2单自由度系统振动2
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1
(2)振动特性的讨论
①受迫振动的运动规律
x Bsint
②受迫振动的频率
1 2
2 2
B0
sint
2
受迫振动的频率与激振力的频率 ③受迫振动的振幅 1）初始条件的影响： 2）激振力幅 的影响
相同
3）激振力频率 及振动系统固有频率
的影响
图2.23 幅频响应曲线
1
2
cos
nt
1
2
nt
sin
1
2
nt
e
1
cos
2
1
2
nt
B 0
式中 B0 P0 ; k
tg 1 1
1
e nt
1
2
2
; cos
1 t
kk m C imC a k m C
2 2 2 2 2 2 2
3
Ba
k2 C22 a 2 2 2 2 km C
2 12 2 2 1 2 2
mC2 2 2 tg 2 2 2 k km C 12 2 1 2 2 B a 1 2 2 2 2
k m
n
【例2-10】如图2.26所示为一无重刚杆。其一端铰支，距铰支端 处有一质量为 的质点，距 处有一阻尼器，其阻力系数为C, 距 处有一刚度系数为 的弹簧，并作用一简谐激振力 。刚杆在水平位置平衡，试列出系统的振动微分方程，并求振 动系统的固有频率 ，以及当激振力频率 等于 时质点 的振幅。
1cosnt
h t
1
md
ent sindt
1
mn 1 2
t
ent sin 1 2nt
P0 x mn 1
P0 1 e x k P0 1 k
nt
2
e
0
n
t
sin
1 2nt d
B0 p0 36.4
用机械振动试验来获得单自由度振动系统的一些极有价值 的参数。例如振动系统的质量m、弹簧刚度k，阻尼比ξ以及 固有圆频率 等。具体方法如下：
图2.25 幅频响应曲线
计算
b a 2 n
计算系统的弹簧刚度
B F Bn 2 2k
机械系统的质量
F 0 k 2 Bn
B 1 2 q n 2
1 2 B0 q Bn 2 2n
2 2
B B0
B0
2
2 2
4 22
2
3 2
n2
2 28 2 0
共振频率下的振幅为：
Bmax
2
单自由度受迫振动系统的动力学模型如图2.27所示
x s a sin t
运动微分方程式：
m x k x x s
C x x s
m x Cx kx kx s Cx s
设 复数法解 xs ae it x Be it
图2.22 瞬态振动
稳态振动
xBsint
x B 2 sin t
x Bcost
qnsint qsintqcossintqsincost 整理得
2 n 2 n 2 2
B2sint2Bcostn 2Bsintqnsint
l
m
l
c
l
F
k
图2.26 无重刚杆
【解】设刚杆在振动时摆角为 ，由刚体定轴转动微分方程可
建立系统的振动微分方程为
2 0
令
m
，
m
，
ml
sint
b 3F0 F0 20 4c0l 4cl
h
m k
F0 m B lb 4c k
（3）位移干扰引起的受迫振动
C
图2.27 位移干扰的受迫振动系统的动力学模型
n
（2）非简谐的周期性支承运动引起的受迫振动
图2.31 周期性支承运动作用下的有阻尼弹簧-质量系统
n
j
j 1
2 2 2 2
xt
n
j1
1 2
2 2
122
a cosjt b sinjt
2 j j j j
xt
n j1
a j cos jt b j sin jt 2 1 j
x 2 x n 2 x q sin t
通解由两部分组成
xt
x 1t
x 2 t
通解 特解 全解
x Ae t sindt
x2t Bsint
x Aet sindt Bsint
在实际振动时，运动是衰减振动和受迫振动的叠加，形成振 动的暂态过程，这一过程中的振动称为瞬态振动。如图2.22 所示.
