全国初中数学竞赛辅导第四十三讲《面积问题与面积方法》北师大版

合集下载

八年级竞赛辅导之图形的面积

八年级数学竞赛辅导之面积问题平面几何学的产生起源于人们对土地面积的测量，面积是平面几何中一个重要的概念，联系着几何图形中的重要元素边与角．计算图形的面积是几何问题中一种常见问题，求面积的基本方法有： 1．直接法：根据面积公式和性质直接进行运算．2．割补法：通过分割或补形，把不规则图形或不易求解的问题转化为规则图形或易于求解的问题． 3．等积法：根据面积的等积性质进行转化求解，常见的有同底等高、同高等底和全等的等积转化．4．等比法：将面积比转化为对应线段的比．熟悉以下基本图形中常见的面积关系：注等积定理：等底等高的两个三角形面积相等．等比定理：同底(或等底)的两个三角形面积之比等于对应高之比，同高(或等高)的两个三角形面积之比等于对应底之比．1．如图，是一个圆形花坛，中间的鲜花构成了一个菱形图案(图中尺寸单位为米)，如果每平方米种植鲜花20株，那么这个菱形图案中共有鲜花株． 2．直角三角形斜边上中线长为1，周长为.3．如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝135°，∠B =∠D =90°，BC =23，AD =2，则四边形ABCD 的面积为( )A ．42B ．43C ．4D ．6 (2001年湖北省荆州市中考题) 4．ABCD 是边长为1的正方形，△BPC 是等边三角形，则厶BPD 的面积为( )A ．41B ．413-C ．81D ．8132- (2001年武汉市选拔赛题)5．有一块缺角矩形地皮ABCDE (如图)，其中AB ＝110m ，BC =80m ，CD =90m ，∠EDC =135°．现准备用此块地建一座地基为长方形(图中用阴影部分表示)的教学大楼，以下四个方案中，地基面积最大的是( ) 6．今有一块正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路将这块土地分成形状相同且面积相等的4部分．若道路的宽度可忽略不计，请设计4种不同的修筑方案．7．如图，已知梯形ABCD 的面积为34cm 2，AE =BF ，CE 与DF 相交于O ，△OCD 的面积为11cm 2，求蝶形(阴影部分)的面积．8．探究规律：如图a ，已知：直线m ∥ n ，A 、B 为直线n 上两点，C 、P 为直线m 上两点． (1)请写出图a 中，面积相等的各对三角形；(2)如果A 、B 、C 为三个定点，点P 在m 上移动，那么，无论P 点移动到任何位置，总有与△ABC 的面积相等．理由是：．解决问题：如图b ，五边形ABCDE 是张大爷十年前承包的一块土地的示意图．经过多年开垦荒地，现已变成如图c 所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路(即图c 中折线CDE )还保留着．张大爷想过正点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多．请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案．(不计分界小路与直路的占地面积) (1)写出设计方案，并在图c 中画出相应的图形； (2)说明方案设计理由． (2003年河北省中考题)9．如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1、3、5，则这个等边三角形的边长为． (全国初中数学联赛试题)10．如图，E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连结AF 、CE ，设AF 与CE 的交点为G ，则AB C D A G C D S S 矩形四边形等于( ) A ．65 B ．54 C ．43 D ．32第9题图第10题图11．已知菱形ABCD 的两条对角线AC 、BD 的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是( ) A ．165° D ．135° C ． 150° D ．120° (“希望杯”邀请赛试题)12．如图，设凸四边形ABCD 的一组对边AB 、CD 的中点分别为K 、M ，求证：S 四边形ABCD =S △ABM +S △DCK ．13.如图，设G (也称重心)为△ABC 三条中线AD 、BE 、CF 的交点，则2===GFCGGE BG GD AG ，请读者证明．（14题图）14. 如图，在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ，BD ＝4，CE =6，那么△ABC 的面积等于( )A ．12B ．14C ．16D ．18(全国初中数学联赛试题) 15. 如图甲，AB 、CD 是两条线段，M 是AB 的中点，S △DMC 、S △DAC 、S △DBC 分别表示△DMC 、△DAC 、△DBC的面积，当AB ∥CD 时，有S △DMC =2DBCDAC S S ∆∆+·(1)如图乙，若图甲中AB 不平行CD ，①式是否成立?请说明理由；(2)如图丙，若图甲中A 月与CD 相交于点O 时，问S △DMC 和S △DAC 和S △DBC 有何种相等关系?试证明你的结论． (2001年安徽省中考题)16．已知凸四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且△ABC ，△ACD ，△ABD 的面积分别为S 1=5，S 2=10，S 3=6．求△ABO 的面积17．如图2-129，AD ，BE ，CF 交于△ABC 内的一点P ，并将△ABC 分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图中给出．求△ABC 的面积．18.如图1，在直角坐标系中，点A是x 轴正半轴上的一个定点，点B 是双曲线y =（0x >）上的一个动点，当点B 的横坐标逐渐增大时，△OAB 的面积将会（ A ．逐渐增大 B ．不变 C ．逐渐减小 D ．先增大后减小19．(2009·牡丹江)如图2，点A 、B 是双曲线3y x=上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若1S =阴影，则12S S += ． 20.（2009莆田）在x 轴的正半轴上依次截取112233445OA A A A A A A A A ====，过点12345A A A A A 、、、、分别作x 轴的垂线与反比例函数()20y x x=≠的图象相交于点12345P P P P P 、、、、，得直角三角形1112233344455OP A A P A A P A A P A A P A 2、、、、，并设其面积分别为12345S S S S S 、、、、，则5S 的值为． 21．在直角三角形ABC 中，∠A =90°，AD ，AE 分别是高和角平分线，且△ABE ，△AED 的面积分别为S 1=30，S 2=6，求△ADC 的面积S ．22．如图，△ABC 的面积为1，分别延长AB 、BC 、CA 到D 、E 、F ，使AB =BD ，BC =CE ，CA =AF ，连DE 、EF 、FD ，求△DEF 的面积。

