年视力被社会普遍关注，为了解他们的视力状况，经统计得到图2中12名青少年的视力测量值a i(i=1,2,3,⋯,12)(五分记录法)的茎叶图(图1)，其中茎表示个位数，叶表示十分位数．如果执行如图所示的算法程序，那么输出的结果是()A. 4B. 5C. 6D. 76.已知一个几何体的三视图如图，则它的表面积为()A. 3πB. 4πC. 5πD. 6π7.如果直线l与两条曲线都相切，则称l为这两条曲线的公切线．如果曲线C1：y=lnx和曲线C2：y=x−ax(x>0)有且仅有两条公切线，那么常数a的取值范围是()A. (−∞,0)B. (0,1)C. (1,e)D. (e,+∞)8.“α为第二象限角”是“sinα−√3cosα>1”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9.抛物线y2=2px(p≠0)上的一点P(−9,12)到其焦点F的距离|PF|等于()A. 17B. 15C. 13D. 1110.关于函数f(x)=sinxcos(x−π6)的叙述中，正确的有()①f(x)的最小正周期为2π；②f(x)在区间[−π6,π3]内单调递增；③f(x+π3)是偶函数；④f(x)的图象关于点(π12,0)对称．A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④11.攒尖在中国古建筑(如宫殿、坛庙、园林等)中大量存在，攒尖式建筑的屋面在顶部交汇成宝顶，使整个屋顶呈棱锥或圆锥形状．始建于1752年的廓如亭(位于北京颐和园内，如图)是全国最大的攒尖亭宇，八角重檐，蔚为壮观．其檐平面呈正八边形，上檐边长为a，宝顶到上檐平面的距离为ℎ，则攒尖坡度(即屋顶斜面与檐平面所成二面角的正切值)为()A. (√2+1)ℎ2aB. 3(√2−1)ℎ2aC. (√2+1)ℎ3aD. 2(√2−1)ℎa12. 在平行四边形ABCD 中，AB =2，AD =1，∠BAD =60°，E 是BC 的中点，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 3B. 4C. 5D. 6二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 命题“∃x ∈N ，2x <x 2”的否定是______．14. 若不等式4x −2a+x +2>0对x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是______． 15. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，且两条渐近线互相垂直，若C 上一点P 满足|PF 1|=3|PF 2|，则∠F 1PF 2的余弦值为______． 16. 已知某品牌电子元件的使用寿命X(单位：天)服从正态分布N(98,64)．(1)一个该品牌电子元件的使用寿命超过100天的概率为______；(2)由三个该品牌的电子元件组成的一条电路(如图所示)在100天后仍能正常工作(要求K 能正常工作，A ，B 中至少有一个能正常工作，且每个电子元件能否正常工作相互独立)的概率为______．(参考公式：若X ～N(μ,σ2)，则P(μ−0.25σ<X ≤μ+0.25σ)=0.2.)三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 设M 为不等式|x +1|+4≥|3x −1|的解集．(1)求M ；(2)若a ，b ∈M ，求|ab −a −b|的最大值．)内存在极值点α．18.已知函数f(x)=e x−ksinx在区间(0,π2(1)求实数k的取值范围；(2)求证：在区间(0,π)内存在唯一的β，使f(β)=1，并比较β与2α的大小．19.如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，E是BC的中点．(1)求证：BD1//平面C1DE；(2)已知∠ABC=120°，AA1=√2AB，求直线A1D与平面C1DE所成角的正弦值．20.某企业有甲、乙两条生产线，其产量之比为4：1.现从两条生产线上按分层抽样的方法得到一个样本，其部分统计数据如表(单位：件)，且每件产品都有各自生产线的标记．(1)请将2×2列联表补充完整，并根据独立性检验估计：大约有多大把握认为产品的等级差异与生产线有关？(2)为进一步了解产品出现等级差异的原因，现将样本中所有二等品逐个进行技术检验(随机抽取且不放回).设甲生产线的两个二等品恰好检验完毕时，已检验乙生产线二等品的件数为ξ，求随机变量的分布列及数学期望．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．21.已知n∈N∗，数列{a n}的首项a1=1，且满足下列条件之一：①a n+1=a n2+12n；②2na n+1=(n+1)a n.(只能从①②中选择一个作为已知)(1)求{a n}的通项公式；(2)若{a n}的前n项和S n<m，求正整数m的最小值．22. 在平面直角坐标系xOy 中，伯努利双纽线C(如图)的普通方程为(x 2+y 2)2=2(x 2−y 2)，直线l 的参数方程为{x =tcosαy =tsinα(其中α=(0,π4)，t 为参数)． (1)为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求C 和l 的极坐标方程； (2)设A ，B 是C 与x 轴的交点，M ，N 是C 与l 的交点(四点均不同于O)，当α变化时，求四边形AMBN 的最大面积．23. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的短轴长为2√3，左顶点A 到右焦点F 的距离为3． (1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设直线l 与椭圆C 交于不同两点M ，N(不同于A)，且直线AM 和AN 的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求证：l 经过定点．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由于(x2−1x)6的展开式的通项公式为T r+1=(−1)r C6r⋅x12−3r，令12−3r=3，可得r=3，故展开式中含x3项的系数为：(−1)3⋅C63=−20．故选：A．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，即可求解结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：z=4−3i2+i =(4−3i)(2−i)(2+i)(2−i)=8−6i−4i+3i24−i2=5−10i5=−2i+1，∴复数z的虚部为−2．故选：A．利用i2=−1，将分式化为整式，从而得到虚部的值．该题考查虚数的化简，属于基础题型．3.【答案】C【解析】解：全集U={0,1,2,3,4,5,6}，集合A={1,2,4}，B={1,3,5}，所以∁U B={0,2,4,6}，A∩(∁U B)={2,4}．故选：C．根据补集与交集的定义计算即可．本题考查了补集与交集的运算问题，是基础题．4.【答案】D【解析】解：因为直线ax+by−1=0与圆x2+y2=4相切，所以√a2+b2=2，即a2+b2=14，而log2a+log2b=log2ab≤log2a2+b22=log2142=−3，当且仅当a=b=√24时，等号成立，所以log2a+log2b的最小值为−3．故选：D．根据点到直线的距离公式可得a2+b2=14，再结合对数的运算性质和基本不等式，即可得解．本题考查直线与圆的位置关系，利用基本不等式求最值，对数的运算性质等，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．5.【答案】B【解析】解：由程序框图可知，该程序实现了统计a i≤4.3的个数，由茎叶图知，a i≤4.3共有5个，故选：B．该程序实现了统计a i≤4.3的个数，结合茎叶图得到答案．本题综合考查了茎叶图与程序框图，属于中档题．6.【答案】B【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体由一个圆锥和一个半球组成的几何体；如图所示：故S表=12×4⋅π⋅12+π×1×√(√3)2+12=4π．故选：B．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的表面积．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，球体和圆锥体的表面积，几何体的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：设曲线C1：y=lnx上一点A(x1,lnx1)，由y=lnx，得y′=1x ，∴y′|x=x1=1x1，可得曲线C1：y=lnx在A处的切线方程为y−lnx1=1x1(x−x1)；设曲线C2：y=x−ax (x>0)上一点B(x2,1−ax2)，由y=1−ax ，得y′=ax，则y′|x=x2=a x22，可得曲线C2：y=x−ax (x>0)在B处的切线方程为y−1+ax2=ax22(x−x2)．则{1x1=ax22lnx1−1=1−2ax2，可得√x1(lnx1−2)=−2√a．令f(x)=√x(lnx−2)，f′(x)=2√x −2)+√x⋅1x=2√x．当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴f(x)min=f(1)=−2，∴要使曲线C1和曲线C2有且仅有两条公切线，则关于x的方程√x(lnx−2)=−2√a有两不同解，又当x→0时，f(x)→0，∴−2<−2√a<0，得0<√a<1，即0<a<1则常数a的取值范围是(0,1)．故选：B．设曲线C1：y=lnx上一点A(x1,lnx1)，曲线C2：y=x−ax (x>0)上一点B(x2,1−ax2)，利用导数求得两曲线在切点处的切线方程，再由两切线的斜率相等，切线在y轴上的截距相等，可得√x1(lnx1−2)=−2√a，令f(x)=√x(lnx−2)，利用导数求其最小值，得到−2√a的范围，进一步求得a的范围．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查化归与转化思想，训练了利用导数求最值，是中档题．8.【答案】A【解析】解：由sinα−√3cosα>1⇔12sinα−√32cosα>12⇔sin(α−π3)>12，当α为第二象限角时，∴2kπ+π2<α<2kπ+π，∴2kπ+π6<α−π3<2kπ+2π3，k∈Z．∴12<sin(α−π3)≤1，满足sinα−√3cosα>1；当sinα−√3cosα>1即sin(α−π3)>12时，例如取α=π时，满足sin(α−π3)=sin2π3=√3 2>12，但α=π不满足在第二象限．