2单自由度系统振动2
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第1章 单自由度系统自由振动-2-2
(nmax
)2
Vmax
1 2
mg
(R
r
)m2 ax
Tmax Vmax
n
2g 3(R r)
19
谢 谢！
1 2
k1
(lΦ)2
1 2
k2 (dΦ)2
1 2
(k1 l2
k2 d 2 )Φ2
由机械能守恒定律有
Tmax Vmax
即
1 2
J02Φ2
1 2
(k1 l2
k2 d 2 )Φ2
则得固有频率
0
k1l2 k2d 2 J
l
k1
dB
A
O
k2
10
单自由度系统自由振动－能量法
例：如图所示是一个倒置的摆
无阻尼系统为保守系统，其机械能守恒，即动能 T 和 势能 V 之和保持不变 ，即：
k
动能：
T 1 mx2 2
弹簧原长位置
m
0
静平衡位置
势能： （重力势能）
（弹性势能）
k
mgx
x k( x )dx
0
零势能点
x
V mgx x k xdx 0
A
D
mg
柯尼希定理（Konig's theorem）是质点系运动学 中的一个基本定理.其文字表述是：质点系的总动 能等于全部质量集中在质心时质心的动能,加上各 质点相对于质心系运动所具有的动能.
18
单自由度系统自由振动－能量法
例：用能量法计算固有频率(纯滚动)
动能：T
1 2
m
(
机械振动学_第二章单自由度振动系统
第二章单自由度系统振动§1-1 概述单自由度系统的振动理论是振动理论的理论基础。
(1)尽管实际的机械都是弹性体或多自由度系统，然而要掌握多自由度振动的基本规律，就必须先掌握单自由度系统的振动理论。
此外，(2)许多工程技术上的具体振动系统在一定条件下，也可以简化为单自由度振动系统来研究。
[举例如下：]例如：(1)悬臂锤削镗杆；(2)外圆磨床的砂轮主轴；(3)安装在地上的床身等。
[力学模型的简化方法]若忽略这些零部件中的镗杆、主轴和转轴的质量，只考虑它们的弹性。
忽略那些支承在弹性元件上的镗刀头、砂轮、床身等惯性元件的弹性，只考虑它们的惯性。
把它们看成是只有惯性而无弹性的集中质点。
于是，实际的机械系统近似地简化为单自由度线性振动系统的动力学模型。
在实际的振动系统中必然存在着各种阻尼，故模型中用一个阻尼器来表示。
阻尼器由一个油缸和活塞、油液组成。
汽车轮悬置系统等等。
[以上为工程实际中的振动系统]单自由度振动系统——指用一个独立参量便可确定系统位置的振动系统。
所有的单自由度振动系统经过简化，都可以抽象成单振子，即将系统中全部起作用的质量都认为集中到质点上，这个质点的质量m 称为当量质量，所有的弹性都集中到弹簧中，这个弹簧刚度k称为当量弹簧刚度。
以后讨论中，质量就是指当量质量，刚度就是指当量弹簧刚度。
在单自由度振动系统中，质量m、弹簧刚度k、阻尼系数C是振动系统的三个基本要素。
有时在振动系统中还作用有一个持续作用的激振力P。
应用牛顿运动定律，作用于一个质点上所有力的合力等于该质点的质量和该合力方向的加速度的乘积。
（牛顿运动定律）（达伦培尔原理）现取所有与坐标x 方向一致的力、速度和加速度为正，则：kx x C t P xm --= ωsin 0 (牛顿运动定律) （达伦培尔原理：在一个振动体上的所有各力的合力必等于零） （动静法分析：作用在振动体上的外力与设想加在此振动体上的惯性力组成平衡力系）上式经整理得，t P kx x C xm ωsin 0=++ （2.1） 该式就是单自由度线性振动系统的运动微分方程式的普遍式。
2-单自由度自由振动
第2章 单自由度系统自由振动
2.5 具有黏性阻尼的振动系统
31
给出初始条件：t＝0时 x x0 , x v0
则可确定系数B和D B v0 ( 2 1)n x0 2n 2 1
D v0 ( 2 1)n x0 2n 2 1
第2章 单自由度系统自由振动
2.5 具有黏性阻尼的振动系统
不大，特别是当阻尼很小（<<1）时，可
以忽略阻尼对振动频率和周期的影响。
第2章 单自由度系统自由振动
2.5 具有黏性阻尼的振动系统
40
2.6 对数衰减率
振幅衰减的快慢程度可用相邻振幅 的比值来表示，称为衰减率或减幅率或 减缩率；也可以用衰减率的自然对数来 表示，称为对数衰减率。
第2章 单自由度系统自由振动
第2章 单自由度系统自由振动
2.3 能量法
22
P15例2-3-2 利用能量法求纯滚动圆盘 系统作微幅振动的固有频率。
第2章 单自由度系统自由振动
2.3 能量法
23
2.4 瑞利法
一般不考虑弹性元件的质量对振动系统的 影响，若这些质量不可忽略的时候，“瑞利法” 的思想，是将这些弹性元件所具有的多个集中 质量或分布质量简化到系统的集中质量上去， 从而变成典型的单自由度振动系统。
T 2 n
周期是系统振动一次所需要的时间，单位 为秒（s）。
周期的倒数称为频率，是系统每秒钟振动 的次数,单位为1/秒(1/s)或赫兹(Hz)。记作 f
f 1 n T 2
第2章 单自由度系统自由振动
2.2 自由振动系统
13
固有频率n和频率 f 只相差常数2，因
此经常通称为固有频率。是振动分析中极
已知质量为m，弹簧的刚 度系数为k。取质量的静平衡 位置为坐标原点,当重物偏离 x 时,利用牛顿定律可得到运 动微分方程：
第二章 单自由度系统振动的理论及应用
M t
则得
2 .. n 0
通解为:
A sin(n t 0 )
代入:
将振动的初始条件t= 0 ， 0 , . 0.