2vc 0
l
l0 59.9 7.88m/s 28.4km/h vc 2 2
2.4.2周期激振力引起的受迫振动 (1)非简谐周期激振力引起的受迫振动
Ft Ft jT
图2.30 作用有周期激振力的有阻尼弹簧-质量系统
m x Cx kx Ft
tdt 1
dx ht
dx ht
1 m d
e nt sin dt
（2）任意激振力的响应
系统在时刻
t 0Βιβλιοθήκη 的响应为t 01 t Fe 0 md
nt
sindtd
1 t x 0Fsinntd mn
幅放大因子。
【解】机械振动系统固有频率为：
n
共振频率
共振振幅
kg mg
107 980 15.2 45.4
po
n 15 .2
Bn
q
2
n
2 n
C 2m
m C n
0 36p.4 2.04 1.176 15 .2
振幅放大因子
Bn kBn 107 2 . 04 6
2 0
dx
x0
d
e
t
Fd nt sindt Iht e sindt md
1 m d e nt sin dt
当t 0 当t 0
x 0 x0 x d
2
e t sin
ht
t 0
2
图2.28 位移干扰时的幅频特性曲线
作出如图2.28所示的幅频特性曲线。
①在
处，机械振动系统的振幅均等于支承运动的振幅
。②当 时，振幅 就小于支承运动振幅 ，阻尼大的机械振动系统比阻尼小的机械振动系统的振幅 反要稍大些。降低隔振效果。③当 时，受迫振动的 振幅 逐渐趋向于零。这一特性在研究隔振时是非常有 用的。
2Bqsin 0
B
2 n
B2(n 2 2)2 4 2B22 q2 q
2 2 4 2 2
2 tg n 2 2
p0 B0 2 n K
q
n
c n c0
B
1 2
2 2
B0
2
2 tg 12
2.4.3任意激振力引起的受迫振动 （1）脉冲响应
F F ( )
C F ( )
图2.32 作用有任意激振力的有阻尼的弹簧-质量系统
m x Cx kx F
＝
图2.33任意激振力
x0 0 I P x 0 d m m
x Ae
t
sindt
j 1,2,3,,n
F t
a0
2
a
n j 1
j
cos j t b j sin j t
a0 m x Cx kx 2
a
n j 1
2 2
cos jt b j sin jt j
F0
2
n j1
a j cos jt bj sin jt xt 2 k 1 j1 j
n2
2 2 2 4 2n 2 2 2
q
q
2
n 2 2
Bmax max Bo
1 n 2 2 2 n 2 2 1 2
⑤受迫振动的相位差
图2.24 相频响应曲线
可以利用上述相位差突然出现的反相现象，作为判断出现机 械振动系统共振的一种标志。 【例2-9】 在刚度 =107N/cm的弹簧上悬挂着一个重 =454N的物体。在物体上作用着一个简谐激振力 =36.4N，系统的阻尼系数C=1.176N/cm，试计 ，其力幅 算该机械振动系统的共振频率，共振振幅及共振时的振
C
图2.21单自由度有阻尼受迫振动系统动力学模型
若以静平衡位置O—O为坐标原点，取质量块 的振动位移 为广义坐标，且向下为正，则可按牛顿运动定律直接写出该 振动系统的运动微分方程式为：
（ m x cx kx F0sin t2.56）
2 n
k , m
C , 2m
F0 q m
【例2-12】 一弹簧质量系统受到一个常力 的突然作用，这一个力和时间的关系如图2.34（a）所示。 试求振动系统的响应。
图2.34 作用于弹簧-质量系统上的常力和系统的响应
【解】设振动系统无阻尼，则根据（2.95）式即可算出振动 系统的响应为：
F0 F0 t x 0sinntd k 1cosntB0 mn
x s iaeit x iBeit x B 2eit
mB 2eit iCBeit kBeit kaeit icaeit
Be
i
k
ak iC m
2
iC
作用在机械振动系统上的周期激振力，把它们随时间变化的 规律可以归纳为三类： ①简谐激振力；②非简谐周期激振力；③随时间任意变化 的激振力。 对机械振动系统的激振则有两种不同的情况
①位移干扰；②力干扰
2.4.1简谐激振力引起的受迫振动
(1)系统的动力学模型及运动微分方程 单自由度有阻尼受迫振动系统的动力学模型如图2.21所示。
2.4单自由度系统受迫振动
受迫振动即在外界激振力的持续作用下，振动系统被迫产生 的振动。
例如：① 在石油机械加工中切削沿轴向开槽的工件时，刀在每一转中 都要受到沟槽的冲击；周期冲击力就是激振力。② 机床冷加工中，冲 床周期性的冲击力会通过地基传到机床上来。③交流电通过电磁铁产 生交变的电磁力引起振动系统的振动等等.