由上分析可知“α为第二象限角”是“sinα−√3cosα>1”的充分不必要条件．故选：A．由sinα−√3cosα>1⇔12sinα−√32cosα>12⇔sin(α−π3)>12，依次可解决此题．本题考查三角函数图象性质、三角恒等变换及充分、必要条件的判定，考查数学运算能力及推理能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：因为点P(−9,12)在抛物线y2=2px上，所以122=−18p，解得p=−8，所以抛物线方程为y2=−16x，焦点F的坐标为(−4,0)，所以|PF|=√(−9+4)2+122=13．故选：C．将点P的坐标代入抛物线方程中求出p，从而可得焦点F的坐标，利用两点间的距离公式求解即可．本题主要考查抛物线的方程，两点间的距离公式，考查运算求解能力，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：f(x)=sinx(cosxcosπ6+sinxsinπ6)=sinx(√32cosx+12sinx)=√3 2sinxcosx+12sin2x=√34sin2x+12×1−cos2x2=√34sin2x−14cos2x+14=12sin(2x−π6)+14，所以f(x)的最小正周期T=π，①错误；当x∈[−π6,π3]时，2x−π6∈[−π2,π2]，此时正弦函数为单调递增函数，故②正确；f(x+π3)=12sin[2(x+π3)−π6]+14=12sin(2x+π2)+14=12cos2x+14，令g(x)=f(x+π3)，所以g(x)=12cos2x+14g(−x)=12cos(−2x)+14=12cos2x+14=g(x)，又函数定义域为R，故函数f(x+π3)是偶函数，③正确；令2x−π6=kπ，k∈Z，解得x=π12+kπ2，k∈Z，所以f(x)的对称中心为(π12+kπ2,14)k∈Z，当k=0时，f(x)有一个对称中心为(π12,14)，故④错误；故选：C．先将解析式进行化简整理，根据整理之后的解析式对选项进行逐一验证．本题考查了命题的真假判断，涉及到了三角函数的性质，属于基础题．11.【答案】D【解析】解：由题意，上檐平面的八边形如图所示，其中AB=a，∠OAB=∠OBA=67.5°，且E为AB的中点，所以OE =AEtan∠OAB ，又2tan∠OAB1−tan 2∠OAB =tan2∠OAB =tan135°=−1， 解得tan∠OAB =1+√2，tan∠OAB =1−√2(舍)， 又AE =a2， 所以OE =1+√22a ，由题意可知，攒尖坡度为ℎOE=2ℎ(1+√2)a=2(√2−1)ℎa． 故选：D ．根据正八边形的性质，结合二倍角正切公式以及正切的定义，求出上檐平面中心到檐边的距离，再根据题设求攒尖坡度即可．本题考查了立体几何的信息题，正八边形几何性质的应用，两角和的正切公式的应用，攒尖坡度的理解，考查了逻辑推理能力、空间想象能力与化简运算能力，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：如图，在平行四边形ABCD 中，AB =2，AD =1，∠BAD =60°，E 是BC 的中点，所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4+12+32×2×1×12=6，故选：D ．以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为基底分别表示出AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再利用向量数量积运算性质代入计算即可． 本题考查平面向量数量积运算性质，属于中档题．13.【答案】∀x∈N，2x≥x2【解析】解：根据题意，命题“∃x∈N，2x<x2”是特称命题，则其否定为：∀x∈N，2x≥x2；故答案为：∀x∈N，2x≥x2．根据题意，由特称命题与全称命题的关系，分析可得答案．本题考查命题的否定，注意全称命题和特称命题的关系，属于基础题．14.【答案】(−∞,32)【解析】解：令t=2x，则t>0，所以不等式转化为t2−2a t+2>0在(0,+∞)上恒成立，令f(t)=t2−2a t+2，其图象开口向上，且对称轴为t=2a−1>0，所以Δ=22a−8<0，解得a<32，所以实数a的取值范围为(−∞,32)．故答案为：(−∞,32)．利用换元法将问题转化为t2−2a t+2>0在(0,+∞)上恒成立，利用二次函数图象与性质，列式求解即可．本题考查了不等式恒成立问题的求解，换元法的理解与应用，二次函数图象与性质的应用，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．15.【答案】13【解析】解：由双曲线的定义可得|PF1|=|PF2|+2a=3|PF2|，可得|PF2|=a，|PF1|=3a，因为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线互相垂直，所以a=b，c=√2a故|F1F2|=2√2a，在△PF1F2中，cos∠F1PF2=a2+9a2−8a22×a×3a =13．故答案为：13．依题意可得可得a =b ，运用双曲线的定义和三角形的余弦定理，即可求解． 本题考查双曲线的定义和性质，主要是渐近线方程的求法，考查化简变形能力和运算能力，属于中档题．16.