A
.0 2 0 2 n
2
n 0 0 arctan . 0
例: 已知：质量为m＝0.5kg的物体沿光滑斜面无初速度滑下。 当物块下落高度h=0.1m时，撞于无质量的弹簧上， 并与弹簧不再分离，弹簧刚度系数k=0.8kN/m。 倾角 30 求：此系统振动的固有频率和振幅并给出物块的运动方程。
计算固有频率的能量法
无阻尼自由振动系统没有能量的损失,振动将永远持续下去. 在振动过程中,系统的动能与弹簧的势能不断转换,但总的机械能 守恒.因此,可以利用能量守恒原理计算系统的固有频率. 如图所示无阻尼振动系统 当系统作自由振动时，运动规律为:
x A sin(0t )
速度为:
dx v 0 A cos(0t ) dt
称为单自由度线性纵向振动系统的运动微分方程式,又称单 自由度有粘性阻尼的受迫振动方程.
可分为如下几种情况进行研究:
(1)当c=0,F(t)=0时, 该方程为单自由度无阻尼自由振动方程.
(2)当F(t)=0时, mx cx kx 0 该方程为单自由度有拈性阻尼的自由振动方程.
.. .
mx .. kx 0
由机械能守恒定律有
Tmax Vmax
即
1 1 2 2 J 0 Φ ( k1l 2 k 2d 2 )Φ 2 2 2
解得固有频率
0
k1 l 2 k 2 d 2 J
例: 已知：如图表示一质量为m，半径为r的圆柱体，在一半 径为R的圆弧槽上作无滑动的滚动。 求：圆柱体在平衡位置附近作微小振动的固有频率。
第二章 单自由度系统的自由振动
位转角所需的力矩 (N m / rad)
k
I
在圆盘的静平衡位置上任意选一根半径作 为角位移的起点位置
由牛顿第二定律：
I&& k 0
&& 02 0
扭振固有频率
0
k I
第二章 单自由度系统的自由振动
由上例可看出，除了选择了坐标不同之外，角振动与直线振动的数学描述 完全相同。如果在弹簧质量系统中将 m、k 称为广义质量及广义刚度，则弹 簧质量系统的有关结论完全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧质 量系统是广义的 。
对时间求导 取平衡位置为势能零点，根据自由振动的特点，系统在平衡位置时，系统的势能 为零，其动能的极大值就是全部机械能；而在振动系统的极端位置时，系统的动 能为零，其势能的极大值等于全部的机械能，即有：
例题讲解3 均匀悬臂梁长为 l， 弯曲刚度为EJ，重量不计， 自由端附有重为Ｐ＝ｍg的物体，如图所示。试 写出物体的振动微分方程，并求出频率。 梁的自由端将有静挠度： 物体的振动微分方程为：
8
第二章 单自由度系统的自由振动
例题讲解3 重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞
梁长 L，抗弯刚度 EJ m
h
第二章 单自由度系统的自由振动
2.1 简谐振动
由牛顿定律，有 设系统固有频率为 二阶常系数线性齐次常微分方程
通解形式为
1
第二章 单自由度系统的自由振动
根据三角关系式
改 写
由此可以知道：该系统以 固有频率作简谐振动。
振动周期：
振动频率：
2
第二章 单自由度系统的自由振动
设在初始时刻t=0，物体有初位移
弹簧原长位置
m&x& kx 0
k
I
在圆盘的静平衡位置上任意选一根半径作 为角位移的起点位置
由牛顿第二定律：
I&& k 0
&& 02 0
扭振固有频率
0
k I
第二章 单自由度系统的自由振动
由上例可看出，除了选择了坐标不同之外，角振动与直线振动的数学描述 完全相同。如果在弹簧质量系统中将 m、k 称为广义质量及广义刚度，则弹 簧质量系统的有关结论完全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧质 量系统是广义的 。
对时间求导 取平衡位置为势能零点，根据自由振动的特点，系统在平衡位置时，系统的势能 为零，其动能的极大值就是全部机械能；而在振动系统的极端位置时，系统的动 能为零，其势能的极大值等于全部的机械能，即有：
例题讲解3 均匀悬臂梁长为 l， 弯曲刚度为EJ，重量不计， 自由端附有重为Ｐ＝ｍg的物体，如图所示。试 写出物体的振动微分方程，并求出频率。 梁的自由端将有静挠度： 物体的振动微分方程为：
8
第二章 单自由度系统的自由振动
例题讲解3 重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞
梁长 L，抗弯刚度 EJ m
h
第二章 单自由度系统的自由振动
2.1 简谐振动
由牛顿定律，有 设系统固有频率为 二阶常系数线性齐次常微分方程
通解形式为
1
第二章 单自由度系统的自由振动
根据三角关系式
改 写
由此可以知道：该系统以 固有频率作简谐振动。
振动周期：
振动频率：
2
第二章 单自由度系统的自由振动
设在初始时刻t=0，物体有初位移
弹簧原长位置
m&x& kx 0
振动理论及工程应用2 第二章 单自由度系统的振动
刚度系数k。
先将刚度系数k2换算至质量m所在处C的等效刚度系数k。
设在C处作用一力F，按静力平衡的
关系，作用在B处的力为 Fa
C
b
此力使B 弹簧 k2 产生 变形，
而此变形使C点发生的变形为
c
a Fa 2 b k2b2
得到作用在C处而与k2弹簧等效的刚度系数
k F
c
k2
C1 x0
C2
v0 pn
x
x0
cos
pnt
v0 pn
sin
pnt
另一种形式
x Asin( pnt )
初
振幅
相 两种形式描述的物
A
x02
(
v0 pn
)2
位 块振动，称为无阻 角 尼自由振动，简称
自由振动。
arctg(
pn x0 v0
)
无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的 简谐振动
b2 a2
k F
c
k2
b2 a2
与弹簧k1串联
C
得系统的等效刚度系数
k
k1k 2
b2 a2
k1k 2 b 2
k1
k2
b2 a2
a 2k1 b2k2
物块的自由振动频率为
pn
k b
k1k2
m
m(a2k1 b2k2 )
弹性梁的等效刚度
例 一个质量为m的物块从 h 的高 处自由落下，与一根抗弯刚度为EI、 长为的简支梁作塑性碰撞，不计梁 的质量，求该系统自由振动的频率、 振幅和最大挠度。