在
x F0 1cosnt k
阶段
x F0 mn
t1
0
sinnt d F0 k
t1
0
sinnt dnt
k Acosnt
y1 d sin
2 l 2v x d sin t l
y1 d sin t
2v l 5
2 12.5
5
n
k 9.9rad /s m
5 1.59 n 9.9 1 b 0.65 ' 2 2 (1 ) d
b 'd 0.652516.4mm
【例2-11】如图2.29所示为一辆石油载重卡车在波形路面行走 的力学模型。路面的波形可以用公式 表示，其中幅度d=25mm波长 ，弹簧刚度系数为 。卡车的质量为 。忽略阻尼，求卡车以速度
匀速前进时，车体的垂直振幅为多少？卡车的临界速度为多 少？
图2.29石油载重卡车路面行走
【解】因卡车匀速行驶，则行驶位移为 路面波形方程
2 n
图2.35 系统的位移响应与阻尼的关系
【例2-13】 如图2.36（a）所示，一无阻尼弹簧—质量系统 受到的矩形脉冲的作用。这一矩形脉冲可用
表示，试求这一振动系统的响应。
图2.36 作用于弹簧-质量系统上的矩形脉和系统的响应
【解】在
阶段，相当于振动系统在 时受到突加常力 的作用。此时振动系统的响应就是（2.96）式
(2)振动特性的讨论
①受迫振动的运动规律
x Bsint
②受迫振动的频率
1 2
2 2
B0
sint
2
受迫振动的频率与激振力的频率 ③受迫振动的振幅 1）初始条件的影响： 2）激振力幅 的影响
相同
3）激振力频率 及振动系统固有频率
的影响
图2.23 幅频响应曲线
1
2
cos
nt
1
2
nt
sin
1
2
nt
e
1
cos
2
1
2
nt
B 0
式中 B0 P0 ; k
tg 1 1
1
e nt
1
2
2
; cos
1 t
kk m C imC a k m C
2 2 2 2 2 2 2
3
Ba
k2 C22 a 2 2 2 2 km C
2 12 2 2 1 2 2
mC2 2 2 tg 2 2 2 k km C 12 2 1 2 2 B a 1 2 2 2 2
k m
n
【例2-10】如图2.26所示为一无重刚杆。其一端铰支，距铰支端 处有一质量为 的质点，距 处有一阻尼器，其阻力系数为C, 距 处有一刚度系数为 的弹簧，并作用一简谐激振力 。刚杆在水平位置平衡，试列出系统的振动微分方程，并求振 动系统的固有频率 ，以及当激振力频率 等于 时质点 的振幅。
1cosnt
h t
1
md
ent sindt
1
mn 1 2
t
ent sin 1 2nt
P0 x mn 1
P0 1 e x k P0 1 k
nt
2
e
0
n
t
sin
1 2nt d
B0 p0 36.4
用机械振动试验来获得单自由度振动系统的一些极有价值 的参数。例如振动系统的质量m、弹簧刚度k，阻尼比ξ以及 固有圆频率 等。具体方法如下：
图2.25 幅频响应曲线
计算
b a 2 n
计算系统的弹簧刚度
B F Bn 2 2k
机械系统的质量
F 0 k 2 Bn
B 1 2 q n 2
1 2 B0 q Bn 2 2n
2 2
B B0
B0
2
2 2
4 22
2
3 2
n2
2 28 2 0
共振频率下的振幅为：
Bmax
2
单自由度受迫振动系统的动力学模型如图2.27所示
x s a sin t
运动微分方程式：
m x k x x s
C x x s
m x Cx kx kx s Cx s
设 复数法解 xs ae it x Be it
图2.22 瞬态振动
稳态振动
xBsint
x B 2 sin t
x Bcost