【答案】0.4 32125【解析】解：由题意可知，μ=98，σ=8， 所以P(X >100)=1−P(μ−0.25σ<X≤μ+0.25σ)2=0.4；由题意，要使电路能正常工作的概率为P =25×25×25+25×(1−25)×25+25×25×(1−25)=32125． 故答案为：0.4；32125．利用正态分布曲线的对称性求解P(X >100)，由相互独立事件的概率乘法公式求解电路能正常工作的概率．本题考查了正态分布曲线的应用，相互独立事件的概率乘法公式的应用，解题的关键是掌握正态分布曲线的对称性，考查了运算能力，属于基础题．17.【答案】解：(1)x <−1时，−x −1+4≥−3x +1，解得x ≥−1，不合题意；−1≤x <13时，x +1+4≥1−3x ，解得：x ≥−1，故−1≤x <13，x ≥13时，x +1+4≥3x −1，解得：x ≤3，故13≤x ≤3， 综上，不等式的解集是M =[−1,3]；(2)|ab −a −b|=|ab −a −b +1−1|=|(a −1)(b −1)−1| ∵a ∈[−1,3]，b ∈[−1,3]， ∴a −1∈[−2,2]，b −1∈[−2,2]，∴|(a −1)(b −1)−1|≤|(a −1)(b −1)|+1=|a −1||b −1|+1≤5， 当且仅当a −1=b −1=±2时“=”成立， 故|ab −a −b|的最大值是5．【解析】(1)通过讨论x的范围，求出不等式的解集M即可；(2)根据绝对值不等式的性质以及a，b的取值范围求出|ab−a−b|的最大值即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质，是中档题．18.【答案】(1)解：函数f(x)=e x−ksinx，则f′(x)=e x−kcosx，因为f(x)在区间(0,π2)内存在极值点α，所以f′(α)=0，则k=e αcosα且α∈(0,π2)，则k′=e α(cosα+sinα)cos2α>0，所以函数k=e αcosα在(0,π2)上单调递增，则k>1，当k>1时，f′′(x)=e x+ksinx>0在(0,π2)上恒成立，则f′(x)在(0,π2)上单调递增，又f′(0)=1−k<0，f′(π)=eπ+k>0，则当x∈(0,α)时，f′(x)<0，则f(x)单调递增，当x∈(α,π2)时，f′(x)>0，则f(x)单调递减，所以f(x)在x=α处取得极小值，符合题意．综上所述，实数k的取值范围为(1,+∞)；(2)证明：要证明在区间(0,π)内存在唯一的β，使f(β)=1，只需证明g(x)=e x−ksinx−1在区间(0,π)内存在唯一的β，因为g′(x)=e x−kcosx，由(1)可知，g(x)在(0,α)上单调递减，在(α,π2)上单调递增，又x∈[π2,π)时，g′(x)>0，则g(x)单调递增，综上所述，g(x)在(0,α)上单调递减，在(α,π)上单调递增，又g(0)=0>g(α)，g(π)=eπ−1>0，所以g(x)在(0,α)内无零点，在(α,π)内存在一个零点，故存在唯一的β∈(0,π)，使得g(β)=0，即在区间(0,π)内存在唯一的β，使f(β)=1；由(1)可知，eα=kcosα>1，所以g(2α)=e2α−ksin2α−1=e2α−2sinα⋅eα−1=eα(eα−2sinα)−1，令ℎ(x)=e2x−2e x sinx−1，x∈(0,π2)，则ℎ′(x)=2e x[e x−(cosx+sinx)]，令y=e x−(cosx+sinx)，则y′=e x+sinx−cosx>0，故函数y=e x−(cosx+sinx)在(0,π2)上单调递增，所以y>0，即ℎ′(x)>0，故ℎ(x)在(0,π2)上单调递增，所以ℎ(x)>ℎ(0)=0，故在α∈(0,π2)上，g(2α)>0，所以g(2α)>g(β)=0，又g(x)在(α,π)上单调递增，且α<β，2α<π，所以β<2α．【解析】(1)求出f′(x)，利用极值点的定义得到f′(α)=0，则k=e αcosα且α∈(0,π2)，利用导数研究函数k=e αcosα的单调性，即可得到k的取值范围，然后验证即可；(2)将问题转化为证明g(x)=e x−ksinx−1在区间(0,π)内存在唯一的β，利用导数结合(1)中的结论，即可证明；表示出g(2α)，构造函数ℎ(x)=e2x−2e x sinx−1，x∈(0,π2)，利用导数研究函数ℎ(x)的单调性以及取值情况，可得ℎ(x)>ℎ(0)=0，从而g(2α)> g(β)=0，再利用g(x)的单调性，即可比较得到答案．本题考查了导数的综合应用，利用导数研究函数单调性的运用，函数极值点的理解与应用，函数零点存在性定理的应用，综合性强，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，转化化归数学思想方法的运用，属于难题．19.【答案】(1)证明：由题设，连接CD 1交DC 1于O ，易知：O 是CD 1的中点，连接OE ，∵E 是BC 的中点，∴OE//BD 1，又OE ⊂面C 1DE ，BD 1不在面C 1DE 内， ∴BD 1//面C 1DE ．