系统振动的周期 T 2π 2π m
结构动力学第二章 单自由度系统的振动2
0.39 0.66 0.73 1.00 1.05 1.20 1.42 1.55 1.69 1.76 2.00
23
24
解: 水塔的自振频率和周期分别为
k 29.4106 N / m 31.305rad / s
m
30103 kg
T 2 0.2007s
取微小时段 0.01s ，约相当于水塔自振
同理，积分项 B(t) 可用相同的方法进行计算。
16
因此，无阻尼体系动力响应的数值解： y(t) A(t) sin t B(t) cost
同理，也可求得有阻尼体系动力响应。 注：数值积分解答的精确度与计算中选择和微 小时段 有关，一般可取小于系统自振周期 的十分之一，便可得到较好的结果。
17
A yst
1
2
t1
2
( 1 cost1
) 2
t1
1/ 2
sint1
t1 T
0.371
动力系数只与 t1 有关，即只与 t1 T 有关
下表列出不同 t1 T 值时的动力系数。
表 不同 t1 T 值时的动力系数表
t1/T 0.125 0.20 0.25 0.371 0.40 0.50 0.75 1.00 1.50 2.00
用下式进行计算。
无阻尼：
( 0)
y(t) 1 t p( ) sin (t )d
m 0
有阻尼： y(t) 1
( 0)
md
t 0
p(
)e (t )
sin d
(t
)d
2）对于许多实际情况，如果荷载的变化规律是 用一系列离散数据表示（如试验数据），此时 的响应计算就必须借助于数值分析方法。
11
02第二讲：单自由度、二自由度系统的振动、弦的振动
o m x F (t ) F ( t ) H sin t
m kx H sin t x
2 0 x h sin t x
其中：
h H /m
h x A sin( 0t ) 2 sin t 当 0 2 0 ht 当 0 称为共振频率 x A sin( 0t ) cos t 2 0
x B st 2 xC l2 sin
J C l1 FA l2 FB
(l1k1 l2 k 2 ) xC
( k l k l )
2 11 2 2 2
mC ( k1 k 2 ) xC (l1k1 l2 k 2 ) x
2 J C ( k1l1 k 2l2 ) xC ( k1l12 k 2l2 )
max max max
k c , , h r 2 m 2m xr Ae - t sin( d t ) B sin( t )
2 0
0.1m 0.1m 0.04m
0 3rad/s , 7.0 / s, 60.0rad/s , r 0.1m
mC ( k1 k 2 ) xC 0 x
13
§7-4 二自由度系统的自由振动
k1
m1
k2
m2
建立图示质量弹簧 系统的动力学方程
x1
应用拉格朗日方程
x2
m1 0 0 1 k1 k 2 x k m2 x2 2
xr ( m )
xa ( m )
相对运动
绝对运动
10
t (s)
§7-3 单自由度系统的受迫振动
西南交通大学振动力学_第 2 章(II) 单自由度系统的强迫振动
F0 0 (sin t sin t ) 0 2 k (1 )
(2 48)
可见：1）强迫振动即使在初位移和初速度均为零，在
激振力作用下仍存在着瞬态响应，即上式等号右端括号
中的第二项，在有阻尼的情况下，此项数值将逐渐趋向 于零。 2 ）当系统的固有频率比较低时，瞬态振动振幅 就可能比较大，而且在较长时间内不易衰减下去。 3 ）因此实验中测定强迫振动振幅时，应该在经 过一段时间稳定以后再测量，否则可能测到的是两部分
《振动力学》
自由振动
B
F0 / k
(1 2 ) 2 (2 ) 2
0 x 0 2 x 0 2 ) x 18 ' ' x0 arctan 0 x0 x A (
单自由度系统的振动 d) 激振力频率0等于或接近于自由振动频率情形 引入ω –ω0 =2ε 考虑式（2-48），当 ε 很小时，则 F sin t x 0 cos t (2 50) 2 m 式（2-50）中ε很小，sinεt变化缓慢，周期2π/ε很大。式（2-50） 可看成周期为 2π/、可变振幅等于 ( F0 / 2 m )sin t 的振动。这种现 象称为拍，按图2-32中规律变化。拍的周期为π/ ε。
F0 sin 0t x(t ) A sin(t ) k 1 2 (2 47)
0 ,代入初始条件得 设t=0时，x 0, x
F0 0 A , 0 k (1 2 )
图 2-31
《振动力学》
16
单自由度系统的振动
代入（2-47）得
x(t )
当阻尼大时，带宽就宽，过共振时振幅变化平缓，振幅较小；反之， 阻尼小时，带宽就窄，过共振时振幅变化较陡，振幅就大。所以品质因子 反映了系统阻尼强弱性质和共振峰的陡峭程度。在机械系统中，为了过共 振时比较平稳，希望 Q值小些。式（2-45）提供了由试验估算系统阻尼比 的方法。 半功率点q1和q2 处的相位角由式（2-40） 估算如下： 21 2 (1 ) tan 1 1 2 2 1 1 1 (1 )
第2章 单自由度系统的自由振动
25第2章 单自由度系统的自由振动2.1 无阻尼系统的自由振动设有质量为m 的物块(可视为质点)挂在弹簧的下端，弹簧的自然长度为l 0,弹簧刚度为k ，如不计弹簧的质量，这就构成典型的单自由度系统，称之为弹簧质量系统如图2-1所示。
工程中许多振动问题都可简化成这种力学模型。
例如，梁上固定一台电动机，当电机沿铅直方向振动时，梁和电机组成一个振动系统，如不计梁的质量，则它在该系统中的作用相当于一根无重弹簧，而电机可视为集中质量。
于是这个系统可简化成如图2-1所示的弹簧质量系统。
2.1.1自由振动方程以图2-1所示的弹簧质量系统为研究对象。
取物块的静平衡位置为坐标原点O ，x 轴顺弹簧变形方向铅直向下为正。
当物块在静平衡位置时，由平衡条件∑F x = 0，得到st δk mg = （A ）st δ称为弹簧的静变形。
当物块偏离平衡位置为x 距离时，物块的运动微分方程为mxkx &&=− （2-1） 将式（2-1）两边除以m ，并令mkp =n （2-2） 则式（2-1）可写成02n =+x p x && （2-3）这就是弹簧质量系统置之只在线弹性力－kx 的作用下所具有的振动微分方程，称之为无阻尼自由振动的微分方程，是二阶常系数线性齐次方程。