北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程2 利用一元二次方程解决面积问题

≈ . , = −
答:扇形半径约为5.5 m)
=
×
,即

(舍去),

² =96.
自主探究（10min）
③你还有其他设计方案吗? 与同伴交流.
2.在几何图形的面积问题中，建立等量关系的关键是什么?
如果图形不规则，又该怎样列出方程?
（在几何图形的面积问题中，面积公式往往就是建立
效模型，培养在生活中发现问题、解决问题的能力.
【旧知回顾】
1.怎样用公式法解一元二次方程?
①将方程化为一般形式：:ax²+bx+c=0;(②确
定a,b,c的值代入求根公式即可
2.根的判别式是什么? 它有什么作用?
b²-4ac,判断方程的根的情况
某小区规划在一个长 30 m、宽 20 m的长方形土地上修建三条等宽
的通道，使其中两条与 AB 平行，另外一条与 AD 平行，其余部分
种花草，要使每一块花草的面积都为 78 m2，那么通道宽应该设计
为多少？
若两个连续偶数
的积是48，求这
两个数.
两个连续奇数的积是63，这两个数是什么？
在一块长16 m，宽12 m的矩形荒地上，要建造一个花园，
并使花园所占面积为荒地面积的一半.
整理得x²-25x+100=0,解得x₁=5,x₂=20.
当x=20时,100-4x=20<25,
当x=5时,100-4x=80>25,不合题意,舍去.
答:羊圈的边长 AB和BC 分别是20 m,20 m.
典例精讲
【题型】几何面积问题
例 1：某单位要兴建一个矩形的活动区(图中阴影部分)，根据规
划，活动区的长和宽分别为21 m 和12 m，同时要在它四周外围修

北师大版-数学-九年级上册-怎样用一元二次方程解决面积问题

怎样用一元二次方程解决面积问题？
答案：
列一元二次方程可解决几何体面积有关的应用题，注意舍根，面积问题还要画图分析。

【举一反三】
典例：要剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，•这块铁片应该怎样剪？
设长为xcm，则宽为（x-5）cm
列方程x（x-5）=150，即x2-5x-150=0
请根据列方程回答以下问题：
（1）x可能小于5吗？可能等于10吗？说说你的理由．
（2）完成下表：
（3
思路导引：一般来说，x2-5x-150=0的形式不能用平方根的意义和整式中的分解因式的方法去求根，•但是我们可以用一种新的方法──“夹逼”方法求出该方程的根．（1）x不可能小于5．理由：如果x<5，则宽（x-5）<0，不合题意．x不可能等于10．理由：如果x=10，则面积x2-5x-150=-100，也不可能．
（2）
（3
标准答案：（1）x不可能小于5．理由：如果x<5，则宽（x-5）<0，不合题意．x不可能等于10．理由：如果x=10，则面积x2-5x-150=-100，也不可能。