(2)解：底面ABCD 是菱形，∠ABC =120°，即∠DAB =60°，若F 为AB 中点，则DF ⊥AB ，∴∠ADF =30°，故在直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中有DF ⊥DC 、DD 1⊥DC 、DD 1⊥DF ， ∴可构建以D 为原点，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为x 、y 、z 轴正方向的空间直角坐标系， 设AA 1=√2AB =√2， ∴D(0,0,0),E(√34,34,0),C 1(0,1,√2),A 1(√32,−12,√2)， 则DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√34,34,0),DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,√2),DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,−12,√2)， 若m⃗⃗⃗ =(x,y,z)是面C 1DE 的一个法向量， 则{DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =√34x +34y =0DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =y +√2z =0，令x =√3，则m ⃗⃗⃗ =(√3,−1,√22)， ∴|cos <m ⃗⃗⃗ ,DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ ||DA1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=√3×3√2=√63，故直线A 1D 与平面C 1DE 所成角的正弦值√63．【解析】(1)连接CD 1交DC 1于O ，连接OE ，易得OE//BD 1，再根据线面平行的判定即可证结论．(2)F 为AB 中点，结合已知可构建以D 为原点，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为x 、y 、z 轴正方向的空间直角坐标系，设AA 1=√2AB =√2，写出对应点坐标，并求出直线A 1D 的方向向量和平面C 1DE 的法向量，由空间向量夹角的坐标表示求直线A 1D 与平面C 1DE 所成角的正弦值． 本题主要考查线面平行的证明，空间向量的应用，线面角的计算等知识，属于中等题．20.【答案】解：由题意可得，一共抽样50个，产量之比为4：1，按分层抽样抽取，故甲生产线抽取50×45=40，乙生产线抽取50×15=10， 故甲生产线抽取一等品40−2=38， 乙生产线抽取二等品10−7=3，填表如下：所以K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=50(38×2−2×7)240×10×45×5≈5.556>5.024，故有97.5%把握认为产品的等级差异与生产线有关；(2)依题意得，检验顺序的所有可能为甲甲乙乙乙，甲乙甲乙乙，乙甲甲乙乙，甲乙乙甲乙，乙甲乙甲乙，乙乙甲甲乙，甲乙乙乙甲，乙甲乙乙甲，乙乙甲乙甲，乙乙乙甲甲，共10种可能，ξ的所有可能取值为：0，1，2，3， P(ξ=0)=110， P(ξ=1)=210=15，P(ξ=2)=310， P(ξ=3)=410=25， 所以ξ的分布列为：所以E(ξ)=0×110+1×15+2×310+3×25=2．【解析】(1)分析题意完成2×2列联表，直接套公式求出K2，对照参数下结论；(2)直接求出概率，写出分布列，套公式求出数学期望．本题考查了独立性检验，离散型随机变量的均值问题，属于基础题．21.【答案】解：(1)若选择条件①：由a n+1=a n2+12n，得a n+1⋅2n+1=a n⋅2n+2，即a n+1⋅2n+1−a n⋅2n=2，又n=1时，a1×21=2，所以{a n⋅2n}是以2为首项，以2为公差的等差数列，所以a n⋅2n=2+2(n−1)=2n，即a n=2n2n；若选择条件②：由2na n+1=(n+1)a n，得a n+1n+1=12×a nn，又n=1时，a11=1，所以数列{a nn }是以1为首项，以12为公比的等比数列，所以a nn =(12)n−1，即a n=n2n−1=2n2n；(2)由(1)可知S n=221+422+623+⋯+2n2n，则12S n=222+423+⋯+2n−22n+2n2n+1，两式相减得12S n=1+222+223+⋯+22n−2n2n+1=1+2(122+123+⋯+12n)−n2n=1+2×14[1−(12)n−1]1−12−n2n=2−n+22n，所以S n=4−2n+42n<4，故正实数m的最小值为4．【解析】(1)若选择条件①：根据a n+1=a n2+12n可得a n+1⋅2n+1=a n⋅2n+2，即a n+1⋅2n+1−a n⋅2n=2，结合a1×21=2即可得到{a n⋅2n}的通项公式，进一步可得{a n}的通项公式；若选择条件②：由2na n+1=(n+1)a n可得a n+1n+1=12×a nn，结合a11=1即可求出{a nn}的通项公式，进一步可得{a n}的通项公式；(2)由(1)可知S n=221+422+623+⋯+2n2n，则12S n=222+423+⋯+2n−22n+2n2n+1，从而两式相减并化简整理可得出S n =4−2n+42n<4，进一步即可确定正整数m 的最小值．