由微分方程理论可知，式（2-3）的通解为t p C t p C x n 2n 1sin cos +=其中C 1和C 2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。
设0=t 时，x x xx ==00，&&。
可解得 C x 10= n02p xC &=t p p xt p x x n n0n 0sin cos &+= （2-4） 式（2-4）亦可写成下述形式)sin(n α+=t p A x （2-5）26 其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=)arctan()(00n 2n020x x p p x x A &&α （2-6） 式（2-4）、（2-5）是物块振动方程的两种形式，称为无阻尼自由振动，简称自由振动。
《振动力学》2单自由度系统自由振动
单位：弧度/秒（rad/s）
则有 ： &x& + ω02 x = 0
通解 ： x(t) = c1 cos(ω0t) + c2 sin(ω0t) = Asin(ω0t + ϕ)
c1, c2： 任意常数，由初始条件决定
振幅 ： A = c12 + c22
初相位 ： ϕ = tg −1 c1
c2
4
单自由度系统自由振动
解法2：
平衡位置2
动能 T = 1 Iθ&2 = 1 ml2θ&2
最大位移位置，系统动 能为零，势能达到最大
ω0 = k / m
T +V = const
Tmax = Vmax
Tmax = 0
Vmax
=
1 2
kxm2 ax
m
k
最大位移位置
0
xmax
静平衡位置
x
x&max = ω0 xmax
x 是广义的 对于转动： θ&max = ω0θmax
x(t) = Asin(ω0t + ϕ) 30
无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 ω0 为频率的简谐振动，并且永无休止。
x
T = 2π / ω 0
初始条件的说明：
初始条件是外界能量输入的一 x0
A
种方式，有初始位移即输入了 弹性势能，有初始速度即输入 了动能。
ϕ0
ω0
t
9
单自由度系统自由振动
零初始条件下的自由振动：
x(t)
=
x0
&x& + ω02 x = 0
ω0 =
k m
机械振动第2章-单自由度系统强迫振动
画出相位差随激振力频率的变化曲线（相频曲线）
tan
2 1 2
相频曲线
tan
2 1 2
0.1
0
0.2
0.5
1.0
4.0 2.0
4.0 1.0 0.5 0.2
0.1
相频曲线可看到：相位差总是在0°至180°区间变化，是一单 调上升的曲线。共振时：ω=ωn ε=90 °，阻尼值不同的曲线都 交于这一点。越过共振区之后，随着频率ω的增加，相位差 趋近180°，这时激振力与位移反相。
2 n
h sin(t
)
二阶常系数非齐次线性微分方程
解由两部分组成： x x1 x2 齐次方程的通解为: x1 Asin(nt )
设特解为： x2 bsin(t ) b为待定常数
将x2代入无阻尼受迫振动微分方程，得：
b
2
sin(t
)
b
2 n
s
in(t
)
h
s
in(t
)
解得：
b h
2 n
2
得无阻尼受迫振动微分方程的全解：
b 2 sin(t ) 2nb cos(t ) n2b sin(t ) h sint
将右端改写为：
kc
Fk
Fc
m
F
x
hsint hsin[t ) ]
hcos sin(t ) hsin cos(t )
可整理为：
[b(
2 n
2)
h cos ]sin(t
)
[2nb
mx kx kesint
x s
可见物块的运动微分方程为 无阻尼受迫振动的微分方程。
mx kx kesint
物块的受迫振动形式：
汽车振动分析-2.2 单自由度振系的自由振动
串联,并联弹簧的等效 刚度确定 通过能量法来确定等 效刚度 P15-16
代入计算,就可以得到系统固有圆频率
2.当 1(即n p)时,称为临界阻尼
此时特征方程具有两个相等的实根,即 s1 s2 n p,通解变为
x C1 C2t e pt
显然,这个方程所表示的运动是非周期的.亦是按指数规律衰减 我们可以根据不同的初始条件确定出常数C1 C2,画出如下图所示的相应曲线
由以上可知,通过对 做自由振动的条件表示如下: 1.当
大小的讨论,我们分为三种情况,系统是否
1时,系统做小阻尼的衰减振动.
2.当
1 时,系统作
,.而非振动
3.当
1(即n p)时,是系统引起运动性质突变的临界情况
对于由一些较复杂的系统简化成的单自由系,不必列出系统的振动微分方程. 只要求出相应的等效质量 me 和等效刚度 ke ,然后根据 p ke 求出固有圆 频率,然后再求出固有频率. me
通过能量法来确定
例P24 ,系统已经简化成了单自由度弹簧-质量系统,得到 系统的等效质量为 me m1 ,等效刚度 ,
汽车振动分析
2.2 单自由度振系的自由振动
魏垂泉
2017.10.23
当一个系统仅在开始时受到外界干扰(位移或者速度),靠系 统本身的固有特性而进行的振动称之为自由振动,即:这个时 候的系统外界激振力 f t 0
已知:在激振力 f t 作用下,质量块运动微分方程为:
m x c x kx f t
2.等效质量和等效刚度来求 3.应用能量法来求解
所以,可得固有圆频率为:
第2章单自由度线性系统振动
等效弹簧刚度
斜向布置的弹簧
k x e Fx / x k cos 2
n
并联弹簧 k e k i
i 1
传动系统的等效刚度
等效阻尼系数
串联弹簧
1
n
1
k e i 1 k i
k t1e k t1 / i 2
并联系统
n
ce ci
i 1
串联系统
1
n
1
ce i 1 ci
传动系统的等效阻尼
ct1e= ct1 / i 2
力矩、扭转刚度和角位移的单 位分别为Nm、 Nm / rad和 rad
阻尼元件
无质量、无弹性、线性耗能元件
平动： Fd c x
转动： Td ct
力、阻尼系数和速度的单位分 别为N、N s/ m和m/s。
力矩、扭转阻尼系数和角速度 的单位分别为Nm、 Nms / rad 和rad/s
第2章单 自由度线性系统的振动 2.1 离散系统的组成
x(t
)
x0
cos
d