（2）
（3）铁片长x=15cm。

北师版数学九年级上册反比例函数中五类面积问题解法探析

北师版数学九年级反比率函数中五类面积问题解法探析反比率函数图像常常与图形的面积携手，成为典型的命题。

下边就向同学们介绍与反比率函数图像相关的五类面积问题，供学习时参照。

一面积大小比较例 1已知：如图 1 所示， A ，C 是函数 y= 1图像上的随意两点，过点 A 作 y 轴的垂线，x垂足为点 B ，过点 C 作 y 轴的垂线，垂足为点 D ，记 Rt △ AOB 的面积为 S 1 ，Rt △ COD 的面积为 S 2 ，则（）A S 1 ＜ S 2BS 1 ＞ S 2 C S 1 ＝ S 2DS 1 与 S 2 大小关系不可以确立剖析：解题的基本思路是：（1）用线段思想表示两个三角形的面积S 1 ＝1×AB × OB ， S 2 =1× CD ×OD ；22（2）用点的坐标思想表示线段设点 A 的坐标为（ a ，b ），由于点 A 在第一象限，所以 a ＞ 0，b ＞ 0，所以线段 AB=a ，线段 OB=b 。

设点 C 的坐标为（ m ，n ），由于点 A 在第三象限，所以 m ＜ 0，n ＜ 0，所以线段 CD=- m ，线段 OD=-n 。

（3）用点的坐标表示三角形的面积S 1 ＝ 1ab ， S 2 = 1 ×（ - m ）×（ -n ） = 1mn 。

2 2 2（4）用反比率函数的k 表示三角形的面积由于点 A 的坐标为（ a ， b ），点 C 的坐标为（ m ， n ），是函数 y=1图像上的随意两点，x所以 ab=1， mn=1，所以 S 1 ＝1， S 2 = 1 。

2 2（5）作出选择正确的答案是 C 。

解：选 C 。

二求三角形的面积例2如图2， A、 B 是函数y=2 的图象上对于原点对称的随意两点，BC ∥ x轴， AC ∥xy 轴，△ABC的面积记为S，则（） A ．S=2 B ． S=4 C．2＜ S＜4 D.S＞ 4剖析：解题的基本思路是：（1）用线段思想表示两个三角形的面积S＝1 ×AC×BC；2（2）用点的坐标思想表示线段设点 A 的坐标为（ a， b），由于点 A 在第一象限，所以a＞ 0， b＞ 0，所以线段OD=a，线段AD=b 。