本题考查数列的递推公式，错位相减求和法，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)伯努利双纽线C(如图)的普通方程为(x 2+y 2)2=2(x 2−y 2)，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为极坐标方程为ρ2=2cos2θ；直线l 的参数方程为{x =tcosαy =tsinα(其中α∈(0,π4)，t 为参数)，转换为直角坐标方程为y =tanαx ；转换为极坐标方程为θ=α(α∈(0,π4))，(2)当θ=0时，则ρ2=2，所以A(−√2,0)，B(√2,0)；又θ=α，且α∈(0,π4)，是经过原点，结合伯努利双纽线C 的对称性知：点M 和N 的纵标和横标互为相反数；若点M 在第一象限，则点N 在第三象限； 所以S 四边形AMBN =2S △ABM =|AB|⋅y M =2√2⋅|y M |， 联立{ρ2=2cos2θθ=α，则ρ=√2cos2α，y M =ρsinα，所以y M =√2sin 2α(1−2sin 2α)=2√12sin 2α−sin 4α=2√116−(14−sin 2α)2，由于α∈(0,π4)， 所以sin 2α∈(0,12)， 所以0<y M ≤12．故当y M =12时S 四边形AMBN =2S △ABM =|AB|⋅y M =2√2⋅|y M |=√2．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用三角函数的关系式的变换和二次函数性质的应用求出四边形面积的最大值． 本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角形的面积公式，三角函数的关系式的变换，二次函数性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．23.【答案】解：(1)由题意可得{2b =2√3a +c =3a 2=b 2+c 2，解得{b =√3a =2c =1，所以椭圆方程为x 24+y 23=1， 离心率e =c a =12，证明：(2)当直线l 的斜率存在时，可设l ：y =kx +m ，代入椭圆方程x 24+y 23=1，得(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，所以{x 1+x 2=−8km 3+4k x 1x 2=4m 2−123+4k 2， 由(1)可知，点A(−2,0)，离心率e =12，因为直线AM 和AN 的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，所以k AM ⋅k AN =−12，所以k AM ∗k AN =k 2x 1x 2−km(x 1+x 2)+m 2x 1x 2+2(x 1+x 2)+4=−12， 把{x 1+x 2=−8km 3+4k 2x 1x 2=4m 2−123+4k 2代入，整理得5m 2−8km −4k 2=0， 即(m −2k)(5m +2k)=0，所以m =2k 或m =−25k ，由直线l ：y =kx +m ，当m =2k 时，y =kx +2k =k(x +2)经过定点(−2,0)，与A 重合，舍去， 当m =−25k 时，v =kx −25k =k(x −25)经过B 定点(25,0)．所以l 过定点(25,0)．【解析】(1)用待定系数法求出椭圆C 的方程；(2)运用“设而不求法“，结合韦达定理和直线恒过定点的求法，可得直线l 经过定,0).点(25本题考查椭圆的方程及直线与椭圆的综合，属于难题．。
高三试卷数学(理)-四川省成都市第七中学2024届高三上学期10月月考数学(理)试卷及参考答案
24届高三理科数学上期10月阶段性考试试卷本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟.第I 卷一、 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知复数z 满足：i 1i z ⋅=+（i 为虚数单位），则||z =( )B. 1 D. 22. 已知集合{|20}A x x =-≤≤，2{|1}B x x =>，则A B =( )A.[2,1)--B.[2,0](1,)-+∞C.(,0](1,)-∞+∞D.[2,1)-3. 抛物线2:C y mx =过点(-，则抛物线C 的准线方程为( ) A.38x = B.38x =- C.38y = D.38y =-4. 为了得到函数cos(2)6y x π=-的图象，只要把函数cos(2)6y x π=+的图象上所有点( ) A.向左平行移动6π个单位长度 B.向右平行移动6π个单位长度 C.向左平行移动3π个单位长度 D.向右平行移动3π个单位长度5. 已知1F ，2F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，以线段12F F 为直径的圆与双曲线C 的右支交于P 、Q 两点，若12|||PF PF ，其中O 为坐标原点，则C 的离心率为( )A.1 D.1 6. 异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系，通常以幂函数形式表示.比如，某类动物的新陈代谢率y 与其体重x 满足y kx α=，其中k 和α为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则α为( ) A.14B.12C.23D.347. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有3225a a -=，33S =，则{}n a 的公比为( )A.152或B.125或 C.152--或 D.125--或三、解答题(共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足13515a a a ++=，749S =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足3n n n b a =⋅，求{}n b 的前n 项和n T .18. （12分）如图，已知等腰直角三角形RBC ，其中90RBC ∠=︒，2RB BC ==.