t
x0
d
n
x0
s
in d
t
e
-
n
t
1
m d
t 0
F
e
n
t
sin
d
t
d
第2章 单自由度线性系统的振动 2. 6 非周期激励下的响应
拉普拉斯变换
定义
f
t
f
s
0
e st
f
t
dt
方程 mxcxkxFt
两边作拉氏变换并有 x0x00
ms2 csk xsF s
xs
ms
F s
汽车振动基础2
结论:串联弹簧等效刚度的倒数等于各弹簧刚 度倒数之和 注意：与电工学上的电阻理论正好相反
第2章 单自由度系统的振动
2.1.1.2 组合弹簧系统的等效刚度 (2) 并联弹簧的等效刚度
k2 ke m m F F
k1
第2章 单自由度系统的振动
并联时两根弹簧的伸长量相同，所以弹性力
F k 1x B k 2 x B
解：原系统弹簧的弹性势能
1 2 U a k11 2
要转化的等效系统的弹性势能
1 2 U e ke 2 2
U a U e 1 i 2
2
ke i k1
第2章 单自由度系统的振动
2.1.2 等效质量 同等效刚度一样，在实际系统较复杂 时，可以用能量法来确定等效质量。根据 实际系统要转化的质量的动能与等效质量 动能相等原则来求等效质量，即 T T
第2章 单自由度系统的振动
等效质量、等效刚度——在工程上为便 于研究，常把一些较为复杂的振动系统进 行简化，以便当作运动坐标上只存在一个 质量和弹簧来处理，经简化后得到的质量 和刚度，分别称为原系统的等效质量和等 效刚度。
2.1.1 等效刚度
2.1.1.1 刚度k的定义
使系统的某点沿指定方向产生单位位 移（线位移或角位移）时，在该点同一 方向上所要施加的力（或力矩），就称 为系统在该点沿指定方向的刚度。
解：设摇臂的转角为θ，则A点处等效质量的速度 为
x a
A点处等效质量的动能 1 1 1 2 2 2 2 Te m A x m A (a ) m Aa 2 2 2 系统的动能为
1 2 1 1 ms 2 ) 2 Ta J mv (b ) ( )(b 2 2 2 3 1 1 2 2 ( J mv b m s b 2 ) 2 3
第二章 振动结构模态分析
x(t) Acos(t )
2.2 单自由度系统自由振动 ——有阻尼
m x(t) c x(t) k x(t) f (t)
mx cx kx 0
x Aet
m2 c k 0
2 2 2 0
1,2 2 1
2 k
m
c 2
m
2.2 单自由度系统自由振动——有阻尼
n
x(t) qi (t)i q(t) i1 T M q(t) T Cq(t) T Kq(t) T f (t)
miqi (t) ciqi (t) kiqi (t) iT f (t)
2.6 多自由度系统振动响应
频响函数：
Mx(t) Cx(t) K x(t) f (t)
x(t) Xeit
m x(t) c x(t) k x(t) f (t)
t
x(t) 0 f (t )h( )d
2.3 单自由度系统强迫振动——频响函数与单位脉冲函数
m x(t) c x(t) k x(t) f (t)
定义：
(1)简谐激励时，稳态输出相量与输入相量之比。
(2)瞬态激励时，输出的傅里叶变换与输入的傅里叶变换之比。
表示体系可能存在的n个振型
对应的频率。具有最低频率的阵型称之为第一阶振型，第二低频率
对应的振型为第二阶振型。
2.5 多自由度无阻尼系统自由振动
振型分析：Mx(t) K x(t) 0
x(t) Xsin( t )
1
(K 2M)X 0 1.特征向量，或振型，
一般用i来表示；
(K i2M)Xi 0
/
2.3 单自由度系统强迫振动——简谐激励
x(t) 2 x(t) 2 x(t) F0 sin t
m
通解： xc (t) A1 cosdt A2 sin dtexp(t)
2.2 单自由度系统自由振动 ——有阻尼
m x(t) c x(t) k x(t) f (t)
mx cx kx 0
x Aet
m2 c k 0
2 2 2 0
1,2 2 1
2 k
m
c 2
m
2.2 单自由度系统自由振动——有阻尼
n
x(t) qi (t)i q(t) i1 T M q(t) T Cq(t) T Kq(t) T f (t)
miqi (t) ciqi (t) kiqi (t) iT f (t)
2.6 多自由度系统振动响应
频响函数：
Mx(t) Cx(t) K x(t) f (t)
x(t) Xeit
m x(t) c x(t) k x(t) f (t)
t
x(t) 0 f (t )h( )d
2.3 单自由度系统强迫振动——频响函数与单位脉冲函数
m x(t) c x(t) k x(t) f (t)
定义：
(1)简谐激励时，稳态输出相量与输入相量之比。
(2)瞬态激励时，输出的傅里叶变换与输入的傅里叶变换之比。
表示体系可能存在的n个振型
对应的频率。具有最低频率的阵型称之为第一阶振型，第二低频率
对应的振型为第二阶振型。
2.5 多自由度无阻尼系统自由振动
振型分析：Mx(t) K x(t) 0
x(t) Xsin( t )
1
(K 2M)X 0 1.特征向量，或振型，
一般用i来表示；
(K i2M)Xi 0
/
2.3 单自由度系统强迫振动——简谐激励
x(t) 2 x(t) 2 x(t) F0 sin t
m
通解： xc (t) A1 cosdt A2 sin dtexp(t)
02单自由度系统的振动
6
如果振系中质量块的重力与弹簧静伸长力产生力矢平 衡或力矩平衡时, 以静平衡位臵作为坐标原点而建立 的振动方程中不会出现重力项.
2 2. 方程 n x 0 的解 x
用特征根法 方程的解
2 2 n 0
in
A1
2 A12 A2
x A1 cos n t A2 si n n t
a
A mg
B
由对O 点的动量矩定理 3 J 0 ka2 ( 0 ) mg a ka2 2 J 0 ka2
1 2 m 3a ka2 3
k 0 3m
由静平衡时的力矩方程可得
3 ka2 0 mg a 0 2
n
k m1 m
n
xo
sin n t
代入初始条件
2m 2 gh k sin t m1 m k m1 m
13
13/113
§2.2 求系统固有频率的方法
1. 建立系统动力学微分方程的标准形式
a. 牛顿第二定律及动力学普遍定理 ; b. 达朗伯原理; c. 拉格朗日方程 .