全国初中数学竞赛辅导第四十四讲《几何不等式》北师大版

第四十四讲几何不等式平面图形中所含的线段长度、角的大小及图形的面积在很多情况下会体现不等的关系．因为这些不等关系出此刻几何问题中，故称之为几何不等式．在解决这种问题时，我们常常要用到一些教科书中已学过的基本定理，本讲的主要目的是希望大家正确运用这些基本定理，经过几何、三角、代数等解题方法去解决几何不等式问题．这些问题难度较大，在解题中除了运用不等式的性质和已经证明过的不等式外，还需考虑几何图形的特色和性质．几何不等式就其形式来说不外乎分为线段不等式、角不等式以及面积不等式三类，在解题中不单要用到一些相关的几何不等式的基本定理，还需用到一些图形的面积公式．下边先给出几个基本定理．定理 1 在三角形中，任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边．定理 2 同一个三角形中，大边对大角，小边对小角，反之亦然．定理 3 在两边对应相等的两个三角形中，第三边大的，所对的角也大，反之亦然．定理 4 三角形内任一点到两极点距离之和，小于另一极点到这两极点距离之和．定理 5 自直线 l 外一点 P 引直线 l 的斜线，射影较长的斜线也较长，反之，斜线长的射影也较长．说明如图 2-135 所示．PA，PB 是斜线， HA和 HB分别是 PA和 PB在 l 上的射影，若 HA＞ HB，则 PA＞PB；若 PA＞ PB，则 HA＞ HB．事实上，由勾股定理知PA2-HA2=PH2=PB2-HB2，因此2222PA-PB =HA-HB ．进而定理简单得证．定理 6 在△ ABC中，点 P 是边 BC上随意一点，则有PA≤ max｛AB， AC｝，当点 P 为 A 或 B时等号建立．说明 max｛ AB， AC｝表示 AB， AC中的较大者，如图 2-136 所示，若 P 在线段BH上，则因为 PH≤BH，由上边的定理 5 知 PA≤ BA，进而PA≤ max｛AB， AC｝．同理，若 P 在线段 HC上，相同有PA≤ max｛ AB， AC｝．例 1 在锐角三角形 ABC中， AB＞ AC， AM为中线， P 为△ AMC内一点，证明： PB ＞PC(图 2-137) ．证在△ AMB与△ AMC中， AM是公共边， BM=MC，且 AB＞ AC，由定理 3 知，∠AMB ＞∠ AMC，因此∠ AMC＜ 90°．过点 P 作 PH⊥ BC，垂足为 H，则 H 必然在线段 BM的延伸线上．假如 H在线段MC内部，则BH＞ BM=MC＞ HC．假如 H 在线段 MC的延伸线上，明显BH＞ HC，因此 PB＞ PC．例 2 已知 P 是△ ABC内随意一点 ( 图 2-138) ．(1)求证：＜a＋b＋ c；(2)若△ ABC为正三角形，且边长为 1，求证：PA+PB＋ PC＜ 2．证 (1) 由三角形两边之和大于第三边得PA＋ PB＞ c，PB＋ PC＞a， PC＋PA＞ b．把这三个不等式相加，再两边除以2，便得又由定理 4 可知PA＋ PB＜ a＋ b， PB＋ PC＜ b＋ c，PC+PA＜ c＋ a．把它们相加，再除以2，便得PA＋ PB＋ PC＜ a＋ b＋c．因此(2) 过 P 作 DE∥BC交正三角形ABC的边 AB， AC于 D，E，如图 2-138 所示．于是PA＜ max｛ AD， AE｝＝ AD，PB＜ BD＋ DP， PC＜ PE＋ EC，因此PA＋ PB＋ PC＜ AD＋ BD＋ DP＋ PE＋ EC=AB＋ AE＋ EC=2．例 3 如图 2-139 ．在线段 BC同侧作两个三角形 ABC和 DBC，使得 AB=AC， DB＞DC，且 AB＋ AC=DB＋DC．若 AC与 BD订交于 E，求证： AE＞DE．证在 DB上取点 F，使 DF=AC，并连结AF 和 AD．由已知2DB＞DB+DC=AB+AC=2AC，因此 DB＞ AC．因为 DB＋ DC=AB＋ AC=2AC，因此DC＋ BF=AC=AB．在△ ABF中，AF＞ AB-BF=DC．在△ ADC和△ ADF中，AD=AD， AC=DF， AF＞CD．由定理 3，∠ 1＞∠ 2，因此AE＞ DE．例 4 设 G是正方形ABCD的边 DC上一点，连结AG并延伸交BC延伸线于K，求证：剖析在不等式两边的线段数不一样的状况下，一般是想法结构其所为边的三角形．证如图 2-140 ，在 GK上取一点M，使 GM=MK，则在 Rt△ GCK中， CM是 GK边上的中线，因此∠GCM=∠ MGC．而∠ ACG=45°，∠ MGC＞∠ ACG，于是∠MGC＞ 45°，因此∠ACM=∠ ACG＋∠ GCM＞ 90°．因为在△ ACM中∠ ACM＞∠ AMC，因此 AM＞AC．故例 5 如图 2-141 ．