qnsint qsintqcossintqsincost 整理得
2 n 2 n 2 2
B2sint2Bcostn 2Bsintqnsint
l
m
l
c
l
F
k
图2.26 无重刚杆
【解】设刚杆在振动时摆角为 ，由刚体定轴转动微分方程可
建立系统的振动微分方程为
2 0
令
m
，
m
，
ml
sint
b 3F0 F0 20 4c0l 4cl
h
m k
F0 m B lb 4c k
（3）位移干扰引起的受迫振动
C
图2.27 位移干扰的受迫振动系统的动力学模型
n
（2）非简谐的周期性支承运动引起的受迫振动
图2.31 周期性支承运动作用下的有阻尼弹簧-质量系统
n
j
j 1
2 2 2 2
xt
n
j1
1 2
2 2
122
a cosjt b sinjt
2 j j j j
xt
n j1
a j cos jt b j sin jt 2 1 j
x 2 x n 2 x q sin t
通解由两部分组成
xt
x 1t
x 2 t
通解 特解 全解
x Ae t sindt
x2t Bsint
x Aet sindt Bsint
在实际振动时，运动是衰减振动和受迫振动的叠加，形成振 动的暂态过程，这一过程中的振动称为瞬态振动。如图2.22 所示.
2vc 0
l
l0 59.9 7.88m/s 28.4km/h vc 2 2
2.4.2周期激振力引起的受迫振动 (1)非简谐周期激振力引起的受迫振动
Ft Ft jT
图2.30 作用有周期激振力的有阻尼弹簧-质量系统
m x Cx kx Ft
tdt 1
dx ht
dx ht
1 m d
e nt sin dt
（2）任意激振力的响应
系统在时刻
t 0Βιβλιοθήκη 的响应为t 01 t Fe 0 md
nt
sindtd
1 t x 0Fsinntd mn
幅放大因子。
【解】机械振动系统固有频率为：
n
共振频率
共振振幅
kg mg
107 980 15.2 45.4
po
n 15 .2
Bn
q
2
n
2 n
C 2m
m C n
0 36p.4 2.04 1.176 15 .2
振幅放大因子
Bn kBn 107 2 . 04 6
2 0
dx
x0
d
e
t
Fd nt sindt Iht e sindt md
1 m d e nt sin dt
当t 0 当t 0
x 0 x0 x d
2
e t sin
ht
t 0
2
图2.28 位移干扰时的幅频特性曲线
作出如图2.28所示的幅频特性曲线。
①在
处，机械振动系统的振幅均等于支承运动的振幅
。②当 时，振幅 就小于支承运动振幅 ，阻尼大的机械振动系统比阻尼小的机械振动系统的振幅 反要稍大些。降低隔振效果。③当 时，受迫振动的 振幅 逐渐趋向于零。这一特性在研究隔振时是非常有 用的。
2Bqsin 0
B
2 n
B2(n 2 2)2 4 2B22 q2 q
2 2 4 2 2
2 tg n 2 2
p0 B0 2 n K
q
n
c n c0
B
1 2
2 2
B0
2
2 tg 12
2.4.3任意激振力引起的受迫振动 （1）脉冲响应
F F ( )
C F ( )
图2.32 作用有任意激振力的有阻尼的弹簧-质量系统
m x Cx kx F
＝
图2.33任意激振力
x0 0 I P x 0 d m m
x Ae
t
sindt
j 1,2,3,,n
F t
a0
2
a
n j 1
j
cos j t b j sin j t
a0 m x Cx kx 2
a
n j 1
2 2
cos jt b j sin jt j