例1. 均质杆OA = 3a , 质量为 m , 弹簧的刚度系数为 k , OB = a . 求: 系统振动的固有频率 . 解: 选静平衡位置为 角的起始位置 a O k a
k
k
a
O
a
st
O
O
l
mg A l
k A
A
mg
x k x0 m
x
ka2 2 0 ml
ka2 mgl 0 2 ml
17
17/113
第2章单自由度系统的振动
第2章 单自由度系统的振动
2.1 单自由度系统的自由振动
n
k eq k i i1
串联时弹簧的等效刚度
（2-3）
在图2-4（b）所示的串联情况下，可以得到如下关系
Fs k1(x0x1)
Fsk2(x2x0)
将x0 消掉，可得
Fs keq(x2x1)
keq
1 k1
1 k2
（2-11） （2-12）
x(t)Acosnt
（2-13）
A和φ也是积分常数，同样由x(0) 和 x(0) 决定。 方程（2-13）表明系统以为ωn 频率的简谐振动，这 样的系统又称为简谐振荡器。（2-13）式描述的是最 简单的一类振动。
第2章 单自由度系统的振动
2.1 单自由度系统的自由振动
飞行器结构动力学
第2章 单自由度系统的振动
西北工业大学航天学院
飞行器设计工程系
文 立 华
主 讲 教 师
第2章 单自由度系统的振动
飞行器结构动力学
第2章 单自由度系统的振动
西北工业大学
第2章 单自由度系统的振动
第2章 单自由度系统的振动
2.1 单自由度系统的自由振动 2.2 单自由度系统的强迫振动 2.3 单自由度系统的工程应用
表示，下面用牛顿定律来建立系统的运动方程。绘系 统的分离体图如图2-5（b）。
第2章 单自由度系统的振动
2.1 单自由度系统的自由振动
用 F(t)表示作用于系统上的外力，用x(t) 表示质量m 相对 于平衡位置的位移，可得:
F (t) F s(t) F d(t) m x (t)
（2 -7）
由于Fs(t)kx(t)， Fd(t)cx(t) 方程（2-7）变为:
结构振动理论2-单自由度系统自由振动
由 dE 0 1、求出运动方程： mx kx 0
dt
有常力作用的机械能： E 1 mx&2 1 k( x)2 Fx
2
2
dE mx&&x& k( x)x& Fx& x&(m&x& kx) 0
dt
由 Ek max E p max E 2、求固有频率
假设 x Asin( pt ) 则 x Apcos(pt )
2
l 0
/
2
y02{3(
x l
)
4(
x l
)3}2
dx
1 2
0.486
ly02
Ek
1 2
me
y02
me 0.486 l
n
ke me
00:03
单自由度系统自由振动
例 铰接式直升机旋翼挥舞振动分析
取微元做受力分析，微元
cos
R
L
2(R cos)d 离心力对铰链轴o的力矩为
θ
ξ
(2 (R cos )d )( sin )
则系统的自由振动方程为: me ke 0
固有频率为:
n
ke me
需要注意的是，me不是梁的总质量，它可以通过梁上各 点位移关系和动能等效的原则求得。
00:03
单自由度系统自由振动
y( x, t )
y0
(t
)[3x l
4(
x )3 ] l
(x 1) l2
Ek
1 2
l y2dm 1 2
0
由此可见，弹性元件并联将提高总刚度，串联将降低总刚
度。这与电学中电阻的并联、串联结论是相反的。阻尼器串联
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1
(2)振动特性的讨论
①受迫振动的运动规律
x Bsint
②受迫振动的频率
1 2
2 2
B0
sint
2
受迫振动的频率与激振力的频率 ③受迫振动的振幅 1）初始条件的影响： 2）激振力幅 的影响
相同
3）激振力频率 及振动系统固有频率
的影响
图2.23 幅频响应曲线
1
2
cos
nt
1
2
nt
sin
1
2
nt
e
1
cos
2
1
2
nt
B 0
式中 B0 P0 ; k
tg 1 1
1
e nt
1
2
2
; cos
1 t
kk m C imC a k m C
2 2 2 2 2 2 2
3
Ba
k2 C22 a 2 2 2 2 km C
2 12 2 2 1 2 2
mC2 2 2 tg 2 2 2 k km C 12 2 1 2 2 B a 1 2 2 2 2
k m
n
【例2-10】如图2.26所示为一无重刚杆。其一端铰支，距铰支端 处有一质量为 的质点，距 处有一阻尼器，其阻力系数为C, 距 处有一刚度系数为 的弹簧，并作用一简谐激振力 。刚杆在水平位置平衡，试列出系统的振动微分方程，并求振 动系统的固有频率 ，以及当激振力频率 等于 时质点 的振幅。
1cosnt
h t
1
md
ent sindt
1
mn 1 2
t
ent sin 1 2nt
P0 x mn 1
P0 1 e x k P0 1 k
nt
2
e
0
n
t
sin
1 2nt d
B0 p0 36.4
用机械振动试验来获得单自由度振动系统的一些极有价值 的参数。例如振动系统的质量m、弹簧刚度k，阻尼比ξ以及 固有圆频率 等。具体方法如下：
图2.25 幅频响应曲线
计算
b a 2 n
计算系统的弹簧刚度
B F Bn 2 2k
机械系统的质量
F 0 k 2 Bn
B 1 2 q n 2
1 2 B0 q Bn 2 2n
2 2
B B0
B0
2
2 2
4 22
2
3 2
n2
2 28 2 0
共振频率下的振幅为：
Bmax
2
单自由度受迫振动系统的动力学模型如图2.27所示
x s a sin t
运动微分方程式：
m x k x x s
C x x s
m x Cx kx kx s Cx s
设 复数法解 xs ae it x Be it
图2.22 瞬态振动
稳态振动
xBsint
x B 2 sin t
x Bcost
qnsint qsintqcossintqsincost 整理得
2 n 2 n 2 2
B2sint2Bcostn 2Bsintqnsint
l
m
l
c
l
F
k
图2.26 无重刚杆
【解】设刚杆在振动时摆角为 ，由刚体定轴转动微分方程可
建立系统的振动微分方程为
2 0
令
m
，
m
，
ml
sint
b 3F0 F0 20 4c0l 4cl
h
m k
F0 m B lb 4c k
（3）位移干扰引起的受迫振动
C
图2.27 位移干扰的受迫振动系统的动力学模型
n
（2）非简谐的周期性支承运动引起的受迫振动
图2.31 周期性支承运动作用下的有阻尼弹簧-质量系统
n
j
j 1
2 2 2 2
xt
n
j1
1 2
2 2
122
a cosjt b sinjt
2 j j j j
xt
n j1
a j cos jt b j sin jt 2 1 j
x 2 x n 2 x q sin t
通解由两部分组成
xt
x 1t
x 2 t
通解 特解 全解
x Ae t sindt
x2t Bsint
x Aet sindt Bsint
在实际振动时，运动是衰减振动和受迫振动的叠加，形成振 动的暂态过程，这一过程中的振动称为瞬态振动。如图2.22 所示.