设 BC是△ ABC的最长边，在此三角形内部任选一点O， AO，BO， CO分别交对边于A′， B′， C′．证明：(1)OA′＋ OB′＋ OC′＜ BC；(2)OA′＋ OB′+OC′≤ max｛ AA′， BB′， CC′｝．证 (1) 过点 O作 OX， OY分别平行于边 AB，AC，交边 BC于 X，Y 点，再过 X， Y 分别作 XS， YT 平行于 CC′和 BB′交 AB， AC于 S， T．因为△ OXY∽△ ABC，因此XY 是△ OXY的最大边，因此OA′＜ max｛ OX， OY｝≤ XY．又△ BXS∽△ BCC′，而 BC是△ BCC′中的最大边，进而 BX 也是△ BXS中的最大边，并且 SXOC′是平行四边形，因此BX＞ XS=OC′．同理CY＞ OB′．因此OA′＋ OB′＋ OC′＜ XY＋BX＋ CY=BC．因此OA′＋ OB′ +OC′ =x·AA′ +y· BB′＋ z· CC′≤(x+y+z)max ｛AA′， BB′， CC′｝=max｛ AA′， BB′， CC′｝下边我们举几个与角相关的不等式问题．例 6 在△ ABC中，D 是中线 AM上一点，若∠ DCB＞∠ DBC，求证：∠ ACB＞∠ ABC(图2-142) ．证在△ BCD中，因为∠ DCB＞∠ DBC，因此 BD＞ CD．在△ DMB与△ DMC中， DM为公共边， BM=MC，并且 BD＞ CD，由定理 3 知，∠DMB ＞∠ DMC．在△ AMB与△ AMC中， AM是公共边， BM=MC，且∠ AMB＞∠ AMC，由定理 3 知， AB＞ AC，因此∠ACB＞∠ ABC．说明在证明角的不等式时，常常把角的不等式变换成边的不等式．证因为 AC＞ AB，因此∠ B＞∠ C．作∠ ABD=∠ C，如图2即证 BD∠ CD．因为△ BAD∽△ CAB，即 BC＞ 2BD．又 CD＞ BC-BD，因此BC＋ CD＞2BD＋ BC-BD，因此 CD＞ BD．进而命题得证．例 8 在锐角△ ABC中，最大的高线AH等于中线BM，求证：∠ B＜ 60° ( 图 2-144) ．证作 MH1⊥ BC于 H1，因为 M是中点，因此于是在 Rt △ MH1B 中，∠MBH1=30°．延伸 BM至 N，使得 MN=BM，则 ABCN为平行四边形．因为AH为最ABC 中的最短边，因此AN=BC＜ AB，进而∠ABN＜∠ ANB=∠ MBC=30°，∠B=∠ ABM+∠ MBC＜ 60°．下边是一个特别有名的问题——费马点问题．例 9 如图 2-145 ．设 O为△ ABC内一点，且∠AOB=∠ BOC=∠ COA=120°，P 为随意一点 ( 不是 O)．求证：PA＋ PB+PC＞ OA+OB+OC．证过△ ABC的极点 A， B， C 分别引 OA， OB，OC的垂线，设这三条垂线的交点为 A1， B1， C1( 如图 2-145) ，考虑四边形 AOBC1．因为∠OAC1=∠ OBC1=90°，∠ AOB=120°，因此∠ C1=60°．同理，∠ A1=∠ B1=60°．因此△ A1B1C1为正三角形．设 P 到△ A1B1C1三边 B1C1， C1A1， A1B1的距离分别为 ha， hb，hc，且△ A1B1C1的边长为 a，高为 h．由等式S△ A1B1C1=S△PB1C1+S△ PC1A1＋S△ PA1B1知因此 h=h a＋ h b＋ h c．这说明正△ A1B1C1内任一点 P到三边的距离和等于△A1B1C1的高 h，这是一个定值，因此OA＋ OB＋OC=h=定值．明显， PA＋ PB＋ PC＞ P 到△ A1B1C1三边距离和，因此PA＋PB＋ PC＞h=OA＋ OB＋ OC．这就是我们所要证的结论．由这个结论可知 O点拥有以下性质：它到三角形三个极点的距离和小于其余点到三角形极点的距离和，这个点叫费马点．练习二十三1．设 D 是△ ABC中边 BC上一点，求证：AD不大于△ ABC中的最大边．2． AM是△ ABC的中线，求证：3．已知△ ABC的边 BC上有两点D， E，且 BD=CE，求证： AB＋AC＞ AD＋ AE．4．设△ ABC中，∠ C＞∠ B，BD，CE分别为∠ B与∠ C 的均分线，求证：BD＞CE．5．在△ ABC中， BE和 CF是高， AB＞ AC，求证：AB+CF≥ AC＋ BE．6．在△ ABC中， AB＞ AC， AD为高， P 为 AD上的随意一点，求证：PB-PC＞ AB-AC．7．在等腰△ ABC中， AB=AC．(1)若 M是 BC的中点，过 M任作向来线交 AB， AC(或其延伸线 ) 于 D， E，求证：2AB＜ AD+AE．(2) 若 P 是△ ABC内一点，且PB＜ PC，求证：∠ APB＞∠ APC．。