F0
2
n j1
a j cos jt bj sin jt xt 2 k 1 j1 j
n2
2 2 2 4 2n 2 2 2
q
q
2
n 2 2
Bmax max Bo
1 n 2 2 2 n 2 2 1 2
⑤受迫振动的相位差
图2.24 相频响应曲线
可以利用上述相位差突然出现的反相现象，作为判断出现机 械振动系统共振的一种标志。 【例2-9】 在刚度 =107N/cm的弹簧上悬挂着一个重 =454N的物体。在物体上作用着一个简谐激振力 =36.4N，系统的阻尼系数C=1.176N/cm，试计 ，其力幅 算该机械振动系统的共振频率，共振振幅及共振时的振
C
图2.21单自由度有阻尼受迫振动系统动力学模型
若以静平衡位置O—O为坐标原点，取质量块 的振动位移 为广义坐标，且向下为正，则可按牛顿运动定律直接写出该 振动系统的运动微分方程式为：
（ m x cx kx F0sin t2.56）
2 n
k , m
C , 2m
F0 q m
【例2-12】 一弹簧质量系统受到一个常力 的突然作用，这一个力和时间的关系如图2.34（a）所示。 试求振动系统的响应。
图2.34 作用于弹簧-质量系统上的常力和系统的响应
【解】设振动系统无阻尼，则根据（2.95）式即可算出振动 系统的响应为：
F0 F0 t x 0sinntd k 1cosntB0 mn
x s iaeit x iBeit x B 2eit
mB 2eit iCBeit kBeit kaeit icaeit
Be
i
k
ak iC m
2
iC
作用在机械振动系统上的周期激振力，把它们随时间变化的 规律可以归纳为三类： ①简谐激振力；②非简谐周期激振力；③随时间任意变化 的激振力。 对机械振动系统的激振则有两种不同的情况
①位移干扰；②力干扰
2.4.1简谐激振力引起的受迫振动
(1)系统的动力学模型及运动微分方程 单自由度有阻尼受迫振动系统的动力学模型如图2.21所示。
2.4单自由度系统受迫振动
受迫振动即在外界激振力的持续作用下，振动系统被迫产生 的振动。
例如：① 在石油机械加工中切削沿轴向开槽的工件时，刀在每一转中 都要受到沟槽的冲击；周期冲击力就是激振力。② 机床冷加工中，冲 床周期性的冲击力会通过地基传到机床上来。③交流电通过电磁铁产 生交变的电磁力引起振动系统的振动等等.
在
x F0 1cosnt k
阶段
x F0 mn
t1
0
sinnt d F0 k
t1
0
sinnt dnt
k Acosnt
y1 d sin
2 l 2v x d sin t l
y1 d sin t
2v l 5
2 12.5
5
n
k 9.9rad /s m
5 1.59 n 9.9 1 b 0.65 ' 2 2 (1 ) d
b 'd 0.652516.4mm
【例2-11】如图2.29所示为一辆石油载重卡车在波形路面行走 的力学模型。路面的波形可以用公式 表示，其中幅度d=25mm波长 ，弹簧刚度系数为 。卡车的质量为 。忽略阻尼，求卡车以速度
匀速前进时，车体的垂直振幅为多少？卡车的临界速度为多 少？
图2.29石油载重卡车路面行走
【解】因卡车匀速行驶，则行驶位移为 路面波形方程
2 n
图2.35 系统的位移响应与阻尼的关系
【例2-13】 如图2.36（a）所示，一无阻尼弹簧—质量系统 受到的矩形脉冲的作用。这一矩形脉冲可用
表示，试求这一振动系统的响应。
图2.36 作用于弹簧-质量系统上的矩形脉和系统的响应
【解】在
阶段，相当于振动系统在 时受到突加常力 的作用。此时振动系统的响应就是（2.96）式