2vc 0
l
l0 59.9 7.88m/s 28.4km/h vc 2 2
2.4.2周期激振力引起的受迫振动 (1)非简谐周期激振力引起的受迫振动
Ft Ft jT
图2.30 作用有周期激振力的有阻尼弹簧-质量系统
m x Cx kx Ft
tdt 1
dx ht
dx ht
1 m d
e nt sin dt
（2）任意激振力的响应
系统在时刻
t 0Βιβλιοθήκη 的响应为t 01 t Fe 0 md
nt
sindtd
1 t x 0Fsinntd mn
幅放大因子。
【解】机械振动系统固有频率为：
n
共振频率
共振振幅
kg mg
107 980 15.2 45.4
po
n 15 .2
Bn
q
2
n
2 n
C 2m
m C n
0 36p.4 2.04 1.176 15 .2
振幅放大因子
Bn kBn 107 2 . 04 6
2 0
dx
x0
d
e
t
Fd nt sindt Iht e sindt md
1 m d e nt sin dt
当t 0 当t 0
x 0 x0 x d
2
e t sin
ht
t 0
2
图2.28 位移干扰时的幅频特性曲线
作出如图2.28所示的幅频特性曲线。
①在
处，机械振动系统的振幅均等于支承运动的振幅
。②当 时，振幅 就小于支承运动振幅 ，阻尼大的机械振动系统比阻尼小的机械振动系统的振幅 反要稍大些。降低隔振效果。③当 时，受迫振动的 振幅 逐渐趋向于零。这一特性在研究隔振时是非常有 用的。
2Bqsin 0
B
2 n
B2(n 2 2)2 4 2B22 q2 q
2 2 4 2 2
2 tg n 2 2
p0 B0 2 n K
q
n
c n c0
B
1 2
2 2
B0
2
2 tg 12
2.4.3任意激振力引起的受迫振动 （1）脉冲响应
F F ( )
C F ( )
图2.32 作用有任意激振力的有阻尼的弹簧-质量系统
m x Cx kx F
＝
图2.33任意激振力
x0 0 I P x 0 d m m
x Ae
t
sindt
j 1,2,3,,n
F t
a0
2
a
n j 1
j
cos j t b j sin j t
a0 m x Cx kx 2
a
n j 1
2 2
cos jt b j sin jt j
F0
2
n j1
a j cos jt bj sin jt xt 2 k 1 j1 j
n2
2 2 2 4 2n 2 2 2
q
q
2
n 2 2
Bmax max Bo
1 n 2 2 2 n 2 2 1 2
⑤受迫振动的相位差
图2.24 相频响应曲线
可以利用上述相位差突然出现的反相现象，作为判断出现机 械振动系统共振的一种标志。 【例2-9】 在刚度 =107N/cm的弹簧上悬挂着一个重 =454N的物体。在物体上作用着一个简谐激振力 =36.4N，系统的阻尼系数C=1.176N/cm，试计 ，其力幅 算该机械振动系统的共振频率，共振振幅及共振时的振
C
图2.21单自由度有阻尼受迫振动系统动力学模型
若以静平衡位置O—O为坐标原点，取质量块 的振动位移 为广义坐标，且向下为正，则可按牛顿运动定律直接写出该 振动系统的运动微分方程式为：
（ m x cx kx F0sin t2.56）
2 n
k , m
C , 2m
F0 q m
【例2-12】 一弹簧质量系统受到一个常力 的突然作用，这一个力和时间的关系如图2.34（a）所示。 试求振动系统的响应。
图2.34 作用于弹簧-质量系统上的常力和系统的响应
【解】设振动系统无阻尼，则根据（2.95）式即可算出振动 系统的响应为：
F0 F0 t x 0sinntd k 1cosntB0 mn
x s iaeit x iBeit x B 2eit
(2)振动特性的讨论
①受迫振动的运动规律
x Bsint
②受迫振动的频率
1 2
2 2
B0
sint
2
受迫振动的频率与激振力的频率 ③受迫振动的振幅 1）初始条件的影响： 2）激振力幅 的影响
相同
3）激振力频率 及振动系统固有频率
的影响
图2.23 幅频响应曲线
1
2
cos
nt
1
2
nt
sin
1
2
nt
e
1
cos
2
1
2
nt
B 0
式中 B0 P0 ; k
tg 1 1
1
e nt
1
2
2
; cos
1 t
kk m C imC a k m C
2 2 2 2 2 2 2
3
Ba
k2 C22 a 2 2 2 2 km C
2 12 2 2 1 2 2
mC2 2 2 tg 2 2 2 k km C 12 2 1 2 2 B a 1 2 2 2 2
k m
n
【例2-10】如图2.26所示为一无重刚杆。其一端铰支，距铰支端 处有一质量为 的质点，距 处有一阻尼器，其阻力系数为C, 距 处有一刚度系数为 的弹簧，并作用一简谐激振力 。刚杆在水平位置平衡，试列出系统的振动微分方程，并求振 动系统的固有频率 ，以及当激振力频率 等于 时质点 的振幅。
1cosnt
h t
1
md
ent sindt
1
mn 1 2
t
ent sin 1 2nt
P0 x mn 1
P0 1 e x k P0 1 k
nt
2
e
0
n
t
sin
1 2nt d
B0 p0 36.4
用机械振动试验来获得单自由度振动系统的一些极有价值 的参数。例如振动系统的质量m、弹簧刚度k，阻尼比ξ以及 固有圆频率 等。具体方法如下：
图2.25 幅频响应曲线
计算
b a 2 n
计算系统的弹簧刚度
B F Bn 2 2k
机械系统的质量
F 0 k 2 Bn
B 1 2 q n 2