初中数学竞赛专题选讲-面积法

初中数学竞赛专题选讲面积法一、内容提要1. 因为面积公式是用线段的代数式表示的，所以面积与线段可以互相转换。

运用面积公式及有关面积性质定理解答几何题是常用的方法，简称面积法。

2. 面积公式（略）3. 两个三角形的面积比定理① 等高（底）的两个三角形的面积比，等于它们对应的底（高）的比 ② 有一个角相等或互补的两个三角形面积的比等于夹这个角两边的乘积的比③ 相似三角形面积的比等于它们的相似比的平方④ 有公共边的两个三角形面积的比等于它们的第三顶点连线被公共边分成的两条线段的比（内分比或外分比）。

如图△ABC 和△ADC 有公共边第三顶点连线BD 被公共边AC内分或外分于点M ，则MDBM S ADC ABC ＝△△S外分定理④是以公共边为底，面积的比等于它们的对应高的比换成对应线段的比二、例题例1. 求证有一个30度角的菱形，边长是两条对角线的比例中项已知：菱形ABCD 中， ∠DAC ＝求证：AB 2＝AC ×BD证明：作高DE ，∵∠DAE ＝30∴DE ＝21AD ＝21AB S 菱形ABCD ＝AB ×DE ＝21AB 2S 菱形ABCD ＝AC ×BD ， ∴AB 2＝AC ×BDDC B C A C例2. 求证：等边三角形内任一点到各边的距离的和是一个定值已知：△ABC 中，AB ＝BC ＝AC ，D 是形内任一点，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，DG ⊥AB ，E ，F ，G 是垂足求证：DE ＋DF ＋DG 是一个定值证明：连结DA ，DB ，DC ，设边长为a,S △ABC ＝S △DBC ＋S △DCA ＋S △DAB21ah a ＝21a （DE ＋DF ＋DG ） ∴DE ＋DF ＋DG ＝h a∵等边三角形的高h a 是一个定值， ∴DE ＋DF ＋DG 是一个定值本题可推广到任意正n 边形,其定值是边心距的n 倍例3. 已知：△ABC 中，31===CA CF BC BE AB AD 求：ABCDEF S △△S 的值解：∵△ADF 和△ABC 有公共角A∴ABC ADF S △△S ＝AC AB AF AD ⋅⋅＝AC AB AC 32AB 31⋅⋅＝92，同理92S ABC BED ＝△△S ， ABC CFE S S △△＝92， ∴ABC DEF S △△S ＝31 （本题可推广到：当m AB AD 1=，n BC BE 1=，=CA CF p 1时， ABCDEF S △△S ＝mnp np mp mn p n m mnp ---+++）例4. 如图Rt △ABC 被斜边上的高CD 和直角平分线CE 分成3个三角形，已知其中两个面积的值标在图中，求第三个三角形的面积x 。