点A ､D 分别是RB ､RC 的中点，现将RAD沿着边AD 折起到PAD 位置，使PA AB ⊥，连接PB ､PC .（1）求证：BC PB ⊥；（2）求二面角A CD P --的平面角的余弦值.19（12分）由“杂交水稻之父”袁隆平团队研发的晚稻品种“叁优一号”亩产为911．7公斤．在此之前，同一基地种植的早稻品种亩产为619．06公斤．这意味着双季亩产达到1530．76公斤，实现了“1500公斤高产攻关”的目标．在水稻育种中，水稻的不同性状对水稻的产量有不同的影响．某育种科研团队测量了株高(单位：cm)和穗长的数据，(参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)穗株数记为X ，求X 的分布列和数学期望．20.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的一个顶点为(0,1)A，焦距为． （1）求椭圆E 的方程；（2）过点(2,1)P -作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ．证明：2||MN k ⋅为定值，并求出该值．21.（12分）设函数()ln x f x e x =，（1）当1x ≥时，判断方程()(1)f x e x =-实根的个数，并说明原因；（2）若1e a e >-，有1()f x a =，2()1f x a =+，证明：21x e x <.24届高三理科数学上期10月阶段性考试试卷答案二、填空题：共4道小题，每题5分,共20分.13.24 14. 68π 15. 116.①④三、解答题：共5道大题，共70分.17.（12分）解：（1）因为13515a a a ++=，749S =，所以113615,72149,a d a d +=⎧⎨+=⎩所以1a =，2d =，所以1(1)221n a n n =+−⨯=−. （2）由题可知(21)3n n b n =−⨯，所以23133353(21)3n n T n =⨯+⨯+⨯++−⨯①，23413133353(21)3n n T n +=⨯+⨯+⨯++−⨯②， ①-②得，234121323232323(21)3n n n T n +−=⨯+⨯+⨯+⨯++⨯−−⨯21123233(21)313n n n ++⨯−⨯=+−−⨯−1(22)36n n +=−+⨯−， 故1(1)33n n T n +=−⨯+.18.（12分）解：（1）∵点A ､D D 分别是RB ､RC 的中点，∴//AD BC ，12AD BC =. 又∵90RBC ∠=︒，RAD 沿着边AD 折起到PAD 位置，∴90PADRAD RBC ∠=∠=∠=︒.∴PA AD ⊥.∴PA BC ⊥，∵BC AB ⊥，PA AB A =，∴BC ⊥平面PAB .∵PB ⊂平面PAB ，∴BC PB ⊥.（2）取RD 的中点F ，连接AF ､PF .∵1RA AD ==，∴AF RC ⊥.∵AP AR ⊥，AP AD ⊥，∴AP ⊥平面RBC .∵RC ⊂平面RBC ，∴RC AP ⊥，∵AF AP A ⋂=，∴RC ⊥平面PAF .∵PF ⊂平面PAF ，∴RC PF ⊥.∴AFP ∠是二面角A CD P −−的平面角. 在Rt RAD △中，12AF RD ===，在Rt PAF △中，2PF ==，cos AF AFP PF ∠== ∴二面角A CD P −−. 19．（12分）解： (1)根据2×2列联表中的数据，可得22100(34401610)50504456K ⨯⨯−⨯=⨯⨯⨯23.377 6.635≈>，故能在犯错误的概率不超过0．01的前提下认为株高和穗长之间有关系．(2)记“在采样的稻田里抽出低杆长穗稻株”为事件A ，则101()10010P A ==，所以1~3,10X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭．X 的所有可能取值为0，1，2，3，令()()()1F x f ex f x =−−，而()F x =ln ln 1ex x e ex e x −−=()ln 1ex ex x e e e x +−−， 当1x e>时，ln 1x >−，0ex x e e −>，10x e −>， ()F x ()(1)1ex ex x e e e >+−−−=10x e −>，取1x x =，即1()0F x >，则112()()1()f ex f x f x >+=，即12ex x >，也即2x e x <.。
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0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19．(本题 12 分) 如图,在四棱锥 P ABCD 中,四边形 ABCD 是直角梯形, AB AD, AB / /CD, PC 底面ABCD , AB 2AD 2CD 4, PC 2a, E 是 PB
（Ⅱ）设点 P(2, 3) ，若直线 l 与曲线 C 交于 A ， B 两点，求| PA | | PB | 的值．
23．(本题 10 分)选修 4-5：不等式选讲
（Ⅰ）求函数
的最大值 .