1 2 B0 q Bn 2 2n
2 2
B B0
B0
2
2 2
4 22
2
3 2
n2
2 28 2 0
共振频率下的振幅为：
Bmax
2
单自由度受迫振动系统的动力学模型如图2.27所示
x s a sin t
运动微分方程式：
m x k x x s
C x x s
m x Cx kx kx s Cx s
设 复数法解 xs ae it x Be it
图2.22 瞬态振动
稳态振动
xBsint
x B 2 sin t
x Bcost
qnsint qsintqcossintqsincost 整理得
2 n 2 n 2 2
B2sint2Bcostn 2Bsintqnsint
l
m
l
c
l
F
k
图2.26 无重刚杆
【解】设刚杆在振动时摆角为 ，由刚体定轴转动微分方程可
建立系统的振动微分方程为
2 0
令
m
，
m
，
ml
sint
b 3F0 F0 20 4c0l 4cl
h
m k
F0 m B lb 4c k
（3）位移干扰引起的受迫振动
C
图2.27 位移干扰的受迫振动系统的动力学模型
n
（2）非简谐的周期性支承运动引起的受迫振动
图2.31 周期性支承运动作用下的有阻尼弹簧-质量系统
n
j
j 1
2 2 2 2
xt
n
j1
1 2
2 2
122
a cosjt b sinjt
2 j j j j
xt
n j1
a j cos jt b j sin jt 2 1 j
x 2 x n 2 x q sin t
通解由两部分组成
xt
x 1t
x 2 t
通解 特解 全解
x Ae t sindt
x2t Bsint
x Aet sindt Bsint
在实际振动时，运动是衰减振动和受迫振动的叠加，形成振 动的暂态过程，这一过程中的振动称为瞬态振动。如图2.22 所示.
2vc 0
l
l0 59.9 7.88m/s 28.4km/h vc 2 2
2.4.2周期激振力引起的受迫振动 (1)非简谐周期激振力引起的受迫振动
Ft Ft jT
图2.30 作用有周期激振力的有阻尼弹簧-质量系统
m x Cx kx Ft
tdt 1
dx ht
dx ht
1 m d
e nt sin dt
（2）任意激振力的响应
系统在时刻
t 0Βιβλιοθήκη 的响应为t 01 t Fe 0 md
nt
sindtd
1 t x 0Fsinntd mn
幅放大因子。
【解】机械振动系统固有频率为：
n
共振频率
共振振幅
kg mg
107 980 15.2 45.4
po
n 15 .2
Bn
q
2
n
2 n
C 2m
m C n
0 36p.4 2.04 1.176 15 .2
振幅放大因子
Bn kBn 107 2 . 04 6
2 0
dx
x0
d
e
t
Fd nt sindt Iht e sindt md
1 m d e nt sin dt
当t 0 当t 0
x 0 x0 x d
2
e t sin
ht
t 0
2
图2.28 位移干扰时的幅频特性曲线
作出如图2.28所示的幅频特性曲线。
①在
处，机械振动系统的振幅均等于支承运动的振幅
。②当 时，振幅 就小于支承运动振幅 ，阻尼大的机械振动系统比阻尼小的机械振动系统的振幅 反要稍大些。降低隔振效果。③当 时，受迫振动的 振幅 逐渐趋向于零。这一特性在研究隔振时是非常有 用的。
2Bqsin 0
B
2 n
B2(n 2 2)2 4 2B22 q2 q
2 2 4 2 2
2 tg n 2 2
p0 B0 2 n K
q
n
c n c0
B
1 2
2 2
B0
2
2 tg 12
2.4.3任意激振力引起的受迫振动 （1）脉冲响应
F F ( )
C F ( )
图2.32 作用有任意激振力的有阻尼的弹簧-质量系统
m x Cx kx F
＝
图2.33任意激振力
x0 0 I P x 0 d m m
x Ae
t
sindt
j 1,2,3,,n
F t
a0
2
a
n j 1
j
cos j t b j sin j t
a0 m x Cx kx 2
a
n j 1
2 2
cos jt b j sin jt j
F0
2
n j1
a j cos jt bj sin jt xt 2 k 1 j1 j
n2
2 2 2 4 2n 2 2 2
q
q
2
n 2 2
Bmax max Bo
1 n 2 2 2 n 2 2 1 2
⑤受迫振动的相位差
图2.24 相频响应曲线
可以利用上述相位差突然出现的反相现象，作为判断出现机 械振动系统共振的一种标志。 【例2-9】 在刚度 =107N/cm的弹簧上悬挂着一个重 =454N的物体。在物体上作用着一个简谐激振力 =36.4N，系统的阻尼系数C=1.176N/cm，试计 ，其力幅 算该机械振动系统的共振频率，共振振幅及共振时的振
C
图2.21单自由度有阻尼受迫振动系统动力学模型
若以静平衡位置O—O为坐标原点，取质量块 的振动位移 为广义坐标，且向下为正，则可按牛顿运动定律直接写出该 振动系统的运动微分方程式为：
（ m x cx kx F0sin t2.56）
2 n
k , m
C , 2m
F0 q m
【例2-12】 一弹簧质量系统受到一个常力 的突然作用，这一个力和时间的关系如图2.34（a）所示。 试求振动系统的响应。
图2.34 作用于弹簧-质量系统上的常力和系统的响应
【解】设振动系统无阻尼，则根据（2.95）式即可算出振动 系统的响应为：
F0 F0 t x 0sinntd k 1cosntB0 mn
x s iaeit x iBeit x B 2eit