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答含答案共30讲改好278页

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答含答案共30讲改好278页初中奥数辅导讲义培优计划（星空课堂）第一讲走进追问求根公式第二讲判别式——二次方程根的检测器第三讲充满活力的韦达定理第四讲明快简捷—构造方程的妙用第五讲一元二次方程的整数整数解第六讲转化—可化为一元二次方程的方程第七讲化归—解方程组的基本思想第八讲由常量数学到变量数学第九讲坐标平面上的直线第十讲抛物线第十一讲双曲线第十二讲方程与函数第十三讲怎样求最值第十四讲图表信息问题第十五讲统计的思想方法第十六讲锐角三角函数第十七讲解直角三角形第十八讲圆的基本性质第十九讲转化灵活的圆中角2第二十讲直线与圆第二十一讲从三角形的内切圆谈起第二十二讲园幂定理第二十三讲圆与圆第二十四讲几何的定值与最值第二十五讲辅助圆第二十六讲开放性问题评说第二十七讲动态几何问题透视第二十八讲避免漏解的奥秘第二十九讲由正难则反切入第三十讲从创新构造入手3第一讲走进追问求根公式形如a某2b某c0（a0）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。

而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。

求根公式某1,2bb24ac内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了2a一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。

降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。

解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。

【例题求解】【例1】满足(n2n1)n21的整数n有个。

思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。

【例2】设某1、某2是二次方程某2某30的两个根，那么某134某2219的值等于（）A、一4B、8C、6D、0思路点拨：求出某1、某2的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如某123某1，某223某2。

北师大版九年级上册数学第2课时利用一元二次方程解决面积问题第2课时利用一元二次方程解决面积问题

第2课时利用一元二次方程解决面积问题教学目标1、体会通过建立方程解决实际问题的意义和方法2、会运用方程解决问题的关键是寻找等量关系，提高分析问题、解决问题的能力知识准备无盖的长方体是如何制作的？教学内容：一、情境创设一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四角各截去一个正方形，制成高是5㎝，容积是500㎝3的无盖长方体容器。

求这块铁皮的长和宽。

二、探索活动如何设未知数？如何找出表达实际问题的相等关系？这个问题中的相等关系是什么？一般情况下，应设要求的未知量为未知数；应从题中寻找未知数所表示的未知量与已知量之间的等量关系；这个问题的等量关系是“长×宽×高=容积”与“长=宽×2”。

三、典型例题例1、一块正方形铁皮的四个角各剪去一个边长为4㎝的小正方形，做成一个无盖的盒子。

已知盒子的容积是400㎝，求原铁皮的边长。

四．知识梳理谈谈用一元二次方程解决例1实际问题的方法。

五、目标检测设计1．如图，宽为50cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，则每个小长方形的面积为（）．【设计意图】发现几何图形中隐蔽的相等关系．2．镇江)学校为了美化校园环境，在一块长40米、宽20米的长方形空地上计划新建一块长9米、宽7米的长方形花圃．（1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案．（2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加2平方米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由．【设计意图】考查学生的审题能力及用一元二次方程模型解决简单的图形面积问题．。

北师大版九年级上册反比例函数——反比例函数中的面积问题精品课件PPT

y
CA
北师大版九年级上册第六章反比例函数—— 反比例函数中的面积问题
OB x
北师大版九年级上册第六章反比例函数—— 反比例函数中的面积问题
例题3
双曲线 y1
4 x
和y2在第一象限的图像如图，过
y1上的任意一点A作x轴的平行线交y2于B
，交y 6
轴于C，若S△AOB=1，则y2的解析式是__y_=__x__．
形OABC的面积是 2 .
北师大版九年级上册第六章反比例函数—— 反比例函数中的面积问题
D
北师大版九年级上册第六章反比例函数—— 反比例函数中的面积问题
例题2 由图形的面积求解析式分类讨论
点P是反比例函数图象上的一点,且PD⊥x轴于
D.如果△POD面积为3，则这个反比例函数的
解析式为____y_=___6x_或__y__=_-__6x_.
北师大版九年级上册第六章反比例函数—— 反比例函数中的面积问题
B
北师大版九年级上册第六章反比例函数—— 反比例函数中的面积问题
当堂检测
变式2：如图，已知反比例函数
12
y= x
的图象与
一次函数y= kx+4的图象相交于P、Q两点，且P点
的纵坐标是6.
y
（1）求这个一次函数的解析式
（2）求△POQ的y 面积
•
4、让学生有个整体感知的过程。虽然这节课只教学做好事的部分，但是在研读之前我让学生找出风娃娃做的事情，进行板书，区分好事和坏事，这样让学生能了解课文大概的资料。
•
5、人们都期望自我的生活中能够多一些快乐和顺利，少一些痛苦和挫折。可是命运却似乎总给人以更多的失落、痛苦和挫折。我就经历过许多大大小小的挫折。