（Ⅱ）若实数 ， ， 满足 取等条件.
，证明：
，并说明
试卷第 4 页，总 4 页
f
x
ax2
ex
，其中 a
bx 1
0
，bR
，e
为自然对数
的底数. 1 若 b 1， x 0, ，①若函数 f x 单调递增，求实数 a 的取值范围；
②若对任意 x 0 ， f x 1 恒成立，求实数 f
x 存在两个极值点 x1 ， x2 ，求证：1
3 2a
π 6
x
R
②y f x 是以 2π 为最小正周期的周期函数；
③y
f
x
的图象关于点
π 6
,
0
对称；
试卷第 1 页，总 4 页
15. 已知集合a,b,c 0,1,2，有下列三个关系① a 2 ；② b 2 ；③ c 0 ，若
三个关系中有且只有一个正确的，则 a 2b 3c _______________.
D． 2
2． P y y x2 ， Q x x2 y2 2 ，则 P Q （ ）
A．[ 2, 2]
B．(1,1),(1,1) C． 0, 2
D． [0, 2]
3.“ a 2 ”是“函数 f x x aex 在 0, 上有极值”的（ ）
A．充分不必要条件 C．充要条件 4．若如图所示的程序框图输出的 是
16. 已知函数 f (x) 2ln x ax2 3，若存在实数 m, n [ 1 , 5 ] 满足 n m 2 时，
f (m) f (n) 成立，则实数 a 的最大值为_____
三、解答题(共 70 分,22 与 23 题二选一，各 10 分，其余大题均为 12 分)
17．(本题 12 分)已知向量 m (sin A,sin B), n (cos B,cos A), m n sin 2C, 且 A、B、C 分别为∆ABC 的三边 a、b、c 所对的角．
f
x1
f
x2 e .
22．(本题
10
分)在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
x y
2 cos sin
（
为
参数）．在以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为
sin( 3 ) 2 ． 42
（Ⅰ）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；
男 20 30
校的 3 名学生．设这 3 人中爱好羽毛球运动的人数为 50
X ，求 X 的分布列和期望值；
女 10 20
30 II）根据表中数据，能否有充分证据判定爱好羽毛球
合计 30 50
80
运动与性别有关联？若有，有多大把握？
附：
K
2
a
nad bc2 bc da cb
d
P K 2 k0
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ，则条件①可为（ ）
A．
B．
C．
D．
5. 某几何体的三视图如上图（右）所示，则该几何体的体积为（ ）
A． 3
B．1
2
C． 1 2
D． 1 3
6．关于函数
f
x
4sin
2x
π 3
x
R
有如下命题，其中正确的个数有
(
)
①y
f
x
的表达式可改写为
f
x
4cos
2x
成都七中2020~2021 学年度上期2021届高三阶段性测试 数学试卷（理科）
考试时间：120 分钟 总分：150 分 一．选择题（每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．把 答案凃在答题卷上．）
1．复数 z 1 i2 的虚部为（ ）
A． 2i
B． 2
C． 2i
2
2
,直线
l
:
y
x
1
与椭圆
C
相交于
A
,
B
两点,
P
3 4
,
1 4
为弦
AB
的中点.
（1）求椭圆的标准方程;
（2）若直线 l : y kx m 与椭圆 C 相交于不同的两点 M , N , Q 0, m ,若
OM ON 3OQ （ O 为坐标原点）,求 m 的取值范围.
21．(本题
12
分)已知函数
（1）求角 C 的大小；
（2）若 sin A,sin C,sin B 成等差数列，且 CA (AB AC) 18，求 c 边的长．
18．(本题 12 分)某校随机调查了 80 位学生，以研究学生中爱好羽毛球运动与性别的
关系，得到下面的数据表：
爱好 不爱好 合计 I）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查了本
的中点.
（1）求证:平面 EAC 平面 PBC ; （2） 若二面角 P AC E 的余弦值为 6 ,求直线 PA 与平面 AEC 所成角的正弦值.
3
试卷第 3 页，总 4 页
20．(本题 12 分)已知椭圆 C
：
x2 a2
y2 b2
1 a
b 0 的两个焦点为 F1 , F2 ,焦距为