北师大版-数学-九年级上册-拓展资源-反比例函数图象中的面积问题

反比例函数图象中的面积问题反比例函数()0≠=k x k y 图像是双曲线，我们会经常遇到与之有关的面积问题，现对这部分内容进行拓展。

如图(1)，P 为双曲线()0≠=
k x
k y 上任一点，PM ⊥x 轴, PN ⊥y 轴,设p(x,y),则PM=∣y ∣,PN=∣x ∣，
∴S 矩形PMPN =∣x ∣·∣y ∣=∣xy ∣=∣k ∣（定值）
与之有关的变式图形有：
1、如图(2),S △PMO =21S 矩形PMON = 2
1│k│ 2、如图(3),由对称性可知PO=QO
∴S △PMO = S △OMQ ,
S △PMQ =2S △PMO =2×2
1│k│=│k│ S □PMQR =4S ⊿PMO =4×2
1│k│=2│k│ 对以上这些基本图形的透彻理解，对我们的解决具体题目带来很大方便。

例（1）：如图(4)，P,Q 是双曲线上第二象限内的任意两点，PM ⊥x 轴于M,QN ⊥y 轴于N ，试比较梯形PMNQ 与⊿PQO 面积的大小。

分析：S △PMO =S △QNO
S △PMO —S △NOR = S △QNO —S △NOR
即S PMNR =S △QRO
∴S PMNR ﹢S △PRQ = S △QRO ﹢S △PRQ
∴S 梯形PMNQ =S ⊿PQO
另外，面积S 与()0≠=k x
k y 中的k 是可互求，即已知k 求S ，已知S 求k 。

不过应特别注意根据图像所在的象限确定k 的符号。

中考北师大版中考数学专题复习：坐标系中的面积问题

学生做题前请先回答以下问题问题1：坐标系中处理面积问题的思路有哪些？问题2：具有什么样特征的三角形在表达面积时会使用铅垂法？问题3：铅垂法的具体做法是什么？问题4：如何利用铅垂法表达三角形的面积？问题5：结合下面图形，说明的推导过程问题6：对于坐标系中的面积问题，什么情况下会使用平行线转化法？问题7：平行线转化法的理论依据是什么？问题8：几何最值问题的理论依据是什么？答：（已知两个定点）两点之间，___________；（已知一个定点、一条定直线）___________最短；（已知两边长固定或其和、差固定）三角形___________；过圆内一点，最长的弦为___________，最短的弦为___________．问题9：几何最值问题的转化原则是什么？答：尽量减少________，向________、________、________靠拢．问题10：轴对称最值模型，怎么操作？答：先分析定点动点，再作________关于________的对称点，利用________求解．问题11：天桥模型操作要点是什么？答：先分析定点动点，再________，转化为________处理．坐标系中的面积问题一、单选题(共5道，每道20分)1.如图,抛物线与x轴交于两点.设抛物线交y轴于C点,点P是直线BC下方的抛物线上一点(不与B,C两点重合),设点P的横坐标为m,△PBC的面积为S,则S 关于m的函数关系式为( )A.B.C.D.2.(2)(上接第1题)D是抛物线上的一点,且.点F,G在对称轴上,点F在点G的上方,且FG=1.当四边形BDFG的周长最小时,点F的坐标为( )A. B. C. D.3.函数y=x的图象与函数的图象在第一象限内交于点B,点C是函数的图象上一点,且点C的横坐标为4.若点P是x轴上的动点,且满足,则点P的坐标是( )A.(3,0)或(0,-3)B.(0,3)或(0,-3)C.(3,0)或(-3,0)D.(0,3)或(-3,0)4.已知:抛物线的对称轴为,与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中.(1)已知在对称轴上存在一点P,使得△PBC的周长最小,则点P的坐标为( )A. B. C. D.5.(上接第4题)(2)在(1)的条件下,若点D是线段OC上的一个动点(不与点O、点C重合).过点D作DE∥PC交x轴于点E.连接PD,PE.设CD的长为m,△PDE的面积为S.则S与m之间的函数关系式为________,S的最大值为_________.( )A. B.C. D.。